Modul 407: Der Goldene SchnittDer Goldene Schnitt!! • Geometrie / Bild! • Zählen / Rechnen! 3!...

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  • 1

    Modul 407: Der Goldene Schnitt!

  • 2

    Der Goldene Schnitt

    •  Geometrie / Bild

    •  Zählen / Rechnen

  • 3

    Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,

    wenn sich das größere Teilstück a

    zum kleineren Teilstück b so verhält

    wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.

    a

    b

  • 4

    Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,

    wenn sich das größere Teilstück a

    zum kleineren Teilstück b so verhält

    wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.

    a

    b

    Demo Cabri

  • 5

    Euklid, um 325 v. Chr. – 265 v. Chr.

    Stetige Teilung

  • 6

    ab =

    a+ba

    ab = 1+

    ba

    x = ab x = 1+1x

    x2 = x +1 ⇒ x2 − x −1 = 0

    Positive Lösung

    τ = 1+ 52 ≈ 1.618

  • 7

    x2 = 0 L = 0{ }

    x2 −1 = 0 L = ±1{ } x2 +1 = 0 L = { }

    x2 − x = 0 L = 0,1{ } x2 + x = 0 L = 0,−1{ }

    x2 − x −1 = 0 L = 1+ 52 ,1− 52{ } x2 + x +1 = 0 L = { }

    x2 + x −1 = 0 L = −1+ 52 ,−1− 52{ } x2 − x +1 = 0 L = { }

    Simple quadratische Gleichungen

    Der Goldene Schnitt erscheint.

  • 8

    Welche Zahlen haben dieselben

    „Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?

    x − 1x = n

    x2 − nx −1 = 0

    x1 =n+ n2+4

    2

  • 9

    n Zahl Kehrwert

    0 1 1

    1 τ = 1+ 52 ≈ 1.618 ρ =−1+ 52 ≈ 0.618

    2 1+ 2 ≈ 2.414 −1+ 2 ≈ 0.414

    3 3+ 132 ≈ 3.303−3+ 132 ≈ 0.303

    4 2 + 5 ≈ 4.236 −2 + 5 ≈ 0.236

    x1 =n+ n2+4

    2

    Welche Zahlen haben dieselben

    „Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?

  • 10

    Welche Zahlen haben dieselben

    „Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?

    x2 = x + n

    x2 − x − n = 0

    x1 =1+ 1+4n

    2

  • 11

    n Zahl Quadratzahl

    0 1 1

    1 τ = 1+ 52 ≈ 1.6183+ 52 ≈ 2.618

    2 2 4

    3 1+ 132 ≈ 2.303 5.303

    4 1+ 172 ≈ 2.562 6.562

    Welche Zahlen haben dieselben

    „Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?

    x1 =1+ 1+4n

    2

  • 12

    A

    B

    C

    1

    1

    2

    Konstruktion des Goldenen Schnittes!

    Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1

  • 13

    A

    B

    C

    1

    D

    E

    1

    2

    Konstruktion des Goldenen Schnittes!

    Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1

    Kreis

  • 14

    A

    B

    C

    1

    D

    E

    r

    1

    2

    t

    Konstruktion des Goldenen Schnittes!

    Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1

    Kreis

  • 15

    Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556

  • 16

    Werbung!!Walser, Hans: !Der Goldene Schnitt.!!5., bearbeitete und !erweiterte Auflage.! !Edition am Gutenbergplatz, !Leipzig 2009.! !ISBN 978-3-937219-98-1!

    Das Programm geht gleich weiter.!

  • 17

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    Das Programm geht gleich weiter.!

  • 18

    Pentagon

    Pentagramm

  • 19

    Pentagon

    Pentagramm

    Knoten aus einem Streifen

  • 20

    Pentagon

    Pentagramm

    1

    x

    1

    1

    x – 1

  • 21

    1

    x

    1

    1

    x – 1

    x−11 =

    1x

    x2 − x −1 = 0

    x1 =1+ 52 = τ ≈ 1.618

    x2 =1− 52 ≈ −0.618

    36°

    36°

    72°

  • 22

    36°

    108°

    1

    1

    1

    1

    Im Zehneck

    ρ

    τ

  • 23

  • 24

  • 25

  • 26

  • 27

  • 28

    1

    x

    x

    Q

    R

    Goldenes Rechteck

    Quadrat abschneiden

    Rest soll ähnlich zum

    ursprünglichen Rechteck sein

    1x =

    x1−x

    x2 = 1− x

    x2 + x −1 = 0

    x1 =−1+ 52 = ρ ≈ 0.618

    x2 =−1− 52 ≈ −1.618

    1 – x

  • 29

    Iteration des Abschneidens?

  • 30

    Iteration des Abschneidens?

  • 31

    Iteration des Abschneidens?

  • 32

    Iteration des Abschneidens?

  • 33

    Iteration des Abschneidens?

  • 34

    Iteration des Abschneidens?

  • 35

    Iteration des Abschneidens?

  • 36

    Iteration des Abschneidens?

  • 37

    Viertelskreise

  • 38

    Viertelskreise

  • 39

    Viertelskreise

  • 40

    Viertelskreise

  • 41

    Viertelskreise

  • 42

    Viertelskreise

  • 43

    Viertelskreise

  • 44

    Viertelskreise

  • 45

    Start mit einem Quadrat

  • 46

    Ein Quadrat wird angesetzt

  • 47

    Noch ein Quadrat, diesmal ein größeres

  • 48

    Dümdüdelüt

  • 49

  • 50

  • 51

    1

    1

    2

    3

    5

    8

    Fibonacci

  • 52

    1

    1

    2

    3

    5

    8

    Fibonacci

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

    an+2 = an+1 + an

  • 53

    1

    1

    2

    3

    5

    8

    Fibonacci

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

    an+2 = an+1 + an

    limn→∞

    an+1an( ) = τ?

  • 54

    1

    1

    2

    3

    5

    8

    Fibonacci

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

    an+2 = an+1 + an

    limn→∞

    an+1an( ) = τ?

    Demo Excel

  • 55

    1

    1

    2

    3

    5

    8

    Fibonacci

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

    an+2 = an+1 + an

    limn→∞

    an+1an( ) = τ

    Beweis?

  • 56

    DAS KANINCHEN-PROBLEM

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

  • 57

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

    Liber abaci, Kapitel 12

    Überschrift:

    Quot paria coniculorum

    in uno anno ex uno

    pario germinentur.

  • 58

    Jemand sperrt ein Kaninchenpaar ���in ein allseitig ummauertes Gehege, ���um zu erfahren, wie viele ���Nachkommen dieses Paar im Laufe ���eines Jahres haben werde. ������Es wird dabei vorausgesetzt, ���jedes Kaninchenpaar bringe ���monatlich ein neues Paar zur Welt, ���und die Kaninchen würden vom ���zweiten Monat nach ihrer Geburt���an gebären.

    Leonardo von Pisa (Fibonacci)

    um 1170-1250

  • 59

    Drohne:

    Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?

  • 60

    Eine männliche Biene (Drohne)

    hat nur eine Mutter (Königin)

    Unbefruchtetes Ei

  • 61

    Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater.

  • 62

    Stammbaum einer Drohne

    3

    1

    2

    1

    1

    2

    1

  • 63

    Stammbaum einer Drohne

    5

    2

    3

    3

    1

    2

    1

    1

    2

    1

  • 64

    Stammbaum einer Drohne

    8

    3

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    2

    1

    1

    2

    1

  • 65

    Stammbaum einer Drohne

    8

    5

    13

    8

    3

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    2

    1

    1

    2

    1

  • 66

    Stammbaum einer Drohne

    8

    13

    21

    8

    5

    13

    8

    3

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    2

    1

    1

    2

    1

  • 67

    Stammbaum einer Drohne

    8

    13

    21

    8

    5

    13

    8

    3

    5

    5

    2

    3

    3

    1

    2

    1

    1

    2

    1

  • 68

    Fraktale

  • 69

    1

    f

    f

    2

    f

    3

    f

    4

    f

    5

    f = f 3 + f 4 + f 5 +! = f3

    1− f

    f 3 + f 2 − f = 0

  • 70

    copy and paste

  • 71

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  • 72

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  • 73

  • 74

  • 75

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  • 77

  • 78

  • 79

  • 80

  • 81

    0

    3

    1

    1

    2

    2

    3

    f

    f

    f

    2

    f

    2

    f

    3

    1

    1 = 2 f 2 + f 3

  • 82

  • 83

    Fünfecksfraktal

    mit

    Überlappung