Negation, Disjunktion, Konjunktion - hs-weingarten.desiol/DV1_Folien_WS0910/DVPT1_04.pdf ·...
Transcript of Negation, Disjunktion, Konjunktion - hs-weingarten.desiol/DV1_Folien_WS0910/DVPT1_04.pdf ·...
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
1
FB Technologie undManagement
Datenverarbeitung 1
(Kapitel 4 Boolesche Algebra)
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
2
Zustand eines digitalen SystemsSchaltnetz
y=f(x1…xn)
x1x2x3…………xn
y yk=fk(x1…xn)
x1x2x3…………xn
y1y2y3……ym
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
3
Pegelbereiche
+ 5 V
+ 3,3 V (typisch)
+ 2,4 V
H - Pegel
+ 0,4 V
+ 0,2 V (typisch)
+ 0 V
VerboteneZone
L - Pegel
• Signalbereiche für H- und L- Pegel(Ausgangspegel von Standard TTLGattern als Beispiel)
Die Spannungspegel am Ein- und Ausgang von digitalen Transistorschaltungen, speziell von Logikgattern, unterliegen erheblichen Streuungen.
Ursachen hierfür sind Exemplarstreuungen von Transistoren und anderen Bauelementen, Bauelementetoleranzen, Temperatureinflüsse, Betriebsspannungsschwankungen u. a. m.
Auch kurzzeitige (oft sprungartige) Betriebsspannungsänderungen, Störsignale, die auf den Verbindungs-, Masse- und Betriebsspannungsleitungen auftreten sowie kapazitiv oder induktiv eingekoppelte Störspannungen können die beiden Spannungspegel merklich verändern.
Aus diesem Grund ordnet man den beiden Spannungspegeln Hund L jeweils einen relativ breiten Pegelbereich zu.
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
4
Negation, Disjunktion, Konjunktion
x
NOT x
x1
x2
y=x1 ODER x2
y=x1 UND x2
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
5
A und B sind zwei Schalter in Serienschaltung, dies wird mit UND bezeichnet.
Konjunktion
A B
Offenbar hat den Schaltwert 1, wenn beideSchalter den Wert 1 haben und den Wert 0, wenn ein Schalterden Wert 0 hat. Man kann also für die Schaltwerte selbst beiSerienschaltung schreiben:
!
A"B
!
0"0 = 0
0"1= 0
1"0 = 0
1"1=1
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
6
A und B sind zwei Schalter in Parallelschaltung, dies wird mit ODER bezeichnet.
DisjunktionA
B
Offenbar hat den Schaltwert 1, wenn wenigstens einer derSchalter den Wert 1 hat und den Wert 0, wenn beide Schalterden Wert 0 haben. Man kann also für die Schaltwerte selbst beiParallelschaltung schreiben:
!
A"B
!
0"0 = 0
0"1=1
1"0 =1
1"1=1
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
7
Normalformen
011
101
110
000
YX2X1
!
Y = X1X2" X
1X2
Y = X1X2" X
1X2
Aus der Schaltbelegungstabelle liest man ab:
Es muss also gelten:
!
X1X2" X
1X2
= X1X2" X
1X2
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
8
Kanonische konjunktive Normalform(KKNF)
!
y = x1" x
2" x
3( )# x1" x
2" x
3( )# x1" x
2" x
3( )# x1" x
2" x
3( )# x1" x
2" x
3( )y = x
1" x
2( )# x1" x
2x3" x
3x2( )# x
1" x
2" x
3( )y = x
1x2x3" x
1x3x2" x
2x1" x
2x3( )# x
1" x
2" x
3( )y = x
2x1" x
1x2x3" x
1x3x2" x
1x3x2" x
3x2x1( )
y = x1x2x3""x
1x3x2" x
3x2x1" x
3" x
3( )x2 x1( )y = x
1x2x3" x
1x3x2" x
3x2x1" x
3x2x1( )
y = x1x2x3" x
1x2x3" x
1x2x3
Kapitel 3.1.1.2.4 Seite 3-11: Umrechnung der Maxtermform bzw. der Kanonischen konjunktiven Normalform (KKNF) in die Kanonische disjunktive Normalform (KDNF).
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
9
Negation
+10 V
x
y!
y = x
Schaltung mit einemBipolartransistor inpositiver Logik.
1x
!
y = x
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
10
UND
x1
x2
R2R1
R
y
+10 Vy = x1 x2
&x1
x2
y
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
11
ODER
x1
x2
R
!
y = x1" x
2
!1x1
x2
yy
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
12
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
13
NAND
x1
x2
R2R1
R
&x1
x2
y!
y = x1" x
2
y = x1# x 2
+10 V
y
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
14
NOR
x1
x2
!1x1
x2
y
!
y = x1" x
2
y = x1# x 2
R3
+10 V
yR1
R2
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
15
Rechenregeln der Schaltalgebra
• Negation
• Konjunktion
• DisjunktionIn elektrischen Schaltkreisen dienen Schalter zum Öffnen und Schließen von Kontakten.Die Stellung des Schalters kann offen oder geschlossen sein, also genau zwei Werte annehmen.Dem offenen Schalter ordnen wir den Wert 0 zu und dem geschlossenen Schalter den Wert 1.so dass 0 bedeutet „kein Strom“ und 1 bedeuted „Strom“. Man nennt {0,1} auch die Schaltwerte des Schalters.
Man kann nun Schalter auf mannigfache Weise zu einem Schaltkreis zusammensetzen.Dabei sind Schaltungen besonders wichtig, die durch endlich oftmalige Wiederholung vonParallelschaltungen bzw. Serienschaltungen von Schaltern aufgebaut werden.
Dabei sollen ganz allgemein Schalter Vorrichtungen sein, die „offen“ oder „geschlossen“ sein können.
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
16
Beispiele für Wahrheitstabellen und logische Funktionen
a b c d f1 f2 f3 f4?
0 0 0 0 | 0 0 1
0 0 0 1 | 0 0 0
0 0 1 0 | 0 0 1
0 0 1 1 | 1 0 0
0 1 0 0 | 0 0 1
0 1 0 1 | 0 1 0
0 1 1 0 | 0 0 1
0 1 1 1 | 1 1 0
1 0 0 0 | 0 0 0
1 0 0 1 | 0 0 0
1 0 1 0 | 0 0 0
1 0 1 1 | 1 0 0
1 1 0 0 | 1 0 0
1 1 0 1 | 1 1 0
1 1 1 0 | 1 0 0
1 1 1 1 | 1 1 0
Wahrheitstabelle
n Variable, n - Spalten
2n Möglichkeiten
dbf !=2
( ) ( )dcbaf !"!=1
?3 =f
( )cbaf !"=4
Wie lautet die Funktion für f3?Welche Werte gehören in die Spalte für f4?
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
17
Logikgatter
Logische Gatter sind die elementaren Grundbausteine digitaler Schaltungen und Systeme. Sie steuern den Signalfluss durch das gesamte digitale System. Die Bezeichnung Gatter (Tor) weist darauf hin,
dass sie durch die am Eingang anliegenden Signale geöffnet und geschlossen werden können und auf diese Weise entweder
die Information weiterleiten oder ihre Weiterleitung verhindern. Wir betrachten in diesem Buch (Manfred Seifart, Helmut Beikirch;Digitale Schaltungen; Verlag Technik Berlin) ausschließlich Elemente der zweiwertigen (binären) Logik.
Mit nur einem Gattertyp, der eine Verknüpfungsform und eine Negation enthält (z. B. NAND- oder NOR-Gatter)
lassen sich alle digitalen Steuerungsfunktionen, d. h. sowohl Kombinations- als auch Folgeschaltungen realisieren.
Selbst der umfangreichste Digitalrechner lässt sich (theoretisch) aus einem oder aus wenigen immer wiederkehrenden
Grundgattern aufbauen. Aus Aufwandsgründen werden in der Praxis jedoch überwiegend hoch- und höchstintegrierte Schaltkreise (RAMs, ROMs, ALU, Multiplizierer u. a. m.) verwendet. Aus logischer Sicht realisiert jedes elementare Grundgatter (z. B. UND, ODER, NAND, NOR, Negator) eine kombinatorische Verknüpfung.
Durch Zusammenschalten mehrerer Grundgatter und Anwenden des Prinzips der Rückkopplung entstehen Folgeschaltungen.
Die logische Funktion von Gattern (d. h. die logische Abhängigkeit zwischen den Ausgangs- und den Eingangssignalen) wird mit Hilfe der Schaltalgebra (Boolesche Algebra) beschrieben. Die Gleichungen der Booleschen Algebra sind darüber hinaus
für den Entwurf digitaler Schaltungen und Systeme sowie für deren Vereinfachung (Minimierung der Anzahl von Gattern)
von großer Bedeutung.
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
18
Elementare logische GatterAND
a b c
0 0 = 0
0 1 = 0
1 0 = 0
1 1 = 1
OR
a b c
0 0 = 0
0 1 = 1
1 0 = 1
1 1 = 1
NOT
a c
0 = 1
1 = 0
a b
a
b
a
bac !=
bac !=
ac =
&
and
>=1
or
c0
a0
b0
c1
a1
b1
c3a3
&
not
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
19
Speicherbaustein
Schaltsymbol RS-Flipflop
Implementierung RS-Flipflop
Schaltfunktion RS-Flipflop
RSFlipflop
set
reset
Q
NOT_Q
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
20
Technische Realisierung der Schaltlogik
>=1
NOR Ua
U1
U2
NOR-Gatter
>=1
NOR2
a2
b2
>=1
NOT Ua1
OR, realisiert als NOR
>=1
NOR4
a3
b3
>=1
NOT1
Ua2
AND, realisiert als NOR
>=1
NOT2
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
21
Umsetzung der Schaltfunktionen
a b s c
0 0 | 0 0
0 1 | 1 0
1 0 | 1 0
1 1 | 0 1
Wahrheitstabelle
für Addition
bac !=
( ) ( )babas !"!=Boolsche Funktion
für Addition
Realisierung Exclusiv-Oder
=1
XOR s1
a2
b2
&
and1a
b
&
and2
>=1
or s
=
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
22
Realisierung einer Addition mit logischen Gattern (Halbaddierer)
=1
a
b
&
s
c1
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
23
4-Bit Addition von Binärzahlen
s0
=1
&
c1
&
s1
=1
=1
>=1&
c2
=1
s2
Addierer für 4-stellige Binärzahl
I2B_A
2
A
&
&
&
&
&=1
>=1&
c3
=1
s4
&
&
&=1
>=1&
c4
Overflow
&
&
I2B_B
3
B
SL
5
Summe
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
24
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
25
Schaltsymbole nach DIN 40 900
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
26
Endliche Automaten
• Zustandsdiagramm einer Mausefalle
G GM, T
M, T
M, T
M, T
!
Z = T,T { }T = Maus_ ist _ tot
T = Maus_ ist _ nicht _ tot
!
S = G,G{ }G = Falle_ ist _ gespannt
G = Falle_ ist _ nicht _ gespannt
!
E = M,M{ }M = Maus_ kommt
M = Maus_ kommt _ nicht
Eingabealphabet: Zustandsmenge: Ausgabealphabet:
(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen
27
Endliche Automaten
• Zustandstafel einer Mausefalle
!
G,T
!
G,T
!
G,T
!
G,T
!
G
!
G!
M
!
M