Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt · Betone nach BS 8110) erfolgt eine näherungsweise Berechnung...

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Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 1

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt

Dieses Dokument beinhaltet zusätzliche Informationen zu unseren Stahlbetonprogrammen

© Friedrich + Lochner GmbH 2011

Frilo im Internet

www.frilo.de

E-Mail: [email protected]

Handbuch, Revision 1/2011

2 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt

Inhaltsverzeichnis

Bemessung für Biegung und Längskraft............................................................................ 3

Bemessungsgrundlagen ......................................................................................................... 3

Bemessung für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis ........................................................... 7

Bemessung nach kd (kh)-Verfahren ....................................................................................... 8

Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile.................................................. 10

Mindestbewehrung für Druckglieder ..................................................................................... 11

Hebelgesetz .......................................................................................................................... 12

Ermittlung der effektiven Steifigkeit.................................................................................. 13

Schubbemessung ............................................................................................................... 17

Schubbemessung nach DIN 1045 7/88 ................................................................................ 17

Schubbemessung nach DIN 1045-1 ..................................................................................... 18

Schubbemessung nach ÖNORM B4700 .............................................................................. 25

Schubbemessung nach EC2 (Italien).................................................................................... 27

Schubbemessung nach BS 8110.......................................................................................... 29

Schubbemessung nach EN 1992 1-1 ................................................................................... 31

Nachweise der Gebrauchstauglichkeit ............................................................................. 40

Rissbreitennachweis nach DIN 1045 7/88 ............................................................................ 40

Rissbreitennachweis nach DIN 1045-1 ................................................................................. 40

Rissbreitennachweis nach ÖNorm B4700 ............................................................................ 42

Rissbreitennachweis nach EC2 (Italien) ............................................................................... 44

Rissbreitennachweis nach EN 1992 1-1 ............................................................................... 45

Spannungsnachweis nach DIN 1045-1................................................................................. 49

Spannungsermittlung nach ÖNorm B4700 ........................................................................... 49

Spannungsnachweis nach EC2 (Italien) ............................................................................... 49

Spannungsnachweis nach EN 1992 1-1 ............................................................................... 50

Außergewöhnliche Bemessungssituation Brand ............................................................ 52

Literatur ............................................................................................................................... 55

Siehe auch Normen und Begrifflichkeiten im Dokument B2.pdf

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 3

Bemessung für Biegung und Längskraft

Bei der Stahlbetonbemessung wird für gegebenen Schnittkräfte bei unbekannter Bewehrung der zum Versagen führende Dehnungszustand ermittelt.

Durch die in den Normen definierten Dehnungsverteilungen im GZT ist immer eine der Randdehnungen bekannt. Innere und äußere Kräfte müssen im Gleichgewicht stehen.

Daraus ergeben sich zwei, bei Doppelbiegung drei nichtlineare Gleichungen, wobei die inneren Schnittkräfte Funktionen der Randdehnungen und Neigungswinkels der Nulllinie (Doppelbiegung) sind. Die Lösung erfolgt iterativ mit Hilfe des Newtonverfahrens.

Für die Biegebemessung kann das kh- (Kd) Verfahren (nur bei einachsiger Beanspruchung)oder das Verfahren mit gegebenen Bewehrungsverhältnis gewählt werden.

Bei schwach beanspruchten Querschnitten kann die Einhaltung der Mindestbewehrung (Druck/Biegung) maßgebend werden.

Außerdem wird ggf. eine Überschreitung der zulässigen Höchstbewehrung angezeigt

Bemessungsgrundlagen

DIN 1045 7/88 Richtlinie HLB

ÖNORM B4700

EC2 Italien

DIN 1045-1

BS 8110 EN 1992 1-1

Arbeitslinie Beton

Bild 11 Bild R1 + Tab. R7

Bild 7 Bild 4.2 Bild 23

Bild 2.1 Bild 3.3

Spannungs-maximum fcd

R nach Tab.12

R nach Tab.R7

fck/c fck/c fck/c 0,67 fcu/m ccfck/c

Grenzstauchung Beton cu

3,5 o/oo betonabh. Tab. R7

3,5 o/oo 3,5 o/oo betonabh. Tab.9,10

3,5 o/oo betonabh. Tab.3.1

Stauchung Ende Parabelbereich c2

2 o/oo betonabh. Tab.R7

2 o/oo 2 o/oo betonabh.

Tab.9,10

0,00024

(fcu//m)

betonabh. Tab.3.1

Exponent n 2 betonabh. Tab. R7

2 2 Betonabh. Tab.9.10

2 betonabh. Tab.3.1

Arbeitslinie Betonstahl

Bild 12 analog Bild 9 Bild 4.5 mitftk=fyk

Bild 27 Bild 2.2 Bild 3.8

Spannungs-maximum ftd

ßs ßs fyk/s fyk/s ftk,cal/s fy/m K fyk/s

Grenzdehnung Stahl ud

5 o/oo 5 o/oo 20 o/oo nach /11/

20 o/oo 25 o/oo Annahme

10 o/oo

NDP

Dehnungs- Vert. GZT

Bild 13 Bild R2 -- Bild 4.11 Bild 30 -- Bild 6.1

Die Spannungsdehnungslinie des Betons ist das Parabel-Rechteck-Diagramm.

Für Normalbeton (außer BS 8110) mit c2 = 2 o/oo und Exponent = 2 können die inneren Schnittkräfte bei Rechteck- und Kreisquerschnitt über geschlossene Formeln ermittelt werden ( /2/ ).

Für alle anderen Fälle (Hochleistungsbeton, Plattenbalken- und Schichtenquerschnitte, Betone nach BS 8110) erfolgt eine näherungsweise Berechnung durch Aufteilung der Betondruckzone in dünne Schichten. Bei Ortbetonergänzung werden die inneren Schnittkräfte des Betons mit den entsprechenden Arbeitslinien der verwendeten ggf. unterschiedlichen Betone ermittelt.

Optional ( Konfiguration Bemessung) kann die vom Stahl in der Druckzone verdrängte Betonfläche berücksichtigt werden. Nach /10/ S.13 ist die bisher übliche Vernachlässigung bei hochbewehrten Querschnitten insbesondere aus hochfestem Beton nicht mehr gerechtfertigt.

4 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

DIN 1045 7/88

Bei Bemessung nach DIN 1045 7/88 Bild 13 ist ein von den Dehnungen abhängiger summarischer Sicherheitsbeiwert zu beachten.

Für Hochleistungsbeton hängt der Bereich von Rechteck und Parabel sowie der Exponent der Funktion vom jeweiligen Beton ab.

DIN 1045-1

Nach 10.2.(5) darf bei geringen Ausmitten ed/h < 0,1 c2 mit 2,2 ‰ angenommen werden.

Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- und Rechteckhohlquerschnitten und polygonalen Querschnitten implementiert. Bei diesen Querschnitten wird immer mit c2 nach Tab.9,10 gerechnet.

Nach 10.2.(6) ist die Stauchung in der Plattenmitte gegliederter Querschnitte auf c2 nach Tab.9,10 zu begrenzen. Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- und Rechteckhohlquerschnitten und polygonalen Querschnitten implementiert.

fck Charakteristische Zylinderdruckfestigkeit

Beiwert für Langzeitwirkung und zur Umrechnung Zylinderdruckfestigkeit - einachsiale Druckfestigkeit

Für Normalbeton 0,85 Für Leichtbeton 0,75

Anmerkung:

Bei kurzzeitigen Beanspruchungen wie außergewöhnlicher Bemessungssituation durch Lastanprall (vgl./25/) oder Bemessungssituation für Erdbeben (vgl. /23/ S. 20-66) darf erhöht werden (0,85 < <= 1,0).

siehe Beton benutzerdefiniert

c, s Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Stahl

Materialfaktoren nach DIN 1045-1

Die Neigung des oberen Astes der Arbeitslinie des Betonstahles wird berücksichtigt, sofern dies nicht in der Konfiguration abgestellt wurde.

Bei Verwendung hochfesten Betons (> C50/60) sollte die Bemessungsoption „Berücksichtigung der Netto Betonfläche" ausgewählt sein (vgl. /14/ S.161).

ÖNORM B4700

fck Charakteristische Dauerstandsfestigkeit (75% der charakteristischen Würfeldruckfestigkeit fcwk

c, s Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Stahl

Materialfaktoren nach B4700

Mindestmoment Nach 3.4.3.1 gilt M > N h/10

EC2 Italien

fck Charakteristische Zylinderdruckfestigkeit

Beiwert für Langzeitwirkung nach 4.2.1.3 (11) = 0,85

c, s Teilsicherheitsbeiwerte für Beton und Stahl

siehe Materialfaktoren nach EC2

BS 8110

fcu Charakteristische Würfeldruckfestigkeit

m Teilsicherheitsbeiwert Material

siehe Materialfaktoren nach BS 8110

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 5

EN 1992 1-1

fck Charakteristische Zylinderdruckfestigkeit

Klassen nach Tabelle 3.1

cc Beiwert für Langzeitwirkung NDP

NDP Normalbeton 3.1.6 Leichtbeton 11.3.5 Unbewehrt 12.3.1

EN 1,0 0,85 0,85

NA_D 0,85 0,75 0,75

NA_GB 0,85 = EN = EN

NA_A = EN = EN = EN

NA_I 0,85 =EN =EN

NA_B 0,85 =EN =EN

NA_NL =EN =EN =EN

NA_CZ =EN =EN =EN

c Teilsicherheitsbeiwerte für Beton NDP

Ständig/vorübergehend 2.4.2.4

Außergewöhnlich 2.4.3.4

Erdbeben

EN 1,5 1,2 1,5

NA_D = EN 1,3 1,5

NA_GB = EN = EN = EN

NA_A = EN = EN =1,3

NA_I = EN 1,0 =EN

NA_B =EN =EN =EN

NA_NL =EN =EN =EN

NA_CZ =EN =EN =EN

Mögliche Reduzierung nach Anhang A

A2.1 reduzierte geometrische Abweichungen durch Kontrolle

c,Red1

A2.2 (1) gemessene

oder ver-minderte

geometrische Daten c,Red2

A2,2 (2) Variations-

koeffizient der Betonfestig-keit < 10 % c,Red3

A2.3 Betonfestigkeit im Betonwerk

bestimmt Abminderung

Faktor (c,Red* )

A2.3

Minimum c

(c,Red4)

EN 1,4 1,45 1,35 0,85 1,30

NA_D 1,5 1,5 1,5 0,9 1,35

NA_GB = EN = EN = EN = EN = EN

NA_A = EN = EN = EN = EN = EN

NA_I 1,4 Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt 1,4

NA_B =EN =EN =EN =EN =EN

NA_NL Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt Nicht erlaubt

NA_CZ =EN =EN =EN =EN =EN

6 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

c2:

NA_D: Bei geringen Ausmitten ed/h < 0,1 kann c2 mit 2,2 ‰ angenommen werden.

Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- Rechteckhohl- und polygonalen Querschnitten implementiert. Bei diesen Querschnitten wird immer mit c2 nach Tab.9,10 gerechnet.

cu:

Alle : Nach 6.1. (5) ist die Stauchung in der Plattenmitte gegliederter Querschnitte auf c2 nach Tab. 3.1 zu begrenzen. Dies ist mit Ausnahme von Kreisring- Rechteckhohl- und polygonalen Querschnitten implementiert.

fyk Charakteristischer Wert der Streckgrenze

ftk k fyk charakteristische Zugfestigkeit

s: Teilsicherheitsbeiwerte für Betonstahl NDP

Ständig/vorübergehend. 2.4.2.4 Außergewöhnlich 2.4.3.4 Erdbeben

EN 1,15 1,0 1,15

NA_D = EN = EN = EN

NA_GB = EN = EN = EN

NA_A = EN = EN =1,0

NA_I =EN =EN =EN

NA_B =EN =EN =EN

NA_NL =EN =EN =EN

NA_CZ =EN =EN =EN

Mögliche Reduzierung nach Anhang A

A2.1 reduzierte geometrische Abweichungen durch Kontrolle

s,Red1

A2.2 (1) gemessene oder verminderte geometrische Daten c,Red2

NA_EN 1,10 1,05

NA_D 1,15 1,15

NA_GB =EN2 =EN2

NA_A =EN2 =EN2

NA_II nicht möglich nicht möglich

NA_B =EN =EN

NA_NL nicht möglich nicht möglich

NA_CZ =EN =EN

Die Neigung des oberen Astes der Arbeitslinie des Betonstahles wird berücksichtigt, sofern dies nicht in der Konfiguration abgestellt wurde.

Mindestmoment: Nach 6.1 (4) gilt M > N max(2 cm, h/30) NA_D: Nicht erforderlich bei Berechnung nach Theorie II. O.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 7

Bemessung für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis

Dient vorzugsweise der Bemessung für Druckkraft mit geringer Ausmitte, kann aber auch universell eingesetzt werden, z.B. bei mehrachsiger Beanspruchung und bei Kreisquerschnitten. Die Ermittlung des Bruchzustandes erfolgt iterativ unter Vorgabe einer Bewehrungsanordnung (zweiachsige Beanspruchung) bzw. des Verhältnisses von gezogener zur gedrückter Bewehrung (einachsige Beanspruchung).

Durch Wahl eines bestimmten Bewehrungsverhältnisses oder Anordnung kann die erforderliche Stahlmenge reduziert werden.

Mindestbewehrung

Bei Druckgliedern (ed/h < 3,5) wird automatisch überprüft, ob eine Bemessung der Mindestbewehrung maßgebend wird.

Bei den Bemessungstypen einachsige Bemessung Plattenbalken, Rechteck und Schichtenquerschnitt wird außerdem geprüft, ob die erforderliche Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile maßgebend wird.

Bei den Bemessungstypen zweiachsige Bemessung Rechteckquerschnitt und Kreisquerschnitt bleibt diese Mindestbewehrung z.Zt. unberücksichtigt.

Die Berücksichtigung beider Mindestbewehrungen ist optional deaktivierbar Konfiguration Bemessung.

DIN 1045 7/88

Heft 220 des DAfStb

Rechteck, einachsige Beanspruchung Tafeln 1.10- 1.12

Rechteck, mehrachsige Beanspruchung Tafeln 1.19- 1.26

Kreis/Kreisring Tafeln 1.27- 1.30.

Für Hochleistungsbeton finden sich analoge Bemessungstafeln in / 3 /.

DIN 1045-1

Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte aus Normalbeton, hochfesten und Leichtbeton nach DIN 1045-1 finden sich in / 10 /.

ÖNORM B4700

Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte finden sich in / 11 /.

EC2 Italien

Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte sind nicht bekannt. Vergleiche unter Beachtung der Abweichungen bei den Materialparametern sind bedingt mit / 11 / möglich.

BS 8110

Tafeln für symmetrisch bewehrte Querschnitte finden sich in BS 8110-3, hier jedoch noch mit s = 1,15 entsprechend BS 8110 (1985).

EN 1992 1-1

NA_D: Tafeln für einachsige Beanspruchung in /46/ (fck <= 50 N/mm2)

Kreis- und Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,05 ...0,20

NA_A: Tafeln für einachsige Beanspruchung in /48/ (fck <= 50 N/mm2)

Kreis- und Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,05 ...0,20

NA_GB: Tafeln für einachsige Beanspruchung in /50/ (fck <= 50 , fck = 90 N/mm2)

Kreis- und Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,05 ...0,20

8 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

NA_I: eine exemplarische Tafel für einachsige Beanspruchung in /58/ (fck=30 N/mm2) Rechteckquerschnitt mit d1/h = 0,1

NA_NL Tafeln für einachsige Beanspruchung in /60/ (fck <= 50 N/mm2) Rechteckquerschnitte mit d1/h = 0,1 und 0,20 hinsichtlich der getroffenen Annahmen (fcd, fyd) identisch mit den Tafeln zum NA_A

NA_B nicht bekannt, aber hinsichtlich der getroffenen Annahmen (fcd, fyd) identisch mit den Tafeln zum NA_D

NA_CZ nicht bekannt, aber hinsichtlich der getroffenen Annahmen (fcd, fyd) identisch mit den Tafeln zum NA_A

Bemessung nach kd (kh)-Verfahren

kh- bzw. kd-Verfahren sind inhaltlich gleich. Die Benennung kd beruht auf der geänderten Bezeichnung der Nutzhöhe mit d anstelle von h (DIN 1045-1, EN 1992 1-1).

Das Verfahren dient der Bemessung für einachsig beanspruchte Querschnitte und ist vorzugsweise für Biegung und Längskraft mit großer Ausmitte geeignet .

kd cm

M kNm

b m

hs

= [ ]

[ ]

[ ]

ist dabei das Maß der Querschnittsbeanspruchung.

Zunächst wird nur von der Anordnung einer Zugbewehrung ausgegangen. Über das Gleichgewicht der Momente bzgl. der Bewehrungslage wird das für einen Dehnungszustand aufnehmbare Moment ermittelt. Soll die Bewehrung voll ausgenutzt werden, ergibt sich der Dehnungszustand mit dem maximal möglichen Moment mit der Betongrenzstauchung auf der Druckseite und der Fließdehnung in Höhe der Stahllage. Liegt das aufzunehmende Moment unter diesem, ergibt sich der Bruchzustand aus der iterativen Herstellung des Gleichgewichtes der Momente und Normalkräfte. Liegt das aufzunehmende Moment über dem Grenzmoment, wird der oben beschriebenen Dehnungszustand angenommen. Das Differenzmoment wird durch eine Druckbewehrung abgedeckt.

Für den Fall, dass sich keine Betondruckspannungen ergeben, erfolgt die Bemessung nach dem Hebelgesetz.

Bei linear- elastischer Berechnung von Durchlaufträgern ist die Druckzonenhöhe zu begrenzen, sofern keine konstruktiven Maßnahmen ergriffen werden. Die Einhaltung des Kriteriums wird durch eine entsprechend modifizierte Stahlgrenzdehnung erreicht, ab der eine Druckbewehrung ermittelt wird.

Mindestbewehrung

Bei Druckgliedern (ed/h < 3,5) wird automatisch überprüft, ob eine Bemessung der Mindestbewehrung maßgebend wird.

Bei den Bemessungstypen einachsige Bemessung Plattenbalken, Rechteck und Schichtenquerschnitt wird außerdem geprüft, ob die erforderliche Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile maßgebend wird.

Die Berücksichtigung beider Mindestbewehrungen ist optional deaktivierbar Bemessung - Konfiguration.

Besonderheiten nach DIN 1045 7/88

Die Stahlgrenzdehnung wird mit 3 °/oo angenommen.

Druckbewehrung bei überwiegender Biegung sollte nur bis 1% von Ab in Rechnung gestellt werden, eine Druckbewehrung größer als die Zugbewehrung ist nach DIN 1045 7/88 (2) unzulässig, d.h., es muss mit dem Verfahren für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis bemessen werden.

Tafeln finden sich in Heft 220 (Tafel 1.a, 1.b)

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 9

Besonderheiten nach DIN 1045-1

Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern:

x/d <= 0,45 (Normalbeton) bzw. <= 0,35 (C55 und höher)

In der Norm wird die Größe der Druckbewehrung nicht begrenzt. Wird die Druckbewehrung größer als die Zugbewehrung, sollte jedoch mit dem Verfahren für ein gegebenes Bewehrungsverhältnis bemessen werden.

Tafeln für Querschnitte aus Normalbeton, hochfesten- und Leichtbeton nach DIN 1045-1 finden sich in / 10 /.

Besonderheiten nach EC2 (Italien)

Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern:

x/d <= 0,45 (Normalbeton) bzw. <= 0,35 (C55 und höher)

Besonderheiten nach B4700

Druckbewehrung ergibt sich, wenn die Stahlfließdehnung nicht mehr ausgenutzt werden kann. Dabei ist zu beachten, dass nach 3.4.2 (4) bei Platten mit h < 25 cm keine Druckbewehrung in Rechnung gestellt werden darf. Bei solchen Beanspruchungen sollte ein geeigneteres Material oder ein größerer Querschnitt gewählt werden. Anstelle von kh wird als Maß der Querschnittsbeanspruchung in den Tabellen

γ =

d

M

b fs

cd

verwendet.

Tafeln für Querschnitte ohne Druckbewehrung finden sich in /12/ Tab.27

Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern mit Schnittkraftumlagerung:

x/d <= 0,45 (Normalbeton) bzw. <= 0,35 (C55 und höher)

Besonderheiten nach BS 8110

Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern:

x/d <= 0,5 (siehe /20/)

Besonderheiten nach EN 1992 1-1

Bezogene Druckzonenhöhe bei linear elastischer Berechnung von Durchlaufträgern:

NAD_D x/d < (1,0 - 0,64) / 0,8 = 0,45

fck > 50 N/mm2 oder Leichtbeton: x/d < 0,35

NAD_GB BS: x/d < (1,0 - 0,40) / 1,0 = 0,6

fck > 50 N/mm2 x/d = f(cu2) C90: x/d= (1 - 0,4) / 1,13 = 0,53

NA_0, NAD_A, NA_I, NA_NL, NA_B, NA_CZ x/d < (1,0 - 0,44) / 1,25 = 0,45

fck > 50 N/mm2 x/d= f(cu2) C90: x/d= (1 - 0,44) / 1,41 = 0,39

10 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Mindestbewehrung für auf Biegung beanspruchte Bauteile

DIN 1045-1

Für überwiegend auf Biegung beanspruchte Bauteile ist zur Sicherstellung eines duktilen Bauteilverhaltens nach 13.1.1 eine Mindestbewehrung vorzusehen.

In Anlehnung an /29/ ist diese Mindestbewehrung bei folgenden Beanspruchungen zu berücksichtigen:

- Reine Biegung

- Biegung mit Längsdruck, sobald im Zustand I Randzugspannungen entstehen

- Biegung mit Längszug, sobald im Zustand I Randdruckspannungen entstehen

Die Ermittlung der Bewehrung erfolgt entsprechend /14/ über das Rissmoment. Dabei werden Längszugkräfte berücksichtigt, die günstige Wirkung einer Druckkraft jedoch nicht. Der innere Hebelarm wird mit 0,9 d angenommen.

EC2 / B4700

Bei überwiegend auf Biegung beanspruchten Bauteilen (e/h > 3,5) wird überprüft, ob eine Mindestbewehrung nach 5.4.2.1.1 / 3.4.9.4 maßgebend wird.

BS 8110

Bei auf Biegung oder Zug beanspruchten Bauteilen wird überprüft, ob eine Mindestzugbewehrung nach Tab.3.25 (reiner Zug, gezogener Steg, gezogener Gurt T-Querschnitt) maßgebend wird.

EN 1992 1-1

Der Mindestwert einer auf Zug beanspruchten Längsbewehrung nach 9.2.1.1. ist ein NDP

Asmin

EN = 0,26 fctm/fyk bt d > 0,0013 bt d

NA_D = (fctm+ N/Ac) Wc / (fyk 0,9 d) Siehe /14/

NA_GB = EN

NA_A = EN

NA_I =EN

NA_B =EN

NA_NL = 0,26 fctm/fyk bt d > 0,0013 bt d

< 1.25 erf.As

NA_CZ =EN

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 11

Mindestbewehrung für Druckglieder

Als Druckglieder eingestuft werden entsprechend Definition in DIN 1045-1 3.1.19 auf Druck beanspruchte Querschnitte mit einer bezogenen Lastausmitte im Grenzzustand der Tragfähigkeit von ed/h <= 3,5. Bei zweiachsiger Beanspruchung muss das Kriterium wenigstens in einer Richtung erfüllt sein.

DIN 1045 7/88

Für Druckglieder ist nach 25.2.2.1 eine Mindestbewehrung von 0,4% auf der weniger gedrückten Seite bzw. 0,8% insgesamt, bezogen auf die statisch erforderlichen Querschnittsfläche einzuhalten. Bei Wänden (b0/d0 > 5) beträgt die Mindestbewehrung nach 25.5.5.2 insgesamt 0,5%.

Bei Hochleistungsbeton gemäß Anwenderrichtlinie beträgt die Mindestbewehrung für Druckglieder 1% (25.2.2.1), für Wände ergibt sie sich nach Tabelle R12.

Mit dieser Bewehrung, zunächst bezogen auf den reellen Querschnitt ermittelt, wird der Bruchdehnungszustand gesucht, aus dem sich wiederum die aufnehmbare Längskraft ergibt. Ist sie größer oder gleich der vorhandenen Längskraft, wird die Mindestbewehrung maßgebend. Da auf den statisch erforderlichen Querschnitt bezogen, wird die Bewehrung im Verhältnis von vorhandener zur aufnehmbaren Längskraft abgemindert.

DIN 1045-1

Stützen nach 13.5.2: MinAs = 0,15 Nsd/fyd

Wände (b/h > 4) nach 13.7.1:

DIN 1045-1 (2001): MinAs = 0,0015 Ac,

schlanke Wände oder NEd > 0,3 fcd Ac

MinAs = 0,003 Ac

DIN 1045-1 (2008): MinAs=0,15 Nsd/fyd > 0,0015 Ac

Ac: Betonquerschnitt

schlanke Wände oder NEd > 0,3 fcd Ac

MinAs = 0,003 Ac

ÖNORM B4700

Stützen nach 3.4.9.1: MinAs = 0,15 Nsd/fyd > 0,0028 Ac

Wände (b/h > 4) nach 5.4.7.2: MinAs = 0,0028 Ac

Ac: Betonquerschnitt

EC2 (Italien)

Stützen nach 5.4.1.2.1: MinAs = 0,15 Nsd/fyd > 0,003 Ac

Wände (b/h > 4) nach 5.4.7.2: MinAs = 0,004 Ac

BS 8110

Nach Tabelle 3.25 (Annahme Acc=Ac) MinAs= 0,004 Ac

12 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

EN 1992 1-1

Die Mindestbewehrungen für Stützen nach 9.5.2 (2) und für Wände nach 9.6.2 sind NDP

As,min Stützen Wände

EN = 0,10 NEd/ fyd > 0,002 Ac = 0,002 Ac

NA_D = 0,15 NEd/fyd > 0.0015 Ac

schlanke Wände oder

NEd > 0,3 fcd Ac

MinAs = 0,003 Ac

= 0,15 NEd/fyd > 0,0015 Ac

NA_GB = EN2 = EN2

NA_A = EN2 = EN2

NA_I =0,10 NEd/ fyd > 0,003 Ac =0,004 Ac

NA_B =EN =EN

NA_NL =EN 0

NA_CZ =EN =EN

Hebelgesetz

Falls die Resultierende Längszugkraft innerhalb der Bewehrungslagen liegt, ergibt sich keine Betondruckzone. Vereinfachend gilt die Annahme, dass die Bewehrung oben und unten die Fließgrenze erreicht. Die Größe der Bewehrung ist dann nur noch vom auf den Querschnittsschwerpunkt bezogenen Bewehrungsabstand und der Ausmitte der Resultierenden abhängig und kann nach dem Hebelgesetz ermittelt werden (DafStb H.220 1.2.8).

Siehe weiterhin Ermittlung der effektiven Steifigkeit

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 13

Ermittlung der effektiven Steifigkeit

Es wird der Dehnungszustand gesucht, wo zwischen äußeren Schnittkräften und inneren Schnittkräften ein Gleichgewicht herrscht.

Daraus ergeben sich drei nichtlineare Gleichungen, bei denen 3 Randdehnungen die Unbekannten darstellen. Die Lösung erfolgt iterativ mit Hilfe des Newtonverfahrens.

Die effektive Steifigkeit bei Biegung ergibt sich dann aus den Dehnungen zu EIy,eff= My / (1- 3) .

und EIz,eff= Mz B / (1- 2) .

H,B: Abmessungen des umschließenden Rechteckes des Querschnittes

1: Dehnung mit maximalen Druck

2: Dehnung in der benachbarten Ecke in x-Richtung

3: Dehnung in der benachbarten Ecke in y-Richtung

Hinweis für polygonale Querschnitte: Bei allgemeinen Querschnitten können durch einachsige Beanspruchung auch Krümmungen in die Richtung entstehen, wo das Moment Null ist. Aus diesem Grunde sollten bei Verformungsberechnungen nicht die effektiven Steifigkeiten, sondern die Krümmungen zum Ansatz kommen.

Äußere und innere Schnittkräfte

Optional ist einstellbar, ob die effektive Steifigkeit im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit (GZG) oder im Grenzzustand der Tragfähigkeit (GZT) ermittelt werden soll ( siehe Konfiguration Bemessung).

Die inneren Schnittkräfte ergeben sich entsprechend den Arbeitslinien für Beton und Stahl.

DIN 1045 7/88

Arbeitslinie Stahl Durchgehend lineares Verhalten des Stahles

Betonarbeitslinie Parabel-/Rechteckdiagramm

Schnittkräfte Unter Gebrauchslasten ist der summarische Sicherheitsbeiwert 1,0 Unter Bruchlasten ist der summarische Sicherheitsbeiwert 1,75.

DIN 1045-1 / EC2 (Italien) / B4700 / BS8100 / EN 1992 1-1

Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit GZG sind die Materialbeiwerte zu 1,0 – sonst entsprechend der Bemessungssituation des GZT gesetzt.

Arbeitslinie Stahl Bilineare Spannungsdehnungslinie

Betonarbeitslinie GZT: Parabel-/Rechteckdiagramm

GZG: lineare Arbeitslinie mit Ecm

Schnittkräfte Im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit werden die Bemessungsschnittkräfte des Grenzzustandes der Tragfähigkeit GZT mit einem in der Konfiguration definierten Faktor dividiert oder die Schnittkräfte der quasi-ständigen Lastkombination verwendet siehe Konfiguration.

14 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Besonderheit DIN 1045-1

Arbeitslinie Stahl Falls die Spannungsdehnungslinie zur Schnittgrößenermittlung aktiviert ist, gilt die Arbeitslinie Stahl nach Bild 26 mit ansteigendem oberen Ast: fy = 1,1 fyk/s und ft(uk)= fy 1,05 bzw. fy 1,08 (uk nach Tabelle 11) Bei Zusatzoption “Mittelwerte der Baustoffgrößen” gilt fy = 1,1 fyk und ft(uk)= fy 1,05 bzw. fy 1,08 (uk nach Tabelle 11) siehe Konfiguration .

Betonarbeitslinie Falls die Spannungsdehnungslinie zur Schnittgrößenermittlung aktiviert ist, gilt die Betonarbeitslinie nach Bild 22 und 8.6.1 (7) mit fc = fcm/c und k = Ec0 / c c1 / fc (Ec0, fcm, c1 und c1u nach Tab.9 bzw. Tab. 10). Bei Zusatzoption “Mittelwerte der Baustoffgrößen” gilt

fc = 0,85 fck k = Ecm c1 / fc (Ecm, c1 und c1u nach Tab 9 bzw. 10) nach 8.5.1 (4)

Besonderheit EN 1992 1-1

Arbeitslinie Stahl Nach 5.8.6 (3) gilt eine bilineare Arbeitslinie nach Bild 3.8 mit Bemessungswerten fyd (Fließgrenze) und ftd(ud). NA_D: Bild 3.8 DE, NCCI fy = 1,1 fyk/s und ft(uk)= fy k (uk, k nach Anhang C)

Zusatzoption “Mittelwerte der Baustoffgrößen” fy = fyk und ft(uk)= fy k (uk, k nach Anhang C) NA_D: Bild 3.8 DE, NCCI fy = 1,1 fyk und ft(uk)= fy k (uk, k nach Anhang C)

Betonarbeitslinie Falls die Spannungsdehnungslinie zur Schnittgrößenermittlung aktiviert ist ( siehe Konfiguration), gilt die Betonarbeitslinie nach Bild 3.2 und 5.8.6 (3) mit fc = fcd und k = Ecm / cE c1 / fc

(Ecm, c1 und c1u nach Tab.3.1 bzw. Tab. 11.3.1, cE ist NDP ).

fc cE

EN fcd 1,2

NA_D fcm/c 1,5

NA_GB =EN = EN

NA_A =EN = EN

NA_I = EN = EN

NA_NL = EN = EN

NA_B = EN = EN

NA_CZ = EN = EN

Zusatzoption “Mittelwerte der Baustoffgrößen NA_D: 5.7 (6) ff. ergänzende NCCI fc = 0,85 cc fck k = Ecm c1 / fc (Ecm, c1 und c1u nach Tab.3.1 bzw. Tab. 11.3.1). andere NA wie NA_D

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 15

Kriechen und Schwinden

Falls in Konfiguration aktiviert, werden bei der Steifigkeitsermittlung Kriechen und Schwinden wie folgt berücksichtigt:

Kriechen : Bei nichtlinearer Spannungsdehnungslinie des Betons (i.d.R. GZT) erfolgt bei der Ermittlung der inneren Schnittkräfte des Betons eine Modifikation der Dehnungen = /(1+) (EN 1992-1-1: 5.8.6 (4))

: Kriechzahl

DIN 1045-1: = (t0,) nach /14/ S.59 ff.

Eine Berücksichtigung der abgeminderten Kriechzahl eff nach DIN 1045-1 (2008) 8.6.3. (10) ist durch deren manuelle Eingabe möglich siehe Umweltbedingungen/Kriechzahl

EN 1992 1-1: = (t0,) nach Anhang B

Eine Berücksichtigung der abgeminderten Kriechzahl eff nach 5.8.4. ist durch deren manuelle Eingabe möglich siehe Umweltbedingungen/Kriechzahl

Bei linearer Spannungsdehnungslinie und bei der Ermittlung der Krümmungen im Zustand I erfolgt eine Reduzierung des Elastizitätsmoduls des Betons Eceff = Ecm/(1+) (EN 1992-1-1: Gl. 7.20)

Schwinden im Zustand I:

Das Schwinden wird über eine zusätzliche Krümmung

1/rS = cs Es/Eceff S/I (EN 1992-1-1: Gl. 7.21)

cs: Schwindmaß

DIN 1045-1: nach /14/ S.65 ff.

EN 1992 1-1: nach 3.1.4 Anhang B

S: statisches Moment der Bewehrung bezogen auf die Schwerachse (Zust. I) bzw. Nulllinie (Zust. II)

I: Trägheitsmoment des Querschnittes (Zust. I)

Schwinden im Zustand II:

Die Berücksichtigung des Schwindens erfolgt nach /24/ S.18 über eine negative Druckvordehnung in Höhe von cs (Schwindmaß nach /14/ S.65 ff.) bei der Ermittlung der inneren Schnittkräfte des Stahles.

16 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Zugversteifung

Falls in Konfiguration aktiviert, wird die Zugversteifung oder Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen über eine Modifizierung der Arbeitslinie des Betonstahles (vgl. /14/ S.35) berücksichtigt. In Abhängigkeit vom Verhältnis der Stahlspannung unter Last im Zustand II zur Stahlspannung unter Rissschnittgrößen reduziert sich die Stahldehnung infolge Zugversteifung nach /14/ Bild H.8-3 zu sm.

Bauteilsteifigkeit: nur bei Querschnittstypen Rechteck 1-achsig, Plattenbalken und Schichtenquerschnitt.

Mit dem Verteilungsbeiwert erfolgt eine Wichtung zwischen den Krümmungen im Zustand II. 1/rII = (2 - 1 ) / h) und

Krümmungen im Zustand I 1/rI = M /(Ii Eceff )+ 1/rS

zu einer mittleren Krümmung 1/rm = 1/rII + (1-) 1/rI)

DIN 1045-1:

= sm / s2 (vgl. /5/ S.292)

sm: abhängig von Verhältnis s/sr

s2: Stahldehnung im Zustand II

Kurzzeitbeanspruchung: ßt= 0,4 (GZT)

Langzeitbeanspruchung: ßt= 0,25 (GZG)

EN 1992-1-1:

=1 - ß (s/sr)2 Gl. 7.19

sr: Stahlspannung Zustand II unter Rissschnittgrößen ermittelt mit fctk0,05 (Standard) bzw. fctm (Option) siehe Bemessungskonfiguration

s: Stahlspannung Zustand II unter der Last, für die die Steifigkeit ermittelt wird (Standard) bzw. in der seltenen Lastkombination (Option) siehe Bemessungskonfiguration

Kurzzeitbeanspruchung: ß = 1,0 (GZT)

Langzeitbeanspruchung: ß = 0,5 (GZG)

EIeff = My/(1/rm)

Querschnittssteifigkeit: Die effektive Steifigkeit ergibt sich aus den Krümmungen im Zustand II über den Faktor k = (sm-c2) / (s2 - c2) zu EIeff = M/ (k 1/rII) (vgl. /22/ S. 303)

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 17

Schubbemessung

Schubbemessung nach DIN 1045 7/88

Der Grundwert der Schubspannung ergibt sich zu Tau0= Qz/(bw kz d). Der bezogene Hebelarm kz kann aus der Biegebemessung direkt übernommen oder vorgegeben werden. Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt. Beim Kreisquerschnitt ergibt sich nach / 4/ Tau0 mit der Breite b0 in Höhe der Nulllinie.

Beton bis B55

Die Schub- und Torsionsbemessung erfolgt nach den Regeln von DIN 1045 17.5.

Es kann mit voller oder verminderter Schubdeckung im Schubbereich 2 gerechnet werden (Bemessungsoptionen), bei Längszug mit der Nulllinie außerhalb des Querschnittes wird generell mit voller Schubdeckung gerechnet.

Bei Platten wird der Faktor k1 nach Gl.14 berücksichtigt. Gilt Tau0 < k1 Tau011, ist keine Schubbewehrung erforderlich. Tau011 wird entsprechend den Bemessungsoptionen für durchgehende (Zl.1b) bzw. teilweise im Feldbereich verankerte Bewehrung (Zl.1a) gesetzt.

Werden die Höchstwerte der zulässigen Schubspannungen überschritten, wird die Bemessung als unzulässig markiert und es muss der Querschnitt vergrößert werden. MaxTau entspricht Tau02 bei Platten, Biegung mit Längszug und Nulllinie außerhalb Querschnitt oder Balken mit d0 < 30 cm, andernfalls gilt MaxTau=Tau03.

Bei Längsdruck mit Nulllinie außerhalb des Querschnittes ergibt sich der Bemessungswert Tau aus der Hauptzugspannung nach Zustand I (nach H.400 S.80 : SigI= f(SigX,Tau0) >= 0,4Tau0).

Außerdem muss SigII < 2 Tau03 erfüllt sein ( SigII = Tau0/(tan cot )

nach H.400 S.80: tan = f(SigI,Tau0) > 0,4).

Die Torsionsschubspannung ergibt sich zu TauT= Mt/Wt. Der Querschnitt wird auf die Abmaße des Steges reduziert und Wt für Rechteckquerschnitte nach DafStb H.220 ermittelt.

Falls TauT > Tau02 wird die Bemessung als unzulässig markiert und es muss der Querschnitt vergrößert werden.

Entsprechend H.220, Gl.3.4 ergibt sich eine Torsionsbügelbewehrung Abü, nach Gl. 3.5 eine zusätzliche Längsbewehrung AsL. Ak und Uk ergeben sich aus den Kernabmessungen des von der Torsionslängsbewehrung umschlossenen Betons. Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich asbT= 2 Abü.

Für TauT < 0,25 Tau02 ist keine zusätzliche Bewehrung erforderlich.

Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. 17.1 einzuhalten. Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(Q+T)= asbQ+ asbT.

Hochfester Beton ab B65

Die Schub- und Torsionsbemessung erfolgt nach DafStb- Richtlinie für hochfesten Beton.

Die Druckstrebentragfähigkeit wird nachgewiesen durch Tau0 < TauQD (R15)

Die Tragfähigkeit des Betons alleine, TauQB ergibt sich nach Gl. R8. Sie wird durch die gewählte Zugbewehrung und durch die vorhandene Längskraft maßgeblich beeinflusst. Eine Erhöhung infolge auflagernaher Einzelasten wird nicht berücksichtigt.

Bei Tau0 > TauQB ist eine rechnerische Bügelbewehrung nach Gl. R13 erforderlich, ansonsten mit Ausnahme von Platten eine Mindestbewehrung nach Gl. R20.

Die Torsionsschubspannung ergibt sich nach Gl.R16 zu TauT= Mt/(2Akt), wobei für Vollquerschnitte t=Ab/Ub gilt. Zur Berechnung Ab und Ub ergibt sich nur aus den Abmessungen des Steges.

Falls TauT > TauTD nach Gl. R17 wird die Bemessung als unzulässig markiert und es muss der Querschnitt vergrößert werden. Analog DIN 1045-1 (2001-07) Gl. 108 ergibt sich eine

18 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Torsionsbügelbewehrung Abü, nach Gl.109 eine zusätzliche Längsbewehrung AsL. Ak und Uk ergeben sich aus den Kernabmessungen d0-t und b0-t. Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich asbT= 2 Abü.

Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. R18 einzuhalten. Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(Q+T)= asbQ+ asbT.

Schubbemessung nach DIN 1045-1

Querkraft

Die Querkrafttragfähigkeit wird über ein Fachwerkmodell mit Betondruckstreben und Stahlzugstreben nachgewiesen. Ein Minimum an Schubbewehrung ergibt sich mit der flachest möglichen Druckstrebenneigung. Diese ist u.a. von der Beanspruchung des Querschnittes im Verhältnis zur Rissreibungskraft des Betons und den Längsspannungen im Querschnitt abhängig. Durch eine flachere Neigung reduziert sich jedoch die Druckstrebenkraft. Diese ist durch die Betonklasse und die kleinste Querschnittsbreite begrenzt. Außerdem erhöhen sich auch die Kräfte im Zuggurt, was seinen Niederschlag in der Erhöhung des Versatzmaßes findet.

Die Schubbewehrung besteht i.d.R. aus Bügeln, die senkrecht zur Bauteillängsachse stehen.

Im Falle von Elementdecken (Fertigteilplatten mit Ortbetonergänzung und b/h > 5 bzw. entsprechend definiert in Bemessung - Konfiguration), die eine Schubbewehrung mit Gitterträgern erhalten, sind einige Besonderheiten zu beachten siehe Abschnitt „Schubbemessung für Elementdecken mit Gitterträgern" weiter unten.

Querkraft zweiachsig für Rechteckquerschnitte

Mit einem in /39/ beschriebenen Verfahren wird der Nachweis über Anpassungsfaktoren bezüglich der Druckstreben- und Bügeltragfähigkeit auf den einachsigen Fall zurückgeführt.

Der Grenzfall 1 ist die einachsige Beanspruchung mit v = 0, der Grenzfall 2 die zweiachsige Beanspruchung mit einem Lastangriff der Resultierenden genau über Eck, d.h. v = 1.

Die Kraft im Bügel ist für Fall 2 nach /39/

2 2

12

FHGIKJ

VV

bh

zEd , also um den Faktor

2

12

bhFHGIKJ

größer als bei Fall 1.

Die größte Beanspruchung der Betondruckstrebe ergibt sich im Fall 2 an Stelle der Einleitung der Druckstrebe in den Zuggurt, wo sich die Breite beff nach /39/ auf konserativ abgeschätzte 0,6 b einschnürt. Bei Annahme eines gleichen Hebelarmes ergibt sich gegenüber Fall 1eine um den Faktor b/beff höhere Druckstrebenbeanspruchung.

Zwischen diesen beiden Fällen erfolgt nun eine Interpolation, entsprechend der vorhandenen Neigung v mit Hilfe der folgenden Beziehungen:

VEd: resultierende Querkraft V VEdy Edz2 2

v: bezogene Querkraftneigung, V h

V b

Edy

Edz

h: Seitenlänge in z-Richtung

b: Seitenlänge in y-Richtung

wenn 0 <= v <=1,

dann Tragfähigkeitsnachweis mit bw = b,

sonst v = 1/v und Tragfähigkeitsnachweis mit bw = h,

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 19

V VA

swf z

kRd sy Edsw

ydasw

, cot 1

Interpolationsfaktor Schubbewehrung

kbh

asw v FHGIKJ

F

H

GGGGG

I

K

JJJJJ1

2

1

12

1 2

V b zf

kRd ccd

v,max maxcot cot

1

Interpolationsfaktor Druckstrebentragfähigkeit

kb

b

v

v

max

,

F

HGIKJ

1

10 6

1 1 2

z Hebelarm der inneren Kräfte, d.h. der Abstand zwischen Zug- und Druckresultierender der inneren Schnittkräfte wie er sich aus der Biegebemessung ergibt.

Bei unbekanntem Hebelarm erfolgt eine Interpolation zwischen z = 0,9 (h-d1) für v = 0 und z = 0,9 (h-d1+b-b1)/2 für v = 1,0 bzgl. dem vorhandenen v.

z < d - 2 nomc (DIN 1045-1 10.3.4.2)

Diese Begrenzung soll vermeiden, dass der Abstand der Druckresultierenden vom Druckrand nicht kleiner 2 nomc ist. d ist demzufolge der Abstand der Zugresultierenden vom Druckrand in Richtung des Hebelarmes.

VRdct wird näherungsweise mit bw = 0,6 bw(Fall1) und d = z ermittelt

Schubbemessung für vertikale Schubbewehrung (Bügel):

VEd Bemessungswert der Querkraft

(Grund- bzw. außergewöhnlichen Kombination)

VRd,ct Die Querkrafttragfähigkeit ohne Bewehrung ergibt sich unter der Annahme eines gerissenen Querschnittes (Standardfall) aus Gl.70.

Wesentliche Parameter sind:

- Betonfestigkeit

- Längsbewehrungsgrad der um das Maß d + lb,erf hinausgeführten Zugbewehrung Asz (Eingabewert gew. As )

- Betonspannung im Schwerpunkt (Druck günstig)

- Bauteilhöhe (ungünstig)

Für Leichtbeton Abminderung mit Eta1 nach Tab.10

DIN 1045-1 (2008):

Der Vorfaktor 0,15 / c ermöglicht ggf. die Berücksichtigung der außergewöhnlichen Bemessungssituation.

Nach Gl. 70a gilt ein von der Längsbewehrung unabhängiger Mindestwert für VRdct.

Alternativ ist eine Berechnung nach Gl. 72 möglich, wenn Betonrand- und Hauptzugspannungen kleiner als fctk 0,05/c sind (c = 1,8 für unbewehrten Beton), d.h. der Querschnitt sich im Zustand I befindet.

siehe Bemessungsoptionen DIN 1045-1

20 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Cot Druckstrebenneigungswinkel nach Gl. 73

Der Druckstrebenwinkel wird von folgenden Parametern beeinflusst:

- Sigcd: Spannung im Schwerpunkt (Druck günstig)

- VRd,c: Rissreibungskraft Beton nach Gl. 74, günstige Wirkung

Ein Optimum für die Bügelbewehrung ergibt sich durch Wahl des größtmöglichen Wertes. Es sind folgende Grenzen einzuhalten:

- Normalbeton: 0,58 <= Cot <= 3,0

- Leichtbeton: 0,58 <= Cot <= 2,0

- Einhaltung der Druckstrebentragfähigkeit

- Längszug: Cot <= 1 (vgl. Empfehlung /14/ zu 10.3.4. (3))

Optional nach Gl.73 ( Bemessungsoptionen DIN 1045-1)

Alternativ kann der Druckstrebenwinkel auch vom Nutzer vorgegeben werden ( Bemessungsoptionen DIN 1045-1), z.B. wenn weitere Schnitte mit dem am maßgebenden Schnitt geltenden Druckstrebenwinkel nachgewiesen werden sollen. Dieser darf aber nicht flacher als der sich nach Gl. 73 bzw. bei Ortbetonergänzung nach Gl. 86 ergebende sein.

z Hebelarm des angenommenen Fachwerkmodelles entsprechend Biegebemessung (falls nicht bekannt, Annahme von 0,9 d bzw. bei Kreisquerschnitten 0,55 d) und Begrenzung nach 10.3.4 (2) z < d - 2 nomc (nomc der Längsbewehrung in der Druckzone, nach /26/ gilt für nomc > 3cm eine Begrenzung von z < d - nomc - 3cm) oder nutzerdefiniert.

Anmerkung: Regel 10.3.4 (2) kann für Querschnitte mit geringer Nutzhöhe und hohen Anforderungen an die Mindestbetondeckung zu sehr geringen Hebelarmen führen. Von Anwendungsregeln darf der Nutzer in begründeten Fällen in eigener Verantwortung abweichen (siehe Bemessung - Ergebnisse).

aswQ Rechnerische Schubbewehrung nach Gl. 75 für senkrecht stehende Bügel.

Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach 13.2.3 (4) für Balken bzw. 13.3.3 für Platten maßgebend wird. Diese wird für eine mittlere Stegbreite ermittelt (beim Kreisquerschnitt bwS= Ac/Da).

Platten mit b/h > 5 (bzw. Platten, die unter dem Menüpunkt >>Bemessung - Konfiguration so definiert wurden):

wenn VEd < VRd,ct, ist keine Schubbewehrung erforderlich, andernfalls ist eine Mindestbewehrung in Höhe des 0,6-fachen Wertes bei Balken zu berücksichtigen

Übergangsbereich 4 < b/h < 5:

wenn VEd < VRd,ct, ergibt sich die Mindestbewehrung aus der Interpolation zwischen dem nullfachen (b/h = 5) und dem einfachen Wert (b/h = 4), andernfalls aus der Interpolation zwischen dem 0,6 fachen (b/h = 5) und dem einfachen Wert (b/h = 4)

Bei Kreisquerschnitten wird in Anlehnung an /31/ ein die erforderliche Schubbewehrung vergrößernder Wirksamkeitsfaktor für Rundbügel ermittelt. Dieser berücksichtigt, dass die angreifende Schubkraft i.d.R. nicht parallel zur aufnehmbaren Kraft des Rundbügels verläuft. Je nach betrachtetem Schnitt verläuft diese in einem anderen Winkel zur Senkrechten.

VRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach Gl.76.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 21

Ist VRd,max kleiner als der Bemessungswert der Querkraft, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen. Bei Leichtbeton gilt ein mit 1 reduziertes c. Beim Rechenwert der Betondruckfestigkeit fcd werden ggf. die reduzierten Teilsicherheitsbeiwerte infolge Fertigteil oder außergewöhnlicher Bemessungssituation berücksichtigt.

bw: Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt. Bei Kreisquerschnitten entspricht bw nach /27/ der geringsten Breite zwischen Druck- und Zugresultierender. Bei unbekannter Lage der Resultierenden (Moment und Normalkraft sind Null) wird unter der sicheren Annahme eines Abstandes der Druckresultierenden von Da/40 gerechnet.

sMax maximaler Bügelabstand nach Tabelle 31

VEd < 0,3 VRdmax sMax = 0,7 h Balken: < 30 cm (> C50/60: < 20 cm)

VEd < 0,6 VRdmax sMax = 0,5 h Balken: < 30 cm (> C50/60: < 20 cm)

VEd > 0,6 Vrdmax sMax = 0,25 h Balken: < 20 cm

VRdmax darf nach /14/ S. 212 mit = 40° angenommen werden.

Schubbemessung für Elementdecken mit Gitterträgern nach /33/ - /38/:

Gitterträger sind Fachwerkträger bestehend aus Druckgurt, Zuggurt und Streben.

Die Streben können entweder die Form gleichschenkliger Dreiecke haben (Neigungswinkel 45° <= < 90° z.B. /33/, /35/, /37/ im folgenden System „gleichschenkliges Dreieck" genannt) oder bestehen aus einem vertikalen Pfosten und einer geneigten Diagonale (Neigungswinkel 45° <= 1 < 90°, Neigungswinkel 2 = 90° z.B. /34/, /36/, /38/, im folgenden System „Pfosten/Diagonale" genannt).

Achtung: Der Nachweis von Gitterträgern beruht auf Zulassungen basierend auf dem Schubnachweis und der Rauigkeitsdefintion nach DIN 1045-1 (2001).

Wenn VEd < VRdct gilt, sind auch Neigungswinkel < 45° zugelassen.

Es gelten folgende Einschränkungen:

- zulässig nur für Platten (b/h > 5 bzw. Option „wie Platte")

- Mindestdicke 4 cm, für nicht vorwiegend ruhende Verkehrslasten 6 cm

- Betone < C50/60 bzw. < LC50/55 mit Rohdichteklasse D1.2

- System „gleichschenkliges Dreieck" nur für vorwiegend ruhende Verkehrslasten

VRd,ct Die Querkrafttragfähigkeit ohne Bewehrung ergibt sich aus Gl.70.

- abweichend gilt bei Betondruckspannungen im Schwerpunkt cd = 0

Cot Druckstrebenneigungswinkel nach Gl. 73

- abweichend gilt bei Betondruckspannungen im Schwerpunkt cd = 0

- VRd,c: Rissreibungskraft Beton nach Gl. 74, cd analog

Es sind folgende Grenzen einzuhalten:

Cot <= 3,0 (<= 2,0 Leichtbeton)

Cot >= 1,0 (System gleichschenkliges Dreieck: >=1,2 wenn < 55°)

Alternativ kann der Druckstrebenwinkel auch vom Nutzer vorgegeben werden ( Bemessungsoptionen DIN 1045-1), z.B. wenn weitere Schnitte mit dem am

22 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

maßgebenden Schnitt geltenden Druckstrebenwinkel nachgewiesen werden sollen. Dieser darf aber nicht flacher als der sich nach Gl. 73 bzw. bei Ortbetonergänzung nach Gl. 86 ergebende sein.

z Hebelarm des angenommenen Fachwerkmodelles entsprechend Biegebemessung (falls nicht bekannt, Annahme von 0,9 d) und Begrenzung nach 10.3.4 (2) z < d - 2 nomc (nomc der Längsbewehrung in der Druckzone, nach /26/ gilt für nomc > 3cm eine Begrenzung von z < d - nomc - 3cm) oder nutzerdefiniert.

aswQ Rechnerische Schubbewehrung nach Gl. 77, für das System Pfosten/Diagonale wird 50 % der Schubbewehrung mit 1 und 50 % der Schubbewehrung mit 2 angenommen. Werden die Streben aus glatten Betonstahl Bst 500 G oder profilierten Betonstahl Bst 500 P hergestellt, so darf nur fyd= 365 N/mm² in Rechnung gestellt werden.

Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach 13.3.3 für Platten maßgebend wird.

Platten mit b/h > 5 (bzw. so definiert in >>Bemessung - Konfiguration):

wenn VEd < VRd,ct, ist keine Schubbewehrung erforderlich, andernfalls ist eine Mindestbewehrung in Höhe des 0,6-fachen Wertes bei Balken zu berücksichtigen

Übergangsbereich 4 < b/h < 5:

wenn VEd < VRd,ct, ergibt sich die Mindestbewehrung aus der Interpolation zwischen dem nullfachen (b/h=5) und dem einfachen Wert (b/h=4), andernfalls aus der Interpolation zwischen dem 0,6 fachen (b/h=5) und dem einfachen Wert (b/h=4)

VRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach /33/ - /38/, wobei Gl.78 einen zusätzlichen Faktor k = 1+ sin ( - 55°) > 1,0 in Abhängigkeit zur Neigung der Gitterstrebe erhält.

System „gleichschenkliges Dreieck":

Wie auch nach 13.3.3 (3) muss VEd < 0,3 VRdmax gelten.

System „Pfosten/Diagonale":

Wegen der unterschiedlichen Neigungen der Streben wird der Nachweis mit einer Interaktionsgleichung (VRdsy, i / VRdmax, i) <= 1,0 geführt.

VRdsy, i: Tragfähigkeitsanteil der Strebe mit dem Winkel i

VRdmax,i: Druckstrebentragfähigkeit bei Annahme eines Strebenwinkels i

Ist der Nachweis nicht eingehalten, so ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen.

sMax maximaler Abstand der Diagonalen in Stützrichtung nach /33/ - /38/

smax= (cot + cot ) z <= 20 cm

Ortbetonergänzung

Nachweis der Schubkraftübertragung in der Fuge nach DIN 1045-1 (7-2001)

vEd zu übertragende Schubkraft je Längeneinheit in der Fuge nach Gl.83

VEd: Bemessungswert der Querkraft

Z: Hebelarm der inneren Kräfte, siehe oben.

Für die Bedingung, ob Verbundbewehrung erforderlich ist (vRd,ct > vEd), entfällt die Hebelarmbegrenzung nach 10.3.4 (2) (vgl. /26/ S.52).

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 23

Fcdj/Fcd: Verhältnis Druckkraft im Ortbeton / Gesamtdruckkraft (Annahme 1,0)

ND Normalspannung senkrecht zur Fuge mit ND = nEd/bj > -0,6 fcd

nEd: Bemessungswert (Druck: unterer, Zug: oberer) der Normalkraft senkrecht zur Fuge je Längeneinheit, Druck negativ.

bj: wirksame Fugenbreite, ggf. durch aufliegende Fertigteilschalung reduzierte Gesamtbreite.

ct Rauhigkeitsbeiwert entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13

wenn ND > 0 ist entsprechend 10.3.6 (4) ct = 0

Reibungsbeiwert entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13

vRd,ct ohne Verbundbewehrung aufnehmbare Schubkraft in der Fuge nach Gl. 84

asw die Fuge kreuzende erforderliche Bügelbewehrung nach Gl.85 wenn vRd,ct <

vEd Der Hebelarm z wird entsprechend 10.3.4 (2) begrenzt.

Cot : Druckstrebenwinkel nach Gl.86. entsprechend /26/ und /28/.

vRd,ct: darf nur ohne Berücksichtigung von ND angesetzt werden.

Fugenausbildungen, für die sich Cot < 1,0 ergibt, sind unzulässig.

Ist der für den Gesamtquerschnitt nach Gl. 73 ermittelte Druckstrebenwinkel steiler, so ist dieser maßgebend.

cd: Nach /26/ darf die Längsnormalspannung im Gesamtquerschnitt nicht angesetzt werden.

Nachweis der Schubkraftübertragung in der Fuge nach DIN 1045-1 (2008)

vEd < vRdj vEd zu übertragende Schubkraft je Längeneinheit in der Fuge

vEd = ß VEd / z Gl. 83

VEd: Bemessungswert der Querkraft

z: Hebelarm der inneren Kräfte, siehe Nachweis Querkraftragfähigkeit

Falls VRd,ct > VEd, entfällt die Hebelarmbegrenzung mit cv.

ß: Verhältnis Normalkraft im Ortbeton / Gesamtdruckkraft (Annahme 1,0) vRdj Bemessungswert des Schubkraftwiderstandes der Fuge

vRdj = (c 1 fctd - nd) b + as fyd (1,2 sin + cos vRdj,max Gl.84

b: wirksame Fugenbreite, ggf. durch aufliegende Fertigteilschalung reduzierte Gesamtbreite.

nd Normalspannung senkrecht zur Fuge mit ND = nEd/b > - 0,6 fcd

nEd: Bemessungswert (Druck: unterer, Zug: oberer) der Normalkraft senkrecht zur Fuge je Längeneinheit, Druck negativ.

c Rauigkeitsbeiwert, entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13

C sehr glatt glatt rauh Verzahnt

0,1 0,20 0,40 0,50

24 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Reibungsbeiwert, entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13

vRdj,max = 0,5 b fcd Gl. 86

Nachweis am Gesamtquerschnitt

Bei unterschiedlichen Betonsorten ist diejenige mit der kleineren Festigkeit maßgebend.

Ergibt sich beim Nachweis der Fuge ein steilerer Druckstrebenwinkel als am Gesamtquerschnitt, so ist dieser für die Nachweise am Gesamtquerschnitt zu verwenden (vgl. /9/ S.7-21).

Bei günstigen Fugenausbildungen kann für die Ermittlung der Schubbewehrung auch der Nachweis am Gesamtquerschnitt maßgebend werden.

Torsion

Gelten die Bedingungen nach Gl.87 und 88 ist für annähernd rechteckige Vollquerschnitte nur die Mindestbügelbewehrung erforderlich.

Die Torsionsbemessung erfolgt über einen Ersatzhohlquerschnitt. Die Wanddicke t ergibt sich aus dem doppelten Bewehrungsabstand, bei Hohlquerschnitten wird t jedoch nicht größer als die vorhandene Wanddicke gesetzt. Bei gegliederten Querschnitten wird näherungsweise nur der Stegquerschnitt angesetzt.

Cot Nach 10.4.2 (2) darf der Druckstrebenwinkel für den Anteil aus Torsion mit

Cot = 1,0 (45 Grad) angenommen werden. Für reine Torsion ergibt sich hier für Bügel und zusätzliche Längsbewehrung ein Bewehrungsminimum.

Sollen flachere Druckstreben zum Ansatz kommen, so ist für jeden Teilquerschnitt der Druckstrebenwinkel getrennt zu ermitteln und der maßgebende größte auszuwählen, mit dem dann sowohl die Torsions- als auch die Querkraftbewehrung ermittelt wird. Damit ergibt sich aber nicht zwangsläufig ein Bewehrungsminimum, da der Anteil der Torsionslängsbewehrung mit flacheren Druckstreben stark steigt.

TRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach Gl.93

Ist TRd,max kleiner als der Bemessungswert des Torsionsmomentes, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu vergrößern.

aswT Die erforderliche Bügelbewehrung infolge Torsion ergibt sich nach Gl. 91

Ak und Uk ergeben sich aus den Kernabmessungen d0-t und b0-t. Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich asbT= 2 Abü.

Die Mindestschubbewehrung nach 13.2.3 (4) für Stäbe bzw. 13.3.3 für Platten wird maßgebend, falls aswQ+ aswT < aswMin

AsL Die zusätzliche Längsbewehrung infolge Torsion ergibt sich nach Gl.92

Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. 94 (Kompaktquerschnitte) bzw. Gl.95 (Kastenquerschnitte) einzuhalten.

Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(Q+T)= asbQ+ asbT.

sehr glatt glatt rauh Verzahnt

0,5 0,6 0,7 0,9

sehr glatt glatt rauh Verzahnt

0 0,2 0,5 0,75

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 25

Schubbemessung nach ÖNORM B4700

Querkraft

Die Querkrafttragfähigkeit wird über ein Fachwerkmodell mit Betondruckstreben und Stahlzugpfosten (Bügel) nachgewiesen. Ein Minimum an Bügeln ergibt sich mit der flachest möglichen Druckstrebenneigung. Durch eine flachere Neigung reduziert sich jedoch die Druckstrebenkraft. Diese ist durch die Betonklasse und die kleinste Querschnittsbreite begrenzt. Außerdem erhöhen sich auch die Kräfte im Zuggurt, was seinen Niederschlag in der Erhöhung des Versatzmaßes findet.

Vsd Bemessungsquerkraft Querkraft

(Grund- bzw. außergewöhnlichen Kombination)

VRd1 Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung nach Gl. 39

Wesentliche Parameter sind:

- Taud nach Tabelle 4

- Längsbewehrungsgrad der um das Maß d + lb,erf hinausgeführten Zugbewehrung Asz (Eingabewert gew. As)

- Betonspannung im Schwerpunkt (Druck günstig)

- Bauteilhöhe (ungünstig)

tan Druckstrebenneigung nach 3.4.4.2 (7) und (8)

Es wird die nach Gl.23 bzw. Gl.24 sowie für die Einhaltung der Druckstreben-tragfähigkeit flachestmögliche Druckstrebenneigung angenommen oder ein vorgegebener Neigungswinkel berücksichtigt siehe Bemessungsoptionen B4700 Querkrafttragfähigkeit

aswQ Rechnerische Schubbewehrung nach Gl.29 mit Vsd= VRds für senkrecht stehende Bügel.

Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach 3.4.9.4 (2) maßgebend wird. Diese wird für eine mittlere Stegbreite ermittelt (beim Kreisquerschnitt bwS= Ac/Da).

Bei Platten (b/h > 4 bzw. so definiert in >>Bemessung - Konfiguration) wird nach 3.4.4.4 keine Schubbewehrung erforderlich, wenn Vsd < VRd1.

kz: bezogener Hebelarm der inneren Kräfte, kann aus der Biegebemessung direkt übernommen oder vorgegeben werden.

VRdc Druckstrebentragfähigkeit nach Gl.27

Bei Längsdruck erfolgt eine Abminderung nach Gl. 27a

Dabei kann eine günstig wirkende Druckbewehrung (im Programm gew. Aso bzw. Asu) berücksichtigt werden.

Ist VRdc < Vsd, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen.

bw: Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt, bei Kreisquerschnitten der geringsten Breite zwischen Druck- und Zugresultierender.

sMax: Maximaler Bügelabstand nach 3.4.4.2 (11)

Vsd < VRdc/5: sMax= 0,8 d < 30 cm

Vsd < 2/3 VRdc sMax= 0,6 d < 30 cm

Vsd > 2/3 VRdc sMax= 0,3 d < 20 cm

Außerdem ist infolge Rissbreitenbeschränkung nach 4.2.4. Tabelle 11 ein von der Bügelspannung s= fyd (0,9 cot - 3,5 aswMin/asw) asw/vorhasw (Gl.68) abhängiger Maximalabstand zwischen 30 cm (s=75 N/mm²) und 10 cm (s= 300 N/mm²) einzuhalten, falls asw > 2,5 aswMin.

26 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Torsion

Die Torsionsbemessung erfolgt über einen Ersatzhohlquerschnitt mit einer Wanddicke def= do/6 (im Programm angenähert mit B0/6). Bei gegliederten Querschnitten wird näherungsweise nur der Stegquerschnitt angesetzt.

tsd Schubkraft in den Seitenflächen nach Gl.49

Ak ist die von der Mittellinie des Ersatzhohlquerschnittes eingeschlossene Fläche.

tan Die Grenzen der Druckstrebenneigung ergeben sich nach Gl.48

Nach 3.4.7 wird bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung der gleiche Neigungswinkel angesetzt.

aswT Erforderliche Bügelbewehrung infolge Torsion nach Gl.53 mit tsd=tRds

Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich

asbT= 2Abü.

AsL Die zusätzliche Längsbewehrung infolge Torsion ergibt sich nach Gl.54 und Gl.55 jedoch für den Gesamtumfang der Mittellinie des Ersatzquerschnittes.

Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. 56 einzuhalten.

Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(Q+T) = asbQ+ asbT.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 27

Schubbemessung nach EC2 (Italien)

Querkraft

Die Querkrafttragfähigkeit wird über ein Fachwerkmodell mit Betondruckstreben und Stahlzugpfosten (Bügel) nachgewiesen. Ein Minimum an Bügeln ergibt sich mit der flachest möglichen Druckstrebenneigung. Durch eine flachere Neigung reduziert sich jedoch die Druckstrebenkraft. Diese ist durch die Betonklasse und die kleinste Querschnittsbreite begrenzt. Außerdem erhöhen sich auch die Kräfte im Zuggurt, was seinen Niederschlag in der Erhöhung des Versatzmaßes findet.

Vsd Bemessungsquerkraft Querkraft

(Grund- bzw. außergewöhnlichen Kombination)

VRd1 Querkrafttragfähigkeit ohne Schubbewehrung nach Gl. 4.18

Wesentliche Parameter sind:

- Rd nach 4.3.2.3 (1) und c = 1,6

- Längsbewehrungsgrad der um das Maß d + lb,erf hinausgeführten Zugbewehrung Asz (Eingabewert gew. As)

- Betonspannung im Schwerpunkt (Druck günstig)

- Maßstabsfaktor k = 1,6 - d >= 1 wenn weniger als 50% der Feldbewehrung gestaffelt siehe Bemessung Konfiguration

Cot Standardverfahren:

Cot = 1/(1-VRd1/Vsd) vgl. /15/ S.414

Falls Längszugkraft Cot = 1,0 ( Empfehlung in /15/, S.416)

Verfahren mit veränderlicher Druckstrebenneigung:

Cot = 1,25 - 3 cp/fcd vgl. /15/ S.616 cp = Nsd/Ac

Falls für den Druckstrebennachweis erforderlich, wird die Druckstrebenneigung entsprechend steiler ermittelt.

Nach NAD Italien /19/ sind folgende Grenzwerte einzuhalten, gemäß der Empfehlung in /15/ S.416 auch beim Standardverfahren:

1,0 <= Cot <= 2,0

aswQ Rechnerische Schubbewehrung nach Gl. 4.29 mit Vsd = VRd3 für senkrecht stehende Bügel.

kz: Bezogener Hebelarm der inneren Kräfte, kann aus der Biegebemessung direkt übernommen oder vorgegeben werden.

aswMin: Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach 5.4.2.2. maßgebend wird. Diese wird für eine mittlere Stegbreite ermittelt (beim Kreisquerschnitt bwS= Ac/Da).

(Balken: MinAs nach Gl. 5.16, Platten nach 5.4.3.3 (2): 60% Balken)

Bei Platten (b/h > 4 bzw. so definiert in >>Bemessung - Konfiguration) wird nach 4.3.2.1 (2) keine Schubbewehrung erforderlich, wenn Vsd < VRd1.

28 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

VRd2 Druckstrebentragfähigkeit nach Gl. 4.26

Wirksamkeitsfaktor nach Gl. 4.21

Bei Längsdruck erfolgt eine Abminderung nach Gl. 4.15

Dabei kann eine günstig wirkende Druckbewehrung (im Programm gew. Aso bzw. Asu) berücksichtigt werden.

Ist VRd2 < Vsd, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen.

bw: Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt, bei Kreisquerschnitten der geringsten Breite zwischen Druck- und Zugresultierender.

sMax: maximaler Bügelabstand nach nach 5.4.2.2.(7)

Vsd < VRd2/5: sMax = 0,8 d < 30 cm

Vsd < 2/3 VRd2 sMax = 0,6 d < 30 cm

Vsd > 2/3 VRd2 sMax = 0,3 d < 20 cm

Außerdem ist infolge Rissbreitenbeschränkung nach 4.4.2.3 Tabelle 4.13 ein von der Bügelspannung s = (Vsd- 3 VRd1) / (w bw d) abhängiger Maximalabstand zwischen 30 cm (s = 50 N/mm²) und 5 cm (s = 200 N/mm²) einzuhalten, falls eine Schubbewehrung erforderlich ist und Vsd > 3 VRd1.

Torsion

Die Torsionsbemessung erfolgt über einen Ersatzhohlquerschnitt mit einer Wanddicke tk= A/U > zweifache Betondeckung der Längsbewehrung (im Programm näherungsweise zweifacher Bewehrungsabstand), bei Hohlquerschnitten jedoch nicht größer als die tatsächliche Wandstärke. Bei gegliederten Querschnitten wird näherungsweise nur der Stegquerschnitt angesetzt.

Tsd Torsionsmoment (Grund- bzw. außergewöhnlichen Kombination )

TRd1 von den Betondruckstreben aufnehmbares Torsionsmoment nach Gl. 4.40

Wirksamkeitsfaktor nach Gl. 4.41

Ak ist die von der Mittellinie des Ersatzhohlquerschnittes eingeschlossene Fläche.

Cot Druckstrebenneigung

Nach 4.3.3.2.2 (4) wird bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung

der gleiche Neigungswinkel angesetzt, sonst wird Cot = 1,0 angenommen.

aswT Erforderliche Bügelbewehrung infolge Torsion nach Gl.4.43 mit Tsd=TRd2

Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich aswT mit Faktor 2.

AsL Die zusätzliche Längsbewehrung infolge Torsion ergibt sich nach Gl.4.44

Uk ist der Umfang der von der Mittellinie eingeschlossenen Fläche Ak

Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist die Interaktion nach Gl. 4.47 einzuhalten.

Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asb(Q+T) = asbQ+ asbT.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 29

Schubbemessung nach BS 8110

Querkrafttragfähigkeit

v Die vom Querschnitt aufzunehmende Schubspannung

v = V/(bv d) Gl.3

v fcu< ⋅0 8,

v N mm< 5 2/

V Bemessungswert der Querkraft im GZT

bv Stegbreite

d Nutzhöhe

vc vom Beton allein aufnehmbare Schubspannung nach Tab.3.8

vc R D fcu m= ⋅ ⋅0 79 251 3 1 4 1 3, / // / /b g γ

R = 100 As/(bv d) =< 3

As: Zugbewehrung, die mindestens um das Maß d über den betrachteten Schnitt hinaus fortgeführt wird.

D = 400/d >= 1 (d in mm)

fcu N mm< 40 2/

m = 1,25 Teilsicherheitsbeiwert

vc’ vom Beton unter Längskräften aufnehmbare Schubbspannung nach 3.4.5.12

vc’ = vc + 0,6 N V h/(Ac M) Gl.6a

N: zugehörige Längskraft, Zug negativ

M: zugehöriges Moment

V h/M < 1

vc vc N Ac vc′ < ⋅ + ⋅ ⋅1 ( ) Gl.6b

Eine erhöhte Tragfähigkeit in Auflagernähe nach 3.4.5.8 wird zur Zeit nicht berücksichtigt.

asvV erforderliche Bügelbewehrung nach Tabelle 3.7 (Balken) und 3.16 (Platten) in cm²/m

v < vc bei Platten oder so definierten Querschnitten asvV= 0

v < vc + 0,4 Mindestbewehrung asvV(Min) = 0,4 b / (0,95 fyv)

v > vc + 0,4 asvV = bv (v - vc) / (0,95 fyv)

Bei Längskräften ist vc durch den Wert vc’ zu ersetzen.

30 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Torsionstragfähigkeit

vt Torsionschubspannung

Vollquerschnitt: vt = 2T/(hmin2 (hmax - hmin/3)) BS 8110-2 Gl.2

hmax: größere Seite Rechteck

hmin: kleinere Seite Rechteck

Hohlquerschnitt: vt=T/(2 A ht)

A: Fläche, die von den Wandmittellinien umschlossen wird

ht: Wanddicke

Bei gegliederten Querschnitten wird näherungsweise nur der Stegquerschnitt angesetzt.

vtu maximale Schubspannung

vtu fcu N mm= ⋅ <0 8 5 2, /

Nachweis für Torsion: vt < vtu Y1/55

Y1: größere Bügelabmessung, Y1 < 55

Nachweis bei kombinierter Beanspruchung Schub und Torsion: v + vt < vtu

vtmin: Torsionsschubspannung, ab der eine Torsionsbewehrung notwendig ist

vt fcu N mmmin , , /= ⋅ <0 067 0 4 2

falls vt < vtmin: Mindestschubbewehrung erforderlich asvV(Min) = 0,4 b/(0,95 fyv)

asvT: erforderliche Bügelbewehrung infolge Torsion entsprechend BS 8110-2 2.4.7 in cm²/m

asvT = T / (0,8 X1 Y1 0,95 fyv)

Diese Formel gilt für zweischnittige Bügel.

Asl: zusätzliche Längsbewehrung infolge Torsion entsprechend BS 8110-2 2.4.7

Asl = asvT fyv (X1+Y1) / (fy)

Der gesamte Bügelquerschnitt bei kombinierter Beanspruchung mit Querkraft und Torsion ergibt sich zu asv(V+T) = asvV+ asvT > asvMin

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 31

Schubbemessung nach EN 1992 1-1

Querkraft

Die Querkrafttragfähigkeit wird über ein Fachwerkmodell mit Betondruckstreben und Stahlzugpfosten (Bügel) nachgewiesen. Ein Minimum an Bügeln ergibt sich mit der flachest möglichen Druckstrebenneigung.

Durch eine flachere Neigung reduziert sich jedoch die Druckstrebentragfähigkeit.

Außerdem erhöhen sich auch die Kräfte im Zuggurt, was seinen Niederschlag in der Erhöhung des Versatzmaßes findet.

Schubbemessung für vertikale Schubbewehrung (Bügel):

VEd Bemessungswert der Querkraft (GZT)

VRd,c Die Querkrafttragfähigkeit ohne Bewehrung ergibt sich für den gerissenen Zustand nach Gleichung 6.2

VRd,c= CRdc 1 k (100 l fck)1/3+ k1 cp) bw d >= VRdc (Gl.6.2b)

CRdc: Kalibrierfaktor nach 6.2.2. (1) (NDP)

K1: empirischer Spannungsbeiwert

NDP k1: CRdc

EN 0,15 0,18/c Normalbeton

0,15/c Leichbeton

NA_D 0,12 0,15/c

NA_GB 0,15, 0,18/c, > C50 Test oder wie C50

NA_A = EN = EN

NA_I = EN = EN

NA_B =EN *

=EN *

(*):Erhöhung mit Faktor *1,25 für an den Ecken unterstützte Platten wird z.Zt. nicht berücksichtigt

NA_NL =EN =EN

=EN (Leichtbeton)

NA_CZ = EN = EN

1 Korrekturbeiwert Leichtbeton

K =1+(200/d) <= 2 [d in mm]

Maßstabsfaktor, kleiner mit wachsender Nutzhöhe

l =Asl/(bw d) < 0,02

Zugbewehrung Asl, die mit lbd+d über den betrachteten Querschnitt hinaus geführt wird

cp = NEd/Ac < 0,2 fcd

Spannung (Druck positiv, d.h. höhere Tragfähigkeit !)

bw: kleinste Querschnittsbreite innerhalb der Nutzhöhe

32 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Gleichung 6.2.b

VRd,c > (vmin+k1 cp) bw d

NDP vmin

Normalbeton

Vmin

Leichtbeton

EN 0,035 k3/2 fck1/2 0,028 k3/2 fck1/2

NA_D 0,0520/c k3/2 fck1/2 (d < 600) 0,0375/c k3/2 fck1/2 (d > 800)

0

NA_GB =EN 0,030 k3/2 fck1/2

NA_A =EN

NA_I =EN 0,030 k3/2 fck1/2

NA_B =EN =EN

NA_NL =EN 0,030 k3/2 fck1/2

NA_CZ =EN =EN

NA_GB: > C50 mit fck= 50 N/mm2 oder Zusatzoption „keine Abminderung“

(siehe B2 - Konfiguration)

Optional (siehe B2 - Konfiguration) ist eine Berechnung im ungerissenen Zustand nach Gleichung 6.4 möglich, wenn die Betonrandspannungen kleiner als fctk 0.05/c (NA_D: fctd) sind.

NA_D: gilt außer für vorgespannte Elementdecken

Sonst: gilt nur für Einfeldsysteme aus Spannbeton

( )2wRd,c ctd l cp ctd

I bV f f

S

◊= + a ◊ s ◊

I: Trägheitsmoment

S: Statisches Moment im maßgebenden Schnitt

bw: Breite im maßgebenden Schnitt

cp: Längsspannung im maßgenden Schnitt

al: Beiwert für Vorspannung mit sofortigem Verbund im Bereich der Eintragungslänge, sonst immer 1.0

fctd: Rechenwert der Betonzugfestigkeit

fctd = ct * fctk 0.05 / c

c: Teilsicherheitsbeiwert (siehe Bemessungsgrundlagen)

fctk 0.05: unterer charakteristischer Wert der Betonzugfestigkeit

NDP ct Normalbeton nach 3.1.6 ct Leichtbeton nach 11.3.5

EN 1.0 0,85

NA_D 0.85 0.85

NA_GB =EN =EN

NA_A =EN =EN

NA_I =EN =EN

NA_B =EN =EN

NA_NL =EN =EN

NA_CZ =EN =EN

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 33

Bei Anwendung von Gleichung 6.4 ist zu beachten, dass im Falle veränderlicher Querschnittsbreite oder nicht konstanter Längsspannungen der maßgebende Schnitt nicht im Schwerpunkt des Querschnittes liegt und iterativ gefunden wird. Das bedeutet, dass VRdc auch abhängig von der eingegebenen Längskraft (Minimum maßgebend) und dem eingegebenen Biegemoment (Maximum maßgebend) ist.

Bauteile mit erforderlicher Querkraftbewehrung

Cot Bemessungsziel ist ein Minimum an Schubbewehrung, d.h. gesucht ist der flachest mögliche Druckstrebenwinkel (Max Cot ), für den die Druckstrebentragfähigkeit noch gegeben ist.

Bei gleichzeitiger Torsionsbeanspruchung kann diese maßgebend für den zu wählenden Druckstrebenwinkel werden.

NDP Max Cot Min Cot Bemerkung

EN 2,5 1,0 Bestimmung von aus VRd,max Kriterium

NA_D 3,0 Normalbeton

2,0 Leichtbeton

0,58 Beachte Zusätzliches Rissreibungskriterium

NA_GB = EN2

bei externen Zug 1,0

= EN2 =EN

NA_A 1,6 generell 2,5 wenn Querschnitt überdrückt

= EN2 =EN

NA_I =EN =EN =EN

NA_B 2,0+(k1·cp·bw·d·s)/

(Asw · z · fyd) <= 3

=EN =EN

NA_NL =EN =EN =EN

NA_CZ =EN =EN =EN

NA_B:

Im Falle einer Längsdruckkraft kann der minimale Druckstrebenwinkel kleiner angenommen werden. Da der Grenzwert von der vorhandenen Schubbewehrung abhängt, ist eine Iteration erforderlich.

NAD_D:

Cot <= (1,2 - 1,4 cd/fcd) / (1-VRd,cc/VEd) Gl. 6.7aDE

VRd,cc: Rissreibungskraft

VRd,cc = ßct 0,1 fck1/3 (1 - 1,2 cd/fcd) bw z Gl.6.7.bDE

Optional kann der Druckstrebenwinkel auch vom Nutzer vorgegeben werden ( Bemessungsoptionen) z.B. wenn weitere Schnitte mit dem am maßgebenden Schnitt geltenden Druckstrebenwinkel nachgewiesen werden sollen. Dieser darf aber nicht flacher als der erforderliche sein.

z Hebelarm des angenommenen Fachwerkmodelles entsprechend Biegebemessung (falls nicht bekannt, Annahme von 0,9 d bzw. bei Kreisquerschnitten 0,55 d)

NAD_D: Begrenzung z < d - 2 cv,l (hier cv,l = nomc der Längsbewehrung in der Druckzone, nach /26/ gilt für cv,l > 3cm eine Begrenzung von z < d – cv,l - 3cm)

Der Hebelarm kann auch nutzerdefiniert vorgegeben werden ( Bemessung Ergebnisse).

34 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

aswV Rechnerische Schubbewehrung nach Gl. 6.8

Durch die Wahl des Druckstrebenwinkels auch unter dem Kriterium der Einhaltung von VRdmax ist Gl. 6.12 nachgewiesen.

Es wird geprüft, ob eine Mindestschubbewehrung nach 9.2.2 (5) für Balken bzw. 9.3.1.4 (NAD_D) für Platten maßgebend wird. Diese wird für eine mittlere Stegbreite ermittelt (beim Kreisquerschnitt bwS= Ac/Da).

Bei Kreisquerschnitten wird in Anlehnung an /31/ ein die erforderliche Schubbewehrung vergrößernder Wirksamkeitsfaktor für Rundbügel ermittelt. Dieser berücksichtigt, dass die angreifende Schubkraft i.d.R. nicht parallel zur aufnehmbaren Kraft des Rundbügels verläuft. Je nach betrachteten Schnitt verläuft diese in einem anderen Winkel zur Senkrechten.

Min asw/s= bw sin

(Balken)

nach 9.2.2

(Platten)

nach 9.3.2

Bemerkung

EN 0,08 fck/fyk 0

NA_D 0,16 fctm/fyk 0 wenn VEd < VRdc

Sonst 0.6 *

Übergangsbereich 4 < b/h < 5:

Interpolation zwischen 0 und einfachen Wert (VEd < VRdc) bzw. zwischen 0,6 und einfachen Wert (VEd > VRdc)

NA_GB =EN =EN NA_A 0,15 fctm/fyd =EN

NA_I =EN =EN Entwurf NA

NA_B =EN =EN

NA_NL =EN =EN

NA_CZ =EN =EN

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 35

VRd,max Die Druckstrebentragfähigkeit ergibt sich nach 6.9 bzw. äquivalent in Abhängigkeit von cot alleine zu

VRd,max= bw z cw 1 fcd cot /(1+cot2 )

NDP 1 nach 6.2.3 Bemerkung

EN 1 = 0,6 (1-fck/250)

1 = 0,5 (1-fck/250)

Gl. 6.6N

Gl. 11.6.6N Leichtbeton

NA_D 1 = 0,75

* (1,1-fck/500)

* 1

Normalbeton

> C50

Leichtbeton

NA_A =EN

NA_GB 1 = 0,6 (1-fck/250)

1 = 0,5 (1-fck/250)

Gl. 6.6N

Gl. 11.6.6N Leichtbeton

NA_I 1=0.5 [1]

1 = 0,5 1 (1-fck/250) [4]

Normalbeton

Leichtbeton

NA_B 1 = 0,6 (1-fck/250)

1 = 0,5 (1-fck/250)

Gl. 6.6N

Gl. 11.6.6N Leichtbeton

NA_NL =EN

NA_CZ =EN

Alle NA: von der Erhöhung durch den Ansatz von nur 80 % Bügeltragfähigkeit nach Gl. 6.10a und 6.10b wird nicht Gebrauch gemacht

Für Stahlbeton gilt cw = 1,0

NA_GB: > C50 mit fck= 50 N/mm2 oder Zusatzoption „keine Abminderung“

(siehe B2 - Konfiguration)

fcd darf nach PD 6687:2006 Kapitel 2.3 mit cc=1,0 ermittelt werden

(Option „Erhöhtes fcd nach PD 6687:2006“ siehe B2 - Konfiguration)

NA_B: fcd darf nach 3.1.6 in diesem Fall mit cc=1,0 ermittelt werden

Das Maximum von VRd,max ergibt sich für einen Druckstrebenwinkel von 45°.

Ist VRd,max kleiner als der Bemessungswert der Querkraft, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu erhöhen.

bw Die Breite bw entspricht bei Plattenbalken der Stegbreite b0, bei Schichtenquerschnitten der geringsten Breite im Querschnitt. Bei Kreisquerschnitten entspricht bw nach /27/ der geringsten Breite zwischen Druck- und Zugresultierender. Bei unbekannter Lage der Resultierenden (Moment und Normalkraft sind Null) wird unter der sicheren Annahme eines Abstandes der Druckresultierenden von Da/40 gerechnet.

36 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

sl,max maximaler Bügelabstand nach 9.2.2 (6)

sl,max (NDP nach 9.2.2 (6))

EN 0,75 d (1+cot )

NA_D Differenziert nach Querkraftausnutzung mit einen VRdmax ( = 40°)

NA_GB = EN2

NA_A 0,75 d (1+cot ) <= 250 mm

NA_I =EN

NA_B =EN

NA_NL =EN

NA_CZ 0,75 d (1+cot ) <= 400 mm

NAD_D

VEd < 0,3 VRdmax sMax = 0,7 h Balken: < 30 cm (> C50/60: < 20 cm)

VEd < 0,6 VRdmax sMax = 0,5 h Balken: < 30 cm (> C50/60: < 20 cm)

VEd > 0,6 VRdmax sMax = 0,25 h Balken: < 20 cm

VRdmax darf nach /14/ S. 212 mit = 40 Grad angenommen werden.

Ortbetonergänzung

Bei Querschnitten mit Ortbetonergänzung ist die Tragfähigkeit der Ortbetonfuge nachzuweisen vEdi < vRdi Gl. 6.23

vEdi Zu übertragende Schubkraft je Längeneinheit in der Fuge

vEdi = ß VEd / (z bi) Gl. 6.24

VEd: Bemessungswert der Querkraft

z: Hebelarm der inneren Kräfte, siehe Nachweis Querkraftragfähigkeit

NAD_D: Falls VRd,c > VEd, entfällt die Hebelarmbegrenzung mit cv.

ß: Verhältnis Normalkraft im Ortbeton/Gesamtdruckkraft (Annahme 1,0)

vRdi Bemessungswert des Schubkraftwiderstandes der Fuge

vRdi = c 1 fctd + n + fyd ( sin + cos 0,5 fcd (Gl. 6.25)

NAD_D:

vRdi = c 1 fctd + n + fyd (1,2 sin + cos 0,5 fcd

n Normalspannung senkrecht zur Fuge mit ND = nEd/bi < 0,6 fcd

nEd: Bemessungswert (Druck: unterer, Zug: oberer) der Normalkraft senkrecht zur Fuge je Längeneinheit, Druck positiv.

bi: Wirksame Fugenbreite, ggf. durch aufliegende Fertigteilschalung reduzierte Gesamtbreite.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 37

c Rauhigkeitsbeiwert entsprechend Oberflächenbeschaffenheit

sehr glatt glatt rauh Verzahnt

0,1 0,20 0,40 0,50

NA_D : sehr glatt mit c= 0

Reibungsbeiwert entsprechend Oberflächenbeschaffenheit nach Tabelle 13

sehr glatt glatt rauh Verzahnt

0,5 0,6 0,7 0,9

Festigkeitsabminderungsbeiwert nach 6.2.2 (6)

sehr glatt glatt rauh Verzahnt

EN

Normalbeton

Leichtbeton

0,6 (1-fck/250)

0,5 (1-fck/250)

0,6 (1-fck/250)

0,5 (1-fck/250)

0,6 (1-fck/250)

0,5 (1-fck/250)

0,6 (1-fck/250)

0,5 (1-fck/250)

NA_D

(NCCI)

Normalbeton

> C50

Leichtbeton

0,0

0,0

* 1

0,2

* (1,1-fck/500)

* 1

0,5

* (1,1-fck/500)

* 1

0,7

* (1,1-fck/500)

* 1

Schubbewehrungsgrad der Fuge

= Asw / Ai = asw / bi

asw Die Fuge kreuzende erforderliche Bügelbewehrung damit vRdi = vEdi

vrdi0 = c fctd + n Tragfähigkeit ohne Fugenbewehrung

asw = bi (vEdi – vRdi0) / (fyd k sin cos )

Torsion

Die Torsionsbemessung erfolgt über einen Ersatzhohlquerschnitt. Bei gegliederten Querschnitten wird näherungsweise nur der Stegquerschnitt angesetzt.

tef,i: effektive Wanddicke

tef,I = A / U

< 2 d1 doppelter Abstand der Bewehrung

< ba tatsächliche Wanddicke bei Hohlquerschnitten

Das Erfordernis, anstelle einer Mindestbewehrung die Torsionstragfähigkeit explizit nachzuweisen, ergibt sich aus der Interaktionsgleichung 6.31, die für NA_D abweichend geregelt ist.

NAD_A, NAD_GB: TEd/TRdc + VEd/VRd,c < 1 Gl.6.31

TEd: Bemessungswert des Torsionsmomentes

TRdc: Allein durch die Betonzugfestigkeit fctd aufnehmbares Torsionsmoment

TRdc= fctd t 2 Ak nach /55/ S.6-13

Wt: Widerstandsmoment nach DAfStb H.220 S.104

38 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

NAD_D:

TEd < VEd bw/4,5 Gl. 6.31aDE

VEd (1+ (4,5 Ted) / (VEd bw)) <= VRdct Gl. 6.31bDE

Cot Bemessungsziel ist ein Minimum an Schubbewehrung, d.h. gesucht ist der flachest mögliche Druckstrebenwinkel (Max Cot ), für den die Druckstrebentragfähigkeit noch gegeben ist.

Damit ergibt sich aber nicht zwangsläufig ein Bewehrungsminimum, da der Anteil der Torsionslängsbewehrung mit flacheren Druckstreben stark steigt.

Bei gleichzeitiger Querkraftbeanspruchung kann die Interaktion aus Querkraft und Torsion maßgebend für die Bemessung werden.

Vereinfachend darf die Torsion alleine unter der Annahme Cot = 1,0 (45 Grad) nachgewiesen werden (siehe Bemessung Konfiguration).

NAD_D:

Ermittlung des Druckstrebenwinkels nach /51/, S. 173 ff.

Cot <= (1,2 - 1,4 cd/fcd) /(1-VRd,cc/VEd, T+V) entspr. Gl. 6.7.aDE

VEd, T+V: Resultierende Beanspruchung

VEd,T+V = VEd,T + VEd,V teff,I / bw

VEd,V: Beanspruchung aus Querkraft

VEd,T: Beanspruchung aus Torsion VEd,T = Ted zi / (2 A)

VRd,cc: Rissreibungskraft entspr. Gl.6.7.bDE

VRd,cc = ßct 0,1 fck1/3 (1 - 1,2 cd/fcd) tef,i z

TRd,max Bemessungswert des aufnehmbaren Torsionsmomentes nach Gl. 6.30 bzw. äquivalent in Abhängigkeit von cot alleine zu:

Trd,max= 2 cw fcd Ak tef,I cot (1 + cot2 )

Ak: Fläche, die von den Wandmittellinien eingeschlossen wird

NDP (6.2.2. (6)) Bemerkung

EN

= 0,6 (1-fck/250)

= 0,5 (1-fck/250)

Analog Querkraft

Normalbeton

Leichtbeton

D (NCCI)

= 0,525

* (1,1-fck/500)

* 1

gegenüber Querkraft abgemindert

Normalbeton

> C50

Leichtbeton

A =EN

GB =EN

NA_I (NCCI)

=0,5

= 0,51 (1-fck/250) [4] S.63

Analog Querkraft

Normalbeton

Leichtbeton

NA_NL =EN

NA_B (NCCI)

1 = 0,6 (1-fck/250)/cc

1 = 0,5 (1-fck/250) /cc

Analog Querkraft

Normalbeton

Leichtbeton

NA_CZ =EN

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 39

cw: Beiwert analog VRd,max

Das Maximum von TRd,max ergibt sich für einen Druckstrebenwinkel von 45 Grad. Ist TRd,max kleiner als der Bemessungswert des Torsionsmomentes, ist der Querschnitt oder die Betonklasse zu vergrößern.

aswT Die erforderliche Bügelbewehrung infolge Torsion ergibt sich z.B. nach

aswT* = TEd/(2 Ak fyd cot ) /46/ S. 283

Da Torsionsbügel nur einschnittig angerechnet werden dürfen, ergibt sich aswT= 2 aswT

Die Mindestschubbewehrung wird maßgebend, falls aswV+ aswT < aswMin

AsL Die zusätzliche Längsbewehrung infolge Torsion

Asl = TEd cot Uk/(2 Ak fyd) Gl. 6.28

Uk: Umfang der Fläche Ak

Bei kombinierter Querkraft- und Torsionsbeanspruchung ist folgende Interaktionsbedingung einzuhalten :

TEd/TRd,max + VEd/VRd,max < 1 Gl. 6.29

NAD_D:

Für Kompaktquerschnitte gilt

(TEd/TRd,max)2 + (VEd/VRd,max)2 < 1 Gl. 6.29aDE

Der Bügelquerschnitt ergibt sich zu asw(V+T)= aswV+ aswT.

40 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Nachweise der Gebrauchstauglichkeit

Rissbreitennachweis nach DIN 1045 7/88

Der Nachweis wird für die statisch erforderliche Bewehrung gemäß Abschnitt 17.6.3 geführt, wenn sich nach Zustand I Betonrandzugspannungen einstellen. Auf der Grundlage der Rissformel in Heft 400 d.DafStb, S. 163 Gl. 9 wird für eine gewählte Bewehrung der Grenzdurchmesser ermittelt.

Die zulässige Rissbreite wk ergibt sich nach Heft 400 S.159 entsprechend der Einordnung in die Umweltbedingungen nach DIN 1045 Tabelle 10. Für Bauteile nach Zeile 1 gilt wk < 0,4 mm, nach Zeile 2 wk< 0,25 mm. Infolge Lastbeanspruchung gilt als Faktor zur Berücksichtigung von Streuungen K4= 1,7.

Der Rissabstand nach Gl. 5 wird beeinflusst von der Zugspannungsverteilung (Beiwert K3 nach Bild 3a), den Verbundeigenschaften des Betonstahles (k2=0,8 für gerippt, 1,6 für glatt), dem gesuchten Grenzdurchmesser und dem Bewehrungsgrad in der wirksamen Zugzone hw.

Die mittlere Stahldehnung nach Gl. 6 wird vor allem von den Stahlspannungen Sigs für die Lastkombination des Rissbreitennachweises im Zustand II und einem Faktor für die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen bestimmt. Sigs ergibt sich aus den mit der gewählten Bewehrung ermittelten Dehnungen im Zustand II (siehe Ermittlung der effektiven Steifigkeit unter Gebrauchslasten ). Der Faktor für die Mitwirkung des Betons zwischen den Rissen ergibt sich nach Gleichung 10. Dabei gilt infolge angenommener Dauerlastbeanspruchung ß2= 0,5. Infolge unterschiedlicher Verbundeigenschaften der Stähle gilt für Rippenstahl ß1= 1,0, für glatten Stahl ß1= 0,5. Bei großen Abstand von Stahlspannung unter Last zu Stahlspannung unter Riss-Schnittgrößen nähert sich der Faktor 1,0, liegen diese dagegen nahe beieinander nähert sich dieser 0,5.

Verglichen mit Tabelle 14 können sich vor allem im Bereich größerer Bewehrungsgrade auch größere Grenzdurchmesser ergeben, da die diesen Tabellen zu Grunde liegenden Vereinfachungen durch Anwendung der genaueren Rissformel entfallen.

Ergibt sich ein nicht realisierbarer Grenzdurchmesser, ist in der Regel die gewählte Bewehrung zu erhöhen.

Die erforderliche Mindestbewehrung kann im Programm derart ermittelt werden, dass das einzugebende Moment für den Rissbreitennachweis dem Rissmoment entspricht und die Bewehrung so lange variiert wird, bis sich der gewünschte Grenzdurchmesser ergibt. Dabei ist jedoch zu beachten, dass für ßwN< 35 das Rissmoment zu vergrößern ist und Sigs < 0,8 ßs einzuhalten ist.

Rissbreitennachweis nach DIN 1045-1

Der Nachweis wird für die statisch erforderliche Bewehrung gemäß Abschnitt 11.2.4 geführt, wenn sich nach Zustand I Betonrandzugspannungen einstellen. Dabei sind nach Tabelle 18 Schnittkräfte der sich aus der Anforderungsklasse ergebenden Schnittkraftkombination zu verwenden.

Auf der Grundlage der Rissformel Gl.135 wird für eine gewählte Bewehrung der Grenzdurchmesser ermittelt. Die Rissbreite ergibt sich aus dem maximalen Rissabstand srmax und der mittleren Dehnungsdifferenz sm - cm von Beton und Stahl.

Die zulässige Rissbreite wk ergibt sich nach Tabelle 18 entsprechend der Anforderungsklasse ( siehe Dauerhaftigkeit/Kriechzahl nach DIN 1045-1).

Bei der Rissbildung wird die Zugbeanspruchung des Betons (Resultierende FcR= s As, s Spannungszuwachs infolge Zustand II) auf den Betonstahl umgelagert.

Die Spannungen im Zustand II werden unter der Annahme einer linearen Spannungsdehnungslinie des Betons ermittelt mit Ecm nach /14/ H 9-1.

Falls im Dialog Dauerhaftigkeit/Kriechzahl nach DIN 1045-1 nicht deaktiviert, kann die infolge Kriechverformung erhöhte Stahlspannung berücksichtigt werden (siehe /13/ S.130 ff.).

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 41

Bei dicken Bauteilen kommt es zu einer Sammelrissbildung, d.h., nur ein äußerer Bereich der Zugzone, die effektiven Zugzone nach Bild 53, kann als wirksam angesehen werden (FcR= fcteff Act,eff).

Der maximale Rissabstand srmax ergibt sich aus der zweifachen für die Kraft FcR benötigten Eintragungslänge über Verbundspannungen (FcR= bkUs lsmax mit srmax= 2lsmax).

Mit bk= 1,8 fcteff und Us= 4As/ds ergibt sich nach /6/ unmittelbar die linke Seite von Gleichung 137 für dicke, die rechte Seite für dünne Bauteile.

Beim Einsatz von glattem Stahl, z.B. bei Gitterträgern nach bauaufsichtlicher Zulassung, sind reduzierte Verbundspannungen zu berücksichtigen. Entsprechend /35/ ergibt sich ein Faktor von 0,388.

Die Differenz der mittleren Dehnung von Stahl und Beton sm - cm wird für Erstrissbildung und abgeschlossene Rissbildung unterschieden.

Bei Erstrissbildung gilt Sigs As <= fcteff Act. Die mittlere Stahldehnung über die Eintragungslänge ergibt sich aus der Differenz der Rissdehnung im Zustand II sr2 und der Dehnung im Zustand I sr1 am Beginn der Einleitung mit einem Völligkeitsfaktor t = 0,4 für Dauerlast zu sm = sr2- 0,4(sr2- sr1). Die mittlere Betondehnung cm ergibt sich aus der Differenz sr1 am Beginn der Einleitung und 0 am Riss. Damit ergibt sich sm- cm = 0,6 sr2 = 0,6s/ Es entsprechend der rechten Seite von Gleichung 136.

Für abgeschlossene Rissbildung gilt sm = s2- t (sr2- sr1) mit s2 als Dehnung des Stahles infolge Last und dem Völligkeitsbeiwert t= 0,4. Die mittlere Betondehnung ergibt sich wie oben zu cm= t sr1.

Damit ergibt sich für die mittlere Dehnungsdifferenz sm- cm = s2 - 0,4 sr2 = s - 0,4fcteff/eff(1+ eeff) / Es entsprechend der linken Seite von Gleichung 136. Dabei ist eff der Bewehrungsgrad in der wirksamen Zugzone Aceff. Die Höhe der effektiven Zugzone heff ergibt sich nach Bild 53 mit 2,5 d1 < (h-x) / 2 bzw. mit < h/2 bei zentrischem Zug, mit d1=Randabstand der Zugbewehrung und x=Druckzonenhöhe im Zustand I. Entsprechend /26/ S.72 wird die Vergrößerung von heff = 2,5... 5,0 d1 bei hohen Bauteilen (Biegung h/d1 > 10 bzw. zentrischer Zug h/d1> 5) berücksichtigt.

Die bei Plattenbalken gegenüber der vollen Plattenbalkenbreite reduzierte Wirkungszone der Bewehrung (vgl. /18/ S.170) kann berücksichtigt werden siehe Steuerung Rissbreitennachweis.

Verglichen mit Tabelle 20 können sich durch die genauere Berechnung auch größere Grenzdurchmesser ergeben, da die der Tabelle zu Grunde liegenden Vereinfachungen entfallen.

Ergibt sich ein nicht realisierbarer Grenzdurchmesser, ist in der Regel die gewählte Bewehrung zu erhöhen.

Bei Kreisquerschnitten wird eff = As/Aceff in Anlehnung an /30/ wegen der kontinuierlich verteilten Bewehrung bezogen auf einen Kreisring mit der Dicke heff ermittelt, allerdings

genauer mit A D D hc eff eff, 4

22 2b ge j . Bei Kreisringquerschnitten gilt zusätzlich

Aceff < = Ac.

Die Ergebnisse stimmen mit denen in /30/ gut überein, sofern man die dortige Annahme von n = 10 durch Ansatz geringer Kriechzahlen einhält. Für t = ergeben sich infolge der dann höheren Kriechzahlen allerdings ungünstigere Ergebnisse.

42 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite

Mit dem Programm kann eine Mindestbewehrung nach DIN 1045-1 11.2.2 für Biegezwang oben und unten ermittelt werden, wenn die entsprechende Option im Dialog Steuerung Rissbreitennachweis aktiviert wurde.

Für Plattenbalken wird die Mindestbewehrung für Steg und Gurt gesondert ermittelt, wobei der Steg das über die Querschnittshöhe verlaufende Rechteck umfasst, der Gurt nur die abliegenden Teile der Platte. Für Steg- und Gurt können differenzierte Stabdurchmesser berücksichtigt werden.

Wenn für den Rissbreitennachweis keine nutzerdefinierte Zugfestigkeit des Betons vorgegeben wurde, wird mit fcteff >= 3 N/mm² entsprechend (5) gerechnet.

Bei innerem Zwang darf mit einem Beiwert k < 1,0 gerechnet werden, wobei h die jeweils kleinere Abmessung des Teilquerschnittes ist.

Der Beiwert kc ergibt sich entsprechend (5) für jeden Teilquerschnitt mit der Spannung im Schwerpunkt des Teilquerschnittes, wenn der Gesamtquerschnitt im Zustand I mit den Riss-Schnittkräften beansprucht wird.

Nach Fischer (Seminarunterlagen DIN 1045-1 Friedrich+Lochner GmbH) erhält man die erforderliche Bewehrung nach Substitution von Fs = Fcr = k kc fcteff Act über folgende Gleichung:

A d FF F

E w fs s cr effcr cr eff

s k ct,eff

= ⋅ ⋅− ⋅

⋅ ⋅ ⋅,,,

,

0 4

3 6

Siehe / 7 /

Für Kreisquerschnitte ist die Ermittlung von kc mit Gleichung 128 nicht möglich. Statt dessen sollte hier der Nachweis für das Rissmoment geführt werden, welches beim Nachweis unter Lastbeanspruchung mit ausgegeben wird. Mcr = (fcteff - N/Ac) Wc mit Wc= /32 D³ für Kreisquerschnitte.

Dieses darf bei jungem Beton zusätzlich mit dem Faktor fct(t) / fct(t = 28d) abgemindert werden.

Für t > = 28d und fcteff < 3 N/mm² ist das Rissmoment mit dem Faktor 3/fcteff zu vergrößern.

DIN 1045-1 (2008):

Für Zuggurte in Hohlkästen und Plattenbalken darf kc günstiger ermittelt werden

kc = 0,9 Fcr,Gurt/(Act fcteff) >= 0,5

Fcr: Gurtkraft unter Rissschnittgrößen

Rissbreitennachweis nach ÖNorm B4700

Der Nachweis für Lastbeanspruchung wird gemäß Abschnitt 4.2.3 geführt, wenn sich nach Zustand I Betonrandzugspannungen einstellen.

Die zulässige Rissbreite wk ergibt sich nach 4.2.1 (2) für Stahlbetonbauteile zu 0,3 mm. Für besondere Anwendungsfälle kann eine Beschränkung der Rissbreite auf 0,15 mm erforderlich sein.

Nach /32/ ergeben sich die Grenzdurchmesser in den Tabellen 9 und 10 nach EC2 Gl. 4.80 unter folgenden Annahmen:

Der Faktor zur Berücksichtigung von Streuungen wird mit 1,7 angenommen.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 43

Der Rissabstand srm nach EC2 Gl. 4.82 wird beeinflusst von der Zugspannungsverteilung k2, dem Beiwert für die Verbundeigenschaften des Betonstahles k1, dem gesuchten Grenzdurchmesser ds und dem Bewehrungsgrad r in der wirksamen Zugzone Aceff.

Annahmen nach /32/:

k2 = 0,5

Bei überwiegendem Zug mit Nulllinie unter Rissschnittgrößen außerhalb des Querschnittes wird nur die Bewehrung eines Zugrandes berücksichtigt, was k2 = 1,0 entspricht.

k1 = 0,8

für gerippten Stahl

an Stelle von ds/r mit r = As/Aceff Verwendung von dsr/(2 t)

mit t = As/Act und dsr = ds 2 2,5 h1/ht

Die bei Plattenbalken gegenüber der vollen Plattenbalkenbreite reduzierte Wirkungszone der Bewehrung (vgl. /18/ S.170) kann berücksichtigt werden siehe Steuerung Rissbreitennachweis.

Die mittlere Stahldehnung sm ergibt sich nach EC2 Gl. 4.81. Dabei ist s die Stahlspannung im Zustand II, ermittelt unter Ansatz einer linearen Spannungsdehnungslinie des Betons für die maßgebende Lastkombination (Stahlbetonbauteile: quasi-ständige Lastkombination).

Der Faktor (1 - 1 2 (sR / s)2) berücksichtigt die Mitwirkung des Betons zwischen den

Rissen. Der Beiwert 1 zur Berücksichtigung der Verbundeigenschaften für Rippenstahl ist 1,0, der Beiwert 2 für Dauerlast ist 0,5.

Nach /32/ ergibt sich sR = 0,5 fcteff/t, mit fcteff = 2,5 N/mm² unabhängig vom Beton ist sR = 1,25/t,

außerdem gilt ((1 - 1 2 (sR / s)2) >= 0,5.

Der so ermittelte Durchmesser dsr ist nach den Gleichung 65, 66, 67 in den Grenzdurchmesser dsg umzurechnen.

Verglichen mit EC2 Gl. 4.80 können sich bei Biegung oder Biegung mit Längszugkraft und k2 = 0,5 günstigere Grenzdurchmesser ergeben.

Ergibt sich ein nicht realisierbarer Grenzdurchmesser, ist in der Regel die gewählte Bewehrung zu erhöhen.

Risseverteilende Bewehrung bei überwiegender Zwangsbeanspruchung

Mit dem Programm kann eine risseverteilende Bewehrung bei überwiegender Zwangsbeanspruchung (Mindestbewehrung zur Rissbreitenbegrenzung) nach 4.2.2 für Biegezwang oben und unten ermittelt werden, wenn die entsprechende Option im Dialog Steuerung Rissbreitennachweis aktiviert wurde.

Für einen gewählten Durchmesser dsg ergibt sich unter Beachtung von Gleichung 65 dsr und nach Tabelle 8a bzw. 8b und Gleichung 64 die erforderliche Bewehrung.

Für Plattenbalken mit ht > hf wird nach 4.2.2. (8) die Mindestbewehrung für Steg und Gurt gesondert ermittelt, wobei der Steg das über die Querschnittshöhe verlaufende Rechteck umfasst, der Gurt nur die abliegenden Teile der Platte. Die Gurtbewehrung wird in Erwartung von Trennrissen ermittelt (kht nach Gl. 67, t= 2. tr), die ausgewiesene Bewehrung ist auf beide Gurtoberflächen zu verteilen.

Für Betone > B30 ist nach 4.2.2 (4) dsr= dsg*fckw/30 zu berücksichtigen.

Bei innerem Zwang darf die erforderliche Bewehrung nach 4.2.2. (5) mit einem Beiwert k < 1,0 abgemindert werden, wobei h die jeweils kleinere Abmessung des Teilquerschnittes ist.

44 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Rissbreitennachweis nach EC2 (Italien)

Der Nachweis wird für die statisch erforderliche Bewehrung gemäß Abschnitt 4.4.2 geführt, wenn sich nach Zustand I Betonrandzugspannungen einstellen. Auf der Grundlage der Rissformel Gl. 4.80 wird für eine gewählte Bewehrung der Grenzdurchmesser ermittelt.

Die zulässige Rissbreite wk ergibt sich nach 4.4.2.1 (6) für Stahlbetonbauteile zu 0,3 mm, für besondere Anwendungsfälle kann eine weitergehende Beschränkung der Rissbreiten erforderlich sein. Vom Programm werden in Anlehnung an DAfStb Heft 425 0,2 mm bzw. 0,15 mm angeboten.

Der Faktor zur Berücksichtigung von Streuungen wird nach 4.4.1.2 (2) für Lastbeanspruchung mit 1,7 angenommen.

Der Rissabstand srm nach Gl. 4.82 wird beeinflusst von der Zugspannungsverteilung (Beiwert k2 nach /16/ Bild 10.4), den Verbundeigenschaften des Betonstahles (k1 = 0,8 für gerippten Stahl), dem gesuchten Grenzdurchmesser und dem Bewehrungsgrad r in der wirksamen Zugzone Aceff. Die Höhe der effektiven Zugzone heff ergibt sich nach (3) und Bild 4.33 mit 2,5 d1 < (h-x)/3 mit d1 = Randabstand der Zugbewehrung und x = Druckzonenhöhe im Zustand II. Die bei Plattenbalken gegenüber der vollen Plattenbalkenbreite reduzierte Wirkungszone der Bewehrung (vgl. /18/ S.170) kann berücksichtigt werden siehe Steuerung Rissbreitennachweis.

Die mittlere Stahldehnung sm ergibt sich nach Gl. 4.81. Dabei ist s die Stahlspannung im Zustand II, ermittelt unter Ansatz einer linearen Spannungsdehnungslinie des Betons für die maßgebende Lastkombination (Stahlbetonbauteile: quasi-ständige Lastkombination).

Der Faktor (1-1/2 (sR /s)2) berücksichtigt die Mitwirkung des Betons zwischen den

Rissen. Der Beiwert 1 zur Berücksichtigung der Verbundeigenschaften für Rippenstahl ist 1,0, der Beiwert 2 für Dauerlast ist 0,5.

Bei großem Abstand von Stahlspannung unter Last s zu Stahlspannung unter Rissschnittgrößen sR nähert sich der Faktor 1,0. Liegen diese dagegen nahe beieinander, nähert sich der Faktor 0,5. Nach /17/ Gl. 10.13 gilt außerdem 1/2 (sR /s)

2 <= 0,6.

Verglichen mit Tabelle 4.11 können sich vor allem im Bereich größerer Bewehrungsgrade auch günstigere Grenzdurchmesser ergeben, da die diesen Tabellen zu Grunde liegenden Vereinfachungen durch Anwendung der genaueren Rissformel entfallen.

Ergibt sich ein nicht realisierbarer Grenzdurchmesser, ist in der Regel die gewählte Bewehrung zu erhöhen.

Mindestbewehrung zur Begrenzung der Rissbreite

Mit dem Programm kann eine Mindestbewehrung nach 4.4.2.2 für Biegezwang oben und unten ermittelt werden, wenn die entsprechende Option im Dialog Steuerung Rissbreitennachweis aktiviert wurde.

Für Plattenbalken wird die Mindestbewehrung für Steg und Gurt gesondert ermittelt, wobei der Steg das über die Querschnittshöhe verlaufende Rechteck umfasst, der Gurt nur die abliegenden Teile der Platte. Für Steg- und Gurt können differenzierte Stabdurchmesser berücksichtigt werden.

Wenn für den Rissbreitennachweis keine nutzerdefinierte Zugfestigkeit des Betons vorgegeben wurde, wird mit fcteff >= 3 N/mm² entsprechend (3) gerechnet.

Bei innerem Zwang darf mit einem Beiwert k < 1,0 gerechnet werden, wobei h die jeweils kleinere Abmessung des Teilquerschnittes ist.

Der Beiwert zur Berücksichtigung der Spannungsverteilung kc=0,4 (1+ c/(k1 fcteff)) ergibt sich in Analogie zu DIN 1045-1 11.2.2. Gl. 128 und wird für jeden Teilquerschnitt getrennt ermittelt. Dabei ist c die Spannung im Schwerpunkt des Teilquerschnittes, wenn der Gesamtquerschnitt im Zustand I mit den Rissschnittkräften beansprucht wird. Für Zugnormalkraft ist k1 = 2/3, für Drucknormalkraft gilt k1 = 1,5 (h < 1 m) bzw. k1 = 1,5 h (h >= 1m).

Nach /17/ ergibt sich der normierte Durchmesser aus dem gewählten Durchmesser Ds zu Ds* = Ds/f mit f = fctm/2,5 h/(10 (h-d)) >= fctm/2,5.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 45

Für Ds* wird in Tabelle 4.11 (zul. wk = 0,3 mm), /17/ Tab.10.1 (zul. wk = 0,15 und 0,2 mm) die Stahlspannung abgelesen, mit der die zulässige Rissbreite noch eingehalten ist. Außerdem darf die Stahlspannung die Fließgrenze fyk nicht übersteigen.

Nach Gl.78 ergibt sich die erforderliche Mindestbewehrung As = k kc fcteff Act/s.

Rissbreitennachweis nach EN 1992 1-1

Auf der Grundlage der Rissformel Gl. 7.8 wird für eine äußere Belastung entsprechend der maßgebenden Einwirkungskombination und für eine gewählte Bewehrung der maximale Grenzdurchmesser ermittelt, für den die zulässige Rissbreite eingehalten ist.

wk = sr,max * (sm- cm)

Maßgebende Einwirkungskombination und zulässige Rissbreite nach Tab. 7.1 (NDP)

Stahlbetonbauteile ab Expositionsklasse XC2 sind in den meisten betrachteten NA’s übereinstimmend für eine zulässige Rissbreite von 0,3 mm nachzuweisen.

Der Nachweis für XC1 erfolgt aus ästhetischen Gründen für eine Rissbreite von 0,4 mm (Ausnahme GB: 0,3 mm)

Maßgebende Lastkombination ist die quasi- ständige Lastkombination (Qk).

Wesentlich davon abweichende Anforderungen gelten in Italien.

Anforderungen an Stahlbetonbauteile nach Tab.7.1

X0, XC1 XC2/XC3/XC4 XS1-3, XD1-3 Bemerkung

EN 0,4 + Qk 0,3 + Qk 0,3 + Qk

D =EN =EN =EN

GB 0,3 + Qk =EN =EN

A =EN =EN =EN

I AO

0,3 + Qk

0,4 + Hk

AA

0,2 + Qk

0,3 + Hk

AM

0,2 + Qk

0,2 + Hk

Gewöhnlich=AO

X0,XC1-3,XF1

Aggressiv==AA

XC4, XD1, XS1,

XF2-3, XA1-2

Sehr aggressiv=AM

XD2-3,XS2-3, XA3, XF4

NA_B EI

0,4 + Qk

EE1,EE2, EE3

0,3 + Qk

EE4, ES1, 2, 3, 4

0,3 + Qk

Zuordnung erfolgt über Milieuklassen nach NBN B 15-001

NA_NL =EN =EN =EN

NA_CZ =EN =EN =EN

NA_NL: bei einem gewählten Bewehrungsabstand c > cnom besteht die Möglichkeit der Abminderung der zulässigen Rissbreite mit dem Faktor kx= c/cnom (1<= kx <= 2). Das kann zur Zeit im Programm nicht automatisch berücksichtigt werden, da der Rissbreitennachweis durch die Ermittlung des Grenzdurchmessers geführt wird, d.h. der letztlich gewählte Durchmesser und damit der Bewehrungsabstand sind nicht exakt bekannt. Eine Inanspruchnahme der günstigeren zulässigen Rissbreite ist aber mit Hilfe der nutzerdefinierten Eingabe von zul wk möglich.

46 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Wegen der höheren Korrosionsempfindlichkeit der Spannstähle werden für Spannbetonbauteile höhere Anforderungen hinsichtlich der nachzuweisenden Lastkombination (seltene (Sk), häufige (Hk)) und der zulässigen Rissbreite gestellt, ggf. ist ein Nachweis der Dekompression (Dek.) gefordert.

Dies ist in den nationalen Anhängen unterschiedlich geregelt.

Spannbeton im Verbund:

X0, XC1 XC2/XC4 XS1-3, XD1-3

EN 0,2 + Hk 0,2+ Hk

Dek. Qk

Dek. Hk

NA_D =EN =EN

nachträglicher Verbund:

0,2+ Hk und Dek. Qk

Sofortiger Verbund

0,2 + Sk und Dek. Hk

NA_GB =EN =EN =EN

NA_A =EN =EN nachträglicher Verbund:

0,2+ Hk und Dek. Qk

Sofortiger Verbund

0,2 + Sk und Dek. Hk

NA_I AO

0,3 + Qk

0,2 + Hk

AA

0,2 + Hk

Dek.+ Qk

AM

Dek. + Qk

Sigt + Sk

Gewöhnlich=AO

X0,XC1-3,XF1

Aggressiv==AA

XC4, XD1, XS1,

XF2-3, XA1-2

Sehr aggressiv=AM

XD2-3,XS2-3, XA3, XF4

NA_NL =EN =EN =EN

NA_B EI

0,2 + Hk

EE1,EE2, EE3

0,2+ Hk

Dek. Qk

EE4, ES1, 2, 3, 4

Dek. Hk

Zuordnung erfolgt über Milieuklassen nach NBN B 15-001

NA_CZ =EN =EN =EN

Die Rissbreite ergibt sich aus dem maximalen Rissabstand srmax und der mittleren Dehnungsdifferenz sm - cm von Beton und Stahl.

sm- cm: mittlere Dehnungsdifferenz zwischen Stahl und Beton (Gl.7.9)

ε εσ

ρα ρ

σsm cm

s tct,eff

p effe p eff

s

s

s

kf

E E− =

− +≥,

,

,

1

0 6

d i

kt : 0,6 kurzzeitige Lastwirkung (im Programm nicht berücksichtigt)

0,4 langfristige Lastwirkung

s : Stahlspannung im Zustand II

Ermittlung mit Eceff = Ecm/(1 + (t=))

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 47

e = Es / Eceff

eff : Bewehrungsgrad in der effektiven Zugzone

eff = (As+ Ap * 12) / Aceff

As: Betonstahlfläche innerhalb Aceff

Ap: Spannstahlfläche innerhalb Aceff

: Faktor für Verbundeigenschaften Spannstahl

Aceff : Fläche der effektiven Zugzone

Aceff = heff beff

heff 2,5 D1 < (h-X0II)/2

X0II: Druckzonenhöhe im Zustand II

falls keine Bewehrung mit Abstand < heff

vorhanden gilt heff = (h-X0I)/2

beff wirksame Zugzonenbreite bei Plattenbalken

NA_D:

nach /5/ S.191 entsprechend der zulässigen Auslagerungsbreite der Zugbewehrung

beff <=( 0,5 beff,i(Z.I)) + bw <= bf (NCI zu 9.2.1.2 (2))

Eingabe: siehe B2 - Dialog zur Steuerung des Rissbreitennachweises

Sr,max: maximaler Rissabstand:

s k ck k k

rp eff

,max,

= ⋅ +⋅ ⋅ ⋅

31 2 4 φ

ρ

k1: Beiwert Bewehrung Verbundeigenschaften

0,8 gute Verbundeigenschaften

1,6 schlechte Verbundeigenschaften

k2: Beiwert für Dehnungsverteilung

Biegung: 0,5

Zug 1,0

Biegung + Zug (1 + 2) / (2 1)

c: Betondeckung Längsbewehrung

: mittlerer Durchmesser der Zugbewehrung

NDP k3 k4

EN 3,4 0,425

NA_D 0 1/(3,6 k1 k2) < s/(3,6 fct,eff)

NA_GB =EN =EN

NA_A 0 1/(3,6 k1 k2) < s/(3.6 fct,eff)

NA_I =EN =EN

NA_B =EN =EN

NA_NL =EN =EN

NA_CZ =EN =EN

48 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Der Grenzdurchmesser ergibt sich durch Umstellung der Rissformel nach .

Verglichen mit Tabelle 7.2 können sich günstigere (größere) Grenzdurchmesser ergeben, da die der Tabelle zu Grunde liegenden Vereinfachungen entfallen.

Ergibt sich ein nicht realisierbarer Grenzdurchmesser, ist in der Regel die gewählte Bewehrung zu erhöhen.

Mindestbewehrung infolge Zwang:

Mit dem Programm kann eine Mindestbewehrung nach 7.3.2 für Biegezwang oben und unten ermittelt werden, wenn die entsprechende Option im Dialog Steuerung Rissbreitennachweis aktiviert wurde.

Für Plattenbalken wird die Mindestbewehrung für Steg und Gurt gesondert ermittelt, wobei der Steg das über die Querschnittshöhe verlaufende Rechteck umfasst, der Gurt nur die abliegenden Teile der Platte. Für Steg- und Gurt können differenzierte Stabdurchmesser berücksichtigt werden.

As,min s = kc k fct,eff Act (Gl.7.1)

k Beiwert bei nichtlinear verteilten Eigenspannungen

1,0 (h <= 300 mm)... 0,65 (h >= 800 mm)

h: Steghöhe bzw. Gurtbreite

NA_D: kleinerer Wert des Teilquerschnittes

bei inneren Zwang gilt k 0,8

fct,eff Zugfestigkeit, fctm (t <= 28d)

NA_D: >= 2,9 N/mm2 wenn t >= 28 d

kc Beiwert zur Spannungsverteilung

kc = 0,4 ( 1 - c / (k1 fct,eff h/h’))

c: Betonspannung (Zustand I) unter Rissschnittkräften

im Schwerpunkt des Teilquerschnittes

Gurte Hohlkasten, T-Querschnitte, für Rissschnittkräfte vollst. unter Zug

kc = 0,9 Fcr / (Act fct,eff) >= 0,5

Fcr: Zugkraft im Gurt unter Rissschnittkräften (Zustand I)

s: Tab. 7.2N mit Ds1, Herleitung siehe /54/ S.7-6

Ds1 = Ds fct0 / fct,eff 2 (h-d)/ (kc hcr)

NA_D, NA_A:

MitFs Fcr k kc fcteff Act= = ◊ ◊ ◊ lässt sich mit Hilfe der im Kapitel „Nachweis der Rissbreite nach DIN 1045-1“ behandelten Formeln (1.3) (Fcr < Fcre=Aceff * fcteff) bzw. (2.3) (Fcr > Fcre) die erforderliche Mindestbewehrung ermitteln.

( )ds 1 t Fs FsAs

3.6 Es wk fcteff

◊ - b ◊ ◊=

◊ ◊ ◊

(1.3)

( )ds Fcre Fs t FcreAs

3.6 Es wk fcteff

◊ ◊ - b ◊=

◊ ◊ ◊

(2.3)

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 49

Spannungsnachweis nach DIN 1045-1

Nach 11.1. sind Spannungsnachweise erforderlich für vorgespannte Bauwerke, bei Schnittkraftumlagerungen größer 15% und Tragwerken, die nicht dem üblichen Hochbau zugeordnet werden können.

Es wird der Dehnungszustand gesucht, wo zwischen äußeren Schnittkräften der jeweiligen Lastkombination und inneren Schnittkräften (mit gewählter Bewehrung, Spannungsdehnungslinie Stahl mit charakteristischen Werten und linearer Spannungsdehnungslinie des Betons nur in der Druckzone mit Ecm nach /14/ H 9-1) ein Gleichgewicht herrscht. Aus den Dehnungen ergeben sich entsprechend den Spannungsdehnungslinien die Spannungen.

Die Betonspannungen unter der seltenen Lastkombination sollten auf 0,6 fck begrenzt werden. Da Kriechumlagerungen zu einer Abnahme der Betonspannungen führen, werden sie nicht berücksichtigt.

Die Stahlspannungen sind unter der seltenen Lastkombination auf 0,8 fyk zu begrenzen.

Da Kriechumlagerungen zu einer Erhöhung der Stahlspannungen führen, werden sie, sofern dies unter Dauerhaftigkeit/Kriechzahl nach DIN 1045-1 nicht deaktiviert wurde, berücksichtigt.

Spannungsermittlung nach ÖNorm B4700

Für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit ist ein Spannungsnachweis nicht gefordert.

Bei Eingabe von entsprechenden Schnittkräften werden jedoch Spannungen wie folgt ermittelt:

Betonspannungen für die seltene und quasi-ständige Lastkombination.

Stahlspannungen für die seltene Lastkombination.

Es wird der Dehnungszustand gesucht, wo zwischen äußeren Schnittkräften der jeweiligen Lastkombination und inneren Schnittkräften (mit gewählter Bewehrung, Spannungsdehnungslinie Stahl mit charakteristischen Werten und linearer Spannungsdehnungslinie des Betons nur in der Druckzone und mit Ecm nach Tabelle 4) ein Gleichgewicht herrscht. Aus den Dehnungen ergeben sich entsprechend den Spannungsdehnungslinien die Spannungen.

Da Kriechumlagerungen zu einer Abnahme der Betonspannungen führen, werden sie bei der Ermittlung der Betonspannungen nicht berücksichtigt.

Da Kriechumlagerungen zu einer Erhöhung der Stahlspannungen führen, werden sie, sofern dies unter Dauerhaftigkeit/Kriechzahl nicht deaktiviert wurde, bei der Ermittlung der Stahlspannungen berücksichtigt.

Spannungsnachweis nach EC2 (Italien)

Nach 4.4.1.2 sind Spannungsnachweise nicht erforderlich bei

- Schnittgrößenumlagerungen < 30%

- baulicher Durchbildung nach Abschnitt 5

- Einhaltung der Mindestbewehrung nach 4.4.2.2

Es wird der Dehnungszustand gesucht, wo zwischen äußeren Schnittkräften der jeweiligen Lastkombination und inneren Schnittkräften (mit gewählter Bewehrung, Spannungsdehnungslinie Stahl mit charakteristischen Werten und linearer Spannungsdehnungslinie des Betons nur in der Druckzone und mit Ecm nach Gl. 3.5) ein Gleichgewicht herrscht. Aus den Dehnungen ergeben sich entsprechend den Spannungsdehnungslinien die Spannungen.

50 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Die Betonspannungen unter der seltenen Lastkombination sollten nach /19/ wie folgt begrenzt werden:

Umweltklassen 1 und 2: c < 0,6 fck

Umweltklassen 3 und 4: c < 0,5 fck

Die Betonspannungen unter der quasi-ständigen Lastkombination sollten wie folgt begrenzt werden:

Umweltklassen 1 und 2: c < 0,45 fck

Umweltklassen 3 und 4: c < 0,4 fck

Da Kriechumlagerungen zu einer Abnahme der Betonspannungen führen, werden sie für den Nachweis der Betonspannungen nicht berücksichtigt (Ec = Ecm).

Die Stahlspannungen sind unter der seltenen Lastkombination auf 0,7 fyk zu begrenzen.

Da Kriechumlagerungen zu einer Erhöhung der Stahlspannungen führen, werden sie berücksichtigt. Dies geschieht durch eine Abminderung des E-Moduls von Beton auf den Wert Ecm = Es/15.

Spannungsnachweis nach EN 1992 1-1

Beton, seltene Kombination c < k1 fck

Ziel ist die Verhinderung der Zerstörung des Betongefüges. Alternativ ist dies auch durch Erhöhung der Betondeckung oder Umschließung der Druckzone mit Bewehrung möglich.

Beton, quasi- ständige Kombination c < k2 fck

Grenzwert, bei dessen Überschreitung nicht mehr von einem linearen Kriechen ausgegangen werden kann. Ggf. ist eine erhöhte Kriechzahl nach Gl. 3.7 zu berücksichtigen.

Betonstahl seltene Kombination s < k3 fyk

Während der Nachweis der Rissbreite für Stahlbeton unter der quasi - ständigen Kombination geführt wird, soll auch unter der seltenen Kombination ein Fließen der Bewehrung verhindert werden.

bei Zwang: s < k4 fyk

k1 k2 k3 k4 Bemerkung

EN 0.6 0.45 0.8 1.0 k1: Bei Expositionsklassen XD, XS oder XF empfohlen.

NA_D =EN =EN =EN =EN k1: kann bei nicht vorgespannten Bauteilen im üblichen Hochbau entfallen, wenn der Grad der Umlagerung < 15 % beträgt.

NA_GB =EN =EN =EN =EN

NA_A =EN =EN =EN =EN

NA_I =EN =EN =EN =EN k1: 20 % reduziert, wenn h <= 50 mm

NA_B =EN a) =EN =EN =EN a) k1= 0.5 wenn XD, XF, XS

NA_NL =EN =EN =0 =0 Nachweis von s entfällt

NA_CZ =EN =EN =EN =EN

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 51

Ermittlung der vorhandenen Spannungen Die Ermittlung der Stahlspannungen ist nach /11/ mit einem abgeminderten E- Modul

Eceff = Ecm/(1+(t0, )) durchzuführen.

Damit wird das Langzeitverhalten des Betons berücksichtigt, der sich durch Kriechen, d.h. durch Umlagerung auf den Betonstahl, einer Mitwirkung an der Aufnahme der Beanspruchung zu entziehen sucht.

Nach /11/ ist dies bei kompakten Querschnitten häufig vernachlässigbar, bei Plattenbalken aber ergeben sich um 5 % höhere Stahlspannungen gegenüber einer Berechnung ohne Berücksichtigung der Kriechzahl. Ein entsprechender Hinweis wie in ENV 1992 1-1, Abschnitt 4.4.1.2.(3) fehlt jedoch in EN 1992 1-1.

Für die Ermittlung der Betonspannungen sind dementsprechend frühe Zeitpunkte maßgebend, d.h. hier ist = 0.

52 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Außergewöhnliche Bemessungssituation Brand

Grundlagen

Nach MLTB 9/2007 darf der Brandschutznachweis auch nach einem vereinfachten Rechenverfahren nach DIN ENV 1992 1-2:1997 geführt werden.

Zwischenzeitlich wurde bereits der neue Eurocode DIN EN 1992 1-2:2006(/42/) und ein Entwurf zum NA (/44/) veröffentlicht.

Aktuelle Veröffentlichungen beziehen sich auf den neuen Eurocode, so auch die Vorträge von Dr. Müller beim Seminar der bayerischen Ingenieurkammern 2007, die Vorträge von Dr. Richter zum heißen Modellstützenverfahren beim 12. Münchener Massivbauseminar 2008 und der Artikel von Prof. Quast und Dr. Richter in „Beton- und Stahlbetonbau 2/2008“ (/41/).

In letzterem Artikel wurde festgestellt, dass bei Anwendung des vereinfachten Verfahrens nach EN 1992 1-2 Anhang B.3 Ergebnisse erzielt werden, die nur wenig von den Ergebnissen nach dem allgemeinen Rechenverfahren abweichen. Außerdem wurde dort festgestellt, dass dies beim Verfahren nach Anhang B.2 (Zonenmethode) nicht der Fall ist.

Auf diesem vereinfachten Verfahren B.3 beruht auch die Heißbemessung und Steifigkeitsermittlung in diesem Programm. Entsprechend der Empfehlung in /41/ werden dabei auch die thermischen Dehnungen berücksichtigt.

In der ersten Programmversion werden lediglich Nachweise für Rechteck- und Kreisquerschnitte für 4-seitigen Brandangriff möglich sein, was uns erlaubt, zunächst auf eine thermische Analyse zu verzichten und stattdessen die Temperaturprofile nach Anhang A des Eurocodes zu verwenden.

Da die genaue Lage der Stähle von entscheidender Bedeutung für das Ergebnis ist, muss das Zusatzmodul „Polygonale Bemessung B2-Poly“ vorhanden sein. Die Nachweise im Brandfall erfolgen mit den Querschnittstypen „Rechteck und allgemeine Punktbewehrung“ sowie „Kreis und allgemeine Punktbewehrung“

Temperaturprofile

Die Temperaturprofile in /42/ Anhang A wurden unter folgenden Annahmen erzeugt:

Vierseitiger Brandangriff nach Einheitstemperaturzeitkurve ETK

Spezifische Wärme nach 3.3.2

Feuchte 1,5 %

Thermische Leitfähigkeit c nach 3.3.3 mit unterem Grenzwert

Konvektiver Wärmeübergangskoeffizient c = 25 W/(m2 K)

Kreisquerschnitt D = 300 mm

Quadratischer Querschnitt h = 300 mm

Feuerwiderstand R30, 60, 90, 120

Bei abweichenden Querschnittsabmessungen gilt die Annahme gleicher Abstände der Temperatur- Isolinien vom äußeren Rand. Das bedeutet, dass die Temperaturen bei größeren Querschnitten (h > 30 cm) etwas höher sind, d.h. auf der sicheren Seite liegen.

Für kleinere Querschnitte (h < 30 cm) sind die Temperaturen etwas zu gering, zunehmend je kleiner der Querschnitt und je höher der Feuerwiderstand.

Deshalb empfehlen wir den Nachweis mit einem Temperaturzuschlag von 20 - 40 Grad zu führen.

Für einen Feuerwiderstand R180 sind in Anhang A keine Temperaturprofile angegeben. Bei Rechteckquerschnitten werden Temperaturprofile nach CEB Bulletin 145 (/45/) mit auf der sicheren Seite liegenden Temperaturen verwendet.

Da entsprechende Temperaturprofile für Kreisquerschnitte bisher in keiner uns bekannten Literatur veröffentlicht wurden, beruhen diese auf eigenen FEM- Berechnungen.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 53

Äußere Schnittkräfte

Es sind Schnittkräfte der Kombination für die außergewöhnliche Bemessungssituation Brand zu verwenden.

Innere Schnittkräfte

Zur Ermittlung der inneren Schnittkräfte des Betons wird der Betonquerschnitt in Elemente mit der Kantenlänge 1 cm aufgeteilt. Die inneren Schnittkräfte des Elementes ergeben sich mit den der mittleren Elementtemperatur entsprechenden Spannungsdehnungslinien nach /42 / Bild 3.1 und Tabelle 3.1. Dabei können ggf. kalksteinhaltige Zuschläge berücksichtigt werden. Die thermische Dehnung ergibt sich entsprechend Bild 3.5.

Für hochfeste Betone werden nach Empfehlung in /41/ Spannungsdehnungslinien aus /43/ Tabelle 8 verwendet. Die thermischen Dehnungen ergeben sich nach /43/ Bild 37. Bei Anwendung für hochfesten Beton bedarf es z.Zt. noch einer vorherigen Abstimmung mit der Bauaufsicht.

Die inneren Schnittkräfte des Betonstahles ergeben sich entsprechend der Temperatur in den Bewehrungspunkten nach /42/ Bild 3.3 und Tabelle 3.2. Dabei kann ggf. das günstigere Verhalten von warmgewalztem Stahl berücksichtigt werden. Nach /44/ bedarf Stahl der Klasse X einer experimentellen Absicherung und wird z.Zt. nicht berücksichtigt. Die thermische Dehnung ergibt sich entsprechend /42/ Bild 3.

Die spannungserzeugende Dehnung in einem Querschnittspunkt ergibt sich aus der thermischen Dehnung th entsprechend der dort vorhandenen Temperatur und der Biegedehnung b an diesem Punkt zu = b - th.

Für den Beton ergibt sich damit ein typisches Tragverhalten, bei dem sich ein schmaler äußerer Ring aufgrund der bei hohen Temperaturen stark abgeminderten Spannungsdehnungslinien und ein innerer Bereich mit > 0 (Zug) der Mitwirkung entziehen.

Bei den inneren Schnittkräften von Betonstahl zeigt sich ein sehr sensibles Verhalten bezüglich der Lage des Bewehrungspunktes – schon eine Lageänderung von 1 cm kann eine Änderung der Stahlspannung in Größenordnungen bewirken.

Bemessung

Es wird iterativ der Dehnungszustand (Biegeebene) gesucht, bei dem innere und äußere Schnittkräfte im Gleichgewicht stehen.

Die inneren Schnittkräfte des Stahles werden zunächst für eine noch unbekannte Bewehrungsfläche unter der Annahme einer gleichmäßigen Wichtung der eingegebenen Bewehrungspunkte ermittelt.

Die Dehnungsebene wird zwischen den definierten Bruchdehnungen variiert. Die erforderliche Bewehrungsmenge ergibt sich direkt aus dem gefundenen Dehnungszustand.

Mz=4

60,0

kNm

Nx=-857,0 kN

1,0

0 o/

oo

6,15

o/oo

0 N/mm2 Max=-12,0 N/mm2Betonspannungen0 N/mm2 |Max|=359,8 N/mm2Betonstahlspannungen

500 Grad Isotherme

Mz=4

60,0

kNm

Nx=-857,0 kN

1 2

34

5

6

78

910

11 12 60

60

54 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

Ermittlung der effektiven Steifigkeit

Es wird iterativ der Dehnungszustand (Biegeebene) gesucht, bei dem innere und äußere Schnittkräfte im Gleichgewicht stehen.

Die inneren Schnittkräfte des Stahles werden für eine gewählte auch punktweise differenzierte Bewehrung ermittelt.

Die effektive Steifigkeit ergibt sich aus dem gefundenen Dehnungszustand zu

effEIz= Mz h/(1 - 2) und effEIy= My h/(1 - 3), wobei 1, 2, 3 die Eckdehnungen am den Querschnitt umschließenden Rechteck sind, die die Biegeebene beschreiben.

Nachweise am Stahlbeton-Querschnitt 55

Literatur

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/ 2 / Linse Thielen, „Grundlagen der Biegebemessung der DIN 1045 aufbereitet für den Gebrauch an Rechenanlagen", Beton- und Stahlbeton 9/72, S.199 ff.

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/ 12 / Valentin/Kidery: Stahlbetonbau, MANZ Verlag 2001

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/ 14 / Deutscher Ausschuss für Stahlbeton Heft 525, Beuth 2003 inklusive Berichtigung 5-2005

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/ 16 / EC2, italienische Fassung vom Dezember 1991

/ 17 / Deutscher Ausschuss für Stahlbeton Heft 425, Beuth 1992

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/ 23 / Beispiele zur Bemessung nach DIN 1045-1, Band 2 Ingenieurbau Deutscher Betonverein, Ernst & Sohn

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/ 25 / Fingerloos, Deutscher Betonverein, „Anwendung der neuen DIN 1045-1 mit aktueller Bemessungssoftware"

/ 26 / Kommentierte Kurzfassung DIN 1045, 2. überarbeitete Auflage, Beuth 2005

/ 27 / Auslegung zur DIN 1045-1 des NABau vom 12.3.2005

/ 28 / 2. Berichtigung DIN 1045-1 (2005-06)

/ 29 / Fingerloos, Litzner: „Erläuterungen zur praktischen Anwendung von DIN 1045-1", Betonkalender 2005, Teil 2, S.422 ff.

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56 Frilo - Statik und Tragwerksplanung

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/ 33 / Zulassung Z 15.1-1 Kaiser-Gitterträger KT 800 für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht

/ 34 / Zulassung Z 15.1-38 Kaiser- Omnia- Träger KTS für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht

/ 35 / Zulassung Z 15.1-147 Filigran- E- Gitterträger für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht

/ 36 / Zulassung Z 15.1-93 Filigran- EQ- Gitterträger für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht

/ 37 / Zulassung Z 15.1-142 van Merksteijn- Gitterträger für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht

/ 38 / Zulassung Z 15.1-143 van Merksteijn- EQ- Träger für Fertigplatten mit statisch mitwirkender Ortbetonschicht

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