Modulation

SNT-Modulation/3.12.2002/Gys 1

ZHW Departement Technik, Informatik und NaturwissenschaftenElektrotechnik und SignalverarbeitungSignale der NachrichtentechnikProf. Dr. U. Gysel

Signale der Nachrichtentechnik

4. Frequenzversetzte Übertragung von Signalen –Modulation

4.1 AM-Rundfunk – ein Beispiel4.1.1 Prinzipieller Aufbau

Falls mehrere Teilnehmer Informationen über einen gemeinsamen Kanal (Leitung,Funkverbindung etc.) übertragen wollen, muss man für die nötige Trennung ihrer zugehörigenSignale sorgen. Dazu gibt es zwei Möglichkeiten, nämlich eine zeitliche oder eine frequenzmässigeTrennung. Darüber hinaus gibt es Fälle, in denen das Nutzsignal nicht in seiner ursprünglichenFrequenzlage direkt über einen gegebenen Kanal übertragen werden kann (z.B. wenn ein Signalüber Funk übertragen werden soll). In beiden Fällen löst man die Aufgabe, indem man dasNutzsignal frequenzmässig mit Hilfe einer Modula tion in ein anderes Band verlegt.

Wir gehen vom häufigsten Fall aus, bei welchem die Nutzinformation in einem Frequenzbandliegt, das sich von null oder nahezu null bis zu einer oberen Bandgrenze fBB erstreckt. Man nenntdieses Band häufig Basisband. Für Sprachinformation beim Telefonieren ist fBB = 3.4 kHz. FürMusik liegt fBB bei 15 bis 20 kHz und für ein Videosignal (Fernsehen) erstreckt sich dasBasisband bis fBB = 6 MHz. Manchmal nennt man das Basisband auch NF-Band für N ieder-Frequenzband. Wie aber das Beispiel des Videosignals zeigt, kann sich das Basisbandsignal bis zuso hohen Frequenzen ausdehnen, dass der Begriff "Niederfrequenz" unpassend wird.

Den prinzipiellen Vorgang der frequenzversetzten Übertragung zeigt Fig. 4.1. Einem Trägersignal,d.h. einem reinen Sinussignal bei der Frequenz fT, wird mit der Modulation das Nutzsignal,dessen Frequenzkomponenten im Basisband bis zur Frequenz fBB liegen, in geeigneter Weiseaufgeprägt. Dabei kann die Bandbreite B des modulierten Trägers 2·fBB sein. Wie gross sie genauwird, hängt von der Art der Modulation ab, wie wir noch sehen werden.

Fig. 4.1 Spektrum des Basisbandes und des modulierten Trägers (AM)

S

fBB fTf

fT - fBB fT + fBB

Basisband modulierter Träger

B


Modulation = Prozess der Aufprägung der Basisbandinformation auf einenTräger mit gleichzeitiger Frequenzverschiebung.

Wir verwenden im Folgenden die Definitionen:

fm = Modulationsfrequenz, eine Frequenzkomponente aus dem Basisband

fT = Trägerfrequenz

fBB = Grenzfrequenz des Basisbandes

B = Bandbreite des modulierten Trägers

Bei sinusförmigen Trägern lässt sich die Information in die Amplitude oder in die Phase des Trä-gers stecken. Man spricht dann von Amplituden- oder Phasen-(Frequenz-)Modulation. Auch ge-pulste Träger sind möglich. Damit lässt sich für die geträgerte Übertragung folgendes Schemaangeben (Fig. 4.2):

Quelle Modulator KanalDemo-dulator

Senke

Träger-oszillator

Träger-oszillator

sm(t)

s'T(t)sT(t)

ev.

s'm(t)s1(t) s'1(t)

Fig. 4.2 Grundschema einer Übertragung mit Modulation eines Trägers

Wie dies im Detail aussehen kann, wollen wir anhand der einfachsten Modulation, derAmplitudenmodulation mit Träger untersuchen. Es gelten die Bezeichnungen:

Quellen oder Modulationssignal s t s tm m m m( ) ˆ cos( )= ⋅ +ω ϕ

Trägersignal s t s tT T T T( ) ˆ cos( )= ⋅ +ω ϕ

Bei der Amplitudenmodulation (AM) wird die Amplitude des Trägers mit sm(t) variiert. Damit derTräger nicht verschwindet, macht man den Ansatz:

s t s s t t

s s t t

T m T T

T m m m T T

1( ) ˆ ( ) cos( )

ˆ ˆ cos( ) cos( )

= +{ } ⋅ +

= + ⋅ +{ } +

ω ϕ

ω ϕ ω ϕ(4.1)

Ohne Verlust an Allgemeingültigkeit kann man ϕT und ϕm je null setzen. Damit findet man durchAusmultiplizieren von Gl.(1):

s t s t s t t

s ts

t t

T T m m T

T Tm

T m T m

1

2

( ) ˆ cos( ) ˆ cos( ) cos( )

ˆ cos( ) ˆ

cos( ) cos( )

= ⋅ + ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + + −[ ]

ω ω ω

ω ω ω ω ω(4.2)

Das Resultat ergibt drei Frequenzen, nämlich den unveränderten Träger und dazu zweiSignalanteile mit gleicher Amplitude bei den Frequenzen fT - fm und fT + fm. Man nennt diese


beiden Signalanteile Seitenbänder. Das Spektrum des modulierten Trägers hat die Gestalt vonFig. 4.3.

Fig. 4.3 Spektrum des amplitudenmodulierten Trägers

Falls mehrere sinusförmige Signale im Basisband vorhanden sind, so ergeben diese je ein Paarvon Seitenbändern. Um dies zu zeigen, muss man in Gl.(4.2) nur ein Signal bestehend ausmehreren Sinuskomponenten einsetzen. Es gilt somit das Überlagerungsprinzip für dieSeitenbänder und man nennt daher die AM eine lineare Modulation .

Zusammenfassend kann man folgende Eigenschaften des modulierten Trägers feststellen:

• Der Träger bleibt unverändert erhalten

• Es treten pro Modulationssignal im Basisband zwei Seitenlinien im Abstand der Modulations-frequenz fm von der Trägerfrequenz auf.

• Die benötigte Bandbreite für den modulierten Träger ist die doppelte Bandbreite des Basisban-des, also B = 2·fBB.

Besteht das Basisband aus einem kontinuierlichen Spektrum (Dichtespektrum), so werden auch dieSeitenbänder zu Dichtespektren mit der halben Spektraldichte wie im Basisband. Da beim unterenSeitenband für zunehmende Modulationsfrequenz die Frequenz der Spektrallinie immer tiefer wird,spricht man auch von Kehrlage . Beim oberen Seitenband von Gleichlage . Dies sieht man auchaus der Darstellung von Fig. 4.1, wo das schematisch dargestellte Spektralband für das untere Sei-tenband dem Spiegelbild der Darstellung des Basisbandes entspricht.

Die Amplitudenmodulation ist die einfachste Modulationsart. Sie wird beim Mittelwellenrundfunkeingesetzt und auch im Kurzwellenbereich häufig verwendet. Aus später ersichtlichen Gründen istsie nicht besonders störsicher. Sie wird aber in den erwähnten Bändern aus Gründen dererforderlichen Bandbreite und wegen des einfachen Aufbaus von Empfängern eingesetzt. Dies warbesonders in den Anfängen der Rundfunktechnik von entscheidender Bedeutung. Bevor wir unseingehender mit den verschiedenen Modulationsarten beschäftigen, wollen wir uns noch demAufbau eines Empfängers, beispielsweise eines AM-Empfängers zuwenden. Erst dann werden alleVor- und Nachteile der trägermodulierten Übertragung sichtbar.

4.1.2 Überlagerungsempfang und Mischung

Im Prinzipschema von Fig. 4.2 wird auf der Sendeseite der Träger direkt mit dem Modulations-signal moduliert. Dies wird auch in der Praxis sehr häufig, aber nicht immer so gemacht. Auf derEmpfangsseite muss das Empfangssignal demoduliert werden. Letzteres kann ev. mit Hilfe einesidentischen Trägers gemacht werden, wie dies Fig. 4.2 zeigt. Die direkte Demodulation des Emp-fangssignals ist aber aus zwei Gründennicht möglich:

S

fm fTf

Basisband unmodulierter Träger

fT - fm fT + fm

unteres Seitenband oberes Seitenband


• Das Empfangssignal ist normalerweise viel zu schwach, als dass es direkt demoduliert werdenkönnte.

• Das gewünschte Signal, das z.B. mit der Antenne empfangen wird, muss von benachbartenSignalen, die stören würden, getrennt werden. Dies bedingt vor dem Empfänger einBandpassfilter, mit dem nur das gewünschte Frequenzband der Breite B herausgefiltert wird.

Ein Verstärker löst das Problem des zu schwachen Eingangssignals. Da in vielenNachrichtensystemen der Empfangspegel nicht konstant ist, der Pegel am Eingang desDemodulators jedoch einen definierten Wert aufweisen muss, braucht es einen Verstärker mitvariabler Verstärkung, der geregelt ist (engl. AGC = automatic gain control ). Die Trennungdes gewünschten Eingangssignals von Nachbarsignalen verlangt ein Bandpassfilter spätestens vordem Demodulator. Damit ergibt sich der sog. Geradeausempfänger als einfachste Realisierung(Fig. 4.4).

TP-FilterBP-Filter

fmf1

Kanal SenkeDemo-dulator

AbstimmungAGC = automatische Verstärkungsregelung

Fig. 4.4 Prinzipschema des Geradeausempfängers

Diese Lösung hat mindestens zwei wesentliche Nachteile, die sie in der Grosszahl der Anwendun-gen unpraktisch macht.

• Das abstimmbare Eingangsfilter kann nur schwer realisiert werden. Dies zeigt ein Zahlenbei-spiel eines Kurzwellenempfängers für ein gewöhnliches Sprachsignal mit fBB = 5 kHz oder B= 10 kHz und einer Trägerfrequenz von 6 MHz. Das benötigte Bandpassfilter am Empfänger-eingang muss eine Bandbreite von etwas mehr als 10 kHz aufweisen bei einer Mittenfrequenzvon 6 MHz. Die relative Bandbreite dieses Filters, nämlich B/fT, beträgt etwa 2 ‰. Soschmale Bandpassfilter lassen sich nur sehr schwer bauen, und sie haben zusätzlich sehrgrosse Verluste.

• Der geregelte Verstärker vor dem Demodulator muss auf der Empfangsfrequenz arbeiten undzudem den gesamten Empfangsfrequenzbereich abdecken. Dies bedeutet meist eine teureSchaltung. Zusätzlich ist es relativ schwierig, geregelte und empfindliche, d.h. rauscharmeVerstärker zu bauen.

Die Lösung dieser und anderer Probleme des Geradeausempfängers bringt der sog. Überlage-rungs- oder Heterodynempfänger . Er benötigt als neue Komponente einen Mischer , dereine Frequenz oder ein ganzes Frequenzband zu tieferen oder höheren Frequenzen verschiebt. Manspricht auch von Frequenzumsetzung. Fig. 4.5 erläutert seine Funktion näher.

In ihrer einfachsten Ausführungen bilden Mischer das Produkt des Eingangssignals bei der Fre-quenz f1 und des Lokaloszillatorsignals (LO) bei der Frequenz fL. Dadurch entstehen im Mischerneue Frequenzen, wie wir dies bei den Intermodulationen schon gesehen haben. Für sinusförmigeEingangssignale erhält man beim reinen Produktmodulator ein Mischsignal, das nur zwei gleichgrosse Anteile bei der Summen- und Differenzfrequenz enthält, wie Gl.(4.3) zeigt.


€

s t s t

s t s t

s t k s s t t

ks s t t

L L L

misch L L

L L L

1 1 1

1 1

1 1 12

( ) ˆ cos( )

( ) ˆ cos( )

( ) ˆ ˆ cos( ) cos( )

ˆ ˆ cos( ) cos( )

= ⋅= ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ + + −{ }

ωω

ω ω

ω ω ω ω

(4.3)

k = Mischerkonstante

Fig. 4.5 Prinzip des Mischens oder der Frequenzumsetzung

Beim Herabmischen interessiert man sich nur für die tieferliegende Differenzfrequenz, die sog.Zwi schenfrequenz (ZF) fZF = f1 -fL. In der Figur ist nur diese eingezeichnet. Zudem liegt inder Figur die Empfangsfrequenz f1 über der Lokaloszillatorfrequenz fL. Dies muss nicht so sein,sie kann auch unterhalb von fL liegen. Besondere Beachtung verdient die Spiegelfrequenz f sp.Diese Frequenz liegt spiegelbildlich zur Eingangsfrequenz bezüglich der Lokaloszillatorfrequenz.Sie ergibt im Mischer dieselbe Zwischenfrequenz wie die Empfangsfrequenz. In einem Empfängermuss daher sichergestellt werden, dass Signale auf der Spiegelfrequenz in keinem Fall bis zumMischer vordringen können. Dies ist eine wesentliche Aufgabe der Filter vor dem Mischer.

In der Fig. 4.5 fällt bestimmt die Ähnlichkeit der Frequenzdarstellung mit jener aus Fig. 4.3 auf.Tatsächlich sind Mischung und Modulation nahe verwandte Prozesse. Der Hauptunterschied be-steht darin, dass beim Modulator normalerweise beide entstehenden Produkte, also die Summen-und die Differenzfrequenz von Interesse sind. Beide liegen zudem nahe beieinander und werdenmit dem Träger zusammen verwendet. Beim Mischer hingegen wird nur die Differenz- oder ev. dieSummenfrequenz gewünscht. Die verschiedenen Frequenzen liegen dabei weiter auseinander alsbeim Modulator. Praktisch baut man Mischer und Modulatoren mit Multiplikatoren oder anderennichtlinearen Schaltungen wie Dioden und Transistoren auf, die stark in den nichtlinearen Bereichder Kennlinie ausgesteuert werden. Viele von diesen nichtlinearen Schaltungen kann man auch alsSchalter betrachten. Multiplikatoren haben den Vorteil, dass sie nur eine quadratische Nichtlinea-rität enthalten, und daher nur wenige Mischprodukte bilden. Andere Mischer auf der Basis vonDioden oder Schaltern bilden eine ganze Reihe weiterer Mischprodukte, die stören können.

fL

f1

Mischer

fZF

s

fZF fLf

ZwischenfrequenzLokaloszillator

fsp f1

Spiegelfrequenz Eingangsfrequnez

f sum


Man beachte beim Mischvorgang noch die Abhängigkeit der ZF-Amplitude von den Amplitudendes LO's und des Eingangssignals s1. Bei konstantem Pegel des LO's ist die Amplitude derMischprodukte proportional zur Amplitude des Eingangssignals. Dies bedeutet, dass, abgesehenvon der Frequenzumsetzung, der Mischvorgang für das Eingangssignal eine lineare Operation ist.Dies ist äusserst wichtig für die korrekte Funktion eines Empfängers.

Fig. 4.6 zeigt den prinzipiellen Aufbau eines Senders und eines Überlagerungsempfängers. Diebeiden enthalten folgende Funktionsblöcke:

Sender

• Verstärker und Tiefpassfilter für das Modulationssignal. Das Tiefpassfilter verhindert, dass zuhohe Modulationsfrequenzen zu einem zu breiten Modulationsspektrum führen können.

• Der Sendeoszillator erzeugt ein Sendesignal mit einer stabilen Frequenz.

• Der Modulator prägt dem Sendesignal die Modulation auf.

• Das modulierte Sendesignal wird verstärkt und in einem Bandpassfilter gefiltert, damit keineunerwünschten Frequenzen ausgesendet werden (vor allem auch Harmonische der Sendefre-quenz und andere unerwünschte Signale), welche andere Funkverbindungen beeinträchtigenkönnten. Im Funkbereich gelten diesbezüglich strenge Vorschriften des BAKOM (Bundesamtfür Kommunikation).

Empfänger

• Das Eingangsfilter nimmt eine Vorselektion vor, es ist häufig abstimmbar. Es muss auf jedenFall die Spiegelfrequenz unterdrücken, zusätzlich aber auch die Lokaloszillatorfrequenz, dieev. vom Empfänger rückwärts zur Antenne gelangen könnte und dort als unerwünschteFrequenz wieder abgestrahlt würde.

• Ein erster Verstärker muss das meist schwache Eingangssignal verstärken. Es handelt sich da-bei um einen rauscharmen, breitbandigen Verstärker mit nicht zu hoher Verstärkung.

• Es folgt ev. ein zweites abstimmbares Bandpassfilter zur Verstärkung der Wirkung des erstenFilters.

• Der Lokaloszillator erzeugt ein Signal, mit dessen Hilfe das Eingangssignal im Mischer aufeine konstante Zwischenfrequenz umgesetzt wird. Aus diesem Grund muss der Lokaloszilla-tor abgestimmt werden. Im übrigen soll aber seine Frequenz wiederum sehr stabil sein. DerLokaloszillator ist das Element in jedem abstimmbaren Empfänger, das letztlich die gewünschteEmpfangsfrequenz bestimmt.

• Auf der konstanten Zwischenfrequenz erfolgt nun die eigentliche Filterung auf die dem Emp-fangsspektrum angepasste Bandbreite. Da die ZF wesentlich tiefer liegt als die Empfangsfre-quenz, die Bandbreite aber unverändert bleibt, ist die relative Bandbreite des ZF-Filters vielgrösser als die eines Filters mit gleicher Bandbreite auf der Empfangsfrequenz. Damit ist dasZF-Filter einfacher realisierbar. Auch die geregelte Verstärkung geschieht in der ZF. Da diesekonstant und relativ tief ist, lohnt sich hier der Aufwand bei verhältnismässig niedrigenKosten.

• Im Demodulator wird die Nutzinformation vom Träger heruntergeholt. Das demodulierte Sig-nal wird verstärkt und mit einem Tiefpassfilter von allfälligen Signalanteilen bei höheren Fre-quenzen getrennt.


Que

lle

TP

-Filt

erf T

BP

-Filt

er

Mod

ulat

or

Sen

de-

oszi

llato

r

f mf 1

Kan

al

Kan

al

TP

-Filt

erf L

ZF

-Filt

er

Loka

l- os

zilla

tor

Dem

od

f mf Z

Ff 1

AG

C =

aut

omat

isch

e V

erst

ärku

ngsr

egel

ung

BP

-Filt

er Abs

timm

ung

BP

-Filt

er

Mis

cher

Sen

ke

ff L

f 1f s

pf Z

Ff B

B

s

f ZF

f ZF

Sen

der

Em

pfän

ger

Fig

. 4.6

P

rinzi

psch

ema e

ines

Sen

ders

un

d ei

nes Ü

berla

geru

ngs-

em

pfän

gers


4.2 Amplitudenmodulation4.2.1 Zweiseitenbandmodulation

Wie in Abschnitt 4.1.1 gezeigt, kann die Amplitudenmodulation mit einem Träger mathematischmit der Gleichung

s t s s t tT m m T1( ) ˆ ˆ cos( ) cos( )= + ⋅{ }ω ω

beschrieben werden. Dieser Ausdruck wird häufig mit Hilfe des Modulationsindex' oder Modula-tionsgrades m,

mssm

T

ˆˆ

= (4.4)

zu

s t s m t t

s tm

tm

t

T m T

T T T m T m

1 1

2 2

( ) ˆ cos cos

ˆ cos cos cos( )

= + ⋅{ }= + ⋅ +( ) + ⋅ −î

ω ω

ω ω ω ω ω(4.5)

umgeschrieben. Die beiden Seitenbänder haben also die Amplitude m/2. Fig. 4.7 zeigt ein mit ei-nem reinen Sinussignal amplitudenmoduliertes Trägersignal. Man erkennt sehr gut die Hüllkurve,welche der Form des Modulationssignals entspricht.

Fig. 4.7 Amplitudenmodulierter Träger, m = 0.7

Die Hüllkurve erreicht für m = 1 gerade die Nullachse. Die einfachsten Demodulatoren sind dannallerdings nicht mehr in der Lage, das Signal zu demodulieren. Der Modulationsindex muss beidiesen immer kleiner 1 bleiben. Wir berechnen noch die Leistung einer AM-Schwingung. Sie be-trägt:

P P PAM T SB = + 2 (4.6)

Dabei bedeuten PT die Trägerleistung und PSB die Leistung eines Seitenbandes. Da das Verhältnisder Seitenbandamplitude zur Trägeramplitude m/2 beträgt, findet man für das Verhältnis der Leis-tung des modulierten Trägers zu jener des Trägers allein:

s

t


PP

PP

m mAM

T

SB

T = + = +

= +1 2 1 2

21

2

2 2(4.7)

Im Maximum kann m = 1 werden. In diesem Fall stecken immer noch 2/3 der Leistung im unmo-dulierten Träger. Die AM mit Träger ist also bezüglich Wirkungsgrad schlecht, da immer nur rela-tiv wenig Energie in den informationstragenden Seitenbändern steckt.

Vorteile der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger:

• Einfache Modulatoren und vor allem einfache Demodulatoren ergeben billige Geräte, was inden Anfängen der Funktechnik entscheidend war.

• Die erforderliche Übertragungsbandbreite ist relativ klein (das Zweifache der Basisbandbreite)

Nachteile:

• Sie ist nicht effizient bezüglich der Leistung, welche in den informationstragenden Seitenbän-dern steckt.

• Sie ist relativ empfindlich gegenüber Störungen

Zur Erzeugung der Zweiseitenband-Amplitudenmodulation mit Träger stehen eine Reihe vonMöglichkeiten offen. Am einfachsten ist ein Multiplikator, welcher die in Gl. (1) gezeigte Multi-plikation ausführt. Den Trägeranteil fügt man mit einem Gleichspannungsanteil zum Modulations-signal ein. In Fig. 4.8 a) geschieht dies mit dem Gleichstrom I0 (aus einer Stromquelle) durch R.Der Multiplikator ist eine rein quadratische Nichtlinearität und erzeugt daher nur gerade die ge-wünschten Ausgangsfrequenzen (siehe Abschnitt 3.3.2). Dies im Gegensatz zu einerNichtlinearität höherer Ordnung.

I0

Rum uT

u1

MC1496

a)

um u1

uTb)

Fig. 4.8 Zwei Modulatoren für AM, a) Multiplikator aufgebaut mit einem IC undb) Ringmodulator


Bei höheren Frequenzen, bei denen integrierte Multiplikatoren nicht mehr funktionstüchtig sind,lässt sich dieselbe Operation mit einem Diodenschalter in Form eines sog. Ringmodulators aus-führen (Fig. 4.8 b). Diese Schaltung unterdrückt allerdings den Träger, so dass dieser anschlies-send separat wieder hinzugefügt werden muss.

Der Ringmodulator ist ein elektronischer Umschalter. Voraussetzung dazu ist ein viel grösseresTrägersignal uT im Vergleich zum Modulationssignal um. Das Trägersignal erreicht über die Mit-telanzapfung der beiden Transformatoren die vier Dioden. Die entstehenden Ströme durch diejeweiligen Wicklungshälften sind aus Symmetriegründen identisch. Sie erzeugen in den Wick-lungshälften bei idealer Kopplung induzierte Spannungen, die sich aufheben. Damit besteht dieLast am Trägersignaleingang aus zwei Paaren von Dioden mit entgegengesetzter Polarität. Für einepositive Trägerspannung leiten in Fig. 4.8 die beiden ungekreuzten Dioden, bei entgegengesetzterPolarität die gekreuzten. Für das kleinere Modulationssignal dürfen die Dioden durch ihren diffe-rentiellen Widerstand ersetzt werden. Im leitenden Zustand beträgt dieser nur einige wenige Ohm,im gesperrten spielt nur die kleine Sperrschichtkapazität eine gewisse Rolle. Der Ringmischerschaltet damit während einer halben Periode von fT um direkt und während der andern Halbperiodeumgepolt durch. Die Fourieranalyse des so umgeschalteten Modulationssignals enthält diegewünschten Seitenbänder, ebenso aber auch Seitenbänder bei allen ungeraden Trägervielfachen.Letztere müssen mit Filtern entfernt werden.

Die einfachste Demodulationsschaltung ist ein Hüllkurvendetektor oder -demodulator, Fig.4.9. Er besteht aus einem Einfach- oder Doppelweggleichrichter mit anschliessendemTiefpassfilter. Seine Funktion ist identisch zu jener eines gewöhnlichenWechselspannungsgleichrichters mit anschliessender Filterung (Siebung des Wechselanteils miteinem Filter). Eine positive Eingangsspannung lädt über die Diode den nachfolgendenKondensator bis auf die Spitzenspannung auf. Sobald die Eingangsspannung unter den Wert derKondensatorspannung fällt, sperrt die Diode, sie trennt also die Eingangsquelle vom Kondensatorab, bis deren Spannung wieder grösser als die Kondensatorspannung ist (zuzüglichSpannungsabfall über der Diode). Während der Sperrzeit der Diode entlädt sich der Kondensatorlangsam über R. Die Zeitkonstante des RC-Gliedes muss wesentlich länger sein als diePeriodendauer des Eingangssignals, aber so kurz, dass die Entladung dem Signal bei dermaximalen Modulationsfrequenz folgen kann. Das Ausgangssignal folgt also recht genau derHüllkurve des gleichgerichteten modulierten Signals. Dieses Verfahren funktioniert nur dann gut,wenn die Trägerfrequenz viel grösser ist als die höchste auftretende Modulationsfrequenz.

u'm

(t)C R

u'1(t)

Fig. 4.9 Hüllkurvendemodulator

Die Demodulation kann aber auch mit derselben Schaltung wie die Modulation durchgeführt wer-den. An Stelle des Modulationssignals wird das Empfangssignal, also u'1, zusammen mit demTräger auf den Multiplikator oder den Ringmodulator geführt. Man nennt diese Form desDemodulators Synchrondemodulator oder kohärenten Demodulator . Seine Funktionergibt sich rein formal aus der Multiplikation der beiden Signale. Das im Empfängerbereitzustellende Trägersignal sei u'T. Bei diesem ist die Phase entscheidend wichtig. Wie diesesTrägersignal mit der richtigen Phasenlage erzeugt werden kann, werden wir bei der Übertragungdigitaler Signale kennenlernen, wo dieses Verfahren sehr wichtig ist.

Empfangssignal: s t s m t tT m T' ( ) ˆ cos( ) cos( )1 1= + ⋅{ }ω ω


Trägersignal: s t s tT T T T' ( ) ' cos( ' )= +ω ϕ (4.8)

Die Phase des Empfangssignals s'1 können wir ohne Verlust an Allgemeingültigkeit null setzen.Für das Produkt der beiden Signale erhält man:

s t s t s t

s s m t t t

s s m t t

T

T T m T T T

T T m T T T

2 1

1

112

2

( ) ' ( ) ' ( )

ˆ ' cos cos( )cos( ' )

ˆ ' cos cos ' cos( ' )'

= ⋅

= ⋅ + ⋅{ } +

= ⋅ + ⋅{ } +( ) + −{ }ω ω ω ϕ

ω ω ϕ ϕ

(4.9)

In diesem Ausdruck interessiert uns nur das demodulierte Signal, nämlich der Anteil mit Frequen-zen im Basisband. Wir nennen es s'm und es lautet:

s ts s

m tmT T

m T' ( ) ˆ '

cos cos( ' )= ⋅ + ⋅{ }2

1 ω ϕ (4.10)

Bedeutsam ist der Faktor cos(ϕ ' T). Ist ϕ ' T nicht null, d.h. nicht identisch mit der Trägerphase desEmpfangssignals, so führt dieser Faktor zu einer Verkleinerung der Ausgangsamplitude des demo-dulierten Signals. Im Grenzfall wird diese für ϕ ' T = 90˚ sogar null. Die Phase des Trägers mussalso genau mit jener des Trägers im Empfangssignal übereinstimmen. Nach der Demodulationmuss noch der vom Träger stammende Gleichstromanteil mit einem Hochpassfilter entferntwerden.

Wo wird die Amplitudenmodulation mit Träger eingesetzt? Hauptsächlich im Mittelwellen- und imKurzwellenbereich, aber auch im klassischen, analogen Flugfunk. Eine Variante bildet die Ampli-tudenmodulation mit unterdrücktem Träger . Diese hat den Vorteil, dass die ganze Energiedes modulierten Trägers in den Seitenbändern steckt, da der reine Träger nicht mehr existiert.Nachteilig ist die aufwändigere Demodulation. Man benötigt dafür zwingend einen Träger undeinen Synchrondemodulator. Für die direkte Übertragung über Funk wird sie nicht verwendet, dasich Schwierigkeiten mit der Verstärkungsregelung im Empfänger ergeben. Die Amplitude desModulationssignals steckt bei der AM ohne Träger direkt in der Amplitude der Seitenbänder. ImAGC-Verstärker würde diese nun aber zu einem guten Teil ausgeregelt, sodass dieAmplitudeninformation verlorengehen würde. Sie kann aber in anderen Fällen sehr wohl eingesetztwerden, wo dieser Effekt entweder keine Rolle spielt oder auf andere Weise ausgeschlossenwerden kann. Eine typische Anwendung ist die Übertragung der Stereoinformation beim UKW-Stereorundfunk (siehe später).

Schliesslich sei noch eine einfache Interpretation der AM mittels Zeigerdiagrammen gezeigt. In derRegel arbeitet man in der Wechselstromlehre nur bei einer Frequenz. Deshalb kann man mit denFestzeigern ohne den zeitabhängigen Teil exp(jωt) arbeiten. Auch der exakte Zeitpunkt des Zeiger-diagramms spielt keine Rolle, da die relativen Beziehungen der verschiedenen Zeiger zueinanderunabhängig von der Zeit sind. Eine Zeitverschiebung bedeutet nur eine Drehung des Zeigerdia-gramms um einen bestimmten Winkel. Bei modulierten Trägern kommen gleichzeitig mehrereFrequenzen vor. Das hat zur Folge, dass bei der Arbeit mit Zeigerdiagrammen immer der voll-ständige komplexe Drehzeiger verwendet werden muss, da Zeiger bei unterschiedlichen Fre-quenzen nicht gleich rasch drehen.

Ein amplitudenmodulierter Träger setzt sich bei sinusförmigem Modulationssignal aus dem Trägerund den beiden Seitenbändern zusammen. Für die Zeigerdarstellung lässt man in einem erstenSchritt die Drehbewegung des Trägers und der Seitenbänder mit ωT weg. Damit erscheinen nurnoch die relativen Drehbewegungen der beiden Seitenbänder mit ±ωm gegenüber dem Träger undergeben das Zeigerdiagramm von Fig. 4.10. Das Resultat der Zeigeraddition ist ein resultierenderZeiger, der seine Amplitude im Takt von ωm ändert. Dieser Zeiger mit variabler Länge dreht nunmit ωT und erzeugt so als Projektion auf die reelle Achse das in seiner Amplitude modulierte Trä-gersignale mit der Kreisfrequenz ωT.


Fig. 4.10 Zeigerdiagramm der Amplitudenmodulation

4.2.2 Einseitenbandmodulation (ESB)

Besser bekannt ist die Einseitenbandmodulation fast unter ihrem englischen Ausdruck "single side-band modulation" oder SSB. Bei der Zweiseitenbandmodulation enthalten beide Seitenbänder die-selbe Information. Eines davon kann man sich sparen ohne Verlust an Information, ev. sogar denTräger. Die Vorteile der ESB ergeben sich aus dem Bandbreitenbedarf für die Übertragung, ihreNachteile hingegen aus dem erhöhten Aufwand für die Erzeugung und die Demodulation.

Vorteile:

• Nur die halbe Bandbreite wird benötigt

• Bei reduziertem Träger ergibt sich eine bessere Leistungsbilanz

Nachteil:

• Erzeugung und Demodulation sind aufwändiger, für letztere benötigt man streng genommeneinen zurückgewonnenen, unmodulierten Träger.

Zur Erzeugung der ESB gibt es zwei Methoden, die Filtermethode und die Phasenmethode. Beider ersten wird eines der beiden Seitenbänder mit einem Filter entfernt. Ist die tiefste Modulations-frequenz nahe bei null, so liegen die beiden Seitenbänder sehr nahe beieinander. Dann ist esäusserst schwierig, die beiden Bänder mit einem Filter zu trennen (z.B. nur 100 Hz Abstand,wenn Tonsignale bis hinab zu 50 Hz übertragen werden sollen. Bei der Phasenmethode löst mandiese Aufgabe, indem die Ausgangssignale von zwei Modulatoren kombiniert werden (Fig. 4.11).Die beiden Modulatoren werden mit Trägersignalen gespeist, die sich um 90˚ in der Phaseunterscheiden. Auch die Modulationssignale sind um 90˚ gegeneinander gedreht. Bei der Additionder beiden Ausgangssignale löscht sich, je nach Wahl der Phasenverschiebung, das eine oderandere Seitenband aus. In der gezeichneten Version ist es das obere Seitenband, welchesausgelöscht wird. Die erreichbare Unterdrückung des nicht erwünschten Seitenbandes ist abhängigvon der Symmetrie der Schaltung und der erreichbaren Genauigkeit bei den 90˚-Phasenverschiebungen zwischen den Signalen. Der schwierigste Teil dieser Schaltung ist derPhasenschieber für das Modulationssignal, der den ganzen zugehörigen Frequenzbereich abdeckenmuss, also z.B. von 50 Hz bis 15 kHz.

sT s1

m

m

Tsmo

2

smu2


0°

90°

0°

90°

sm

sT

s1ESB

sTQ

sTI

smI

smQ

s1I

s1Q

Fig. 4.11 Prinzipschema des ESB-Modulators

Zur Demodulation von ESB-Signalen braucht man theoretisch einen Synchrondemodulator. Wenndie Phase des zurückgewonnenen Trägers ϕ ' T ≠ 0˚ ist, dann besteht das demodulierte Signal ausdem ursprünglichen Signal s'm und einem um 90˚ phasenverschobenen Anteil. Die Summe dieserbeiden Anteile ergibt ein Signal, das die richtigen Frequenzanteile, aber nicht mehr die richtigenPhasen aufweist. Die Übertragung ist also nicht formgetreu. Da unser Ohr jedoch unempfindlichist auf Phasenverschiebungen, spielt dies für die Übertragung von akustischer Information keineRolle.

Die Einseitenbandmodulation wird unter anderem in der Trägerfrequenztechnik (Frequenzmulti-plex) und im Amateurfunk verwendet.

4.2.3 Restseitenbandmodulation

In manchen Fällen ist die benötigte Bandbreite der Zweiseitenbandmodulation zu gross, der Auf-wand, der für eine reine Einseitenbandmodulation getrieben werden muss, aber zu gross. In diesenFällen ist die Restseitenbandmodulation eine günstige Zwischenlösung (englisch "vestigial side-band modulation"). Bei dieser macht man einen graduellen Übergang von der Zweiseiten- zur Ein-seitenbandmodulation. Man führt zuerst eine normale Zweiseitenbandmodulation durch.Anschliessend filtert man das Spektrum mit einem Filter, welches bei der Trägerfrequenz noch dieHälfte des ursprünglichen Anteils passieren lässt, und eine Filtercharakteristik aufweist, welcheeine ungerade Symmetrie bei den Amplituden der oberhalb und unterhalb des Trägers liegendenSeitenbänder ergibt (Fig. 4.12). Für Frequenzen nahe beim Träger sind damit die beidenSeitenbänder praktisch gleich gross. Die Modulation gleicht damit einerZweiseitenbandmodulation. Je weiter man sich vom Träger entfernt, umso mehr geht dieModulation in eine Einseitenbandmodulation über. Man kann zeigen, dass bei dieser ungeradenFilterung des Spektrums sich für alle Modulationsfrequenzen bei der Demodulation die Beiträgeder beiden Seitenbänder zum korrekten Basisbandsignal addieren.

Die Restseitenbandmodulation wird dort eingesetzt, wo die Reduktion der Bandbreite desmodulierten Trägers wichtig ist. Hauptanwendungsgebiet ist das Fernsehen. Das Basisbandsignalbeträgt beim Fernsehen 6 MHz. Mit normaler Zweiseitenbandmodulation wäre für den moduliertenTräger eine Bandbreite von 12 MHz erforderlich. Mittels Restseitenbandmodulation kann diese auf7 MHz reduziert werden. Vom Restseitenband werden noch 1.25 MHz übertragen. Allerdingswird vom Sender das ganze Restseitenband bis 0.75 MHz mit voller Amplitude ausgestrahlt.Anschliessend fällt die Amplitude bis zu 1.25 MHz auf null ab. Aus praktischen Gründen wird dieendgültige Restseitenbandfilterung erst im Empfänger vorgenommen.


fT - fBB fT + fBB

s

fTf

B

Restseitenband

Fig. 4.12 Spektrum bei der Restseitenbandmodulation

4.2.4 Quadraturamplitudenmodulation

Bei der Synchrondemodulation haben wir gesehen, dass die Trägerphase ϕ ' T genau stimmenmuss, damit das demodulierte Signal mit der vollen Amplitude wiedergegeben wird. Bei einerTrägerphase von 90˚ gegenüber der ursprünglichen Trägerphase im Modulator ist das demodulierteSignal null. Dies nützt man aus, um zwei Modulationssignale gleichzeitig über denselben Kanalmit derselben Trägerfrequenz zu übertragen. Man nennt diese Modulationsart Quadratur-AM oderkurz QAM, da man mit zwei Trägern mit 90˚ Phasenverschiebung arbeitet. Das Schema ist ganzähnlich jenem des Einseitenbandmodulators, nur dass die Eingangssignale der beiden Modulatorenvoneinander unabhängig sind (Fig. 4.13).

0°

90°

smI

sT

s1QAM

smQ

s1I

s1Q

STI

STQ

b)a)

sTI

sTQ

I-Modulator

Q-Modulator

Fig. 4.13 Quadratur-Amplitudenmodulator, a) Blockschema und b) Zeigerdiagramm der bei-den Trägersignale

Das Schema des Demodulators entspricht dem genauen Spiegelbild des Modulators. Das Emp-fangssignal wird aufgeteilt auf zwei Synchrondemodulatoren, die mit Trägern mit 90˚ Phasenver-satz arbeiten. Das Entscheidende ist die Phasenlage der beiden zurückgewonnenen Trägersignale,die genau die gleiche sein muss wie im Modulator, ansonsten die beiden Kanäle vermischt odervertauscht werden.

Das Verfahren, mit dem die korrekte Trägerphase ermittelt wird, hängt von der Art der Modulati-onssignale ab. Die wichtigsten Anwendungen für die QAM sind die Übertragung der Farbe beim


Farbfernsehen und die Übertragung digitaler Daten über Telefonleitungen, Mobilfunk und Richt-funk. Beim Farbfernsehen müssen neben der Helligkeitsinformation noch zwei Farbdifferenzsig-nale übertragen werden. Diese werden mit QAM auf einen sog. Farbhilfsträger bei 4.43 MHzaufmoduliert. Ein kurzes Muster des unmodulierten Trägers wird in der Lücke nach dem Zeilen-synchronimpuls und vor dem Beginn der Zeileninformation geliefert (sog. Farbburst). Damit kannein im Empfänger befindlicher Oszillator von Zeile zu Zeile neu synchronisiert werden. Bei derdigitalen QAM gelingt es, den Träger aus dem Empfangssignal zurückzugewinnen.

4.3 Frequenz- und Phasenmodulation4.3.1 Theorie der FM- und PM

Bei der Frequenz- oder Phasenmodulation (FM oder PM) steckt die Information nicht in der Amp-litude des Trägersignals wie bei der AM, sondern in dessen Phase oder Frequenz. Man sprichtauch von Winkelmodulation, ein Begriff der sowohl die FM wie die PM umfasst.

Bei der Winkelmodulation wird ein sinusförmiger Träger in der Phase verändert. Der modulierteTräger lässt sich schreiben als

s t s t s t tT1 1 1( ) ˆ cos ( ) ˆ cos ( )= ⋅ [ ] = ⋅ +[ ]θ ω ϕ (4.11)

Der Momentanwinkel θθθθ(t) ist hier auch als Summe der kontinuierlich zunehmendenTrägerphase ωTt und einer Phasenänderung ϕϕϕϕ (t) gegenüber ersterer dargestellt. Die Ableitungder Gesamtphase θ(t) bezeichnet man als Momentankreisfrequenz ωωωω(t), manchmal wird sieauch ungenau einfach Momentanfrequenz genannt.

ω θ ωϕ

( ) ( )

( )

td t

dt

d t

dtT= [ ] = + [ ](4.12)

Fig. 4.14 zeigt den Zusammenhang zwischen θ(t), ϕ (t) ω(t) und s1(t) an einem Beispiel. Bei derWinkelmodulation wird die Momentanfrequenz bzw. die Momentanphase in Funktion des Modula-tionssignals verändert. Bei der Phasenmodulation ist ϕ (t) proportional zum Modulationssignalsm(t), nämlich

ϕ ϕPM PM m

mmt k s t

ss t( ) ( )

ˆ( )= ⋅ = ∆

(4.13)

mit ksPMm

ˆ

= ∆ϕ = Phasenmodulationskonstante

∆ϕ = Phasenhub (Spitzenwert)

sm= Spitzenwert des Modulationssignals

Ist sm(t) eine Spannung, dann gilt [kPM] = rad/V.


t

t

t

t

(t)

(t)

(t)- T

s1(t)

Tt

0 2 4 6 8 10 s

20

40

60rad

0

4

-4

0

0 2 4 6 8 10 s

0 2 4 6 8 10 s

0 2 4 6 8 10 s

rad

0

4

-4

s-1

Fig. 4.14 Winkelfunktion θ(t), Winkeländerung ϕ (t), Momentankreisfrequenz ω(t) und win-kelmoduliertes Signal s1(t)


Die Momentanfrequenz der Phasenmodulation ist damit

ω ωϕ

ωPM TPM

T PMmt

d t

dtk

d s t

dt( )

( )

( )= + [ ] = + [ ]

(4.14)

Genauer kann die Momentanfrequenz ohne weitere Kenntnisse des Modulationssignals nicht an-gegeben werden.

Bei der Frequenzmodulation ist es die Momentanfrequenz, welche im Takt des Modulations-signals um den Mittelwert der Trägerfrequenz variiert.

ω ω ω ωFM T FM m T

mmt k s t

ss t( ) ( )

ˆ( )= + = + ∆

(4.15)

mit ksFMm

ˆ

= ∆ω = Frequenzmodulationskonstante

∆ω = Frequenzhub (Spitzenwert)

Handelt es sich bei sm(t) um eine Spannung, dann ist [kFM] = s-1/V.

Bei der Frequenzmodulation findet man die Momentanphase durch Integration der Momentankreis-frequenz

θ ω τ τ θ ω τ τ θFM FM

t

T FM m

tt d t k s d( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + = + +∫ ∫

0 0

0 0 (4.16)

Auch hier können wir ohne nähere Kenntnis des Modulationssignals nichts Weiteres aussagenüber die Momentanphase. Die Nullphase θ(0) können wir, ohne Verlust an Allgemeinheit, in Zu-kunft null setzen.

Ein einfaches mechanisches Modell soll die Funktion dieser beiden Modulationsarten noch nähererklären, Fig. 4.15 [nach Herter/Lörcher]. Man stelle sich einen Motor vor, der nominell mit derDrehzahl nT bzw. der Kreisfrequenz ωT dreht. Auf der Schwungscheibe des Motors ist ein Dreh-spulmesswerk befestigt, das über zwei Schleifringe gespeist werden kann. Die Achse desDrehspulinstruments ragt aus einem Loch in der Abdeckung hervor und trägt einen Zeiger. Vonaussen sieht man also nur den Zeiger, der den Momentanwinkel der Anordnung anzeigt. Diesenkann man auf zwei Arten beeinflussen. Einmal, indem man die Drehzahl des Motors mit einerentsprechenden Spannung verändert, andererseits aber auch, indem man dem Drehspulinstrumenteine Steuerspannung zuführt.

Die Steuerung der Momentanphase über das Drehspulinstrument entspricht genau der Phasenmo-dulation. Mit der dort anliegenden Spannung fügt man der Momentanphase des drehenden MotorsωTt eine um den Winkel ϕ( t) des Drehspulinstruments vor- oder nacheilende Phase hinzu.Verändert man hingegen die Drehzahl, bzw. die Kreisfrequenz des Motors, so entspricht dies einerFrequenzmodulation. Eine konstante Erhöhung der Kreisfrequenz ergibt eine linear zunehmendePhase ϕ( t) gegenüber der Phase des mit Nenndrehzahl drehenden Motors.

Um mehr über die FM und PM aussagen zu können, lassen wir im nächsten Schritt rein sinus-förmige Modulationssignale zu. Es sei

s t s tm m m m( ) ˆ cos( )= ⋅ +ω ϕ

Für die PM erhält man durch Einsetzen dieses Modulationssignals in Gl.(4.13) und mit Gl.(4.11):

s t s t k s tT T PM m m m1( ) ˆ cos ˆ cos( )= ⋅ + ⋅ ⋅ +[ ]ω ω ϕ (4.17)


Andererseits erhält man bei sinusförmiger FM durch Einsetzen des Modulationssignals inGl.(4.15) und zusammen mit Gl.(4.16):

ω�ωωω(t)

ω�ωωωT

ϕ�ϕϕϕ� (t)

ϕ�ϕϕϕ� (t)

ω�ωωω(t)

ω�ωωωT

Fig. 4.15 Elektromechanisches Modell zur Winkelmodulation

ω ω ω ϕ( ) ˆ cos( )t k s tT FM m m m= + ⋅ ⋅ + (4.18)

Daraus findet man durch Integration die Momentanphase

θ ω τ τ θ ωω

ω ϕ θ( ) ( ) ( ) ˆ sin( ) ( )t d tk

s tt

TFM

mm m m= + = + ⋅ ⋅ + +∫

0

0 0 (4.19)

Die Anfangsphase θ(0) können wir wieder weglassen. Das modulierte Signal findet man schliess-lich durch Einsetzen von Gl.(4.19) in Gl.(4.11):

s t s tk

s tT TFM

mm m m1( ) ˆ cos ˆ sin( )= ⋅ + ⋅ ⋅ +

ω

ωω ϕ (4.20)


Vergleicht man Gl. (4.20) mit Gl. (4.17), so stellt man sofort fest, dass die beiden moduliertenTräger grosse Ähnlichkeit aufweisen. Falls

ks

ksPM

m

FM

m m m

ˆ

ˆ= = =∆ ∆ϕ

ωω

ω(4.21)

oder ∆ ∆ω ϕ ω = ⋅ m (4.22)

ist, unterscheiden sich die beiden für eine feste Modulationsfrequenz ωm nur durch die Phase dermodulierenden Sinusspannung. In der Regel spielt bei sinusförmigen Signalen die Wahl des Zeit-nullpunktes keine Rolle, so dass die beiden Signale als identisch bezeichnet werden können. Beisinusförmiger Winkelmodulation mit einer festen Modulationsfrequenz kann manalso nicht sagen, ob es sich um eine FM oder um eine PM handelt. Ein Unterschiedlässt sich erst feststellen, wenn ωm verändert wird. Bei der Phasenmodulation bleibt dabei derPhasenhub ∆ϕ konstant. Dafür steigt gemäss Gl. (4.22) der Frequenzhub ∆ω linear mit ωm an.Umgekehrt ist bei der Frequenzmodulation der Frequenzhub konstant. Der zugehörige Phasenhubverhält sich, wiederum nach Gl. (4.22), umgekehrt proportional zu ωm.

Diese enge Beziehung zwischen PM und FM nützt man vielfältig aus. So ist es z.B. einiges einfa-cher, einen Frequenzmodulator zu bauen als einen Phasenmodulator. Man erhält eine Phasenmo-dulation, indem man das Modulationssignal sm(t) zuerst differenziert und es anschliessend einemFrequenzmodulator zuführt. Wir werden dieses Verfahren später noch genauer ansehen. Umge-kehrt könnte man eine Frequenzmodulation erzeugen, indem das Modulationssignal zuerst inte-griert und anschliessend einem Phasenmodulator übergeben wird (siehe Abschnitt 4.3.2).

Eine gute Interpretation der Funktionsweise der FM und PM liefert wieder das Zeigerdiagramm(Fig. 4.16). Der Zeiger des Trägers wird bei beiden Modulationen in der Amplitude nichtverändert, einzig seine Phase wird gegenüber der Trägerphase vor- oder rückwärts gedreht. DasZeigerdiagramm entspricht genau dem Bild des Zeigers im mechanischen Modell. Wenn man sicheinen Beobachter vorstellt, der auf einer drehenden Plattform steht, die sich mit der nominellenKreisfrequenz ωT dreht, so sieht dieser nur die relative Phasenänderung gegenüber ωTt. DieserBeobachter sieht somit genau das Bild, das sich bietet, wenn man nur die Phasenänderungen ϕ (t)darstellt.

Fig. 4.16 Zeigerdiagramm der FM oder PM

Das Spektrum eines phasen- oder frequenzmodulierten Trägers ist nicht mehr so einfach zu be-stimmen wie dasjenige der AM. Bei rein sinusförmiger Modulation nach Gl. (4.17) oder (4.20)


lässt sich die Lösung exakt angeben. Bevor wir uns an das Spektrum des allgemeinen Falls ma-chen, behandeln wir den Fall mit kleinem Hub,

∆ ∆ϕ ωω

« =m

1 (4.23),

für den leicht eine Näherung angegeben werden kann. Dazu formen wir die Gl. (4.20) für den mo-dulierten Träger um, indem wir für kleine Winkel den Cosinus näherungsweise 1 setzen und denSinus durch sein Argument ersetzen.

s t s t t s t t

s t t t t

s t t

T Tm

m T T m

T T m T m

T T T

1( ) ˆ cos sin( ) ˆ cos sin( )

ˆ cos( )cos sin( ) sin( )sin sin( )

ˆ cos( ) sin(

= ⋅ + ⋅

= ⋅ + ⋅[ ]

= ⋅ ⋅[ ] − ⋅[ ]{ }≈ ⋅ −

ω ωω

ω ω ϕ ω

ω ϕ ω ω ϕ ω

ω ω

∆ ∆

∆ ∆

)) sin( )

ˆ cos( ) cos( ) cos( )

∆

∆

ϕ ω

ω ϕ ω ω ω ω

⋅{ }

≈ ⋅ + + − −[ ]î

m

T T T m T m

t

s t t t2

(4.24)

Dieses Resultat sieht einer AM sehr ähnlich. Der einzige Unterschied ist das negative Vorzeichenbeim unteren Seitenband. Die Bedeutung dieses Vorzeichenwechsels wird verständlich, wenn mandas Zeigerdiagramm betrachtet (Fig. 4.17).

Fig. 4.17 Zeigerdiagramm der Kleinhub-FM (∆ϕ < 20˚)

Durch den Vorzeichenwechsel wird die Teilsumme, welche die Zeiger der beiden Seitenbänderbilden, um 90˚ gegenüber dem Träger gedreht. Dadurch bewegt sich der Summenzeiger auf einerGeraden senkrecht zum Träger. Für kleine Phasenhübe liegt dieser damit näherungsweise auf ei-nem Kreis. Es ändert sich also näherungsweise nur die Phase, nicht aber die Amplitude des modu-lierten Signals. Die Grenze für diese Approximation liegt bei einem Phasenhub von etwa 20˚. Mannennt diese Form von FM Kleinhub-FM .

Für grössere Hübe muss man für das Spektrum zur exakten Lösung greifen. Sie führt aufBesselfunktionen erster Art und Ordnung n, Jn(ββββ). Wir zeigen hier nur das Resultat:

s t s t t

s J n t

T FM m

nn

n

FM T m

1 1

1

( ) ˆ cos sin( )

ˆ ( ) cos( )

= ⋅ + ⋅[ ]

= ⋅ ⋅ +=−∞

=∞∑

ω β ω

β ω ω(4.25)

sT

s1

m m

T

( t )

2s T


Die Grösse βω

ωωFM

FM m

m m

k s

ˆ = ⋅ = ∆

(4.26)

nennt man Modulationsindex . Ein Vergleich mit Gl.(4.22) zeigt, dass es sich dabei um nichtsanderes als den Phasenhub ∆ϕ der Frequenzmodulation handelt. Anders betrachtet ist βFM bei derFM mit einem sinusförmigen Modulationssignal direkt das Verhältnis von Frequenzhub zu Mo-dulationsfrequenz.

Das Spektrum der FM und PM enthält nach Gl.(4.25) nicht nur Seitenlinien bei ± ωm wie die AM,sondern ist mit Seitenlinien bei ± n·ωm mit

€

n → ∞ theoretisch unendlich breit. Praktisch ist esaber beschränkt. Die Grösse der Seitenlinien wird durch Jn(βFM) bestimmt. Fig. 4.18 (siehenächste Seite) zeigt die Besselfunktionen erster Art bis zur Ordnung 8. Dabei fällt auf, dass beigegebenem βFM nur die Besselfunktionen bis zur Ordnung n = βFM + 2 von Bedeutung sind.Dem Modulationsindex kommt demnach eine entscheidende Rolle für die Anzahl der auftretendenSeitenlinien zu. Fig. 4.18 zeigt zusätzlich einige typische Spektren für unterschiedlicheModulationsindizes. Um diese Spektren zu zeichnen wurde noch die Beziehung fürBesselfunktionen negativer Ordnung verwendet, nämlich

J Jnn

n− = −( ) ( ) ( )β β1 (4.27)

Diese Beziehung hat zur Folge, dass Seitenbänder gerader Ordnung in Phase, solche ungeraderOrdnung gegenphasig sind. Auch den allgemeinen Fall der FM mit mehr als nur einem Seitenlini-enpaar kann man mit einem Zeigerdiagramm mit Drehzeigern darstellen. Jedes Seitenlinienpaardreht gegenüber dem Träger mit ± nωm. Gerade Seitenlinienpaare ergeben eine Teilsumme, dieimmer in Phase zum Träger ist, ungerade dagegen ergeben Teilsummen, die immer senkrecht zumTräger stehen. Fig. 4.19 zeigt ein Beispiel für βFM = 1, bei welchem zwei Seitenbandpaareberücksichtigt werden müssen. Die Summe dieser Drehzeiger muss immer einen Gesamtzeiger aufeinem Kreis ergeben. Denn definitionsgemäss verändert die FM nur die Phase, nicht jedoch dieAmplitude.

Wir haben schon erwähnt, dass bei den Besselfunktionen höherer Ordnung der Funktionswertlange ungefähr null bleibt. Daraus lässt sich generell die Anzahl der zu berücksichtigenden Seiten-linien und damit die erforderliche Bandbreite für eine FM angeben. Für

βFM ≥ 1 sind Seitenbänder mindestens innerhalb der Bandbreite von ±(βFM + 1) fm, bes-ser noch innerhalb von ± (βFM + 2) fm zu berücksichtigen, und für

βFM « 1 braucht es mindestens ein Seitenbandpaar bei ± fm.

Fig. 4.18 Besselfunktionen 1.Art bis 8-ter Ordnung und FM-Spektren für ∆f = 10 kHz undunterschiedliche Modulationsfrequenzen


Fig. 4.18 Besselfunktionen 1.Art bis 8-ter Ordnung und FM-Spektren für ∆f = 10 kHz undunterschiedliche Modulationsfrequenzen

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5

0

0.5

1

J0(� )

J1(� )J2(� )

J3(� ) J4(� ) J5(� ) J6(� ) J7( ) J8( )

Jn(� � )

�

-20 -10 0 10 20kHz

f-fT

� � �T

0 � 2 �� -2 �

fm = 2kHz

�FM � 5

fm = 5kHz

�FM � 2

fm = 10kHz

�FM � 1

fm = 20kHz

�FM = 0.5


Fig. 4.19 Zeigerdiagramm für eine Frequenzmodulation mit βFM = 1

Mit Gl. (4.26) kann man diese Angaben in einer einzigen Beziehung für die Bandbreite der FMzusammenfassen, falls man sich für βFM > 1 auf eine Bandbreite von ±(βFM + 1) fm beschränkt:

B f fm ( )≥ +2 ∆ (4.28)

Bei dieser Bandbreite schneidet man für grossen Hub noch mindestens ein nicht ganz vernachläs-sigbares Seitenlinienpaar ab und muss mit leichten Verzerrungen nach der Demodulation rechnen.Eine vorsichtigere Bandbreitenangabe lautet deshalb B ≥ 2(∆f + 2fm). Diese Bandbreitenangabengelten auch, wie man zeigen kann, wenn man als Modulationssignal kein einzelnes Sinussignalhat, sondern ein ganzes Spektrum bis zur Basisband-Grenzfrequenz fBB. Dann ist in Gl. (4.28) fmdurch fBB zu ersetzen. Hier sei noch angefügt, dass die FM keine lineare Modulation ist, d.h.das Spektrum eines beliebigen Modulationssignals ist nicht gleich der Summe derSpektren , welche sich ergeben würden, wenn jede Fourierkomponente des Modulationssignalsfür sich den Träger modulieren würde.

Wir haben weiter oben festgestellt, dass sich die FM und PM bei sinusförmigem Modulations-signal erst bei unterschiedlicher Modulationsfrequenz unterscheiden lassen. Dieselbe Aussage lässtsich auch auf die Spektren übertragen. Bei der FM wird ∆f konstant gehalten. UnterschiedlicheModulationsfrequenzen fm führen dann nach Gl. (4.26) zu Modulationsindizes βFM proportionalzu 1/fm. Bei kleinen Modulationsfrequenzen ist βFM gross, dafür liegen die Spektrallinien nahebeieinander. Je grösser die Modulationsfrequenz wird, umso geringer wird die Anzahl der Spek-trallinien. Sie bleiben aber immer innerhalb der durch Gl. (4.26) definierten Bandbreite, imBeispiel von Fig. 4.18 sind es 20 kHz.

Anders ist die Lage bei der Phasenmodulation. Dort wird ∆ϕ konstant gehalten. Aus Gl. (4.23)und (4.26) ergibt sich βFM = ∆ϕ. Der FM-Modulationsindex ist, wie bereits erwähnt, nichtsanderes als der zugehörige Phasenhub. Bei der PM ist dieser konstant und damit auch die Anzahlder Spektrallinien. Je grösser nun die Modulationsfrequenz fm gewählt wird, umso breiter wirddas Spektrum.


Im Gegensatz zur AM bleibt der Trägeranteil bei der FM nicht konstant. Er kann auch nullwerden, nämlich zum ersten Mal für βFM = 2.4. Man kann diese Eigenschaft zur Messung desModulationsindizes ausnützen. Es ist sehr einfach, mit einem Spektrumanalysator das Ver-schwinden des Trägers zu messen.

In der Praxis wird die FM bei analogen als auch digitalen Modulationssignalen eingesetzt. Ambekanntesten ist sicher die Anwendung beim UKW-Rundfunk. Dort ist fBB = 15 kHz und ∆f = 75kHz, sodass die erforderliche Bandbreite B = 180 kHz wird. Der Kanalabstand beträgt in derRegel 300 kHz. Andere Anwendungsgebiete sind beim Mobilfunk (ehemals Natel C,schmalbandige digitale Funkanwendungen), Amateurfunk im UHF-Band, beim älteren, analogenRichtfunk und beim bestehenden analogen Satelliten-Fernsehen.

Die Phasenmodulation setzt man vorzugsweise bei digitalen Signalen ein. Für solche Signalelassen sich entsprechende Modulatoren relativ einfach bauen. Über eine Hintertür schleicht siesich, wenn man die Sache genau anschaut, aber auch bei vielen FM-Systemen ein, so auch imUKW-Band. Dies wird bei der folgenden Diskussion der Modulatoren deutlich.

4.3.2 FM- und PM-Modulatoren

Jeder elektronisch abstimmbare Oszillator (englisch VCO = voltage controlled oscillator) ergibteinen Frequenzmodulator. Voraussetzung ist einzig, dass die Frequenzänderung im benötigtenFrequenzband linear verläuft mit der Steuerspannung. Praktisch baut man solche Oszillatoren mitSchwingkreisen, bei denen ein Teil der Schwingkreiskapazität durch eine Kapazitätsdiode gebildetwird. Damit lässt sich über die Vorspannung dieser Diode die Schwingfrequenz elektronisch ab-stimmen.

Es gibt aber auch eine Reihe von integrierten Schaltungen, welche breitbandige VCO's enthalten.Für Frequenzen unter 1 MHz gibt es beispielsweise den XR2209 von EXAR, der intern eine Drei-eck- und Rechteckspannung herstellt. Über ein Diodennetzwerk wird daraus ein Sinussignal ge-formt. Oft sind VCO's in einem kompletten Phasenregelkreis-IC (PLL) enthalten und können auchunabhängig vom PLL betrieben werden. Beispiele dafür sind die digital funktionierenden IC's wieder XR215A von EXAR (bis 25 MHz) oder der Typ DP8512 von National (bis 225 MHz).

Phasenmodulatoren zu bauen ist etwas schwieriger, vor allem solche, welche die Phase kontinuier-lich ändern können. Ein Möglichkeit dazu wäre die Schaltung von Fig. 4.20a). Eine Stromquellespeist einen Parallelschwingkreis, dessen Kapazität elektronisch abstimmbar ist (Kapazitätsdiode).Mit einem nachfolgenden Verstärker mit hochohmigem Eingang wird die Spannung U über demSchwingkreis abgegriffen. Über einen Winkelbereich von ca. ± 30˚ ist die mit der Phasenänderungverbundene Amplitudenänderung klein. Mit einem zweiten, über eine Seriekapazität angekoppeltenSchwingkreis gemäss Fig. 4.20b) lässt sich die Amplitudenänderung über einen grösserenWinkelbereich klein halten.

Es gibt jedoch einen einfachen Ausweg. Nach Gl. (4.14) ist die Momentanfrequenz der PM

ω ωϕ

ω ϕPM T

PMT

m

mtd t

dt s

d s t

dt( )

( )

ˆ( )

= + [ ] = + [ ]∆

Die Änderung gegenüber ωT ist also proportional zur Ableitung des Modulationssignals. Statt ei-nes Phasenmodulators genügt es, einen Frequenzmodulator mit der Ableitung des Modulations-signals zu speisen, Fig. 4.21.


Iq

U

Iq

U

a)

b)

Z

Re

Im

Iq

U

a)

b)

C1

C2

C3

C1C1

C1, C2

Fig. 4.20 Prinzipieller Aufbau eines kontinuierlichen Phasenschiebers

d

dt

Fig. 4.21 Realisierung eines Phasenmodulators mittels Frequenzmodulator und vorgeschalte-tem Differenzierglied

Differenzierglieder kann man mit guter Genauigkeit mit einem Operationsverstärker realisieren. Einidealer Differentiator hat einen Amplitudengang, der proportional zur Frequenz zunimmt. In derPraxis wird häufig nicht ideal differenziert. Man schränkt den Frequenzbereich mit linear anstei-gendem Amplitudengang auf ein Frequenzband zwischen f1 und f2 ein, Fig. 4.22.

Fig. 4.22 Frequenzgang des idealen Differentiators und einer Vorbetonungsschaltung (dop-pelt logarithmische Darstellung)


Oberhalb und unterhalb dieses Bandes ist der Amplitudengang konstant. Damit erreicht man ineinem mittleren Frequenzbereich das Verhalten eines Phasenmodulators. Man spricht von einerVorbeto nung (Englisch preemphasis), welche nach der Demodulation mit einer Nachbeto-nung (Englisch deemphasis) natürlich wieder rückgängig gemacht werden muss. Die Gründefür dieses Vorgehen liegen vor allem in den besseren Rauscheigenschaften einer solchen Modula-tion. Die Frequenzen f1 und f2 müssen im Sender und Empfänger übereinstimmen. Sie sind füralle öffentlichen Dienste international genormt.

4.3.3 FM- und PM-Demodulatoren

Bei der Winkelmodulation steckt die Information grundsätzlich in den Nulldurchgängen desTrägers und nicht in seiner Amplitude. Man darf daher die Amplitude begrenzen. Bei den meistenVerfahren muss man dies sogar tun. Im Prinzip müsste folgendes Vorgehen funktionieren:Man verstärkt das Empfangssignal und begrenzt es, so dass aus dem sinusähnlichen Signal einRechtecksignal wird (Fig. 4.23). Mit einem Differenzierglied und einem Doppelweggleichrichtererzeugt man bei jedem Nulldurchgang einen positiven Impuls. Die Dichte dieser Impulse ist einMass für die Momentanfrequenz. Man findet diese, indem man mit einem Tiefpassfilter denMittelwert aus der Impulsfolge bildet. In der Praxis weicht die Momentanfrequenz nur wenig vonder Trägerfrequenz ab, so dass die Unterschiede in den Dichten zu klein sind. Man braucht einVerfahren, bei welchem die Frequenzabhängigkeit vergrössert werden kann.

Fig. 4.23 Prinzipschema eines FM-Demodulators

Ein erster Schritt dazu ist ein Phasenschieber-Frequenzdiskriminator (Fig. 4.24). DieGrundidee fast aller Frequenzdiskriminatoren, so werden FM-Demodulatoren häufig genannt, isteine zusätzliche Modulation der Amplitude des Empfangssignals proportional zur Abweichungseiner Momentanfrequenz von der Trägerfrequenz. Diese Amplitudenmodulation kannanschliessend in gewohnter Weise detektiert werden. Wegen dieser Umwandlung von Frequenz-in Amplitudeninformation ist es so wichtig, dass vor diesem Vorgang die Amplitude konstant ist.Jeder FM-Demodulator benötigt daher zuerst einmal einen sehr guten Begrenzer , der einekonstante Amplitude erzeugt.

Der Frequenzdiskriminator von Fig. 4.24 wird so betrieben, dass τ bei fT gerade einenPhasenunterschied von 90˚ am Eingang des EXOR's ergibt. Dieses EXOR muss man sich sovorstellen, dass es mit Signalen arbeitet, bei denen eine "1" eine positive Spannung, eine "0" einenegative Spannung ergibt. Am Ausgang des EXOR's entsteht ein Rechtecksignal mit einemfrequenzabhängigen Tastverhältnis, von welchem das Tiefpassfilter den Mittelwert herausfiltert.Bei fT ist der Mittelwert gerade null, da das Tastverhältnis 50% beträgt. Bei einer von fTverschiedenen Frequenz ergibt sich eine Phasenverschiebung am Eingang des EXOR's, dasTastverhältnis am Ausgang ändert sich und damit auch der Mittelwert am Ausgang desTiefpassfilters. Falls die Verzögerungsleitung die Phase proportional zu f schiebt, entsteht einDiskriminator mit einer exakt linearen Ausgangscharakteristik im Frequenzbereich, in welchem diePhasendifferenz zwischen den Eingangssignalen a und b zum EXOR weniger als ± 90˚ beträgt.

Begrenzer Komparator

s'ms'1ddt

Differenzierer

t

t


Man beachte noch, dass in der Praxis bei einem Überlagerungsempfänger die Mittenfrequenz deszu demodulierenden Signals nicht mehr fT sondern fZF ist. An der Funktionsweise desDemodulators ändert dies aber nichts.

= 1

Begrenzer Komparator EXOR

Verzögerungsleitung

a

b

a

a

Fig. 4.24 Phasenschieber-Frequenzdiskriminator (zum Vervollständigen)

Diese Art von Frequenzdiskriminator ist immer noch nicht besonders praktisch, wenn die Band-breite B nicht relativ gross gegenüber fT ist. Noch kompakter ist der Flanken-Demodulator(Fig. 4.25). Bei diesem erfolgt die Frequenz-Amplitudenwandlung in zwei Schwingkreisen, dereine ist auf eine Frequenz fr1 etwas unterhalb von fZF, der andere bei fr2 im gleichen Abstandoberhalb von fZF abgeglichen. Die Spannungen über den beiden Schwingkreisen werdenamplitudendemoduliert und ergeben so die Spannungen U1 und U2 mit Maxima unter- undoberhalb fZF. Die Summe der beiden ergibt die demodulierte Spannung U' m mit derFrequenzabhängigkeit gemäss der Kennlinie von Fig. 4.25b. Bei geeigneter Dimensionierung derSchwingkreise erreicht man eine fast lineare Kennlinie über das Band B.

a) b)

Fig. 4.25 Flankendemodulator, a) Schema und b) Kennlinie

UZF

U1

U2

fr1

fr2

U1

U2

fr1

fr2f

U

U'm

B

fZFU'm


Eine weitere Variante eines FM-Demodulators zeigt Fig. 4.26. Nach dem Begrenzer wird die ZF-Spannung umgewandelt in eine Stromquelle, welche die Impedanz Z p von Fig. 4.26b) treibt. DieSpannung über dieser Impedanz ist, je nach Momentanfrequenz, in ihrer Phase gedreht. Im Syn-chrondemodulator wird diese mit der um 90˚ geschobenen ZF-Spannung demoduliert. Das Aus-gangssignal enthält einen niederfrequenten Anteil, der proportional zu sin(ϕz) ist. Für nicht zu gro-sse Winkel ϕz und bei geeigneter Dimensionierung von Z p ist sin(ϕz) proportional zur Frequenz-abweichung δf von der Zwischenfrequenz.

Begrenzer

ZFu

i

IZFUZF

90°

Zp

Synchrondemodulator

U'ZF

UZF/90˚

IZFU'ZF

b)

Z

ReIZF

U'ZF

c)

Im

a)

Zp

UZF/90˚

z fZF

f

Fig. 4.26 FM-Demodulation mittels Phasenschiebung an einer Impedanz, a) Prinzipschema,b) Schaltung für Z p und c) Ortskurve von Z p.

Auch mit einem Phasenregelkreis (PLL) können FM-Signale demoduliert werden, Fig. 4.27. DerPhasenregelkreis bindet den VCO phasenstarr an das ankommende ZF-Signal. Im Phasendiskri-minator werden die Phasen des ankommenden ZF-Signals und des VCO-Signals miteinander ver-glichen. Bei Abweichungen wird über die Regelschleife der VCO in seiner Frequenz nachgeführt.Falls die Regelbandbreite des PLL einiges grösser ist als die höchste Modulationsfrequenz des ZF-Signals, so macht die Frequenz des VCO's alle Frequenzänderungen des ZF-Signals mit. Deshalbmuss das Steuersignal für den VCO ein treues Abbild der ursprünglichen Modulationsspannungsendeseitig sein. Damit ist die Demodulation perfekt.

Die Demodulation von PM-Signalen kann ebenfalls mit einem Frequenzdiskriminatorerfolgen. Man erhält dann allerdings nicht die Momentanphase oder die von der reinen Trägerphaseabweichende Differenzphase ϕ (t), sondern nur die Momentanfrequenz. Um zur Momentanphasezu gelangen, braucht es nach dem Frequenzdemodulator noch einen Integrator. Wird, wie obengezeigt, teilweise mittels einer Vorbetonung eine PM realisiert, so benötigt man nach dem FM-Demodulator eine Nachbetonung, welche genau den umgekehrten Frequenzgang verglichen mitder Vorbetonung aufweist (vergleiche Fig. 4.22). In ihrem abfallenden Abschnitt, also von f1 bisf2 verhält sie sich wie ein Integrator.


Begrenzer

ZF VCOsZF

Phasenkomparator Phasendifferenz

Fig. 4.27 Phasenregelkreis als FM-Demodulator

4.4 Frequenzmultiplexverfahren und Mehrfachmodulationen4.4.1 Frequenzmultiplex in der Telefonie

Modulationen dienen einerseits der Übertragung eines Basisbandes über einen frequenzmässig ver-setzten Kanal mit eingeschränkter Bandbreite. Das Basisbandsignal selber kann aus mehreren Sig-nalen bestehen, welche ihrerseits durch Modulationen frequenzmässig getrennt werden. So entste-hen Mehrfachmodulationen . Wichtige Beispiele dafür sind das früher gebräuchliche sog. Fre-quenzmultiplex verfah ren zur Übertragung vieler Telefonsignale über einen Kanal, z.B. übereine Koaxialleitung, das Verfahren zur Übertragung von Stereosignalen über UKW-Rundfunk unddie Übertragung von Helligkeit, Farbe und Stereoton bei einem Fernsehsignal. Auch dieÜbertragung der zahlreichen Fernsehkanäle über Kabelanlagen erfolgt im Frequenzmultiplex. Inneuerer Zeit werden Frequenzmultiplexverfahren bei der Datenübertragung über die zweidrähtigeTeilnehmerleitung bei der Asynchronous Digital Subscriber Line (ADSL) und ähnlichen Übertra-gungsverfahren eingesetzt. In diesem Abschnitt soll das Frequenzmultiplexverfahren anhand derTelefonie näher untersucht werden.

Der einzelne Telefonkanal belegt das Frequenzband von 300 bis 3400 Hz. Will man nun mehrereTelefongespräche gleichzeitig über einen Kanal übertragen, so bietet sich als erste Möglichkeit diefrequenzmässige Trennung der Signale an. Dazu wird ein einzelner Telefonkanal mittels Einseiten-bandmodulation mit unterdrücktem Träger um eine definierte Frequenz (bestimmt durch die Trä-gerfrequenz) in ein höheres Band verschoben, Fig. 4.28. Verschiebt man jeden Sprachkanal in einanderes Band, so sind nach der Modulation die einzelnen Telefonkanäle frequenzmässig getrenntund können gemeinsam übertragen werden. In der Praxis wurden auf diese Weise Tausende vonTelefoniesignalen über eine einzige Verbindung übertragen.

f

S

K1 Kn

.....

S

S

......

f

f

f

K1

K2

Kn

K2 K(n-1)

fT1 fT2 fT(n-1) fTn

Fig. 4.28 Prinzip des Frequenzmultiplex


Man nennt das neue Signal, welches sich als Summe der einzelnen, frequenzverschobenen Telefo-niesignale ergibt "Frequenzmultiplexsignal", das Verfahren selber als "Frequenzmultiplex". Theo-retisch könnte man auch bei Tausenden von Kanälen jeden einzelnen Kanal direkt auf die ge-wünschte Frequenz im Multiplexsignal umsetzen. In der Praxis einfacher ist jedoch ein hierarchi-sches Vorgehen. In einem ersten Schritt werden 12 Telefoniekanäle zu einer sog. Grundprimär-gruppe umgesetzt. Diese reicht von 60 bis 108 kHz, wie Fig. 4.29 zeigt. In dieser Figur ist dasBasisband des Einzelkanals von 0 bis 4 kHz eingezeichnet. Die Differenz zum effektiv belegtenBand von 300 bis 3400 Hz wird zur sauberen Trennung der Kanäle mittels realisierbarer Filtergebraucht. Man beachte, dass die Einzelkanäle in Kehrlage übertragen werden. Etwa in der Mittebefindet sich der Gruppenpilot, der phasenstarr mit den Trägerfrequenzen verknüpft ist. Diesererlaubt, auf der Empfangsseite phasenrichtige Trägersignale zur Demodulation der Einzelkanälezurückzugewinnen. Er dient gleichzeitig auch zur Pegelregelung.

In weiteren Schritten werden nun 5 Grundprimärgruppen zu einer Sekundärgruppe, dann 15 Se-kundärgruppen zu einer Supergruppe zusammengefasst. Die Supergruppe enthält bereits 900Telefoniekanäle, Fig. 4.30. Jede dieser Gruppenumsetzungen benötigt sendeseitig einen Einseiten-bandmodulator und empfangsseitig einen Demodulator. Höhere Kanalzahlen erreicht man durchKombination von mehreren Supergruppen. Es gibt Systeme für 12, 24, 60, 120, 240, 300, 480,600, 1200, 1800, 2700, etc. Kanäle.

Diese Multiplexsignale werden direkt über Koaxialkabel übertragen. Sie können aber ihrerseitswieder als Basisbandsignale für eine modulierte Übertragung verwendet werden. So werden bis zu2700 Kanäle (Basisbandbreite 12.4 MHz) mit FM über Richtfunk übertragen. Im Zuge der Digita-lisierung der Übertragungsnetze wurden allerdings diese analogen Übertragungssystem praktischvollständig durch digitale ersetzt, welche nach dem sog. Zeitmultiplexverfahren arbeiten.

4 60 68 108 kHz84.04

f

GruppenpilotS

K1 K12

...... .....

Fig. 4.29 Aufbau der Grundprimärgruppe


4 kHzf

S

f

S

f

S

f

S

60 108 kHz

312 552 kHz

312 4028 kHz

x 12

x 5

x 15

Einzelkanal

Grundprimärgruppe (12 Kanäle)

Primärgruppe (60 Kanäle)

Supergruppe (900 Kanäle)

Fig. 4.30 Hierarchischer Gruppenaufbau beim Frequenzmultiplex

4.4.2 Mehrfachmodulation am Beispiel des UKW-Stereorundfunks

Ursprünglich wurden im UKW-Band nur monaurale Sendungen ausgestrahlt. Die Einführungeines Stereorundfunks war nur denkbar, wenn dieser mit den bisherigen monauralen Empfängernkompatibel war. So entstand das heute noch gültige Verfahren, bei welchem die beiden Stereosig-nale Links und Rechts einmal als Summe und dann noch als Differenz übertragen werden. DenAufbau des sog. Stereo-Multiplexsignals zeigt Fig.4.31.

f

S

.....

Links + RechtsLinks - Rechts

15 19 23 38 53 kHz

Pilot

Fig. 4.31 Stereo-Multiplexsignal


Im Band von 0 bis 15 kHz wird die Summe des linken und rechten Kanals übertragen. Damit kannein nicht auf Stereorundfunk eingerichteter Empfänger die Summe als monaurales Signal empfan-gen. Die Differenz der beiden Kanäle wi rd mittels Zweiseitenbandmodulation, aber mit einem un-terdrückten Träger von 38 kHz übertragen. Damit ist die frequenzmässige Trennung des Summen-und Differenzsignals erreicht. Zur Demodulation des Differenzsignals im Empfänger benötigt manden Träger. Diesen gewinnt man aus dem Pilotsignal bei 19 kHz, welches phasenstarr mit demursprünglichen Träger im Sender verknüpft ist. Das Stereo-Multiplexsignal bildet für den fre-quenzmodulierten Sender das Basisbandsignal. Im Empfänger wird zuerst im FM-Demodulatordas Multiplexsignal zurückgewonnen. Mit einem weiteren Demodulator, diesmal für Zweiseiten-band-AM, wird das Differenzsignal zurückgeholt. Durch Summen- und Differenzbildung könnendarauf die ursprünglichen Signale für den linken und rechten Kanal gewonnen werden.

Beim heutigen Stereorundfunk hat man oberhalb von 53 kHz weitere Informationen angesiedelt fürdas Radio-Daten-System. Es handelt sich dabei um ein digitales Übertragungssystem für Zusatzin-formationen beim Hörfunk im UKW-Band.

4.5 Vergl eich der verschiedenen analogen ModulationsverfahrenZum Abschluss seien noch einige Bemerkungen zu den Vor- und Nachteilen der bisher behandel-ten Modulationsverfahren angefügt. Insbesondere stellt sich natürlich die Frage, warum wird zumBeispiel beim FM-Rundfunk die Bandbreite auf 180 kHz erhöht, wenn man mit AM bei gleicherBasisbandbreite von 15 kHz mit nur 30 kHz auskommen könnte. Die Antwort liegt in der Qualitätder Übertragung, speziell im Signal-zu-Geräusch-Verhältnis (abgekürzt S/N). Je grösser bei derFM der Frequenzhub im Verhältnis zur Basisbandbreite fBB gewählt wird, umso besser wird dasS/N-Verhältnis im Basisband. Man kann also mit einem grösseren Hub die Qualität der Übertra-gung verbessern. Zu Beginn des AM-Rundfunks im Mittelwellenband stand ganz einfach nicht dienotwendige Bandbreite für eine FM mit dem entsprechend grossen Hub zur Verfügung. Erst alsman mit technisch vernünftigem Aufwand Rundfunkempfänger im UKW-Band (88-108 MHz)bauen konnte, war an eine FM-Übertragung zu denken. Denn in diesem Band entsprechen 180kHz Bandbreite nur einem kleinen Bruchteil der Trägerfrequenz, ganz im Gegensatz zum Mittel-wellenband. Zusätzlich ist im UKW-Band die Reichweite eines Senders beschränkt, da dieWellenausbreitung in diesem Frequenzbereich mehr oder weniger optischen Gesetzen folgt. Beifehlender Sichtverbindung zwischen Sender und Empfänger ist eine Übertragung meistens nichtmehr möglich. Dies bedeutet, dass dieselbe Senderfrequenz im UKW-Band auf kürzere räumlicheDistanz wiederverwendet werden kann als im Mittelwellenband.

Die Herleitung der S/N-Verhältnisse im Basisband aus den entsprechenden Verhältnissen imHochfrequenzband ist ziemlich aufwändig. Hier seien deshalb nur die entsprechenden Resultatepräsentiert. Wir bezeichnen mit

( / ) S N HF = Signal-zu-Geräuschverhältnis vor der Demodulation

( / ) S N BB = Signal-zu-Geräuschverhältnis nach der Demodulation

S bedeutet dabei immer die gesamte Signalleistung, N die gesamte Rauschleistung, wobei im HF-Band, also vor der Demodulation von einer konstanten Rauschleistungsdichte ausgegangen wird.

Das Verhältnis

γ ( / )( / )

= S NS N

BB

HF

kann für jede Modulationsart, die wir bis jetzt behandelt haben, berechnet werden. Es gibt die Ver-besserung oder Verschlechterung an, welche sich bei der Demodulation ergibt. Die nachfolgendangegebenen Verhältnisse gelten für ein sinusförmiges Modulationssignal. Bei derEinseitenmodulation ohne Träger wird das HF-Spektrum durch den Synchrondemodulator insBasisband verschoben. Es leuchtet ein, dass dabei das S/N unverändert bleibt.


γESB = 1 (4.29)

Die Zweiseitenbandmodulation ohne Träger weist HF-seitig die doppelte Bandbreite auf im Ver-gleich zur NF-Seite. Daraus ergibt sich eine Verbesserung von γ auf

γZSB = 2 (4.30)

Die AM mit Träger schneidet schlechter ab, da von der HF-Signalleistung nur maximal 1/3 in deninformationstragenden Seitenbändern steckt. Für sie gilt

γAMm

m =

+2

2

2

2 (4.31)

Für den maximal möglichen Modulationsindex m = 1 erhält man somit γAM = 2/3. Dieses kon-stante Verhältnis erhält man allerdings nur mit einem Synchrondetektor. Beim Hüllkurvendetektorfällt unterhalb von (S/N)HF = 10 dB das (S/N) BB rascher ab (siehe Fig. 4.32).

60 dB

50

40

30

20

10

0

-10-10 0 10 20 30 40 dB

FM-Schwelle

(S/N)BB

(S/N)HF

FM � = 10

� = 4 � = 2

Zweiseitenband

Einseitenband

mit Synchrondetektor

mit Hüllkurvendetektor

AM mit Träger

= 1

Fig. 4.32 (S/N)BB in Funktion von (S/N)HF für verschiedene Modulationsarten

Bei der FM gibt es ebenfalls einen Schwellwert, unterhalb dessen fällt das (S/N)BB rascher ab alsdas (S/N)HF. Für (S/N)HF über dem Schwellwert von ca. 10 dB gilt mit dem minimalen Frequenz-hub βmin = ∆f/fBB


γ β βFM ( )min min= ⋅ +3 22 (4.32)

Dabei wurde zur Berechnung der HF-Bandbreite die Beziehung (4.28) mit der vorsichtigerenBandbreitenabschätzung verwendet. Für grosse βmin ergibt sich also ein beträchtlicher S/N-Ge-winn von der HF- zur Basisbandseite. Diesen erkauft man sich mit der vergrösserten Bandbreite.Gratis gibt es also nichts. Fig. 4.32 zeigt die verschiedenen Gewinnfaktoren im Vergleich.

Man kann die verschiedenen Modulationsarten auch so bewerten, dass man das (S/N)BB bei identi-schen Leistungen auf der HF-Seite vergleicht. Als Bezugssystem verwenden wir dabei die Einsei-tenbandmodulation, bei welcher (S/N)HF = (S/N)BB = (S/N)0 = Bezugsverhältnis. Wir bilden nundie Verhältnisse

αxyBB xyS N

S N

( / )

( / )/=0

(4.33)

Dabei steht xy für ZSB (Zweiseitenbandmodulation ohne Träger), AM oder FM. Man findet

αZSB = 1 (4.34a)

αAMm

m =

+

2

22(4.34b)

α βFM . min= ⋅1 5 2 (4.34c)

Interessant an diesem Vergleich ist, dass die Zweiseitenbandmodulation gleich effizient ist wie dieEinseitenmodulation. Bedeutend schlechter schneidet die AM ab. Im besten Fall mit m = 1 kommtsie auf 1/3 oder -4.8 dB. Die FM ist für grosse βmin bedeutend besser. So gilt z.B. für das UKW-Band bei monauralen Sendungen βmin = 75/15 = 5, womit sich eine Verbesserung gegenüber derEinseitenbandmodulation von αFM = 37.5 oder 15.7 dB ergibt. Gegenüber der normalen AM mitm < 1 ist die Verbesserung noch grösser. Eine zusätzliche Verbesserung ergibt sich noch durch diePre- und Deemphase, die bei der FM fast immer angewendet wird. Bezeichnet man mit fBB diemaximale Basisbandfrequenz und mit f1 die untere Eckfrequenz der Pre- und Deemphase (sieheFig. 4.22), so erreicht man damit eine zusätzliche Verbesserung von

αPEBBff

≈ ⋅

13 1

2

(4.34d)

Beim UKW-Rundfunk mit fBB = 15 kHz und f1 = 2.1 kHz ergibt dies eine Verbesserung von12 dB.

Tabelle 4.1 gibt eine Zusammenstellung einiger wichtiger Charakteristiken der drei Modulationsar-ten AM, Einseitenbandmodulation und FM. Dabei schneidet die FM gegenüber der AM in denmeisten Punkten besser ab, vor allem beim S/N-Verhältnis und bei den Einflüssen, welche Verzer-rungen im Übertragungskanal auf das Modulationssignal ausüben. Die genaue Analyse der Aus-wirkungen linearer und nichtlinearer Verzerrungen im Übertragungskanal auf das demodulierteSignal ist sehr aufwändig und geht weit über das hinaus, was in diesem Kurs behandelt werdenkann.

In zahlreichen Anwendungen arbeitet man mit FM und βmin < 1, also Schmalband-FM. Dies istz.B. bei der Übertragung von Fernsehsendungen via Richtfunk der Fall. Dabei hat man gegenüberAM keinen (S/N)-Gewinn. Warum verwendet man trotzdem die FM? Der Grund liegt bei der gros-sen Amplitudenlinearität, welche eine AM oder ESB-Übertragung erfordern würde. Sie hätte zurFolge, dass die Sendestufe nur im linearen Bereich, d.h. bis ca. 8 dB unter der Sättigungsleistungausgesteuert werden darf. Bei der FM ist die Amplitudenlinearität nicht wichtig. Man kann denVerstärker in Sättigung betreiben. Dafür muss man einen grösseren Aufwand betreiben, um dieGruppenlaufzeit konstant zu halten, was jedoch einfacher und günstiger ist.


Schliesslich gibt Tabelle 4.2 eine kleine Übersicht über einige Frequenzbereiche für klassischeFunkanwendungen mit analoger Modulation.

Tabelle 4.1 Zusammenstellung der Vor- und Nachteile der drei wichtigsten analogenModulationsarten

Modulations-ver fahren

Anfälligkeit gegenüber Verzer-rungen im Über tragungskanal1) Nichtlinearitäten

2) Dämpfung nicht konstant

3) Phase nichtlinear

4) Schwankungen des Empfangspegels

Aufwand zur Demodula-tion

AM

(Zweiseitenbandmodulation mit Träger)

1) Bei einem Frequenzmultiplexsignalsehr kritisch

2) und 3) ergeben Verzerrungen imBasisbandsignal

4) mit Träger ausregelbar

sehr einfache Empfänger

Einseitenband-AM(ohne Träger)

1) Bei einem Frequenzmultiplexsignalsehr kritisch

2) erzeugt lineare Verzerrungen imBasisbandsignal

3) stören bei Sprache nicht

4) gehen voll ein

aufwändig,Trägerzusatz und aufwändigeFilter erforderlich

FM 1) stören nicht

2) stören wenig

3) stören stark(erzeugen nichtlineare Verzerrungen imBasisbandsignal)

4) stören nicht

etwas grösser als bei AM,Umwandlung der FM in AM,dann AM-Demodulation


Tabelle 4.2 Typische Daten einiger wichtiger Rundfunksysteme

LW MW KW UKW Fernsehen

Frequenzbereich(Trägerfrequenz)

148,5 - 283.5kHz

525 -1606 kHz

5.95 -26.1MHz

87.5 -108 MHz

47-68 MHz

174-230 MHz

470-862 MHz

Kanalraster (Kanal-abstand)

9 kHz 9 kHz 9 kHz 300 kHz 7/8 MHz

fBB 4.5 kHz 4.5 kHz 4.5 kHz 40 Hz-15 kHz#

6 MHz

Modulation AM AM AM FM Restseitenband

Frequenzhub ∆f ± 75 kHz

Zwischenfrequenz 450 -470 kHz

10.7 MHz 38.9 MHz(Bildträger)

Kanalbandbreite B 9 kHz 9 kHz 9 kHz 180 kHz 7/8 MHz

Trägerleistung 500 W - 2 MW 50W- 50kW bis 100 kW

# mono

Wer sich einen Überblick über die Zuteilung der vorhandenen Frequenzen zu den verschiedenstenFunkdienste verschaffen will, gehe auf die Webseite des BAKOM ( www.bakom.ch ), wo er sämt-lich Informationen findet. Daselbst gibt es auch eine Karte mit den Sendestandorten sowohl fürden Rundfunk, als auch für den Mobilfunk.

Modulation

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