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MSG Zirkel 7b Jonathan Kliem 11. September 2017 Inhaltsverzeichnis 0.1 Kubikwurzeln ...................................... 1 0.2 Geburtstagsparadoxon ................................. 1 0.3 Teilbarkeitsregeln .................................... 2 0.4 Organisatorisches .................................... 2 0.5 Knobelaufgabe zum n¨ achsten Termin: Monika .................... 3 0.6 Knobelaufgabe: Monika ................................ 4 0.7 Organisatorisches .................................... 4 0.8 Wiederholung ...................................... 4 0.9 Gef¨ angnisw¨ arter .................................... 4 1 Graphentheorie 5 1.1 onigsberger Br¨ uckenproblem ............................. 5 1.2 Knobelaufgabe zum 31. Oktober ........................... 6 1.3 Knobelaufgabe vom letzten Mal ............................ 7 1.4 Grundlegende Defintionen ............................... 7 1.5 ¨ Ubung zum n¨ achsten Mal ............................... 8 1.6 Polyeder ......................................... 9 1.7 ¨ Uberlegung zum n¨ achsten Mal ............................ 9 1.8 Eulersche Polyederformel ............................... 10 1.9 Induktion ........................................ 11 1.10 Das Summenzeichen .................................. 13 1.11 ¨ Ubungsaufgaben .................................... 15 1.12 Eulersche Polyederformel ............................... 16 1.13 Eulertouren ....................................... 17 1.14 Organisatorisches .................................... 18 2 Restklassenrechnung 19 2.1 Weihnachtsaufgabe ................................... 19 2.2 Schreibweisen ...................................... 21 2.3 Quersumme ....................................... 23 2.4 ¨ Ubungsaufgaben .................................... 25 3 Spieltheorie 30 3.1 Streichholzspiele (Nim) ................................. 30 3.2 Gefangenendilemma .................................. 34 3.3 Einige Spiele ...................................... 35 I

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MSG Zirkel 7bJonathan Kliem

11. September 2017

Inhaltsverzeichnis

0.1 Kubikwurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Geburtstagsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Teilbarkeitsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.4 Organisatorisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.5 Knobelaufgabe zum nachsten Termin: Monika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30.6 Knobelaufgabe: Monika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.7 Organisatorisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.8 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40.9 Gefangniswarter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Graphentheorie 51.1 Konigsberger Bruckenproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Knobelaufgabe zum 31. Oktober . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Knobelaufgabe vom letzten Mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Grundlegende Defintionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Ubung zum nachsten Mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6 Polyeder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7 Uberlegung zum nachsten Mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.8 Eulersche Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.9 Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.10 Das Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.11 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.12 Eulersche Polyederformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.13 Eulertouren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.14 Organisatorisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Restklassenrechnung 192.1 Weihnachtsaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Schreibweisen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Quersumme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.4 Ubungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3 Spieltheorie 303.1 Streichholzspiele (Nim) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2 Gefangenendilemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.3 Einige Spiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

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Jonathan Kliem MSG Zirkel 7b 26. September 2016

4 (Un-)Gleichungen 404.1 Einfuhrende Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2 Regeln fur Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 (Elementar-)Geometrie 475.1 Strecken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.2 Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3 Axiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.4 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.5 Dreiecksungleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.6 Kongruenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.7 Dreickskongruenzen, Winkel an Parallelen, Innenwinkel, gleichschenkelige Dreicke 515.8 Knobelaufgabe zum nachsten Mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.9 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 545.10 Konstruktion mit Zirkel und Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.11 Kleine Beweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.12 Knobelaufgabe zum nachsten Mal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.13 Vierecke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

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Jonathan Kliem MSG Zirkel 7b 26. September 2016

0.1 Kubikwurzeln

Mit ein wenig Uberlegung ist es sehr leicht, Kubikwurzeln von bis zu 6-stelligen Kubikzahlen zubestimmen.

1. 1003 = 1.000.000, d.h. 3√n < 100 fur n < 1.000.000.

2. Nun lasst sich die erste Ziffer mit den ersten 9 Kubikzahlen abschatzen:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729.

3. Die letzte Ziffer einer Kubikzahl ist eineindeutig bestimmt durch die letzte Ziffer der drittenWurzel. Fur 1, 4, 5, 6, 9 ist es stets dieselbe Ziffer, sonst ist es 10−m.

Beispiel 0.1 (39.304). Wir stellen fest

303 = 27.000 ≤ 39.304 < 64.000 = 403

⇔ 30 ≤ 3√

39.304 < 40

also ist die erste Ziffer 3. Weiter ist die letzte Ziffer von 39.304 eine 4, also ist dies auch die zweiteZiffer der dritten Wurzel. Ohne weiteres Nachrechnen wissen wir: Falls 39.304 eine Kubikzahlist, so gilt 3

√39.304 = 34.

Beispiel 0.2 (658.503). Wir stellen fest

512.000 ≤ 658.503 < 729.000,

also ist die erste Ziffer 8. Die letzte Ziffer von 658.503 eine 3, das ist nicht 1, 4, 5, 6, 9 also ist dieletzte Ziffer der dritten Wurzel 10−3 = 7. Falls 658.503 eine Kubikzahl ist, so gilt 3

√658.503 = 87.

0.2 Geburtstagsparadoxon

Wie wahrscheinlich ist es, dass 2 Leute im Raum am gleichen Tag Geburtstag haben?

Bzw. besser: Wie viele Leute braucht es, damit die Wahrscheinlichkeit mind. 12 ist, dass zwei

Leute am selben Tag Geburtstag haben.

Einfachere Formulierung: Wie wahrscheinlich ist es, dass n Leute alle an verschiedenen TagenGeburtstag haben?

Antwort (vorausgesetzt, dass Geburtstage gleichverteilt sind und das Jahr 364 Tage hat):

Man uberlegt sich, dass die n Personen nacheinander den Raum betreten. Die erste Person hatauf jeden Fall an einem anderen Tag Geburtstag als jeder andere im Raum. Die zweite Personhat nur 364 Tage zur Auswahl, also ist die Wahrscheinlichkeit fur sie 364

365 . Bei der dritten Personist die Wahrscheinlichkeit dann 363

365 , dass sie nicht am gleichen Tag, wie die anderen beidenGeburtstag hat, falls diese an verschiedenen Tagen Geburtstag haben. Die Wahrscheinlichkeit,dass beides passiert ist dann 364

365363365 , usw.

Insgesamt ist das bei n Personen dann eine Wahrscheinlichkeit von

365

365· 364

365· 363

365· · · · · 365− n+ 1

365=

365!

(365− n)! · 365n.

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(n! = 1 · 2 · 3 · · · · · n, man spricht Fakultat.)

Einige Werte:

n Wahrscheinlichkeit, dass keiner am gleichen Tag Geburtstag hat1 100%5 97%

10 88%15 75%20 59%21 56%22 52%23 49%60 0,59%

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600

20

40

60

80

100

Anzahl der Personen

Wah

rsch

ein

lich

keit

in%

Z.B. mit http://www.wolframalpha.com kann man das sehr gut ausrechnen und sich anschauen.

0.3 Teilbarkeitsregeln

Es gibt fur folgende Zahlen (einfache) Regeln: 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11.

9 Quersumme durch 9 teilbar

11 alternierende (d.h. abwechselnde) Quersumme durch 11 teilbar

Die alternierende Quersumme von 5643 ist z.B. +5− 6 + 4− 3 = 0, also ist 5643 durch 11teilbar.

0.4 Organisatorisches

Termine:

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• Zirkeltermine finden sich im Internet (google: Kliem FU Berlin), nachstes Treffen ist der10. Oktober.

• Der Zirkel beginnt um 16:15 Uhr

Im Haus:

• im Haus mochten Menschen arbeiten

• kein Aufenthalt im Hausflur

• Toiletten befinden sich links bzw. rechts vom Eingang

• Wettergeschutzter Aufenthalt z.B. gegenuber im Eingangsbereich der Arnimallee 3

• Aufenthaltsraume z.B. in der Arnimallee 6 oder 7

• Buro von Jonathan Kliem im Keller links neben dem Eingang

Unterlagen:

• meine eigenen Notizen sind online verfugbar

• es ist empfehlenswert Notizen geordnet aufzubewahren

• Papier und Stifte werden immer benotigt

• Geometriewerkzeuge werden nur benotigt, falls angesagt

Allgemein:

• ich mache den Zirkel ehrenamtlich

• die Teilnahme ist freiwillig!

• ich freue mich uber Kritik, d.h. Fehler an der Tafel sofort kommentieren, und allgemeineKritik bitte außern

• neu: wenn ich etwas verwende, dass Ihr nicht versteht, oder sonst etwas unklar ist, sofortreinfragen

• bei Abwesenheit freue ich mich uber eine kurze Mail

• falls jemand nicht mehr teilnehmen mochte, mich bitte informieren

• die Kommunikation findet in erster Linie uber die Schuler statt, d.h. alles was ich mit denSchulern selbst besprochen werden kann, mochte und werde ich mit ihnen selbst besprechen

0.5 Knobelaufgabe zum nachsten Termin: Monika

Der Briefbote kommt bei einer Dame vorbei, sie unterhalten sich. Sie erzahlt von ihren dreiTochtern. Nun fragt der Briefbote nach, wie alt denn die drei Tochter seien. Daraufhin sagt dieDame:

”Wenn ihre Alter multipliziert erhalt man 36. Wenn man dagegen das Alter addiert erhalt

man meine Hausnummer.“ Der Briefbote uberlegt ein wenig, kennt aber die Antwort immer nochnicht. Nun sagt die Dame:

”Achja, meine alteste Tochter heißt Monika, das habe ich vergessen.“

Wie alt sind die Tochter?

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0.6 Knobelaufgabe: Monika

Korrektur: Die alteste Tochter heißt Monika.

Der Briefbote kommt bei einer Dame vorbei, sie unterhalten sich. Sie erzahlt von ihren dreiTochtern. Nun fragt der Briefbote nach, wie alt denn die drei Tochter seien. Daraufhin sagt dieDame:

”Wenn ihre Alter multipliziert erhalt man 36. Wenn man dagegen das Alter addiert erhalt

man meine Hausnummer.“ Der Briefbote uberlegt ein wenig, kennt aber die Antwort immer nochnicht. Nun sagt die Dame:

”Achja, meine alteste Tochter heißt Monika, das habe ich vergessen.“

Wie alt sind die Tochter?

Losung Zunachst ist bekannt, dass das Produkt der Alter 36 ist. Die Primfaktorisierung ist36 = 22 · 32. Entsprechend konnen die Tochter nur 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 sein. Also gibt es folgendeMoglichkeiten:

Tochter 1 Tochter 2 Tochter 3 Hausnummer1 1 36 381 2 18 211 3 12 161 4 9 141 6 6 132 2 9 132 3 6 113 3 4 10

Nun konnte der Briefbote, obwohl er die Hausnummer kannte, nicht das Alter der Tochter be-stimmen. Nur bei der Hausnummer 13 gibt es mehr als eine Moglichkeit, also muss das dieHausnummer sein. Dem Hinweis nach, gibt es eine eindeutige alteste Tochter. Entsprechend sinddie Tochter 2, 2 und Monika ist 9.

0.7 Organisatorisches

• wenn ich etwas verwende, dass Ihr nicht versteht, oder sonst etwas unklar ist, sofortreinfragen

0.8 Wiederholung

Was ist die Kubikwurzel von 205.379, 571.787, 21.952?

0.9 Gefangniswarter

In einem kleinem Gefangnis gibt es 5 Gefangene. Weil der Warter gute Laune hat, gibt er ihneneine Chance. Sie durfen sich in einer Reihe aufstellen und erhalten jeweils eine Mutze in rot odergelb. Wenn einer der Gefangenen seine Farbe errat, kommen alle frei. Wenn einer seine Farbefalsch rat, dann ist die Chance vertan. Es gibt folgendes zu beachten:

1. Es gibt 3 gelbe Mutzen und 2 rote Mutzen (und die Gefangenen wissen das).

2. Jeder konnte genau die Mutzen seiner Vordermanner sehen.

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3. Die letzten beiden sind blind.

Nach einer Zeit sagt der der erste in der Reihe:”Wenn meine Kollegen nicht doof sind, dann

habe ich eine gelbe Mutze auf.“ Woher weiß er das?

Losung Schritt 1: Wurde der Dritte zwei rote Mutzen sehen, wusste er, dass er eine gelbeaufhaben muss. Er sagt aber nichts, entsprechend sieht er mind. eine gelbe Mutze.

Schritte 2: Wurde der Zweite eine rote Mutze sehen, wusste er, dass er eine gelbe aufhat, dennsonst hatte ja der Dritte etwas gesagt. Der Zweite sagt aber nichts, entsprechend hat der Ersteeine gelbe Mutze auf.

Schritt 3: Nachdem sowohl der Dritte als auch der Zweite nichts sagen, weiß der Erste, dass ereine gelbe Mutze aufhaben muss.

1 Graphentheorie

1.1 Konigsberger Bruckenproblem

Leonhard Euler (1707-1783) untersuchte das sog. Konigsberger Bruckenproblem. Dessen Losungstellt Euler der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften am 26. August 1735 vor. In derspateren Veroffentlichung schildert er das Problem so:

”In Konigsberg in Preußen gibt es eine Insel A, Kneiphof genannt; der Fluss, der sie

umgibt, gabelt sich in zwei Verzweigungen, wie man der Abbildung entnehmen kann,und uber die Zweige sind sieben Brucken a, b, c, d, e, f und g errichtet. Bezuglichdieser Brucken wurde gefragt, ob es eine Route gibt, die jede Brucke einmal und nureinmal uberquert.“

Nach einigem Probieren hat keiner eine Losung gefunden. Heißt es, dass es keine Losung gibtoder dass wir uns zu ungeschickt anstellen?

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Wir stellen fest, dass es wahrscheinlich sehr viele Moglichkeiten gibt, die man probieren muss.Schreibt man besipielsweise die Brucken in beliebiger Reihenfolge auf, so gibt es 7! = 504 Moglich-keiten. Wie kann man das Problem losen ohne alle Moglichkeiten durchzuprobieren?

Als erstes Ubersetzen wir das Problem in ein Graphenproblem. Was ein Graph genau ist, lernenwir noch. Hier das Konigsberger Bruckenproblem als Graph:

d

b

g

f

e

c

a

A

B

C

D

Wir stellen fest, dass jede Insel eine ungerade Anzahl von Brucken hat, das fuhrt uns schließlichzur Losung des Problems.

Losung Angenommen es gibt einen Pfad. Dieser hatte eine Ausgangsinsel, eine Zielinsel undzwei Zwischeninseln. Wenn die Zwischeninseln passiert werden, dann werden immer genau zweiihrer Brucken benutzt. Damit eine Insel eine Zwischeninsel sein kann, muss sie uber eine geradeAnzahl von Brucken verfugen. So eine Insel gibt es nicht, es mussen also alle Inseln Ausgangs-oder Zielinseln sein. Ein Widerspruch!

1.2 Knobelaufgabe zum 31. Oktober

Wie muss eine Stadt beschaffen sein, damit sie einen Euler-Pfad zulasst?

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1.3 Knobelaufgabe vom letzten Mal

Mit ein wenig Nachdenken stellen wir fest, dass eine Stadt zwei Bedingungen erfullen muss, damites einen Euler-Pfad geben kann:

1. Zwischen je zwei Brucken sollte es eine Verbindung geben.

2. Es durfen maximal 3 Inseln uber eine ungerade Anzahl von Brucken verfugen.

Dass die Bedingung 1 notwendig ist, ist klar. Dass die Bedingung 2 notwendig ist, haben wirbeim letzten Mal bereits bewiesen. Reichen diese beiden Bedingungen aus? Ja und mit ein paarTricks konnen wir das tatsachlich beweisen.

1.4 Grundlegende Defintionen

Definition (Graph). Ein Graph G besteht aus Knoten V und Kanten E. Jede Kante bestehtaus zwei Knoten, namlich jenen die sie verbindet.

Beispiel 1.1. Der zugehorige Graph zum Konigsberger Bruckenproblem kann gegeben werdendurch Knoten V = {A,B,C,D} und Kanten E = {a, b, c, d, e, f, g}, wobei

a = {A,B}, b = {A,B}, c = {A,C}, d = {A,C}, e = {A,D}, f = {B,D}, g = {C,D}.

Definition (Grad). Der Grad eines Knoten ist die Anzahl seiner Kanten. Dabei werden Schleifendoppelt gezahlt, d.h. Kanten die den gleichen Anfangs- und Endknoten haben.

Beispiel 1.2. In unserem Graphen hat B Grad 5, alle anderen Knoten haben Grad 3.

Definition (Weg, Kreis, Zusammenhang).

• Ein Weg ist eine Folge w1, e1, w2, e2, . . . , en, wn+1, wobei wi Knoten sind und ei Kanten.Dabei gilt ei = {wi, wi+1}.

• Ein Kreis ist eine Weg w1, e1, . . . , en, wn, wobei w1 = wn+1 bzw. Anfangs- und Endknotensind gleich.

• Ein Graph G = (V,E) heißt zusammenhangend, wenn jeweils zwischen zwei Knoten v, w ∈V ein Pfad mit Ausgangsknoten v und Endknoten w existiert.

Beispiel 1.3. In unserem Graph oben ist C, a,B, b, C, f,D, e,B, d,A, g,D ein Pfad. Oft ist eszu muhsam, alle Knoten dazuzuschreiben. Manchmal ist der Pfad allerdings nur mit Knoteneindeutig: Z.B. bei C, a,B, b, C und B, a,C, b, B.

Definition (Eulerweg, Eulerkreis).

• Ein Eulerweg ist ein Weg in einem Graphen, der jede Kante genau einmal benutzt.

• Ein Eulerkreis ist ein Eulerweg der ein Kreis ist.

Satz 1.4. Ein Graph, indem alle Knoten Grad großer null haben, hat genau dann einen Eulerweg,wenn er verbunden ist und hochstens zwei Knoten ungeraden Grad haben.

Dass ein Graph nur dann einen Eulerweg haben kann, haben wir bereits gesehen. Die andereRichtung zeigen wir spater.

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Jonathan Kliem MSG Zirkel 7b 31. Oktober 2016

1.5 Ubung zum nachsten Mal

Zeige, dass die folgenden Aussagen uber einen Graphen G = (V,E) aquivalent sind:

(i) G ist zusammenhangend, d.h. zwischen je zwei Knoten v, w ∈ V gibt es einen Weg w, e1, w2, e2, . . . , en, v.

(ii) G ist”lokal zuammenhangend“, d.h. es gibt einen Knoten v, so dass dieser zu jedem anderen

Knoten verbunden ist.

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Jonathan Kliem MSG Zirkel 7b 7. November 2016

1.6 Polyeder

Bemerkung. Polyeder sind naturlich kein Untergebiet der Graphentheorie.

Intuitiv sind Polyeder (konvexe) Vielecke im R3, d.h. im Raum. Vielecke im R2, d.h. in derEbene, nennt man auch Polygone. Es sind 3-Eck, 4-Eck, 5-Eck usw. Ein 2-Eck ist eigentlichnicht zweidimensional und ein 1-Eck ist noch nicht einmal 1-dimensional.

Definition (konvex). Eine Menge P ⊆ Rn heißt konvex, wenn fur beliebige x, y ∈ P undλ ∈ [0, 1], d.h. 0 ≤ λ ≤ 1, gilt:

λx+ (1− λ)y ∈ P .

Bemerkung. Anders gesagt liegt fur jeweils zwei Punkte in P jeweils die ganze Verbindungsstreckein P .

Wie erhalten wir schnell neue Polyeder:

• Abschneiden von Ecken

• eine Pyramide auf einer Flache hinzufugen, d.h. hinzufugen eines Punktes dicht genug ubereiner Flache

Wie kann ich Polyeder schnell erkennen. Reicht es Ecken, Kanten und Flachen zu zahlen? (Wannsind eigentlich zwei Polyeder

”gleich“?)

Wenn ich von einem Wurfel eine Ecke wegschneide erhalte ich ein Polyeder mit 10 Ecken, 15Kanten und 7 Flachen. Wenn ich dann noch auf das Funfeck eine Pyramide setze, habe ich 11Ecken, 20 Kanten und 11 Flachen. (Warum darf ich das Funfeck sagen, wo es doch drei gibt?)

# Ecken # Kanten # Flachen Polygonn+1 2n n+1 Pyramide uber einem n-Eckn+2 3n 2n Bipyramide uber einem n-Ecke

2n 3n n + 2 Prisma von einem n-Eck10 15 7 s.o.11 20 11 s.o.

Eine Bipyramide ist wie eine Pyramide, nur mit Spitze unten und oben. Ein Prisma ist ein n-Eck und alle Punkte die ich erhalte, wenn ich das n-Eck um λ nach hinten verschieben, wobeiλ ∈ [0, 1].

Bipyramide mit n = 4Oktaeder

Pyramide uber einem 5-EckPrisma eines 5-Ecks

1.7 Uberlegung zum nachsten Mal

Welchen Zusammenhang gibt es zwischen den Anzahlen von Ecken, Kanten und Flachen?

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Jonathan Kliem MSG Zirkel 7b 14. November 2016

1.8 Eulersche Polyederformel

Wenn wir uns die Tabelle genauer anschauen, konnen wir vermuten, dass

#Ecken−#Kanten + #Flachen = 2

gilt. Diese Beobachtung hat schon Euler gemacht.

Mit Hilfe von Graphen werden wir diese Beobachtung beweisen. Aus jedem Polyeder erhaltenwir einen Graphen, indem wir aus den Ecken Knoten machen und aus den Kanten, Kanten imGraphen. Wenn wir den Graphen geschickt darstellen, konnen wir ihn schnittfrei in die Ebenezeichnen. Geht das immer? Mit folgender Uberlegung zeigen wir, dass das immer gilt:

Schritt 1: Zugrundeliegend ist die dreidimensionale Darstellung des Graphen, gegeben durchdas Polyeder. Nun legen wir das Polyeder in eine Kugel, so dass deren Mittelpunkt im Polyederliegt. Nun stellen wir uns vor, dass der Kugelmittelpunkt eine Taschenlampe ist und zeichenden Schatten des Graphen auf die Kugeloberflache. Dadurch erhalten wir eine Darstellung desGraphen auf der Kugeloberflache.

Genauer: Ist x ein Punkt des Graphen und m der Kugelmittelpunkt, so wird x auf den Punktx′ auf der Kugeloberfache gezeichnet, der auf dem Strahl von m durch x liegt. Die Darstellungeineindeutig: Jeder Strahl vom Kugelmittelpunkt enthalt genau einen Punkt der Kugeloberflacheund genau einen Punkt der Polyederoberflache (beide sind konvex und enthalten m). Ebenso istjeder Punkt der Polyederoberflache in genau einem Strahl mit Anfangspunkt m enthalten.

Schritt 2: Zugrundeliegend ist nun eine Darstellung des Graphen auf einer Kugeloberflache: MitHilfe von stereographischer Projektion wird die Kugel bis auf einen Punkt eineindeutig auf dieEbene abgebildet. Dabei passen wir auf, dass dieser eine Punkt nicht im Graphen liegt.

Genauer: Wir wahlen eine Ebene, die die Kugel nicht schneidet. Der Punkt y der am weitestenvon der Ebene entfernt ist, sollte keinen Punkt der Darstellung des Graphen enthalten. Wiederstellen wir uns y als Scheinwerfer vor. D.h. jeder Punkt x′ der Darstellung des Graphen wird aufden Schnittpunkt der Ebene mit dem Strahl von y durch x′ abgebildet.

Viel praktischer ist es allerdings geschickt den Graphen zu zeichen.

Bipyramide mit n = 4Oktaeder

Pyramide uber einem 5-Eck

Prisma eines 5-Ecks

Die eulersche Polyederformel in die Darstellung eines zusammenhangenden Graphen ubersetztlautet:

#Ecken−#Kanten + #Gebiete = 2

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Jonathan KliemArbeitsblatt Induktion MSG Zirkel 7b 21. November 2016

1.9 Induktion

Das Prinzip der vollstandigen Induktion konnt Ihr alleine, zu zweit oder zu dritt erarbeiten:

Manchmal ist es schwierig Aussagen fur beliebig große Mengen zu beweisen. Beispiele:

• Ein zusammenhangender Graph hat einen Eulerweg, wenn hochstens zwei Knoten ungera-den Grad haben.

• Fur einen zusammenhangenden Graphen in der Ebene gilt jeweiles #Ecken−#Kanten +#Gebiete = 2.

Gegeben einen Graphen, dann wurde man in den beiden Beispielen wie folgt vorgehen:

• Wir konstruieren Kante fur Kante einen Weg, so dass was ubrig bleibt immer noch zu-sammenhangend ist. Es wird sich zeigen, dass wir dann ganz automatisch einen Eulerweggefunden haben.

• Wir nehmen eine Kante weg und zahlen, wie sich jetzt Ecken, Kanten und Gebiete verandern.Das machen wir so lange, bis keine Kanten mehr ubrig sind.

Allgemein lasst sich das wie folgt beschreiben: Sei A(n) eine Behauptung in Abhangigkeit voneiner Große n, die fur alle n ∈ Z+ gelten soll.

1. Induktionsanfang: Wir beweisen A(1).

2. Induktionsschritt: Wir beweisen, dass aus A(n) folgt, dass A(n+ 1) gilt fur alle n ∈ Z+.Die Behauptung, dass A(n) uberhaupt gilt, nennt sich Induktionsvoraussetzung.

Nun gilt A(1) nach Induktionsanfang, deshalb nach Induktionsschritt auch A(2), deshalb nachInduktionsschritt auch A(3), usw.

Merkhilfe: Das ist wie beim Domino. Wir mussen einen Stein anstoßen (Induktionsanfang) unduberprufen, dass die Steine sich auch gegenseitig umstoßen (Induktionsschritt).

Beispiel 1.5 (Gaußsche Summenformel). Behauptung: Fur alle naturlichen Zahlen n ≥ 1 gilt:

n∑i=1

i = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n(n+ 1)

2

Beweis. Induktionsanfang: Es gilt∑1

i=1 i = 1·22 .

Induktionsschritt: Angenommen es gilt

n∑i=1

i =n(n+ 1)

2,

wir wollen zeigen, dass dann auch

n+1∑i=1

i =(n+ 1)(n+ 2)

2,

gilt:

n+1∑i=1

i = n+ 1 +

n∑i=1

i =I.V.

n+ 1 +n(n+ 1)

2=

2(n+ 1)

2+n(n+ 1)

2=

(n+ 2)(n+ 1)

2.

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Jonathan KliemArbeitsblatt Induktion MSG Zirkel 7b 21. November 2016

Habt Ihr das verstanden? Wenn nein, was nicht? Versucht Eure Fragen zuerst untereinander zubeantworten.

Nachfolgend gibt es ein paar Ubungsaufgaben, um sich das Prinzip einzupragen.

Sucht Euch eine Aufgabe aus und schreibt den Beweis ahnlich wie im Beispiel auf! Dann konntIhr die nachste Aufgabe machen.

Um mir einen Eindruck zu machen, ob Ihr das verstanden habt, mochte ich gerne Eure Aufgabeneinsammeln.

1. Ahnliche Summenformeln wie die Gaußsche Summmenformel lassen sich auch fur alle hoherenPotenzen finden. Z.B. gilt

n∑i=1

i2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6.

2. Wie lautet die Regel fur die Summe der ersten n Kubikzahlen?

3. (Maurolicus 1575) Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2. Genauer:∑n

i=1(2i−1) =n2.

4. (Bernoullische Ungleichung) Fur eine reele Zahl x ≥ −1 gilt fur alle naturliche Zahlen n ≥ 0

(1 + x)n ≥ 1 + nx.

5. (Asymtotisches Wachstum) Z.B. in der Informatik interessiert man sich fur die große bestimm-ter Ausdrucke fur große n.

Z.B. ist n2 < 100n fur kleine n, aber fur n > 100 gilt immer n2 > 100n.

Ordne moglichst viele der folgenden Ausdrucke fur große n: n2 + 5, 2n, n2, n3, nk, 2n, 3n

n ,n2 + n.

6. Die Differenzen der Folge 1, 2, 3, . . . sind konstant, die Differnzen der Differenzen der Folge1, 4, 16, 25, 36, . . . sind konstant, die Differenzen der Differenzen, der Differenzen der Folge1, 8, 27, 64, 125, 216, . . . sind konstant, . . .

7. 3 ist stets ein Teiler von n3 − n fur n ∈ Z+ (diese Aussage konnen wir spater auch mitRestklassenrechnung beweisen).

8. Vlt. kennt Ihr noch eigene Aufgaben, die man mit Induktion beweisen kann.

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Jonathan KliemArbeitsblatt Summenzeichen MSG Zirkel 7b 28. November 2016

1.10 Das Summenzeichen

Hintergrund: Nicht nur in der Sprache ist es sinnvoll Abkurzungen zu verwenden. Auch in derMathematik gibt es viele solche Abkurzungen. Hier einige Beispiele:

• statt Nachfolger des Nachfolgers des Nachfolgers von 1 sagt man 4

• 3 + 3 + 3 = 3 · 3

• x+ x+ x+ x+ x = 5 · x

• 3 · 3 = 32

• 4 · 4 · 4 = 43

• 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 6!

Haufig mochte man in der Mathematik Dinge zahlen. Z.B. mochte man 1+2+ · · ·+8 bestimmen.Das kann man auch so ausdrucken:

8∑i=1

i.

Diese Schreibweise erscheint muhsam, aber dafur weiß man z.B. wie jeder Eintrag gebildet wird.Z.B. kann 1 + 4 + · · ·+ 64 wie folgt ausgeschrieben werden:

• 1 + 4 + 16 + 64 (immer mal 4) oder

• 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 (Quadratzahlen).

Dagegen ist folgendes eindeutig:

•4∑

i=0

4i = 40 + 41 + 42 + 43 + 44

•8∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + 72 + 82

Hast Du bis hierhin Fragen? Besprich diese mit Deinem Nachbarn. Falls Ihr zusammen nichtweiter wisst, dann fragt!

Berechne:

1.8∑

i=1

i

2.8∑

i=1

2 · i

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Jonathan KliemArbeitsblatt Summenzeichen MSG Zirkel 7b 28. November 2016

3.6∑

i=1

i2

4.5∑

j=1

j + j2

Vorsichtig! Nicht alle Summen haben zahlen mit dem Wert fur 1 los. Manche Summen zahlenauch mit einem spateren Wert los.

5.8∑

i=3

i− 1

6.5∑

n=4

n · (n− 2)

7.4∑

i=3

i!

8.5∑

j=3

j + j2 + j3

Schreibe die folgenden Ausdrucke als Summe:

9. 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·+ 100

10. 16 + 25 + 36 + · · ·+ 10000

11. 4 + 6 + 8 + · · ·+ 80

12. 14 + 17 + 20 + · · ·+ 98

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MSG Zirkel 7b 5. Dezember 2016

1.11 Ubungsaufgaben

Einige Ubungsaufgaben in beliebiger Reihenfolge zu bearbeiten:

1. Wie viele Polyeder mit bis zu 6 Ecken gibt es?

2. Berechne:∑5i=1(i+ 3)∑8j=4 3j2∑4n=1

n(n+1)2

3. Schreibe als Summe:

4 + 9 + 16 + · · ·+ 25

1 + 4 + 7 + 10 + · · ·+ 40

(1 + 1) + (2 + 4) + (3 + 9) + (4 + 16) + · · ·+ 110

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Jonathan KliemInduktion zum Selberbasteln MSG Zirkel 7b

5. Dezember 201612. Dezember 2016

In den Kasten befinden sich mogliche Begrundungen fur die einzelnen Schritte.

1.12 Eulersche Polyederformel

In einem ebenen zusammenhangenden Graphen gilt stets:

#Ecken−#Kanten + #Gebiete = 2.

Beweis. Mit Induktion:

Erster Schritt: Gilt die Formel, so gilt fur einen Graphen mit zwei Zusammenhangskomponenten:

#Ecken−#Kanten + #Gebiete = 3.

Begrundung:

Fugt man zwei Graphen aneinander, fur die jeweils die Ausgangsformel gilt, so addieren sichEcken und Kanten. Beide Graphen teilen sich dann aber ein Gebiet, so dass es ein Gebiet wenigergibt als die Summe:

#Ecken(gesamt)︸ ︷︷ ︸=#Ecken(G1)+#Ecken

− #Kanten(gesamt)︸ ︷︷ ︸#Kanten(G1)+#Kanten(G2)

+ #Gebiete(gesamt)︸ ︷︷ ︸#Gebiete(G1)+#Gebiete(G2)−1

=#Ecken(G1)−#Kanten(G1) + #Gebiete(G1)︸ ︷︷ ︸=2

+ #Ecken(G2)−#Kanten(G2) + #Gebiete(G2)︸ ︷︷ ︸=2

− 1

=3

Induktionsanfang: Wie sehen ebene zusammenhangende Graphen ohne Kante aus? Warum giltdort die Formel?

Ebene zusammenhangede Graphen ohne Kanten bestehen nur aus einem Ecken und haben genauein Gebiet. Dann gilt naturlich 1− 0 + 1 = 2.

Induktionsschritt: Nehmen wir an, wir haben die Aussage bereits fur alle ebenen zusammenhangenGraphen mit bis zu n Kanten bewiesen und wir erhalten einen Graphen mit n+ 1 Kanten. Wirwollen eine Kante wegnehmen und beobachten, wie sich die Anzahlen der Ecken, Kanten undGebiete verandert.

1. Fall: Der Graph bleibt zusammenhangend:

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Jonathan KliemInduktion zum Selberbasteln MSG Zirkel 7b

5. Dezember 201612. Dezember 2016

Der Graph Gn+1 hat nun eine Kante weniger als der der Graph Gn, aber die gleiche Anzahl vonEcken. In Gn+1 sind auf beiden Seiten der entfernten Kante unterschiedliche Gebiete (sonst wareder Graph nicht zusammenhangend) in Gn nicht. Alle anderen Gebiete bleiben unverandert. Alsowissen wir:

#Ecken(Gn+1)−#Kanten(Gn+1) + #Gebiete(Gn+1)

=#Ecken(Gn)−#Kanten(Gn)− 1 + #Gebiete(Gn) + 1

=2,

da wir bereits annehmen, dass die Formel fur Graphen mit bis zu n-Kanten gilt.

2. Fall: Der Graph zerfallt in zwei Zusammenhangskomponenten:

Angenommen der Graph Gn besteht aus zwei Zusammenhangskomponenten, dann hat der GraphGn+1 nur eine Kante mehr als Gn, der Rest bleibt gleich (die Gebiete auf beiden Seiten der Kantesind auch in Gn+1 gleich. Der Rest folgt mit dem ersten Schritt:

#Ecken(Gn+1)−#Kanten(Gn+1) + #Gebiete(Gn+1)

=#Ecken(Gn)−#Kanten(Gn)− 1 + #Gebiete(Gn)

=3− 1.

1.13 Eulertouren

Satz 1.4. Ein Graph, indem alle Knoten Grad großer null haben, hat genau dann einen Eulerweg,wenn er verbunden ist und hochstens zwei Knoten ungeraden Grad haben.

Beweis. Mit Induktion: Dazu mussen wir die Aussage scharfer machen. Wir verlangen, dass wirzusatzlich wahlen durfen, wo unsere Tour anfangt (wenn es ungerade Knoten gibt, muss dort dieTour anfangen, wenn nicht, darf sie uberall anfangen, wir bezeichnen diese Anfangspunkte alserlaubt).

Induktionsanfang: Dies gilt fur Graphen mit bis zu einer Kante:

Wenn es keine Kante gibt, dann hat mein Eulerweg 0 Schritte. Gibt es eine Kante, dann bestehtmein Eulerweg aus einem Schritt von einem beliebigen Eckpunkt dieser Kante aus, zum (vlt.)anderen Eckpunkt.

Induktionsschritt: Nehmen wir an, die Aussage gilt fur alle Graphen mit bis zu nKanten. Gegebenist ein zusammenhangender Graph mit n+1 Kanten und ein (erlaubter Anfangspunkt). Wir geheneinen Schritt. D.h. wir nehmen eine Kante weg und wahlen den Ausgangspunkt auf der anderenSeite.

Fallunterscheidung:

Angenommen unser Anfangspunkt hat eine Kante:

Dann gehe ich diese Kante entlang und entferne danach den Ausgangspunkt und die Kante. Dader Ausgangspunkt nur eine Kante hatte bleibt der Graph zusammenhangend. Der Punkt zudem ich gegangen bin hat evtl. nun negativen Grad, aber da ich gerade einen Eckpunkt mitnegativem Grad entfernt habe, bekomme ich nicht mehr Knoten ungeraden Grades.

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Jonathan KliemInduktion zum Selberbasteln MSG Zirkel 7b

5. Dezember 201612. Dezember 2016

Angenommen unser Anfangspunkt hat geraden Grad: Dann gibt es keine Knoten mit ungerademGrad:

Sonst ware mein Anfangspunkt nicht erlaubt.

Nehmen wir an, dadurch, dass wir die Kante weggenommen haben, wird der Graph in zwei Teilezerteilt. Zeige, dass es dann schon vorher Knoten ungeraden Grades gegeben hat (Hinweis: Ineinem Graphen ist stets eine gerade Anzahl von Knoten ungerade):

Die Ecke zu der ich laufe, hatte vorher geraden Grad, aber nicht mehr, nachdem ich die Kante,uber die ich gerade gelaufen bin entfernt habe. Nun hat also der Teilgraph indem ich mich befindemind. eine Ecke mit ungeradem Grad. Da ich von keinem anderem Eckpunkt entwas entfernthabe, haben aber alle anderen Knoten in diesem Teilgraph geraden Grad und das kann gar nichtsein. Also muss auch der Ausgangspunkt von der entfernten Kante in dem Teilgraphen sein undich habe den Graphen nicht zerteilt.

Angenommen unser Knoten hat ungeraden Grad großer gleich 3. Dann konnen wir mind. vondrei Kanten wahlen. Wenn eine Kante unseren Graphen in zwei Teile zerlegt, ist dann ist in demTeil, wo wir hinlaufen, ein Knoten ungeraden Grades:

Die Uberlegung ist wieder die selbe. Wenn ich durch entfernen einer Kante in einem Teilgraphenbin, dann veringert sich der Grad meines Anfangspunktes um 1. Entweder dieser Knoten warungerade und ist jetzt gerade oder sie war gerade, dann gibt es in meinem Teilgraphen eine Eckeungeraden Grades.

Es gibt drei Kanten, also kann muss mind. eine Kante den Graphen nicht teilen, da es hochstenszwei Knoten ungeraden Grades gibt.

(Hinweis: Es muss gezeigt werden, dass der neue Ausgangspunkt erlaubt ist.)

1.14 Organisatorisches

• Das ist die letzte Stunde zu dieser Einheit

• Ab nachste Mal fangen wir dann mit Restklassenrechnung an

• Es wir keine Klausur oder ahnliches geben, Ziel dieses Zirkels ist es, dass Ihr Spaß habtund etwas lernt

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MSG Zirkel 7b 19. Dezember 2016

2 Restklassenrechnung

2.1 Weihnachtsaufgabe

Nach der Bescherung wollen die Wichtel des Weihnachtsmannes auch Geschenke. Der Weih-nachtsmann hat aber keine Lust ihnen viele Geschenke zu geben, deshalb spielt er ein Spiel mitihnen. Die Wichtel stellen sich in einer Reihe auf und erhalten Mutzen vom Weihnachtsmann auf,die jeweils die Farben rot oder weiß haben konnen. Jeder kann alle Mutzen der Wichtel vor ihmsehen, aber weder die Mutzen hinter ihm, noch seine eigene. Nun

”raten“ die Wichtel nacheinan-

der (von hinten nach vorne) ihre Farbe. Es gibt am Ende fur alle Wichtel so viele Geschenke, wieWichtel die Farbe richtig erraten haben. Da die Wichtel nicht auf ihr Gluck vertrauen, uberlegensie sich eine Strategie, wie sie moglichst viele Geschenke erhalten konnen.

1. Wenn es nur 2 Wichtel gibt, wie konnen Sie garantieren, dass sie mind. ein Geschenkerhalten?

2. Wenn es 3 Wichtel gibt, konnen sie es schaffen mind. 2 Geschenke zu erhalten? (Hinweis:Der letzte kann seine Farbe nicht mit Sicherheit richtig erraten, also muss er den anderenbeiden helfen ihre Farbe richtig zu erraten. Der zweite sieht entweder rot oder weiß. Wiekann der letzte Wichtel, die Information fur den zweiten so verpacken, dass der erste Wichtelweiß welche Farbe er auf hat, nachdem der zweite Wichtel seine Farbe richtig erraten hat.

Wenn also der zweite rot auf hat, muss der dritte weiß oder rot sagen, je nachdem, welcheMutze der erste auf hat. Auch muss sich seine Aussage unterscheiden, wenn der erste rotauf hat und der zweite rot oder weiß usw.)

3. Wenn es 4 Wichtel gibt, wie konnen sie es schaffen, mind. 3 Geschenke zu erhalten? (Hin-weis: Die Strategie ist sehr ahnlich zu der von 3 Wichteln.)

4. Wenn es n Wichtel gibt, wie viele Geschenke konnen sie mind. erhalten?

5. Wenn es nun außerdem schwarze Mutzen gibt. Wie viele Mutzen konnen 2, 3, . . . Wichtelmit Sicherheit richtig erraten?

6. Lasst sich die Strategie auch fur 4, 5, . . . Farben erweitern?

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MSG Zirkel 7b 9. Januar 2017

Losung

zu 1. Der letzte Wichtel kann unmoglich seine Farbe wissen. Er kann also einfach raten oderaber dem Wichtel vor ihm seine Farbe verraten. In diesem Fall konnen wir garantieren,dass der erste Wichtel ein Geschenk holt. Der zweite holt nur eines, falls sie die gleicheFarbe tragen.

zu 2. Mit der Strategie von eben, konnen die Wichtel ohne Probleme ein Geschenk erhalten,aber geht es auch besser? Die Strategie dazu entwickeln wir, indem wir annehmen, dass esgeht:

Nun mussen fur den zweiten Wichtel folgende Situationen unterscheidbar sein:

3. Wichtel 2. Wichtel 1. Wichtel? r w? w w

und? r r? w r

. Außerdem mussen fur den ersten Wichtel? r r? r w

und? w r? w w

unterscheidbar sein. Wenn jetzt z.B. der 3. Wichtel die Situation ? r r mit rot codiert,

dann bleibt uns keine andere Wahl als

?(r) r r?(w) w r?(r) w w?(w) r w

, dabei steht in den Klammern, was

der erste Wichtel”rat“. Spatestens jetzt konnen wir sehen, dass der dritte Wichtel lediglich

codiert, ob die beiden Wichtel die gleiche Farbe aufhaben oder nicht. Da der zweite Wichteldie Farbe seines Vordermanns kennt, reicht ihm das. Der erste Wichtel weiß nachdem derzweite seine Farbe gesagt hat, auch seine Farbe.

zu 3. Hier gibt es verschiedene Moglichkeiten auf die Losung zu kommen. Der 4. Wichtel kannz.B. sagen, mit welcher Farbe der 3. Wichtel codieren soll, wenn die beiden vor ihm dasgleiche aufhaben. Man kann sich auch wie eben eine Tabelle basteln und sie langsamausfullen.

zu 4. Jetzt wird es langsam etwas komplizierter. Naturlich konnen wir wieder eine Tabelleausfullen, aber jetzt kann der letzte Wichtel 2n−1 verschiedene Mutzenkonstellationen se-hen. Wenn wir uns also jeden Fall einzeln uberlegen, dauert das ziemlich lange.

Vlt. zahlen wir einfach die Anzahl der roten Mutzen. Wie kann man diese Anzahl sinnvollcodieren? Der vorletzte sieht fast genauso viele rote Mutzen, aber falls er selber eine roteaufhat eine weniger. Es reicht also, ihm zu sagen, ob die Anzahl gerade ist oder nicht. Jederkann sich damit nun seine eigene Mutzenfarbe berechnen.

Beispiel: Angenommen ich bin ein Wichtel und stehe in der Reihe und ich weiß, dass derletzte Wichtel ein gerade Anzahl von roten Mutzen gesehen hat. Ich zahle nun alle rotenMutzen, bis auf die des letzten Wichtel. Alle, die ich nicht sehen kann, kenne ich, denn siehaben ja bereits geraten. Habe ich insgesamt eine gerade Anzahl, habe ich wohl weiß aufdem Kopf. Wenn die Anzahl ungerade ist, dann habe ich wohl rot auf dem Kopf.

zu 5. Jetzt wir alles deutlich komplizierter. Mit zwei Wichteln geht unsere alte Methode noch:Der zweite sagt einfach dem ersten die Farbe. Wie geht es jetzt aber mit dreien? Es reichtnicht mehr, nur die roten Mutzen zusammen zu zahlen, aber zum Gluck kann der letzte

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MSG Zirkel 7b 9. Januar 2017

Wichtel auch etwas bisser unterscheiden. Vielleicht hilft es, wenn wir die Farben einfach0, 1, 2 nennen und uns mal die Summen anschauen?

? 0 0∑

= 0? 0 1

∑= 1

? 0 2∑

= 2? 1 0

∑= 1

? 1 1∑

= 2? 1 2

∑= 3

? 2 0∑

= 2? 2 1

∑= 3

? 2 2∑

= 4

Wenn man etwas genauer hinschaut, stellen wir fest, dass zwar einige Summen doppeltvorkommen, aber der zweite Wichtel zwischen den Situationen unterscheiden kann. Wenner z.B. eine zwei hort, dann schaut er, welche Zahl vor ihm ist. Zusammen mit seiner Zahlsollte das dann 2 ergeben.

Um die Summen angeben zu konnen musste der Wichtel hinten nun aber 5 Dinge sagendurfen, er kann aber nur 3 Sachen sagen. Wie kann man nun geschickt zusammen fassen?Es gibt insgesamt 9 Situationen, also ist es sinnvoll diese in jeweils 3 zu unterscheiden,so dass der zweite Wichtel anhand der Mutze vor ihm, dann zwischen diesen Situationenwieder unterscheidet. Hier ist es sinnvoll den Fall

∑= 2 alleine zu lassen und dann

∑= 0

und∑

= 3 sowie∑

= 1 und∑

= 4 zusammen zu fassen.

Interessanterweise fassen wir jeweils die Falle zusammen, die Abstand drei haben. Warum?Wenn wir genau hinschauen, haben wir das mit zwei Farben auch schon so gemacht, nurist die Unterscheidung in gerade/ungerade sehr vertraut.

zu 6. Wie man mit bei beliebig vielen Farben vorgehen kann, werden wir in ein paar Wochenverstehen.

2.2 Schreibweisen

Manchmal ist es sinnvoll eine Aufgabe nicht in ihrer ganzen Komplexitat zu betrachten, sondernin wenige Falle zu unterscheiden. Z.B. bei der Frage, ob es m,n ∈ N gibt, die folgende Gleichungerfullen:

m2 +m = 2n− 1.

Bei dieser (recht einfachen) Aufgabe, kann man mal ein paar Werte fur m einsetzen:

m m2 +m0 01 22 63 124 205 30

Wir vermuten, dass m2 + m immer gerade ist, dagegen ist aber 2n − 1 immer ungerade. Wiekonnen wir zeigen, dass das stimmt? Bislang kennen wir die Methode Induktion, die hier moglich,

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MSG Zirkel 7b 9. Januar 2017

aber recht aufwendig ist. Wir konnen uns aber auch uberlegen, wie rechnen mit ungerade/geradefunktioniert:

+ gerade ungeradegerade gerade ungerade

ungerade ungerade gerade

∗ gerade ungeradegerade gerade gerade

ungerade gerade ungerade.

Mit diesen”Rechenregeln“, konnen wir schnell uberprufen, dass die Aufgabe oben gar keine

Losung haben kann. Erinnern wir uns an die Wichtel und nennen gerade 0 und ungerade 1.Dann sind alle Regeln klar, bis auf 1 + 1 = 0.

Definition (Restklasse). Seien n ∈ N und a, b ∈ Z. Dann sagen wir a ist kongruent zu b modulon

a ≡ b mod n

wenn es ein k ∈ Z gibt mit a = b+ k · n.

D.h. a = b+ n+ n+ · · ·+ n oder a+ n+ n+ · · ·+ n = b.

Meist verwenden wir eine Zahl zwischen 0 und n− 1, um eine Restklasse zu representieren.

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MSG Zirkel 7b 16. Januar 2017

Satz 2.1. Sei n ∈ N und a, b, c ∈ Z. Dann gilt:

(i)a ≡ b mod n⇔ a+ c ≡ b+ c mod n

(ii)a ≡ b mod n⇒ a · c ≡ b · c mod n

D.h. multiplizieren und addieren funktioniert auch auf Restklassen und zwar wie wir es erwarten.

Vorsicht: Die zweite Regel lasst sich i.A. nicht umkehren: Aus 2 · 2 ≡ 2 · 0 mod 4 folgt nicht2 ≡ 0 mod 4.

(Normalerweise kennen wir, dass aus a ·b = 0 folgt, dass a oder b null ist, bzw. dass aus a ·b = c ·bund b 6= 0 folgt, dass a = c.)

Beweis. (i)”⇒ “Sei a ≡ b mod n. D.h. es gibt ein k ∈ Z, so dass a = b+ k ·n. Dann gilt aber

a+ c = b+ c+ k · n, also a+ c ≡ b+ c mod n.

”⇐ “Sei a+ c ≡ b+ c mod n. Dann existiert ein k ∈ Z, so dass a+ c = b+ c+ k · n. Dann

folgt a = b+ k · n, also a ≡ b mod n.

(ii)”⇒ “Sei a ≡ b mod n. D.h. es gibt ein k ∈ Z, so dass a = b + k · n. Dann gilt abera · c = (b+ k · n)c = bc+ (k · c) · n, also a · c ≡ b · c mod n.

Beispiel 2.2. Wir schauen uns an, wie man die Restklassenrechnung modulo 3 funktioniert:

+ mod 3 0 1 20 0 1 21 1 2 02 2 0 1

· mod 3 0 1 20 0 0 01 0 1 22 0 1 2.

Damit wird folgende Olympiadenaufgabe (aus der 13. Klasse) deutlich leichter:

411312 Man ermittle alle positiven ganzen Zahlen n, fur die

n3 + 4n − n− 1

eine Primzahl ist.

Losung: Nachdem wir 0, 1 und 2 eingesetzt haben, stellen wir fest, dass n3 ≡ n mod 3. Vierist kongruent zu 1 modulo 3 und wir haben gesehen, dass man auch zuerst in eine andereRestklasse wechseln und dann multiplizieren kann, also 4n ≡ 1n ≡ 1 mod 3. Damit ist derTerm n3 + 4n − n − 1 ≡ 0 mod 3, also immer durch drei teilbar. Damit er also eine Primzahlist, muss er 3 sein. Das ist bei n = 1 der Fall. Nun ist man fast fertig. Eine Uberlegung die jetztnoch fehlt: Falls n mindestens zwei ist gilt n3 − n = n2(n− 1) ≥ 2. Weiter gilt 4n − 1 ≥ 3, alsoist der Ausdruck dann auch wirklich groser drei und kann keine Primzahl mehr werden.

2.3 Quersumme

Wir sortieren viele Zahlen in ihre Restklassen modulo 9. Z.B. ist 51 ≡ 6 mod 9. Wir vermuten,dass es genugt fur diese Vermutung die Quersumme auszurechnen, dass also:

23

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MSG Zirkel 7b 16. Januar 2017

Satz 2.3 (Quersummenregel).

e0 + 10e1 + 100e2 + · · ·+ 10nen ≡ e0 + e1 + e2 + e3 + · · ·+ en mod 9

gilt, dabei ist e0 die letzte Ziffer der Zahl. e1 die vorletzte Ziffer usw.

Beweis. Das ganze beweist man induktiv: Induktionsanfang: Klar gilt fur eine einstellige Zahl:e0 ≡ e0 mod 9.

Induktionsschritt: Nehmen wir an, dass das fur alle n-ziffrigen Zahlen gilt: Also

e0 + 10e1 + 100e2 + · · ·+ 10n−1en−1 ≡ e0 + e1 + · · ·+ en−1 mod 9.

Jetzt betrachen wir einmal nur den Term der dazu kommt, namlich 10nen. Wir sehen schnell,dass 10 ≡ 1 mod 9 gilt. Also

10nen ≡ 1nen ≡ en mod 9.

Damit sind wir fertig:

e0 +10e1 +100e2 + · · ·+10nen ≡I.A.

e0 +e1 + · · ·+en−1 +10nen ≡ e0 +e1 + · · ·+en−1 +en mod 9

Beispiel 2.4.

8537 · 2457 ≡ (8 · 1000 + 5 · 100 + 3 · 10 + 7) · (2 · 1000 + 4 · 100 + 5 · 10 + 7) mod 9

≡ (8 · 10 · 10 · 10 + 5 · 10 · 10 + 3 · 10 + 7) · (2 · 10 · 10 · 10 + 4 · 10 · 10 + 5 · 10 + 7) mod 9

≡ (8 · 1 · 1 · 1 + 5 · 1 · 1 + 3 · 1 + 7) · (2 · 1 · 1 · 1 + 4 · 1 · 1 + 5 · 1 + 7) mod 9

≡ (8 + 5 + 3 + 7) · (2 + 4 + 5 + 7) mod 9

≡ (23) · (18) ≡ (2 · 10 + 3) · (1 · 10 + 8) mod 9

≡ 5 · 9 ≡ 45 ≡ 4 · 10 + 5 ≡ 0 mod 9

Damit ist dieses ganze große Produkt durch 9 teilbar. Wir konnen auch sehr leicht feststellen,welchen Rest große Zahlen bei der Teilung durch 9 lassen.

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23. Januar 20176. Februar 2017

2.4 Ubungsaufgaben

Nachfolgend findet ihr ein paar Ubungsaufgaben. Versucht moglichst viele zu bearbeiten. Alleineoder auch zu zweit.

1. Unterteile folgende Zahlen in Klassen modulo 9:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 101000, 81000, 51041230 · 2390121398, 1717, 213123112311 · 123123 · 1231413

Wir haben gesehen, dass wir einfach Stuck fur Stuck die Quersummen berechnen konnen.Ist uns eine Zahl zu groß wiederholen wir das.Bei 101000 stellt man fest, dass 10 ≡ 1 mod 9 ist. Damit ist

10 ∗ 10 ∗ 10 ∗ · · · ∗ 10 ≡ 1 ∗ 1 ∗ 1 ∗ · · · ∗ 1 ≡ 1 mod 9.

Bei 81000 stellt man fest, dass 8 ∗ 8 ≡ 1 mod 9 ist. Damit kann man die tausendFaktoren in Gruppen von je zwei unterteilen, so dass 81000 ≡ 1 mod 9, dagegen ist z.B.81001 ≡ 8 mod 9.

2. Unterteile folgende Zahlen in Klassen modulo 3, 6 und 7 und 11:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 50, 100, 245, 56 · 98, 17 · 39, 123456789, 69402, 79323 · 235634

(Hinweis: Es kann hilfreich sein zuerst (10, 100, 1000, . . . zu bestimmen).

Modulo 3 funktioniert wie bei der 9, nur das man noch mehr Falle zusammenfassenmuss.Mit etwas uberlegen stellt man fest, dass man fur modulo 6 nur wissen muss, welcherRestklasse sie mod 3 angehort und ob sie gerade ist. Z.B. hat eine Zahl die ungeradeist und bei der Teilung durch 3 den Rest 2 lasst, mit Rest 5 durch 6 teilbar.Bei der 7 gibt es fast gar keine Tricks. Man kann halt uberlegen, dass uberlegen, dass10 ≡ 3 mod 7 und 100 ≡ 2 mod 7 gilt, also dann

456 ≡ 4 ∗ 2 + 5 ∗ 3 + 6 mod 7.

Die Uberlegung die bei der Teilung modulo 7 nicht sehr fruchtbar ist, bringt dagegenbei 11 viel mehr. Wir stellen fest, dass 10 ≡ −1 mod 11, 100 ≡ 1 mod 11, 1000 ≡ −1mod 11 usw., also

12345678 ≡ 8− 7 + 6− 5 + 4− 3 + 2− 1 mod 11.

Mit Induktion kann man jetzt leicht die alternierende Quersummenregel beweisen.

3. Versuche folgende Teilbarkeitsregel fur die 7 zu zeigen: Eine Zahl ist genau dann durch 7teilbar, wenn die Zahl durch 7 teilbar ist, die entsteht wenn man die letzte Ziffer weglasstund dann zweimal die letzte Ziffer abzieht. Z.B. ist 123456789 genau dann durch 7 teilbar,wenn 12345678− 2 · 9 es ist.

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Wenn x die Zahl ohne letzte Ziffer ist und y die letzte Ziffer, dann ist die Zahl 10x+ y.Wir wollen also zeigen:

10x+ y ≡ 0 mod 7 x− 2y ≡ 0 mod 7.

Warum brauchen wir beide Richtung? Wenn wir die Regel anwenden und feststellen,dass x − 2y durch 7 teilbar ist, wollen wir wissen, dass dann auch die (großere) Zahl10x + y durch 7 teilbar ist. Anderseits wollen wir wissen, dass wenn wir bei x − 2yfeststellen, dass sie nicht durch 7 teilbar ist, dass dann auch unsere ursprungliche Zahlnicht durch 7 teilbar war.

Beweis. Angenommen es gilt x − 2y ≡ 0 mod 7. Wie kommen wir jetzt auf 10x + y?Wir konnen ja mal versuchen die Gleichung mal 10 zu nehmen. Bevor wir das machen,ersetzen wir noch −2y durch 5y, da der Abstand zwischen beiden 7y ist geht das.

x− 2y ≡ 0 mod 7

⇒ x+ 5y ≡ 0 mod 7

⇒ 10x+ 50y ≡ 0 mod 7

⇒ 10x+ 1y ≡ 0 mod 7.

Damit haben wir die eine Richtung. Sei nun 10x + y ≡ 0 mod 7 gegeben. Das ist dasgleiche wie 3x+y ≡ 0 mod 7. Wenn wir nun mal funf nehmen erhalten wir 15x+5y ≡ 0mod 7 und das ist das selbe wie x− 2y ≡ 0 mod 7.

Achtung: Man darf bei Restklassenrechnung zwar Gleichungen auf beiden Seiten multi-plizieren (wie wir vorher gesehen haben), aber nicht dividieren. Bei der 7 geht tatsachlichbeides, aber die Gleichung 2 ∗ x ≡ 2 ∗ y mod 4, darf ich nicht durch 2 dividieren, z.B.fur x = 2 und y = 4 stimmt sie sonst nicht mehr.Trick: Wir konnen oft anstelle der Division auch multiplizieren. Z.B. ist 4 ∗ 2 ≡ 1mod 7. Wenn wir also eine Gleichung durch 4 dividieren wollen, konnen wir einfach mit2 multiplizieren, das durfen wir.

4. Versuche die Teilbarkeitsregel fur die 11 zu zeigen. Alternierende Quersumme:

z0 + 10z1 + 100z2 + 1000z3 + · · ·+ 10nzn ≡ z0 − z1 + z2 − . . . mod 11

(Versucht die Regel erstmal fur kleinere Zahlen zu beweisen, z.B. 3-stellig, 4-stellig usw.)

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Beweis. Oben haben wir am Beispiel gesehen, wie es geht. Dort sind alle wesentlichenUberlegungen eines beweisen enhalten. Den richtigen Beweis, konenn wir z.B. mit Sum-menschreibweise leisten. Die Zahl z mit den Ziffern z2n+1, z2n, . . . , z1, z0 ist gegebendurch

z = z0 + 10z1 + 100z2 + · · ·+ 102n+1z2n+1 =

n∑i=0

102i (z2i + 10z2i+1) .

Falls die Zahl keine gerade Anzahl von Ziffern hatte, erganzen wir einfach vorne eine 0,die Zahl bleibt die gleiche. Nun wenden wir unsere Beobachtung an, dass +10 modulo11 das gleich ist wie −1. Außerdem ist 102 ≡ 1 mod 11. Wenn wir also eine geradeAnzahl von 10nen multiplizieren ist das kongruent zu 1.

z =

n∑i=0

102i (z2i + 10z2i+1) ≡n∑

i=0

1 · (z2i − z2i+1) mod 11

= z0 − z1 + z2 − · · ·+ z2n − z2n+1

5. Warum ist n3 + 6n2 + 14n durch drei teilbar?

Beweis. Das schone ist, dass es bei der Teilung durch 3 nur drei Falle gibt:n ≡ 0 mod 3: In diesem Fall gilt:

n3 + 6n2 + 14n ≡ 03 + 6 · 02 + 0 ≡ 0 mod 3.

n ≡ 1 mod 3: In diesem Fall gilt:

n3 + 6n2 + 14n ≡ 13 + 6 · 12 + 14 ≡ 0 mod 3.

n ≡ 2 mod 3: In diesem Fall gilt:

n3 + 6n2 + 14n ≡ 23 + 6 · 22 + 28 ≡ 0 mod 3.

6. Fur welche Zahlen c folgt aus a · c ≡ b · c mod 6, dass a ≡ b mod 6 ist?

Nehmen wir an, wir finden d, so dass d · c ≡ 1 mod 6 gilt, dann gilt:

a · c ≡ b · c mod 6

⇒ a · c · d ≡ b · c · d mod 6

⇒ a · 1 ≡ b · 1 mod 6.

Das gilt also insbesondere fur c = 1 (dann d = 1) und c = 5 (dann d = 5). Fur alleanderen Zahlen gilt dies nicht. Hier ein zwei Beispiele: c = 2 oder c = 4, a = 3, b = 6und c = 3, a = 1, b = 5.

7. Auf welche Ziffer endet 20172017?

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Beweis. Die Frage was die letzte Ziffer ist, ist die Frage nach dem Rest bei der Teilungdurch 10. Also konnen wir zunacht anstelle von 20172017 einfach 72017 betrachten. Nunmussen wir noch ein wenig rechnen:

70 = 1 ≡ 1 mod 10

71 = 7 ≡ 7 mod 10

72 = 49 ≡ 9 mod 10

73 ≡ 9 · 7 ≡ 3 mod 10

74 ≡ 3 · 7 ≡ 1 mod 10

75 ≡ 1 · 7 ≡ 7 mod 10

Wir stellen fest, dass jeweils jede 4-te Potenz gleich ist. Also 72017 ≡ 72013 mod 10usw. Nun ist also die Frage, welchen Rest 2017 bei der Teilung durch 4 lasst, das ist 1,also

20172017 ≡ 72017 ≡ 71 ≡ 7 mod 10.

8. Beweise, dass fur ganze Zahlen x und y nie

19x3 − 17y3 = 50

gilt. (Hinweis: Bei solchen Aufgaben ist es nur sinnvoll, den Rest bzgl. einer Primzahl zubetrachen. In diesem Fall tut es Rest modulo 19.)

9. Was sind Quadratzahlen modulo 8, also Zahlen b fur die eine Zahl a existiert, so dass a2 = bmod 8 gilt.

10. Beweis: In einem pythagoreischen Tripel a, b, c, so dass a2+b2 = c2 ist stets a oder b gerade.(Hinweis: modulo 2 ist nicht genau genug, was ist etwas praziser?)

11. Zeige: Aus a ≡ b mod n folgt a2 ≡ b2 mod n.

Wir wissen, dass wir Gleichungen multiplizieren durfen:

a ≡ b mod n

⇒ a · a ≡ a · b mod n

Außerdem:

a ≡ b mod n

⇒ b · a ≡ b · b mod n

Fassen wir beide Rechnungen zusammen haben wir das Resultat.

12. Finde ein Beispiel, so dass a2 ≡ b2 mod n gilt, aber nicht a ≡ b mod n. Findest Du einGegenbeispiel fur mehrere/beliebige n?

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Fur n = 2 gibt es tatsachlich kein Gegenbeispiel. Fur großere n konnen wir aber imPrinzip nutzen, dass 1 · 1 = (−1) · (−1) gilt, aber nicht 1 = −1 (jedoch ist 1 ≡ −1mod 2).Wir sehen also das fur n > 2 gilt, dass 1 6≡ n − 1 mod n (die beien Zahlen sind nichtkongruent). Jedoch ist:

(n− 1) · (n− 1) = n · (n− 1) + (n− 1) = n2 − 2n+ 1 ≡ 1 ≡ 1 · 1 mod n.

13. Die Wichtelaufgabe: Erinnerst Du Dich an die Wichtelaufgabe vom Anfang? Versuche diesefur beliebig viele Farben zu losen. Wir kodieren die Farben mit 0, 1, . . . . Nun kann der letzteWichtel die Summe aller Mutzen bilden. Wie hilft ihm das weiter?

Der letzte Wichtel darf ja nicht die Summe aler Mutzen verraten, sondern nur eine Farbeder Mutzen oder eine Zahl von 0 bis k− 1, wobei k die Anzahl der Mutzen ist. Was sollder Wichtel aber nun machen, wenn er 2k + 3 gezahlt hat? Wir benutzten das einzigeInstrument, dass wir kennen, der Wichtel gibt einfach an, in welcher Restklasse wir unsbefinden. Jeder Wichtel kann nun selbst diese Summe bilden abzuglich seiner eigenenMutze, denn er hort bzw. sieht alle anderen Mutzenfarben. Er zahlt also eine Zahl aund weiß das zusammen mit seiner Mutze b gelten so, a + b ≡ c mod k, wobei c dasist, was der letzte Wichtel gezahlt hat. Wenn wir in dieser Gleichung sowohl a als auchc kennen, dann wissen wir b ≡ c − a mod k. Das gibt uns zwar keine eindeutige Zahl,aber schon eine eindeutige Zahl zwischen 0 und k − 1.

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3 Spieltheorie

3.1 Streichholzspiele (Nim)

1. Spiel. Gegeben n Streichholzer. Zwei Spieler nehmen abwechselnd ein oder zwei Holzer. Werkeines mehr nehmen kann hat das Spiel gewonnen.

Behauptung:

n ≡ 0 mod 3: Der zweite Spieler hat eine Gewinnstrategie (d.h. er kann den Gewinn erzwingen).

n 6≡ 0 mod 3: Der erste Spieler hat eine Gewinnstrategie.

Beweis. Beweis durch Induktion: Die Falle n = 0 und n = 1 sind klar. Induktionsschritt: Ange-nommen die Behauptung gilt fur n− 1 und n− 2.

n ≡ 0 mod 3: Der Spieler der dran ist kann eines oder zwei Holzer nehmen. Aber n− 1 6≡ 0 mod 3 undn− 2 6≡ 0 mod 3, d.h. der andere Spieler kann nach Induktionsbehauptung gewinnen.

n 6≡ 0 mod 3: Falls n ≡ 1 mod 3 nimmt der Spieler ein Holz, sonst 2. Danach ist eine durch drei teil-bare Anzahl von Holzern ubrig, nach Induktionsbehauptung kann also der erste Spielergewinnen.

2. Spiel. Wie zuvor, nur konnen die Spieler 1, 2 oder 3 Holzer nehmen.

Ahnlich wie eben, kann man den Zug des Gegenspielers auf 4 erganzen. Also hat man verloren,falls n ≡ 0 mod 4, sonst kann man gewinnen.

3. Spiel. Nun durfen die Spieler 2, 3 oder 4 Holzer nehmen.

Wenn wir einmal eine Strategie haben, ist sie wieder einfach zu beweisen. Wie erhalten wirallerdings eine Strategie? Dazu fullen wir in eine Tabelle ein, bei wie vielen Holzern man gewinntund wann verliert. Zunachst verliert man, wenn man dran ist und nur 0 oder 1 Holz ubrig sind:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18V V

Jetzt kann man sich uberlegen, wie man ziehen kann, so dass der nachste Spieler verliert. Dasgeht nun zunachst bei 2, 3, 4 oder 5:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18V V G G G G

Nun sieht man, dass man bei 6 und 7 keine Wahl hat, als den Gegener gewinnen zu lassen:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18V V G G G G V V

So fahrt man fort bis man genug eintrage hat, um eine Regel zu erkennen:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18V V G G G G V V G G G G V V G G G G V

Die Regel, die man jetzt schnell beweisen kann lautet: Bei n ≡ 0 mod 6 oder n ≡ 1 mod 6 kannder zweite Spieler gewinnen, sonst der erste. (Strategie: Auf 6 auffullen.)

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MSG Zirkel 7b 27. Februar 2017

4. Spiel. Nun durfen die Spieler 2, 3 oder 5 Holzer nehmen. Man erhalt dann folgende Tabelle:

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18V V G G G G G V V G G G G G V V G G G

Hier kann man also bei 0, 1 mod 7 gewinnen sonst verlieren. (Das muss man naturlich auchzweigen).

Hausaufgabe: 5. Spiel. Nun gibt es zwei Stapel Streichholzer. Beide Spieler nehmen abwech-selnd 3 Holzer und zwar von jedem Stapel mind. eines. Also entweder 1 Holz vom ersten Stapelund zwei vom zweiten Stapel oder andersherum. Wer gewinnnt nun?

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MSG Zirkel 7b 6. Marz 2017

”Schach“ Zwei Spieler spielen auf einem Schachbrett mit einem Pferd. Beide ziehen abwechselnd

das gleiche Pferd, wobei sie es nicht nach unten oder links bewegen durfen. Wer kann gewinnen?

Losung Wieder einmal hilft uns eine Tabelle weiter, diesmal ist sie allerdings 2-dimensional, wirtragen also in jedes Schachfeld ein, ob der Startspieler hier gewinnen kann oder ob er (mit gutemGegener) verliert:

VVVVVVVV

V

V

V

V

V

V

VV

VVVVVVVV

V

V

V

V

V

V

VV

G G G G G G G

G G G G G G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

VVVVVVVV

V

V

V

V

V

V

VV

G G G G G G G

G G G G G G

G

G

G

G

G

G

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G

V V V V V

V

V

V

V

V

V

VVVVVVVV

V

V

V

V

V

V

VV

G G G G G G G

G G G G G G

G

G

G

G

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G

G

V V V V V

V

V

V

V

V

VG G G

G G G G

G

G

G

G

VVVVVVVV

V

V

V

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V

VV

G G G G G G G

G G G G G G

G

G

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G

G

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G

G

G

G

V V V V V

V

V

V

V

V

VG G G

G G G G

G

G

G

G

V

V

V

V

Nach einigem Nachdenken, erkennen wir den Zusammenhang mit unserer Hausaufgabe: Mankann mit dem Schachbrett die Situation in unserem Streichholzspiel festhalten und mit denZeilen bzw. Spalten die Anzahl der Holzer auf dem einen bzw. anderen Stapel codieren:

VVVVVVVV

V

V

V

V

V

V

VV

G G G G G G G

G G G G G G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

G

V V V V V

V

V

V

V

V

VG G G

G G G G

G

G

G

G

V

V

V

V

7 6 5 4 3 2 1 0

7

6

5

4

3

2

1

0

Wir beobachten folgende Regel fur das Spiel, die man noch beweisen konnte:

Seien auf dem ersten Stapel x und auf dem anderen Stapel y Holzer und die Differenz |x−y| = n.Falls n = 1 oder n ≡ 0 mod 3 kann der zweite Spieler gewinnen, sonst der Startspieler.

Weitere Aufgaben. Das”Schachfeld“ kann man noch fur weitere Aufgaben verwenden, um

eine Losungsstrategie zu entwickeln:

1. Zwei Spieler ziehen den Turm nach obigen Regeln.

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MSG Zirkel 7b 6. Marz 2017

2. Zwei Spieler ziehen die Dame nach obigen Regeln.

3. Zwei Spieler nehmen jeweils 1− 2 Holzer von einem von zwei Streichholzstapeln.

4. Zwei Spieler nehmen jeweils 1− 3 Holzer von einem von zwei Streichholzstapeln.

5. Zwei Spieler nehmen jeweils 1− 4 Holzer von einem von zwei Streichholzstapeln.

Interessant sind vielleicht die letzten 3 Aufgaben, denn hier kann man die Falle durch die Rest-klassen klassifizieren.

Beispiel 3.1. Gegeben 3 Stapel mit Streichholzern. Jeder Spieler darf 1 − 2 Streichholzer voneinem Stapel nehmen, wer keines mehr nehmen kann hat verloren. Wir werden die Falle mod 3unterscheiden, dabei bezeichnen wir mit 0, 1, 2 mod 3 den Fall, wo auf einem Stapel 0 mod 3,auf dem nachsten Stapel 1 mod 3 und auf dem letzten 2 mod 3 liegen. Die Reihenfolge derStapel hat offensichtlich keine Bedeutung. Wir gehen die Falle in der Reihenfolge durch, in derwir eine Gewinnstrategie sehen:

Fall 0, 0, 0 mod 3: Entweder alle Stapel sind sowieso leer, dann hat man verloren, oder mankann 1− 2 Holzer von einem Stapel nehmen. Der Gegenspieler kann dann aber so nehmen, dassinsgesamt 3 Holzer von dem Stapel genommen wurden. So wiederholt sich der Fall bis irgendwannalle Stapel leer sind. Hier hat also der zweite Spieler eine Gewinnstrategie. (V)

Fall 1, 0, 0 mod 3: Nimmt man ein Holz vom ersten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 0, 0, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (Auf der ersten Stapel liegtmind. ein Holz, der Zug ist also moglich!) (G)

Fall 2, 0, 0 mod 3: Nimmt man zwei Holzer vom ersten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 0, 0, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (G)

Fall 1, 1, 0 mod 4: Nimmt man vom letzten Stapel ein bzw. zwei Holzer, so kann der Gegner zweibzw. ein Holz nehmen und wir sind wieder in diesem Fall, das ist aber nur so lange moglich, bisder letzte Stapel leer ist. Nimmt man von einem der ersten Stapel ein Holz, kann der Gegner vondem anderen Stapel ein Holz nehmen, so dass man wieder mit dem Fall 0, 0, 0 mod 3 dran ist, indem der Gegner ja eine Gewinnstrategie hat. Evtl. liegen auch auf einem der ersten beiden Stapelmehrere Holzer, dann kann man zwei nehmen, aber der Gegner kann dann naturlich wieder einsvom gleichen Stapel und die Situation wiederholt sich, bis nur noch ein Holz da liegt. Insgesamtsehen wir, dass hier der zweite Spieler eine Gewinnstrategie hat. (V)

Fall 2, 1, 0 mod 3: Nimmt man ein Holz vom ersten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 1, 1, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (G)

Fall 1, 1, 1 mod 3: Nimmt man ein Holz vom ersten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 1, 1, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (G)

Fall 2, 1, 1 mod 3: Nimmt man zwei Holzer vom letzten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 1, 1, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (G)

Fall 2, 2, 0 mod 4: Nimmt man vom letzten Stapel ein bzw. zwei Holzer, so kann der Gegner zweibzw. ein Holz nehmen und wir sind wieder in diesem Fall, das ist aber nur so lange moglich, bis derletzte Stapel leer ist. Nimmt man vom ersten Stapel ein bzw. zwei Holzer, kann der Gegenspielervom zweiten Stapel ein bzw. zwei Holzer nehmen, so dass man im Fall 1, 1, 0 mod 3 bzw. 0, 0, 0mod 3 ist. Also hat der zweite Spieler eine Gewinnstrategie. (V)

Fall 2, 2, 1 mod 3: Nimmt man ein Holz vom letzten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 2, 2, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (G)

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MSG Zirkel 7b 6. Marz 2017

Fall 2, 2, 2 mod 3:Nimmt man zwei Holzer vom letzten Stapel ist der Gegenspieler im Fall 2, 2, 0mod 3. Entsprechend hat der erste Spieler eine Gewinnstrategie. (G)

Mehr Falle gibt es nicht. Alle Spiele von diesem Typ lassen sich so relativ leicht analysieren.

3.2 Gefangenendilemma

Angenommen zwei Menschen haben einen Raububerfall begangen, man kann es ihnen aber nichtnachweisen. Allerdings kann man ihnen zumindest illegalen Waffenbesitz vorwerfen. Nun verhortman die beiden und stellt sie vor die Wahl, ob sie die Tat gestehen oder schweigen. Sie wissen beidenicht, wie sich der andere entscheidet, aber sie wissen, dass die Haftzeiten wie folgt berechnetwerden:

Beide gestehen: 4 Jahre Haft fur beide.

Beide schweigen: 2 Jahre Haft fur beide.

Einer gesteht, der andere schweigt: Der Gestandige wird zur Belohnung frei gelassen, der anderemuss allerdings 5 Jahre ins Gefagnis.

Hausaufgabe: Wie werden sich die beiden Gefangenen entscheiden und warum?

Traurig aber wahr: Die beiden Gefangenen werden sich wohl fur dazu entscheiden zu reden,auch wenn es fur sei beide besser ware, wenn sie schweigen wurden. Der Grund: Schweigt derandere, ist es besser fur einen zu reden. Redet der andere, dann auch:

reden schweigenreden 4 | 4 0 | 5

schweigen 5 | 0 2 | 2Wenn man sich die Tabelle anschaut, sieht man, dass es fur den ersten Gefangenen in beidenFallen besser ist, die obere Zeile zu wahlen. Gleichermaßen ist es fur den zweiten Gefangenin beiden Fallen besser, sich fur die linke Spalte zu entscheiden.

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Jonathan Kliemverschiedene Spiele MSG Zirkel 7b

13. Marz 201720. Marz 2017

3.3 Einige Spiele

Spiel 3.2 (SOS, 2 Spieler). Gegeben n Felder in einer Reihe. Die Spieler schreiben abwechselndentweder O oder S in eines der Felder. Schreibt ein Spieler den letzten Buchstaben der FolgeSOS, gewinnt er (die Folge muss in unmittelbar hintereinander folgenden Feldern eingetragensein).

1. Spielt dieses Spiel einige Male.

2. Angenommen n = 4 und im ersten Feld steht bereits S, wer kann gewinnen und wie?

3. Angenommen n = 7. Wer kann gewinnen? (Nutzt die Losung aus (2.))

4. Wer kann gewinnen, falls die Reihe mind. 7 Felder enthalt?

zu 2. Hier kann der erste Spieler gewinnen, indem er in das letzte Feld S eintragt:S S Egal was der andere Spieler eintragt. Der erste Spieler kann nun das

Wort SOS erzeugen, indem er den jeweils anderen Buchstaben eintragt.zu 3. Tragt der erste Spieler ein S in die Mitte, kann er eine Falle wie in 2. bauen (der zweite

Spieler kann ja nur links oder rechts einen Buchstaben eintragen). Damit hat derjenigeverloren, der einen Buchstaben in unsere Falle schreiben muss: S S ? ? ?Falls das Spiel nicht vorher vorbei ist, muss dann der zweite Spieler zuerst einen Buch-staben in die Falle eintragen und der erste gewinnt. Auch falls es zwei Fallen gebensollte, also der zweite Spieler in seinem ersten Spielzug eine Falle baut, muss der zweiteSpieler zuerst in die Falle schreiben, da mit jeder Falle genau zwei Felder

”wegfallen “.

Es bleibt zu uberprufen, dass es keine andere Form von Falle in diesem Spiel gebenkann: Fur jeden Buchstaben ist nur relevant, was zwei Felder links und rechts davonsteht. Wann konnen wir keine O eintragen? Antwort: Wenn links oder rechts davon einS steht und der das Feld auf der andere Seite noch frei ist: ? S X ? (Mit Xist das Feld markiert, in welches wir eintragen wollen. In diesem Fall mussen wir eine Seintragen. Der Gegner nur dann das Spiel gewinnen, falls außserdem zwei Felder entferntein S steht und das Feld dazwischen noch frei ist: ? S X S Das ist genau dieFalle, die wir bereits kennen.

zu 4. Dies ist etwas schwieriger. Schnell sieht man, dass der erste Spieler immer eine Fallebauen kann. Das ist aber nur sinnvoll, wenn n ungerade ist, ansonsten muss ja er zuerstin die Falle treten. Also versucht er, wenn n gerade ist, eine Falle zu verhindern. Ambesten geht das, indem er ein O in die Mitte schreibt (mit einem S kann der andereSpieler ja sofort eine Falle bauen). Tatsachlich hilft ihm diese Strategie bei n ≤ 14. Abn = 16 hilft sie nicht mehr. Dann bleibt genugend Platz fur den zweiten Spieler eineFalle zu garantieren.

Spiel 3.3 (Piratenschatz, 5 Spieler). 5 Piraten teilen 100 Munzen untereinander auf. Dabeiverfahren sie wie folgt:

Der ranghochste Pirat schlagt eine Aufteilung des Schatzes vor. Nun stimmen alle Piraten daruberab. Bei Gleichstand oder Mehrheit wird diese Aufteilung angenommen. Wird sie abgelehnt werfendie Piraten den Ranghochsten von Bord und wiederholen das ganze.

(Die Piraten haben eine klare Hierarchie, es gibt einen Ranghochsten, einen zweiten usw.)

1. Spielt dieses Spiel einige Male. Versucht so viele Munzen wie moglich zu erwirtschaften.

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13. Marz 201720. Marz 2017

2. Spielt das Spiel mit zwei Piraten. Wie viele Munzen kann der erste Pirat fur sich bean-spruchen?

3. Spielt das Spiel mit drei Piraten. Wie viele Munzen kann der erste Pirat fur sich beanspru-chen? (Die anderen beiden stimmen stehts gegen einen Vorschlag, wenn sie zu zweit mind.genauso gut dastehen. Wenn sie allerdings zu zweit weniger erhalten wurden, stimmen sienaturlich fur den Vorschlag.)

4. Spielt das Spiel mit vier Piraten. Wie viele Munzen kann der erste erhalten?

5. Spielt das Spiel mit funf Piraten. Wie sollte der erste Spieler verfahren.

6. Wie verfahrt man bei mehr Piraten?

zu 2. Der erste Pirat kann sich einfach alle Munzen nehmen und den zweiten Piraten uber-stimmen: 2 Piraten 100 0

zu 3. Der zweite Pirat will auf jeden Fall den ersten Piraten uber Bord werfen, denn dann kanner wie in 2. alle Munzen kriegen. Der erste Pirat braucht aber eine Stimme, damit seinAufteilungsvorschlag angenommen wird. Wie kann der den dritten Piraten uberzeugen?Der dritte Pirat weiß ja, dass er nichts kriegen wird, falls der Vorschlag abgelehntwird, also muss man ihm mehr als nichts bieten, damit er dem Vorschlag zustimmt:

2 Piraten 100 03 Piraten 99 0 1

zu 4. Wenn der erste Pirat uber Bord geworfen wird, dann sind wir im Fall von 3. Dannkonnte der zweite Pirat 99 Munzen kriegen, der dritte keine und der vierte eine. Dererste sollte ihnen also mehr als das bieten, damit sie dagegen stimmen, ihn uber Bordzu werfen. Da er nur eine Stimme braucht, sollte er wohl dem dritten Piraten 1 Munze

anbieten:2 Piraten 100 03 Piraten 99 0 14 Piraten 99 0 1 0

zu 5. Wir wiederholen die Argumentation. Nur braucht der erste Pirat nun diesmal zweiUnterstutzer seines Vorschlages. Zum Gluck kann er den dritten Piraten und den letzten

einfach uberzeugen:

2 Piraten 100 03 Piraten 99 0 14 Piraten 99 0 1 05 Piraten 98 0 1 0 1

zu 6. Die Tabelle lasst sich leicht fortsetzen. Auch bei sehr vielen Piraten, kann der erste Piratso recht viele Munzen erhalten.

Spiel 3.4 (Schere, Stein, Papier, 2 Spieler). 1. Spielt ein paar Runden Schere, Stein, Papier.

2. Was ist eine gute Strategie, warum?

3. Spielt es nun mit Schere, Stein, Papier und Brunnen.

4. Was ist jetzt eine gute Strategie, warum?

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13. Marz 201720. Marz 2017

zu 1. Jede der drei Optionen ist gleich gut, vorausgesetzt der Gegner verwendet die Optionengleich haufig. Warum sollte er das tun? Hat der Gegner z.B. einen Tendenz dazu, haufigerPapier zu nehmen, kann ich mit einer Tendenz, haufiger Schere zu nehmen, besser seinals er. Der Gegenspieler hat also kein Interesse daran, irgendeine Tendenz zu haben, ichdamit dann auch nicht.

zu 3. Man kann nun auflisten, wer was schlagt:Schere Stein Papier Brunnen

Schere 0 -1 1 -1Stein 1 0 -1 -1

Papier -1 1 0 1Brunnen 1 1 -1 0

Auf den ersten Blick erscheint es besser Papier und Brunnen zu wahlen und nicht sogut Schere und Stein zu wahlen. Doch Vorsicht: Warum sollte man uberhaupt den Steinnehmen? Es gibt dafur eigentlich keinen Grund, denn der Brunnen ist immer besserals der Stein oder zumindest genauso gut. Also sollte man uberhaupt nicht den Steinnehmen und wenn der Gegenspieler schlau ist, wird er das auch nicht tun. Wir sindwieder beim klassischen Schere, Stein, Papier, nur das jetzt der Brunnen der neue Steinist.

Spiel 3.5 (Aufraumen, 2 Spieler). Marlene (10) und Thomas (5) sollen abends ihr Zimmeraufraumen. Sie konnen sich aussuchen, wie viel Zeit sie investieren: 3 Minuten, 6 Minuten oder9 Minuten. Am Ende wird ihre Mutter kommen und das Ergebnis bewerten. Sie wird wie folgtverfahren.

• wurde insgesamt weniger als 9 Minuten aufgeraumt, gibt es fur Marlene großen Arger (-10 pt) und fur Thomas etwas Arger (-5 pt)

• wurden 9 Minuten aufgeraumt, wird die Mutter das kommentarlos hinnehmen (2 pt furbeide)

• wurden 12 Minuten oder mehr aufgeraumt werden die beiden gemaß ihrem Alter gelobt(10 pt fur Marlene, 5 pt fur Thomas)

Wie verfahren die beiden, wenn sie ihre investierte Zeit als ein Minuspunkt pro Minute berechnenund sie moglichst viele Punkte haben wollen? Beide wissen vorher nicht, wie viel Zeit der andereinvestieren wird.

1. Einigt Euch auf Symbole und probiert ein paar mal, was passieren wird.

2. Versucht mit einer Tabelle zu untersuchen, wie die beiden vorgehen sollten.

3. Was werden die beiden am Ende wahlen?

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Jonathan Kliemverschiedene Spiele MSG Zirkel 7b

13. Marz 201720. Marz 2017

Hier ist eine Tabelle ahnlich zu der Hausaufgabe sinnvoll, wo links Thomas’ Optionen stehenund oben Marlenes Optionen:

3 min 6 min 9 min3 min −8| − 13 −1| − 4 2|16 min −4| − 1 −1|4 −1|19 min −4|7 −4|4 −4|1

Naturlich weiß Thomas nicht, was Marlene machen wird. Trotzdem wird er wohl kaum 9Minuten Zeit investieren, denn mit 6 Minuten Investition fahrt er immer besser. Das weißMarlene und sie sieht nun folgende Tabelle vor sich:

3 min 6 min 9 min3 min −8| − 13 −1| − 4 2|16 min −4| − 1 −1|4 −1|1

Fur Marlene ist es nun auf jeden Fall sinnvoller 6 Minuten aufzuraumen als 3. Thomas dur-schaut das naturlich:

6 min 9 min3 min −1| − 4 2|16 min −1|4 −1|1

Mit diesem Wissen sollte Thomas auf jeden Fall nur 3 Minuten aufraumen. Marlene kann dieLage dann fur sich selbst optimieren, indem sie 9 Minuten aufraumt.Diese Losung ist stabil: Selbst wenn der andere vorher weiß, was sein Geschwisterkind wahlt,wird er sich so entscheiden.Die Losung ist sogar mehr oder minder gerecht: Beide erlangen ein positives Ergebnis.

Spiel 3.6 (Kegeln, 2 Spieler). In einer Reihe stehen Kegel. Abwechselnd rollen die Spieler eineKugel. Wer den letzten Kegel umwirft gewinnt. Ihr konnt immer genau einen Kegel umwerfenoder zwei benachbarte (aber nicht uber Lucken hinweg).

Wer gewinnt bei 1 Kegel, 2 Kegeln usw.?

Einen Kegel oder zwei kann man sofort abraumen, also gewinnt der erste Spieler. Auch beidrei Kegeln kann der erste Spieler gewinnen, indem er den mittleren Kegel umwirft. Bei vierKegeln kann er beide mittleren Kegel umwerfen. Wie verfahrt er aber bei mehr Kegeln?Antwort: Er nimmt in der Mitte einen oder zwei Kegel raus, so dass links und rechts diegleiche Anzahl von Kegeln steht. Danach kopiert er immer den Zug seines Gegners, indem erdie beiden Seiten als unabhangige Bahnen betrachtet. Nimmt er erste Spieler auf Bahn 1 dieKegel 4 und 5 raus, macht der erste Spieler danach selbiges auf Bahn 2. Das kann er naturlichimmer. Weil die Bahnen ja immer wieder gleich aussehen. Irgendwann sind beide Bahnen leerund der erste Spieler hat gewonnen.

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MSG Zirkel 7b 20. Marz 2017

Spiel 3.7 (Umweltschutz, 13 Spieler). Alle 10 Spieler wissen, dass der Klimawandel fur sieteuer wird. Mit nur wenig Geld konnen sie den Klimawandel stark aufhalten. Tut keiner etwas,verlieren alle 650 e, naturlich gleichmaßig aufgeteilt. Dagegen kann man bis zu 5 e investieren.Die Invesitionen werden zusammengezahlt und mit 10 multipliziert. Das Ergebnis ist der Schaden,der erfolgreich verhindert werden konnte. Gewonnen hat der Spieler, der am Ende am wenigstenGeld verliert. Gespielt wird ahnlich wie bei Schere, Stein, Papier. Nur das man eine Zahl von 0bis 5 anzeigt.

Fazit Ahnlich wie beim Gefangenendilemma achtet am Ende nur jeder auf sich. Einen Euro zuinvestieren, bringt zwar am Ende 10 e Rendite, aber nur fur alle Spieler zusammen. Der einzelnekriegt leider nur 10

13 e und das ist weniger als 1 e. Wahrscheinlich wird er also nichts investieren,jedenfalls nicht, wenn die anderen nicht vorher wissen, was er machen wird.

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MSG Zirkel 7b 27. Marz 2017

4 (Un-)Gleichungen

4.1 Einfuhrende Beispiele

Beispiel 4.1. Angenommen man darf sich 10 Munzen nehmen, aber sollte am Ende von einerMunze 3 Munzen von einer Sorte, 4 Munzen von einer anderen Sorte, 2 Munzen von einer drittenSorte und 1 Munze von einer vierten Sorte haben. Wie sollte man die Munzen wahlen und warum?

Beispiel 4.2. Fur beliebige Zahlen x > 0 gilt

x+1

x≥ 2.

Hinweis 1: Warum ist (a− b)2 ≥ 0?

Hinweis 2: Warum ist dann a2 + b2 ≥ 2ab?

Hinweis 3: Warum gilt ab + b

a ≥ 2?

Beispiel 4.3 (harmonisches, geometrisches, arithmetisches, quadratisches Mittel). Seien a, b ≥ 0.Es gibt verschiedene Methoden einen Mittelwert zwischen den beiden Zahlen zu bestimmen: Furdiese Mittel gilt immer die gleiche Beziehung:

min(a, b) ≤ 21a + 1

b

≤√ab ≤ a+ b

2≤

√a2 + b2

2≤ max(a, b)

Warum gelten diese Beziehungen? Versucht die Kette an moglichst vielen Stellen zu beweisen.

Definition (arithmetisches Mittel).a+ b

2

Was wir gemeinhin als Durchschnitt bezeichnen. Ich laufe 10 Minuten 5 km/h und bleibe 10Minuten stehen. Wie schnell laufe ich im Schnitt?

Definition (geometrisches Mittel). √ab

Ein Rechteck hat Seitenlangen a und b. Wie lang ist eine Seite eines Quadrates, das denselbenFlacheninhalt hat?

Definition (harmonisches Mittel).2

1a + 1

b

Ich laufe zur Schule 2 km/h, zuruck laufe ich 4 km/h. Wie schnell laufe ich im Schnitt?

Definition (quadratisches Mittel). √a2 + b2

2

Ein Kreis hat Durchmesser 1cm ein anderer 2cm. Wie groß ist ein mittlerer Kreis? (Zwei mittlereKreise haben die gleiche Flache wie ein großer und ein kleiner.)

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MSG Zirkel 7b 27. Marz 2017

Beispiel 4.4. Ich mochte gerne einen neuen Handyvertrag abschließen. Nun stellt sich die Frage,welcher Tarif dafur am besten ist. Welcher der folgenden Tarife ist fur mich der beste fur dienachsten 2 Jahre? Uber mein Nutzungsverhalten ist folgendes bekannt:

• Ich surfe jeden Monat genauso viel. (Wie viel, weiß ich aber noch nicht genau.)

• Pro SMS, telefoniere ich 3 Minuten.

• Szenario 1: Ich telefoniere jeden Monat gleich viel. (Wieder weiß ich noch nicht genau wieviel.)

• Szenario 2: Ich telefoniere die Halfte der Monate doppelt so viel, wie die andere Halfte(schwieriger aber realistischer).

einmalig monatl. Freieinh. Tel. pro min. SMS InternetDiscoPlus e29,99 e5,99 0 Flat 9ct 500MBDiscoPlus e9,99 e6,99 je 250 15ct 15ct 1GBDiscoPlus e9,99 e9,16 0 Flat Flat 2GB

congstar e-20 e2 0 9ct 9ct 100MBcongstar e-20 e4 0 9ct 9ct 400MBcongstar e-20 e8 0 9ct 9ct 1GBMcSIM e-25,05 e0 0 8ct 8ct 49ct/MBfreenet e-15,05 e0 0 8ct 8ct 19ct/MBfreenet e29,95 e5,95 je 100 8ct 8ct 500MBfreenet e29,95 e7,95 je 100 8ct 8ct 1GBfreenet e29,95 e9,95 je 100 8ct 8ct 1,5GB

discotel e-0,05 e0 0 6ct 6ct 6ct/MBdiscotel e-3 e7,95 0 6ct 6ct 1GB

vodafone e0 e2,99 0 9ct 9ct 150MBvodafone e0 e5,99 0 9ct 9ct 500MBvodafone e0 e9,99 0 9ct 9ct 1GBvodafone e0 e19,99 0 9ct 9ct 2GBvodafone e0 e29,99 0 9ct 9ct 4GBklarmobil e-20,05 e3,95 je 100 9ct 9ct 500MBklarmobil e-20,05 e6,95 100 Tel. 9ct 9ct 1GBklarmobil e-20,05 e8,95 je 100 9ct 9ct 1GBklarmobil e-20,05 e9,85 0 Flat 9ct 1GB

debitel e-25 e4,99 je 50 29ct 19ct 1GBdebitel e-25 e7,99 0 Flat 19ct 1GBdebitel e-74 e11,99 0 Flat Flat 1,5GB

deutschlandSIM e14,99 e4,99 250 9ct 9ct 750MBdeutschlandSIM e14,99 e9,99 0 Flat Flat 3GB

maxxim e9,99 e5,99 50 15ct flat 1GBmaxxim e9,99 e6,49 0 Flat 9ct 1GB

simply e19,99 e6,49 0 Flat Flat 500MBweb.de e-20 e6,99 250 10ct 10ct 2GBweb.de e-20 e9,99 300 10ct 10ct 3GB

smartmobil e29,99 e8,49 0 Flat Flat 750MBblau e0 e7,99 300 9ct 9ct 750MB

winsim e4,99 e7,99 0 Flat 9ct 2GBbild e9,95 e9,95 0 Flat Flat 2GBbase e-60 e10,99 0 Flat 9ct 2GB

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MSG Zirkel 7b 3. April 2017

Wie wir letzte Woche gesehen haben, brauchen wir um mit Ungleichungen umgehen zu konnenein paar Werkzeuge.

Schreibweise. Fur reele Zahlen, also Zahlen, die man auf dem Zahlenstrahl schreibt, gibt eseine Ordnung nach Große. Sie leitet sich von der Ordnung der naturlichen Zahlen her ab. Manschreibt 2 < 3 fur 2 ist kleiner als 3 oder 2 ≤ 3 fur 2 ist kleiner gleich 3. Auch fur Variablen kannman das schreiben, z.B. x ≥ 0, fur x nicht negativ.

Bemerkung. Die Ordnung ist gegenuber Multikplation mit positiven Zahlen stabil. Bei der Mul-tiplikation mit negativen Zahlen andert sich das Vorzeichen, das werden wir uns noch genaueransehen.

Beispiel 4.5. 1. 4 ≥ 3,

2. 2 ≤ 2 ≥ 2,

3. 43 ≥ 1, denn 3 · 43 ≥ 3 · 1,

4. −1 ≤ 3,

5. 3 > 2, aber −3 < −2.

Schreibweise. Folgt eine Aussage aus einer anderen schreiben wir ⇒ oder ⇐. Also z.B.

x > 2⇒ x > 0⇐ x > 1.

Sind folgen zwei Aussagen gegenseitig ausseinander sind sie gleichwertig. Manche dieser Aussagensind sehr schwer festzustellen, aber manche ganz einfach:

x > 2⇔ x+ 2 > 4

x− y > 0⇔ x > y

2 > 3⇔ 1 = 2

a2 > 4 ∧ a ≥ 0⇔ a > 2.

Hier wurde gleich noch ein logisches”und“ verwendet ∧. Das heißt das man links beide Aussagen

zusammen verwenden muss. Der dritte Zeile ist spannend. Beide Aussagen sind falsch, deshalbfolgen sie auseinander.

”Wenn 1 = 2 ist, dann . . . . “Diese Aussage konnen wir beliebig beenden,

denn die Bedingung trifft eh nie ein.

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Ubungsblatt zu Folgerungen MSG Zirkel 7b3. April 2017

24. April 2017

Schreibt zwischen die Aussagen ⇒, ⇐, ⇔ oder nichts. Falls eine Richtung nicht gilt, gebt einGegenbeispiel an. Alle Variablen durfen zunachst beliebige Zahlen auf dem Zahlenstrahl darstel-len.

1. Aussage 2. Aussage ggf. Gegenbeispielx > 2 ⇔ x+ 4 > 6

x > −1 ⇒ x > 0 x = 0a2 + b ≥ 0 a+ b ≥ 0 a = −2, b = 1 bzw. a = 1

2 , b = − 12

y = 2 y < 3x+ y > 0 x > 0 ∧ y > 0

2x > 4 5x > 10x > 1 0 < 1

x < 1x > 0 x+ 1

x ≥ 2x+ a > a x > 0

2 = 3 a = 0c(x+ 3− y) = c(α+ 3) x+ 3− y = α+ 3

x3 = 27 x = 3c = a+ b a− c− b = 0

x+ y = z + w x− z = w + yy < −2 |y| > 1y < −2 −y > 1ab > c a+ b > c2c > c 2 > 0a 6= b c · a 6= c · b−y < 0 y > 0

x− y < 0 x+ y > 02− y ≥ 0 y − 2 ≤ 0x+ a > 4 x > 4x+ a2 > 4 x > 4

ggT(a, b) = a a teilt bkgV(c, d) = c d = 2c2 = ggT(4, a) a = 6y ≡ 1 mod 3 3y ≡ 0 mod 3y ≡ 3 mod 6 y ≡ 0 mod 3

a = 0 ab = 0ab = 0 a = 0 ∨ b = 0 (oder)

ab ≡ 0 mod 3 a ≡ 0 mod 3 ∨ b ≡ 0 mod 3ab ≡ 0 mod 4 a ≡ 0 mod 4 ∨ b ≡ 0 mod 4ab ≡ 0 mod 5 a ≡ 0 mod 5 ∨ b ≡ 0 mod 5ab ≡ 0 mod 6 a ≡ 0 mod 6 ∨ b ≡ 0 mod 6ab ≡ 4 mod 8 a ≡ 2 mod 4 ∧ b ≡ 2 mod 4a ≡ 5 mod 12 a ≡ 2 mod 3 ∧ a ≡ 1 mod 42 = ggT(a, 4) a ≡ 2 mod 4

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Ubungsblatt zu Folgerungen MSG Zirkel 7b3. April 2017

24. April 2017

Nun wird die Sache etwas schwerer. Es gibt immer noch eine Vorrausetzung, die fur beide Aussa-gen gilt. Mit der Voraussetzung x = 0 werden z.B. die Aussagen y = 2 und y+ x = 2 aquivalent.

Voraussetzung 1. Aussage 2. Aussage ggf. Gegenbeispiela = c: a+ b = 23 c+ b = 23y = x2: y = 2 y2 = 4w = −1: y2 = z w(y2 + w) = w(z + w)z = −1: z · w > z · y w > yx > 0: y ≥ 0 y + x > 0a > 0: x ≥ 0 ax > 0b < 0: x > 0 b+ x = 0c 6= 0: d 6= 0 cd 6= 0c < 0: a ≥ d a < dx > 0: x2 ≥ 9 x ≥ 3

y + x = 0: a > x a < yz > 2: a2 > 4 (a+ z)2 > 4

a ≡ 2 mod 9: b ≡ 2 mod 9 ba ≡ 4 mod 9a ≡ 2 mod 8: b ≡ 2 mod 8 ba ≡ 4 mod 8a ≡ 0 mod 2: b ≡ 0 mod 4 ba ≡ 0 mod 8a ≡ 3 mod 9: b ≡ 0 mod 27 ba ≡ 0 mod 81

Nun drehen wir die Sache um. Gebt eine moglichst schwache Bedingung an, so dass die Aquiva-lenz gilt (starke Bedingungen finden sich leicht). Wenn ihr zwei Bedingungen findet, und nichtwisst, welche schwacher ist, dann konnt ihr beide mit ∨ (oder) angeben.

Voraussetzung 1. Aussage 2. Aussagex > 5 ⇔ x4 > 625x2 > x ⇔ |x| > 1ab ≥ ac ⇔ b ≥ c

a+ b > c ⇔ a2 + b2 > c2

a+ b > 0 ⇔ a > 0a− b = 0 ⇔ ac = aba2 = c2 ⇔ a = c

1x < 1 ⇔ x > 11x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0a > c ⇔ da < dc

a+ b > 0 ⇔ a > 0 ∧ b > 0y = x2 ⇔ y2 = x3

b− a = c ⇔ ba− aa = ca20(c+ d) < (10x)2 ⇔ c+ d < 5x2

y = 1x ⇔ x = 1

ya+b2 ≥ c ⇔ a ≥ c ∧ b ≥ c

c(ca) = c(dc) ⇔ ca = dca ≡ 2 mod 3 ⇔ a ≡ 2 mod 6a ≡ 2 mod 3 ⇔ a ≡ 2 mod 9a ≡ 4 mod 5 ⇔ a ≡ 2 mod 3

b ≡ 20 mod 21 ⇔ b ≡ 6 mod 7a2 ≡ 1 mod 4 ⇔ a ≡ 1 mod 4ab ≡ 0 mod 7 ⇔ a ≡ 0 mod 7ab ≡ 0 mod 6 ⇔ b ≡ 0 mod 6

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MSG Zirkel 7b24. April 2017

8. Mai 2017

4.2 Regeln fur Folgerungen

a) Gleichungen:

Eine Gleichung hat in irgendeiner Art immer die Form a = b. Dabei sind a und b Platzhalterfur vielleicht sehr lange Terme. Wenn eine Gleichung dieser Form gegeben ist, kann ich damitverschiedene Operationen fur beliebige c machen:

(i) a = b⇒ a+ c = b+ c (Addition).

(ii) a = b⇒ a− c = b− c (Subtraktion).

(iii) a = b⇒ a · c = b · c (Multiplikation).

(iv) Nur fur c 6= 0: a = b⇒ a : c = b : c (Division).

(v) a = b⇒ a2 = b2 (Quadrieren).

(vi) Nur fur a, b ≥ 0: a = b⇒√a =√b (Wurzel ziehen).

(vii) Diverse andere Operationen, wie a = b⇒ a+ 1 > b.

Bemerkung. Manche Operationen lassen sich stets umkehren, andere nicht. Addition lasstsich immer umkehren. Multiplikation nur, wenn nicht mit 0 multipliziert wurde. Quadrierennur, wenn die Zahlen vorher bereits positiv waren.

Nur wenn sich die Operation umkehren lasst, kann ich einen Pfeil in die andere Richtungschreiben, also einen Aquivalenzpfeil.

b) Ungleichung:

Eine Ungleichung hat in irgendeiner Art immer die Form a ≥ b oder a > b. Die folgendenRegeln sind fur > und < notiert, gelten immer aber auch fur ≥ und ≤. Wenn eine Ungleichungdieser Form gegeben ist, kann ich damit verschiedene Operationen fur beliebige c machen:

(i) a > b⇒ a+ c > b+ c (Addition).

(ii) a > b⇒ a− c > b− c (Subtraktion).

(iii) Nur fur c > 0: a > b⇔ a · c > b · c(Multiplikation und Division).

(iv) Nur fur c < 0: a > b⇔ a · c < b · c(Multiplikation und Division).

(v) |a| > |b| ⇒ a2 = b2 (Quadrieren).

(vi) Nur fur a, b ≥ 0: a > b⇒√a >√b (Wurzel ziehen).

(vii) Diverse andere Operationen, wie fur c ≥ 0 gilt: a > b⇒ a+ c > b.

Bemerkung. Bei Ungleichungen muss man viel mehr aufpassen, als bei Gleichungen. Manch-mal hilft es sich genau zu uberlegen, ob eine Folgerung richtig ist.

Beispiel 4.6. Ein scheinbarer Widerspruch:

a+ b = c |+ (a+ b)

2(a+ b) = c+ a+ b | − 2c

2(a+ b− c) = a+ b− c | : (a+ b− c)2 = 1.

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MSG Zirkel 7b 8. Mai 2017

Wenn wir nun alle ⇒, ⇐ und ⇔ einsetzen wie wir es gelernt haben, wird uns alles klar:

a+ b = c |+ (a+ b)

⇔ (a+ b) = c+ a+ b | − 2c

⇔ 2(a+ b− c) = a+ b− c | : (a+ b− c)⇐ 2 = 1.

Den letzten Pfeil konnen wir nur in eine Richtung machen, weil a+ b− c = 0 gilt. Jetzt konnenwir das getrost so stehen lassen. Klar folgt aus der letzten Zeile eine ganze Menge, aber die istja auch falsch. In die andere Richtung konnen wir nicht folgern.

Beispiel 4.7. Fur beliebige Zahlen x > 0 gilt:

x+1

x≥ 2.

Als erstes versuchen wir loszuwerden, was uns am meisten nervt. Das ist der Bruch. Danachmachen wir noch ein paar einfache Umformungen:

x+1

x≥ 2 |·

⇔ x · x+ 1 ≥ 2x | − 2x

⇔ x · x− 2x+ 1 ≥ 0

⇔ (x− 1)(x− 1) ≥ 0

⇔ (x− 1)2 ≥ 0

Zugegebenermaßen ist der dritte Schritt nicht offensichtlich, aber kann leicht uberpruft werden.Wir wissen das Quadrate (von Zahlen auf dem Zahlenstrahl) immer groser gleich 0 sind, also istdie letzte Aussage richtig. Dann konnen wir die Pfeile ruckwarts zur ersten Aussage zuruckwan-dern und sehen, dass auch diese stimmen muss.

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Ubungsblatt Einfuhrung Geometrie MSG Zirkel 7b 15. Mai 2017

5 (Elementar-)Geometrie

5.1 Strecken

1. Angenommen A,B,C liegen auf einer Geraden und es gilt |AB| = 3 und |BC| = 5. Wielang ist dann AC?

2. A,B,C,D liegen auf einer Geraden. Es gilt |AB| = 1, |BC| = 2 und |CD| = 4. Wie langist dann AD?

3. Auf einem einem Lineal sind nur Markierungen fur 0, 7 und 11 aufgezeichnet. Wie kannman 5 erhalten?

4. Sei B zwischen A und C und |AC| = 5. Wie weit sind der Mittelpunkt von AB und derMittelpunkt von BC miteinander entfernt?

5. Auf einer geraden Straße befinden sich zwei Hauser in 50m Entfernung. Wo sollte man denBriefkasten hinsetzen, damit die Summe der Entfernung zum Briefkasten moglichst geringist.

6. Wie lautet die Losung der vorherigen Aufgabe mit 6 Hausern, die alle jeweils 50m von denNachbarn entfernt sind?

7. Angenommen 100 Schuler leben im ersten Haus und 50 im zweiten und jeder mochte genaueinen Brief wegbringen. Wo sollte der Briefkasten sein, damit der Weg insgesamt moglichstgering ist.

5.2 Winkel

1. Angenommen wir wissen, dass Nebenwinkel sich zu 180◦ addieren. Zeige, dass zwei Gegen-winkel gleich groß sind.

2. Wie viel Grad bewegt sich der Minutenzeiger einer Uhr pro Minute? Wie viel der Stunden-zeiger?

3. Wie groß ist der Abstand zwischen den Zeigern einer Uhr mit zwei Zeigern um 16 : 15 Uhr?

4. Gegeben zwei Nebenwinkel. Zeige, dass die Winkelhalbierenden im 90◦-Winkel zueinanderstehen.

5. Gegeben 5 Strahlen um einen Punkt, so dass die Nachbarn jeweils den gleichen Winkelbilden. Wie groß sind diese Winkel.

5.3 Axiome

Axiome sind Aussagen, die nicht bewiesen werden konnen, aber meist unmittelbar einsichtig sind.Die euklidischen Axiome der ebenen Geometrie wurden im antiken Griechenland entwickelt. Sieauswendig zu lernen ist wenig sinnvoll, aber der Vollstandigkeit halber folgt hier trotzdem eineAuflistung: Seien mit A,B,C, . . . Punkte bezeichnet, mit a, b, c, . . . Geraden und mit α, β, γ, . . .Winkel.

I1 Durch zwei verschiedene Punkte gibt es mind. eine Gerade.

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Ubungsblatt Einfuhrung Geometrie MSG Zirkel 7b 15. Mai 2017

I2 Durch zwei verschiedene Punkte gibt es hochstens eine Gerade.

I3 Jede Gerade enthalt mind. zwei Punkte.

I4 Es gibt 3 Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen.

Wir halten fest, dass Geraden eindeutig durch zwei Punkte gegeben sind und man zu jederGeraden solche Punkte findet. Außerdem gibt es mehr Punkte, als nur eine Gerade.

A1 Liegt A zwischen B und C, dann liegt A auch zwischen C und B.

A2 Sind A und B verschieden, dann gibt es ein C mit B zwischen A und C.

A3 Unter drei (paarweise) verschiedenen Punkten, liegt hochstens einer zwischen den anderen.

A4 Sei A,B und C nicht auf einer Geraden und f eine Gerade, die keinen der drei Punkte enthalt.Liegt D auf f und zwischen A und B, dann enthalt f einen weiteren Punkt zwischen B undC oder zwischen A und C. (Eine Gerade, die in ein Dreieck reingeht, geht auch wieder raus.)

Man kann inzwischen umstndlich beweisen, dass zwischen zwei Punkten immer auch ein andererliegt.

Definition. Falls A,B und C auf der gleichen Geraden liegen und B nicht zwischen A und C,dann liegen A und C auf der selben Seite von B.

Definition. Ein Winkel ist gegeben durch drei Punkte A,B,C und wird mit ∠ABC bezweichent.Liegt A′ auf AB auf der selben Seite wie A und C ′ auf der selben Seite wie C auf AC, dannbezeichnet ∠A′BC ′ den gleichen Winkel.

K1 Gegeben A und B und eine Gerade c mit Punkt C. Man kann einen Punkt D auf c finden,so dass |AB| = |CD|. (Man kann Strecken auf andere Geraden abtragen.)

K2 Seien A,B,C auf a und D,E, F auf d, so dass B zwischen A und C liegt und E zwischen Dund F . Gilt |AB| = |DE| und |BC| = |EF |, dann auch |AC| = |DF |. (Strecken kann manaddieren)

K3 Winkel kann man miteinander vergleichen. (Durch ≡).

K4 Gegeben ∠ABC und Punkte E,F . Man findet D, so dass ∠ABC ≡ ∠DEF gilt. (Man kannWinkel abtragen).

K5 Sind bei zwei Dreiecken zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel kongruent, so sind alleWinkel miteinander kongruent.

Man kann leicht zeigen, dass nun die SWS-Kongruenz gilt. Ferner kann man bereits eine paralleledurch einen beliebigen Punkt konstruieren.

Parallelenaxiom Gegeben eine Gerade a und ein Punkt C. Dann gibt es hochstens eine Gerade durch C, dieparallel zu A ist.

V1 Gegeben zwei Strecken. Wenn man die eine Strecke haufig genug addiert, ist diese langerals die andere.

V2 Noch ein Axiom, was wir hier nicht behandeln werden.

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Dreicksungleichung, Kongruenzen MSG Zirkel 7b 22. Mai 2017

5.4 Wiederholung

1. Auf einer Geraden liegen drei Punkt A,B,C. Bekannt ist |AB| = 5 und die Strecke BCist um 1 langer als die Strecke AC. Wie lang sind sind die Strecken AC und BC? Kann Baußerhalb von der Strecke AC liegen?

2. Wie die vorherige Aufgabe. Nur ist diesmal die Strecke AC anderhalb mal so lang wie BC.

3. Sechs Radfahrer fahren von einem Ort in den Nachbarort. Nach einer Stunde haben sieinsgesamt 75 Kilometer zuruck gelegt und mussen insgesamt noch 45 Kilometer fahren.Wie weit sind die Orte voneinander entfernt?

4. Von einem Punkt O gehen vier Strahlen ab, so dass vier Winkel entstehen. Wenn man siereihrum nummeriert ist der erste Winkel so groß wie der dritte und der zweite so groß wieder vierte. Zeige, dass jeweils zwei Strahlen eine Gerade bilden.

5. Zeichne einen PunktO und vier Strahlen von diesem Punkten beliebig auf ein Blatt. Zeichne

nun die vier Winkelhalbierenden−→OA,−−→OB,

−−→OC,

−−→OD (moglichst genau) ein. Schneide die vier

neuen Winkel aus. Was fallt auf. Warum ist das so?

5.5 Dreiecksungleichung

1. Wir wollen ein Dreieck A,B,C zeichnen, so dass |AB| = 5 und |BC| = 3. Konnen wir dasso tun, dass |AC| = 9? Konnen wir |AC| = 1 erreichen? Begrunde Deine Antwort.

2. Seien A,B,C beliebig in der Ebene. Zeige, dass AC ≤ |AB|+ |BC|. Wann gilt Gleichheit?

3. Seien A,B,C,D beliebig in der Ebene. Zeige, dass |AD| ≤ |AB|+ |BC|+ |CD|. Wann giltGleichheit?

4. Zeige, dass jede Seite eines Dreieicks kleiner als die Halfte des Umfanges ist.

5. Eine Uhr hat einen Minutenzeiger, der 5cm lang ist, und einen Stundenzeiger, der 3cmlang ist. Wie weit konnen die Spitzen maximal (minimal) auseinander sein? Beweise dieAntwort.

6. Vier Hauser stehen in der Landschaft, so dass sie ein Viereck bilden. Wo sollte ein Brunnengebaut werden, damit die Summe der Weges zum Brunnen moglichst klein ist?

7. Zwei Schildkroten laufen im Zick-Zack von A nach B. Dabei folgt das Mannchen immer derWeibchen und zwar wie folgt. Erst lauft das Weibchen eine Strecke (in beliebige Richtung,aber gerade), dann lauft das Mannchen Richtung Standort des Weibchens. Nun lauft wiederdas Weibchen in eine (moglicherweise) neue Richtung und dann wieder das Mannchen inRichtung des neuen Standortes des Weibchens. Zeige das am Ende das Mannchen nichtweiter gelaufen ist als das Weibchen.

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Dreicksungleichung, Kongruenzen MSG Zirkel 7b 22. Mai 2017

5.6 Kongruenzen

Definition. Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie nur durch Verschiebung, Rotation undSpiegelung deckungsgleich aufeinander abgebildet werden konnen.

1. Ein Triomino besteht ist eine Figur die ensteht, wenn man von einem Vier-Kastchen-Quadrat ein Kastchen weglasst. Wie kann man ein Triomino in zwei, drei oder vier kon-gruente Teile unterteilen?

2. Man kann ein Quadrat auf viele Arten in zwei Kongruente Stucke teilen. Finde moglichstviele Arten das zu tun.

3. Die entstehenden Stucke (der vorherigen Aufgabe) sind nicht immer konvex. Gib eine An-leitung, wie man moglichst beliebig ein Quadrat in zwei konvexe, kongruente Stucke teilenkann. (Eine Form heißt konvex, wenn sie zu je zwei Punkten auf die Verbindungsstreckeenthalt.)

4. Man kann mit Kastchen auf dem Karopapier nichtkonvexe Pologyone bauen. Eine solcheFigur ist z.B. ein Triomino. Jedoch ist es nicht erlaubt, dass eine Ecke an mehr als zweiKanten liegt (also ein Triomino ohne mittleres Kastchen ist nicht erlaubt). Wie viele ver-schiedene Moglichkeiten gibt es dafur mit 2, 3, 4, 5, 6 Kastchen? (Verschieden heißt hiernicht kongruent.)

5. Drei Bretter werden an den Enden durch Schraube und Mutter verbunden, so dass sie einDreieck bilden. Auch wenn die Muttern nicht fest angezogen werden, sind die Bretter dochfest. Warum? Ist die Struktur auch bei vier Brettern fest?

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MSG Zirkel 7b 29. Mai 2017

5.7 Dreickskongruenzen, Winkel an Parallelen, Innenwinkel, gleich-schenkelige Dreicke

Wir haben Konkruenzen definiert, so dass wir Figuren durch Verschiebung, Rotation und Spie-gelung aufeinander abbilden konnen. In der Praxis werden wir ein paar aquivalente Begriffebenutzen:

Satz 5.1. Zwei n-Ecke sind genau dann kongruent, wenn in der richtigen Reihenfolge alle Winkelgleich groß sind und alle Seiten gleich lang sind.

Zwei Kreise sind genau dann kongruent, wenn sie den gleichen Radius (Durchmesser) haben.

Beweis. Wir werden hier nur die zweite Aussage beweisen.

Die Aussage mit den beiden Kreisen ist einfach. Was ist ein Kreis? Ein Kreis besteht aus allenPunkten, die einen festen Abstand r zu einem fixierten Mittelpunkt M haben. Nun benutztenwir, dass Verschiebung, Rotation und Spiegelung Abstande erhalten.

Gegeben zwei Kreise um M und N mit Radius r. Wir wahlen eine beliebige Verschiebung dieden Punkt M nach N verschiebt. Dabei wird ein Punkt A mit Abstand r von M auf einen PunktA′ mit Abstand r von N abgebildet, also auf einen Punkt auf dem Kreis. Wenn B auf den PunktB′ abgebildet wird, der Abstand r von N hat, so hatte vorher B Abstand r von M .

Wenn wir zwei Kreise haben, die aufeinander abgebildet werden konnen, folgt sofort, dass siedann auch den gleichen Radius haben mussen.

Insbesondere mit der ersten Aussage konnen wir viel besser arbeiten. Wir erinnern uns (oderhalten hier folgendes fest):

Satz 5.2 (SWS). Sei A,B,C ein Dreieck und A′, B′, C ′ ein anderes. Angenommen |AB| =|A′B′|, |BC| = |B′C ′| und |∠CBA| = |∠C ′B′C ′|. Dann sind auch die ubrigen Winkel undStrecken gleich. Also sind alle Seiten des Dreickes und alle Winkel kongruent, die Dreicke sindkongruent.

Das kann man nicht so richtig beweisen, jedenfalls nicht ohne analytische Geoemtrie.

Satz 5.3 (WSW). Sei A,B,C ein Dreieck und A′, B′, C ′ ein anderes. Angenommen |AB| =|A′B′|, |∠BAC| = |∠B′A′C ′| und |∠CBA| = |∠C ′B′C ′|.

Dann sind die Dreicke kongruent.

Beweis. Wir konnen die Dreiecke zumindest so aufeinander abbilden, dass danach A = A′,B = B′ und ∠BAC = ∠B′A′C ′ und ∠CBA = ∠C ′B′C ′. Wie zeigen wir jetzt, dass C dergleiche Punkt ist wie C ′. Nun ja beide liegen auf der Geraden AC = AC ′ und BC = BC ′ undzwei Geraden schneiden sich hochstens einmal.

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MSG Zirkel 7b 12. Juni 2017

Nun konnen wir die ersten Schlussfolgerungen machen:

Satz 5.4 (Stufenwinkelsatz). Sind die beiden Geraden g und h parallel, so sind die Winkel αund β gleich groß. Sind die Winkel gleich groß, so sind die Geraden parallel.

α

β

g

h

l

Satz 5.5. In einem konvexen n-Eck betragt die Innenwinkelsumme 180◦ · n− 360◦.

Beweis. Wir haben bereits mit Induktion gezeigt: Die Innenwinkelsumme eines n-Eckes betragtdie von einem n − 1-Eck und einem Dreieck. Also betragt die Innenwinkelsumme von einemn-Eck (n− 2)-mal die Innenwinkelsumme von einem Dreieck. Wir mussen noch zeigen, dass dieInnenwinkelsumme von einem Dreieck 180◦ betragt. Das folgt aus folgender Skizze:

α

α′

β

β′γ

A B

C g

Es wird eine Gerade g so gewahlt, dass |α| = |α′|. Dann sind g und AB nach Stufenwinkelsatzparallel und nach demnach gilt auch |β| = |β′|.

Satz 5.6. (SSS) Stimmen die Seitenlangen von zwei Dreiecken uberein, so sind diese Dreieckekongruent.

Beweis. Ein Beweis mithilfe von gleichschenkeligen Dreiecken. Nehmen wir an, dass die DreieckeABC und A′B′C ′ jeweils gleich lange Seiten haben. Verschieben und drehen wir A′B′C ′ so,dass A = A′ und B = B′. Nun mussen wir evtl. noch A′B′C ′ spiegeln, damit C und C ′ aufunterschiedlichen Seiten von AB liegen.

γ1γ2

γ3γ4

A B

C

C’

Nach Voraussetzung ist AC genausolang wie AC ′. Entsprechend ist AC ′C ein gleichschenkeligesDreieck und darum |γ2| = |γ4|.

Nach analoger Begrundung (auch BCC ′ ist gleichschenkelig) gilt dann |γ1| = |γ3|.

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MSG Zirkel 7b 12. Juni 2017

Entsprechend sind die Winkel γ an C und γ′ and C ′ gleich groß und nach Kongruenzsatz SWSdie Dreiecke ABC und AC ′B = A′C ′B′ kongruent.

Zum Beweis von SSS haben wir verwendet, dass in einem gleichschenkeligen Dreieck auch dieentsprechenden Winkel gleich groß sind, dass mussen wir naturlich noch beweisen.

Definition (gleichschenkeliges Dreick). Ein Dreieck heißt gleichschenkelig, wenn zwei der Seitengleich lang sind.

Satz 5.7. (gleichschenkelige Dreiecke) Ein Dreieck ABC ist genau dann gleichschenkelig mit|AB| = |BC|, wenn die entsprechenden Winkel also ∠CBA = γ und ∠BCA = γ gleich großsind.

1. Versuch. Angenommen die Winkel sind gleich groß. Dann konstruieren wir einfach die Win-

kelhalbierenden durch α und sehen dann folgendes:

α1α2

γ

β

A D

C

B

In den Dreiecken ABD und ADC sind jeweils zwei der Winkel gleich groß (|α1| = |α2| und|β| = |γ| nach Voraussetzung). Damit muss auch nach Innenwinkelsatz der letzte Winkel gleichgroß sein. Da die beiden Dreiecke die Strecke AD teilen, sind sie nach Satz WSW kongruent.

Seien nun die beiden Strecken AB und AC gleich lang. Wir konstruieren nun die Streckenhal-bierende von der Seite BC:

γ

β

A M

C

B

Nun gilt |AB = |AC|, weil ABC gleichschenkelig ist, und |BM | = |MC, weil M der Mittelpunktder Strecke BC ist. Also sind die Dreiecke ABM und AMC nach SSS kongruent und demnachdie Winkel β und γ auch gleich groß.

Was ist ein Zirkelschluss?

Wir haben gezeigt: SSS gilt, denn die ein gleichschenkeliges Dreieck hat entsprechend gleich großeWinkel. Dann haben wir gezeigt, dass ein gleichschenkeliges Dreieck entsprechend gleich großeWinkel hat, da SSS gilt.

Das geht nicht, denn wir haben die Aussage nur auf sich selbst zuruckgefuhrt. Wir wissen jetztwenn die ein Aussage gilt, dann auch die andere und andersherum, aber noch nicht das eine derAussagen gilt, wir unternehmen also einen neuen Versuch.

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MSG Zirkel 7b12. Juni 201719. Juni 2017

2. Versuch. Angenommen die Winkel sind gleich groß. Dann verwenden wir jetzt WSW fur dasDreieck ABC und A′B′C ′:

γ

β

A = A′

C = B′

B = C ′

Nach WSW gilt nun fur die beiden Dreiecke |AB| = |AB′| und damit auch |AB| = |AC.

Andersherum verwenden wir den Satz WSW. Angenommen die Seiten AB und AC sind gleichlang. Dann gilt nach WSW auch |γ| = |β|:

α = α′

γ

β

A = A′

C = B′

B = C ′

5.8 Knobelaufgabe zum nachsten Mal

Mein Freund hat eine sechseckige Uhr mit Stunden und Minutenzeiger, die vollkommen symme-trisch und ohne Ziffernblatt ist. Neulich wollte ich ihne argern und habe die Uhr auf den Kopfgedreht und ihm dann verkundet, sie gehe falsch. Er hat kurz geguckt und meinte

”Du hast ja

die Uhr falsch herum hingestellt!“ Warum wusste er das? Wie viele Ecken muss eine Uhr haben,damit man wirklich denken kann, die Uhr ginge falsch?

5.9 Kreis

Definition. Ein Kreis k(d,M) besteht aus allen Punkten A die Abstand d vom Punkt M haben.

M heißt der Mittelpunkt. Punkte mit Abstand d von M heißen auf dem Kreis, mit (echt) klei-nerem Abstand (echt) im Kreis und mit echt großerem Abstand außerhalb des Kreises.

Schneidet eine Gerade einen Kreis keinmal, heißt sie Passante, einmal, Tangente, und zweimaldann Sekante.

Der Abschnitt einer Sekante die im Kreis liegt, heißt Sehne. Enthalt die Sehne den Mittelpunkt,heißt sie Durchmesser.

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Zirkel und Lineal MSG Zirkel 7b 19. Juni 2017

5.10 Konstruktion mit Zirkel und Lineal

1. Gegeben eine Gerade g und ein Punkt A auf dieser. Wie kann ich eine gegebene Streckeauf g abtragen, so dass der Anfangspunkt A ist?

gA

C

D

2. Gegeben ein Dreieck ABC und eine Strecke A′B′, so dass AB konkruent zu A′B′. Wiekann man C ′ konstruieren, so dass ABC und A′B′C konkgruent sind?

A

C

BA′

B′

3. Wie kann man mit drei Seitenlangen ein Dreieck konstruieren?

A B

B C

C A

4. Gegeben ein Winkel und ein Strahl. Wie kann man den Winkel auf dem Strahl abtragen(so dass dieser Strahl einer der Strahlen des Winkels ist)?

αA A′

5. Wie kann man den Mittelpunkt einer Strecke konstruieren?

6. Wie kann man eine Winkelhalbierenden konstruieren?

7. Sei A auf der Geraden l. Wie kann man eine Gerade g durch A konstruieren, die im rechtenWinkel zu l ist?

8. Sei A nicht auf der Geraden l. Wie kann man eine Gerade g durch A konstruieren, die imrechten Winkel zu l ist?

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Zirkel und Lineal MSG Zirkel 7b 19. Juni 2017

5.11 Kleine Beweise

1. Jede Gerade schneidet einen Kreis mit Mittelpunkt M an hochstens zwei Punkten. Gibtes nur einen Schnittpunkt (die Gerade tangiert den Kreis) S, dann ist die Gerade imrechten Winkel zu MS. Warum? (Verwende wissen uber gleichschenkelige Dreiecke! EinKreis besteht aus allen Punkten die einen bestimmten Abstand zum Mittelpunkt haben).

2. In jedem gleichschenkeligen Dreick gibt es eine Gerade die zugleich Mittelsenkrechte, Sei-tenhalbierende und Winkelhalbierende ist.

A

C

B

3. Gegeben zwei Kreise k1, k2 mit Mittelpunkten M1 und M2 und Schnittpunkten CD. Zeigedas CD und M1M2 sich im rechten Winkel schneiden.

M1 M2

C

D

4. Zeige den Kongruenzsatz WSSg. Gegeben zwei Dreiecke ABC und A′B′C ′ so dass |AB| =|A′B′| ≥ |CA| = |C ′A′| und γ = γ′. Dann sind die Dreiecke kongruent. (γ (γ′) bezeichnetden Innenwinkel an C (C ′))

5.12 Knobelaufgabe zum nachsten Mal

Auf wie viele Arten lassen sich 1, 2 oder 3 Kreise in der Ebene zeichnen. Zwei Kreise sollen sichdabei immer zweimal oder keinmal schneiden. Außerdem soll kein Punkt auf drei Kreisen liegen.

Folgendes wollen wir nicht untereinander unterscheiden: und , aber

folgendes schon: und .

(Wir betrachten die Konstellationen als gleich, die wir durch verschieben ineinander uberfuhrenkonnen. Dabei mussen beim Verschieben die ganze Zeit die Regeln zu den Schnittpunkten ein-gehalten werden.)

Konnt ihr auch herausfinden, wie viele Konstellationen es fur 4 Kreise gibt?

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Vierecke MSG Zirkel 7b 10. Juli 2017

5.13 Vierecke

Wir wollen im folgenden nur konvexe Vierecke betrachten. D.h. kein Innenwinkel darf großerals 180◦ sein. Außerdem wollen wir Seitenlangen, Winkel und Geraden von Vierecken wie folgtbezeichnen:

αβ

γ

δ

A

D

B

C

a

b

c

d

Definition. Ein Viereck heißt Sehnenviereck, wenn es einen Kreis gibt, so dass alle vier SeitenSehnen sind.

A

B

C D

Ein Viereck heißt Tangentenviereck, wenn es einen Kreis gibt, so dass alle vier Seiten Tangenten

sind.

A

B

CD

Ein Viereck, in dem jeweils zwei benachbarte Seiten gleich lang sind (a = b, c = d), heißtDrachenviereck.

Ein Viereck, in dem zwei Seiten parallel sind, heißt Trapez.

Ein Viereck, in dem jeweils die gegenuberliegenden Seiten parallel sind, heißt Parallelogramm.

Ein Parallelogramm mit vier rechten Winkeln heißt Rechteck.

Ein Parallelogramm mit vier gleich langen Seiten heißt Rhombus oder Raute.

Ein Viereck, das Rhombus und Rechteck ist, heißt Quadrat.

Nachstes Jahr werden wir uns genauer mit dem Sehnenviereck und dem Tangentenviereck beschafti-gen. Furs erste werden wir uns auf die anderen 5 speziellen Vierecke besschranken.

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Page 60: MSG Zirkel 7b - Freie Universitätpage.mi.fu-berlin.de/kliem/msg/NotizenMSG7.pdf · Jonathan Kliem MSG Zirkel 7b 26. September 2016 0.1 Kubikwurzeln Mit ein wenig Uberlegung ist es

Vierecke MSG Zirkel 7b 10. Juli 2017

Nachfolgende finden sich verschiedene Eigenschaften von Vierecken. Uberprufe welche Vierecke(von Quadrat, Rhombus, Rechteck, Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck) diese Eigen-schaften erfullen (Z.B.

”In einem Quadrat sind alle Seiten gleich lang“). Anschließend uberprufe,

ob man von dieser Eigenschaft auf das Viereck schließen kann (Z.B.”Sind alle vier Seiten gleich

lang und ist einer der Winkel ein rechter Winkel, ist das Viereck ein Quadrat.“) Beweise DeineVermutungen (das ist mitunter schwer).

1. Alle Seiten sind gleich lang.

2. Alle Seiten sind gleich lang. Ein Winkel ist ein rechter Winkel.

3. Alle Winkel sind rechte Winkel.

4. Drei Winkel sind rechte Winkel.

5. Zwei Winkel sind rechte Winkel.

6. Zwei benachbarte Winkel sind rechte Winkel.

7. Das Viereck ist ein Parallelogramm und hat einen rechten Winkel.

8. Das Viereck ist Parellelogramm und Drachenviereck.

9. Die Diagonalen schneiden sich im rechten Winkel.

10. Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.

11. Die Diagonalen sind gleich lang.

12. Eine der Diagonalen halbiert eine andere.

13. Der Schnittpunkt der Diagonalen hat den selben Abstand zu allen Ecken.

14. Benachbarte Winkel addieren sich zu 180◦.

15. Jede Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke.

16. Eine Diagonale teilt das Viereck in zwei kongruente Dreiecke.

17. Beide Diagonalen teilen das Viereck in vier (paarweise) kongruente Dreiecke.

18. Beide Diagonalen teilen das Viereck in vier Dreiecke, von denen jeweils 2 benachbartekongruent sind.

19. Beide Diagonalen teilen das Viereck in vier Dreiecke, von denen jeweils die gegenuberlie-genden kongruent sind.

20. Die gegenuberliegenden Seiten haben die gleiche Lange.

21. Die gegenuberliegenden Winkel des Vierecks sind gleich groß (α = γ und β = δ).

22. AB und BC sind gleich lang und parallel.

23. Ich kann mit vielen Kopien eines Vierecks die Ebene pflastern (z.B. kann ich mit einemQuadrat die Ebene pflastern).

24. Die Mittelpunkte der Seiten bilden ein neues Viereck, welches ein Rhombus ist.

25. Die Mittelpunkte der Seiten bilden ein neues Viereck, welches ein Rechteck ist.

26. Die Mittelpunkte der Seiten bilden ein neues Viereck, welches ein Quadrat ist.

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