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(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-Weingarten Technik | Wirtschaft | Sozialwesen 1 FB Technologie und Management Datenverarbeitung 1 (Kapitel 4 Boolesche Algebra) (r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-Weingarten Technik | Wirtschaft | Sozialwesen 2 Zustand eines digitalen Systems Schaltnetz y=f(x1…xn) x1 x2 x3 x n y y k =f k (x1…xn) x1 x2 x3 x n y1 y2 y3 y m (r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-Weingarten Technik | Wirtschaft | Sozialwesen 3 Pegelbereiche + 5 V + 3,3 V (typisch) + 2,4 V H - Pegel + 0,4 V + 0,2 V (typisch) + 0 V Verbotene Zone L - Pegel Signalbereiche für H- und L- Pegel (Ausgangspegel von Standard TTL Gattern als Beispiel) Die Spannungspegel am Ein- und Ausgang von digitalen Transistorschaltungen, speziell von Logikgattern, unterliegen erheblichen Streuungen. Ursachen hierfür sind Exemplarstreuungen von Transistoren und anderen Bauelementen, Bauelementetoleranzen, Temperatureinflüsse, Betriebsspannungsschwankungen u. a. m. Auch kurzzeitige (oft sprungartige) Betriebsspannungsänderungen, Störsignale, die auf den Verbindungs-, Masse- und Betriebsspannungsleitungen auftreten sowie kapazitiv oder induktiv eingekoppelte Störspannungen können die beiden Spannungspegel merklich verändern. Aus diesem Grund ordnet man den beiden Spannungspegeln Hund L jeweils einen relativ breiten Pegelbereich zu. (r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-Weingarten Technik | Wirtschaft | Sozialwesen 4 Negation, Disjunktion, Konjunktion x NOT x x1 x2 y=x1 ODER x2 y=x1 UND x2

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1

FB Technologie undManagement

Datenverarbeitung 1

(Kapitel 4 Boolesche Algebra)

(r.siol) 13.12.2009 Hochschule Ravensburg-WeingartenTechnik | Wirtschaft | Sozialwesen

2

Zustand eines digitalen SystemsSchaltnetz

y=f(x1…xn)

x1x2x3…………xn

y yk=fk(x1…xn)

x1x2x3…………xn

y1y2y3……ym

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Pegelbereiche

+ 5 V

+ 3,3 V (typisch)

+ 2,4 V

H - Pegel

+ 0,4 V

+ 0,2 V (typisch)

+ 0 V

VerboteneZone

L - Pegel

• Signalbereiche für H- und L- Pegel(Ausgangspegel von Standard TTLGattern als Beispiel)

Die Spannungspegel am Ein- und Ausgang von digitalen Transistorschaltungen, speziell von Logikgattern, unterliegen erheblichen Streuungen.

Ursachen hierfür sind Exemplarstreuungen von Transistoren und anderen Bauelementen, Bauelementetoleranzen, Temperatureinflüsse, Betriebsspannungsschwankungen u. a. m.

Auch kurzzeitige (oft sprungartige) Betriebsspannungsänderungen, Störsignale, die auf den Verbindungs-, Masse- und Betriebsspannungsleitungen auftreten sowie kapazitiv oder induktiv eingekoppelte Störspannungen können die beiden Spannungspegel merklich verändern.

Aus diesem Grund ordnet man den beiden Spannungspegeln Hund L jeweils einen relativ breiten Pegelbereich zu.

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Negation, Disjunktion, Konjunktion

x

NOT x

x1

x2

y=x1 ODER x2

y=x1 UND x2

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A und B sind zwei Schalter in Serienschaltung, dies wird mit UND bezeichnet.

Konjunktion

A B

Offenbar hat den Schaltwert 1, wenn beideSchalter den Wert 1 haben und den Wert 0, wenn ein Schalterden Wert 0 hat. Man kann also für die Schaltwerte selbst beiSerienschaltung schreiben:

!

A"B

!

0"0 = 0

0"1= 0

1"0 = 0

1"1=1

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A und B sind zwei Schalter in Parallelschaltung, dies wird mit ODER bezeichnet.

DisjunktionA

B

Offenbar hat den Schaltwert 1, wenn wenigstens einer derSchalter den Wert 1 hat und den Wert 0, wenn beide Schalterden Wert 0 haben. Man kann also für die Schaltwerte selbst beiParallelschaltung schreiben:

!

A"B

!

0"0 = 0

0"1=1

1"0 =1

1"1=1

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Normalformen

011

101

110

000

YX2X1

!

Y = X1X2" X

1X2

Y = X1X2" X

1X2

Aus der Schaltbelegungstabelle liest man ab:

Es muss also gelten:

!

X1X2" X

1X2

= X1X2" X

1X2

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Kanonische konjunktive Normalform(KKNF)

!

y = x1" x

2" x

3( )# x1" x

2" x

3( )# x1" x

2" x

3( )# x1" x

2" x

3( )# x1" x

2" x

3( )y = x

1" x

2( )# x1" x

2x3" x

3x2( )# x

1" x

2" x

3( )y = x

1x2x3" x

1x3x2" x

2x1" x

2x3( )# x

1" x

2" x

3( )y = x

2x1" x

1x2x3" x

1x3x2" x

1x3x2" x

3x2x1( )

y = x1x2x3""x

1x3x2" x

3x2x1" x

3" x

3( )x2 x1( )y = x

1x2x3" x

1x3x2" x

3x2x1" x

3x2x1( )

y = x1x2x3" x

1x2x3" x

1x2x3

Kapitel 3.1.1.2.4 Seite 3-11: Umrechnung der Maxtermform bzw. der Kanonischen konjunktiven Normalform (KKNF) in die Kanonische disjunktive Normalform (KDNF).

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Negation

+10 V

x

y!

y = x

Schaltung mit einemBipolartransistor inpositiver Logik.

1x

!

y = x

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UND

x1

x2

R2R1

R

y

+10 Vy = x1 x2

&x1

x2

y

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ODER

x1

x2

R

!

y = x1" x

2

!1x1

x2

yy

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NAND

x1

x2

R2R1

R

&x1

x2

y!

y = x1" x

2

y = x1# x 2

+10 V

y

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NOR

x1

x2

!1x1

x2

y

!

y = x1" x

2

y = x1# x 2

R3

+10 V

yR1

R2

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Rechenregeln der Schaltalgebra

• Negation

• Konjunktion

• DisjunktionIn elektrischen Schaltkreisen dienen Schalter zum Öffnen und Schließen von Kontakten.Die Stellung des Schalters kann offen oder geschlossen sein, also genau zwei Werte annehmen.Dem offenen Schalter ordnen wir den Wert 0 zu und dem geschlossenen Schalter den Wert 1.so dass 0 bedeutet „kein Strom“ und 1 bedeuted „Strom“. Man nennt {0,1} auch die Schaltwerte des Schalters.

Man kann nun Schalter auf mannigfache Weise zu einem Schaltkreis zusammensetzen.Dabei sind Schaltungen besonders wichtig, die durch endlich oftmalige Wiederholung vonParallelschaltungen bzw. Serienschaltungen von Schaltern aufgebaut werden.

Dabei sollen ganz allgemein Schalter Vorrichtungen sein, die „offen“ oder „geschlossen“ sein können.

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Beispiele für Wahrheitstabellen und logische Funktionen

a b c d f1 f2 f3 f4?

0 0 0 0 | 0 0 1

0 0 0 1 | 0 0 0

0 0 1 0 | 0 0 1

0 0 1 1 | 1 0 0

0 1 0 0 | 0 0 1

0 1 0 1 | 0 1 0

0 1 1 0 | 0 0 1

0 1 1 1 | 1 1 0

1 0 0 0 | 0 0 0

1 0 0 1 | 0 0 0

1 0 1 0 | 0 0 0

1 0 1 1 | 1 0 0

1 1 0 0 | 1 0 0

1 1 0 1 | 1 1 0

1 1 1 0 | 1 0 0

1 1 1 1 | 1 1 0

Wahrheitstabelle

n Variable, n - Spalten

2n Möglichkeiten

dbf !=2

( ) ( )dcbaf !"!=1

?3 =f

( )cbaf !"=4

Wie lautet die Funktion für f3?Welche Werte gehören in die Spalte für f4?

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Logikgatter

Logische Gatter sind die elementaren Grundbausteine digitaler Schaltungen und Systeme. Sie steuern den Signalfluss durch das gesamte digitale System. Die Bezeichnung Gatter (Tor) weist darauf hin,

dass sie durch die am Eingang anliegenden Signale geöffnet und geschlossen werden können und auf diese Weise entweder

die Information weiterleiten oder ihre Weiterleitung verhindern. Wir betrachten in diesem Buch (Manfred Seifart, Helmut Beikirch;Digitale Schaltungen; Verlag Technik Berlin) ausschließlich Elemente der zweiwertigen (binären) Logik.

Mit nur einem Gattertyp, der eine Verknüpfungsform und eine Negation enthält (z. B. NAND- oder NOR-Gatter)

lassen sich alle digitalen Steuerungsfunktionen, d. h. sowohl Kombinations- als auch Folgeschaltungen realisieren.

Selbst der umfangreichste Digitalrechner lässt sich (theoretisch) aus einem oder aus wenigen immer wiederkehrenden

Grundgattern aufbauen. Aus Aufwandsgründen werden in der Praxis jedoch überwiegend hoch- und höchstintegrierte Schaltkreise (RAMs, ROMs, ALU, Multiplizierer u. a. m.) verwendet. Aus logischer Sicht realisiert jedes elementare Grundgatter (z. B. UND, ODER, NAND, NOR, Negator) eine kombinatorische Verknüpfung.

Durch Zusammenschalten mehrerer Grundgatter und Anwenden des Prinzips der Rückkopplung entstehen Folgeschaltungen.

Die logische Funktion von Gattern (d. h. die logische Abhängigkeit zwischen den Ausgangs- und den Eingangssignalen) wird mit Hilfe der Schaltalgebra (Boolesche Algebra) beschrieben. Die Gleichungen der Booleschen Algebra sind darüber hinaus

für den Entwurf digitaler Schaltungen und Systeme sowie für deren Vereinfachung (Minimierung der Anzahl von Gattern)

von großer Bedeutung.

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Elementare logische GatterAND

a b c

0 0 = 0

0 1 = 0

1 0 = 0

1 1 = 1

OR

a b c

0 0 = 0

0 1 = 1

1 0 = 1

1 1 = 1

NOT

a c

0 = 1

1 = 0

a b

a

b

a

bac !=

bac !=

ac =

&

and

>=1

or

c0

a0

b0

c1

a1

b1

c3a3

&

not

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Speicherbaustein

Schaltsymbol RS-Flipflop

Implementierung RS-Flipflop

Schaltfunktion RS-Flipflop

RSFlipflop

set

reset

Q

NOT_Q

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Technische Realisierung der Schaltlogik

>=1

NOR Ua

U1

U2

NOR-Gatter

>=1

NOR2

a2

b2

>=1

NOT Ua1

OR, realisiert als NOR

>=1

NOR4

a3

b3

>=1

NOT1

Ua2

AND, realisiert als NOR

>=1

NOT2

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Umsetzung der Schaltfunktionen

a b s c

0 0 | 0 0

0 1 | 1 0

1 0 | 1 0

1 1 | 0 1

Wahrheitstabelle

für Addition

bac !=

( ) ( )babas !"!=Boolsche Funktion

für Addition

Realisierung Exclusiv-Oder

=1

XOR s1

a2

b2

&

and1a

b

&

and2

>=1

or s

=

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Realisierung einer Addition mit logischen Gattern (Halbaddierer)

=1

a

b

&

s

c1

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4-Bit Addition von Binärzahlen

s0

=1

&

c1

&

s1

=1

=1

>=1&

c2

=1

s2

Addierer für 4-stellige Binärzahl

I2B_A

2

A

&

&

&

&

&=1

>=1&

c3

=1

s4

&

&

&=1

>=1&

c4

Overflow

&

&

I2B_B

3

B

SL

5

Summe

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Schaltsymbole nach DIN 40 900

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Endliche Automaten

• Zustandsdiagramm einer Mausefalle

G GM, T

M, T

M, T

M, T

!

Z = T,T { }T = Maus_ ist _ tot

T = Maus_ ist _ nicht _ tot

!

S = G,G{ }G = Falle_ ist _ gespannt

G = Falle_ ist _ nicht _ gespannt

!

E = M,M{ }M = Maus_ kommt

M = Maus_ kommt _ nicht

Eingabealphabet: Zustandsmenge: Ausgabealphabet:

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Endliche Automaten

• Zustandstafel einer Mausefalle

!

G,T

!

G,T

!

G,T

!

G,T

!

G

!

G!

M

!

M