Robert John

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Hauptseminar

Monte-Carlo-Methoden, stochastische Schätzungen

und deren Unsicherheit

2.11.2011

Inhalt

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Herkunft

Stochastische Schätzung

Monte-Carlo-Methode

Varianzreduktion

Zufallszahlen

Anwendungsgebiete

2.11.2011

Herkunft

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Stadtteil von Monaco an der Mittelmeerküste

Spielkasinos

Roulette, Craps(Würfel)

Mechanische Zufallszahlgeneratoren

Entstanden während des 2. Weltkrieges

Atombombe, Simulation der Ausbreitung radioaktiver Teilchen

Codewort: Monte Carlo

sinnvolle Anwendung erst im Computerzeitalter

2.11.2011

Stochastische Schätzung

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Wissenschaftliche Methode

Parameter der Schätzung

Statistische Fehler

Systematische Fehler

Kriterien der stochastischen Schätzung

Konsistenz lim𝑛→∞

𝑥 = 𝜇

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Stochastische Schätzung

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Konsistenz für die relative Häufigkeit eine 6 zu würfeln.

2.11.2011 Quelle: http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Law-of-large-numbers.png&filetimestamp=20090901233851

Stochastische Schätzung

6

Wissenschaftliche Methode

Parameter der Schätzung

Statistische Fehler

Systematische Fehler

Kriterien der stochastischen Schätzung

Konsistenz lim𝑛→∞

𝑥 = 𝜇

Erwartungstreue 𝐸 𝑥 = 𝜇

Effektivität Var 𝑥 minimal

Robustheit

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Stochastische Schätzung

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Auswertung einer Stichprobe

𝑥 =1

𝑛 𝑥𝑛𝑛𝑖=1 Stichprobenmittelwert

𝑠2 =1

𝑛−1 (𝑥𝑛−𝑥 )

2𝑛𝑖=1 Stichprobenvarianz

Konfidenzintervall

Monte-Carlo-Methode (MCM)

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Methode zur Lösung stochastischer und deterministischer

Problemstellungen

Deterministische Lösungsmethode

Stochastische Lösungsmethode

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Vergleich der Lösungsmethoden

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Anzahl der

Dimensionen n

Trapezmethode Monte-Carlo-

Methode

Bemerkungen

1 1

𝑁2 1

𝑁

MCM nicht sinnvoll 2 1

𝑁

1

𝑁

3 1

𝑁23 1

𝑁

4 1

𝑁

1

𝑁

ca. gleich

>4 1

𝑁2𝑛 1

𝑁

MCM konvergieren

schneller

Typisches Teilchentransport MC Problem hat 7 Dimensionen 𝑥,𝑦,𝑧, 𝑝𝑥, 𝑝𝑦, 𝑝𝑧, 𝑡 2.11.2011

Monte-Carlo-Methode

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Methode zur Lösung stochastischer und deterministischer

Problemstellungen, basierend auf Simulation eines

Zufallsexperiments mit Hilfe von Zufallszahlen.

Deterministische Lösungsmethode

Stochastische Lösungsmethode

Ablauf einer Monte-Carlo-Simulation

Erstellung eines Modells

Simulation der Zufallsgrößen

Statistische Auswertung

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Simulation von Pi

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Ablauf einer Monte-Carlo-

Simulation

Erstellung eines Modells

Simulation der

Zufallsgrößen

Statistische Auswertung

𝑁𝐾

𝑁𝑄=

𝐴𝐾

𝐴𝑄=

𝜋

4𝑟2

𝑟2=𝜋

4

𝑁𝐾… Anzahl der Treffer im Viertelkreis

𝑁𝑄… Anzahl der Treffer im Quadrat

2.11.2011 Quelle: http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/84/Pi_30K.gif

Vor- und Nachteile der MCM

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Vorteile

Einfachheit und Schnelligkeit bei gegebenem Modell

Analytisch lösbare Probleme überprüfen

Nachteile

Möglicherweise aufwendig Modell zu erstellen

Genauigkeit nur mit rechenaufwand verbesserbar

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Varianzreduktion

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Indirekte Varianzreduktion

Erhöhung des Stichprobenumfangs

Nachteil: Erhöhung der Rechenzeit

Direkte Varianzreduktion

Nicht-analoge MCM

Einführung eines Teilchengewichtes

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Zufallszahlen

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Existieren physikalische Prozesse die Zufallszahlen liefern

Wirklich zufällig

Aber aufwendig

Erzeugung mit dem Rechner(deterministische Maschine)

Endliche Periode des Algorithmus‘

Pseudozufallszahlen

Anwendungsgebiete

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Probleme deterministischer Natur

Bestimmte n-dimensionale Integrale

Finanzwesen

Differential- und Integralgleichungen

Probleme stochastischer Natur

Untersuchung von Naturphänomenen wie Tornados oder

Erdbeben, Hochwasser, Tsunami, …

Warteschlangen: Stau, Ampelschaltungen, Konsumverhalten

Planung für Versorgungsnetze

Mobilfunk, Strom, Gas, …

Strahlungstransport

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Quellen

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Bücher

K. Binder: Monte Carlo Simulation in Statistical Physics

V. Blobel/E. Lohrmann: Statistische und numerische Methoden

der Datenanalyse

C. Konvalinka: Diplomarbeit zur Erweiterung des

Strahlungstransportprogramms AMOS zur Berechnung von

Strahlungsfeldern um varianzreduzierende Methoden

Internet:

http://itp.tugraz.at/MML/MonteCarlo/MCIntro.pdf

http://de.wikipedia.org/wiki/Monte-Carlo-Simulation

http://en.wikipedia.org/wiki/Monte_Carlo_method