Multiple Regression
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Multiple Regression
02_multiple_regression 1
Gliederung• Strukturgleichung• Regressionskoeffizienten• Der F-Test
– Quadratsummen– Determinationskoeffizient
• Selektion der Prädiktoren• Voraussetzungen der Multiplen Regressionsanalyse• Die Multiple Regression in SPSS• Mediator- und Moderatoranalysen mit der Multiplen Regression
Ziel der Multiplen Korrelation
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Ziel der Multiplen Regression• Vorhersage eines Merkmals (Kriterium)• durch mehrere andere Merkmale (Prädiktoren)
Beispiel• Vorhersage der Klausurnote durch mathematischen Fähigkeiten Anzahl der
Vorlesungs- und Tutoratsbesuche, Anzahl der Arbeitsstunden zu Hause, Motivation, Interesse, …
• Vorhersage der Psychischen Gesundheit durch Optimismus, Qualität des „sozialen Netzes“, Stressoren, …
Beispiel
02_multiple_regression 3
Beispiel: Vorhersage der Psychischen Gesundheit durch Optimismus, Qualität des „sozialen Netzes“, Stressoren
Frage: Wie kann die psychische Gesundheit durch die drei Prädiktoren vorhergesagt werden?
Vp Optimismus (x1) Soz. Netz (x2) Stressoren (x3) Psy. Gesund. (y)
1 18 8 45 562 18 4 57 363 13 4 44 414 23 1 47 365 25 8 52 63
Graphische Darstellung der multiplen Regression
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Psychische Gesundheit
Optimismus
soziales Netz
Stressoren
…
β1
β2
β3
Die Strukturgleichung
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Die Vorhersage erfolgt, wie bei der binären Regression, durch eine einfache Strukturgleichung:• Die bivariate Regression:
• Die multivariate (multiple) Regression:
axby ii ˆ
axbxbxby iiii ,33,22,11ˆ
astrbsnboptbpg iiii
321
b-Gewichte
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• Ziel der Regressionsanalyse ist also die Bestimmung der Parameter der Regressionsgleichung:– b1, b2, b3, a
• Interpretation der b-Gewichte:– Das Vorzeichen gibt die Richtung des Effekts an.– Der Betrag gibt an, wie stark ein Prädiktor gewichtet wird.– Aber: Das Gewicht häng von der Skalierung (dem Wertebereich)
von x und y ab.– Einfacher zu interpretieren sind die standardisierten Gewichte (β).– Die β-Gewichte haben einen Wertebereich von -1 bis +1– Sie entsprechen den b-Gewichten wenn alle Variablen vor der Analyse
z-standardisiert werden.– b-Gewichte (und β) sind abhängig von der Auswahl der Prädiktoren!
Methode der kleinsten Quadrate
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Bestimmung der Parameter• Die Parameter (b1, … , bk, a) werden so bestimmt, dass der
Vorhersagefehler minimal ist:–
• Dazu wird die „Methode der kleinsten Quadrate“ verwendet:– – Vorteile:
(a) das Vorzeichen der Differenz fällt weg(b) große Abweichungen werden stärker berücksichtigt als kleine
Abweichungen.
yy ˆ
minˆ 2 ii yy
Methode der kleinsten Quadrate
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Methode der kleinsten Quadrate
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Signifikanztests
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Signifikanztests der multiplen Regression(1) Wird ein statistisch bedeutsamer Anteil der Varianz des Kriteriums durch alle
Prädiktoren gemeinsam aufgeklärt? F-Test
(2) Leisten die einzelnen Prädiktoren einen bedeutsamen Beitrag? t-Tests für alle Prädiktoren
Quadratsummen
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• Der F-Test beruht auf einer Zerlegung der Varianz des Kriteriums in einen erklärten und einen nicht erklärten Teil.
• Als Maß für die Varianz werden die sogenannten „Quadratsummen“ verwendet.
• „Quadratsumme“ = „Sum of Squares“ = SS• Die Quadratsumme ist ein unstandardisiertes Maß für die Varianz• Es gilt:
resregtotal SSSSSS
nicht-erklärbare Varianz
Aufgeklärte Varianz
1
KNSSMS
KSS
MS
resres
regreg
Quadratsummen
02_multiple_regression 12
n
iiires
n
iireg
n
iitotal
yySS
yySS
yySS
1
1
1
)²ˆ(
)²ˆ(
)²(
unstandardisiert:„Sums of Squares“
standardisiert:„Mean Sums of Squares“
K: Anzahl der Prädiktoren
N: Anzahl der Probanden
df1
df2
Der F-Test der Multiplen Regression
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Berechnung des empirischen F-Wertes:
• Um dem empirische F-Wert zu interpretieren, wird dieser mit einem kritischen F-Wert verglichen.
• Der kritische F-Wert wird aus einer Tabelle abgelesen(berücksichtigt werden df1, df2, α)
• Femp > Fkrit bedeutet:– Ein bedeutsamer Teil der Kriteriumsvarianz wird aufgeklärt– Die Prädiktoren sind geeignet, um das Kriterium vorherzusagen
1 und mit ;//
212
1 kNdfkdfMSMS
dfSSdfSS
Fres
reg
res
regemp
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Der F-Test der Multiplen Regression
02_multiple_regression 15
Berechnung des empirischen F-Wertes aus R²
Auflösen nach SSreg:Auflösen nach SSres:
total
reg
res
regemp
SSSS
R
dfSSdfSS
F
2
2
1
//
totalreg SSRSS 2
totalres
totaltotalres
regtotalres
resregtotal
SSRSS
SSRSSSS
SSSSSS
SSSSSS
2
2
1
Der F-Test der Multiplen Regression
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Berechnung des empirischen F-Wertes aus R²
Eine Multiple Regression / Korrelation kann auf Signifikanz geprüft werden, wenn man R² kennt.
22
12
22
12
2
1
/)1(/
/)1(/
//
dfRdfR
dfSSRdfSSRF
dfSSdfSS
F
total
totalemp
res
regemp
Der F-Test der Multiplen Regression
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Beispiel 1: Gewichtsverlust• Kann der Gewichtsverlust durch Training und
Kalorienaufnahme vorhergesagt werden?
• Berechnung der Multiplen Korrelation
y x1 x2
y 1.0 .43 -.51
x1 1.0 .41
x2 1.0
86.83.62.
17.151.43.41.226.18.
12
2
22
.21
212121
21
xx
yxyxxxyxyxxxy r
rrrrrR
7586. 22. 21
xxyR
Der F-Test der Multiplen Regression
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Der F-Test (für N=18)
Weil Femp > Fkrit gilt:• Ein bedeutsamer Teil der Varianz von y wird aufgeklärt• x1 und x2 können y vorhersagen
y x1 x2
y 1.0 .43 -.51
x1 1.0 .41
x2 1.0
50.2215/25.2/75.
/1/
22
12
dfR
dfRFemp
68.315,2 kritF
Der F-Test der Multiplen Regression
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Beispiel 2: Psychische Gesundheit• Kann die psychische Gesundheit Optimismus, Qualität des
„sozialen Netzes“ und der Stressbelastung vorhergesagt werden?
• Berechnung der Multiplen Korrelation– R = .73– R² = .54– N = 60
• Weil Femp > Fkrit gilt:– Ein bedeutsamer Teil der Varianz von y wird aufgeklärt– x1 und x2 können y vorhersagen
05.2156/47.3/53.
empF
77.256,3 kritF
t-Tests für die Parameter
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t-Tests für die Parameter• Wenn die Regressionsanalyse insgesamt einen statistisch
bedeutsamen Zusammenhang aufdeckt ist noch nichts darüber bekannt, welche Prädiktoren wichtig für die Varianzaufklärung sind.
• Dazu werden die einzelnen b-Gewichte separat auf Signifikanz geprüft.
• Dies geschiet mit t-Tests für alle Parameter (zur Berechnung: vgl. Bortz, S. 450)– Es wird jeweils die Nullhypothese geprüft, dass sich das jeweilige
b-Gewicht nicht von 0 unterscheidet.– Bei einem nicht-Signifikanten Ergebnis kann der entsprechende Prädiktor
also weggelassen werden.– Auch für die additive Konstante ird ein t-Test durchgeführt
• Diese Tests gelten nur im Kontext der verendeten Prädiktoren!
Korrigiertes R²
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R² überschätzt Populationszusammenhang• Die Vorhersage in einer Stichprobe überschätzt Vorhersage in
anderen Stichproben bzw. in der Population• Je kleiner die Stichprobe und je größer die Anzahl der Prädiktoren
desto größer die Überschätzung von R²• Bei einem Nullzusammenhang in Population ergibt sich
ein Erwartungswert für R² von E(R²) = (k-1)/(N-1)– Beispiel: k=3; N=10: E(R²) = 2/9 = .22
• Empfehlung: Verhältnis N/K von mind. 20, besser 30• Beispiel: k=2, N=40: E(R²) = 1/39 = .03
k=2, N=60: E(R²) = 1/59 = .02
Korrigiertes R²
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Lösung: Korrigiertes R²
• Schrumpfungskorrektur nach Olkin & Pratt:
• Beispiel: k=3; N=20; R² = .50
22 ²)1(2²)1(2
31ˆ RKN
RKN
NR
40.)50(.172)50(.
15171ˆ 22
R
Auswahl der Prädiktoren
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• In der Praxis stellt sich das Problem, welche und wie viele Prädiktoren für die Vorhersage ausgewählt werden sollten.
• Dabei sollte immer ein „sparsames“ Vorgehen gewählt werden, weil eine große Prädiktormenge eine Überschätzung von R² fördert.
• Mögliche Strategien– Hypothesengeleitetes Vorgehen:
• „Einschluss“– Hierarchische Regressionsanalysen:
• Vorwärts Selektion• Rückwärts Eliminierung• Schrittweises Vorgehen
Auswahl der Prädiktoren
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Einschluss - Strategie• A priori Auswahl der aufzunehmenden Prädiktoren (aufgrund von
Vorwissen oder Theorie)
• Vorteile:– Hypothesengeleitetes Vorgehen
• Nachteile:– Möglicherweise Aufnahme von mehr Prädiktoren als erforderlich
(Prädiktoren, die keinen signifikanten Beitrag leisten)– Dies kann zu einer Verringerung des F-Wertes führen (wegen der größeren
Anzahl der Zähler-Freiheitsgrade), und damit die Teststärke verringern.– Möglicherweise werden wichtige Prädiktoren „vergessen“
Auswahl der Prädiktoren
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Hierarchisches Regressionsanalysen• Die am besten passenden Prädiktoren werden post-hoc
(empirisch) bestimmt.
• Vorteile:– Minimum an Prädiktoren– Exploratives Vorgehen möglich
• Nachteile:– „Capitalization of Chance“ wegen der Bevorzugung hoch korrelierender
Prädiktoren– Kein hypothesengeleitetes Vorgehen
Auswahl der Prädiktoren
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Vorwärts - Selektion• Aus einer Menge möglicher Prädiktoren wird der Prädiktor mit
der höchsten Validität zuerst aufgenommen.• Unter den verbleibenden Prädiktoren wird immer derjenige
ausgewählt, der den größten Teil der verbleibenden Varianz aufklärt (=höchste inkrementelle Validität).
• Wenn kein Prädiktor die aufgeklärte Varianz signifikant erhöht,ist die endgültige Auswahl gefunden.
Auswahl der Prädiktoren
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Rückwärts - Eliminierung• Zunächst werden alle Prädiktoren eingeschlossen.• Dann wird immer der Prädiktor weglassen, der am wenigsten zur
Vorhersage beiträgt.• Wenn der Ausschluss eines Prädiktors zu einer signifikanten
Reduktion der aufgeklärten Varianz führen würde, wird der Selektionsprozess abgebrochen.
Auswahl der Prädiktoren
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Schrittweise Selektion:• Es wird abwechseln ein Vorwärts- und ein Rückwärtsschritt
durchgeführt.• Dadurch werden Variablen, die im Kontext neu aufgenommener
Prädiktoren keine Varianz mehr aufklären, im Nachhinein wieder entfernt.
• Diese Schritte werden so lange wiederholt, bis keine weiteren Variablen ein- oder ausgeschlossen werden können.
Voraussetzungen
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Voraussetzungen der Multiplen Regression• Multivariate Normalverteilung aller Variablen
(schwer zu überprüfen)• Aber: bei großen Stichproben (mindestens 20 Probanden pro
Prädiktor) ist die Regressionsanalyse robust gegenüber Verletzungen dieser Annahme.
• Weitere Einschränkung:Es werden nur lineare Zusammenhänge gefunden.
Die Multiple Regressionsanalyse in SPSS
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regression /dependent pg /method enter opt, sn, str
SPSS
02_multiple_regression 31
ANOVAb
Modell Quadratsumme dfMittel der Quadrate F Signifikanz
1 Regression 7521,869 3 2507,290 21,238 ,000a
Residuen 6611,329 56 118,059Gesamt 14133,198 59
a. Einflußvariablen : (Konstante), str, opt, snb. Abhängige Variable: pg
Modellzusammenfassung
Modell R R-QuadratKorrigiertesR-Quadrat
Standardfehler des Schätzers
1 ,730a ,532 ,507 10,866a. Einflußvariablen : (Konstante), str, opt, sn
SPSS
02_multiple_regression 32
Koeffizientena
Modell
Nicht standardisierte Koeffizienten
Standard.Koeffizienten
T Sig.BStandard-
fehler Beta1 (Konstante) 61,327 9,815 6,248 ,000
opt 1,156 ,318 ,343 3,635 ,001sn 2,424 ,684 ,336 3,542 ,001str -,851 ,145 -,540 -5,883 ,000
a. Abhängige Variable: pg
33.6185.042.216.1 iii
istrsnoptpg
Weitere Regressionsanalysen
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Weitere Regressionsanalysen
• Mediatoranalyse– Wird der Zusammenhang von X und Y durch M vermittelt?
• Moderatoranalyse– Wird der Zusammenhang von X und Y durch M beeinflusst?
Mediatoranalyse
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Mediatoranalyse• Fragestellung: „Wird der Zusammenhang von X und Y durch M
vermittelt?“• Beispiel: „Wird der Zusammenhang von Motivation und Note
durch Lernaufwand vermittelt?“• Es wird also eine Annahme zur Kausalität gemacht• Es wird untersucht, wie die Motivation wirkt.• Literatur:
– Baron, R. M., & Kenny, D. A. (1986). The moderator-mediator distinction in social psychological research: Conceptual, strategic, and statistical considerations. Journal of Personality and Social Psychology, 51(6), 1173-1182.
Mediatoranalyse
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Motivation Note
Lerndauer
Prädiktor Kriterium
Mediator
Mediatoranalyse
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Schritt 1• Regression von Y auf X.
(Regression der Note auf die Motivation)Y = b X + a
• Nur wenn sich ein signifikanter Zusammenhang zwischen Y und X zeigt (b ≠ 0), kann eine Mediation vorliegen.
Motivation Note
Lerndauer
bY,X≠0
Mediatoranalyse
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Schritt 2• Regression von M auf X.
(Regression der Lerndauer auf die Motivation)M = b X + a
• Nur wenn sich ein signifikanter Zusammenhang zwischen M und X zeigt (b ≠ 0), kann eine Mediation vorliegen.
Motivation Note
LerndauerbM,X≠0
Mediatoranalyse
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Schritt 3• Regression von Y auf M.
(Regression der Note auf die Lerndauer)Y = b M + a
• Nur wenn sich ein signifikanter Zusammenhang zwischen Y und M zeigt (b ≠ 0), kann eine Mediation vorliegen.
Motivation Note
LerndauerbY,M≠0
Mediatoranalyse
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Schritt 4• Regression von Y auf X und M.
(Regression der Note auf die Lerndauer und die Motivation)Y = b1 X + b2 M + a
• Ergebnis:– bX,M = 0: „Vollständige Mediation“– |bX,M|> 0 ,aber kleiner als in Schritt 1: „partielle Mediation“– bX,M gleich wie in Schritt 1: Keine Mediation
Motivation Note
LerndauerbY,M≠0
bX,M=0
Mediatoranalyse in SPSS
02_multiple_regression 40
*** step 1.reg /dependent note /method enter mot.
*** step 2.reg /dependent lern /method enter mot.
*** step 3.reg /dependent note /method enter lern.
*** step 4.reg /dependent note /method enter mot
lern.
Koeffizientena
5.816 1.047 5.554 .000-.059 .021 -.448 -2.875 .007
(Konstante)mot
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: notea.
• b≠0, (sig.) d.h. Die Note kann durch die Motivation vorhergesagt werden.
• Hinweis: Das b-Gewicht ist negativ, da es bei hoher Motivation zu geringen (guten) Noten kommt.
Mediatoranalyse in SPSS
02_multiple_regression 41
*** step 1.reg /dependent note /method enter mot.
*** step 2.reg /dependent lern /method enter mot.
*** step 3.reg /dependent note /method enter lern.
*** step 4.reg /dependent note /method enter mot
lern.
Koeffizientena
-4.632 9.205 -.503 .618.728 .181 .574 4.024 .000
(Konstante)mot
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: lerna.
• b≠0, (sig.) d.h. die Lerndauer kann durch die Motivation vorhergesagt werden.
Mediatoranalyse in SPSS
02_multiple_regression 42
*** step 1.reg /dependent note /method enter mot.
*** step 2.reg /dependent lern /method enter mot.
*** step 3.reg /dependent note /method enter lern.
*** step 4.reg /dependent note /method enter mot
lern.
Koeffizientena
5.018 .466 10.760 .000-.068 .014 -.653 -4.951 .000
(Konstante)lern
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: notea.
• b≠0, (sig.) d.h. die Note kann durch die Lerndauer vorhergesagt werden.
Mediatoranalyse in SPSS
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*** step 1.reg /dependent note /method enter mot.
*** step 2.reg /dependent lern /method enter mot.
*** step 3.reg /dependent note /method enter lern.
*** step 4.reg /dependent note /method enter mot lern.
Koeffizientena
5.531 .898 6.159 .000-.014 .021 -.109 -.670 .508-.062 .017 -.590 -3.637 .001
(Konstante)motlern
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: notea.
• b≈0, (n.s.), d.h. die Motivation leistet über die Lerndauer hinaus keinen Beitrag mehr zur Vorhersage der Note
„Vollständige Mediation“
Moderatoranalyse
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Moderatoranalyse• Fragestellung: „Wird der Zusammenhang von X und Y durch M
beeinflusst?“• Beispiel: „Wird der Zusammenhang von Lerndauer und Note
durch mathematische Intelligenz beeinflusst?“– Hypothese: Die gleiche Lernzeit wirkt sich bei Probanden mit hoher
mathematischer Fähigkeit stärker aus als bei Probanden mit geringer mathematischer Fähigkeit.
– Im Gegensatz zur Mediatiorvariablen (M) wird nicht angenommen, dass die Moderatorvariable durch die UV (X) beeinflusst wird.
Moderatoranalyse
02_multiple_regression 45
Lerndauer Note
math. IQ
Prädiktor Kriterium
Moderator
Die Moderatorvariable wirkt nicht direkt auf die Note, sondern auf den Zusammenhang, d.h. auf das b-Gewicht der Regression
Moderatoranalyse
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Note
Lerndauer
math. IQ -
math. IQ +
Hinweise:• Für jede Ausprägung von M
müsste eine eigene Regres-sionsgerade gezeigt werden
• Oft erden nur 2 Geraden gezeigt, z.B. für Probanden die eine Standardabeichung über bzw. unter dem Mittelwert liegen.
Moderatoranalyse
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Grundüberlegung:• Wie wird die Regressionsgerade der Regression von Y auf X durch M
beeinflusst?– Y = b1 X + a1 (1)
• Es wird angenommen, dass b1 und a1 von M abhängen, d.h. dass beide Koeffizienten durch eine Regression auf M vorhergesagt werden können: – b1 = b2 M + a2 (2)– a1 = b3 M + a3 (3)
• Jetzt werden die Gleichungen (2) und (3) in (1) eingesetzt…
Moderatoranalyse
02_multiple_regression 48
331
221
11
aMbaaMbbaXbY
3322
3322 )()(aMbXaMXbaMbXaMbY
''3
'2
'1 aMbXbMXbY
Prädiktoren(UV‘s)
Regressions-Koeffizienten
• Es wird nun eine Regression mit den drei Prädiktoren X, M und MX berechnet.
• Das Regressionsgewicht von MX (b1‘ = b2) gibt an, ob und wie stark die Steigung der ursprünglichen Regression von M abhängt!
Moderatoranalyse
02_multiple_regression 49
• 1. Schritt: z-Transformation von X und M (dies ist aus mathe-matischen Gründen empfehlenswert, auf die hier nicht weiter eingegangen wird).
• 2. Schritt: Berechnung eines neuen Prädiktors: P = z(X) z(M).∙• 3. Schritt: Berechnung einer Regression von Y auf z(X), z(Y) und P
• Interpretation des Regressionsgewichts von P:– b > 0 (sig): Je größer M, desto höher (positiver) die Steigung der
ursprünglichen Regressionsgeraden– b < 0 (sig) : Je größer M, desto geringer (negativer) die Steigung der
ursprünglichen Regressionsgeraden– b≈0 (n.s.): Keine Moderation des Zusammenhangs von X und Y durch M.
Moderatoranalyse in SPSS
02_multiple_regression 50
*** step 1.desc lern, mIQ /save.
*** step 2.compute P = Zlern*ZmIQ.
*** step 3.reg /dependent note /method enter Zlern ZmIQ P.
• Mit dem Befehl „descriptives /save“ werden Variablen z-transformiert.
• Es entstehen neue Spalten im Datenfenster, bei denen ein „Z“ vor den ursprünglichen Variablennamen gehängt wurde.
• Mit „compute“ wird eine neue Variable P als Produkt von Zlern und ZmIQ berechnet.
Moderatoranalyse in SPSS
02_multiple_regression 51
Moderatoranalyse in SPSS
02_multiple_regression 52
*** step 1.desc lern, mIQ /save.
*** step 2.compute P = Zlern*ZmIQ.
*** step 3.reg /dependent note /method enter Zlern ZmIQ P.
• neg. Koeffizient für lern: je mehr Lern-aufwand, desto kleiner (besser) die Note.
• neg. Koeffizient für mIQ: je höher die math. Fertigkeiten, desto kleiner (besser) die Note
• neg. Koeffizient für P: je höher mIQ, desto negativer (also stärker) der Zusammenhang von Lernaufwand und Note.
Koeffizientena
3.551 .222 15.971 .000-1.295 .227 -.694 -5.703 .000
-.535 .234 -.287 -2.287 .029-.478 .223 -.269 -2.148 .040
(Konstante)Z-Wert(lern)Z-Wert(mIQ)P
Modell1
BStandardf
ehler
Nicht standardisierteKoeffizienten
Beta
Standardisierte
Koeffizienten
T Signifikanz
Abhängige Variable: notea.
Zusammenfassung
• Die multiple Regression dient der Vorhersage eines Kriteriums durch mehrere Prädiktoren.
• Mit einem F-Test wird überprüft, ob die Prädiktoren geeignet sind, das Kriterium vorherzusagen.
• Mit t-Tests wird geprüft, ob die einzelnen Prädiktoren einen bedeutsamen Anteil leisten.
• Es sollten nicht zu viele Prädiktoren ausgewählt werden, da sonst die Gefahr besteht, dass Zusammenhänge überschätzt werden.
• Mediatoranalyse untersuchen, ob der Zusammenhang von X und Y durch M vermittelt wird.
• Moderatoranalyse untersuchen, ob der Zusammenhang von X und Y durch M beeinflusst wird?
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