Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

28
Modellierung von Zellstru kturen 1 Modellierung von Zellstrukturen Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren

Transcript of Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Page 1: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 1

Modellierung von Zellstrukturen

Dynamisches Verhalten

Mathematische Ansätze

Rechenverfahren

Page 2: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 2

Stoffunabhängige Gleichungen

Materialgesetze

Kompatibilität

Modellierung von Zellstrukturen

15 Unbekannte:

x y z xy xz yz

x y z xy xz yz

u v w

Page 3: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 3

Mathematische Ansätze

3 stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen

6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen

6 Materialgleichungen

Page 4: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 4

Gleichgewichtsgleichungen

F Fa

b

Stoffunabhängige Gleichungen

Virtueller Schnitt

Page 5: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 5

F

Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA

Normalspannungen=dFn/dA

Tangentialspannungen =dFt/dA

dFn

dF

dFt

dA

Gleichgewichtsgleichungen

Stoffunabhängige Gleichungen

Page 6: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 6

x

y

z

yx

yz

zyzx

xy

xz

Stoffunabhängige GleichungenGleichgewichts-gleichungen

Page 7: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 7

Stoffunabhängige Gleichungen

Gleichgewichtsgleichungen:

x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0

Page 8: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 8

G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0

G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0

G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0

Modellierung von Zellstrukturen

Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen:

(Navier)

Page 9: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 9

u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2

v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2

w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2

Modellierung von ZellstrukturenIn den Navier Gleichungen sind:

(Laplace)

Page 10: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 10

x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0

(Beltrami)

Modellierung von ZellstrukturenEliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen:

Page 11: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 11

xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0

xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0

yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0

Modellierung von Zellstrukturen

(Beltrami)

Page 12: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 12

x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2

y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2

z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2

Modellierung von ZellstrukturenIn den Beltrami-Gleichungen sind:

Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung

Page 13: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 13

Stoffunabhängige Gleichungen

S - ü = 0

Spannungstensor Bechleunigungsvektor

Page 14: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 14

Stoffunabhängige Gleichungen

Gleichgewichtsgleichungen:

Sx= xex + yxey+ xzez

 Sy= yxex + yey + yzez

 Sz= zxex + zyez + zez

Tensordarstellung:

x xy xz

 S = yx y yz

 zx zy z

S Spannungstensor

Page 15: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 15

3 Stoffunabhängige Gleichungen

6 Materialgleichungen

6 Kompatibilitätsgleichungen

Modellierung von Zellstrukturen

15 Unbekannte:

x y z xy xz yz

x y z xy xz yz

u v w

Page 16: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 16

Modellierung von Zellstrukturen

Kompatibilitäts-

bedingung:

Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen

Page 17: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 17

Modellierung von Zellstrukturen

Kompatibilitäts-

bedingung:

Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen

u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez

Page 18: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 18

Modellierung von Zellstrukturen

B

C

A

A1 B1

D u(x+dx,y,dy,z)

u(x+dx,y,z)

u(x,y+dy,z)

u(x,y,z)

ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx

Page 19: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 19

Kinematisches Gleichgewicht

x = u/x u v w

y = v/y

z = w/z

xy = v/x + u/y

xz = w/x + u/z

yz = w/x + v/z

Page 20: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 20

Modellierung von Zellstrukturen

Kompatibilitäts-

bedingung:iklm= 0

Riemann Tensor 4. Stufe

Page 21: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 21

Modellierung von Zellstrukturen

Stoffgesetze:1-starres Material

2-linear-elastisch

3-nichtlinear-elast.

4-linear-elastisch-ideal-

plastisch

5-starr-plastisch

6-viskoses Material:

Kriechen

7-viskoses Material:

Relaxieren

12 3

45

6

σ

Page 22: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 22

Modellierung von Zellstrukturen

Stoffgesetze: , , SS

SpannungstensorSpannungsgeschwindigkeit

VerzerrungstensorVerzerrungsgeschwindigkeit

Page 23: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 23

Modellierung von Zellstrukturen

Elastisches

Materialverhalten

Stoffe ohne Gedächtnis

S

Spannungstensor

Verzerrungstensor

Page 24: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 24

Modellierung von Zellstrukturen

plastisches

Materialverhalten

Stoffe mit permanentem

Gedächtnis

S

Spannungsgeschwindigkeit

Verzerrungsgeschwindigkeit

Page 25: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 25

Modellierung von Zellstrukturen

viskoses

Materialverhalten

Stoffe mit schwindendem

Gedächtnis

S

Spannungstensor

Verzerrungsgeschwindigkeit

Page 26: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 26

Modellierung von Zellstrukturen

Biologische Systeme und Zellstrukturen sind in der Regel:

Nichtlinear, anisotrop, inhomogen

Zylindrische Anisotropie – Blutgefäße

Biologische Systeme zeigen ein elastisch bis viskoses Verhalten und können alle Zwischenstadien einnehmen

Zellen sind dynamische SystemeAggregationsprozesseDis

Page 27: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 27

Modellierung von Zellstrukturen

Zellen, Zellstrukturen dynamische Strukturen

Spontane Aggregationsprozesse Skelettfilamente

Spontane Abbauprozesse extrazelluläre Matrix

Frequenzabhängige Materialeigenschaften

Versuche zwingend erforderlich

Page 28: Modellierung von Zellstrukturen1 Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren.

Modellierung von Zellstrukturen 28

Modellierung von Zellstrukturen

Näherungsverfahren:

Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen

des Materialverhaltens

der Belastungsfunktionen

der Zeit, direkte Zeitintegration