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Namenverzeichnis Abel, Niels Henrik (1802-1829) 20, 79, 86 Abhyankar, Sheeram 87 Abu Kamil (ca. 850-ca. 930) 27 Adams, J. Frank 208 Ahmes (ca. 1900 v. Chr.) 100 Albert von Sachsen (1316-1390) 256 d'Alembert, Jean Ie Rond (1717-1783) 73, 78, 82, 83, 87 Alexander,JamesWaddell (1888-1971) 196 Alexandroff, Paul (1896-1982) 156 Apollonios (2. mUfte d. 3. Jh. v. Chr.) 101 Araybhata (geb. 476 n. Chr.) 101 Archimedes (287-212 v. Chr.) 26, 27, 40, 100, 101 Archytas von Tarent (428-365 v. Chr.) 37 Argand, Jean Robert (1768-1822) 49, 55, 78, 82, 86, 87 Aristoteles (384-322 v. Chr.) 11,23,29,31, 119 Artin, Emil (1898-1962) 159 Atiyah, Michael Francis (1929-) 199, 208 Bachmann, Paul Gustav Heinrich (1837- 1920) 29,37 Bacon, Francis (1561-1626) 236 Baltzer, Richard (1818-1887) 103 Banach, Stefan (1892-1945) 273 Beckmann, Petr 99 Bernays, Paul (1888-) 270 Bernoulli, Jakob (1654-1705) 28, 118 Bernoulli, Johann (1667-1748) 28,112,118 Bernoulli, Nikolaus (1687-1759) 80 Berzelius, Jons Jakob (1779-1848) 88 Bessel, Friedrich Wilhelm (1784-1846) 49, 88 Bezout, Etienne (1739-1783) 53 Boetius (ca. 480-524 n. Chr.) 102 Bolyai, Wolfgang (1775-1856) 52 Bolzano, Bernhard (1781-1848) 15, 20, 28,29,37,52,256,276 Bombelli, Rafael (1526-1572) 45,47, 81 Boole, George (1815-1864) 267 Borel, Emile (1871-1956) 41 Bott, Raoul (1923-) 190,198,201,202,206 Bourbaki, Nicolas 15 Brahmagupta (598- nach 665) 12 Brouncker, Lord W. (1620-1684) 121 Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881-1966) 29,196,264 Burali-Forti, Cesare (1861-1931) 263,270 Cantor, Georg (1845-1918) 13, 15, 29, 30, 33, 35, 121, 256, 257, 258, 262, 263, 264, 269,274,276 Cardano, Geronimo (1501-1576) 12, 46, 79,81 Cauchy, Augustin Louis (1789-1857) 28, 29,33,36,40,51,58,73,75,86,87,89,104 Cayley, Arthur (1821-1895) 128, 135, 137, 148, 150, 154, 155, 168, 175 Chrystal, George (1851-1911) 87 Clausen, Thomas (1801-1885) 67 Clifford, William Kingdon (1845-1879) 155 Cohen, Paul J. (1934-) 257, 274 Conway, J. H. 234, 235, 236, 246, 255, 267 Copson, Edward Thomas (1901-) 57 Cotes, Roger (1682-1716) 77 Crowe, Michael J. 134 Daguerre, Louis Jacques Mande (1787-1851) 88 Dedekind, Richard (1831-1916) 9, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 23, 29, 30, 33, 52, 59, 95, 125,127,130,234,236,255,257,258,261, 263, 264, 272, 276 Degen, C. P. 175 Descartes, Rene (1596-1650) 12, 18, 28, 47,80 Dickson, Leonhard Eugene (1874-1954) 175

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Namenverzeichnis

Abel, Niels Henrik (1802-1829) 20, 79, 86 Abhyankar, Sheeram 87 Abu Kamil (ca. 850-ca. 930) 27 Adams, J. Frank 208 Ahmes (ca. 1900 v. Chr.) 100 Albert von Sachsen (1316-1390) 256 d'Alembert, Jean Ie Rond (1717-1783) 73,

78, 82, 83, 87 Alexander,JamesWaddell (1888-1971) 196 Alexandroff, Paul (1896-1982) 156 Apollonios (2. mUfte d. 3. Jh. v. Chr.) 101 Araybhata (geb. 476 n. Chr.) 101 Archimedes (287-212 v. Chr.) 26, 27, 40,

100, 101 Archytas von Tarent (428-365 v. Chr.) 37 Argand, Jean Robert (1768-1822) 49, 55,

78, 82, 86, 87 Aristoteles (384-322 v. Chr.) 11,23,29,31,

119 Artin, Emil (1898-1962) 159 Atiyah, Michael Francis (1929-) 199, 208

Bachmann, Paul Gustav Heinrich (1837-1920) 29,37

Bacon, Francis (1561-1626) 236 Baltzer, Richard (1818-1887) 103 Banach, Stefan (1892-1945) 273 Beckmann, Petr 99 Bernays, Paul (1888-) 270 Bernoulli, Jakob (1654-1705) 28, 118 Bernoulli, Johann (1667-1748) 28,112,118 Bernoulli, Nikolaus (1687-1759) 80 Berzelius, Jons Jakob (1779-1848) 88 Bessel, Friedrich Wilhelm (1784-1846) 49,

88 Bezout, Etienne (1739-1783) 53 Boetius (ca. 480-524 n. Chr.) 102 Bolyai, Wolfgang (1775-1856) 52 Bolzano, Bernhard (1781-1848) 15, 20,

28,29,37,52,256,276

Bombelli, Rafael (1526-1572) 45,47, 81 Boole, George (1815-1864) 267 Borel, Emile (1871-1956) 41 Bott, Raoul (1923-) 190,198,201,202,206 Bourbaki, Nicolas 15 Brahmagupta (598- nach 665) 12 Brouncker, Lord W. (1620-1684) 121 Brouwer, Luitzen Egbertus Jan (1881-1966)

29,196,264 Burali-Forti, Cesare (1861-1931) 263,270

Cantor, Georg (1845-1918) 13, 15, 29, 30, 33, 35, 121, 256, 257, 258, 262, 263, 264, 269,274,276

Cardano, Geronimo (1501-1576) 12, 46, 79,81

Cauchy, Augustin Louis (1789-1857) 28, 29,33,36,40,51,58,73,75,86,87,89,104

Cayley, Arthur (1821-1895) 128, 135, 137, 148, 150, 154, 155, 168, 175

Chrystal, George (1851-1911) 87 Clausen, Thomas (1801-1885) 67 Clifford, William Kingdon (1845-1879)

155 Cohen, Paul J. (1934-) 257, 274 Conway, J. H. 234, 235, 236, 246, 255, 267 Copson, Edward Thomas (1901-) 57 Cotes, Roger (1682-1716) 77 Crowe, Michael J. 134

Daguerre, Louis Jacques Mande (1787-1851) 88

Dedekind, Richard (1831-1916) 9, 13, 14, 15, 17, 18, 20, 23, 29, 30, 33, 52, 59, 95, 125,127,130,234,236,255,257,258,261, 263, 264, 272, 276

Degen, C. P. 175 Descartes, Rene (1596-1650) 12, 18, 28,

47,80 Dickson, Leonhard Eugene (1874-1954)

175

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278 Namenverzeichnis

Dieudonne, Jean (1906-) 79, 122 Diophantos von Alexandria (2. milfte d.

3. Jh. n. Chr.) 61 Durer, Albrecht (1471-1528) 100

Eckmann, Beno (1917-) 189, 209 Edwards Jr., Charles Henry (1937-) 213,

233 Engel, Friedrich (1861-1941) 133 Eudoxos von Knidos (400--347 v. Chr.) 26,

29 Euklid (ca. 295 v. Chr.) 11, 24, 26, 27, 39 Euler, Leonhard (1707-1783) 28, 38, 45,

48, 49, 54, 56, 58, 71, 73, 75, 80, 82, 83, 84,86, 87,99, 100, 104, 106, 109, 114, 116, 121, 133, 145, 154

Eurytos 11 Eutokios (geb. ca. 480 n. Chr.) 101

Fermat, Pierre de (1601-1665) 145, 182, 274

Ferrari, Ludovico (1522-1565) 12 del Ferro, Scipio (1465-1526) 12 de F oncenex, Da viet (1734-1799) 86 Fraenkel, Adolf Abraham (1891-1965)

264,267 Frege, Gottlob (1848-1925) 13,15,29,263,

265,276 Fresnel, Augustin Jean (1788-1827) 52 Frobenius, Georg (1849-1917) 84,103,155,

160, 161

Galois, Evariste (1811-1832) 20 Gauss, Carl Friedrich (1777-1855) 49,51,

52, 53, 54, 55, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 87, 88,93,95,97, 125, 133, 145, 155, 182

Gay-Lussac, Louis Joseph (1778-1850) 88 Gelfond, Alexandr Osipovich (1906-1968)

122 Gibbs, Josiah Williard (1839-1903) 139 Girard, Albert (1595-1632) 79 Godel, Kurt (1906-1978) 30,257,264,270,

274,276 Goethe, Johann Wolfgang von (1749-1832)

98 Goldbach, Christian (1690--1764) 80, 133,

145,275 Gordon,1. 196 Grassmann, Hermann Gunther (1809-1877)

133, 139, 155 Graves, John T. 125,132,155,168,175

Gregory, James (1638-1675) 102 Grimm, Jacob (1785-1863) 88 Grothendieck, A 206

Hadamard, Jacques (1865-1963) 116, 196 Hamel, Georg (1877-1954) 273 Hamilton, William Rowan (1805-1865) 51,

53, 54, 95, 125, 130, 131, 138, 139, 141, 145, 148, 151, 155, 156, 168, 172

Hankel, Hermann (1839-1873) 20, 22, 51, 78, 84, 87, 94, 125

Happel, Dieter 162 Hardy, Godfrey Harold (1877-1947) 104 Harriot, Thomas (1560[?J-1621) 80 Hausdorff, Felix (1868-1942) 273 Hermite, Charles (1822-1901) 121 Hilbert, David (1862-1943) 39, 122, 181,

258, 264, 275, 276 Hill, Thomas 134 Hippasos von Metapont (2. Viertel d. 5. Jh.

v. Chr.) 23,24 Hirsch, Morris W. (1933-) 91 Hirzebruch, Friedrich Ernst Peter (1927-)

199 Hopf, Heinz (1894-1971) 156, 162, 165,

166, 190, 191, 192, 195, 196, 197, 198,205, 206, 207

L'Hospital, Giullaume-Fran90is-Antoine de (1661-1704) 215

Huizinga, J. 255 von Humboldt, Alexander (1769-1859) 88 Hurwitz, Adolf (1859-1919) 122,181,183,

188, 191,208 Husser!, Edmund (1859-1938) 263 Huygens, Christiaan (1629-1695) 48 al - Hwarizml (Anfang des 9. Jh. n. Chr.)

101

Jacobi, Car! Gustav (1804-1851) 86, 88 Juschkewitsch, Adolf Pavlowitsch (1906-)

99

Kant, Immanuel (1724-1804) 52 Kaplansky, Irving (1917-) 186 al Kasl(gest. 1429) 101 Kastner, Abraham Gotthelf (1719-1800)

87 Keisler, H. Jerome 233 Kelley, John L. 270,276 Lord Kelvin (Thomson, William) (1824-

1907) 134, 138 Kervaire, Michael A. 190, 199 Klein, Felix (1849-1925) 133, 142, 181

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Kneser, Adolf (1862-1930) 84 Kneser, Hellmuth (1898-1973) 91, 95, 97 Kneser, Martin (1928-) 91 Knopp, Konrad (1882-1957) 87, 103, 105,

114 Knuth, Donald E. 255 Kolmogoroff, Andrei Nikolaevich (1903-)

196 Kronecker, Leopold (1823-1891) 18, 20,

51, 103, 181,264,276 Kummer, Ernst Eduard (1810-1893) 257 Kuratowski, Kazimierz (1896-1980) 259

Lagrange, Joseph Louis (1736-1813) 82, 83, 87, 95, 97, 145, 182

Lambert, Johann Heinrich (1728-1777) 119, 121

Landau, Edmund (1877-1938) 16, 17,20, 21,32,87, 103

Laplace, Pierre Simon de (1749-1827) 78, 83, 84, 87, 95, 97

Laurent, Pierre Alphonse (1813-1854) 103 Lebesgue, Henri Leon (1875-1941) 273 Lefschetz, Solomon (1884-1972) 196 Legendre, Adrien-Marie (1752-1833) 119,

121, 181 Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716)

23,28,29,31,45,48, 75, 80, 102, 104, 112, 114,213,215

Leonardo von Pisa (1170-1240[?]) 12,102 Lessing, Gotthold Ephraim (1729-1781)

256 Levi, Beppo (1875-) 272 von Lindemann, Carl Louis Ferdinand

(1852-1939) 122 Liouville, Joseph (1809-1882) 121 Lipschitz, Rudolf (1832-1903) 29, 33, 87 Liszt, Franz (1811-1886) 88 Liu Hui (urn 250 n. Chr.) 101 Lobatschewski, Nikolai (1793-1856) 88 Ludolph van Ceulen (1540-1610) 102

von Mangoldt, Hans Carl Friedrich (1854-1925) 87

Mendelssohn-Bartholdy, Felix (1809-1847) 88

Meray, Charles (1835-1911) 29, 33 Milnor, John W. (1931-) 190, 196, 199,206 Minkowski, Hermann (1864-1909) 103,

181 de Moivre, Abraham (1667-1754) 75, 77 Morse, Anthony P. 270 Morse, Marston (1892-1977) 206

Namenverzeichnis 279

Napoleon I (1769-1827) 83 Narmer (urn 3000 v. Chr.) 9 Nelson, Edward 233 von Neumann, John (1903-1957) 15,234,

238,261,262,267,270,271 Newton, Isaac (1643-1727) 28,47,73,75,

77, 96, 102, 104 Noether, Emmy (1882-1935) 156, 195

Ohm, Martin (1792-1872) 20 Ostrowski, Alexander (1893-) 85,93 Otho, Valentin 101 Oughtred, William (1575-1660) 100

Palais, Richard S. 162 Peano, Giuseppe (1858-1932) 13, 17,262,

272 Peirce, Benjamin (1809-1880) 134, 155 Peirce, Charles Sanders (1839-1914) 156 Perron, Oskar (1880-1975) 121 Pfaff, Johann Friedrich (1765-1825) 83,88 Platon (427-348/347 v. Chr.) 26, 101 Poincare, Henri (1854-1912) 193, 195, 196 Poinsot, Louis (1777-1859) 97 Ptolemaus, Claudius (100-170 n. Chr.) 12,

27,66,101 Pusieux, Victor (1820-1883) 82

Radon, Johann (1887-1956) 188, 208 Raleigh, Sir Walter (1552-1618) 80 Riemann, Georg Friedrich Bernhard (1826-

1866) 52,98,275 Riese, Adam (1492-1559) 12 Robinson, Abraham (1918-1974) 214,215 Rolle, Michael (1652-1719) 77 Roth, Peter (gest. 1617) 79 Rothe, Hermann (1882-1923) 134 Ruckert, Friedrich (1788-1866) 88 Rudio, Ferdinand (1856-1929) 99 Russell, Bertrand (1872-1970) 15,263,264,

272

Samelson, Hans 195 Schiller, Friedrich (1759-1805) 98 von Schlegel, August Wilhelm (1767-1845)

88 Schneider, Theodor (1911-) 122 Schreier, Otto (1901-1929) 87 Scott, Dana S. 272 Siegel, Carl Ludwig (1896-1981) 122

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280 Namenverzeichnis

Simson, Robert (1687-1768) 68 Skolem, Thoralf(1887-1963) 214,264,265,

266,267 Smale, Stephen (1930-) 91 Solovay, Robin N. 273, 276 Souslin, M. J. 275 Springer, Tonny Albert (1926-) 167 Sridhara (ca. 850-950) 12 Stasheff, James D. 206 Steenrod, Norman E. 205 Steinitz, Ernst (1871-1928) 20 Stevin, Simon (1548-1620) 27 Stibitz, George R. 53 Stiefel, Eduard (1909-1978) 197, 205 Stifel, Michael (1487-1567) 12,27 Stirling, James (1692-1770) 75 Study, Eduard (1862-1930) 46, 125

Tarski, Alfred (1902-) 273 Tartaglia, Niccolo (1499/1500-1557) 46 Theodoros von Kyrene (465-399 v. Chr.)

26 Tieck, Ludwig (1773-1853) 88 Tropfke, Johannes (1866-1939) 46,99

Ulug Beg (1394-1449) 101

de Valera, Eamon (1882-1975) 134 Varignon, Pierre (1654-1722) 215

Vieta, Fran90is (1540-1603) 62,79,81,102, 114, 115

Vitali, Guiseppe (1875-1932) 273

van der Waerden, Bartel Leendert (1903-) 47,134

Wallis, John (1616-1703) 28,68,100,102, 114,117

Wang, H. 270 Wang Fan (gest. 267 n. Chr.) 101 Weber, Heinrich (1842-1913) 21 Weber, Wilhelm Eduard (1804-1891) 88 Weierstrass, Karl Theodor Wilhelm (1815-

1897) 52,60,91,94, 103, 114, 119, 122, 125, 130, 155, 181,213

Wessel, Caspar (1745-1818) 49, 55 Weyl, Hermann (1885-1955) 26 Whitehead, George William (1918-) 209 Whitney, Hassler (1907-) 196, 200, 203,

204,205,206 Wiener, Norbert (1894-1964) 260

Yaglom, Isaak Moiseevich (1921-) 63

Zermelo, Ernst (1871-1953) 256,258,261, 262,263,264,265,267,269,272,273,276

Zhang Heng (78-139 n. Chr.) 101 Zorn, Max 168,176,178,179,273 Zu Chong-Zhi (430-501 n. Chr.) 101, 121 Zuse, Konrad (1910-) 53

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Sachverzeichnis

Abbildung, abstandstreue 68 -, <C-lineare 59 -, 1R-lineare 59 -, orthogonale 1R-lineare 69 Ableitung 164 absolut unendlich 263 Abspaltung von Nullstellen 91 Abstand, euklidischer 60 abstandstreue Abbildung von <C 68 AC 266 "Acht-Quadrate-Satz" 174 Addition von ganzen Zahlen 18 - - komplexen Zahlen 53, 55 - - natiirlichen Zahlen 16 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 31,34,39 Additionstheorem fUr die Cosinusfunktion

110 - -- - Exponentialfunktion 105 - - - Sinusfunktion 110 aktual unendlich 256 Algebra, alternative 158,161 -, - quadratische 168 -, assoziative 127 - -Automorphismus 129, 146, 150 -, 2-dimensionale mit Einselement 167 -, eindimensionale reelle 129 - -Endomorphismus 129 - -Epimorphismus 129 - -Homomorphismus 129 - -Isomorphismus 129 -, kommutative 127 - -Monomorphismus 129 -, nullteilerfreie 127 -, potenz-assoziative 127, 159, 161 -, quadratische 160 - iiber IR 127 algebraisch abgeschlossen 90 -e Zahl 121 allgemeines Ubertragungsprinzip 224 Allklasse 269

alternative Algebra 158,161 - quadratische Algebra 168 - endlich-dimensionale Divisionsalgebra

176 alternative Mengenlehre 276 Amplitude (einer komplexen Zahl) 73 angeordneter Korper 56 Anordnung, archimedische 21,36 - der ganzen Zahlen 19 - - natiirlichen Zahlen 17 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 31 -,lineare 17,19,31 -, totale 17, 19, 21, 31, 35 -, vollstandige 31 Anordnungsrelation 56 Antinomie von BURALI-FoRTI 263 - - RUSSELL 263 Aquivalenzklasse 18,21 Aquivalenzrelation 18,21 Arcustangensreihe 114 ARGANDSche Ebene 49 - Ungleichung 90 Argument (einer komplexen Zahl) 73 assoziativ 132,158 -e Algebra 127 -e reelle Divisionsalgebra 161 Assoziativgesetz 16, 127 Assoziator 158 Ausgangsstellung eines Spiels 238 Aussage 223 -, Giiltigkeit einer 224 Aussonderungsaxiom 265 Auswahlaxiom 266,272 Auswahlfunktion 266 Axiomensystem der Mengenlehre 257, 262 - von ZERMELO 264, 267 - - ZERMELO-FRAENKEL 267

benachbarte Non-Standard Zahlen 214 Betragsfunktion (auf <C) 58, 60

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282 Sachverzeichnis

BETTische Zahl 193, 195 Bewegung (eines euklidischen Vektorraumes)

69 bewerteter Karper 64 Bewertung (eines Karpers) 64 Bilinearform der CAYLEY-Algebra 173 - einer quadratischen Algebra 169 - - - alternativen Algebra 170 -, nicht ausgeartete 185 Binomialkoeffizienten, asymptotische For-

mel fUr den mittleren 117 Biquaternion 155 BOoLEsche Kombination 267 BOTTscher Periodizitatssatz 202, 206 Biindelprojektion 200

Casus irreduzibilis 47 CAucHY-Folge: siehe Fundamentalfolge CAUCHY-Konvergenzkriterium 28, 33, 36 CAUCHYprodukt 104 CAUCHYScher Minimumsatz 89 - Reihenproduktsatz 104 CAUCHy-SCHWARzsche Ungleichung 63 CAYLEyabbildung 154 CAYLEY-Algebra (der Oktaven) 168, 172 CAYLEYdarsteIIung eigentIich orthogona-

ler Matrizen 154 CA YLEYSche Zahlen 168, 172 charakteristische Homologieklasse (nach

STIEFEL) 197,201 - Kohomologieklasse (nach WHITNEY)

201,203,204 CONWAYpostulate 249,252 CONWAY spiel 237,239 CONW A Yzahl 249 Cosinusfunktion 109 Cosinussatz 63, 75

DEDEKINDsche Postulate 234, 236 DEDEKINDscher Schnitt 29, 30, 234 definit 265 Dezimalbruchentwicklung 27,37 Dichte 21,31 Differential 164,227 Differentialquotient 227 differenzierbare Selbstabbildung eines Vek-

torraumes 164 Dimension einer Algebra 127 direkte Summe von Algebren 128 Distributivgesetz 32

Divergenz 142 Divisionsalgebra, komplexe 138 -, reeIIe 125, 129, 131, 159, 160, 190, 197,

198,200,208 -, - assoziative 161 -, - endIich-dimensionale alternative 176 -, - kommutative 165, 167 Divisionsregel (fUr Betrage) 61 Domino-Spiel 239 Doppelverhaltnis 65 Drehachse von Drehungen im 1R3 152 Drehung im 1R2 69 - - 1R3 152 Drehwinkel von Drehungen im 1R3 152 Dreieck, Schwerpunkt 64 Dreiecksungleichung 64 Dreiparteiensystem, Satz yom 64 Dreier-Identitat fUr alternative quadratische

Algebren 171 - - das Quaternionen-Produkt 144 duale Aussage bei Spielen 241 Durchschnitt 268

Eigenschaft 259 eigentIich orthogonal 149 - -e Gruppe von IH 151 - -e Gruppe von Im(lH) 151, 153 - -e IR-lineare Abbildung von <C 69 - -e Iineare Selbstabbildung eines eukIidi-

schen Vektorraumes 149 - -e (reeIIe) Matrix 154 - -e (reeIIe) 2 x 2 Matrix 70 - -e (reeIIe) 3 x 3 Matrix 153 - -e (reeIIe) 4 x 4 Matrix 151 Eindeutigkeit von <C 55, 93 Einheitssphiire 163 Einheitswurzel 76 -, primitive 76 Eins 11, 12, 13, 15, 16 Einselement einer Algebra 127 Einzigkeitssatz fUr die komplexen Zahlen

94 - - - natiirlichen Zahlen 16 - - - Oktaven 178 - - - Quaternionen 161 - - - reeIIen Zahlen 42 Einzigkeit von <C 55, 93 elementarsymmetrische Funktion 96 endliche Non-Standard Zahl 214 Endlichkeitsforderung fUr Spiele 239 Endomorphismus des IR-Vektorraumes IH

140

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Epimorphiesatz fUr die Exponentialfunktion 107

- - - Polarkoordinatenfunktion 72, 113 Ersetzungsaxiom 267 erster Spieler 240, 242 Erzeugungssatz fUr orthogonale Gruppen

149 Erzwingungsmethode 257,274

euklidische Lange eines (stetig differenzier-baren) Weges in <C 113

- - (in einem Vektorraum) 142 -r Abstand (fUr <C) 60 -r Vektorraum 142 -s Skalarprodukt (fUr <C) 60 EULER-POINCAREsche Charakteristik 196 EULERsche Formel(n) 48,99, 110 - Parameterdarstellung eigentlich orthogo-

naler 3 x 3 Matrizen 153 - Produktformel fUr den Sinus 117 - Zahl e 38 Existenzaxiom 265 Exponentialfunktion 98, 104 Exponentialhomomorphismus 104 -, Bild des 107 -, Kern des 107 extensionale Auffassung 257,259 Extensionalitatsaxiom 265

F1tktorisierung komplexer Polynome 92 - reeller Polynome 92 k-Feld 197 -, singuIarer Punkt 197 FERMATsche Vermutung 274,275 Filter 218 FIacheninhalt eines Kreises 114 Folge 33,35 -, mono ton fallende 40 -, - wachsende 40 -, rationale 33 Forcing 257,274 Formel 223 Fundamentalfolge 33 Fundamentalsatz der Algebra 78 - - -, Beweis nach ARGAND 89 - - -, - - LAPLACE 95 - - -, konstruktive Beweise 91

Fundierungsaxiom 267 Funktion 260 Ful3punkt des Lotes von einem Punkt auf

eine Gerade 67

Sachverzeichnis 283

GAusssche Zahlenebene 55 geordnetes Paar 259, 268 Gewinnstrategie 240 gewonnene Partie 238 GIRARD, These von 79 Gleichheit von Spielen 246 gleichmachtig 256, 269 gleichwertige Spiele 242 GOLDBAcHsche Vermutung 275 Goldener Schnitt 26 Gradient 141 Grundzeichen 223 Gruppe, archimedische 42 - der ganzen Zahlen 18 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 31 Giiltigkeit (von Aussagen) 224

Halbgruppe der natiirlichen Zahlen 17 "Halbierungsformeln" fUr Sinus und Cosinus

110 HAMEL basis 273 HAMILToNsche Bedingungen 135 - Multiplikation 135 - Quaternion: siehe Quaternion -s Tripel 157 Haufungspunkt 41 Hierarchie, VON NEUMANNsche 272 Hohensatz fUr Dreiecke 60 "hohere komplexe Zahlen" 94, 125, 131,

155 homolog 192 Homologiegruppe 192, 195 -n einer Sphare 192 -n eines projektiven Raumes 192 Homologieklasse 192 -, charakteristische 196 Homomorphismus von <C in Mat (2, JR) 56 HOPFsche Invariante 207 - Konstruktion 207 -s BUndel 200 hyperkomplexe Zahl 94, 125, 131, 155

imaginare Einheit 54 - Elemente einer reellen Algebra 157, 160 - komplexe Zahl 55 - Quaternion 138 Imaginarraum der CAYLEY-Algebra 173 - - Quaternionenalgebra 138 Imaginarteil von komplexen Zahlen 55 - - Quaternionen 138

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284 Sachverzeichnis

indische Formeln 71 Induktionsaxiom 13 Induktionsprinzip 13 - fiir CONWAYSpiele 247 - - CONW A Yzahlen 250 - - Spiele 239 induktiv 39,266 Infimum 30, 40 infinite GroBe 221 Infinitesimalrechnung 28 infinitesimale GroBe 221 Inhalt eines Kreises 114 inkommensurabel 26 inkonsistente Vielheit 263 innerer Automorphismus 138, 140 Integral 229 Integritatsring der ganzen Zahlen 19 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 35 Intervall, abgeschlossenes 38 Intervallschachtelung 36 Intuitionismus 91,264 Inverses einer komplexen Zahl 53, 60, 73 Irrationalitat von 7[ und 7[2 119 Irrationalzahl 26,29,31 isomorphe Spiele 245

Kardinalzahl, endliche 269 kartesisches Produkt 268 Kern eines Homomorphismus 105 Kettenbruch 24, 119 -entwicklung der Tangensfunktion 119 --entwicklungen von 7[ 120 Klasse 269 - aller Gruppen 269 - - ~engen 269 -, echte 270 Kohomologie 196 Kohomologiegruppe 193 Kohomologieklasse, charakteristische 200,

203 Kohomologiering 193,195 - des kartesischen Produktes eines projek-

tiven Raumes mit sich 194 - eines projektiven Raumes 193 kommensurabel 24 kommutative Algebra 127 - reelle Divisionsalgebra 165, 167 Kommutativgesetz 17, 18, 21, 31, 127 komplexe Divisionsalgebra 138

komplexe Zahl 45, 53 - -, algebraische Deutung 51, 52, 53 - -, Darstellung durch reelle 2 x 2 ~atrizen

56,59,61,70 - -, geometrische Deutung 49, 55 Komplexitatstheorie 274 Kompositionsalgebra 182,187 - mit Einselement 184 Kompositionsproblem von HURWIlZ 188,

191 Kompositionstheorie 182, 188 Komposition von quadratischen Formen

182 Komprehensionsaxiom 263, 270 konjugiert komplexe Zahl 58, 73 Konjugierung von komplexen Zahlen 58 - - Quaternionen 142 Konjugierung(sabbildung) der CAYLEy-Al-

gebra 173 - einer alternativen quadratischen Algebra

171 - - quadratischen Algebra 169 konstanter Term 223 Konstruierbarkeit von 7[ mit Zirkel und

Lineal 121 Kontinuumshypothese 257,275 Konvergenzlemma 105 Korper, algebraisch abgeschlossener 90 -, angeordneter 56 -, bewerteter 64 - der DEDEKINDschen Schnitte 32 - - komplexen Zahlen 53 - - rationalen Zahlen 21 -, nicht-archimedischer 42 Korperautomorphismus von ([ 59 - - IR 42 Kreis 61 -, (FIachen)Inhalt 114 -, Umfang 113 K-Theorie 190 kubische Gleichungen (CARDANosche

Losungsformel) 46 Kugelparadoxon 273 kumulative Hierarchie 272 K iirzungsregel 17, 18, 19

Lange eines (stetig differenzierbaren) Weges 113

Iangentreue Iineare Abbildung 149 LAPLAcE-Operator 142 "law of moduli" 132, 133

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LEIBNlzsche Reihe flir n 114, 121 Limessatz 226 Limeszahl 271 lineare Abbildung von ([' 59 - Abhangigkeit tiber lR 59 Linearform der CAYLEY-Algebra 173 - einer quadratischen Algebra 169 linke Klasse eines Schnittes 234 linker Spieler 238 Iinkes Element einer Paarmenge 238 lokaler Umkehrsatz (flir stetig differenzier-

bare Abbildungen) 164 LORENTzmetrik (im lR4) 143 Lasung einer Polynomgleichung 79 Lot von einem Punkt auf eine Gerade 67

Machtigkeit 256 Mannigfaltigkeit 190 -, parallelisierbare 197 Menge,abzahlbare 256,269 -, endliche 257, 266, 269 -, induktive 39,266 -, konstruktible 257 -, leere 261, 265 -, tiberabzahlbare 256, 269 -, unendliche 14, 256, 257, 266 Mengenlehre, CANToRsche 256, 263 - mit Urelementen 261 -,NBG- 270 - ohne Urelemente 261,263 - von KELLEy-MoRSE 270 -, ZERMELO-FRAENKELsche 267 -, ZERMELOsche 264,267 mengentheoretische Differenz 268 Minimumsatz (von CAUCHY) 89 mod 2 - Abbildungsgrad 199 mod 2 - Invariante 199 "Modulus" einer komplexen Zahl 60 MOIvREsche Formel 75 Multiplikation von ganzen Zahlen 19 - - komplexen Zahlen 53 - - - - in Polarkoordinaten 74 - - nattirlichen Zahlen 17 - - rationalen Zahlen 21 - - reellen Zahlen 32, 35, 39 multiplikative Gruppe von ([' 54 Mutation (von Algebren) 186 Mutationssatz flir endlich-dimension ale

Kompositionsalgebren 187

Sachverzeichnis 285

Nachfolger 13 Nachfolgerfunktion 13,262, 268 nattirliche Zahl 13 - - im VON NEUMANNschen Sinn 261,262,

268 - - - ZERMELOschen Sinn 261,262 Negation einer CONWAYZahl 252 - eines CONWAYSpiels 248 - - Spiels 243 negatives Spiel 241 Nichtanordbarkeit von ([' 56 nicht-trivialer Ultrafilter 218 nilpotent 95 Nim-Spiel 239 Non-Standard Analysis 214 Non-Standard Zahl, benachbarte 214 - -,endliche 214 - -, Standardteil einer 214 - -, unendlich kleine 214 Norm in einem euklidischen Vektorraum

142 - - - reellen Vektorraum 163 normiertes Primpolynom 93 Null 12, 13 Nullfolge 35 Nullstelle (eines Polynoms) 78 -n, Abspaltung von 91 -n der Cosinusfunktion 111 -n der Sinusfunktion 111 Nullteiler (in einer Algebra) 127 nullteilerfreie Algebra 127, 129 Nullteilerfreiheit von 7L 19

Objekt haheren Typs 258 Oktave 125,155,168,172 Oktonion: siehe Oktave Ordinalzahl 262 -, transfinite 256 Ordnung, totale 252 Ordnungsrelation: siehe Anordnung orthogonale Gruppe des lR2 69 - - einer alternativen quadratischen

Algebra 172 - - eines euklidischen Vektorraumes 149 - - von IH 149, 151 - - - Im(IH) 150,151,153 - lR-lineare Abbildung von ([' 69 - Iineare Selbstabbildung eines euklidi-

schen Vektorraumes 148, 149 - reelle 2 x 2 Matrix 70 - Vektoren in ([' 60 - - - einem euklidischen Vektorraum 142

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286 Sachverzeichnis

n 98 -, Definition 107 -, klassische Charakterisierungen 111 -, klassische Formeln 102, 114 -, Naherungen 100 Paarmengenaxiom 265 parallelisierbare Mannigfaltigkeit 197 Parallelisierbarkeit einer Sphare 197, 200,

208 - eines projektiven Raumes 197, 208 Parallelogrammregel 55 Parametrisierung der Kreislinie 70 - eigentlich orthogonaler Matrizen 71,154 Partie eines Spiels 238 PEANo-Axiome 17 Pentagon 24 Pentagramm 24 periodische Funktion 111 Periodizitatssatz (fUr Exponential-, Cosinus­

und Sinusfunktion) 111 Periodizitatssatz von BOTT: siehe BOTTscher

Periodizi ta tssa tz POINCAREscher Dualitatssatz 193, 195 Polarkoordinaten 72 -darstellung 73 -epimorphismus 72, 113 Polynom, Faktorisierung 92 -, symmetrisches 96 Polynomring 93 positives Spiel 241 potenz-assoziative Algebra 127, 159, 161 Potenzen (in einer Algebra) 127 Potenzmenge 266 Potenzmengenaxiom 266 Potenzregel 127, 161 - fUr die Exponentialfunktion 106 Primformel 223 primitive Einheitswurzel 76 Primpolynom, normiertes 93 Primfaktorzerlegung von komplexen Poly-

nomen 93 - - reellen Polynomen 93 Produkt, kartesisches 268 Produkt von zwei CONWAYZahlen 253

Produktformel fiir Quaternionen 136 Produktregel (fUr Betrage) 54, 61, 64, 132,

133,144 - fUr die Bilinearform einer alternativen

quadratischen Algebra 170, 172 projektiver Raum 191 Proportionenlehre 26, 29

PUSIEuxentwicklung 82 pythagoraisches Quintupel 147 - Tripel 71

Quadratabbildung (auf einer reellen Alge-bra) 164

Quadratesatz 181 quadratische Algebra 160 - -, alternative 168 - Gleichung 62, 76 Quadratur des Kreises bzw. des Zirkels 121 Quadratwurzel 62, 76 Quaternion 125, 131, 135 -, Darstellung durch komplexe 2 x 2 Matri-

zen 136, 143, 145 -enalgebra 135 -engruppe 137 -en-Lemma 161

IR-Aussage 224 Realteil von komplexen Zahlen 55 - - Quaternionen 138, 143 rechte Klasse eines Schnittes 234 rechter Spieler 238 rechtes Element einer Paarmenge 238 reell 55 reelle Algebra 127 - Divisionsalgebra 131,159,161 - -, assozia ti ve 161 - -, kommutative 165, 167 regularer Wert einer Abbildung 199 Reihenmultiplikationssatz von CAUCHY

104 rein-imaginare Elemente einer reellen

Algebra 157, 160 - Quaternion 138 Rekursionssatz 15 Relation 260 Restklassenkorper der Fundamentalfolgen

35 Ring der Fundamentalfolgen 34 Rotation 142

Satz vom Dreiparteiensystem 64 - von ADAMS tiber die HOPFsche Invarian­

te 208 - - - - Vektorfelder auf Spharen 208 - - D'ALEMBERT-GAUSS: siehe "Fundamen-

talsatz der Algebra" - - CAYLEY 150 - - FROBENIUS 161

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- - HAMILTON 151 - - HOPF tiber endlich-dimensionale, reelle

kommutative Divisionsalgebren 165 - - - - ungerade Abbildungen 191, 194

HURWITZ 188 HURWITZ-RADON 188,208

- LINDEMANN und WEIERSTRASS 122 - PTOLEMAUS 66

- - ZORN 178 Schnitt 200 Schnittprodukt 193,195 Schnittring 193 Schnittzahl 193, 195 Schwerpunkt eines Dreiecks 64 Sehnenviereck 66 SIMsoNsche Gerade 67 simultanes Spielen 244 singuHirer Punkt eines k-Feldes 197 Sinusfunktion 109 skalarer Anteil (von Quaternionen) 138 Skalarprodukt fUr komplexe Zahlen 58, 60 - - Quaternionen 142 - - reelle Vektorraume 142 - imIR3 139 SOUsLiNsche Hypothese 275 Sphare 191 -, dreidimensionale 146

Spiegelungen im IR2 69 - in einem euklidischen Vektorraum 149 Spiel 238 Spieler 238 Spiel mit einer Strategie 240 Spielrelationen 238 Stammfunktion 231 Standardteil (einer Non-Standard Zahl)

214

Stellung eines Spiels 238 stetig differenzierbarer Weg 113

stetig differenzierbare Selbstabbildung eines Vektorraums 164 Stetigkeit 28, 29, 221 - der Exponentialfunktion 108 STiEFELSche Klasse 197, 200 STIEFEL-WHiTNEYSche Klasse 203 Strahlensatz 28 Strategie 240 Struktursatz fUr endlich-dimensionale Kom­

positionsalgebren mit Einselement 186 - - reelle, alternative, endlich-dimensionale

Divisionsalgebren 179

Stufe, VON NEUMANNsche 271

Sachverzeichnis 287

Substitutionshomomorphismus 161 Substitutionsregel 161 Summe von zwei CONWAYSpielen 248 - - - CONWAYZahlen 252 - - - Spielen 244 Supremum 40 symmetrisches Polynom 96

Tangensfunktion, Kettenbruchentwicklung der 119

Tangentialbiindel 200 Tangentialraum 196 Term 223 -, konstanter 223 These von GIRARD 79 transzendente Zahl 121 Transzendenz von e 121 - - IT 121 trigonometrische Funktion 99, 109 Tripel 260 Tupel 259 Typenhierarchie 259

iiberabzahlbar 256, 269 Ubertragungsprinzip 225 -, allgemeines 224 Ultrafilter 218 -, nicht-trivialer 218 U mfang eines Kreises 113 Umkehrsatz fUr stetig differenzierbare Ab­

bildungen 164 Unabhangigkeit der Kontinuumshypo-

these 257,258,274 - des Auswahlaxioms 274 Unabhangigkeitsbeweis 257, 258, 274 Unabhangigkeitslemma 157 unendlich, absolut 263 -, aktual 256 Unendlichkeitsaxiom 15,266 unendlich kleine Non-Standard Zahl 214 Ungleichung von CAUCHy-SCHWARZ 63 unitare 2 x 2 Matrix 147 "unmogliche Zahl" 45 Unteralgebra 128 Unvollstandigkeit 275 Urelement 258,261

Vektor 138 Vektoranalysis 141 Vektorfeld 196 -er aufSpharen 208

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288 Sachverzeichnis

vektorielle Quaternion 138 vektorieller Anteil (von Quaternionen) 138 Vektorprodukt im IR3 128, 139 Vektorraumbiindel 200 -, Produkt 201 -, Ring der 202 -, Summe 201 Verdopplungssatz 177 Vereinigung 268 Vereinigungsmengenaxiom 266 Verfeinerung (von Intervallschachtelungen)

38 verlorene Partie 238 Vielheit 256,263 "Vier-Quadrate-Satz" 133,145 VIETAsche Folge 115 VIETAsches Produkt 102, 115 VIET Asche Wurzelregel 62 Vollstandigkeitssatze 40 Vorgangerspiel 239 Vorzeichenregel von DEscARTEs 80

W ALLIssche F olge 117 WALLIsschesProdukt 102,117,121 Wechselwegnahme 24 Weg, stetig differenzierbarer 113 WEIERSTRASssche Definition von n 118 WHITNEYSche Summenformel 204

Widerspruchsfreiheit 264,271 - von IR 43 Wurzel einer komplexen Zahl 76 - eines Polynoms 78

Zahl, ganze 18 -, "hohere komplexe" 94, 125, 131, 155 -, komplexe 45, 53 -, natiirliche 13 -, negative 12, 18, 32 -, positive 12,32 -, rationale 20 -, reelle 28, 30 -, "unmogliche" 45 Zahl (CoNwAYzahl) 249,252 Zahlensystem, agyptisches 9 -, babylonisches 10 -, griechisches 10 -, indisch-arabisches 12 Zentrum (einer Algebra) 140 ZF 267 ZFC 267 ZORNsches Lemma 273 ZORNsche Vektormatrix 179 Zug in einer Partie 238 "Zwei-Quadrate-Satz" 61 zweiter Spieler 240, 242 Zwischenwertsatz 28,29,81,95, 108

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Leonhard EULER (1707 - 1783)

William Rowan HAMILTON (1805 - 1865)

Carl Friedrich GAUSS (1777 - 1855)

Richard DEDEKIND (1831 - 1916)

Federzeichnungen von Martina Koecher

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Georg CANTO R (1845 - 1918)

Heinz HOPF (1894 - 1971)

Ferdinand Georg F ROB EN I US (1849 - 1917)

Abraham ROBINSON (1918 - 1972)

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Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

M.Koecher

Lineare Algebra nnd analytische Geometrie 1983.35 Abbildungen. XI, 286 Seiten (Grundwissen Mathematik, Band 2) DM 38,-. ISBN 3-540-12572-8

Das Grundwissen zur Dearen Algebra und analytischen Geometrie, Thema einer zweisemestrigen Vorlesung, wird hier von einem kompetenten Autor vermittelt. Yom Inhalt her unterscheidet sich dieser zweite Band der Reihe Grundwissen Mathematik deutlich von ande­ren BUchem zur Linearen Algebra: - Der algebraische Teil ist nicht Selbstzweck, sondem

hebt die Aspekte der Linearen Algebra hervor, die auch fUr andere Teilgebiete der Mathematik wesent­lich sind.

- Von Anfang an wird aufwichtige Beispiele aus der Analysis besonderer Wert gelegt.

- Der Matrizen- und Determinantenkalklil wird in teilweise neuer Form dargestellt.

- Die analytische Geometrie in der Ebene und im Anschauungsraum hat neb en den euklidischen Vektordiumen ihren Platz. Die spharische Geo­metrie wird als Anwendung des Vektorproduktes dargestellt.

- In Beispielen und Anmerkungen wird auf Anwen­dung der Linearen Algebra und auf weiterfuhrende Theorien hingewiesen.

- Nicht zuletzt werden haufig historische BezUge auf-gezeigt.

FUr alle, die aus N eigung und Ptlicht mit der Mathe­matik verbunden sind, - Studierende der Mathematik im Haupt- und Neben­

fach, - Lehrer fUr Mathematik und Physik, - ausgebildete Mathematiker im Berufsleben,

wird dieses Buch sehr schnell unverzichtbares Arbeitsmittel und Nachchlagewerk sein.

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Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

1984 werden erscheinen:

Gmndwissen Mathematik

Band 3

W. Walter, Universitat Karlsruhe

Analysis I ISBN 3-S40-12780-1

Band 4

W. Walter, Universitat Karlsruhe

Analysis II ISBN 3-S40-12781-X

BandS

R Remmert, Universitat Munster

Funktionentheorie I ISBN 3-S40-12782-8

Band 6

R Remmert, Universitat Munster

Funktionentheorie II ISBN 3-S40-12783-6