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uhrung in die Physik f

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ur Chemiker 2

Prof. J. Lipfert SS 2016

Nachklausur

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• Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner, zwei beidseitig beschriebene DIN A4 Blatter, Worter-buch

• Bearbeitungszeit: 120 min

• Ergebnisse bitte nur auf die Aufgabenblatter (ggf. auch die Ruckseiten beschreiben).

• Viel Erfolg!

Aufgabe Erreichte Punkte M

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ogliche Punkte

1 30

2 15

3 20

4 20

5 15

⌃ 100

Einige n

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utzliche Konstanten

Erdmasse ME ⇡ 5.97⇥ 1024 kgErdradius RE ⇡ 6370 kgGravitationskonstante G ⇡ 6.67⇥ 10�11 m3

kg s2

Dielektrizitatskonstante: ✏0 ⇡ 8.85⇥ 10�12 C2

Nm2

Magnetische Feldkonstante: µ0 ⇡ 1.26⇥ 10�6 TmA

Plancksches Wirkungsquantum (Planck-Konstante): h ⇡ 6.63⇥ 10�34 J sElementarladung: e ⇡ 1.60⇥ 10�19 CMasse eines Elektrons: me = 9.1⇥ 10�31 kg

1

Name: SS 2016

Aufgabe 1

Verstandnisfragen (30 Punkte). Geben Sie kurze Antworten (1-2 Satze, bzw. kurze Rech-nung, bzw. einfache Skizze) auf die folgenden Fragen.

a) Ordnen Sie folgende Arten elektromagnetischer Strahlung nach Große ihrer Frequenz (vonniedrigen zu hohen Frequenzen): i) Gammastrahlung aus dem Zerfall eines radioaktivenKerns, ii) Mikrowellen zum Erwarmen von Speisen, iii) rotes Licht aus einem Laserpointer,iv) UV-Strahlung in einer Sonnenbank.

b) Sie haben jede Menge Widerstande mit R1 = 1.5 k⌦ und R2 = 3.0 k⌦ zur Verfugung,benotigen aber einen Gesamtwiderstand von R = 2.0 k⌦. Skizzieren Sie eine Schaltungmit der Sie dies erreichen und belegen Sie Ihre Wahl durch eine kurze Rechnung (Hinweis:Rechnen Sie zunachst aus, welchen Widerstand eine Parallelschaltung von R1 und R2 hat).

c) In der Skizze fallt ein Strahl von links unten ein und tri↵t senkrecht auf die erste Grenzflachezwischen Luft und einem Glasprisma. Sie beobachten Totalreflektion an der zweiten Grenz-flache an der Oberkante des Prismas, unter einem Winkel ✓ = 45�. Was konnen Sie uberden Brechungsindex des Glases sagen?

2

Name: SS 2016

d) Zeichnen Sie schematisch den Betrag des elektrische Feldes einer hohlen Metallkugel mitRadius R und einer Gesamtladung Q als Funktion des Abstandes vom Mittelpunkt der Kugelr , im Bereich r = 0...3R.

e) Eine Rontgenquelle mit Molybdan als Anodenmaterial emittiert Rontgenstrahlung mit einerPhotonenergie von 17.4 keV. Was ist die entsprechende Wellenlange?

f) In den Skizzen eines Dipols (bestehend aus einer positiven und einer negativen Ladung)unten, zeichnen Sie schematisch auf der linken Seite die Feldlinien und auf der rechten Seitedie Aquipotentiallinien ein.

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Name: SS 2016

g) Ein (als idealer Transformator genaherter) Schweißtransformator hat auf der PrimarseiteN1 = 500 Windungen und wird mit 230 V Netzspannung betrieben. Die Sekundarspannungsoll bei 11,5 V liegen. Wie muss die Zahl der Windungen N2 auf der Sekundarseite gewahltwerden?

h) Wenn die Primarseite des Transformators aus der letzten Teilaufgabe mit einer I1,max = 10 ASicherung gesichert ist, wie viel Strom kann maximal auf der Sekundarseite fließen? Was sinddie Stromkosten, wenn der Schweißtransformator mit diesem maximalen Strom 2 Stundenlang betrieben wird und wir einen Strompreis von 0,3 Euro pro Kilowattstunde annehmen?

i) Was ist die beugungslimitierte Auflosung eines Bildes rot (� = 600 nm) fluoreszierenderMolekule in einem Mikroskop mit einer numerischen Apertur von N.A. = 1.4?

j) Mit welcher maximalen Genauigkeit lasst sich ein einzelnes der Molekule aus der letzten Tei-laufgabe lokalisieren, wenn insgesamt 10 000 Photonen von dem Molekul detektiert werden?(Sie konnen davon ausgehen, dass die Detektionsgenauigkeit jedes einzelnen Photons demBeugungslimit entspricht.)

4

Name: SS 2016

Losung

a) Mikrowellen, roter Laser, UV Strahlen, Gammastrahlen

b) Parallelschalten von R1 und R2 liefert R12 = R1R2R1+R2

= 1.0 k⌦. Reihenschaltung zweiersolcher Schaltungen liefert den gewunschten Gesamtwiderstand:

R1

R2

R1

R2

c) Es gilt nL = 1 (in seht guter Naherung) und fur Totalreflektion sin ✓L = 1; somit

nG sin ✓G = nL = 1

Und damit:

nG =1

sin ✓G=

p2 ⇡ 1.4

d) Feld ist innerhalb der Kugel, d.h. fur r < R, Null, springt dann auf den Wert E =Q/(4⇡✏0R2) und fallt dann / 1

r2ab.

e) � = hc/E = 0.71 A = 7⇥ 10�11m

f) Dipol: Siehe Vorlesung 2 Folie 9 und Vorlesung 2 Folie 19.

g) N2 = N1 · V2/V1 = 500 · 11,5 V / 230 V = 25

h) Maximaler Strom: I2,max = I1,max · V1/V2 = 10 A · 230 V / 11,5 V = 200 A;Leistungsaufnahme ist P1 (= P2) = 230 V · 10 A = 2,3 kW; uber einen Zeitraum von 2 hwerden 4,6 kW-Stunden verbraucht, die 1,38 Euro kosten.

i) Beugungslimit = Abbe-Limit gibt den kleinsten auflosbaren Abstand an (siehe Vorlesung 11,Folie 18): d = �

2N .A. = 600 nm / 2 / 1,4 ⇡ 214 nm.

j) Lokalisierung nach Detektion von N Photonen ist dSEM = dpN

= 214 nm /p10000 = 2,14

nm (Siehe Vorlesung 12, Folie 11).

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Name: SS 2016

Aufgabe 2

Elektroskop (15 Punkte). Zwei sehr kleine Kugeln mit gleichen Massen m hangen an zweigleichlangen Drahten der Lange l . Beide Kugel werden elektrisch aufgeladen und tragen danndie Ladungen q1 = q2 = q . Durch die Coulomb Wechselwirkung werden die Kugeln um eineStrecke x bezuglich ihrer Ruhelage ausgelenkt.

a) Berechnen Sie die Ladung q der Kugeln indem Sie ein geeignetes Kraftegleichgewicht auf-stellen. Vernachlassigen Sie die Gravitationskraft zwischen den Kugeln.

x

lφ

b) Wie groß ist der Betrag der Ladung q der Kugeln fur l = 10 cm, m = 5g und x = 5 cm?

c) Stellen Sie das Verhaltnis von Gravitationskraft zu Coulombkraft R = FGFC

zwischen denKugeln auf. War es in Ordnung die Gravitationskraft in a) zu vernachlassigen?

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Name: SS 2016

Losung

a) Auf die Kugeln wirkt die Gewichtskraft und die Coulombkraft. Wir zerlegen die Gewichtskraftin eine Komponente senkrecht und parallel zum Draht, nur die senkrechte Komponente wirktrucktreibend auf die Kugel, die parallele Komponente wird ja vom Draht kompensiert.

FG,? = mg sin'

Entsprechend gilt fur die Coulombkraft:

FC ,? = FC cos' =q

2

4⇡✏0 (2x )2cos'

Da sich im Gleichgewicht die senkrechten Komponenten genau kompensieren gilt:

q = 4xp⇡✏0mg tan' = 4x

r⇡✏0mg tan

⇣arcsin

⇣x

L

⌘⌘

b) Einsetzen in das Ergebnis aus a):q = 177.5 nC

c) Fur das Verhaltnis der beiden Krafte gilt:

R =FG

FC=

4⇡✏0Gm

2

q

2⇡ 6⇥ 10�12

Der Beitrag der Coulombkraft zum Kraftegleichgewicht ist also 11 Großenordnungen großerals der der Gravitationskraft zwischen den Massen. Vernachlassigen vollig in Ordnung!

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Name: SS 2016

Aufgabe 3

Hall Sonde (20 Punkte). Eine Hall Sonde dient zur Bestimmung der Starke eines Magnet-feldes: Ein leitfahiger Quader mit Hohe b und Dicke d wird in ein Magnetfeld ~

B gebracht. Eswird ein Strom I durch den Quader geschickt, was zu einer Ablenkung der Elektronen durch dieLorentzkraft und damit zu einem Elektronenuberschuss auf einer Seite des Quaders fuhrt. Diesbewirkt ein elektrisches Feld und damit eine der Lorentzkraft entgegengesetzte elektrische Kraft,die sich im Gleichgewicht genau kompensieren, sodass sich eine zur Stromrichtung senkrechteSpannung UH, genannt Hall Spannung, ausbildet.

a) Stellen Sie das Kraftegleichgewicht aus Lorentz- und elektrischer Kraft auf und finden Siedaraus einen Ausdruck fur die Hall Spannung in Abhangigkeit der Geschwindigkeit der Elek-tronen v !

8

Name: SS 2016

b) Verwenden Sie die Driftgeschwindigkeit v der Elektronen um zu zeigen, dass folgende Bezie-hung fur die Hall Spannung gilt (wobei n die Dichte der freien Ladungstrager ist):

UH =1

ne

IB

d

c) Was ist die Dichte der freien Ladungstrager n, wenn sie mit einer d = 1 mm dicken Halbleiter-Hallsonde in einem homogenen Feld B = 0.1 T, bei einem Strom I = 1 A eine HallspannungUH = 1 V messen?

d) Nennen Sie mindestens drei unterschiedliche Mechanismen, wie man die Dichte freier La-dungstrager in einem Halbleiter erhohen kann.

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Name: SS 2016

Losung

a) Es muss gelten:e

~E = e~v ⇥ ~

B

Das B -Feld liege in z -Richtung, ~B = Bez , die Elektronen fließen in x -Richtung (Strom innegativer x -Richtung!), dann gilt:

Ey = vB

Mit der Breite b des Quaders gilt:UH

b

= vB

und damit:UH = vbB

b) Die Driftgeschwindigkeit der Elektronen hangt mit der Stromdichte zusammen:

|~j | = en|~v | = I

A

=I

bd

Damit:

v =I

bden

Eingesetzt in den Ausdruck fur die Hall Spannung:

UH =1

en

IB

d

c) Die Hall Spannung ist gegeben durch:

UH =1

en

IB

d

damit gilt fur die Dichte der freien Ladungstrager:

n =1

eUH

IB

d

= 6.25⇥ 1020 1/m3

d) Positive oder negative Dotierung; Erwarmen (sodass mehr freie Ladungstrager thermischaktiviert ins Leitungsband gelangen); Bestrahlen mit Licht / UV-Strahlung einer Wellenlange,die kurz genug ist, Elektronen uber die Bandlucke aus dem Valenz- ins Leitungsband zu heben.

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Name: SS 2016

Aufgabe 4

Schwingkreis (20 Punkte). Fur den abbgebildeten Schwingkreis gilt L = 580H, C =50 µF und U0 = 80V. Gehen Sie davon aus, dass alle Bauteile ideal sind, also kein ohmscherWiderstand R auftritt, und die Messgerate fur Strom und Spannung keinen Einfluss auf denSchaltkreis haben.

a) Zunachst ist der Schalter in Stellung 1 und der Kondensator C wird geladen. Was ist dieLadung Q0 im Kondensator, wenn der Ladevorgang beendet ist?

b) Zum Zeitpunkt t = 0 wird der Schalter nun von Stellung 1 in Stellung 2 gebracht. StellenSie mit Hilfe der Kircho↵schen Regeln die Di↵erentialgleichung in Q(t) auf, welche denSchwingkreis beschreibt. Geben Sie eine geeignete Losung der Di↵erentialgleichung an. Wassind die Schwingungsdauer und die Frequenz der auftretenden Schwingung?

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Name: SS 2016

c) Wie lautet die entsprechende Funktion fur die Stromstarke als Funktion der Zeit I (t)?

d) Wie groß ist die maximale Stromstarke durch die Spule?

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Name: SS 2016

Losung

a) Q0 = U0 · C = 80 V · 50 · 10�6 F = 0.004 C = 4 mC

b) Nutze die Maschenregel:UC + UL = 0

Q(t)

C

+ LI (t) = 0

Q(t)

C

+ LQ(t) = 0

1

LC

Q (t) + Q (t) = !20Q (t) + Q (t) = 0

Losung der Di↵erentialgleichung ist z.B. Q(t) = Q0 cos(!0t) mit !0 = 1/pLC

T = 2⇡!�10 = 2⇡

pLC ⇡ 1.07 s

f = T

�1 = 0.93Hz

c) Es gilt allgemein I (t) = dQ(t)d .

Mit der Losung

Q (t) = Q0 cos (!0t) = CU0 cos

✓1pLC

t

◆

folgt durch ableiten

I (t) = �Q0 · !0 sin!0t = � CU0pLC

sin!0t = �r

C

L

U0 sin!0t = �I0 sin (!0t)

d) Aus der letzten Teilaufgabe folgt direkt I0 =q

CLU0

Alternativ aus der Energieerhaltung:

W =1

2CU

20 =

1

2LI

20

I0 =

rC

L

U0 ⇡ 23.5mA

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Name: SS 2016

Aufgabe 5

Umkehrprisma (15 Punkte). Oftmals will man die Orientierung eines Bildes durch geeigne-te optische Instrumente “umdrehen” (z.B. um ein durch ein Mikroskop erzeugtes auf dem Kopfstehendes Bild richtig herum zu betrachten). Hier betrachten wir den Fall der Bildumkehrungdurch ein sogenanntes Halbwurfelprisma (siehe Skizze).

a) Fur die Umkehr des Bildes nutzt man den E↵ekt der Totalreflexion aus. Ab welchem kritischenWinkel ✓ tritt beim Ubergang von Glas mit Brechungsindex nG = 1.46 zu Luft (nL = 1.00)Totalreflexion auf?

b) Das Licht tre↵e von links senkrecht auf die Prismaoberflache. Wie wird das Licht gebrochen?Zeichnen Sie den Strahlengang in der Skizze oben in das Halbwurfelprisma ein.

c) Das Glas weise normale Dispersion auf. Im Bereich des sichtbaren Lichtes nehme der Bre-chungsindex des Glases von nG,400 = 1.470 fur Licht der Wellenlange 400 nm zu nG,800 =1.453 fur Licht der Wellenlange 800 nm ab. Wie wirkt sich die Dispersion im konkrekten Fallauf den Strahlengang im Umkehrprimsa aus?

d) Wie wurde sich der Strahlengang durch das Prisma andern, wenn sich das gesamte Prismaund das umzukehrende Bild (der Pfeil) in Wasser (mit Brechungsindex n = 1.3) befanden?

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Name: SS 2016

Losung.

a)nl sin(90

�) = nG sin(✓k )

1 = nG sin(✓k )

✓k = arcsin(1

nG)

✓k = 43.2�(= 0.75 rad)

b) Beide Strahlen werden an den Grenzflachen totalreflektiert, da der Einfallswinkel dann jeweils45� > 43.2� betragt. Der Pfeil steht anschließen auf dem Kopf.Gerader Ein-/Ausfall.2 x 45�-Totalreflexion.

c)✓k ,400 = 42.86�

✓k ,800 = 43.49�

Beide Winkel sind kleiner als 45�.Die Dispersion kann man also vernachlassigen, da die Strahlen senkrecht auf die Prismeno-berflache tre↵en und dann nur noch Totalreflexion auftritt, da der Einfallswinkel von 45� furalle Wellenlagnen großer als der Grenzwinkel der Totalreflexion ist.

d)

✓k = arcsin(1.3

1.46) = 62.9�

Der Grenzwinkel betruge dann ungefahr 63�, sodass keine Totalreflexion mehr an der rechtenSeite des Prismas stattfande.Der Strahl wurde dann unter einem Winkel von ✓k = arcsin(1.46 sin(45

�)1.3 ) = 52.57� rechts aus

dem Prisma wieder austreten(Alternativ bekommt man auch fur eine Skizze des Strahlengangs oder einen richtige Aussageim Bezug auf nun nicht mehr zu vernachlassigende Dispersionse↵ekte einen Punkt.)

15