Modelle zumWalzen von Flach- undVollquerschnitten

Von der Fakultät für Ingenieurwissenschaften,Abteilung Maschinenbau und Verfahrenstechnik der

Universität Duisburg-Essen

zur Erlangung des akademischen Grades

eines

Doktors der Ingenieurwissenschaften

Dr.-Ing.

genehmigte Dissertation

von

Christian Overhagen

aus

Essen

Gutachter: Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Johannes GottschlingUniv.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. mont. Bruno Buchmayr

Tag der mündlichen Prüfung: 2. November 2018

Inhaltsverzeichnis

Vorwort VII

Verwendete Formelzeichen IX

Zusammenfassung XIX

Abstract XXIII

1 Einleitung 1

1.1 Vereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Das Walzen als Fertigungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.3 Die Bedeutung des Walzens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Formänderungen beim Walzen 7

2.1 Volumenkonstanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Bezogene Abmessungsänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Umformgrade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4 Stichplangestaltung beim Walzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Fließkurven metallischer Werkstoffe 15

3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 Einflussparameter auf die Fließspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.3 Experimentelle Ermittlung von Fließkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3.4 Mathematische Beschreibung von Fließkurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4 Modelle zumWalzen von Flachquerschnitten 21

4.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.2 Anforderungen an ein Prozessmodell für Vierwalzengerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4.3 Elementare Grundlagen des Walzspalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II

4.3.1 Geometrie und Kinematik des Walzspalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3.2 Statik des Walzspalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3.3 Kraft- und Arbeitsbedarf von Walzvorgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3.4 Reibung beim Walzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.3.5 Profil und Planheit von Flacherzeugnissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.4 Bekannte Walzmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.1 Ebener Formänderungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.4.2 Dreiachsiger Formänderungszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.5 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte . . . . . . . . 554.5.1 Kräftegleichgewicht am Volumenelement im Walzspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.5.2 Verteilung von Normal- und Schubspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.5.3 Fließbedingung bzw. Hooke’sches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.5.4 Randbedingungen zur Lösung der Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5.5 Numerisches Lösungsverfahren des Spannungsfelds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5.6 Das Geschwindigkeitsfeld beim Walzen auf flacher Bahn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.6 Thermische Effekte im Walzspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6.1 Modellierung der Temperaturverteilung im Walzgut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.6.2 Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.7 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7.1 Drehzahlabstimmung beim Walzen ohne Längsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . 884.7.2 Kinematik im Walzspalt unter Einfluss von Längsspannungen . . . . . . . . . . . . . 89

4.8 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.8.1 Die Berechnung der Walzenabplattung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 994.8.2 Die Berechnung der Durchbiegung von Arbeits- und Stützwalzen . . . . . . . . . 1074.8.3 Der Walzenverschleiß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

4.9 Thermische Walzenbelastung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.9.1 Wärmeleitungsgleichung und Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.9.2 Analytische Lösung für das stationäre Temperaturfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1204.9.3 Numerische Berechnung der Temperaturverteilung in radialer und

axialer Richtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1244.9.4 Örtliche Verteilung von Stoffeigenschaften in Arbeitswalzen . . . . . . . . . . . . . . 1264.9.5 Berechnung der thermischen Balligkeit von Arbeitswalzen . . . . . . . . . . . . . . . 126

4.10 Ermittlung der Walzspaltgeometrie eines deformierten Walzenballens . . . . . . . . . . . 128

4.11 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1294.11.1 Statischer Walzenschliff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.11.2 Arbeitswalzenschliff mit axial verschiebbaren Walzen (CVC) . . . . . . . . . . . . . 1314.11.3 Walzenrückbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.12 Modellierung der Planheit von Flachquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

Inhaltsverzeichnis III

4.12.1 Phänomenologische Beschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1394.12.2 Plastomechanische Modellierung der Planheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

5 Breitung beim Walzen 145

5.1 Streckungswirksamkeit und freie Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2 Ursachen der Breitung und empirische Breitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

5.3 Einflussfaktoren auf die Breitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3.1 Geometrische Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3.2 Werkstoff- und Temperatureinfluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1475.3.3 Einfluss von Längsspannungen auf die Breitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4 Berechnung des lokalen Breitungsverlaufes im Walzspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

5.5 Empirisch-statistische Breitungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5.6 Breitungsberechnung mit plastomechanischen Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

6 Modelle zumWalzen von Vollquerschnitten 159

6.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.1.1 Warmgewalze Vollquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.1.2 Kaltgewalzte Vollquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1596.1.3 Walzziehen von Vollquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.2 Zielgrößen für Modelle zum Profilwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

6.3 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3.1 Kalibergeometrien zum Warmwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1656.3.2 Kalibergeometrien zum Kaltwalzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

6.4 Berechnung von Profilwalzstichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.4.1 Arbeitender Walzendurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1796.4.2 Flächenerhaltende Äquivalenzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1806.4.3 Nicht-flächenerhaltende Äquivalenzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1826.4.4 Vergleich der Berechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1836.4.5 Numerische Berechnung von Profilwalzvorgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1856.4.6 Berechnung des Kraft- und Arbeitsbedarfs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

6.5 Auslegung von Kaliberreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1886.5.1 Kaliberreihen mit Haupt- und Zwischenkalibern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1896.5.2 Kaliberreihe Raute-Raute . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.6 Thermisches Modell für Rundquerschnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1916.6.1 Mathematische Modellierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

6.7 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

IV

6.7.1 Geometrie des Walzspalts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1956.7.2 Berechnung von Formänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1976.7.3 Berechnung des Spannungsfelds. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1986.7.4 Äquivalenzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2066.7.5 Breitungsberechnung und Streckungswirksamkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2106.7.6 Vergleichende Studien zum Zwei- und Dreiwalzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . 213

6.8 Elastische Gerüstauffederung beim Profilwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

6.9 Längsspannungen beim Walzen von Vollquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

6.10 Modell zum Walzziehen von Vollquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2206.10.1 Kennzeichnende Eigenschaften des Walzziehens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2216.10.2 Mechanisches Modell, Kraft- und Arbeitsbedarf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2226.10.3 Breitungsberechnung beim Walzziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2236.10.4 Berechnungsbeispiel zum Walzziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

7 Anwendungen beimWalzen von Flachquerschnitten 227

7.1 Warmwalzen von Breitband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.1.1 Maß- und Formtoleranzen für Warmbreitband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2277.1.2 Anlagenparameter der Gerüstanordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.1.3 Stichplangestaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2297.1.4 Entwicklung des Banddickenprofils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2307.1.5 Beeinflussung von Profil und Planheit durch die CVC-Technologie . . . . . . . . 230

7.2 Kaltwalzen von Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.2.1 Maß- und Formtoleranzen für Kaltband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.2.2 Entwicklung des Dickenprofils bei Kaltband . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2387.2.3 Einfluss von Längsspannungen auf Profil und Planheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2417.2.4 Einfluss der Höhenänderung auf Profil und Planheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

8 Anwendungen beimWalzen von Vollquerschnitten 247

8.1 Flexible Kaliberreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2478.1.2 Parameter der Modellstudien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2488.1.3 Ermittlung einer Universalkalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2508.1.4 Simulationsrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

8.2 Sizing und Free-Size Rolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2548.2.1 Anlagenkonfigurationen und Kalibrierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2568.2.2 Free Size Rolling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.2.3 Unter Gerüstauffederung erreichbare Toleranzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2598.2.4 Effekte beim Walzen unterschiedlicher Werkstoffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2628.2.5 Sizing vor dem Fertigblock eines Drahtwalzwerks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

8.3 Walzen von Draht in Fertigblöcken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

Inhaltsverzeichnis V

8.3.1 Notwendigkeit von Fertigblöcken in Drahtwalzwerken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2658.3.2 Auslegungsdaten eines Drahtfertigblocks . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2678.3.3 Entstehung und Auswirkungen von Längsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2698.3.4 Auswirkungen von Längsspannungen in einem Drahtfertigblock . . . . . . . . . . 2708.3.5 Auswirkung von Störgrößen in einem Drahtfertigblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Ausblick 277

Anhang A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 279

A.1 Balken ohne Schubeinfluss (Bernoulli) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.1.1 Voraussetzungen und Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.1.2 Verformungen und Dehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279A.1.3 Gleichgewichtsbedingungen am Biegebalken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.2.1 Schubverzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.2.2 Wirkende Schubspannungen und Schubkorrekturfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282A.2.3 Zusammenhang von Durchbiegung und Neigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284A.2.4 Stoffgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284A.2.5 Gleichgewicht und Biegelinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285A.3.1 Bernoulli-Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285A.3.2 Timoshenko-Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290A.3.3 Finite Balkenelemente mit ortsveränderlicher Höhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293A.3.4 Spannungen und Dehnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

Anhang B Kontaktmechanische Grundlagen 297

B.1 Linienbelastung eines elastischen Halbraums (ebener Fall) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

Abbildungsverzeichnis 311

Tabellenverzeichnis 321

Literaturverzeichnis 323

Vorwort

Die Fertigstellung der vorliegenden Arbeit wurde überschattet vom Tod meines Doktorvaters,

akademischen Lehrers und Förderers

Univ.-Prof. Dr.-Ing. Paul Josef Mauk*4.3.1951 †23.1.2018

Mit meiner Studien- und Promotionszeit durfte ich sein Schaffen über 13 Jahre begleiten.

Viele gemeinsame Reisen und Projekte haben mir Einblicke in die vielen Facetten der Walz-

werkstechnik ermöglicht, die ich sonst nicht hätte erhalten können. Er ließ mich an seinem rei-

chen Erfahrungsschatz teilhaben und hat meine wissenschaftliche Entwicklung stets gefördert.

Die vorliegende Arbeit erfuhr durch seine Führung eine besondere Prägung.

Die Technologie des Profilwalzens und Walzenkalibrierens lag ihm stets besonders am Her-

zen. Hierzu konnte ich unter seiner Leitung unzählige wertvolle Kenntnisse und Erfahrungen

sammeln, die in die Arbeit mit eingeflossen sind.

Ich widme die vorliegende Arbeit dem Andenken an sein Wirken und an seine Arbeit auf den

Themen des Flach- und Profilwalzens von Vollquerschnitten.

Mein Dank gilt darüber hinaus allen Personen, die mich seit dem Beginn meiner Beschäftigung

an der Universität Duisburg-Essen und besonders nach dem Verlust meines Doktorvaters un-

terstützt haben. Dazu zählen insbesondere Herr Univ.-Prof. Dr. rer. nat. Johannes Gottschling,

Frau Dr.-Ing. Olga Myronova, Herr Dr.-Ing. Bernhardt Weyh und auch meine Kollegen B.E.

Rolf Braun, M.Sc. Anke Ferner und B.Sc. Kiril Metodiev. Ich danke auch allen ehemaligen

Kollegen und Hilfskräften die meinen Weg begleitet haben, darunter besonders Dr.-Ing. Mi-

chael Hinnemann, Andreas Mark, Andreas Cavajda, Hannes Haßdenteufel und M.Sc. Xiaowen

Li.

Herrn Professor Gottschling möchte ich besonders dafür danken, dass er die weitere Betreuung

und das Hauptgutachten der Arbeit übernommen und mir so ermöglicht hat, diese abzuschlie-

ßen.

Herrn Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. mont. Bruno Buchmayr von der Montanuniversität Leoben

danke ich an dieser Stelle ganz herzlich für seine Bereitschaft, das Zweitgutachten zu überneh-

men, aber auch für die vielen Gelegenheiten, zu denen ich Zwischenergebnisse meiner Arbeiten

VIII

auf seinem Verformungskundlichen Kolloquium auf der Planneralm und am Zauchensee einem

interessierten Fachpublikum präsentieren durfte.

Abschließend möchte ich meinen Eltern Helga und Hans Overhagen danken, die jederzeit für

mich da waren und sind, und mich zu dem Menschen gemacht haben der ich heute bin.

Verwendete Formelzeichen

Walzspalt-Neigungswinkel in x-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26∗ Äquivalenter Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 800 Greifwinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Fließscheidenwinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Wärmeübergangskoeffizient bei Konvektion mit einem Kühlmedium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Wärmeübergangskoeffizient bei Luftkühlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Wärmeübergangskoeffizient bei Wasserkühlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Fließscheidenwinkel von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Thermischer Ausdehnungskoeffizient der Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Wärmeübergangskoeffizient Kontakt Walze-Walzgut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Breitgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bezogener Fließscheidenwinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Breitgrad eines Streifens i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Breitgrad des Streifens in der Bandmitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Gesamtbreitgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9∆0 Rückwärtszugveränderung im Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92∆1 Vorwärtszugveränderung im Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92∆ Absolute Breitenänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8∆0 Breitenänderungsanteil eines Walzspaltes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209∆ Breitenfehler des Zwischenkalibers im Stich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188∆3 Gesamte Breitenänderung im Dreiwalzenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209∆+1 Breitenfehler des Hauptkalibers im Stich + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188∆ Absolute Höhenänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8∆02 Höhenänderungsanteil einer Walze im Zweiwalzenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209∆03 Höhenänderungsanteil einer Walze im Dreiwalzenverfahren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209∆ Absolute Längennänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8∆ Drehzahlveränderung von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92∆1 Beitrag der Stützwalzenpressung zur Verschleißtiefe der Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114∆2 Beitrag der Walzgutpressung zur Verschleißtiefe der Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116∆ Externe Einflüsse auf den Walzspalt (Gerüstanstellung und Auffederung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178∆ Zeitschritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83∆ y-Abstand zwischen Gitterpunkten und − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81∆ z-Abstand zwischen Gitterpunkten und − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Walzspalt-Neigungswinkel in y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56∆ Bezogene symmetrische CVC-Axialverschiebung der Arbeitswalze). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134∆ -Umgebung um einen Arbeitspunkt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95∆ Volumenstromveränderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Vergleichsdehngeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Dehngeschwindigkeit in Längsrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Dehngeschwindigkeit in Breitenrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Dehngeschwindigkeit in Höhenrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141˙ Mittlere Umformgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

0 Umformgeschwindigkeit zu Beginn der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Umformgeschwindigkeit am Ende der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Umformgeschwindigkeit (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15˙ Wärmestromdichte der Konvektion mit einem Kühlmedium. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76˙ Wärmestromdichte der Wärmeleitung an die Walzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Wärmestromdichte der Strahlungswärme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Volumenstrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Strahlungskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Rechengröße für die Voreilzone (Rudisill). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Umformwirkungsgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Umformwirkungsgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Stauchgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Stauchgrad eines Streifens i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Stauchgrad des Streifens in der Bandmitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Gesamtstauchgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

X

Schubverzerrung in der xz-Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Soll-Drehzahlverhältnis zwischen den Gerüsten und + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Solldrehzahl Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 Bezogene Querkoordinate (in Axialrichtung der Walze). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Polarwinkel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2960 Freiwinkel zwischen Walzspalt und Sprühkühlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Voreilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Schubkorrekturfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Streckgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Wärmeleitfähigkeit der Walze in tangentialer Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Einzelstreckgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Wärmeleitfähigkeit der Walze in radialer Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Wärmeleitfähigkeit der Walze in axialer Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 Wärmeleitfähigkeit der Walzenarbeitsschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Gesamtstreclgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Wärmeleitfähigkeit des Walzenkernwerkstoffs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 Größter Streckgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Kleinster Streckgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Mittlerer Streckgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Stufenstreckgrad über zwei Stiche der i-ten Hauptkaliberstufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Mittlerer Stufenstreckgrad der Hauptkaliberreihe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Wärmeleitfähigkeit des Walzguts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Wärmeleitfähigkeit des Walzenkernwerkstoffs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Wärmeleitfähigkeit des Zunderschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76K Globale Roh-Steifigkeitsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Rx Reibschubspannungsvektor xz-Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Ry Reibschubspannungsvektor yz-Ebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60An Matrix der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A Boole’sche Inzidenzmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287F0n Matrix der Fourierkoeffizienten

∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122fAS Kontaktkraftvektor Arbeitswalze-Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112fA Lastvektor Arbeitswalze (Walzkraftverteilung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112fS Lastvektor Stützwalze (Auflager- und Stützkräfte). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112f Globaler Lastvektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288Hn Matrix der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122KA Biegesteifigkeitsmatrix Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112kn Koeffizientenmatrix zur Bestimmung vonAn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122KS Biegesteifigkeitsmatrix Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112KAS Gesamtkontaktsteifigkeitsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110KciKjK Kontaktelementsteifigkeitsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110K Globale Steifigkeitsmatrix. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287Qn Matrix der Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122wA Freiheitsgradvektor Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112wS Freiheitsgradvektor Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112wAS0 Abstandsvektor Walzenoberflächen Arbeitswalze-Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112xK Vektor der x-Werte einer gerasterten Kontur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184yK Vektor der y-Werte einer gerasterten Kontur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Reibwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Reibwertkomponente in x-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Reibwertkomponente in y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 630 Vorgegebener Reibwert in x-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610 Vorgegebener Reibwert in y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Querkontraktionszahl des Walzguts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Querkontraktionszahl der Walzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51Ω Freier Winkel zwischen Walzspalt und Wasserkühlung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Winkelgeschwindigkeit der Walzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Bezogener Breitungsanteil. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Grenzwert für . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Orowan’sche Inhomogenitätsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Rechengröße für die Nacheilzone (Rudisill). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

Verwendete Formelzeichen XI

Mittlere Wärmeleitfähigkei zwischen den Gitterpunkten und − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Mittlere Wärmeleitfähigkei zwischen den Gitterpunkten und − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Integrationskonstante Nacheilzone (Rudisill). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Mittlerer Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125∗

Mittlerer dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 Mittlere Wärmestromdichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125∗ Mittlere dimensionslose Wärmestromdichte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125Φ Bezogener Winkel und Integrationsvariable nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Harmonische Skalarfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298Φ0 Bezogener Greifwinkel nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Φ Bezogener Fließscheidenwinkel nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41Φ Bezogener Winkel nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Neigungswinkel der Biegelinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 Harmonische Vektorfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2981 Sprühwinkel vor dem Walzspalteintritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1232 Sprühwinkel nach dem Walzspaltaustritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Rechengröße für Voreilung nach Ekelund. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Massendichte des Walzguts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Massendichte des Walzenkernwerkstoffs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Massendichte der Zunderschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 760 Rückwärtszugspannung (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411 Vorwärtszugspannung (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Normalspannung senkrecht zur Walzenoberfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Vergleichsspannung nach v. Mises. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Normalspannung in horizontaler Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Normalspannung in lateraler Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Zugspannung, wirkende Längsspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Normalspannung in vertikaler Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Tangentialspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296−1 Längsspannung im Walzgut zwischen den Gerüsten − 1 und . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900 Längsspannung am Eintritt von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 Längsspannung am Austritt von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Dritte Hauptnormalspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Zweite Hauptnormalspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Erste Hauptnormalspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Radialspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Horizontalspannung in der Nacheilzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Horizontalspannung in der Voreilzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371 Lateralspannung im Profileinflussbereich von Walze 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Vertikalspannung bei elastische Formänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 Vertikalspannung in der Nacheilzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Vertikalspannung in der Voreilzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 541 Vertikalspannung im Profileinflussbereich von Walze 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 Integrationsvariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Schubspannung infolge der Querkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Polar-Schubspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Reibschubspannung in Walzrichtung (xz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Reibschubspannungskomponente in lateraler Richtung (yz). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Schubspannung in xy-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Schubspannung in yz-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Schubspannung in zx-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 Integrationsvariable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Relaxationsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Bezogene Breitenänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bezogene Höhenänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Bezogene Längennänderung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Reziproke Peclet-Zahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Umformgrad (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Flächenumformgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

XII

Vergleichsumformgrad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 Erste Ableitung der Durchbiegung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2820 Umformgrad zu Beginn der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Umformgrad am Ende der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Umformgrad in Breitenrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Umformgrad in Höhenrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Umformgrad in Längsrichtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Umformtemperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 Temperatur zu Beginn der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Temperatur am Ende der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Parameter für Schrankenmodell. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 = 2

Bezogene Vertikalkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

Querschnittsfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Halbe Kontaktbreite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2980 Bezogene Dicke der Arbeitsschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1260 Querschnittsfläche vor der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Querschnittsfläche nach der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Kontaktfläche Arbeitswalze-Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Gedrückte Fläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Querschnittsfläche in der Fließscheidenebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Hebelarmbeiwert nach Trinks. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Vertikaler Abstand der Walzenmittelachsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Komplexe Fourierkoeffizienten der Temperaturverteilung an der Walzenoberfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Reibfläche (Streifenoberfläche). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Rechengröße Reibungseinfluss nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Schubquerschnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 Scherfläche (Streifenkante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Verdrängte Fläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Wiedererscheinende Fläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 Temperaturleitfähigkeit der Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1200äq Querschnittsfläche am Eintritt des äquivalenten Flachstichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1780 Querschnittsfläche am Eintritt des Profilwalzstiches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1780 Längszugeinflussparameter Rückwärtszug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 921äq Querschnittsfläche am Austrittt des äquivalenten Flachstichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781 Querschnittsfläche am Austrittt des Profilwalzstiches. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781 Austrittsquerschnitt aus Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 881 Längszugeinflussparameter Vorwärtszug. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 922 Längszugeinflussparameter Volumenstrom. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Schubspannungsverhältnis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Flächeninhalt des Rautenprofils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 Integrationskonstante Voreilzone (Rudisill). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Querschnittsbreite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Breite vor der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Breite nach der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Breite eines Kalibers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Lokale Querschnittsbreite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Streifenbreite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Wärmeeindringzahl Walzenkernwerkstoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Breite eines Kalibers in der Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Rechengröße Zugeinfluss nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 Breite des Zwischenkalibers im Stich der letzten Iteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Mittlere Kontaktbreite im Dreiwalzenstich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Kontaktbreite eines Dreiwalzenprofils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 Schnittpunktsbreite nach Lendl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Mittlere Walzgutbreite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 Schnittpunktsabstand von 3 zur horizontalen Achse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Wärmeeindringzahl Walzgut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Wärmeeindringzahl Zunderschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76() Radiale Biot-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Verwendete Formelzeichen XIII

Konstante Walzenwerkstoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381 Konstante für den Spannungsverlauf in der Haftzone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Integrationskonstante Airy’sche Spannungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 Integrationskonstante Elastischer Halbraum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Gerüststeifigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Neigungskorrekturfaktor der Reibschubspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Strahlungskonstante des schwarzen Körpers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Integrationskonstanten Biegelinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Spezifische Wärmekapazität des Walzguts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Spezifische Wärmekapazität des Walzenkernwerkstoffs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Spezifische Wärmekapazität des Zunderschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Crown (Walzgutdickenunterschied zwischen Walzgutmitte und Walzgutkante). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Größter Crown des CVC-Stellbereichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 Kleinster Crown des CVC-Stellbereichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13515 Koeffizienten der Finite-Differenzen-Diskretisierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Arbeitender Walzendurchmesser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Dicke eines Balkenelementes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Grö ßter Ballendurchmesser einer Dreiwalzen-Walzscheibe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 Nenndurchmesser eines Rundprofils (Kaltmaß). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1661 Dicke eines Balkenelementes am linken Elementrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2922 Dicke eines Balkenelementes am rechten Elementrand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292 Nenndurchmesser der Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Walzendurchmesser von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Örtlicher Abstand der Walzenmittelachsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Infinitesimale Kontaktfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Horizontalkraftinkrement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2001 Normalkraftinkrement Walze 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2011 Schubkraftinkrement Walze 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Breite eines infinitesimalen Kontaktflächenelements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Infinitesimale Wärmemenge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Länge eines infinitesimalen Kontaktflächenelements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Infinitesimale Länge des Streifen- und Stabelementes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Infinitesimale Breite des Stabelementes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 Elastizitätsmodul des Walzguts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51∗ Elastizitätsmodul des Walzguts im ebenen Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Polynomkoeffizienten Arbeitswalzenschliffkontur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Oberes Abmaßdes Rundprofils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Unteres Abmaßdes Rundprofils. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Elastizitätsmodul der Walzen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51∗ Elastizitätsmodul der Walzen im ebenen Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51() Gaußsche Fehlerfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Walzkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Steigungsparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1263 Rechengröße für Walzkraft nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 Rechengröße für Drehmoment nach Ford, Ellis und Bland. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Proportionalitätsfaktor in der Breitungsberechnung nach Geuze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 Verteilungsfunktion für Streckgradverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Umformwirksamkeit der Längsspannungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270 Normalkraft senkrecht zur Walzenoberfläche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Komplexe Fourierkoeffizienten der Temperaturverteilung im Walzeninneren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Rückwärtszugkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Relaxationsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Streckungswirksamkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Vorwärtszugkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 Warmmaßfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Auf Walzgutbreite bezogene Horizontalkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Auf Walzgutbreite bezogene Lateralkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Ziehkraft beim Walzziehen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 Gewichtungsfaktor für Verteilungsfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

XIV

1 Differentielle Funktion für Gleitreibung (Alexander). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 Differentielle Funktion für Gleitreibung (Alexander). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Stauchkraft. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Schubmodul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2981 Differentielle Funktion für Haftreibung (Alexander). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Querschnittshöhe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7() Heaviside-Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620() Walzspalt-Höhenverteilung bei unverformter Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101() Walzspalt-Höhenverteilung der -ten Iteration nach Relaxationskorrektur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103∗ Dimensionsloser Wärmeübergangskoeffizient (Walzenkühlung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121∗() Walzspalt-Höhenverteilung der -ten ohne Relaxationskorrektur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1030 Höhe vor der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Höhe nach der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Härte der Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Höhe eines Kalibers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Komplexe Fourier-Koeffizienten für ∗(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Härte der Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Streifenhöhe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410äq Walzguthöhe am Eintritt des äquivalenten Flachstichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1780 Höhe an der Eintrittsseite des äquivalenten Flachstichs nach Lendl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1810 Walzgutdicke bei Beginn plastischer Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511äq Walzguthöhe am Austrittt des äquivalenten Flachstichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781 Maximale Walzguthöhe am Austritt des Profilstichs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1791 Höhe des Umformraums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1781 Höhe an der Austrittsseite des äquivalenten Flachstichs nach Lendl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1811 Walzgutdicke beim Ende plastischer Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Höhe des benachbarten Streifens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1420 Höhe des Zwischenkalibers im Stich der letzten Iteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Mittlere Walzguthöhe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Höhe einer plastisch umgeformten Probe (ohne elastische Rückfederung). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Flächenmoment 2. Grades (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10814 Flächenmoment 2. Grades der Abschnitte einer Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Kontaktknotenindex Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Innenradius eines Kalibers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Imaginäre Einheit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119∗ Obere Schranke der Umformleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Kontaktknotenindex Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110() Bessel-Funktion erster Art der Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Schubfließgrenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Koeffizient Fließkurvenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fließspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Wärmedurchgangskoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Konturverlauf der Oberwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Kernelfunktion des Bergmann-Typs für das Walzentemperaturfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Konturverlauf der Unterwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Verschleißratenkoeffizient. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162 Abrasionskoeffizient der Walzgutpressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Abrasionskoeffizient der Stützwalzenpressung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Mittlere Fließspannung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Oberer Grenzwert des Wärmedurchgangskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Unterer Grenzwert des Wärmedurchgangskoeffizienten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Mittlerer Umformwiderstand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Wirksamer Konturverlauf der Oberwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Wirksamer Konturverlauf der Unterwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1340 Länge vor der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Länge nach der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Abstand linke Lagerstelle zum Kraftangriffspunkt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 Ballenlänge der Arbeitswalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 Abstand rechte Lagerstelle zum Kraftangriffspunkt von . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Verwendete Formelzeichen XV

Gedrückte Länge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Verarbeitete Walzgutlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Streifenlänge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Schaltparameter für Vorzeichenwechsel der Reibschubspannung in x-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Schaltparameter für Vorzeichenwechsel der Reibschubspannung in y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 620 Anfangslänge eines Streifens i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1400 Anfangslänge des Streifens in der Bandmitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401 Endlänge eines Streifens i. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1401 Endlänge des Streifens in der Bandmitte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Haftreibungsbeiwert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1411 Koeffizient Fließkurvenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Koeffizient Fließkurvenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Koeffizient Fließkurvenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Koeffizient Fließkurvenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Koeffizient Fließkurvenfunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Differentielle Funktion für Gleitreibung (Freshwater). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Differentielle Funktion für Gleitreibung (Freshwater). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Drehmoment an einer Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Korrekturfaktor für die Streckungsverteilung.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Anzahl der Umformstufen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Dimensionslose Kenngröße. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Differentielle Funktion für Haftreibung (Freshwater). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Differentielle Funktion für Haftreibung (Freshwater). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Anzahl der Fourierterme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Polynomordnung Arbeitswalzenschliffkontur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1330 Walzendrehzahl im Gerüst ohne Längszüge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 Formfunktionen des Balkenelements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 Walzendrehzahl von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Anzahl der Hauptkaliberstufen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 Leistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31() Druckverteilung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2980 Druckspitze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29813 Geometrieparameter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Kontaktspannung Arbeitswalze-Stützwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Reibleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Scherleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Zugleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Ideelle Umformleistung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Maximalwert der Normalspannungsverteilung an einer y-Koordinate (Fließscheide). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Peclet-Zahl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Querkraft (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279() Streckenlast. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279∗ Dimensionslose Wärmestromdichte (Kontakt Walze-Walzgut). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 Walzkraft-Verlustbeiwert nach Lippmann und Mahrenholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Drehmoment-Verlustbeiwert nach Lippmann und Mahrenholtz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Komplexe Fourier-Koeffizienten für ∗(). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 () Wärmestromdichteverteilung (Wärmeeintrag). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 In y-Richtung übertragene Wärmemenge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 In z-Richtung übertragene Wärmemenge. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 Lokale Wärmestromdichte (Walzgut). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1230 Abgeplatteter Walzenradius. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Walzenradius (unverformt). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Radialkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2960 Abgeplatteter Walzenradius nach Hitchcock. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100∗ Dimensionslose Radialkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191 Hauptradius des Kalibers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663 Radius des Kaliberaufschnitts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Örtlicher Radius der Oberwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Örtlicher Radius der Unterwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

XVI

Krümmungsradius der Biegelinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2770 Unverformter Außen-Nennradius der Oberwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1280 Unverformter Außen-Nennradius der Unterwalze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Seitenlänge eins Quadrats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2110 Leerwalzspalt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Statisches Moment. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 Quellterm (Umformwärme). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 Dicke der Zunderschicht. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Absolute Temperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 ∗ Dimensionslose Temperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1190 Anfangstemperatur der Walze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Temperatur des Kühlmediums. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Kontaktzeit Walze-Walzgut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Mittelwert aus Walzgut- und Walzenkerntemperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Geometriefunktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Durchschnittstemperatur auf einem Querschnitt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Absolute Referenztemperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 Umgebungstemperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Oberflächentemperatur des Walzguts. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Walzenoberflächentemperatur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 Verschiebung in vertikaler Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Geschwindigkeit (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 880 Volumen vor der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Walzgutgeschwindigkeit am Eintritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Volumen nach der Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 Walzgutgeschwindigkeit am Austritt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Abrasiv abgetragenes Volumen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114() Thermische Balligkeitskontur im ebenen Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127() Thermische Balligkeitskontur im allgemeinen Verzerrungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127() Thermische Balligkeitskontur im ebenen Spannungszustand. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Walzenumfangsgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Werkzeuggeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Horizontalgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Lateralgeschwindigkeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 621 Austrittsgeschwindigkeit aus Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Relativgeschwindigkeit (Resultierende aus x und y). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Relativgeschwindigkeit an der Streifenkante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Relativgeschwindigkeit Walze-Walzgut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Bezugskonstante für die Relativgeschwindigkeitsabhängigkeit der Reibung in x-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Relativgeschwindigkeit in x-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Bezugskonstante für die Relativgeschwindigkeitsabhängigkeit der Reibung in y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Relativgeschwindigkeit in y-Richtung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Längskoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Horizontaler Abstand von der Austrittsebene zur Fließscheidenebene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 x-Koordinate Punkt (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Verschleißweg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Längskoordinate des Kontaktpunkts Walze-Walzgut. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Längskoordinate Beginn plastischer Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Längskoordinate Ende plastischer Umformung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Längskoordinate Ende elastischer Rückfederung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511 x-Koordinate des Kreismittelpunkts von Radius 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723 x-Koordinate des Kreismittelpunkts von Radius 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Querkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Verteilungsexponent in der i-ten Umformstufe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 y-Koordinate Punkt (allgemein). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 y-Koordinate eines Gitterpunktes, Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 y-Koordinate des Kreismittelpunkts von Radius 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1723 y-Koordinate des Kreismittelpunkts von Radius 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

Verwendete Formelzeichen XVII

Verteilungsfaktor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Vertikalkoordinate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 Grenzwert für Verteilungsfaktor 1. Stich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 z-Koordinate eines Gitterpunktes, Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 Grenzwert für Verteilungsfaktor letzter Stich. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Ist-Drehzahlverhältnis zwischen den Gerüsten und + 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2160 Veränderte Drehzahl von Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

Istdrehzahl Gerüst . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit liefert Weiterentwicklungen der Rechenverfahren für Walzprozesse von

Flach- und Vollquerschnitten.

Einleitend wird die Bedeutung der Walzverfahren mit aktuellen Auftragseingangszahlen von

Walzwerken in der Bundesrepublik Deutschland dargelegt. In den folgenden Kapiteln werden

die Grundlagen der Formänderungsberechnung, Stichplangestaltung und der Werkstoffmodel-

lierung mit Hilfe von Fließkurven behandelt.

Der nächste Teil ist der Modellierung der Walzverfahren für Flacherzeugnisse gewidmet. Zu-

nächst werden die elementaren Grundlagen des Walzspaltes wiederholt. Danach werden bereits

bekannte Modelle für den Walzvorgang von Flachquerschnitten diskutiert. Dabei werden die

Vor- und Nachteile einzelner Modelle aufgegriffen und Anwendungsbereiche aufgezeigt.

Aufbauend auf Ren, Tieu et al. [RTLD06] wird ein zweidimensionales Walzmodell für das

Warm- und Kaltwalzen von Flachquerschnitten entwickelt. Die Berechnung des Spannungs-

feldes in Längs- und Querrichtung basiert auf der Erweiterung des Streifenmodells mit einer

zweiten Differentialgleichung in Breitenrichtung. Das allgemeine Geschwindigkeitsfeld für das

Flachwalzen wird für den ebenen Fall, sowie für den dreidimensionalen Fall mit Breitung for-

muliert. Dabei wird jeweils parallelepipedische Umformung vorausgesetzt. Die Spannungs- und

Geschwindigkeitsmodelle werden kombiniert, so dass die berechnete Relativgeschwindigkeit

zur Bestimmung des Stoffflusses und der Reibschubspannungsverteilung auf der Kontaktfläche

verwendet werden kann.

Zur Berechnung der Temperaturverteilung im Walzgut wird ein zweidimensionales Modell auf

Basis der Methode der Finiten Differenzen formuliert, mit dem die Berechnung des Temperatur-

feldes im Walzgut während des Walzvorganges unter Berücksichtigung der Kantenauskühlung

möglich ist.

Für die bei allen kontinuierlichen Walzprozessen wichtige Problematik der zwischen den Gerüs-

ten im Walzgut entstehenden Längsspannungen wird ein Modell zur Berechnung dieser Span-

nungen aus den Walzendrehzahlen formuliert. Für breitungsfreie Walzprozesse kann das Modell

in linearisierter Form als Matrixinversion angewandt werden, da in diesen Fällen die Nichtlinea-

rität zwischen Drehzahlabweichungen und Längsspannungen nur schwach ausgeprägt ist. So ist

eine direkte Berechnung der wirkenden Längsspannungen aus Drehzahl- und Querschnittsab-

XX

weichungen möglich.

Um einen größeren Nutzen aus dem neuen Walzmodell ziehen zu können, werden Submodelle

für die Deformation der Arbeits- und Stützwalzen von Zwei- und Vierwalzengerüsten formu-

liert. Für die Abplattung der Arbeitswalzen wird ein Rechenverfahren auf Basis des Boussinesq-

Problems [Bou85] verwendet. Von Berger [Ber75] und Hacquin [HMG98] durchgeführte Be-

trachtungen zeigen, dass sich das Boussinesq-Modell für einen elastischen Halbraum auf die

Deformation einer zylindrischen Walze anwenden lässt. Auf dieser Basis erfolgt die Übertra-

gung auf die Vollzylindergeometrie der Walze. Damit kann die räumliche Walzendeformati-

on auf Basis der vom Walzmodell gelieferten zweidimensionalen Spannungsverteilung berech-

net werden, während in früheren Arbeiten [Ber75, Bei87] nur eindimensionale oder konstante

Walzkraftverteilungen berücksichtigt wurden.

Die Durchbiegung der Arbeits- und Stützwalzen wird unter Beachtung des Kontaktproblems

Arbeitswalze-Stützwalze mit Hilfe von Finiten Balkenelementen berechnet.

Zusätzlich zu den mechanischen Deformationen wird die thermische Walzenballigkeit berück-

sichtigt. Mit Hilfe der von Robinson und De Hoog [RDH96] vorgeschlagenen azimutalen Mitte-

lung wird ein zweidimensionales Finite-Differenzen-Verfahren in axialer und radialer Richtung

implementiert, welches zur Berechnung der instationären Entwicklung der thermischen Ballig-

keit der Arbeitswalzen angewandt wird. Dabei werden die tangential abhängigen Wärmeströme

in der Randschicht der Walze gemittelt betrachtet und somit eine zulässige Lösung für die Rand-

bedingungen der axialsymmetrischen Wärmeleitungsgleichung bestimmt.

Zusätzlich wird das Verschleißprofil der Arbeitswalzen mit Hilfe des Modells nach Castaeneda

[SETF14] berücksichtigt.

Unter Verwendung der entwickelten Teilmodelle werden technologische Maßnahmen zur Be-

einflussung des Walzgutdickenprofils diskutiert. Die geometrischen und mechanischen Ein-

flussmöglichkeiten von Walzenschliffen, Walzenrückbiegung und der CVC-Technologie wer-

den anhand von Rechenbeispielen aufgezeigt.

Die für die Planheitsberechnung wichtige Modellierung der lokalen Breitung bei Flacherzeug-

nissen wird aufgegriffen. Dazu wird sowohl ein phänomenologischer Ansatz sowie die plasto-

mechanische Modellierung des Planheitsproblems mit Hilfe der Methode der oberen Schranke

beschrieben, vgl. [Els04].

Die Breitung beim Walzen wird aufgrund ihrer technologischen Relevanz in einem eigenen

Kapitel behandelt. Verschiedene bekannte Breitungsgleichungen werden auf ihr Differential-

Zusammenfassung XXI

verhalten hin untersucht, um ihre Verwendbarkeit zur Berechnung der örtlichen Breitung zu

bewerten. Neben empirischen Breitungsmodellen wird ein vereinfachtes plastomechanisches

Breitungsmodell nach Domanti et al. [DMM95] in die Betrachtungen einbezogen.

Ein weiterer Teil der Arbeit ist Modellen zum Profilwalzen von Vollquerschnitten gewidmet.

Wichtige Kaliberformen und Vorgehensweisen zur Berechnung von Kaliberreihen werden dis-

kutiert.

Die bekannte Modellpalette wird um ein Modell für das Dreiwalzenverfahren erweitert. Dieses

Modell erlaubt erstmals die Berechnung der wichtigen statischen und kinematischen Größen

des Dreiwalzenverfahrens mit elementaren Rechenmethoden, so wie es beim Zweiwalzenver-

fahren schon seit Langem möglich ist. Das Äquivalenzverfahren nach Lendl wird systematisch

auf das Dreiwalzenverfahren übertragen und so die Berechnung von Profilwalzstichen im Drei-

walzenverfahren ermöglicht.

Das zum Flachwalzen entwickelte Modell zur Bestimmung von Längsspannungen in kontinu-

ierlichen Walzwerken wird in verallgemeinerter Form auf das Profilwalzen übertragen. Da beim

Profilwalzen die Breitung grundsätzlich von Längsspannungen abhängig ist, werden die nicht-

linearen Modellgleichungen numerisch gelöst.

Das Walzziehen wird als Sonderverfahren des Profilwalzens behandelt. Auf Basis des Momen-

tengleichgewichts wird gezeigt, wie die elementare Walztheorie auf das Walzziehen angewandt

werden kann. Damit wird eine Berechnung der Walz- und Ziehkräfte beim Walzziehen möglich.

Das Modell sagt für das Walzziehen die Existenz einer Fließscheide in der Nähe der Walzspalt-

mitte voraus.

Abschließend werden die Modelle auf technologische Walzprozesse angewandt. Zum Walzen

von Warmband wird rechnerisch gezeigt, welche Profil- und Planheitsabweichungen in einer

siebengerüstigen Fertigstaffel eines Warmbandwalzwerkes erwartet werden können. Die Mög-

lichkeiten der Einflussnahme auf die Produkttoleranzen mittels der CVC-Technologie werden

anhand von Rechenergebnissen diskutiert. Dabei werden sowohl mechanische, als auch thermi-

sche Einflüsse auf den Walzprozess in Betracht gezogen.

Die Betrachtung wird auf das Kaltwalzen ausgedehnt. Die Möglichkeit der Bandprofil- und

Planheitsbeeinflussung mit Hilfe gezielter Längsspannungen wird diskutiert.

Zum Profilwalzen wird mit Hilfe der ermittelten Rechenmodelle gezeigt, wie sich eine Kali-

brierung für eine Werkstoffpalette flexibel gestalten lässt. Die notwendigen Gerüstanstellungen

XXII

bei verschiedenen Walzgutwerkstoffen werden am Beispiel eines Stabstahlwalzwerkes gezeigt.

In einer weiteren Untersuchung werden die Möglichkeiten des Ausgleichs von Querschnitts-

fehlern mit Hilfe von Sizing-Systemen rechnerisch anhand von Layoutvarianten eines Stab-

stahlwalzwerks betrachtet. Dabei werden Zwei- und Dreiwalzensysteme diskutiert. Es zeigt

sich, dass die Sizing-Möglichkeiten im Zweiwalzenverfahren eingeschränkt sind, während sich

im Dreiwalzenverfahren größere Freiheiten und Ausgleichsmöglichkeiten ergeben. Zusätzlich

wird rechnerisch gezeigt, dass sich durch den Einsatz eines Dreiwalzenblockes vor dem Fertig-

block eines Drahtwalzwerkes der Walzprozess im Fertigblock positiv beeinflussen lässt, indem

ein gezieltes Sizing des Anstichquerschnitts vorgenommen wird.

Zum Walzen von Draht in Fertigblöcken wird das entwickelte Modell zur Bestimmung der

Längsspannungen in einem kontinuierlichen Walzprozess verwendet, um zu untersuchen wel-

che Längsspannungen sich während des Walzprozesses in einem Draht-Fertigblock mit festen

Drehzahlverhältnissen ergeben. Dabei werden die Auswirkungen verschiedener Störgrößen an-

hand von Temperatur-, Werkstoff- und Querschnittsschwankungen diskutiert.

Als Ergebnis der durchgeführten Arbeiten stehen Rechenmodelle für unterschiedliche Walz-

prozesse zur Verfügung, die eine gezielte und schnelle Simulation dieser Prozesse erlauben und

somit zur Prozessoptimierung, sowohl im Anlagenbau als auch bei Anlagenbetreibern zielfüh-

rend eingesetzt werden können.

Abstract

The presented thesis extends the calculation methods for rolling processes which are known

today.

Introductory remarks are given on the meaning of the rolling process for the manufacturing

industry, which are proven by updated production statistics from the German steel industry.

Further introductory chapters cover the fundamental principles of deformation calculation and

pass schedule design, as well as material modeling with the help of flow curve functions.

The next part deals with models for flat rolling processes. At first, the basic theory of the roll gap

is shown. After that, models for the rolling process which are known as of today are discussed.

Advantages and disadvantages of the models are shown and areas of application are given for

each of the models.

Based on Ren, Tieu et al. [RTLD06], a two-dimensional rolling model for flat sections is de-

veloped. The calculation of the stress field is based on an extension of von Karman’s equation

with a second ordinary differential equation in the lateral direction. The general velocity field

for flat rolling is developed for the plain strain case, as well as for the three-dimensional ca-

se with lateral spread. In each of the cases, parallelepipedic deformation is assumed. The stress

and velocity models are combined, as to use the calculated relative motion for a criterion of

shear stress distribution on the contact surface.

The calculation of the temperature distribution is accomplished by a finite difference model

in the vertical and lateral directions. With this model, the calculation of the two-dimensional

temperature field in the roll gap during and between rolling passes can be carried out.

For all continuous multi-stand rolling procedures, interstand tensions are an essential problem.

A model is developed, which allows the calculation of roll gap kinematics under the influence

of interstand tensions, as well as the direct calculation of interstand tensions for a given con-

figuration of roll speeds. For rolling processes in which lateral spread can be disregarded, the

linearized model can be easily applied as a matrix inversion technique.

To benefit from the new two-dimensional rolling model, submodels for work and backup roll

deformations are worked out for two- and four-high rolling stands. For the three-dimensional

roll flattening, a model based an Boussinesq’s problem [Bou85] is formulated. Equations due to

Berger [Ber75] and Hacquin [HMG98] are used for the calculation of roll flattening for a work

XXIV

roll of finite diameter. Therefore, roll flattening caused by a two-dimensional stress distribution

can be calculated including the interdependency of the stress and deformation distributions. In

different works, only one-dimensional or constant roll force distributions have been considered

[Ber75, Bei87].

The deflections of work and backup rolls are calculated using a finite beam element model,

taking into account the contact phenomena between those rolls.

In addition to the mechanical roll deformation effects, also thermal crown of the work rolls is

considered. A two-dimensional finite difference method is constructed for the nonsteady tem-

perature field evolution during a rolling procedure. Radial and axial heat fluxes are accounted

for with the finite difference model. Azimuthal averaging according to Robinson and De Hoog

[RDH96] is used to find the boundary conditions at the roll surface, taking tangential heat fluxes

in the surface-near areas into consideration. With this approach, the axisymmetric heat equation

is solved for the work roll under non-axisymmetric boundary conditions.

Additionally, work roll wear is considered as an important effect controlling the lateral thickness

profile of rolled flat products, using the model according to Castaeneda et al. [SETF14].

Employing the main rolling model and the submodels, influencing methods on the thickness

profile are discussed. Geometrical and mechanical influencing measures with work roll bending,

static roll cambers and the CVC technology are shown exemplarily.

The modeling of local spread in flat rolling is discussed, which is an important and very diffi-

cult topic for the flatness prediction of rolled products. At first, a phenomenological approach

is shown with a simple correction factor for local spread. For a physical method of flatness cal-

culation, an upper bound approach originally due to Elsen is employed with different friction

factors for hot and cold rolling [Els04].

Lateral spread in rolling is discussed in a dedicated chapter because of its high importance

for both flat and section rolling. A number of spread models are investigated in terms of their

differential behaviour, so the applicability of these models for spread prediction in the roll gap

can be evaluated. Empirical relations are used, as well as a simplified plasticity approach to the

lateral spread by Domanti et al. [DMM95].

The next chapter is dedicated to models for full section rolling. Important groove shapes and

methods for calculating full section passes are discussed.

A new rolling model for the three-roll rolling process is developed. This model allows the cal-

culation of stress distribution, roll force, torque and forward slip for flat passes, employing

Abstract XXV

elementary methods in the same way as it is done in the two-roll rolling process. Lendl’s equi-

valent pass method is transferred to the three-roll rolling process as to enable the systematic

calculation of section passes with any groove geometry.

The model for interstand tensions as developed for flat rolling is transferred to full section

rolling in a generalized manner. As lateral spread cannot be disregarded in section rolling and is

a function of the unknown interstand stresses, the linearized model cannot be applied. Instead,

the complete model system for section rolling is solved using a nonlinear optimization technique

to find the unknown interstand tensions.

As a special rolling technique, roll drawing of wire rod is dealt with. Based on the torque equi-

librium in the roll gap, it is shown how the elementary rolling theory can be used to construct

a model for roll drawing. With this new mechanical model, the roll force and drawing force

can be calculated. The model predicts the existence of a neutral point near the center of the

deformation zone.

In the final chapter, the models which were developed are applied to typical problems from

rolling mill practice.

In hot rolling of strips, a simulation of a finishing train of a wide hot strip mill is carried out. It

is shown, which thickness and flatness deviations can be expected unter certain circumstances.

The effect of thermal work roll crown is shown and how the CVC technology can help to reach

close tolerances in hot strip production.

For cold strip rolling, the impact of tensions on profile and flatness is shown by calculations, as

well as the effect of work roll bending to decrease thickness and flatness variations.

For full section rolling, it is shown how a pass design can be constructed in a flexible way, so

that a number of different materials can be rolled without change of the pass design, avoiding

rolling faults. This is shown for a bar mill as an example.

In another study for full section rolling, the possibilities of sizing and free size rolling are in-

vestigated by calculations for two different layout variants of a bar mill. It is shown that the

application of a three-roll sizing mill leads to a greater flexibility in section fault homogenizati-

on, compared to the two-roll sizing process.

Additionally, it is shown that the rolling process in a ten stand finishing block of a wire rod

mill can be stabilized when a defined entry cross section for the finishing block is produced by

means of three-roll sizing.

XXVI

Finally, the rolling process in a finishing block is analyzed more in detail. The model for in-

terstand tensions at section rolling is applied to the finishing block. It is shown how different

interferences such as temperature, cross section and material variations affect the rolling process

in the finishing block.

The result of the work carried out is a new set of rolling models which can be applied for

a targeted process simulation and optimization of rolling processes. The application range of

these models extends to both the mill building and the rolling mill industries.

1 Einleitung

1.1 Vereinbarungen

Um eine einheitliche Behandlung der Koordinatensysteme und der Spannungsdefinitionen zu

gewährleisten, werden für die vorliegende Arbeit die folgenden Definitionen getroffen:• Druckspannungen sind positiv definiert. Demnach ist eine Spannung 0 eine Druckspan-

nung, während eine Spannung 0 eine Zugspannung ist.

• Die Koordinatenachsen sind wie folgt definiert: : Horizontale Achse (Walzrichtung), :Laterale Achse (Breitenrichtung), : Vertikale Achse (Höhenrichtung)

• In Zylinderkoordinaten sind die Achsen wie folgt definiert: : Radiale Achse, : Axiale Ach-se, (iota): Tangentiale Achse

1.2 Das Walzen als Fertigungsverfahren

Das Walzen gehört gemäß DIN 8583 [DIN8583-1] zu den Druckumformverfahren innerhalb der

Fertigungsverfahren der Hauptgruppe 2 (Umformen). Es wird unterteilt in Längs-, Quer- und

Schrägwalzverfahren. Abbildung 1.2/1 zeigt diese drei prinzipiellen Walzverfahren für Profil-

querschnitte.

Beim Längswalzen wird die Querschnittsfläche des Walzgutes reduziert, während es sich ohne

Rotation um die eigene Längsachse durch den Walzspalt hindurchbewegt. Bei den Querwalzver-

fahren gibt es keine translatorische Bewegung des Walzgutes, jedoch rotiert es um seine eigene

Längsachse. Ein typisches Beispiel für diese Gruppe von Walzverfahren ist das Gewindewalzen

zur Schraubenherstellung. Bei den Schrägwalzverfahren sind die Walzen so angeordnet, dass

die Walzenachsen gegenüber der Walzgutachse geneigt sind. Bei diesen Verfahren liegt sowohl

eine translatorische, als auch rotatorische Bewegung des Walzgutes während der Umformung

vor.

In Bezug auf die Werkzeuggeometrie lassen sich die Walzverfahren weiter in Flach- und Pro-

filwalzverfahren unterteilen. Bei den Flachwalzverfahren haben die Werkzeuge in den Berüh-

rungsflächen mit dem Walzgut eine zylindrische oder kegelige Form, während bei den Profil-

walzverfahren eine kompliziertere aber stets axialsymmetrische Werkzeuggeometrie vorliegt.

Die Walzverfahren, die im Rahmen der vorliegenden Arbeit behandelt werden, gehören zu den

Längswalzverfahren für Flach- und Profilquerschnitte.

2 Die Bedeutung des Walzens

Abbildung 1.2/1: Walzverfahren. A) Längswalzen B) Querwalzen C) Schrägwalzen. a: Walzgut, b:Werkzeuge (Walzen)

1.3 Die Bedeutung des Walzens

Das Walzen hat insbesondere in der Stahlindustrie als Fertigungsverfahren eine herausragende

Bedeutung.

Abbildung 1.3/1 zeigt eine Übersicht der Weltrohstahlproduktion von 2005 bis 2016. Insbeson-

dere ab 2008 konnte sich China als weltweit führende stahlproduzierende Nation etablieren.

Viele Nationen, insbesondere die EU-Staaten und die USA erlitten durch die Wirtschaftskrise

2008 einen signifikanten Rückgang der Stahlproduktion im Jahr 2009. In den folgenden Jahren

hat die weltweite Rohstahlproduktion wieder ein hohes Niveau erreicht. Im Jahr 2016 wurden

auf der Welt mehr als 1,6 Milliarden Tonnen Rohstahl erzeugt.

Insgesamt wurden im Jahr 2016 in der Bundesrepublik Deutschland 42,1 Millionen Tonnen

Rohstahl hergestellt [Wir17]. Der weitaus größte Teil dieses produzierten Stahles wird in Walz-

werken weiterverarbeitet. Dies lässt sich anhand der Auftragseingänge der deutschen Walz-

werke zeigen, Abbildung 1.3/2. Im Jahr 2016 sind bei deutschen Walzwerken Aufträge für

Walzprodukte einer Produktionsmenge von insgesamt 38,2 Millionen Tonnen eingegangen, da-

von 22,8 Millionen Tonnen Flacherzeugnisse, 12,3 Millionen Tonnen Langerzeugnisse und 3,1

Millionen Tonnen Halbzeug. Bezogen auf die Rohstahlproduktion ist dies eine Weiterverarbei-

tungsquote in Walzwerken von 90,7 %.

1 Einleitung 3

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016p

Roh

stah

lerz

eugu

ng [

Mio

. t]

Jahr

Weltrohstahlerzeugung in Mio. Tonnen

EUChinaJapan

USAGUS

Sonstige Staaten

Abbildung 1.3/1: Rohstahlerzeugung auf der Welt seit 2005. Daten nach [Wir17]

Die Auftragsmengen an Flachprodukten gliedern sich in unterschiedliche Erzeugnisse. Wie Ab-

bildung 1.3/3 zu entnehmen ist, wird der größte Teil gewalzter Flachprodukte in kaltgewalz-

ter und oberflächenveredelter Form an den Kunden geliefert. Den zweitgrößten Anteil macht

Warmbreitband aus. Ein weiterer großer Teil der Erzeugung ist Quartoblech.

Auf der Seite der Langerzeugnisse gliedern sich die Erzeugungsmengen in Schwere Profile,

Stabstahl, Betonstahl und Walzdraht, wie Abbildung 1.3/4 zeigt. Den weitaus größten Erzeu-

gungsanteil dieser Produkte hat Walzdraht.

Die Bedeutung des Walzens bei der Erzeugung und Weiterverarbeitung von Stahl zeigt sich

anhand Abbildung 1.3/5. Alle dargestellen Fertigprodukte durchlaufen während ihrer Herstel-

lung mindestens einmal ein Walzwerk. Abbildung 1.3/5 zeigt außerdem, dass aus einer gerin-

gen Anzahl von Vorprodukten durch eine feine Verästelung der Verfahrenswege in Walzwerken

eine Vielzahl von Fertigprodukten unterschiedlicher Geometrie und Eigenschaften hergestellt

werden kann. Warm- und kaltgewalzte Produkte sind darüber hinaus Ausgangsmaterialien für

weitere Fertigungsverfahren zur Herstellung wichtiger Gebrauchsgegenstände. Beispielswei-

se ist warmgewalzter Draht ein Ausgangsmaterial für die Schraubenfertigung und für jede Art

von gezogenen Drähten. Alle aus Blech hergestellten Produkte wie unter anderem Karossie-

4 Die Bedeutung des Walzens

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Auf

trag

sein

gang

[M

io. t

]

Jahr

Walzstahl − Auftragseingang Deutscher Walzwerke

HalbzeugFlacherzeugnisseLangerzeugnisse

Abbildung 1.3/2: Auftragseingang deutscher Walzwerke von 2005 bis 2016. Daten nach [Wir17]

0

5

10

15

20

25

30

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Auf

trag

sein

gang

[M

io. t

]

Jahr

Warm− und kaltgewalzte Flacherzeugnisse − Auftragseingang Deutscher Walzwerke

WarmbreitbandBandstahl

BandblechQuartoblech

Kaltgewalztes BlechSonstige Flacherzeugnisse

Oberflächenveredeltes BlechRostfreie Flacherzeugnisse

Abbildung 1.3/3: Auftragseingang deutscher Walzwerke für Flachstahl von 2005 bis 2016. Daten nach[Wir17]

1 Einleitung 5

0

2

4

6

8

10

12

14

2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016

Auf

trag

sein

gang

[M

io. t

]

Jahr

Warmgewalzte Langerzeugnisse − Auftragseingang Deutscher Walzwerke

Schwere ProfileStabstahl

BetonstahlWalzdraht

Abbildung 1.3/4: Auftragseingang deutscher Walzwerke für Langprodukte von 2005 bis 2016. Datennach [Wir17]

Außenhautteile für die Automobilindustrie sind in ihrer Fertigungsgeschichte von mehreren

Walzwerken verarbeitet worden.

6 Die Bedeutung des Walzens

Abbildung 1.3/5: Materialfluss bei der Herstellung von Flach- und Vollquerschnitten

2 Formänderungen beimWalzen

2.1 Volumenkonstanz

Beim Walzen wird ein Ausgangsquerschnitt der Querschnittsfläche 0 durch zwei rotations-

symmetrische, gegenläufig rotierende Werkzeuge plastisch umgeformt. Für den Endquerschnitt

1 gilt 1 0.

Aus der Massenerhaltung lässt sich bei konstanter Massendichte die Konstanz des Volumens

ableiten,

0 = 1 (2.1/1)

Bei der Umformung eines Körpers der Querschnittsfläche 0 und der senkrecht zur Quer-

schnittsfläche gemessenen Länge 0 zu einem Körper der Querschnittsfläche 1 und der Länge

1 kann diese Bedingung auch folgendermaßen geschrieben werden

00 = 11 (2.1/2)

Bei einem rechteckigen Querschnitt ist = und damit gilt für die Volumenkonstanz

000 = 111 (2.1/3)

2.2 Bezogene Abmessungsänderungen

Für die Abmessungen eines Flachquerschnitts vor und nach einem Walzstich gilt, dass die Hö-

he des Querschnitts stets reduziert und die Länge vergrößert wird. Die Breite vergrößert sich

ebenso, jedoch gibt es geometrische Fälle, in denen die Breitenänderung fast Null ist.

1 0 (2.2/1)

1 ≥ 0

1 0

Diese Formänderungen können zunächst als absolute Abmessungsänderungen ausgedrückt wer-

8 Bezogene Abmessungsänderungen

den

∆ = 1 − 0 0 (2.2/2)

∆ = 1 − 0 0

∆ = 1 − 0 0

Betrachtet man eine infinitesimale Abmessungsänderung , oder , dann kann man die

bezogene Abmessungsänderung (technische Dehnung) wie folgt definieren

=

Z 1

0

1

0 =

1 − 0

0(2.2/3)

=

Z 1

0

1

0 =

1 − 0

0

=

Z 1

0

1

0 =

1 − 0

0

Diese Größen haben den Nachteil, dass sie zur Beschreibung mehrstufiger Umformprozesse,

wie dem Walzen mit mehreren Stichen ungeeignet sind, da der Bezug auf die Anfangsabmes-

sungen in jedem neuen Stich anders ist. Daher kann man die bezogenen Abmessungsänderun-

gen mehrerer Stiche nicht rechnerisch zu einer Gesamtformänderung verknüpfen. Einen Aus-

weg aus dieser Situation bietet die Verwendung der Stauch-, Breit- und Streckgrade gemäß

=1

0(Stauchgrad) (2.2/4)

=1

0(Breitgrad)

=1

0(Streckgrad)

Aufgrund der Volumenkonstanz bei parallelepipedischer Umformung lässt sich in diesem Fall

der Streckgrad auch wie folgt mit den Querschnittsflächen 0 und 1 definieren

=0

1(2.2/5)

Für eine n-stufige Umformung kann man schreiben

=0

=0

1

1

2−1

−1

(2.2/6)

=Y=1

2 Formänderungen beim Walzen 9

Diese Betrachtung lässt sich in gleicher Form auf die Breit- und Stauchgrade anwenden

= 12 =Y=1

(2.2/7)

= 12 =Y=1

(2.2/8)

Außerdem lässt sich die Volumenkonstanz wie folgt ausdrücken

1

0=

111

000= = 1 (2.2/9)

2.3 Umformgrade

Bezieht man eine infinitesimale Abmessungsänderung nicht auf die Ausgangsabmessung son-

dern auf die aktuelle Abmessung, dann erhält man nach Integration die wahren Dehnungen oder

Umformgrade

=

Z 1

0

1

= ln

µ1

0

¶(2.3/1)

=

Z 1

0

1

= ln

µ1

0

¶ =

Z 1

0

1

= ln

µ1

0

¶Diese stehen mit den Stauch-, Breit- und Streckgraden wie folgt in Zusammenhang

= ln () (2.3/2)

= ln ()

= ln ()

Die Volumenkonstanz lässt sich mit Hilfe dieser Umformgrade wie folgt ausdrücken

+ + = 0 (2.3/3)

Für die Verknüpfung der Formänderungen einzelner Umformstufen gilt

= 1 + 2 + + =X=1

(2.3/4)

10 Stichplangestaltung beim Walzen

2.4 Stichplangestaltung beim Walzen

Im Folgenden werden die oben dargestellten Grundlagen verwendet, um eine Methode der

Stichplanauslegung zu entwickeln.

Bei mehrstufigen Umformverfahren stellt sich die Frage nach der Verteilung einer Gesamtform-

änderung auf die einzelnen Umformstufen, so auch beim Walzen eines Querschnitts in mehreren

Stichen. Prinzipiell ist eine degressive Verteilung der Streckgrade in einem Stichplan sinnvoll.

Beim Warmwalzen wird der Wärmehaushalt der Querschnitte ausgenutzt, indem in den ersten

Stichen höhere Formänderungen realisiert werden, während in den letzten Stichen nur geringe

Formänderungen durchgeführt werden, um enge Toleranzen einhalten zu können.

Beim Kaltwalzen sind ebenso höhere Formänderungen in den ersten Stichen sinnvoll, da dort

die Verfestigung des Werkstoffes noch gering ist. Geringe Formänderungen in den letzten Sti-

chen tragen dazu bei, starke Walzendeformationen zu vermeiden.

Die Auslegung des Stichplans erfolgt, indem die Streckgrade einer Walzfolge mit Stichen

gemäß Gl. (2.4/1) verteilt werden. Es gilt

= (2.4/1)

mit

= + 1

2− (2.4/2)

Der Verteilungsfaktor ist eine Konstante, die entsprechend der gewünschten Form der Streck-

gradverteilung gewählt wird

1 : Progressive Streckgradverteilung (2.4/3)

= 1 : Verteilung mit konstantem Streckgrad in jedem Stich

1 : Degressive Streckgradverteilung

Gl. (2.4/1) kann entnommen werden, dass der jeweilige Streckgrad im Stich linear vom mitt-

leren Streckgrad abhängt. hat demnach die Bedeutung eines auf den mittleren Streckgrad

bezogenen Einzelstreckgrads und kann als Verteilungsfunktion interpretiert werden

= =

(2.4/4)

2 Formänderungen beim Walzen 11

0.85

0.9

0.95

1

1.05

1.1

1.15

1.2

1 2 3 4 5 6 7

Zy =

λi /

λm

Stichnr. iZ=0,95Z=0,98

Z=0,99Z=1,00

Z=1,01Z=1,02

Z=1,05

Abbildung 2.4/1: Verteilungsfunktion für sieben Stiche

Abbildung 2.4/1 zeigt den Verlauf der Verteilungsfunktion für sieben Stiche und unterschied-

liche Werte des Verteilungskoeffizienten. Bei einem gewählten Koeffizienten 1 ist die

relative Überhöhung des Streckgrades des ersten Stiches gegenüber dem mittleren Streckgrad

abhängig von und der Stichanzahl . Für diesen Faktor gilt

1

=

−12 (2.4/5)

In ähnlicher Weise kann für den bezogenen Streckgrad des letzten Stiches wie folgt ge-

schrieben werden

=

1−2 (2.4/6)

Eine häufig anzutreffende Aufgabenstellung besteht darin, eine degressive Streckgradvertei-

lung zu finden, so dass alle Streckgrade in bestimmten Grenzen liegen. Bei einer degressiven

Streckgradverteilung wird ein Maximalwert max für den ersten und ein Minimalwert min für

den letzten Stich gefordert. Die gesuchte Streckgradverteilung muss beide Grenzbedingungen

gleichzeitig erfüllen. Aus diesen Bedingungen ergeben sich zunächst zwei Grenzwerte des Ver-

12 Stichplangestaltung beim Walzen

teilungsfaktors für den ersten und letzten Stich.

1lim =

µmax

¶ 2−1

(2.4/7)

lim =

µmin

¶ 21−

(2.4/8)

Um beide Bedingungen zu erfüllen, muss für den gewählten Verteilungsfaktor bei einer degres-

siven Streckgradverteilung gelten

min (1lim lim) (2.4/9)

Bei einem möglichst kleinen Wert von 1 liegt die geringste Spannweite zwischen dem

kleinsten und dem größten Streckgrad vor. Mit Hilfe eines Gewichtungsfaktors kann man

zwischen dem kleinsten denkbaren Wert 1 und dem größten Wert max = min (1lim lim)

verschieben.

= 1 + (max − 1) (2.4/10)

Betrachtet man einen Flachquerschnitt mit einer Anfangshöhe von 0 = 100 der in 5

Stichen auf eine Endhöhe von 5 = 20 ausgewalzt wird, so lassen sich zunächst der Ge-

samtstreckgrad und der mittlere Streckgrad definieren

=0

5=100

20= 5

= ()15 = 1 3797

Dies entspricht einer mittleren bezogenen Höhenänderung in einem Stich von

= 1− 1

= 1− 1

1 3797= 0 275

Für die gesuchte Streckgradverteilung soll keine bezogene Höhenänderung größer als 35% oder

kleiner als 15% sein. Diese Grenzwerte werden wie folgt in Streckgrade umgerechnet

min =1

1− 0 15 = 1 1765 ; max =1

1− 0 35 = 1 5385

Die Streckgradverteilung wird für drei Gewichtungsfaktoren von 0,2, 0,5 und 0,8 untersucht.

Gemäß Gl. (2.4/10) ergeben sich drei zulässige Verteilungsfaktoren zu

02 = 1 0049 ; 05 = 1 0122 ; 08 = 1 0196

2 Formänderungen beim Walzen 13

Stich = 0 2 = 0 5 = 0 8 [mm] [mm] [mm]

1 1,3933 71,77 1,4137 70,73 1,4343 69,722 1,3865 51,77 1,3966 50,65 1,4068 49,563 1,3797 37,52 1,3797 36,71 1,3797 35,924 1,3730 27,33 1,3630 26,93 1,3532 26,545 1,3663 20,00 1,3465 20,00 1,3272 20,00

Tabelle 2.4/1: Streckgrad- und Banddickenverteilungen für drei Gewichtungsfaktoren

Daraus folgen drei Beispiele, die jeweils beide Grenzbedingungen nicht verletzen. Abbildung

2.4/2 zeigt die Verteilung der Streckgrade innerhalb der Grenzwerte für die drei Fälle. Tabelle

2.4/1 zeigt eine Übersicht über die berechneten Stichpläne.

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1 2 3 4 5

λmax = 1.5385

λmin = 1.1765

Str

eckg

rad

λ i

Stichnummer i

fZ = 0.2fZ = 0.5fZ = 0.8

Abbildung 2.4/2: Berechnete Streckgradverteilung für das betrachtete Beispiel mit drei Gewichtungs-faktoren

3 Fließkurven metallischer Werkstoffe

3.1 Definition

Um die für einen Umformprozess notwendigen Spannungen, Kräfte und Momente berechnen zu

können, muss neben der Beschreibung der Formänderungen eine Grundlage zur Berechnung der

Fließspannung des umzuformenden Werkstoffes geschaffen werden. Die Fließspannung ist

diejenige mechanische Spannung, die bei einachsiger, reibungs- und schiebungsfreier Belastung

in einem Werkstoff wirken muss, um plastisches Fließen einzuleiten oder aufrecht zu erhalten

[HS78].

3.2 Einflussparameter auf die Fließspannung

Prinzipiell wird die Fließspannung eines bestimmen Werkstoffes als eine Funktion des Um-

formgrades , der Umformgeschwindigkeit· und der Temperatur behandelt, da diese Grö-

ßen einfach beschrieben werden können. Die weiteren Abhängigkeiten der Fließspannung vom

Wärmebehandlungszustand und der Formänderungsgeschichte des Werkstoffes werden mathe-

matisch nicht erfasst, sollen aber nicht vergessen werden. Außerdem ist die Fließspannung keine

Zustandsfunktion.

=

³

·

´(3.2/1)

Nach DIN 8583 [DIN8583-1] werden die Umformverfahren in Warm- und Kaltumformver-

fahren eingeteilt. Man spricht von Kaltumformung, wenn ein Werkstück ohne vorhergehende

Erwärmung umgeformt wird. Bei Warmumformung wird das Werkstück vor der Umformung

auf eine Temperatur erwärmt, die höher als die Raumtemperatur ist.

Außerhalb der Normung definiert die VDI-Richtline 3166, Blatt 1 [VDI3166-1] den Begriff

Halbwarmumformung wie folgt:

"Halbwarmumformen ist Umformen, vor dem das Rohteil nur so weit angewärmt wird,daß bei den gegebenen Umformbedingungen noch eine bleibende Verfestigung des Werk-stückstoffs eintritt."

Gl. (3.2/1) ist die gängige mathematische Beschreibung einer Warmfließkurve. Bei der War-

mumformung sind alle drei Parameter aus Gl. (3.2/1) von entscheidender Bedeutung, jedoch

16 Experimentelle Ermittlung von Fließkurven

überwiegen die Einflüsse der Umformgeschwindigkeit und der Temperatur den Einfluss des

Umformgrades.

Bei isothermer Kaltumformung ist eine vereinfachte Darstellung als Kaltfließkurve gemäß Gl.

(3.2/2) möglich. Bei den meisten metallischen Werkstoffen wird eine Geschwindigkeitsabhän-

gigkeit der Fließspannung bei Raumtemperatur nicht beobachtet. Per Definition bleiben bei

isothermer Betrachtung Temperatureinflüsse unberücksichtigt.

= () (3.2/2)

Beim Kaltumformen tritt jedoch eine Temperaturerhöhung ein, da die in das Werkstück ein-

gebrachte Deformationsenergie zum größten Teil in Wärme umgesetzt wird. Beim Kaltwalzen

von Bändern werden beispielsweise durch die während der Umformung entstehende Umform-

wärme Temperaturen von bis zu 300 erreicht. Zur Beschreibung dieser Prozesse werden

Halbwarmfließkurven benötigt, die gemäß Gl. (3.2/3) die Einflüsse des Umformgrades und der

Temperatur enthalten.

= ( ) (3.2/3)

3.3 Experimentelle Ermittlung von Fließkurven

Die plastische Deformation wird durch eine Vielzahl von wechselwirkenden mikrostrukturellen

Effekten bestimmt. Bis heute ist keine ab-initio-Simulation von Fließkurven in technisch re-

levanten Größenordnungen möglich. Daher ist die experimentelle Bestimmung der Fließkurve

und deren Beschreibung durch empirische mathematische Funktionsansätze erforderlich.

Am häufigsten wird zur Bestimmung der Fließkurve der Zylinderstauchversuch angewandt.

Bei diesem wird eine zylindrische Ausgangsprobe mit dem Durchmesser 0 und der Höhe

0 zwischen planparallelen Stauchwerkzeugen auf die Endhöhe 1 umgeformt. Dabei werden

kontinuierlich die aufgewendete Kraft und der Abstand der beiden Stauchbahnoberflächen von-

einander gemessen. Mit diesen Messgrößen ist es möglich, die Abhängigkeit der Fließspannung

vom Umformgrad gemäß Gl. (3.2/2) in einem einzigen Versuch aufzunehmen. Dieser Versuch

muss für unterschiedliche Kombinationen der Parameter· und wiederholt werden.

Bei Versuchen mit erhöhter Temperatur werden die Stauchwerkzeuge mit regelbaren Heizele-

menten auf die Prüftemperatur erwärmt und gleichzeitig ein die Werkzeuge und die Probe um-

gebender Luftofen eingesetzt um sicherzustellen, dass die Probentemperatur während des Ver-

suchsablaufs konstant auf der Prüftemperatur verbleibt. Die an den Warmbereich angrenzenden

3 Fließkurven metallischer Werkstoffe 17

Teile der Versuchseinrichtung müssen gegebenenfalls wassergekühlt werden. Versuche mit kon-

stanter Umformgeschwindigkeit werden mit Hilfe servohydraulischer Prüfmaschinen realisiert,

indem die Stempelgeschwindigkeit als Funktion der Zeit gemäß der Plastometergleichung Gl.

(3.3/1) eingestellt wird.

() =·0

− · (3.3/1)

Zu einer präzisen Bestimmung der plastischen Fließkurve müssen die elastischen Deformati-

onsanteile der Prüfmaschine aus den Versuchsergebnissen eliminiert werden. Zu diesem Zweck

wird nach jedem Versuch die elastische Rückfederungskurve des gesamten Prüfsystems zusätz-

lich zu den Versuchsdaten aufgenommen, woraus die kraftabhängige elastische Rückfederung

bestimmt werden kann.

Der Umformgrad folgt aus der aktuellen plastischen Probenhöhe nach Gl. (3.3/2).

= ln

µ

0

¶(3.3/2)

Die Fließspannung ergibt sich als wahre Spannung aus der Stauchkraft nach

=

0 (3.3/3)

Auf diese Weise kann aus einem kontinuierlichen Stauchversuch, der bei duktilen Werkstof-

fen erst beim Erreichen der maximalen Last der Prüfmaschine beendet wird, eine isotherme

Fließkurve () bestimmt werden.

3.4 Mathematische Beschreibung von Fließkurven

Damit experimentell bestimmte Fließkurven für Berechnungen verwendet werden können, müs-

sen diese durch mathematische Funktionsansätze approximiert werden. Die Koeffizienten der

Funktionsansätze werden durch Regressionsrechnung so bestimmt, dass die Messwerte mög-

lichst gut durch die Funktion wiedergegeben werden. Für Warmfließkurven stehen am Lehrstuhl

für Umformtechnik des Instituts für Technologien der Metalle der Universität Duisburg-Essen

insgesamt 13 Funktionsansätze für unterschiedliche Werkstoffe zur Verfügung. Nach [MG00]

hat sich der Funktionsansatz nach Gl. (3.4/1) in Regressionsrechnungen bewährt.

³

·

´= 0

1·2+5

3 4 (3.4/1)

18 Mathematische Beschreibung von Fließkurven

Tabelle 3.4/1 zeigt die Regressionskoeffizienten des Funktionsansatzes nach Gl. (3.4/1) für drei

ausgewählte Werkstoffe.

Werkstoff k0 [MPa] m1 m2 m3 m4 m5

C55 4558,87 -0,00321 -0,39954 0,2592 -0,5906 0,00017100Cr6 4089,71 -0,00370 -0,07889 0,2314 -0,5059 0,00021X5CrNi18.7 6615,32 -0,00314 -0,16322 0,2728 -0,4728 0,00023

Tabelle 3.4/1: Regressionskoeffizienten von Gl. (3.4/1) für ausgewählte Werkstoffe [MG00]

Für isotherme Kaltfließkurven sind weitere 15 Funktionsansätze bekannt, für Halbwarmfließ-

kurven zwei weitere.

Ein Funktionsansatz, der bei isothermer Kaltumformung sehr gute Regressionsergebnisse liefert

ist in Gl. (3.4/2) gegeben [OM13].

() = 0 (+) (3.4/2)

Zur Bewertung von Umformvorgängen ist die mittlere Fließspannung von besonderer Be-

deutung. Bei einem Umformvorgang mit veränderlichem Umformgrad, Umformgeschwindig-

keit und Temperatur ergibt sich

=

R 10

R ·1·0

R 10

³

·

´

·

(1 − 0)³ ·1 − ·

0

´(1 − 0)

(3.4/3)

Da das Dreifachintegral in Gl. (3.4/3) im Allgemeinen nicht analytisch lösbar ist, wird es nu-

merisch gelöst. Wenn einer oder mehrere der drei Parameter als konstant angesehen werden

können, vereinfacht sich die Gleichung entsprechend. Bei isothermer Kaltumformung ohne Ge-

schwindigkeitseinfluss gilt

=

R 10

()

(1 − 0)(3.4/4)

Abbildung 3.4/1 zeigt eine nach dem Funktionsansatz Gl. (3.4/1) berechnete Warmfließkurve

für den Werkstoff C55.

3 Fließkurven metallischer Werkstoffe 19

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20

40 60

80 50

100 150 200 250 300 350

ϑ = 800°C

ϕϕ. [1/s]

k f [

MP

a]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20

40 60

80 50

100 150 200 250 300 350

ϑ = 900°C

ϕϕ. [1/s]

k f [

MP

a]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20

40 60

80 50

100 150 200 250 300 350

ϑ = 1000°C

ϕϕ. [1/s]

k f [

MP

a]

0 0.2 0.4 0.6 0.8 0 20

40 60

80 50

100 150 200 250 300 350

ϑ = 1100°C

ϕϕ. [1/s]

k f [

MP

a]

Abbildung 3.4/1: Berechnete Warmfließkurve des Werkstoffs C55 in Abhängigkeit des Umformgrades, der Umformgeschwindigkeit

· und der Umformtemperatur

4 Modelle zumWalzen von Flachquerschnitten

4.1 Einleitung

In den folgenden Abschnitten werden zunächst die elementaren Grundlagen des Walzspalts

wiederholt. Daran schließt sich die Betrachtung bekannter mathematischer Modelle zur Berech-

nung des Spannungsfeldes beim Walzen auf flacher Bahn an. Alle in diesem Kapitel betrachte-

ten Modelle betreffen diejenigen Walzprozesse, bei denen eine Breitung des Walzgutes in guter

Näherung ausgeschlossen werden kann. Die Breitung beim Walzen wird in einem eigenen Ka-

pitel behandelt und bei den Modellen zum Profilwalzen mit in die Betrachtungen integriert.

Die Mehrzahl der betrachteten Modelle basiert auf dem Streifenmodell der Elementaren Plasti-

zitätstheorie und erlaubt die Berechnung der eindimensionalen Spannungsverteilung in Längs-

richtung. Dabei wird ein ebener Formänderungszustand vorausgesetzt.

Zur Berechnung der zwei- und dreidimensionalen Spannungsverteilung existieren nur wenige

Modelle. Will man die Voraussetzung der ebenen Formänderung zunächst bestehen lassen, kann

zur Berechnung der Spannungsverteilung in horizontaler und vertikaler Richtung auf der Flie-

ßebene prinzipiell die Gleitlinientheorie zur Anwendung gebracht werden, wenn ein Gleitlini-

enfeld bekannt ist, welches für den betrachteten Parameterbereich gültig ist [JSV82]. Abbildung

4.1/1 zeigt ein Gleitlinienfeld für das Walzen mit mittleren Walzspaltverhältnissen.

Mit einem Ansatz von Orowan [Oro43], der später von Venter und Abd-Rabbo [VAR80b] aufge-

griffen worden ist, lässt sich der Spannungsgradient durch die Walzgutdicke hindurch berech-

nen. Wie das Gleitlinienverfahren, ist auch die Anwendbarkeit dieses Ansatzes an bestimmte

geometrische Bedingungen geknüpft [Oro43, VAR80a, Ove11].

Will man die Voraussetzung des ebenen Formänderungzustandes aufgeben und die Spannungs-

verteilung auch in der Nähe der Walzgutkanten erfassen, bietet sich zunächst eine Formulierung

auf der Basis der allgemeinen Gleichgewichtsbedingungen und des Stoffgesetzes nach Levý und

von Mises an. Diese Grundgleichungen müssen durch sinnvolle Vereinfachungen auf eine lös-

bare Form gebracht werden. Eine derartige Lösung wurde von Rudisill und Zorowski [Rud66]

entwickelt.

Ein anderer Ansatz verfolgt die Erweiterung des Streifenmodells, indem der Spannungsgradient

in Querrichtung durch eine zweite gewöhnliche Differentialgleichung beschrieben wird. Dieser

Ansatz wurde von Ren, Tieu et al. [RTLD06] für das Kaltwalzen präsentiert.

22 Anforderungen an ein Prozessmodell für Vierwalzengerüste

Abbildung 4.1/1: Gleitlinienfeld für das Warmwalzen, eigene Berechnungen nach [DC73]

Als Erweiterung dieses Lösungsansatzes für das Warm- und Kaltwalzen mit nichtzylindrisch de-

formierbaren Walzenkonturen wird in der vorliegenden Arbeit ein neues Modell für das Flach-

walzen präsentiert. Dieses wird mit Teilmodellen für die thermischen und mechanischen Werk-

zeugbelastungen ergänzt, um ein Prozessmodell für das Flachwalzen zu erhalten.

4.2 Anforderungen an ein Prozessmodell für Vierwalzengerüste

Für eine zutreffende Beschreibung des Walzprozesses in einem Vierwalzengerüst sind verschie-

dene Teilmodelle zu berücksichtigen, wie Abbildung 4.2/1 zeigt.

Von zentraler Bedeutung sind die Spannungs- und Formänderungsverteilungen im Walzspalt.

Diese Parameter werden jeweils von untergeordneten Teilmodellen beeinflusst. Die Spannungs-

verteilung liefert Eingangsgrößen für die Berechnung der elastischen Walzendeformationen.

Diese beeinflussen direkt die Formänderungsverteilung, welche sich wiederum auf die Spa-

nnungsverteilung auswirkt. Weitere Abhängigkeiten können Abbildung 4.2/1 entnommen wer-

den.

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 23

Abbildung 4.2/1: Gegenseitige Beeinflussung von Teilmodellen für die Modellierung des Walzprozessesin einem Vierwalzengerüst

Um die thermomechanische Kopplung zwischen den Spannungs- und Temperaturfeldern kor-

rekt zu beschreiben, muss eine zweidimensionale Temperaturberechnung über Breite und Hö-

he des Walzgutquerschnittes durchgeführt werden. Diese wird durch numerische Lösung der

Wärmeleitungsgleichung in kartesischen Koordinaten realisiert. Mit dieser Lösung kann die

Temperaturverteilung im Walzgut berechnet werden. Dabei wird durch Vorgabe entsprechender

Randbedingungen die externe Wärmeabfuhr und Wärmezufuhr durch Werkzeugkontakt, Was-

serkühlstrecken, Öfen und Induktionsheizstrecken berücksichtigt.

Zur Kinematik des Walzprozesses ist insbesondere die Einwirkung der im Walzgut wirkenden

Längsspannungen von großer Bedeutung. Die mathematische Beschreibung der Kopplung zwi-

schen Statik und Kinematik des Walzprozesses erfolgt hier, indem die Fließscheidenlage als

zentrale Größe begriffen wird.

Auf Basis der Linearisierung der im Walzspalt vorherrschenden nichtlinearen Zusammenhän-

ge wird ein Modell zur Berechnung der Längsspannungen beim Flachwalzen in mehrgerüstigen

Walzwerken konstruiert. Mit diesem Modell lassen sich beispielsweise die in einer siebenge-

rüstigen Fertigstaffel eines Warmbandwalzwerkes unter verschiedenen Einflüssen wirkenden

Längsspannungen berechnen.

24 Elementare Grundlagen des Walzspalts

Die beim Walzen auftretenden Lasten wirken nicht nur auf das Walzgut, sondern belasten

ebenso die Walzen und das Gerüst. Diese Werkzeuglasten führen zu elastischen Deformatio-

nen der Walzenoberflächen und zur Biegebelastung der Walzen. Während die Deformation

der Walzenoberfläche einen empfindlichen Einfluss auf die Spannungsverteilung und damit

die Walzkraft ausübt, hat die Walzendurchbiegung einen höheren Einfluss auf die Walzgut-

Dickenverteilung im Walzspalt und damit die Dicken- und Planheitstoleranzen des aus dem

Walzspalt austretenden Querschnitts. Für die elastischen Deformationen der Walzen werden

Modelle präsentiert, die auf der Theorie des elastischen Halbraums basieren. Die Walzendurch-

biegung wird mit Finiten Balkenelementen berechnet, da diese Modellierungstechnik die größte

Flexibilität erlaubt.

Zusätzlich werden die Walzen thermisch belastet. Dies führt zu einer thermischen Balligkeit,

die sich direkt auf das Dicken- und Planheitsergebnis des Fertigquerschnitts auswirkt. Zur Be-

rechnung des Walzentemperaturfelds wird die instationäre Wärmeleitungsgleichung in Zylin-

derkoordinaten axialsymmetrisch gelöst.

4.3 Elementare Grundlagen des Walzspalts

Bevor auf Modelle zur Berechnung der Spannungs- und Formänderungsverteilung eingegangen

wird, sollen einige wesentliche Grundlagen zur Geometrie und Kinematik des Walzprozesses

auf flacher Bahn wiederholt werden, die zum Verständnis der folgenden Abschnitte wichtig

sind.

4.3.1 Geometrie und Kinematik des Walzspalts

Beim Flach-Längswalzen wird ein Walzgut mit rechteckigem Querschnitt zwischen zwei ge-

genläufig rotierenden, zylindrischen Werkzeugen in seiner Dicke reduziert. Die Formänderung

findet im Zwischenraum zwischen den Walzen statt. Dieser Zwischenraum wird als Walzspalt

bezeichnet. Durch Reibschluss zwischen den Werkzeugen und dem Walzgut wird dieses durch

den Walzspalt hindurchtransportiert.

Abbildung 4.3/1 zeigt die Geometrie eines Walzspaltes in der Mittelebene des Walzgutes. Der

Walzspalt ist durch die Eintrittsebene −0, die Austrittsebene −0 und die Kontaktbögen

der Oberwalze − und Unterwalze 0 − 0 begrenzt. Die Begrenzungen der Umformzone

sind hier vereinfacht linear dargestellt. Der Koordinatenursprung wird in den Schnittpunkt der

Austrittsebene mit der Symmetrielinie des Walzgutes gelegt. Die horizontale Koordinate ist

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 25

Abbildung 4.3/1: Zur Geometrie und Kinematik des Walzspalts, nach [SS83]

entgegen der Walzrichtung positiv orientiert. In der Austrittsebene gilt = 0, während die

Koordinate in der Eintrittsebene den maximalen Wert = annimmt. Die gedrückte Länge

lässt sich gemäß Gl. (4.3/1) bestimmen, wobei der zweite Term in der Wurzel für praktische

Walzfälle vernachlässigt werden kann.

=

r∆− ∆2

4(4.3/1)

≈√∆

Von weiterer wichtiger Bedeutung ist der Greifwinkel 0, der sich geometrisch gemäß Gl.

(4.3/2) ableiten lässt.

cos0 = 1− ∆

2(4.3/2)

26 Elementare Grundlagen des Walzspalts

Da die von den Walzen aus der Höhenrichtung verdrängten Stoffteilchen reibungsbehaftet in

x-Richtung abfließen müssen, existiert im Walzspalt eine Fließscheide an der Längskoordinate

= . Kennzeichen der Fließscheide ist, dass der Stofffluss von ihr weg gerichtet ist. Beim

axialsymmetrischen Stauchen eines Vollzylinders beispielsweise liegt die Fließscheide in der

Mitte des Querschnitts, so dass alle aus der Höhe von den Stauchbahnen verdrängten Stoffpar-

tikel nach außen wandern, wodurch eine Ausbreitung des Stauchkörpers im Einklang mit der

Konstanz des Volumens zustande kommt.

Beim Walzen ist das Fließen der einzelnen Stoffpartikel davon überlagert, dass die Walzen eine

rotatorische Bewegung vollführen, die in Komponenten in − und −Richtungen zerlegt wer-

den kann. Dies führt zur Einteilung des Walzspaltes in eine Voreilzone und eine Nacheilzone.

Die Nacheilzone besteht von der Eintrittsebene zur Fließscheidenebene, während der Bereich

zwischen der Fließscheidenebene und der Austrittsebene als Voreilzone bezeichnet wird. Für

die Relativgeschwindigkeit gilt

() = ()− cos () (4.3/3)

In den einzelnen Zonen gilt

()− cos 0 in der Nacheilzone für ≥ (Rückstau)

()− cos 0 in der Voreilzone für ≥ 0 (Voreilung)

= cos an der Fließscheide für =

Bezieht man den Wert der Relativgeschwindigkeit in der Austrittsebene auf die Walzenum-

fangsgeschwindigkeit, so erhält man die Voreilung des Walzvorgangs (Bildung der Horizon-

talkomponente durch cos vernachlässigt)

=1 −

(4.3/4)

Eine weitere wichtige Grundlage zur Kinematik des Walzprozesses ist die Konstanz des Volu-

menstroms, die sich wie folgt für die Eintritts- und die Austrittsebene formulieren lässt

00 = 11 (4.3/5)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 27

Auf dieser Grundlage lässt sich die Berechnung der Voreilung wie folgt entwickeln. Gl. (4.3/5)

gilt gleichermaßen für jede Ebene innerhalb der Umformzone und insbesondere für die Fließ-

scheidenebene. Damit lässt sich schreiben

11 = cos (4.3/6)

ist die Querschnittsfläche des Walzgutes an der Fließscheidenebene und kann bei einem

Flachquerschnitt wie folgt definiert werden

= ( ) = ( ) ( ) = [1 + 2 (1− cos )] ( ) (4.3/7)

Damit lässt sich die Voreilung wie folgt aus der Fließscheidenlage berechnen

=1 −

=

1cos − 1 (4.3/8)

Ekelund [Eke33] konnte eine empirische Gleichung für die Voreilung bestimmen

=3

4

∙22

µ2

1− 1¶¸

(4.3/9)

mit =

r∆

4− 1

∆

4

Diese Gleichung enthält mit Kenngrößen der Walzspaltgeometrie³

1

´, der Formänderung

(∆) und der Reibung () bereits viele wichtige Einflüsse auf die Voreilung. Einzig die Längs-

spannungen werden nicht erfasst.

4.3.2 Statik des Walzspalts

Da beim Walzen ein Reibschluss zwischen den Walzen und dem Walzgut vorliegt, ist ein Min-

destmaß an Reibung notwendig, um einen Walzprozess einzuleiten. Anhand der beim Grei-

fen des Walzgutes wirkenden Kräfte lässt sich zeigen, dass zwei entgegengesetzte horizontale

Kräfte am Walzgut angreifen. Die Horizontalkomponente der Normalkraft wirkt entgegen der

Walzrichtung und versucht das Walzgut am Eintritt in den Walzspalt zu hindern, während die

Horizontalkomponente der Reibkraft in Richtung der Fließscheide gerichtet ist und demzufolge

die Aufgabe einer einziehenden Kraft erfüllt.

Gemäß Abbildung 4.3/2 kann man deshalb das folgende Kräftegleichgewicht für den Zeitpunkt

des Greifens aufstellen

sin0 − cos0 = 0 (4.3/10)

28 Elementare Grundlagen des Walzspalts

Abbildung 4.3/2: Kräfte am Walzgut zum Zeitpunkt des Greifens, nach [SS83]

Das Greifen des Walzguts ist erfolgreich, wenn die einziehende Komponente größer ist als die

ausstoßende Komponente, d.h.

cos0 sin0 (4.3/11)

=⇒ tan0

Die Greifbedingung Gl. (4.3/11) stellt somit einen Zusammenhang zwischen dem Reibwert und

dem Greifwinkel her.

Auf Basis der Greifbedingung können Gleichungen für die mögliche Höhenänderung in einem

Walzstich ermittelt werden, wie im Folgenden gezeigt wird. Setzt man die Definition des Greif-

winkels Gl. (4.3/2) in Gl. (4.3/11) ein, dann folgt

cos (arctan)

µ1− ∆

2

¶(4.3/12)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 29

Als alternative Schreibweise gilt exakt

cos (arctan ()) =1p1 + 2

Damit lässt sich die Greifbedingung ohne Genauigkeitsverlust wie folgt schreiben

1p1 + 2

µ1− ∆

2

¶(4.3/13)

Schließlich kann man die folgende Bedingung für die absolute Höhenänderung ∆ formulieren,

wenn sicheres Greifen ermöglicht werden soll

∆ 2

Ã1− 1p

1 + 2

!(4.3/14)

Bei Abbruch der Reihenentwicklung des Cosinus nach einem Glied gilt als Näherung

arctan () ≈ (4.3/15)

cos (arctan ()) ≈ 1− 2

2(4.3/16)

Damit ergibt sich eine Näherungsgleichung für die Höhenänderung

∆ 2 (4.3/17)

Gl. (4.3/17) weicht bei größeren Reibwerten stark von der exakten Gleichung Gl. (4.3/14) ab

und ist nur für überschlägige Betrachtungen sinnvoll.

Wendet man das horizontale Kräftegleichgewicht Gl. (4.3/10) im Inneren des Walzspalts an und

integriert über die gesamte Kontaktlänge, dann folgtZ 0

0

sin

Z 0

0

cos (4.3/18)

Durch Lösung der Integrale folgt

1− cos0sin0

(4.3/19)

Dies ist die Durchziehbedingung

tan³02

´(4.3/20)

30 Elementare Grundlagen des Walzspalts

Die Durchziehbedingung ist schwächer als die Greifbedingung, daher wird ein gegriffenes

Walzgut normalerweise auch durch den Walzspalt hindurchgezogen. Gl. (4.3/20) wird nur in

Sonderfällen interessant, wenn kein ordnungsgemäßes Greifen möglich ist und die Einleitung

des Walzvorgangs durch externe Krafteinwirkung erzwungen werden muss.

4.3.3 Kraft- und Arbeitsbedarf von Walzvorgängen

Besonders wichtige Zielgrößen für den Walzprozess sind die Walzkraft , das Drehmoment

und die Leistung .

Die Walzkraft wird mit Hilfe der gedrückten Fläche und dem mittleren Umformwiderstand

definiert

= (4.3/21)

Der mittlere Umformwiderstand kann als Mittelwert der Normalspannungen aufgefasst werden,

die durch den von der Walze ausgeübten Druck überwunden werden müssen, um die notwen-

dige Formänderung in das Walzgut einzuleiten. Dies schließt auch Reibungs- und Schiebungs-

verluste ein. Mit Hilfe eines Umformwirkungsgrades kann man definieren

= 1

(4.3/22)

Die Größe

hat den Charakter eines Verlustbeiwertes bzw. reziproken Wirkungsgrades. Mit

Hilfe der im Walzspalt wirkenden Druckspannungsverteilung () gilt für die Walzkraft

=

Z

0

() +

Z 0

() (4.3/23)

Die physikalische Methode zur Berechnung des an den Walzen wirkenden Drehmomentes ist

die Integration der im Walzspalt wirkenden Reibschubspannungen mit dem Walzenradius als

Hebelarm.

=

Z

0

() −

Z 0

() (4.3/24)

Vereinfacht sind weitere Methoden denkbar wie die Hebelarmmethode nach Trinks, bei der

(physikalisch unpräzise) die gedrückte Länge als Hebelarm für die Walzkraft mit einem empi-

rischen Korrekturfaktor, dem Hebelarmbeiwert verwendet wird

= (4.3/25)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 31

Die Leistung steht wie folgt mit dem Drehmoment und der Winkelgeschwindigkeit in

Relation

= (4.3/26)

Die ideelle Umformleistung am Volumen ist außerdem

= · (4.3/27)

Mit Hilfe von Gl. (4.3/27) lässt sich eine Abschätzung für den Hebelarmbeiwert ermitteln.

ist das Volumen des sich im Walzspalt befindlichen Walzguts. Es kann wie folgt berechnet

werden

= (4.3/28)

Mit der integral mittleren Walzguthöhe im Walzspalt

=1

Z

0

()

=

µ1 +

1

3

2

¶≈ 2

31 +

1

30 (4.3/29)

Zur Berücksichtigung der Reibungs- und Schiebungsverluste kann man die mittlere Fließspan-

nung durch den mittleren Umformwiderstand ersetzen und erhält so die folgende Glei-

chung für die Gesamtleistung an beiden Walzen

=

µ2

31 +

1

30

¶ (4.3/30)

Auf diese Weise gelangt man außerdem zu einer alternativen Berechnungsweise des Drehmo-

mentes für beide Walzen

=

∙ 231 +

130

∆

¸(4.3/31)

In Anlehnung an die Hebelarmmethode nach Trinks lässt sich so der Hebelarmbeiwert wie

folgt abschätzen

= 2 (4.3/32)

mit =131 +

160

∆

32 Elementare Grundlagen des Walzspalts

Diese Ausführungen sollen deutlich machen, dass zur präzisen Bestimmung der Größen Walz-

kraft, Drehmoment und Leistung die Kenntnis der örtlichen Spannungsverteilung im Walzpro-

zess notwendig ist. Ohne diese Information sind nur einfache Näherungslösungen für Walzkraft

und Drehmoment möglich.

4.3.4 Reibung beim Walzen

Zur experimentellen Bestimmung des Reibwertes beim Walzen gibt es unterschiedliche Me-

thoden. Ekelund [Eke33] konnte auf der Basis von Greifversuchen feststellen, bei welchem

Greifwinkel ein Wechsel zwischen Erfüllung und Verletzung der Greifbedingung statt findet.

Diese Vorgehensweise hat Ähnlichkeit mit der Bestimmung des Reibwertes durch Anpassung

des Neigungswinkels einer schiefen Ebene. Zwischen dem limitierenden Greifwinkel 0max

und dem lokalen Reibwert 0 in der Eintrittsebene des Walzspalts gilt die Beziehung

tan (0max) = 0 (4.3/33)

Nach Versuchen mit unterschiedlichen Walztemperaturen, Walzgut- und Walzenwerkstoffen so-

wie Walzgeschwindigkeiten konnten unterschiedliche Autoren die folgende Gleichung für den

Reibwert beim Warmwalzen aufstellen [SS83]

= 123 (1 05− 0 0005 · ) (4.3/34)

Generell sind Abhängigkeiten des Reibwerts von der Walzgeschwindigkeit, der Walzguttem-

peratur, der Stichformänderung, der Werkstoffpaarung Walze-Walzgut und den Eigenschaften

einer Schmiermittel- und Zunderschicht zwischen Walzen und Walzgut bekannt. Nur wenige

der bekannten empirischen Modelle liefern verlässliche Informationen über diese Zusammen-

hänge.

Einige Autoren beschreiben den Reibwert über seinen Zusammenhang mit der Fließscheiden-

lage und der Voreilung. Basierend auf Arbeiten von Carlton, Edwards und Thomas gilt Gl.

(4.3/35) [Pan14].

=0 54

q0−1

1− 10475

q1

0−1

(4.3/35)

In Weiterentwicklung der Erkenntnisse über die Konstanz des Volumenstroms kann eine Metho-

de zur Messung des Reibwertes im Walzspalt entwickelt werden. Durch Messung der Voreilung

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 33

des Walzprozesses lässt sich die Fließscheidenlage rechnerisch bestimmen. Die Konstanz des

Volumenstromes lässt sich für die Austritts- und die Fließscheidenebene wie folgt ausdrücken

11 = cos (4.3/36)

Mit der Voreilung ist diese Gleichung äquivalent zu

=1 −

=

1cos − 1 (4.3/37)

Die Querschnittsfläche in der Fließscheidenebene ist bei einem Flachquerschnitt

= ( ) = ( ) ( ) (4.3/38)

Gl. (4.3/37) kann daher auch wie folgt geschrieben werden

( ) = ( ) ( )

11cos − 1 (4.3/39)

Aus Gl. (4.3/39) ist ersichtlich, dass zur Bestimmung der Fließscheidenlage aus der Voreilung

die Kenntnis des örtlichen Breitungsverlaufes () erforderlich ist.

Bei Flachquerschnitten mit hohen -Verhältnissen, bei denen die Breitung für den Volumen-

strom vernachlässigt werden kann, ist die Bestimmung des Fließscheidenwinkels sehr einfach

möglich, da in diesen Fällen Gl. (4.3/39) analytisch gelöst werden kann. Gl. (4.3/39) vereinfacht

sich für diese Fälle zu

( ) = ( )

1cos − 1 (4.3/40)

mit () = 1 + 2 (1− cos )

Führt man in Gl. (4.3/40) die Vereinfachung cos ≈ 1 für kleine Fließscheidenwinkel ein

(Vernachlässigung des Neigungswinkels der Umformzone), dann gilt für den Fließscheiden-

winkel die einfache Gleichung

cos ≈ 1− 1

2(4.3/41)

Nach der Berechnung der Fließscheidenlage erfolgt die Ermittlung des Reibwertes mit Hilfe

eines Walzmodells. Dies erfolgt durch iterative Auswertung der von Karman’schen Differenti-

algleichung für den gesamten Walzspalt. In [HOM09] konnte beispielsweise mit diesem Ver-

fahren ein temperatur- und werkstoffabhängiger Reibwert beim Warmwalzen von Flachquer-

schnitten gefunden werden, wie Abbildung 4.3/3 zeigt.

34 Elementare Grundlagen des Walzspalts

0.18

0.19

0.2

0.21

0.22

0.23

0.24

0.25

0.26

0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4

Rei

bwer

t μ

Bez. Höhenänderung εh

ϑ=900°C; b/h=1ϑ=1200°C; b/h=1

ϑ=900°C; b/h=2ϑ=1200°C; b/h=2

Abbildung 4.3/3: Durch Voreilungsmessungen ermittelte Reibwerte beim Warmwalzen von Flachquer-schnitten [HOM09]

4.3.5 Profil und Planheit von Flacherzeugnissen

Ein rechteckiger Walzspalt existiert nur im theoretisch idealisierten Fall. Tatsächlich stellt sich

durch mechanisch und thermisch bedingte Deformationen der Walzen und des Walzgerüstes ein

ungleichmäßiges Dickenprofil ein.

Stellt man sich das Volumen eines zu walzenden Flachquerschnitts vor der Umformung aus

Streifen gleicher Länge zusammengesetzt vor, dann ergibt sich durch eine nicht-konstante Ver-

teilung der Höhenänderung eine Verteilung der Breitungs- und Streckungsanteile. Es gilt die

Volumenkonstanz mit

= 1 (4.3/42)

Diese Beziehung gilt gleichermaßen global für das gesamte Walzgutvolumen, wie auch für jedes

Teilvolumen (Streifen). Bei einem von der Querkoordinate y abhängigen Stauchgrad () kann

deshalb für die Verteilung des Streckgrades geschrieben werden

1

()= () () (4.3/43)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 35

Überschreiten die Streckungsdifferenzen innerhalb eines Querschnitts einen Schwellenwert, ist

mit der Ausbildung von Planheitsfehlern zu rechnen. Abbildung 4.3/4 zeigt die typischen Plan-

heitsfehler, die bei Flacherzeugnissen anzutreffen sind.

4.4 Bekannte Walzmodelle

Die mathematische Beschreibung der mechanischen Vorgänge in der Umformzone ist seit lan-

ger Zeit Gegenstand von Forschungsarbeiten. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts war das Walzen

als industrielles Fertigungsverfahren für Flach- und Langprodukte bereits etabliert. Einzelheiten

über die während des Prozesses auftretenden, auf das Walzgerüst und das Walzgut wirkenden

Lasten sowie die Kinematik waren zu dieser Zeit noch nicht bekannt.

Die im folgenden Abschnitt beschriebenen Modelle basieren auf dem Streifenmodell der Ele-

mentaren Plastizitätstheorie. Dabei wird der Walzspalt in Streifenelemente infinitesimaler Län-

ge eingeteilt. Aus dem Kräftegleichgewicht am Streifenelement in horizontaler Richtung

lassen sich die Gleichungen zur Berechnung des Spannungsverlaufes im Walzspalt ableiten,

wie Abbildung 4.4/1 zeigt.

4.4.1 Ebener Formänderungszustand

4.4.1.1 Grundlegende Theorie und einfache Walzmodelle

Ein Meilenstein der Modellierung des Walzprozesses ist eine Arbeit von Theodore von Kar-

man aus dem Jahr 1925 [vK25]. Von Karman begründete das Streifenmodell, das später zur

Elementaren Plastizitätstheorie ausgebaut wurde. Ein Spannungsgradient in Querrichtung wird

generell ausgeschlossen und ein ebener Formänderungszustand vorausgesetzt. Ebenso wird von

parallelepipedischer Umformung ausgegangen.

Bei der Betrachtung der Kinematik des Walzspalts wurde die Existenz einer Fließscheide be-

reits hervorgehoben. Aufgrund der reibungsbedingten Relativbewegungen im Walzspalt ent-

stehen Reibschubspannungen , die den Relativbewegungen entgegengerichtet sind. An den

Fließscheiden erfahren sowohl Reibschubspannungen als auch Relativgeschwindigkeiten einen

Vorzeichenwechsel. Die Schubspannungen sind in einer Umgebung um die Fließscheide be-

tragsmäßig maximal und bei Überschreiten der Fließscheide unstetig. Die Relativgeschwin-

digkeiten bleiben beim Überschreiten der Fließscheide stetig differenzierbar und haben an der

Fließscheide den Wert Null.

36 Bekannte Walzmodelle

Abbildung 4.3/4: Typische Planheitsfehler bei gewalzten Flacherzeugnissen (Auszug), nach [Els04]

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 37

Abbildung 4.4/1: Kräftegleichgewicht am Walzspalt in der xz-Ebene. A) Angreifende Kräfte; B) Zerle-gung in der Voreilzone; C) Zerlegung in der Nacheilzone, nach [SS83]

Von Karman berücksichtigte den Vorzeichenwechsel in den Reibschubspannungen an der Fließ-

scheide und erhielt die gewöhnliche Differentialgleichung Gl. (4.4/1) für den Verlauf der Hori-

zontalkraft = in horizontaler Richtung.

= 2 ( sin ()± cos ()) (4.4/1)

Siebel konnte unter vereinfachenden Annahmen eine Lösung dieser Differentialgleichung be-

stimmen [Sie31]. Er nahm unter Vernachlässigung der vertikalen Kräftezerlegung die Äquiva-

lenz der Vertikal- und Normalspannung an ( ≈ ) . Die Form des Kontaktbogens der Walze

näherte Siebel gemäß Gl. (4.4/2) durch eine Parabel an.

() = 1 +2

(4.4/2)

Mit diesen Vereinfachungen lässt sich Gl. (4.4/1) lösen und es werden die folgenden Gleichun-

gen für die Vor- und Nacheilzonen erhalten.

=2

1 +2

µ2

2+

¶(4.4/3)

=2

1 +2

µ2

2− + − 2

2

¶

38 Bekannte Walzmodelle

Abbildung 4.4/2: Von Orowan an Plastilin-Proben beobachtete inhomogene Formänderung im Walzgu-tinneren [Oro43]

Die Position der Fließscheide lässt sich durch Gleichsetzen von Gl. (4.4/3) wie folgt bestimmen

=

2

µ1− 2

2

¶(4.4/4)

4.4.1.2 Die Walztheorie nach Orowan

Auf dem Weg zu einer vereinfachungsfreien Lösung der allgemeinen Walztheorie beschrieb

Orowan im Jahr 1943 eine Methode, die Vereinfachung der geradlinigen Begrenzungen der Um-

formzone im Bereich des Walzspalteintritts aufzuheben [Oro43]. Er stellte anhand von Walz-

versuchen mit Probekörpern aus Plastilin fest, dass sich die Formänderung ins Walzgutinnere

hinein inhomogen verteilen muss, Abbildung 4.4/2. Mit seinem Modell des Walzprozesses ist

es möglich, die zweidimensionale Spannungsverteilung im Inneren des Walzguts zu berechnen.

Um ein Koordinatensystem zu konstruieren, mit dem sich diese Formänderungscharakteristik

erfassen lässt, zeichnete Orowan Kreisbögen in den Walzspalt, deren Mittelpunkte jeweils auf

der Symmetrielinie des Walzprozesses liegen und die unter einem rechten Winkel in die Wal-

zenoberflächen übergehen. Führt man für jeden Kreisbogen ein Polarkoordinatensystem ein,

dann wirken auf jedem Flächenelement eine innere Tangentialspannung , eine innere Radi-

alspannung und eine innere Schubspannung , wie in Abbildung 4.4/3 gezeigt ist.

Unter Zuhilfenahme dieser Modellvorstellung leitete Orowan die folgenden Gleichungen für

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 39

Abbildung 4.4/3: Zweidimensionales Winkelkoordinatensystem im Walzspalt nach Orowan

die auf das Streifenelement wirkende Horizontalkraft bei Gleit- und Haftreibung ab.

() = ()

½ ()

∙1±

µ1

− 1

tan

¶¸− ( )

√3

¾(4.4/5)

() = ()

½ ()− ()√

3

∙ ( 1)∓ 1

2

µ1

− 1

tan

¶¸¾(4.4/6)

Ersetzt man () in Gl. (4.4/1) durch Gl. (4.4/5) oder Gl. (4.4/6), dann gelangt man zu dem

von Orowan entwickelten Walzmodell. Die Inhomogenitätsfunktion ( ) ist ein wichtiger

Teil dieses Modells. Sie ist wie folgt gegeben, wobei die Integrationsvariable der Polarwinkel

des Koordinatensystems innerhalb eines Bogens ist.

( ) =1

sin

Z

0

vuut"1− 2

µ

¶2#cos (4.4/7)

Abbildung 4.4/4 zeigt die numerisch berechnete Funktion ( ) gemäß Gl. (4.4/7) für

die Winkel 0 und 30. Für den Parameter gilt = 2

. Er beschreibt das Verhältnis

der beiden beim Walzen möglichen Reibgesetze zueinander. Bei sehr geringen Reibwerten gilt

40 Bekannte Walzmodelle

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ωO

aO = τ/τmax

α=0°α=30°

Abbildung 4.4/4: Verlauf der -Funktion gemäß Gl. (4.4/7) in Abhängigkeit des Schubspannungsver-hältnisses für zwei Grenzwerte des Winkels

1, für den Fall der Haftreibung gilt = 1. Aus der Abbildung wird ebenso ersichtlich,

dass nur sehr schwach vom Winkel abhängt.

Orowan schlug bereits eine deutliche Vereinfachung der Gleichung Gl. (4.4/5) für das Kaltwal-

zen mit kleinen Winkeln vor, Gl. (4.4/8).

() ≈ () [ ()− ( ) ()] (4.4/8)

Beim Warmwalzen, bei dem sowohl große Winkel als auch Haftzonen auftreten, ist diese

Gleichung jedoch nicht anwendbar.

Die allgemeine Walztheorie nach Orowan besaß eine Komplexität, die zum Zeitpunkt ihrer Ent-

stehung eine Verwendung in der Rechenpraxis nicht möglich machte. In den folgenden Jahren

wurden vereinfachte Modelle veröffentlicht, um möglichst präzise Walzmodelle der Rechen-

praxis zugänglich zu machen.

4.4.1.3 Modelle zum Kaltwalzen

Die mechanischen Lasten, die während des Walzvorgangs auf die Arbeitswalzen mit dem Durch-

messer wirken, führen zu einer elastischen Abplattung, sodass der ursprüngliche Walzenradi-

us = 2

nicht erhalten bleibt. Modelle zur Berechnung der abgeplatteten Walzenform werden

an späterer Stelle der vorliegenden Arbeit detailliert betrachtet. An dieser Stelle soll auf die ein-

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 41

fachste Berechnungsweise der Walzenabplattung nach Hitchcock [Hit35] hingewiesen werden.

Demnach vergrößert sich der unverformte Walzenradius zu einem abgeplatteten Walzenradi-

us 0. Für das Verhältnis 0 gilt

0

= 1 +

∆(4.4/9)

Beim Kaltwalzen von Blechen und Bändern sind die Vereinfachungen des Streifenmodells gut

erfüllt. Daher haben Walzmodelle in diesem Bereich schon früh eine hohe Beachtung in der Pra-

xis gefunden. Eine der wichtigsten Arbeiten ist das Modell nach Ford, Ellis und Bland [FEB51]

für das Kaltwalzen mit Längszügen. Für die Walzkraft und das Drehmoment gelten nach Ford,

Ellis und Bland Gl. (4.4/10) und Gl. (4.4/11).

=

µ1−

¶p0 (0 − 1)

r1−

(4.4/10)

(

Z Φ

0

¡1 + Φ2

¢2 arctan(Φ)Φ+

(1− ) 2 arctan(Φ0)Z Φ0

Φ

¡1 + Φ2

¢−2 arctan(Φ)Φ)

= 2[∆

µ1−

¶1

0 − 1(4.4/11)

(

Z Φ

0

¡1 + Φ2

¢2 arctan(Φ)ΦΦ+

(1− ) 2 arctan(Φ0)

Z Φ0

Φ

¡1 + Φ2

¢−2 arctan(Φ)ΦΦ) +

2(00 − 11)]

Die Integrale in diesen Gleichungen sind numerisch zu lösen, da für die allgemeine Funktion

() = arctan() keine Stammfunktion bekannt ist. Ford, Ellis und Bland gliederten diese

Integralgleichungen in Hilfsfunktionen 3 ( ) und 5 ( ) aus. Diese sind wie

42 Bekannte Walzmodelle

folgt gegeben

3 =

r1−

(

Z Φ

0

¡1 + Φ2

¢2 arctan(Φ)Φ+ (4.4/12)

(1− ) 2 arctan(Φ0)

Z Φ0

Φ

¡1 + Φ2

¢−2 arctan(Φ)Φ)

5 =1

0 − 1(

Z Φ

0

¡1 + Φ2

¢2 arctan(Φ)ΦΦ+ (4.4/13)

(1− ) 2 arctan(Φ0)

Z Φ0

Φ

¡1 + Φ2

¢−2 arctan(Φ)ΦΦ)

Da in den 1950er Jahren, vor der breiten Einführung frei programmierbarer Digitalrechner die

numerische Quadratur zur Bestimmung eines Integrals einen erheblichen Zeitaufwand bedeu-

tete, wurden diese Funktionen vorberechnet und die Ergebnisse in Schaubildern zur Verfügung

gestellt. Die verbleibenden Berechnungsgleichungen für Walzkraft und Drehmoment sind

= · ·µ1− 0

¶·p0 (0 − 1) · 3 (4.4/14)

= 2

∙∆

µ1− 0

¶· 5 +

2(0 − 1)

¸(4.4/15)

Für die verwendeten Parameter gilt

=

s0

1(4.4/16)

=1−

1−

Abbildung 4.4/5 zeigt die Abhängigkeit der Funktionen 3 und 5 von den Parametern ln ()

und für = 1 5.

Mit Hilfe des Kaltwalzmodells nach Ford, Ellis und Bland wurde bereits in den 1950er Jah-

ren die Berechnung der Walzkraft und des Drehmomentes unter Einschluss der elastischen

Walzenabplattung nach Hitchcock möglich. Das Modell liefert im Vergleich mit Messwerten

zuverlässige Ergebnisse, vgl. [MOD06].

4.4.1.4 Analytische Modelle zum Warmwalzen

Die Lösung nach Ford, Ellis und Bland enthält geometrische Vereinfachungen, die nur für das

Kaltwalzen sinnvoll sind. Ebenso ist die Annahme reiner Gleitreibung beim Warmwalzen unrea-

listisch. Um eine tragfähige Lösung für das Warmwalzen zu erhalten, führte Sims die Annahme

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 43

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

f 3

Bez. Höhenänderung εh [%]

aR=1.5

ln bZ=−1.2ln bZ=−0.9

ln bZ=−0.6ln bZ=−0.3

ln bZ=0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

f 5

Bez. Höhenänderung εh [%]

aR=1.5

ln bZ=−1.2ln bZ=−0.9

ln bZ=−0.6ln bZ=−0.3

ln bZ=0

Abbildung 4.4/5: Funktionen f3 und f5 für = 15 und unterschiedliche Werte des Längszugparame-ters ln

44 Bekannte Walzmodelle

von reiner Haftreibung in die von Karman’sche Differentialgleichung ein [Sim54]. Unter dieser

Randbedingung lässt sich eine analytische Lösung für den Spannungsverlauf ableiten. Außer-

dem versuchte Sims, die Orowan’sche Inhomogenitätstheorie in das Modell einzubauen. Über-

trägt man die Näherungsgleichung Gl. (4.4/8) auf den Fall des Warmwalzens mit Haftreibung

mit =4, dann folgt

() = ()³ ()−

4

´(4.4/17)

Durch Gleichsetzen mit () = () () folgt

() = ()−

4 (4.4/18)

Gl. (4.4/18) kann als Fließbedingung verwendet werden, führt jedoch beim Warmwalzen zu

unrealistischen Ergebnissen. Unter bestimmten Voraussetzungen ergeben sich sogar Umform-

wirkungsgrade von mehr als 100%, d.h. , weil die Normalspannungen zu klein

abgeschätzt werden.

Lippmann und Mahrenholtz [LM67] stellten eine ähnliche Lösung für das Warmwalzen auf,

jedoch unter Verwendung der Fließbedingung nach Tresca. Das daraus folgende Warmwalz-

modell führt, gemessen am Rechenaufwand zu vergleichsweise präzisen Ergebnissen [MK97,

Ove05].

Für die Walzkraft gilt nach Lippmann und Mahrenholtz

= (4.4/19)

Der reziproke Wirkungsgrad enthält die Reibungsverluste und kann wie folgt angegeben

werden

=

+ 2

r1−

arctan

µr

1−

¶− 1 + (4.4/20)r

1

r1−

ln

à √1−

1− ¡1− 2

¢!Der bezogene Fließscheidenwinkel ist wie folgt gegeben

=

0=

r1−

tan

(1

2

r1

∙ −

+ ln (1− )

¸+1

2arctan

µr

1−

¶)(4.4/21)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 45

Für das Drehmoment beim Warmwalzen gilt nach Lippmann und Mahrenholtz

= 2∆

mit

=

r

1

r1−

µ1

2−

¶(4.4/22)

4.4.1.5 Numerische Modelle zum Warm- und Kaltwalzen

Mit der breiten Einführung von frei programmierbaren Digitalrechnern ab Anfang der 1970er

Jahre wurde es möglich, die Differentialgleichung des Streifenmodells vereinfachungsfrei nu-

merisch zu lösen. Dies wurde 1972 von Alexander aufgegriffen [Ale72]. Das von Alexander

beschriebene Lösungsverfahren besteht erstmals in einer mathematisch durchgängigen, verein-

fachungsfreien Lösung der Differentialgleichung des Streifenmodells.

Alexander formulierte die von Karman’sche Differentialgleichung nach Einführung der Reib-

gesetze Gleitreibung oder Haftreibung und der Kräftezerlegung am Streifenelement wie folgt

= 1 () () + 2 () für = (4.4/23)

= 1 () für =

√3

(4.4/24)

Für die auftretenden Hilfsfunktionen gilt

1 () = ±

cos()

h2()

+ 1cos()

i1∓ tan ()

(4.4/25)

2 () =

2()

2√3 () sin () +

2√3

()

1∓ tan ()

und

1 () =2√3 () [

2

()sin () (1± 1

2tan ())± (4.4/26)

(

()cos () +

1

cos2 ())] +µ

1± 12tan ()

¶2√3

()

46 Bekannte Walzmodelle

Für die Berechnung der Walzkraft und des Drehmomentes konnte Alexander die folgenden

Gleichungen bestimmen

= 0

Z 0

0

() cos

µ− 1

20

¶+ (4.4/27)

0[Z 0

() sin

µ− 1

20

¶−Z

0

() sin

µ− 1

20

¶]

= 0 (0 −)

Z 0

0

() sin

µ− 1

20

¶+ (4.4/28)

0Z 0

[0 ()−

(0 −) () cos

µ− 1

20

¶]−

0Z

0

[0 ()−

(0 −) () cos

µ− 1

20

¶]

Die von Alexander eingeführte numerische Vorgehensweise eröffnete weitere Möglichkeiten,

da man seit diesem Zeitpunkt nicht mehr auf analytische Lösungen der von Karman’schen Dif-

ferentialgleichung angewiesen ist, um die Zielgrößen zu berechnen. Insbesondere konnte das

inhomogene Walzmodell nach Orowan numerisch implementiert werden. Eine derartige Be-

trachtung wurde von Venter und Abd-Rabbo durchgeführt [VAR80b]. Die Formulierung der

von Karman’schen Differentialgleichung entspricht Gl. (4.4/23) und Gl. (4.4/24) mit den Funk-

tionen

1 () = ±2£20(cos− () sin)−

¤1−

³2∓ ()

´ − (4.4/29)

4√3

√3

()

2 () =4√3

( ) + (4.4/30)

2()√3

µ

+20

( ) sin

¶

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 47

und

1 () =2√3()[

2 ·0()

sin

µ( )∓ 1

2()

¶+ (4.4/31)

∓ 12

± 0

()cos] +

+

µ( )∓ 1

2· ()

¶· 2√3

Die Geometriefunktion () ist wie folgt gegeben

() =1

− 1

tan(4.4/32)

Das Zulassen einer inhomogenen Horizontalkraftverteilung in vertikaler Richtung ermöglicht

außerdem die Berechnung der Spannungszustände im Inneren des Walzguts. Abbildung 4.4/6

zeigt die lokale Horizontalspannungsverteilung bei einem Warmwalzstich mit einer bezogenen

Höhenänderung von 40 %, einem Walzendurchmesser von 750 mm und einem Walzspaltver-

hältnis von = 3 beim Walzgutwerkstoff C55.

Statt der Formulierung gemäß Gl. (4.4/23) und Gl. (4.4/24) lässt sich die von Karman’sche Dif-

ferentialgleichung auch zur numerischen Berechnung der Horizontalkraft aufbereiten. Diesen

Ansatz verfolgt Freshwater [Fre96] und stellt die Differentialgleichungen wie folgt dar

= () () + () für Gleitreibung (4.4/33)

= () · () + () für Haftreibung

Wie Gl. (4.4/33) zeigt, teilen die Funktionen () und () das Differential

für Glei-

treibung in einen Teil (), der von der Horizontalkraft () unabhängig ist, und einen Teil

(), der mit () multiplikativ verknüpft ist. Für Haftreibung wird in gleicher Weise mit

den Funktionen () und () verfahren. Die Funktionen sind in Gl. (4.4/34) gegeben.

() =20 (sin± cos)

() 1± () () = 20()( )

(sin± cos)

1± () (4.4/34)

48 Bekannte Walzmodelle

50 100

150

200

100 50

150

200

Abbildung 4.4/6: Horizontalspannungsverteilung in MPa bei einem Warmwalzstich. Walzendurchmes-ser = 750; = 3; = 0 4;Werkstoff C55; Reibwert = 0 3

() =20

()sin () (4.4/35)

() = 20()½∙

( )∓ 12 ()

¸sin ()± 1

2· cos

¾

Dieses Modell enthält, genau wie das Modell nach Venter und Abd-Rabbo [VAR80b], die Oro-

wan’sche Inhomogenitätstheorie.

Den gleichen Ansatz verfolgt ein im selben Jahr von Yuen, Dixon und Nguyen veröffentlich-

tes Rechenmodell [YDN96]. Hier wird ( ) weiter vereinfacht. Näherungsweise wird

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 49

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1

1.05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ωO

aO = τ/τmax

Orowan α=0°Orowan α=30°

Yuen et al. α=0°Yuen et al. α=30°

Abbildung 4.4/7: Inhomogenitätsfunktion nach Orowan und vereinfachte Version von Yuen, Dixon undNguyen für Winkel von 0 und 30

angegeben

( ) =1

sin

Z

0

vuut"1− 2 ·µ

¶2#cos (4.4/36)

≈

2 · sin () ·½arcsin ()

+q1− 2

¾

Diese Näherung für weicht bei größeren Winkeln signifikant von der vereinfachungsfreien

numerischen Lösung der Integralgleichung ab, wie Abbildung 4.4/7 zeigt.

4.4.1.6 Modelle zum Kaltwalzen von Folien

Viele der bis hier behandelten Walzmodelle stellen Lösungen sowohl für Gleit-, als auch Haft-

reibung bereit. Berechnungen kann entnommen werden, dass Haftzonen um die Fließscheide

herum bevorzugt bei großen Walzspaltverhältnissen auftreten, vgl. [Ove11]. Die Haftreibung

hat jedoch auch eine Bedeutung beim Kaltwalzen, wenn sehr starke elastische Deformationen

der Walzenoberfläche auftreten. Dies wurde im Zusammenhang mit der Theorie des Kaltwal-

zens dünner Folien von Fleck, Johnson, Mear und Zhang [FJMZ92] untersucht und später von

Le und Sutcliffe [LS01] in ein numerisch stabiles Walzmodell umgesetzt. Das Gleichgewicht

50 Bekannte Walzmodelle

Abbildung 4.4/8: Einteilung des Walzspaltes in Zonen elastischer und plastischer Formänderung

am Streifenelement drückten Le und Sutcliffe wie folgt aus

()

+ ( − )

+ 2 () = 0 (4.4/37)

Eine genaue Betrachtung der Vorgänge im Walzspalt zeigt, dass die plastische Zone von elasti-

schen Zonen in der Ein- und Austrittsebene umgeben sein muss. Abbildung 4.4/8 zeigt schema-

tisch die Einteilung des Walzspaltes in elastische und plastische Zonen. Das bei der Koordinate

mit der Höhe 0 in den Walzspalt eintretende Walzgut wird zunächst elastisch deformiert,

bis an der Stelle zum ersten Mal die Fließbedingung erfüllt, und somit das plastische Fließen

eingeleitet wird.

Beim Eintritt in die plastische Nacheilzone 2 besitzt das Walzgut die Höhe 0 und wird im

Durchlauf durch die plastischen Zonen (2 und 3) auf die Endhöhe 1 reduziert, die an der

Stelle vorliegt. Während des Durchlaufs durch die elastische Rückfederungszone 4 erfolgt

die Entlastung auf eine Normalspannung von = 0. Diese Entlastung führt zur Rückfede-

rung der Walzguthöhe auf die entlastete Austrittshöhe 1, wobei 1 1. Der Abbildung

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 51

4.4/8 können außerdem die Richtungen der in den einzelnen Zonen wirkenden Reibkräfte ent-

nommen werden. In den Zonen 1 und 2 sind diese in negativer x-Richtung (in Walzrichtung)

gerichtet, in den Zonen 3 und 4 entgegen der Walzrichtung (in positiver x-Richtung). Diese bei-

den Bereiche positiver und negativer Relativbewegung sind durch einen Vorzeichenwechsel in

den Reibkräften und der Relativgeschwindigkeit an der Fließscheide voneinander getrennt.

() = 0 (4.4/38)

() = 0

() = 1

() = 1

( ) =

Für jede der Zonen müssen Differentialgleichungen zur Berechnung der Spannungsverläufe

() und () angegeben werden. In der elastischen Eintrittszone (1) gilt

= − ∗

()

+

1−

2 ()

()(4.4/39)

= − +

()

− 2 ()

()

Für die Elastizitätsmodule der Band- und Walzenwerkstoffe gelten für den ebenen Verzerrungs-

zustand folgende Korrekturen

∗ =

1− 2; ∗ =

1− 2(4.4/40)

Das Ende dieser elastischen Zone wird erreicht, wenn die Fließbedingung zum ersten Mal erfüllt

wird, d.h. wenn gilt

= − (4.4/41)

Innerhalb der plastischen Gleitzonen ist eine einzige Differentialgleichung zur Berechnung von

und ausreichend, da der Zusammenhang zwischen diesen Spannungsgrößen direkt über

die Fließbedingung hergestellt werden kann. Innerhalb der plastischen Vor- und Nacheilzonen

gilt für die Veränderung der Normalspannung die folgende Differentialgleichung

=

()

()

+2 ()

()+

(4.4/42)

52 Bekannte Walzmodelle

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

1.7

1.8

200 250 300 350 400 450 500 550 600

C1

[−]

Elastizitätsmodul der Arbeitswalzen [kN/mm2]

Walzgut Stahl E=210 kN/mm2

Walzgut Aluminium E=70 kN/mm2

Abbildung 4.4/9: Abhängigkeit der Konstanten C1 von den Elastizitätsmodulen von Arbeitswalzen undWalzgut

Für die elastische Austrittszone gilt Gl. (4.4/39) mit umgekehrten Vorzeichen (Rückfederung

statt Kompression). Für die Reibschubspannung () werden auch beim Kaltwalzen von dün-

nem Band und Folien zwei Fälle unterschieden. Bei Vorliegen Coulomb’scher Gleitreibung gilt

= (4.4/43)

Das Auftreten der Haftreibung steht bei Folien in engem Zusammenhang mit der Verformung

der Arbeitswalzen. Le und Sutcliffe konnten die Differentialgleichung der Normalspannung und

die algebraische Gleichung für die Reibschubspannung wie folgt angeben

= −1

∗

(4.4/44)

() = −1∗

2

Die Konstante 1 folgt aus den elastischen Eigenschaften der Band- und Walzenwerkstoffe und

spielt eine Rolle für den Spannungsverlauf in der Haftzone.

1 =

µ2− 41−

− 1− 21−

∗∗

¶−1(4.4/45)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 53

In Abhängigkeit der Werkstoffpaarung Arbeitswalzen-Walzgut nimmt die Konstante 1 unter-

schiedliche Werte an, wie Abbildung 4.4/9 zeigt. Bei großen Werten von 1 ist das Auftreten

einer Haftzone gegenüber kleinen Werten von1 begünstigt.1 enthält nur die elastischen Kon-

stanten der Kontaktpartner. Im konkreten Anwendungsfall hängt das Auftreten einer Haftzone

und deren Ausdehnung von der Höhe der Schubspannungen im Walzspalt ab, die außerdem von

der Höhe des Reibwerts, dem Walzendurchmesser, der Fließspannung des Walzguts und den

Längsspannungen beeinflusst werden.

4.4.2 Dreiachsiger Formänderungszustand

Will man die Voraussetzung eines ebenen Formänderungszustandes aufheben und ein zweidi-

mensionales Walzmodell zur Berechnung der Spannungsverteilung auf der Kontaktfläche erlan-

gen, so sind unterschiedliche Vorgehensweisen mit entsprechenden Modellansätzen möglich.

Die im vorhergehenden Abschnitt beschriebenen Walzmodelle basieren auf den ursprünglich

von v. Karman formulierten vereinfachenden Annahmen der Elementaren Plastizitätstheorie,

insbesondere auf der Annahme eines ebenen Formänderungszustandes über die gesamte Walz-

gutbreite. Diese Annahme schließt jeden Spannungsgradient in Walzgutbreitenrichtung aus. Die

Rechenergebnisse dieser eindimensionalen Walzmodelle können daher nur für die Mittelebene

eines breiten Walzguts als gültig angesehen werden. Die Analyse der Spannungsverteilung in

der Nähe der Bandkanten oder der Entstehung lokaler Planheitsfehler ist mit diesen Modellen

prinzipiell nicht möglich.

Bereits in den 1960er Jahren versuchte man, schnelle zwei- und dreidimensionale Walzmodel-

le zu entwickeln. Einige grundlegende Betrachtungen zur Theorie räumlicher Umformvorgän-

ge lieferte zunächst Troost [Tro64]. Rudisill und Zorowski entwickelten ein dreidimensionales

Modell zum Warmwalzen von Band [Rud66]. Dieses basiert nicht auf der Elementaren Plastizi-

tätstheorie, sondern auf mathematischen Vereinfachungen der allgemeinen Gleichgewichtsbe-

dingungen, der Fließregel und der Fließbedingung.

Gl. (4.4/46) zeigt die von Rudisill ermittelte hyperbolische partielle Differentialgleichung für

die Horizontalspannungsverteilung in horizontaler und lateraler Richtung.

2

2− 2

2= ± 4√

3 ( ) ·

µ1

( )

¶(4.4/46)

54 Bekannte Walzmodelle

Rudisill konnte die Lösung dieser Differentialgleichung für die Vertikalspannung in der Vor-

und Nacheilzone wie folgt angeben

( ) = 4 sinh ()√3 cosh

¡

2

¢cosh ( )

+ (4.4/47)

cosh (− )

sinh¡

2

¢cosh ( )

cosh ()

− 4√3

r

1arctan

µ√1

¶+

und

( ) = 4 sinh ( ( − ))√3 cosh

¡

2

¢cosh ( ( − ))

+ (4.4/48)

cosh (− )

sinh¡

2

¢cosh ( ( − ))

cosh () +

4√3

r

1arctan

µ√1

¶+

= 2

ist die dimensionslose Vertikalkoordinate, und sind Rechengrößen, die nu-

merisch bestimmt werden müssen, bevor eine Berechnung der Spannungsverteilung gemäß Gl.

(4.4/47) und Gl. (4.4/48) erfolgen kann. und folgen aus den Randbedingungen in Abhän-

gigkeit der noch unbekannten und gemäß

=

³

8−

21

´ −

³ −

1

´sinh

2

sinh 2−

2

(4.4/49)

=

³

q1arctan

³√1

´+

8−

21

´

sinh¡

2

¢−

2

−³ − 0

12

1arctan

³√1

´´sinh

¡

2

¢sinh

¡

2

¢−

2

(4.4/50)

und folgen aus der Bedingung, dass der Vertikalspannungsverlauf vor und hinter der Fließ-

scheide gemäß Gl. (4.4/51) und Gl. (4.4/52) kontinuierlich sein muss.

() = () (4.4/51)

() =

()

(4.4/52)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 55

Rudisill schlug ein graphisches Verfahren zur Bestimmung von und vor. Heute ist die di-

rekte numerische Lösung von Gl. (4.4/51) zur Bestimmung von und sinnvoller. Der hohe

numerische Aufwand zur Bestimmung der Größen und schränkt die Einfachheit der

Anwendung dieses Modells ein. In der Rechenpraxis zeigt sich außerdem, dass das Modell nur

in einem eng umgrenzten Parameterbereich sinnvolle Ergebnisse liefert. Außerdem werden im

Vergleich zu Messwerten nur mäßig gute Ergebnisse erreicht, s. a. [Ove11].

4.5 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Das im Folgenden präsentierte Walzmodell lässt sich unter Vorgabe entsprechender Randbedin-

gungen für Reibung und Fließkurven sowohl für das Warm-, als auch das Kaltwalzen anwen-

den. Dazu werden die Betrachtungen des Streifenmodells zum ebenen Formänderungszustand

auf den allgemeinen dreidimensionalen Fall erweitert. Das Modell basiert in seinen Grundzü-

gen auf einer Arbeit von Ren, Tieu und anderen [RTLD06], wird hier jedoch allgemeiner für

das Warm- und Kaltwalzen mit beliebiger Walzendeformation formuliert. Auf diese Weise kann

die zweidimensionale Spannungsverteilung auf der Kontaktfläche zwischen Arbeitswalzen und

Walzgut in Längs- und Querrichtung berechnet werden.

4.5.1 Kräftegleichgewicht am Volumenelement im Walzspalt

Eine der Grundvoraussetzungen des Streifenmodells ist, dass der Werkstoff eben fließt und zwi-

schen einem Paar von Bahnen geführt wird [LM67]. Diese Voraussetzung des ebenen Werk-

stoffflusses führt dazu, dass das betrachtete Streifenelement eine finite Höhe , infinite Breite

→ ∞ und infinitesimale Länge hat. Das im Folgenden eingeführte Stabmodell verallge-

meinert diese Betrachtungen unter Auflösung der Voraussetzung des ebenen Werkstoffflusses.

Beim Übergang vom Streifenelement zum Stabelement wird die infinite Breite des Elementes

durch eine infinitesimale Breitenabmessung ersetzt. Das Stabelement hat nunmehr zwei in-

finitesimale Abmessungen und sowie eine endliche Höhenabmessung . Die Oberfläche

der Ober- oder Unterseite des Stabelementes entspricht einem Flächenelement der Kontakt-

fläche zwischen Arbeitswalze und Walzgut. Dieses Oberflächenelement ist im Raum doppelt

geneigt mit den Neigungswinkeln in horizontaler Richtung und in lateraler Richtung. Der

Flächeninhalt eines infinitesimalen Oberflächenelementes kann wie folgt angegeben werden

=

cos cos (4.5/1)

56 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Abbildung 4.5/1: Zweidimensionale Einteilung eines Walzspalts in Stabelemente (schematisch)

Mit derartigen Stabelementen kann die Geometrie eines Walzspaltes diskretisiert werden, bei

dem sowohl Ein-, als auch Austrittsquerschnitt nicht rechteckig sind. Abbildung 4.5/1 zeigt ein

solches Walzspaltvolumen beispielhaft. Sowohl der eintretende, als auch der aus dem Walzspalt

austretende Querschnitt weisen ein konvexes Dickenprofil auf.

Abbildung 4.5/2 zeigt die an einem Stabelement angreifenden Kräfte und ihre Zerlegungen in

Komponenten, die parallel zu den Koordinatenachsen wirken. Die Teilbilder A) und D) zei-

gen die in der xz- bzw. yz-Ebene angreifenden Kräfte, während die Teilbilder B), C), E) und

F) die Kräftezerlegung am Oberflächenelement für negative und positive Relativbewegungen

(entspricht Vor- und Nacheilung in der xz-Ebene, bzw. Querfluss in der yz-Ebene) illustrieren.

Formuliert man an einem Stabelement der infinitesimalen Länge und Breite die Kräfte-

gleichgewichte in den horizontalen und lateralen Richtungen, so folgen die Gleichungen

− − () + 2

cos

cos sin± 2

cos

cos cos = 0 (4.5/2)

in horizontaler Richtung, bzw.

− − () + 2

cos

cossin ± 2

cos

coscos = 0 (4.5/3)

in lateraler Richtung.

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 57

Abbildung 4.5/2: Dreidimensionaler Walzspalt mit am Stabelement angreifenden Kräften

58 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Diese Gleichgewichtsbedingungen können als Differentialgleichungen in der folgenden Form

ausgedrückt werden

()

= 2

µ

sin

cos cos ±

cos

¶(4.5/4)

()

= 2

µ

sin

cos cos±

cos

¶(4.5/5)

Für den Sonderfall eines von unabhängigen (rechteckigen) Dickenprofils gilt ( ) = 0 In

diesem Fall geht Gl. (4.5/4) gemäß cos (0) = 1 in die Differentialgleichung des Streifenmodells

nach [vK25] über.

()

= 2

µ

sin

cos cos 0±

cos 0

¶(4.5/6)

= 2

µsin

cos±

¶= 2 ( tan± )

Zur Behandlung der Gleichungen Gl. (4.5/4) und Gl. (4.5/5) werden die Neigungswinkel und

mit Hilfe der lokalen Verteilung der Walzguthöhe ( ) ausgedrückt. Allgemein gilt

tan =1

2

(4.5/7)

tan =1

2

Aufgrund allgemeiner Rechenregeln [BS08] gilt für ∈ R

cos (arctan ()) =1√1 + 2

(4.5/8)

Wendet man diese allgemeine Beziehung auf Gl. (4.5/7) an, dann folgt

cos =1q

1 +¡12

¢2 (4.5/9)

cos =1r

1 +³12

´2Mit Gl. (4.5/9) können die Neigungswinkel und aus Gl. (4.5/4) und Gl. (4.5/5) eliminiert

werden, indem diese durch die partiellen Ableitungen von ( ) ausgedrückt werden. Die Ter-

me und können als auf das Stabelement wirkende bezogene Kräfte aufgefasst werden

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 59

gemäß Gl. (4.5/10).

=

= (4.5/10)

=

=

Somit ergeben sich für die Veränderung von und in den x- und y-Richtungen die gewöhn-

lichen Differentialgleichungen Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12).

=

s1 +

µ1

2

¶2± 2

s1 +

µ1

2

¶2(4.5/11)

=

s1 +

µ1

2

¶2± 2

s1 +

µ1

2

¶2(4.5/12)

Die zweidimensionale Walzguthöhenverteilung ( ) und deren partielle Ableitungen

und

werden später numerisch behandelt und sollen an dieser Stelle nicht weiter mathematisch

aufgelöst werden. Für eine zylindrische Walze gilt bei Annäherung des Kontaktbogens als Pa-

rabel

() ≈ 1 +2

(4.5/13)

≈ 2

Setzt man eine zylindrische Walzenkontur voraus, dann kann der Neigungswinkel der werk-

zeuggebundenen Oberfläche als Polarwinkel der Walze interpretiert und anstelle von als Ko-

ordinatenachse verwendet werden. Dies wurde in einer Vielzahl von Arbeiten getan [Oro43,

FEB51, Sim54, LM67, Ale72, VAR80b, Fre96]. Da das hier beschriebene Modell auch für

nichtzylindrisch verformte Walzen verwendet werden soll, wird als Koordinatenachse beibe-

halten.

Die Verteilung des lateralen Neigungswinkels ( ) stellt sich durch Überlagerung mehre-

rer Effekte ein (mechanische und thermische Walzenbelastung) und kann komplizierte Formen

annehmen.

4.5.2 Verteilung von Normal- und Schubspannungen

Abbildung 4.5/3 zeigt die an einem würfelförmigen Körper angreifenden Spannungen in den

rechtwinkligen Koordinatenachsen x, y und z. Auf die Walzspaltgeometrie übertragen ist

60 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Abbildung 4.5/3: An einem Körper angreifende Normal- und Schubspannungen in rechtwinkligen Ko-ordinaten

die in Walzrichtung wirkende Schubspannung, während die quer zur Walzrichtung wir-

kende Komponente bezeichnet. kann im betrachteten Problem zu Null gesetzt werden, da

an den freien Walzguträndern kein Reibungskontakt mit einem Werkzeug vorliegt und innere

Schubspannungen im Rahmen des Modells nicht betrachtet werden.

Wie bereits betrachtet wurde, ist die Kontaktfläche Walze-Walzgut im Raum mit den Winkeln

und geneigt. Das auf der Kontaktfläche wirkende Vektorfeld der Reibschubspannungen wird

wie folgt für Coulomb’sche Gleitreibung dargestellt

τR ( ) = [τRx τRy] (4.5/14)

=£ cos cos

¤Die Vektoren τRx und τRy sind die Projektionen des doppelt geneigten Schubspannungsvek-

tors τR in die xz- und yz-Ebenen. und in Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) sind die Beträge

dieser Vektoren. Für die kartesischen Schubspannungskomponenten nach Abbildung 4.5/3 gilt

die Komponentenzerlegung

= cos cos = (4.5/15)

= cos cos =

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 61

Als abgekürzte Schreibweise wurde ein Neigungskorrekturfaktor definiert

= cos cos (4.5/16)

Zur Lösung des Problems fehlt die örtliche Verteilung der beiden Reibwertkomponenten ( )

und ( ). Zur Bestimmung von bzw. des Verhältnisses wird die Querflussge-

schwindigkeit als Relativgeschwindigkeit verwendet. Für die Relativgeschwindigkeiten in

den x- und y-Richtungen gilt

= − cos (4.5/17)

=

In [RTLD06] werden für die Reibwertkomponenten folgende Gleichungen vorgeschlagen

= 02

arctan

µ

¶(4.5/18)

= 02

arctan

µ

¶Für große Relativgeschwindigkeiten nähern sich und asymptotisch den vorgegebenen

maximalen Reibwerten 0 bzw. 0

lim→∞

= 0 (4.5/19)

lim→∞

= 0

Es kann angenommen werden

0 = 0 = (4.5/20)

Die Referenzkonstanten und haben den Charakter von Bezugsgeschwindigkeiten.

Mit ihnen ist die Abhängigkeit der Reibungskomponenten von den Relativgeschwindigkeiten

skalierbar. Abbildung 4.5/4 zeigt die Geschwindigkeitsempfindlichkeit des Reibwertes für un-

terschiedliche Empfindlichkeitsparameter in Abhängigkeit der bezogenen Relativge-

schwindigkeit .

Die simultane Lösung von Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) liefert die Verteilung der bezogenen

Horizontal- und Lateralkräfte ( ) und ( ). Diese liefern direkt keine Aussage über

die in der Kontaktfläche wirkenden Normalspannungen. Zudem müssen bereits zur Lösung der

Differentialgleichungen Aussagen über die Schubspannungsverteilung gemacht werden, wozu

62 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

μ / μ

0

vrel/vu

vref/vu = 1vref/vu = 0.5vref/vu = 0.2

vref/vu = 0.1vref/vu = 0.05

Abbildung 4.5/4: Geschwindigkeitsempfindlichkeit der Reibwertes für unterschiedliche Empfindlichkeit-sparameter

die Verteilung der Normalspannung notwendig ist, vgl. Gl. (4.5/15). Zur Berechnung von

muss zunächst die Zerlegung der am Oberflächenelement wirkenden Kräfte in z-Richtung

betrachtet werden (vgl. Abbildung 4.5/2)

cos cos = cos cos ± sin± sin (4.5/21)

Die Doppelvorzeichen betreffen den Übergang zwischen positiver und negativer Relativbewe-

gung beim Überschreiten der Fließscheiden. Dies lässt sich auch mit Koeffizienten und

ausdrücken, dann gilt

cos cos = cos cos + sin+ sin (4.5/22)

und sind wie folgt definiert mit Hilfe der Relativgeschwindigkeiten in x- und y-Richtung

und der Heaviside-FunktionH () [Olv10]

= 2H ( − cos)− 1 (4.5/23)

= 2H ()− 1

Schließlich ergibt sich die folgende Gleichung für die Vertikalspannung aus Gl. (4.5/22)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 63

= + tan

cos +

tan

cos(4.5/24)

Setzt man für beide Reibschubspannungen das Coulomb’sche Reibgesetz ein, so folgt mit den

Reibwerten und

=

µ1 +

tan

cos +

tan

cos

¶(4.5/25)

Aufgelöst nach folgt

=

1 + tancos

+ tan cos

(4.5/26)

Mit Gl. (4.5/26) ist die Verknüpfung von mit allgemein gegeben. Die Winkel sind beim

Walzen von Band und Blech klein, da die Banddickenunterschiede in lateraler Richtung klein

sind gegenüber der Bandbreite ( ¿ ). Vereinfacht folgt die aus [Ale72] bekannte Gleichung

≈

1 + tan(4.5/27)

Für kleine Winkel könnte noch weiter vereinfacht werden [Sie31]

≈ (4.5/28)

4.5.3 Fließbedingung bzw. Hooke’sches Gesetz

Zur mathematischen Komplettierung des Modells fehlt die Verknüpfung der Vertikal- und Ho-

rizontalspannungen und . Dabei ist zu unterscheiden, ob sich das Walzgut elastisch oder

plastisch verhält.

4.5.3.1 Plastischer Zustand

Verhält sich das Walzgut plastisch, wird der gesuchte Spannungszusammenhang von einer

Fließbedingung hergestellt. Nach von Mises [vM13] gilt in allgemeiner Form bei isotropem

Werkstoffverhalten Gl. (4.5/29).

=

r1

2

£( − )

2 + ( − )2 + ( − )

2¤+ 3 ¡ 2 + 2 + 2¢

(4.5/29)

Setzt man die Reibschubspannungen nach Gl. (4.5/15) in Gl. (4.5/29) ein, dann folgt für die

Fließbedingung des Walzprozesses

=

r1

2

£( − )

2 + ( − )2 + ( − )

2¤+ 322 ¡2 + 2¢

(4.5/30)

64 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Die Lösung von Gl. (4.5/30) nach der Vertikalspannung liefert

=( + )

2± 12(42 + 3

¡2 − 2 − 2

¢− (4.5/31)

12 ()2 − 12 ¡¢2)12

Das Doppelvorzeichen in Gl. (4.5/31) ergibt sich aufgrund der quadratischen Gleichungsstruk-

tur von Gl. (4.5/29). Es gibt zwei Lösungen in Abhängigkeit der Konvention der Spannungsde-

finition, siehe S. 1. Hier gilt

= +

2+1

2

q42 + 3

¡2 − 2 − 2

¢− 12 ¡2 + 2¢

(4.5/32)

Die Bestimmungsgleichung für ist erneut nichtlinear, da in Gl. (4.5/32) vorkommt. Die

Lösung ergibt sich durch Einsetzen von Gl. (4.5/32) in Gl. (4.5/26) und Auflösen der Gleichung

nach . Es ergeben sich wieder zwei Lösungen aufgrund der Vorzeichenabhängigkeit von

. Um diese Problematik zu umgehen, ist die Vernachlässigung von Schubspannungen in der

Fließbedingung denkbar. Unter dieser Voraussetzung kann vereinfachend geschrieben werden

≈ +

2+1

2

q42 + 3

¡2 − 2 − 2

¢(4.5/33)

≈+2

+ 12

q42 + 3

¡2 − 2 − 2

¢1 +

tancos

+ tan cos

(4.5/34)

Zur Verknüpfung mit Gl. (4.5/11) kann die Horizontalspannung mit Hilfe der bezogenen

Horizontalkraft ausgedrückt werden

=

(4.5/35)

Mit Hilfe von Gl. (4.5/26) und Gl. (4.5/32) ist es möglich, Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) für die

plastischen Bereiche zu lösen.

4.5.3.2 Elastischer Zustand

Für die elastischen Bereiche am Walzspaltein- und austritt kann nicht auf die Kopplung der

Spannungsgrößen über die Fließbedingung zurückgegriffen werden, da sich der Werkstoff nicht

im plastischen Zustand befindet. Jedoch sind alle Gleichgewichtsbetrachtungen, Gl. (4.5/11),

Gl. (4.5/12) und Kräftezerlegungen Gl. (4.5/26) auch im elastischen Zustand gültig. An Stelle

der Fließbedingung muss im elastischen Bereich der Zusammenhang von und über das

Hooke’sche Gesetz hergestellt werden. Die von Le und Sutcliffe durchgeführten Betrachtungen

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 65

[LS01] werden hier für den dreidimensionalen Fall weiterentwickelt. Für isotrope Werkstoffe

gilt [GHSW07]

= − 1[ − ( + )] (4.5/36)

= − 1[ − ( + )]

= − 1[ − ( + )]

Da in den elastischen Zonen keine plastische Dehnung vorliegt, kann die Gesamtdehnung mit

der elastischen Dehnung gleich gesetzt werden. Für das elastische Dehnungsinkrement kann

geschrieben werden

=

(4.5/37)

Gleichgesetzt mit Gl. (4.5/36) folgt

ln

µ

0

¶= − 1

[ − ( + )] (4.5/38)

Daraus folgt für die Vertikalspannung

= ( + )− ln

µ

0

¶(4.5/39)

In den elastischen Zonen wird Gl. (4.5/39) anstelle von Gl. (4.5/32) verwendet. Das Ende der

elastischen Kompressionszone am Walzspalteintritt ist erreicht, wenn die Fließbedingung Gl.

(4.5/30) für den vorliegenden Spannungszustand und die Anfangsfließspannung 0 erfüllt wird.

Das Ende der plastischen Formänderung liegt vor, wenn die Walzguthöhenfunktion eine waa-

gerechte Tangente hat, = 0.

4.5.4 Randbedingungen zur Lösung der Differentialgleichungen

Die Randbedingungen für die Lösung von Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) sind die vor den elasti-

schen Zonen anliegenden bezogenen Horizontalkräfte gemäß Gl. (4.5/40). Die Längsspannun-

gen und Querschnittshöhen müssen nicht über die y-Koordinate konstant sein, wie Gl. (4.5/40)

zum Ausdruck bringt.

( ) = − ()0 () (4.5/40)

(0 ) = − ()1 ()

66 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Die örtliche Verteilung der externen Längsspannungen () und () lässt sich proportional

zum vorliegenden Dickenprofil ausdrücken

() = 0

0 ()(4.5/41)

() = 1

1 ()

Die Randbedingung von Gl. (4.5/12) besteht im Verschwinden der Lateralkraft an der Walzgut-

kante

µ±

2

¶= 0 (4.5/42)

4.5.5 Numerisches Lösungsverfahren des Spannungsfelds

Um das Spannungsfeld auf dem zweidimensionalen Lösungsgebiet zu berechnen, müssen die

Differentialgleichungen Gl. (4.5/11) und Gl. (4.5/12) simultan gelöst werden. Dazu wird ein

rechteckiges Gitter verwendet. Da sich der vorliegende Spannungszustand in der Nähe der

Walzgutkanten sehr stark verändert, müssen die Knotenabstände in diesen Bereichen kleiner

gewählt werden als in der Mitte des Walzgutes. In x-Richtung wird jedoch eine äquidistan-

te Verteilung der Knotenpunkte verwendet. Insgesamt werden Knotenpunkte in x-Richtung

und Knotenpunkte in y-Richtung verwendet, so dass das Gitter = Knoten hat. Die

Punkte werden in x- und y-Richtung mit den diskreten Zählvariablen und bezeichnet. Die

Zählung beginnt in x-Richtung mit der Austrittsebene, ( = 1 entspricht = 0; = ent-

spricht = ) und in y-Richtung mit der Bandmitte ( = 1 entspricht = 0; = entspricht

= 2).

An den Walzgutkanten gilt die Randbedingung Gl. (4.5/42). Diese wird in folgender Form ge-

schrieben

( ) = 0 (4.5/43)

Mit Hilfe dieser Gleichungen wird zunächst Gl. (4.5/11) für die Walzgutkante in den elastischen

und plastischen Bereichen gelöst. Mit der daraufhin bekannten Verteilung von ( ) kann Gl.

(4.5/12) gelöst werden, um die Verteilung der Lateralkraft in der nächsten Ebene ( − 1)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 67

Größe WertWalzguthöhe Eintritt 0 40 mmWalzspalt 0 19,68 mmWalzgutbreite 1800 mmWalzendurchmesser 720 mmWerkstoff C55Umformtemperatur 1000CWalzenumfangsgeschwindigkeit 1 m/sReibwert 0,3Walzspaltverhältnis 2,866

Tabelle 4.5/1: Parameter für ein Rechenbeispiel zur Spannungsverteilung

zu berechnen. Daraus folgt die Lateralspannungsverteilung gemäß

( − 1) = ( − 1) ( − 1) (4.5/44)

Mit Kenntnis dieser Spannungsverteilung kann in der Ebene = − 1 durch erneute Lösung

von Gl. (4.5/11) die Horizontalkraft ( − 1) berechnet werden. Auf diese Art und Weise

wird in einem zweistufigen Verfahren die Spannungsverteilung in jeder Lateralebene des Walz-

spaltes berechnet, wobei die Spannungsverteilungen der einzelnen Ebenen über die Lateral-

kraftverteilung ( ) miteinander gekoppelt sind. Auf diese Weise werden die vorliegenden

dreiachsigen Spannungszustände modellseitig korrekt abgebildet.

Im Folgenden wird dies anhand eines Beispiels illustriert. Abbildung 4.5/5 zeigt die zweidi-

mensionale Verteilung der zwischen Walzgut und Arbeitswalzen wirkenden Normalspannung

für einen Walzfall gemäß Tabelle 4.5/1.

4.5.6 Das Geschwindigkeitsfeld beim Walzen auf flacher Bahn

Wie in den letzten Abschnitten bereits ausgeführt wurde, gibt es im Walzspalt Bereiche ebe-

ner und dreiachsiger Formänderungszustände. Im Folgenden werden die Gleichungen der Ge-

schwindigkeitszustände hergeleitet, die für diese beiden Zonen Gültigkeit haben. Allgemein gilt

zunächst die Kontinuitätsgleichung mit einem Stromdichtevektor j

+ div j = 0 (4.5/45)

Für die Erhaltung der Masse gilt

+ div

⎛⎝

⎞⎠ = 0 (4.5/46)

68 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

−1200−800

−400 0

400 800

1200

0

20

40

60

80

100

100

150

200

250

300

350

400

450

y [mm]

x [mm]

σN

[M

Pa]

Abbildung 4.5/5: Berechnete Spannungsverteilung für das Beispiel nach Tabelle 4.5/1 unter Vernach-lässigung der elastischen Formänderungen

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 69

Bei zeitlich konstanter Dichte folgt

div

⎛⎝

⎞⎠ = 0 (4.5/47)

() +

() +

() = 0 (4.5/48)

Ist die Dichte nicht nur zeitlich sondern ebenfalls örtlich konstant, so folgt die Inkompressibili-

tätsbedingung

+

+

= 0 (4.5/49)

Gl. (4.5/49) ist ein Kriterium für die kinematische Zulässigkeit eines Geschwindigkeitsfeldes.

Jedes plastische Geschwindigkeitsfeld muss diese Gleichung erfüllen, damit der Werkstoffzu-

sammenhalt nicht verloren geht. Außerdem müssen die Werkzeugrandbedingungen erfüllt wer-

den. Diese beiden Bedingungen kann man sich zur Formulierung von Geschwindigkeitsfeldern

zunutze machen.

In welchen Bereichen des Walzspaltvolumens welches Geschwindigkeitsfeld zur Anwendung

gebracht werden muss, lässt sich durch Prüfung der Fließbedingung aus dem Spannungsfeld

bestimmen. Die im Folgenden formulierten Geschwindigkeitsfelder gelten unter der Vorausset-

zung parallelepipedischer Umformung.

4.5.6.1 Ebener Formänderungszustand

Im breitungsfreien Zustand gilt definitionsgemäß

= 0 (4.5/50)

Bei parallelepipedischer Umformung ist nur von , aber nicht von und abhängig. Es kann

daher geschrieben werden

() =00

()(4.5/51)

Für die Ableitung

gilt

= 00

µ1

()

¶= − 00

2 ()

(4.5/52)

70 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

In der Mittelebene des Walzgutes bei = 0 gilt aus Symmetriegründen

( = 0) = 0 (4.5/53)

Die erste Ableitung des Vertikalgeschwindigkeitsverlaufs kann gewonnen werden, indem die

Inkompressibilitätsbedingung Gl. (4.5/49) zur Anwendung gebracht wird

= −

= −00

µ1

()

¶(4.5/54)

Da

nicht von abhängt, liegt eine lineare Verteilung von in -Richtung vor. Dies ist ein

Charakteristikum der parallelepipedischen Umformung. Unter Berücksichtigung der Randbe-

dingung Gl. (4.5/53) ist die Lösung von Gl. (4.5/54)

( ) = − 00

µ1

()

¶(4.5/55)

Die Inkompressibilität ist durch die Verwendung von Gl. (4.5/54) gewährleistet. Die Werk-

zeugrandbedingung ist befriedigt, da an der Werkzeugkante gilt

¡

2

¢ ()

= −2 ()

2

µ1

()

¶(4.5/56)

=1

2

= tan ()

Damit ist die Erfüllung der Werkzeugrandbedingung durch Gl. (4.5/55) nachgewiesen. Ein ki-

nematisch zulässiges Geschwindigkeitsfeld für ebene und parallelepipedische Umformung ist

daher durch Gl. (4.5/57) gegeben.

v2D ( ) =

⎡⎣

⎤⎦ =⎡⎢⎣

00()

0

− 00

³1

()

´⎤⎥⎦ (4.5/57)

Abbildung 4.5/6 zeigt die fortschreitende Gitterverzerrung, die durch die Anwendung von Gl.

(4.5/57) bei einem Walzstich mit den Daten 0 = 10; 1 = 5; = 80 berechnet

wurde.

4.5.6.2 Dreiachsiger Formänderungszustand bei parallelepipedischer Umformung

Im dreiachsigen Formänderungszustand sind alle Komponenten des Geschwindigkeitsfelds von

Null verschieden. Auch hier müssen die Inkompressibilitätsbedingung und die durch den Werk-

zeugkontakt vorgegebene Randbedingung erfüllt werden. Wenn der Querschnitt des Walzguts

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 71

Abbildung 4.5/6: Verzerrtes Gitter für einen Walzstich bei ebener und parallelepipedischer Umformung

stets rechteckig bleibt, ist eine Klasse kinematisch zulässiger Geschwindigkeitsfelder nach Hill

[Hil63] mit dem Walzgutbreitenverlauf () und der Höhenverteilung () wie folgt gegeben

( ) =

·

() ()(4.5/58)

( ) = −·

()

µ1

()

¶ ( ) = −

·

()

µ1

( )

¶Die Inkompressibilitätsbedingung gilt mit

( ) = −

−

(4.5/59)

( ) = −

−

(4.5/60)

An der Walzgutoberfläche gilt

µ

2

¶= −

2−

2(4.5/61)

Wenn die Höhenverteilung zweidimensional mit = ( ) gegeben ist, dann muss die Werk-

zeugrandbedingung für wie folgt formuliert werden, siehe auch El-Nikhaily [EN79]

µ

2

¶=1

2

( ) +

1

2

( ) (4.5/62)

Gleichsetzen von Gl. (4.5/61) und Gl. (4.5/62) liefert eine Differentialgleichung zur Bestim-

mung von

() = −

−

(4.5/63)

72 Weiterführung zum zweidimensionalen Walzmodell für Flachquerschnitte

Diese Gleichung kann wie folgt integriert werden

( ) = − 1

( )

Z

0

µ

( ) + ( )

¶ (4.5/64)

Für die Horizontalgeschwindigkeit gilt weiterhin

( ) =

·

() ()(4.5/65)

Die partielle Ableitung

ist

=

·

∙1

( )

µ1

()

¶+

1

()

µ1

( )

¶¸(4.5/66)

Die Lösung des Integrals in Gl. (4.5/64) erfolgt numerisch. Für ( ) gilt Gl. (4.5/60).

Als Nebenbedingung fehlt die Vorgabe der Breitenfunktion (). Man kann für die Breitenfor-

mänderung eine Abhängigkeit von der Höhenformänderung voraussetzen. Nach Wusatowski

gilt [Wus55]

1

0=

µ1

0

¶

(4.5/67)

Der Breitungsexponent folgt bei bekannter Endbreite zu

=ln (10)

ln (10)=

(4.5/68)

Bringt man Gl. (4.5/67) lokal zur Anwendung, dann gilt

() = 0

µ ()

0

¶

(4.5/69)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 73

Abbildung 4.5/7: Nach Gl. (4.5/58) berechnetes parallelepipedisch verzerrters Gitter bei einem Flach-stich mit Breitung

Abbildung 4.5/7 zeigt ein auf diese Art berechnetes Verzerrungsfeld mit Breitung für einen

Walzfall mit einem Walzendurchmesser von = 500 , Anstichquerschnitt 0 = 0 =

35 , Austritthöhe 1 = 20 . Die Endbreite wurde nach Roux berechnet und beträgt

1 = 49 18.

Damit kann das breitungsbehaftete Geschwindigkeitsfeld im ebenen Fall berechnet werden. Die

so bestimmte Relativgeschwindigkeit zwischen Walze und Walzgut wird gemäß der im voraus-

gegangenen Abschnitt beschriebenen Methode zur Bestimmung der Reibwertkomponente in

y-Richtung herangezogen.

74 Thermische Effekte im Walzspalt

4.6 Thermische Effekte im Walzspalt

Neben der Kinematik und Statik ist die Temperatur des Walzgutes von zentraler Bedeutung

für den Walzprozess. Die Fließspannung wird direkt von der Temperatur beeinflusst. Daher

wirkt sich die Temperatur auch auf die Spannungsverteilung und Walzkraft, Drehmoment und

Leistung des Walzprozesses aus. Außerhalb der Walzspalte kann die Oberfläche des Walzgutes

den folgenden Effekten ausgesetzt sein:• Freie Strahlung an die Umgebungsluft

• Isolierter Rollgang zur Unterdrückung der Strahlungsverluste

• Wasserkühlstrecke zur forcierten Reduktion der Temperatur

• Induktionsheizstrecke

Innerhalb der Walzspalte wirken jeweils zwei Effekte gleichzeitig• Temperaturerhöhung durch Umformwärme

• Wärmedurchgang an die Walzen

Abbildung 4.6/1 zeigt die auf das Walzgut wirkenden Einflüsse, die für die Temperaturbilanz

von Bedeutung sind.

Die Möglichkeit zur Berechnung der lokalen Temperaturverteilung im Walzgutquerschnitt zu

jedem Zeitpunkt ist insbesondere im Hinblick auf moderne Walzstrategien wie das thermome-

chanische Walzen [Mau05, MC76] von großem Interesse. Für die letzten Stiche muss ein enges

Temperaturfenster eingehalten werden. Um die dazu notwendigen Umformparameter zu be-

stimmen, ist eine numerische Berechnung der örtlichen Walzguttemperaturverteilung hilfreich.

Im Folgenden wird ein Modell entwickelt, mit dem sich die Temperaturverteilung beim Walzen

von Flachquerschnitten numerisch berechnen lässt. Zur numerischen Lösung der Wärmelei-

tungsgleichung unter Berücksichtigung der maßgeblichen Randbedingungen wird die Finite-

Differenzen-Methode angewandt.

4.6.1 Modellierung der Temperaturverteilung im Walzgut

Beim Walzen von Flachquerschnitten wird die Wärmeleitungsgleichung zweidimensional in

kartesischen Koordinaten formuliert. Diese Vorgehensweise hat gegenüber der eindimensiona-

len Beschreibung des Temperaturgradienten in vertikaler Richtung den Vorteil, dass auch die

Effekte an den Querschnittskanten erfasst werden können. Die allgemeine Form der zeitabhän-

gigen Wärmeleitungsgleichung mit Quellterm für die Wärmeverteilung in y- und z-Richtung

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 75

Abbildung 4.6/1: Auf das Walzgut wirkende thermische Einflüsse

(lateral und vertikal) zeigt Gl. (4.6/1). Die Wärmeleitung in Längsrichtung (x-Koordinate) kann

vernachlässigt werden, da sich das Walzgut in x-Richtung bewegt und konvektive Einflüsse be-

deutsamer sind.

=

µ

¶+

µ

¶+ (4.6/1)

Diese allgemeine Form der Wärmeleitungsgleichung kann sowohl in den Zeitabschnitten ver-

wendet werden, in denen ein zu verfolgender Walzgutquerschnitt in einem Walzspalt umgeformt

wird, als auch für diejenigen Zeitabschnitte, in denen er sich außerhalb der Walzspalte befindet.

Dazu müssen die Randbedingungen für die jeweiligen Situationen formuliert werden.

Außerhalb der Walzspalte muss der Quellterm = 0 gesetzt werden, während innerhalb der

Walzspalte für die dissipierte Umformwärme Gl. (4.6/2) mit der Vergleichsspannung , der

mittleren Umformgeschwindigkeit·und den temperaturabhängigen thermophysikalischen Pa-

rametern des Walzguts () und () gilt.

=

·

( ) ( )(4.6/2)

An den Rändern in lateraler Richtung ( = ± 2) und vertikaler Richtung ( = ±

2) können

unterschiedliche Randbedingungen vorliegen. Allgemein strahlen freie Ränder Wärme an die

76 Thermische Effekte im Walzspalt

Umgebungsluft ab. Für die Wärmestromdichte gilt in diesem Fall

· =

"µ

100

¶4−µ

100

¶4#(4.6/3)

Für den Wärmeübergang bei Kontakt der Querschnittsränder mit einem Kühlmedium der Tem-

peratur gilt

· = ( − ) (4.6/4)

Innerhalb der Walzspalte befinden sich die vertikalen Querschnittsberandungen immer in Kon-

takt mit den Arbeitswalzen bzw. zunächst mit einer Oxid- oder Schmiermittelschicht. Will man

für diesen Fall die Formulierung der Randbedingung gemäß Gl. (4.6/4) zur Anwendung brin-

gen, ist die Kenntnis der Walzenoberflächentemperatur erforderlich, die der externen Tempera-

tur des Kontaktpartners entspricht. Da das oberflächennahe Temperaturfeld der Arbeitswal-

ze starken thermischen Fluktuationen unterworfen ist, sind diese Temperaturen schwierig ab-

zuschätzen. Pawelski beschrieb zur vereinfachten Berechnung des Temperaturverlustes durch

Wärmeleitung beim Walzen und Schmieden ein Wärmedurchgangsmodell [Paw69]. Hier wird

nicht der Wärmeübergang an den Oberflächen der Kontaktpartner beschrieben, sondern der

Wärmedurchgang vom Walzenkern zum Walzgutkern. Folglich wird die Kerntemperatur des

Walzguts mit der Kerntemperatur der Arbeitswalze in Zusammenhang gebracht. Für den Wär-

mefluss gilt mit dem Wärmedurchgangskoeffizienten , der Walzenkerntemperatur und

der Walzguttemperatur Gl. (4.6/5).

· = ( − ) (4.6/5)

Der Wärmedurchgangskoeffizient hängt beim Warmwalzen hauptsächlich von der Zunder-

dicke und der Berührzeit ab. Die thermophysikalischen Eigenschaften der beteiligten

Körper Walzgut, Zunderschicht und Walze werden durch die Wärmeeindringkoeffizienten

(Walze), (Zunderschicht) und (Walzgut) beschrieben, die durch Gl. (4.6/6) bis Gl.

(4.6/8) definiert sind.

=q

(4.6/6)

=q (4.6/7)

=q

(4.6/8)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 77

Die allgemeine Gleichung für den Wärmedurchgangskoeffizienten lautet [Paw69]

=

2√

(

2

[1− erf ()]− 1

+

√2

)(4.6/9)

mit =2

√

Die Gauß’sche Fehlerfunktion ist definiert wie in Gl. (4.6/10) gegeben [Abr70].

erf () =2√

Z

0

−2

(4.6/10)

Pawelski konnte zeigen, dass zwischen zwei Grenzwerten liegt, die sich für die Grenzfälle

einer unendlich dicken Zunderschicht ( → ∞) und einer Zunderschicht der Dicke Null

( → 0) ergeben. Diese Grenzwerte sind durch Gl. (4.6/11) und Gl. (4.6/12) gegeben.

min = lim→∞

=2√

+

1√

(4.6/11)

max = lim→0

=√√

(4.6/12)

Abbildung 4.6/2 zeigt die Abhängigkeit des Wärmedurchgangskoeffizienten von der Berühr-

zeit und der Zunderdicke.

Für die thermophysikalischen Eigenschaften des Walzguts liegen umfangreiche experimentelle

Daten für unterschiedliche Werkstoffe vor [Bri53]. Die Daten werden für die Berechnung in

Tabellen hinterlegt und unter Verwendung von kubisch interpolierenden Splines mathematisch

angenähert. Abbildung 4.6/3 zeigt beispielhaft die Temperaturabhängigkeit von , , und für

einen Kohlenstoffstahl C45, einen austenitisch-rostfreien Stahl X8CrNi18.10 und den Mangan-

Hartstahl X120Mn12.

Für die thermophysikalischen Daten der Zunderschicht werden die Werte und Abhängigkeiten

nach Gl. (4.6/13) verwendet [KBF10]

() = 674 959 + 0 297− 4 367 · 10−52∙

¸(4.6/13)

() = 1 + 7 833 · 10−4∙

¸ = 5700

∙

3

¸

78 Thermische Effekte im Walzspalt

0.1

1

10

100

1000

0.001 0.01 0.1 1 10

s = 560 μm

s = 320 μm

s = 180 μm

s = 100 μm

s = 56 μm

s = 32 μm

s = 18 μm

s = 3,2 μm s = 5,6 μm

s = 10 μm

s → 0 μm

s → ∞

Wär

med

urch

gang

skoe

ffiz

ient

kL[k

W/m

2 K]

Berührzeit tB[s]

Abbildung 4.6/2: Wärmedurchgangskoeffizient nach Pawelski in Abhängigkeit der Berührzeit und derZunderdicke, eigene Berechnungen nach [Paw69]

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 79

450

500

550

600

650

700

750

800

850

900

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Spe

z. W

ärm

ekap

azit

ät [

J/kg

K]

Temperatur [°C]

C10X8CrNi18.10

X120Mn12

7200

7300

7400

7500

7600

7700

7800

7900

8000

0 200 400 600 800 1000 1200

Mas

send

icht

e [k

g/m

³]

Temperatur [°C]

10

20

30

40

50

60

70

0 200 400 600 800 1000 1200

Wär

mel

eitf

ähig

keit

[W

/mK

]

Temperatur [°C]

Abbildung 4.6/3: Temperaturabhängigkeit thermophysikalischer Daten von drei Stahlwerkstoffen. Da-ten nach [Bri53]

80 Thermische Effekte im Walzspalt

Für die Modellierung der Wärmeübertragung an die Walze im Rahmen der numerischen Lö-

sung von Gl. (4.6/1) ist eine Randbedingung in der Form von Gl. (4.6/4) erforderlich, die eine

Aussage über die Oberflächentemperatur des Walzgutes macht. Nach Pawelski ist die durch ein

Flächenelement in der Zeit vom Walzgut an die Zunderschicht abgegebene Wärmemen-

ge

= ∗ ( − ) (4.6/14)

Die mittlere Walzgut- und Walzentemperatur ist wie folgt gegeben

= +

2(4.6/15)

Die gleiche Wärmemenge kann durch den Wärmedurchgang zwischen Walzgut- und Walzen-

kerntemperatur beschrieben werden

= ( − )

Darus folgt für die Umrechnung zwischen und

∗

=

−

− (4.6/16)

4.6.2 Numerische Lösung der Wärmeleitungsgleichung

Zur numerischen Lösung von Gl. (4.6/1) wird im Folgenden ein numerisches Lösungsverfah-

ren entwickelt, das auf dem impliziten Euler-Verfahren beruht. Die Diskretisierung des Walz-

gutquerschnitts erfolgt in Höhe und Breite nicht äquidistant, da in den Randbereichen höhere

Temperaturschwankungen zu erwarten sind als im Inneren des Querschnittes, Abbildung 4.6/4.

Hier werden die Stützstellen der Clenshaw-Curtis-Formeln [SK04] verwendet. Für die Koordi-

naten von Stützstellen in z-Richtung und Stützstellen in y-Richtung gelten die Gleichungen

= cos(2− 1)2

(4.6/17)

= cos(2 − 1)

2(4.6/18)

Hat man die - und -Achsen gemäß dieser Regel aufgebaut und so ein -Gitter erstellt, dann

kann man die örtlichen Schrittweiten zwischen jeweils zwei Punkten wie folgt definieren

∆ = − −1 (4.6/19)

∆ = − −1

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 81

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

z / (

h/2)

y / (b/2)

Abbildung 4.6/4: Zweidimensionales Gitter mit nicht-konsanter Schrittweitenverteilung für Tempera-turberechnungen an einem Flachquerschnitt

Die Ableitungen der Wärmestromdichten in y- und z-Richtung werden wie folgt angenähert

≈ +1 −

12(∆+1 +∆)

(4.6/20)

≈ +1 −

12(∆+1 +∆)

Die Wärmestromdichten werden zwischen den Gitterpunkten zentriert und können gemäß Gl.

(4.6/21) in ähnlicher Weise durch Differenzenquotienten angenähert werden.

≈

− −1∆

(4.6/21)

≈

− −1∆

Die örtlich gemittelten Wärmeleitfähigkeiten des Walzgutwerkstoffs und sind wie folgt

gegeben

=−1 +

2(4.6/22)

=−1 +

2

82 Thermische Effekte im Walzspalt

Abbildung 4.6/5: Fünfpunktestern und schematischer Verlauf der gemittelten Wärmeleitfähigkeiten undWärmeströme auf dem Gitter

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 83

Die Temperaturen eines Fünfpunktesterns sind über Gl. (4.6/23) miteinander, mit der Zentral-

temperatur des vorhergehenden Zeitpunktes und dem Quellterm verknüpft, siehe auch Abbil-

dung 4.6/5. Diese Gleichung ist nichtlinear, da die thermophysikalischen Daten des Walzgutes

und von der gesuchten Lösung des Temperaturfeldes abhängig sind.

1 (4.6/23)

+2−1

+3+1

+4−1

+5+1 = −1 +∆ −1

−1 · −1Die Koeffizienten 1 2 3 4 5 sind wie folgt gegeben

1() = 1 (4.6/24)

+∆−1 + +1−1

[∆+1 +∆]∆+1−1−1

+∆−1−1 + −1

[∆+1 +∆]∆−1−1

+∆−1 + +1−1

[∆+1 +∆]∆+1−1−1

+∆−1−1 + −1

[∆+1 +∆]∆−1−1

2() = −∆−1−1 + −1

[∆+1 +∆]∆−1−1(4.6/25)

3() = −∆−1 + +1−1

[∆+1 +∆]∆+1−1−1(4.6/26)

4() = −∆−1−1 + −1

[∆+1 +∆]∆−1−1(4.6/27)

5() = −∆−1 + +1−1

[∆+1 +∆]∆+1−1−1(4.6/28)

84 Thermische Effekte im Walzspalt

Gl. (4.6/23) stellt die Verknüpfung der Temperatur eines zentralen Punktes mit den Tempe-

raturen der vier nächsten Nachbarpunkte im Inneren des Lösungsgebietes dar. An den Rändern

müssen die entsprechenden Randbedingungen berücksichtigt werden. Für das gesamte Tempe-

raturfeld ergibt sich damit ein lineares Gleichungssystem mit der Koeffizientenmatrix A, dem

Temperaturvektor t und dem Vektor der rechten Seite b gemäß Gl. (4.6/29).

At = b (4.6/29)

t =

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝

111

...1212

...2

...

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(4.6/30)

Beim vorliegenden zweidimensionalen Problem wird die Koeffizientenmatrix geschachtelt auf-

gebaut. Als Submatrix für eine gegebene j-Koordinate gilt

A =

⎛⎜⎜⎜⎝1 1

2 . . .

. . . . . . −1

⎞⎟⎟⎟⎠ (4.6/31)

Die Gesamtkoeffizientenmatrix ist wie folgt aufgebaut

A =

⎛⎜⎜⎜⎝A1 D1

E2 A . . .. . . . . . D−1

E A

⎞⎟⎟⎟⎠ (4.6/32)

Die Submatrizen auf den Nebendiagonalen von A sind wie folgt definiert

D =

⎛⎜⎜⎝1

. . .

⎞⎟⎟⎠ (4.6/33)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 85

E =

⎛⎜⎜⎝1

. . .

⎞⎟⎟⎠ (4.6/34)

Nachdem die Koeffizientenmatrix für die inneren Gitterpunkte aufgebaut wurde, werden die

Randbedingungen eingefügt. Dazu werden diskretisierte Formen von Gl. (4.6/2), Gl. (4.6/4),

Gl. (4.6/5) und Gl. (4.6/3) verwendet.

Bei der numerischen Lösung des linearen Gleichungssystems Gl. (4.6/29) kann man sich zunut-

ze machen, dass die Koeffizientenmatrix A dünn besetzt ist, da jeder Knotenpunkt nur jeweils

mit seinen vier nächsten Nachbarn verknüpft ist (Fünfpunktestern). Ein derartiges Gleichungs-

system lässt sich am besten mit dem Gauß’schen Eliminationsverfahren lösen, indem zunächst

die LU-Faktorisierung der dünn besetzten Koeffizientenmatrix berechnet wird. Anschließend

werden die Lösungen des Gleichungssystems durch Vorwärts- und Rückwärtseinsetzung ge-

funden [Vis10].

Wenn das Temperaturfeld nach Lösung der Gl. (4.6/29) bekannt ist, folgt die Durchschnittstem-

peratur gemäß Gl. (4.6/35).

=

2Z

− 2

2Z

−2

( )

· (4.6/35)

Als Beispiel für die Berechnung eines Temperaturprofils beim Warmwalzen wird der folgende

Walzvorgang betrachtet. Eine Bramme wird mit einem Zweiwalzengerüst des Walzendurchmes-

sers = 1000 reversierend ausgewalzt. Die Bramme hat eine Masse von = 40000 ,

eine Dicke von 0 = 260 und eine Breite von 0 = 1800 . Zum Zeitpunkt = 0

wird die Bramme mit einer Temperatur von 0 = 1200 aus dem Wärmofen gezogen und

bewegt sich mit der Einzugsgeschwindigkeit auf das Reversiergerüst zu, das mit einer Walzen-

drehzahl von = 100 min−1läuft. Die Bramme wird in 11 Stichen zu einem Vorband der Dicke

= 40 ausgewalzt. Der Stichplan kann Tabelle 4.6/1 entnommen werden.

Verfolgt man einen Walzgutquerschnitt am Anfang der Walzader, so kann man zu jedem diskre-

ten Zeitpunkt gemäß des obigen Finite-Differenzen-Modells die Temperaturverteilung berech-

nen, wobei die jeweils gültigen Randbedingungen und Quellterme für die unterschiedlichen

86 Thermische Effekte im Walzspalt

Stich Austrittsdicke h1[mm] Länge nach dem Stich l1[m]1 205,6 14,3132 164,7 17,8673 133,6 22,0194 109,9 26,7865 91,5 32,1686 77,2 38,1357 65,9 44,6298 57,1 51,5589 50,1 58,810 44,5 66,19611 40,0 73,643

Tabelle 4.6/1: Parameter für eine Brammenwalzung

Verhältnisse (Abkühlung an Luft, bzw. Wärmeleitung und Umformwärme innerhalb der Walz-

spalte) zu beachten sind. Für den vorliegenden Fall und einen Werkstoff C55 ergibt sich der

Temperaturverlauf gemäß Abbildung 4.6/6.

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 87

400

500

600

700

800

900

1000

1100

1200

1300

0 20 40 60 80 100 120 140

Tem

pera

tur

[°C

]

Verstrichene Zeit [s]Kern

Oberfläche MitteOberfläche Kante

Durchschnitt

−1000−800−600−400−200 0 200 400 600 800 1000−25−20

−15−10

−5 0

5 10

15 20

25

800

900

1000

1100

y [mm]

z [mm]

Tem

pera

tur

[°C

]

Abbildung 4.6/6: Temperaturprofil (oben) und Temperaturverteilung (unten) für die Brammenwalzungnach Tabelle 4.6/1

88 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

4.7 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

Die bisherigen Betrachtungen zur Kinematik beziehen sich auf ein jeweils einzelnes Walzge-

rüst. Zum Erreichen hoher Produktionsleistungen sind kontinuierliche Gerüstanordnungen üb-

lich. Bei diesen sind die Walzspalte aller Gerüste in einer Linie angeordnet, so dass das aus dem

Walzspalt eines Gerüstes austretende Walzgut ohne Umlenkung in den Walzspalteintritt des

nächsten Gerüstes geführt wird. Zur kinematischen Verträglichkeit müssen die Walzendrehzah-

len der Gerüste aneinander angepasst werden.

4.7.1 Drehzahlabstimmung beim Walzen ohne Längsspannungen

Generell gilt die örtliche, aber nicht zeitliche Konstanz des Volumenstroms gemäß

=· = (4.7/1)

Ist die Querschnittsverteilung in einer mehrgerüstigen Anordnung bekannt, lassen sich nach

dieser Gleichung die Geschwindigkeiten des Walzgutes an jedem Ort berechnen. Für eine n-

gerüstige Anordnung gilt für die Walzgutgeschwindigkeit nach dem i-ten Gerüst

1 =00

1=

1(4.7/2)

Die Walzenumfangsgeschwindigkeit hängt wie folgt mit der Walzendrehzahl zusammen

= · 260

(4.7/3)

Bei einem Fließscheidenwinkel des betrachteten Gerüstes ist die Walzendrehzahl

=60

·

cos

(4.7/4)

Werden bei bekannter Querschnittsfolge die Drehzahlen nach diesen Regeln gestaltet, so ergibt

sich ein Walzbetrieb ohne Längsspannungen in den sich zwischen den Gerüsten befindlichen

Teilvolumina des Walzgutes. Das zentrale Problem der Drehzahlabstimmung ist die Berechnung

des Fließscheidenwinkels , der aus dem Spannungsfeld bestimmt werden kann.

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 89

Wie im Folgenden gezeigt wird, ist eine indirekte Messung des Fließscheidenwinkels möglich.

Diese setzt eine präzise Erfassung der Walzendrehzahl , der Austrittsgeschwindigkeit 1 und

der Querschnittsverteilung im Walzspalt () voraus. Es gilt die folgende nichtlineare Glei-

chung, deren Lösung der gesuchte Fließscheidenwinkel ist.

cos − 60·

( ) = 0 (4.7/5)

Auf der Basis präziser Voreilungsmessungen kann so der Fließscheidenwinkel bestimmt wer-

den. Mit Hilfe dieser Methode ist außerdem eine indirekte Messung des Reibwertes im Walz-

betrieb möglich, wie in Untersuchungen gezeigt werden konnte, vgl. [HOM09]. Gl. (4.7/5)

enthält die Voreilung, da der Volumenstrom· mit der Walzendrehzahl in Zusammenhang ge-

bracht wird. Diese Methode basiert auf der statisch-kinematischen Kopplung des Walzspaltes

durch die Fließscheidenlage. Die bereits behandelte empirische Gleichung nach Ekelund zur

Berechnung der Voreilung Gl. (4.3/9), s. S. 27 ist hierfür ungeeignet. Längsspannungen und die

Fließscheidenlage sind von Ekelund nicht berücksichtigt worden.

4.7.2 Kinematik im Walzspalt unter Einfluss von Längsspannungen

In der Praxis kommt es bereits durch geringste Schwankungen von Querschnitten und Tem-

peraturen zu Abweichungen von den theoretischen Geschwindigkeiten 1 nach Gl. (4.7/2).

Außerdem ist eine absolut fehlerfreie Einstellung der Walzendrehzahlen nach Gl. (4.7/4) un-

praktikabel.

Erfüllen die Walzendrehzahlen nicht genau die Bedingungen nach Gl. (4.7/4), so entstehen

Längsspannungen zwischen den Walzspalten. Um diese Längsspannungen kontrollieren zu kön-

nen, ist eine sehr feinfühlige Anpassung der Drehzahlen der einzelnen Gerüste notwendig, wie

im Folgenden gezeigt wird.

4.7.2.1 Berechnung der Voreilung mit Längsspannungen

Das Verhältnis zwischen der Walzendrehzahl und den Ein- und Austrittsgeschwindigkeiten ei-

nes Walzspaltes lässt sich direkt mit der Voreilung darstellen.

Diese Voreilung ist von der Fließscheidenlage und damit den wirkenden Längsspannungen ab-

hängig.

Abbildung 4.7/1 zeigt die Spannungs- und Geschwindigkeitsverläufe für zwei hintereinander

liegende Gerüste eines kontinuierlichen Walzwerks. Im oberen der drei Teilbilder ist der Ver-

90 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

lauf der Walzguthöhe dargestellt. Im ersten Gerüst wird die Walzguthöhe 0 auf 1 reduziert.

Diese läuft über den Gerüstabstand zum zweiten Gerüst, wo sie wiederum auf die Enddi-

cke 2 reduziert wird. Im mittleren Teilbild ist der Horizontalspannungsverlauf dargestellt. Im

längsspannungsfreien Fall (durchgezogene Linien) sind die Horizontalspannungen am Ein- und

Austritt des ersten Walzspaltes jeweils Null. Das gleiche gilt für den zweiten Walzspalt, wie

auch für die Strecke zwischen den Gerüsten. Im unteren Teilbild ist der Geschwindigkeitsver-

lauf dargestellt. Die Geschwindigkeit wächst im ersten Gerüst von 0 auf den Wert 11, während

die Walzguthöhe von 0 auf 1 reduziert wird. Im zweiten Gerüst wächst die Geschwindigkeit

von 02 auf 12 an. Im längsspannungsfreien Fall ist 11 = 02.

Wirkt ein Längszug zwischen den Gerüsten, dann verschiebt sich die Fließscheide im ersten Ge-

rüst von 1 zu 01 in Richtung der Eintrittsebene. Bei gleicher Walzenumfangsgeschwindig-

keit verschiebt sich dadurch das Geschwindigkeitsprofil des ersten Gerüstes zu höheren Walz-

gutgeschwindigkeiten und die Voreilung wird größer. Da die Längsspannung als Rückwärtszug

an das folgende Gerüst weitergegeben wird, verschiebt sich dort die Fließscheide in die ent-

gegengesetzte Richtung, die Voreilung wird im zweiten Gerüst kleiner und das Geschwindig-

keitsprofil verschiebt sich zu kleineren Werten. Im längszugbehafteten Fall gilt 11 02

Diese Betrachtung lässt sich gleichermaßen auf kontinuierliche Walzwerke mit mehr als zwei

Gerüsten übertragen und man erhält so den Zusammenhang zwischen der Störung des Volu-

menstroms (Verschiebung der Geschwindigkeitsprofile) und den wirkenden Längsspannungen.

Da der Rückwärtszug von Gerüst + 1 gleich dem Vorwärtszug von Gerüst ist, gilt

0 = −1 (4.7/6)

1 = +1

Beim Walzen von Querschnitten mit geringer Knicksteifigkeit lassen sich keine Druckspannun-

gen aufbauen, da sich bei geringsten Drücken sofort ein positives Schlingenwachstum einstellt,

was zu einem Ausbruch der Walzader führt. Aus diesem Grund müssen Druckspannungen un-

bedingt vermieden werden. Eine Auslegung des Walzprozesses, sodass keine Druckspannungen

auftreten, ist eines der Anwendungsgebiete der in diesem Abschnitt beschriebenen Modelle.

Die außerhalb der Walzspalte wirkenden Längsspannungen beeinflussen die Spannungszustän-

de und damit den Verlauf der Spannungsverteilung in den Walzspalten, und damit sowohl stati-

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 91

Abbildung 4.7/1: Auswirkungen einer Längsspannung zwischen zwei Gerüsten auf die Spannungs- undGeschwindigkeitsverteilungen in den Walzspalten

92 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

sche Größen (Walzkraft, Drehmoment, Umformwiderstand) sowie auch die Fließscheidenlage

und damit die Voreilung. Will man eine Drehzahlabstimmung für eine mehrgerüstige Anord-

nung mit einer bestimmten wirkenden Längszugreihe vornehmen, müssen zuerst die Fließschei-

denlagen der einzelnen Stiche durch Anwendung des statischen Walzmodells berechnet wer-

den. Hierbei legt man die gewünschten Längsspannungen zugrunde und errechnet aus diesen

über das Walzmodell den Fließscheidenwinkel . Daraus ergibt sich die Voreilung gemäß Gl.

(4.7/7).

=1 −

=

1cos − 1 (4.7/7)

4.7.2.2 Berechnung von wirkenden Längsspannungen

Die Berechnung gestaltet sich schwieriger, wenn aus einer gegebenen Reihe von Walzendreh-

zahlen die wirkenden Längsspannungen bestimmt werden sollen. Dies ist jedoch eine wichtige

Aufgabe bei der Analyse und der Beurteilung des Längszugverhaltens einer gegebenen Gerüst-

anordnung.

Im Folgenden wird ein mathematisches Modell entwickelt, welches diese Berechnungen er-

laubt.

Zur näherungsweisen Berechnung von Längsspannungen werden die Einflüsse des Vorwärts-

und Rückwärtszuges auf die Walzendrehzahl linearisiert. Die Drehzahl eines Gerüstes wird

gemäß Gl. (4.7/8) als Linearkombination der Einflüsse des Vor- und Rückwärtszuges sowie des

Volumenstroms aufgefasst.

= 0 + 00 + 11 + 2· (4.7/8)

Die Koeffizienten sind als Längsspannungseinflussparameter für den jeweiligen Walzstich

charakteristisch. Drückt man Gl. (4.7/8) in Differenzen für die Veränderung einer Drehzahl aus,

die durch eine Veränderung der Züge und des Volumenstroms zustande kommt, dann erhält man

∆ = 0 −

∆ = 0∆0 + 1∆1 + 2∆· (4.7/9)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 93

Generell wird eine zwischen zwei Gerüsten und + 1 wirksame Längsspannungsveränderung

∆+1 die Drehzahldifferenz +1− dieser Gerüste um ∆+1−∆ verändern. Dieser Zu-

sammenhang lässt sich mit Hilfe des linearisierten Drehzahl-Längsspannungs-Volumenstrom-

Zusammenhangs nach Gl. (4.7/9) wie folgt formulieren

∆+1 −∆ = 0+1∆1 + 1+1∆+11 + 2+1∆· − (4.7/10)µ

0∆0 + 1∆1 + 2∆·

¶= ∆1 (0+1 − 1) +∆11+1 − 0∆0 + (2+1 − 2)

·

Gl. (4.7/10) beschreibt die Kopplung von zwei Gerüsten und +1 durch die wirkenden Längs-

spannungen. Die externen Längsspannungsveränderungen ∆0 und ∆+11 stellen die Kopp-

lung mit den dahinter und davor liegenden Gerüsten bereit, auf die der gleiche Zusammenhang

wiederum angewandt wird.

Für alle Stiche einer mehrgerüstigen Anordnung kann auf diese Weise ein lineares Gleichungs-

system zur Bestimmung der wirkenden Längsspannungen bei bekannten Walzendrehzahlen auf-

gestellt werden.

Zur Lösung der Gleichungen müssen die Längsspannungseinflussparameter für jedes Gerüst

bestimmt werden. Die dazu notwendigen Zusammenhänge können direkt aus dem Walzmodell

abgeleitet werden. Die von den Längsspannungen abhängige Funktion

= (0 1) (4.7/11)

lässt sich in einen statischen und einen kinematischen Teil aufteilen. Diese Teile sind ihrerseits

über die Fließscheidenlage miteinander gekoppelt. Gl. (4.7/11) wird daher als Verkettung zweier

Funktionen nach Gl. (4.7/12) geschrieben.

= ( (0 1)) (4.7/12)

Die innere Funktion ist die statische Abhängigkeit des Fließscheidenwinkels von den Längs-

spannungen.

= (0 1) (4.7/13)

Die äußere Funktion ist die kinematische Abhängigkeit der Walzendrehzahl vom Fließschei-

denwinkel in der Form

= () (4.7/14)

94 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

Die partiellen Ableitungen der Drehzahl nach den Längsspannungen am Ein- und Austritt des

Walzspaltes von Gerüst ergeben sich wie folgt

0=

0(4.7/15)

1=

1

Zur Ausformulierung der kinematischen Teilgleichung macht man sich die Konstanz des Volu-

menstroms zunutze und erhält für ein bestimmtes Gerüst (Index hier ausgelassen)

( ) =6011

cos

(4.7/16)

= −3011

³cos

− ( ) sin

´ cos2 ( )2

Die statische Gleichung beschreibt den Zusammenhang zwischen den Längsspannungen und

der Fließscheidenlage. Dieser ist dem Walzmodell zu entnehmen.

Beispielsweise gilt nach Lippmann und Mahrenholtz in abgekürzter Schreibweise

(−1 +1) = 01 tan

µ2

µ−1 − +1

+ 3

¶¶(4.7/17)

Durch Vergleich mit Gl. (4.4/21) sind 1 bis 3 wie folgt gegeben

1 =

s1− |||| (4.7/18)

2 =1

2

r1

3 = ln (1− ||)

Die partiellen Ableitungen nach den Längsspannungen lassen sich wie folgt bestimmen

−1= −012

Ãtan

µ2

µ3 − −1

+

+1

¶¶2+ 1

!(4.7/19)

+1= 012

Ãtan

µ2

µ3 − −1

+

+1

¶¶2+ 1

!Nach Lippmann und Mahrenholtz sind die partiellen Ableitungen des Fließscheidenwinkels

nach beiden Längsspannungen betragsmäßig gleich, haben aber ein umgekehrtes Vorzeichen.

Es gilt

= −

0(4.7/20)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 95

Numerische Walzmodelle erlauben eine präzisere Auswertung der Längsspannungseffekte auf

die Fließscheidenlage.

Bei Anwendung einer numerischen Walztheorie liegt die Funktion (−1 +1) nicht in

analytischer Form vor. Die partiellen Ableitungen müssen in diesem Fall durch Bildung einer

Sekantensteigung in einer Umgebung um den Arbeitspunkt angenähert werden

≈ (0 + 1)− (0 − 1)

∆(4.7/21)

1≈ (0 1 + )− (0 1 − )

∆(4.7/22)

Auf Basis des Volumenstroms kann für die Abhängigkeit der Walzendrehzahl vom Volumen-

strom geschrieben werden

=60

·

cos ( ) (4.7/23)

Daraus folgt die gesuchte Ableitung für den Einflussparameter des Volumenstroms

·

=60

cos ( ) (4.7/24)

Aus den obigen Gleichungen lässt sich entnehmen, dass die Walzendrehzahlen linear mit dem

Volumenstrom, aber mehrfach nichtlinear mit den Längsspannungen gekoppelt sind. Die Linea-

risierung um einen Arbeitspunkt folgt nach

∆ =

−1∆−1 +

+1∆+1 +

·

∆· (4.7/25)

Durch Vergleich können die Koeffizienten aus Gl. (4.7/9) wie folgt bestimmt werden

0 =

0

µ0 1

·

¶(4.7/26)

1 =

1

µ0 1

·

¶2 =

·

µ0 1

·

¶für einen bestimmten Arbeitspunkt mit den Längsspannungen 0 und 1 sowie dem Volumen-

strom· .

Um die einer gegebenen Drehzahlfolge entsprechenden Längsspannungen zu berechnen, wird

der längsspannungsfreie Fall als Arbeitspunkt benutzt. Nach der Berechnung der Parameter

96 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

für alle Gerüste wird das sich aus Gl. (4.7/10) ergebende lineare Gleichungssystem gelöst,

woraus sich ein Ergebnisvektor aus Längsspannungen ergibt. Aus dieser Längsspannungsrei-

he werden sich Residuen in den Drehzahlen ergeben, da der Zusammenhang nicht exakt linear

ist. Aus diesem Grund wird der neue Längsspannungsvektor als Arbeitspunkt für die zweite

Iteration verwendet. Dieser Vorgang wird solange wiederholt, bis die Drehzahlresiduen zufrie-

denstellend gering sind.

Das beschriebene Modell kann auf Walzprozesse angewandt werden, bei denen die Beeinflus-

sung der Breitung durch Längsspannungen in guter Näherung vernachlässigt werden kann. An-

derenfalls ist die Linearisierung unzulässig und muss durch eine numerische Lösung des Ge-

samtzusammenhangs ersetzt werden. Dies wird bei der Berechnung von Längsspannungen beim

Profilwalzen gezeigt.

4.7.2.3 Berechnung der Längsspannungsverteilung in der Fertigstaffel eines Warmbandwalz-werks

Als Beispiel für die Anwendung des Modells wird der Walzprozess in einer siebengerüstigen

Fertigstaffel untersucht. Ein Vorband mit 0 = 40 wird zu einem Fertigband der Dicke

7 = 2 75 ausgewalzt. Der Stichplan ist mit einem Verteilungsfaktor von = 1 0932

degressiv gestaltet und in Tabelle 4.7/1 gegeben. Er ist auf eine bezogene Längsspannung von

= −0 1 zwischen je zwei aufeinander folgenden Gerüsten ausgelegt. Gemäß einer End-

walzgeschwindigkeit von = 10

ergeben sich für diese Längsspannungsfolge Walzendreh-

zahlen, die ebenfalls in Tabelle 4.7/1 angegeben sind.

Gerüst h [] d [] 1

[−] n£1min

¤F1 20,89 780 -0,1 30,36F2 11,92 780 -0,1 55,00F3 7,44 780 -0,1 87,58F4 5,08 780 -0,1 122,89F5 3,78 715 -0,1 182,49F6 3,09 715 -0,1 225,76F7 2,75 715 0,0 259,89

Tabelle 4.7/1: Stichplan einer siebengerüstigen Fertigstaffel, Endwalzgeschwindigkeit: 10 m/s

Mit Hilfe des Modells kann untersucht werden, wie sich die Veränderung der Anstichdicke bei

gleich bleibenden Walzendrehzahlen auf die entstehende Längsspannungsverteilung auswirkt.

Das obere Teilbild A) von Abbildung 4.7/2 zeigt die Ergebnisse dieser Studie. Es zeigt sich,

dass bei einer Vergrößerung des Anstichquerschnittes die Zugspannungen abgebaut werden.

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 97

Bei einem zu großen Anstichquerschnitt (hier ab 00 = 44 , was einem Dickenfehler von

+10% entspricht) besteht bereits die Gefahr, dass die Längsspannungen in den ersten Stichen

komplett abgebaut werden und kontinuierlich wachsende Schlingen entstehen.

Aus diesem Beispiel kann ebenso entnommen werden, dass sich ein solcher Fehler nicht nur

auf ein Gerüst auswirkt, sondern mehrere nacheinander liegende Gerüste beeinflusst, da die

Fließscheidenlagen der einzelnen Stiche durch die wirkenden Längsspannungen miteinander

gekoppelt sind.

Als weiteres Beispiel soll die Auswirkung einer fehlerhaft eingestellten Walzendrehzahl be-

trachtet werden. Im dritten Gerüst wird ein Drehzahlfehler von bis zu +0,5% eingebaut. Das

untere Teilbild B) von Abbildung 4.7/2 zeigt die Reaktion der Längsspannungen, wenn die

Drehzahl im 3. Gerüst zu hoch eingestellt wird. In der Folge wird sich der Zug zwischen F2

und F3, sowie auch F1 und F2 vergrößern, während sich die Zugspannungen zwischen den

weiteren Gerüsten abbauen. Auch in diesem Fall besteht die Gefahr der Schlingenbildung.

98 Kinematik von mehrgerüstigen kontinuierlichen Walzwerken

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

1 2 3 4 5 6

Bez

. Län

gssp

annu

ng σ

1/k f

Stich

A) Auswirkungen der Anstichdicke

h0=34 mmh0=36 mm

h0=38 mmh0=40 mm

h0=42 mmh0=44 mm

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02

0

1 2 3 4 5 6

Bez

. Län

gssp

annu

ng A

ustr

itt σ

1/k f

Stich

B) Auswirkungen eines Drehzahlfehlers im 3. Stich

0%0.1% (+0,09 rpm)

0.2% (+0,18 rpm)0.5% (+0,44 rpm)

Abbildung 4.7/2: Längszugverteilung in der Fertigstaffel eines Warmbandwalzwerks in Abhängigkeitder Vorbanddicke (oben) und Reaktion auf einen Drehzahlfehler (unten)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 99

4.8 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

Die Walzen stehen als Werkzeuge im Walzgerüst unter Lasten durch die auf sie wirkenden

Kräfte und Momente. Die direkte Einwirkung der Druckverteilung des Walzspalts führt sowohl

zu einer Durchbiegung, als auch Querschnittsverformung der Arbeitswalzen.

Die Form der Kontaktfläche im Walzspalt beeinflusst die Spannungsverteilung sehr empfind-

lich.

Allgemein beeinflussen die Deformationen der Walzen das resultierende Dickenprofil des Walz-

produktes. Insbesondere bei breiten Flachprodukten wird außerdem die Planheit des Produktes

durch die Verteilung der Längsformänderung in Querrichtung definiert.

4.8.1 Die Berechnung der Walzenabplattung

Die Querschnittsverformung der Arbeitswalzen verändert die Form des Walzspaltes und übt

somit einen empfindlichen Einfluss auf die Spannungsverteilung im Walzgut aus. Man spricht

auch von einer Abplattung der Arbeitswalzen. Zur Berechnung der abgeplatteten Walzenkontur

im Kontaktbereich der Arbeitswalze mit dem Walzgut stehen prinzipiell mehrere Modelle zur

Verfügung, die von einer einfachen Betrachtung eines abgeplatteten Ersatzwalzenradius bis hin

zur dreidimensionalen Untersuchung des Walzenbelastungsproblems reichen.

4.8.1.1 Modell nach Hitchcock

Das einfachste und bis heute am breitesten eingesetze Modell geht auf Hitchcock [Hit35] zu-

rück. Es gilt für einen ebenen Verzerrungszustand der Walze. Das bedeutet, dass für jede aus

dem Walzenballen herausgeschnittene Scheibe der gleiche Deformationszustand angenommen

wird. Die tatsächlich auf die Arbeitswalze wirkende Spannungsverteilung wird durch eine hal-

belliptische ersetzt, die die gleiche gesamte Kontaktkraft (die Walzkraft) erzeugt. Abbildung

4.8/1 zeigt schematisch diese Spannungsverteilungen im Verhältnis zueinander.

Unter diesen Voraussetzungen bleibt die Kontur der herausgeschnittenen Walzenscheibe im

Kontaktbereich kreisförmig mit einem vergrößerten Walzenradius 0 Dadurch sind die

Modelle der klassischen Walztheorie, die unter der Voraussetzung einer kreisförmigen Walzen-

kontur gelten, weiterhin anwendbar. Aufgrund dieser Tatsache ist das Hitchcock’sche Abplat-

tungsmodell sehr einfach in bestehende Walzmodelle zu integrieren. Nach Hitchcock stellt sich

100 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

Abbildung 4.8/1: Annäherung einer Spannungsverteilung im Walzspalt durch eine elliptische Ersatz-spannungsverteilung, nach [Cha06]

unter Einwirkung der Walzkraft der abgeplattete Walzenradius 0 gemäß Gl. (4.8/1) ein.

0 =

µ1 +

∆

¶mit =

16 (1− 2 )

(4.8/1)

Der Wert ist nur von den elastischen Eigenschaften des Walzenwerkstoffs abhängig und stellt

ein Maß für die Kontakt-Nachgiebigkeit der Walzenoberfläche dar. Für unterschiedliche Werk-

stoffe ergeben sich Werte gemäß Tabelle 4.8/1.

Walzenwerkstoff Elastizitätsmodul E [GPa] Querdehnzahl Ch10−5 2

iWerkzeugstahl 230 0,3 2,10504Indefinite Chill 160 0,3 2,89662Schnellarbeitsstahl 220 0,3 2,10663Si3N4 (Siliziumnitrid) 320 0,25 1,49208WC (Hartmetall) 580 0,25 0,82322

Tabelle 4.8/1: Werte für C nach Hitchcock für verschiedene Walzenwerkstoffe

Aufgrund der gegenseitigen Abhängigkeit des abgeplatteten Walzenradius 0 und der Walzkraft

wird die Berechnung beider Größen iterativ durchgeführt. Von einer stabilen Konvergenz

kann bei Abplattungsverhältnissen 0 2 ausgegangen werden. Für größere Verhältnisse

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 101

von 0 ist das Modell nicht sicher anwendbar, bzw. liefert keine zutreffenden Resultate. In

der Realität ergeben sich für diese Fälle starke Abweichungen von der als kreisbogenförmig an-

genommenen Werkzeugkontur. Je größer die Walzenabplattung wird, umso weiter weicht das

Modell von der Realität ab. Desweiteren ist das Modell auf den ebenen Verzerrungszustand in

den Walzen beschränkt, weshalb für eine präzise Beschreibung der Walzendeformation allge-

meinere Modelle notwendig sind.

4.8.1.2 Beschreibung der Arbeitswalzen als elastische Halbräume

In Anhang B.1 ab S. 297 wird die Berechnung der Abplattung eines elastischen Halbraums un-

ter der Einwirkung einer Lastverteilung beschrieben. Unter Vernachlässigung der Walzenkrüm-

mung kann dieses Modell auf die Walze angewandt werden. Zur Kopplung mit dem Walzmodell

ist die integrale Walzkraft nicht ausreichend, sondern die lokal auf die Walze wirkende Druck-

spannungsverteilung muss berücksichtigt werden.

Abbildung 4.8/2 zeigt schematisch, wie die wirkende Normalspannungsverteilung in einem

Walzprozess die Walzenoberfläche lokal deformiert. Bei hohen Kontaktspannungen, insbeson-

dere beim Kaltwalzen dünner Bänder weicht diese Kontur von der Kreisbogenform ab. Wie

Abbildung 4.8/2 entnommen werden kann, erzeugt die an der Fließscheide wirkende Span-

nungsspitze eine lokale Eindrückung der Walze. Bei sehr starken Deformationsfällen kann sich

eine ausgedehnte Transportzone ausbilden, in der das Walzgut ohne plastische Deformation in

Walzrichtung durch den Walzspalt transportiert wird.

Wie bei Hitchcock beginnt der Rechenablauf mit einer zylindrischen Walze und demzufolge

einer initialen Walzguthöhenverteilung nach Gl. (4.8/2).

0 () ≈ 1 +2

(4.8/2)

Diese Höhenverteilung wird numerisch nach abgeleitet um die Walzspaltsteigungsfunktion

zu finden, die im Walzmodell benötigt wird. Aus der Lösung des Walzmodells ergibt sich

eine erste Spannungsverteilung 1 ().

Für die Deformation der Walzenoberfläche gilt für eine dreieckige Spannungsverteilung (zur

102 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

Abbildung 4.8/2: NichtzylindrischeWalzenabplattung (übertrieben) mit Auswirkungen auf die gedrückteLänge und die austretende Walzguthöhe durch elastische Rückfederung

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 103

Herleitung siehe S. 297)

() = −1− 2

2

0

[(+ )2 ln

µ+

¶2+ (4.8/3)

(− )2 ln

µ−

¶2−

22 ln³

´2] +

Die Deformation für eine berechnete Spannungsverteilung wird durch Superposition dieser

dreieckigen Lastverteilungen gefunden.

Aus der Anwendung des oben beschriebenen Modells zur Berechnung der Walzenoberflächen-

deformation ergibt sich eine neue Höhenverteilung 1∗ (). Diese Veränderung der Höhenver-

teilung wird aus Gründen der numerischen Stabilität mit einem Unterrelaxationsfaktor 1

gedämpft. Allgemein gilt für die Höhenverteilung im k-ten Iterationsschritt Gl. (4.8/4).

() = −1 () + (1− )

∗ () (4.8/4)

In Zusammenhang mit der lokalen Walzenabplattung kann bei sehr starken Kontaktdrücken

zwischen Arbeitswalzen und Walzgut der Fall eintreten, dass sich die Walzen lokal so stark de-

formieren, dass in bestimmen Bereichen der Kontaktzone keine plastische Formänderung mehr

in das Walzgut eingeleitet werden kann (→ 0). In diesen Fällen überschreitet die Reibschub-

spannung den Grenzwert der Haftreibung. Die Berücksichtigung dieses Effektes im Walzmo-

dell führt zu einer weiteren Steigerung der Komplexität des Lösungsalgorithmus, so dass bei

extremen Walzbedingungen, wie sie beispielsweise beim Kaltwalzen von Folien auftreten, der

Rechenaufwand sehr hoch ist, vgl. [OM13].

Abbildung 4.8/3 zeigt als Beispiel eine Spannungsverteilung und Walzspaltgeometrie unter Last

für einen anspruchsvollen Folienwalzstich.

Eine vorverfestigte Folie einer Dicke von 0 = 0 022 wird auf eine Fertigdicke von 1 =

0 020 gewalzt. Die Umformung erfolgt in einem Zwanzigwalzengerüst mit einem Arbeits-

walzendurchmesser von = 30. Die mittlere Fließspannung beträgt = 1133 2 . Es

wirkt ein Rückwärtszug von 0 = 250

2 und ein Rückwärtszug von 1 = 350

2 bei einem

Reibwert von = 0 06.

104 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Nor

mal

span

nung

[N

/mm

²]

Walzspaltkoordinate x [mm]

E=210000 N/mm2

E=∞

0.0195

0.02

0.0205

0.021

0.0215

0.022

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Wal

zgut

höhe

[m

m]

Walzspaltkoordinate x [mm]

E=210000 N/mm2

E=∞

Abbildung 4.8/3: Spannungsverteilung undWalzendeformation für einen Folienwalzstich. Vergleich zwi-schen ideal starren Walzen und Stahlwalzen

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 105

Durch die Ausbildung einer elastischen Transportzone wächst in diesen Fällen die Walzkraft

und die Belastung des Walzenwerskstoffs sehr stark an. Dies ist insbesondere im direkten Ver-

gleich zur unverformten Walze ersichtlich. Bildet man einen der gleichen gedrückten Länge

entsprechenden abgeplatteten Walzenradius, dann ergibt sich für den Fall der Stahlwalze ein

Verhältnis von 0 = 23 5.

4.8.1.3 Berechnung der dreidimensionalen Walzendeformation

Um die Ergebnisse der zweidimensionalen Spannungsverteilung im Walzspalt, die durch das

zweidimensionale Walzmodell zur Verfügung gestellt werden für die Berechnung der Walzen-

deformation nutzbar zu machen, ist eine dreidimensionale Behandlung des Walzenbelastungs-

problems notwendig.

Das Problem der dreidimensionalen Verformung der Oberfläche eines elastischen Halbraums

durch extern angreifende Lasten wurde bereits 1885 von Boussinesq [Bou85] behandelt. Die

Herleitung dieser Lösung ist in Anhang B.2 ab S. 300 zusammengestellt. Wendet man diese

Theorie auf die Deformation eines Walzenballens durch eine gegebene zweidimensionale Last-

verteilung an, dann lässt sich die dreidimensionale Deformation der Walze berechnen. Diese ist

nicht mehr an den ebenen Verzerrungszustand der Walze gebunden und kann auch die Effek-

te in der Nähe der Bandkanten beschreiben. Die Übertragung des elastischen Halbraums auf

die Zylindergeometrie der Walze erfolgt mit den von Berger [Ber75] und Hacquin [HMG98]

abgeleiteten Gleichungen.

Ähnlich der im vorausgegangenen Abschnitt beschriebenen Vorgehensweise wird die Walzen-

deformationsrechnung iterativ mit Hilfe sukzessiver Unterrelaxation iterativ an das Walzmodell

gekoppelt. Dabei wird ein Ausschnitt aus der Walzenoberfläche betrachtet, der in axialer Rich-

tung die gesamte Ballenlänge und in tangentialer Richtung eine überschätzte gedrückte Länge

umfasst. Diese Überschätzung des Kontaktbereichs ist notwendig, da zu Beginn der iterativen

Berechnung nicht bekannt ist, wie groß die gedrückte Länge durch Walzenabplattung werden

wird.

Tabelle 4.8/2 zeigt Berechnungsparameter für einen Kaltwalzstich, der mit Walzenabplattung

und Walzendurchbiegung (siehe nächstes Kapitel) berechnet wurde. Abbildung 4.8/4 zeigt die

berechneten Ergebnisse der Spannungsverteilung auf der Walzenoberfläche (oben) und der ra-

dialen Walzenoberflächendeformation (unten).

Die Spannungsverteilung ergibt sich aus dem Zusammenwirken von Walzenabplattung und

106 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

−15−10−5 0 5 10 15

−600−400

−200 0

200 400

600

0

200

400

600

800

1000

x [mm]

y [mm]

Nor

mal

span

nung

σN

[N

/mm

2 ]

−15−10−5 0 5 10 15

−600−400

−200 0

200 400

600

−0.01 0

0.01 0.02 0.03 0.04 0.05

x [mm]

y [mm]

Obe

rflä

chen

defo

rmat

ion

u R [

mm

]

Abbildung 4.8/4: Oben: Auf die Walzenoberfläche wirkende Spannungsverteilung; Unten: ResultierendeOberflächendeformation in radialer Richtung

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 107

Größe WertEintrittsdicke 0 1,0 mmLeerwalzspalt 0 0,6 mmDurchmesser Arbeitswalze 270 mmDurchmesser Stützwalze 800 mmBandbreite 800 mmWerkstoff C15

Tabelle 4.8/2: Parameter eines Kaltwalzstiches als Beispiel für die zweidimensionale Walzenoberflä-chendeformation

Walzendurchbiegung. Als Oberflächendeformation ist hier nur der Abplattungsanteil gezeigt.

Die konkave Form der Spannungsverteilung, die sich auch in der Abplattungsverteilung wie-

derfindet, ist darauf zurückzuführen, dass die Konvexität des Bandprofils durch den Walzstich

erhöht wird. Im Gegensatz zum hier vorliegenden Walzmodell wird dieser Effekt von Model-

len, die auf einer konstanten Walzkraftverteilung beruhen wie zum Beispiel nach Beisemann

[Bei87], nicht beschrieben.

4.8.2 Die Berechnung der Durchbiegung von Arbeits- und Stützwalzen

Neben der im vorausgegangenen Abschnitt behandelten Walzenabplattung stellt sich an be-

lasteten Walzen eine Durchbiegung ein. Zur Berechnung der Durchbiegung von Arbeits- und

Stützwalzen kann die Balkentheorie angewandt werden, deren Grundzüge in Anhang A ab S.

279 erläutert sind.

Zur Ermittlung der Walzendurchbiegung ist die Differentialgleichung der Biegelinie zu lösen.

Vernachlässigt man im Sinne des Bernoulli-Balkens die Effekte der Schubspannungen auf die

Durchbiegung, dann gilt

2

2

µ

2

2

¶= (4.8/5)

Für den Timoshenko-Balken bei Berücksichtigung der Schubeffekte ist das folgende Differen-

tialgleichungssystem zu lösen

µ

¶+

µ

−

¶= 0 (4.8/6)

∙

µ

−

¶¸= − ()

Die Lösung von Gl. (4.8/5) gelingt analytisch nur für einfache Last- und Geometriesituationen.

Abbildung 4.8/5 zeigt die Anordnung einer beidseitig gelagerten Arbeitswalze mit der Walz-

108 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

Abbildung 4.8/5: Walze als Biegenbalken auf zwei Stützen mit nicht-mittig angreifender BelastungskraftF

kraft als Einzellast. Der Angriffspunkt der Kraft kann im hier betrachteten Fall durch Wahl

der Parameter und auf dem Walzenballen verschoben werden.

Aufgrund der unterschiedlichen Bedingungen in den 4 Zonen (vor oder hinter dem Kraftan-

griffspunkt, Ballen oder Zapfen) wird die Differentialgleichung der Biegelinie abschnittsweise

gelöst. Die Lösung entspricht Gl. (4.8/7).

11 () =

3

6 ( + )+ 11 + 12 (4.8/7)

22 () =

3

6 ( + )+ 21 + 22

33 () = − 3

6 ( + )+

2

2+ 31 + 32

44 () = − 3

6 ( + )+

2

2+ 41 + 42

Die acht Integrationskonstanten werden durch Einsetzen der bekannten Rand- und Über-

gangsbedingungen bestimmt. Superponiert man die Lösung mehrerer Einzellasten auf dem Bal-

len, so können mit diesem Gleichungssystem auch Lösungen für nichtkonstante Kraftverteilun-

gen auf dem Walzenballen konstruiert werden.

Für die Betrachtung komplizierter Walzengeometrien und Lastverteilungen ist diese analytische

Methode jedoch zu unflexibel. Aus diesem Grund ist für die vorliegenden Anwendungsfälle

innerhalb eines zweidimensionalen Walzmodells die Modellierung des Durchbiegungsproblems

mit Hilfe von Finiten Balkenelementen sinnvoller.

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 109

Abbildung 4.8/6: Beispielhafte Abmessungen einer Walze eines Zweiwalzengerüstes und Diskretisie-rung mit Finiten Balkenelementen

4.8.2.1 Berechnung der Durchbiegung von Walzen in Zweiwalzengerüsten mit Hilfe von FinitenBalkenelementen

Verwendet man die in Anhang A.3 angegebenen Balkenelemente mit über die Elementlänge

nicht-konstanter Elementdicke, dann lassen sich auch komplizierte Walzengeometrien beschrei-

ben. Beispielsweise ist eine Walzenzeichnung mit der Diskretisierung durch Balkenelemente in

Abbildung 4.8/6 gezeigt.

Nachdem die Walzengeometrie in eine endliche Anzahl von Balkenelementen aufgeteilt wurde,

wird für jedes Balkenelement die ElementsteifigkeitsmatrixK aufgestellt. Die Elementsteifig-

keitsmatrizen aller einzelnen Elemente werden aufeinander folgend in einer Hypermatrix K

zusammengefasst. Der Übergang zur globalen Gesamtsteifigkeitsmatrix für alle Elemente er-

110 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

folgt mit Hilfe einer InzidenzmatrixA gemäß

K = AK A (4.8/8)

Die Matrix A stellt die Zuordnung der globalen und lokalen Elementfreiheitsgrade bereit, vgl.

[Kle15]. Nachdem die Assemblierung erfolgt ist, kann ein Kraft-Verschiebungs-Gleichungssystem

wie folgt formuliert werden

Kw = f (4.8/9)

Die Lösung dieses Gleichungssystems liefert die Biegungs- und Neigungslinien der Walze.

4.8.2.2 Kombinierte Durchbiegungs- und Kontaktanalyse an Vierwalzengerüsten

Bei der Betrachtung eines Vierwalzengerüstes ergeben sich die folgenden zusätzlichen Aufga-

benstellungen:• Das Kontaktproblem Arbeitswalze-Stützwalze muss in die Betrachtung mit einbezogen wer-

den

• Die Schliffkonturen der Arbeits- und Stützwalzen können beliebig unterschiedlich sein, sodass ein nicht-konformer Kontakt vorliegt.

Abbildung 4.8/7 zeigt beispielhaft die Geometrie einer Arbeits- und Stützwalze mit der entspre-

chenden Diskretisierung durch finite Balkenelemente.

Die globalen Steifigkeitsmatrizen der Arbeits- und Stützwalze K und K werden zunächst

unabhängig voneinander gemäß der im letzten Abschnitt behandelten Gesetzmäßigkeiten for-

muliert. Bei der Vernetzung muss darauf geachtet werden, dass die Knoten der beiden Kontakt-

partner im Kontaktbereich genau übereinander liegen (siehe Abbildung 4.8/7). Zusätzlich ist für

jedes am Kontakt beteiligte Knotenpaar ( ) die Kontaktsteifigkeit zu berücksichtigen,

die nach den in Anhang B.3 angegebenen Gleichungen berechnet wird.

Man stellt sich zwischen den am Kontakt beteiligten Elementen der Arbeits- und Stützwalze

Federelemente mit der jeweiligen Kontaktsteifigkeit vor. Diese beschreiben die relative Ver-

schiebung der korrespondierenden Knoten der Arbeits- und Stützwalze zueinander. Ein Kon-

taktelement zwischen den Knoten der Arbeitswalze und der Stützwalze hat die Steifig-

keitsmatrix

K =

⎛⎜⎜⎝ 0 0 00 0 0 00 0 00 0 0 0

⎞⎟⎟⎠ (4.8/10)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 111

Abbildung 4.8/7: Geometrie der Arbeits- und Stützwalze eines Vierwalzengerüstes und Diskretisierungdurch Finite Balkenelemente

112 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

Die einzelnen Elementmatrizen werden in einer Hypermatrix zusammengestellt und mit Hilfe

einer Boole’schen Inzidenzmatrix zur GesamtkontaktsteifigkeitsmatrixK assembliert.

K = AK A (4.8/11)

Die Arbeitswalze wird durch die auf sie wirkende Walzkraftverteilung f deformiert. Die von

der Stützwalze ausgehenden Kontaktkräfte f wirken dieser Deformation entgegen. Die Stütz-

walze wird ihrerseits durch die Kontaktkräfte von der Arbeitswalze verformt.

Damit gelten die folgenden Gleichgewichtsaussagen

Kw = −f + f für die Arbeitswalze (4.8/12)

Kw = f + f für die Stützwalze

Die Kontaktkräfte f können wie folgt mit der Kontaktsteifigkeitsmatrix K ausgedrückt

werden

f = K (w −w −w0) (4.8/13)

Der Verschiebungsvektor w0 enthält den Abstand eines jeden am Kontakt beteiligten Knoten-

paares Arbeitswalze-Stützwalze im unbelasteten Zustand. Sofern Arbeits- und Stützwalze be-

reits im unbelasteten Zustand eine geschlossene Kontaktfuge bilden, ist dieser Abstand gleich

Null. Dies ist jedoch häufig nicht der Fall, da sowohl Arbeits- als auch Stützwalze mit einer de-

finierten Schliffkontur versehen sein können. Setzt man Gl. (4.8/13) in Gl. (4.8/12) ein, dann

folgt

w (K +K)−wK = f +w0K

w (K +K)−wK = f −w0K (4.8/14)

Oder in Matrizenschreibweise∙K+K −K

−K K+K

¸ ∙w

w

¸=

∙f+w0K

f−w0K

¸(4.8/15)

Das so formulierte System der Kraft-Verschiebungs-Gleichungen ist zunächst singulär, da noch

keine Randbedingungen berücksichtigt sind. Um die Auflagerbedingungen der Stützwalze ein-

zubringen ( = 0 an den entsprechenden Knoten der Lagerstellen) werden die zu den Aufla-

gern gehörenden Freiheitsgrade aus dem Gleichungssystem entfernt. Zur Lösung des Gesamt-

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 113

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

Oberwalze

Unterwalze

Ver

schl

eißp

rofi

l [m

m]

Axialkoordinate [mm]

Abbildung 4.8/8: Gemessener Walzenverschleiß in einem Gerüst F3 eines Warmbreitbandwalzwerks.Daten nach [SETF14]

gleichungssystems ist ein iteratives Vorgehen notwendig, da die Kontaktkräfte f von den

Kontaktverschiebungen abhängig sind.

4.8.3 Der Walzenverschleiß

Neben den nur temporär auftretenden, reversiblen Belastungen während der Walzstiche tritt

ein progressiver Abtrag der Walzenoberflächen auf. Dieser Verschleiß der Arbeitswalzen führt

dazu, dass die Walzen nach einer bestimmten Produktionszeit ausgetauscht werden müssen.

Der Verschleiß wirkt der thermischen Balligkeit entgegen und leistet so einen Beitrag zum

Walzgutdickenprofil.

4.8.3.1 Verschleißmechanismen bei Walzen in Warmwalzwerken

Abbildung 4.8/8 zeigt gemessene Verschleißprofile der Arbeitswalzen im Gerüst F4 der Fertig-

staffel eines Warmbreitbandwalzwerks [SETF14]. Diese Verschleißprofile lassen eine gewisse

Ähnlichkeit mit dem Verlauf der spezifischen Walzkraft über die Axialkoordinate der Walze

erkennen.

Als bestimmende Mechanismen des verschleißbedingten Abtrags der Walzenoberfläche werden

Abrasion und thermische Ermüdung angesehen [SSSS94], während Korrosionserscheinungen

eine untergeordnete Bedeutung haben. Bei Walzvorgängen mit hohen Querschnittsänderungen

114 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

werden auch Anhaftungen von Walzgutpartikeln an die Walzenoberflächen beobachtet. Die Fol-

ge dieses adhäsiven Verschleißes ist die Erhöhung der Oberflächenrauheit der Walzen und des

Reibwertes beim Walzen.

Es kommt zu abrasivem Verschleiß, wenn sich während der Relativbewegung zweier Kontakt-

partner die Rauheitsspitzen berühren, so dass eine weitere Bewegung nur durch Zerstörung

dieser Spitzen (meistens des weicheren Partners) möglich ist. Es kommt so zum Materialabrieb.

Die Archard-Gleichung verknüpft das Abriebvolumen mit der wirkenden Kraft (normal

zur Kontaktfläche), der zurückgelegten Relativbewegung , der Härte des weicheren Kon-

taktpartners und einem Abrasionskoeffizienten [ADHW91]

=

(4.8/16)

Setzt man die Härte in 2 ein, dann wird in Gl. (4.8/16) dimensionslos.

Der thermisch bedingte Verschleiß kommt dadurch zustande, dass die Walzenoberfläche wäh-

rend des Walzvorgangs einer thermischen Wechselbeanspruchung unterworfen ist. Sie wird in

kurzen Zeitintervallen alternierend durch das Walzgut aufgeheizt und durch Kühlwasser wieder

abgekühlt. Während der Aufheizphasen treten aufgrund der thermischen Ausdehnung Druck-

spannungen auf. Überschreitet der Spannungszustand die Fließgrenze der Walzenoberfläche,

wird sich diese zunächst plastisch verformen. Während der Kühlphasen entstehen Zugspannun-

gen, jedoch ist bei geringen Temperaturen die Duktilität des Walzenwerkstoffes nicht ausrei-

chend, um diese durch plastische Formänderung abzubauen. Wenn die Ermüdungsgrenze des

Walzenwerkstoffs erreicht ist, beginnt die Ausbreitung von Warmrissen auf der Walzenoberflä-

che.

4.8.3.2 Modellierung des Walzenverschleißes

Um eine rechnerische Aussage über das zu erwartende Dickenprofil treffen zu können, ist die

Modellierung des Arbeitswalzenverschleißes ebenso wichtig wie die der Abplattung, der Durch-

biegung und der thermischen Balligkeit der Walzen. Castaenedaneda und andere [SETF14] ha-

ben ein mathematisches Modell für den abrasiven Verschleiß von Arbeits- und Stützwalzen for-

muliert, dass im Folgenden beschrieben und für den vorliegenden Anwendungsfall modifiziert

wird.

Man kann sich den Walzenverschleiß als Folge zweier Kontaktprobleme vorstellen. Diese sind

zum einen die Pressung zwischen Arbeits- und Stützwalze, und zum anderen die Pressung zwi-

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 115

schen Arbeitswalze und Walzgut.

Ausgehend von Gl. (4.8/16) wird für den Kontakt zwischen Arbeitswalze und Stützwalze das

Verschleißvolumen als Produkt der Berührungsfläche der beiden Zylinder und dem Radien-

verlust an den Kontaktpartnern gesetzt. Damit ergibt sich für den Radienverlust

∆1 =1

(4.8/17)

Anstelle der Härte der weicheren Walze wird das Härteverhältnis

eingesetzt. Damit erhält

1 in dieser Form die Einheit

[1] =3

=

2

(4.8/18)

und entspricht dem Volumen-Materialverlust in 3 pro Belastungskraft und Ver-

schleißweg. Mit der zwischen Arbeits- und Stützwalze wirkenden Druckspannung =

kann diese Gleichung auch wie folgt geschrieben werden

∆1 =1

(4.8/19)

Die Verteilung von über die Kontaktlänge (Ballenlänge der Stützwalze) kann mit Hilfe der

Hertz’schen Kontaktmechanik ausgedrückt werden als

() =

s ()

2

16(1 + 2)∗

(4.8/20)

Damit folgt der Radienabtrag der Arbeits- und Stützwalze zu

∆1 () =

1

r()

2

16(1+2)∗

(4.8/21)

Setzt man für den gesamten Reibweg die Walzgutlänge ein und berücksichtigt man, dass

keine translatorische, sondern rotatorische Kinematik vorliegt mit dem Übersetzungsverhältnis

, dann ergibt sich für den Beitrag der Stützwalzenpressung zum Arbeitswalzenverschleiß

∆1 () =

1

r()

2

16(1+2)∗

(4.8/22)

116 Mechanische Beanspruchung von Walzen beim Flachwalzen

Walztemperatur

h10−6

Zyklus

i800 1,186900 3,1251000 1,465

Tabelle 4.8/3: Verschleißratenkoeffizient für verschiedene Walztemperaturen nach [LG94]

Alternativ können die zwischen Arbeits- und Stützwalze wirkenden Kontaktpressungen ()

aus der im letzten Abschnitt beschriebenen Kontakt- und Durchbiegungsberechnung entnom-

men werden. Dann gilt

∆1 () =1 ()

(4.8/23)

In [SETF14] wird Gl. (4.8/20) auch vereinfacht auf den Kontakt zwischen Arbeitswalze und

Walzgut angewandt. Dabei wird eine elliptische Spannungsverteilung zwischen Walze und Walz-

gut vorausgesetzt, vgl. Hitchcock [Hit35]. Hier soll ein anderer Weg beschritten werden, da

die zweidimensionale Spannungsverteilung Walze-Walzgut mit Hilfe des Walzmodells bereits

berechnet wurde und unmittelbar vorliegt. Daher wird Gl. (4.8/16) wie folgt zur Anwendung

gebracht

∆2 () = 2 max ()

(4.8/24)

Die Temperaturabhängigkeit wird über den Verschleißratenkoeffizient berücksichtigt. Der

Verschleiß von Walzen bei erhöhten Walzguttemperaturen wurde von Lundberg und Gustafs-

son mit Hilfe eines Verschleißprüfstandes untersucht [LG94]. Für drei unterschiedliche Tempe-

raturen wurde der Materialabtrag pro Belastungszyklus in folgender Form formuliert

=∆

∙

Zyklus

¸(4.8/25)

Die experimentellen Ergebnisse aus [LG94] sind in Tabelle 4.8/3 wieder gegeben.

Unter der Voraussetzung eines Referenzverschleißes bei Raumtemperatur von 10−6 mm/Zyklus

lässt sich der Korrekturfaktor zwischen 800 und 1000 wie folgt mathematisch be-

schreiben

() = −1 7955µ

100

¶2+ 32 53

µ

100

¶− 143 89 (4.8/26)

Die Abrasionskoeffizienten 1 und 2 sind in erster Näherung nur von der Werkstoff-

paarung abhängig und müssen experimentell ermittelt werden. Tabelle 4.8/4 zeigt einige Werte

für übliche, in Warmbandwalzwerken anzutreffende Werkstoffpaarungen [SETF14].

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 117

Werkstoff Werkstoff EA ES K1 K2

Arbeitswalzen Stützwalzen£2

¤ £2

¤ h10−122

i h10−122

iVerbundguss Gussstahl 220 195 0 6668 8 856Verbundguss Übereutektoider Stahl 220 200 0 6258 9 356Indefinite Chill Übereutektoider Stahl 180 200 0 6038 8 213

Tabelle 4.8/4: Walzenwerkstoffpaarungen in einemWarmbandwalzwerk mit Elastizitätsmodulen und Ab-rasionskoeffizienten. Daten nach [SETF14]

−0.1−0.08−0.06−0.04−0.02

0

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

v [m

m]

y [mm]F1F2

F3F4

F5F6

F7

Abbildung 4.8/9: Berechneter Walzenverschleiß in den Gerüsten der Fertigstaffel eines Warmbandwalz-werks nach einer gewalzten Bandlänge von 88,3 km

Abbildung 4.8/9 zeigt beispielhaft die berechneten Verschleißkonturen für eine siebengerüstige

Fertigstaffel nach 50 gewalzten Bändern der Breite 1500 mm und einem Coilgewicht von 40 t.

Dies entspricht einer Produktion von 9000 t bzw. einer Fertigbandlänge von 88,3 km.

4.9 Thermische Walzenbelastung

Während des Walzvorganges stehen die Arbeitswalzen in Kontakt mit dem Walzgut. Dabei wird

nicht nur mechanische Energie, sondern auch Wärme zwischen den Kontaktpartnern ausge-

tauscht. Das Aufheizen der Arbeitwalzen führt zur lokalen thermischen Ausdehnung des Wal-

zenballens, woraus eine thermische Balligkeit resultiert. Die damit verbundenen thermischen

Effekte auf die Dickenverteilung des Walzgutes können nicht vernachlässigt werden. Um diese

im Rahmen von Modellen erfassen zu können, ist eine zweistufige Vorgehensweise zur Be-

rechnung des Temperaturprofils in der Arbeitswalze und der daraus resultierenden thermischen

Balligkeit notwendig. Diese Effekte sind beim Warmwalzen stärker ausgeprägt als beim Kalt-

walzen, da die Temperaturdifferenz zwischen Walzgut und Arbeitswalzen beim Warmwalzen

118 Thermische Walzenbelastung

Abbildung 4.9/1: Skizze des Walzspalts mit Spritzbalken zur Kühlung der Oberwalze

wesentlich größer ist.

Die Arbeitswalzen sind gleichzeitig in Kontakt mit dem Walzgut wie auch mit mehreren Sprüh-

düsen, die die Arbeitswalzenoberfläche mit Kühlwasser beaufschlagen. Abbildung 4.9/1 zeigt

schematisch eine Anordnung von zwei Arbeitswalzen mit dem Walzspalt und den Wärmeströ-

men, die in die Walze eintreten und diese verlassen.

4.9.1 Wärmeleitungsgleichung und Temperaturfeld

Wenn der Ballen der Arbeitswalze als zylindrischer Vollkörper betrachtet wird, kann die insta-

tionäre Wärmeleitungsgleichung für eine Arbeitswalze in dreidimensionalen Zylinderkoordina-

ten (axial, tangential und radial) gemäß Gl. (4.9/1) formuliert werden.

=

1

µ

¶+1

µ1

¶+

µ

¶(4.9/1)

Im ebenen Fall wird die Wärmeleitung in axialer Richtung vernachlässigt. In Polarkoordinaten

gilt die Wärmeleitungsgleichung gemäß Gl. (4.9/2).

=

1

µ

¶+1

2

µ

¶(4.9/2)

Die Lösung von Gl. (4.9/2) mit den korrekten Randbedingungen liefert bereits Informationen

über die Temperaturverteilung im Querschnitt der Arbeitswalze. Die Berechnung der thermi-

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 119

schen Balligkeit ist jedoch aufgrund von fehlenden Aussagen über die Temperaturverteilung in

axialer Richtung mit dieser Beschreibung nicht möglich.

Eine Vereinfachung anderer Art ist die Vernachlässigung der tangentialen Wärmeleitung. Damit

erhält man für das radial-axiale Temperaturfeld Gl. (4.9/3).

=

1

µ

¶+

µ

¶(4.9/3)

Hier kann für den Zusammenhang zwischen der Zeitkoordinate und dem Polarwinkel mit

der Winkelgeschwindigkeit der Walze =

wie folgt eingeführt werden

= (4.9/4)

=

=

(4.9/5)

Die Zeitabhängigkeit kann damit in die Winkelabhängigkeit überführt werden

=

1

µ

¶+

µ

¶(4.9/6)

Gl. (4.9/6) bietet bereits die Möglichkeit einer numerischen Berechnung der dreidimensiona-

len Temperaturverteilung in der Walze. Um die Randbedingungen (siehe Abbildung 4.9/1) kor-

rekt berücksichtigen zu können, muss jedoch jede einzelne Walzenumdrehung mit entsprechend

kleinen Winkelschritten diskretisiert werden, was insgesamt zu einem sehr hohen Rechenauf-

wand führt, wenn ein ganzer Walzablauf berechnet werden soll. Daher ist diese Lösung nicht

praktikabel.

4.9.2 Analytische Lösung für das stationäre Temperaturfeld

Für die stationäre Temperaturverteilung einer Arbeitswalze in axialer und tangentialer Rich-

tung stehen analytische Lösungen zur Verfügung. Die für diesen Fall zu lösende Differential-

gleichung ist in dimensionsloser Formµ2

∗2+1

∗

∗+1

∗22

2

¶ ∗ =

1

2

∗

(4.9/7)

120 Thermische Walzenbelastung

Robinson und De Hoog [RDH96] konnten aufbauend auf Arbeiten von Patula [Pat81] und Yuen

[Yue84] die folgende Gleichung für die dimensionslose Temperaturverteilung in Form einer

Fourier-Reihe angeben

∗ (∗ ) =+∞X

=−∞ (

∗) (4.9/8)

Für die Rechenpraxis muss diese unendliche Summe begrenzt werden. Dann gilt

∗ (∗ ) =+X

=−

(∗) (4.9/9)

Im Folgenden wird die Schreibweise nach Gl. (4.9/8) weiter verwendet. Für die dimensionslose

Temperatur ∗ gilt die Definition

∗ = −

(4.9/10)

ist die Temperatur des Walzenkühlwassers und ist eine konstante Referenztemperatur,

die nur zu Normierungszwecken dient und frei gewählt werden kann solange 0 . Für

die dimensionslose Radialkoordinate ∗ gilt mit der dimensionsbehafteten Radialkoordinate

und dem Außenradius der Walze

∗ =

Die Koeffizienten (∗) sind mit der Bessel-Funktion erster Art der Ordnung gegeben als

(∗) =

³√− ∗

´

³√− 1

´ (4.9/11)

=√−1 ist die imaginäre Einheit. Für Ordnungen 0 gilt die Identität − () = ()

(komplex Konjugierte der positiven Ordnung). Da sich die hier durchzuführenden Betrachtun-

gen auf eine dünne Oberflächenschicht beschränken mit ∗ → 1, kann für die Bessel-Funktion

die folgende asymptotische Näherung für große komplexe Argumente benutzt werden [Olv10]

() ≈r2

cos³−

2−

4

´; ∈ C (4.9/12)

Die Größe 2 ist die reziproke Peclet-Zahl für das betrachtete Wärmeleitungsproblem. Es gilt

=1√

=

r

2(4.9/13)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 121

Die in Gl. (4.9/11) durchgeführte Normierung von auf den jeweiligen Wert an der Walzeno-

berfläche mit ∗ = 1 ist aus Gründen der Rechengenauigkeit sehr sinnvoll, da sich bei großen

Ordnungen sehr große Werte der Bessel-Funktion || 105000 ergeben können. In der Re-

chenpraxis wird mit ≈ 120 (also 241 Fourier-Termen inkl. Ordnung 0) gearbeitet.

Die zur Lösung des Problems vorzugebenden Randbedingungen sind die Stromdichten der Wär-

meabfuhr aus der Walze durch Walzenkühlung () = ( − ) und des Wärmeeintrags in die

Walze durch Kontakt mit dem Walzgut (). Diese werden wie folgt in dimensionslose Größen

umgerechnet

∗ () = ()

= () (4.9/14)

∗ () = ()

Diese dimensionslosen Funktionen werden mit Hilfe von Fourier-Reihen beschrieben und durch

ihre komplexen Fourier-Koeffizienten und ausgedrückt gemäß

=1

2

Z 2

0

∗ () − (4.9/15)

=1

2

Z 2

0

∗ () −

Für die Rücktransformation gilt

∗ () =+∞X

=−∞

(4.9/16)

∗ () =+∞X

=−∞

Um die Temperaturverteilung in der Walze nach Gl. (4.9/8) berechnen zu können, müssen die

Koeffizienten bestimmt werden. Diese sind nur noch von den Randbedingungen abhängig,

da das Wärmetransportverhalten im Inneren der Walze hinreichend über die in den Koeffizien-

ten enthaltenen Bessel-Funktionen beschrieben ist.

An der Walzenoberfläche gilt die folgende Robin’sche Randbedingung

∗

∗= −∗ () ∗ + ∗ () für ∗ = 1 (4.9/17)

122 Thermische Walzenbelastung

Setzt man hier die Definitionen von ∗, ∗ und ∗ aus den obigen Fourierreihen ein, dann folgt

zunächst

+∞X=−∞

µ

(1)

∗¶

= −+∞X

=−∞

Ã

+∞X=−∞

¡ (1)

¢!+ (4.9/18)

+∞X=−∞

¡

¢

Aus der Definition Gl. (4.9/11) lässt sich entnehmen, dass aufgrund der Normierung an der

Walzenoberfläche gilt (1) = 1 für alle . Damit kann die Randbedingung Gl. (4.9/17) wie

folgt mit Hilfe der Fourier-Koeffizienten ausgedrückt werden

∗(1) +

+∞X=−∞

− = für = 0±1±2 (4.9/19)

In Matrizenform ist diese Bedingung wie folgt anzugeben

k−1 A = Q oder A = kQ (4.9/20)

Die inverse Matrix k−1 wird wie folgt aufgebaut (Beispiel für = 2)

k−1 =

⎡⎢⎢⎢⎢⎣ 0−2 (1)

0−1 (1)

0 01 (1)

02 (1)

⎤⎥⎥⎥⎥⎦+⎡⎢⎢⎢⎢⎣0 −1 −21 0 −1 −22 1 0 −1 −2

2 1 0 −12 1 0

⎤⎥⎥⎥⎥⎦= F0 +H

Zur Berechnung der Ableitungen 0 (

∗) = ∗ (

∗) kann die folgende Identität benutzt

werden [Olv10]

() =

½12(−1 ()− +1 ()) für 6= 0

− () für = 0

¾(4.9/21)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 123

Der Rechenablauf ist wie folgt: Zunächst werden die Fourier-Koeffizienten und der vor-

gegebenen Wärmeströme an der Walzenoberfläche bestimmt. Dann werden die Koeffizienten

(∗) und ihre Ableitungen nach ∗ an der Oberfläche 0

(1) =∗ (1) bestimmt. Da-

mit wird die inverse Matrix k−1 wie oben beschrieben aufgebaut. Durch Matrixinversion wird

daraus k bestimmt, womit gemäß Gl. (4.9/20) der Koeffizientenvektor A bestimmt werden

kann. Die Berechnung des Temperaturfeldes erfolgt durch Auswertung von Gl. (4.9/8) für jede

Kombination der Parameter (∗ ).

Schreibt man alle Berechnungen in eine einzige Gleichung indem man Gl. (4.9/20) und Gl.

(4.9/15) in Gl. (4.9/8) einsetzt, dann folgt

∗ (∗ ) =£ (

∗) ¤[k]

1

2

Z 2

0

£−

¤∗ () (4.9/22)

Dies kann auch nach Gl. (4.9/23) mit einer Funktion geschrieben werden.

∗ (∗ ) =Z 2

0

(∗ ; 1 ) ∗ () (4.9/23)

Die Funktion , die von zwei Wertepaaren (∗ ) und (∗ ) abhängt, ist eine Kernelfunktion

des Bergmann-Typs [RDH96]. Die Formulierung nach Gl. (4.9/23) ist für die direkte Berech-

nung des Temperaturfelds weniger gut geeignet als Gl. (4.9/22), erlaubt aber eine Übertragung

des Modells auf den dreidimensionalen und instationären Fall durch Kopplung mit einem nu-

merischen Verfahren auf Basis der Methode der Finiten Differenzen. Zur Bestimmung der phy-

sikalischen Randbedingungen werden die unterschiedlichen durch Kühlmedien beaufschlagten

Bereiche der Walze wie folgt in tangentialer Richtung voneinander abgegrenzt

() =

⎧⎨⎩ für ∈ £32 − 0 −Ω− 1;

32 − 0 − Ω

¤ für ∈ £3

2 + Ω; 3

2 + 0 + 2

¤ sonst

⎫⎬⎭ (4.9/24)

Der Wärmeeintrag in die Walze durch das wärmere Walzgut wird durch die Wärmeübertra-

gungsfunktion () beschrieben. Diese entspricht der Leistungsdichte der in die Walze einge-

brachten Wärme. Es gilt

() =

½ für ∈ £3

2 − 0;

32¤

Kontaktbereich mit Walzgut0 sonst

¾(4.9/25)

Für gilt mit einer Wärmeübergangsformulierung

0 = ( − ) (4.9/26)

124 Thermische Walzenbelastung

Größe Wert EinheitWalzenradius 300 mmSprühwinkel am Eintritt 1 150

Sprühwinkel am Austritt 2 85

Freiwinkel Ω 10

Greifwinkel 0 10

Leistungsdichte Wärmeeintrag 0 3 · 106 2

Wärmeübergangskoeffizient Wasserkühlung 18000 2

Wärmeübergangskoeffizient Luftkühlung 15 2

Walzendrehzahl 50 1min

Temperaturleitfähigkeit Walze 11 32 · 10−6 2

Tabelle 4.9/1: Daten für ein Rechenbeispiel zum stationären Walzentemperaturprofil

Für gilt der Zusammenhang mit dem Wärmedurchgangskoeffizienten nach Gl. (4.6/16)

auf S. 80.

Im Folgenden wird ein Rechenbeispiel für die Daten nach Tabelle 4.9/1 dargestellt (vgl. Abbil-

dung 4.9/1).

Abbildung 4.9/2 zeigt das Ergebnis einer Berechnung des radialen und tangentialen Tempera-

turfelds der Arbeitswalze nach den Daten aus Tabelle 4.9/1 im mathematisch stationären Fall,

d.h. bei Kontakt mit einem unendlich langen Walzgut ohne Walzpausen. Die Kerntemperatur

der Walze ergibt sich als der tangentiale integrale Mittelwert der Walzenoberflächentemperatur,

wie bereits von Pawelski beobachtet wurde [Paw71].

4.9.3 Numerische Berechnung der Temperaturverteilung in radialer und axialer Richtung

Die bis hier beschriebenen Modelle schließen einen Temperaturgradienten in axialer Richtung

in der Walze aus. Dieser ist jedoch von großer Bedeutung zur Berechnung der thermischen

Balligkeit. Dagegen sind die thermischen Fluktuationen in den oberflächennahen Bereichen der

Walze für die thermische Ausdehnung von untergeordneter Bedeutung.

Zur Berechnung der thermischen Balligkeit einer Walze ist daher die Kenntnis des zweidimen-

sionalen Temperaturfelds ( ) ausreichend. Es verbleibt das Problem der korrekten Formu-

lierung der Randbedingungen. Diese müssen so bestimmt werden, dass sich zwischen Walzen-

kern und Beginn der thermisch aktiven Oberflächenschicht das gleiche axialsymmetrische Tem-

peraturfeld ergibt, als wenn die nichtsymmetrischen Effekte in den oberflächennahen Bereichen

berücksichtigt würden. Zu diesem Zweck wird das bereits beschriebene analytische Modell der

stationären Temperaturverteilung gemäß [RDH96] bemüht. Das oberflächennahe Temperatur-

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 125

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

550

0 50 100 150 200 250 300 350

Tem

pera

tur

[°C

]

Winkel [°]

−3.600mm −3.200mm −2.400mm −1.600mm −.800mm −.000mm

Abbildung 4.9/2: Berechnetes Walzentemperaturfeld in tangentialer Richtung für unterschiedliche Ra-dialkoordinaten. Daten nach Tabelle 4.9/1

feld kann wie folgt dimensionslos beschrieben werden

∗ (∗ ) =Z 2

0

(∗ ; 1 ) ∗ () (4.9/27)

Für die Walzenoberfläche wird definiert

(1 ) =

Z 2

0

(1 ; 1 ) (4.9/28)

Unter Berücksichtigung der Oberflächenverteilung der Temperatur folgt für eine integrale azi-

mutale Mittelung der Randbedingungen ∗ () und ∗ ()

∗=

R 20

(1 ) ∗ () R 20

(1 ) (4.9/29)

∗ =

R 20

(1 ) ∗ () R 20

(1 ) (4.9/30)

126 Thermische Walzenbelastung

Für die Rückrechnung dieser dimensionslosen in dimensionsbehaftete Größen gilt die Umkeh-

rung von Gl. (4.9/14)

= ∗

(4.9/31)

=

∗

Mit Hilfe dieser Randbedingung kann die Wärmleitungsgleichung für die Walze in axialer und

radialer Richtung gemäß Gl. (4.9/3) gelöst werden.

4.9.4 Örtliche Verteilung von Stoffeigenschaften in Arbeitswalzen

Zur örtlichen Verteilung der Stoffeigenschaften von Warmwalzen soll beachtet werden, dass

diese als Verbundkörper aus einem zähen Kernwerkstoff und einer harten Arbeitsschicht beste-

hen. Der Übergang zwischen diesen beiden Bereichen in radialer Richtung wird am Beispiel

der Wärmeleitfähigkeit wie folgt mathematisch beschrieben

³

´= +

−

2

arctan¡¡− 0

¢¢arctan (0) + 1

(4.9/32)

Abbildung 4.9/3 zeigt die Verteilung der spezifischen Wärmekapazität , der Wärmeleitfähig-

keit und der Massendichte in einer typischen Arbeitswalze des Durchmessers 780 mit

der Dicke der Arbeitsschicht von 40.

4.9.5 Berechnung der thermischen Balligkeit von Arbeitswalzen

Von besonderer Bedeutung für das Dickenprofil des Walzgutes ist die thermische Balligkeit der

Arbeitswalze, die aus dem berechneten Temperaturfeld gewonnen werden kann. Verschiedene

Methoden zur Berechnung der thermischen Balligkeit von Walzen wurden von Unger [Ung84]

untersucht.

Zunächst kann unter der Annahme eines ebenen Spannungszustandes in der Walze die Kon-

turänderung () des Walzenballens mit dem Temperaturfeld ( ) und der homogenen

Anfangstemperatur 0 wie folgt angegeben werden

() =2

Z

0

[ ( )− 0] (4.9/33)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 127

450

460

470

480

490

500

510

520

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

c p [

J/kg

K]

Bezogene Radialkoordinate [−]

34 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

λ [W

/mK

]

Bezogene Radialkoordinate [−]

7100

7200

7300

7400

7500

7600

7700

7800

7900

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

ρ [k

g/m

³]

Bezogene Radialkoordinate [−]

Abbildung 4.9/3: Verteilung der thermophysikalischen Eigenschaften in radialer Richtung einer Ar-beitswalze eines Warmwalzwerkes

128 Ermittlung der Walzspaltgeometrie eines deformierten Walzenballens

Setzt man statt dessen einen ebenen Verzerrungszustand in der Walze voraus, dann gilt die

Konturänderung ().

() =2 (1 + )

Z

0

[ ( )− 0] (4.9/34)

Führt man keine der obigen Vereinfachungen ein, dann gilt für die Verschiebungen der Oberflä-

chenpunkte eines unendlich ausgedehnten Zylinders im allgemeinen Spannungs- und Verzer-

rungszustand Gl. (4.9/35).

() =2

(2− )

Z

0

[ ( )− 0] +1−

2− [ ( )− 0] (4.9/35)

Unger führte Vergleichsrechnungen der obigen Gleichungen untereinander und mit Berechnun-

gen auf Basis des Verfahrens der Finiten Elemente durch. Es zeigt sich, dass die Gleichungen

für () und () die beste Übereinstimmung mit den FE-Berechnungen zeigen.

Desweiteren sind die Abweichungen zwischen () und () nur sehr gering. Gl. (4.9/33)

kann daher als gute Näherung an Gl. (4.9/35) angesehen werden.

4.10 Ermittlung der Walzspaltgeometrie eines deformierten Walzenballens

Die Geometrie des verformten Walzenballens wird in Polarkoordinaten als Funktion ( )

dargestellt. Diese Darstellung erfasst die örtliche Deformation des Walzenballens durch Abplat-

tung und thermische Balligkeit, sowie auch den aufgebrachten Walzenschliff. Zusätzlich wird

die Biegelinie als Verschiebungsfunktion der Walzenmittelachse in vertikaler Richtung berück-

sichtigt. Für jede axiale Schnittebene wird eine Höhenfunktion gefunden, die den Abstand

der verformten Walzenoberflächen in Abhängigkeit des Polarwinkels bereitstellt. Für diese

Funktion gilt

() = ()− cos () [ ( ) + ( )] (4.10/1)

Für den lokalen Abstand der Walzenmittelachsen gilt mit den unverformten Außenradien der

Ober- und Unterwalze, dem Leerwalzspalt und den berechneten Biegelinien der Ober- und Un-

terwalze

() = 0 +0 + 0 + ()− () (4.10/2)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 129

In dem Höhenvektor () müssen die Aus- und Eintrittspunkte numerisch gefunden werden.

Der Eintrittspunkt ist der Punkt, an dem gilt

() = 0 () (4.10/3)

Am Austrittspunkt (Ende der plastischen Zone) liegt eine waagerechte Tangente vor

= 0 (4.10/4)

Diese Betrachtung wird für jede axiale Ebene auf dem Walzenballen durchgeführt. Als End-

ergebnis nach der Übertragung auf kartesische Koordinaten wird die Walzguthöhenverteilung

( ) und die Form der Ein- und Austrittsebenen erhalten. Daraus lässt sich entnehmen, dass

die Eintrittsebene bei einem Eintrittsquerschnitt mit nicht-konstantem Dickenprofil keine pla-

nare, sondern eine gewölbte Fläche sein muss.

Die für das Walzmodell benötigten ersten Ableitungen

und

werden aus ( ) numerisch

bestimmt. Abbildung 4.10/1 zeigt die auf die oben beschriebene Weise bestimmte Walzguthö-

henverteilung ( ) für einen Kaltwalzstich mit einer Anstichdicke von 0 = 2 5 auf

eine Enddicke von 1 = 1 85 beim Werkstoff C15. An den Walzgutkanten ist die Kanten-

anschärfung deutlich sichtbar. Diese numerisch ermittelte Walzspalthöhenverteilung wird zur

Berechnung der Spannungsverteilung im Walzmodell verwendet.

4.11 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils

Unterschiedliche Methoden sind anwendbar, um den in den vorausgegangenen Abschnitten be-

schriebenen mechanischen und thermischen Effekten entgegenzuwirken und somit die Variation

des Dickenprofils des Walzgutes in bestimmten Grenzen zu halten. Diese Methoden können in

geometrische, mechanische und thermische Einflussmöglichkeiten eingeteilt werden. Zu geo-

metrischen Einflussmethoden werden auf die Arbeitswalzen aufgebrachte Schliffkonturen ge-

zählt, während die direkte Beeinflussung der Walzendurchbiegung zu den mechanischen Ein-

flüssen gehört. Dazu gehören neben der Arbeits- oder Stützwalzenrückbiegung auch Schliff-

konturen der Stützwalzen. Eine gezielte Beeinflussung der Temperaturverteilung der Walzen

mit dem Ziel, die thermische Balligkeit zu verändern zählt zu den thermischen Einflussmög-

lichkeiten.

In den folgenden Abschnitten werden geometrische und mechanische Methoden anhand eines

130 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils

−400−300−200−100 0 100 200 300 400 0 2

4 6

8 10

1.8

1.9

2

2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

y [mm]

x [mm]

Abbildung 4.10/1: Berechnete Walzguthöhenverteilung bei einem Kaltwalzstich von 0 = 2 5 auf1 = 1 85 mit deutlicher Kantenanschärfung, Bandbreite = 800, Werkstoff C15

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 131

Walzensatzes für ein Vierwalzengerüst nach Abbildung 4.11/1 anhand von Simulationsrech-

nungen mit den entwickelten Modellen miteinander verglichen.

4.11.1 Statischer Walzenschliff

Ein statischer Walzenschliff stellt eine ohne Walzenwechsel nicht veränderbare Einflussgröße

auf Profil und Planheit dar. Normalerweise werden parabolische Walzenschliffe angewandt. Die

Veränderung des Walzenradius entlang der Axialkoordinate folgt der Funktion

∆ () = − · b2 (4.11/1)

b ist hier eine bezogene Axialkoordinate des Walzenballens, die von −1 bis +1 läuft und wie

folgt definiert ist

b = 2

(4.11/2)

Durch einen Arbeitswalzenschliff lässt sich die Form des Walzspaltes direkt beeinflussen. Ein

Stützwalzenschliff beeinflusst die Walzspaltform mittelbar über die Veränderung der Kontakt-

kraftverteilung und damit der Arbeitswalzenbiegelinie. Abbildung 4.11/2 zeigt die Auswirkun-

gen von durch Schliff eingestellen Arbeits- oder Stützwalzenballigkeiten auf das Dickenprofil

des Walzspaltes für eine spezifische Walzkraft von jeweils 10 .

4.11.2 Arbeitswalzenschliff mit axial verschiebbaren Walzen (CVC)

Zur Optimierung der Planheit von Flacherzeugnissen müssen Möglichkeiten geschaffen wer-

den, in das Zusammenwirken der thermischen und mechanischen Effekte, die die Walzspalt-

form beeinflussen aktiv einzugreifen. Ein Entgegenwirken der thermischen Balligkeit und der

Durchbiegung der Arbeitswalzen kann durch Einbringen einer Schliffkontur in die Arbeitswal-

zen erreicht werden. Jedoch ist diese Einflussnahme statisch und es kann nicht dynamisch auf

Banddicken- oder Temperaturschwankungen reagiert werden. Einen Ausweg aus dieser Proble-

matik bieten Arbeitswalzen, die unter Last axial verschoben werden können und eine polynomi-

sche Schliffkontur ungerader Ordnung ≥ 3 besitzen [DE1003903] [DE3620197]. Durch entge-

gengesetztes Axialverschieben der Arbeitswalzen kann die Walzspaltform stufenlos verändert

werden. Für die Schliffkontur der Walzen sind sowohl polynomische, als auch Exponential- und

Winkelfunktionen, sowie Kombinationen dieser Formfunktionen möglich.

132 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils

Abbildung 4.11/1: Geometrie der Stütz- und Arbeitswalzen eines betrachteten Vierwalzengerüstes undDiskretisierung durch Finite Balkenelemente

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 133

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

0.2

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

h [m

m]

y [mm]

Arbeitswalzen−Schliff

Δ DA = 0 mmΔ DA = 0.1 mm

Δ DA = 0.2 mmΔ DA = 0.3 mm

Δ DA = 0.4 mm

−0.45

−0.4

−0.35

−0.3

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

h [m

m]

y [mm]

Stützwalzen−Schliff

Δ DS = 0 mmΔ DS = 0.1 mm

Δ DS = 0.2 mmΔ DS = 0.3 mm

Δ DS = 0.4 mm

Abbildung 4.11/2: Auswirkungen eines parabolischen Arbeitswalzen- oder Stützwalzen-Schliffes mitAbschliffmaßen zwischen 0 mm und 0,4 mm

134 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils

Abbildung 4.11/3: Skizze von Walzenballen mit CVC-Schliff bei verschiedenen Verschiebungen. A: Neu-trale Verschiebung; B: Positive Veschiebung (Konkaves Band); C: Negative Verschiebung (KonvexesBand)

Im Folgenden soll anhand einer mathematischen Analyse gezeigt werden, welche Walzspaltfor-

men mit einem solchen System abgebildet werden können. Allgemein gilt für den Verlauf des

Außenradius der Walze in axialer Richtung

(b) = X=0

b (4.11/3)

Hier wird ein Polynom dritter Ordnung betrachtet ( = 3) um die prinzipiellen Effekte zu

zeigen.

Das Absolutglied 0 ergibt sich aus dem Nenn-Ballenradius der Walze. Die Koeffizienten 2

und 3 werden an den notwendigen Stellbereich des Systems angepasst. Der Keilfaktor 1 wird

so gewählt, dass sich möglichst geringe Axialkräfte ergeben.

Im Folgenden werden Gleichungen entwickelt, um die Koeffizienten für einen gewünsch-

ten Stellbereich zu bestimmen. Für den Schliffkonturverlauf der Oberwalze wird die folgende

Formfunktion definiert

(b) = 1b + 2b2 + 3b3 (4.11/4)

Dann sind die Radienverläufe der Ober- und Unterwalzen wie folgt

(b) = + (b) = + 1b + 2b2 + 3b3 (4.11/5)

(b) = + (−b) = − 1b + 2b2 − 3b3In einem ortsfesten Koordinatensystem, bei dem der Koordinatenursprung im Mittelpunkt des

Walzgutes liegt, lassen sich die oberen und unteren Begrenzungslinien des Walzspaltes wie folgt

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 135

angeben

(b) =

2− (b) (4.11/6)

(b) = −2+ (b)

Es wird eine symmetrische Axialverschiebung der Walzen eingeführt, bei der die Ober- und

Unterwalze um jeweils den gleichen Betrag ∆b gegensinnig verschoben werden, vgl. Ab-

bildung 4.11/3. Die wirksamen Konturverläufe unter Einfluss der Verschiebung sind wie folgt

definiert

(b∆b ) =

2− (b +∆b ) (4.11/7)

(b∆b ) = −2+ (b −∆b )

Die Begrenzungen des Walzguts in axialer Richtung werden mit Hilfe des Verhältnisses der

Bandbreite zur Ballenlänge

ausgedrückt. Für den Höhenverlauf des Umformraums (Walz-

spalt) in axialer Richtung gilt

(b∆b ) = (b∆b )− (b∆b ) für −

≤ b ≤ +

(4.11/8)

Der resultierende Crown, also der Höhenunterschied zwischen Walzgutmitte und Walzgutkante

ist in Abhängigkeit der Axialverschiebung wie folgt gegeben

(∆b ) = (0∆b )−

µ

∆b ¶ (4.11/9)

Hier wird ersichtlich, dass ein linearer Zusammenhang zwischen der Axialverschiebung und

dem resultierenden Crown vorliegt.

Zur Bestimmung von 2 und 3 wird unter Berücksichtigung der Grenzwerte min und max ein

lineares Gleichungssystem mit den Verschiebungsgrenzwerten −∆b max und +∆b maxformuliert.

Als Lösung dieses Gleichungssystems erhält man Gl. (4.11/10) und Gl. (4.11/11).

2 =min + max

4³

´2 (4.11/10)

3 = −min − max

6∆b max (4.11/11)

136 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils

Größe Wert EinheitKleinste Walzenballigkeit 0,0 mmGrößte Walzenballigkeit 0,3 mmMaximaler Verschiebeweg 150 mmBallenlänge Arbeitswalzen 2700 mmNutzbare Ballenlänge 2400 mmRadienunterschied Extremstellen 0,32 mmKoeffizient 1 -0,355900 -Koeffizient 2 -0,094922 -Koeffizient 3 +0,284766 -

Tabelle 4.11/1: Auslegungsdaten eines CVC-Walzenschliffs

Der Stellbereich ist alleine durch 2 und 3 bestimmt und unabhängig von 1.

Der verbleibende Koeffizient 1 folgt aus der Vorgabe des Radienunterschiedes der beiden Ex-

tremstellen ∆ der Funktion Gl. (4.11/4) zu

1 =22 −

³27∆23

4

´2333

(4.11/12)

Als Beispiel zeigt Tabelle 4.11/1 die Auslegungsdaten eines CVC-Schliffs mit einem Stellbe-

reich der Arbeitswalzenballigkeit von 0,0 mm bis 0,3 mm. Die Koeffizienten 1, 2 und 3

wurden nach Gl. (4.11/12), Gl. (4.11/10) und Gl. (4.11/11) berechnet.

Abbildung 4.11/4 zeigt im oberen Teilbild den Konturverlauf der oberen Arbeitswalze im nutz-

baren Ballenbereich für fünf Verschiebepositionen zwischen -100% und +100% des maximalen

Verschiebeweges. Das untere Teilbild zeigt die Walzspaltformen, die sich bei Ausnutzung des

gesamten Verschiebebereiches mit diesem CVC-System unter Last mit einer spezifischen Walz-

kraft von 10 kN/mm einstellen lassen.

Von weiterem Interesse sind die in der äußeren Randfaser wirkenden Biegespannungen in den

Arbeitswalzen und die Kontaktkraftverteilung zwischen Arbeits- und Stützwalzen für den ge-

samten Verschiebebereich. Diese Daten sind in Abbildung 4.11/5 dargestellt.

4.11.3 Walzenrückbiegung

Neben der Einflussnahme durch Walzenschliff und CVC-Systeme kann man die Deformation

der Arbeits- und Stützwalzen auch durch eine mechanische Rückbiegung beeinflussen.

Durch Hydraulikzylinder werden an den Zapfen der Arbeits- oder Stützwalzen zusätzliche Kräf-

te eingeleitet, die je nach Vorzeichen der Belastung die Walzendeformation unterstützen oder

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 137

−0.25

−0.2

−0.15

−0.1

−0.05

0

0.05

0.1

0.15

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

Δr [

mm

]

y [mm]

−0.4−0.35

−0.3−0.25

−0.2−0.15

−0.1−0.05

0 0.05

0.1

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

Wal

zspa

lthö

he [

mm

]

y [mm]−100 %

−50 %0 %

+50 %+100 %

Abbildung 4.11/4: Kontur der Oberwalze (oben) im nutzbaren Ballenbereich und einstellbare Walz-spalthöhenverläufe (unten)

138 Methoden zur Beeinflussung des Dickenprofils

−18−16−14−12−10

−8−6−4−2 0

−2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 2500

σ B A

W [

N/m

m2 ]

y [mm]

5 6 7 8 9

10 11 12 13

−2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 2500

Fk

[kN

/mm

]

y [mm]−100 %

−50 %0%

+50 %+100 %

Abbildung 4.11/5: Biegespannungs- und Kontaktkraftverläufe in Abhängigkeit der CVC-Verschiebepo-sition

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 139

ihr entgegenwirken. Die Stützwalzenrückbiegung (Backup Roll Bending, BURB) hat aufgrund

der hohen notwendigen Kräfte keine große praktische Bedeutung.

Mit Hilfe der Arbeitswalzenrückbiegung (Work Roll Bending, WORB) kann jedoch eine Beein-

flussung des Walzspaltprofils mit vertretbarem Kraftaufwand erfolgen. Abbildung 4.11/6 zeigt

dies am Beispiel von fünf Berechnungen für den Walzensatz nach Abbildung 4.11/1. Bei einer

Walzkraft von 10 kN/mm wurde eine an Antriebs- und Bedienungsseite symmetrisch wirkende

Rückbiegekraft von 0 kN bis zu 1000 kN simuliert.

Die mechanische Beeinflussung der Walzenbiegung führt bei geringen Rückbiegekräften zu

einer Verringerung der Walzspaltballigkeit, die bei den höchsten hier verwendeten Kräften voll-

ständig kompensiert werden kann. Durch eine Kombination von CVC und Arbeitswalzenrück-

biegung kann daher der Stellbereich eines CVC-Systems vergrößert werden. Wie das untere

Teilbild von Abbildung 4.11/6 zeigt, ist bei der Anwendung der Arbeitswalzenrückbiegung mit

einem Anstieg der Kontaktkräfte an den Walzenrändern zu rechnen, da die Arbeitswalze gegen

die Stützwalze gedrückt wird.

4.12 Modellierung der Planheit von Flachquerschnitten

4.12.1 Phänomenologische Beschreibung

Während das Dickenprofil durch das Walzspaltprofil bestimmt wird, ist die Planheit eines Flach-

querschnitts durch die Längungsunterschiede entlang der Breitenkoordinate definiert. Planheits-

fehler sind das Resultat von Eigenspannungen in Längsrichtung. Diese entstehen durch eine

in Breitenrichtung inhomogene Streckungsverteilung. Zur Definition einer Planheitskenngröße

denkt man sich den Walzgutquerschnitt in Streifen gleicher Breite aufgeteilt. Die bezoge-

nen Längenunterschiede der einzelnen Streifen 1 zur Länge des Streifens in der Walzgutmitte

1 sind µ∆

¶

=

µ1

1− 1¶

(4.12/1)

Diese Betrachtung wird im Folgenden auf die Formänderungskenngrößen des Walzvorgangs

übertragen. Für jeden einzelnen Streifen und auch den Gesamtquerschnitt gilt die Volumenkon-

stanz

= 1 (4.12/2)

140 Modellierung der Planheit von Flachquerschnitten

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

0.1

−1500 −1000 −500 0 500 1000 1500

Δh [

mm

]

y [mm]

7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17

−2500 −2000 −1500 −1000 −500 0 500 1000 1500 2000 2500

Kon

takt

kraf

t [kN

/mm

]

y [mm]0 kN

+250 kN+500 kN+750 kN

+1000 kN

Abbildung 4.11/6: Einstellbare Walzspaltprofile durch Arbeitswalzenrückbiegung (oben) und Auswir-kungen auf die Kontaktkraftverteilung zwischen Arbeits- und Stützwalze (unten)

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 141

Für die Endlängen eines Streifens und der Bandmitte gilt dann mit den örtlichen Stauch-

und Breitgraden

1 =0

(4.12/3)

1 =0

Im Sinne eines eigenspannungsfreien Zustandes vor dem Walzvorgang sind die Anfangslängen

gleich, 0 = 0 = 0 und damit folgtµ∆

¶

=

µ

− 1¶

(4.12/4)

Der lokale Breitgrad ist eine Funktion des örtlichen Querflusses. Für eine Abschätzung kann

man anstelle der schwierig zu bestimmenden örtlichen Breitung einen empirischen Korrektur-

faktor einführen µ∆

¶

≈

µ− 1¶

(4.12/5)

Üblicherweise werden diese Streckungsunterschiede in I-Units angegeben. Eine I-Unit ent-

spricht einer Längsdehnung von 10 m/m Länge. Damit gilt für die relative Streckung des

Streifens in I-Units

=

µ

− 1¶· 105 (4.12/6)

≈

µ− 1¶· 105

Beim Kaltwalzen liegt in der Größenordnung von ≈ 0 01 [Rie89]. Da linear von

abhängt, führt dieser Parameter eine Niveauverschiebung des Planheitskennwertes durch.

Die qualitative Aussage des Modells bleibt bei freier Wahl von unverändert.

4.12.2 Plastomechanische Modellierung der Planheit

Um die Problematik der Planheitsberechnung einer plastomechanischen Vorgehensweise zu-

gänglich zu machen, kann die Methode der oberen Schranke verwendet werden. Elsen formu-

lierte ein Modell, in dem der Walzvorgang vereinfacht durch einen Flachstauchvorgang ersetzt

wird [Els04]. Die einzelnen Streifen werden als quaderförmige Stauchkörper beschrieben. Die

Wechselwirkung zwischen den einzelnen Streifen wird durch ein gegenseitiges Abscheren an

den Streifenkanten modelliert.

142 Modellierung der Planheit von Flachquerschnitten

Als unbekannter Parameter verbleibt der Breitungsanteil im Modell. Dieser beschreibt die

Dehngeschwindigkeit in Breitenrichtung in Relation zur Dehngeschwindigkeit in vertikaler

Richtung

= −··

(4.12/7)

Für = 0 ergibt sich der breitungsfreie Fall (ebene Umformung in der xz-Ebene). Der umge-

kehrte Sonderfall mit = 1 ist der streckungsfreie Fall (ebene Umformung in der yz-Ebene).

Für die ideelle Umformleistung am Volumen eines Streifens ergibt sich [Els04]

=

Z

· =

2√3

s22−

· +

·2

(4.12/8)

Die Reibleistung, die aufgrund des Oberflächenkontaktes zwischen Streifen und Werkzeug ab-

geführt wird, ist

=

Z

|| (4.12/9)

= √3

3 +

·2

3

6³ · −

´ lnà · − +

·

!

+3

³ · −

´26·

2

ln

à · +

| · − |

!

Mit

=

s·2

2 +

·2

2 −

2·

2

+

22

2(4.12/10)

Neben der Oberflächenreibung wird die Abscherung der einzelnen Streifen untereinander an

4 Modelle zum Walzen von Flachquerschnitten 143

den Seitenflächen berücksichtigt. Für die Scherleistung gilt

=

Z

|| (4.12/11)

=√

36·

2

[2· 2

s·2

2 +

22

2+

·3

3

3 ln

⎛⎜⎜⎝2 + 3

r·

2 +

2 2

2

· 3

⎞⎟⎟⎠+

3 ln

⎛⎝ · +

q·2

2 + 2

⎞⎠]Ein weiterer Anteil ist die Zugleistung . Durch an den Stirnflächen der Streifen aufgebrachte

Längsspannungen wird die Formänderung in vertikaler Richtung erleichtert. Für gilt

= || · (4.12/12)

Die obere Schranke der Umformleistung ist wie folgt gegeben

∗ = + + − (4.12/13)

Durch numerische Optimierung wird derjenige Breitungsanteil gesucht, der ∗ für die ge-

gebenen Parameter minimiert. Daraus kann aufgrund des vereinfachten Geschwindigkeitsfelds

des Flachstauchvorgangs der Breitgrad des Streifens direkt bestimmt werden

= exp− ln (4.12/14)

Diese Breitungsberechnung wird für alle Streifen durchgeführt. Aus den so bestimmten Breit-

graden und kann die unvereinfachte Version der Gl. (4.12/6) zur Anwendung kommen,

um die Längungsverteilung zu berechnen. Durch unterschiedliche Vorgaben des Haftreibungs-

beiwertes kann das Schrankenmodell sowohl für das Warm-, als auch das Kaltwalzen ange-

wandt werden.

5 Breitung beim Walzen

5.1 Streckungswirksamkeit und freie Formänderungen

Das Walzen ist ein Umformverfahren mit unvollständigem Formzwang, da eine freie Breitung

der Querschnitte stattfindet. Dies wird für das Walzen auf der Flachbahn anhand von Abbildung

5.1/1 verdeutlicht.

Abbildung 5.1/1: Verdrängte und wiedererscheinende Querschnittsansteile an einem rechteckigen Ein-und Austrittsquerschnitt beim Flachwalzen, nach [Mau05]

Der in vertikaler Richtung von den Walzen verdrängte Teil der Querschnittsfläche, die ver-

drängte Fläche fließt nicht vollständig in die Längsrichtung ab, sondern teilweise auch in

Breitenrichtung. Dies führt zur Breitung mit der wiedererscheinenden Fläche am Austritts-

querschnitt. Bei idealisiert rechteckigen Querschnitten gilt für diese Flächen (vgl. Abbildung

5.1/1)

= 0|∆| = 0 (0 − 1) (5.1/1)

= 1|∆| = 1 (1 − 0)

Um diese Verhältnisse in einer einzigen Größe zu erfassen, definiert man die Streckungswirk-

samkeit gemäß

= 1−

(5.1/2)

0 1

146 Ursachen der Breitung und empirische Breitungsgleichungen

Abbildung 5.1/2: Einteilung des Walzspaltes in Zonen zwei- und dreichasiger Formänderung

Wie Hill zeigen konnte, ist eine ganze Klasse von Geschwindigkeitsfeldern kinematisch zuläs-

sig, bei der die Breitungsfunktion () frei formuliert werden kann [Hil63]. Alleine die Bedin-

gung der Divergenzfreiheit des Geschwindigkeitsfeldes,

+

+

= 0 (5.1/3)

führt daher nicht zu einer Lösung für die Berechnung der Breitung.

Abbildung 5.1/2 zeigt schematisch einen Walzspalt für einen breitungsbehafteten Walzstich in

den xz- und xy-Ebenen. Neben der Einteilung in Vor- und Nacheilzonen ist in der xy-Ebene

die Einteilung der Zonen zwei- und dreiachsiger Formänderung zu erkennen. In den Randzo-

nen und 00 0 liegen dreiachsige Formänderungszustände vor; sie sind für die Breitung

verantwortlich. Demgegenüber herrschen in den inneren Zonen 00 (Nacheilzone) und

00 (Voreilzone) ebene Formänderungszustände. Die Linie 0 repräsentiert die Fließ-

scheide im Bereich ebener Formänderung. Die Fließscheide setzt sich in den äußeren Zonen

zur Walzgutkante krummlinig fort (in Abbildung 5.1/2 aus Gründen der Übersichtlichkeit nicht

eingezeichnet).

5.2 Ursachen der Breitung und empirische Breitungsgleichungen

Siebel [Sie31] versuchte die Ursache der Breitung mit der Hilfe von Fließwiderständen zu be-

schreiben. Nach dieser Modellvorstellung tritt der Stofffluss in den Richtungen auf, in denen

ihm die geringsten Fließwiderstände entgegenwirken. Der Quotient der Fließwiderstände in

5 Breitung beim Walzen 147

Breitenrichtung (y) und Längsrichtung (x) hängt wie folgt mit

zusammen

∼

für

1 (5.2/1)

Die von Siebel formulierte Modellvorstellung liefert eine qualitative Erklärung dafür und be-

schreibt eine abnehmende Breitung bei größer werdendem Seitenverhältnis 00

. Eine präzise

quantitative Modellierung der Breitung auf physikalischer Basis ist mit elementaren Methoden

bis heute nicht geglückt.

Statt dessen werden empirische oder empirisch-statistische Breitungsmodelle verwendet. Die-

se können mit einfachen Mitteln für einen bestimmten interessierenden Parameterbereich aus

den Ergebnissen systematischer Walzversuche ermittelt werden, so dass eine schnelle Brei-

tungsberechnung für Walzprozesse möglich wird, wenn die Datenbasis der zugrunge liegenden

experimentellen Ergebnisse alle vorkommenden Parametervariationen abdeckt.

5.3 Einflussfaktoren auf die Breitung

Die Breitung eines Walzvorgangs ist von verschiedenen Einflussparametern abhängig. Dieses

sind die Walzspaltgeometrie, die Reibung, der Walzgutwerkstoff, die Temperatur und die am

Walzspaltein- und austritt wirkenden Längsspannungen.

5.3.1 Geometrische Einflüsse

Die meisten empirischen Breitungsmodelle bewerten nur die geometrischen Parameter, nur we-

nige schließen zusätzlich die Reibung in ihre Betrachtung mit ein. Für die Einflüsse von Werk-

stoff, Temperatur und Längsspannungen auf die Breitung werden zusätzliche Korrekturmodelle

verwendet. Der Einfluss der Geometrie wird über das Walzspaltverhältnis , die bezogene

Höhenänderung und das Seitenverhältnis 00 beschrieben. Allgemein kann für die geome-

trischen Einflüsse auf die Breitenänderung ∆ eines Walzstiches geschrieben werden

∆ = ∆

µ0

0

¶(5.3/1)

5.3.2 Werkstoff- und Temperatureinfluss

Der scheinbare Werkstoff- und Temperatureinfluss auf die Breitung ist indirekt. Er ist auf Ver-

änderungen der Reibung und der Fließspannung des Walzguts in Abhängigkeit dieser beiden

148 Einflussfaktoren auf die Breitung

0.5

0.55

0.6

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

850 900 950 1000 1050 1100 1150

Δb /

Δh

Temperatur [°C]X8Cr17 (1.4016)

X10Cr13 (1.4006)C15 (1.0401)

18CrNi8 (1.5920)X5CrNi18.10 (1.4301)

Abbildung 5.3/1: Temperaturabhängiger Breitungskoeffizient ∆∆ für verschiedene Stähle nach[GG59]

Parameter zurückzuführen. Experimentelle Untersuchungen zum temperaturabhängigen Brei-

tungsverhalten unterschiedlicher Werkstoffe wurden bereits in den 1950er Jahren von Grosse

und Gottwald [GG59] durchgeführt. Um das Breitungsverhalten eines bestimmten Werkstoffs

mit einem Referenzwerkstoff zu vergleichen, führt man einen Breitungsfaktor ein

=∆∆¡

∆∆

¢

(5.3/2)

Nach Messungen liegen signifikante temperatur- und werkstoffbedingte Einflüsse auf das Brei-

tungsverhalten vor, wie Abbildung 5.3/1 am Beispiel für fünf verschiedene Werkstoffe zeigt.

Viele Werkstoffe zeigen bei einer bestimmten Temperatur ein Breitungsmaximum, so auch

die ferritischen Chromstähle X10Cr13 und X8Cr17, sowie der Kohlenstoffstahl C15. Ande-

re Werkstoffgruppen, wie beispielsweise austenitisch-rostfreie Stähle wie X5CrNi18.10 haben

kein Breitungsmaximum und kein ausgeprägt temperaturabhängiges Breitungsverhalten. Der

niedrig legierte Einsatzstahl 18CrNi8 hat ebenfalls kein Breitungsmaximum zwischen 900

und 1120 und gehört zu den wenigen Werkstoffen, die über einen weiten Temperaturbe-

reich eine geringere Breitung als der Referenzwerkstoff C15 aufweisen. Bei Temperaturen über

1050 ist zu beachten, dass aufgrund des bei 1030 auftretenden Breitungsmaximums die

Breitungsneigung von C15 rückläufig ist.

5 Breitung beim Walzen 149

5.3.3 Einfluss von Längsspannungen auf die Breitung

Insbesondere beim Profilwalzen beobachtet man, dass am Walzspalteintritt und Walzspaltaustritt

wirkende Längsspannungen die Breitung beeinflussen. Zugspannungen senken die Breitung,

während Druckspannungen, sofern diese ohne Ausknicken des Walzguts anwendbar sind eine

breitungsfördernde Wirkung haben.

Auf der Basis von Messungen, die von Treis und Nikkilä [Tre68, Nik77] durchgeführt wur-

den, konnten Mauk und Dobler ein Korrekturmodell für die Berücksichtigung der Längsspan-

nungen bei der Breitungsberechnung formulieren [Mau99]. Danach wird die Formänderung

in Längsrichtung eines Stiches in einen längsspannungsunbeeinflussten Umformgrad 0 und

einen längsspannungsbeeinflussten Umformgrad aufgeteilt. Für die Gesamtformänderung

gilt

= 0 + (5.3/3)

0 ist mit der Querschnittsfläche am Walzspalteintritt 0 und der rechnerischen Endquer-

schnittsfläche ohne Längsspannungseinfluss ∗1 wie folgt definiert.

0 = ln0

∗1(5.3/4)

Für die von den Längsspannungen abhängige Zusatzformänderung wird ein statistisches Modell

verwendet. hängt von der Längsspannung an der Eintrittsseite 0 quadratisch, aber von der

Längsspannung an der Austrittsseite 1 linear ab

= 1

µ0

¶2+ 2

µ0

¶+ 3

µ1

¶(5.3/5)

Die Koeffizienten werden wie folgt weiter unterteilt

= 1∆

0+2

0

0+3

für = 13 (5.3/6)

Die Regressionskoeffizienten wurden nach [Mau99] anhand von Messergebnissen gemäß

Tabelle 5.3/1 bestimmt.

5.4 Berechnung des lokalen Breitungsverlaufes im Walzspalt

Während zur Berechnung einfacher integraler Größen die Berechnung der Endbreite ausrei-

chend ist, wird bei der Betrachtung des Geschwindigkeitsfeldes auch der lokale Breitenverlauf

im Walzspalt benötigt.

150 Berechnung des lokalen Breitungsverlaufes im Walzspalt

i m1 m2 m3

1 1,05502 0,100816 -0,5910292 -0,886507 -0,00258613 0,1599713 -0,347681 -0,0457338 0,0525161

Tabelle 5.3/1: Regressionskoeffizient in Gl. (5.3/6)

Im Folgenden werden Gleichungen für die lokalen Breitungsverläufe auf Basis der bekannten

Breitungsmodelle entwickelt.

Die Funktion () und deren erste Ableitung

lässt sich als Verkettung schreiben, indem die

Breitenformänderung von der Höhenformänderung abhängig gemacht wird, Gl. (5.4/1).

=

(5.4/1)

Die Funktionen () und

folgen aus der Walzspaltgeometrie, da die Verteilung der Höhen-

formänderung durch die Walzenkontur vorgegeben ist. Die partielle Ableitung

ist von dem

verwendeten Breitungsmodell abhängig. Daher ist es sinnvoll, einige wichtige Breitungsglei-

chungen in dieser Form zu formulieren und zu vergleichen. Das Ergebnis der absoluten End-

breite wird nicht bewertet, sondern nur die Form der lokalen Breitungsverteilung. Daher wird

die Breitenänderung immer mit einem Breitungsfaktor korrigiert.

Die einfachste Breitungsgleichung stammt von Geuze [Geu00], die eine direkte Proportionalität

der Breiten- und Höhenänderung voraussetzt gemäß

∆ = ∆ (5.4/2)

Der Faktor wird von Geuze zu = 0 3 angegeben. Für eine lokale Breitenänderungsfunktion

bedeutet dies

()− 0 = ∆ () = ∆ () (5.4/3)

Die partielle Ableitung

ergibt sich zu

= − (5.4/4)

Eine Alternative ist die Breitungsgleichung nach Roux, welche die Geometrie des Walzspaltes

detaillierter berücksichtigt. Hier gilt für die lokale Breitenänderung

∆ () =∆ ()

³00

´(1 + 0 57)

"1− ∆()

0+ 3()

2 0

34# (5.4/5)

5 Breitung beim Walzen 151

Mit der Konstanten

=

µ0

0− 1¶µ

0

0

¶ 23

(5.4/6)

und der Funktion

() =

Ã1 + 5

µ0 35− ∆ ()

0

¶2!s0

∆ ()− 1 (5.4/7)

Dieses Breitungsmodell erlaubt ebenso die lokale Bildung des Differentials

.

Eine weitere Methode zur Breitungsberechnung stammt von Marini. Diese erfasst neben der

Geometrie des Walzspaltes auch einen Reibwert . Nach Marini gilt

() = 0 +2 ()∆ () 0

¡− 0

2

¢0 91 (0+30)

40·³0 + 0

(0+())2

· 1+()1−()

´+ 2 ()

(5.4/8)

Mit den Funktionen und

() =

p∆ ()

2√

(5.4/9)

() =

r∆ ()

Zu den Rechenmethoden nach Roux und Marini ist anzumerken, dass diese eine Singularität

für ∆ ()→ 0 besitzen. Für die Grenzwerte gilt jeweils

lim∆→0

(∆) = 0 (5.4/10)

Daraus folgt, dass diese Modelle numerisch nicht für die Eintrittsebene, in der noch keine Form-

änderung statt gefunden hat, angewandt werden können. Eine Reihe weiterer Breitungsmodelle

basiert auf Arbeiten von Wusatowski [WZ63]. Diese Breitungsmodelle haben die Form

() = 0 ·µ ()

0

¶

(5.4/11)

=0

0· () (5.4/12)

Wenn der Breitungsexponent nicht von der Höhenänderungsverteilung ∆ () abhängig ist,

gilt

=

0

0−1 (5.4/13)

152 Empirisch-statistische Breitungsgleichungen

Bei bekannter Endbreite lässt sich zur Berechnung des Breitungsverlaufes wie folgt bestim-

men

=ln³10

´ln³10

´ (5.4/14)

Die Breitungsgleichungen nach Roux und Marini können ebenso mit Hilfe eines Breitungsfak-

tors auf eine gegebene Endbreite normiert werden.

Integriert man die ()-Funktionen, dann folgt die vorgegebene absolute Breitenänderung ∆

für alle Modelle. Es gilt Z 1

0

= ∆ (5.4/15)

Dies lässt sich durch numerische Integration der berechneten Funktionswerte ebenso zeigen.

5.5 Empirisch-statistische Breitungsgleichungen

Mauk konnte, aufbauend auf einen Vorschlag von Sparling wie folgt eine verallgemeinerte Brei-

tungsgleichung mit den Koeffizienten 1 bis 8 angeben [MK82]

||= 1

µ0

0

¶2

· 300

4 0

5( 0 )6(0 )7∆0 8 (5.5/1)

Die Koeffizienten werden aus Regressionsrechnungen anhand von Messwerten bestimmt. So

lässt sich beispielsweise, wenn eine ausreichende Datenbasis zur Verfügung steht, eine ange-

passte Breitungsberechnung für vorliegende Anwendungsfälle bestimmen.

Man kann eine geringfügig bessere Abbildung der Realität erreichen, wenn Gl. (5.5/1) um den

Einfluss des Walzspaltverhältnisses ergänzt wird. Es gilt dann für eine modifizierte Form

von Gl. (5.5/1)

||= 1

µ0

0

¶2

· 300

4 0

5( 0 )6(0 )7∆0 8

9(5.5/2)

Für Regressionsrechnungen zur Bestimmung der Koeffizienten in Gl. (5.5/1) bzw. Gl. (5.5/2)

wird eine Messwertsammlung mit 833 Walzstichen zugrunde gelegt, die am Lehrstuhl für Um-

formtechnik des ITM seit einigen Jahren gepflegt wird. Diese enthält sowohl Betriebs-, als auch

Labormessungen und einen breiten Bereich unterschiedlicher Abmessungen und Walzendurch-

messer.

5 Breitung beim Walzen 153

h [mm] d [mm] 00

0

0

0

Kleinster Wert 5,15 124,5 0,248 0,2142 0,0619 0,0617 0,0061Größter Wert 346 780 7,34 6,1426 1,16 0,8207 0,5953

Tabelle 5.5/1: Wertebereich der zugrunde gelegten Messwertsammlung, Stichprobenumfang N=833

C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 R2

Gl. (5.5/1) 4,721 -2,246 -6,65 12,961 -12,593 -0,781 7,420 -6,068 - 0,803Gl. (5.5/2) 135,024 -1,9 -10,803 -10,686 -8,33 18,816 -15,15 -3,41 -1,184 0,834

Tabelle 5.5/2: Regressionsergebnisse mit den Breitungsansätzen

Tabelle 5.5/1 zeigt eine Übersicht über den Wertebereich der Messwertsammlung.

Da sich die Funktionsansätze Gl. (5.5/1) und Gl. (5.5/2) nicht auf eine lineare Form in den

Koeffizienten überführen lassen, muss eine nichtlineare Regressionsrechnung durchgeführt

werden. Diese erfolgt hier mit Hilfe des Levenberg-Marquardt-Verfahrens (SPSS).

5.6 Breitungsberechnung mit plastomechanischen Methoden

Neben empirischen Breitungsmodellen ist man seit langer Zeit auf der Suche nach einer durch-

gängigen plastomechanischen Lösung für das Walzen, die Breitungseffekte mit einschließt.

Hill [Hil63] beschrieb ein Verfahren zur Ermittlung von nicht-werkzeuggebundenen Formände-

rungen. Aus einer Klasse von kinematisch zulässigen Geschwindigkeitsfeldern wird dasjenige

ausgesucht, das die statische Zulässigkeit des dazugehörenden Spannungsfeldes am wenigsten

stark verletzt. Eine Näherung an das Spannungsfeld soll zusammen mit einem kinematisch

zulässigen Geschwindigkeitsfeld Gl. (5.6/1) erfüllen [Hil63, KOA89].Z

=

Z −

Z (5.6/1)

+

Z( ) ( − )

Die Gesamtoberfläche der Umformzone ist in drei Teile geteilt, = + + mit

der werkzeuggebundenen Oberfläche (constraint), der freien Oberfläche und der inneren

Oberfläche zwischen der plastischen und einer starren Zone (falls vorhanden).

Legt man die allgemeine Geschwindigkeitsfeldklasse für das parallelepipedische Walzen mit

Breitung zugrunde, dann wird diese für die Bestimmung von () weiter eingeschränkt, so

dass es eine eindeutige Lösung für Gl. (5.6/1) gibt. Die Geschwindigkeitskomponenten werden

auf den konstanten Volumenstrom bezogen formuliert und anstelle der Breitungsfunktion ()

154 Breitungsberechnung mit plastomechanischen Methoden

wird eine unbekannte Funktion () verwendet

= ()

()(5.6/2)

= −

=

()

2 ()

Nach Anwendung des Variationsprinzips anhand Gl. (5.6/1) folgt zur Bestimmung von ()

eine gewöhnliche Differentialgleichung

+ = 0 (5.6/3)

Mit

() =1

µ

Z

0

¶+ ( − ) (5.6/4)

() =1

µ

Z

0

¶+ ( − ) (5.6/5)

und den Randbedingungen

(0) =

0(5.6/6)

() =

1=

Z 1

0

+

0

Die Spannungsgrößen werden mit Hilfe der Fließregel wie folgt ausgedrückt

−

= 1 +

2

(5.6/7)

−

= 2 +

= −2

Ã

2

!

= −2

Ã

2

!Gl. (5.6/3) ist eine gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung vierter Ordnung. Für ()

können weiterhin die folgenden Randbedingungen angegeben werden

( = ) = 0 (5.6/8)

( = 0) =

( = ) = 0

5 Breitung beim Walzen 155

Lahoti und Kobayashi konnten diese Breitungsdifferentialgleichung mit Hilfe eines Runge-

Kutta-Verfahrens 5. Ordnung numerisch lösen [LK74]. Dazu müssen die Gleichungen zunächst

aufbereitet werden. Nach dem Einsetzen der Spannungsgrößen und Lösen der Integrale gilt für

die Funktionen () und () mit der Ableitungsschreibweise 0 =

() =

2

"− 200

3(1 + 0) + 20

2³1 + 0

3

´+ 2

3000+

+ 023− 1

3200+ 2

303+ 40+ 2

#(5.6/9)

() =

2

"

32

¡200 − 202 + 0 + 4

¢+

+ 03(20 + 5) + 1

3200 + 20 + 4

#(5.6/10)

Setzt man Gl. (5.6/9) und Gl. (5.6/10) in Gl. (5.6/3) ein, dann folgt für die zu lösende gewöhn-

liche Differentialgleichung [LK74]

0 = (5.6/11)

00002 + 20002 (1 + 0)− 4000(3 + 0)− 80002+ 002µ00+

0

− 1

¶−00

µ1

+ 12

¶− 2002− 403 (2 + 0)− 202

µ1

+ 00+

0

¶+02

µ1

22+

0

2

¶− 0

µ02

+5

2+ 120+ 24

¶+

µ02

3− 0

2− 4

3− 4

− 00

¶Die Hilfsfunktion () wurde hier wie folgt definiert

() =

µ

¶−1Domanti, McElwain und Middleton [DMM95] gaben eine vereinfachte Lösung für Gl. (5.6/11)

an. Als bezogene Längskoordinate wird definiert

0 = −

(5.6/12)

Damit ist 0 = 0 in der Eintrittsebene und 0 = 1 in der Austrittsebene. Die örtliche Walzgut-

breite wird ebenso in dimensionsloser Form angegeben gemäß

0 (0) = ( (0)− 0)

µ0

2

¶(5.6/13)

156 Breitungsberechnung mit plastomechanischen Methoden

Der örtliche Stauchgrad (0) beschreibt die Höhenformänderung. Damit wird das Breitungs-

problem dimensionslos betrachtet. Die gewöhnliche Differentialgleichung des Breitenverlaufs

wird nach Gl. (5.6/14) wie folgt angegeben

0

0= 1

µ (0)− 1

(0)

¶+ 6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ (0)

0Z0

ln (0) (0)

0 −

0Z0

(0) ln (0) 0

(0)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+

+3

µ1−

¶⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝ (0)

0Z0

1

(0)0 −

0Z0

(0) 0

(0)

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠(5.6/14)

Die Integrationskonstante 1 berücksichtigt die Breitungs-Randbedingung in der Austrittsebene

des Walzspalts. Es gilt

1 = − 1−

(1− )2 − 1

1 = 6

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(1− )

1Z0

ln (0) (0)

0 −

1Z0

(0) ln (0) 0

1−

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠+

+3(1−

)

⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝(1− )

1Z0

1

(0)0 −

1Z0

(0) 0

1−

⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠ (5.6/15)

1 = − 1

1− − 11−

Wenn man die Breitungsdifferentialgleichung

formulieren kann,dann lässt sich das Differen-

tial

wie folgt berechnen

=

µ

¶−1(5.6/16)

5 Breitung beim Walzen 157

0.99

1

1.01

1.02

1.03

1.04

1.05

1.06

1.07

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

Bre

itgr

ad β

x/ld

Roux Marini Wusatowski Domanti

−0.6

−0.5

−0.4

−0.3

−0.2

−0.1

0

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0

db/d

h

x/ld

Abbildung 5.6/1: Vergleich des lokalen Breitungsverlaufes gemäß der Modelle nach Roux, Marini, Wu-satowski und Domanti

Mit den obigen Definitionen kann das Differential mit Hilfe von Gl. (5.6/14) wie folgt

ausgedrückt werden

= − 0

0· 0·µ

¶−1· (5.6/17)

Wenn man auch bei dieser Theorie die Breitungsberechnung mit Hilfe des Breitungsfaktors

auf eine vorgegebene Endbreite normiert, kann man den Breitenverlauf () und das Diffe-

rential

mit den empirischen Modellansätzen vergleichen. Ein solcher Vergleich ist in Abbil-

dung 5.6/1 in Abhängigkeit der Längskoordinate für einen Warmwalzfall mit 0 = 50 ,

1 = 20, 0 = 100, 1 = 125 (normiert), = 360, = 0 3 aufgetragen.

Beim Vergleich des lokalen Breitgrades zeigt sich, dass das örtliche Breitungsverhalten der ein-

zelnen Modellansätze teilweise deutlich von einander abweicht. Insbesondere die Breitungsglei-

158 Breitungsberechnung mit plastomechanischen Methoden

chungen nach Wusatowski und Marini beschreiben ein mehr oder weniger lineares Anwachsen

der Walzgutbreite in der Nähe der Eintrittsebene, während die Ansätze nach Roux und Domanti

einen S-förmigen Breitungsverlauf beschreiben. Allen Ansätzen ist gemein, dass die Breitungs-

funktion einen weit auslaufenden Verlauf gegen Ende der Umformzone annimmt. Der Vergleich

des Differentials zeigt, dass die Berechnungsmethode nach Domanti die einzige ist, bei

der () einen rückführenden Steigungsverlauf am Ende der Umformzone hat. Bei allen

anderen Methoden ist monoton fallend zu Werten 0.

6 Modelle zumWalzen von Vollquerschnitten

6.1 Einleitung

Wie beim Walzen auf flacher Bahn wird auch beim Profilwalzen der Walzspalt durch den zwi-

schen den Walzen entstehenden Zwischenraum gebildet. Im Unterschied zum Flachwalzen ha-

ben die Walzen keine einfache zylindrische Form, sondern besitzen in die Umformbahnen ein-

geschnittene Kaliber.

Die geometrische Abfolge der Kaliber (auch Kalibrierung genannt) ist von wichtiger Bedeutung

für den Walzprozess. Eine Besonderheit der Walzverfahren für Vollquerschnitte gegenüber den

Flachwalzverfahren ist, dass es beim Walzen von Vollquerschnitten sinnvoll und möglich ist,

mehr als zwei Walzen gleichzeitig am Walzgut angreifen zu lassen. Ein wichtiges Beispiel

dafür ist das Dreiwalzenverfahren, auf dessen Modellierung in einem der folgenden Abschnitte

eingegangen wird.

6.1.1 Warmgewalze Vollquerschnitte

Abbildung 6.1/1 zeigt eine Übersicht über warmgewalzte Profilerzeugnisse, auch Langerzeug-

nisse genannt. Diese werden zunächst in die drei Gruppen Formstahl, Stabstahl und Walzdraht

aufgeteilt. Formstahl oder schwere Profile sind Langerzeugnisse mit einem Metergewicht von

60 kg/m oder mehr. Dazu gehören sowohl Doppel-T-Träger mit verschiedenen Flanschbreiten,

wie auch U-Profile, Grubenausbauprofile und Spezialprofile. Warmgewalzter Stabstahl wird in

Stangenform geliefert und hat Metergewichte von weniger als 60 kg/m. Stabstahl mit vollem

Querschnitt, zu dem die Produkte Rundstahl, Vierkant, Sechskant, Achtkant und Flachstahl

gehören wird von Stabstahl mit profilförmigem Querschnitt unterschieden. Dazu gehören U-

Profile, T-Profile, Winkelprofile, Wulstflachstahl und Spezialprofile als Stabstahl. Eine dritte

Gruppe der warmgewalzten Langerzeugnisse stellt Walzdraht dar, der als Vollquerschnitt re-

gellos zu Ringen aufgewickelt geliefert wird. Dieser wird sowohl mit rundem als auch nicht-

rundem Querschnitt geliefert, wobei Walzdraht mit Rundquerschnitten die weitaus größeren

Erzeugungsmengen ausmacht.

6.1.2 Kaltgewalzte Vollquerschnitte

Das Kaltwalzen von Profilerzeugnissen besitzt im Bereich der Weiterverarbeitung von Walz-

draht eine wichtige Bedeutung, da der Hartstoffverbrauch der Umformwerkzeuge wesentlich

160 Einleitung

Abbildung 6.1/1: Übersicht über warmgewalzte Langerzeugnisse

geringer ist als beim Gleitziehen. Die Werkzeugstandzeit ist daher beim Walzen höher als beim

Gleitziehen. Man kann deshalb davon ausgehen, dass in der Zukunft bei steigenden Hartstoff-

preisen die Walzverfahren in der Weiterverarbeitung an Bedeutung gewinnen werden.

Beim Kaltwalzen von Runddraht wird ein Rundquerschnitt eines bestimmten Durchmessers auf

einen kleineren Durchmesser umgeformt, wobei die in diesem Verfahren erreichbaren kleins-

ten Enddurchmesser deutlich unterhalb eines Millimeters liegen. Mehrgerüstige kontinuierliche

Walzanlagen werden mitunter in mehreren Durchgängen durchlaufen. Zwischenglühungen kön-

nen notwendig sein, um die Duktilität der Werkstoffe nach einem gewissen Umformgrad wieder

herzustellen.

Neben der Stichfolge Rund-Oval-Rund hat beim Kaltwalzen die RCS-Kaliberreihe (Round Cor-

nered Square) eine gewisse Bedeutung, bei der ein rundnaher Querschnitt ohne die Notwendig-

keit von Walzgutführungen produziert werden kann.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 161

Das Kaltwalzen von Flach- und Profildrähten hat insbesondere bei hochlegierten Werkstoffen

eine Bedeutung. Diese Werkstoffe sind durch eine hohe Anfangsfließspannung und nur geringe

Weiterverfestigung gekennzeichnet, wodurch Durchziehverfahren für ihre Weiterverarbeitung

weniger gut geeignet sind.

6.1.3 Walzziehen von Vollquerschnitten

Das Walzziehen bietet eine Alternative zum Kaltwalzen oder Düsenziehen, indem es die Eigen-

schaften beider Verfahren kombiniert. An die Stelle einer Ziehdüse treten, wie beim Kaltwalzen,

zwei hintereinander angeordnete Walzkaliber. Eine Ziehstufe wird durch zwei Walzziehstiche

ersetzt. Im Gegensatz zum Walzverfahren werden die Walzen nicht angetrieben, sondern die

rotatorische Bewegung der Werkzeuge wird durch Reibschluss mit dem hindurchgezogenen

Draht eingeleitet. Insofern ist das Walzziehen nicht den Druckumformverfahren, sondern wie

auch das Gleitziehen den Zug-Druck-Umformverfahren zuzurechnen.

Wie beim Kaltwalzen sind die Kontaktflächen beim Walzziehen geringer als beim vollumschlie-

ßenden Gleitziehen, was zur Verringerung der Reibleistung beiträgt. Wie später durch Modell-

rechnungen gezeigt werden wird, existiert beim Walzziehen wie beim Walzen eine Fließscheide

im Walzspalt, wodurch die Größe der wirkenden Schubspannungen begrenzt wird.

Beim Gleitziehen steigt dagegen die Reibschubspannung vom Anfang zum Ende der Umform-

zone kontinuierlich an. Aus diesen Bedingungen resultiert, dass die mechanische und thermi-

sche Werkzeugbelastung beim Gleitziehen höher ist als beim Walzziehen, was zu einem schnel-

len Verschleiß der Ziehwerkzeuge und damit einem hohen Verbrauch an kostenintensiven Hart-

stoffen führt. Hier bietet das Walzziehen gegenüber dem Gleitziehen entscheidende wirtschaftli-

che Vorteile. Beim Gleitziehen mit einer vollumschließenden Ziehdüse ist es dagegen einfacher,

enge Toleranzen des Produktes einzuhalten.

6.2 Zielgrößen für Modelle zum Profilwalzen

Die zunächst wichtigste Aufgabe von Modellen für das Profilwalzen ist die Ermittlung einer

Kalibrierung zur Herstellung eines Profils eines definierten Fertigquerschnittes aus einem defi-

nierten Anfangsquerschnitt mit einer bestimmten Anzahl von Walzstichen. Diese Abfolge von

Kalibern definiert die Werkzeuggeometrien des mehrstufigen Umformvorganges, der den An-

fangsquerschnitt schrittweise in den Endquerschnitt überführt. In Abhängigkeit der geometri-

schen Komplexität des zu erzeugenden Profils lassen sich Kalibrierungen in sogenannte regulä-

162 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Abbildung 6.2/1: Systematische Einteilung von Kalibrierungen nach [Neu76]. A) Reguläre Kalibrie-rung; B) Einfach irreguläre Kalibrierung; C) Kompliziert irreguläre Kalibrierung

re, einfach-irreguläre und kompliziert-irreguläre Kalibrierungen einteilen [Neu76].

Wie Abbildung 6.2/1 zeigt, besitzen reguläre Kalibrierungen eine über die Profilbreite konstan-

te Höhenänderung und zwei Symmetrieebenen. Bei einfach irregulären Kalibrierungen hat die

Verteilung der Höhenänderung über die Profilbreite mindestens eine Symmetrieebene. Kom-

pliziert irreguläre Kalibrierungen, bei denen das Profil keine ausgeprägten Symmetrien besitzt,

finden bei der Herstellung von Spezialprofilen Anwendung. Abbildung 6.2/2 zeigt die Kalibrie-

rung einer Rillenschiene als Produktbeispiel für ein Formstahlwalzwerk mit hoher geometri-

scher Komplexität.

Im Folgenden werden die einfach-irregulären Kalibrierungen behandelt, die neben den Flach-

walzverfahren (dies sind der obigen Systematik zur Folge reguläre Kalibrierungen) die größte

Anwendungsbreite besitzen.

Neben den Aufgabenstellungen zur Neuauslegung von Kalibrierungen ist die Analyse und Op-

timierung bestehender Walzwerke und ihrer Kalibrierungen ein weiteres wichtiges Themenfeld.

Hierzu werden mathematische Modelle benötigt, welche die im Walzprozess wirkenden Effekte

in hoher Genauigkeit abbilden und bewertende Rückschlüsse zulassen. Dazu zählen Effekte der

elastischen Auffederung der Walzgerüste, Breitungseffekte unterschiedlicher Werkstoffe und

Längsspannungen im Walzgut zwischen den Gerüsten, sowie auch die Entwicklung des Tem-

peraturfeldes im Walzgut während und zwischen den einzelnen Umformschritten.

6.3 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Für das Warmwalzen von Vollquerschnitten als Stabstahl und Draht werden unterschiedliche

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 163

Abbildung 6.2/2: Kalibrierung für eine Rillenschiene als Beispiel einer kompliziert-irregulären Kali-brierung, nach [Mau08]

Kaliberreihen verwendet. Abbildung 6.3/1 zeigt beispielhaft die Kalibrierung eines Drahtwalz-

werks, bei der ein vorgewalzter Quadrat-Anstich von 80 mm Seitenlänge (Teilbild A) in 25

Stichen auf einen Rundquerschnitt von 5,5 mm Durchmesser ausgewalzt wird. Dabei wird zu-

nächst eine Raute-Quadrat-Kaliberreihe verwendet (Kaliber B bis I), an die sich Quadrat-Oval

(I bis P) und Rund-Oval-Kaliberreihen (Q bis Z) anschließen.

Abbildung 6.3/1 kann unter Anderem entnommen werden, dass die einzelnen Kaliberreihen aus

einer wechselnden Abfolge von Haupt- und Zwischenkalibern bestehen. So wechseln sich in

den Stichen B bis I ein Zwischenkaliber der Rautenform mit einem Hauptkaliber (Quadrat) ab.

In der folgenden Quadrat-Oval-Kaliberreihe werden als Zwischenkaliber Ovale anstatt Rauten

verwendet. In der finalen Rund-Oval-Rund-Kaliberreihe stellen die Rundkaliber die Haupt- und

die Ovalkaliber die Zwischenkaliber dar.

164 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Abbildung 6.3/1: Kalibrierung eines Drahtwalzwerks mit Anstich 80 mm Quadrat auf 5,5 mm Rund.Nach [SP64]

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 165

6.3.1 Kalibergeometrien zum Warmwalzen

In Abhängigkeit des zu erzeugenden Fertigquerschnittes werden unterschiedliche, parametri-

sierte Grundgeometrien zur Gestaltung der Kaliber verwendet. Die wichtigsten zur Herstellung

von Stabstahl und Draht sind die Rund-Oval-Kaliberreihe zur Herstellung von Rundquerschnit-

ten und die Raute-Quadrat-Kaliberreihe zur Herstellung von Quadratquerschnitten. Bei der Ver-

arbeitung quadratischer bzw. rechteckiger Anstichquerschnitte, die direkt aus einem Gießpro-

zess wie dem Stranggießen stammen, werden außerdem Kastenkaliber verwendet.

6.3.1.1 Oval- und Rundkaliber

Für Ovalkaliber gibt es drei übliche Geometrien, bei denen die Hauptrundung durch einen,

zwei oder drei Radien beschrieben wird. Für kleine Rundprofile mit Querschnittsflächen

700 2 werden Einradienovalkaliber verwendet. Ein solches Einradienovalkaliber zeigt Ab-

bildung 6.3/2.

Abbildung 6.3/2: Prinzipskizze eines Einradien-Ovalkalibers mit den bestimmenden geometrischenGrößen Radius R1, Radius R2, Walzspalt s, Höhe h , Breite b

Das Kaliber wird bestimmt durch seine Höhe h , Breite b und den Walzspalt s. Für den

Hauptradius 1 ergibt sich

1 =2 + 24

(6.3/1)

166 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Abbildung 6.3/3: Prinzipskizze eines Zweiradien-Ovalkalibers mit den bestimmenden Größen Radien1, 2, 3, Walzspalt , Höhe , Breite

Abbildung 6.3/4: Vergleich von Formvariationen bei Zweiradien-Ovalkalibern

Bei größeren Querschnitten werden Mehrradienovalkaliber verwendet, um die Kantenbereiche

der Ovalprofile sorgfältiger einzuformen, vgl. [Mau08]. Abbildung 6.3/3 zeigt ein Zweiradie-

novalkaliber. Statt eines einzigen Hauptradius 1 werden hier zwei tangential ineinander über-

gehende Radien 1 und 3 verwendet.

Die Kaliberbreite b ergibt sich, indem der Radius 3 verlängert und mit der horizontalen Achse

zum Schnitt gebracht wird. Bei gegebener Kaliberbreite b und Kaliberhöhe h kann das Zwei-

radienovalkaliber durch Wahl des Radius 1 variiert werden. Abbildung 6.3/4 zeigt drei Zwei-

radienovalkaliber mit identischer Höhe und Breite, aber unterschiedlichen Verhältnissen der

Radien 1 und 3.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 167

Abbildung 6.3/5: Prinzipskizze eines Dreiradienovalkalibers mit den bestimmenden Größen Radien R1,R2, R3, R4, Breite b , Höhe h , Walzspalt s

Eine weitere Annäherung an die Form einer Ellipse ist möglich, indem ein weiterer Radius in

die Kaliberform mit einbezogen wird. Abbildung 6.3/5 zeigt das Dreiradienovalkaliber, das im

Bereich der Profilbildung drei Radien 1, 3 und 4 besitzt.

168 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Abbildung 6.3/6: Links: Konzentrisches Einradien-Rundkaliber; Rechts: Zweiradien-Rundkaliber

Rundkaliber können auf zwei Arten ausgeführt werden, die in Abbildung 6.3/6 gezeigt sind.

Das linke Teilbild zeigt ein typisches Vorkaliber für Rundquerschnitte die nicht als Fertigquer-

schnitte verwendet werden. Dieses Kaliber ist unter einem Winkel tangential aufgeschnitten.

Dieser tangentiale Aufschnitt verschafft der Kalibrierung eine Sicherheit gegenüber Breitungs-

schwankungen der Rundprofile, ohne die das Profil in den Walzspalt austreten und Walzfehler

verursachen würde.

Das Zweiradien-Rundkaliber (rechtes Teilbild) wird als Fertigkaliber verwendet. Hier wird der

tangentiale Aufschnitt anstatt durch eine Gerade, durch einen zweiten Radius 3 ausgeführt.

Mit dieser Technik versucht man, der flachen Seitenausbildung beim Rund-Vorkaliber entge-

genzuwirken. Für die Wahl von 3 gilt, dass bei kleinen Radien auf Kosten der Breitungssicher-

heit die Rundform besser angenähert wird. Für 3 = 1 ergibt sich ein kreisrundes, nicht auf-

geschnittenes Kaliber. Für sehr große Radien 3 1 nähert sich die Form des Aufschnitts

dem Tangentialaufschnitt eines Einradienkalibers an. Wenn die Grenzabmaße und des

Rundprofils bekannt sind, lassen sich die Radien 1 und 3 eines Zweiradien-Rundkalibers in

Anlehnung an [Mau08] wie folgt entwickeln

1 = ·µmax + min

4

¶= ·

µ2 + +

4

¶(6.3/2)

3 =23 + 2 + 421 − 41 ( sin+ 3 cos)

81 − 4 ( sin+ 3 cos)

3 = · ( + )

Die Breite 3 entspricht der maximal zulässigen Breite des Rundprofils im Warmmaß, 3 =

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 169

max. Tatsächlich gibt es einen Grenzwert für 3, bei dem der Radius 3 unendlich wird. Für

diesen Fall ergibt sich wieder ein Einradienkaliber. Es gilt

3max = lim3→∞

3 =21 − sin

cos(6.3/3)

Das größtmögliche obere Abmaß ist demnach

max =21 − sin

cos− (6.3/4)

6.3.1.2 Rauten- und Quadratkaliber

Zur Herstellung seitengleicher Quadratquerschnitte wird die Raute-Quadrat-Kaliberreihe ver-

wendet. Die typischen Kaliberformen von Rauten- und Quadratkalibern zeigt Abbildung 6.3/7.

Abbildung 6.3/7: Rautenkaliber (links) und Quadratkaliber (rechts). R1: Hauptradius, R2: Übergangs-radius; s: Walzspalt: :Rautenwinkel; h: Höhe; b: Breite; c: Seitenlänge des Quadratquerschnitts

Das Rautenkaliber besteht aus zwei Schrägen, die um den Winkel versetzt sind und sich

im Kalibergrund mit dem Hauptradius 1 treffen. An den Kaliberrändern gehen sie mit dem

Übergangsradius 2 in den Walzenballen über. Wie bei den Ovalkalibern ist die Kaliberbreite

eine fiktive konstruktive Größe.

Das Quadratkaliber ist eine Sonderform des Rautenkalibers mit einem Winkel ≈ 90. Beim

Walzen einer breiten Werkstoffpalette mit stark unterschiedlichem Breitungsverhalten ist es mit-

unter sinnvoll, ein aufgeschnittenes Rautenkaliber zu verwenden. Dieses wird durch Schachte-

lung zweier Rautenkaliber konstruiert, wie Abbildung 6.3/8 zeigt.

Das aufgeschnittene Rautenkaliber bietet dem normalen Rautenkaliber gegenüber eine höhere

Breitungssicherheit. Außerdem ist es durch mehrfaches Walzen im gleichen Kaliber möglich,

170 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Abbildung 6.3/8: Skizze eines aufgeschnittenen Rautenkalibers mit Außen- und Innenbreiten sowieÜbergangsradien und dem Walzspalt

mit aufgeschnittenen Rauten eine breite Palette vom Quadratabmessungen herzustellen.

6.3.1.3 Kastenkaliber

In den ersten Stichen einer Kaliberreihe, insbesondere beim Walzen von gegossenen Quer-

schnitten werden Kastenkaliber verwendet. Diese stellen eine gleichmäßige Umformung aller

vier Ecken des Querschnitts sicher. Abbildung 6.3/9 zeigt die Parameter eines nicht bombierten

Kastenkalibers für einen Rechteckquerschnitt (links) und einen Quadratquerschnitt (rechts).

Zur Verbesserung der Greif- und Kontaktbedingungen kann der Kalibergrund positiv (ausge-

wölbt) oder negativ (eingezogen) bombiert werden. Geometrische Beispiele für diese Technik

zeigt Abbildung 6.3/10.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 171

Abbildung 6.3/9: Kastenkaliber; Links: Rechteckform; Rechts: Quadratform. R1: Eckenradius; R2:Übergangsradius: : Seitenwinkel; h: Kaliberhöhe; b: Kaliberbreite; s: Walzspalt

Abbildung 6.3/10: Links: Positiv bombiertes Kastenkaliber; Rechts: Negativ bombiertes Kastenkaliber.e: Bombierung

172 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

6.3.1.4 Kaliberformen für das Walzen im Dreiwalzenverfahren

Im Dreiwalzenverfahren werden, ebenso wie im Zweiwalzenverfahren verschiedene Kaliber-

geometrien eingesetzt.

Im Folgenden werden diese Kalibergeometrien mit ihren Konstruktionsprinzipien dargestellt

und Gleichungen zur Beschreibung der Geometrie entwickelt.

Eine wichtige Größe zur Beschreibung dieser Kaliber ist der Radius des Inkreises , der an die

Stelle der Kaliberhöhe der Zweiwalzenkaliber tritt, da er die Druckmaße des gewalzten Profils

bestimmt. Die einfachste Form eines Dreiwalzenkalibers ist das Flachkaliber, bei dem die drei

um jeweils 120 versetzt angeordneten Walzen flache Walzbahnen haben. Dieses Kaliber ist

im linken Teilbild von Abbildung 6.3/11 gezeigt. Um ein Drehen des Profils beim Kontakt mit

dem Kaliber zu behindern, können als Formvariante die Walzbahnen mit dem Radius 3 und

der Bombierung negativ bombiert ausgeführt sein, wie das rechte Teilbild von Abbildung

6.3/11 zeigt. Der Innenradius ist auf dem umschließenden, nicht bombierten Flachkaliber

definiert.

Abbildung 6.3/11: Flachkaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: nicht bombiertes Flachkaliber;Rechts: negativ bombiertes Flachkaliber

Für den Bombierungsradius 3 gilt

3 =42 +

¡2√3− 2¢28

(6.3/5)

Für die Kaliberbreite und die Breite am Walzballen dieser Flachkaliber können Gleichungen

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 173

Abbildung 6.3/12: Nicht aufgeschnittene Kaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: nicht-exzentri-sches Kaliber; Rechts: exzentrisches Kaliber

gemäß Gl. (6.3/6) aus der Geometrie abgeleitet werden.

= 2 (6.3/6)

= 2−√3

2

Diese Breiten haben zwar für die Konstruktion der Kaliber keine wesentliche Bedeutung, der

Vergleich der Profilbreite mit der Kaliberbreite liefert jedoch einen wichtige Kenngröße zur

Beurteilung der Kaliberfüllung.

Um im Dreiwalzenverfahren Rundquerschnitte herstellen zu können, werden weitere Kaliber-

formen benötigt. Die einfachste Form sind nicht aufgeschnittene Kaliber, die in Abbildung

6.3/12 gezeigt werden. Das linke Teilbild zeigt ein nicht exzentrisches und nicht aufgeschnit-

tenes Rundkaliber, bei dem der Kaliberradius 1 dem Inkreisradius entspricht, = 1. Als

Vorkaliber werden exzentrische Kaliber verwendet, bei dem der Kaliberradius größer ist als der

Inkreisradius, 1 , wie das rechte Teilbild von Abbildung 6.3/12 zeigt.

174 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Die Gleichungen für die Breiten dieses Kalibertyps sind wie folgt gegeben

=

r21 −

3

4(1 − )2 +

2− 1

2(6.3/7)

=

vuut21 −Ã√

3

2(1 − ) +

2

!2+

2− 1

2(6.3/8)

Für den Sonderfall ohne Exzentrizität mit = 1 vereinfachen sich diese Gleichungen wie

folgt

= 1 (6.3/9)

=

r21 −

2

4

Um dem Walzprozess Reserven für Breitungsschwankungen zur Verfügung stellen, werden wie

im Zweiwalzenverfahren auch im Dreiwalzenverfahren aufgeschnittene Kaliber verwendet. Au-

ßerdem lassen sich durch tangential aufgeschnittene Kaliber bessere Kontaktbedingungen rea-

lisieren.

Das linke Teilbild von Abbildung 6.3/13 zeigt ein tangential aufgeschnittenes Rundkaliber mit

dem Kaliberradius 1. Der Winkel wird zwischen den Verbindungslinien des Kreismittel-

punkts von 1 und den Endpunkten des Kreisbogens gemessen. Eine Variante dieser Kaliber-

form ist im mittleren Teilbild von Abbildung 6.3/13 gezeigt. Dieses sehr weit aufgeschnittene,

bzw. mit einem sehr kleinen Winkel ausgeführte Kaliber wird als Vorkaliber eingesetzt. Um

ähnlich wie beim Zweiwalzenverfahren Kanten des Profils zu vermeiden, die durch Breitung in

den tangentialen Aufschnittsbereich zustande kommen, kann man auch beim Dreiwalzenverfah-

ren ein mit einem zweiten Radius 3 aufgeschnittenes Kaliber verwenden. Dies ist im rechten

Teilbild von Abbildung 6.3/13 gezeigt.

Zur Herleitung der Gleichungen Bestimmung der Kaliberbreiten und der aufgeschnitte-

nen Dreiwalzenkaliber soll zunächst das aufgeschnittene exzentrische Einradienkaliber betrach-

tet werden, Abbildung 6.3/14.

Alle folgenden Definitionen gelten für die rechte der drei Walzen. Der Kreismittelpunkt 1 von

1 fällt nur im Sonderfall eines nicht-exzentrischen Kalibers für = 1 in den Kalibermit-

telpunkt. Allgemein gilt für die Koordinaten von 1

1 =

√3

2(−1) ; 1 =

2− 1

2(6.3/10)

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 175

Abbildung 6.3/13: Nicht exzentrische aufgeschnittene Kaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: Auf-geschnittenes Einradien-Rundkaliber; Mitte: Weit aufgeschnittenes Rundkaliber als Vorkaliber; Rechts:Aufgeschnittenes Zweiradien-Rundkaliber

Abbildung 6.3/14: Aufgeschnittenes exzentrisches Einradien-Dreiwalzenkaliber

176 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Es existieren zwei weitere Tangentialpunkte und 0 auf jeder Walzenkontur, an denen der

Radius 1in eine tangentiale Aufschnittsgerade übergeht. Die Koordinaten des Punktes sind

= cos ()1 + 1 (6.3/11)

= sin ()1 + 1

Der Winkel ist wie folgt definiert

= 30 +

2(6.3/12)

Zur Bestimmung der Kaliberbreite wird der Schnittpunkt der Aufschnittsgerade mit der

vertikalen Symmetrielinie gesucht. Aus dieser Bedingung folgt

= + tan () (6.3/13)

Für die Kaliberbreite in der Walze gilt

= + tan ()³ −

2

´(6.3/14)

In ausgeschriebener Form lauten diese Gleichungen

= 2 sin ()1 +

Ã1

2+

√3

2tan

!(−1) (6.3/15)

= 2 sin ()1 +

Ã1

2+

√3

2tan

!(−1)−

2tan

= −

2tan

Abbildung 6.3/15 zeigt eine Skizze des aufgeschnittenen exzentrischen Zweiradienkalibers.

Beim Zweiradienkaliber muss zunächst der Mittelpunkt des Radius 3 bestimmt werden, dieser

folgt zu

3 =

√3

2(−1) + (1 −3) cos (6.3/16)

3 =1

2(−1) + (1 −3) sin

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 177

Abbildung 6.3/15: Aufgeschnittenes, exzentrisches Zweiradien-Dreiwalzenkaliber

178 Grundgeometrien für Kaliber zum Profilwalzen

Abbildung 6.3/16: Gebräuchliche Formen von Round Cornered Square-Kalibern. Links: Form mit gera-dem Kalibergrund; Rechts: Form mit ausgerundetem Kalibergrund. h: Kaliberhöhe; h : Profilhöhe;b: Kaliberbreite; b : Breite des Kalibers in der Walze; R: Kaliberradius; s: Walzspalt; b: Innenbreite

Zur Bestimmung von und können die folgenden quadratischen Gleichungen formuliert

werden, deren Lösungen die gesuchten Kaliberbreiten sind

23 + ( − 3)2 = 23³

3 −

2

´2+ ( − 3)

2 = 23 (6.3/17)

Die Lösungen sind mit den obigen Definitionen

= 3 +q23 − 23 (6.3/18)

= 3 +

r23 −

³3 −

2

´26.3.2 Kalibergeometrien zum Kaltwalzen

Beim Kaltwalzen werden die vom Warmwalzen bekannten Kalibergeometrien für Oval- und

Rundkaliber gleichermaßen verwendet. Darüber hinaus werden RCS-Kaliber (Round Cornered

Square) verwendet. Diese lösen die Notwendigkeit einer sequentiellen Abfolge von Haupt- und

Zwischenkalibern auf und ermöglichen eine Walzung ohne Walzgutführungen, wodurch sowohl

die Kalibrierungssystematik als auch die Handhabung des Walzvorgangs vereinfacht wird.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 179

Abbildung 6.3/16 zeigt die gebräuchlichen Formen der RCS-Kaliber. Die erste Form mit ge-

radem Kalibergrund (linkes Teilbild) lässt sich als Kastenkaliber konstruieren und erlaubt die

Reduktion eines Querschnittes über eine systematische Stichfolge mit hohen Stichabnahmen.

Zur Produktion eines ziehfähigen Endquerschnitts wird in den letzen Stichen einer solchen

Abfolge üblicherweise mit dem RCS-Kaliber des zweiten Typs (rechtes Teilbild) ein rundna-

her Querschnitt eingeformt. Dieser Fertigquerschnitt kann mit einem oder wenigen Zügen im

Durchziehverfahren auf einen Rundquerschnitt fertig umgeformt werden.

6.4 Berechnung von Profilwalzstichen

Eine allgemeingültige schnelle Walztheorie für das Profilwalzen liegt bis heute nicht vor, da die

Modellierungsansätze für den Walzprozess bisher auf eindimensionale Betrachtungen begrenzt

waren. Lösungen auf Basis der Finite-Elemente-Methode für das Profilwalzen sind aufgrund

der hohen Anforderungen der Rechentechnik nicht immer sinnvoll. Zur Berechnung des Span-

nungsfelds beim Profilwalzen kann der Spannungsgradient in keiner der drei Raumrichtungen

vereinfacht werden. Während für das Flachwalzen technologisch tragfähige vereinfachte Ansät-

ze für den Spannungsverlauf in Walzgutdickenrichtung gemacht werden können, ist dies beim

Profilwalzen nicht möglich. Aus diesem Grund verwendet man Äquivalenzverfahren um einen

Profilstich auf einen äquivalenten Flachstich zurückzuführen. Die beim Profilwalzen besonders

wichtige Berechnung der Breitung erfolgt anhand eines äquivalenten Flachstichs, ebenso wie

die Berechnung des Kraft- und Arbeitsbedarfs. Dazu stehen verschiedene Äquivalenzverfahren

zur Verfügung.

Man unterscheidet generell Berechnungsverfahren, bei denen die Querschnittsflächen des äqui-

valenten Flachstichs mit denjenigen des wahren Profilstichs identisch sind, von denjenigen bei

denen diese Äquivalenz nicht gegeben ist. In den folgenden Abschnitten wird jeweils ein Be-

rechnungsverfahren stellvertretend für jede der beiden Gruppen näher untersucht.

6.4.1 Arbeitender Walzendurchmesser

Zur Berechnung der Endbreite 1 wird bei beiden Äquivalenzverfahren eine der vom Flach-

walzen bekannten Breitungsgleichungen angewandt. Dazu wird ein mittlerer Walzendurchmes-

ser benötigt, da der tatsächliche Walzendurchmesser bei einer nicht-regulären Kalibrierung in

180 Berechnung von Profilwalzstichen

Walzgut-Breitenrichtung veränderlich ist. Der arbeitende Walzendurchmeser folgt gemäß

= + 1 − (6.4/1)

Diese Definition ist von allgemeiner Gültigkeit für das Zwei- und das Dreiwalzenverfahren. Im

speziellen Fall des Zweiwalzenverfahrens gilt für die resultierende Höhe des Umformraums

1 = 0 +∆ (6.4/2)

Für diesen Fall kann für den arbeitenden Walzendurchmesser geschrieben werden

= + 0 +∆ − (6.4/3)

Auf die Besonderheiten zur Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers im Dreiwalzen-

verfahren wird an späterer Stelle eingegangen.

6.4.2 Flächenerhaltende Äquivalenzverfahren

Bei dieser Gruppe von Berechnungsverfahren sind die Querschnittsflächen beim realen Profil-

stich und dem äquivalenten Flachstich gleich. Es gilt

0 = 0 (6.4/4)

1 = 1

Ein wichtiger Vertreter dieser querschnittserhaltenden Äquivalenzverfahren ist das Verfahren

der maximalen Breite. Hier wird eine Mittelung der Ein- und Austrittshöhen vorgenommen, um

einen äquivalenten Flachstich zu ermitteln. Für die äquivalenten Walzguthöhen gilt

0 =0

0(6.4/5)

1 =1

1

Die Breiten 0 und 1 des äquivalenten Flachstiches sind mit den entsprechenden Breiten des

Profilstiches identisch. Da 1 und 1 voneinander abhängig sind, ist eine iterative Vorgehens-

weise erforderlich.

Aus dem Eintrittsprofil lässt sich 0 gemäß Gl. (6.4/5) berechnen. Die Fläche des Aus-

trittsprofils 1 muss im ersten Schritt durch Wahl einer geeigneten Anfangsbedingung für 1

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 181

konstruiert werden. Mit diesem Wert erfolgt die Berechnung von 1. Mit Hilfe dieser beiden

Höhenwerte erfolgt die Breitungsberechnung für den Flachstich. Mit Hilfe der Endbreite 1 wird

die Fläche des Austrittsprofils 1 erneut konstruiert und die Höhe 1 berechnet. Diese Schrit-

te werden wiederholt, bis sich eine Konvergenz der Endbreite 1 einstellt. Da diese Methode

von hoher Nichtlinearität gekennzeichnet ist, ist oft eine Vielzahl von Iterationen erforderlich.

Anhand eines Beispiel für einen Stich Rund in Oval werden die Ergebnisse dieses Verfahrens

aufgezeigt. Der Flächeninhalt eines Einradien-Ovalprofils mit der Breite 1, der Höhe 1 und

des Radius 1 ist [Mau08]

1 = 11 − 211 + 1

r21 −

214+ 221 arcsin

µ1

21

¶(6.4/6)

Für die Höhe 1 des äquivalenten Flachstiches gilt in Kombination mit Gl. (6.4/5)

1 =11 − 211 + 1

q21 − 21

4+ 221 arcsin

³121

´1

(6.4/7)

Für die Einflussparameter der Breitenberechnung des Flachstichs gilt

1 = 0 +∆ (00 1 ) (6.4/8)

Die Breitungsberechnung nach Geuze beschreibt eine Proportionalität der Höhen- und Breiten-

änderung mit dem Proportionalitätsfaktor . Diese einfachste Breitungsgleichung kann nach der

Endhöhe 1 aufgelöst werden

1 = 0 + · (0 − 1) (6.4/9)

0 − 1 − 0

= 1

Durch Gleichsetzen von Gl. (6.4/7) und Gl. (6.4/9) erhält man

0 − 1 − 0

=

11 − 211 + 1

q21 − 21

4+ 221 arcsin

³121

´1

(6.4/10)

Die Lösung 1 von Gl. (6.4/10) ist die gesuchte Endbreite des Ovalprofils. Da die Profilfläche

1 nichtlinear von 1 abhängt, ist eine analytische Lösung nicht möglich. Eine weitere Nichtli-

nearität entsteht, wenn kompliziertere Breitungsgleichungen angewandt werden, die nicht nach

1 aufgelöst werden können. Gl. (6.4/10) muss daher numerisch gelöst werden.

182 Berechnung von Profilwalzstichen

Abbildung 6.4/1: Bestimmung der sich unter direktem Druck befindlichen Querschnittsteile nach Lendl;Links: Eintrittsprofil; Rechts: Austrittsprofil

6.4.3 Nicht-flächenerhaltende Äquivalenzverfahren

Bei den nicht-querschnittserhaltenden Verfahren ist die Äquivalenz der Profil- und Flachquer-

schnitte nicht gegeben. Beim Äquivalenzverfahren nach Lendl [Len48] werden zur Berechnung

des äquivalenten Flachstiches nur die Teilflächen des Ein- und Austrittsprofils verwendet, die

unter direkter Druckwirkung der Walzen stehen. Damit stehen die Profilflächen und Äquiva-

lenzflächen in folgendem Verhältnis

0 0 (6.4/11)

1 1

Abbildung 6.4/1 zeigt die Stichlage eines Ovalstiches mit eintretendem Rundprofil. Das Äqui-

valenzverfahren ist anwendbar, wenn sich insgesamt vier Schnittpunkte ergeben, davon je zwei

auf der Unter- und Oberwalze. Eine wichtige geometrische Größe ist die Schnittpunktsbreite

als der horizontale Abstand dieser Schnittpunkte. Die schraffierten Profilteile sind die Äquiva-

lenzflächen 0 und 1, die bei diesem Berechnungsverfahren auch als Lendlflächen 0

und 1 bezeichnet werden. Die Teilprofilfläche 0 ist die im linken Teilbild schraffierte, von

den Schnittpunkten mit dem Kaliber begrenzte Fläche des Eintrittsprofils. 1 ist die im rech-

ten Teilbild schraffierte entsprechende Teilfläche des Austrittsprofils. Ein zentraler Punkt dieses

Lösungsverfahrens ist, dass die Äquivalenzflächen von der Endbreite des Stiches unabhängig

sind. Die geometrisch bestimmten Querschnittsflächen 0 und 1 werden gemäß Gl. (6.4/12)

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 183

in die Eintritts- und Austrittshöhen des äquivalenten Flachstichs umgerechnet.

0 =0

(6.4/12)

1 =1

Für ein Einradien-Ovalkaliber der Höhe 1 und des Radius 1 mit eintretendem Rundquer-

schnitt des Durchmessers 0 ergeben sich die Flächen 0 und 1 wie folgt [Mau08, Len48]

0 = 0 − 202+

r204− 24+ 2

204arcsin

µ

0

¶(6.4/13)

1 = 1 − 21 +

r21 −

24+ 221 arcsin

µ

21

¶(6.4/14)

Für die Endhöhe des äquivalenten Flachstichs gilt damit

1 =1 − 21 +

q21 − 2

4+ 221 arcsin

³21

´

(6.4/15)

Da diese Gleichung nicht von der Endbreite des Profils 1 abhängig ist, entfällt die Notwen-

digkeit einer iterativen Breitungsberechnung. Die Schnittpunktsbreite lässt sich unmittelbar

aus der Geometrie des Eintrittsprofils und des Kalibers bestimmen. Für den vorliegenden Fall

Rund in Oval gilt

= 2

vuut21 −

Ã11 − 21

4−21

1 − 21

!2(6.4/16)

6.4.4 Vergleich der Berechnungsverfahren

Im Folgenden werden die Ergebnisse der beiden vorgestellten Äquivalenzverfahren verglichen.

Dazu wird eine Kaliberreihe Rund-Oval-Rund mit zwei Hauptkaliberstufen, also vier Stichen

betrachtet. Ein Rundquerschnitt mit 0 = 50 wird auf einen Endquerschnitt von =

32 reduziert. Weitere Daten können Tabelle 6.4/1 entnommen werden.

Der Vergleich der errechneten Profilbreiten, die sich für beide Äquivalenzverfahren ergeben

ist in Abbildung 6.4/2 dargestellt. Die Breitungsberechnung für die äquivalenten Flachstiche

wurde mit der Breitungsgleichung nach Marini durchgeführt.

Weitere Rechenergebnisse können Tabelle 6.4/2 entnommen werden. Beim Äquivalenzverfah-

ren nach Lendl kommt die Schnittpunktsbreite als weiteres Ergebnis hinzu.

184 Berechnung von Profilwalzstichen

Gerüst Kalibertyp d h b R1 sG01 Einradien-Oval 400 mm 32,00 mm 73,3212 mm 50,00 mm 4,0 mmG02 Einradien-Rund 400 mm 40,00 mm 20,00 mm 30 4,0 mmG03 Einradien-Oval 400 mm 25,00 mm 58,0948 mm 40,00 mm 4,0 mmG04 Einradien-Rund 400 mm 32,00 mm 16,00 mm 30 4,0 mm

Tabelle 6.4/1: Kaliberdaten einer viergerüstigen Rund-Oval-Rund Kaliberreihe zum Walzen von 50 mmRund auf 32 mm Rund zum Vergleich zweier Äquivalenzverfahren

Abbildung 6.4/2: Vergleich der errechneten Profilbreiten für die Daten nach Tabelle 6.4/1. Breitungs-berechnung nach Marini.

Maximale Breite LendlGerüst h0[] h1[] b1 [] h0[] h1[] b[] b1 []G01 39,27 25,618 59,473 41,862 28,465 45,308 58,486G02 47,611 31,722 39,753 51,428 36,503 27,765 38,324G03 31,722 19,432 49,944 33,155 22,051 36,987 46,409G04 38,820 25,056 32,451 41,185 29,429 21,373 30,392

Tabelle 6.4/2: Rechenergebnisse im Vergleich zweier Äquivalenzverfahren

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 185

6.4.5 Numerische Berechnung von Profilwalzvorgängen

Mit den in den vorausgegangenen Abschnitten angegebenen Gleichungen lässt sich eine Be-

rechnung von Profilstichen auf mathematisch-analytischer Basis durchführen. Die verwendeten

Berechnungsgleichungen werden jedoch beliebig kompliziert, wenn verfeinerte Breitungsmo-

delle implementiert werden. Außerdem müssen die geometrischen Gleichungen für jeden vor-

kommenden Kalibertyp ermittelt werden. Aus diesem Grund ist diese Berechnungsweise un-

flexibel. Auch können mit dieser analytischen Vorgehensweise Unsymmetrieeffekte nur sehr

schwierig untersucht werden.

Eine flexiblere Vorgehensweise ist die Diskretisierung der Profil- und Kaliberkonturen durch ein

umlaufendes Polygon. Ein solches Berechnungsmodell für Profilwalzprozesse wurde im Rah-

men der vorliegenden Arbeit entwickelt und wird im weiteren Verlauf der Arbeit zur Analyse

von Walzprozessen verwendet.

-15

-10

-5

0

5

10

15

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

z [m

m]

y [mm]

Abbildung 6.4/3: Durch einen Polygonzug mit 280 Punkten diskretisierte Geometrie eines Zweiradi-en-Ovalkalibers

Abbildung 6.4/3 zeigt die Diskretisierung eines Ovalkalibers durch 280 Punkte. Die x- und

186 Berechnung von Profilwalzstichen

Abbildung 6.4/4: Zur Bestimmung eines Schnittpunkts S von zwei durch Punktfolgen gegebenen Kontu-ren P und Q

y-Koordinaten der Konturpunkte werden in Vektoren abgelegt.

x = (1 2 3 ) (6.4/17)

y = (1 2 3 )

Auf diese Vektortabellen lassen sich Matrixoperatoren zum Drehen der Profile und Kaliber

anwenden.

Die numerische Behandlung der Geometrien erfordert ein Verfahren zur Bestimmung der Schnitt-

punkte von zwei als Polygonzügen gegebenen Konturen. Zwar sind effiziente Algorithmen zur

Bestimmung von mehreren Schnittpunkten bei konvexen Konturen verfügbar, beispielsweise

nach O’Rourke [OCON82], jedoch kann eine Konvexität aller Konturen im vorliegenden An-

wendungsfall nicht vorausgesetzt werden. Beispielsweise sind alle nach innen gewölbten Kon-

turen keine konvexen Polygone aufgrund des Auftretens von Innenwinkeln 180.

Die Methode der Wahl zur Bestimmung der Konturschnittpunkte ist eine Bruteforce-Methode,

bei der alle Liniensegmente der betrachteten Konturen auf gegenseitige Schnittpunkte unter-

sucht werden, die einen bestimmten Mindestabstand unterschreiten. Der Algorithmus kann wie

folgt im Pseudocode formuliert werden:

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 187

Für alle i = 1..np

Für alle j = 1 .. nq

Wenn Qi in einer Umgebung um Pi liegt:

Wenn die Strecken PiPi+1 und QiQi+1 einen Schnittpunkt haben:

Berechne Schnittpunkt und lege auf Stapel ab

Nächstes j

Nächstes i

Die Größe der Umgebung bestimmt die Performance, aber auch die Zuverlässigkeit des Algo-

rithmus. Ist sie sehr groß, werden nahezu alle Liniensegmente als Kandidaten für die Schnitt-

punktsberechnung verwendet, was zu einer hohen Rechenzeit führt. Ist die Umgebung zu klein,

besteht die Gefahr, dass nicht alle Schnittpunkte gefunden werden. In der vorliegenden Arbeit

wird als Umgebung ein Quadrat mit der Seitenlänge von 10% der größten Profilabmessung

verwendet.

Die Schnittpunktsbestimmung ist rechenzeitkritisch für die Analyse des Profilwalzstiches, da

diese für jeden Stich und bei iterativer Berechnung auch wiederholt durchgeführt werden muss,

und jeweils eine hohe Anzahl von Vergleichsoperationen notwendig sind. Um die Profilgeome-

trien mit ausreichender Genauigkeit erfassen zu können, sind oft mehr als 1000 Stützpunkte zur

Beschreibung der Kontur notwendig.

Auf die oben beschriebene Art und Weise lässt sich ein System zur numerisch-geometrischen

Berechnung von Profilwalzvorgängen implementieren, mit dem systematisch alle beim Pro-

filwalzen von Vollquerschnitten auftretenden Geometrien behandelt werden können. Anwen-

dungsbeispiele dieser Methoden bei der Analyse von Profilwalzprozessen werden an späterer

Stelle gezeigt.

6.4.6 Berechnung des Kraft- und Arbeitsbedarfs

Da mit Hilfe des Äquivalenzverfahrens der Profilstich auf einen Flachstich zurückgeführt wor-

den ist, kann die Berechnung der umformtechnischen Größen des Walzvorgangs mit den glei-

chen Methoden erfolgen, die auch für Flachstiche angewandt werden. Da die Profilgeometrie

nur näherungsweise durch den äquivalenten Flachstich abgebildet wird, ist die Anwendung ei-

nes zweidimensionalen Walzmodells nicht sinnvoll. Für das Warmwalzen von Vollquerschnitten

188 Auslegung von Kaliberreihen

kann man auf analytische Walzkraft- und Drehmomentgleichungen zurückgreifen, wie sie bei-

spielsweise von Lippmann und Mahrenholtz [LM67] formuliert worden sind.

= (6.4/18)

=

+ 2

r1−

arctan

µr

1−

¶− 1 + (6.4/19)r

1

r1−

ln

à p1− 2

1− ¡1− 2

¢! = 2∆

mit =

r

1

s1− ||

µ1

2−

¶(6.4/20)

Für den bezogenen Fließscheidenwinkel gilt

=

0=

r1−

tan1

2

r1

(6.4/21)

[0 − 1

+ ln (1− ) +

1

2arctan

µ

1−

¶]

Alternativ können auch numerische Walztheorien verwendet werden, wie das Walzmodell nach

Alexander. Bei der Berechnung von Profilwalzvorgängen im Kaltwalzverfahren ist die Verwen-

dung eines numerischen Walzmodells unerlässlich, da die Annahme der reinen Haftreibung dort

nicht zutreffend ist.

6.5 Auslegung von Kaliberreihen

Mit Hilfe der im vorausgegangenen Abschnitt beschriebenen Äquivalenzverfahren lässt sich

die Breitung sowie die Kinematik und der Kraft- und Arbeitsbedarf beim Profilwalzen mit den

vom Flachwalzen bekannten Methoden berechnen. Die wichtigste Anwendung dieser Vorge-

hensweise ist die Neuauslegung einer Kaliberreihe.

In allen Stichen soll die Breitung in gewissen Grenzen bleiben, damit sich keine Walzfeh-

ler ergeben und der Fertigquerschnitt in den zulässigen Toleranzgrenzen bleibt. Gesucht ist

die Geometrie der Walzkaliber. Um die komplette Kaliberfolge bei gegebenem Anstichquer-

schnitt, gefordertem Endquerschnitt und einer Stichanzahl zu bestimmen, werden zunächst

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 189

Kaliberreihe Hauptkaliber ZwischenkaliberRund-Oval-Rund Rund OvalQuadrat-Raute-Quadrat Quadrat RauteQuadrat-Oval-Quadrat Quadrat OvalKasten-Kasten-Kasten Quadrat-Kasten Rechteck-Kasten

Tabelle 6.5/1: Drei gebräuchliche Kaliberreihen mit Haupt- und Zwischenkalibern

die Abmessungen der Hauptkaliber bestimmt. Danach erfolgt eine iterative Optimierung der

Zwischenkaliber, um die geforderten Abmessungen aller Profile der Kaliberreihe zu erreichen.

6.5.1 Kaliberreihen mit Haupt- und Zwischenkalibern

Die meisten Kaliberreihen bestehen aus einer abwechselnden Folge von Haupt- und Zwischen-

kalibern. Beispielsweise stellen in einer Rund-Oval-Rund-Kaliberreihe alle Rundkaliber die

Hauptkaliber dar, während die Ovalkaliber Zwischenkaliber sind. In ähnlicher Weise lässt sich

diese Gesetzmäßigkeit auf die Kaliberreihen Quadrat-Raute-Quadrat, Quadrat-Oval-Quadrat

und Kasten-Kasten-Kasten übertragen, wie Tabelle 6.5/1 zeigt.

Eine aus zwei Stichen (ein Zwischen- und das nachfolgende Hauptkaliber) bestehende Einheit

wird bei diesen Kaliberreihen eine Hauptkaliberstufe genannt.

Will man eine Kalibrierung bestimmen, um einen gegebenen Anfangsquerschnitt 0 auf einen

gegebenen Endquerschnitt mit Stichen auszuwalzen, so sind zunächst die Hauptkaliber-

stufen auszulegen.

Die Formänderungen der Stufen werden vorab durch eine degressive Stufung festgelegt. Für

eine degressive Streckgradverteilung gilt beispielsweise für den Streckgrad in der Stufe

= (6.5/1)

Hier kann auch die bereits beschriebene Methode zur Auslegung des Degressionsfaktors mit

vorgegebenen Grenzwerten für die Formänderungen zur Anwendung kommen, siehe S. 10. Der

mittlere Streckgrad einer Hauptkaliberstufe ist

=

r0

(6.5/2)

Da jede Stufe aus zwei Stichen besteht, gilt für die Anzahl der Stufen

=

2(6.5/3)

190 Auslegung von Kaliberreihen

Mit der so bekannten Streckgradverteilung der Hauptkaliberreihe können die Querschnittsflä-

chen aller Hauptkaliber berechnet werden.

Die Geometrie der Zwischenkaliber wird durch zwei repräsentative Größen parametrisiert. Bei

den meisten Kaliberformen sind dies Breite und Höhe . Aus der geometrischen Abfolge

der Stiche folgt, dass bei einer Rund-Oval-Kaliberreihe die Höhe des Ovalkalibers die Füllung

des folgenden Rundkalibers am stärksten beeinflusst, während die Füllung des Ovalkalibers

selbst durch dessen Breite am stärksten beeinflusst wird. Die Höhen und Breiten der Zwischen-

kaliber werden auf geeignete Anfangswerte gesetzt, mit denen eine erste Berechnung der Kali-

berreihe erfolgen kann.

Die sich daraus ergebenden Kaliberfüllungen werden von den gewünschten Werten um den

Breitenfehler ∆ abweichen. Die Breiten und Höhen der Zwischenkaliber werden wie folgt

korrigiert

= 0 + ∆ (6.5/4)

= 0 − ∆+1

Diese Korrektur wird für alle Zwischenkaliber durchgeführt, bevor die Reihe erneut berechnet

wird. Bei jeder Wiederholung der Iteration werden die Fehler kleiner, bis diese vernachlässig-

bar sind. Am Ende sind alle Zwischen- und Hauptkaliber bekannt, die zu den gewünschten

Querschnitten in der Kaliberreihe führen.

Mit Hilfe des Relaxationsfaktors ist es möglich, eine sukzessive Unter- oder Überrelaxation zu

realisieren. Bei der Verwendung des Äquivalenzverfahrens nach Lendl ist das Konvergenzver-

halten unproblematisch ( ≥ 1), während beim Verfahren der maximalen Breite mit sukzessiver

Unterrelaxation gearbeitet werden muss ( 1).

Diese Methode der Kalibrierungsauslegung zeichnet sich durch eine hohe Flexibilität aus, da

sich eine Kaliberreihe aus Abschnitten unterschiedlicher Grundtypen zusammensetzen lässt.

Einzig die Hauptkaliber müssen vorgegeben werden. So kann die Walzung eines Quadrat-

knüppels mit Kaliberstufen in Kastenkalibern beginnen, daran schließt sich eine Rund-Oval-

Kaliberfolge an. Auch andere Übergänge wie Raute-Quadrat-Raute oder Quadrat-Oval-Quadrat

können mit dieser Methode einfach konstruiert werden, solange eine wechselnde Abfolge von

Haupt- und Zwischenkalibern vorliegt.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 191

Mit einer softwaremäßigen Implementation dieses Rechenverfahrens ist eine schnelle Ausle-

gung einer Kaliberreihe möglich. Diese kann im folgenden Arbeitsschritt weiter optimiert wer-

den.

6.5.2 Kaliberreihe Raute-Raute

Eine Sonderstellung nimmt die Kaliberreihe Raute-Raute ein, da diese nur über ein einziges

Hauptkaliber verfügt. Dieses ist das Fertigquadratkaliber. Über die Geometrie der Rautenkali-

ber können vorab keine Annahmen getroffen werden. Man beginnt mit einer Vorauslegung der

Profilflächen mit Hilfe einer degressiven Streckgradverteilung. Der Verteilungsfaktor ergibt

sich aus der Bedingung, dass eine vorgegebene maximale Formänderung im Quadratstich nicht

überschritten wird. Aus den so berechneten Näherungswerten für die Rautenflächen können die

Höhen und Breiten der Rautenkaliber für die erste Iteration nach den folgenden Näherungsglei-

chungen ermittelt werden

≈s2

tan¡2

¢ (6.5/5)

≈ tan³2

´(6.5/6)

Für die folgenden Iterationen werden die oben beschriebenen Regeln zur Korrektur der Höhen

und Breiten der Kaliber angewandt, so dass die Füllungen aller Kaliber in vorgegebenen Gren-

zen bleiben. Bei dieser Vorgehensweise dienen die vorberechneten Flächen nur der Bestimmung

der Anfangsbedingung für die Iteration. Die Profilflächen der fertig iterierten Kaliberreihe wei-

chen in Abhängigkeit der Breitung von dieser Vorauslegung ab.

6.6 Thermisches Modell für Rundquerschnitte

In Anlehnung an das für Flachquerschnitte bereits gezeigte Temperaturmodell lässt sich auch

bei Vollquerschnitten das Temperaturprofil durch numerische Lösung der Wärmeleitungsglei-

chung unter Zugrundelegung der jeweils zutreffenden Rand- und Anfangsbedingungen berech-

nen.

6.6.1 Mathematische Modellierung

Die Temperaturberechnung wird ähnlich wie bei Flachquerschnitten zweidimensional aufge-

baut, jedoch werden statt kartesischen Koordinaten Zylinderkoordinaten verwendet. Die Wär-

192 Thermisches Modell für Rundquerschnitte

meleitungsgleichung in radialer und tangentialer Richtung ist durch Gl. (6.6/1) gegeben.

=1

µ

¶+1

µ1

¶+ (6.6/1)

Für die Koordinatenschrittweiten in den - und -Richtungen gilt

∆ = − −1 (6.6/2)

∆ = − −1

Die Radialkoordinate ist in Schritte, die Tangentialkoordinate in Schritte eingeteilt.

Die Wärmeleitungsgleichung kann mit den Wärmestromdichten und wie folgend geschrie-

ben werden

=

1

+1

+ (6.6/3)

=

=1

Die Randbedingungen sind:1. kein radialer Temperaturgradient im Kern, |

= 0=0|

2. radialer Temperaturgradient an der Oberfläche gemäß Prozessbedingung (Kühlung oder Wal-zenkontakt), |

= ( − ) |=

3. geschlossener Kreis in tangentialer Richtung +1 = 1 und 1−1 = .

Mit diesen Randbedingungen kann die Wärmeleitungsgleichung in Polarkoordinaten numerisch

gelöst werden.

Die hier durchgeführte Diskretisierung des Kreisquerschnitts in radialer und tangentialer Rich-

tung führt zu einem Modell, mit dem auch tangential unsymmetrische Bedingungen abgebildet

werden können. Dies ist insbesondere zur Simulation unsymmetrischer Kühlvorgänge sinnvoll.

Das Temperaturfeld beim Walzen von Rundquerschnitten kann üblicherweise als axialsymme-

trisch angesehen werden. Andere Formen von Vollquerschnitten werden anhand eines flächen-

gleichen Rundprofils berechnet.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 193

0

200

400

600

800

1000

1200

0 50 100 150 200 250 300 350

Zunderwäscher

Vorstraße (6 Gerüste)

Zwischenstraße (8 Gerüste)

Wasserkühlung

Ausgleichsstrecke (90 m)

Fertigstraße (4 Gerüste)

Tem

pera

tur

[° C

]

Strecke [m]

KernDurchschnitt

Oberfläche

Abbildung 6.6/1: Beispiel für eine Temperaturprofilberechnung eines halbkontinuierlichen Stabstahl-walzwerkes mit Kühlstrecke vor der Fertigwalzung

Die Wärmeleitungsgleichung hat im axialsymmetrischen Fall die gegenüber Gl. (6.6/1) verein-

fachte, örtlich eindimensionale Form

=1

µ

¶+ (6.6/4)

Hier ist zur Beschreibung des Temperaturfeldes eine Orts- und eine Zeitkoordinate ausreichend.

Das Verfahren zur numerischen Lösung der Wärmeleitungsgleichung entspricht weitgehend

dem bereits bei Flachquerschnitten diskutiertem.

Als Beispiel für die Lösung von Gl. (6.6/4) sei die Temperaturverteilung in einem achtzehnge-

rüstigen halbkontinuierlichen Stabstahlwalzwerk angeführt, Abbildung 6.6/1.

Nach dem Ofenaustritt des Knüppels von 200x200 mm bei 1100 tritt dieser nach einer Lauf-

strecke von 12 m in einen Zunderwäscher ein. Hier erfolgt ein kurze, schroffe Abkühlung

der Knüppeloberfläche mit sofortiger Wiedererwärmung durch die im Querschnitt gespeicher-

te Energie. Der Knüppel legt weitere 16 m auf einem Isolierrollgang zurück. Dabei tritt ein

partieller Temperaturausgleich ein, die Oberflächentemperatur nähert sich der Kerntemperatur

an. Für einen vollständigen Ausgleich ist die Länge des Rollgangs jedoch zu gering bzw. die

Geschwindigkeit zu hoch.

194 Thermisches Modell für Rundquerschnitte

In der sechsgerüstigen Vorstraße wird der Querschnitt auf eine Abmessung von 110 mm Rund

ausgewalzt. Dieser Querschnitt verlässt das sechste Gerüst mit einer Geschwindigkeit von 2,0

m/s auf den freien Auslauf von 55 m Länge. Nutzt man diese Länge zu 90% aus, ist ein Knüp-

pelgewicht von 3550 kg möglich.

Der Anstich in der Zwischenstraße erfolgt mit einer Geschwindigkeit, so dass beim Endquer-

schnitt von 20 mm Rund eine Geschwindigkeit von 10 m/s erreicht wird. Dies entspricht einer

Produktionsleistung von 85 t/h bei endloser Walzung.

Die Kühlstrecke vor der Fertigstaffel dient der Einstellung einer homogenen Temperaturvertei-

lung für die Fertigwalzung, die bei Temperaturen nicht wesentlich über 900 erfolgt.

Dieses Beispiel zeigt, dass mit Hilfe des hier ermittelten Modells ein optimales Anlagenlayout

gefunden werden kann. Auch können Optimierungspotentiale in bestehenden Anlagenkonfigu-

rationen untersucht werden.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 195

6.7 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Das Dreiwalzenverfahren zur Herstellung von Vollquerschnitten ist historisch aus dem Streckre-

duzierwalzen von Rohren entstanden, bei dem schon in den 1950er Jahren Dreiwalzensysteme

eingesetzt wurden. Insofern sind in die Entwicklung des Dreiwalzenprozesses auch Erfahrun-

gen aus dem Rohrwalzen eingeflossen, wenn auch das Dreiwalzenverfahren für Vollquerschnitte

heute eine eigenständige Technologie darstellt.

Beim Dreiwalzenverfahren wird der Umformraum nicht durch zwei Walzen mit parallelen Ach-

sen, sondern durch drei jeweils um einen Winkel von 120 versetzt angeordnete Walzen ge-

bildet. Durch diese Form der Walzenanordnung ergeben sich viele Vorteile, insbesondere ist

im Gegensatz zum Zweiwalzenverfahren eine konzentrische Walzspaltanstellung möglich. Dies

führt auch dazu, dass moderne Kalibrierungssysteme zur Herstellung von Rundprofilen in sehr

engen Toleranzgrenzen bzw. einer breiten Abmessungspalette (sog. Free-Size-Rolling bzw. Si-

zing) einfacher implementiert werden können als im klassischen Zweiwalzenverfahren. Der

durch die Beteiligung von drei Walzen am Umformvorgang im Vergleich zum Zweiwalzenver-

fahren höhere Kontaktanteil am Profilumfang wirkt sich positiv auf die Streckungswirksamkeit

des Walzprozesses aus und bringt somit gewisse Vorteile für die Kalibrierungs- und Stichplan-

gestaltung mit sich.

Obwohl das Dreiwalzenverfahren bereits seit langer Zeit industriell etabliert ist, liegt noch kein

mechanisches Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren vor.

Ein solches Modell soll in den folgenden Abschnitten entwickelt werden.

Zunächst werden die geometrischen Grundlagen für Flachstiche im Dreiwalzenverfahren einge-

führt, bevor auf die Berechnung des Spannungsfelds, der Breitung und des äquivalenten Flach-

stichs eingegangen wird.

6.7.1 Geometrie des Walzspalts

Im einfachsten Fall sind die Walzscheiben nicht kalibriert, sondern haben flache Walzbahnen.

Diese Geometrie ist in Abbildung 6.7/1 gezeigt.

Das für diesen Fall charakteristische aus dem Walzspalt austretende Profil ist ein Sechseck.

Dieses Sechseck ist die Grundform des Dreiwalzenverfahrens und korrespondiert direkt mit der

Grundform des Zweiwalzenverfahrens, dem rechteckigen Flachquerschnitt.

196 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Abbildung 6.7/1: Geometrische Bezeichnungen am Dreiwalzen-Flachstich

Abbildung 6.7/1 zeigt die im Folgenden verwendeten geometrischen Bezeichnungen eines Flach-

stich. Die Breite und Höhe werden jeweils vom Querschnittsmittelpunkt aus bis zur jeweili-

gen äußeren Körperabmessung (Druck oder Teilung) gemessen und haben einen theoretischen

Charakter, da diese Abmessungen nicht am Profil direkt gemessen werden können.

Diese Definition wurde gewählt, da keine geradlinige Messung zwischen zwei Walzen- oder

zwei Breitungsflächen möglich ist. Bei dieser Form der Werkzeuganordnung liegen sich stets

eine Walzen- und eine Breitungsfläche gegenüber. Die Querschnittsfläche eines solchen unre-

gelmäßigen Sechseckprofils kann mit diesen Größen wie folgt angegeben werden

=√3¡4− 2 − 2

¢(6.7/1)

Bei dieser Definition ist zu beachten, dass die Querschnittsbreite nicht der Kontaktbreite ent-

spricht. Im Dreiwalzenverfahren muss daher zusätzlich zur Querschnittsbreite die Kontakt-

breite definiert werden

=2√3(2− ) (6.7/2)

Diese Kontaktbreite beschreibt, welcher Anteil des Profils im Kontakt mit den Walzen ist und

ist daher auch von besonderer Wichtigkeit zur Berechnung des Kraft- und Arbeitsbedarfs und

der Breitung.

Das rechte Teilbild von Abbildung 6.7/1 zeigt die Umformzone im Schnitt in der xz-Ebene. Das

Walzgut tritt mit der Geschwindigkeit 0, der Höhe 0 und der Breite 0 in den Walzspalt ein.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 197

Nach der Umformung verlässt es den Walzspalt mit der Endhöhe 1, der Endbreite 1 und der

Geschwindigkeit 1. Die gedrückte Länge gibt die Länge der Umformzone als Projektion auf

die x-Achse an, während der Greifwinkel durch die Größe 0 gegeben ist. Für diese geometri-

schen Größen gelten folgende Gleichungen, die sich aufgrund der unterschiedlichen Definition

der Höhen und Breiten von den entsprechenden Definitionen des Zweiwalzenverfahrens unter-

scheiden.

=√2∆−∆2 (6.7/3)

cos (0) = 1− ∆

(6.7/4)

Der Verlauf der Walzguthöhe im Walzspalt ist in Abhängigkeit vom Winkel

() = 1 + (1− cos) (6.7/5)

Eine Näherung ist

() ≈ 1 +2

2(6.7/6)

Der Winkel kann wie folgt ausgedrückt werden

tan =

(6.7/7)

Das Verhältnis der von einer Walze gedrückten Fläche zur mittleren Profilfläche wird auch als

Walzspaltverhältnis bezeichnet. Dies ist auch im Dreiwalzenverfahren eine wichtige Größe zur

Charakterisierung der Umformzone und lässt sich allgemein wie folgt definieren

=

Z0

()

1

Z0

()

(6.7/8)

6.7.2 Berechnung von Formänderungen

Der in einem Stich erreichte Streckgrad ist wie folgt durch die Definition der Profilflächen

gegeben

=0

1=400 − 20 − 20411 − 21 − 21

(6.7/9)

198 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Im Unterschied zum Flachstich im Zweiwalzenverfahren ist das Dreiwalzen-Flachprofil kein

Parallelepiped. Man kann hier durchaus einen Breit- und Stauchgrad definieren,

=1

0(6.7/10)

=1

0

jedoch gilt nicht die Volumenkonstanz in der einfach Form. Mit den obigen Definitionen gilt

6= 1 (6.7/11)

Der Streckgrad lässt sich beim Dreiwalzenverfahren nicht linear in den Stauchgrad und Breit-

grad zerlegen. Der Umformgrad in Längsrichtung ist

= ln

µ0

1

¶(6.7/12)

Die Umformgeschwindigkeit im Dreiwalzenverfahren lässt sich wie folgt angeben

· () = −

()

0· ()2 ()

·

(6.7/13)

6.7.3 Berechnung des Spannungsfelds

Das im Folgenden formulierte mathematische Modell zur Berechnung des Spannungsfeldes

überträgt die Betrachtungen des Streifenmodells auf das Dreiwalzenverfahren, vgl. [vK25]. Die

Annahmen des Modells sind• Der Werkstofffluss wird zwischen drei rotierenden Werkzeugbahnen, den Walzen geführt

• Hexagonale Querschnitte bleiben hexagonal und verwölben sich nicht

• Alle Größen sind auf einem Querschnitt jeweils konstant und verändern sich nur beim Durch-schreiten des Walzspaltes in x-Richtung (normal zum Querschnitt)

• Breitung wird mit Hilfe von Breitungsgleichungen berücksichtigt

In Anlehnung an das Streifenmodell wird ein sechseckiges Volumenelement, das Hexagonele-

ment eingeführt, welches nur in x-Richtung infinitesimal ist und in allen anderen Richtungen

endliche Abmessungen hat. Das vom Streifenelement bekannte Kräftegleichgewicht kann sys-

tematisch auf das Hexagonelement übertragen werden. Abbildung 6.7/2 zeigt die Zerlegung der

von den Walzen in Richtung des Walzgutmittelpunktes wirkenden Druckkräfte in die kartesi-

schen Lateral- und Vertikalkomponenten.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 199

Abbildung 6.7/2: Einflussbereiche I,II,III der Walzen und Zerlegung der auf die Walzenflächen wirken-den Kräfte

Der Walzgutquerschnitt wird in drei gleich große Teilflächen I,II,III zerlegt. Jede dieser Teilflä-

chen steht unter direkter Druckwirkung einer der Walzen. Für die von der horizontalen Walze 1

ausgehenden Spannungen gilt

1 = cos± sin

1 = 0 (6.7/14)

An den Walzen 2 und 3 gilt

2 = 3 =

√3

2( cos± sin) (6.7/15)

2 = 3 =1

2( cos± sin)

Um die Fließbedingung für den gesamten Querschnitt formulieren zu können, wird eine arith-

metische Mittelung über die drei gleich großen Querschnittsteile durchgeführt.

200 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Abbildung 6.7/3: Wirkung innerer Druckspannungen im Dreiwalzenstich in den Profilteilen I, II und III

Bis hier sind die im Querschnittsinneren wirkenden Normalspannungen unberücksichtigt ge-

blieben. Insgesamt gilt für die mittleren Lateral- und Vertikalspannungen

=1√3( cos± sin) + inn (6.7/16)

=2

3( cos± sin) + inn

Die inneren Spannungskomponenten inn und ,inn sind die Komponenten der wirkenden in-

neren Druckspannung inn, siehe auch Abbildung 6.7/3. inn entspricht der Lateralspannung im

Streifenmodell, die dort auf Basis der Annahme ebener Formänderung als mittlere Hauptnor-

malspannung eliminiert wird.

Diese Betrachtung wird zunächst auf die horizontale Walze übertragen und danach auf die an-

deren Walzen angewandt. inn ist am Profilrand gleich Null. Für den von der horizontalen

Walze beeinflussten Profilteil I soll über den Teilquerschnitt gemittelt gelten

innI =1

4( + cos± sin) (6.7/17)

innI = 0

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 201

Durch Drehung der Koordinatenachsen folgen für die Profilteile II und III die Gleichungen

innII = innIII =1

2innI =

1

8( + cos± sin) (6.7/18)

innIII = innIII =

√3

2innI =

√3

8( + cos± sin)

Für die mittleren inneren Spannungen auf dem Gesamtquerschnitt wird eine arithmetische Mit-

telung durchgeführt

inn =innI + innII + innIII

3

=1

6( + cos± sin) (6.7/19)

inn =innI + innII + innIII

3

=

√3

12( + cos± sin) (6.7/20)

Für die mittleren Vertikal- und Lateralspannungen gilt auf Basis von Gl. (6.7/16)

=

6+

µ1√3+1

6

¶( cos± sin)

=

√312

+

Ã2

3+

√3

12

!( cos± sin) (6.7/21)

Für die Fließbedingung nach Tresca gilt

= I − III (6.7/22)

Die Hauptnormalspannungen I II III sind in Gl. (6.7/22) ihrer Größe nach absteigend sor-

tiert. Vereinfachend werden als Hauptnormalspannungen angesehen. und lie-

gen in der gleichen Größenordnung. In den meisten Fällen ist . Damit folgt für die

Sortierung der Hauptnormalspannungen

I = =

√312

+

Ã2

3+

√3

12

!( cos± sin) (6.7/23)

II = =

6+

µ1√3+1

6

¶( cos± sin)

III =

202 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Abbildung 6.7/4: A) Am Hexagonelement angreifende Kräfte; B) Zerlegung der an der Belastungskantewirkenden Kräfte in der Voreilzone; C) Zerlegung in der Nacheilzone

Die Fließbedingung ist in der folgenden Form gültig

=

Ã2

3+

√3

12

!( cos± sin)−

Ã1−√3

12

!(6.7/24)

Durch Auflösen von Gl. (6.7/24) gilt für

= +

³1−

√312

´³23+√312

´cos

∓ tan () (6.7/25)

Für die Horizontalspannung gilt

=23+√312

1−√312

( cos± sin)−

1−√312

(6.7/26)

Um die Differentialgleichung des Walzspaltes für das Dreiwalzenverfahren zu entwickeln, wird

das Gleichgewicht am Hexagonelement betrachtet, Abbildung 6.7/4.

Die Abbildung 6.7/4 zeigt die am Hexagon in der xz-Ebene angreifenden Kräfte. Für das am

Profilquerschnitt angreifende Horizontalkraftinkrement gilt

= −− (−) + (6.7/27)

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 203

Die Anteile der Normal- und Schubspannungen werden getrennt für die horizontale und die ge-

neigten Walzen betrachtet. Für die Horizontalkomponenten der Normal- und Schubkraftanteile

der horizontalen Walze gilt

1 = sin (6.7/28)

1 = ± cos

Für die Normal- und Schubkraftanteile der geneigten Walzen muss der Neigungswinkel der

angreifenden Kräfte von 30 berücksichtigt werden, vgl. Abbildung 6.7/2. Mit sin (30) = 12

ergibt sich

2 =1

2 sin() (6.7/29)

2 = ±12 cos()

Damit kann das komplette Kräftegleichgewicht in horizontaler Richtung wie folgt geschrieben

werden

+ 1 + 1 + 2 (2 + 2) = 0

−− (−) + 2 sin() ± 2 cos() + = 0

Daraus ergibt sich die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für den Horizontalkraftgra-

dienten in horizontaler Richtung

()

= 2 ( tan± ) (6.7/30)

Diese Gleichung ist prinzipiell mit der von Karman’schen Differentialgleichung für das Zwei-

walzenverfahren identisch. Der einzige Unterschied besteht in der Berücksichtigung der Quer-

schnittsfläche mit der Kontaktbreite , die nicht als konstant aus der Gleichung gekürzt

wurde.

Bei Gleitreibung mit = ergibt sich

()

= 2 (tan± ) (6.7/31)

Die Fließbedingung für gilt bei Gleitreibung mit

204 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

= +

³1−

√312

´³23+√312

´(1± tan) cos

(6.7/32)

Für die Entwicklung der Horizontalkraft gilt mit = und Gl. (6.7/32)

= 2

+

³1−

√312

´(tan± )³

23+√312

´(1± tan) cos

(6.7/33)

Der Winkel kann eliminiert werden, da die folgenden Relationen gültig sind

sin =

(6.7/34)

cos =1q

1 +¡

¢2tan =

Damit ergibt sich bei Gleitreibung die folgende gewöhnliche Differentialgleichung für die Ho-

rizontalkraft

= 2

+

³1−

√312

´ ¡±

¢³23+√312

´ ¡1±

¢1

1+( )2

(6.7/35)

Bei Haftreibung mit = √3

ergibt sich die Fließbedingung für zu

= +

³1−

√312

´³23+√312

´cos

∓√3tan () (6.7/36)

Für die Horizontalkraft bei Haftreibung gilt damit Gl. (6.7/37).

= 2

⎡⎣⎛⎝ +

³1−

√312

´³23+√312

´cos

∓√3tan ()

⎞⎠ tan ()±√3

⎤⎦ (6.7/37)

Durch numerische Lösung von Gl. (6.7/35) bzw. Gl. (6.7/37) folgt der Verlauf der Horizontal-

kraft im Walzspalt. Zur Bestimmung der Walzkraft muss diese gemäß der Fließbedingung in

die Normalspannung umgerechnet werden.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 205

Wie sich den obigen Gleichungen entnehmen lässt, ist die Kenntnis der örtlichen Querschnitts-

fläche () und der örtlichen Kontaktbreite () erforderlich, um die Spannungsverteilung

zu berechnen. Für den an der Stelle vorliegenden Profilquerschnitt () gilt

() =√3¡4 ()()− ()2 − ()2

¢(6.7/38)

Für die örtliche Kontaktbreite gilt aus der Geometrie

() = 2

à ()

√3

2−µ ()− ()

2

¶1√3

!(6.7/39)

Ist das Spannungsfeld bekannt, so erfolgt die Berechnung der Walzkraft durch Integration unter

Berücksichtigung der lokalen Breitung gemäß

=

Z0

() () (6.7/40)

Der mittlere Umformwiderstand ergibt sich genau wie beim Zweiwalzenverfahren zu

=

(6.7/41)

mit der gedrückten Fläche

=

Z0

() · (6.7/42)

Dementsprechend lässt sich auch hier ein Umformwirkungsgrad definieren.

=

(6.7/43)

Die Berechnung des Drehmomentes an einer Walze erfolgt durch Integration der in der Kon-

taktfläche wirkenden Schubspannungen nach

=

⎛⎝ Z

() () −Z0

() ()

⎞⎠ (6.7/44)

Die Antriebsleistung eines Dreiwalzengerüstes ergibt sich aus den Summenleistungen der drei

Walzen.

=3

(6.7/45)

206 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

6.7.4 Äquivalenzverfahren

Die vom Zweiwalzenverfahren bekannte Vorgehensweise der Umrechnung eines Profilstiches

auf einen äquivalenten Flachstich zur Berechnung der Breitung und der Kräfteverteilung wird

beim Dreiwalzenverfahren beibehalten. Das Äquivalenzverfahren nach Lendl für den Zweiwal-

zenprozess kann mit geringen Anpassungen auch auf den Walzprozess im Dreiwalzenverfahren

angewandt werden. Abbildung 6.7/5 zeigt die Geometrie eines Walzstichs im Dreiwalzenver-

fahren für ein Vorprofil.

Abbildung 6.7/5: Äquivalenzflächen an einem Profilstich im Dreiwalzenverfahren

Die Äquivalenzfläche des in den Umformprozess eintretenden Profils wird mit 0bezeichnet,

während die Äquivalenzfläche des Kalibers mit 1bezeichnet wird. Diese Flächen werden

numerisch-geometrisch aus den Geometrien des eintretenden Profils und des Kalibers bestimmt.

Außerdem wird die Schnittpunktsbreite graphisch aus der Geometrie des Profils und des

Kalibers bestimmt. Um die Äquivalenzhöhen 0 und 1 zu bestimmen, werden die Durch-

dringungsflächen 0 und 1 mit Flächeninhalten von Fünfecken mit dem Basiswinkel 120

verglichen. Diese Flächen entsprechen den Äquivalenzflächen für einen Flachstich (Sechseck

zu Sechseck) Damit ergibt sich für die äquivalenten Ein- und Austrittshöhen des Profilstichs

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 207

Abbildung 6.7/6: Bildung des Umformraums im Dreiwalzenverfahren durch charakteristische Anord-nung der Walzscheiben mit Walzspalt Null. Links: Flache Walzbahnen; Rechts: Kalibrierte Walzschei-ben

0 =03+

2

√3

12

(6.7/46)

1 =13+

2

√3

12

(6.7/47)

Zur Komplettierung des Äquivalenzverfahrens ist die Berechnung des arbeitenden Walzen-

durchmessers erforderlich.

Um die Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers auf das Dreiwalzenverfahren übertra-

gen zu können, muss zwischen dem Walzspalt und der Höhe des Umformraums unterschieden

werden. Der Walzspalt ist der Zwischenraum, der sich außerhalb der Kontaktzone zwischen

den unbelasteten Walzballen einstellt, während der Umformraum der zwischen den belasteten

Walzballen entstehende Zwischenraum ist, in dem die Umformung stattfindet.

Im Zweiwalzenverfahren sind bei einem Flachstich beide Begriffe identisch, da beide Walzbal-

len parallel zueinander sind. Dies ist beim Dreiwalzenverfahren aufgrund der Walzenanordnung

und der damit erforderlichen Neigung der Walzballenflanken nicht der Fall

Abbildung 6.7/6 illustriert diesen Unterschied und zeigt, wie die drei Walzscheiben innerhalb

eines Dreiwalzengerüstes angeordnet werden. In der hier gewählten Darstellung ist der Walz-

spalt = 0. Demnach berühren sich die unbelasteten Walzen ohne Zwischenraum im Bereich

208 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

der Walzspalte. Trotzdem bildet sich ein dreieckiger Umformraum endlicher Größe, der teil-

weise vom Walzgut ausgefüllt werden kann.

An der Walzscheibe können unterschiedliche Durchmesser definiert werden, wie Abbildung

6.7/7 zeigt.

Der definierte Nenndurchmesser ist eine fiktive Abmessung, die an keiner Walzscheibe exis-

tiert. Er liefert eine Referenzgröße für den Durchmesser eines Walzenrohlings, der unabhängig

von dem in die Walzscheibe eingeschnittenen Kaliber ist.

Der Walzendurchmesser im Kalibergrund ist der kleinste an der Walze vorhandene Durch-

messer. Er definiert im Zusammenspiel aller drei Walzen den Innenradius des Kalibers. Der

Ballendurchmesser ist der größte an der Walzscheibe messbare Durchmesser und spielt eine

Rolle bei der Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers da er dem Ballendurchmesser

einer Flachwalze entspricht, wenn man die Systematik des Zweiwalzenverfahrens auf das Drei-

walzenverfahren anwendet. Der einzige Unterschied besteht darin, dass dieser Ballendurchmes-

ser beim Dreiwalzenverfahren nicht außerhalb des Kontaktbereichs beibehalten werden kann,

da die Walzspalte dort abgeschrägt ausgeführt werden müssen.

Abbildung 6.7/8 zeigt die Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers bei einem Profil-

stich mit einem vorliegenden Walzspalt 0 Ausgehend vom Ballendurchmesser erfolgt

die Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers gemäß

= + 1 − 1 (6.7/48)

Für den Fall einer unkalibrierten Flachbahn-Walzscheibe gilt

1 = 1 (6.7/49)

⇒ =

Es ist zu beachten, dass 1 und 1 unter Berücksichtigung weiterer höhenbeeinflussender

Effekte wie Walzspaltanstellung und Gerüstauffederung bestimmt werden.

Insgesamt liegt mit dem oben beschriebenen Äquivalenzverfahren eine Methode vor, die die

Übertragung eines Dreiwalzen-Profilstiches auf einen Flachstich ermöglicht. Dieser Flachstich

wird zur Berechnung der Breitung verwendet.

Das hier angewandte Äquivalenzverfahren nach Lendl ist nicht flächenerhaltend, das heißt

0 6= 0 und 1 6= 1, da bei der Berechnung der Äquivalenzhöhen 0 und 1 nur diejeni-

gen Teile der Profilflächen berücksichtigt werden, die unter direkter Druckwirkung der Walzen

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 209

Abbildung 6.7/7: Wichtige Durchmesser als Walzscheiben für das Dreiwalzenverfahren. Links: Ka-librierte Walzscheibe; Rechts: Flachbahn. :Kabliergrunddurchmesser; :Ballendurchmesser; :Nenndurchmesser

210 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Abbildung 6.7/8: Zur Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers beim Dreiwalzenverfahren

stehen. Diese Betrachtungsweise ist zur Breitungsberechnung ausreichend, allerdings kommt es

bei Berechnungen der Kinematik und es Kraft- und Arbeitsbedarfes darauf an, die Volumenkon-

stanz genau zu erfüllen. Aus diesem Grund wird mit bekannter Endbreite ein anderer, flächen-

und breitenerhaltender äquivalenter Flachstich maximaler Breite eingeführt. Dieser entspricht

einem Flachstich, bei dem die Profilflächen 0 und 1 erhalten bleiben. Für die äquivalenten

Profilhöhen am Walzspalteintritt und Austritt gilt:

0 =1√3

µ2√30 −

q920 −

√30

¶(6.7/50)

1 =1√3

µ2√31 −

q921 −

√31

¶(6.7/51)

6.7.5 Breitungsberechnung und Streckungswirksamkeit

Die Frage der Breitungsberechnung stellt sich im Dreiwalzenverfahren ebenso wie im Zwei-

walzenverfahren. Da für das Dreiwalzenverfahren keine umfangreichen experimentellen Daten

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 211

zur Breitung vorliegen, muss eine Methode gefunden werden, die zum Zweiwalzenverfahren

bekannten Daten auf das Dreiwalzenverfahren zu übertragen.

Ein zentraler Punkt ist, dass die durch die Walzen direkt hervorgerufene Querschnittsverdrän-

gung in Profil-Höhenrichtung auf zwei bzw. drei Walzen verteilt wird.

Abbildung 6.7/9: Vergleich geometrischer Größen der Breiten- und Höhenformänderung; A) Dreiwal-zenverfahren; B) Zweiwalzenverfahren

Abbildung 6.7/9 zeigt die Höhen- und Breitengeometrie von Flachstichen im Zwei- und Drei-

walzenverfahren. Die Höhen und Breiten und sind beim Zweiwalzenverfahren als absolute

Abmessungsänderungen zu verstehen, beim Dreiwalzenverfahren aber jeweils als Beitrag einer

einzigen Walze, vgl. Abbildung 6.7/1. Für die je Walze eingebrachte Höhenänderung gilt bei

den beiden Verfahren

∆02 =∆

2(6.7/52)

∆03 = ∆

Im Zweiwalzenverfahren berechnet sich die halbe Breitenänderung, also die Breitenänderung

in jedem der beiden Walzspalte in Abhängigkeit mehrerer Parameter (je nach verwendeter Brei-

tungsgleichung) zu

∆2

2= ∆0 =

1

2∆

µ0∆

0

0

¶(6.7/53)

Überträgt man diese Betrachtung auf das Dreiwalzenverfahren, so ergibt sich mit den einge-

212 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

führten Definitionen für den Breitungsbeitrag jedes Walzspaltes

∆3 = ∆0 =1

3∆

µ20 2∆

0

0

¶(6.7/54)

Zur Berechnung der Streckungswirksamkeit bei allen Walzverfahren unterscheidet man im Ein-

klang mit Abbildung 6.7/9 die verdrängte Fläche , die wiedererscheinende Fläche und

eine unbeeinflusste Kern- oder Innenfläche (nicht schraffierter innerer Profilbereich in Ab-

bildung 6.7/9). Allgemein gilt für die Flächeninhalte der ein- und austretenden Profile 0 und

1

0 = + (6.7/55)

1 = +

Der Flächeninhalt ist die Fläche eines Walzprofils mit der Breite 0 und der Höhe 1

= (1 0) (6.7/56)

Die Streckungswirksamkeit ist die auf die verdrängte Fläche bezogene Differenz der wiederer-

scheinenden und verdrängten Flächen

= −

= 1−

Im Zweiwalzenverfahren gilt damit für die Streckungswirksamkeit

= 1−

= 1− ∆ 0

∆ 1(6.7/57)

Im Dreiwalzenverfahren ergeben sich die verdrängten und wiedererscheinenden Flächen wie

folgt

= (40 − 0 − 1)√3∆ (6.7/58)

= (41 − 0 − 1)√3∆

Damit ist die Streckungswirksamkeit für einen Flachstich im Dreiwalzenverfahren

= 1 +(0 − 1) (0 + 1 − 41)(0 − 1) (0 + 1 − 40) (6.7/59)

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 213

6.7.6 Vergleichende Studien zum Zwei- und Dreiwalzenverfahren

Bekannte Walztheorien für das Zweiwalzenverfahren werden üblicherweise anhand von Para-

meterstudien verglichen, um die Einflüsse verschiedener Parameter auf die berechneten Ergeb-

nisse zu überprüfen, vgl. [Ove05, Ove11]. Im Folgenden werden die Modelle für das Zweiwal-

zenverfahren und das Dreiwalzenverfahren miteinander verglichen. Dazu muss eine Möglich-

keit gefunden werden, zu einem gegebenen Dreiwalzenstich einen äquivalenten Zweiwalzen-

stich zu berechnen. Als Anstichquerschnitte werden jeweils ein gleichmäßiges Sechseck und

ein Quadrat verwendet.

Haben das Quadrat und das Sechseck den gleichen Flächeninhalt, dann stehen die Seitenlänge

des Quadrats und der Innenradius des Sechsecks in folgendem Verhältnis

=

q2√3 ≈ 1 8612 (6.7/60)

Im Dreiwalzenverfahren gilt für den Streckgrad

=40− 20 − 2

41− 21 − 2(6.7/61)

Als Lösung dieser quadratischen Gleichung ergibt sich für die Endhöhe des flächengleichen

Zweiwalzenprofils mit dem Streckgrad

1 = 2±sµ

2 − 40 + 20

+ 32¶

(6.7/62)

Auf diese Weise lässt sich zu jedem Dreiwalzenstich ein flächen- und damit formänderungsä-

quivalenter Zweiwalzenstich konstruieren. Die Walzspaltverhältnisse der jeweils äqui-

valenten Zwei- und Dreiwalzenstiche sind nicht identisch, aber sehr ähnlich. Beim Dreiwalzen-

stich gilt für die gesamte gedrückte Fläche

= 3

Die Kontaktbreite hängt bei konstanter Profilbreite linear von der Profilhöhe im Walzspalt

ab gemäß Gl. (6.7/2)

() =2√3(2 − ) (6.7/63)

214 Walzmodell für das Dreiwalzenverfahren

Die mittlere Kontaktbreite kann integral wie folgt gewonnen werden

=2√

3 (0 − 1)

Z 0

1

2 −

=2√

3 (0 − 1)

∙20 − 1

220 − 21 +

1

221

¸=

4 − (0 + 1)√3

(6.7/64)

Aufgrund der linearen Abhängigkeit () ist diese Beziehung äquivalent zu

=0 + 1

2(6.7/65)

=4 − 0 − 1√

3

Mit der gedrückten Länge des Dreiwalzenverfahrens

=

q2 (0 − 1)− (0 − 1)

2 (6.7/66)

kann man für die gedrückte Fläche schreiben

= 3

q2 (0 − 1)− (0 − 1)

2 · 4 − 0 − 1√3

(6.7/67)

Der Innenradius des Anstich-Sechecks ist gleichzeitig dessen Höhe und Breite (siehe Definitio-

nen gemäß Abbildung 6.7/1, 0 = = ). Diese Größen lassen sich durch die Querschnitts-

fläche des Sechsecks ausdrücken

0 = =

s

2√3

(6.7/68)

Die gedrückte Fläche des Dreiwalzenverfahrens ist

3 = 3

q2 (0 − 1)− (0 − 1)

2 · 20 + (0 − 1)√3

(6.7/69)

Die gedrückte Fläche des Zweiwalzenverfahrens ist mit den Größen 00, 01 und 00 des Zweiwal-

zenstiches

2 = 200

s (00 − 01)−

(00 − 01)2

4(6.7/70)

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 215

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16

1.18

1.2

0 5 10 15 20 25 30 35

Rez

ipro

ker

Um

form

wir

kung

sgra

d

Bezogene Querschnittsänderung [%]

A)

DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren

0.28

0.3

0.32

0.34

0.36

0.38

0.4

0.42

0.44

0.46

0 5 10 15 20 25 30 35

Bez

ogen

e F

ließ

sche

iden

lage

xF/l

d

Bezogene Querschnittsänderung [%]

B)

DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

1.2

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

Rez

ipro

ker

Um

form

wir

kung

sgra

d

Zugdifferenz (σ1 − σ0)/kf

C)

DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

−0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6

Sum

men

dreh

mom

ent [

kNm

]

Zugdifferenz (σ1 − σ0)/kf

D)

DreiwalzenverfahrenZweiwalzenverfahren

Abbildung 6.7/10: Vergleich des Zwei- und Dreiwalzenverfahrens anhand von Rechenergebnissen äqui-valenter Walzsstiche

216 Elastische Gerüstauffederung beim Profilwalzen

Aufgrund der obigen Definitionen ergeben sich geringe Unterschiede in den gedrückten Flächen

der als äquivalent betrachteten Stiche der beiden Walzverfahren. Diese Unterschiede können je

nach Formänderung zwischen 5% und 6% betragen.

Abbildung 6.7/10 A) und B) zeigt den Einfluss der bezogenen Querschnittsänderung auf den

reziproken Umformwirkungsgrad und die Fließscheidenlage. Die Wirkungsgrade sind im Drei-

walzenverfahren günstiger als im Zweiwalzenverfahren. Die Fließscheidenlage wird im Zwei-

walzenverfahren stärker durch die Formänderung beeinflusst als im Dreiwalzenverfahren.

Abbildung 6.7/10 C) und D) zeigt die Auswirkungen von reinen Vorwärts- oder Rückwärtszü-

gen auf die durch den reziproken Umformwirkungsgrad stellvertretend dargestellte Walzkraft

und das Drehmoment. Generell ist zu bemerken, dass sich Rückwärtszüge stärker auswirken als

Vorwärtszüge. Dieser Effekt ist beim Zweiwalzenverfahren schon seit langem bekannt und ist

darauf zurückzuführen, dass die Nacheilzone größer ist als die Voreilzone. Während die Wir-

kung auf die Walzkraft bei beiden Verfahren vergleichbar aber absolut verschoben ist, lässt sich

das Drehmoment im Dreiwalzenverfahren stärker durch Längszüge beeinflussen, als dies im

Zweiwalzenverfahren der Fall ist.

6.8 Elastische Gerüstauffederung beim Profilwalzen

Neben den im letzten Abschnitt beschriebenen Abweichungen von den Sollquerschnitten durch

Breitungsvariationen kommt es durch die elastische Kopplung zwischen dem Walzgut und den

Walzgerüsten zu einer Auffederung der Walzen und damit Vergrößerung des Umformraums.

Die Gesamtauffederung lässt sich in Anteile der Ständerdehnung, bei der sich die Lagerstellen

der Walzen verschieben, und der Verformung der Walzen selber aufteilen.

Die Walzenverformung setzt sich wiederum aus Querschnittsverformungen und Durchbiegun-

gen zusammen. Den größten Einfluss übt die Walzendurchbiegung aus.

Die effektive Vergrößerung des Walzspaltes lässt sich durch ein einfaches mechanisches Mo-

dell beschreiben, indem eine lineare Gerüstkennlinie vorausgesetzt wird. Die Steifigkeit des

Walzgerüstes ist durch eine einzige Zahl, den Gerüstmodul gekennzeichnet. Die aus dem

Walzspalt austretende Walzguthöhe 1 ergibt sich gemäß der Gagemeter-Gleichung Gl. (6.8/1)

aus der Walzkraft , dem Gerüstmodul und der Leerwalzspalteinstellung 0.

1 = 0 +

(6.8/1)

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 217

Abbildung 6.8/1: Auswirkungen der elastischen Gerüstauffederung auf den Profilquerschnitt beim Pro-filwalzen in einer Rund-Oval-Kaliberreihe am Beispiel zweier aufeinander folgender Stiche

Beim Profilwalzen hat die Gerüstauffederung eine höhere Bedeutung als beim Flachwalzen, da

die Breitung hier einen wichtigeren Einfluss auf die entstehende Profilform ausübt und auch

von der Gerüstauffederung beeinflusst wird.

Abbildung 6.8/1 zeigt am Beispiel einer Stichfolge Rund-Oval-Rund die Einflüsse der Ge-

rüstauffederung. Wenn das Ovalkaliber auffedert, wird das Ovalprofil höher (augefederte Höhe

01 1). Gleichzeitig verringert sich dadurch die Stichabnahme, wodurch die Breitung ge-

ringer wird (Breite unter Auffederung 01 1). Das Ovalprofil tritt in Stichlage um 90 Grad

gedreht in das Rundkaliber ein. Hier tritt eine erneute Auffederung ein, die die Höhe des Rund-

profils erhöht.

Ab dem zweiten Stich hängt der in das Rundkaliber eintretende Ovalquerschnitt in der oben be-

schriebenen Weise von der Auffederung des Ovalkalibers ab. Desweiteren sind Breitungseffekte

zweier Arten zu unterscheiden.

Die Auffederung im betreffenden Kaliber selbst senkt die Stichabnahme und damit die Brei-

tenzunahme, d.h. mit größerer Auffederung des jeweiligen Kalibers wird die Breitung geringer

(Fehler 2. Art). Die Auffederung des davorliegenden Gerüstes beeinflusst direkt die Anfangs-

breite des aktuellen Stiches und wirkt sich damit linear auf die Endbreite aus (Fehler 1. Art).

In ähnlicher Weise wirkt sich die Gerüstauffederung beim Walzen im Dreiwalzenverfahren auf

die Profilquerschnitte aus, wie Abbildung 6.8/2 zeigt.

Aufgrund dieser Effekte ist davon auszugehen, dass ab dem zweiten Stich die Profile sowohl

218 Längsspannungen beim Walzen von Vollquerschnitten

Abbildung 6.8/2: Auswirkung der Gerüstauffederung auf die Profilquerschnitte im Dreiwalzenverfahrenanhand zwei aufeinander folgender Stiche

in Breiten- wie auch in Höhenrichtung durch Auffederung größer werden. Über mehrere Sti-

che kommt es zu einem Fortpflanzungseffekt der Querschnittsfehler. Modellseitig wird die Ge-

rüstauffederung durch Anwendung von Gl. (6.8/1) berücksichtigt. Zusammen mit der bereits

beschriebenen Walzkraft- und Breitungsberechnung und der numerischen Behandlung der Pro-

filgeometrien liegt damit ein Modellsystem vor, das die querschnittsbeeinflussenden Effekte

beim Walzen von Vollquerschnitten im Zwei- und Dreiwalzenverfahren abbildet und bei der

Analyse und Optimierung der Walzprozesse Anwendung finden kann.

6.9 Längsspannungen beim Walzen von Vollquerschnitten

Beim Profilwalzen von Vollquerschnitten wirken sich die Längsspannungen prinzipiell in der

gleichen Art und Weise auf den Walzprozess aus wie beim Flachwalzen.

Beim Profilwalzen trägt die Breitung einen wichtigeren Anteil zur Geometriebildung bei als

beim Flachwalzen. Auftretende Längsspannungen beeinflussen die Breitung derart, dass an den

Walzspalten angelegte Zugpspannungen die Breitung verringern. Davon geht eine Störung des

Volumenstroms aus, die begleitend zu den beim Flachwalzen bereits beschriebenen Voreilungs-

effekten den Walzprozess beeinflusst.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 219

Eine typische Aufgabenstellung ist die Berechnung der im Walzgut wirksamen Längsspannun-

gen bei einer vorgegebenen Kalibrierung und vorgegebenen Walzendrehzahlen. Bei Gerüsten

einer betrachteten Anordnung gibt es −1 zu bestimmende Längsspannungen mit vorgege-

benen Walzendrehzahlen b . Es werden zwischen jeweils zwei Gerüsten Drehzahlverhältnisse

gebildet in der folgenden Form

b = b+1b für = 1 − 1 (6.9/1)

Diese Drehzahlverhältnisse haben den Charakter von gedachten Getriebeübersetzungen. Mit

einer gewählten Anfangsbedingung für die Längsspannungen erfolgt die Nachberechnung der

Gerüstdrehzahlen. Über diese erste Iteration werden wieder Drehzahlverhältnisse gebildet,

=+1

für = 1 − 1 (6.9/2)

Diese beiden Drehzahlverhältnisse werden zueinander in Relation gesetzt

∗ =b (6.9/3)

Diese Verhältniszahlen haben die Bedeutung

∗ 1: Drehzahldifferenz zwischen Gerüst und + 1 ist zu groß (6.9/4)

∗ ≈ 1: Drehzahldifferenz zwischen Gerüst und + 1 ist zutreffend

∗ 1: Drehzahldifferenz zwischen Gerüst und + 1 ist zu klein

Wenn die Drehzahldifferenz zu groß ist, muss die Zugspannung zwischen den Gerüsten verrin-

gert werden. Ist die Drehzahldifferenz zu klein, muss die Zugspannung erhöht werden.

Die Berechnung der gesamten Stichfolge wird mit veränderten Längsspannungen so oft wie-

derholt, bis sich ∗ ≈ 1 für alle − 1 Längsspannungen einstellt. In vektorieller Darstellung

liegt der folgende nichtlineare Zusammenhang vor

F = i (σ)− bi (6.9/5)

Die Minimierung von F führt auf den gesuchten Vektor der Längsspannungen σ Im Rahmen

der oben beschriebenen iterativen Längsspannungsberechnung werden die direkten Auswirkun-

gen der Längsspannungen auf die Breitung in den Walzspalten ebenso berücksichtigt wie die

statischen Auswirkungen auf die Spannungsverteilung.

220 Modell zum Walzziehen von Vollquerschnitten

Gerüst d[mm] C Kaliber bK hK r α

01H 300 500 Oval 74 00 24 75 61 502V 300 500 Rund 34 00 17 0 30

03H 250 400 Oval 56 36 18 60 47 3504V 250 400 Rund 25 90 12 9 30

05H 208 300 Oval 41 53 15 30 32 006V 208 300 Rund 20 00 10 0 30

Tabelle 6.9/1: Sechsgerüstige Anlagenkonfiguration als Beispiel für das Zusammenwirken von Ge-rüstauffederung und Längsspannungen

Gerüst n [rpm] σ1k · 100%01H 185 0 0 602V 246 7 −8 703H 386 2 0 0704V 506 9 −7 7905H 732 2 +0 406V 955 0 0

Tabelle 6.9/2: Auswirkungen der Gerüstauffederung auf Längsspannungen; n: Walzendrehzahl

Beispielhaft wird eine sechsgerüstige Oval-Rund-Kaliberreihe betrachtet, in der ein Rundquer-

schnitt des Durchmessers 0 = 45 auf einen Fertigquerschnitt von = 20 umgeformt

wird. Tabelle 6.9/1 gibt einen Überblick über die verwendeten Kaliber, Walzendurchmesser

und Gerüststeifigkeiten. Mit Hilfe des Modells gemäß Gl. (6.9/5) kann gezeigt werden, wel-

che Längsspannungen sich allein infolge der elastischen Gerüstauffederung ergeben, wenn die

Walzendrehzahlen gemäß der Bedingung starrer Gerüste eingestellt werden.

Tabelle 6.9/2 zeigt als Ergebnis die sich aufbauenden Längsspannungen. Es ist festzustellen,

dass sich in den Walzgutabschnitten, die sich zwischen einem Oval- und einem Rundkaliber be-

finden, nur kleine Zugspannungen oder sogar Druckspannungen aufbauen. Die Teile des Walz-

guts, die sich zwischen einem Rund- und einem Ovalkaliber befinden, stehen rechnerisch unter

Zugspannungen von bis zu 9% der Fließspannung. Diese Größenordnung ist in sofern beacht-

lich, als die Effekte der Gerüstauffederung während des Walzvorgangs beim Profilwalzen keiner

direkten Beobachtung zugänglich sind und daher keine Regelung des Profilquerschnitts wäh-

rend des Walzvorgangs möglich ist.

6.10 Modell zumWalzziehen von Vollquerschnitten

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 221

6.10.1 Kennzeichnende Eigenschaften des Walzziehens

Die Durchziehverfahren haben eine hohe Bedeutung für die Weiterverarbeitung warm gewalz-

ten Drahtes. Nach DIN 8584 wird beim Durchziehen ein Werkstück durch eine in Ziehrichtung

verengte Werkzeugöffnung hindurchgezogen. Nach der Art des Werkzeugs unterscheidet man

das Gleitziehen und das Walzziehen. Während beim Gleitziehen die Umformzone durch eine

Öffnung in einem feststehenden Werkzeug gebildet wird (das Ziehhol), ist die Umformzone

beim Walzziehen der Walzspalt zwischen zwei oder drei Walzen. Im Gegensatz zum Walzen

werden die Werkzeuge beim Walzziehen nicht angetrieben, sondern die Formänderung wird

durch eine am Walzspaltaustritt wirkende Zugkraft eingeleitet.

Abbildung 6.10/1: Prinzipskizze zum Walzziehen

Gegenüber dem Gleitziehen hat das Walzziehen Vorteile, da der Werkzeugverschleiß erheblich

geringer ist und mit höheren Standzeiten der Walzringe gegenüber Ziehdüsen gerechnet werden

kann.

222 Modell zum Walzziehen von Vollquerschnitten

6.10.2 Mechanisches Modell, Kraft- und Arbeitsbedarf

Zum Walzziehen existiert bisher keine mechanische Theorie. Die Existenz einer Fließscheide

wird vermutet, konnte jedoch noch nicht bestätigt werden. Im Folgenden wird ein mechanisches

Modell für das Walzziehen entwickelt.

Das zur Umformung notwendige Drehmoment ist beim Walzziehen in jedem Fall gleich Null.

Es gibt deshalb keine Antriebswellen der Walzen. Die Walzen sind auf Achsen gelagert. Ab-

bildung 6.10/1 zeigt die am Walzspalt angreifenden Kräfte beim Walzziehen. Die Ziehkraft 1

ist die wesentliche Größe des Kraft- und Arbeitsbedarfs. Optional kann am Walzspalteintritt

mit einer zusätzlichen Rückzugkraft 0 gearbeitet werden, um die Walzkraft zu senken und die

Umformung zu unterstützen. Dadurch wird die Ziehkraft erhöht.

Wenn kein resultierendes Umformmoment vorliegt, müssen sich die an der Walze angreifenden

Umfangskräfte in der Vor- und Nacheilzone im Gleichgewicht befinden. Dies wird wie folgt

formuliert

0 =

Z0

() () −Z

() () (6.10/1)

Bei konstanter Walzgutbreite kann auch geschrieben werden

0 =

Z0

() −Z

() (6.10/2)

Unter Zugrundelegung eines Walzmodells zur Berechnung der Schubspannungsverteilung ()

kann aus dieser Bedingung die Fließscheidenposition bestimmt werden. Damit ist auch die

Vorwärtszugspannung 1 bekannt. Die am Walzspaltaustritt aufzubringende Ziehkraft folgt

nach

= 1 = 11 (6.10/3)

Die Auswertung von Gl. (6.10/1) erfolgt iterativ, indem mit Hilfe des Walzmodells die Fließ-

scheidenlage so bestimmt wird, dass Gl. (6.10/1) erfüllt wird. Eine gegebenenfalls am Walz-

spalteintritt wirkende Rückzugspannung 0 =00

kann als Gegenzug in das Walzmodell einge-

bracht werden.

Wie auch beim Gleitziehen, definiert man beim Walzziehen einen Anstrengungsgrad. Dieser

entspricht dem Verhältnis der Fließspannung zur Ziehspannung in der Austrittsebene.

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 223

=1

1(6.10/4)

Um eine ausreichende Sicherheit gegen einen Abriss des Drahtes zu gewährleisten, sollte der

Anstrengungsgrad 70% nicht überschreiten.

Mit Hilfe des beschriebenen Verfahrens können die Spannungsverteilung sowie die Walz- und

Ziehkräfte beim Walzziehen berechnet werden.

6.10.3 Breitungsberechnung beim Walzziehen

Die Breitungsberechnung ist von ebenso hoher Bedeutung, da sich die Breitung durch die hohen

am Walzspaltaustritt wirkenden Zugspannungen von derjenigen beim Kaltwalzen unterscheidet.

Nach Jaschke [Jas77] kann eine auf Hill zurückgehende Breitungsgleichung für das Walzzie-

hen angewandt werden, wobei der Faktor 0,525 von Limant [Lim64] angegeben wurde. Die

Breitungsgleichung ist in Gl. (6.10/5) gegeben.

ln1

0= ln

µ0

1

¶1

2exp

µ−0 5251

¶(6.10/5)

6.10.4 Berechnungsbeispiel zum Walzziehen

Als Beispiel wird der Walzzug eines warmgewalzten Drahtes des Durchmessers 0 = 5 5

auf einen Durchmesser von 1 = 4 54 mm betrachtet. Dazu werden zwei Walzziehstiche mit

Oval- und Rundkalibern verwendet. Unter Zugrundelegung der Breitungsgleichung Gl. (6.10/5)

und des bereits erläuterten Iterationsverfahrens zur Kalibrierungsauslegung ergeben sich für

einen Ballendurchmesser der Walzen von = 120 die in Abbildung 6.10/2 gezeigten

Kaliber.

Von besonderem Interesse sind die Spannungsverteilungen in den Stichen. Abbildung 6.10/3

zeigt die Horizontalspannungsverteilungen im Oval- und Rundstich bei einem Reibwert von

= 0 1 für beide Stiche und dem Ziehgutwerkstoff C15.

Ein charakteristisches Merkmal des Walzziehens ist, dass aufgrund der Bedingung Gl. (6.10/1)

die Fließscheide stets in der Nähe der Walzspaltmitte liegt. Aus diesem Grund sind beim Walz-

ziehen höhere Voreilungen zu erwarten als beim Kaltwalzen mit vergleichbaren Parametern.

Tabelle 6.10/1 zeigt die wichtigsten Eingabe- und Ergebnisdaten der beiden betrachteten Walz-

ziehstiche.

224 Modell zum Walzziehen von Vollquerschnitten

Abbildung 6.10/2: Oval- und Rund-Kaliber zum Walzziehen eines Drahtes von 0 = 5 5 an1 = 4 54 in zwei Stichen

−400

−350

−300

−250

−200

−150

−100

−50

0

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

σ x [

N/m

m2 ]

x/ld

1. Stich (Rund−Oval) 2. Stich (Oval−Rund)

Abbildung 6.10/3: Berechnete Horizontalspannungsverteilung im Ovalstich und Rundstich beim Walz-ziehen

6 Modelle zum Walzen von Vollquerschnitten 225

Stich Oval RundFläche 0[2] 23 758 19 182Fläche 1[2] 19 182 15 907Reibwert 0 1 0 1Ziehspannung [2] 194 4 382 7Ziehkraft [kN] 3 729 6 088Endfließspannung 1 656 8 763 9Anstrengungsgrad 29 6% 50 1%

Tabelle 6.10/1: Vorgabe- und Ergebnisparameter für die betrachteten Walzziehstiche

Die Ziehspannung des Ovalstichs wird zwangsläufig als Rückzugspannung in den Rundstich

eingebracht. Dadurch ergeben sich im Rundstich stets größere Ziehspannungen und Anstren-

gungsgrade.

7 Anwendungen beimWalzen von Flachquerschnitten

In den folgenden Abschnitten werden die beschriebenen Modelle auf typische Walzfälle für

Flacherzeugnisse angewandt. Anhand dieser Studien werden die Möglichkeiten der Modelle

aufgezeigt. Es wird gezeigt, inwiefern die Rechenmodelle Beiträge zur Lösung technologischer

Aufgabenstellungen leisten können.

7.1 Warmwalzen von Breitband

Kontinuierlich warmgewalztes Band macht einen grossen Teil der Flacherzeugnisse aus. Ins-

besondere bei Bandbreiten von mehr als 1200 mm sind Profil und Planheit wichtige Quali-

tätskriterien. Die Wirkungen von mechanischen und thermischen Einflüssen des Walzprozesses

auf diese Kenngrößen können mit Hilfe der im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelten

Modelle berechnet werden.

7.1.1 Maß- und Formtoleranzen für Warmbreitband

Die einzuhaltenden Maß- und Formtoleranzen werden durch die Normung vorgeschrieben. Die-

se Normung wird im Folgenden kurz dargestellt, bevor auf technologische Beispiele eingegan-

gen wird. DIN EN 10051 legt Grenzabmaße und Formtoleranzen von kontinuierlich warmge-

walztem Band und Blech mit Breiten zwischen 600 mm und 2200 mm fest. Tabelle 7.1/1 zeigt

die zulässigen Dickenabweichungen für Bleche aus weichen Stählen, die für eine Weiterverar-

beitung durch Kaltumformen vorgesehen sind.

Nenn-Banddicke Grenzabmaße der Banddicke bei Nennbreite ≤ 1200 1200 ≤ 1500 1500 ≤ 1800 1800

≤ 2 00 ±0 13 ±0 14 ±0 16 k.A.2 00 ≤ 2 50 ±0 14 ±0 16 ±0 17 ±0 192 50 ≤ 3 00 ±0 15 ±0 17 ±0 18 ±0 203 00 ≤ 4 00 ±0 17 ±0 18 ±0 20 ±0 204 00 ≤ 5 00 ±0 18 ±0 20 ±0 21 ±0 225 00 ≤ 6 00 ±0 20 ±0 21 ±0 22 ±0 236 00 ≤ 8 00 ±0 22 ±0 23 ±0 23 ±0 268 00 ≤ 11 00 ±0 24 ±0 25 ±0 25 ±0 28

Tabelle 7.1/1: Grenzabmaße der Banddicke für kontinuierlich warmgewalztes Band aus weichen Stählenzum Kaltumformen, nach DIN EN 10051 (Alle Abmessungen in mm)

Die Dicke des Bandes darf an jedem Punkt gemessen werden, der mindestens 40 mm von der

absoluten Bandkante entfernt ist. Sind die Kanten des Erzeugnisses bereits nachbearbeitet wor-

228 Warmwalzen von Breitband

Nenn-Bandbreite Zulässige BombierungA B C D

≤ 1200 0 10 0 12 0 13 0 141200 ≤ 1500 0 13 0 15 0 17 0 181500 ≤ 1800 0 16 0 18 0 21 0 221800 ≤ 2200 0 20 0 23 0 26 0 28

Tabelle 7.1/2: Zulässige Bombierung bei Warmband zum Kaltwalzen in Abhängigkeit der Werkstoffklas-se nach DIN EN 10051 (Alle Abmessungen in mm)

den, ist stattdessen ein Abstand von mindestens 25 mm einzuhalten [DINEN10051].

Die Bombierung des Bandes wird als der Dickenunterschied zwischen einer solchen Messstelle

und der Mittellinie des Bandes definiert. Die zulässige Bombierung für Warmband, das durch

Kaltwalzen weiterverarbeitet werden soll ist in Tabelle 7.1/2 gezeigt.

Neben den weichen Stählen zum Kaltumformen werden in [DINEN10051] vier weitere Werk-

stoffklassen unterschieden, die anhand ihres Streckgrenzenbereichs eingeteilt werden. Für wei-

che Stähle mit Streckgrenzen bis zu 300 MPa gilt die Klasse A, während die Klasse B Streck-

grenzen über 300 MPa bis 360 MPa umfasst. Stähle mit Streckgrenzen zwischen 360 MPa und

420 MPa gehören der Klasse C an, während die Klasse D höherfeste Stähle mit Streckgrenzen

zwischen 420 MPa und 900 MPa beinhaltet.

Für den zulässigen Dickenunterschied innerhalb eines Warmbreitband-Coils definiert DIN EN

10051 die in Tabelle 7.1/3 angegebenen Werte.

Nenn-Banddicke Zulässiger Dickenunterschied bei Nennbreite ≤ 1200 1200 ≤ 1500 1500 ≤ 2200

0 8 ≤ 2 0 0 20 0 24 0 282 0 ≤ 3 0 0 22 0 27 0 333 0 ≤ 4 0 0 28 0 32 0 404 0 ≤ 8 0 0 28 0 32 0 40

Tabelle 7.1/3: Zulässiger Dickenunterschied innerhalb einer Coillänge nach DIN EN 10051 (Alle Ab-messungen in mm)

So darf bei einem warmgewalzen Band aus einem weichen Stahl mit 300 der Dicke

= 2 0 mm und der Breite = 1500 die Banddicke an keiner Stelle kleiner als 1 86

oder größer als 2 14 sein. Der Banddickenunterschied zwischen Bandmitte und einer min-

destens 40 mm von der Bandkante entfernten Messstelle darf nicht größer als 0 13 sein

und innerhalb eines Coils darf die Banddicke um nicht mehr als 0 24 variieren.

Im Folgenden wird anhand von Simulationsrechnungen untersucht, wie sich die Einflussgrößen

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 229

des Walzprozesses auf die Einhaltung dieser Toleranzgrenzen auswirken. Dazu werden zunächst

die technologischen Parameter der betrachteten Gerüstanordnung erläutert.

7.1.2 Anlagenparameter der Gerüstanordnung

Die Fertigstaffel eines Warmbreitbandwalzwerks besteht aus sieben Vierwalzengerüsten F1 bis

F7 in vollkontinuierlicher Anordnung, wie Abbildung 7.1/1 zeigt.

Abbildung 7.1/1: Skizze einer siebengerüstigen Fertigstaffel bestehend aus Vierwalzengerüsten mitSchlingenhebern

Die Gerüste sind jeweils mit hydraulischer Dickenregelung nach dem AGC-Prinzip ausgerüstet.

Zur Beeinflussung des Dickenprofils wird an späterer Stelle die CVC-Technologie betrachtet.

Die Arbeitswalzen der Gerüste F1 bis F4 haben Ballendurchmesser von = 780 , die

der folgenden Gerüste F5 bis F7 von = 720. Die Stützwalzendurchmesser sind jeweils

= 1550 Die Ballenlängen der Arbeitswalzen sind = 2500 , die Ballenlängen

der Stützwalzen sind = 2250

Es wird ein Stichplan für eine Fertigbanddicke von = 2 5 betrachtet. Die Dicke des

Vorbandes beträgt 0 = 40. Ohne Berücksichtigung des Speed-Ups wird eine Endwalzge-

schwindigkeit von = 9

erreicht.

7.1.3 Stichplangestaltung

Die Stichplangestaltung erfolgt als degressive Streckgradverteilung mit Hilfe der Verteilungs-

funktion

= (7.1/1)

Da die Breitung des Bandes vernachlässigt werden kann, ist der mittlere Streckgrad

=

µ0

¶ 17

(7.1/2)

230 Warmwalzen von Breitband

Mit Hilfe dieser Betrachtung folgt der Stichplan für = 1 11 zu Tabelle 7.1/4.

Bei einem Brammengewicht von = 40000 und einer Bandbreite von = 1800

beträgt das spezifische Bundgewicht = 22 23

. Bei einer Warmdichte von = 7 5516 ·

10−6

3 ist die Länge des Vorbandes mit 40 mm Dicke

=

0=

22 23

7 5516 · 10−6 · 40 [] = 73 59

Das nach dem in dieser Arbeit beschriebenen Finite-Differenzen-Modell berechnete Tempera-

turprofil des obigen Walzvorgangs zeigt Abbildung 7.1/2.

Während in den ersten Stichen noch ein hoher Temperaturgradient im Querschnitt vorhanden

ist, wird dieser mit abnehmender Banddicke abgebaut. Die Umformung im letzten Fertiggerüst

findet bei einer Kerntemperatur von 850 C statt. Die Bandkanten weisen aufgrund der Kanten-

auskühlung eine geringere Temperatur auf.

7.1.4 Entwicklung des Banddickenprofils

Im vorliegenden Gesamtmodell ist das Walzmodell mit den Teilmodellen der Temperaturver-

teilung des Walzgutes, der Temperaturverteilung in der Arbeitswalze mit daraus resultierendem

thermischen Crown, der Walzendurchbiegung, der Walzenabplattung und des Walzenverschlei-

ßes gekoppelt.

Betrachtet man das Zusammenwirken der mechanischen und thermischen Effekte, dann ergeben

sich ohne Eingriffe zur Profil- und Planheitsbeeinflussung in den sieben Stichen die Bandprofil-

änderungen, die im Teilbild A) von Abbildung 7.1/3 gezeigt sind. Im Teilbild B) von Abbildung

7.1/3 sind Veränderungen des Bandprofils zu erkennen, die auf die thermische Ausdehnung der

Walzen beim fünften gewalzen Band zurückzuführen sind. Diese thermischen Effekte der Wal-

zen sind durch eine gezielte Segmentierung der Walzenkühlung beeinflussbar. Im hier darge-

stellten Beispiel wurde eine über die Ballenbreite konstante Kühlintensität gewählt.

Die Entwicklung des Dickenprofils während der Walzung weiterer Bänder zeigt Abbildung

7.1/4 für das 10. und das 20. Band. Hier ist zu erkennen, dass sich aufgrund des stationären

Walzentemperaturprofils keine wesentliche Änderung der Banddickenprofile mehr einstellt.

7.1.5 Beeinflussung von Profil und Planheit durch die CVC-Technologie

Die berechneten Bombierungen des Fertigbandes sind im Vergleich mit den zulässigen Werten

nach Tabelle 7.1/2 unzulässig hoch.

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 231

Gerüst Banddicke[mm] Bez. Höhenänderung F1 19,68 50,8 %F2 10,75 45,4 %F3 6,52 39,4 %F4 4,39 32,7 %F5 3,28 25,3 %F6 2,72 17,1 %F7 2,50 8,1 %

Tabelle 7.1/4: Stichplan für eine siebengerüstige Fertigstaffel

550

600

650

700

750

800

850

900

950

1000

0 20 40 60 80 100 120

F1 F2 F3 F4

F5 F6 F7

Tem

pera

tur

[°C

]

Strecke [mm]Kern

Oberfläche BandmitteOberfläche Bandkante

Durchschnitt

Abbildung 7.1/2: Temperaturprofil der Warmbandwalzung in der siebengerüstigen Fertigstaffel mit ei-ner Referenztemperatur von 1000 30 m vor Einzug in die Fertigstaffel

232 Warmwalzen von Breitband

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

b = 1800 mm

Rel

. Wal

zspa

ltpr

ofil

[m

m]

y [mm]

(A) Walzen isotherm

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

b = 1800 mm

Rel

. Wal

zspa

ltpr

ofil

[m

m]

y [mm]

(B) 5. Band

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

Abbildung 7.1/3: A) Entwicklung des Bandprofils ohne Eingriffe bei isothermen Walzen; B) Entwicklungdes Bandprofils beim 5. Band mit thermisch deformierten Walzen

Mit Hilfe der CVC-Technik lassen sich diese Profilveränderungen in engeren Grenzen halten,

wie Abbildung 7.1/5 für das 5. Band zeigt. Die hier eingesetzten CVC-Verschiebungen und

resultierenden Walzenballigkeiten sind in Tabelle 7.1/5 zusammengestellt.

In den letzten Stichen müssen die Änderungen des Dickenprofils möglichst klein gehalten wer-

den, da es sonst zu großen Planheitsfehlern kommt.

Dies zeigt Abbildung 7.1/6 am Beispiel der Warmbandwalzung nach Abbildung 7.1/3 (A). Hier

ist der normierte Querflussparameter als Funktion der Banddicke aufgetragen. Während

in den ersten Stichen noch nahezu alle Planheitsfehler durch Querfluss ausgeglichen werden

können, ist das Querflusspotential ab dem vierten Gerüst stark rückläufig. In den letzten Stichen

ist dieser Querfluss auf ein Minimum abgebaut, so dass sich eine Veränderung des Dickenprofils

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 233

-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

0 0.1

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

b = 1800 mm(a) 10. Band

Rel

. Wal

zspa

ltpro

fil [

mm

]

y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

0 0.1

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

b = 1800 mm

(b) 20. Band

Rel

. Wal

zspa

ltpro

fil [

mm

]

y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

Abbildung 7.1/4: Berechnete Bandprofile ohne Profil- und Planheitsbeeinflussung für das 10. und 20.Band

234 Warmwalzen von Breitband

-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

0 0.1

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

b = 1800 mm(a) 5. Band mit zylindrischen Walzen

Rel

. Wal

zspa

ltpro

fil [

mm

]

y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1

0 0.1

-1500 -1000 -500 0 500 1000 1500

b = 1800 mm

(b) 5. Band mit CVC

Rel

. Wal

zspa

ltpro

fil [

mm

]

y [mm]F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7

Abbildung 7.1/5: Dickenprofile für das 5. Band im Vergleich ohne Profileingriffe und durch Verwendungdes gleichen CVC-Arbeitswalzenschliffs in allen Gerüsten mit unterschiedlich angepassten Verschiebun-gen

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

F1F2F3F4F5F6F7

ωP *

100

[%

]

Banddicke [mm]

Abbildung 7.1/6: Dimensionsloser Querflussparameter für die Warmbandwalzung nach Abbildung7.1/3 (A)

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 235

Gerüst CVC-Verschiebung CVC-Walzenballigkeit [mm]F1 +40% 0,35F2 +40% 0,35F3 +32% 0,33F4 +24% 0,31F5 +4% 0,26F6 -28% 0,18F7 -72% 0,07

Tabelle 7.1/5: Verwendete CVC-Verschiebungen für die durchgeführten Modellrechnungen

in diesen Stichen unmittelbar auf die Längungsverteilung und damit die Planheit auswirkt.

Die Auswirkungen der Dickenprofilveränderungen auf die Bandplanheit lassen sich mit Hilfe

der Streckungsverteilung über die Bandbreite veranschaulichen. Für die vorliegende Walzung

mit Unterstützung der CVC-Technologie zeigen dies die Rechenergebnisse nach Abbildung

7.1/7 und Abbildung 7.1/8.

Nach dem dritten Stich ist die Banddicke soweit reduziert, dass sich das Dickenprofil nicht

mehr ohne negative Auswirkungen auf die Planheit beeinflussen lässt. In den ersten Stichen

sind dagegen noch große Beeinflussungen des Dickenprofils möglich.

236 Warmwalzen von Breitband

−3.5−3

−2.5−2

−1.5−1

−0.5 0

0.5 1

1.5

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F1, 5. Band

−40−20

0 20 40 60 80

100

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F2, 5. Band

−100−50

0 50

100 150 200 250 300 350

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F3, 5. Band

−100−50

0 50

100 150 200 250 300 350 400 450

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F4, 5. Band

Abbildung 7.1/7: Verteilung der Streckungsunterschiede über die Bandbreite mit CVC-Eingriffen für dieersten drei Stiche, Dickenprofile nach Abbildung 7.1/5 (B)

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 237

−200−100

0 100 200 300 400

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F5, 5. Band

−600−500−400−300−200−100

0 100

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F6, 5. Band

−600−500−400−300−200−100

0 100

−1000 −800 −600 −400 −200 0 200 400 600 800 1000

[I−

Uni

ts]

Gerüst F7, 5. Band

Abbildung 7.1/8: Verteilung der Streckungsunterschiede über die Bandbreite mit CVC-Eingriffen für dieStiche 5-7, Dickenprofile nach Abbildung 7.1/5 (B)

238 Kaltwalzen von Band

7.2 Kaltwalzen von Band

Ein großer Teil des warmgewalzten Bandes wird durch Kaltwalzen weiterverarbeitet. Dabei

wird die Banddicke mit einer bezogenen Höhenänderung von 0 4 in einem oder mehreren

Stichen weiter reduziert. Außerdem dient der Kaltwalzprozess der Einstellung der mechani-

schen und technologischen Eigenschaften des Bandes.

7.2.1 Maß- und Formtoleranzen für Kaltband

Maß- und Formtoleranzen für Kaltband sind in DIN EN 10140 [DINEN10131] für Bandbreiten

600 bzw. in DIN EN EN 10131 [DINEN10140] für Bandbreien ≥ 600 vor-

geschrieben. Im Folgenden wird Kaltband mit einer Bandbreite von = 800 betrachtet.

Dafür gelten die Grenzabmaße der Banddicke nach Tabelle 7.2/1.

Nenn-Banddicke Grenzabmaße bei Nennbreite Grenzabmaße bei Nennbreite (S) ≤ 1200 1200 ≤ 1500 1500 ≤ 1200 1200 ≤ 1500 1500

0 35 ≤ ≤ 0 40 ±0 03 ±0 04 ±0 05 ±0 020 ±0 025 ±0 0300 40 ≤ 0 60 ±0 03 ±0 04 ±0 05 ±0 025 ±0 030 ±0 0350 60 ≤ 0 80 ±0 04 ±0 05 ±0 06 ±0 030 ±0 035 ±0 0400 80 ≤ 1 00 ±0 05 ±0 06 ±0 07 ±0 035 ±0 040 ±0 0501 00 ≤ 1 20 ±0 06 ±0 07 ±0 08 ±0 040 ±0 050 ±0 0601 20 ≤ 1 60 ±0 08 ±0 09 ±0 10 ±0 050 ±0 060 ±0 0701 60 ≤ 2 00 ±0 10 ±0 11 ±0 12 ±0 060 ±0 070 ±0 0802 00 ≤ 2 50 ±0 12 ±0 13 ±0 14 ±0 080 ±0 090 ±0 1002 50 ≤ 3 00 ±0 15 ±0 15 ±0 16 ±0 100 ±0 110 ±0 120

Tabelle 7.2/1: Normale und eingeschränkte Grenzabmaße der Banddicke für Kaltband mit einer Min-deststreckgrenze bis 260 MPa nach DIN EN 10131

7.2.2 Entwicklung des Dickenprofils bei Kaltband

Als Studie wird der Kaltwalzvorgang in einem fünfgerüstigen Kaltwalzwerk betrachtet. Die

Arbeitswalzen haben in allen Gerüsten einen Ballendurchmesser von = 280 und

eine Ballenlänge von = 1200 . Die Stützwalzen haben einen Ballendurchmesser von

= 800 und eine Ballenlänge von = 1000.

Es wird ein Stichplan für eine Anfangsbanddicke von 0 = 2 5 und eine Bandbreite von

= 800 betrachtet. Dieses Band wird in 5 Stichen auf eine Enddicke von 5 = 0 40

ausgewalzt, siehe Tabelle 7.2/2.

Abbildung 7.2/1 zeigt die berechnete Entwicklung der Walzspaltprofile in diesen fünf Stichen.

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 239

Gerüst s0 [mm] εh G1 1 40 43 7% 0 2 0 4G2 0 88 37 5% 0 2 0 4G3 0 61 30 7% 0 2 0 4G4 0 47 23 0% 0 2 0 4G5 0 40 14 6% 0 2 0 4

Tabelle 7.2/2: Stichplan für eine fünfgerüstige Kaltbandwalzung. Anfangsdicke: 2,0 mm, Bandbreite:800 mm

-0.6

-0.4

-0.2

0

-600 -400 -200 0 200 400 600

Rel

. Wal

zspa

ltpr

ofil

[m

m]

y [mm]G1 G2 G3 G4 G5

Abbildung 7.2/1: Entwicklung des Walzspaltprofils beim Walzen des Stichplans gemäß Tabelle 7.2/2 in5 Stichen

Während die Dickenprofiländerungen in den ersten vier Stichen nur gering sind, liegt im fünften

Stich eine signifikante Veränderung des Profils mit deutlicher Erhöhung der Kantenanschärfung

vor. Dies ist auf die erhöhte Walzenabplattung aufgrund der geringen Banddicke und damit

schlechten Umformeffizienz in diesem Stich zurückzuführen. Die Walzenabplattung tritt hier

gegenüber der Walzendurchbiegung mehr in den Vordergrund.

Tabelle 7.2/3 zeigt dies anhand der einzelnen Anteile der mechanischen Walzenbelastung. Der

Anteil der Walzenabplattung an der Gesamtauffederung des Walzspaltes nimmt von 14,8 % auf

22,8 % zu.

Die Dickenprofilentwicklung lässt sich auch beim Kaltwalzen durch Arbeits- und Stützwal-

zenschliffe, die CVC-Technik und eine Gegenbiegung der Walzen beeinflussen. Diese Effekte

wirken sich prinzipiell so aus wie beim Warmwalzen. Hier wird beispielhaft der Effekt einer

Arbeitswalzenrückbiegung von +200 kN in jedem Stich gezeigt.

Abbildung 7.2/2 zeigt die Dickenprofile unter Einfluss der Arbeitswalzenrückbiegung. Diese

240 Kaltwalzen von Band

Gerüst s0 [mm] F [kN] ∆hBieg ∆hAbpl∆Bieg

∆Abpl+∆BiegC []

G1 1 40 5787 0,669 0,116 14,8 % 7369,5G2 0 88 6412 0,735 0,145 16,7 % 7268,2G3 0 61 6022 0,689 0,155 18,3 % 7133,4G4 0 47 5390 0,618 0,149 19,5 % 7023,2G5 0 40 9476 1,03 0,304 22,8 % 7116,5

Tabelle 7.2/3: Walzkraft, Auffederungsanteile und berechnete Gerüststeifigkeit beim Kaltwalzen, Werk-stoff: C15

−0.6

−0.4

−0.2

0

−600 −400 −200 0 200 400 600

Rel

. Wal

zspa

ltpr

ofil

[m

m]

y [mm]

Arbeitswalzenrückbiegung +200 kN

G1 G2 G3 G4

Abbildung 7.2/2: Entwicklung des Dickenprofils für die Walzung nach Tabelle 7.2/2, wenn eine Rück-biegekraft von +200 kN in jedem Stich angewandt wird

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 241

-0.4

-0.2

0

-600 -400 -200 0 200 400 600Rel

. Wal

zspa

ltpr

ofil

[m

m]

y [mm]σR/kf=0.05, σV/kf=0.10σR/kf=0.10, σV/kf=0.20σR/kf=0.20, σV/kf=0.40

σR/kf=0.30, σV/kf=0.60σR/kf=0.35, σV/kf=0.70

5.5 6

6.5 7

7.5 8

8.5 9

9.5

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Spe

z. W

alzk

raft

[kN

/mm

]

y [mm]σR/kf=0.05, σV/kf=0.10σR/kf=0.10, σV/kf=0.20σR/kf=0.20, σV/kf=0.40

σR/kf=0.30, σV/kf=0.60σR/kf=0.35, σV/kf=0.70

Abbildung 7.2/3: Beeinflussung des Dickenprofils (oben) und der Walzkraftverteilung (unten) durchLängsspannungen beim Kaltwalzen. h0 = 2 5; 1 = 1 4;Werkstoff C15

sind im Vergleich mit Abbildung 7.2/1 zu beurteilen. Die Balligkeiten des Bandes sind gene-

rell geringer. Auch die Dickenprofiländerungen werden abgebaut. Bei hohen Rückbiegekräften

muss darauf geachtet werden, dass die zulässige Biegespannung der Arbeitswalze nicht über-

schritten wird. Im vorliegenden Beispiel liegen die maximalen Biegespannungen in der Grö-

ßenordnung von 30 N/mm2.

7.2.3 Einfluss von Längsspannungen auf Profil und Planheit

Am Beispiel eines Einzelstiches werden die Auswirkungen von Längsspannungen auf das Di-

ckenprofil beim Kaltwalzen gezeigt. Beim Kaltwalzen werden hohe Längsspannungen bis zu

Größenordnungen von 70%-80% der Fließspannung angewandt. Insofern stellen Längsspan-

nungen eine Stellgröße dar, die zur Beeinflussung des Dickenprofils genutzt werden kann.

242 Kaltwalzen von Band

Abbildung 7.2/3 zeigt die Effekte fünf verschiedener Längsspannungskonfigurationen auf das

Dickenprofil und die Walzkraftverteilung für den ersten Stich nach Tabelle 7.2/2. Die Längs-

spannungen reichen von Werten von 5 % bzw. 10 % der Fließspannung an Ein- und Austritt

bis zu Werten von 35% bzw. 70%. Die Auswirkungen auf die Walzkraftverteilung sind deutlich

ausgeprägt, wie das untere Teilbild zeigt. Durchaus liegt auch eine Beeinflussung des Dicken-

profils vor (oberes Teilbild). Durch hohe Längsspannungswerte und die damit einhergehende

Absenkung der Walzspalt treten geringere Balligkeiten des Kaltbandes auf. Die Rückbeeinflus-

sung der Walzkraft durch die Veränderung der Banddickenverteilung ist in diesen Berechnungen

berücksichtigt.

Abbildung 7.2/4 zeigt, dass durch hohe Längsspannungen positive Auswirkungen auf die Plan-

heit erwartet werden können.

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 243

−400−200

0 200 400 600

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

σR/kf=0.05, σV/kf=0.10

−400−200

0 200 400 600

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

σR/kf=0.10, σV/kf=0.20

−400−200

0 200 400 600

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

σR/kf=0.20, σV/kf=0.40

−400−200

0 200 400 600

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

σR/kf=0.30, σV/kf=0.60

−400−200

0 200 400 600

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

σR/kf=0.35, σV/kf=0.70

Abbildung 7.2/4: Berechnete Streckungsverteilungen beim Kaltwalzen mit unterschiedlichen Längs-spannungen

244 Kaltwalzen von Band

7.2.4 Einfluss der Höhenänderung auf Profil und Planheit

Vergleicht man Stiche mit jeweils der gleichen Anfangs-Banddicke, aber unterschiedlichen

Enddicken, dann lassen sich auch hier Einflüsse auf Profil und Planheit feststellen. Ausgehend

von einer Anfangsbanddicke von 0 = 2 5mm wurden unterschiedliche bezogene Höhenände-

rungen von 8%, 16%, 24%, 32% und 40% untersucht.

Abbildung 7.2/5 zeigt die berechneten Dickenprofile und Walzkraftverteilungen. Ein deutlicher

Einfluss der Höhenformänderung auf das Dickenprofil ist erkennbar.

-0.3

-0.2

-0.1

0

-600 -400 -200 0 200 400 600

Rel

. Wal

zspa

ltpr

ofil

[m

m]

y [mm]εh = 8 %

εh = 16 %εh = 24 %εh = 32 %

εh = 40 %

0

1

2

3

4

5

6

7

-400 -300 -200 -100 0 100 200 300 400

Spe

z. W

alzk

raft

[kN

/mm

]

y [mm]εh = 8 %

εh = 16 %εh = 24 %εh = 32 %

εh = 40 %

Abbildung 7.2/5: Einfluss der Höhenformänderung auf das Dickenprofil und die Walzkraftverteilung.Werkstoff C14, h0 = 2 5 mm

Abbildung 7.2/6 zeigt, wie sich die Streckungsverteilung in Abhängigkeit der bezogenen Hö-

henänderung verändert. Hier sind zwei sich entgegenwirkende Effekte zu beobachten. Durch

7 Anwendungen beim Walzen von Flachquerschnitten 245

−300

0

300

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

εh = 8%

−300 0

300 600 900

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

εh = 16%

−600−300

0 300 600 900

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

εh = 24%

−300

0

300

600

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

εh = 32%

−600−300

0 300 600 900

−500 −400 −300 −200 −100 0 100 200 300 400 500

[I−

Uni

ts]

εh = 40%

Abbildung 7.2/6: Auswirkung der bezogenen Höhenänderung auf die Streckungsverteilung beim Kalt-walzen

246 Kaltwalzen von Band

eine stärkere Veränderung des Dickenprofils, vgl. Abbildung 7.2/5 werden zunächst höhere

Planheitsfehler generiert, jedoch liegt bei größeren Formänderungen auch stärkerer Querfluss

vor, der die Planheitsfehler abbaut.

8 Anwendungen beimWalzen von Vollquerschnitten

In den folgenden Abschnitten wird die Anwendung der Modelle für Vollquerschnitte anhand

von typischen Kalibrierungs- und Optimierungsaufgabenstellungen gezeigt. Die erste Studie

umfasst flexible Kaliberreihen, die das Walzen unterschiedlicher Werkstoffe bei der Betrach-

tung des werkstoffabhängigen Breitungs- und Festigkeitsverhaltens erlauben. Dabei wird so-

wohl das Zwei-, als auch das Dreiwalzenverfahren behandelt. Im Rahmen einer weitere Studie

wird die Homogenisierung von Toleranzschwankungen entlang einer Walzader mit Hilfe von

Sizing-Kalibrierungen bei Walzdraht und Stabstahl behandelt. Im Rahmen der Walzdrahter-

zeugung nehmen Drahtfertigblöcke eine besondere Stellung ein, da deren Gerüste durch ein

Getriebesystem kinematisch aneinander gekoppelt sind und keine Veränderung der relativen

Drehzahlverhältnisse möglich ist. Mit Hilfe der im Rahmen dieser Arbeit beschriebenen Mo-

delle zur Längsspannungsberechnung wird gezeigt, in welcher Größenordnung sich während

des Walzbetriebs Längsspannungen aufbauen.

8.1 Flexible Kaliberreihen

8.1.1 Einleitung

Stabstahl nimmt unter den warmgewalzten Vollquerschnitten eine bedeutende Stellung ein und

wird in einem großen Portfolio von Abmessungen und Werkstoffen gefertigt. In diesem Zusam-

menhang treten häufig Toleranzschwankungen aufgrund des temperaturabhängigen Breitungs-

verhaltens auf.

Walzwerksbetreiber sind an Kalibrierungen interessiert, die mit möglichst wenigen Anpassun-

gen für unterschiedliche Werkstoffe verwendet werden können. Die vorliegende Studie zeigt

Wege auf, eine solche flexible Kalibrierung für unterschiedliche Werkstoffe zu ermitteln.

Das Ziel dieser Bemühungen ist beispielsweise für eine Rund-Oval-Rund-Kaliberreihe, dass

die Rundprofile bei allen zu walzenden Werkstoffen unverändert bleiben. Die Ovalkaliber sind

demnach so zu gestalten, dass die auftretenden Breitungsschwankungen durch Anstellung der

Ovalkaliber ausgeglichen werden können, ohne das Kaliberüberfüllungen und damit Walzfehler

auftreten.

Die Abbildung 8.1/1 zeigt beispielhaft anhand zwei Layoutvarianten mit unterschiedlichen Wal-

zendurchmessern, wie sich die Ovalprofile verändern müssen, um das folgende Rundprofil bei

unterschiedlichen Werkstoffen konstant zu halten. Beispielsweise müssen ausgehend von ei-

248 Flexible Kaliberreihen

Abbildung 8.1/1: Reaktion auf werkstoffabhängige Breitungseffekte durch Anstellung eines Ovalkali-bers für 16 mm Rund [OM11]. Walzendurchmesser 220 mm / 160 mm.

nem Kohlenstoffstahl C15 mit mittlerem Breitungsverhalten die Walzspalte der Ovalkaliber

beim stark breitenden ferritischen Chromstahl X8Cr17 geschlossen werden. Damit tritt eine ge-

ringere Ovalhöhe in den Rundstich ein, die dort mit stärkerer Breitung zum gleichen Rundprofil

führt. Für die Betrachtungen in Abbildung 8.1/1 wurde für jede Layoutvariante eine eigene Ka-

librierung ermittelt, diese wurde jeweils für alle gewalzten Werkstoffe eingesetzt.

Bei einem sehr schwach breitenden Werkstoff wie 18CrNi8 müssen demgegenüber die Ovalka-

liber geöffnet werden, damit das gleiche Rundprofil mit geringerer Breitung eingestellt werden

kann. Diesen Vorgehensweisen sind natürliche Grenzen gesetzt, wenn sich durch eine Überfül-

lung des zu stark geschlossenen Ovalkalibers Walzfehler ergeben, oder bei sehr stark geöffneten

Walzspalten keine ausreichenden Formänderungen mehr auftreten.

8.1.2 Parameter der Modellstudien

Im Rahmen der vorliegenden Untersuchung wird eine einadrige Walzwerksanordnung betrach-

tet, bei der ein Quadratquerschnitt von 160 mm Seitenlänge zunächst in zwölf Stichen auf einen

Rundquerschnitt von 37 mm Durchmesser reduziert wird. Dieser Zwischenquerschnitt wird in

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 249

Gerüst d [] l [] C []01H 720 5 100002V 720 5 100003H 720 5 100004V 580 5 90005H 580 5 90006V 580 10 90007H 470 5 70008V 470 5 70009H 420 3 70010V 420 3 70011H 360 3 50012V 360 10 50013D 300 1 42014D 300 1 42015D 250 1 35016D 250 1 35017D 250 1 35018D 250 10 350

Tabelle 8.1/1: Gerüstdaten für eine zwölfgerüste Vor- und Zwischenstraße mit sechsgerüstigem Dreiwal-zenblock

Werkstoff Werkstofftyp f T0C15 Kohlenstoffstahl 1,00 100018CrNi8 Chrom-Nickel-Stahl 0,85 1050X5CrNi18.10 Austenitisch rostfreier Stahl 1,15 1050X8Cr17 Ferritisch rostfreie Stahl 1,35 1100

Tabelle 8.1/2: Betrachtete Werkstoffe mit mittleren Breitungsfaktoren und typischen Ofenziehtemperatu-ren

einem sechsgerüstigen Dreiwalzenblock auf einen Enddurchmesser von 18 mm fertig gewalzt.

Tabelle 8.1/1 zeigt die Anlagenkonfiguration mit Walzendurchmessern, Gerüstabständen und

Gerüststeifigkeiten.

Die Walzung in diesem Walzwerk erfolgt vollkontinuierlich. Der Volumenstrom ist so gewählt,

dass sich eine Produktionsleistung von 120 t/h ergibt. Als Anstichquerschnitt ist ein Quadrat-

querschnitt mit einer Seitenlänge von 160 mm und Eckenradien von jeweils 10 mm vorgesehen.

Tabelle 8.1/2 zeigt eine Übersicht über die betrachteten Werkstoffe. Die hier dargestellten Brei-

tungsfaktoren sind über den interessierenden Temperaturbereich zwischen 900 und 1100

gemittelt und bieten somit einen Überblick über das zu erwartende Werkstoffverhalten im Ver-

gleich zum Referenzwerkstoff C15. Die in der Tabelle angegebenen typischen Ofenziehtem-

peraturen werden sowohl den Auslegungsrechnungen der Kalibrierung, als auch den späteren

Simulationsrechnungen zugrunde gelegt.

250 Flexible Kaliberreihen

8.1.3 Ermittlung einer Universalkalibrierung

Im Folgenden werden zunächst die im Zweiwalzenverfahren betriebenen Stiche 1 bis 12 be-

trachtet. Der Dreiwalzenblock erfährt aufgrund seiner speziellen Kalibrierungssystematik eine

gesonderte Behandlung.

Zur Festlegung einer Kalibrierung für die betrachtete Anlagenkonfiguration müssen zunächst

die Hauptkaliberstufen festgelegt werden.

Die in Tabelle 8.1/3 gegebene Hauptkaliberfolge ist eine Lösung, den Anstichquerschnitt von

160 mm in 12 Stichen auf einen Durchmesser von 37 mm auszuwalzen.

Gerüst Kaliber Querschnitt£2

¤s oder d []

2V Kasten (Quadrat) 15808 1264V Ein-Radien-Rund 9590 110,56V Ein-Radien-Rund 5768 85,78V Ein-Radien-Rund 3473 66,510V Ein-Radien-Rund 1863 44,712V Zwei-Radien-Rund 1075 37,0

Tabelle 8.1/3: Hauptkaliberfolge für die Zweiwalzengerüste

Nachdem die Festlegung der Hauptkaliber erfolgt ist, müssen die Zwischenkaliber bestimmt

werden. Diese werden aufgrund bestimmter Bedingungen an die Hauptkaliber angepasst. Diese

Bedingungen sind:

• Alle Kastenkaliber werden zu 50% der Flankenbreiten ausgefüllt

• Alle Ovalkaliber werden zu 80% bis 85% der Breite des Kalibers in der Walze ausgefüllt

• Die Einradien-Rundkaliber werden zu 95% ausgefüllt

Diese Bedingungen sind zusammenfassend in Abbildung 8.1/2 für Kasten-, Oval-, und Rund-

profile gezeigt.

Abbildung 8.1/3 illustriert eine sinnvolle Kontaktbedingung beim Walzen eines Rundquerschnitts

mit d=98 mm im folgenden Mehrradien-Ovalkaliber. Im linken Bild ist der Rundquerschnitt zu

5% unterfüllt. In der Folge stellt sich eine linienhafte Berührung zwischen Rundquerschnitt und

Ovalkaliber ein. Im rechten Teilbild ist der Rundquerschnitt kreisförmig, was zu einer Punktbe-

rührung führt. Die Gefahr des Drehens des Profils besteht, wodurch ein Torsionsmoment in die

Walzader eingeleitet werden würde.

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 251

Abbildung 8.1/2: Sinnvolle Kaliberfüllungen für Kasten-, Oval- und Rundkaliber

Abbildung 8.1/3: Vergleich von Kontaktbedingungen beim Anstich eines um 5% unterfüllten Rundquer-schnitts (Nennmaß 98 mm) im nachfolgenden Ovalstich (links) und mit einem Kreisquerschnitt (rechts)

252 Flexible Kaliberreihen

0.8

0.9

1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1.6

900 950 1000 1050 1100

Bre

itun

gsfa

ktor

fb

Temperatur [° C]

18CrNi8C15

X5CrNi18.10X8Cr17

Auslegung

Abbildung 8.1/4: Breitunngsfaktoren verschiedener Werkstoffe bei zu berücksichtigenden Temperaturenund konstruierter Auslegungswerkstoff

Werden unter Berücksichtigung des werkstoff- und temperaturabhängigen Breitungsverhaltens

die Zwischenkaliber unter Einhaltung der angegebenen Bedingungen für einen schwach brei-

tenden Werkstoff, beispielsweise 18CrNi8 bestimmt, ergeben sich bestimmte Zwischenkaliber.

Versucht man, ohne jede Veränderung über die gleiche Kalibrierung den stark breitenden Werk-

stoff X8Cr17 zu walzen, ergeben sich starke Überfüllungen der Rundkaliber, was sich insbe-

sondere beim Anstich im folgenden Dreiwalzenblock bemerkbar macht.

Für eine universelle Kalibrierung ist eine Flexibilität zu erreichen, so dass Breitungsschwankun-

gen durch Anstellung der Zwischenkaliber kompensiert werden. Das Ziel ist, Überfüllungen der

Rundkaliber zu vermeiden.

Diese Anstellvariationen führen zu veränderter Füllung der Zwischenkaliber. Welches Ausmaß

an Breitungsschwankungen durch Anstellung der Zwischenkaliber kompensiert werden kann,

ist ein Maß für die Flexibilität der Kaliberreihe.

Im Folgenden wird ein Auslegungswerkstoff konstruiert, der für den gesamten in den betrach-

teten Walzungen auftretenden Temperaturbereich ein mittleres Breitungsverhalten der unter-

schiedlichen Werkstoffe repräsentiert. Abbildung 8.1/4 stellt die Breitungsfaktoren bezogen auf

den Referenzwerkstoff C15 der betrachteten Werkstoffe im Temperaturbereich zwischen 900

C und 1100 C dar, sofern diese Temperaturen in den betrachteten Walzungen vorkommen.

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 253

Gerüst Kaliber b/h-Verhältnis01H Kasten 1,6903H Drei-Radien-Oval 1,7005H Drei-Radien-Oval 1,9807H Drei-Radien-Oval 1,9809H Drei-Radien-Oval 2,0411H Drei-Radien-Oval 2,42

Tabelle 8.1/4: Zwischenkaliberfolge für die Zweiwalzengerüste

Gerüst Inkreis-Durchmesser [mm] Bez. Exz. Querschnitt [mm2]13D 26,88 10,0 838,0914D 22,47 10,0 587,9015D 19,88 7,0 437,0516D 18,02 5,0 344,0117D 16,38 3,5 275,0018D 16,21 1,0 206,37

Tabelle 8.1/5: Kaliberfolge für den Dreiwalzenblock

Außerdem ist eine errechnete Breitungskurve dargestellt, die einem über die Werkstoffpalette

gemittelten Breitungsverhalten für die jeweiligen Temperaturen entspricht.

Wird die Kalibrierung unter Zugrundelegung dieses Auslegungswerkstoffs berechnet, ergeben

sich Zwischenkaliber nach Tabelle 8.1/4. Diese haben eine ausreichende Flexibilität, um die

beim Walzen der unterschiedlichen Werkstoffe auftretenden Breitungsschwankungen ausglei-

chen zu können.

Der Auslegungswerkstoffs nach Abbildung 8.1/4 kann in ähnlicher Weise für die Auslegung

einer Kaliberfolge für das Dreiwalzenverfahren verwendet werden.

Tabelle 8.1/5 zeigt die für den Dreiwalzenblock ermittelten Kaliber. Die in den Gerüsten 13D

bis 17D verwendeten Kaliberformen sind exzentrische, nicht-aufgeschnittene Rundkaliber. Als

Fertigkaliber in Gerüst 18D wird ein aufgeschnittenes Zweiradienkaliber verwendet. Dieses

bietet ein relatives Optimum zwischen Breitungssicherheit und Annäherung eines Rundquer-

schnitts.

8.1.4 Simulationsrechnungen

Das Rechenmodell passt die Gerüstanstellung der Zwischenkaliber für jeden Werkstoff so an,

dass sich bei ideal starren Walzgerüsten (C →∞) die gewünschten Rundprofile einstellen.

Tabelle 8.1/6 zeigt die notwendigen Anstellmaße für die Walzung der betrachteten Werkstoffe.

Durch das Konstanthalten der Rundprofile entkoppeln sich die über mehrere Hauptkaliberstufen

254 Sizing und Free-Size Rolling

Gerüst Anstellung in [mm] für den WerkstoffC15 18CrNi8 X5CrNi18.10 X8Cr17

01H +0,83 +2,20 -0,07 -4,1703H +0,80 +1,71 -0,07 -1,6705H +0,61 +1,76 -0,54 -2,2207H +0,21 +1,15 -0,75 -1,9509H +0,01 +0,85 -0,87 -1,7811H +0,21 +0,96 -0,58 -1,4313D 0,00 0,00 0,00 0,0014D 0,00 0,00 0,00 0,0015D 0,00 0,00 0,00 0,0016D 0,00 0,00 0,00 -0,2017D +0,15 +0,35 +0,05 -0,15

Tabelle 8.1/6: Notwendige Gerüstanstellungen für die Zwischenkaliber bei den untersuchten Werkstoffen

wirkenden Einflüsse. Entsprechend wird ein Rundprofil nur von dem davor liegenden Ovalka-

liber beeinflusst.

In der Realität findet diese Entkopplung in geringerem Ausmaß statt, da die Walzgerüste endli-

che Steifigkeiten haben. Um diesen Effekt zu demonstrieren, wird die angestellte Kaliberreihe

den elastischen Federungseffekten der Walzgerüste unterworfen.

Abbildung 8.1/5 zeigt die jeweils in den letzten Stich ein- und austretenden Profile für die

entsprechenden Werkstoffe. Bei der Beurteilung dieser Ergebnisse muss die durch Anstellva-

riationen und Breitungsverhalten der einzelnen Werkstoffe beeinflusste Form des Vorprofils in

Betracht gezogen werden.

Insgesamt zeigt die hier durchgeführte Studie, dass die Entwicklung einer Universalkalibrie-

rung für eine breite Werkstoffpalette möglich ist und dass die werkstoffbeeinflussten Breitungs-

effekte durch Veränderung der Gerüstanstellungen ausgeglichen werden können. Ein Dreiwal-

zenblock leistet einen weiteren wichtigen Beitrag zur Konstanthaltung der Querschnitte. Auf

die Möglichkeit des Querschnittsausgleichs mit Hilfe von Sizing-System wird in der folgenden

Studie näher eingegangen.

8.2 Sizing und Free-Size Rolling

Die Walzkraft übt einen wichtigen Einfluss auf die Profiltoleranz aus, da die Walzgerüste elas-

tisch auffedern. Jeder Walzstich hat die Möglichkeit die Querschnittsfehler des eintretenden

Profils auszugleichen, wird aber aufgrund seiner eigenen elastischen Auffederung gleichzeitig

neue Querschnittsfehler in das Profil einbringen.

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 255

Abbildung 8.1/5: Ein- und Austrittsprofile des Fertigstichs, Nenndurchmesser 18 mm

Es ist aus Toleranzgründen notwendig, die Auffederungen der letzten Stiche gering zu halten.

In diesem Zusammenhang kommt einer degressiven Streckgradverteilung innerhalb einer Kali-

berreihe eine große Bedeutung zu.

Zusätzlich verfolgen moderne Kalibrierungskonzepte die Idee der Sizing-Technologie. Die Stich-

abnahmen in den letzten Gerüsten sind so gering, dass die neu eingetragenen Querschnittsfehler

gegenüber der Glättung der bereits vorhandenen Fehler vernachlässigbar sind.

Derartige Sizing-Kaliberreihen gibt es im Zwei- und im Dreiwalzenverfahren. Abbildung 8.2/1

zeigt beispielhaft eine solche Kalibrierung für den Fertigquerschnitt 20 mm (Kaltmaß) mit vier

Gerüsten im Duoverfahren. Diese Kalibrierung ist für einen mit Querschnittsfehlern behafteten

Anstichquerschnitt von 23,6 mm (Nennmaß warm) vorgesehen.

Das zweite Kaliber ist mit einem Tangentialwinkel von 50 weit aufgeschnitten und wird von

einem Ovalprofil gefüllt. Die Stichformänderung in diesem Stich liegt zwischen 10% und 15%.

Das daraus gewonnene Falschrund-Profil wird mit geringen Stichabnahmen 5% in den fol-

genden Stichen zu einem Rundquerschnitt umgeformt. Das Fertigkaliber ist als Zweiradien-

kaliber ausgebildet. Die letzten drei dargestellten Sizing-Kaliber werden in einer Kaliberreihe

256 Sizing und Free-Size Rolling

Abbildung 8.2/1: Kaliber des Duo-Sizing-Blockes (4 Stiche)

anstelle des Fertigkalibers eingesetzt, so dass zwei zusätzliche Gerüste benötigt werden.

8.2.1 Anlagenkonfigurationen und Kalibrierungen

Die Betrachtungen erfolgen anhand unterschiedlicher Layoutkonfigurationen für Stabstahl- und

Drahtwalzwerke.

Abbildung 8.2/2 zeigt die betrachteten Layoutvarianten.

Als erstes Beispiel dient ein einadriges Stabstahlwalzwerk, bei dem ein Anstichquerschnitt von

160x160 mm in 16 Gerüsten auf einen Endquerschnitt von 16 mm Rund ausgewalzt wird (Lay-

out 2 in Abbildung 8.2/2). In den ersten zwei Stichen werden Kastenkaliber eingesetzt, danach

folgt in den Gerüsten 3 bis 16 eine Rund-Oval-Rund – Kaliberfolge. Der aus dem Gerüst 04V

auslaufende Rundquerschnitt wird über einen isolierten Rollgang über eine Strecke von 60 m in

die Zwischenstraße geführt. Der Isolierrollgang dient zur Vergleichmäßigung des Temperatur-

gefälles im Querschnitt für den Anstich in der Zwischenstraße. Die Layoutvariante 2A ist die

konventionelle Walzung, bei der keine Sizing-Technologie eingesetzt wird. Als Variante dazu

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 257

Abbildung 8.2/2: Betrachtete Layoutvarianten zum Sizing bei einem Drahtwalzwerk (1) und einem Stab-stahlwalzerk (2)

258 Sizing und Free-Size Rolling

Abbildung 8.2/3: Kalibrierung des in der Layoutvariante 2C verwendeten sechsgerüstigen Sizing-blockes im Dreiwalzenverfahren. Anstich 35 mm, Endquerschnitt 20 mm

wird das Layout 2B betrachtet, bei dem an die Stelle der letzten Hauptkaliberstufe ein vierge-

rüstiger Duo-Sizing-Block mit der Kalibrierung nach Abbildung 8.2/1 tritt.

Eine weitere Variante ist die Verwendung eines sechsgerüstigen Dreiwalzenblocks mit Nenn-

durchmessern der Walzen von 380 mm anstelle der Duo-Fertigstraße. Dies ist die Variante 2C.

Abbildung 8.2/3 zeigt die Kalibrierung des betrachteten Dreiwalzensystems.

Als weiteres Anlagenbeispiel wird ein Drahtwalzwerk mit 28 Gerüsten betrachtet (Layout 1 in

Abbildung 8.2/2). An die sechsgerüstige Vorstraße schließen sich zwei ebenfalls sechsgerüs-

tige Zwischenstraßen an. In den Gerüsten 15H bis 20V werden bereits Cantilever-Gerüste mit

Walzringdurchmessern von 208 mm eingesetzt, um eine hohe Streckungswirksamkeit bei gerin-

gen Walzkräften zu ermöglichen. Der zehngerüstige Fertigblock reduziert den aus Gerüst 18V

austretenden Querschnitt weiter bis auf Endabmessungen von 5,5 mm oder größer. Dies ist die

konventionelle Anordnung 1A des Drahtwalzwerks. Eine Alternative dazu ist die Layoutvari-

ante 1B, bei der vier Prefinisher durch einen fünfgerüstigen Dreiwalzenblock ersetzt werden.

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 259

Nennmaß Sizing Untergrenze (-2,5%) Sizing Obergrenze (+2,5%) Kalibermaß(kalt) kalt warm kalt warm (warm)20 19,500 19,7535 20,500 20,766 20,26025 24,375 24,6919 25,625 25,958 25,32530 29,250 29,6303 31,775 32,149 30,39

Tabelle 8.2/1: Mögliche Querschnittsvariationen beim Duo-Sizing

8.2.2 Free Size Rolling

Wie bereits beschrieben wurde, ist das Free Size Rolling oder Sizing ein modernes Kalibrie-

rungskonzept, bei dem man in den letzten Gerüsten versucht, mit geringen Formänderungen

sehr enge Toleranzgrenzen einzuhalten. Mit einem einzigen Fertigkaliber lässt sich durch Ver-

änderung der Gerüstanstellungen stufenlos ein bestimmter Bereich von Fertigabmessungen wal-

zen. Sizing ist sowohl für Zwei- als auch für Dreiwalzensysteme möglich, jedoch hat das Drei-

walzensystem beim Sizing eine höhere Maßfreiheit.

Um die Möglichkeiten des Duo-Sizing aufzuzeigen, wird die Layoutvariante 2B betrachtet.

Diese ist gegenüber 2A um zwei Gerüste erweitert.

Die Gerüste 16V und 17H übernehmen das Sizing, während das Gerüst 18V das bisher in 16V

benutzte Fertigkaliber enthält.

Im Zweiwalzenverfahren kann üblicherweise eine Spannweite von bis 5% des Nenndurchmes-

sers des Fertigquerschnitts realisiert werden.

Tabelle 8.2/1 zeigt die auf Basis dieser Betrachtung möglichen Sizingvariationen beim Walzen

der Abmessungen 20 mm, 25 mm und 30 mm.

Das Fertigkaliber wird durch Veränderung der Gerüstanstellung auf das gewünschte Fertigmaß

eingestellt. Für den Fertigstich ergeben sich geringe Querschnittsänderungen von weniger als

5%. Die Anstellungen in den davorliegenden Gerüsten der Sizing-Anordnung müssen ebenso

angepasst werden, damit sich die gewünschte Profilbreite einstellt und sich in allen Stichen

geeignete Überdeckungen zwischen Walzen und Profilen einstellen.

Dagegen lässt sich beim Free Size Rolling im Dreiwalzenverfahren generell eine höhere Spann-

weite an stufenlos erzeugbaren Querschnitten realisieren. Dies zeigt Tabelle 8.2/2.

8.2.3 Unter Gerüstauffederung erreichbare Toleranzen

Im Folgenden werden die im Duo- und Dreiwalzenverfahren erreichbaren Toleranzen anhand

von Rechenbeispielen miteinander verglichen.

260 Sizing und Free-Size Rolling

Nennmaß Sizing Untergrenze (-5,0%) Sizing Obergrenze (+5,0%) Kalibermaß(kalt) kalt warm kalt warm (warm)20 19,00 19,247 21,000 21,273 20,26025 23,75 24,059 26,250 26,591 25,32530 28,50 28,871 31,500 31,910 30,390

Tabelle 8.2/2: Mögliche Querschnittsvariationen beim Dreiwalzen-Sizing

Kalibrierung Gerüstanzahl EndquerschnittHöhe [mm] Breite [mm] Ovalität [mm]

Konventionell 16 20,109 20,341 0,738Mit Sizing-Block 18 19,795 19,989 0,110

Tabelle 8.2/3: Zusammenfassung der Maßabweichungen bei einem auf 19.75 mm angestellten Kalibermit und ohne Sizing unter Berücksichtigung der Gerüstauffederung bei C55

Vergleicht man die Layoutvariationen 2A und 2B, so ergeben sich bei sonst gleichen Bedingun-

gen und einem Standardwerkstoff (hier C55) unter Wirkung der Gerüstauffederung deutliche

Unterschiede in den Querschnittsänderungen und den erreichbaren Toleranzen.

Zum Vergleich wird als Fertigkaliber für die konventionelle Walzung ein Zweiradienrund für

19,75 mm verwendet. Dies ist der kleinste Sizing-Querschnitt bei einem Nennquerschnitt von

20 mm. Die Anstellung des letzten Ovalkalibers wird so gewählt, dass sich unter Vernachlässi-

gung der Gerüstauffederung ein seitengleiches Rundprofil ergibt. Ebenso wird für den Sizing-

Block ein idealer Austrittsquerschnitt unter Vernachlässigung der Gerüstauffederung einge-

stellt.

Anschließend werden diese Konfigurationen der elastischen Gerüstauffederung unterworfen.

Abbildung 8.2/4 zeigt die bezogen auf das Nennmaß übertrieben dargestellten Maßabweichun-

gen für die aus der konventionellen Walzung und der Sizing-Walzung erhaltenen Querschnitte

im Vergleich zum idealen Kreis. Während das Walzergebnis der konventionellen Kalibrierung

deutliche Querschnittsfehler im Bereich der Walzspaltteilungen aufweist, liefert die Sizing-

Kalibrierung einen Querschnitt der nah am idealen Rundquerschnitt liegt.

Tabelle 8.2/3 fasst die Ergebnisse zum Duo-Sizing zusammen. Die Vorteile des Sizing-Verfahrens

sind hier sehr deutlich, sowohl in Bezug auf die Höhen- und Breitenabmessungen als auch auf

die Ovalität. Die Ovalität ist hier und in den folgenden Darstellungen als die größte Abweichung

von über den Profilumfang gemessenen Durchmessern definiert.

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 261

−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5Konventionelle Kalibrierung

Sizing−KalibrierungKreis

Abbildung 8.2/4: Maßabweichungen des Fertigquerschnitts für einen Enddurchmesser von 19,75 mm.Vergleich von konventioneller Kalibrierung, Sizing-Kalibrierung und mathematischem Kreis. Skalie-rungsfaktor der Maßabweichungen: 5

262 Sizing und Free-Size Rolling

8.2.4 Effekte beim Walzen unterschiedlicher Werkstoffe

Verändert man die Drehzahlen der Walzgerüste nicht, so ergeben sich bei der Walzung eines

anderen Werkstoffs durch Fließspannungs- und Breitungsunterschiede Längsspannungen zwi-

schen den Gerüsten, die ihrerseits den Walzprozess und damit die Toleranz des Fertigquer-

schnittes beeinflussen. Dazu kommt, dass die so entstandenen Längsspannungen ihrerseits die

Gerüstauffederung und die Breitung beeinflussen.

Um dieses Verhalten anhand von Rechenbeispielen zu demonstrieren, wurde eine Drehzahlaus-

legung für das Layout 2A mit dem Standardwerkstoff C55 vorgenommen. Die gleichen Dreh-

zahlen werden für die Werkstoffe C15, X8Cr17 und XC5CrNi18.10 verwendet und die dann

entstehenden Längsspannungen mit ihren Auswirkungen berechnet.

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

−10

−5

0

1,2 2,3 3,4 4,5 5,6 6,7 7,8 8,9 9,10 10,11 11,12 12,13 13,14 14,15 15,16

Län

gssp

annu

ng σ

i [M

Pa]

Zwischen Gerüsten

C15 X8Cr17 X5CrNi18.10

Abbildung 8.2/5: Längsspannungen beim Walzen unterschiedlicher Werkstoffe mit unveränderten Wal-zendrehzahlen

Abbildung 8.2/5 zeigt die Auswirkungen des Breitungs- und Auffederungsverhaltens dieser

unterschiedlichen Werkstoffe auf die Längsspannungsverteilung. Die Größe der entstehenden

Längsspannungen sind sowohl vom Breitungs-, als auch vom Festigkeitsverhalten der Werk-

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 263

stoffe abhängig. Der Kohlenstoffstahl C15 erreicht Längsspannungen zwischen -5 und -14 MPa.

Der Werkstoff X8Cr17 hat nur geringfügig höhere Fließspannungen als C15, breitet aber we-

sentlich stärker. Dies führt zu einem Anstieg der Längsspannungen auf Werte von bis zu -40

MPa. X5CrNi18.10 hat die höchsten Fließspannungen und ein mittleres Breitungsverhalten.

Diese Kombination resultiert in Längsspannungen zwischen -10 und -19 MPa.

Diese sich gegenseitig beeinflussenden Effekte haben auch Auswirkungen auf den entstehenden

Endquerschnitt.

Werkstoff EndquerschnittHöhe [mm] Breite [mm] Ovalität [mm]

C15 20,067 19,817 0,7815X8Cr17 19,994 21,630 1,7708X5CrNi18.10 20,089 20,226 0,6758

Tabelle 8.2/4: Zusammenfassung der Maßabweichungen bei unterschiedlichenWerkstoffen (ohne Sizing)

Tabelle 8.2/4 fasst die Daten in Bezug auf die Abmessungen der Fertigquerschnitte bei der

Walzung dieser Werkstoffe zusammen.

Generell führen Werkstoffe mit hoher Festigkeit und daher hohen Walzkräften zu großer Ge-

rüstauffederung und damit großen Profilhöhen. Große Profilbreiten werden von stark breitenden

Werkstoffen erreicht.

8.2.5 Sizing vor dem Fertigblock eines Drahtwalzwerks

Beim Walzen von Draht ist es ein Problem, wenn der Anstichquerschnitt für den Fertigblock

großen Schwankungen unterworfen ist, da die Drehzahlen der einzelnen Fertigblockgerüste

nicht relativ zueinander verändert werden können, sondern in festen Übersetzungsverhältnis-

sen zueinander stehen.

Dies führt nicht nur zu wechselnden Längsspannungen im Fertigblock mit den damit verbun-

denen Toleranzschwankungen des Walzdrahtes, sondern eine aus den Querschnittsschwankun-

gen folgende, nicht-konstante Endwalzgeschwindigkeit führt auch zu einer nicht konstanten

Kühlzeit des Drahtes in der Wasserkühlstrecke. Dies führt zu inhomogenen Eigenschaften der

Drahtader aufgrund schwankender Legetemperaturen am Windungsleger.

Aus diesem Grund ist es sinnvoll, mit geeigneten Mitteln sicherzustellen, dass die in die Fer-

tigblöcke eintretenden Querschnitte konstant bleiben. Eine mögliche Lösung ist der Einsatz

eines Sizing-Blocks vor dem Fertigblock. Diese Möglichkeit wird im Folgenden simuliert, in-

264 Sizing und Free-Size Rolling

Werkstoff Aderzahl bis 14V Querschnitt aus Gerüst 14VHöhe [mm] Breite [mm]

C15 1 25,061 24,402X8Cr17 1 25,192 26,269X5CrNi18.10 1 25,206 24,941X5CrNi18.10 2 25,719 25,668

Tabelle 8.2/5: Querschnitt aus Gerüst 14V beim Drahtwalzen

Abbildung 8.2/6: Anstichprofile in den Fertigblock; (A) Konventionelle Kalibrierung; (B) Mit Dreiwal-zen-Sizingblock

dem im Layout 1B anstelle der vier Cantilever-Gerüste ein fünfgerüstiger Dreiwalzenblock mit

einer moderaten Sizing-Abnahmereihe eingesetzt wird. Insbesondere die ersten Stiche des Drei-

walzensystems haben die Möglichkeit, große Querschnittsschwankungen aufzunehmen. Kleine

Sizingabnahmen in den letzten Stichen ermöglichen konstante Abmessungen des Fertigblock-

Anstichs.

Tabelle 8.2/5 gibt einen Überblick über den aus Gerüst 14V austretenden Rundquerschnitt unter

verschiedenen Bedingungen. Unter Auslegungsbedingungen liegt hier ein Sollquerschnitt von

24,5 mm vor.

Abbildung 8.2/6 Teil (A) zeigt die Querschnitte aus 18V, die sich daraus als Anstichquerschnitt

für den Fertigblock unter den unterschiedlichen Bedingungen ergeben. Die großen Schwankun-

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 265

gen dieses Querschnitts der beim stark breitenden Werkstoff X8Cr17 18,32 mm breit ist, bei

C15 aber nur 17,28 mm, führen zu Schwierigkeiten beim Walzen im Fertigblock.

Abbildung 8.2/6 Teil (B) zeigt im Vergleich dazu die Querschnitte, die sich aus den gleichen

Vorprofilen gemäß Tabelle 8.2/5, aber unter Verwendung eines Dreiwalzen-Sizing-Blockes an-

stelle von vier Prefinishing-Gerüsten ergeben. In diesem Fall sind die maximalen Querschnitts-

abweichungen der verschiedenen Fälle kleiner als 0,1 mm, so dass keine exzessiven Schwan-

kungen der Längsspannungen beim Walzen im Fertigblock zu erwarten sind.

Das Ergebnis der durchgeführten Studie ist, dass sich starke Querschnittsvariationen durch

Wirkung unterschiedlicher Werkstoffe und mehradriger Walzprozesse ergeben. Durch die Ver-

wendung von Sizing-Blöcken im Zwei- und Dreiwalzenverfahren lassen sich diese Wirkungen

ausgleichen. Das Dreiwalzenverfahren besitzt ein höheres Potential zur Homogenisierung des

Querschnitts.

8.3 Walzen von Draht in Fertigblöcken

In Drahtfertigblöcken befinden sich die Drehzahlen der Walzgerüste in festen Verhältnissen

zueinander, da diese durch ein Getriebesystem aneinander gekoppelt sind. Wenn der Volumen-

strom lokal durch Gerüstauffederungen oder andere Einflüsse gestört wird, kann diese Störung

nicht durch die Anpassung von Drehzahlen ausgeregelt werden. Daher kommt es im laufenden

Betrieb zu variierenden Längsspannungen die den Walzprozess beeinflussen. Dabei werden die

Spannungsverteilung und die Walzkräfte und Drehmomente beeinflusst. Dies führt zu einer Ver-

änderung der Gerüstauffederung, was sich auf die gewalzten Querschnitte auswirkt. Außerdem

beeinflussen Längsspannungen direkt die Breitung, wodurch erneute Störungen des Volumen-

stroms initiiert werden. Im Folgenden werden die zur Verfügung stehenden Modelle auf den

Walzprozess im Drahtfertigblock angewandt, um diese Effekte rechnerisch zu untersuchen.

8.3.1 Notwendigkeit von Fertigblöcken in Drahtwalzwerken

Um bei Walzdraht Produktionsleistungen von bis zu 1 Mio. Tonnen pro Jahr und mehr zu er-

reichen, sind neben mehradrigen Walzanlagen hohe Endwalzgeschwindigkeiten erforderlich.

Neben der hohen Produktivität müssen bei Walzdraht enge Toleranzen eingehalten werden.

Nach der Walzung eines Rundquerschnittes zwischen 30 mm und 16 mm in der Vor- und Zwi-

schenstraße mit bis zu 4 Walzadern muss dieser Querschnitt im Drahtfertigblock auf Quer-

schnitte zwischen 5,5 mm und 25 mm einadrig fertiggewalzt werden. Bei kleinen Abmessun-

266 Walzen von Draht in Fertigblöcken

gen müssen in vollkontinuierlicher Anordnung des Walzwerks Endwalzgeschwindigkeiten von

120 bis zu 140 m/s erreicht werden, um hohe Produktivitäten und ausreichend hohe Einzugsge-

schwindigkeiten in das erste Gerüst zu ermöglichen.

Aufgrund des unvermeidbaren Auf- und Abbaus von Längsspannungen ist eine hohe Genauig-

keit und Konstanz der Walzendrehzahlen der Betriebssicherheit zuträglich.

Auch wenn heute eine hohe Drehzahlkonstanz mit Einzelantrieben für die Fertigwalzung von

Draht realisiert werden kann, arbeiten die meisten Drahtwalzwerke noch mit klassischen Draht-

fertigblöcken. In diesen wird die notwendige Antriebsleistung den meistens 10 Walzgerüsten

des Fertigblockes über ein Getriebesystem zugeführt. Man spricht auch von einem Gruppenan-

trieb.

Abbildung 8.3/1: Antriebssystem eines Drahtfertigblocks [Wup74]

Abbildung 8.3/1 zeigt schematisch das Antriebssystem eines Drahtfertigblocks. Die Antriebs-

leistung wird auf zwei Hauptwellen verteilt, von denen jeweils die Gerüste der Haupt- bzw.

Zwischenkaliber angetrieben werden.

Das Produktionsprogramm eines Drahtfertigblocks enthält bis zu 40 verschiedene Abmessun-

gen die aus einer möglichst geringen Anzahl verschiedener Vorquerschnitte gefertigt werden

müssen. Um die Anzahl an Walzringen in einem überschaubaren Rahmen zu halten, werden

die Kalibrierungen für die einzelnen Abmessungen in Kaliberfamilien organisiert. Dabei wird

der Umstand ausgenutzt, dass unter Anpassung der Gerüstanstellungen gleiche Walzringe für

mehrere Abmessungen eingesetzt werden können.

Für verschiedene Anwendungszwecke haben sich unterschiedliche Bauarten von Drahtfertig-

blöcken etabliert.

Die am häufigsten ausgeführte Bauart ist der Standard-Block. Dieser verfügt über 10 Gerüste,

davon 5 mit Walzring-Nenndurchmessern von 208 mm und 5 mit Nenndurchmessern von 158,8

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 267

Fertigabmessung [mm] Anstichquerschnitt [mm] Verwendete Gerüste5,5 17,0 1-106,0 18,5 1-106,5 20,0 1-107,0 21,5 1-107,5 23,5 1-108,0 20,0 3-108,5 21,0 3-109,0 22,5 3-1010,0 24,5 3-1011,0 27,0 1-812,0 23,5 3-816,0 24,5 3-6

Tabelle 8.3/1: Auszug aus dem Produktionsprogramm eines Drahtfertigblocks, Endabmessungen mitAnstichquerschnitt und verwendeten Gerüsten

mm. In jedem Ovalstich beträgt die bezogene Querschnittsänderung -22%, in jedem Rundstich

-19%. Der Standardblock stellt ein relatives Optimum zwischen hoher Querschnittsänderung

und möglichst geringer Aufheizung des Walzgutes dar. Wenn die Aufheizung des Walzgutes

besonders klein gehalten werden muss, beispielsweise beim Walzen von hochlegierten Stäh-

len, stellt der sogenannte Low-Reduction-Block eine Alternative dar. Dieser führt im Ovalstich

Querschnittsänderungen von -17%, im Rundstich von -14% aus.

Tabelle 8.3/1 stellt einen Auszug aus dem Produktionsprogramm eines Standardblocks dar. Die

notwendigen Anstichquerschnitte ergeben sich unmittelbar aus der Gesamtstreckung, die durch

die Anzahl der verwendeten Gerüste gegeben ist. Der Streckgrad einer Rundstufe (Oval- und

Rundstich) ist

= =1

1− 0 22 1

1− 0 19 = 1 5825 (8.3/1)

Abbildung 8.3/2 zeigt die Kalibrierung eines Fertigblockes für einen Fertigdurchmesser von 5,5

mm, der gemäß Tabelle 8.3/1 in 10 Stichen aus einem Anstichquerschnitt von 17 mm gewalzt

wird. Abbildung 8.3/3 zeigt die Kalibrierung für die Fertigabmessung 9,0 mm mit 8 Stichen.

In den folgenden rechnerischen Untersuchungen wird auf diese beiden Kalibrierungen Bezug

genommen.

8.3.2 Auslegungsdaten eines Drahtfertigblocks

Der Walzprozess in einem Drahtfertigblock soll in erster Näherung frei von Längsspannungen

und unter der Vernachlässigung elastischer Gerüstauffederung sowie der Voreilung betrachtet

268 Walzen von Draht in Fertigblöcken

Abbildung 8.3/2: Kalibrierung eines Drahtfertigblockes (Standard-Block) für 5,5 mm

Abbildung 8.3/3: Kalibrierung des Standard-Fertigblocks für die Endabmessung 9,0 mm

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 269

Gerüst i n£1min

¤ [] [] = 1

£

¤£2

¤1 1,06770 1236 208,0 200,92 13,01 182,72 1,33460 1545 208,0 197,79 16,00 148,53 1,67040 1934 208,0 202,08 20,47 116,14 2,08800 2418 208,0 199,91 25,31 93,95 2,61000 3022 208,0 203,61 32,22 73,76 4,33870 5024 158,8 152,41 40,09 59,37 5,42330 6280 158,8 155,60 51,16 46,48 6,77920 7850 158,8 154,19 63,37 37,59 8,48450 9825 158,8 156,43 80,47 29,610 10,60570 12281 158,8 155,52 100,00 23,8

Tabelle 8.3/2: Auslegungsdaten des zehngerüstigen Standardblocks für die Abmessung 5,5 mm mit Ge-triebeübersetzungen, Walzendrehzahlen, Nenndurchmessern, Arbeitenden Durchmessern, Geschwindig-keiten und Profilflächen. Auslegung ohne Voreilung mit = 1

werden. Es gilt die Konstanz des Volumenstroms gemäß Gl. (8.3/2).

= (8.3/2)

Auf dieser Basis kann die notwendige Querschnittsfläche jedes Profils berechnet und die Ka-

librierung ausgelegt werden. Die Geschwindigkeitsverteilung der Kaliberfolge ist im Rahmen

dieser vereinfachten Betrachtung im Vorhinein bekannt, da diese aus den vorgegebenen Getrie-

beübersetzungen des Fertigblockes folgt.

Tabelle 8.3/2 zeigt die Auslegungsdaten eines zehngerüstigen Drahtfertigblockes und die ar-

beitenden Walzendurchmesser, sowie Geschwindigkeiten und Profilflächen für die Abmessung

5,5 mm. Nach diesen ausgelegten Profilflächen ist die Kalibrierung zu gestalten und folgt im

vorliegenden Fall zu Abbildung 8.3/2.

8.3.3 Entstehung und Auswirkungen von Längsspannungen

In der Realität sind die Vorgänge in den einzelnen Gerüsten voneinander abhängig, da sich in

der Walzader zwischen den Gerüsten Längskräfte einstellen. Diese haben eine Rückwirkung

auf die Kinematik und Statik des Walzprozesses in allen Gerüsten haben.

Generell ist festzustellen, dass durch Längsspannungen die Lage der Fließscheide im Walzspalt

stark beeinflusst wird. Daraus ergeben sich sowohl Auswirkungen auf die Statik als auch auf

die Kinematik des Walzprozesses.

Die Walzkraft wird durch Längsspannungen generell verringert. Diese Beeinflussung ist durch

Rückwärtszug stärker als durch Vorwärtszug. Das Drehmoment sinkt durch Vorwärtszug, da

sich die Fließscheide in Richtung Walzspalteintritt verschiebt, wodurch sich die Voreilzone ver-

270 Walzen von Draht in Fertigblöcken

größert. Das Gleichgewicht der Reibkräfte im Walzspalt verschiebt sich daher und begünstigt

den negativen Anteil in der Voreilzone gegenüber dem positiven Anteil in der Nacheilzone. In

umgekehrter Weise führt Rückwärtszug zu einer Vergrößerung des notwendigen Drehmomen-

tes.

Eine durch Längsspannungen hervorgerufene Verschiebung der Fließscheidenlage in Richtung

des Walzspalteintritts führt zu einer Vergrößerung der Voreilung und damit zu einer Erhöhung

der Austrittsgeschwindigkeit, wenn die Walzenumfangsgeschwindigkeit konstant bleibt. Bleibt

dagegen die Austrittsgeschwindigkeit konstant, verringert sich die Walzenumfangsgeschwin-

digkeit und die Walzendrehzahl.

8.3.4 Auswirkungen von Längsspannungen in einem Drahtfertigblock

Die vereinfachte Betrachtung ohne Voreilung, Auffederung und Längsspannungen entspricht

nicht der Realität, da die Walzgerüste nicht unendlich steif sind und es damit stets zu Quer-

schnittsschwankungen gegenüber dem idealisierten Fall kommt. Nach der Kontinuitätsbedin-

gung bedingen diese Querschnittsschwankungen auch Geschwindigkeitsänderungen. Bei der

Walzung im Fertigblock können diese nicht durch Veränderung der Gerüstdrehzahlen ausge-

regelt werden, womit der Aufbau von Längsspannungen zwischen den Gerüsten eines Fertig-

blockes unvermeidlich ist. Dies wird anhand einer Simulationsrechnung für einen Standard-

Fertigblock für die stationäre Walzphase beim Werkstoff C15 gezeigt.

Betrachtet wird die Walzung der kleinsten Abmessung 5,5 mm in 10 Gerüsten aus einem An-

stichquerschnitt von 17 mm mit der Kalibrierung gemäß Abbildung 8.3/2.

Die Gerüstanstellungen sind entsprechend vereinfachten Auslegungsrechnungen gewählt. Die

örtliche Verteilung der Längsspannungen zwischen den Gerüsten wird in starkem Maße von

den Gerüstauffederungen beeinflusst. Für die Gerüste mit einem Walzendurchmesser von 208

mm wird eine Steifigkeit von 350 kN/mm angenommen, für die kleineren Gerüste mit einem

Walzendurchmesser von 158,8 mm wird eine Steifigkeit von 250 kN/mm angenommen.

Abbildung 8.3/4 zeigt die Gerüstauffederungen und Längsspannungen, die sich für diesen Walz-

vorgang ergeben.

Der Einfluss der gestuften Verteilung der bezogenen Querschnittsabnahme von 22% im Oval-

und 19% im Rundkaliber wirkt sich deutlich auf die Gerüstauffederungen und die Längsspan-

nungen aus, was zu einem charakteristischem Verlauf dieser Größen führt.

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 271

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ger

üsta

uffe

deru

ng [

mm

]

Gerüst

−50

−45

−40

−35

−30

−25

−20

−15

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Län

gssp

annu

ng A

ustr

itt σ

1 [N

/mm

²]

Gerüst

Abbildung 8.3/4: Gerüstauffederung und Längsspannungen beim Walzen von 5,5 mm aus 17 mm ineinem Standardblock, Werkstoff C15

272 Walzen von Draht in Fertigblöcken

8.3.5 Auswirkung von Störgrößen in einem Drahtfertigblock

Der reale Walzprozess ist dadurch gekennzeichnet, dass eine örtliche und zeitliche Homogenität

aller Prozessgrößen, insbesondere aber der Eigenschaften des Walzgutes nicht existiert. Im Fol-

genden werden daher anhand des Simulationsmodells die Auswirkungen von Temperatur- und

Querschnittsfehlern sowie variierenden Walzgutwerkstoffen auf die Prozessgrößen des Walz-

vorganges gezeigt.

Eine wichtige, direkt von den Längsspannungen beeinflusste Kenngröße ist die Umformwirk-

samkeit der Längsspannungen. Es gilt

=1

10(8.3/3)

Diese Kenngröße beschreibt, wie stark ein längsspannungsbeeinflusster Querschnitt von dem

Querschnitt im längsspannungsfreien Fall abweicht. Bei Zugspannungen ist 1, im zug-

freien Walzfall stellt sich = 1 ein. Beim Walzen mit Druckspannungen kann sich 1

ergeben.

Zunächst wird gezeigt, wie sich ein Temperaturfehler der in den Fertigblock einlaufenden

Walzader auf die Prozessgrößen des Walzvorganges auswirkt. Es wird ein Fertigblock betrach-

tet, der aus einem Nennquerschnitt von 22,5 mm Durchmesser in 8 Stichen einen Fertigquer-

schnitt von 9 mm Durchmesser walzt. Die Kalibrierung für diesen Fall kann Abbildung 8.3/3

entnommen werden. Die ersten beiden Gerüste des zehngerüstigen Fertigblockes werden in

diesem Fall nicht verwendet. Es ergeben sich die Längsspannungen und die damit verbundenen

Effekte nach Abbildung 8.3/5. Bei geringerer Temperatur ergeben sich höhere Längsspannun-

gen mit den entsprechenden Formänderungswirksamkeiten. Bei der höchsten Temperatur sind

die Längsspannungen am geringsten.

Abbildung 8.3/6 zeigt die Schwankung des auslaufenden Profilquerschnittes bei einer Variation

der Anstichtemperatur im Fertigblock um +/- 100 C. Die Ausgangssituation (A) erzeugt einen

Rundquerschnitt der Höhe 9,155 mm und der Breite 8,768 mm. Wenn die Anstichtemperatur

auf 1100 C ansteigt, fällt die Höhe des Fertigquerschnittes auf 9,137 mm ab und die Breite auf

8,644 mm (B). Der Querschnitt wird insgesamt kleiner. Fällt die Anstichtemperatur auf 900 C,

so erhält der Querschnitt eine Höhe von 9,174 mm und eine Breite von 8,894 mm.

Ebenso wie in der Anstichtemperatur können im in den Fertigblock einlaufenden Profilquer-

schnitt Schwankungen auftreten, insbesondere im Hinblick auf eine mehradrige Walzung vor

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 273

−45−40−35−30−25−20−15−10

−5 0

1 2 3 4 5 6 7 8Län

gssp

annu

ng A

ustr

itt σ

1 [N

/mm

²]

Gerüstϑ0=1000°C ϑ0=1100°C ϑ0=900°C

0.97

0.975

0.98

0.985

0.99

0.995

1

1 2 3 4 5 6 7 8

f L [

−]

Gerüst

Abbildung 8.3/5: Temperatureinfluss auf die Längsspannungsverteilung in einem achtgerüstigen Walz-vorgang in einem Drahtfertigblock für 9 mm. 8 Stiche, Anstich 22,5 mm Rund

Abbildung 8.3/6: Temperatureinfluss auf den Fertigquerschnitt für 9 mm

274 Walzen von Draht in Fertigblöcken

−70−60−50−40−30−20−10

0 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Län

gssp

annu

ng A

ustr

itt σ

1 [N

/mm

²]

Gerüstd0=16,5 mm d0=17 mm d0=17,5 mm

0.93

0.94

0.95

0.96

0.97

0.98

0.99

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f L[−

]

Gerüst

Abbildung 8.3/7: Einfluss des Anstichquerschnitts auf die Länggsspannungsverteilung im Fertigblockbei 5,5 mm

dem Fertigblock. Da sich dieser Effekt bei kleineren Abmessungen umso stärker auswirkt, wird

im Folgenden die Kalibrierung für die Abmessung 5,5 mm gemäß Abbildung 8.3/2 betrachtet.

Bereits kleine Änderungen des eintretenden Querschnitts verändern die Längsspannungsvertei-

lung sehr stark, wie Abbildung 8.3/7 zeigt.

Ausgehend von der Standardsituation mit einem Anstich von 17,0 mm führt der kleinere An-

stichquerschnitt von 16,5 mm zu größeren Längsspannungen und damit zu einem stärkeren

Längsspannungseinfluss auf die Formänderungen. In der Umkehrung führt ein größerer An-

stichquerschnitt zu einer Veränderung der Längsspannungsverteilung zu kleineren Zugspan-

nungen. Beim größten hier betrachteten Anstichquerschnitt entstehen bereits geringe Druck-

spannungen, die sich negativ auf die Betriebssicherheit des Fertigblockes auswirken.

Die Ergebnisse in Bezug auf die entstehenden Profilquerschnitte zeigt Abbildung 8.3/8. Ein zu

8 Anwendungen beim Walzen von Vollquerschnitten 275

Abbildung 8.3/8: Einfluss des Anstichquerschnitts auf den Fertigquerschnitt in einem zehngerüstigenDrahtfertigblock für 5,5 mm

kleiner Anstichquerschnitt (B) führt zu stärkeren Längszügen (siehe Abbildung 8.3/7), die die

Breite des Fertigprofils zusätzlich beeinflussen. Außerdem führen die stärkeren Längszüge zu

einer Verringerung der Gerüstauffederung, wodurch die Profilhöhe zusätzlich beeinflusst wird.

Insgesamt führt ein zu großer Anstichquerschnitt zu einem überfüllten Endkaliber und damit

fehlerhaften Walzprodukt.

Zusammenfassend kann festgehalten werden, dass mit Hilfe der entwickelten Modellsysteme

eine Abbildung des Walzprozesses beim Draht- und Stabstahlwalzen möglich ist. Das Sizing-

Verfahren wird im Zwei- und Dreiwalzensystem berücksichtigt. Die beim Walzen von Draht

entstehenden Längsspannungen werden ebenso modelliert, so dass eine Vorausberechnung der

zu erwartenden Querschnittsschwankungen für die entsprechenden Walzprozesse möglich ist.

Ausblick

Die im Rahmen der vorliegenden Arbeit entwickelten Modelle eröffnen neue Möglichkeiten

für die rechnerische Analyse von Walzprozessen. Im Folgenden soll der direkte Nutzen der

entwickelten Modelle dargelegt und Vorschläge für Folgearbeiten gegeben werden.

Nutzen der durchgeführten Arbeiten

Allgemein ist eine baldige Anwendung der Modelle in der Praxis wünschenswert, wo sie wich-

tige Beiträge zur Auslegung und Neuentwicklung von Walzprozessen leisten können.

Die Kombination der physikalischen Planheitsberechnung mit dem Walzmodell erlaubt eine lo-

kale Querflussanalyse. Mit Hilfe des Modells ist es möglich, die notwendigen Parameter von

Stellgliedern zur Profil- und Planheitsbeeinflussung zu bestimmen, um ein gefordertes Plan-

heitsergebnis zu erreichen. Dazu gehören Rückbiegekräfte, Walzenschliffkonturen und CVC-

Verschiebungen.

Mit Hilfe des Modells zur Temperaturprofilberechnung können Anlagenlayouts für moderne

Walzstrategien wie thermomechanisches Walzen entwickelt und optimiert werden, da die Ein-

flüsse der technologischen Parameter auf die Temperaturentwicklung modellseitig abgebildet

wird.

Zum Profilwalzen von Vollquerschnitten liegt ein Modell vor, das einerseits zur Auslegung,

aber andererseits zur Analyse bestehender Kaliberreihen verwendet werden kann. Die techno-

logischen Parameter der Gerüstauffederung, der Längsspannungen und des werkstoffabhängi-

gen Breitungsverhaltens werden dabei berücksichtigt. Durch die numerische Verarbeitung der

Profil- und Kaliberformen ist die größtmögliche geometrische Freiheit gegeben, um neue Kali-

berformen in das Modell zu integrieren.

Das Modell erlaubt die Analyse der Entstehung von Toleranzfehlern in der Walzader. Mit Hilfe

des Modells zur Längsspannungsberechnung liegt ein Werkzeug vor, mit dem das Zusammen-

spiel zwischen Gerüstdrehzahlen und Effekten auf die Toleranz der Walzprodukte abgebildet

werden kann. Damit können Regeln zur Beeinflussung der gewalzten Querschnitte durch eine

Kombination von Walzspalt- und Drehzahlveränderungen für verschiedene Walzprozesse erar-

beitet werden. Dies stellt einen wichtigen Schritt in der Weiterentwicklung der Walzprozesse

für Vollquerschnitte dar.

278

Vorschläge für weiteres Vorgehen

Im Folgenden sind einige offen gebliebene Punkte zusammengestellt, die Raum für Folgearbei-

ten bieten.

Das zweidimensionale Walzmodell ist in der dargestellten Form auf in Breitenrichtung symme-

trische Walzfälle begrenzt, wenngleich die Submodelle der Walzenbelastung unsymmetrische

Informationen verarbeiten können. Zur Erweiterung des Walzspaltmodells auf unsymmetrische

Anwendungsfälle ist die Bestimmung der linienhaften Fließscheide erforderlich. Dieser Schritt

wurde im Rahmen der vorliegenden Arbeit ausgespart.

Die Modellierung des Walzgerüstes wurde in der vorliegenden Arbeit nur für Zwei- und Vier-

walzengerüste durchgeführt. Eine Erweiterung des Modells auf Mehrwalzengerüste ist mit Hilfe

von dreidimensionalen Balkenelementen systematisch möglich. So kann das Modell beispiels-

weise für Anwendungsfälle beim Kaltwalzen mit Zwanzigwalzen- oder MKW-Gerüsten erwei-

tert werden.

Das Modell zur Bewertung von Einflüssen der Längsspannungen auf die Breitung ist empi-

rischer Natur und damit auf den mit Messwerten abgedeckten Parameterbereich beschränkt.

Dieser sollte im Rahmen einer experimentellen Arbeit auf Walzprozesse mit kleinen Formän-

derungen, die beim Sizing auftreten erweitert werden.

Die Validierung des Walzmodells für den Dreiwalzenvorgang ist ein weiterer wesentlicher Schritt.

Hierzu sind systematische Messungen von Walzkräften und Drehmomenten an einem Dreiwal-

zensystem erforderlich. Auch sollten Versuche zur Beeinflussung der Breitung durch Längs-

spannungen im Dreiwalzenverfahren durchgeführt werden.

Zum Walzziehen liegt ein mechanisches Modell für die Spannungsverteilung vor.

Da das vom Walzen bekannte Konzept einer Fließscheide auf das Walzziehen übertragen wurde,

erlaubt das Modell Vorhersagen der Voreilung.

Eine Validierung des Modells in Bezug auf die vorhergesagte Fließscheidenlage würde einen

weiteren wichtigen Schritt zur anwendungstauglichen Modellierung des Walzziehvorgangs leis-

ten. Dazu muss eine Methode zur Messung der Voreilung beim Walzziehen entwickelt werden.

Messungen der Walzendrehzahlen sind beim Walzziehen bisher unüblich. Dies ist ein wesent-

licher Schritt zur Klärung von offenen Fragestellungen beim Walzziehen.

Anhang A

Theorie und Numerik der Balkenbiegung

In den folgenden Abschnitten werden zunächst die Grundlagen der Balkentheorie erläutert, die

zum Verständnis der Untersuchungen der Walzendeformation notwendig sind. In weiteren Ab-

schnitten wird auf die numerische Lösung mit Hilfe von Finiten Balkenelementen eingegangen.

Abschließend wird anhand der Bernoulli- und Timoshenko-Biegebalken gezeigt, wie sich ein

Finites Balkenelement mit ortsveränderlichem Querschnitt konstruieren lässt. Dies ist beson-

ders bei der Beschreibung von komplizierten Walzengeometrien.

A.1 Balken ohne Schubeinfluss (Bernoulli)

Der Bernoulli-Balken entspricht der klassischen Biegetheorie. Auf Basis verschiedener Voraus-

setzungen kann eine gewöhnliche Differentialgleichung für die Biegelinie angegeben werden.

A.1.1 Voraussetzungen und Annahmen

Für den Bernoulli-Balken gelten die folgenden Annahmen• Die Länge des Balkens ist signifikant größer als die Höhe des Querschnitts bzw. der Durch-

messer,

• Querschnitte, die im unbelasteten Zustand senkrecht auf der neutralen Linie standen, stehenauch nach der Biegedeformation senkrecht auf der deformierten Balkenachse.

• Ebene Querschnitte bleiben eben.

• Die Biegeverformungen sind klein im Vergleich zur Länge des Balkens.

• Der Balken verhält sich isotrop elastisch nach dem Hooke’schen Gesetz.

A.1.2 Verformungen und Dehnungen

Betrachtet wird der in Abbildung A.1/1 gezeigte Balken, der durch ein konstantes Biegemoment

belastet wird.

Es gilt der folgende Zusammenhang zwischen dem Krümmungsradius und der Verschiebung

[MÖ14]

= ±

µ1 +

³

´2¶32³22

´ (A.1/1)

280 A.1 Balken ohne Schubeinfluss (Bernoulli)

Abbildung A.1/1: Verformter Biegebalken mit Krümmungsradien und Bogenlängen

Für kleine Durchbiegungen kann Gl. (A.1/1) vereinfacht werden. Es gilt

≈ ± 122

(A.1/2)

Die Längsdehnung einer Faser an der vertikalen Position ist mit den in Abbildung A.1/1

gegebenen Bogenlängen

() = ()−

(A.1/3)

Die Längen der Kreisbögen und () sind

= (A.1/4)

() = ( − )

Damit ergibt sich Gl. (A.1/5) für die Längsdehnung.

= −

= −

2

2(A.1/5)

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 281

Abbildung A.1/2: Gleichgewicht am Element eines Biegebalkens mit Biegemoment , Querkraft und Linienlast ()

A.1.3 Gleichgewichtsbedingungen am Biegebalken

Zur Bestimmung der Gleichgewichtsbedingungen betrachtet man ein Balkenelement mit der

infinitesimalen Länge welches durch die Linienlast () belastet wird, Abbildung A.1/2.

Das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung liefert die folgende Differentialgleichung für

den Zusammenhang zwischen der Querkraft und der Streckenlast

+ = 0 (A.1/6)

Aus dem Momentengleichgewicht können die folgenden Zusammenhänge zwischen Momenten

und Querkräften ermittelt werden

=

(A.1/7)

=

2

2

Mit dem Hooke’schen Gesetz und Gl. (A.1/5) ergibt sich für die Spannungsverteilung

( ) = −2

2· (A.1/8)

Für das Schnittmoment an einer Stelle des Biegebalkens gilt der differentielle Zusammenhang

= − · (A.1/9)

282 A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko

Durch Integration ergibt sich das Schnittmoment zu

= − 2

2(A.1/10)

Durch zweimalige Differentiation erhält man die Differentialgleichung der Biegelinie

2

2

µ

2

2

¶= (A.1/11)

A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko

Der oben verwendete Ansatz entspricht der klassischen Biegetheorie des Euler-Bernoulli-Balkens,

der als schubstarr angesehen wird. Diese Betrachtung beruht auf der Hypothese, dass ursprüng-

lich zur Nullinie senkrechte stehende Querschnitte auch nach Eintreten der Deformation ihre

Orientierung nicht verändern. Eine allgemeinere Betrachtungsweise führt auf den schubwei-

chen Timoshenko-Balken.

A.2.1 Schubverzerrung

Für die Schubverzerrung eines Balkenelements mit den Verschiebungen und kann ge-

schrieben werden

=

+

(A.2/1)

A.2.2 Wirkende Schubspannungen und Schubkorrekturfaktor

Die Schubverzerrungen werden durch wirkende Querkräfte erzeugt. Die Querkräfte ergeben

sich durch Integration der an einer Stelle im Querschnitt des Biegebalkens wirkenden Schub-

spannungen. Beim Timoshenko-Balken nimmt man an, dass die Schubspannung auf der Quer-

schnittsfläche konstant ist. Diese Querkraft-Schubspannung folgt mit der Querkraft und

der Schub-Querschnittsfläche zu

=

(A.2/2)

Für die Schubquerschnittsfläche gilt mit dem Schubkorrekturfaktor

= (A.2/3)

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 283

Den Schubkorrekturfaktor kann man in Abhängigkeit der Querschnittsform durch eine Ar-

beitsbetrachtung bestimmen. Die Schubspannungsverteilung auf dem Querschnitt folgt zu

() = · () · () (A.2/4)

Es folgt die Herleitung für einen Rundquerschnitt, da dieser für das betrachtete Walzendurchbie-

gungsproblem maßgebend ist. Für die Querschnittsbreite () gilt bei einem Rundquerschnitt

mit dem Radius

() = 2√2 − 2 (A.2/5)

Das statische Moment () ergibt sich zu Gl. (A.2/6) [GHSW07].

() =

Z

· =

Z

2p2 − 2 (A.2/6)

=2

3

¡2 − 2

¢ 32

Damit lässt sich Gl. (A.2/4) zu Gl. (A.2/7) ausformulieren.

() =4

3

¡2 − 2

¢(A.2/7)

Der Formfaktor 43in Gl. (A.2/7) kann als Korrekturfaktor der Schubspannungsverteilung für

Rundquerschnitte aufgefasst werden. Um den Schubquerschnitt zu bestimmen, wird die

Schubarbeit mit der Deformationsarbeit des Querkraftschubs gleichgesetzt. Daraus erlangt man

die folgende Gleichung [GHSW07]

2

=

Z

2

(A.2/8)

Für den Rundquerschnitt folgt mit = () ·

2

=

Z

−

162 (2 − 2)2

922√2 − 2 (A.2/9)

Durch Lösen des Integrals und Auflösen der Gleichung nach erhält man die Schubfläche für

den Rundquerschnitt gemäß Gl. (A.2/10).

=9

102 =

9

10 (A.2/10)

Der Schubkorrekturfaktor hat damit für den Rundquerschnitte den Wert = 910

.

284 A.2 Balken mit Schubeinfluss nach Timoshenko

A.2.3 Zusammenhang von Durchbiegung und Neigung

Der Neigungswinkel eines verformten Querschnitts entspricht beim Timoshenko-Balken nicht

der ersten Ableitung der Durchbiegung. Es werden daher zwei unterschiedliche Winkel und

betrachtet, die gemäß Gl. (A.2/11) definiert sind.

=

(A.2/11)

=

−

Es gilt

= beim Bernoulli-Balken (A.2/12)

6= beim Timoshenko-Balken

Für die Längsdehnung des Timoshenko-Balkens gilt

= −

(A.2/13)

A.2.4 Stoffgesetz

Bei Berücksichtigung des Schubeinflusses wird das Hooke’sche Gesetz für den eindimensiona-

len Normalspannungszustand, aber außerdem für den reinen Schubspannungszustand formuliert

= (A.2/14)

=

A.2.5 Gleichgewicht und Biegelinie

Mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen am Balkenelement, vgl. Abbildung A.1/2 folgt der

Zusammenhang zwischen der Querkraft und der Neigung des Querschnitts

() = − 22

(A.2/15)

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 285

Abbildung A.3/1: Finites Balkenelement der Länge , belastet durch eine Linienlast () und die Mo-mente1 und2 an den Knoten (1) und (2)

Die Differentialgleichung der Biegelinie muss im Fall des Timoshenko-Balkens durch zwei

gekoppelte Differentialgleichungen beschrieben werden. Diese sind in Gl. (A.2/16) gegeben.

µ

¶+

µ

−

¶= 0 (A.2/16)

∙

µ

−

¶¸= − ()

A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

Die numerische Lösung der Differentialgleichungen Gl. (A.1/11) oder Gl. (A.2/16) mit Finiten

Balkenelementen wird im folgenden getrennt für die zwei verschiedenen Balkentypen beschrie-

ben.

A.3.1 Bernoulli-Balken

An den Knoten (1) und (2) des in Abbildung A.3/1 gezeigten Balkenelements liegen je zwei

Freiheitsgrade vor. Diese sind die Verschiebung und die Neigung =

. Für den Verlauf

dieser Größen über die Elementlänge werden die folgenden polynomischen Ansätze postuliert

() = 0 + 1 + 22 + 3

3 (A.3/1)

() =

= 1 + 22 + 33

2

286 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

Für die Vertikalverschiebungen und Neigungen an den Knoten (1) und (2) gilt

1 = 0 (A.3/2)

1 = 1

2 = 0 + 1 + 22 + 3

3

2 = 1 + 22 + 332

Aus diesen Randbedingungen werden die Koeffizienten 0 bis 3 wie folgt bestimmt

0 = 1 (A.3/3)

1 = 1

2 = − 321 − 2

1 +

3

22 − 1

2

3 =2

21 +

1

21 −

2

32 +

1

22

Der Verschiebungsansatz nach Gl. (A.3/1) kann mit Formfunktionen geschrieben werden

() = 1 () · 1 +1 () · 1 +2 () · 2 +2 () · 2 (A.3/4)

Diese Gleichung kann in Vektorschreibweise auch wie folgt dargestellt werden

() =£1 1 2 2

¤⎡⎢⎢⎣1122

⎤⎥⎥⎦ = N ()u (A.3/5)

Durch Einsetzen von Gl. (A.3/3) in Gl. (A.3/1) und Vergleich mit Gl. (A.3/5) ergeben sich die

Formfunktionen zu Gl. (A.3/6), vgl. [SGM14].

1 () = 1− 3µ

¶2+ 2

µ

¶3(A.3/6)

1 () = − 22

+

3

2

2 () = 3

µ

¶2− 2

µ

¶32 () = −

2

+

3

2

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 287

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N1u

y/le

0 0.02 0.04 0.06 0.08

0.1 0.12 0.14 0.16

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N1ϕ

y/le

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N2u

y/le

−0.16−0.14−0.12

−0.1−0.08−0.06−0.04−0.02

0

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

N2ϕ

y/le

Abbildung A.3/2: Ansatzfunktionen des Balkenelements nach Gl. (A.3/6)

288 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

Abbildung A.3/2 zeigt eine Darstellung dieser vier Funktionen in Abhängigkeit der normierten

-Koordinate.

Die Dehnungsverteilung auf einem Balkenelement kann mit Hilfe der Formfunktionen wie folgt

geschrieben werden.

( ) = − · 2 ( )

2= − 2

2(N ()u) = −

2N ()

2u (A.3/7)

Mit Hilfe der Matrix B der Ableitungen der Formfunktionen und dem Freiheitsgradvektor u

lässt sich diese Gleichung auch schreiben als

( ) = B u (A.3/8)

mit

B = −2N ()

2(A.3/9)

Mit dem Hooke’schen Gesetz gilt für die Spannungsverteilung

( ) = B u (A.3/10)

Die Elementsteifigkeitsmatrix des Balkenelements ist [SGM14]

k =

ZΩ

B DB Ω (A.3/11)

Im hier betrachteten eindimensionalen Fall ist die Stoffmatrix D skalar und entspricht dem

Elastizitätsmodul . Damit gilt

k =

ZΩ

µ−

2N ()

2

¶

µ−

2N ()

2

¶Ω (A.3/12)

Löst man das Integrationsgebiet Ω in Länge und Querschnittsfläche des Elementes auf,

dann folgt bei örtlich konstantem Elastizitätsmodul

k =

Z

µZ

2

¶2N ()

22N ()

2 (A.3/13)

Zur Abkürzung wird das Flächenmoment 2. Grades () eingeführt. Dann gilt

k =

Z

()2N ()

22N ()

2 (A.3/14)

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 289

Hier soll zunächst () = = gelten für eine konstante Querschnittsfläche über die

Elementlänge.

k =

Z

2N ()

22N ()

2 (A.3/15)

Schließlich ergibt sich die folgende ausgeschriebene Form

k =

Z

⎡⎢⎢⎢⎢⎣212

212

222

222

⎤⎥⎥⎥⎥⎦h212

212

222

222

i (A.3/16)

Die hier benötigten zweiten Ableitungen der Formfunktionen nach Gl. (A.3/6) sind

21

2= − 6

2+12

3(A.3/17)

21

2= − 4

+6

222

2=

6

2− 12

322

2= − 2

− 6

2

Schließlich ergibt sich die Elementsteifigkeitsmatrix des Balkenelements durch Auswertung

von Gl. (A.3/16) zu

=

3

⎡⎢⎢⎣12 6 −12 66 42 −6 22

−12 −6 12 −66 22 −6 42

⎤⎥⎥⎦ (A.3/18)

Um die Biegelinie einer kompletten Walze zu berechnen, werden die Elementsteifigkeitsmatri-

zen aller Elemente zur globalen Steifigkeitsmatrix assembliert. Die einzelnen Elementsteifig-

keitsmatrizen werden gemäß Gl. (A.3/19) auf der Hauptdiagonalen einer Hypermatrix zusam-

mengestellt.

bK =

⎛⎜⎜⎝K

K+1

. . .K

⎞⎟⎟⎠ (A.3/19)

Die Überführung in die globale Knotennummerierung erfolgt, indem die Zusammengehörig-

keit der einzelnen Elemente berücksichtigt wird. Für die Gesamtsteifigkeitsmatrix gilt mit der

290 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

Boole’schen InzidenzmatrixA [Kle15]

K = A bKA

Nach der Zusammenstellung des Lastvektors f , der die auf die belasteten Knoten wirkenden

Einzelkräfte in globalen Knotenkoordinaten enthält, liegt ein FE-Gleichungssystem der Struktur

Gl. (A.3/20) vor.

K u= f (A.3/20)

Die globale Steifigkeitsmatrix K ist in dieser Formulierung noch singulär, da die notwendigen

Randbedingungen noch nicht eingebunden wurden.

In der vorliegenden Aufgabenstellung sind dies die Bedingungen = 0 an den beiden La-

gerstellen. Diese Freiheitsgrade werden an das Ende des Gleichungssystems sortiert. Nach der

Lösung von Gl. (A.3/20) stehen die Biegungs- und Neigungslinien der Walzen zur Verfügung.

A.3.2 Timoshenko-Balken

Um ein Finites Balkenelement mit Schubeinfluss zu entwickeln, werden die Formfunktionen

für die Verschiebungen und Neigungen getrennt voneinander formuliert [MÖ14].

() =£1 0 2 0

¤⎡⎢⎢⎣1122

⎤⎥⎥⎦ = Nu (A.3/21)

() =£0 1 0 2

¤⎡⎢⎢⎣1122

⎤⎥⎥⎦ = Nu (A.3/22)

Entsprechend lässt sich die in Gl. (A.2/16) vorkommende Ableitung

wie folgt ausformulie-

ren

=

1

1 +

2

2 =

N

u (A.3/23)

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 291

Um die Elementsteifigkeitsmatrix des Timoshenko-Balkenelements bestimmen zu können, wird

die elastische Deformationsenergie formuliert. Diese ist additiv aus einem Biegemomen-

tenanteil und einem Schubanteil zusammengesetzt [MÖ14].

=1

2

ZΩ

εσΩ =1

2

ZΩ

£

¤ ∙

¸Ω (A.3/24)

=1

2

ZΩ

Ω+1

2

ZΩ

Ω = +

Für den Biegeanteil gilt

=1

2

ZΩ

Ω =1

2

ZΩ

Ω (A.3/25)

Gemäß der kinematischen Gleichung Gl. (A.2/13) gilt

= −

= −µ1

1 +

2

2

¶(A.3/26)

= −h0

1

02

i⎡⎢⎢⎣1122

⎤⎥⎥⎦ = Bu (A.3/27)

Die verallgemeinerte Bb-Matrix ist

B = −N

(A.3/28)

Für den Biegeanteil der Deformationsenergie wird geschrieben

=1

2

ZΩ

Ω (A.3/29)

=1

2

ZΩ

(Bu) (Bu) Ω

=1

2u

∙ZΩ

B B Ω

¸u =

1

2u

"ZΩ

(−) N

· (−) · N

Ω

#u

An dieser Stelle wird die Überführung von Ω in vollzogen. Damit gilt

=1

2u

"Z

0

µZ

2

¶N

N

#u (A.3/30)

=1

2u

"Z

0

N

N

#u

292 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

Allgemein gilt für die Deformationsenergie eines Finiten Elementes [MÖ14]

=1

2u k u (A.3/31)

Durch Vergleich lässt sich die Elementsteifigkeitsmatrix für den Biegeanteil wie folgt bestim-

men

k =

Z

0

N

N

(A.3/32)

In Komponenten ist die Steifigkeitsmatrix

k =

Z

0

⎡⎢⎢⎢⎣0 0 0 0

01

· 1

01

· 2

0 0 0 0

02

· 1

02

· 2

⎤⎥⎥⎥⎦ (A.3/33)

Für die Deformationsenergie des Schubanteils gilt [MÖ14]

=1

2

ZΩ

Ω (A.3/34)

=1

2

Z

0

µZ

¶

=1

2

Z

0

Hier wird wieder die kinematische Beziehung zur Anwendung gebracht

=h1

−12

−2

i⎡⎢⎢⎣1122

⎤⎥⎥⎦ = Bu (A.3/35)

Der Schubanteil der Deformationsenergie wird wie folgt geschrieben

=1

2

Z

0

(Bu) (Bu) (A.3/36)

=1

2u

∙Z

0

B B

¸u

Daraus lässt sich die Elementsteifigkeitsmatrix für den Schubanteil gewinnen

k =

Z

0

B B (A.3/37)

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 293

Diese ist in Komponenten

k =

Z

0

⎡⎢⎢⎢⎣1

1

1

1

2

1

(−1)1

(−1) (−1) (−1)2

(−1) (−2)2

1

2(−1)

2

2

2(−2)

(−2)1

(−2) (−1) (−2)2

(−2) (−2)

⎤⎥⎥⎥⎦ (A.3/38)

Die Gesamt-Elementsteifigkeitsmatrix ergibt sich additiv aus diesen Anteilen gemäß

k= k+k (A.3/39)

Da in den Elementsteifigkeitsmatrizen jeweils nur erste Ableitungen der Formfunktionen vor-

kommen, sind diese in linearer Form ausreichend. Es kann wie folgt postuliert werden [MÖ14]

1 () = 1 () = 1−

(A.3/40)

2 () = 2 () =

Damit ergeben sich Biege- und Schubanteile der Elementsteifigkeitsmatrix des Timoshenko-

Balkenelements wie folgt

k =

⎡⎢⎢⎣0 0 0 00 1

0 − 1

0 0 0 00 − 1

0 1

⎤⎥⎥⎦ (A.3/41)

k =

⎡⎢⎢⎣1

12− 1

12

12

3−12

6− 1

−12

1−12

12

6−12

3

⎤⎥⎥⎦ (A.3/42)

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix des Timoshenko-Balkenelements ist dann mit = 4

k =

4

⎡⎢⎢⎣4 2 −4 22

432 + −2 4

62 −

−4 −2 4 −22

462 − −2 4

32 +

⎤⎥⎥⎦ (A.3/43)

A.3.3 Finite Balkenelemente mit ortsveränderlicher Höhe

Balkenelemente mit konstanter Höhe über die gesamte Elementlänge haben den Nachteil, dass

sich komplizierte örtlich veränderliche Balkengeometrien mit Absätzen und Übergangsradien,

wie sie beispielsweise bei Profilwalzen auftreten, nur mit örtlich sehr feiner Vernetzung adäquat

294 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

beschreiben lassen. Abhilfe liefert hier ein Balkenelement mit örtlich veränderlicher Dicke. Mit

diesen Balkenelementen lassen sich beispielsweise Profilwalzen, aber auch Flachbahnwalzen

mit komplizierten Geometrien mit Absätzen und Radien zutreffender beschreiben. Im Unter-

schied zum konventionellen Balkenelement ist wird das Flächenmoment 2. Grades () inner-

halb des Elementes ortsveränderlich beschrieben.

Unter der Voraussetzung, dass sich die Elementhöhe über die Elementlänge linear von 1

zu 2 verändert, gilt

() = 1 + (2 − 1)

(A.3/44)

Demnach gilt auch für das von abhängige Flächenträgheitsmoment

() =

644 () (A.3/45)

Die Herleitung der Elementsteifigkeitsmatrix für den Bernoulli-Balken muss für dieses Balken-

element dahingehend modifiziert werden, dass das ortsveränderliche Flächenmoment () mit

integriert wird. Gl. (A.3/14) ist weiterhin gültig. Für diesen Fall ergibt sich die Elementsteifig-

keitsmatrix für den Bernoulli-Balken wie folgt

k =

5603

⎡⎢⎢⎣1 2

2

−1 32

22

42 −2 2 5

22−1 −2 2 1 −3 2

32

522−3 2 6

2

⎤⎥⎥⎦ (A.3/46)

Die Faktoren 1 bis 6 setzen sich polynomisch aus den Randdurchmessern 1 und 2 des Bal-

kenelements zusammen

1 = 3341 + 15312 + 9

2122 + 151

32 + 33

42 (A.3/47)

2 = 4741 + 22312 + 9

2122 + 81

32 + 19

42

3 = 1941 + 8312 + 9

2122 + 221

32 + 47

42

4 = 1741 + 9312 + 4

2122 + 21

32 + 3

42

5 = 1341 + 4312 + 21

22 + 41

32 + 13

42

6 = 341 + 2312 + 4

2122 + 91

32 + 17

42

A Theorie und Numerik der Balkenbiegung 295

Oder in Matrizenschreibweise⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣123456

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣33 15 9 15 3347 22 9 8 1919 8 9 22 4717 9 4 2 313 4 1 4 133 2 4 9 17

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎢⎢⎢⎢⎣

4131221

22

132

42

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ (A.3/48)

Für den Timoshenko-Balken erfolgt diese Betrachtung getrennt für die Biegungs- und Schuban-

teile. Für den Biegeanteil gilt

k =

320

⎡⎢⎢⎣0 0 0 00 1 0 −10 0 0 00 −1 0 1

⎤⎥⎥⎦ (A.3/49)

Mit dem Polynom

= 41 + 312 + 2122 + 1

32 + 42 (A.3/50)

Für den Schubanteil der Steifigkeitsmatrix kann geschrieben werden

k =

12

⎡⎢⎢⎣1 2 −1 32 4 −2 6−1 −2 1 −33 6 −3 5

⎤⎥⎥⎦ (A.3/51)

mit ⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣123456

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦ =⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣

1

1

1

34

12

14

14

12

34

610

310

110

110

310

610

320

15

320

⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎡⎣ 211222

⎤⎦ (A.3/52)

A.3.4 Spannungen und Dehnungen

Für die Belastungsanalyse der Walzwerkswalzen sind die wirkenden Biegespannungen von be-

sonderer Bedeutung.

Auf dem Bernoulli-Balkenelement gilt für die Längsdehnung in Abhängigkeit von und

296 A.3 Numerische Lösung mit Finiten Elementen

( ) = −2N ()

2u

= · 22 ( − 3)2

+

· 61 (3 − 2)3

−

· 62 ( − 2)3

+

· 21 (2 − 3)2

(A.3/53)

Daraus können zwei Gleichungen für die Dehnung an beiden Knoten bei = 0 und bei =

gewonnen werden

1 () =

µ61 − 62

2+41 + 22

¶(A.3/54)

2 () =

µ−61 + 622

− 21 + 42

¶Die Spannungen an der äußeren Randfaser ergeben sich nach

1 = 1

2

µ61 − 62

2+41 + 22

¶(A.3/55)

2 = 2

2

µ−61 + 622

− 21 + 42

¶Allgemein gilt für den Timoshenko-Balken

= −

= −µ1

1 +

2

2

¶(A.3/56)

Mit den linearen Formfunktionen ergibt sich

=

(1 − 2) (A.3/57)

Damit ist die Dehnung und Spannung auf einem Element jeweils konstant. Dies ergibt sich

aufgrund der linear gewählten Formfunktionen.

Mittelt man die Elementhöhen 1 und 2 arithmetisch, dann gilt

=1 + 2

2(1 − 2) (A.3/58)

Anhang BKontaktmechanische Grundlagen

Als Entwicklungsgrundlage der präsentierten Modelle zur Walzenbelastung werden im Folgen-

den die theoretischen Grundlagen der elastischen Kontaktmechanik dargestellt und die Herlei-

tungen der Modelle aufgezeigt. Die nächsten beiden Abschnitten behandeln die Modelle zur

Berechnung der Walzenabplattung im zwei- und dreidimensionalen Fall auf der Basis der De-

formation eines elastischen Halbraums.

In einem weiteren Abschnitt wird das Kontaktproblem zwischen zylindrischen Körpern behan-

delt, dass die theoretische Basis des Zusammenwirkens zwischen den Arbeits- und Stützwalzen

eines Walzgerüstes bereit stellt.

B.1 Linienbelastung eines elastischen Halbraums (ebener Fall)

Abbildung B.1/1: Elastische Deformation einer ursprünglich zur x-Achse parallelen Halbraumoberflä-che unter Einwirkung einer Streckenlast gemäß Gl. (B.1/13). Nach [Joh03]

Abbildung B.1/1 zeigt die Deformation der Oberfläche eines elastischen Halbraums durch eine

298 B.1 Linienbelastung eines elastischen Halbraums (ebener Fall)

konstante Streckenlast .

Unter der Voraussetzung eines ebenen Verzerrungszustandes soll die Verschiebung () der

Oberfläche unter der Wirkung einer beliebig verteilten Linienlast () berechnet werden. Zur

Lösung dieses Problems wird ein Polarkoordinatensystem eingeführt. Der Spannungszustand

wird mit Hilfe der Spannungspotentialfunktion Γ ( ) wie folgt ausgedrückt, s.a. [Bar10]

=1

22Γ

2+1

Γ

(B.1/1)

=2Γ

2

= −

µ1

Γ

¶Zur Erfüllung der Kompatibilitätsbedingungen muss die Spannungsfunktion biharmonisch sein,

d.h. Gl. (B.1/2) muss erfüllt sein

∇4Γ = 0 (B.1/2)µ2

2+1

22

2+1

¶µ2Γ

2+1

22Γ

2+1

Γ

¶= 0

Ein derart zulässiger Ansatz für die Spannungsfunktion ist beispielsweise nach [Joh03] für den

einfachsten Fall einer konzentrierten Normalkraft wie folgt mit einer Konstanten gegeben

Γ ( ) = sin (B.1/3)

Damit können die Normalspannungen in Polarkoordinaten wie folgt geschrieben werden

= 2

cos

(B.1/4)

= = 0

Die Konstante wird gefunden, indem die auf einem Halbkreis des Radius wirkenden Radial-

spannungen mit der externen Kraft ins Gleichgewicht gesetzt werden

− =

Z 2

−2 cos =

Z 2

−24 cos

2 = (B.1/5)

= −

= −2

cos

(B.1/6)

Mit Hilfe des Hooke’schen Gesetzes und nach Lösen der entstehenden Differentialgleichungen

findet man daraus die Verschiebungen in radialer und tangentialer Richtung

B Kontaktmechanische Grundlagen 299

= −1− 2

2 cos ln ()− (1− 2) (1 + )

sin + 1 sin + 2 cos (B.1/7)

=1− 2

2 sin ln () +

(1 + )

2 sin − (1− 2) (1 + )

cos +

(1− 2) (1 + )

sin + 1 cos − 2 sin + 3

Wenn der elastische Körper keine Neigung vollführt (die auf der z-Achse liegenden Punkte

verschieben sich nur vertikal) ist 1 = 3 = 0. An der Oberfläche gilt = ±2

und so

=±2= −(1− 2) (1 + )

(B.1/8)

=2= −=−

2=(1− )2

2 ln () +

Die hier verbleibende Konstante wird mit Hilfe einer bekannten Verschiebung an einem Punkt

auf der Oberfläche bei = 0 gewählt

=2= −=−

2= −(1− )2

2 ln

³0

´(B.1/9)

Rechnet man die Spannungsverteilung in kartesische Koordinaten um, dann folgt

= sin2 = −2

2

(2 + 2)2(B.1/10)

= cos2 = −2

3

(2 + 2)2

= sin cos = −2

2

(2 + 2)2

Es soll die Lösung für eine Linienlastverteilung () bestimmt werden. Hierzu wird in Gl.

(B.1/10) statt der Einzelkraft ein Kraftinkrement verwendet und über die Kontaktlänge

integriert. Daraus folgen die Spannungen

= −2

Z

−

() (− )2 £(− )2 + 2

¤2 (B.1/11)

= −23

Z

−

() £(− )2 + 2

¤2 = −2

2

Z

−

() (− ) £(− )2 + 2

¤2

300 B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums

Für die Verschiebungen der Punkte an der Oberfläche des Halbraums werden die folgenden

allgemeinen Gleichungen gefunden

= −(1− 2) (1 + )

2

∙Z

− () −

Z

()

¸+ 1 (B.1/12)

= −2 (1− 2)

Z

− () ln (|− |) + 2

Für den einfachsten Fall einer konstanten Linienlast ergibt sich vertikale Verschiebung der

Oberflächenpunkte gemäß

() = −1− 2

"(+ ) ln

µ+

¶2+ (− ) ln

µ−

2¶#

+ (B.1/13)

Die Integrationskonstante folgt durch Nullsetzen der Deformation am bekannten Ende des

Deformationsbereichs bei =

Um eine Lösung für beliebige, nicht konstante Lastverteilungen numerisch zu finden, bedient

man sich der Superposition dreieckiger Lastverteilungen. Die entsprechende Gleichung für die

Verschiebung in -Richtung für eine dreieckige Spannungsverteilung mit dem Spitzenwert =

0 bei = 0 und dem Randwert = 0 bei = ± ist

() = −1− 2

2

0

"(+ )2 ln

µ+

¶2+ (− )2 ln

µ−

¶2− 22 ln

³

´2#+

(B.1/14)

B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums

Im dreidimensionalen Fall verwendet man anstelle der Spannungs- eine Verschiebungspotenti-

alfunktion. Die Papkovich-Neuber-Lösung definiert das Verschiebungsfeld in Vektorschreib-

weise wie folgt mit dem Schubmodul und den Potentialfunktionen ψ (vektoriell) und (ska-

lar) [Bar10].

2u = −4 (1− )ψ +∇ (r ·ψ + ) (B.2/1)

Zur Entwicklung der Gleichung definiert man zunächst eine Lösung A, in der nur das skalare

Potential berücksichtigt wird. Für die vektorielle Potentialfunktion giltψ = 0. In kartesischen

B Kontaktmechanische Grundlagen 301

Koordinaten ergeben sich die Verschiebungskomponenten wie folgt

2 =

; 2 =

; 2 =

(B.2/2)

Die relative Volumendilatation ist hier Null, da harmonisch ist gemäß

2divu = ∇2 = 0 (B.2/3)

Für die elastischen Spannungs-Dehnungs-Beziehungen gilt das Hooke’sche Gesetz in der Lamé-

Schreibweise mit den Konstanten und

σ = 2ε + Spur (ε) I (B.2/4)

Zur Berechnung der Spannungen setzt man Gl. (B.2/2) in Gl. (B.2/4) ein und erhält

=2

2; =

2

2; =

2

2(B.2/5)

=2

; =

2

; =

2

;

Diese Lösung gilt nur für rotationsfreie Verschiebungsfelder.

Zur Ermittlung einer Lösung B werden alle Funktionen in Gl. (B.2/1) gleich Null gesetzt, bis

auf die z-Komponente von ψ. Damit ergeben sich die folgenden Verschiebungs- und Span-

nungskomponenten mit dem skalaren Verschiebungspotential =

2 =

; 2 =

; 2 =

− (3− 4) (B.2/6)

= 2

2− 2

= 2

2− 2

= 2

2− 2 (1− )

= 2

= 2

− (1− 2)

= 2

− (1− 2)

302 B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums

Ähnliche Lösungen C und D können hergeleitet werden, indem die x- bzw. y-Komponenten

von ψ anstelle der z-Komponente berücksichtigt werden. Zur Komplettierung kann man eine

Lösung E für reine Rotationsprobleme (Torsion) bestimmen, vgl. [Bar10].

Durch geeignete Superposition dieser einzelnen Lösungen können die Spannungs- und Ver-

schiebungsfelder für einen allgemeinen dreidimensionalen elastischen Lastzustand bestimmt

werden.

Ein wichtiger Sonderfall ist das Boussinesq-Problem, bei dem ein elastischer Halbraum durch

Einwirkung einer Einzelkraft im Koordinatenursprung belastet wird [Bou85].

Zur Lösung dieses Problems ist prinzipiell eine Kombination aus den Lösungen A und B erfor-

derlich, und zwar der Art, dass die an der Oberfläche (bei z=0) wirkenden Schubspannungen

und verschwinden. Diese Bedingung wird von einem Potential erfüllt, das in der fol-

genden Weise definiert wird

= (1− 2); =

(B.2/7)

Für die Spannungs- und Verschiebungskomponenten ergeben sich in diesem Fall die Gleichun-

gen

2 = 2

+ (1− 2)

(B.2/8)

2 = 2

+ (1− 2)

2 = 2

2+ (1− 2)

Sowie die Spannungskomponenten

= 3

2+

2

2+ 2

2

2(B.2/9)

= 3

2+

2

2+ 2

2

2

= 3

3− 2

2

= 3

+ (1− 2) 2

= 3

2; =

3

2

In Gl. (B.2/9) ist wieder erkenntlich, dass = = 0 an der Oberfläche bei = 0.

B Kontaktmechanische Grundlagen 303

Das Verschiebungspotential wird in der folgenden Weise formuliert mit der Konstante

=

Z 0

−∞

q2 + 2 + ( − )2

= ln³p

2 + 2 + 2 + ´

(B.2/10)

ist singulär im Koordinatenursprung, aber harmonisch an allen anderen Stellen. Die Gleichun-

gen der Verschiebungs- und Spannungsfelder können aufgestellt werden, indem Gl. (B.2/10) in

Gl. (B.2/9) eingesetzt wird. Für die Verschiebungen ergeben sich die folgenden Gleichungen

( ) = −2³·2+ · − 2

2− 2

2

´(1 + )

(+ ) 3(B.2/11)

( ) = −2³·2+ · − 2

2− 2

2

´(1 + )

(+ ) 3

( ) = −2³ · − 2

2− 2

2

´(1 + )

3

+Um die Einzelkraft herum bildet sich ein axialsymmetrisches Spannungsfeld aus. Diese Bedin-

gung kann man sich zur Bestimmung der Konstante zunutze machen. In axialsymmetrischen

Zylinderkoordinaten muss erfüllt sein

= −2Z ∞

0

( ) (B.2/12)

= −63Z ∞

0

(2 + 2)52(B.2/13)

= −2 (B.2/14)

Damit ergibt sich

= −

2(B.2/15)

Damit können die Gleichungen für die Spannungen und Verschiebungen können wie folgt an-

gegeben werden

( ) =

4

µ

3− (1− 2)

(+ )

¶(B.2/16)

( ) =

4

µ

3− (1− 2)

(+ )

¶ ( ) =

4

µ2

3+2 (1− )

¶

304 B.2 Punktbelastung eines elastischen Halbraums

Die Komponenten des Spannungstensors lassen sich durch Bildung des Verzerrungstensors und

Anwendung des Hooke’schen Gesetzes berechnen. Für den obigen Fall einer einzelnen Nor-

malkraft gilt

( ) =

2

∙(1− 2)2 + 2

½³1−

´ 2 − 2

2 + 2+

2

3

¾− 3

2

5

¸(B.2/17)

( ) =

2

∙(1− 2)2 + 2

½³1−

´ 2 − 2

2 + 2+

2

3

¾− 3

2

5

¸ ( ) = −3

2

3

5

( ) =

2

∙(1− 2)2 + 2

½³1−

´

2 + 2−

3

¾− 3

2

5

¸ ( ) = −3

2

2

5

( ) = −32

2

5

Eine Variante des Boussinesq-Problems ist die Deformation einer Halbraumoberfläche, die statt

durch eine singuläre Einzelkraft durch eine auf einem Rechteck der Breite 2 und der Länge 2

konstante Normalspannung belastet ist. Dieses Problem wurde von Love behandelt [Lov82,

Joh03]. Für die Verschiebung der Halbraumoberfläche in vertikaler Richtung ( ) gilt

1− 2

= (+ ) ln

⎡⎣( + ) +q( + )2 + (+ )2

( − ) +q( − )2 + (+ )2

⎤⎦ (B.2/18)

+( + ) ln

⎡⎣(+ ) +q( + )2 + (+ )2

(− ) +q( + )2 + (− )2

⎤⎦+(− ) ln

⎡⎣( − ) +q( − )2 + (− )2

( + ) +q( + )2 + (− )2

⎤⎦+( − ) ln

⎡⎣(− ) +q( − )2 + (− )2

(+ ) +q( − )2 + (+ )2

⎤⎦Die obigen Lösungen gelten nur für einen elastischen Halbraum, d.h. bei Vernachlässigung

der Walzenkrümmung für eine Walze mit unendlichem Durchmesser. Nach [HMG98] wird die

Verschiebung der Walzenoberfläche wie folgt mit der Verschiebung im Walzenkern und einem

Korrekturterm korrigiert, um eine gültige Lösung für eine Walze mit endlichem Durchmesser

B Kontaktmechanische Grundlagen 305

zur erlangen. Bei einer im Punkt ( = 0 = 0 = 0) an der Walzenoberfläche angreifenden

Kraft gilt für die Oberflächenverschiebung in vertikaler Richtung

∗ ( ) = ( 0)− (0 ) +1 (0 )

(B.2/19)

mit der Vertikalspannung an der Walzenkernposition (0 ) aus Gl. (B.2/17) als

(0 ) = −32

3³p( − 0) + 02 +2

´5 (B.2/20)

Die Korrekturverschiebung im Walzenkern ist

(0 ) =

4

⎛⎜⎜⎜⎝ 2µq( − 0)2 + 02 +2

¶3 + 2 (1− )q( − 0)2 + 02 +2

⎞⎟⎟⎟⎠ (B.2/21)

Zur Berechnung der örtlichen Deformation der Walzenoberfläche wird in der vorliegenden Ar-

beit die Love-Lösung nach Gl. (B.2/18) angewandt. Dabei wird die Kontaktfläche in kleine

Rechtecke aufgeteilt. Für jedes Rechteck wird eine mittlere wirkende Druckspannung aus den

berechneten Spannungswerten der angrenzenden Gitterknoten verwendet. Die Korrekturen nach

Gl. (B.2/19) werden auf die Lösung angewandt.

B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern

Das Kontaktproblem zwischen zwei Zylindern ist von besonderer Bedeutung für die gegensei-

tige Beeinflussung von Stütz- und Arbeitswalzen in Vier- und Mehrwalzengerüsten.

Abbildung B.3/1 zeigt zwei Kreisscheiben unterschiedlicher Radien 1 und 2 im gegensei-

tigen Kontakt. Im linken Teilbild ist der unbelastete Zustand zu sehen. Der Abstand zwischen

den Kreismittelpunkten ist hier = 1 + 2. Im rechten Teilbild ist die Situation bei einer

wirkenden diametralen Kraft dargestellt. Die Oberflächen der Kreisscheiben verformen sich.

Der beiden Körpern gemeinsame Kontaktflächenanteil ist hier durch die Kontaktbreite ge-

kennzeichnet. Der Abstand zwischen den Kreismittelpunkten verkleinert sich in diesem Fall auf

0 .

Betrachtet man einen Kreiszylinder der Länge und des Radius , dann erzeugt der Kontakt

des Zylinders mit einem anderen Körper eine Hertz’sche Spannungsverteilung gemäß

() =2

s1− 2

2(B.3/1)

306 B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern

Abbildung B.3/1: Links: Zwei Kreiszylinder im kraftlosen Kontakt. Rechts: Mit diametraler Last

Nach Johnson [Joh03] sind im ebenen Verzerrungszustand die Horizontal- und Vertikalspan-

nungen in einem Punkt unterhalb der Oberfläche des Zylinders wie folgt gegeben

( ) =

Ã1

− 2 (

2 + 2

2)

2p2 + 2

+4

2

!(B.3/2)

( ) =

Ã1

− 2

2− − 2p

2 + 2

!

Für die Vertikaldehnung gilt

=1− 2

µ −

1−

¶(B.3/3)

Integriert man Gl. (B.3/3) von = 0 bis = , dann folgt die Eindrückung des Zylinders in

der Kontaktfuge zu

1 = 1− 2

µ2 ln

µ4

¶− 1¶

(B.3/4)

Behandelt man beide am Kontakt beteiligte Körper entsprechend, dann folgt die Gesamtabplat-

tung zu

=2

µ1− 211

ln

µ41

¶+1− 222

ln

µ42

¶−µ1− 2121

+1− 2222

¶¶(B.3/5)

B Kontaktmechanische Grundlagen 307

Unter der Verwendung der von Hitchcock eingeführten elastischen Konstanten der Kontaktpart-

ner

=16

1− 2

(B.3/6)

ist Gl. (B.3/5) äquivalent zu

=

µ1

8ln

µ41 ()

¶+

2

8ln

µ42 ()

¶− 1 + 2

16

¶(B.3/7)

Für die halbe Abplattungsbreite und den kombinierten Krümmungsradius der Kontaktpartner

gelten

=

r(1 + 2)12

4(B.3/8)

mit1

12=

1

1+1

2(B.3/9)

Aus diesen Gleichungen wird unmittelbar klar, dass die radialer Abplattung der Zylinder

eine nichtlineare Funktion der Kontaktkraft ist. Bildet man die Taylor-Reihe von () an

der Stelle 0, so folgt Gl. (B.3/10).

( 0) = 0+

( − 0)+

1

2

2

2( − 0)

2+1

6

3

3( − 0)

4++1

!

( − 0)

(B.3/10)

Der Abbruch der Reihe nach dem zweiten Glied führt auf die Linearisierung des Zusammen-

hangs in der Umgebung des Arbeitspunktes 0

( ; 0) ≈ 0 +

( − 0) (B.3/11)

Die Kontakt-Nachgiebigkeit von Gl. (B.3/7) führt auf

=1

8

"1 ln

Ã81p

12 (1 + 2)

!+ 2 ln

Ã82p

12 (1 + 2)

!− (1 + 2)

#(B.3/12)

Die Kontakt-Steifigkeit ergibt sich dann zu

=

=

µ

¶−1(B.3/13)

308 B.3 Kontakt von zylindrischen Körpern

20

22

24

26

28

30

32

34

36

38

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Kon

takt

stei

figk

eit c

k [k

N/m

m2 ]

Kontaktkraft f [kN/mm]

EAW = 175 kN/mm2

EAW = 220 kN/mm2

EAW = 310 kN/mm2

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Abp

latt

ung

[mm

]

Kontaktkraft f [kN/mm]

Abbildung B.3/2: Kontaktsteifigkeit und Abplattung beim Kontakt zweier zylindrischer Körper.1 = 750; 2 = 1500. 2 = 175 ;1 variiert

Abbildung B.3/2 zeigt den Kontaktsteifigkeits- und Abplattungsverlauf am Beispiel des Kon-

taktproblems der Walzenballen von Arbeits- und Stützwalze in einem Vierwalzengerüst für ver-

schiedene Elastizitätsmodule des Arbeitswalzenwerkstoffs. Der Ballendurchmesser der Arbeits-

walze beträgt = 750, der Ballendurchmesser der Stützwalze beträgt = 1500

Der Elastizitätsmodul des Stützwalzenballens beträgt in den Berechnungen = 175 2 .

Loo [Loo58b],[Loo58a] konnte eine Erweiterung der Kontaktmechanik nach Hertz mit verbes-

serter Berücksichtigung gekrümmter Oberflächen angeben.

Nach Hertz [Her81] wird die Taylorreihenentwicklung der Kontaktflächengeometrie nach dem

zweiten Glied abgebrochen, so dass nur eine lineare Kontaktfläche berücksichtigt wird. Loo

setzte die Reihenentwicklung bis zum vierten Glied fort. Nach Loo muss Gl. (B.3/8) für den

Kontakt von Zylindern wie folgt angegeben werden

∗ =1

2

r2

(1+2)

h2

12+

4

³1421

+ 2422

´i (B.3/14)

B Kontaktmechanische Grundlagen 309

Für die Kontaktnachgiebigkeit ist Gl. (B.3/7) weiterhin gültig. Durch Einsetzen von Gl. (B.3/14)

in Gl. (B.3/7) folgt zunächst für die Kontaktverformung

∗ () = 1

µ ln [81 ()]

8−

16

¶+ 2

µ ln [82 ()]

8−

16

¶(B.3/15)

mit =

vuut 412+

2

³1421

+ 2422

´ (1 + 2)

Die Kontakt-Nachgiebigkeit folgt durch Ableiten von Gl. (B.3/15) nach der Kraft zu

∗

= 1

Ãln¡2√21 ()

¢8

− 1

16− 2

21

22

!+ (B.3/16)

2

Ãln¡2√22 ()

¢8

− 1

16− 2

21

22

!

mit () =

s

212212 (1 + 2)

und () = 3221

22 + 212

21 + 212

22

Abbildungsverzeichnis

Abbildung 1.2/1 Walzverfahren. A) Längswalzen B) Querwalzen C)Schrägwalzen. a: Walzgut, b: Werkzeuge (Walzen) . . . . . . . . . . . . . . 2

Abbildung 1.3/1 Rohstahlerzeugung auf der Welt seit 2005. Daten nach[Wir17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Abbildung 1.3/2 Auftragseingang deutscher Walzwerke von 2005 bis 2016.Daten nach [Wir17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Abbildung 1.3/3 Auftragseingang deutscher Walzwerke für Flachstahl von 2005bis 2016. Daten nach [Wir17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Abbildung 1.3/4 Auftragseingang deutscher Walzwerke für Langprodukte von2005 bis 2016. Daten nach [Wir17] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Abbildung 1.3/5 Materialfluss bei der Herstellung von Flach- undVollquerschnitten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Abbildung 2.4/1 Verteilungsfunktion für sieben Stiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Abbildung 2.4/2 Berechnete Streckgradverteilung für das betrachtete Beispielmit drei Gewichtungsfaktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Abbildung 3.4/1 Berechnete Warmfließkurve des Werkstoffs C55 in Abhängig-keit des Umformgrades , der Umformgeschwindigkeit

· und

der Umformtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Abbildung 4.1/1 Gleitlinienfeld für das Warmwalzen, eigene Berechnungen nach[DC73] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Abbildung 4.2/1 Gegenseitige Beeinflussung von Teilmodellen für dieModellierung des Walzprozesses in einem Vierwalzengerüst . . . . . 23

Abbildung 4.3/1 Zur Geometrie und Kinematik des Walzspalts, nach [SS83] . . . . . . 25

Abbildung 4.3/2 Kräfte am Walzgut zum Zeitpunkt des Greifens, nach [SS83] . . . . . 28

Abbildung 4.3/3 Durch Voreilungsmessungen ermittelte Reibwerte beimWarmwalzen von Flachquerschnitten [HOM09] . . . . . . . . . . . . . . . 34

Abbildung 4.3/4 Typische Planheitsfehler bei gewalzten Flacherzeugnissen(Auszug), nach [Els04] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Abbildung 4.4/1 Kräftegleichgewicht am Walzspalt in der xz-Ebene. A)Angreifende Kräfte; B) Zerlegung in der Voreilzone; C)Zerlegung in der Nacheilzone, nach [SS83] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Abbildung 4.4/2 Von Orowan an Plastilin-Proben beobachtete inhomogeneFormänderung im Walzgutinneren [Oro43] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Abbildung 4.4/3 Zweidimensionales Winkelkoordinatensystem im Walzspaltnach Orowan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Abbildung 4.4/4 Verlauf der -Funktion gemäß Gl. (4.4/7) in Abhängigkeitdes Schubspannungsverhältnisses für zwei Grenzwerte des

312

Winkels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

Abbildung 4.4/5 Funktionen f3 und f5 für = 15 und unterschiedliche Wertedes Längszugparameters ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Abbildung 4.4/6 Horizontalspannungsverteilung in MPa bei einemWarmwalzstich. Walzendurchmesser = 750; = 3; = 0 4;Werkstoff C55; Reibwert = 0 3 . . . . . . . . . 48

Abbildung 4.4/7 Inhomogenitätsfunktion nach Orowan und vereinfachte Versionvon Yuen, Dixon und Nguyen für Winkel von 0 und 30 . . . . . . . . 49

Abbildung 4.4/8 Einteilung des Walzspaltes in Zonen elastischer und plastischerFormänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Abbildung 4.4/9 Abhängigkeit der Konstanten C1 von den Elastizitätsmodulenvon Arbeitswalzen und Walzgut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

Abbildung 4.5/1 Zweidimensionale Einteilung eines Walzspalts in Stabelemente(schematisch) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Abbildung 4.5/2 Dreidimensionaler Walzspalt mit am Stabelement angreifendenKräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

Abbildung 4.5/3 An einem Körper angreifende Normal- und Schubspannungenin rechtwinkligen Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Abbildung 4.5/4 Geschwindigkeitsempfindlichkeit der Reibwertes fürunterschiedliche Empfindlichkeitsparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Abbildung 4.5/5 Berechnete Spannungsverteilung für das Beispiel nachTabelle 4.5/1 unter Vernachlässigung der elastischenFormänderungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

Abbildung 4.5/6 Verzerrtes Gitter für einen Walzstich bei ebener undparallelepipedischer Umformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Abbildung 4.5/7 Nach Gl. (4.5/58) berechnetes parallelepipedisch verzerrtersGitter bei einem Flachstich mit Breitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Abbildung 4.6/1 Auf das Walzgut wirkende thermische Einflüsse . . . . . . . . . . . . . . . 75

Abbildung 4.6/2 Wärmedurchgangskoeffizient nach Pawelski in Abhängigkeitder Berührzeit und der Zunderdicke, eigene Berechnungen nach[Paw69] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Abbildung 4.6/3 Temperaturabhängigkeit thermophysikalischer Daten von dreiStahlwerkstoffen. Daten nach [Bri53] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Abbildung 4.6/4 Zweidimensionales Gitter mit nicht-konsanter Schritt-weitenverteilung für Temperaturberechnungen an einemFlachquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Abbildung 4.6/5 Fünfpunktestern und schematischer Verlauf der gemitteltenWärmeleitfähigkeiten und Wärmeströme auf dem Gitter . . . . . . . . . 82

Abbildung 4.6/6 Temperaturprofil (oben) und Temperaturverteilung (unten) fürdie Brammenwalzung nach Tabelle 4.6/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Abbildung 4.7/1 Auswirkungen einer Längsspannung zwischen zwei Gerüstenauf die Spannungs- und Geschwindigkeitsverteilungen in den

Abbildungsverzeichnis 313

Walzspalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

Abbildung 4.7/2 Längszugverteilung in der Fertigstaffel eines Warmbandwalz-werks in Abhängigkeit der Vorbanddicke (oben) und Reaktionauf einen Drehzahlfehler (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

Abbildung 4.8/1 Annäherung einer Spannungsverteilung im Walzspalt durcheine elliptische Ersatzspannungsverteilung, nach [Cha06] . . . . . . . 100

Abbildung 4.8/2 Nichtzylindrische Walzenabplattung (übertrieben) mitAuswirkungen auf die gedrückte Länge und die austretendeWalzguthöhe durch elastische Rückfederung . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Abbildung 4.8/3 Spannungsverteilung und Walzendeformation für einenFolienwalzstich. Vergleich zwischen ideal starren Walzen undStahlwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Abbildung 4.8/4 Oben: Auf die Walzenoberfläche wirkende Spannungsverteil-ung; Unten: Resultierende Oberflächendeformation in radialerRichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Abbildung 4.8/5 Walze als Biegenbalken auf zwei Stützen mit nicht-mittigangreifender Belastungskraft F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Abbildung 4.8/6 Beispielhafte Abmessungen einer Walze eines Zweiwalzenge-rüstes und Diskretisierung mit Finiten Balkenelementen . . . . . . . . 109

Abbildung 4.8/7 Geometrie der Arbeits- und Stützwalze eines Vierwalzengerüs-tes und Diskretisierung durch Finite Balkenelemente . . . . . . . . . . 111

Abbildung 4.8/8 Gemessener Walzenverschleiß in einem Gerüst F3 einesWarmbreitbandwalzwerks. Daten nach [SETF14] . . . . . . . . . . . . . 113

Abbildung 4.8/9 Berechneter Walzenverschleiß in den Gerüsten der Fertigstaffeleines Warmbandwalzwerks nach einer gewalzten Bandlängevon 88,3 km. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Abbildung 4.9/1 Skizze des Walzspalts mit Spritzbalken zur Kühlung derOberwalze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

Abbildung 4.9/2 Berechnetes Walzentemperaturfeld in tangentialer Richtungfür unterschiedliche Radialkoordinaten. Daten nach Tabelle4.9/1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Abbildung 4.9/3 Verteilung der thermophysikalischen Eigenschaften in radialerRichtung einer Arbeitswalze eines Warmwalzwerkes . . . . . . . . . . 127

Abbildung 4.10/1 Berechnete Walzguthöhenverteilung bei einem Kaltwalzstichvon 0 = 2 5 auf 1 = 1 85 mit deutlicherKantenanschärfung, Bandbreite = 800 , WerkstoffC15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Abbildung 4.11/1 Geometrie der Stütz- und Arbeitswalzen eines betrachtetenVierwalzengerüstes und Diskretisierung durch FiniteBalkenelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Abbildung 4.11/2 Auswirkungen eines parabolischen Arbeitswalzen- oderStützwalzen-Schliffes mit Abschliffmaßen zwischen 0 mm und

314

0,4 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

Abbildung 4.11/3 Skizze von Walzenballen mit CVC-Schliff bei verschiedenenVerschiebungen. A: Neutrale Verschiebung; B: PositiveVeschiebung (Konkaves Band); C: Negative Verschiebung(Konvexes Band) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

Abbildung 4.11/4 Kontur der Oberwalze (oben) im nutzbaren Ballenbereich undeinstellbare Walzspalthöhenverläufe (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Abbildung 4.11/5 Biegespannungs- und Kontaktkraftverläufe in Abhängigkeit derCVC-Verschiebeposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

Abbildung 4.11/6 Einstellbare Walzspaltprofile durch Arbeitswalzenrückbiegung(oben) und Auswirkungen auf die Kontaktkraftverteilungzwischen Arbeits- und Stützwalze (unten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

Abbildung 5.1/1 Verdrängte und wiedererscheinende Querschnittsansteilean einem rechteckigen Ein- und Austrittsquerschnitt beimFlachwalzen, nach [Mau05] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Abbildung 5.1/2 Einteilung des Walzspaltes in Zonen zwei- und dreichasigerFormänderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

Abbildung 5.3/1 Temperaturabhängiger Breitungskoeffizient ∆∆ fürverschiedene Stähle nach [GG59] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

Abbildung 5.6/1 Vergleich des lokalen Breitungsverlaufes gemäß der Modellenach Roux, Marini, Wusatowski und Domanti . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Abbildung 6.1/1 Übersicht über warmgewalzte Langerzeugnisse . . . . . . . . . . . . . . . 160

Abbildung 6.2/1 Systematische Einteilung von Kalibrierungen nach [Neu76]. A)Reguläre Kalibrierung; B) Einfach irreguläre Kalibrierung; C)Kompliziert irreguläre Kalibrierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Abbildung 6.2/2 Kalibrierung für eine Rillenschiene als Beispiel einerkompliziert-irregulären Kalibrierung, nach [Mau08] . . . . . . . . . . . 163

Abbildung 6.3/1 Kalibrierung eines Drahtwalzwerks mit Anstich 80 mm Quadratauf 5,5 mm Rund. Nach [SP64] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Abbildung 6.3/2 Prinzipskizze eines Einradien-Ovalkalibers mit denbestimmenden geometrischen Größen Radius R1, Radius R2,Walzspalt s, Höhe h , Breite b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

Abbildung 6.3/3 Prinzipskizze eines Zweiradien-Ovalkalibers mit denbestimmenden Größen Radien 1, 2, 3, Walzspalt , Höhe , Breite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Abbildung 6.3/4 Vergleich von Formvariationen bei Zweiradien-Ovalkalibern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Abbildung 6.3/5 Prinzipskizze eines Dreiradienovalkalibers mit denbestimmenden Größen Radien R1, R2, R3, R4, Breite b , Höheh , Walzspalt s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Abbildung 6.3/6 Links: Konzentrisches Einradien-Rundkaliber; Rechts:Zweiradien-Rundkaliber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Abbildung 6.3/7 Rautenkaliber (links) und Quadratkaliber (rechts).

Abbildungsverzeichnis 315

R1: Hauptradius, R2: Übergangsradius; s: Walzspalt::Rautenwinkel; h: Höhe; b: Breite; c: Seitenlänge desQuadratquerschnitts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Abbildung 6.3/8 Skizze eines aufgeschnittenen Rautenkalibers mit Außen- undInnenbreiten sowie Übergangsradien und dem Walzspalt . . . . . . . 170

Abbildung 6.3/9 Kastenkaliber; Links: Rechteckform; Rechts: Quadratform.R1: Eckenradius; R2: Übergangsradius: : Seitenwinkel; h:Kaliberhöhe; b: Kaliberbreite; s: Walzspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Abbildung 6.3/10 Links: Positiv bombiertes Kastenkaliber; Rechts: Negativbombiertes Kastenkaliber. e: Bombierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

Abbildung 6.3/11 Flachkaliber für das Dreiwalzenverfahren. Links: nichtbombiertes Flachkaliber; Rechts: negativ bombiertesFlachkaliber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Abbildung 6.3/12 Nicht aufgeschnittene Kaliber für das Dreiwalzenverfahren.Links: nicht-exzentrisches Kaliber; Rechts: exzentrischesKaliber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Abbildung 6.3/13 Nicht exzentrische aufgeschnittene Kaliber für dasDreiwalzenverfahren. Links: Aufgeschnittenes Einradien-Rundkaliber; Mitte: Weit aufgeschnittenes Rundkaliberals Vorkaliber; Rechts: Aufgeschnittenes Zweiradien-Rundkaliber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Abbildung 6.3/14 Aufgeschnittenes exzentrisches Einradien-Dreiwalzenkaliber . . . . . 175

Abbildung 6.3/15 Aufgeschnittenes, exzentrisches Zweiradien-Dreiwalzenkaliber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

Abbildung 6.3/16 Gebräuchliche Formen von Round Cornered Square-Kalibern.Links: Form mit geradem Kalibergrund; Rechts: Form mitausgerundetem Kalibergrund. h : Kaliberhöhe; h : Profilhöhe;b : Kaliberbreite; b : Breite des Kalibers in der Walze; R:Kaliberradius; s: Walzspalt; b: Innenbreite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

Abbildung 6.4/1 Bestimmung der sich unter direktem Druck befindlichenQuerschnittsteile nach Lendl; Links: Eintrittsprofil; Rechts:Austrittsprofil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

Abbildung 6.4/2 Vergleich der errechneten Profilbreiten für die Daten nachTabelle 6.4/1. Breitungsberechnung nach Marini. . . . . . . . . . . . . . 184

Abbildung 6.4/3 Durch einen Polygonzug mit 280 Punkten diskretisierteGeometrie eines Zweiradien-Ovalkalibers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

Abbildung 6.4/4 Zur Bestimmung eines Schnittpunkts S von zwei durchPunktfolgen gegebenen Konturen P und Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Abbildung 6.6/1 Beispiel für eine Temperaturprofilberechnung eineshalbkontinuierlichen Stabstahlwalzwerkes mit Kühlstrecke vor

316

der Fertigwalzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

Abbildung 6.7/1 Geometrische Bezeichnungen am Dreiwalzen-Flachstich . . . . . . . 196

Abbildung 6.7/2 Einflussbereiche I,II,III der Walzen und Zerlegung der auf dieWalzenflächen wirkenden Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

Abbildung 6.7/3 Wirkung innerer Druckspannungen im Dreiwalzenstich in denProfilteilen I, II und III . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

Abbildung 6.7/4 A) Am Hexagonelement angreifende Kräfte; B) Zerlegung deran der Belastungskante wirkenden Kräfte in der Voreilzone; C)Zerlegung in der Nacheilzone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

Abbildung 6.7/5 Äquivalenzflächen an einem Profilstich im Dreiwalzenverfah-ren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Abbildung 6.7/6 Bildung des Umformraums im Dreiwalzenverfahren durchcharakteristische Anordnung der Walzscheiben mit WalzspaltNull. Links: Flache Walzbahnen; Rechts: KalibrierteWalzscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

Abbildung 6.7/7 Wichtige Durchmesser als Walzscheiben für dasDreiwalzenverfahren. Links: Kalibrierte Walzscheibe;Rechts: Flachbahn. :Kabliergrunddurchmesser; :Ballendurchmesser; : Nenndurchmesser . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Abbildung 6.7/8 Zur Berechnung des arbeitenden Walzendurchmessers beimDreiwalzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210

Abbildung 6.7/9 Vergleich geometrischer Größen der Breiten- undHöhenformänderung; A) Dreiwalzenverfahren; B)Zweiwalzenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

Abbildung 6.7/10 Vergleich des Zwei- und Dreiwalzenverfahrens anhand vonRechenergebnissen äquivalenter Walzsstiche . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

Abbildung 6.8/1 Auswirkungen der elastischen Gerüstauffederung auf denProfilquerschnitt beim Profilwalzen in einer Rund-Oval-Kaliberreihe am Beispiel zweier aufeinander folgenderStiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

Abbildung 6.8/2 Auswirkung der Gerüstauffederung auf die Profilquerschnitteim Dreiwalzenverfahren anhand zwei aufeinander folgenderStiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Abbildung 6.10/1 Prinzipskizze zum Walzziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

Abbildung 6.10/2 Oval- und Rund-Kaliber zum Walzziehen eines Drahtes von0 = 5 5 an 1 = 4 54 in zwei Stichen . . . . . . . . . . . . . . 224

Abbildung 6.10/3 Berechnete Horizontalspannungsverteilung im Ovalstich undRundstich beim Walzziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

Abbildung 7.1/1 Skizze einer siebengerüstigen Fertigstaffel bestehend ausVierwalzengerüsten mit Schlingenhebern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Abbildung 7.1/2 Temperaturprofil der Warmbandwalzung in der siebengerüstigenFertigstaffel mit einer Referenztemperatur von 1000 30 m

Abbildungsverzeichnis 317

vor Einzug in die Fertigstaffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Abbildung 7.1/3 A) Entwicklung des Bandprofils ohne Eingriffe bei isothermenWalzen; B) Entwicklung des Bandprofils beim 5. Band mitthermisch deformierten Walzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Abbildung 7.1/4 Berechnete Bandprofile ohne Profil- und Planheitsbeeinflussungfür das 10. und 20. Band . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

Abbildung 7.1/5 Dickenprofile für das 5. Band im Vergleich ohneProfileingriffe und durch Verwendung des gleichen CVC-Arbeitswalzenschliffs in allen Gerüsten mit unterschiedlichangepassten Verschiebungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Abbildung 7.1/6 Dimensionsloser Querflussparameter für dieWarmbandwalzung nach Abbildung 7.1/3 (A) . . . . . . . . . . . . . . . . 234

Abbildung 7.1/7 Verteilung der Streckungsunterschiede über die Bandbreite mitCVC-Eingriffen für die ersten drei Stiche, Dickenprofile nachAbbildung 7.1/5 (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Abbildung 7.1/8 Verteilung der Streckungsunterschiede über die Bandbreitemit CVC-Eingriffen für die Stiche 5-7, Dickenprofile nachAbbildung 7.1/5 (B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

Abbildung 7.2/1 Entwicklung des Walzspaltprofils beim Walzen des Stichplansgemäß Tabelle 7.2/2 in 5 Stichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Abbildung 7.2/2 Entwicklung des Dickenprofils für die Walzung nach Tabelle7.2/2, wenn eine Rückbiegekraft von +200 kN in jedem Stichangewandt wird . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Abbildung 7.2/3 Beeinflussung des Dickenprofils (oben) und derWalzkraftverteilung (unten) durch Längsspannungen beimKaltwalzen. h0 = 2 5; 1 = 1 4;Werkstoff C15 . . . . . . 241

Abbildung 7.2/4 Berechnete Streckungsverteilungen beim Kaltwalzen mitunterschiedlichen Längsspannungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

Abbildung 7.2/5 Einfluss der Höhenformänderung auf das Dickenprofil und dieWalzkraftverteilung. Werkstoff C14, h0 = 2 5 mm . . . . . . . . . . . . 244

Abbildung 7.2/6 Auswirkung der bezogenen Höhenänderung auf dieStreckungsverteilung beim Kaltwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

Abbildung 8.1/1 Reaktion auf werkstoffabhängige Breitungseffekte durchAnstellung eines Ovalkalibers für 16 mm Rund [OM11].Walzendurchmesser 220 mm / 160 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248

Abbildung 8.1/2 Sinnvolle Kaliberfüllungen für Kasten-, Oval- undRundkaliber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Abbildung 8.1/3 Vergleich von Kontaktbedingungen beim Anstich eines um5% unterfüllten Rundquerschnitts (Nennmaß 98 mm) imnachfolgenden Ovalstich (links) und mit einem Kreisquerschnitt(rechts) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251

Abbildung 8.1/4 Breitunngsfaktoren verschiedener Werkstoffe bei zuberücksichtigenden Temperaturen und konstruierter

318

Auslegungswerkstoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

Abbildung 8.1/5 Ein- und Austrittsprofile des Fertigstichs, Nenndurchmesser 18mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

Abbildung 8.2/1 Kaliber des Duo-Sizing-Blockes (4 Stiche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

Abbildung 8.2/2 Betrachtete Layoutvarianten zum Sizing bei einemDrahtwalzwerk (1) und einem Stabstahlwalzerk (2) . . . . . . . . . . . . 257

Abbildung 8.2/3 Kalibrierung des in der Layoutvariante 2C verwendetensechsgerüstigen Sizingblockes im Dreiwalzenverfahren. Anstich35 mm, Endquerschnitt 20 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

Abbildung 8.2/4 Maßabweichungen des Fertigquerschnitts für einenEnddurchmesser von 19,75 mm. Vergleich von konventionellerKalibrierung, Sizing-Kalibrierung und mathematischem Kreis.Skalierungsfaktor der Maßabweichungen: 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261

Abbildung 8.2/5 Längsspannungen beim Walzen unterschiedlicher Werkstoffemit unveränderten Walzendrehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

Abbildung 8.2/6 Anstichprofile in den Fertigblock; (A) KonventionelleKalibrierung; (B) Mit Dreiwalzen-Sizingblock . . . . . . . . . . . . . . . 264

Abbildung 8.3/1 Antriebssystem eines Drahtfertigblocks [Wup74] . . . . . . . . . . . . . 266

Abbildung 8.3/2 Kalibrierung eines Drahtfertigblockes (Standard-Block) für 5,5mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Abbildung 8.3/3 Kalibrierung des Standard-Fertigblocks für die Endabmessung9,0 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Abbildung 8.3/4 Gerüstauffederung und Längsspannungen beim Walzen von 5,5mm aus 17 mm in einem Standardblock, Werkstoff C15 . . . . . . . . 271

Abbildung 8.3/5 Temperatureinfluss auf die Längsspannungsverteilung in einemachtgerüstigen Walzvorgang in einem Drahtfertigblock für 9mm. 8 Stiche, Anstich 22,5 mm Rund . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

Abbildung 8.3/6 Temperatureinfluss auf den Fertigquerschnitt für 9 mm . . . . . . . . . 273

Abbildung 8.3/7 Einfluss des Anstichquerschnitts auf die Länggsspannungsver-teilung im Fertigblock bei 5,5 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

Abbildung 8.3/8 Einfluss des Anstichquerschnitts auf den Fertigquerschnitt ineinem zehngerüstigen Drahtfertigblock für 5,5 mm . . . . . . . . . . . . 275

Abbildung 8.1/1 Verformter Biegebalken mit Krümmungsradien undBogenlängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

Abbildung 8.1/2 Gleichgewicht am Element eines Biegebalkens mitBiegemoment , Querkraft und Linienlast () . . . . . . . . . . . 281

Abbildung 8.3/1 Finites Balkenelement der Länge , belastet durch eineLinienlast () und die Momente 1 und 2 an den Knoten(1) und (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Abbildung 8.3/2 Ansatzfunktionen des Balkenelements nach Gl. (A.3/6) . . . . . . . . 287

Abbildung 8.1/1 Elastische Deformation einer ursprünglich zur x-Achseparallelen Halbraumoberfläche unter Einwirkung einer

Abbildungsverzeichnis 319

Streckenlast gemäß Gl. (B.1/13). Nach [Joh03] . . . . . . . . . . . . . 297

Abbildung 8.3/1 Links: Zwei Kreiszylinder im kraftlosen Kontakt. Rechts: Mitdiametraler Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

Abbildung 8.3/2 Kontaktsteifigkeit und Abplattung beim Kontakt zweierzylindrischer Körper. 1 = 750 ; 2 = 1500 .2 = 175 ;1 variiert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

Tabellenverzeichnis

Tabelle 2.4/1 Streckgrad- und Banddickenverteilungen für drei Gewichtungsfakto-ren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Tabelle 3.4/1 Regressionskoeffizienten von Gl. (3.4/1) für ausgewählte Werkstoffe[MG00] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Tabelle 4.5/1 Parameter für ein Rechenbeispiel zur Spannungsverteilung . . . . . . . . . . . 67

Tabelle 4.6/1 Parameter für eine Brammenwalzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

Tabelle 4.7/1 Stichplan einer siebengerüstigen Fertigstaffel, Endwalzgeschwindig-keit: 10 m/s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Tabelle 4.8/1 Werte für C nach Hitchcock für verschiedene Walzenwerkstoffe . . . . . . 100

Tabelle 4.8/2 Parameter eines Kaltwalzstiches als Beispiel für die zweidimensionaleWalzenoberflächendeformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

Tabelle 4.8/3 Verschleißratenkoeffizient für verschiedene Walztemperaturennach [LG94] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

Tabelle 4.8/4 Walzenwerkstoffpaarungen in einem Warmbandwalzwerk mitElastizitätsmodulen und Abrasionskoeffizienten. Daten nach[SETF14] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Tabelle 4.9/1 Daten für ein Rechenbeispiel zum stationären Walzentemperaturpro-fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Tabelle 4.11/1 Auslegungsdaten eines CVC-Walzenschliffs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Tabelle 5.3/1 Regressionskoeffizient in Gl. (5.3/6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Tabelle 5.5/1 Wertebereich der zugrunde gelegten Messwertsammlung,Stichprobenumfang N=833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Tabelle 5.5/2 Regressionsergebnisse mit den Breitungsansätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Tabelle 6.4/1 Kaliberdaten einer viergerüstigen Rund-Oval-Rund Kaliberreihe zumWalzen von 50 mm Rund auf 32 mm Rund zum Vergleich zweierÄquivalenzverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

Tabelle 6.4/2 Rechenergebnisse im Vergleich zweier Äquivalenzverfahren . . . . . . . . . 184

Tabelle 6.5/1 Drei gebräuchliche Kaliberreihen mit Haupt- und Zwischenkali-bern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Tabelle 6.9/1 Sechsgerüstige Anlagenkonfiguration als Beispiel für dasZusammenwirken von Gerüstauffederung und Längsspannungen . . . . . . 220

Tabelle 6.9/2 Auswirkungen der Gerüstauffederung auf Längsspannungen; n:Walzendrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Tabelle 6.10/1 Vorgabe- und Ergebnisparameter für die betrachtetenWalzziehstiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225

Tabelle 7.1/1 Grenzabmaße der Banddicke für kontinuierlich warmgewalztes Bandaus weichen Stählen zum Kaltumformen, nach DIN EN 10051 (AlleAbmessungen in mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

Tabelle 7.1/2 Zulässige Bombierung bei Warmband zum Kaltwalzen in

322

Abhängigkeit der Werkstoffklasse nach DIN EN 10051 (AlleAbmessungen in mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Tabelle 7.1/3 Zulässiger Dickenunterschied innerhalb einer Coillänge nach DIN EN10051 (Alle Abmessungen in mm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Tabelle 7.1/4 Stichplan für eine siebengerüstige Fertigstaffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Tabelle 7.1/5 Verwendete CVC-Verschiebungen für die durchgeführtenModellrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

Tabelle 7.2/1 Normale und eingeschränkte Grenzabmaße der Banddicke fürKaltband mit einer Mindeststreckgrenze bis 260 MPa nach DIN EN10131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238

Tabelle 7.2/2 Stichplan für eine fünfgerüstige Kaltbandwalzung. Anfangsdicke: 2,0mm, Bandbreite: 800 mm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Tabelle 7.2/3 Walzkraft, Auffederungsanteile und berechnete Gerüststeifigkeit beimKaltwalzen, Werkstoff: C15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Tabelle 8.1/1 Gerüstdaten für eine zwölfgerüste Vor- und Zwischenstraße mitsechsgerüstigem Dreiwalzenblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Tabelle 8.1/2 Betrachtete Werkstoffe mit mittleren Breitungsfaktoren und typischenOfenziehtemperaturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Tabelle 8.1/3 Hauptkaliberfolge für die Zweiwalzengerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Tabelle 8.1/4 Zwischenkaliberfolge für die Zweiwalzengerüste . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Tabelle 8.1/5 Kaliberfolge für den Dreiwalzenblock . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Tabelle 8.1/6 Notwendige Gerüstanstellungen für die Zwischenkaliber bei denuntersuchten Werkstoffen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Tabelle 8.2/1 Mögliche Querschnittsvariationen beim Duo-Sizing . . . . . . . . . . . . . . . . 259

Tabelle 8.2/2 Mögliche Querschnittsvariationen beim Dreiwalzen-Sizing . . . . . . . . . . 260

Tabelle 8.2/3 Zusammenfassung der Maßabweichungen bei einem auf 19.75 mmangestellten Kaliber mit und ohne Sizing unter Berücksichtigung derGerüstauffederung bei C55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Tabelle 8.2/4 Zusammenfassung der Maßabweichungen bei unterschiedlichenWerkstoffen (ohne Sizing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

Tabelle 8.2/5 Querschnitt aus Gerüst 14V beim Drahtwalzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Tabelle 8.3/1 Auszug aus dem Produktionsprogramm eines Drahtfertigblocks,Endabmessungen mit Anstichquerschnitt und verwendetenGerüsten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267

Tabelle 8.3/2 Auslegungsdaten des zehngerüstigen Standardblocks für dieAbmessung 5,5 mm mit Getriebeübersetzungen, Walzendrehzahlen,Nenndurchmessern, Arbeitenden Durchmessern, Geschwindigkeitenund Profilflächen. Auslegung ohne Voreilung mit = 1 . . . . . . . . . . . 269

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