Nachklausur Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom ... · Physik, N25/540, bekanntgegeben. ... 1...

NachklausurGrundkurs IIIb, Diplom Physik, DiplomWirtschaftsphysik und Lehramt Physik

Othmar Marti, ([email protected])

10. Mai 2003

Prufungstermin 9. 5. 2003, 14:00 bis 16:00

Name Vorname Matrikel-Nummer Kennwort

Die Prufungsresultate werden ab dem 12. 5. 2003 im Sekretariat ExperimentellePhysik, N25/540, bekanntgegeben. Dabei konnen Sie Ihre Klausur einsehen.

Damit Ihr Resultat, sobald vorhanden, per Aushang vor dem Sekretariatbekanntgegeben werden kann, mussen Sie ein Kennwort (leserlich) angeben.

Vom Korrektor auszufullen:Aufgabe 1 2 3 4 5 6 ΣPunkte

Note: Prufer:

Universitat Ulm

2003-05-09 Nachklausur 1 c©2003 University Ulm, Othmar Marti

Nachklausur Name: Matrikelnummer 2

1 Hinweise zur Bearbeitung der Klausur

Lesen Sie bitte die folgenden Hinweise vollstandig und aufmerksamdurch, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen!.

1. Als Hilfsmittel zur Bearbeitung der Klausur sind nur Schreibzeug und Ta-schenrechner und 2 Blatter (vier Seiten) mit eigener Hand in Handschriftverfasste Notizen zugelassen. Mobiltelefone mussen ausgeschaltet ineiner geschlossenen Tasche oder einem geschlossenen Rucksackaufbewahrt werden!

2. Die Klausur umfaßt:

(a) 3 Blatter (6 Seiten) mit 6 Aufgaben.

(b) 1 Deckblatt und dieses Hinweisblatt.

3. Fullen Sie, bevor Sie mit der Bearbeitung der Aufgaben beginnen, das Deck-blatt mit Name, Vorname und Matrikelnummer aus.

4. Jede Aufgabe ergibt 6 Punkte.

5. Benutzen Sie bei der Berechnung von Zahlenwerten die Konstanten aus derAufgabenstellung, soweit angegeben.

6. Schreiben Sie auf jedes Blatt leserlich Ihren Namen, Ihren Vornamen undIhre Matrikelnummer sowie eine Seitennummer.

7. Beginnen Sie fur jede Aufgabe ein neues Blatt mit Angabe der Aufga-bennummer. Schreiben Sie die zugehorigen Nebenrechnungen ebenfalls aufdieses Blatt. Streichen Sie ungultige Losungen deutlich durch. Sollten Sieausnahmsweise zur Bearbeitung einer Aufgabe mehrere nicht aufeinander-folgende Blatter benotigen, so vermerken Sie, wo die Fortsetzung der Auf-gabe zu finden ist.

Viel Erfolg!



2 Aufgaben

1. (a) Zeigen Sie, wie man aus den Maxwellgleichungen die Wellengleichungfur ein nichtleitendes Medium mit der Ladungsdichte ρel = 0, der re-lativen Dielektrizitatszahl ε = 1 und der Permeabilitat µ = 1 ableitet.(1 Punkt)

(b) Zu dieser Aufgabe:

Welche dieser Feldlinien, die sich alle in einer Ebene befinden, sindelektrische Feldlinien und welche sind magnetische Feldlinien? (0.5Punkte)

(c) Auf welcher Erhaltungsgrosse beruht die Kirchhoffsche Knotenregel?(0.5 Punkte)

(d) Skizzieren Sie die Feldlinien zweier elektrischer Dipole (Abstand derLadungen a), die im Abstand a antiparallel angeordnet sind, so dassdie Mittensenkrechten der Dipole zusammenfallen. (0.5 Punkte)

(e) Warum explodieren Spulen, durch die ein zu grosser Strom fliesst? (1Punkt)

(f) Warum kann die Gute eines Schwingkreises mit ausgedehnten Bauele-menten (Kondensator und Spule) nicht unendlich sein, auch wenn alleVerbindungsleitungen sowie alle Metalle in den Bauelementen supra-leitend sind, also ρ = 0 haben? (1 Punkt)

(g) Geben Sie die Lorentztransformation der Felder ~E und ~B an. (0.5Punkte)

(h) Geben Sie die Antwort in Worten: Warum ist im Inneren eines Dielek-trikums ohne spontane, permanente Polarisation das elektrische Feldkleiner als aussen? (1 Punkt)

Σ : 6 Punkte

2. Es soll gezeigt werden, dass die allgemeine Formulierung des AmpereschenGesetzes

∮

S

~B · d~s = µ0I + µ0ε0dφe

dt= µ0

∫

A(S)

∫(~i + ε0

d ~E

dt)d~a



und das Gesetz von Biot-Savart zum gleichen Ergebnis kommen, wenn beideauf

angewandt werden.

Zwei Ladungen +Q und −Q befinden sich im Abstand a vom Nullpunkt aufder x-Achse bei x = −a und x = a. Entlang der Verbindungslinie fliesst einStrom I = −dQ/dt. Der Punkt P befindet sich auf der y-Achse im AbstandR.

(a) Berechnen Sie unter Verwendung des Gesetzes von Biot-Savart dasMagnetfeld am Punkt P . (1 Punkt)

(b) Ein kreisformiger Streifen (Mittelpunkt im Ursprung) mit dem Radiusr und der Breite dr liege in der y− z-Ebene. Berechnen Sie den Flussdes elektrischen Feldes durch diesen Streifen. (1 Punkt)

(c) Berechnen Sie mit dem Ergebnis aus 2b den gesamten Fluss φe durchdie kreisformige Ebene mit dem Radius R. (1 Punkt)

(d) Berechnen Sie den Verschiebungsstrom IV . (1 Punkt)

(e) Berechnen Sie mit dem Ampereschen Gesetz die Aufgabe 2a und zeigenSie, dass man fur B das gleiche Ergebnis erhalt. (2 Punkt)

Σ : 6 Punkte



3. Die folgende Schaltung soll berechnet werden:

U1

U2

L1

L2 C R8

R2

R1

A

B E

L3

R3

R4

D

R5

R6

F

G

H

L4R7

Die Spannung am Punkt B ist UB = 0V (Erde).

(a) Formen Sie die Schaltung so um, dass sie moglichst einfach ist. (3Punkte)

Berechnen Sie die Spannung an den folgenden Punkten:

(b) A (0.5 Punkte)

(c) D (0.5 Punkte)

(d) E (0.5 Punkte)

(e) F (0.5 Punkte)

(f) G (0.5 Punkte)

(g) H (0.5 Punkte)

Σ : 6 Punkte

4. Ein Schwingkreis wird als empfindliches Nachweissystem eines zeitlich har-monischen ~E-Feldes verwendet. Ein Plattenkondensator (Plattenabstand d,

Kapazitat C) befindet sich im raumlich homogenen ~E-Feld

~E(t) = ~E0 · sin(ωt)

wobei ~E0 senkrecht zur Flache des Plattenkondensators orientiert ist. EineSpule (Selbstinduktion L) und ein Ohmscher Widerstand R, beide ausser-halb des elektrischen Feldes, erganzen den Plattenkondensator zu einemSchwingkreis.



R

C

L

d

E(t)

(a) Stellen Sie die Differentialgleichung fur die im Schwingkreis bewegteLadung Q ohne ausseres Feld auf. (1 Punkt)

(b) Modifizieren Sie diese Differentialgleichung so, dass das aussere Feld alsEMK wirkt. Schreiben Sie dazu das anregende Feld E(t) = E0 sin(ωt)als komplexe Funktion, aber so, dass der Realteil dieser Funktion ge-rade der gegebenen reellen Anregung entspricht. (0.5 Punkte)

(c) Wandeln Sie die Differentialgleichung in eine Differentialgleichung furden Strom I(t) um. (0.5 Punkte)

(d) Berechnen Sie fur die Frequenz ω der Anregung den komplexen StromI(t, ω) = I0(ω)eiωt. (1 Punkt)

(e) Zwischenrechnung: Wenn der Strom I(t) = I0eiωt ist (ohne einsetzen),

und dieser Strom durch den Widerstand R fliesst, was ist dann dieuber eine Anzahl n ∈ N gemittelte thermische Leistung an R? (0.5Punkte)

(f) Berechnen Sie die zeitlich gemittelte Leistung P (ω), die als JoulscheWarme im Widerstand R deponiert wird. (0.5 Punkte)

(g) Wie gross ist die unbedampfte Resonanzfrequenz ω0 des Schwingkrei-ses? (0.5 Punkt)

(h) Wie gross ist P (ω0) ? (0.5 Punkte)

(i) Bestimmen Sie das ~E-Feld im Inneren des Plattenkondensators fur ein

stationares ausseres ~E-Feld E0. (1 Punkt)

Σ : 6 Punkte



5. Zwei Punktladungen q1 und q2 sind an der Peripherie einer mit der Win-kelgeschwindigkeit ω um die z-Achse rotierenden Scheibe vom Radius adiametral gegenuber befestigt. Es ist ω · a ¿ c und q1 = −q2. Es istx(t) = a cos(ωt) und y(t) = a sin(ωt).

(a) Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt P (y) auf der (raum-festen) y-Achse, wobei y À a ist. (2 Punkte)

(b) Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 5a) als Funktion vony und t an. (0.5 Punkte)

(c) Berechnen Sie das Strahlungsfeld an einem Punkt Q(z) auf der (raum-festen) z-Achse, wobei z À a ist. (1 Punkt)

(d) Geben Sie eine Skizze der Felder aus der Aufgabe 5c) zu einer festenZeit t an. (0.5 Punkte)

(e) Berechnen Sie die Felder fur die Anordnung aus der Aufgabe 5a), wennq1 = q2 ist. (1 Punkt)

(f) Wenn Sie eine Genauigkeit der Amplituden Ex und Ey von g verlangen,mit 0 < g < 1, welche Bedingung muss dann z in der Aufgabe 5c)gelten? (1 Punkt)

Σ : 6 Punkte

6. In dieser Aufgabe soll das Potential eines Dipols im Punkt P berechnet

werden.

(a) Geben Sie das Potential ϕ (x, y, z) in P in kartesischen Koordinatenan. (1 Punkt)

(b) Geben Sie das Potential ϕ (r, θ, φ) in Kugelkoordinaten (r, Θ, φ) an.φist der Winkel in der x, y-Ebene. (1 Punkt)

(c) Entwickeln Sie ϕ (r, θ, φ) unter der Annahme, dass r À a ist in zweisignifikante (d.h. nicht konstante) Ordnungen in r. (2 Punkte)



(d) Geben Sie das genaherte Potential aus der vorherigen Teilaufgabe anfur den Punkt S = (100a, π/6, 3π/2). (0.5 Punkte)

(e) Geben Sie das elektrische Feld im Punkt S an. (1.5 Punkte)

Σ : 6 Punkte

Gesamt-Σ : 36 Punkte

• µ0 = 4π · 10−7N · A−2 = 4π · 10−7T ·m · A−1

• ε0 = µ−10 c−2

• c = 3 · 108m/s

• me = 9.1 · 10−31kg

• e = 1.6 · 10−19C

• In Kugelkoordinaten (~er, ~eΘ, ~eφ): grad U = ∂U∂r

~er + 1r

∂U∂Θ

~eΘ + 1r sinΘ

∂U∂φ

~eφ



3 Losung

1. Vorlaufig

(a) • 2. Maxwellgleichung

rot ~E = −∂ ~B

∂t

• Wir nehmen die Rotation:

rot rot ~E = −rot∂ ~B

∂t= − ∂

∂trot ~B

• 4. Maxwellgleichung

rot ~B =1

c2

∂ ~E

∂t

mit µ0ε0 = c−2.

• Eingesetzt:

rot rot ~E = − ∂

∂t

1

c2

∂ ~E

∂t= − 1

c2

∂2 ~E

∂t2

(0.5 Punkte)

• Mit

rot rot ~E = grad div ~E − div grad ~E = grad div ~E −4 ~E

bekommt man∂2 ~E

∂t2= −c24 ~E

(0.5 Punkte)

(b) Elektrische Feldlinien haben Anfang und Ende: b), e)Magnetische Feldlinien sind geschlossen: a), d)Feldlinien kreuzen sich nie (Ableitungen waren nicht definiert): c) istkeines von beiden. (0.5 Punkte)

(c) Ladungserhaltung und Kontinuitatsgleichung (0.5 Punkte)

(d)



(0.5 Punkte)

(e) Der Strom erzeugt nach der ,,Rechten-Hand-Regel” ein Magnetfeld.

Wenn der Strom in die Blattebene fliesst, ist ~b nach oben gerichtet.(0.5 Punkte) Auf die fliessenden Ladungen (in die Blattebene hin-ein) wirkt die Lorentzkraft, die wieder nach der ,,Rechten-Hand-Regel”nach rechts wirkt. In der zweiten Leiter der gleichen Windung der Spu-le links von der ersten ist die Kraft nach links gerichtet. In einer Spulewirken die Krafte auf die Leiter nach aussen: wenn die Struktur denKraften nicht mehr widerstehen kann, dann explodiert die Spule. (0.5Punkte)

(f) Bei einer ausgedehnten Spule oder einem ausgedehnten Kondensator ineinem Schwingkreis werden Ladungen hin- und herbeschleunigt. Des-halb strahlt der Schwingkreis elektromagnetische wellen ab, er verliertalso Energie. Deshalb kann die Gute nicht unendlich sein. (1 Punkt)

(g)

E ′x = γ (Ex + v ·Bz)

E ′y = Ey

E ′z = γ (Ez − v ·Bx)

B′x = γ

(Bx − v

c2Ez

)

B′y = By

B′z = γ

(Bz +

v

c2Ex

)

(0.5 Punkte)

(h) Durch das elektrische Feld werden Atome polarisiert. Dabei werdendie positiven Ladungen in Richtung der negativen ausseren Ladungen



verschoben, und analog fur die negativen Ladungen. Das durch die La-dungsverschiebung entstandene Feld ist entgegengesetzt zum ausserenFeld gerichtet: netto ist das elektrische Feld im Inneren also kleiner.(1 Punkt)

2. Vorlaufig

(a) Das Magnetfeld, das am Punkt P von einem Teilstrom hervorgerufenwird, ist B = [µ0I/ (4πR)] (sin θ1 + sin θ2). Die Abbildung zeigt dieentsprechenden Grossen:

Hier ist sin θ1 = sin θ2 = a/ (R2 + a2)1/2

. (0.5 Punkte)

Daher ist B = [µ0Ia/ (2πR)] (R2 + a2)−1/2

. (0.5 Punkte)

(b) Die folgende Abbildung zeigt, wie das elektrische Feld an einem Punktauf der y-Achse im Abstand r von der x-Achse erhalten wird.

Es ist

Ex = 21

(4πε0)

Q

(r2 + a2)sin θ1 = 2

1

(4πε0)

Qa

(r2 + a2)3/2

(0.5 Punkte)

Die Flache des Kreises ist dA = 2πrdr, und es folgt

ExdA =Q

ε0

a

(r2 + a2)3/2rdr

. (0.5 Punkte)



(c) Um den elektrischen Fluss heraus, zum Radius R, zu erhalten, inte-grieren wir ExdA = Ex2πrdr von r = 0 bis r = R:

φe =

∫ R

0

Ex2πrdr

= −(

Qa

ε0

)1

(r2 + a2)1/2

∣∣∣∣∣

R

0

=

(Qa

ε0

) [1

a− 1

(R2 + a2)1/2

]

(0.5 Punkte)

Damit ist

ε0φe = Q

[1− a

(R2 + a2)1/2

]

. (0.5 Punkte)

(d) Nach Definition ist IV = ε0dφe/dt. Jedoch ist im Ausdruck fur φe dieeinzige Grosse, die von der Zeit abhangt, Q.

(0.5 Punkte)

Mit dQ/dt = −I erhalten wir IV = −I[1− a/ (R2 + a2)

1/2]

und I +

IV = Ia/ (R2 + a2)1/2

. (0.5 Punkte)

(e) Das Gesetz von Ampere besagt, dass das Linienintegral uber ~B · d~

langs eines Kreises vom Radius R in der yz-Ebene mit dem Mittel-punkt am Ursprung, das gleich B (2πR) ist, auch gleich µ0 (I + IV )sein muss.

(0.5 Punkte)

Gemass dem Ergebnis in 2d ist das µ0Ia (R2 + a2)1/2

.

(0.5 Punkte)

Damit wird

B =µ0Ia

2πR

1

(R2 + a2)1/2

(1 Punkt)

in Ubereinstimmung mit dem Resultat in Teil 2a, das wir nach demBiot-Savart-Gesetz erhielten.

3. Vorlaufig

Wir haben Gleichspannungen, also kann man die Schaltung wie folgt ver-einfachen:



U1

U2

R8

R2

R1

A

B E

R3

R4

D

R5

R6

F

G

H

R7

Die Punkte A, D und H liegen auf gleichem Potential. (0.5 Punkte)Die Punkte E und G liegen auf gleichem Potential. (0.5 Punkte)Die vereinfachte Schaltung ist

U1

U2

R8

R2

R1

A

B E

R3

R4

R5

R6

F R7

Die Widerstande R5, R6, R7 und R8 liegen parallel und werden durch1/Ra = 1/R5 + 1/R6 + 1/R7 + 1/R8 ersetzt. (0.5 Punkte)Ebenso sind R2 und R3 parallel und werden durch Rb = R2R3

R2+R3ersetzt. (0.5

Punkte)



U1U2

Rb

R1

A

B E R4

Ra

FNach dieser Zeichnung ist das Potential von F gleich dem von A.Wir berechnen die Schaltung

U1U2

Rb

R1

A

B E R4

Die Maschenregel fur die linke Masche ergibt: U1 = UR1 + URb

Die Maschenregel auf die rechte Masche angewandt ergibt U2 = UR4 + URb

Die Knotenregel am Punkt E ergibt UR1/R1 + UR4R4 = URb/Rb (0.5Punkte)Wir eliminieren URb = Rb (UR1/R1 + UR4/R4)Also U1 = UR1 + Rb (UR1/R1 + UR4/R4) = UR1 (1 + Rb/R1) + UR4 ·Rb/R4und U2 = UR4 + Rb (UR1/R1 + UR4/R4) = UR1 ·Rb/R1 + UR4 (1 + Rb/R4)Wir multiplizieren U1 mit (1 + Rb/R4) und U2 mit Rb/R4 und subtrahie-ren die Gleichungen

U1 (1 + Rb/R4)−U2·Rb/R4 = UR1 (1 + Rb/R1) (1 + Rb/R4)−UR1·Rb/R1·Rb/R4

Wir erhalten

UR1 =(U1R4 + U1Rb− U2Rb) R1

R1 ·R4 + R1 ·Rb + R4 ·Rb


R1 ·R4 + R1 ·Rb + R4 ·Rb

URb =(U2R1 + U1R4) Rb

R1 ·R4 + R1 ·Rb + R4 ·Rb

Wenn wir Rb ersetzen ist das Resultat


R1 ·R4 + R1 ·Rb + R4 ·Rb




R1 ·R4 + R1 ·Rb + R4 ·Rb

URb =(U2R1 + U1R4) Rb

R1 ·R4 + R1 ·Rb + R4 ·Rb

Wenn wir Rb zuruck einsetzen, erhalten wir

UR1 =R1 · (U1 ·R4 ·R2 + U1 ·R4 ·R3 + U1 ·R2 ·R3− U2 · R2 ·R3)

R1 ·R4 ·R2 + R1 ·R4 ·R3 + R1 ·R2 ·R3 + R2 ·R3 ·R4

UR4 =(−U1 ·R2 ·R3 + U2 · R2 ·R3 + R1 · U2 ·R2 + R1 · U2 ·R3) R4

R1 ·R4 ·R2 + R1 ·R4 ·R3 + R1 ·R2 ·R3 + R2 ·R3 ·R4

URb =R2 ·R3 · (R1 · U2 + U1 ·R4)

R1 ·R4 ·R2 + R1 ·R4 ·R3 + R1 ·R2 ·R3 + R2 ·R3 ·R4

(0.5 Punkte)

(a) Bei A: UA = −U1 (0.5 Punkte)

(b) Bei D: UD = −U1 (0.5 Punkte)

(c) Bei E: UE = −U1+URb = −R1·(U1·R4·R2+U1·R4·R3+U1·R2·R3−U2·R2·R3 )R1·R4·R2+R1·R4·R3+R1·R2·R3+R2·R3·R4

(0.5Punkte)

(d) Bei F : UF = −U1 (0.5 Punkte)

(e) Bei G: UG = −U1+URb = −R1·(U1·R4·R2+U1·R4·R3+U1·R2·R3−U2·R2·R3 )R1·R4·R2+R1·R4·R3+R1·R2·R3+R2·R3·R4

(0.5Punkte)

(f) Bei H: UH = −U1 (0.5 Punkte)

4. Vorlaufig

(a) • Die Spannung am Kondensator ist UC = −Q/C

• Die Spannung am Widerstand ist UR = R · I = R · Q• Die Spannung an der Spule ist UL = −L · I = −L · Q (0.5

Punkte)

• Maschenregel: UR = UC+UI (da nur UR Verbraucher), also R·Q =−Q/C − L · Q

• oder L · Q + R · Q + Q/C = 0 (0.5 Punkte)

(b) • Das aussere Feld bewirkt uber dem Kondensator eine EMK mitder Grosse UEMK = E0 · d · sin(ωt)

• komplex geschrieben ist E(t) = −E0 · i · eiωt, da ja eiα = cos α +i · sin α ist.

• Also ist L · Q + R · Q + Q/C = −i · E0 · d · eiωt (0.5 Punkte)

(c) • Es ist I = Q, das heisst, wir leiten einmal ab

• Mit L · I + R · I + Q/C = −i · E0 · d · eiωt erhalten wir



• L · I + R · I + I/C = E0 · d · ω · eiωt (0.5 Punkte)

(d) • Wir setzen den Ansatz I(t) = I0(ω)eiωt ein

• L · (−ω2)I0(ω)eiωt + R · (iω)I0(ω)eiωt + I0(ω)C

eiωt = E0 · d · ω · eiωt

(0.5 Punkte)

• Wir eliminieren eiωt und multiplizieren I0 aus I0(ω)[−L · ω2 + iω ·R + 1

C

]=

E0 · d · ω• Wir losen nach I0(ω) auf

I0(ω) =E0 · d · ω

−L · ω2 + iω ·R + 1C

(0.5 Punkte)

• Normalerweise wird die Gleichung so geschrieben:

I0(ω) =E0 · d · ω

L(−ω2 + iω · R

L+ 1

CL

)

(e) • Die momentane Leistung am Widerstand R ist

P (t) = R · [Re (I(t))]2 = R · I20cos

2(ωt) = RI20

(1

2+

cos(2ωt)

2

)

• Gemittelt uber eine Anzahl Perioden n ∈ N ist 〈P 〉nT =RI2

0

2(0.5

Punkte)

(f) • Mit diesem Resultat ist

〈P (ω)〉nT =R

2I0(ω)I0(ω)

=R

2

E0 · d · ωL

(−ω2 + iω · RL

+ 1CL

) E0 · d · ωL

(−ω2 − iω · RL

+ 1CL

)

=R (E0 · d · ω)2

2L2[(

1CL− ω2

)2+ ω2 · R2

L2

]

(0.5 Punkte)

(g) • Die ungedampfte Resonanzfrequenz ist ω0 =√

1L·C (0.5 Punkte)

(h) • Bei ω0 ist 〈P (ω0)〉nT =R(E0·d· 1

L·C )2

2L2( 1L·C )

2·R2

L2

= (E0·d)2

2R(0.5 Punkte)

(i) • Ein statisches ausseres Feld bewirkt auf den Kondensatorplatteneine Ladungstrennung. Da im statischen Falle der Kondensatorkurzgeschlossen ist, ist E = 0 im Inneren, wobei die Ladungen aufden Platten das aussere Feld kompensieren. (1 Punkt)



5. Vorlaufig

(a)

• Das Strahlungsfeld ist ~E(~r, t) = − q4πε0c2

~a⊥(t′)r

wobei t′ = t − r/cund a⊥ die Beschleunigungskomponente senkrecht zur Beobach-tungsrichtung ist. (0.5 Punkte)

• Nur die x-Komponente zahlt. a⊥,1 = ax,1 = −aω2 cos(ωt) fur dieerste Ladung und a⊥,2 = ax,2 = aω2 cos(ωt) fur die zweite Ladung.(0.5 Punkte)

• Der Abstand ist r = y + a sin(ωt). Da y À a ist r = y.

•Ex(y) = − 1

4πε0c2y

[−q1aω2 cos(ω(t− y/c)) + q2aω2 cos(ω(t− y/c))]

=1

4πε0c2y(q1 − q2) aω2 cos(ω(t− y/c))

(1 Punkt)

(b)

2e+064e+06

6e+068e+06

1e+07

y

00.005

0.010.015

0.020.025

0.03

t

–1.5e–19–1e–19–5e–20

05e–201e–19

1.5e–19



(0.5 Punkte)

(c) • Hier ist die wirksame Beschleunigung sowohl in der x- wie auchin der y-Richtung.

• ax und ay sind um π/2 phasenverschoben. (0.5 Punkte)

• Da z À a ist r ≈ z

•Ex(z) =

1

4πε0c2z(q1 − q2) aω2 cos(ω(t− z/c))

und

Ey(z) =1

4πε0c2z(q1 − q2) aω2 sin(ω(t− z/c))

(0.5 Punkte)

• Dies ist eine zirkular polarisierte Strahlung.

(d)

–1–0.5

00.5

1

x

–1–0.5

00.5

1y

0

5

10

15

20

25

z

(0.5 Punkte)

(e) Wenn q1 = q2 dann ist Ex(y) = 0 (1 Punkt)

(f) Da die Genauigkeit der Amplitude gefragt ist, nicht aber der Phase,muss man nur den Vorfaktor betrachten.

∣∣∣∣1√

z2 + a2− 1

z

∣∣∣∣ < g ·∣∣∣∣

1√z2 + a2

∣∣∣∣(0.5 Punkte)

oder ∣∣∣∣∣z

z√

z2 + a2−√

z2 + a2

z√

z2 + a2

∣∣∣∣∣ < g ·∣∣∣∣

z

z√

z2 + a2

∣∣∣∣Wenn z > 0 ist, haben wir

∣∣∣z −√

z2 + a2

∣∣∣ < g · |z|



weiter ∣∣∣z − z√

1 + (a/z)2

∣∣∣ < g · |z|und (da z > 0 angenommen)

∣∣∣1−√

1 + (a/z)2

∣∣∣ < g

oder √1 + (a/z)2 − 1 < g

√1 + (a/z)2 < g + 1

1 + (a/z)2 < g2 + 2g + 1

(a/z)2 < g2 + 2g

a2

g2 + 2g=

a2

g2

1

1 + 2/g=< z2

|z| > a

g

1√1 + 2/g

≈ a√2g

(0.5 Punkte)

6. Vorlaufig

(a) • ϕ (x, y, z, +q) = 14πε0

q√x2+y2+(z−a)2

• ϕ (x, y, z,−q) = 14πε0

−q√x2+y2+(z+a)2

(0.5 Punkte)

•

ϕ(x, y, z) = ϕ (x, y, z, +q) + ϕ (x, y, z,−q)

=q

4πε0

(1√

x2 + y2 + z2 − 2az + a2

− 1√x2 + y2 + z2 + 2az + a2

)

=q

4πε0

1√x2 + y2 + z2

1√

1 + −2az+a2

x2+y2+z2

− 1√1 + 2az+a2

x2+y2+z2

(0.5 Punkte)

(b) • Wir verwenden den Cosinussatz fur schiefwinklige Dreiecke (Seitena, b, c, gegenuberliegende Winkel A, B, C)

a2 = b2 + c2 − 2ac cos A



Also ist

r2+ = r2 − 2ar cos θ + a2

r2− = r2 − 2ar cos(π − θ) + a2 = r2 + 2ar cos θ + a2

(0.5 Punkte)

• Der Winkel φ taucht nicht explizit auf (Zylindersymmetrie). Alsoist

ϕ(r, Θ, φ) = ϕ (r, Θ, φ, +q) + ϕ (r, Θ, φ,−q)

=q

4πε0

(1

r+

− 1

r−

)

=q

4πε0

(1√

r2 − 2ar cos θ + a2− 1√

r2 + 2ar cos θ + a2

)

(0.5 Punkte)

(c) • Wir schreiben die Gleichung um

ϕ(r, Θ, φ) =q

4πε0r

1√

1− 2ar

cos θ +(

ar

)2− 1√

1 + 2ar

cos θ +(

ar

)2

(0.5 Punkte)

• Unter der Annahme, dass r À a ist (a/r) ¿ 1. Wir entwickelndie Wurzeln bis zur zweiten Ordnung.

1√1− 2a

rcos θ +

(ar

)2= 1+

a cos (Θ)

r+

(−1/2 + 3/2 (cos (Θ))2) a2

r2+O

(a3

r3

)

(0.5 Punkte) und

1√1 + 2a

rcos θ +

(ar

)2= 1−a cos (Θ)

r+

(−1/2 + 3/2 (cos (Θ))2) a2

r2+O

(a3

r3

)



(0.5 Punkte)

• Zusammengesetzt ergibt sich

ϕ(r, Θ, φ) =q

4πε0r2

a cos (Θ)

r=

qa cos (Θ)

2πε0r2

(0.5 Punkte)

(d) ϕ(100a, π/6, 3π/2) =√

3q40000aπε0

(0.5 Punkte)

(e) • Das elektrische Feld wird mit

~E(r, Θ, φ) = −grad ϕ(r, Θ, φ)

gegeben.

• Der Gradient in Kugelkoordinaten (~er, ~eΘ, ~eφ) ist durch

grad U =∂U

∂r~er +

1

r

∂U

∂Θ~eΘ +

1

r sin Θ

∂U

∂φ~eφ

gegeben.

• Also ist

~E(r, Θ, φ) = −[

∂

∂r

(qa cos (Θ)

2πε0r2

)~er +

1

r

∂

∂Θ

(qa cos (Θ)

2πε0r2

)~eΘ

]

da φ in der Gleichung nicht explizit auftaucht. (0.5 Punkte)

•~E(r, Θ, φ) = −

[−qa cos (Θ)

r3πε0

~er +1

r

−1

2

qa sin (Θ)

r2πε0

~eΘ

]

• Nun ist

~E(r, Θ, φ) =qa

πε0r3

[cos (Θ)~er +

sin (Θ)

2~eΘ

]

(0.5 Punkte)

• Eingesetzt:

~E(r, Θ, φ) =1

2000000

√3q

a2π ε0

~er +1

4000000

q

a2π ε0

~eΘ

Und damit

~E(r, Θ, φ) =1

2000000

q

a2π ε0

[√3~er +

1

2~eΘ

]

(0.5 Punkte)



4 Notenskala

Punkte Note Anzahl

0-11,5 5

12-12,5 4

13-13,5 3,7

14-14,5 3,3

15-15,5 3

16-16,5 2,7

17-17,5 2,3

18-18,5 2

19-19,5 1,7

20-20,5 1,3

21-36 1


Nachklausur Grundkurs IIIb, Diplom Physik, Diplom ... · Physik, N25/540, bekanntgegeben. ... 1...

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