Modul 407: Der Goldene SchnittDer Goldene Schnitt!! • Geometrie / Bild! • Zählen / Rechnen! 3!...
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Modul 407: Der Goldene Schnitt!
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Der Goldene Schnitt
• Geometrie / Bild
• Zählen / Rechnen
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Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,
wenn sich das größere Teilstück a
zum kleineren Teilstück b so verhält
wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.
a
b
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Eine Strecke heißt im goldenen Schnitt geteilt,
wenn sich das größere Teilstück a
zum kleineren Teilstück b so verhält
wie die ganze Strecke zum größeren Teilstück a.
a
b
Demo Cabri
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Euklid, um 325 v. Chr. – 265 v. Chr.
Stetige Teilung
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ab =
a+ba
ab = 1+
ba
x = ab x = 1+1x
x2 = x +1 ⇒ x2 − x −1 = 0
Positive Lösung
τ = 1+ 52 ≈ 1.618
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x2 = 0 L = 0{ }
x2 −1 = 0 L = ±1{ } x2 +1 = 0 L = { }
x2 − x = 0 L = 0,1{ } x2 + x = 0 L = 0,−1{ }
x2 − x −1 = 0 L = 1+ 52 ,1− 52{ } x2 + x +1 = 0 L = { }
x2 + x −1 = 0 L = −1+ 52 ,−1− 52{ } x2 − x +1 = 0 L = { }
Simple quadratische Gleichungen
Der Goldene Schnitt erscheint.
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Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?
x − 1x = n
x2 − nx −1 = 0
x1 =n+ n2+4
2
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n Zahl Kehrwert
0 1 1
1 τ = 1+ 52 ≈ 1.618 ρ =−1+ 52 ≈ 0.618
2 1+ 2 ≈ 2.414 −1+ 2 ≈ 0.414
3 3+ 132 ≈ 3.303−3+ 132 ≈ 0.303
4 2 + 5 ≈ 4.236 −2 + 5 ≈ 0.236
x1 =n+ n2+4
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Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihr Kehrwert?
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Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?
x2 = x + n
x2 − x − n = 0
x1 =1+ 1+4n
2
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n Zahl Quadratzahl
0 1 1
1 τ = 1+ 52 ≈ 1.6183+ 52 ≈ 2.618
2 2 4
3 1+ 132 ≈ 2.303 5.303
4 1+ 172 ≈ 2.562 6.562
Welche Zahlen haben dieselben
„Nachkommastellen“ wie ihre Quadratzahl?
x1 =1+ 1+4n
2
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A
B
C
1
1
2
Konstruktion des Goldenen Schnittes!
Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1
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A
B
C
1
D
E
1
2
Konstruktion des Goldenen Schnittes!
Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1
Kreis
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A
B
C
1
D
E
r
1
2
t
Konstruktion des Goldenen Schnittes!
Dreieck mit Kathetenverhältnis 2:1
Kreis
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Das alte Rathaus zu Leipzig, 1556
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Werbung!!Walser, Hans: !Der Goldene Schnitt.!!5., bearbeitete und !erweiterte Auflage.! !Edition am Gutenbergplatz, !Leipzig 2009.! !ISBN 978-3-937219-98-1!
Das Programm geht gleich weiter.!
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Werbung!!Walser, Hans: !Der Goldene Schnitt.!!5., bearbeitete und !erweiterte Auflage.! !Edition am Gutenbergplatz, !Leipzig 2009.! !ISBN 978-3-937219-98-1!
Das Programm geht gleich weiter.!
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Pentagon
Pentagramm
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Pentagon
Pentagramm
Knoten aus einem Streifen
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Pentagon
Pentagramm
1
x
1
1
x – 1
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1
x
1
1
x – 1
x−11 =
1x
x2 − x −1 = 0
x1 =1+ 52 = τ ≈ 1.618
x2 =1− 52 ≈ −0.618
36°
36°
72°
-
22
36°
108°
1
1
1
1
Im Zehneck
ρ
τ
-
23
-
24
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25
-
26
-
27
-
28
1
x
x
Q
R
Goldenes Rechteck
Quadrat abschneiden
Rest soll ähnlich zum
ursprünglichen Rechteck sein
1x =
x1−x
x2 = 1− x
x2 + x −1 = 0
x1 =−1+ 52 = ρ ≈ 0.618
x2 =−1− 52 ≈ −1.618
1 – x
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Iteration des Abschneidens?
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Iteration des Abschneidens?
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Iteration des Abschneidens?
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Iteration des Abschneidens?
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Iteration des Abschneidens?
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Iteration des Abschneidens?
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Iteration des Abschneidens?
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36
Iteration des Abschneidens?
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Viertelskreise
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Viertelskreise
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39
Viertelskreise
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40
Viertelskreise
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41
Viertelskreise
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42
Viertelskreise
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43
Viertelskreise
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44
Viertelskreise
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Start mit einem Quadrat
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Ein Quadrat wird angesetzt
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Noch ein Quadrat, diesmal ein größeres
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Dümdüdelüt
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50
-
51
1
1
2
3
5
8
Fibonacci
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52
1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
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1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
limn→∞
an+1an( ) = τ?
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1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
limn→∞
an+1an( ) = τ?
Demo Excel
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1
1
2
3
5
8
Fibonacci
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
an+2 = an+1 + an
limn→∞
an+1an( ) = τ
Beweis?
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DAS KANINCHEN-PROBLEM
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
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Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
Liber abaci, Kapitel 12
Überschrift:
Quot paria coniculorum
in uno anno ex uno
pario germinentur.
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Jemand sperrt ein Kaninchenpaar ���in ein allseitig ummauertes Gehege, ���um zu erfahren, wie viele ���Nachkommen dieses Paar im Laufe ���eines Jahres haben werde. ������Es wird dabei vorausgesetzt, ���jedes Kaninchenpaar bringe ���monatlich ein neues Paar zur Welt, ���und die Kaninchen würden vom ���zweiten Monat nach ihrer Geburt���an gebären.
Leonardo von Pisa (Fibonacci)
um 1170-1250
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Drohne:
Mutti, wie bin ich auf die Welt gekommen?
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Eine männliche Biene (Drohne)
hat nur eine Mutter (Königin)
Unbefruchtetes Ei
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Eine weibliche Biene hat Mutter und Vater.
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Stammbaum einer Drohne
3
1
2
1
1
2
1
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63
Stammbaum einer Drohne
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
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64
Stammbaum einer Drohne
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
-
65
Stammbaum einer Drohne
8
5
13
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
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66
Stammbaum einer Drohne
8
13
21
8
5
13
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
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67
Stammbaum einer Drohne
8
13
21
8
5
13
8
3
5
5
2
3
3
1
2
1
1
2
1
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Fraktale
-
69
1
f
f
2
f
3
f
4
f
5
f = f 3 + f 4 + f 5 +! = f3
1− f
f 3 + f 2 − f = 0
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70
copy and paste
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71
copy and paste
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72
copy and paste
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73
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74
-
75
-
76
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77
-
78
-
79
-
80
-
81
0
3
1
1
2
2
3
f
f
f
2
f
2
f
3
1
1 = 2 f 2 + f 3
-
82
-
83
Fünfecksfraktal
mit
Überlappung