Multiple Korrelation

Multiple Korrelation

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Gliederung• Partialkorrelation• Semipartialkorrelation• Multiple Korrelation• Inkrementelle Validität• Beispiele für multiple Korrelationen• Multiple Korrelation in SPSS

Ziel der Multiplen Korrelation


Ziele der Multiplen Korrelation• Die Multiple Korrelation befasst sich mit dem Zusammenhang

mehrere Variablen untereinander. • Es wird die Frage beantwortet, wie viel Varianz ein Kriterium mit

mehreren Prädiktoren gemeinsam hat.• Die MK stellt damit eine Vorstufe der Multiplen Regression dar.

Beispiel• Wie eng ist der Zusammenhang der Lebenszufriedenheit mit

körperlicher Gesundheit, Einkommen, und Optimismus?

Aufgeklärte Varianz


Der Anteil aufgeklärter Varianz wird oft durch Venn-Diagramme veranschaulicht:

Varianz von X Varianz von Y

Gemeinsame Varianz

r² 1-r²



Aufgeklärte Varianz• Die MK gibt an, wie viel Varianz des Kriteriums durch die

Prädiktoren aufgeklärt wird.• Bei einem bivariaten Zusammenhang wird der Anteil der

aufgeklärten Varianz durch den Determinationskoeffizienten angegeben: r²

• Die Varianz des Kriteriums setzt sich additiv aus erklärbarer Varianz und nicht erklärter Varianz zusammen:

22222 1 yyy srsrs

nicht-erklärbare Varianz


Partialkorrelation


Problem: • psychologische Merkmale hängen in aller Regel von vielen

Faktoren (Variablen) ab.• Die Korrelation zweier Variablen wird meist von (mehreren)

dritten Variablen beeinflusst / vermittelt.

Beispiel:x: Anzahl von Badeunfällen im Freibady: Menge des konsumierten Speiseeises

Lösung:Konstanthalten/Eliminieren bekannter Drittvariablen durch die Partialkorrelation (rxy.z)

Partialkorrelation


Die Partialkorrelation im Venn-Diagramm:

y

x

z 2.zxyr

y.z

x.z

Die quadrierte Partialkorrelation r²xy.z ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y erklärt, wenn z aus beiden Variablen herauspartialisiert wird.

Partialkorrelation


Definition- Die Partialkorrelation rxy.z beschreibt den linearen Zusammenhang

von zwei Variablen, …- … aus dem der Einfluss einer dritten Variable eliminiert wurde.

„Korrelation der Variablen x und y, nachdem eine Variable z aus x und y herauspartialisiert wurde“

Partialkorrelation


(Theoretisches) Vorgehen:- Die Variablen x und y

werden durch eine Regression auf z residualisiert.

- Anschließend werden die Residuen miteinander korreliert.

Partialkorrelation


Beispiel: Gewichtabnahme durch Sport- Fragestellung: Wie stark hängt das Körpergewicht von sportlicher

Betätigung ab?- Gemessen werden:

- Gewichtsabnahme (y)- Trainingsdauer (x1) - Kalorienaufnahme (x2)

- Dabei ergeben sich folgende Korrelationeny x1 x2

y 1.0 .43 -.51

x1 1.0 .41

x2 1.0

Partialkorrelation


• Fragestellung: Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training ab? r(y, x1) = .43

• Aber: Der Gewichtsverlust hängt auchmit der Kalorienaufnahme zusammen.

Wie hoch wäre die Korrelation zwischen Training und Gewichts-verlust, wenn alle Probanden gleich viele Kalorien zu sich genommen hätten?

• Berechnung der Partialkorrelation:

y x1 x2

y 1.0 .43 -.51

x1 1.0 .41

x2 1.0

81.)17.1()26.1(

41.)51.(43.

)1()1( 22.

212

2121

21

xxyx

xxyxyxxyx

rr

rrrr

Semipartialkorrelation


Die Semipartialkorrelation rx(y.z) • Die Semipartialkorrelation ist die Korrelation der Variablen x mit

y, nachdem z nur aus y „herauspartialisiert“ wurde.• Mit der Semipartialkorelation kann berechnet werden, wie viel

Varianz von y durch x zusätzlich zu z aufgeklärt werden kann.• Beispiel:

– „Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts (y) erklärt das Training (x) zusätzlich zur Kalorienaufnahme (y)?“



Die Semipartialkorrelation im Venn-Diagramm:

y

x

z

xy.z

2).( zyxr

Die quadrierte Semipartialkorrelation r²x(y.z) ist der Anteil der Varianz von x, den die Variable y zusätzlich zu z erklärt.



• Fragestellung: Wie viel Varianz des Gewichtsverlusts erklärt das Trainingzusätzlich zur Kalorienaufnahme?

• Berechnung der Semipartialkorrelation:

y x1 x2

y 1.0 .43 -.51

x1 1.0 .41

x2 1.0

49.70.

70.91.

64.

41.1

41.51.43.

1

22).(

22).(

21

21

2121

21

xxy

xx

xxyxyxxxy

r

r

rrrr

Zusammenfassung


• Partialkorrelation rxy.z– Herauspartialisieren eines dritten

Merkmals aus beiden Variablen

• Semipartialkorrelation rx(y.z)– Herauspartialisieren eines dritten

Merkmals aus nur einer Variable

y.zx.z

x y.z



Die Multiple Korrelation• Der Multiple Korrelationskoeffizient (R) erfasst den Zusammenhang

zwischen mehreren Prädiktorvariablen und einem Kriterium.• Dies entspricht der Korrelation zwischen einem durch mehrere

Prädiktoren vorhergesagtem Kriterium ( Multiple Regression) und dem tatsächlichem Kriteriumswert.

• Beispiel:– Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training und der

Kalorienaufnahme gemeinsam ab?– Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können durch beide Variablen

gemeinsam aufgeklärt werden?

• R vereinigter Zusammenhang aller Prädiktoren mit Kriterium• R² Anteil der durch alle Prädiktoren aufgeklärten Varianz

= Maß für die Effektstärke bei der multiplen Regression



• Fragestellung: – Wie stark hängt der Gewichtsverlust vom Training

und der Kalorienaufnahme gemeinsam ab?– Wie viel Varianz des Gewichtsverlustes können

durch beide Variablen gemeinsam aufgeklärt werden?

• Berechnung der Multiplen Korrelation (für zwei Prädiktoren):

y x1 x2

y 1.0 .43 -.51

x1 1.0 .41

x2 1.0

86.

83.

62.

17.1

51.43.41.226.18.

1

22

22

.

21

212121

21

xx

yxyxxxyxyxxxy r

rrrrrR



ryx (bivariate Korrelation)

Ry.xz (multiple Korrelation)

y

x

z2xyr

y

x

z2.xzyR



2).(

22. xzyyxxzy rrR

y

x

y

x

zz

y

x

z

= + y



yy

x x

z z

… …

y

x

y

x

zz

y

x

z

= + y

Inkrementelle Validität


Inkrementelle Validität• Eine Variable besitzt inkrementelle Validität, wenn ihre Aufnahme

als zusätzlicher Prädiktor den Anteil der aufgeklärten Varianz (R²) am Kriterium erhöht.

• D.h. eine Variable mit inkrementeller Validität verbessert die Vorhersage des Kriteriums.

y

x

z

Inkrementelle Validität


Beispiel• Aufgeklärte Varianz:

– x1 klärt 36% der Varianz von y auf– x2 klärt 20% der Varianz von y auf

• Frage: besitzt x2 inkrementelle Validität? Berechnung der Varianz, die durch x1 und x2 gemeinsam aufgeklärt wird:

• Fazit: Weil R²y.x1x2 > r²yx1 klärt x2 also auch einen Varianzanteil auf x2 besitzt inkrementelle Validität!

y x1 x2

y 1.0 .60 .45

x1 1.0 .30

x2 1.0

44.66.

66.30.1

45.60.30.220.36.

22.

2.

21

21

xxy

xxy

R

R

Beispiele für multiple Korrelationen


Einige Spezialfälle der Multiplen Korrelationa. Nullkorrelationb. Ein Prädiktor korreliertc. Inkrementelle Validitätd. Keine inkrementelle Validitäte. Suppressor-Effekt



Beispiel a: Nullkorrelation

• Wenn keiner der Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die multiple Korrelation immer R² = 0.

y x1 x2

y 1.0 .00 .00

x1 1.0 .60

x2 1.0

00.00.

00.60.1

00.00.60.200.00.

22.

2.

21

21

xxy

xxy

R

R

yx1

x2



Beispiel b: Ein Prädiktor korreliert

• Wenn nur ein Prädiktoren mit dem Kriterium korreliert, ist die gemeinsame Vorhersage ist genauso gut, wie die Vorhersage durch x1 alleine.(Ausnahme: siehe Suppressor-Effekt)

• x2 besitzt keine inkrementelle Validität.

y x1 x2

y 1.0 .60 .00

x1 1.0 .00

x2 1.036.60.

60.00.1

00.60.00.200.36.

22.

2.

21

21

xxy

xxy

R

R

x2

x1

y



Beispiel c: Inkrementelle Validität

• Beide Prädiktoren besitzen inkrementelle Validität!

y x1 x2

y 1.0 .60 .45

x1 1.0 .30

x2 1.0

y

x1

x2

44.66.

66.30.1

45.60.30.220.36.

22.

2.

21

21

xxy

xxy

R

R



Beispiel d: Keine Inkrementelle Validität

• Weil R²y.x1x2 = r²yx1 besitzt x2 keine inkrementelle Validität!

y x1 x2

y 1.0 .60 .45

x1 1.0 .80

x2 1.036.60.

60.80.1

45.60.80.220.36.

22.

2.

21

21

xxy

xxy

R

R



Beispiel e: Suppressor-Effekt

• Obwohl y und x2 nicht korrelieren, ist R²y.x1x2 > r²yx1.

• x2 besitzt demnach inkrementelle Validität!

• Diese liegt daran, dass der Anteil von x1, der nichts mit x2 gemeinsam hat, y besonders gut vorhersagen kann.

y x1 x2

y 1.0 .55 .00

x1 1.0 .55

x2 1.043.66.

66.55.1

00.55.55.200.30.

22.

2.

21

21

xxy

xxy

R

R

yx1

x2



Ein Suppressor Effekt liegt also vor, wenn• … ein Prädiktor nicht mit dem Kriterium korreliert• … aber trotzdem die Varianzaufklärung verbessert.• Dies ist der Fall, wenn der Prädiktor mit anderen Prädiktoren

deutlich korreliert.

Die Multiple Korrelation in SPSS

SPSS - Menubefehl• In SPSS wird die Multiple

Korrelation als Teil der(Multiplen) Regressionberechnet.



SPSS - Syntax

regression /dependent gv /method enter training kalorien.



SPSS - Ausgabe

• Die komplette SPSS-Ausgabe wird detailliert im nächsten Kapitel (Multiple Regression) besprochen.


Modellzusammenfassung

Modell R R-QuadratKorrigiertesR-Quadrat

Standardfehler des Schätzers

1 ,546a ,298 ,273 3,03409

a. Einflußvariablen : (Konstante), kalorien, training

Zusammenfassung

• PartialkorrelationHerauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus allen anderenVariablen.

• SemipartialkorrelationHerauspartialisieren eines zusätzlichen Prädiktors aus einem anderen Prädiktor

• Multiple KorrelationVarianzaufklärung mit mehreren Prädiktoren– Inkrementelle Validität: durch einen Prädiktor zusätzlich erklärte Varianz– Suppressor-Effekt: Ein Prädiktor verbessert die multiple Korrelation ohne

dass er mit dem Kriterium korreliert.


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