Modelle und Methoden der Linearen und Nichtlinearen Optimierung (Ausgewählte Methoden und...

Modelle und Methoden der Linearen und Nichtlinearen Optimierung(Ausgewählte Methoden und Fallstudien)

U N I V E R S I T Ä T H A M B U R G

November 2011

(Die Thesen zur Vorlesung 6)

Thema der VorlesungVerfahren zur Lösung des linearen und nichtlinearen

Transportproblems

Zerlegbare Programmierung

(Teil 3)

Prof. Dr. Michal Fendek

Institut für Operations Research und Ökonometrie

Wirtschaftsuniversität Bratislava

Dolnozemská 1

852 35 Bratislava, Slowakei

Institut für Operations Research und Ökonometrie, WU Bratislava

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen und Nichtlinearen Optimierung Folie Nr.:2

Verfahren zur Lösung des Transportproblems

(Bemerkung zu der vorigen Vorlesung)

Allgemeine Formulierung der Aufgabe Programmierung bei zerlegbaren Fuuktionen:

f(x) = f ( x ) j=1

n

j j min

mit Nebebedingungen

ij=1

n

ij j i

j

g (x) = g ( x ) b i = 1, ,m

x 0 j = 1, ,n

wo

n – Zahl der Entscheidunggsvariablen der Optimierungsaaufgabe, m - Zahl der Nebenbedingungen der Optimierungsaaufgabe, f(x) – trennbare Zielfunktion, f:Rn R, gi(x) - trennbare Funktion der i-te Nebebedingung der Optimierungsaaufgabe, i=1,...,m, gi: R

n R, fj(xj) – Funktion mit einer Variablen xj , die ein Element von der trennbaren Zielfunktion ist, fj: R R, gij(xj) - Funktion mit einer Variablen xj , die ein Element von der trennbaren Funktion gi(x) ist, j=1,...,n, i=1,...,m, gij: R R, bi – der Koefizient der rechten Seite des Systems Nebebedingung der Optimierungsaaufgabe, i=1,...,m xj – Vektor der Entscheidungsvariablen, j=1,...,n.

21.11.2011



Mathematische Formulierung der Optimierungsaufgabe des Transportproblems mit den nichtlineraen Transportkosten und mit den der zerlegbaren Zielfunktion ist in der folgenden Form

njmix

ba

njbx

miax

fkxvkxff

ij

n

jj

m

ii

j

m

iij

i

n

jij

ijij

m

i

n

jijij

m

i

n

jij

,...,1;,...,10

,...,1

,...,1

min)()(

11

1

1

1 11 1

gungenNebenbedinunter

x

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Mathematische Formulierung des angeführten Transportproblems:

3,2,1;2,10

20

30

15

40

25

min8001,0602,0)(

3

1

2

1

2313

2212

2111

232221

131211

2332221

2131211

211

jix

ba

xx

xx

xx

xxx

xxx

x+x + x+xxxxf

ij

jj

ii

gungenNebenbedinunter

5 + 12 + 2 + 3 + 55 + 7 +x

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Funktion der Transportkostenvon V1 nach B1

020406080100120140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Stücke

Kost

en f11

5572,0)( 112

111111 xxxf

Fixkosten

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Verfahren zur Lösung des TransportproblemsFunktion der Transportkostenvon V1 nach B1

020406080100120140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Stücke

Kost

en f11

5572,0)( 112

111111 xxxf

Fixkosten

Gute Idee:Gute Idee:Die Die KurveKurve mit der mit der LinieLinie zu ersetzen zu ersetzen

Aber nicht sehr Aber nicht sehr genaue genaue

ApAppproximationroximation

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020406080100120140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Stücke

Kost

en f11

5572,0)( 112

111111 xxxf

Fixkosten

Gute Gute IdeeIdee

Jetzt bessere Jetzt bessere ApAppproximation roximation

!!!!!!!!!!!!

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0

20

40

60

80

Stücke

Kost

en f12

121212 3)( xxf

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0

200

400

600

800

1000

Stücke

Kost

en f13

602)( 2131313 xxf

Fixkosten

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ursprüngliche Kurve fursprüngliche Kurve fijij

602)( 2131313 xxf


860860

ffijij

2020xxijij131377

158158

398398

fij(7)=158

fij(13)=398

schlechtere Annäherungschlechtere Annäherung(Approximation)(Approximation)

bessere bessere AnnäherungAnnäherungAA=(0,=(0,6060))

B=(7,158)6060

C=(13,398)

D=(20,860)

00

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ursprüngliche Kurve fursprüngliche Kurve fijij

602)( 2 xxf


860860

ff

xx

158158

398398

f (0)=60 f (7)=158

f (13)=398 f (20)=860

schlechtere Annäherungschlechtere Annäherung

bessere bessere AnnäherumgenAnnäherumgenAA=(0,=(0,6060))

B=(7,158)6060

C=(13,398)

D=(20,860)

00=a = 0=a = 0 kk=b =20=b =2011=7=7 22 ==1313=10=10

)(~

),(~

),(~

321 xfxfxf

6040)(~

xxf

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Die Ableitung der stDie Ableitung der stückweisen liearen Funktionenückweisen liearen Funktionen

(b) bessere Annäherumg an dem Definitionsbrereich 0=a=0, 1=7 Linie der Funktion f ! überschreitet der Punkte AA=(0,=(0,6060)) und und B=(7,158)

f!(x) = kx+q

Die Approximation der Funktion mit derstückweisen linearen Funktion

(a) nicht genaue Annäherung an dem Definitionsbrereich – 0=a=0, 3=b=20 Linie der Funktion überschreitet der Punkte AA=(0,=(0,6060)) und und D=(20,860)f(x) = kx+q k - Richtlinie der Linie der Funktion q – absoluter Glied der FunktionDie Approximation der Funktion mit der stückweisen linearen FunktionBemerkung: Der Zähler der Bruchzahl=Differenz zwischen den Werten der FunktionDer Nenner der Bruchzahl=Differenz zwischen den Argumenten der Funktion

Teilungspunkte in dem Definitionsbrereich 0,20: 0=a=0, 1=7, 2=13, k =3=b=20

Die Werte der ursprünglichen Funktion f (0)=60 f (7)=158

in dieser Punkte : f (13)=398 f (20)=860

6040)(~

xxf

40

20

60860

020

020

ff

k

6000 kfkxxfq

14

7

98

7

60158

07

07

ff

k

6000 kfkxxfq6014)(~

1 xxf

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Die Ableitung der stDie Ableitung der stückweisen liearen Funktionenückweisen liearen Funktionen

(d) bessere Annäherumg an dem Definitionsbrereich 2=13, 3=b=20

- Linie der Funktion f2 überschreitet der Punkte C=(13,398) und und D=(20,860)

f3(x) = kx+q

Die Approximation der Funktion mit derstückweisen liearen Funktionen

(c) bsseree Annäherumg an dem Definitionsbrereich – 1 =7, 2=13 -

Linie der Funktion f2 überschreitet der Punkte B=(7,158) und und C=(13,398)

f2(x) = kx+q

Die Approximation der Funktion mit derstückweisen liearen Funktionen

Teilungspunkte in dem Definitionsbrereich 0,20: 0=a=0, 1=7, 2=13, k =3=b=20

Die Werte der ursprünglichen Funktion f (0)=60 f (7)=158

in dieser Punkte : f (13)=398 f (20)=860

12240)(~

2 xxf

40

6

158398

713

)7(13

ff

k

1222801587407 fkxxfq

66

7

462

7

398860

1320

)13(20

ff

k

4601320860206620 fkxxfq46066)(

~3 xxf

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Die Ableitung und Formulierung der stDie Ableitung und Formulierung der stückweisen liückweisen linnearen Funktionenearen Funktionen

Untersuchen wir die Werte für alle Funktionen in dem Punkt . Wir bekommenSiehe Folie Nr. 12

• ursprüngliche nichtlineare Funktion

• nicht genaue Approximation mit nur einer linearen Funktion auf dem Bereich 0, 20

FehlerFehler der Approximation ist wirklich sehr groß

260)10()(602)( 2 ffxxf

460)10(~

)(~

6040)(~

ffxxf

%9,76)(%,200260460)()(~

)( xfxfxfxf

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