Anhang 1. 351

Anhang 1. Tabelle der GauBschen Transzendenten.

" @(u) = /n- ~ e-'" du.

O

u o 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0'00 0'0000 0011 0023 °°34 °°45 0056 I 0068 0°79 I 009° 0102 0'01 0'oII3 0124 0135 0147 0158 0169 0181 0192 02°3 0214 0'02 0·0226 0237 0248 0259 0271 0282 0293 °3°5 0316 0327 0'03 0.0338 °350 0361 0372 0384 °395 °4°6 °417 °429 044° 0'°4 0'°451 °462 °474 °485 °496 °507 0519 °53° °541 0552 0'05 0'°564 0575 °586 0597 0609 0620 0631 0642 0654 0665 0'06 0'0676 0687 0699 0710 °721 °732 0744 °755 0766 °777 0'°7 0.0789 0800 08II 0822 0833 0845 0856 0867 0878 0890 0'08 0'°9°1 0912 0923 0934 0946 0957 0968 0979 °99° 1002 0'°9 0'1013 I 1024 1°35 1046 1058 1069 1080 1°91 1102 II13

0'10 0' II25 II36 1I47 1I58 Il 69 Il 80 1I92 12°3 1214 1225 o' Il 0' 1236 1247 1259 127° 1281 1292 13°3 1314 1325 1336 0'12 0'1348 1359 137° 1381 1392 14°3 1414 1425 1436 1448 0·13 0'1459 147° 1481 1492 15°3 15 1 4 1525 1536 1547 1558 0'14 0'1569 1581 1592 1603 1614 1625 1636 1647 1658 1669 0·15 0'1680 1691 17°2 1713 1724 1735 1746 1757 1768 1779 0'16 0'179° 1801 1812 1823 1834 1845 1856 1867 1878 1889 0'17 0'19°0 191I 1922 1933 1944 1955 1966 1977 1988 1998 0'18 0'20°9 2020 2°31 2°42 2°53 2064 2°75 2086 2097 2108 0'19 0'21I8 2129 214° 2151 2162 2173 2184 2194 22°5 2216

0'20 0'2227 2238 2249 2260 227° 2281 2292 23°3 2314 2324 0·21 0'2335 2346 2357 2368 2378 2389 24°0 241I 2421 2432 0'22 0·2443 2454 2464 2475 2486 2497 25°7 2518 2529 254° 0'23 0'255° 2561 2572 2582 2593 26°4 2614 2625 2636 2646 0'24 0' 2657 2668 2678 2689 27°° 2710 2721 2731 2742 2753 0'25 0'2763 2774 2784 2795 2806 2816 2827 2837 2848 2858 0'26 0'2869 2880 2890 29°1 291I 2922 2932 2943 2953 2964 0·27 0'2974 2985 2995 3006 3016 3°27 3°37 3°47 3058 3068 0'28 0'3°79 3089 3100 3110 3120 3131 3141 3152 3162 3172 0'29 0'3183 3193 32°4 3214 3224 3235 3245 3255 3266 3276

0'3° 0'3286 3297 33°7 3317 3327 3338 3348 3358 3369 3379 0'31 0'3389 3399 3410 3420 343° 344° 3450 3461 3471 3481 0.32 0'3491 35°1 3512 3522 3532 3542 3552 3562 3573 3583 0'33 0'3593 3603 3613 3623 3633 3643 3653 3663 3674 3684 0'34 0'3694 37°4 3714 3724 3734 3744 3754 3764 3774 3784 0'35 0'3794 38°4 3814 3824 3834 3844 3854 3864 3873 3883 0·36 0'3893 39°3 3913 3923 3933 3943 3953 3963 3972 3982 0'37 0'3992 4°02 4°12 4°22 4°31 4°41 4°51 4°61 4°71 4080 0'38 0'4°9° 4100 41I0 41I9 4129 4139 4149 4158 4168 4178 0'39 0'4187 4197 42°7 4216 4226 4236 4245 4255 4265 4274 0'4° 0'4284 4294 43°3 4313 4322 4332 4341 4351 4361 4370 0'41 0'4380 4389 4399 44°8 4418 4427 4437 4446 4456 4465 0'42 0·4475 4484 4494 45°3 4512 4522 4531 4541 455° 4559 0'43 0'4569 4578 4588 4597 4606 4616 4625 4634 4644 4653 0'44 0'4662 4672 4681 4690 4699 47°9 4718 4727 4736 4746 0'45 0'4755 4764 4773 4782 4792 4801 4810 4819 4828 4837 0'46 0'4847 4856 4865 4874 4883 4892 49°1 4910 4919 4928 0'47 0'4937 4946 4956 4965 4974 4983

I

4992 5°01 5°10 5°19 0'48 0'5°27 5036 5°45 5°54

I 5063 5°72 5081

I 5°9° 5°99

I 5108

0'49 o'5 II7 5126 5134 5143 5152 5161 517° 5179 5187 5196

352 Anhang I.

u ° 2 3 4 5 6 7 8 9

0·5° 0.52051 5214 5223 5231 524° 5249 5258 5266 5275 5284 0.51 0.5292 i 53°1 5310 5318 5327 5336 5344 5353 5362 537° 0.52 0·5379 5388 5396 54°5 5413 5422 543° 5439 5448 5456 0·53 0.5465 5473 5482 549° 5499 55°7 5516 5524 5533 5541 0·54 0·5549 5558 5566 5575 5583 5591 5600 5608 561 7 5625 0·55 0.5633 5642 565° 5( 51) 5(,('7 5675

i 5(,1\3 5691 57°° 5708

0.56 0.5716 5724 5733 I 5741 574CJ 5757 57u5 5774 5782 5790 0·57 0.5798 . 5806 5814 5823 5831 5S39 5847 5855 5863 5871 0.58 0.5879 ' 5887 5895 59°3 59Il 5919 5927 5935 5943 5951 0·59 0·5959 , 5967 5975 5983 5991 5999 6°°7 6015 602 3 6°31 0·60 0·6°39 6°46 6°54 6062 6°7° 6°78 6086 6°93 6101 6109 0·61 0·6Ir7 ! 6125 61 32 61 4° 6148 61 56 6163 61 71 61 79 6186 0·62 0.6194 6202 6209 621 7 6225 6232 624° 6248 6255 6263 0·63 0.627° , 6278 6286 6293 6301 6308 63 16 63 23 633 1 6338 0·64 0.6346 6353 6361 6368 6376 6383 6391 6398 64°5 6413 0·65 0.6420 6428 6435 6442 645° 6457 6464 6472 6479 6486 0·66 0·6494 . 65°1 65°8 65 16 65 23 6530 6537 6545 655 2 6559 0·67 0.6566 ' 6573 6581 6588 6595 6602 6609 6616 6624 663 1 0·68 0.6638 6645 6652 6659 6666 6673 6680 6687 6694 67°1 0·69 0·67°8 6715 6722 6729 6736 6743 6750 6757 6764 677 1

0·7° 0.6778 i 6785 6792 6799 6806 6812 681 9 6826 I 6833 684° 0.71 0. 6847 I 6853 6860 6867 6874 6881 688 7 6894 6901 i 6908 0.72 0.6914 I 6921 6928 6934 6941 6948 6954 6961 6968 6974 0·73 0·6981 6988 6994 7°°1 7°°7 7°14 7°21 7°27 7°34 i 7°4° 0·74 0·7°47 7°53 7°60 7°66 7°73 7°79 7086 7°92 7°99 7105 0·75 0.7112 7118 7124 7131 7137 7144 715° 7156 7163 7169 0.76 0.7175 7182 7188 7194 7201 72°7 721 3 721 9 7226 7232 0·77 0.7238 7244 7251 7257 7263 7269 7275 7282 7288 7294 0.78 0.73°0 73°6 73 12 73 18 7325 733 1 7337 7343 7349 7355 0·79 0.7361 I 7367 7373 7379 7385 7391 7397 74°3 74°9 7415 0·80 0.7421 I 7427 7433 7439 7445 745 1 7457 7462 7468 7474 0·81 0.7480 7486 7492 7498 75°3 75°9 75 15 7521 7527 7532 0·82 0.7538 I 7544 755° 7555 7561 7567 7572 7578 7584 759° 0·83 0·7595 I 7601 76°7 7612 7618 7623 7629 7635 764° 7646 0·84 0.7651 7657 7663 7668 7674 7679 7685 7690 7696 77°1 0·85 0·77°7 7712 7718 7723 772 9 7734 7739 I 7745 775° 7756 0·86 0.7761 7766 7772 7777 7782 7788 7793 7798 7804 7809 0·87 0.781 4 7820 7825 7830 7835 7841 7846 7851 7856 7862 0·88 0.7867 7872 7877 7882 7888 7893 7898 79°3 7908 7913 0·89 0.79 18 7924 7929 7934 7939 7944 7949 7954 7959 7964

0·9° 0.7969 7974 7979 7984 7989 7994 7999 8°°4 8009 801 4 0.91 0.8019 8024 8029 8034 8°38 8°43 8°48 8053 8°58 8063 0.92 0·8068 8073 8°77 8082 8087 8092 8097 8101 8106 8IlI 0·93 0·8Il6 8120 8125 8130 81 35 8139 81 44 8149 ! 8153 81 58 0·94 0.8163 8167 81 72 81 77 8181 8186 8191 8195 8200 82°4 0·95 0·8209 821 3 8218 8223 8227 8232 8236 8241 8245 8250 0·96 0.8254 8259 8263 8268 8272 8277 828r 8285 8290 8294 0·97 0·8299 83°3 83°7 83 12 83 16 83 21 8325 83 29 8334 8338 0·98 0.8342 8347 835 1 8355 8360 8364 8368 8372 8377 8381 0·99 0.83 85 8389 8394 8398 8402 84°6 84 10 84 15 8419 8423

roo 0.8427 843 1 8435 8439 8444 8448 8452 i 8456 8460 8464 rOI 0.8468 8472 8476 8480 8484 8488 8492 8496 8500 8504 r02 0·85°8 85 12 85 16 8520 85 24 8528 853 2 8536 854° 8544 r03 0.8548 855 2 8556 8560 8563 8567 8571 8575 8579 8583 r04 0.8586 8590 8594 8598 8602 8606 8609 8613 861 7 8621 r05 0.8624 8628 8632 8636 8639 8643

I 8647 8650 8654 8658 r06 0·8661 8665 8669 8672 8676 8680 8683 8687 8691 8694 r07 0.8698 87°1 8705 8708 8712 87 16 87 19 8723 87 26 8730 r08 0·8733 8737 8740 8744 8747 875 1 8754 8758 87('1 8765 r09 0.8768 8771 8775 8778 8782 8785 8789 8792 8795

, 8799

Anhang I. 353

u ° 2 3 4 5 6 7 8 9

1"10 0'8802 [ 8805 8809 8812 8815 8819 I

8822 8825 I

8829 8832 1'11 0'8835 < 8839 8842 8845 8848 8852 8855 8858 8861 8865 1'12 0'88681 8871 8874 8878 8881 8884 I 8887 8890 ! 8893 8897 1'13 0'8900 ! 8903 8906 8909 8912 8915 8918 8922 8925 8928 1'14 0'8931 8934 8937 894° 8943 8946 8949 8952 8955 8958 1"15 0'8961 8964 8967 897° 8973 8976 8979 8982 8985 8988 1'16 0'8991 8994 8997 9°00 9°°3 9006 9008 90II 9°14 901 7 1'17 0'9°20 9023 9026 9°29 9°31 9°34 9°37 9°4° 9°43 9°46 l' 18 0'9°48 9°51 9°54 9°57 9060 9062 9065 9068 9°71 9°73 1'19 0'9°76 9°79 9082 9084 9087 9°9° 9°92 9°95 9098 9100

9106 9108

I

9II6 I 1"20 0'9103 9IIl 9114 9II9 9122 9124 9127

1"21 0'913° 9132 9135 9137 914° 9143 9145 9148 915° 9153 1"22 0'9155 9158 9160 9163 ! 9165 9168 9171 9173 9176 9178 1'23 0'9 181 9183 9185 9188

1

9190 9193 9195 9198 9200 92°3 1'24 0'92°5 92°7 9210 9212

I 9215 921 7 9219 9222 9224 9227 1'25 0'9229 9231 9234 9236 9238 9241 9243 9245 i 9248 925° 1'26 9257

I 9262 9264 9266 9268 0'9252 9255 9259 I 9271 9273

1'27 0'9275 9277 9280 9282 I 9284 9286 9289 9291 9293 9295

1'28 0'9297 93°0 93°2 93°4 I 93°6 93°8 9310 9313 9315 9317 1' 2 9 0'93 19 9321 9323 9325

I 9327 933° 9332 9334 9336 9338

1'3° 0'934° 9342 9344 9346 9348 935° 9352 9355 9357 9359 1'31 0'9361 9363 9365 9367 9369 9371 9373 9375 9377 9379 1'32 0'9381 9383 9385 9387 9389 9390 9392 9394 9396 9398 1"33 0'94°0 94°2 94°4 9406 94°8 9410 9412 9413 9415

I

9417 1'34 0'9419 9421 9423 9425 9427 9428 943° 9432 9434 9436 1'35 0'9438 9439 9441 9443 9445 9447 9448 945° 9452 9454-1'36 0'9456 9457 9459 9461 9463 9464 9466 9468 947° 9471 1'37 0'9473 9475 9477 9478 9480 9482 9483 9485 9487 9488 1'38 0'9490 9492 9494 9495 9497 9499 95°0 95°2 95°3 95°5 1'39 0'95°7 9508 9510 9512 9513 9515 9516 9518 9520 9521

1'4° 0'95 2 3 9524 9526 9528 i 9529 9531 9532 9534 9535 9537 1"41 0'9539 954° 9542 9543 I 9545 9546 9548 9549 9551 9552 1'42 0'9554 < 9555 9557 9558 9560 9561 9563 9564 9566 9567 1"43 0'9569 957° 9571 9573 9574 9576 9577 9579 9580 9582 1'44 0'9583 9584 9586 9587 i 9589 9590 9591 9593 9594 9596 1'45 0'9597 9598 9600 9601 9602 96°4 9605 9607 9608 9609 1'46 0'9611 9612 9613 9615 I 9616 961 7 9618 9620 9621 9622 1'47 0'9624 9625 9626 9628 9629 9630 9631 9633 9634 9635 1"48 0'9637 9638 9639 9640 9642 9643 9644 9645 9647 9648 1'49 0'9649 9650 9651 9653 9654 9655 9656 9657 9659 9660

1'5° 0'9661 9662 9663 9665 9666 9667 9668 9669 967° 9672 1'5 0'9661 9673 9684 9695 97°6 9716 9726 9736 9745 9755 1'6 0'9763 9772 9780 9788 9796 98°4 98 II 9818 9825 9832 1'7 0'9838 9844 985° 9856 9861 9867 9872 9877 9882 9886 1'8 0'9891 9895 9899 99°3 99°7 99II 9915 9918 9922

I 9925

1'9 0'9928 I 9931 9934 9937 9939 9942 9944 9947 9949 9951 2'0 0'9953 . 9955 9957 9959 9961 9963 9964 9966 9967 1 9969 2'1 0'997° i 9972 9973 9974 9975 9976 9977 9979 9980

I 9980

2'2 0'9981 ! 9982 9983 9984 9985 9985 9986 9987 9987 9988 2'3 0'9989 9989 999° 999° 9991 9991 9992 9992 9992

i 9993

2'4 0'9993 I 9993 9994 9994 9994 9995 9995 9995 9995 9996 2'5 0'9996 I 9996 9996 9997 9997 9997 9997 9997 9997 9998 2'6 0'9998 9998 9998 9998

I 9998 9998 9998 9998 9998 9999

2'7 0'9999 9999 9999 9999 I 9999 9999 9999 9999 9999 9999 2'8 0'9999 9999 9999 9999 1 9999 9999 9999 1'000 1'000 1'000

Duschek, Hohere Mathematik, II,

Anhang II.

Losungen der Aufgaben.

§ I. r. ~s ist

+ + + 1 1 + _~_1~ _ I I

UV + 1 UV + 2 '" Uv+p = -';'-+1- - V +- 2 V + 2 V + 3 T T

+ 1 1 1 < ~ __ 1_ < E fUr v + p -.;, +-p +~i: = ;'-+-1 v + p + 1 v + 1 v>

die Reihe ist konvergent und hat die Summe 1.

2. ~s ist

v

+ (v+p)2 <~V-(V~I)~+ ... + (V+P-l)(V+P)

1 ~.~ < E fur y > ~, die Reihe ist konvergent. v + P s

3. a) Iim ~~c = O, _1_~ >L_, also konvergent (Ziffer 5). v~ooţ/v Vv ţ/v+ 1

4

b) Iim _4_v_ = Iim _~ v = O, 4 v > _4~_±j_ alsokonvergent v~oo (v + 1)2 v~oo (1 + -~r (v + 1)2 (v + 2)2 ' .

e) Hier ist zwar die Bedingung Iim Uv = o erfUllt, aber die Betrăge der v~oo

einzelnen GIieder bilden keine monotone Folge. FaBt man je zwei aufeinandcr­folgende Glieder zusammen, so erhă1t man

2 2 V + 1 > (2 v -- 1) 2 V 2 V 2 v- 1 2 V

und daher 1 (1 1 )

S2v > -2 \1 +2 + ... +v ' woraus wegen der Divergenz der harmonisehen Reihe aueh die Divergenz der vorgelegten Reihe folgt.

d) Iim_':'~_± __ I_ =~, die Reihe ist divergent. v~oo 2v 2

1 1

4· a) 1013 = 10~3. 1 + 13 ~~ 1O~3 =

: 10~3 (1 - 13 . 10~3 + 13 2 • 10~6 - 13 3 . 10~9) = 0'000987167.

Anhang II. LOsungen der Aufgaben. (§§ 1, 2.) 355

Da der Rest sicher kleiner ist als der absolute Betrag des ersten vemachlăssigten Gliedes 13'. ro-15 = 2856r . ro-15 (dieses hat nach dem Dezimalpunkt ro Nullen), ist das Resultat auf 9 Dezimalen genau.

b) Es ist allgemein I + x = r + ~ = r + 2 x + 2 x2 + 2 .x3 + ... , also I-X I-X

1003 I + 0·003 6 8 -- = - ---- =:- r + 0·006 + 0'0000r8 = 1"00 or ; 997 1-0'003

das Resultat ist auf 6 Dezimalen genau, da der Rest

._~ " _ 2 x8 _ 2 . 33 6 . 9 _ 6 -8 2 ;v + 2 x + ... - -- - - o < -0--- - • 10

I -x 10. 997 10 .900

ist.

§2. r. a) Setztman !(x)=sin(: +x), so wird wegen f'(x) =cos(: + x),

I"(x) =-sin(: + x), I"'(x) =-cos(~ +x) usw.

(2 sin (~ + x) = r + x - _x2 - - ~ + ~ + _ Xi - - ••• = sin x + cos x.

4 2! 3! 4! 5! 00 x2~ + 1 00 x2~ _.,

b) Aus sin x = ..1; (- r)~ -( ---) , = ..1;u~, cos x = ..1;(- r)· -(--) , =2, V. ~=o 2'J1+1. 0=0 2'J1.

folgt ffir das allgemeine Glied des Produktes o

Uo V~ + U1 Vo - 1 + . .. + Uo - 1 VI + U. Vo = ..1; U IX V. - IX = (1.=0

(-I)~ x2~+ l' (2'J1 + Il! . (2'J1 + Ifj-IX~O (2 (X + I)! (2 'JI-2 (X)!'

Nun ist (Band 1, § r, 9)

~ (2'JI+I)! Il< -=-0 (2 (X + I)! (2 'JI - 2 (X) !

also

c) Ăhnlich wie in b erhălt man ffir das allgemeine Glied der Reihe ffir cos2 x I (2 ;ti·

Uo v. +U1 V~-l + ... +U. Vo = - (-r)· --( -)-, 2 2'J1.

ffir V> o, aber U02 = r (und nicht ~ !!). also

I 00 (2 x)2. I I - ..1; (-r)· --- = - cos 2 X = cos2 X - ---o 2 • = o (2 'JI)! 2 2

00 00 00 ~'JI-I ~ 1 ~ 1

2. a) ""-'-v!-=""-' ('JI_I)T-",,-,-;;y-=(e-r)-(e-2)=r. 2 2 2

00 00 00

b) ..1; (- r)" 'JI- I = -..1; (- r)~-I_I ___ ..1;(-r)"-!- = 2 'JI! 2 (V-I)! 2 'JI!

=-H--r)-; =r- ;.

Anhang II.

00

c) I V- 1

2 (V + 1)'

= (e - 2) - 2 (e - 2 -~) = 3 - e.

00 00 00 d ~ V-I '\' 1 1 ) . (-I)·.··---=..:.. (-I)' . +2 Y'(-I)HI-'7' (v + 1)', V, 7 (v + 1) ,

=.2..+ 2 (I __ 1)= 3_I. e e 2 e

. : u. + 11 . 1 . .. § 3, I. a) hm 1·-----1 = Ixl lim --- = 0, konverglert fur alle x, Es handelt ._00 u. '-+00 v + 1

sich um die Reihe fUr c"', dieses Ergebnis ist bereits bekannt (Band r, § 2g, 4),

~·r- 1 b) Iim J' u. = Iim = 0, konvergent. 'V~oo v~oo V

c) Iim ii u;- Iim -1!- = 0, konvergent. v~oo v~oo n v

1 1 d) i-+ v2 <;2' konvergent.

v, 1 2 3 v - 1 2 f e) - ,- ...... ---. I <2 tir v> 3, konvergent. v' v v V v y

Oder: Iim (v...* 1) '__ v' , ..... 00 (v + 1)·+ 1 'v' lim

' ..... 00 (v -1- I)' = Iim ___ 1

( ~.-)' ...... 00 1 + y

<I.

1 1 d' f) ---c- > --- lvergent. V v (v + 1) v + 1 '

g) _1_ sin 2. ~2, konvergent. 2" 2"

h) Iim 1':' + l! = Iim __ .I·1.L._ . = o, konvergent, wenn x keine negative ._00 u. . '_00 Ix + v + II ganze Zahl ist.

= 2 Y, (i).2_ = v~o v 8"

(II 1151 )

= 2 I + 3 -8 - -~) 82 + SI -83 - + .. , . ' da die Reihe altemierend ist, ist der Rest jedenfalls kleiner als der absolute Betrag des ersten vemachlassigten Gliedes, so daB man zur geforderten Genauig­keit jedenfalls noch einige Glieder dazunehmen muE. Einfacher, weil rascher

konvergent, ist es aber, nachdemzweiten Gliedabzubrechen und2 (I + 2: )~~ 2'08 3

als neuen Năherungswert - so wie zuerst 2 - fUr -yg zu nehmen und das Ver-fahren zu wiederholen, Es ist 2'083 = 8'gg8gI2, also

LOsungen der Aufgaben. (§§ 2-5.) 357

der Fehler ist kleiner als _1_ • 1'2°92. 10-8 < 0'2 . 10-8• Dieses Verfahren ist 9

aber vollig identisch mit dem Newtonschen Verfahren, angewendet auf die Gleichung xli - 9 = o und beginnend mit dem Năherungswert x = 2.

00

§ 4. I. Die allgemeine harmonische Reihe ,,--~- konvergiert fUr alle ..:;,. 'P"

"=1 X > I. Ist <5 eine beliebige positive Zahl und x ~ 1 + <5, so ist

111<_I __ =c I V" = '1'1+" •

und 2: c. nach § 3, 4 konvergent, d. h. ,,_1_ konvergiert fUr alle x ~ 1 + <5 ..:;,. 'P"

gieichmăBig. Die Funktion '(x) = ,,_1_ ist fUr alle x > 1 stetig . ..:;,. v"

2. und 3. Es ist la. cos ')1 xl ~ lapl und I b. sin ')1 xl ~ lb.i; da voraussetzungs­gemă13 2: a. und 2: bp absolut konvergent sind, konvergieren die beiden Reihen .2' a. cos ')1 x und 2: b. sin ')1 x fUr alle x gleichmă13ig und definieren liberall stetige Funktionen.

§ 5. I. Man findet mittels des Quotientenkriteriums sofort r = I. Es ist 00 :>;,+1

x2 f'(x) = .J; -- = -In (1 - x) - X .=1 v+r

und daher durch Integration I

I(x) = -In (1 - x) -In (1 - x) + C; :>;

fUr x _ o ergibt sich 1(0) = o = - 1 + C, aiso C = 1.

2. Der Konvergenzradius ist r = 1. Es ist 00 v+ 1

X2 f'(x) = l: ----:>;~- -----­• = 1 (v + 1) (v + 2) ,

00 :>;,+2 :>;2

x2 [x2 f'(x)J' = ,,------- = -In (1 - x) - X-."'f::I '1'+2 2- ,

durch Integration erhălt man

x2 f'(x) = _1 -:>; In (1 _ x) + 1 _ :>; :>; 2

und durch nochmalige Integration (1 - :>;)2 I 3

I(x) =- -- 2-~2-In (1 - x) -- +-. N 2:>; 4

4. Man erhălt 00 22 • B2. 2" _ x 3 x 4

x cot x = .J; (- 1)' X • - 1 - ----(2 v)! 3 45 v=o 945 472 5 93555

und 00 2 2 '(22 • 1) B2 tan x = cot x - 2 cot 2 x = .J; (- 1)·-1 __ --=-__ -"- x2v - 1 =

v = 1 (2 v)!

:>;3 2 :>;5 r 7 x 7 62 :>;9 = X + - +-- + --- + ---- + ...

3 15 945 2835

Anhang II.

5. a) Es ist x2 x1n

f'(x) = - xm eX + 2" + ... + m,

alle folgenden Ableitungen bis einschIieBlich der m-ten verschwinden ebenso wie f'(x) an der Stelle x = 0, wahrend bei j<m+1)(x) nur jener Summand von Null verschieden ist, der sich durch m-malige Differentiation von xm ergibt; es ist also j<m +1)(0) = -m! und

x m+ 1 xm+ 1

j(x)=f(o) +f(m+l) (o) (m+I)! + ... =I- m +- r + ...

b) r x7 + 29_ x9 + ... 30 756

c) Man berechnet zuerst 1 X x2

In j(x) = -- In (1 + x) - 1 = - + x 2 3

also

1 . ~ (_l)VV • §6. I. a) --SlllX+2..:;.. -2 Slll'VX;

2 V --. J V=2

b) _2SinÂ:n.2;00 (_r)vv -'=----''--c- sin 'V x; :n },2 _ v2

v = 1

00 e) a (n - a) _2~ " ~ sin 'V IX cos 'V x;

Jt 7(, ~ l' v = 1

00 f) ~- )' - . __ r._ cos (2 'V - 1) IX sin (2 'V - Il x-

:n ...... 2V-I V=I

00 g) a <X

2:n +.±.{l )' I" sin2 ~ cos 'V (x - IX);

lX:X - v'" 2 V=I

00 h) 4 a_ )' _ .. 1_ sin (2 'V - 1) IX sin (2 'V - I} X:

<x:n;:::1 (2 v - 1)2

i)

j)

CXJ

4 " 1 :n2 ~ ;2 cos 'V X; 3 v=1

1 + cos <x:n

:n

~ 2 (2 v- I) . \----- _. - Slll (2 'V - 1) X + ;0::'1 (2 v - 1)2 - ",2

CXJ

fUr IX = 1 folgt 2. " ___ 4_V_ sin 2 ')1 X. n v7'~ 4 v2 - 1

cx::;

k) .~ "=1

Losungen der Aufgaben. (§§ 5-7.)

2 <X • • ----- sm V IX sm V X. :;,;2 _ V2 <x2

359

00

2. , 1 r" COS V X = 1 - f' COS X . __

."'!::"'o 1 - 2 f' COS X + 1'2

00

Er"sinvx= ,,=1

l' sin X

1-2rcosx-r:-;2

3. Aus der Reihe fUr sin Â. x von Aufgabe I b folgt fur x = ~, wenn man 2

fur ). wieder x schreibt 2

4 ~ (2 v- 1) secn x = n."'f:'I (- I)· 4 %2_ (2 V- 1)2·

§ 7. 1. a) Das Innere des Quadrates mit den Ecken (± I, o) und (o, ± I). b) Alle Punkte zwischen und auf den Geraden x + y = ± 1.

c) Alle Punkte zwischen und auf den Geraden x - y = ± 1.

d) Alle Punkte im Innern und auf dem Rand des Dreiecks mit den Ecken (o, o), (o, I), (I, I).

2. a) Parabolischer Zylinder mit Erzeugenden parallel zur y-Achse; der Schnitt mit y = o ist die Parabel z = x 2, Y = o; die Schichtenlinien sind die Geraden x = ± Ve:- z = c > o.

b) Parabolischer Zylinder mit Erzeugenden, die zur Geraden x = y, z = o parallel sind; die Schichtenlinien sind die Geraden x - y = ± Ve: z = c > o.

c) Drehflache, die durch Umdrehung der Kurve z = -; der Ebene y = o X

um die z-Achse entsteht; die Schichtenlinien sind konzentrische Kreise mit dem Mittelpunkt auf der z-Achse.

d) Kegel mit dem Scheitel in (2, o, 2); die Schichtenlinien sind Kreise, deren Mittelpunkte auf der Geraden z = x, y = o liegen und die Gerade x = 2,

Y = o schneiden.

3. Man entwickle die Determinante nach den Elementen der ersten Spalte!

4. a) Man subtrahiert die erste Zeile von der zweiten und dritten, das gibt

, o b - a c (a - b) - I . . -i I a b c 1_ 'I b - a c (a - b) i _

! o c - a b (a - c) c - a b (a - c) I

II -c = (b-a) (c-a) iI -b = (b-a) (c-a) (c-b).

I

b) -43; man subtrahiert die dritte Spalte zweimal von der ersten und dreimal von der zweiten, oder man subtrahiert die zweite Zeile dreimal von der ersten und addiert sie zweimal zur dritten usw.

c) Subtrahiert man die erste Zeile von der zweiten und dritten, so sieht man gleich, da die zweite und dritte Zeile dann proportional sind, daB die Determinante den Wert Null hat (Satz 7).

5. a) x b c x b x+c l' x-c o o a I -a = a I o = a I o e b x c b x +e e b x +c

= (x-e) (x +c) = o,

Xl = + e, X2 = -c. Fiir x =+e wird die erste Zeile gleich der dritten (Satz 6), fur x = - e die erste Spalte gleich der mit -I multiplizierten dritten (Satz 7).

Anhang II.

b) Xl = a, X 2 = b. c) Xl = X 2 = I, X 3 = -2; fiir X = -2 wird jede Zeile oder Spalte ent­

gegengesetzt gleich der Summe der beiden anderen (Satz 7).

§ 8. I. Die doppelten Limites sind B = -I und C = +I, der Doppellimes A existiert also nicht.

2. Die doppeIten Limites sind B = ° und C = 2.

3. Die Funktion ist an der Stelle (o, o) stetig, denn es ist 1(0, o) = ° und I/(x, y) - 1(0,0)1 = Iyl < B, wenn nur Iyl < B ist, sogar bei beliebigem x. Die Bildflăche besteht fiir X ~ o aus der Ebene y + z = o, fiir X > ° aus der Ebene y - z = o. Man entnimmt daraus sofort, daB die Funktion in allen Punkten der y-Achse (o, y) mit Ausnahme des Punktes (o, o) unstetig ist.

dr x y I ar x 02" y2 02r 02,- x )' § 9· I. dx =.y + -;- tp (x), ei = -;-, -ox2- = rs' a;ey = -ay8x = - -;3 .

2. A a2 + B b2 + C a + D b = o, unabhăngig von e.

3. -:: = a cos (a X + b y + e) = a sin (-~ + a X + b y + e),

-~.:... = b sin (!!... + a X + b y + e), uy .2 ,

daher

am ~.:..:-_ = am bn sin [(m + n) !!... + a x + b y + cl. ax'" o)''' 2

4. e" Y Z (I + 3 x Y z + x2 y2 Z2).

5. H=o.

Oc X - a 02Z 1 2 (x - a)2 7· ox =-;;2--' a~ = ~ - "-,;4--- - usw.

9. O:'y. =02,p + !Y_ !"! = k2 (!2cp + _GY._) ox2 ou2 av2 ' ot2 ou2 ov2 ••

IO. EsistF(x,y)=y"-xl'=o, F,.=y"lny-yxY-l, Fy=xy"-l-1 1 I FrtJ Y Y - x ln Y . - xl' n x, a so y = - -F . ._- 00000; wegen x In y = 'V In x lSt auch y x x -)' In x .

I ,,2 I -lnx Y = ;2 I~ ln-y-'

II. Es wird ay ay au ay ov ay ay aly ( 2)' 02y OZy ax ou ox + °av- ei = au +;3v'13x2 =o!.i2 + 2 i3it-ov +002 '

~r = :~ 00: + o~~ ~7- = k ( ~ - -~~), -~fr = k2 (~~ - 2 0:2"av- +Z-). aIso iJ2y 02y 02y

iJti - k2 o iJx2- = - 4 k2 -aU 8,,- = o;

daraus kann man aber leicht y = tp(u) + tp(v) schlieBen, so daf3 man wieder auf die in Aufgabe 9 angegebene allgemeine Form der L5sung kommt.

§ 10. I. ~D = b2 ca - ba C2 ist die Unterdeterminante des Elements al in D. Das­ual

lb 'lt f' iJD iJD iJD d iJD "h d iJD iJD aD d aD d' . se e gI ur -~-, -;;;--b ' -.,- un o~_, wa ren 0,,_ '-"'--b '-~b un -~ le mIt - I ual u 2 uCI uCs ual u 1 u S ue2

Uisungen der Aufgaben. (§§ 7-11.)

multiplizierten Unterdeterminanten der entsprechenden Elemente sind.l.' :~- ai 1=1 1-

stelIt also die Entwicklung von D nach den Elementen der ersten Zeile dar. 3

2.-' aD bi ist dann aber die Entwicklung einer Determinante mit zwei gleichen i=I aai Zeilen und daher N u11.

2. Man erhălt nach der Kettenregel

~B = "aD a.' + "a~.a."+ ".~a."'· dx ..... aai' ...:... oa/' ...:... oat • ' hier sind die beiden ersten Summen aber gleich Nu11, da es sich um die Ent­wicklung von Determinanten mit je zwei gleichen Zeilen handelt, wăhrend

al a2 a3 !

yo_~l!.. a.'" = al' a2' a3" ..... oa/' • , al'" a2'" as"':

ist.

3. a) Ellipse mit dem Mittelpunkt (o, 2), Drehung durch den Winkel f} mit 2 1

sin f} = lis' cos f} = 17.5' gibt 9 ţ2 + 16 rl = 144, Halbachsen 4,3·

b) Hyperbel mit dem Mittelpunkt (1, o), Drehung durch f} = n gibt 4 ţ2_ - 3 'YJ! = 12, Halbachsen ţii 2. 4

x c) Geradenpaar y = x - 1, Y = - 2- + 2.

d) Paar paralleler Geraden y = -3 x + 9, y = -3 x + 3.

e) Parabel mit dem Scheitel in (3,3). Para11elverschiebung x = x + 3,

Y = :Y + 3 und Drehung durch !:. gibt ţ2 + 2 ţlz'YJ = o. 4

4. y' = .~x + 2:'., y" = o. Daraus folgt, daB die Funktion linear ist, und in 2 Y It

der Tat ist x y - x2 + y2 = o die Gleichung des Geradenpaares y = _ 1 (1 ± 2

± ţlS) x! 'av av av I n

§ II. 1. ILI VI =:c: oR dR + -o" dr +7ik dhi ~ 3' (38950 . 1'5 + 34604. 1'2 + + 67753 . 0'8) = 16'1 . 104, V = 582 . 104 ± 16 . 104 (genauere Rechnung sinn­los !).

2. IA OI ~ 73. 0'25 + 63'8.0'3+ 54.0'3 = 53'6, O: 1472 ± 54.

3. Logarithmische Differentiation von F = _L b c sin iX gibt 2

1.d:1 ~ I~bl + J~l + Icot iXllLJiXl

lL1bj l.del nI. wegen -- = . -_. = 0'001, ILliXl = -8- ... = 0'00436 wrrd der prozentuale bel o 4

Fehler

100 I~L :;;; 0'2 + 0'4361cot iXl,

er ist beim rechtwinkeligen Dreieck am kleinsten, namlich 0'2.

4) aS 2._ 3 a6 Il" h P k . a z = 'x-y' Zxx Zyy - Zxy - x4 y4 > o, e IptlSC e un te.

Anhang IL

2 C x Y y2 - X2 b) Zxx = - Zyy = (X2 +- y2)2' Zxy = C (X2 + -Y-2)2'

2

ZXX Zyy - ZX/ = - ~( 2 c 2)2 < 0, hyperbolisehe Punkte. x + y

e) Zxx Zyy - Zx/ = 144 x2 y2 - 16 = 16 (9 x2 y2 - 1); elliptisehe Punkte,

wenn X y > 2_ oder < - ~, hyperbolisehe Punkte fiir - 1_ < X y <~, para-3 3 3 3

bolisehe Punkte lăngs der beiden Hyperbeln X y = ± 2_. 3

§ 12. 1. Wegen y2 = Z A ( X + -n liegt der Parabelseheitel in (- ~ , o), der

gemeinsame Brennpunkt ist (o, o). Die Parabeln sind fiir A > ° naeh reehts, fiir A < ° naeh links offen; fiir A = ° ergibt sieh die doppeltzăhlende x-Aehse y2 = ° (Abb. IZ4). ZU jedem Punkt x, y geMren zwei Werte

Abb. 124.

3. Der Winkel zweier ist gegeben dureh

U = Al = - X + YX2 + y2 ~ 0,

V = 22 = - X - yx2 +y2 ~ 0,

die man als parabolische Koordinaten des Punktes (x, y) bezeiehnet. Die Umkehrung

x=- u~v , y= y - uv ist eindeutig z. B. fiir y ~ 0, die obere Hălfte

.x der x y-Ebene wird auf den vierten Quadranten u ~ o, v ~ o der u v-Ebene abgebildet. Die beiden Parabeln, die dureh einen beliebigen Punkt P gehen, stehen in P aufeinander senk­reeht.

z. Die Kurven u = konst. und v = konst. sind zwei Seharen gleiehseitiger Hyperbeln, die einander senkreeht sehneiden und die Koordi­natenaehsen und ihre Winkelhalbierenden zu Aehsen und Asymptoten haben.

Geraden iXl x +fJl 11 +Yl = 0, iX2 X +fJ2 Y +Y2 = o

(Xl (X2 + fJI fJ2 cos q; = ţi ((X12 + fJ12) ((X22 + -fJ~2)

und dieser Ausdruek bleibt bei einer Transformation (IZ) mit (19) ungeăndert. Dasselbe gilt fiir den Ausdruek

d2 = (x2 - X 1)2 + (Y2 - Yl)2

fiir- das Quadrat des Abstandes zweier Punkte (xv Yl) und (x2, Y2).

§ 13. 1. a) Symmetriseh zum Ursprung, Asymptote y = 0, Minimum (-1, - 1),

Maximum (1,1), Wendepunkte (o, o), (± Y3, ± _~3_). b) Symmetriseh zum Ursprung, Asymptoten y = 0, x = ± 1, Wendepunkt

(o, o) . e) Symmetriseh zur y-Aehse, Asymptote y = - 1, Maximum (o, 1), Wende-

punkte (± -f~c ' ~)-d) Symmetriseh zur y-Aehse, Asymptoten y = - 1, X = ± 1, Minimum (o, 1).

Uisungen der Aufgaben. (§§ II-I4.)

2. a) Spitze; aus der Auflosung y = x2 (1 ± V"X) erkennt man, daB es sich um eine Schnabelspitze handelt.

b) Isolierter Punkt mit der x-Achse als reeller, doppelt zahlender Tangente.

3. Der Ursprung ist ein dreifacher Punkt mit den Tangenten y = o, y = ± x. Die Gerade y = t x schneidet die Kurve in vier Punkten, von denen drei in den Ursprung fallen, der vierte ist

t (t2 - 1) t2 (t2 _ 1) X = t4 + 1 ' Y = t4 + 1 "

womit die gesuchte Parameterdarstellung gefunden ist. Da der Nenner fUr reelle t nicht verschwindet, verHi.uft die Kurve ganz im Endlichen (Abb. 125).

4. Die Geradenschar ist : + ~ = 1 mit a2 + b2 = c2 ; setzt man a = c cos IX,

b = c sin IX, so wird % y

F(x y IX) = - - + . - -c = o " COS/X Slncx.

und

also x sin3 IX = Y cos3 IX

und daher x = C cos3 IX,

als Parameterdarstellung oder

v = c sin3 IX

x3 + y3 = c3. Abb. 125.

Die Ellipsen mit fester Halbachsensumme a + b = c sind durch %2 y2

7 + ' ('Z-=-::"i)il = 1

bei variablem a dargestellt; Differentiation nach a gibt %2 y2 , - - o a3 (c-a)3 - ,

was wieder auf die obige Gleichung fUhrt.

5. Aus x = t - sin t, y = 1 - cos t findet man

ţ = t + sin t, 'YJ = - 1 + cos t;

setzt man hier t = • + n, so folgt

ţ = n + (. - sin .), 'YJ = -2 + (1 -cos.),

x

also wieder eine, und zwar um n nach rechts und um 2 nach unten verschobene gemeine Zykloide.

§ 14. 1. a) An der Stelle x = y = o ist ein Minimum vom Betrag - 1.

b) Aus !:. = I'Y = o ergeben sich die vier Punkte (o, o), (o, n), (n, o), (n, n); wegen der Periodizitat der Kreisfunktionen wird man die Unter­suchung auf die Punkte im Quadrat - n < x ~ n, - n < y ~ n beschranken. H = lu f'Y'Y - Ixl ist im ersten und vierten Punkt negativ, also liegt hier kein Extremum vor, wahrend H in den beiden anderen Punkten verschwindet. Man iiberlegt leicht, daB auch hier keine Extrema liegen, da I in der Umgebung dieser Punkte sowohl positive als auch negative Werte annimmt.

Anhang II.

c) Maximum 2 in (~, o) und (-:' n), Minimum - 2 in (-:' o)

und (~, n). In den ubrigen Punkten mit t," = t y = o, in denen tan x =

= ± V' 2, cos Y = ±/;{ ist, liegen keine Extrema.

2. Bezeichnen a und b die Parallelseiten, h die Hahe und iX den Winkel zwischen

H6he und Schenkel, so solI f = a +2 h__ ein Minimum sein wobei ws~ ,

J = (a + b) ~ = h (a + h tan IX) gilt. Aus F = f + }, J folgt als optimaler 2

Querschnitt die Hălfte eines regelmăJ3igen Sechsecks (b = 2 a = -t- ~! j ). 1'3 V V3

3. Wurfel [F = x y z + Â. (x2 + y2 + Z2 - d2)J.

4. Die Seiten sind ,a-'C ,- b _, ~, wenn a, b, c die Halbachsen des Ellipsoids V3 V3 V3

sind [F = x y Z + Â. (~: + ~: + ;: - 1)] . 5. Setzt man AB = x, AC = y, so soli t = ,~ x y sin iX ein Maximum werden,

2

wobei x2 + y2 - 2 X Y cos iX - a2 = o ist. Man erhălt das gleichschenkelige Drei-

eck mit den Schenkeln x = y = ' a

- ~ 2S1n,--2

6. Ist c die Grundlinie und sind x, y die den Seiten a, b gegenuberliegenden

Winkel, so folgt fUr den Inhalt J = c2 sin ~ sin y . Es istF=J + Â. (x+y+y-n), 2s1ny

woraus mit Hilfe von F x = o und F'Y = o sofort x = y folgt. Ebenso Ieicht zeigt man, daJ3 auch die Summe der Schenkel ein Maximum wird.

7. Bezeichnet x den von den Seiten a, b und y den von den Seiten c, d einge­schlossenen Winkel, so ist der doppelte FIăcheninhalt 2 ] = a b sin x + c d sin y und hierzu tritt die Bedingung

cp (x, y) = a2 + b2 - 2 a b cos x - c2 - d2 + 2 C d cos Y = o.

Ein Maximum von J liegt vor, wenn die Summe der Winkel x und y zwei Rechte betrăgt, also das Viereck ein Kreisviereck ist. Fur den Winkel x folgt

a2 + b2 _ c2 _ d 2 cos x = -- --

2 (ab + cd)

§ 15. I. Die vier Ecken haben die Ortsvektoren: (o, o, o), (a, o, o),

(:' :-Jli o), (~, 2 ~3' ti; a). 2. Die Ortsvektoren der Ecken sind ("bis auf den Faktor-~-=') entweder

2 V2 (1,1,1), (1, -1, -1), (-1,1, -1), (-1, -1,1) oder (-1,1,1), (1, -1,1), (1, 1, -1), (-1, -1, -1).

ai + bi 3. Sind ai' bi , Ci' di die Ecken des Vierecks, ,",o "ind :2

~i +~_ die Mittelpunkte der Seiten und es ist 2

2 2 2 2

Lbsungen der Aufgaben. (§§ 14, 15')

di + ai bi + Ci Ci + d i ---- = - ---~-~

z z z

S· d b d' E k . d b, + Ci b Ci + ai ai + bi 4· mai' i, Ci le e en, so sm ai - -~2-' i - -z~---~' Ci - ---i-die Sehwerlinien (als Vektoren). Die Summe dieser drei Vektoren ist Null.

5. a) Linear unabhăngig; b) und e) Ai + Bi + Ci = o; d) Ai + Bi - 4 Ci = O.

6. a) 8 Ai + 3 Bi - Ci - Di = o; b) Ai + Bi - 4 Ci = 0, es sind eben sehon Ai, Bi' Ci linear abhangig.

7. Es sind bi - ai und Ci - ai linear abhăngig, also f3 (bi - ai) + Y (Ci - ai) = ° oder a;(-{J-y) +{Jbi+yCi=O oder in symmetriseher Form rXai+f3bi+ + YCi = o mit rX +(J +y=o.

8. a) Stellt man den Wiirfel mit den Kanten parallel zu den Koordinaten­aehsen, so stellen die Vektoren D/ = (a, 0, a) und D/' = (o, a, a) zwei von der­selben Eeke ausgehende Flachendiagonalen dar. Fiir den von ihnen eingeschlos­senen Winkel gilt

. _ D i ' D,( _ a' _ 1 _ 6 o cos rX - D' D" -~---2 - -, rX - o. za z

b) Stellt man den Wiirfel so wie in a, so stellen die Vektoren D/ = (a, a, a)

und D;" = (a, -a, a) zwei Raumdiagonalen dar und es wird cos rX = 1 ,rX = 70032'. 3

e) H/ = (~, 0, .~_), H;" = (~, o, - ~ a_), cos rX = -~, rX = I09° 28'. Z tZ z ţlz 3

9· Stellt man das Tetraeder so wie in Aufgabe I, so sind (~, z ~3'V~J

(- ~, -~, .~~), (0,- -!;~'-, a:c~=) die drei Verbindungslinien. Die inneren z zl'3 v6 V3 l'6

Produkte von je zweien dieser Vektoren verschwinden.

Ia. t = -~j , u = -=-, v = ţi L, x = - V3, y = o, z = ~ ader zVz V; zVz Z z

V3 1 V3 ţl3 t = - -;-Vz' u = 1rz' v = - z V z' x = -2' Y = 0, Z = Z usw.

II. Voraussetzungsgemaf3 ist

setzt man

'1 Al A 2 A3 D = BI B 2 Bs

CI C2 C3

:j:: o;

Ai Ai Ai Bi Ai Ci D2 = LI = i Bi Ai Bi Bi Bi Ci

! Ci Ai Ci Bi Ci Ci

und bezeichnet man die Unterdeterminanten der letzten Zeile von LI mit

so erhăl t man 1 1 Ai Bi F'. = -VA~A~' ţl = - ţi Aj Aj LI""

LI" VLI'" (2= a = D ţ! LI"" l' = --fj- .

Anhang II.

I 1 1 2

Man bekommt den Wert von A unmittelbar aus ei ei = I; wegen ei ei = A Cu Ai Ai + 2 2

+ v Ai Ei) = o wird ei ei = v (fl Ai Ei + v Ei Ei) = I; man behandelt die beiden

Gleichungen fl Ai Ai + v Ai Ei = o und fl Ai Ei + v Ei Ei = ~ wie lineare v

Gleichungen nach der Cramerschen Regel. Ăhnlich verfahre man mit den drei 13 23 33

Gleichungen ei ei = ei ei = o, ei ei = I fUr (}, a und T.

1 1 1:2 1 1 1 2 1 3

el e2 e31 ei ei 222 121

ei ei ei ei I o o 2 2 2 3

el e2 e3 i = I ei ei 333 1 :3 1

ei ei ei ei o I o = I,

3 2 3 3 o o I

el e2 e3 i ei ei ei ei ei ei i

p

also Det ei = ± 1.

13. a' = 1 a o' = ~ o c' = ~ C. 9' 9' 9

a·x·-b· 14. ~-' ±c=o.

Vai ai

15. Die sogenannte Abschnittsgleichung einer Ebene ist ~ + oX..!. +xa = 1. al a2 a3

o

In der Gleichung (Xi - Xi) ni = o ist also I - = al

und 1 1 1

a 2.0 + ~2 + -ao il l 2 3

ni ni

-(;i ~J konst., da P konstant ist.

16. (6 - 60) 60 = o gibt 3 X + 5 Y + 4 z = 50 .

r-17· l 61.

o

18. Ist ~ der gesuchte Abstandsvektor, so mul3 neben a 6 = p, o 6 = q, da die Schnittgerade die Richtung a X o hat, auch noch 6' a X o = o gelten, also r = A a + fl o sein. Es folgt

daher

und die Lănge

a2 A + a o fl = p, a o A + 02 fl = q,

Iq a-p vi X = \1;\ =Iaxvr-'

19. Die gesuchte Gerade trifft die gegebenen Geraden in zwei Punkten u, v, fUr die

~l + a u - ţJ = A (62 + o v - ţJ)

gelten mul3. Die gesuchte Gerade ist

t:) = ţJ + t (61 + a u - ţJ),

wobei sich der Parameterwert u aus der ersten Gleichung durch innere Multi-

Li:isungen der Aufgaben. (§§ 15, 16.) 367

plikation mit (62 - ţJ) X li ergibt; dieser Vektor steht auf 62 - ţJ und li senk­recht, so da8 A und A v eliminiert werden. Es folgt

(61 - ţJ) (62 - ţJ) X li - U (62 - ţJ) . a X li = o.

20. Man lege das Koordinatensystem so, da8 das gemeinsame Lot der beiden Geraden in die 3-Achse und der Ursprung in dessen Mittelpunkt. făIIt. Dann sind die beiden Geraden durch Xi = (a u, b u, e), Yi = (a' v, b' v, -e) gegeben, wobei man noch a2 + b2 = a'2 + b'2 = 1 annehmen kann, so da8 die Parameter u, v die Abstănde der Punkte Xi und Yi von der z-Achse sind. Fur den gesuchten Ort ergibt sich

_ 1 ( + ) _ l a u + a' v b u + b' v ) Zi - 2 Xi Yi - \ 2 -, 2 ' O

mit der Bedingung

(Xi - Y;) (Xi - Yi) = (a u - a' V)2 + (b u - b' V)2 + 4 e2 = 4 p2 oder

(a2 + b2) u2 - 2 (a a' + b b') u v + v2 (a'2 + b'2) = 4 (P2 - e2); wegen

(a2 + b2) (a'2 + b'2) - (a a' + b b')2 = (a b' - a' b)2 ~ o

ist das die Gleichung einer Ellipse, bezogen auf ein schiefwinkeliges Koordinaten­system, dessen Achsen durch die beiden Vektoren (a, b, o) und (a', b', o) gegeben sind. Ist a a' + b b' = o, so stehen diese beiden Vektoren und damit die beiden gegebenen Geraden aufeinander senkrecht und die Ellipse wird ein Kreis.

00

§ 16. 1. .1' (~2 +d-yy- 2--)-n = 32-, 1 _~ ~ - 3) 1 ~ 2 . 4 ••• (2 n - 2) . x2n -1 .

o

2. Aus " . dx

.1 a2 cos 2X + b2 sin2 x o

folgt durch Differentiation nach a und b

" " 2 2

Jl

2ab

------ -- ------- =---- bzw -------------- - -.-- . \. 2 a cos2 x dx Jl \. 2 b sin2 x dx Jl

. (a2 cos2 x + b2 sin2 X)2 2 a2 b . . (a2 cos2 x + b2 sin2 X)2 - 2 a b2 ' o o

Addition gibt nach Division durch 2 a bzw. 2 b

" -2

\. dx Jl (1 . Ta2 cos2 x-tb2 ~in2X)2- = 4 a b ---;;,'i + o

3. Elementare Umformung des Integranden nach Band 1, § 23, 3 gibt fUr das Integral

00

] = + ~ [sin (P + q - r) X + sin (P - q + r ) X - sin (P + q + r) x-o

- sin (P - q - r) x] d: ; p, q und r konnen wir als positiv und der Gro8e nach geordnet annehmen, also p ~ q ~ r > o; ein Vorzeichenwechsel bei einer dieser Zahlen bedeutet ja nur

Anhang II.

einen Vorzeichenwechsel des Integrales. Von den vier Ausdrucken p ± q ± r kann dann h6chstens p - q - r negativ sein. Aus den drei Strecken Hi.Bt sich aber nur dann ein Dreieek mit nicht verschwindendem FIăeheninhalt bilden, wenn p - q - r < o ist, wăhrend sich das ausgeartete Dreieek fUr p - q - r = o ergibt. Aus der in Ziffer 6, Beispiel 2, hergeleiteten Formei

00

\. sin j' n

dv = Y ~ , , ~

o

folgt durch die Substitution y = k x, k =l= O

00

~ Sin: x dx = ± i, o

wobei das obere oder untere Vorzeiehen gilt, je nachdem k > O oder < O ist. Daher wird fUr p-q-r < o

J = 1 (n + n _~ + n)' =~, 4 2 2 2 2 4

fUr p-q-r=o

J = : (~. + ~ - ~ + o) = ~ und fUr p - q - r > o

J = .: (~ +.~ -·i -; ) = o. 00

4. Aus J = i e-x' dx folgt durch dic Substitution x = t z mit t > () o

00

J = ti e-t'z' dz o

und weiter naeh Multiplikation mit e- t' und Integration uber t 00 00 00

J l' e- t' dt = f2 == i e- t' t dt Î e-t'z' dz . • i .,,' o o o

Vertauscht man reehts die Reihenfolge der Integrationen, so wird 00 00

f2 = \ dz .1 e- (1 + z') t' t dt. o o

Die Substitution (r + Z2) t2 = U, t dt = du gibt 2 (1 + Z2)

00 00 00

f2 = 1 \' dZ, \' e-udu = 1 \' d!. __ = :-c 2.1+Z2. 2.I+Z" 4'

o o o

also ist J = 1. ţin wie in Band 1, § 30, 4. 2

5. Es wird +00 +00

b' \' b' b' \ ( b )' -a2 z2 -2bz- - - -". - az + J = e a2 e a' dz = e a' e a dz = J •

-00 -00

wobei natiirlieh wegen J > () aueh a > ° zu nehmen ist.

L5sungen der Aufgaben. (§§ 16-18.)

§ 17. 1. Obwohl g(x, y) = - 2 arctan~ in (o, o) nicht stetig ist, kann man x

den Anfangspunkt der Integration nach (o, o) verlegen, wenn man zuerst nach x

Iăngs y = o integriert (es ist Iim Iim arctan X = o). Es folgt x~o y~o x

x y

2.i In x dx - 2 ~ arctan -~- dy = - 2 X - 2 Y arctan ~ + x In (x2 + y2) = C. o o

2. x2 + (r + x + x2) Y = C.

3. x cos Y - Y cos x = C.

4. Die Gleichung ist nicht exakt. Die partielle Differentialgleichung fUr den integrierenden Faktor wird

cos y. rp., - sin y. rpy - cos y. rp = o.

Nimmt man rpy = o, also rp = rp(x), so kann man durch cos y kurzen und erhălt g;' - rp = o, also rp = eX und die allgemeine LOsung

eXsiny=C.

Man kann aber ebensogut, da in der Differentialgleichung fUr rp alle Koeffizienten nur von y abhăngen, rp., = o, also rp = rp(y) nehmen und erhălt rp' + cot y. rp = o,

also rp = _._1_ und daraus zunăchst die exakte Gleichung dx + cot Y dy mit smy

der allgemeinen L6sung x + In sin y = C' oder eX sin y = ee' = C wie oben.

5. Auch diese Gleichung ist nicht exakt. Man hat f y = 3 x + J'2_ und g.,= 2 x x

und daher fUr den integrierenden Faktor

(x2 + y2) rpx - (3 x Y + -f~ ) rpy - -~ (x2 + y2) rp = o.

Nimmt man rpll = o, also rp = rp(x), so kann man die Gleichung durch x2 + y2

kurzen und erhălt rp' - 1 rp = o, also rp = x. Es muB also x.

(3 x2 y +~3_) dx + (x3 + x y2) dy = o

exakt sein, was man auch sofort nachweist. Die alIgemeine Lăsung ist

x3 l' + 1 x,.3 = C. . 3 y

'3X V3(I-X)

§ 18. 1. } i x y dx dy = ~ x dx .1 y dy + .1 x dx .\ y dy =

oder

o o o -2

= l \. x3 dx + 3 .1' (1 - X)2 X dx = 2 .. 2 16

o

t!:i I_L t!3

-

2

.1.1 xy dx dy = .1 y dy .1 x dx = 116'

o

Duschek, Rohere Mathematik. II.

37° Anhang II.

2. ÎI" (X2 + y2) dx dy = 5 V3 = 0'18042 . J. 48

1 I-X r

3. H eX+Y dx dy = 1 e" dx 1 eY dy = ~ (e - e") dx = I. o o o

2 2

r~X-Y \' \"(2X ) 3.~ 4. , .. ~ -dx dy = dx .---- 1 dy =31n3-71n 2 +. -=-·0 0;)619 . . x+y ". x+y . 2

1 "

1 1

\'~' X2 + y2' \. ( 2 X2 ) 4 5 5. ----- dx dy = \ dx y - x + .- dy =-ln 2 - - = 0'36864. , x+ Y •. x+y 3 9

o I-X

" " + + 2 2

6. II sin (x - y) dx dy = 1 dx i sin (x - y) dy = o. " -x 2

2"

o o

V1 "":X2

8. ). I x3 y3 dx dy = .\ x3 dx .\ y3 dy = 9~ o o

oder

1 2

= I r7 dr 1 COS3'P sin3 rp drp usw. o o

~t!a'-x2 a a

9. ii (x2 + y2) dx dy = 4 .1 dx.1 (x2 + y2) dy = a~ (a2 + b2)

o o

oder mittels der Transformation (Ziffer 8) x = a t cos rp, Y = b t sin (1', o ~ t ~ 1,

n o ~ rp ~ 2 n (bzw. o ~ rp ~ - und den Faktor 4 vor das Integral) 2

1 2

H (x2 + y2) dx dy = 4 abI f3 dt J (a2 cos2 rp + b2 sin2 rp) drp usw. o o

10. Aus Symmetriegrtinden ist V = 4 H Va2""':" x2 -=-)fo' dx dy, 5S ist bestimmt 18

durch o ~ x ~ a, o ~ y ~ Va x ""':"x2 : Transformation auf Polarkoordinaten gibt

2 a cos cp

V = 4 .Î drp .\ V a2 ""':"f2 r dr = ; a3 (~- ; ).

o o

II. V = 8 \" Î z dx dy liber den ersten Quadranten der Ellipsc.!: + [;: = 1 .. a

mit z = c .. /~---': .i2=-~~2 ~ u. Unter Verwendung der Substitution .1'.b V a2 b2

= V~:-~ sin rp wird

Losungen der Aufgaben. (§ 18.) 37 1

o o

oder durch die Transformation wie in Aufgabe 9

" -

2

v = 8 a b c ~ drp ~ ţiI - t2 t dt = _\,7!_ a b c. o o

I-X I-X-Y

12 .. 1.1.1 -(i /:~fZ+l)3 = ) dx .1 dy .1 (1 + x + y + z) -3 dz = o o o

1 ( 5). = -;- In 2- 8 = ° 03407.

a x x+ Y

13. 'H eX+ Y + z dx dy dz = ~ eX dx ~ eY dy ~ e' dz = ~ e4 a - ! e2 a + ea - ;. o o o

14. Legt man die Achse des Kugelsektors in die positive z-Achse, so wird in Polarkoordinaten

a o:X zn

V = ~.I.I r2 sin 1} dr d1} drp = .1 r2 dr ) sin 1} d1} ~ drp = _4 ~ a3 sin2 ~. o o o

15. Beide Integrale sind n-fache Integrale der Form

~ j(xn) dXl dX2 ••• dxn, )8

wobei der Bereich 58 beim ersten Integral durch

° ~ Xl ~ x2 ~ ••• ~ X n ~ 1

gegeben ist. Die Umkehrung der Reihenfolge der Integrationen ergibt (vgl. das zweite Beispiel von Ziffer 7)

Xn xn _ 1 X2

J = ~ / (Xn) dXn .\ dXn_l .\ dXn _ 2 ••• I dXl = . (n ~:rf! .\ /(xn) x~- 1 dxn ,

o o o o o

woraus fUr X n = x die zu beweisende FormeI folgt.

Beim zweiten Integral ist der Bereich 58 durch

x ~ Xl ~ X 2 ~ ••• ~ X n < 00

gegeben, erstreckt sich also ins Unendliche (uneigentliches Integral zweiter Art, j(z) muB fUr z -+ 00 von hoherer als n-ter Ordnung verschwinden) und es folgt

CX) Xn xn _ 1 XI

J = ~ /(Xn ) dXn.1 dXn_l ~ dXn_ 2 ••• 1 dxl •

x x x x

Die Integrationen geben der Reihe nach

x2 - X, ~ (x3 - X)2, ••• , _(;;-2IV (xn - X)"-I,

372 Anhang II.

also 00

J = fn\)T.Î (xn - x)n-I !(xn ) dXn

x

und daraus, wenn Xn = z geschrieben wird, die angegebene FormeI.

16. Die L6sung verwendet einige Determinantensatze aus § 25. Ich setze

I an a l2 ala aH

A = I a 21 a 22 a 2a a 24

~ aal aa2 aaa aa4

i a41 a42 a4a a44

und bezeichne die algebraischen Komplemente der aij mit Au. Die zu Ci

3

(i = 1, 2, 3) parallelen Ebenen sind 'fJi = I aij Xj - Ui = o (i = 1,2,3). j=I

Die ui fiihrt man als neue Veranderliche statt der Xi ein; es ist

0(%1' %2' %3)

o( Ul' U 2' u 2 )

1 1

8(u1, U 2' ua) = Au· ;j(X~,-X2~~)

Ich rechne an Stelle des Tetraedervolumens das sechsmal so groBe Volumen des Parallelepipeds, das durch die Ebenen cl> c2' Ca und durch jene parallelen Ebenen begrenzt ist, die durch die Schnittpunkte von c4 mit je zwei der Ebenen cl> c2' Ca hindUlchgehen. Die Integrationsgrenzen werden dann konstant, und zwar muB die Ebene 'fJI zuerst mit 81 ubereinstimmen, was u 1 = - a14

fur die untere Grenze der Integration nach Xl gibt, wăhrend die obere Grenze durch jenen Wert von ui gegeben ist, fur den 'fJI durch den Schnittpunkt von 8 2,8a und 8 4 hindurchgeht, d. h. es ist ui so zu bestimmen, daB die vier Gleichungen

\' -..... a Ij x j - U I - o, J

2'a2j xj + a24 = o, j

..4) a3j xj + a34 = o, J

2' a4j X j + a44 = o J

eine L6sung Xi haben. Diese vier Gleichungen kann man als lineare homogene Gleichungen fUr die Unbekannten Xl> x2' X 3' 1 ansehen, die dann und nur dann eine nichttrivialc L6sung haben, wenn ihre Determinante verschwindet. Diese Determinante unterscheidet sich aber von A nur dadurch, daB a14 durch - U I ersetzt ist; ihre Entwicklung nach der ersten Zeile gibt also

an A 11 + au A 12 + a l3 A 13 - u1 A 14 = o

oder, wenn man a14 A 14 beiderseits addiert,

A -ul A H = a14 A 14

oder

Losungen der Aufgaben. (§§ 18-20.)

Analog findet man A

u 2 = -j-'-' - a 24 = b24 , 2&

A u 3 = A - a34 = bM

34

373

ffu die oberen Grenzen, wăhrend die geben sind. Es folgt also (bis auf das

unteren durch - ai4 (i = 1,2,3) ge­Vorzeichen)

b,. b.. ba.

V = 6~- (' dX1 Î dX2 \ dX3 =6~- (b14 + aU) (b:u + a 24) (b 34 + a 3,) = "J ., "

6A14 A2' A3' A,,-'

Ist A = o, so gehen die vier Ebenen ei durch einen Punkt und es ist auch V = o und umgekehrt.

2'"

§ 19. 1. S = 1 va2-+ b2 dt = 2 va2+ b2 n. o

2. Es ist z = b arctan~, p = -2 by Îl' q = b x also x x+y X2+y2'

2" a

J = ~~ ţ/X2 :y~-+ ;dx dy = ~ dg; ~ V r2 + b2 dr = o o

= n [ava2 + b2 + b2ln ~±.t:2:+- b2]. Fur die Parameterdarstellung wird E = 1, F = o, G = u2 + b2, also

2" a

J = Il VU2 + b2 du dv = 1 dv 1 VU2+ b2 du wie oben. o o

a b

3· J = dx --==.- dy = -- V 2 a b (a + b). ~ ~ X + y 2 • r---

tl2XY 3 o o

4. Der Inhalt des halben Kugelzweiecks ist J = 2 a2 IX, also

1 rr 1 rr .r-~-- 1 II xdxdy Xo = 2 a2 ~ .LI x dl = -2 a2 ~ .\.1 x V p2 + q2 + 1 dx dy = 2 a ~ ~ ~ ti a2 ~ x2 _ y2 -

+'" a 1 \ I r 2 dr ansin~

2a ~- J COS g;dg; J -tla2-r2 = ~-, -'" o

Yo = O, Zo = 2 a ~ ~) dx dy = : . a b

\. \' (a y - b X)2 I \ \ a3 ba S. T = . ------ dx dy = .. _.-._- - dx (a y - b X)2 dy = ---.. a2 + b2 a2 + b2 . . 6 (a2 + b2) .

o o

6. T", = l' l' l' (y2 + Z2) dx dy dz = .~ a b c (b2 + c2), entsprechend T'Y und Tz• ... 15

§ 20, 1. Die Tabelle in Anhang I ergibt sofort Yo = 0'477, auf 5 Stellen genau

Yo = 0'47694. Es besteht also die Wahrscheinlichkeit ~ dafur, daB 2

lai = Ix - xol < 0'47694 VZ (J = 0'67449 a = bw

ist, wenn adie Streuung der Verteilung bedeutet.

374

2, Es ist

Anhang II.

+00

Od = - ~",-- \ Ix - xol e-Ir' (X-Xo)! dx; ţi n J

-00

die Substitution h (X - xo) = u gibt +00 00

Od = h~n ~ lUi e-u2 du = -h ~n ~ u e-u2 du = h~ n = ti: (J = 0'79788 (J,

-00 o

§ 21, 1. Die mittleren Abweichungen der Wiederholungszahlen sind 5, 50, 500, die der relativen Hăufigkeiten 0'05, 0'005 und 0'0005, Die wahrscheinlichen

Abweichungen sind 3'37, 33'7, 337, d, h, es ist mit der Wahrscheinlichkeit ~ zu 2

erwarten, da13 die Wiederholungszahl der einen Seite bei IOO Wtirfen zwischen 47 und 53, bei IO 000 Wurfen zwischen 4966 und 5034 und bei I 000000 Wur­fen zwischen 499663 und 500337 liegt.

2, P n(O) = e- 1'96 = O'14I, P n(I) = I'96 , e- 1'96 = 0'276,

P n(z) = ~ , I'962 , e- 1'96 = 0'271, 2

P n(3) = ~-, I'963 , e- 1'96 = O'I77,

P n(4) = _1_ , I'964 , e- 1'96 = 0'087; 24

die Wahrscheinlichkeit fUr mehr als 4 Kinderselbstmorde ist also nur mehr 0'048,

3, Die mittleren Abweichungen betragen fur die einzelnen Augenzahlen der Reihe nach o'ooz6, 0'0027, 0'0025, 0'0025, o'ooz7, 0'0028, Sicher ist also nur die zweite Stelle nach dem Dezimalpunkt, bei der dritten mu13 man mit einer Abweichung von rund drei Einheiten rechnen,

+ka

§ 22, I. Die fragliche Wahrscheinlichkeit ist P(k) = :n- \ e-Ir2 v' dv mit

-ka h = __ 1 Die Substitution h v = u gibt

at/i k

ti· P(k) = ----="'. \' e- u2 du = e ( k_),

Vn ' t/2 o

Aus der Tabelle am Schlu13 des Bandes entnimmt man

P(o'5) = 0'3829, P(I) = 0'6827, P(I'5) = 0'8664, P(2) = 0'9545, P(3) = 0'9973, P(4) = 0'9999,

2,

I

Xl f Xl ± X 2 Xl X 2

X2

#f ţi #12 +#22 VrX22 fli'+ X12fJ,~2 tI(·~!-r + ( Xi~2r flf !~12 +,/122 tI(·~~T+ (~:r tlr~~-r+ ( ~:r -T

I Xl ± X 2

Losungen der Aufgaben. (§§ 20-24.) 375

§ 23, 1. Die zehn relativen Hăufigkeiten aus den einzelnen Jahren kann man als Messungen der unbekannten Wahrscheinlichkeit einer Knabengeburt ansehen. Die Gewichte sind proportional oder gleich der Gesamtzahl der Geburten zu

nehmen. Der Mittelwert Xo = [~~J stimmt natiirlich iiberein mit dem Wert der

relativen Hăufigkeit, der sich aus der letzten Zeile der Tabelle (mit den Summen) ergibt. Der mittlere Fehler von Xo stimmt mit der in § 21, 5 gerechneten mittleren Abweichung iiberein.

2, Nimmt man die Messungsergebnisse l1> l2' l3 als Năherungswerte fiir die Unbekannten und bezeichnet man mit x, y, z ihre Verbesserungen, so ergeben sich die Fehlergleichungen

x

y

-x +y -x

Die N ormalgleichungen

4 x -x

-x ergeben

z

+z

- y

+2 y

= v1> Gewicht 2,

+ 0'41 = v4, 1,

z =- 0'62,

=-0'41,

+ 2 Z = 1'03,

x = -0'103,

mit den Gewichten

y = -0'257,

12 3,

7 Die ausgegIichenen Werte sind

Femer ist

(AB) = 59° 53' 43'927",

(AC) = 98° 53' 23'153",

(AD) = 271° Ii 29'844",

(BC) = 38° 59' 39'226",

(BD) = 2Ilo 23' 45'917",

[P v v] = 0'582468,

der mittlere Fehler der Gewichtseinheit

und daher ţl., = 0'312", ţly = ţl. = 0'412".

§ 24, 1. t = u + v t' und die Fehlergleichungen sind:

u + 15 v = 15'3,

U + 25 v = 24'9,

U + 35 v = 34'7,

u + 60 v = 58'2;

Anhang II.

die Normalgleichungen 4 U + 135 v = 133'1,

135 U + 5675 v = 5558'5 geben u = 1'I045, v = 0'9532, also wird

t = 1'I045 + 0'9532 r, 2. Die Normalgleichungen sind

8 u + 31'11]= 7948402,

31'1 U + 2424'01] = 30899852

und geben u = 993549, 1] = 0'19, also

l = 993549 - 2631 cos 2 fJ Mikron.

3. {I + X2 : 0'934 + 0'427 x.

4. xli =:c ~ x; der Koeffizient von X2 und ebenso das konstante Glied muE 5

verschwinden, da x3 eine ungerade Funktion und das Intervall symmetrisch zum Ursprung ist.

5. x =:~ 0'832 sin x + 0'694 (1 - cos x). 1

6. x + y + z -_ ... 2

n(n-I) § 25,1.:" (-1) -z-nn-I (n+I). Anleitung: Man subtrahiere dic ersteZeile

2

von allen folgenden, dann die zweite k-mal von der k + I-ten (k = 2, 3, " "n-I), worauf man aus der dritten bis n-ten Zeile den Faktor n, im ganzen also nn-z herausheben kann. Dann addiert man die ersten n - 1 Spalten zur n-ten.

2. Folgt unmittelbar aus der Darstellung A = 1: ± al il a 2 i2 ' " an in und dem Satz uber die Ableitung eines Produktes.

3. a) Xl = a, x2 = b (erste und zweite bzw. erste und dritte Zeile sind pro­portional, oder: erste und zweite Spalte bzw. erste und dritte Spalte sind gleich).

b) x = 5; man subtrahiere die erste Zeile von den beiden folgenden. e) Xl = X 2 = 1, X 3 = -2; fUr X = 1 versehwindet aueh die Ableitung der

Determinante (Aufgabe 2), daher ist 1 ei ne Doppelwurzcl, fUr X = -2 wird die Summe der drei Zeilen (SpaIten) Null.

4. a) (Xl> YI) und (x2, Y2) seien die beiden gegebencn Punkte, fUr sie muE die Gleichung

erHi.llt sein: ax +by +c=o

a Xl + b Yl + c = o,

a x2 + b Y2 + C = o.

und diese drei Gleiehungen kann man als System von drei homogenen bnearen Gleichungen fur a, b, C auffassen. Die Bedingung fur die Existenz einer nicht trivialen Li:isung ist

x )' 1

Xl )'1 l' ::::= 0,

Xz Y2 1

L6sungen der Aufgaben; (§§ 24-26.) 377

was aber bereits die gesuchte Gleichung der Geraden ist. Analog findet man

b) X2 + y2 x Y 1 c) X Y Z 1

X12 + Y12 Xl Yl 1 Xl Yl ZI 1

X 2 + Y 2 =0, =0,

I 2 2 X2 Y2 1 X2 Y2 Za 1

. Xa2 + Ya2 X3 Y3 1: Xa Ys Zs 1

e) X2 xy y2 X Y 1 d) X2 + y2 +Z2 X Y Z 1

X2 Xl Yl Y12 Xl Yl 1 X12 + Y12 + Z12

1 Xl Yl ZI 1

X2 X2 Y2 Y22 X2 Y2 1 X22 + Y22 + Z22 2

x 2 Y2 Z2 1 =0, =0. X2 X3 Y3 Y32 X3 Y3 1

X32 + Ya2 + zi a X3 Ya Z3 1

: 2 I X4 X4 Y4 Y42 X4 Y4 1

xl + y,2 + Z42 x, Y4 Z4 1 X52 X5 Ys Ys2 x 5 Ys 1

5. Man denke sich etwa durch entsprechende Reihenvertauschungen eine nicht verschwindende r-reihige Determinante in die Ecke links oben gebracht. Mittels des in Ziffer 6 geschilderten GauBschen Eliminationsverfahrens, das aus der Durchfuhrung bestimmter Scherungen besteht, kann man alle Elemente unter­halb der Hauptdiagonale (bei nichtquadratischen Matrizen ist das Wort sinngemăB zu verstehen) zum Verschwinden bringen. Dasselbe gilt dann auch fur die Elemente oberhalb der Hauptdiagonale, wenn man das Verfahren auf die Spalten anwendet. Damit hat die Matrix aber schon die angegebene Gestalt; daB die ersten r Elemente der HaupMiagonale nicht verschwinden, folgt aus der Annahme, daB eine nicht verschwindende r-reihige Unterdeterminante in der Ecke links oben steht, daB alle folgenden Null sind, aus der Annahme, daB die Matrix den Rang r hat und somit alle r + I-reihigen Determinanten verschwinden.

6. Wir denken uns die Matrix auf die in Aufgabe 5 angegebene Form gebracht. Dann stimmt der Rang der neuen Matrix mit der Zahl der Reihen uberein, die aus den ersten '1' Reihen der gegebenen Matrix stammen. Fur die restlichen Reihen der neuen Determinante, die aus den letzten n-r Reihen der gegebenen Determinante stammen, gilt dann p - '1" ~ n - '1', was die behauptete Un­gleichung ist.

§ 26. 1. Xl = -x2 = 1, x3 = -X, = 2. 2. Keine Lasung ('1' = 3, R = 4).

3. x = Â, Y =~, z = Â -~, W = 2 ('1' = R = 3). 2 2

4. x=~-(-Â+2P,+4), Y=~-(7Â-9P,-3), Z=Â,w=p,(r=R=2). 5 5

5. Wegen O 1 ~

ft (x) = ft (X) + CI f, (X) + ... + CI' f, (x) = bi + CI' O + ... + C!IJ' 0= bi ist jedes Xi der angegebenen Form eine Lasung der gegebenen Gleichungen.

Wir denken uns die Gleichungen so umgeordnet und die Verănderlichen so umnumeriert, daB in der Gleichungsmatrix eine nicht verschwindende r-reihige Determinante in der Ecke links oben steht. Dann konnen wir nach Satz 3 die p = n-r Verănderlichen xr + l = Cl> Xr+2 = C2, ••• , x" = C!IJ willkiirlich wăhlen, wăhrend die iibrigen dann eindeutig bestimmt sind, und zwar als lineare Funktionen von CI' C2, ••• , C!IJ und daher die angegebene Form haben.

Anhang II.

o O Im Beispie13 (1 und 2 kommen natiirlich nicht in Betracht) ist x = o, Y = ~,

2 o o 1 1 Z = -~, W = 2 eine Lasung der inhomogenen Gleichungen, x = Z = 1,

2 1 1 Y = W = o eine Lasung der homogenen

o Gleichungen; im Beispiel 4 ist x = ±-,

5 o o o Y = - ~, z = W = o eine Lasung der inhomogenen

5 1 7 11 2 2 2 9 22

Y = 5' Z = 1, W = o und x = 5-' Y = -5' Z = o, W

Lasungssystem der homogenen Gleiclnmgen.

1 Gleichungen, x = _ 1

5 '

= 1 ein fundamentales

6. r = R = 3: Die drei Ebenen schneiden sich in einem eindeutig bestimmten Punkt.

r = 2, R = 3: Die drei Ebenen schneiden sich in drei parallelen Geraden (Sonderfall: Zwei parallele Ebenen und eine beliebige Ebene).

r = R = 2: Die drei Ebenen gehen durch eine Gerade. r = 1, R = 2: Die drei Ebenen sind parallel. r = R = 1: Die drei Ebenen fallen zusammen.

§ 27. 1. Man erhălt

Du = ei ej + ((lii - ei ej) cos cp - eiil~ ek sin cp. 2. Eine einfache Rechnung gibt

DijDik = djk,

d. h. die Transformation U i = DijXj ist orthogonal.

3. Man findet durch Verjiingung (es ist A ij = Di;, Aufgabe 1)

Aii = 1 + 2 cos cp und

so daB 1 1

cos cp = 2 (Aii - 1), ek = --zsin IP eijk Aii'

4. Ist die Stellung der Ebene durch den Einsvektor ei gegeben, so wird

Ui = X i - ei ej X j = (dij - ei ej) Xj ..

§ 28.1. Man findet A",q =Aiiai",ajq, A", = Aijai'" bj +Ai ai"" .11= A ij bib j + + 2 Ai bi + A; d. h. Aii ist ein Tensor, aber Ai ist kein Vektor und A keine Invariante, wenn nicht bi = o ist (Drehung).

2. Man zerlege die Transformation in eine Drehung Xi = aij Y; und eine Parallelverschiebung Yi = Zi + mi' Die Drehung fiihrt man wie in Ziffer 4 durch, d. h. so, daB die YrAchsen in die Eigenrichtungen von Aij fallen, die mit den Hauptachsenrichtungen der FIăche iibereinstimmen. Es folgt

Â. Yl2 + Â. Y22 + Î. Y32 + 2 -A i Y i + A = o 1 2 3

(man beachte, daB nach Aufgabe 1 bei einer Drehung Ai ein Vektor und A eine Invariante ist!) und nun versucht man die Parallelverschiebung, d. h. die bi so zu bestimmen, daB die linearen Glieder wegfallen. Einsetzen gibt die Bedingungen

Â. mI + Al = Î. m2 + A2 = Â. m3 + !i3 = o, (A) 123

L6sungen der Aufgaben. (§§ 26-29.) 379

die eindeutig 16sbar sind, wenn A A A ~ o ist. Ist aber eine oder zwei der drei 1 23

charakteristischen Zahlen gleich Null, so hat die Gleichung nur dann eine L6sung, wenn auch die entsprechenden Ai verschwinden. Ist das nicht der Fall, so liegt eine FIăche ohne Mittelpunkt vor. Es sei etwa A = o, A3 ~ o. Dann bestimmen

3 wir mI und m 2 aus den beiden ersten Gleichungen und m 3 aus der Bedingung

A = Î. m12 + A m 22 + 2 Ai mi + A = o, 1 2

(d. h. so, da13 in der transformierten Gleichung das konstante Glied verschwindet). Ist auch A = o, so hat die charakteristische Gleichung die Doppelwurzel Null

2 2 und man kann die Eigenrichtung ei senkrecht zum Vektor Ai wăhlen; dann ist

_ 2 im System Yi der Koeffizient A 2 = Ai ei = o. Man bestimmt dann mI aus der ersten Gleichung (A) und m3 wieder durch die Forderung A = o. In beiden Făllen kommt man zu einer Gleichung der Form

A zl + A Z22 = -2 A3 Z3 1 2

und nach Division durch -A3 ~ o auf die im Text gegebene Form. Năheres bei DUSCHEK-HoCHRAINER, Tensorrechnung 1, § 15.

) OX o'rxx x (j. X,' § 29. 1. a Wegen--- = _V_ "-""-"~"= ., • ., -OXi OXi V x., x p - x

"'-2 = IX X Xi'

b) oU oX;

xi-ai IXi - a/a

Xi + ai

IXi + ai l3 '

)G oAj -"'-10X -"',. -"'-2(2_~ ) 2. a ij=----=-IXX -X·+X u··=X X u··-IXX·X· OXi OXi J ZJ ZJ' "

G oAi - '" ( ) 1 f" d R'h h G -1 ii = ,,- = X 3 - IX, a so ur IX = 1,2,3 er el e nac ii = 2 X , uZi

Gii = x- 2 , Gii = o, ferner Ri = eijk Gjk = o fUr jeden Wert von IX; alle Felder sind wirbelfrei.

BA· b) Gij = ,,-'- = aj b., 0ip = aj bi , Gii = ai bi , Ri = eijk ak bj = - eijk aj bk •

uĂi

Das Feld ist quellenfrei, wenn ai senkrecht zu bi , und wirbelfrei, wenn ai parallel zu bi ist.

c) Gij = ej.,q a., 0iq = eij pa." Gii = o quellenfrei,

Ri = eijk Gjk = eijk ejk pa., = 2 0ip a p = 2 ai'

BA· d) Gij = ~ = Dji, G i ; = Dii = 1 + 2 cos cp,

uXi

Ri = eijk Gjk = eijk Dkj = 2 ei sin cp (§ 27, Aufgabe 3).

e) Gii = o, Ri = O.

3. Man erhălt fUr den Feldvektor

A. - BU _ dU ~_ -!-.f! x;:-Pi ,- OXi - dr oXi - dr r

Anhang II.

und daher

L1 U =. oA; _ 02 U _ d2 U ar 01' + dU 02 r d2 U 2 dU oX; - -ox; oX;- - (ii?: -ax; OXi dr OXi ax; = dr2 + r ar = O.

Setzt man }~r('i = z, so folgt fUr z die

oder r dz + 2 z d r = O. Hier ist, wie man

Differentialgleiehung r ~: + 2 Z = o

wohl unmittelbar erkennt, _1_ ein rz

integrierender Faktor (§ 17, 4), denn in P dz + Q dr = dz + 2 dr = ° ist z r

a! = op = o und daher In z + 2 In r =c In a oder z = -~- die allgemeine Losung. vI' uZ r

Aus dU = z = a folgt dann weiter dr r 2

u = - -~ + b, Ai = -~- (X;-Pi)'

b ist der Wert, den das Potential U fUr r ~ 00 annimmt; in der Regel nimmt man b = o.

4. Man findet leieht

und daher

A . = oU = dU (li • oXi de'e'

und ăhnlieh wie in Aufgabe 3

dU a a Te = e' U = a In e + b, Ai = (22 ei'

Aueh hier nimmt man in der Regel b = o; U versehwindet im Unendliehen nieht.

§ 30. 1. Der Feldvektor ist in (o, 0, o) unstetig, also wird man die Inte­gration etwa in Po = (1, 0, o) beginnen. Mall erhălt fUr O< =F 2

U= fA;dX i = xrU1-" du + LiT;j$v2)" + L!(;>::2~+W2)" +c= Po o o

2-0< X'-« + C',

also insbesondere U = x fUr (X = I, U = - 1_ fur (X =,3 (C = o), unu fUr x 0<=2

o o

Etwas einfaeher kann man hier aueh folgendermaBell reehllen: Es ist

Lasungen der Aufgaben. (§§ 29. 30.)

wenn 0/ =l= 2 ist. nnd fUr LX = 2

p P

\' Ai dx· = -=- \~~22 = ln x + c. 1. r) J x2

1>0 - Po

2. Ans (29) folgt o a O a2 O BI = Xl (a2 X 2 + a3 X 3) - ~ (X22 + X 32), B2 = a g X 2 X3 - X 32, Ba = o.

2 2

Setzt man

U = -=- [al Xl (X22 + X32) + a2 x2 X32] + -=- (al x/ + a2 X 23 + a3 X 33), 2 3

so folgt O au

B.=B.+---=a.x.x. , , aXi '"

in symmetriseher Form. Einfacherwird die Rechnung, wenn man das Koordinaten­system so legt, daB ai = O) ei = O) <53i wird (O) ist die Winkelgeschwindigkeit, vgl. § 29, Aufgabe 2 e). Es folgt Ai = O) 8i3k xk , d. h. Al = - O) x2' A 2 = O) Xl'

A3 = o. (29) gibt O o o BI = O) Xl x3' B2 = O) X 2 xa' Ba = O

und mit U = -=- O) X 33 wird 3

o au B. = B· + - = O) x· Xa.

, 'aXi ' •

Beachtet man, daB x3 = b3i Xi = ei Xi ist, so kann man auch

Bi = O) Xi ei Xi = ai Xi Xi

schreiben und diese Form ist vom Koordinatensystem unabhangig. 3. Da das Feld auBerhalb von p, quellenfrei ist, muB der FlnB durch jede Pi

umschlieBende Flaehe derselbe sein. Wahlen wir eine Kngel vom Radius r nnd

dem Mittelpunkt Pi' so wird dji= Vi r2dO) = Xi-Pi r2dO)=r(xi-p,)dO),wo r

dO) der Raumwinkel ist, unter dem das Flachenelement dj von Pi aus erscheint (FIăchenelement auf der Einheitskugel). Es folgt

~Aidji = a~ Xi r 2 Pi (xj-P,) dO) = a~dO) = 4na.

Pi ist ein QuellPunkt, a heiBt die Stărke nnd 4 n adie Ergiebigkeit des Quellpunkts. 4. Wie in Aufgabe 3 lăBt sieh auch hier die Flache willkiirlich wahlen; wir

nehmen einen Kreiszylinder von der H6he 1 mit der Feldaehse als Aehse. Die beiden Basisflaehen liefern keinen Beitrag, da dort Ai Vi = o ist; auf der Mantel­flache ist dj, = ei dh dq;, wenn h die H6he und q; der Zentriwinkel ist. Es folgt wegen Ai ei = a

1 2,.

~Aidji = I dh.Î Aif2t dq; = 2na. o o

Die Feldachse ist eine Quellinie mit der Ergiebigkeit 2 n a je Lăngeneinheit.

ARCHIMEDES 132. EINSTEIN 147. EUKLID 114.

Abbildung 99, 100, 301. -, affine 105. - durch reziproke Radien

99· -, konforme 99. -, kreistreue 99. -, projektive 108. -, winkeltreue 99. Abgeschlossene Menge 50. Abhăngige Funktionen 105. Ableitung eines Vektors 166. - nach einer Richtung 218. -, partielle 67. Absolut konvergent 4, 8. Absolute Invariante 1I3. Abstand zweier Geraden 162. Abweichung, mittlere 235. -, durchschnittliche 240. --, wahrscheinliche 240. Addition, geometrische 146. Adjungiertes Dreibein 164. Affine Abbildung 105.

Geometrie II 4, 303. Gruppe 1I2. Invariante 114. Koordinaten 105, 303. Transformation 107, 301.

Affiner Raum 303. Aigebraische Hyperflăche 304 - Kurve Il8. Algebraisches Komplement

285. Allgemeine harmonische

Reihe 16. Allgemeines Integral 191. - Konvergenzprinzip 3, 51. - Produkt 314. Alternierende Reihe 5. Alternierender Tensor 313. Analyse, harmonische 30.

Namenverzeichnis. (Biographische Notizen.)

FOURIER 32. GREEN 219. KLEIN 112. POISSON 245.

Sachverzeichnis. Antikaustik 132. Arbeit 184. Archimedische Spirale 132. Arithmetisches Mittel 255. Astroide 133. Asymptote 117. Asymptotenrichtungen 94. Asymptotischer Kreis 120. - Punkt 120. Aufgespannt 150, 308. A usgezeichnete Zerlegungs­

folge 198. Ausgleichen 263. ĂuBeres Produkt 158, 169,

3 1 5. Axiale Vektoren 317.

Bahnkurve 80. Bayessches Theorem 249. Bedingt konvergente Reihen

5· - - Integrale 8. Begleitendes Dreibcin 167. Belegung, Belegungsdichte

221. Beobachtungsfehler 253. Bernoullische Lemniskate

131. Bernoullische Zahlen 28. Bernoullisches Theorem 240. Beriihrung von Kurven 123. BeriihrungsgroBen Il6. Beschleunigungsvektor 167. Beschrănkte Menge 50. Bestăndig konvergent 23. Bewegungsgruppe Il2. 306. -, erweiterte Il3, 306. Bewegungsinvariante 114. Bilinearform 313. Binăr 84.

SCHWARZ 70. STEINER 232. STOKES 346.

Binomische Reihe 15. Binormalenvektor 167. Bipolare Koordinaten 97. Bogenlănge einer Rallmkllrve

223· BOLZANO-V\'EIERSTRASS, Satz

von 50.

Cartesisches Bla tt 133. Cassinische Kurven 131. CAUCHY, Konvergenzprinzip

von 3, 51. -, Konvergenzkriterillm von

15· Charakteristische Gleichllng

32 1. - Zahlen 321. Cramersche Regel 5'), 295·

Definit 84. Definitions bereich 52. Determinan te 57, 28 I. -, Wronskische 87. Diakaustik 132. Differen tiaI, totales 72, 185. Differentialform 185. Differentialgeometric Il 5. Differentialgleichllng der

schwingenden Saite 82. -, ElIlersche 83. -, exakte 191. -, Laplacesche 81, 82, 33'. -, partielle 193. Differentiation, implizite 70. -, partielle 67.

unter dem Integralzeichen 174, 178 . von FeldgroBen 329. von Reihen 21.

Differenzierbare Funktioll 70.

DIOKLES, Zissoide des 131. Diskriminantenkurve 127. Divergent 2.

Divergenz 330. Doppelgleichung der Geraden

161. Doppelintegral 174, 196. Doppellimes 62. Doppelpunkt 121. Doppelter Limes 63. Doppelverhăltnis IlO. Drehparaboloid 86. Drehtensor 319. Drehung 164, 306. -, infinitesimale 165. Drehvektor 165. Dreibein 152. -, begleitendes 167. -, normiertes 156. -, reziprokes 164. Dreierprodukt, skalares 160. Dreifach orthogonales FIă-

chensystem 97. Dreifacher Punkt 122. Durchmesser eines Bereiches

198 . Durchschnittliche Abwei­

chung 240. Durchschnittlicher Fehler

260.

e-Tensor 316. Ebene Punktmenge 50. Ebenenstellung 150. Eigenrichtung 320. Eigentlich orthogonal 306. Eigenvektor 320. Eigenwerte 321. Eindeutige Funktion 52. Eindeutigkeitssatz fUr Po-

tenzreihen 26. Einfach zusammenhăngend

333· Eingehauter Zylinderhut 225. Einheitsmatrix 282. Einheitspunkt 303. Einhiillende 126. Einschaliges H yper boloid

32 7. Einseitige FIăche 341. Einsvektor 115, 148. Elementarfehler 257. Eliminationsverfahren von

GAUSS 267. Ellipse 85. 86. Ellipsoid 327. Elliptische Koordinaten III.

Elliptischer Punkt 94. - Zylinder 328. Elliptisches Paraboloid 85. Empirische Funktion 276. Entwicklungssatz 318. - von LAPLACE 284. Epizykloide 132. Ergiebigkeit, spezifische 345.

Sachverzeichnis.

Erlanger Programm Il2. Erste Grundform 229. Erweiterte Bewegungsgruppe

Il3. 306. - Matrix 152, 295. Euklidische Geometrie 114,

3°6. Eulersche Differentialglei-

chung 83. Evolute 128. Evolvente 130. Exakte Differentialgleichung

191. Explizite Funktion 52. Extrema 134.

mit Nebenbedingungen 137·

Fehler, durchschnittlicher 260.

-, grober 253. -, mittlerer 253, 260. -, scheinbarer 255. -, systematischer 253. -, wahrer 254. Fehlerfortpflanzungsgesetz

260. Fehlergesetz 254. Fehlergleichungen 268, 270. FeldgroBe 329. Feldlinien 332. Fixpunkt 100. Flăche, einseitige 341. -, nullteilige 327. -, zweiseitige 341. Flăchenelement 224. -, vektorielles 340. FIăchenintegral 340. Flăchensystem, dreifach

orthogonales 97. FluB eines Vektors 340. Form 84. Fourierreihe 29. Freie Extrema 137. Fundamentales Losungs-

system 297. Fundamentalsatz der Tensor-

analysis 329. Funktion, eindeutige 52. -, empirische 276. -, explizite 52. -, homogene 82. -, implizite 52. 75. -, periodische 29. -, stetige 65. -, zusammengesetzte 73. Funktionen, abhăngige 105. Funktionaldeterminante 78,

99. 101. FuBpunktkurven 130.

GauBsche Transzendente 234. - Verteilung 232. GauBscher Integralsatz 217,

342.

GauBsches Eliminationsver-fahren 267.

Gebietsdifferentiation 220. Gebundener Vektor 184. Geometrie, affine 114, 303. -. euklidische 114, 306. -, projektive 114, 304· Geometrische Addition 146. - Reihe 13. Geradenbiischel 108. Geschwindigkeitsvektor 166. Gewicht 264. Gewichtsgleichungen 272. Gewogenes Mittel 265. Gibbssches Phănomen 31 , 45. GleichmăBig stetig 66. GleichmăBige Konvergenz 17. - - von Integralen 177· Glockenkurve 233. Graclient 168, 329. Greensche Formeln 2Ig, 345. Grenzpunkt 51. Grenzwert 62. Grenzwertsatz, Laplacescher

235· Grobe Fehler 253· Grundform, erste 229· Gruppe, affine !I2, 302. -, orthogonale 306. -, projektive !I2, 304.

Haken 188. i Halbdefinit 85·

Harmonische Analyse 30. I - Oberschwingung 29.

- Reihe 2.

Hăufungspunkt 50. Hauptnormalenvektor 167. Homogene Funktion 82. - lineare Gleichungen 149. Homogenes Feld 350. Hiillkurve 126. Hyperbel 86. Hyperbolische Spirale 120. Hyperbolischer Punkt 94. - Zylinder 328. Hyperbolisches Paraboloid

86. Hyperboloicl 327. Hyperebene 302. Hyperflăche 304· Hypothese der Elementar­

fehler 257. Hypozykloide 132.

Implizite Funktion 52, 75. - Differentiation 76. lndefinit 85. Infinitesimale Drehung 165. lnnerer Punkt einer Menge 5°. Inneres Produkt 153. 169,

299, 309· Integrabilitătsbeciingung 188,

338.

Integral, allgemeines 191. -, mehrfaehes 2°7. -, partikulăres 19I. -, uneigent1iehes 7, 176, 21 3,

216. Integralsatz von GAUSS 217,

342 . - von GREEN 219, 345. - von STOKES 346. In tegralsin us 47. Integration unter dem Inte-

gralzeiehen 172, 178. - von Reihen 20. Integrationsweg 183, 333. Integrierbare Funktion 197. Integrierender Faktor 193. Interpolation, trigonometri-

sehe 47. Invariante Il3, 145. Inverse Funktionensysteme

79· - Matrix 289. - Transformation 112, 302. Irreduzibel 122. Isolierter Punkt 121 Iterationsverfahren 92.

Kardioide 131. Karte einer Funktion 53. Katakaustik 132. Kaustik 132. Kegel im Rn 327. Kegelsehnitt 86, 139. Kegelsehnitte, konfokale III.

Kettenlinie 132. Kettenregel 74. Knotenpunkt 121. Kollineare Vektoren 149. Komplanare Vektoren 15I. Komplanation 224. Komplement 285. Komponenten 145, 148. Konehoide 131. Konfokale Kegelsehnitte III.

Konforme Abbildung 99. Konvergent 2.

Konvergenz, absolute 4. -, bedingte 4, 5· -, bestăndige 23. -, gleiehmă13ige 17, 177· Konvergenzintervall 23. Konvergenzkriterium von

LEIBNIZ 5. Konvergenzprinzip, allge-

meines 3, 5I. Konvergenzradius 23. Koordinaten, affine !O5, 303. -, bipolare 97. -, Cartesisehe 306. - eines Tensors 312. - eines Vektors 145. -, elliptisehe III. -, krummlinige 95. -, Lamesehe III.

-, orthogonale 97.

Saehverzeiehnis.

Koordinaten, parabolisehe 362 .

-, projektive 108. Koordinatenaehsen 303. Koordinatenhyperebenen 3°3. Koordinaten transforma tion

98, 3°I. Korrelaten 275. Kotierte Projektion 53. Krampsehe Transzendente

234· Kreistreue Abbildung 99. Kreisevolvente 132. Kroneekersehes Delta 282. Krummlinige Koordina ten 95. Kriimmung 124. -, mittlere 124. Kriimmungskreis 124. Kriimmungsmittelpunkt 124. Kriimmungsradius 124. Kugelsymmetriseh 332. Kurve, algebraisehe Il8. Kurvenintegral 182, 333, 335· Kurvennetz 96.

Lagrangesehe Multiplika-torenregel 138, 142.

Lamesche Koordinaten III.

Lănge eines Vektors 308. Laplacefeld 33 I. Laplacesche Differential-

gleichung 81, 82, 33I. Laplacescher Entwicklungs­

satz 284. I - Grenzwertsatz 235. I _ Operator 330.

La placetransformierte 238. Leibnizsches Konvergenz­

kriterium 5. Lemniskate 13I. Linear abhăngig 149, 292,

3°8. - gebrochene Transforma-

tion 303. Lineare Differentialform 185. - Menge 50. - Transformation 30I. Linienintegral 333. Lokales affines Koordinaten­

system 107. Lbsungssystem, fundamen­

tales 297.

m-Bein 308. -, normiertes 309. Majorante 12. MaBvektoren 157, 310. Matrix 150, 281. -, erweiterte 152, 295. -, inverse oderreziproke 289. Methode der kleinsten Qua-

drate 264. Metrische Grundform 229. Minorante 12. Mittel, arithmetisches 255.

Mittel, gewogenes 265. Mittelpunktskegelsehnitt 86. Mittelwertsatz 88. - fUr Doppelintegrale 203. Mittlere Abweichung 235.

Belegungsdiehte 22I. - Kriimmung einer Kurve

124. Mittlerer Fehler 253, 260. Mbbiusband 34I. Momentanzentrum 132. Multiplikation von Deter-

minanten 61, 287. Multiplikatorenregel, La­

grangesche 138, 142.

n-dimensionaler Raum 52, 30 I.

Nabla 330. Negativ definit 84. Newtonsehes Verfahren 9I. NIKOMEDES, Konchoide des

13I. Niveauflăehe 331. Normalbereieh 173, 196. Normale Il5, Il6. Normalenvektor Il5, 162,

168. Normalform 86. - der Ebenengleichung 162. Normalgleichungen 269, 271,

275· Normalprojektion 344. Normieren 148, 310. Normiertes Dreibein 156. - m-Bein 309, 31I. Nullrichtungen 320. Nullteilig 85, 86, 327. N ulltensor 313. Nullvektor 147, 308 .

Oberreihe 12. Oberschwingung, harmoni-

sehe 29. Obersumme 197. Offene Menge 50. Operator, Laplaceseher 330. Orientierte Strecke 144. Orientierung 146. Orthogonal 299, 309. Orthogonale Gruppe 306.

Koordinaten 97. - Trajektorien 97, III. - Transformation 305· Orthogonales m-Bein 309. Orthogonalisieren 310. Orthogonalitătsrelationen 32,

3°5· Ortsvektor 145. Oskulieren 123.

Parabel 87. Parabolischc Koordinaten

362 . Parabolischer Punkt 94.

Parabolischer Zylinder 86. Paraboloid, elliptisches 85. -, hyperbolisches 86. Parallel 303. Parameterlinien einer FIăche

81, 227. Partialbruchzerlegung des

Cotangens 44. Partialsumme 2.

Partielle Ableitung 67. - Differentialgleichung 193. Partikulăres Integral 19 1. Pascalsche Schnecke 131. Periodische Fortsetzung 30. - Funktion 29. Poissonsche Formei 245. Poissonsches Theorem 246. Polare Vektoren 3 I 7. Polarnormale 117. Polarplanimeter 193. Polarsu bnormale 117. Polarsubtangente 117. Polartangente 117. Polynom, trigonometrisches

31, 279·

Sach verzeichnis.

Raum, affiner 303. -, euklidischer 306. -, projektiver 304. -, n-dimensionaler 52, 301. Raumkurve 80. Răumlicher N ormalbereich

173, 196. Reduzierte Pendellănge 280. Reduzibel 122. Reelle Kurve 122. Regulăre Transformation 3°1. Regulărer Punkt einer Kurve

76. - einer Transformation 98 . Tensor 319.

Reihe, allgemeine harmoni-sche 16.

-, alternierende 5. -, binomische 15. -, Fouriersche 29. -, geometrische 13. -, harmonische 2.

-, Taylorsche 26. -, trigonometrische 30. Relative Invariante 113. Restglied 4. Resultierende 148.

Positiv definit 84. Potential 191, 330. Potentialfeld 330. Potentialfunktion 331. Potenzreihen 22.

Prăzisionsmal3 234, 258. Produkt, allgemeines 314. -, ăuBeres 158, 169, 315.

, Reziproke Dreibeine 164.

-, inneres 153, 169, 299, 309· -, skalares 153. -, unendliches 45. -, vektorielles 158.

von Determinan ten 6 1,

287. von Transformationen 99.

Produktentwicklung des Si­nus 44.

Projektion 154. Projektive Abbildung 108.

Geometrie 114, 304. Gruppe 112, 304. Invariante 114. Koordinaten 108, 304. Transformation 108, 304.

Punktfolge 51. Punkttransformation 99,

3°1.

Quadratische Form 84. Quadrik 327. Quelldichte 345. Quelle 344. Quellenfrei 331. Quellinie 381. Quellpunkt 381. Quotientenkriterium 13.

Randpunkt 50. Rang einer Matrix 152, 291. - eines Tensors 319.

Duschek, HOhere Mathematik. II.

Funktionensysteme 79. - Matrix 289. - Radien 99. Riemannsche Summe 197. Ringflăche 95. Rollkurve 132. Rotor 330. Riickkehrpunkt 122.

Săkulargleichung 321. SARRUS, Regel von 59. Scheinbarer Fehler 255. Scheitel 124. Scherung 284. Schichtenlinien 53. Schiefsymmetrischer Tensor

31 3. Schlicht 96. Schmiegebene 166. Schnabelspitze 122. Schnecke, Pascalsche 131. Schnitt 303. Schraubflăche 186. SCHWARZ, Satz von 70. Schwarzsche Ungleichung

3°9· Schwerachse 230. S~hwerpunkt 229. Seltene Ereignisse 245. Senke 344. Simultaner Grenziibergang

62. Singulăre Transformation

1°5, 3°1. Singulărer Punkt einer Kurve

76, 121.

Singularer Punkt einer Trans-formation 98.

- Tensor 319. Skalar 145. Skalares Dreierprodukt 160. - Produkt 154, 169. Skalarfeld 329. Spezifische Ergiebigkeit 345. - Zirkulation 347. Spiegelung 306. - am Einheitskreis 99. Spirale des ARCHIMEDES 132. -, hyperbolische 120. Spitze 121. Standardabweichung 235. Stationăr 134. Statisches Moment 229. STEINER, Satz von 232. Stellung einer Ebene 150. Stetigkeit 65. - von Integralen 171, 177. Stirlingsche Formei 237. STOKES, Integralsatz von

346• Stiirzen einer Determinante

282. Subnormale 117. Subtangente 116. Sukzessiver Grenziibergang

63· Summationsiibereinkommen

147, 302. Summe einer Reihe 2.

Superoskulation 123. Symmetrischer Tensor 313,

322 . Systematischer Fehler 253.

Tangente 115, 116. Tangentenebene 89, 167. Tangentenvektor 115, 166. Tangentialprojektion 338. Taylorsche Formei 87. - Reihe 26. Taylorsches Polynom 88. Teilsumme 2.

Teilverhăltnis 107. Telegraphengleichung 82. Tensor 312, 313. -, alternierender 313. -, regulărer 319. -, singulărer 319. -, symmetrischer 313, 322. Tensoranalysis, Fundamen-

talsatz der 329. Tensorfeld 328. Tarus 95. Totale Differentialgleichung

191. Totales Differential 72, 185. Trăgheitsmoment 231. Trăgheitsradius 231. Trajektorien, orthogonale 97,

1 I 1. Traktrix 132.

Transformation, affine 107, 30 I.

- durch reziproke Radien 99·

-, inverse 302. -, linear gebrochene 303. -, lineare 30I. - mehrfacher Integrale 210. -,orthogonale 305. -, projektive !O8, 304. -, regulare 30I. -, singulare !O5, 30I. -, zentroaffine 305. -, zusammengesetzte 98. Transformationsgruppe 112. Transponiert 299. Trigonometrische Interpola-

tion 47. - Reihe 30. Trigonometrisches Polynom

31, 279· Triviale Lăsung 149, 296.

Uberschiebung 315. Umgebung 50. Umlegung II3, 306. Unbedingt konvergent 4. Uneigentlich orthogonal 306. Uneigentliche Gerade 106. - Integrale 7, 176, 21 3,

216. UneigentIicher Punkt 106.

Sach verzeichnis.

Unendliches Produkt 45. UnendIichferne Gerade der

Ebene !O6. Unendlichferner Punkt einer

Geraden 106. Unterdeterminante 60, 284. Untergruppe !I2.

Unterreihe 12. Untersumme 197. Ursprung 303.

Vektor 145, 307. - eines Tensors 320. -, gebundener 184. Vektorfeld 184, 329. Vektorielles Flachenelemen t

34°· Vektorparallelogramm 146. Vektorpotential 330, 348. Vektorraum 308. V ektortransforma tion 31 I. Vektorprodukt 158. Verjiingung 315. Verteilung, GauBsche 232.

Vivianisches Fenster 226.

Vollstandiges Differential 72.

Wahrer Fehler 254. - Wert 254. Wahrscheinliche Abweichung

24°·

lvIanzsche Bucbdruckerei, Wien IX.

Wahrscheinlichkeitsdichte 22I.

WEIERSTRASS, Kriterium fiir gleichmaBige Konvergenz 19·

Wendelflache 186. Wertevorrat 52. Winkel zweier Vektoren 309. Winkeltreue Abbildung 99. Wirbelfrei 33I. \Vronskische Determinante

87· Wurzelkriterium 15.

Zentroaffine Transformation 3°5·

Zirkulation 340. , -, spezifische 347.

Zirkulationsdichte 347. Zissoide 13I. Zusammengesetzte Funktion

73· - Transformation 98. Zweibein 169. Zweig einer algebraischen

Kurve I22. Z weischaliges H yper boloid

3 2 7. Zweiseitige Flache 341. Zwischenwertsatz 66. Zykloide 132. Zylindrische Symmetrie 333.

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S 75.-, DM 25.-, $ 7.50, sfr.32.60 Geb. S 81.-, DM 27.-, $ 8.10, sfr. 35.20

Einfuhrung in die spharische Astronomie. Von Prof. Dr. A. Prey, Wien. Mit 123 Textabbildungen. VII, 316 Seiten. 1949.

S 75.-, DM 22.-, $ 5.50, sfr.24.­Geb. S 84.-, DM 24.-, 16.-, sfr. 26.-

Monatshefte fur Mathematik. Neue Folge der Monatshefte fUr Mathe­matik und Physik. Unter Mitwirkung der Osterreichischen Mathematischen Gesellschaft herausgegeben von J. Radon, Wien.

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