msv02 msv01 f i - Lehrstuhl Numerische Mathematik · Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl fu¨r...
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Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl f¨ ur Numerische Mathematik Lineare Mehrschrittverfahren (MSV) Idee: Verwende zur Bestimmung von y i+1 nicht nur den zuletzt zur¨ uckliegenden Werte y i und f i , sondern zus¨ atzlich noch weiter zur¨ uckliegende Werte. y i+1 = s k=0 a k y i−k + s k=−1 b k f i−k Es existieren zwei große Klassen: • Adams–Varianten basieren auf Quadraturformeln und Integration • BDF–Varianten basieren auf Interpolation und Differenziation Im Gegensatz zu konsistenten Einschrittverfahren • sind MSV nicht automatisch stabil. • steigt bei MSV der Aufwand mit der Ordnung nicht an. Mehrschrittverfahren (msv01) 1 Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl f¨ ur Numerische Mathematik Konsistenz + Stabilit¨ at = Konvergenz y ′ = y, y 0 =1,y 1 =e h konsistent und stabil y i+1 = y i−1 +2hf i−1 y i t i h =0.2 h =0.1 exakt 0 1 1 1 0.2 1.2214 1.2214 1.2214 0.4 1.4886 1.4909 1.4918 0.6 1.8168 1.8204 1.8281 0.8 2.2153 2.2227 2.2255 1.0 2.7029 2.7139 2.7183 konsistent, NICHT stabil y i+1 = -3y i−1 +4y i - 2hf i−1 y i t i h =0.2 h =0.1 exakt 0 1 1 1 0.2 1.2214 1.3416 1.2214 0.4 1.4856 3.0862 1.4918 0.6 1.7896 15.8534 1.8281 0.8 2.1075 – 2.2255 1.0 2.3454 – 2.7183 Mehrschrittverfahren (msv02) 2
Transcript of msv02 msv01 f i - Lehrstuhl Numerische Mathematik · Prof. Dr. Barbara Wohlmuth Lehrstuhl fu¨r...
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Lineare
Mehrsch
rittverfa
hren(M
SV)
Idee:
Verw
endezurBestim
mungvon
yi+
1nich
tnurden
zuletzt
zuruckliegen
den
Werte
yiundfi ,son
dern
zusatzlich
noch
weiter
zuruckliegen
deWerte.
yi+
1=
s∑k=0
akyi−
k+
s∑
k=−1
bkfi−
k
Esexistieren
zwei
großeKlassen
:
•Adam
s–Varian
tenbasieren
aufQuadratu
rformeln
undIntegration
•BDF–V
arianten
basieren
aufInterp
olationundDifferen
ziation
ImGegen
satzzu
konsisten
tenEinsch
rittverfahren
•sin
dMSVnich
tautom
atischstab
il.
•steigt
bei
MSVder
Aufwandmitder
Ordnungnich
tan.
Mehrsch
rittverfahren
(msv01)
1
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Konsiste
nz+
Stabilita
t=
Konve
rgenz
y′=
y,y0=
1,y1=
eh
konsisten
tundstab
il
yi+
1=
yi−
1+2hfi−
1
yi
ti
h=
0.2
h=
0.1
exakt
01
11
0.2
1.2214
1.2214
1.2214
0.4
1.4886
1.4909
1.4918
0.6
1.8168
1.8204
1.8281
0.8
2.2153
2.2227
2.2255
1.0
2.7029
2.7139
2.7183
konsisten
t,NICHT
stabil
yi+
1=
−3yi−
1+4yi−2hfi−
1
yi
ti
h=
0.2
h=
0.1
exakt
01
11
0.2
1.2214
1.3416
1.2214
0.4
1.4856
3.0862
1.4918
0.6
1.7896
15.8534
1.8281
0.8
2.1075
–2.2255
1.0
2.3454
–2.7183
Mehrsch
rittverfahren
(msv02)
2
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Mehrsch
rittverfa
hren:Adams–Bashforth
Methoden(1)
Idee:
y′=
f(t,y
)⇐⇒
y(t
i+1 )
=y(t
i )+
∫
ti+
1
ti
f(t,y
)dt
Approxim
iere∫
mittels
einer
Quadratu
rformel
unter
Verw
endungder
bekan
nten
Stutzp
unkte
(ti ,f
i ),...,(ti+
1−s ,f
i+1−s ).
t(i−3)
t(i−2)
t(i−1)
t(i)t(i+
1)
f(t,y)P
³(t)
t(i)t(i+
1)
Fehler
f(t,y)P
³(t)
Mehrsch
rittverfahren
(msv03)
3
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Adams–Bashforth
Methoden(exp
lizit)(2)
s:Schrittzah
l,p:Ordnung
s=
1,p=
1:
yi+
1=
yi+hfi ,
s=
2,p=
2:
yi+
1=
yi+
12h(3fi−fi−
1 ),
s=
3,p=
3:
yi+
1=
yi+
112h(23
fi−16fi−
1+
5fi−
2 ),
s=
4,p=
4:
yi+
1=
yi+
124h(55
fi−59fi−
1+
37fi−
2−9fi−
3 ).
Bei
expliziten
AB–M
ethoden
gilt:Schrittzah
l=
Ordnung.
Esexistieren
Verfah
renbelieb
igerOrdnung.
Mehrsch
rittverfahren
(msv04)
4
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Andere
Klasse
vonMSV:Adams–Bashforth
Methoden
s:Schrittzah
l,p:Ordnung
s=
1,p=
1:
yi+
1=
yi+hfi ,
s=
2,p=
2:
yi+
1=
yi+
12h(3fi−fi−
1 ),
s=
3,p=
3:
yi+
1=
yi+
112h(23
fi−16fi−
1+
5fi−
2 ),
s=
4,p=
4:
yi+
1=
yi+
124h(55
fi−59fi−
1+
37fi−
2−9fi−
3 ).
Bei
expliziten
AB–M
ethoden
gilt:Schrittzah
l=
Ordnung.
Esexistieren
Verfah
renbelieb
igerOrdnung.
Mehrsch
rittverfahren
(msv04)
5
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Adams–Bashforth
Methoden:Versch
iedeneOrdnungen
y′=
−10ty,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
101
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der SchritteA
B2
AB
3A
B4
AB2:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren2ter
Ordnung
AB3:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren3ter
Ordnung
AB4:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv05)
6
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Adams–Bashforth
Methoden:Versch
iedeneOrdnungen
Arensto
rforbit
(vierblattrig
)
105
106
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der SchritteA
B2
AB
3A
B4
AB2:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren2ter
Ordnung
AB3:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren3ter
Ordnung
AB4:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv08)
7
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Adams–Moulto
nMethoden(im
plizit)
s=
0,p=
1:
yi+
1=
yi+
hfi+
1 ,
s=
1,p=
2:
yi+
1=
yi+
12h(f
i+1+fi ),
s=
2,p=
3:
yi+
1=
yi+
112h(5fi+
1+8fi−fi−
1 ),
s=
3,p=
4:
yi+
1=
yi+
124h(9fi+
1+19fi−5fi−
1+1fi−
2 ).
Bei
impliziten
AM–M
ethoden
gilt:Schrittzah
l+1=
Ordnung.
Adams–Bashforth
–Moulto
n–/Pradiktor–Korre
ktor–Methoden
explizit
s=
2,p=
3
y(P
)i+
1=
yi+
12h(3
fi−
fi−
1 ),
yi+
1=
yi+
112h(
5f(
ti+
1 ,y(P
)i+
1
)
+8fi−
fi−
1
)
.
Mehrsch
rittverfahren
(msv09)
8
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Vergleich
:AB–/AM–/ABM–Verfa
hren
y′=
−10ty,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
101
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
AB
4A
M4
AB
M4
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen F
unktionsauswertungen
AB
4A
M4
AB
M4
AB4:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
AM4:Adam
s–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
ABM4:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv10)
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hlfurNumerisch
eMath
ematik
Vergleich
:AB–/AM–/ABM–Verfa
hren
Arensto
rforbit
(vierblattrig
)
104
105
10−
5
100
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
AB
4A
M4
AB
M4
104
106
10−
5
100
Fehler gegen F
unktionsauswertungen
AB
4A
M4
AB
M4
AB4:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
AM4:Adam
s–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
ABM4:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv13)
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hlfurNumerisch
eMath
ematik
ABM
Methoden:Versch
iedeneOrdnungen
y′=
−10ty,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
101
102
103
10−
15
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
AB
M2
AB
M3
AB
M4
ABM2:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren2ter
Ordnung
ABM3:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren3ter
Ordnung
ABM4:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv14)
11
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eMath
ematik
ABM
Methoden:Versch
iedeneOrdnungen
Arensto
rforbit
(vierblattrig
)
105
106
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
AB
M2
AB
M3
AB
M4
ABM2:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren2ter
Ordnung
ABM3:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren3ter
Ordnung
ABM4:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv17)
12
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Vergleich
mit
Einsch
rittverfa
hren
y′=
−10ty,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
101
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der SchritteA
BA
BM
RK
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen F
unktionsauswertungen
AB
AB
MR
K
AB:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
ABM:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nPrad
iktor–Korrektor
Verfah
ren4ter
Ordnung
RK:exp
lizitesRunge–Kutta
Verfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv18)
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Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Vergleich
mit
Einsch
rittverfa
hren
vierblattrig
erArensto
rforbit
104
106
10−
10
10−
5
100
Fehler gegen A
nzahl der SchritteA
BA
BM
RK
104
106
10−
10
10−
5
100
Fehler gegen F
unktionsauswertungen
AB
AB
MR
K
AB:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
ABM:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
RK:exp
lizitesRunge–Kutta
Verfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv21)
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uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Mehrsch
rittverfa
hren:BDF–Verfa
hren(1)
Idee:
Ersetze
y(t)
durch
einInterp
olationspolyn
omPs (t)
der
Ordnungsmitden
Stutzstellen
(ti+
1 ,yi+
1 ),(t
i ,yi ),
...,(t
i−s+1 ,
yi−
s+1 ),
undlose
P′s (t)
=f(t,y
(t)).
Dies
liefertein
Verfah
render
Gestalt
a−1 y
i+1+a0 y
i+a1 y
i−1+
···+
as−1 y
i−s+1
=hf(t
i+1 ,
yi+
1 ),
oder
s−1
∑
j=−1
aj y
i−j
=hf(t
i+1 ,
yi+
1 ).
Mehrsch
rittverfahren
(msv25)
15
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Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Mehrsch
rittverfa
hren:BDF–Verfa
hren(2)
s:Schrittzah
l,p:Ordnung
1,1:
hfi+
1=
yi+
1−yi ,
2,2:
hfi+
1=
32yi+
1−2yi+
12yi−
1 ,
3,3:
hfi+
1=
116yi+
1−3yi+
32yi−
1−
13yi−
2 ,
4,4:
hfi+
1=
2512yi+
1−4yi+3yi−
1−
43yi−
2+
14yi−
3 ,
5,5:
hfi+
1=
137
60yi+
1−
5yi+
5yi−
1−
103yi−
2+
54yi−
3−
15yi−
4
6,6:
hfi+
1=
147
60yi+
1−
6yi+
152yi−
1−
203yi−
2+
154yi−
3−
65yi−
4+
16yi−
5 .
Furs>
6sin
ddie
Verfah
reninstab
il.
Mehrsch
rittverfahren
(msv26)
16
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araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
BDFMethoden:Versch
iedeneOrdnungen
y′=
−10ty,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
101
102
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
BD
F2
BD
F3
BD
F4
BDF2:BDF–Verfah
ren2ter
Ordnung
BDF3:BDF–Verfah
ren3ter
Ordnung
BDF4:BDF–Verfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv27)
17
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
BDFMethoden:Versch
iedeneOrdnungen
Arensto
rforbit
(vierblattrig
)
105
106
10−
6
10−
4
10−
2
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
BD
F2
BD
F3
BD
F4
BDF2:BDF–Verfah
ren2ter
Ordnung
BDF3:BDF–Verfah
ren3ter
Ordnung
BDF4:BDF–Verfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv30)
18
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Vergleich
:AB–/ABM–/BDF–Verfa
hren
y′=
−10ty,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
101
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
AB
4A
BM
4B
DF
4
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen F
unktionsauswertungen
AB
4A
BM
4B
DF
4
AB4:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
ABM4:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
BDF4:BDFVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv31)
19
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Vergleich
:AB–/ABM–/BDF–Verfa
hren
Arensto
rforbit
(vierblattrig
)
104
105
10−
5
100
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
AB
4A
BM
4B
DF
4
105
106
10−
5
100
Fehler gegen F
unktionsauswertungen
AB
4A
BM
4B
DF
4
AB4:Adam
s–Bash
forthVerfah
ren4ter
Ordnung
ABM4:Adam
s–Bash
forth–Moulto
nVerfah
ren4ter
Ordnung
BDF4:BDFVerfah
ren4ter
Ordnung
Mehrsch
rittverfahren
(msv34)
20
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematikE
influss
derAnlaufre
chnung
y′=
−5t(2
+3t)y
,y(0)
=1,Fehlerbeit=
1
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
BD
F2
BD
F3
BD
F4
RK3–V
erfahren
102
103
10−
10
10−
5
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
BD
F2
BD
F3
BD
F4
Heun
102
103
10−
8
10−
6
10−
4
Fehler gegen A
nzahl der Schritte
BD
F2
BD
F3
BD
F4exp
liziterEuler
BDF2:BDF–Verfah
ren2ter
Ordnung
BDF3:BDF–Verfah
ren3ter
Ordnung
BDF4:BDF–Verfah
ren4ter
Ordnung
⇒FurMSVder
OrdnungpAnlau
frechnungmitOrdnungp−
1notig
Mehrsch
rittverfahren
(msv36)
21
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Was
gibtes
noch?
Ausblick
(stiff01)
22
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
A”Stiff
”Beam
(Haire
r,W
annerII,
p.8)
Wir
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Schwingu
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eines
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1unter
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Kraft
F(t)
=
(
Fx (t)
Fy (t)
)
=
(
−α(t)
α(t)
)
mitα(t)
=
{
1.5
sin2(t)
fur
0≤
t≤
π,
0fur
t≥
π
amStab
endes=
1.
Furdie
Koord
inaten
giltin
Abhangigkeit
vomWinkel
θ=
θ(s,t)
x(s,t)
=
s∫0
cosθ(σ
,t)dσ,
und
y(s,t)
=
s∫0
sinθ(σ
,t)dσ.
Ausblick
(stiff01)
23
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Sei
Tdie
kinetisch
eEnerg
ieundU
die
poten
zielleEnerg
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System
s,dannerh
altman
mittels
der
Lagran
ge–Funktio
nL
=T
−U
einepartie
lleDifferentia
lgleich
ung
furθ(s,t),
welch
e
Ableitu
ngen
zweiter
Ordnungnach
sundtbein
haltet.
1∫0
G(s,σ)cos(θ
(s,t)
−θ(σ
,t))θ
(σ,t)
dσ
=
θ′′(s
,t)
+cos(θ
(s,t))F
y (t)−
sin(θ
(s,t))F
x (t)−
1∫0
G(s,σ)sin
(θ(s,t)
−θ(σ
,t))
(
θ(σ
,t))
2
dσ
Wie
behandelt
mansolch
eGleich
ungen?
(⇒
Finite
Differenzen,Finite
Elemente,...)
Alserste
Idee
konnten
wirim
Ort
ebenso
wie
inder
Zeit
diskretisieren
.
Ausblick
(stiff02)
24
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
Angen
ommen
man
hat
folgendeOrtsd
iskretisierung
1∫0
f(θ(σ
,t))dσ=
1S
S∑k=1
f(θ
k )mit
θk=
θ
((
k−
12
)
1S,t
)
furk=
1,...,S
undintegriert
bezu
glichder
Ortsvariab
lens.
Das
liefertein
Syste
mvo
nS
gewohnlich
enDifferentia
lgleich
ungen:
S∑k=1
alk
··θk=S
4(θ
l−1−
2θl+
θl+
1 )+
S2(cosθl F
y−
sinθl F
x )−
S∑k=1
glksin
(θl−
θk )
·θ2k
Furk=
1,...,S
mitθ0=
−θ1 ,
θS+1=
θSundden
Koeffi
zienten
alk
=glkcos(θ
l−
θk )
mit
glk
=S
+12−
max(l,
k).
Diessollte
doch
nunproblemloslosbar
sein...
Ausblick
(stiff02b)
25
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
A”Stiff
”Beam
Vergleich
:Explizite
s/Im
plizite
sEulerverfa
hren(N
ewton),
Ortsd
iskretisie
rungS
=8,T
=5
Explizit:
30000Zeitsch
ritteIm
plizit:
500Zeitsch
ritte
Beob
achtung:
Implizites
Verfah
renstab
iler
Ausblick
(stiff03a)
26
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araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
A”Stiff
”Beam
Verfa
hrenvonHeun,Ortsd
iskretisie
rungS
=8,T
=5
2200Zeitsch
ritte
2400Zeitsch
ritte2600
Zeitsch
ritte
Ausblick
(stiff05)
27
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
A”Stiff
”Beam
Klassisch
esRK4–Verfa
hren,Ortsd
iskretisie
rungS
=8,T
=5
421Zeitsch
ritte425
Zeitsch
ritte430
Zeitsch
ritte
Beob
achtung:
Quantitativ
hangt
die
Qualitat
starkvon
der
Ordnungab
Aber:
Qualitativ
hab
enall
diese
expliziten
Verfah
renStab
ilitatsproblem
eAusw
eg:Im
plizite
Verfah
ren
Ausblick
(stiff06)
28
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
A”Stiff
”Beam
Implizite
sRK4(H
ammer&
Hollin
gsw
orth
),NewtonIte
ratio
n,S
=8,T
=5
10Zeitsch
ritte30
Zeitsch
ritte50
Zeitsch
ritte
Bem
erkung:
Beisteifen
Prob
lemen
mussen
implizite
Verfah
renin
Kom
bination
mit
der
New
ton–Iteration
verwendet
werd
en
Ausblick
(stiff08)
29
Prof.Dr.Barb
araWohlm
uth
Lehrstu
hlfurNumerisch
eMath
ematik
⇒NeueStabilita
tsbegriff
e⇒
Behandlungste
iferDifferentia
lgleich
ungen
⇒Behandlungpartie
llerDifferentia
lgleich
ungen
Numerik
vonDifferentia
lgleich
ungenim
Winterse
meste
r12/13
Ausblick
(stiff01)
30
