Modulhandbuch Hauptfach: Bachelor of Science in · PDF fileLUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITAT M...

ModulhandbuchHauptfach: Bachelor of Science in Mathematik

(180 ECTS-Punkte)Auf Basis der Prufungs- und Studienordnung vom 28. April 2011

Stand: 5.7.2013

LUDWIG-MAXIMILIANS-UNIVERSITAT MUNCHEN

Inhaltsverzeichnis

Abkurzungen und Erklarungen 4

P1 Analysis einer Variablen 5

P2 Lineare Algebra I 7

P3 Topologie und Differentialrechnung mehrerer Variablen 9

P4 Lineare Algebra II 11

P5 Maßtheorie und Integration mehrerer Variablen 13

P6 Stochastik 15

P7 Programmieren I fur Mathematiker 17

P8 Exemplarische Vertiefung 1 19

P9 Numerik 21

P10 Bachelorarbeit 23

WP1 Funktionentheorie 25

WP2 Gewohnliche Differentialgleichungen 27

WP3 Wahrscheinlichkeitstheorie 29

WP4 Funktionalanalysis 31

WP5 Geometrie und Topologie von Flachen 33

WP6 Exemplarische Vertiefung 2 35

WP7 Programmieren II fur Mathematiker 37

WP8 Algebra 39

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WP9 Finanzmathematik I 41

WP10 Einfuhrung in partielle Differentialgleichungen 43

WP11 Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 46

WP12 Logik I 48

WP13 Hohere Algebra 50

3


Abkurzungen und Erklarungen

CP Credit Points, ECTS-PunkteECTS European Credit Transfer and Accumulation Systemh StundenSoSe SommersemesterSWS SemesterwochenstundenWiSe Wintersemester

1. Die Beschreibung der zugeordneten Modulteile erfolgt hinsichtlich der jeweiligen Angaben zuECTS-Punkten folgendem Schema: Nicht eingeklammerte ECTS-Punkte werden mit Bestehen derzugehorigen Modulprufung oder Modulteilprufung vergeben. Eingeklammerte ECTS-Punkte dienenlediglich der rechnerischen Zuordnung.

2. Bei den Angaben zum Zeitpunkt im Studienverlauf kann es sich in Abhangigkeit von den An-gaben der Anlage 2 der Prufungs- und Studienordnung um feststehende Regelungen oder um blo-ße Empfehlungen handeln. Im Modulhandbuch wird dies durch die Begriffe “Regelsemester” und“Empfohlenes Semester” kenntlich gemacht.

3. Bitte beachten Sie: Das Modulhandbuch dient einer Orientierung fur Ihren Studienverlauf. Furverbindliche Regelungen konsultieren Sie bitte ausschließlich die Prufungs- und Studienordnungin ihrer jeweils geltenden Fassung. Diese finden Sie auf www.lmu.de/studienangebot unter Ihremjeweiligen Studiengang.

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P1 Analysis einer Variablen

Zuordnung zum Studien-gang

Bachelor of Science in Mathematik

Zugeordnete Modulteile

Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P1.1 Analysis einer

Variablen (Vorlesung)WiSe 60h (4 SWS) 210h (9)

Ubung P1.2 Analysis einerVariablen (Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)

Im Modul mussen insgesamt 12 ECTS Punkte erworben werden. Die Prasenzzeit betragt 6 Semes-terwochenstunden. Inklusive Selbststudium sind etwa 360 Stunden aufzuwenden.

Art des Moduls Pflichtmodul mit Pflichtveranstaltungen

Verwendbarkeit des Mo-duls

Das Modul ist ein Pflichtmodul des Bachelorstudiengangs Wirt-schaftsmathematik.

Teilnahmevoraussetzungen keine

Zeitpunkt im Studienver-lauf

1

Dauer Das Modul erstreckt sich uber ein Semester.

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Inhalte Inhalt des Moduls ist die grundlegende Einfuhrung in die Differential-und Integralrechnung einer Variablen. Lernziele sind das Verstandnisder Denkweisen und Begriffe der Analysis einer Variablen und dieFahigkeit, mathematische Sachverhalte klar zu formulieren und diestrenge mathematische Argumentationsweise zu verstehen und An-zuwenden. Nach Grundlagen uber naturliche, reelle und komplexeZahlen werden Konvergenz von Folgen und Reihen, Limites und Ste-tigkeit behandelt. Danach wird eine grundlegende Einfuhrung in dieDifferential- und Integralrechnung in einer Variablen bis hin zu Po-tenzreihen und Folgen und Reihen von Funktionen gegeben. Lernzielesind das Verstandnis des axiomatischen Aufbaus der Mathematik undihrer abstrakten Denkweise und Begriffsbildung und die Beherrschungder grundsatzlichen Beweismethoden und Rechentechniken der Ana-lysis einer reellen Variablen.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der Analysis einer reel-len veranderlichen vertraut zu machen. Mit dem erworbenen Wissensind sie in der Lage, mathematische Prozesse richtig zu verstehen undauf der Grundlage analytischer Theorien einzuordnen. Das erlernteBasiswissen ist die Voraussetzung fur den Besuch aufbauender Ver-anstaltungen, die die erlernten Grundlagen tiefergehend behandeln.

Form der Modulprufung Klausur

Art der Bewertung undVoraussetzung fur dieVergabe von ECTS-Punkten

Das Modul ist benotet. Die ECTS-Punkte werden vergeben bei Be-stehen der dem Modul zugeordneten Modulprufung (bzw. der zuge-ordneten Pflicht- und ggf. Wahlpflichtprufungsteile)

Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Siedentop

Unterrichtssprache(n) Deutsch/Englisch

Sonstige Informationen

6


P2 Lineare Algebra I




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P2.1 Lineare Algebra I

(Vorlesung)WiSe 60h (4 SWS) 210h (9)

Ubung P2.2 Lineare Algebra I(Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)







1


Inhalte In dieser Vorlesung wird in die grundlegende Theorie der Vektorraumeeingefuhrt. Zusammen mit der Linearen Algebra II ist diese Vorlesungunverzichtbare Grundlage fur nahezu alle weiterfuhrenden Veranstal-tungen der Mathematik. Wichtige Themen und Inhalte sind unteranderem: grundlegende algebraische Strukturen wie Gruppen, Ringe,Korper und Vektorraume, lineare Gleichungssysteme, lineare Abbil-dungen und der Zusammenhang zu Matrizen, Basis, Dimension undlineare Unabhangikeit, Determinanten und Eigenwerte.

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Qualifikationsziele Lernziele sind das Verstandnis der Denkweisen und der Begriffe derLinearen Algebra und die Fahigkeit, mathematische Sachverhalteklar zu formulieren und die strenge mathematische Argumentati-onsweise zu verstehen und anzuwenden. Neben dem Erlernen vongrundsatzlichen Beweismethoden ist die Schulung des Abstraktions-vermogens der Studierenden von großer Bedeutung.




Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Rosenschon



8


P3 Topologie und Differentialrechnungmehrerer Variablen




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P3.1 Topologie und

Differentialrechnungmehrerer Variablen(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 210h (9)

Ubung P3.2 Topologie undDifferentialrechnungmehrerer Variablen(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)







2


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Inhalte In diesem Modul wird die Einfuhrung in die Analysis vom ersten Se-mester fortgesetzt mit der Differentialrechnung in mehreren Variablenund Grundlagen der Topologie. Lernziel ist ein vertieftes Verstandnisder Differentialrechnung und ihrer Anwendungen. Die Themen derAnalysis einer Variablen werden vertieft und verallgemeinert durchdie Topologie metrischer Raume und die Differentialrechnung mehre-rer Variablen. Wichtige Ergebnisse sind die Satze uber lokale Extre-ma und implizite Funktionen. Außerdem werden Fourierreihen einerVariablen behandelt. Lernziele sind das Verstandnis topologischer Be-griffe und die Beherrschung der Beweismethoden und Rechentechni-ken der Differentialrechnung in mehreren reellen Variablen sowie ihrerAnwendungen.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegen-den Fragestellungen und methodischen Ansatzen der Topologie me-trischer Raume und der Differentialrechnung mehrer Variablen ver-traut zu machen. Mit dem erworbenen Wissen sind sie in der Lage,mathematische Prozesse richtig zu verstehen und auf der Grundla-ge topologischer und analytischer Theorien einzuordnen. Das erlernteBasiswissen ist die Voraussetzung fur den Besuch aufbauender Ver-anstaltungen, die die erlernten Grundlagen tiefergehend behandeln.







10


P4 Lineare Algebra II




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P4.1 Lineare Algebra II

(Vorlesung)SS 60h (4 SWS) 210h (9)

Ubung P4.2 Lineare Algebra II(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)







2


Inhalte In diesem Modul wird die Einfuhrung in die Lineare Algebra vomersten Semester fortgefuhrt. Zusammen mit der Linearen Algebra Iist diese Vorlesung unverzichtbare Grundlage fur nahezu alle wei-terfuhrenden Veranstaltungen der Mathematik. Wichtige Themenund Inhalte sind unter anderem: bilineare Abbildungen, euklidischeund unitare Vektorraume, Hauptachsentransformation und Normal-formen von Matrizen. Erganzt werden kann dies, zum Beispiel, durcheine Auswahl aus folgenden Themen: euklidische Ringe, Moduln ubereuklidischen Ringen oder Hauptidealringen, Elemente der elementa-ren Zahlentheorie, einfache Anwendungen in der Kryptographie.

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Qualifikationsziele Lernziele sind ein vertieftes Verstandnis der Denkweisen und derBegriffe der Linearen Algebra sowie eine weitergehende Schulungder Fahigkeit, mathematische Sachverhalte klar zu formulieren undselbststandig streng mathematisch zu argumentieren. Neben der Ver-breiterung des mathematischen Grundlagenwissens ist die Schulungdes Abstraktionsvermogens der Studierenden von großer Bedeutung.







12


P5 Maßtheorie und Integration mehrererVariablen




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P5.1 Maßtheorie und

Integration mehrererVariablen (Vorlesung)

WiSe 60h (4 SWS) 210h (9)

Ubung P5.2 Maßtheorie undIntegration mehrererVariablen (Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)







3


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Inhalte In diesem Modul wird der Analysis-Zyklus der ersten beiden Se-mester fortgesetzt mit der Integralrechnung in mehreren Variablenund einer grundlegenden Einfuhrung in die Maßtheorie. Lernziel istein vertieftes Verstandnis der Integration mit Anwendungen aufbau-end auf der abstrakten Maßtheorie. Die Vorlesung bietet eine grund-legende Einfuhrung in die Maßtheorie mit Integrationstheorie aufMaßraumen, Lebesgue-Maß, Konvergenzsatzen, Produktmaßen undLp-Raumen. Wichtige Ergebnisse sind die Transformationsformel furDiffeomorphismen und die Integralsatze der klassischen Vektorana-lysis. Lernziele sind das Verstandnis der abstrakten Maßtheorie unddes Lebesgue-Integrals, die Beherrschung der Beweismethoden undRechentechniken der Theorie mehrfacher Integrale und sicherer Um-gang mit Grenzwertprozessen sowie Vertrautheit mit der klassischenVektoranalysis und ihren Anwendungen.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der Maß- und Integrati-onstheorie vertraut zu machen. Mit dem erworbenen Wissen sind siein der Lage, mathematische Prozesse richtig zu verstehen und auf derGrundlage der Maßtheorie einzuordnen. Das erlernte Basiswissen istdie Voraussetzung fur den Besuch aufbauender Veranstaltungen, diedie erlernten Grundlagen tiefergehend behandeln.







14


P6 Stochastik




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P6.1 Stochastik

(Vorlesung)WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung P6.2 Stochastik (Ubung) WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)







3


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Inhalte In diesem Modul wird in die Wahrscheinlichkeitstheorie und ma-thematische Statistik eingefuhrt. Die Vorlesung fuhrt in die prazisemathematische Beschreibung zufalliger Phanomene durch Wahr-scheinlichkeitsmodelle, Wahrscheinlichkeitsraume und Zufallsvaria-blen ein. Hierzu werden die grundlegenden Begriffe (elementare) be-dingte Wahrscheinlichkeit, Erwartungswert und Varianz sowie optio-nal einfuhrend auch Markovketten entwickelt. Es werden fundamen-tale Theoreme in diesem Gebiet bewiesen; dazu gehoren einfache Va-rianten des Gesetzes der großen Zahl und des Zentralen Grenzwert-satzes. Diese Aussagen konnen schon ohne Verwendung des vollenmaßtheoretischen Apparats erfasst werden. Daruber hinaus erlernendie Studierenden auch die Fundamente der mathematischen Statistik,insbesondere der Schatz- und der Testtheorie. Hierzu fuhrt die Vor-lesung in die mathematische Theorie optimaler Tests, einiger Stan-dardtests sowie von Konfidenzintervallen ein.

Qualifikationsziele Das Ziel dieses Moduls ist das Verstandnis der grundlegenden Me-thoden und Begriffe und die Entwicklung einer spezifisch stochas-tischen Denkweise. Die Studierenden erwerben dazu die Fahigkeitzur mathematischen Modellierung zufalliger Vorgange mit Hilfe sto-chastischer Modelle. Sie werden dabei mit wahrscheinlichkeitstheore-tischen und statistischen Konzepten und den mathematischen Fun-damenten der statistischen Datenanalyse vertraut. Im Statistikteilkommt dem mathematischen Verstandnis statistischer Schlusse, al-so des Ruckschlusses von Beobachtungsdaten auf Eigenschaften derzugrunde liegenden unbekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung imGrundmodell der Statistik dabei eine besondere Bedeutung zu.

Form der Modulprufung Klausur oder mundliche Prufung



Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Merkl



16


P7 Programmieren I fur Mathematiker




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P7.1 Programmieren I fur

Mathematiker (Vorlesung)SS 30h (2 SWS) 60h (3)

Ubung P7.2 Programmieren I furMathematiker (Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)







4


Inhalte Inhalt dieses Moduls ist der erste Teil einer grundlichen Einfuhrungin das Programmieren mit Anwendungen. Ziel ist die Vermittlung vonwesentlichen Kenntnissen und Qualifikationen im EDV-Bereich. DieVorlesung bietet einen Uberblick uber die Syntax und Semantik ei-ner allgemein verwendeten imperativen Programmiersprache wie etwaC und stellt Softwarewerkzeuge und Entwicklungsumgebungen vor.Ausgewahlte Algorithmen aus der Numerik, Stochastik oder diskre-ten Mathematik und ihre Programmierung werden diskutiert. Fernerwird auf die Betriebssystemschnittstelle und Programmbibliothekeneingegangen.

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Qualifikationsziele Lernziele sind grundlegende Kenntnisse der vorgestellten Pro-grammiersprache und die Fahigkeit, sie in der Anwendungspro-grammierung bei Problemen aus dem Bereich der Numerik, Sto-chastik und diskreten Mathematik einzusetzen. Damit werdenSchlusselqualifikationen im EDV-Bereich, der selbststandigen Ar-beitsorganisation und in der Umsetzung von mathematischen Fach-kenntnissen in praktische Anwendungen erworben.




Modulverantwortliche/r Dr. Kerscher



18


P8 Exemplarische Vertiefung 1




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSSeminar P8.1 Exemplarische

Vertiefung 1 (Seminar)WiSeundSoSe

60h (4 SWS) 120h (6)






4


Inhalte In diesem Modul werden ausgewahlte, anspruchsvollere Themen imRahmen eines Seminars besprochen. Die mathematischen Sachverhal-te werden von den Studierenden in Seminarvortragen prasentiert.

Qualifikationsziele Neben dem Erwerb von Fachwissen soll im Rahmen des Seminars vorallem die Fahigkeit der Studierenden geschult werden, anhand vonLiteratur mathematische Themen selbstandig zu erarbeitet und ineinem Vortrag darzustellen.


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20


P9 Numerik




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSVorlesung P9.1 Numerik (Vorlesung) WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)Ubung P9.2 Numerik (Ubung) WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)







5


Inhalte Inhalte des Moduls sind die numerische Mathematik mit ihrenvielfaltigen Anwendungen. Nach einer Einfuhrung in die Numerik mitRechnerarithmetik und den Begriffen der Kondition und Stabilitatwerden die zentralen Themen der Numerik behandelt von der Inter-polation, der numerischen Integration, direkten Verfahren zur Losunglinearer Gleichungssysteme und allgemeinen Iterationsverfahren bishin zu numerischen Eigenwertproblemen und numerischen Methodenfur Gewohnliche Differentialgleichungen. Lernziele sind die Entwick-lung einer numerisch effizienten Denkweise und das Verstandnis derwichtigsten Konzepte der Analysis und linearen Algebra und ihrerBeweismethoden aus algorithmischer und rechnerischer Sichtweise.

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Qualifikationsziele Qualifikationsziele sind die Beherrschung der grundlegenden Metho-den der numerischen Mathematik und die Entwicklung einer spezifischnumerischen Denkweise.




Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Erdos



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P10 Bachelorarbeit




Lehrform Veranstaltung (Pflicht) Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTSBachelorarbeit P10.1 Bachelorarbeit

(Bachelorarbeit)WiSeundSoSe

0h (0 SWS) 360h (12)







6


Inhalte In der Bachelorarbeit wird ein tiefer liegendes mathematisches Themamit Hilfe von vorgegebener Literatur ausgearbeitet und dargestellt.Die Bearbeitungsdauer der Bachelorarbeit betragt zehn Wochen nachoffizieller Vergabe des Themas.

Qualifikationsziele Lernziele der Bachelorarbeit sind die Schulung von Arbeitsorganisa-tion, das Erlernen von Techniken des wissenschaftlichen Arbeitensin der Mathematik und die Fahigkeit, einen komplexeren mathemati-schen Sachverhalt schriftlich darzustellen und zu motivieren. Dadurchwerden wesentliche Schlusselqualifikationen des Studiengangs erwor-ben.

5.7.2013 Seite 23 von 51

Form der Modulprufung Bachelorarbeit



Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Bley



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WP1 Funktionentheorie




Lehrform Veranstaltung(Wahlpflicht)

Turnus Prasenzzeit Selbststudium ECTS

Vorlesung WP1.1 Funktionentheorie(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP1.2 Funktionentheorie(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)

Im Modul konnen insgesamt 9 ECTS Punkte erworben werden. Die Prasenzzeit betragt 6 Semes-terwochenstunden. Inklusive Selbststudium sind etwa 270 Stunden aufzuwenden.

Art des Moduls Wahlpflichtmodul mit Wahlpflichtveranstaltungen




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Inhalte Inhalt des Moduls ist die Theorie komplexer Funktionen in einer Va-riablen. Lernziele sind das Verstandnis der grundlegenden Beweis-methoden und Rechentechniken und der geometrischen und analyti-schen Ideen der komplexen Analysis. Die Vorlesung beginnt mit derDarstellung des Begriffs der komplexen Differentiation in Verbindungmit der komplexen Integration und dem Resultat, dass komplex dif-ferenzierbare Funktionen sich in konvergente Potenzreihen entwickelnlassen. Dabei werden insbesondere Kenntnisse zu den verschiedenenVersionen des Cauchyschen Integralsatzes und der Cauchyschen Inte-gralformel vermittelt. Als nachstes werden Abbildungseigenschaftenbehandelt und es werden die fundamentalen Satze uber die Konver-genz von Folgen und Reihen von holomorphen Funktionen bewiesen,zusammen mit ihren Anwendungen wie vor allem dem RiemannschenAbbildungssatz. Andere Themen sind holomorphe Funktionen aufder Einheitskreisscheibe mit dem Lemma von Schwarz und Singu-laritaten holomorpher und meromorpher Funktionen mit dem Resi-duensatz. Lernziele sind das Verstandnis der geometrischen Ideen vonkonformen Abbildungen und ihrer analytischen Beschreibung und derEinflusse von Topologie, Geometrie und Algebra auf die Funktionen-theorie sowie die Beherrschung der grundlegenden Beweismethodenund der Techniken zur Berechnung von Laurententwicklungen undIntegralen mit Hilfe des Residuenkalkuls. Die Studierenden sollenFahigkeiten erwerben, die fur Anwendungen in den Naturwissenschaf-ten und in der Informatik von Bedeutung sind.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der Funktionentheorievertraut zu machen. Mit dem erworbenen Wissen sind sie in der Lage,mathematische Prozesse richtig zu verstehen und auf der Grundlageder Funktionentheorie einzuordnen. Das erlernte Basiswissen ist dieVoraussetzung fur den Besuch aufbauender Veranstaltungen, die dieerlernten Grundlagen tiefergehend behandeln.







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WP2 GewohnlicheDifferentialgleichungen






Vorlesung WP2.1 GewohnlicheDifferentialgleichungen(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP2.2 GewohnlicheDifferentialgleichungen(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)







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5.7.2013 Seite 27 von 51

Inhalte In diesem Modul wird eine grundlegende Einfuhrung in die Theo-rie der Gewohnlichen Differentialgleichungen gegeben. Die Vorlesungbeginnt mit einigen elementaren Losungsmethoden bei explizitengewohnlichen Differentialgleichungen und fahrt fort mit den funda-mentalen Satzen zu Existenz und Eindeutigkeit der lokalen Theoriedynamischer Systeme. Nach Systemen linearer Differentialgleichungenwerden Stabilitatstheorie und Randwertprobleme behandelt. Lernzie-le sind das Verstandnis fur die Fragen der Existenz und Eindeutigkeitvon Losungen und der Stabilitatsproblematik, die Fahigkeit der Mo-dellierung mit Differentialgleichungen sowie die Beherrschung elemen-tarer Verfahren zur Untersuchung des qualitativen Losungsverhaltens.

Qualifikationsziele Qualifikationsziele sind die Kenntnis der theoretischen Grundlagenund der Losungsverfahren von GDG sowie Verstandnis der Modellie-rung der Theorie in den Anwendungen.




Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Erdos



28


WP3 Wahrscheinlichkeitstheorie






Vorlesung WP3.1Wahrscheinlichkeitstheorie(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP3.2Wahrscheinlichkeitstheorie(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Masterstudiengangs Ma-thematik. Das Modul ist ein Pflichtmodul des BachelorstudiengangsWirtschaftsmathematik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul desMasterstudiengangs theoretische und mathematische Physik.



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5.7.2013 Seite 29 von 51

Inhalte Das Modul Wahrscheinlichkeitstheorie befasst sich mit folgenden The-men: Erganzungen zur Maßtheorie, Satze von Borel-Cantelli, 0-1-Gesetze, Vertiefungen zu Gesetzen der großen Zahl und zum zen-tralen Grenzwertsatz, maßtheoretische bedingte Erwartungen undstochastische Kerne, Martingale in diskreter Zeit. optional: GroßeAbweichungen und Satz vom iterierten Logarithmus, In der Vor-lesung Wahrscheinlichkeitstheorie wird die Theorie unabhangigerZufallsvariablen, aber auch von Zufallsvariablen mit speziellenAbhangigkeitsstrukturen vertieft entwickelt. Dabei wird die Maßtheo-rie als Werkzeug sowohl verwendet als auch vertieft. Es werden dieSatze von Borel-Cantelli sowie 0-1-Gesetze bewiesen. Komplexere Va-rianten des Gesetzes der großen Zahl und des zentralen Grenzwert-satzes werden vertieft untersucht. Die Besprechung bedingter Erwar-tungen, stochastischer Kerne und von Martingalen in diskreter Zeitinklusive ihrer Konvergenzsatze fuhrt in die Theorie abhangiger sto-chastischer Phanomene ein.

Qualifikationsziele Die Studierenden erlernen im Modul Wahrscheinlichkeitstheorie einensicheren Umgang mit dem maßtheoretischen Aufbau der Wahrschein-lichkeitstheorie und werden damit zur weiteren Spezialisierung in derStochastik befahigt.




Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Merkl



30


WP4 Funktionalanalysis






Vorlesung WP4.1 Funktionalanalysis(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP4.2 Funktionalanalysis(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Pflichtmodul des Bachelorstudiengangs Wirt-schaftsmathematik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Mas-terstudiengangs Wirtschaftsmathematik.



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5.7.2013 Seite 31 von 51

Inhalte Inhalt des Moduls ist die Funktionalanalysis als Grundlage der wei-terfuhrenden Vorlesungen in der Analysis und mathematischen Phy-sik. Lernziel ist das Verstandnis der abstrakten Begriffsbildungenund vielfaltigen Anwendungen der Funktionalanalysis. Nach einerEinfuhrung in die Funktionalanalysis mit Beispielen aus der linearenAnalysis und dem Index linearer Abbildungen werden Methoden ausder Analysis bereitgestellt und Hilbertraume eingefuhrt mit der Theo-rie der Fouriertransformation und der Sobolevraume. Aus der Theorieder Banachraume werden insbesondere die Satze von Radon und Ni-kodym, Hahn-Banach, Baire und Banach- Steinhaus, die schwacheKonvergenz und der Satz von Banach-Alaouglu behandelt. Die Vorle-sung wird fortgefuhrt mit der Theorie der beschrankten Operatoren,den Begriffen Spektrum und Resolvente und der Spektralzerlegungkompakter Operatoren. Lernziele sind das Verstandnis der abstrak-ten Denkweise der Funktionalanalysis und ihrer Anwendungen aufpartielle Differentialgleichungen, hohere Wahrscheinlichkeitstheorie,Finanzmathematik und mathematische Physik.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der unendlich dimensio-nalen Analysis vertraut zu machen. Mit dem erworbenen Wissen sindsie in der Lage, mathematische Behandlung von komplexen analy-tischen Prozesse richtig zu verstehen und einzuordnen. Das erlernteBasiswissen ist die Voraussetzung fur den Besuch aufbauender Ver-anstaltungen, die die erlernten Grundlagen tiefergehend behandeln.







32


WP5 Geometrie und Topologie vonFlachen






Vorlesung WP5.1 Geometrie undTopologie von Flachen(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP5.2 Geometrie undTopologie von Flachen(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)






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Inhalte Das Modul behandelt elementare Differentialgeometrie und Topo-logie von Flachen. Lerninhalte sind: Lokale Theorie von Kurvenin der Ebene und im Raum, Krummung und Torsion, Frenet-Ableitungsgleichungen. Windungszahl. Flachen im Raum. Erste undzweite Fundamentalform, Krummung. Innere Geometrie von Flachen,Theorema-Egregium, Geodatische. Integration und Flacheninhalt.Wechselwirkung von Krummung und Topologie, Satz von Gauß-Bonnet. Index von Vektorfeldern, Satz von Poincare-Hopf, Euler-Charakteristik und topologische Klassifikation von Flachen.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der elementaren Diffe-rentialgeometrie und der Topologie von Flachen vertraut zu machen.Mit dem erworbenen Wissen sind sie in der Lage, grundlegende dif-ferentialgeometrische und topologische Probleme richtig zu verstehenund einzuordnen. Das erlernte Basiswissen ist die Voraussetzung furden Besuch aufbauender Veranstaltungen, die die erlernten Grundla-gen tiefergehend behandeln.




Modulverantwortliche/r Prof. Kotschick, Prof. Dr. Leeb



34


WP6 Exemplarische Vertiefung 2






Vorlesung WP6.1 ExemplarischeVertiefung 2 (Vorlesung)

WiSe 15h (1 SWS) 15h (1)

Ubung WP6.2 ExemplarischeVertiefung 2 (Ubung)

WiSe 15h (1 SWS) 45h (2)

Seminar WP6.3 ExemplarischeVertiefung 2 (Seminar)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Bachelorstudiengangs Wirt-schaftsmathematik.



5


Inhalte In diesem Modul wird im Rahmen eines Seminars in ausgewahlteanspruchsvollere Themen der Mathematik herangefuhrt. Im Rahmeneiner Vorlesung mit Ubung wird das mathematische Arbeiten mitComputeralgebrasystemen, Numerik- und Statistikumgebungen ver-mittelt. Inhalte der Vorlesung sind interaktives Arbeiten mit Com-puteralgebrasystemen, Numerik- oder Statistikumgebungen und dasErstellen von Programmen in den Sprachen der Systeme (z.B. Matlab,Maple und R).

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Qualifikationsziele Lernziel ist die Fahigkeit, anspruchsvollere mathematische Sachver-halte in Seminarvortragen darzustellen, sowie Computeralgebrasys-teme, Numerik- oder Statistikumgebungen kompetent interaktiv zunutzen und zu programmieren.

Form der Modulprufung (Klausur oder mundliche Prufung) und Referat



Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Bley



36


WP7 Programmieren II furMathematiker






Vorlesung WP7.1 Programmieren IIfur Mathematiker(Vorlesung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)

Ubung WP7.2 Programmieren IIfur Mathematiker (Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)






5


5.7.2013 Seite 37 von 51

Inhalte Inhalt dieses Moduls ist der zweite Teil einer grundlichen Einfuhrungin das Programmieren mit Anwendungen. Ziel ist die Vermittlung vonvertieften Kenntnissen und Qualifikationen im EDV-Bereich. Objek-torientierte und funktionale Programmierung sind weit verbreiteteTechniken in der Softwareentwicklung. Die Vorlesung stellt objekt-orientierte und generische Aspekte einer mit C verwandten Program-miersprache, z.B. C++, vor und diskutiert exemplarisch Anwendun-gen im Scientific Computing: Modellbildung, Algorithmen und de-ren Programmierung. Alternativ werden Grundlagen und Anwendun-gen der funktionalen Programmierung behandelt: Der Lambda-Kalkulwird vorgestellt und eine Einfuhrung in eine Lisp-ahnliche Program-miersprache, beispielsweise Scheme, gegeben. Als komplexere Anwen-dung wird ein Interpreter fur eine Programmiersprache entwickelt.

Qualifikationsziele Lernziele sind die Vertiefung der Programmierkenntnisse in Rich-tung objektorientierter oder funktionaler Programmierung und dieKompetenz, sie auf Probleme im Scientific Computing oder derLogikprogrammierung anzuwenden. Modellierung, Programmdesignund Implementierung vermitteln Schlusselqualifikationen im Be-reich der Organisations- und Transferfahigkeit sowie vertiefte EDV-Kompetenz.




Modulverantwortliche/r Dr. Kerscher



38


WP8 Algebra






Vorlesung WP8.1 Algebra (Vorlesung) WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)Ubung WP8.2 Algebra (Ubung) WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)






5


Inhalte In diesem Modul wird in die Theorie fundamentaler algebraischerStrukturen wie Gruppen, Ringe und Korper eingefuhrt. Dazu werden,zum Beispiel, in der Gruppentheorie Operationen auf Mengen sowiedie Sylowsatze, in der Ringtheorie Polynomringe, euklidische Ringe,Hauptidealringe und faktorielle Ringe, sowie in der Korpertheorie al-gebraische bzw. transzendente Erweiterungen und Zerfallungskorperbehandelt. Ein wesentlicher Bestandteil dieses Moduls ist die Anwen-dung dieser Theorien im Rahmen einer Einfuhrung in die Galoistheo-rie.

5.7.2013 Seite 39 von 51

Qualifikationsziele Das Ziel dieses Moduls ist der Erwerb sicherer algebraischer Grundla-gen und das Verstandnis der Methoden und Konzepte der klassischenAlgebra; eine wesentliche Komponente ist dabei der Aufbau des ma-thematischen Abstraktionsvermogens. Mit dem erworbenen Wissensind die Studierenden in der Lage, algebraische Probleme richtig zuverstehen, zu strukturieren und mit adaquaten Methoden an ihrerLosung zu arbeiten. Das erlernte Basiswissen ist Voraussetzung furden Besuch weiterfuhrender Veranstaltungen im Bereich Algebra, al-gebraischer Geometrie und algebraischer Zahlentheorie.







40


WP9 Finanzmathematik I






Vorlesung WP9.1 FinanzmathematikI (Vorlesung)

WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP9.2 FinanzmathematikI (Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Masterstudiengangs Ma-thematik. Das Modul ist ein Pflichtmodul des BachelorstudiengangsWirtschaftsmathematik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul desMasterstudiengangs Wirtschaftsmathematik.



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Inhalte In diesem Modul wird in die Finanzmathematik in diskreter Zeiteingefuhrt. Das Modul Finanzmathematik I fuhrt in die Arbitra-getheorie der Preisbildung von Eventualforderungen in diskreterZeit ein. Hierzu behandelt sie selbstfinanzierende Strategien sowiedie Begriffe Arbitrage und Arbitragefreiheit. Der fundamentale Be-griff aquivalenter Martingalmaße bereitet die Fundamentalsatze derVermogensbewertung vor, deren Beweise Hohepunkte des Moduls bil-den. Das Hedging und arbitragefreie Bewerten von Europaischen undAmerikanische Optionen wird sowohl in vollstandigen wie auch un-vollstandigen Markten analysiert. Als Anwendungen konnen Hedgingvon exotischen Derivaten, das Binomialmodell, und einfuhrend einGrenzubergang zum Black-Scholes Modell besprochen werden. In ei-nem zweiten Teil des Moduls kann eine Einfuhrung in die Theorie derkonvexen Risikomaße besprochen werden, die einen axiomatischen,finanzmathematischen Ansatz des modernen Risikomanagements bil-det. In der Anwendung werden Risikomasse in erster Linie aus Sichteiner Aufsichtsbehorde zur Steuerung und Stabilisierung von Finanz-risiken von Banken und Versicherungen eingesetzt.

Qualifikationsziele Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegenden Frage-stellungen der modernen Finanzmathematik vertraut zu machen undein Verstandnis der spezifisch finanzmathematischen Konzepte undMethoden zu entwickeln. Mit dem erworbenen Wissen sind die Stu-dierenden in der Lage, die Bewertung von Finanzprodukten zu struk-turieren und in konkreten Verzweigungsmodellen in diskreter Zeit zuimplementieren. Weiterhin sollen die Studierenden in einem kritischenUmgang mit Modellannahmen geschult werden. Das erlernte Wissenfinanzmathematischer Konzepte in diskreter Zeit ist hilfreich fur denBesuch weiterfuhrender Veranstaltungen im Bereich der Finanzma-thematik in stetiger Zeit.




Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Biagini



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WP10 Einfuhrung in partielleDifferentialgleichungen






Vorlesung WP10.1 Einfuhrung inpartielleDifferentialgleichungen(Vorlesung)

WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP10.2 Einfuhrung inpartielleDifferentialgleichungen(Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Masterstudiengangs Ma-thematik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Masterstudien-gangs Wirtschaftsmathematik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmoduldes Masterstudiengangs theoretische und mathematische Physik.



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Inhalte Das Modul vermittelt zuerst die Methode der Separation der Varia-blen und die Fouriersche Methode zur Losung von Anfangsrandwert-problemen fur Warmeleitungs- und Wellengleichungen. Dann wer-den Differentialgleichungen erster Ordnung diskutiert. Es folgt die n-dimensionale Warmeleitungsgleichung, insbesondere die Darstellungder Losung, Eindeutigkeit und das Maximumprinzip. Als nachsteswerden die d’Alembertsche und Poissonsche Formel, die Hadamard-sche Absteigemethode, die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit unddas Huygensche Prinzip fur die n-dimensionale Wellengleichung ein-gefuhrt. Am Ende werden die n-dimensionale Poissongleichung, dieGreensche Darstellungsformel, die Mittelwerteigenschaft der Poisson-schen Integralformel, das Maximumprinzip, die Perronsche Metho-de und die Variationsmethoden diskutiert. Eine Reihe geometrischerProbleme und eine Vielzahl von Phanomenen, die in den Natur- undzunehmend auch in den Wirtschaftswissenschaften modelliert werden,fuhren auf partielle Differentialgleichungen. Ziel des Moduls ist es,Existenz, Eindeutigkeit und grundlegende Eigenschaften klassischerLosungen vornehmlich der drei Grundtypen partieller Differentialglei-chungen zweiter Ordnung zu erortern. Nach einer Einfuhrung in Parti-elle Differentialgleichungen (PDG) mit Beispielen aus der Physik undGeometrie werden einfache Losungsmethoden und PDG erster Ord-nung behandelt. Wichtige Inhalte der Vorlesung sind elliptische Pro-bleme zweiter Ordnung mit der Laplacegleichung, parabolische Pro-bleme zweiter Ordnung mit der Warmeleitungsgleichung sowie hyper-bolische Probleme zweiter Ordnung mit derWellengleichung. Lernzielesind Einsicht in die Modellierung der Phanomene, die in Geometrieund den Naturwissenschaften auf PDG fuhren, vertiefte Kenntnissezu Existenz und Eindeutigkeit sowie der grundlegenden Eigenschaftenvornehmlich der drei Grundtypen von PDG zweiter Ordnung.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der partiellen Differenti-algleichungen vertraut zu machen. Mit dem erworbenen Wissen sindsie in der Lage, mathematische Prozesse richtig zu verstehen und aufGrundlage der Theorie der partiellen Differentialgleichungen einzu-ordnen. Das erlernte Basiswissen ist die Voraussetzung fur den Besuchaufbauender Veranstaltungen, die die erlernten Grundlagen tieferge-hend behandeln.




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WP11 DifferenzierbareMannigfaltigkeiten






Vorlesung WP11.1 DifferenzierbareMannigfaltigkeiten(Vorlesung)

WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP11.2 DifferenzierbareMannigfaltigkeiten(Ubung)

WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)






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Inhalte Mannigfaltigkeiten und Differentialformen, Vektorbundel. Unterman-nigfaltigkeiten des euklidischen Raumes, differenzierbare Mannigfal-tigkeiten, Vektorfelder und Flusse, Blatterungen, Distributionen undSatz von Frobenius, Multilineare Algebra, Tensorfelder und Differen-tialformen. Partition der Eins, Orientierung, Integration auf Mannig-faltigkeiten, Satz von Stokes, de Rham-Kohomologie, Beziehung desDifferentialformenkalkuls zur klassischen Vektoranalysis, Anwendun-gen in der Physik, Lie-Gruppen und homogene Raume, Vektorbundel,Zusammenhange, Krummung.

Qualifikationsziele Das Ziel des Moduls ist es, die Studierenden mit den grundlegendenFragestellungen und methodischen Ansatzen der Theorie der Man-nigfaltigkeiten, Differentialformen und Vektorbundel vertraut zu ma-chen. Mit dem erworbenen Wissen sind sie in der Lage, grundlegendeProbleme der Geometrie richtig zu verstehen und einzuordnen. Daserlernte Basiswissen ist die Voraussetzung fur den Besuch aufbauen-der Veranstaltungen, die die erlernten Grundlagen tiefergehend be-handeln.




Modulverantwortliche/r Prof. Kotschick, Prof. Dr. Leeb



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WP12 Logik I






Vorlesung WP12.1 Logik I(Vorlesung)

WiSe 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP12.2 Logik I (Ubung) WiSe 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Masterstudiengangs Mathe-matik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des MasterstudiengangsWirtschaftsmathematik.



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Inhalte In diesem Modul wird in die mathematische Logik eingefuhrt. Zielesind die Beherrschung der Grundlagen der mathematischen Logik, dieKenntnis zentraler Resultate und Einsicht in die Anwendungen in derInformatik. In der mathematischen Logik werden die Grundlagen derMathematik untersucht, und zwar wieder mit Mitteln der Mathema-tik. Die Vorlesung gibt eine Einfuhrung in die hierbei verwendetenBegriffe, Fragestellungen und Methoden. Zentral ist die Verwendungformaler Sprachen und die genaue Unterscheidung zwischen rein syn-taktisch betrachteten Satzen der Sprache und ihrer inhaltlichen Be-deutung, wobei man sich auf Modelle der Sprache bezieht. Fragendieser Art werden auch in der Informatik betrachtet; oft spielen siein der Berufspraxis eine wichtige Rolle. Auf der syntaktischen Ebe-ne wird ein Beweiskalkul entwickelt. Ein zentrales Resultat ist derGodelsche Vollstandigkeitssatz, der aussagt, dass alle wahren (also inallen Modellen gultigen) Satze herleitbar sind. Es wird ein Uberblickuber die Anfange der Modelltheorie gegeben und der Kompaktheits-satz (mit Anwendungen) sowie die Lowenheim-Skolem Satze bewie-sen. Der Begriff der Berechenbarkeit wird prazisiert und seine grundle-genden Eigenschaften bewiesen: das Kleenesche Normalformtheorem,das Rekursionstheorem, sowie die Unentscheidbarkeit des Haltepro-blems und der Pradikatenlogik. Fur formale Sprachen, die ein gewis-ses Minimum an Arithmetik enthalten, werden die Godelschen Un-vollstandigkeitssatze bewiesen, ferner die Undefinierbarkeit des Wahr-heitsbegriffs und die Unbeweisbarkeit der Widerspruchsfreiheit.

Qualifikationsziele Wichtigstes Lernziel ist es einen Uberblick uber die grundlegendenBegriffe und Resultate der Mathematischen Logik und der Theorieder Berechenbarkeit zu erhalten, einschließich der Godelschen Unvoll-standigkeitssatze. Die erworbenen Fahigkeiten und Kenntnisse dienenauch als Vorbereitung fur die Beweistheorie, den Lambda-Kalkul, dieMengenlehre und die Anwendungen in der Informatik.




Modulverantwortliche/r Prof. Dr. Donder



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WP13 Hohere Algebra






Vorlesung WP13.1 Hohere Algebra(Vorlesung)

SS 60h (4 SWS) 120h (6)

Ubung WP13.2 Hohere Algebra(Ubung)

SS 30h (2 SWS) 60h (3)




Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des Masterstudiengangs Mathe-matik. Das Modul ist ein Wahlpflichtmodul des MasterstudiengangsWirtschaftsmathematik.



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Inhalte In diesem Modul werden fortgeschrittene Methoden und Technikender Algebra und kommutativen Algebra, sowie grundlegende Begriffeder homologischen Algebra eingefuhrt. Insbesondere werden grund-legende Begriffe wie Dimension, Ganzheit, Lokalisierung und Ten-sorprodukte behandelt und die fur die affine algebraische Geometriebenotigten Satze der kommutativen Algebra wie, zum Beispiel, Hil-bert’s Basissatz, Hilbert’s Nullstellensatz oder Noether Normalisie-rung, bewiesen.

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Qualifikationsziele Das Ziel dieses Moduls ist der Erwerb sicherer Grundlagen und dasVerstandnis fortgeschrittener Methoden und Konzepte der Algebra.Mit dem erworbenen Wissen sind die Studierenden in der Lage, die-se algebraische Probleme richtig zu verstehen, zu strukturieren undmit adaquaten Methoden an ihrer Losung zu arbeiten. Das erlernteBasiswissen ist Voraussetzung fur den Besuch weiterfuhrender Ver-anstaltungen im Bereich Algebra, algebraischer Geometrie und alge-braischer Zahlentheorie.







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