Modul 206 Regelmäßige Vielecke · PDF fileHans Walser: Modul 206,...

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Transcript of Modul 206 Regelmäßige Vielecke · PDF fileHans Walser: Modul 206,...

  • Hans Walser

    Mathematik fr die Sekundarstufe 1

    Modul 206 Regelmige Vielecke

    Lernumgebung

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung ii

    Modul 206 fr die Lehrveranstaltung Mathematik fr die Sekundarstufe 1 Sommer 2005 Provisorische Ausgabe Sommer 2007 Ergnzungen. Formel-Editor revidiert Frhjahr 2009 Grafische berarbeitung. Ergnzung Frhjahr 2011 Erweiterung last modified: 2. Januar 2014 Hans Walser Mathematisches Institut, Rheinsprung 21, 4051 Basel www.walser-h-m.ch/hans

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung iii

    Inhalt 1 Punktraster .................................................................................................................. 1 2 Knoten ........................................................................................................................ 2 3 Regelmiges Dreieck? .............................................................................................. 3 4 Quadrat falten ............................................................................................................. 3 5 Im Quadratraster ......................................................................................................... 3 6 Quadrat? ...................................................................................................................... 4 7 Anzahl Quadrate? ....................................................................................................... 5 8 Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6 9 Summe der Innenwinkel ............................................................................................. 6 10 Summe der Richtungsnderungen (Auenwinkel) ............................................... 7 11 60-Winkel? .............................................................................................................. 7 12 Der Goldene Schnitt ................................................................................................. 8 13 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 8 14 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9 15 Im Dreiecksraster ...................................................................................................... 9 16 Quadrat? .................................................................................................................. 10 17 Nherungskonstruktion des regelmigen Siebenecks ........................................... 11 18 Eine Nherungskonstruktion des Siebeneckes ....................................................... 12 19 Regelmiges Achteck? ......................................................................................... 14 20 Regelmiges Achteck? ......................................................................................... 14 21 Regelmiges Achteck? ......................................................................................... 15 22 Achtecksaufgabe ..................................................................................................... 16 23 Regelmiges Achteck ........................................................................................... 18 24 Gleichwinkliges Achteck ........................................................................................ 18 25 Nhrungskonstruktion des Neuneckes .................................................................... 20 26 Etwas grbere Nherungskonstruktion des Neuneckes .......................................... 22 27 Regelmiges Zwlfeck ......................................................................................... 25 28 Regelmiges Zwlfeck und Dreiecke ................................................................... 27 29 Regelmiges Zwlfeck und Diagonalen ............................................................... 28 30 Unterteilung des Zwlfeckes .................................................................................. 29 31 Zwlfeck-Puzzle ..................................................................................................... 30 32 Zwlfeck-Puzzle ..................................................................................................... 31 33 Konstruktion des regelmigen 15-Eckes .............................................................. 32 34 Wechselseitiges Abtragen ....................................................................................... 33

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 1

    1 Punktraster Gesucht sind regelmige Figuren auf der Basis dieses Punktrasters

    Punktraster auf der Basis von Kreisen

    Ergebnis Offene Aufgabe

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 2

    2 Knoten Aus zwei verschiedenfarbigen Papierstreifen gleicher Breite soll ein echter (Abb. a) und ein falscher (Abb. b) Samariterknoten hergestellt werden. Welche Figur entsteht aus einem Doppelknoten (Abb. c)?

    a) b) c)

    Knoten

    Ergebnis a) Der echte Samariterknoten liefert ein Sechseck mit nur achsensymmetrischer Farben-besetzung. b) Der falsche Samariterknoten ergibt ein Sechseck mit alternierender Sektorfrbung. c) Es entsteht der Mantel einer Fnfkantpyramide mit gleichseitigen Dreiecken.

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 3

    3 Regelmiges Dreieck? Ist das Dreieck regelmig?

    Regelmiges Dreieck?

    Ergebnis Nein. Das Dreieck ist gleichschenklig. Die Schenkel sind

    17 4.12 , die Basis ist

    3 2 4.24 . Der Basiswinkel ist

    59.04.

    4 Quadrat falten Aus einem Papierstck mit nirgends geradem Rand soll allein durch Falten ein Quadrat hergestellt werden. Geht das?

    Lsungshinweis Erste Kante. Rechter Winkel und zweite Kante. Rechter Winkel und dritte Kante. Dia-gonale. Rechter Winkel und vierte Kante.

    5 Im Quadratraster Markieren Sie in einem quadratischen Karoraster vier Karoquadrate so, dass deren Mit-telpunkte ein Quadrat bilden. Welche Symmetrien hat die aus diesen vier Karoquadraten bestehende Figur?

    Bearbeitung Es gibt grundstzlich zwei verschiedene Symmetriearten. In den folgenden Beispielen haben wir dieselben Symmetrien wie bei einem Quadrat.

    Symmetrien wie beim Quadrat

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 4

    In den folgenden Beispielen haben wir aber nur noch eine vierstrahlige Drehsymmetrie.

    Vierstrahlige Drehsymmetrie

    6 Quadrat? Der Raster besteht aus regelmigen Dreiecken. Ist das Viereck ein Quadrat?

    Ist das Viereck ein Quadrat?

    Ergebnis Nein. Es ist zwar gleichseitig, also ein Rhombus. Die beiden spitzen Winkel messen:

    = 2arctan 53 3

    87.796

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 5

    7 Anzahl Quadrate? Wie viele Quadrate mit Gitterpunkten als Eckpunkten knnen im Gitter mit

    6 6 Git-terpunkten (Figur) eingezeichnet werden?

    Wie viele Quadrate gibt es in diesem Gitter?

    Ergebnis 105

    Bearbeitung

    Seitenlnge Anzahl Anzahl total1 5 5 252 4 4 163 3 3 94 2 2 45 1 12 4 4 16

    2 2 2 2 45 3 3 2 18

    10 2 2 2 817 2 213 2 2

    Total 105

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 6

    8 Summe der Innenwinkel Wie gro ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch berlegung lsen. Anschlieend durch Messen verifizieren.)

    Ergebnis

    ii=1

    9 = 5 = 900

    9 Summe der Innenwinkel Wie gro ist die Summe der markierten Innenwinkel? (Zuerst durch berlegung lsen. Anschlieend durch Messen verifizieren.)

    Ergebnis

    ii=1

    9 = 5 = 900

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 7

    10 Summe der Richtungsnderungen (Auenwinkel) Wie gro ist die Summe der orientierten Richtungsnderung bei einer Runde auf der eckigen Achterbahn?

    Ergebnis

    ii=1

    9 = 0 , negative und positive Richtungsnderungen heben sich auf.

    11 60-Winkel?

    Misst der eingezeichnete Winkel wirklich 60?

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 8

    Ergebnis

    arctan 1sin 36( )

    59.5536. Leider etwas zu wenig.

    12 Der Goldene Schnitt Luca Pacioli (1445-1517) fand, dass der goldene Schnitt von 10 durch

    125 5 ausge-drckt werden kann. Stimmt das? (Verifikation exakt und mit dem Taschenrechner).

    Ergebnis

    125 5 = 5 5 1( ) =10 512 =10

    13 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?

    Symmetrien?

    Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmiges Sechseck. Die Figur hat drei Symmetrieach-sen und eine dreistrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines gleichseitigen Dreieckes.

    Dieselben Symmetrien wie beim gleichseitigen Dreieck

  • Hans Walser: Modul 206, Regelmige Vielecke. Lernumgebung 9

    14 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?

    Symmetrien?

    Bearbeitung Die Mittelpunkte bilden ein regelmiges Sechseck. Die Figur hat sechs Symmetrieach-sen und eine sechsstrahlige Drehsymmetrie, also die Symmetrien eines regelmigen Sechseckes,

    Dieselben Symmetrien wie beim regelmigen Sechseck

    15 Im Dreiecksraster Bilden die Mittelpunkte der sechs roten Dreiecke ein regelmiges Sechseck? Welche Symmetrien hat diese aus den sechs roten Dreiecken bestehende Figur?

    Symmetrien?

  • Hans Walser: Mod