Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung ......2013/02/11 · Motivation...

Modellprädiktive Regelung mit

analytischer Vorverarbeitung von

Beschränkungen

Knut Graichen Institut für Mess-, Regel- und Mikrotechnik | Universität Ulm

Elgersburg Workshop 2013

11.-14. Februar 2013

Knut Graichen | Elgersburg Workshop 2013 | 11. Februar 2013 Seite 3

Motivation Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen

MPC – Dynamische Optimierung auf bewegtem Horizont

Anwendbarkeit von MPC

■ Nichtlineare Systeme

■ Mehrgrößensysteme

■ Stellgrößenbeschränkungen

■ Zustandsbeschränkungen

Herausforderungen

■ Hoher numerischer Aufwand insbesondere bei Zustandsbeschränkungen

Anwendbarkeit schwierig bei hochdynamischen / komplexen Systeme


Vortragsübersicht Modellprädiktive Regelung mit analytischer Vorverarbeitung von Beschränkungen

Effiziente Berechnung modellprädiktiver Regler

■ MPC-Formulierung & Optimalitätsbedingungen

■ Effiziente numerische Lösung

■ Stabilitätsaspekte

■ Beispiel 1: Chemischer Reaktor (Simulation)

■ Beispiel 2: Magnetschwebeversuch (Experiment)

Analytische Vorverarbeitung von Zustandsbeschränkungen

■ Motivation & Ansatz im Eingrößenfall

■ Erweiterung auf Mehrgrößenfall

■ Beispiel 3: Brückenkran

Zusammenfassung


MPC-Formulierung

Dynamisches Optimierungsproblem

Lösung auf bewegtem Horizont

■ Prädizierte Trajektorien

■ Optimales Kostenfunktional

■ Stellgröße (optimales Regelgesetz)

■ Weiterschieben von Horizont

■ keine Zustandsbeschrän-

kungen (zunächst)

■ keine Endbeschränkungen


MPC-Formulierung: Optimalitätsbedingungen


Pontryagin‘s Maximumprinzip mit Hamilton-Funktion

■ sei optimal. Dann existiert so, dass gilt

■ erfüllen die kanonischen Gleichungen

■ minimiert die Hamilton-Funktion für alle :


kungen (zunächst)


Num. Lösung z.B. mit

Gradientenverfahren


Gradientenverfahren: Algorithmus

Gradientenschritt für

Anmerkungen

■ Berücksichtigung von Stellgrößenbeschränkungen über Projektionsfunktion

■ Adaptive Liniensuche für Schrittweite [Gr/Käpernick´12]

■ Feste Anzahl von Rechenoperationen speicher-/rechenzeiteffizient ausführbar

■ Gradientenverfahren besitzt lineare Konvergenzrate [Dunn´96]

■ MPC-Stabilitätsuntersuchung in [Gr/Kugi´10, Gr/Käpernick´12]


Quadrocopter [Kä/Gr´12 einger.] Rohrreaktor [Rhein et al.´12 einger.]

Komplexität nichtlineare Dynamik

9 Zustandsgrößen

4 Stellgrößen

nichtlineares PDGL-System

500 Zustandsgrößen (Semidiskr.)

2 Stellgrößen

MPC-Abtastzeit 1 ms 0.1 min

MPC-Horizontlänge 1 s 5 min

MPC-Rechenzeit (ca.) 200 μs 200 ms

Quelle: www.ardrone.com Quelle: ANSYS CFX

Gradientenverfahren: Rechenzeiteffizienz

Beispielsysteme

Ziel: weitere Reduktion von

■ algorithmischer Komplexität

■ Rechenaufwand

Fixpunktschema


MPC-Formulierung für Fixpunktschema


Beschränkung auf eingangsaffine Struktur

■ Systemdynamik

■ Integralkostenfunktion


kungen (zunächst)



MPC-Formulierung: Optimalitätsbedingungen


Pontryagin‘s Maximumprinzip mit Hamilton-Funktion

■ sei optimal. Dann existiert so, dass gilt

■ erfüllen die kanonischen Gleichungen

■ minimiert die Hamilton-Funktion für alle :


kungen (zunächst)


Ziel: Reduktion

der Optimalitäts-

bedingungen


Reduktion der Optimalitätsbedingungen

Eingangsaffine Hamilton-Funktion

Separiertes Minimierungsproblem

Steuerfunktion mit

Kanonische RWA

Numerische Lösung mit Fixpunktschema


Integration in Rückwärtszeit

Integration in Vorwärtszeit

Fixpunktschema

Fixpunktiteration

■ Initialisierung mit

■ Stop, falls oder Konvergenzkriterium erfüllt

Erweiterung: Dämpfung der Fixpunktiterationen

■ Dämpfungsfaktor

■ Temporäre Trajektorien


Fixpunktschema

Fixpunktiteration

■ Initialisierung mit

■ Stop, falls oder Konvergenzkriterium erfüllt

Erweiterung: Dämpfung der Fixpunktiterationen


■ Temporäre Trajektorien

Integration in Vorwärtszeit

Integration in Rückwärtszeit













Zusammenfassung


Fixpunktschema & MPC: Konvergenz & Stabilität


Annahmen für Konvergenz-/Stabilitätsbetrachtung

■ Betrachtung von Ruhelage

■ ist CLF auf

Satz (Stabilität bei optimaler Lösung):

Für alle mit dem Einzugsbereich

ist der Ursprung des MPC-geregelten Systems

asymptotisch stabil.


Fixpunktschema & MPC: Konvergenz & Stabilität [Gr´12]

Satz (Konvergenz des Fixpunktschemas):

Es existiert ein maximaler Horizont so, dass das Fixpunktschema für

alle und alle mit einer Konvergenzrate konvergiert:

Satz (Stabilität bei suboptimaler Lösung):

Das Fixpunktschema besitze die Konvergenzrate . Dann existieren

eine Mindestiterationsanzahl und ein max. initialer Optimierungsfehler

so, dass der Ursprung des MPC-geregelten Systems

asymptotisch stabil ist und der Optimierungsfehler exp. abnimmt.

Anmerkungen

■ Kompromiss zwischen Konvergenzrate und Größe von

■ In der Praxis deutliche Vergrößerung von durch Dämpfung der Fixpunktiterationen













Zusammenfassung


Beispiel 1: Chemischer Reaktor (CSTR)

Klatt-Engell-Reaktormodell

■ Zustandsgrößen

■ Stellgrößen

■ Ausgangsgrößen

■ Nichtlineare Ansätze für Reaktionskinetik & -enthalpie

Stellgrößenbeschränkungen

■

■


CSTR: MPC-Formulierung

Arbeitspunktwechsel AP1 AP2 [Utz et al.´07]

■

■

Kostenfunktional

■ Abweichungen von AP2 :

■ Keine Endgewichtung ( „hinreichend langer“ Horizont)

Fixpunktschema

■ Heun-Integrationsverfahren mit fester Schrittweite

■ C-Implementierung mit Matlab/Cmex-Interface

■ Abtastzeit für MPC

■ Prädiktionshorizont



CSTR: Dämpfung / Prädiktionshorizont

Gewichtungen in Kostenfunktional

Maximal zulässiger Horizont

■ Notwendig für Konvergenz

der Fixpunktiterationen

■ Dämpfung der Fixpunktiterationen

erhöht deutlich !

■ Wert von abhängig von

Gewichtungen

Gewählte Einstellungen:

■

■


CSTR: Simulationsergebnisse (N = 2)

Sehr gute Ergebnisse bereits für N = 2 Fixpunktiterationen pro MPC-Schritt


CSTR: Rechenzeitvergleich

Testrechner

■ Intel Core i7 (M620, 2.67 GHz), 4 GB

■ Windows 7 / Matlab 2010b (64 bit)

Rechenzeitvergleich mit

■ Gradientenverfahren [Gr. et al. 2010]

■ ACADO-Toolkit [Houska et al. 2011]

Fazit

■ Faktisch optimales Verhalten

bereits für N = 2 Fixpunktiterationen

Fixpunktschema benötigt minimalen

Rechenaufwand & Speicherbedarf

Fixpunktschema (30 Stützstellen für Horizont)

Fixpunktiter. Rechenzeit [μs] Kostenfktl.

2 39 0.683

3 50 0.682

5 80 0.682

10 133 0.682

Gradientenverfahren [Gr. et al. 2010]

Gradienteniter. Rechenzeit [μs] Kostenfktl.

2 62 0.740

3 85 0.721

5 129 0.707

10 243 0.696

ACADO-Toolkit [Houska et al. 2011]

Steuerintervalle Rechenzeit [μs] Kostenfktl.

5 125 0.699

10 192 0.685

15 339 0.682

20 625 0.681













Zusammenfassung


Beispiel 2: Magnetschwebeversuch

Spule 1

Spule 2

Spulenkern Spulenträger

Versuchsaufbau

■ 2 Spulen (je 2000 Windungen) mit Eisenkern

■ Schwebekörper (Hohlkörper) mit

■ dSPACE MicroAutoBox I (800 MHz)

Sensorik

■ Abstand (Laser)

■ Ströme

■ Temperatur

Charakteristik

■ Spannung 60 V, max. Strom 6 A je Spule

■ Stellgröße: PWM-Tastgrad

■ Maximaler Hub Schwebekörper


Schwebekörper: Modellbildung

Stromdynamik

■ Problematik: Induktionsströme,

Sättigung von Induktivitäten, Temperatur

■ Ansatz von nichtlinearem Modell

■ Bereichsweise Identifikation und

Interpolation von

Mechanisches Subsystem

■ Impulserhaltungssatz

■ Identifikation von magnetischer

Kraftkennlinie


Schwebekörper: Experimentelle Ergebnisse

MPC-Fixpunktschema

■ Cmex-Code

■ UKF für Zustandsschätzung

MPC-Parameter

■ Horizontlänge

■ Abtastzeit

■ Fixpunktiterationen

■ Dämpfung

MPC-Rechenzeit

■ Intel Core i7: 60 μs

■ dSPACE: 378 μs

ca. Faktor 2 schneller als

Gradientenverfahren


Schwebekörper: Video


Vergleich mit linearem MPC

Stabilisierung versch. Schwebehöhen

Schwebehöhe -40 mm

Anfangs-

zustand

Gesamt-Kostenfktl.

Nichtlin. MPC Lineares MPC

-45 mm 0.012 0.012

-50 mm 0.053 0.109

-55 mm 0.132 failed

Schwebehöhe -55 mm

Anfangs-

zustand

Gesamt-Kostenfktl.


-60 mm 0.013 0.014

-65 mm 0.055 0.078

-70 mm 0.150 failed

Schwebehöhe -70 mm

Anfangs-

zustand

Gesamt-Kostenfktl.


-55 mm 0.132 failed

-60 mm 0.056 failed

-65 mm 0.012 0.012

Regelgüte NMPC vs. lin. MPC

Zeit [s]













Zusammenfassung


Motivation

Zustandsbeschränktes

dynamisches

Optimierungsproblem

Neues unbeschränktes

dynamisches

Optimierungsproblem

Verfahren der

beschränkten

Optimierung (SQP, IP)

Verfahren der

unbeschränkten

Optimierung

Analytik

Numerik

Analytische

Vorverarbeitung

Standard-

vorgehen

Schritt 1: Transformation

auf Normalform

Schritt 2: Einarbeiten

der Beschränkungen


Schritt 1: Transformation auf Normalform

Dynamisches Optimierungsproblem (Eingrößenfall: )

Annahme: wohldefinierter relativer Grad der Zustandsbeschränkung

Zustandstransformation mit „linearisierendem Ausgang“



Byrnes-Isidori-Normalform

Signalflussbild

„Beschränkungsdynamik“

„interne Dynamik“ bzgl.



Interpretation als „Ausgangsbeschränkungen“

■

■

Ausgangsbeschränkungen am Anfang und Ende der Integratorkette


Schritt 2: Einarbeiten der Beschränkungen

Sättigungsfunktion für

■

■ neue unbeschränkte Variable

Sukzessives Differenzieren & Einführen neuer Koordinaten

■ Beispiel

■ Allgemeiner Fall:

Resultat: Ersetzen von durch neue unbeschränkte Koordinaten


Step 2: Incorporation of constraints

Letztmaliges Differenzieren führt zu

Zweite Sättigungsfunktion

■

■ Neue Variable neue Stellgröße

Einhalten der Beschränkungen bedeutet

Zustandsabhängige Sättigungsschranken

𝛷−

𝛷+


Zusammenfassung der Transformation

Beschränkungen


Signalflussbild

Neues unbeschr. System

Sättigungsfunktion

int. Dyn. int. Dyn.


Erweiterung auf Mehrgrößenfall

Dynamisches Optimierungsproblem (Mehrgrößenfall: )

Bedingungen für Zustandsbeschränkungsfunktionen

■ Anzahl Dimension der Stellgröße

■ Wohldefinierter vektorieller relativer Grad

Zustandstransformation mit „linearisierendem Ausgang“

■

■

■


Erweiterung auf Mehrgrößenfall (Skizze)

Beschränkungen


Kopplungsmatrix und Sättigungsschranken [Gr/Petit´09]

Neues unbeschr. System

int. Dyn. int. Dyn.

Sättigungsfunktionen


Unbeschränktes Optimalsteuerungsproblem

Zustands-/Eingangstransf. auf offenen Intervallen

Neues unbeschränktes Optimierungsproblem

Regularisierungsterm mit Parameter

■ Aktive Beschränkungen singuläre Bereiche in neuem OCP

■ Entspricht Barrierefunktion in Originalvariablen

■ Konvergenz für unter Annahme von Konvexität [Gr/Petit´09]

MPC: asympt. Stabilität wenn „hinreichend klein“ [Käpernick/Gr´12 einger.]













Zusammenfassung


Beispiel: Brückenkran

Bewegungsgleichungen

Beschränkungen (Wagen & Seil)

■

■

Unbeschränkte MPC-Formulierung

■ 4 Sättigungsfunktionen für Zustands-/Stellgrößenbeschränkungen

■ Symbolische Berechnungen mit Mathematica

■ Abtastzeit , Prädiktionshorizont

■ Implementierung mit Gradientenverfahren Matlab/Cmex-Demo

../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe../../../../MRMarchiv/movies/MPC_overheadcrane_GUIdemo.exe


Experimentelle Ergebnisse (Arbeitspunktwechsel)

Implementierung unter dSPACE (Rechenzeit: 508 μs)

Insgesamt sehr gute Regelgüte und Einhaltung der Beschränkungen!

Abweichung durch

PI-Geschw.regler


Zusammenfassung

Effiziente MPC-Berechnung mittels Gradienten-/Fixpunktschema

■ Basierend auf MPC-Formulierung ohne Endbeschränkungen

■ Stabilität gewährleistet für Mindestanzahl an Iterationen / Abtastschritt

■ Minimierung des Rechenaufwands durch Fixpunktiterationen

Handhabung von Zustandsbeschränkungen

■ wohl definierter (vektorieller) relativer Grad

■ Anzahl Zustandsbeschränkungen Anzahl Stellgrößen

■ Herleitung von unbeschränkten System in neuen Variablen

■ „analytische Vorverarbeitung“ mit Computer-Algebra

■ Verwendung für MPC mit Gradientenverfahren / Fixpunktschema

Vielen Dank an Bartosz Käpernick!

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