Multikriterielle Optimierung

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Multikriterielle Optimierung. Lars Boshold. Inhaltsverzeichniss. 1. Optimierung unter Nebenbedingungen 2. Multikriterielle Optimierung 3. Pareto-Optimierung 4. Quellenverzeichnis. Optimierung unter Nebenbedingungen. Optimierung unter Nebenbedingungen Problemstellung: - PowerPoint PPT Presentation

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  • Multikriterielle OptimierungLars Boshold

  • Inhaltsverzeichniss1. Optimierung unter Nebenbedingungen 2. Multikriterielle Optimierung

    3. Pareto-Optimierung

    4. Quellenverzeichnis

  • Optimierung unter Nebenbedingungen Optimierung unter Nebenbedingungen

    Problemstellung:

    Minimiere Funktion f(x) unter Nebenbedingungen gi(x) 0 und hj(x) =0

  • Optimierung unter Nebenbedingungen

    Praktischer Hinweis:

    In der Praxis mssen die Nebenbedingungen nicht zwingend mit Maschinengenauigkeit eingehalten werden.

  • Optimierung unter NebenbedingungenErster Ansatz: TransformationTransformiere ursprngliches Problem in eines ohne Nebenbedingungen: min(f(x)), hj(x) =0 => min(f2(x))

    Aber: Eine solche Transformation ist in der Praxis oftmals nicht durchfhrbar

  • Optimierung unter NebenbedingungenBeispiel:Minimiere Oberflche einer Kiste bei festem Volumen:

    min(2*(l*b+h*b+l*b)) unter V=l*g*h=const => min(l*b+(l+b)*V/(l*b))

  • Optimierung unter NebenbedingungenKlassischer Ansatz: Lagrange Multiplikatoren

    Bilde F(x, ):= f(x) ihi(x) und lse grad F=0

    Gewisse Voraussetzungen an f(x) mssen erfllt seinLagrange Multiplikatoren vergrern Dimension des Problems

  • Optimierung unter NebenbedingungenBeispiel:

    minimiere f(x)=x2 unter der Nebenbedingung x=1(d.h. h(x)=x-1)

    =>F(x, )= x2 *(x-1)

    Diagramm2

    34567

    2.85253.82754.80255.77756.7525

    2.713.664.615.566.51

    2.57253.49754.42255.34756.2725

    2.443.344.245.146.04

    2.31253.18754.06254.93755.8125

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    2.07252.89753.72254.54755.3725

    1.962.763.564.365.16

    1.85252.62753.40254.17754.9525

    1.752.53.2544.75

    1.65252.37753.10253.82754.5525

    1.562.262.963.664.36

    1.47252.14752.82253.49754.1725

    1.392.042.693.343.99

    1.31251.93752.56253.18753.8125

    1.241.842.443.043.64

    1.17251.74752.32252.89753.4725

    1.111.662.212.763.31

    1.05251.57752.10252.62753.1525

    11.522.53

    0.95251.42751.90252.37752.8525

    0.911.361.812.262.71

    0.87251.29751.72252.14752.5725

    0.841.241.642.042.44

    0.81251.18751.56251.93752.3125

    0.791.141.491.842.19

    0.77251.09751.42251.74752.0725

    0.761.061.361.661.96

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    11111

    1.05251.02751.00250.97750.9525

    1.111.061.010.960.91

    1.17251.09751.02250.94750.8725

    1.241.141.040.940.84

    1.31251.18751.06250.93750.8125

    1.391.241.090.940.79

    1.47251.29751.12250.94750.7725

    1.561.361.160.960.76

    1.65251.42751.20250.97750.7525

    1.751.51.2510.75

    1.85251.57751.30251.02750.7525

    1.961.661.361.060.76

    2.07251.74751.42251.09750.7725

    2.191.841.491.140.79

    2.31251.93751.56251.18750.8125

    2.442.041.641.240.84

    2.57252.14751.72251.29750.8725

    2.712.261.811.360.91

    2.85252.37751.90251.42750.9525

    32.521.51

    3.15252.62752.10251.57751.0525

    3.312.762.211.661.11

    3.47252.89752.32251.74751.1725

    3.643.042.441.841.24

    3.81253.18752.56251.93751.3125

    3.993.342.692.041.39

    4.17253.49752.82252.14751.4725

    4.363.662.962.261.56

    4.55253.82753.10252.37751.6525

    4.7543.252.51.75

    4.95254.17753.40252.62751.8525

    5.164.363.562.761.96

    5.37254.54753.72252.89752.0725

    5.594.743.893.042.19

    5.81254.93754.06253.18752.3125

    6.045.144.243.342.44

    6.27255.34754.42253.49752.5725

    6.515.564.613.662.71

    6.75255.77754.80253.82752.8525

    76543

    Tabelle1

    -134567

    -0.952.85253.82754.80255.77756.7525

    -0.92.713.664.615.566.51

    -0.852.57253.49754.42255.34756.2725

    -0.82.443.344.245.146.04

    -0.752.31253.18754.06254.93755.8125

    -0.72.193.043.894.745.59

    -0.652.07252.89753.72254.54755.3725

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    -0.11.111.662.212.763.31

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    111111

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    1.852.57252.14751.72251.29750.8725

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    2.053.15252.62752.10251.57751.0525

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    2.253.81253.18752.56251.93751.3125

    2.33.993.342.692.041.39

    2.354.17253.49752.82252.14751.4725

    2.44.363.662.962.261.56

    2.454.55253.82753.10252.37751.6525

    2.54.7543.252.51.75

    2.554.95254.17753.40252.62751.8525

    2.65.164.363.562.761.96

    2.655.37254.54753.72252.89752.0725

    2.75.594.743.893.042.19

    2.755.81254.93754.06253.18752.3125

    2.86.045.144.243.342.44

    2.856.27255.34754.42253.49752.5725

    2.96.515.564.613.662.71

    2.956.75255.77754.80253.82752.8525

    376543

    Tabelle1

    Tabelle2

    Tabelle3

  • Optimierung unter NebenbedingungenWie geht man vor, wenn als Nebenbedingungen ebenfalls ein Satz von Ungleichungen gj(x) 0 vorliegt?Lsung: Fhre sogenannte slack variables ein, d.h. schreibe Nebenbed. In der Form gj(x)- aj2=0 => F(x, , a)=f(x) ihi(x) j ( gj(x)-aj2)

  • Optimierung unter Nebenbedingungen

    Um Gleichungen fr die aj zu erhalten, differentiere F nach aj und setze gleich Null, man erhlt 2 j aj = 0

    - j = 0 => NB ist inaktiv- aj = 0 => NB auf Gleichung reduziert

  • Optimierung unter NebenbedingungenSchlussfolgerung:

    Bei Verwendung von Lagrangen Multiplikatoren knnen Nebenbedingungen der Form gj(x) 0 stets als Gleichung aufgefasst bzw., falls nicht verletzt, ignoriert werden.

  • Optimierung unter NebenbedingungenGroer Nachteil der Lagrange Multiplikatoren:

    Minimierung der Lagrange-Funktion lst nicht zwingend das Ausgangsproblem. (z.B. stationre Punkte mit positiver Hesse-Matrix)

    Mgliche Lsung: Verwende Newton-Verfahren, um richtige Lsung zu suchen.Aber: Funktioniert nur, wenn Suche in Nhe des gesuchten Minimums beginnt.

  • Optimierung unter NebenbedingungenSequentielle Quadratische Programmierung

    (nur Grundidee): Verwende quadratische Approximation der Lagrange-Fkt., um eben erwhntes Problem zu umgehen und nhere sich der gesuchten Lsung iterativ an, indem in jedem Schritt das quadratische Minimierungsproblem gelst wird.

  • Optimierung unter NebenbedingungenJe nach Problemstellung kann es erwnscht sein, dass die Nebenbedingungen mglichst gut erfllt sind, d.h. dass Lsungen erwnscht sind, welche sich im Inneren des zulssigen Bereiches befinden.

    Beispiel: Nebenbedingung, welche maximale Kostenobergrenze vorgibt

  • Optimierung unter Nebenbedingungen Methode der zulssigen Richtungen (Feasible Directions Method, FDM)

    Im Gegensatz zu den Lagrange Mult. hlt sich die FDM mglichst weit von den Grenzen des zulssigen Bereichs entfernt, funktioniert folglich nur bei Ungleichungen.Grundidee: Starte an aktiver Grenze und folge der besten Richtung in den zulssigen Wertebereich.Die beste Richtung wird anhand zweier Kriterien bestimmt:

  • Optimierung unter Nebenbedingungenmglichst rasche Minimierung der Fkt.man mchte die NBen mglichst gut erfllen

    Vorgehensweise:b maximiere -sTDgi({x}) + ib 0, sTDf(x) + b 0 si 1, s definiert die Suchrichtung, i 0 sind die sogenannten push-off Faktoren, d.h. sie bestimmen, wie weit die Suche von der Grenze des zuls. Bereichs entfernt bleibt

  • Optimierung unter NebenbedingungenSobald die Suchrichtung s bestimmt ist, fhre eine eindim. Suche in eben diese Richtung aus bis 1.) ein Minimum gefunden werden konnteoder2.) eine Nebenbedingung verletzt wurde.Im ersten Falle fahre fort mit Minimumssuche ohne Beachtung der NB, im 2. wiederhole Berechnung der zulssigen Richtung und iteriere Prozedur.

  • Optimierung unter NebenbedingungenVorteil der FDM:Lineare Maximierungsproblem knnen sehr effizient und robust gelst werden.Nachteil der FDM