Multiple Korrelation 01_multiple_korrelation1 Gliederung Partialkorrelation Semipartialkorrelation...
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Multiple Korrelation
01_multiple_korrelation 1
Gliederung• Partialkorrelation• Semipartialkorrelation• Multiple Korrelation• Inkrementelle Validität• Beispiele für multiple Korrelationen• Multiple Korrelation in SPSS
Ziel der Multiplen Korrelation
01_multiple_korrelation 2
Ziele der Multiplen Korrelation• Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang
mehrere Variablen untereinander. • Es wird die Frage beantwortet, wie viel Varianz ein Kriterium mit
mehreren Prädiktoren gemeinsam hat.• Die MK stellt damit eine Vorstufe der Multiplen Regression dar.
Beispiel• Wie eng ist der Zusammenhang der Lebenszufriedenheit mit
körperlicher Gesundheit, Einkommen, und Optimismus?
Aufgeklärte Varianz
01_multiple_korrelation 3
Der Anteil aufgeklärter Varianz wird oft durch Venn-Diagramme veranschaulicht:
Varianz von X Varianz von Y
Gemeinsame Varianz
r² 1-r²
Aufgeklärte Varianz
01_multiple_korrelation 4
Aufgeklärte Varianz• Die MK gibt an, wie viel Varianz des Kriteriums durch die
Prädiktoren aufgeklärt wird.• Bei einem bivariaten Zusammenhang wird der Anteil der
aufgeklärten Varianz durch den Determinationskoeffizienten angegeben: r²
• Die Varianz des Kriteriums setzt sich additiv aus erklärbarer Varianz und nicht erklärter Varianz zusammen:
22222 1 yyy srsrs
nicht-erklärbare Varianz
Aufgeklärte Varianz
Partialkorrelation
01_multiple_korrelation 5
Problem: • psychologische Merkmale hängen in aller Regel von vielen
Faktoren (Variablen) ab.• Die Korrelation zweier Variablen wird meist von (mehreren)
dritten Variablen beeinflusst / vermittelt.
Beispiel:x: Anzahl von Badeunfällen im Freibady: Menge des konsumierten Speiseeises
Lösung:Konstanthalten/Eliminieren bekannter Drittvariablen durch die Partialkorrelation (rxy.z)
Partialkorrelation
01_multiple_korrelation 6
Die Partialkorrelation im Venn-Diagramm:
y
x
z 2.zxyr
y.z
x.z
Die quadrierte Partialkorrelation r²xy.z ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y erklärt, wenn z aus beiden Variablen herauspartialisiert wird.
Partialkorrelation
01_multiple_korrelation 7
Definition- Die Partialkorrelation rxy.z beschreibt den linearen Zusammenhang
von zwei Variablen, …- … aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde.
„Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde“
Partialkorrelation
01_multiple_korrelation 8
(Theoretisches) Vorgehen:- Die Variablen x und y
werden durch eine Regression auf z residualisiert.
- Anschließend werden die Residuen miteinander korreliert.
Partialkorrelation
01_multiple_korrelation 9
Beispiel: Gewichtabnahme durch Sport- Fragestellung: Wie stark hängt das Körpergewicht von sportlicher
Betätigung ab?- Gemessen werden:
- Gewichtsabnahme (y)- Trainingsdauer (x1) - Kalorienaufnahme (x2)
- Dabei ergeben sich folgende Korrelationeny x1 x2
y 1.0 .43 -.51
x1 1.0 .41
x2 1.0
Partialkorrelation
01_multiple_korrelation 10
• Fragestellung: Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training ab? r(y, x1) = .43
• Aber: Der Gewichtsverlust hängt auchmit der Kalorienaufnahme zusammen.
Wie hoch wäre die Korrelation zwischen Training und Gewichts-verlust, wenn alle Probanden gleich viele Kalorien zu sich genommen hätten?
• Berechnung der Partialkorrelation:
y x1 x2
y 1.0 .43 -.51
x1 1.0 .41
x2 1.0
81.)17.1()26.1(
41.)51.(43.
)1()1( 22.
212
2121
21
xxyx
xxyxyxxyx
rr
rrrr
Semipartialkorrelation
01_multiple_korrelation 11
Die Semipartialkorrelation rx(y.z) • Die Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit
y, nachdem z nur aus y „herauspartialisiert“ wurde.• Mit der Semipartialkorelation kann berechnet werden, wie viel
Varianz von y durch x zusätzlich zu z aufgeklärt werden kann.• Beispiel:
– „Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts (y) erklärt das Training (x) zusätzlich zur Kalorienaufnahme (y)?“
Semipartialkorrelation
01_multiple_korrelation 12
Die Semipartialkorrelation im Venn-Diagramm:
y
x
z
xy.z
2).( zyxr
Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y.z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y zusätzlich zu z erklärt.
Semipartialkorrelation
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• Fragestellung: Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts erklärt das Trainingzusätzlich zur Kalorienaufnahme?
• Berechnung der Semipartialkorrelation:
y x1 x2
y 1.0 .43 -.51
x1 1.0 .41
x2 1.0
49.70.
70.91.
64.
41.1
41.51.43.
1
22).(
22).(
21
21
2121
21
xxy
xx
xxyxyxxxy
r
r
rrrr
Zusammenfassung
01_multiple_korrelation 14
• Partialkorrelation rxy.z– Herauspartialisieren eines dritten
Merkmals aus beiden Variablen
• Semipartialkorrelation rx(y.z)– Herauspartialisieren eines dritten
Merkmals aus nur einer Variable
y.zx.z
x y.z
Multiple Korrelation
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Die Multiple Korrelation• Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den Zusammenhang
zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium.• Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere
Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium ( Multiple Regression) und dem tatsächlichem Kriteriumswert.
• Beispiel:– Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training und der
Kalorienaufnahme gemeinsam ab?– Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen
gemeinsam aufgeklärt werden?
• R vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit Kriterium• R² Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz
= Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression
Multiple Korrelation
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• Fragestellung: – Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training
und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab?– Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können
durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden?
• Berechnung der Multiplen Korrelation (für zwei Prädiktoren):
y x1 x2
y 1.0 .43 -.51
x1 1.0 .41
x2 1.0
86.
83.
62.
17.1
51.43.41.226.18.
1
22
22
.
21
212121
21
xx
yxyxxxyxyxxxy r
rrrrrR
Multiple Korrelation
01_multiple_korrelation 17
ryx (bivariate Korrelation)
Ry.xz (multiple Korrelation)
y
x
z2xyr
y
x
z2.xzyR
Multiple Korrelation
01_multiple_korrelation 18
2).(
22. xzyyxxzy rrR
y
x
y
x
zz
y
x
z
= + y
Multiple Korrelation
01_multiple_korrelation 19
yy
x x
z z
… …
y
x
y
x
zz
y
x
z
= + y
Inkrementelle Validität
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Inkrementelle Validität• Eine Variable besitzt inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme
als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht.
• D.h. eine Variable mit inkrementeller Validität verbessert die Vorhersage des Kriteriums.
y
x
z
Inkrementelle Validität
01_multiple_korrelation 21
Beispiel• Aufgeklärte Varianz:
– x1 klärt 36% der Varianz von y auf– x2 klärt 20% der Varianz von y auf
• Frage: besitzt x2 inkrementelle Validität? Berechnung der Varianz, die durch x1 und x2 gemeinsam aufgeklärt wird:
• Fazit: Weil R²y.x1x2 > r²yx1 klärt x2 also auch einen Varianzanteil auf x2 besitzt inkrementelle Validität!
y x1 x2
y 1.0 .60 .45
x1 1.0 .30
x2 1.0
44.66.
66.30.1
45.60.30.220.36.
22.
2.
21
21
xxy
xxy
R
R
Beispiele für multiple Korrelationen
01_multiple_korrelation 22
Einige Spezialfälle der Multiplen Korrelationa. Nullkorrelationb. Ein Prädiktor korreliertc. Inkrementelle Validitätd. Keine inkrementelle Validitäte. Suppressor-Effekt
Beispiele für multiple Korrelationen
01_multiple_korrelation 23
Beispiel a: Nullkorrelation
• Wenn keiner der Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die multiple Korrelation immer R² = 0.
y x1 x2
y 1.0 .00 .00
x1 1.0 .60
x2 1.0
00.00.
00.60.1
00.00.60.200.00.
22.
2.
21
21
xxy
xxy
R
R
yx1
x2
Beispiele für multiple Korrelationen
01_multiple_korrelation 24
Beispiel b: Ein Prädiktor korreliert
• Wenn nur ein Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch x1 alleine.(Ausnahme: siehe Suppressor-Effekt)
• x2 besitzt keine inkrementelle Validität.
y x1 x2
y 1.0 .60 .00
x1 1.0 .00
x2 1.036.60.
60.00.1
00.60.00.200.36.
22.
2.
21
21
xxy
xxy
R
R
x2
x1
y
Beispiele für multiple Korrelationen
01_multiple_korrelation 25
Beispiel c: Inkrementelle Validität
• Beide Prädiktoren besitzen inkrementelle Validität!
y x1 x2
y 1.0 .60 .45
x1 1.0 .30
x2 1.0
y
x1
x2
44.66.
66.30.1
45.60.30.220.36.
22.
2.
21
21
xxy
xxy
R
R
Beispiele für multiple Korrelationen
01_multiple_korrelation 26
Beispiel d: Keine Inkrementelle Validität
• Weil R²y.x1x2 = r²yx1 besitzt x2 keine inkrementelle Validität!
y x1 x2
y 1.0 .60 .45
x1 1.0 .80
x2 1.036.60.
60.80.1
45.60.80.220.36.
22.
2.
21
21
xxy
xxy
R
R
Beispiele für multiple Korrelationen
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Beispiel e: Suppressor-Effekt
• Obwohl y und x2 nicht korrelieren, ist R²y.x1x2 > r²yx1.
• x2 besitzt demnach inkrementelle Validität!
• Diese liegt daran, dass der Anteil von x1, der nichts mit x2 gemeinsam hat, y besonders gut vorhersagen kann.
y x1 x2
y 1.0 .55 .00
x1 1.0 .55
x2 1.043.66.
66.55.1
00.55.55.200.30.
22.
2.
21
21
xxy
xxy
R
R
yx1
x2
Beispiele für multiple Korrelationen
01_multiple_korrelation 28
Ein Suppressor Effekt liegt also vor, wenn• … ein Prädiktor nicht mit dem Kriterium korreliert• … aber trotzdem die Varianzaufklärung verbessert.• Dies ist der Fall, wenn der Prädiktor mit anderen Prädiktoren
deutlich korreliert.
Die Multiple Korrelation in SPSS
SPSS - Menubefehl• In SPSS wird die Multiple
Korrelation als Teil der(Multiplen) Regressionberechnet.
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Die Multiple Korrelation in SPSS
SPSS - Syntax
regression /dependent gv /method enter training kalorien.
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Die Multiple Korrelation in SPSS
SPSS - Ausgabe
• Die komplette SPSS-Ausgabe wird detailliert im nächsten Kapitel (Multiple Regression) besprochen.
01_multiple_korrelation 31
Modellzusammenfassung
Modell R R-QuadratKorrigiertesR-Quadrat
Standardfehler des Schätzers
1 ,546a ,298 ,273 3,03409
a. Einflußvariablen : (Konstante), kalorien, training
Zusammenfassung
• PartialkorrelationHerauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus allen anderenVariablen.
• SemipartialkorrelationHerauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus einem anderen Prädiktor
• Multiple KorrelationVarianzaufklärung mit mehreren Prädiktoren– Inkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte Varianz– Suppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne
dass er mit dem Kriterium korreliert.
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