Neumann, Synthetische Harmonielehre

8/7/2019 Neumann, Synthetische Harmonielehre

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FRIEDRICH NEUMANN

SYNTHETISCHEHARMONIELEHRE


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Copyrl,ht 1951 by Breltkopf" Hlirte) In Le,IP.11I 1.I,De,1I to Breltkop' PablicatioDl, IDC., New YOl'k

M3Ilf (Breltkopf& HIlrteJ. LdpIds) .. . u.ens'Nr34 75301'511- ']222'49

Vorwort"Vier Punkte sind es", so sagt Paul Hindemith inseiner Unterweisungim Tonsatz1), "welche uns die Harmonielehre ale ein zu enges Systemder Klangbestimmung und -bearbeitung erscheinen lassen:1.~~. Bauprinzip der Klinge ist das tibereinandersetzen von Terzen.2. Die Klinge sind umkehrbar.3. Durch Erhohung oder Vertiefung leitereigener Tone der diatoni-schen Leitern liBt sich der Akkordvorrat einer Tonart erweitem.4. Die Akkorde sind mehrdeutig."DaB der Terzenaufbau ein ungeniigendes und mangeIhaft begriindetesPrinzip der Mehrklangsbildung sei, steUt bereits Arnold SchOnberg!) fest.Schon der Riemannsche Begriff der cbarakteristischen Dissonanz3) weist

auf andere mogliche Prinzipien hin. Noch deutlicher kiindigen sich diesebei Arthur von Oettingen4) an, der seinerseits auf Moritz Haupt.mannl) fuBt.Inder Folgezeit sind diese fruchtbaren Anregungen leider verlorengegangen. Man glaubte den ale uozu1&nglichempfundenen Terzenaufbaudurch andere genau 80 schematische Aufbaupriozipien ersetzen odererginzen zu mUssen (vor allem der reine Quinten. oder Quartenaufbauistzu einer gewissen Beriihmiheit gelangt). SchlieBlich kam man zurstatistischen Zusammenfassung aUer ilberhaupt moglichen Akkorde undglaub~ nun einen unerschOpflichen Reichtum an Gebilden zu besitzen.Seltsam, daB dieser noah nicht genilgte: ungehemmte Fortschrittswutforderte und verwirklichte die Vierteltcnmusik8).So anregend diese Experimente im einzelnen fiir die mnsika1;schePraxis sein mochten, im ganzen fUhrten sie doch nur 'zu einer kiinstlichen Akkordsystematik, etwa vergleichbar der Linn&lchen Einteilungdes Pflanzenreiches. Wir versuchen nun an dieser Stelle ein natiirliches.1Pa ul 1l in d em i th , Un te rwe is uDg 1m Tonsatz.MaiDz 1937. A rn ol d S ch On be rg . H ar m on ie 1e hr e, 3 . A u fl . W ie n 1 9 22 . H u go Riema.nn. E l eme n ta r- S ch u lb uc h d e r 1 i6 rmo n ie le h re , L e ip zi g., A r th u r von Oe tt iDg en , Da s d u al e Ha rmoD i es y&t em . L e ip zi g 1913IH oritz H au ptm ann. D ie N atu r dei HamioDik and Me tr ik , L ei pz ig 1 85 3 . A lo ia RAba , N e ue H ar m oD ie le hr e, L ei pz ig 1921. .


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IVund synthetisches Akkordbauprinzip darzulegen, dessen Leitged&nke dietonale Zielstrebigkeit ist. Die drei Hauptfunktionen. Tonika, Domino.nteund Subdominante, wirken sinngebend auf die lIehrklinge, indem siediese gleichsam aus dem Tonraum an sich zieben. Es gibt also nur dreiiibergreifende Mehrklangsfamilien: Tonikastrebeklinge, Dominant-strebeklange und Subdominantstrebeklinge, deren jede freilich auf diemannigfaltigste Weise gestaltet werden kann.Zum zweiten Punkt der Hindemithschen Kritik bemerkt dieser selbst,daB sich vor allem der Dreiklang so umstellen lesse, daB die Umkehrungleicbt als andere Form der Ausgangslage erkannt wird. Die Schwierig-keiten bei der Umkehrung komplizierterer Akkorde vermeiden wir aufdoppelte Weise: einmal indem wir- jede Akkordumkehrung auf die Um-kehrungen des Dreiklanges zuriickftlhren; der BaBton eines Akkordeskann nii.mlich naeh unserer AuHassung stets nur Grundton, Terz oderQuinte eines der konstituierenden Dreiklinge sein. Zum andern wirdder Akkordaufbau durch die an geeigneter Stelle zu erklirenden Kolli-sionsgesetze mitbestimmt.Die Unzulinglichkeit des AlterationsbegrUfes hat vor allem Arthurvon Oettingen aufgezeigt. Das von ibm angegebene Verfahren zur Be-stimmung der sogenannten alterierten Akkorde geht in seinen Grund-ziigen auf Moritz Hauptmann zurilck und wurde von una iibemommenund weitergebildet.Was nun den letzten Punkt der Hindemithscben Kri tik, die Mehr-deutigkeit der Akkorde, betrifft. so konnten wir una hier dem von unaverehrten Tondicbter nioht anschlieBen. In seinen ErOrterungen zudiesem Problem gibt Hindemith ds e Beispiel des Dominantseptakkordesg-h-d-/. der siob in den a - D u r o , Fis-Dur- und dis-MolldreiklangauflOsen kann und dabei einmal al a Orundlsge, dann a . 1 s Quintsext-akkord und zuletzt ala Terzquartakkord ang'r 'ehen werden muD.

- IErne Betrachtungsweise. meint Hindemitb, die "eine so handfesteErscbeinung auf so vielfiltige Art zu deu~ erlaubt". sei falach. Imfolgenden gesteht er allerdings dem Dominantseptakkord eine ver-sehiedene tonale Bedeutung su, je nacb der Art seiner Aufl6sung. Diesetonale Becieutung ist nun der Grundgedanke deshier d&rgelegtenAkkord-baupriozips. ZweiAkkorde. deren TOne je fU r siCbgenommen einen ver-scbiedenen tonalen Sinn haben, k6nnen una nicbt a1s gleiob gelten,mOgenwir aucb zebnmal dieselben Tasten desK1a.viers.zu ihrer Dar-. '

II Ir-

vstellung benutzen. Ja, 'wir behaupten sogar, daB ein Ton erst da zummusikalischen Ereignis wird, wo er einen bestimmten und klaren tonalenSinn hat.Dieser tonale Sinn sber ergibt slob aus dem Zusammenhang; mitanderen Worten: man soll einen Akkord nie beurteilen, ohne ibn mitder Erinnerung an den vorhergehenden oder mit der Vorstel lung desfolgenden Akkordes verglicben zu haben. Jenes Zusammenfassen

des in derZeit nacheinander Gegebenen zur Einheit nennt man aberSynthesis und Erkenntnisse, die man erst aua der vollzogenen Syn-thesis gewinnt, beiDensynthetisch. In diesem Sinne will unsere Arbeitsynthetische Harmooielehre sein.Bevor ioh meine Arbeit der musikaliscben Offentliobkeit iibergebe,edenke iob dankbar meines verehrten Lehrers, Prof. Joh. Nep. David,dessen stete Teilnahme und treUende Kritik mir unentbehrlio war.Mit Dank erkenne ich aueh die GroBziigigkeit und Initiative des Ver-la.ges Breitkopf & Hartel an, der mir in schwierigen allgemeinen Um-standen ermoglicht bat, zu grundsitzliohen Fragen Stellung zu nehmen.

Salzburg, im April 1950 Friedrich Neumann


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InhaltsverzeichnisSelle

Vorwort ...................................... 0 00000000000 mA. Grundlagen des harmonischen Systems

I. Vorbemerkung 00 0" 0 0 00 0 0 00. 1(1) Gegenatand der Musiktheor ie - (2) Gesetzgebende Normal-gestalten - (3) MWliktheorieund Tonkunst - (4) Teildlsziplinen darMnsiktheorie.

II.Die mathematisch-physikalischen Grundlagen des Tonsystems 0" 0 0" 0 0 0 0 0 000 00 0........ 3(5) Der Ton al a SchwiDgungsvorgang - (6) Berechnen von SchwingungsverhlUtnissen - (7) Das syntoDische Komma - (8) Die Ober-tonreihe - (9) Arithmetische Teilung eines lDtervalles - (lO)oHar.moDische Teilung. Untertomeiheom. Dur und Molldreiklang 00 00 00000o. 0 00 0 0 7(11) Terminologische Bestimmungen - (12) Die Oktave - (13) Quintound Quarto - (14) Dur- und Molldreiklang - (15)Verschiedene Auffassungen des MollpbAoomena - (16) Setzen von Dreikl&DgeD.

B. System der QuiDtverwandtschaftII. VerbinduDg quintverwandter Dreiklinge 0.... 0'........ 13

(17) .Begriffaerklirung - (18) Harmonie. und Melodiesohr itt -(19) Stimmfdhrungar_9geln - (20) Dar einfaohe Quintsohritt -(21) Sekundirer D Ua li8 mu s - (2 2) Nochmals dar einfache Quint-schritt - (23) Interval le dar einfachen Quintverwandtsohaft -(24) Stimmfilhrende und querstehende lDtervalle.II.Die einfaohe Tonart . .. .. .. .. . .. 0 0.0 : 22

(25) TerminoloSuche Bestimmungen - (26) Tonale Anziehunga-kraft - (27) Baugesetz der einfachen Tonarten - (28) Vergleich darvier einfachen TODarten - (29) Umfirbung - (30) Die doppelteQuintverwandtschaft - (31) Interval le dar doppelten Quint-verwandtschaft - (32) Folgedissonanz - ( 33 ) Z us amm e n f8 88UDg .die Durmolltonart.

m. Quintverwandte Tonarten ..... .. . . .. .. .. 32(34) Begriff dar Modulation - (36) Modulationen ohne UmfirbUDg-(36) MOclulationen mit UmIarbung., . .,IV. Die erweiterte Tonart ............... 38(37) Baugesetz dar erweiterten Tonart - (38) Der einfache undcloppelte Quintschritt inder erweiterteD. Tonart - (39) Kadensen


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xSelteIII. Weiteres fiber das Parallelverhiltnis 170

(126) FiiDffach verschiedene A u n a a u n g von Strebeklingen -(127) Unmittelbare Verbindung dor GrundWne parallelverwandterTonarten.F. Modula tion und Riiokbezug

1. llodulation 174(128) Erkl ii rung der Modulat ion - (129) Arten des Bedeutungs.wandols- (130) Zusammongesetzto Modulationen - (131) Erkllirungder Ausgangstonart. Verselbstindigung dot Zieltonart dureh Urn.riirbung- (132) ]'lodulation in die Doppelober- und .unterparaUole -(133) Mehrdeutigkeit der Beziehungen.

II. Rilekbezug 178(134) Modulation als dissonanter Spannungszustand - (136) DaaVerbiltnis zwischen Haupt- und Nebentonika bestimmt denFortgang der Modulation - (136) Ein Verfahren zur Auffindung desllodulationsplanes - (137) Drei Tonartverh&ltniue - (138) Rackbezugstonika zweitor und drittor Ordnung - (139) Hinwois aufmelodiscbe, rbythmische und formale Momento - (140) Orundbegriff der }lodulation und l\lodulationsordnung.

O. Cbersicht fiber die Harmoniebewegung 187(141) Oktave, Quinte. Quarto - (142) Dur- und Mollterz - (143) Entfaltung zum Tonsystem - (144) KonsoDanz und DisaoDanz -(145) Antel l der Quint. und Paral1elverwandtachaft an den ver-sehiedenen Tonar ten - (146) Du Priuzip dor Tonartbi ldung.

A.GRUNDLAGENDES HARMONISCHEN SYSTEMS

I. Vorbemerkung(1) Gegenstand der Musiktheorie sind die Tone und mannigfaltigen

Tonverbiltnisse. soweit sie vom menschlichen Gemftt deutlieh empfundenund vorgestel lt werden k5nnen.Mit den Tonen. den technischen oder natftrlichen Bedingungen ihrer

E~eugung und den dabei auftre tenden Erscbe inungen usw. bescbiftigtsich di~_Akustik am Zweig der Naturlehre. Sie ist fftr die Musik tbeorieed:~y~pgsvoll , wel l die mathematisch einfacbsten Tonverhil tnisse auehom H5renden besonders leicht e .ufgefaBt werden. Akustik und Musik;theorie sind auf folgende Weise geschieden: Die Akustik befaBt sicbmit den Tonen am ob' ektiven Vor - n en in der Korperwelt. die Musik.theoIjfLab~c~Ld.en Tonen am subjektiven Empfindungen und Yor. . ~.,).stenun en. ;:. ....-,~ 1"' C~- _g - I \.U,\..l '" c.u. Mit den Tonvorstel lungen und .empfindungen bescbiftigt sioo aaehdie M~ Musiktheorie und Musikpsyooologie sind aur~folgende Weise voneinander geschieden: Die Musikpsychologie erforscht ~-ueedie Tonvorstellungen und -empfindungen imeinzeinen an konkreten Indi- ~Q.'viduen von oft recht verschiedener Bildung und unterschiedlichem YC_'c'o-1):E:assungsvermogen. Die Musiktheor ie aber strebt nach. allgemeinen I r ( . L . . U N ' > - 1 )Gesetzen des musikalischen Denkens. Musikpsycbologie und, Musik- '. 8theor ie verhalten s ich demnach ihnlich zuelnander, wie die PSYChOlOgie 'J~ fB 'der Raumwahrnehmung und -vorstellung, ihres Entspriogens usw. zur e~euklidischen Geometrie, die die a llgemeinen Gesetze. nach denen unser

.1 Vorstellungsraum gedacht wird, e.xiomatisch formuliert.~ (2) Die euklidische Geometrie findet Elemento des RanDles: Punkt,~.~~ Ebene, und fiigt diese ,E1emento zu besonders e.usgezeichneten:J"~tal_ten zusammen. etwa parallele Geraden. rechter Wmkel. gleich . scbeokeliges Dreieek, gIeichseitiges Dreieck, Quadrat, Wiirfel und der-..gleichen mehr. An diesen Gestalten werden zum Tell duroo unmittel-.~bare Anschauung Eigenschafte~ erkannt. die,fiir unsere Raumvorstellung: ,gesetzgebend sind. weswegen sie reOOt eigentl ich NormaIgestaltengenannt werden kannen.1 NeumADD. BAnn01llGJehre


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2Auch die Musiktheorie rmdet unter wen Vorstellungen solche' tz-geben om ten mit bestimmten, ausgezeichneten Eigen-schaften. Thre Aufgabe ist es nun zunichst, das Auffassen und Vor-stellen von Tonverhli.ltnissen systematisch darzustellen. Dabei leitet siedie mannigfaJtigsten Tonverbindungen duroh Konstruktion aus dengesetzgebenden Norma.lgesta.lten ab.(3) Aus dem oben Gesagten leuchtet schon das Verhiltnis der Musik-

theorie zur Tonkunst hervor. Der Architekt namlich wird, wenn seinWerk von Dauer sein soli, sich den Gesetzen des Raumes mit EinsohluBder Schwerkraft (fur die sich ein musikalisches Analagon fiodet) aufdas sorgfiltigste fugen. Er wird ferner, um dem Auge faBlich zu sein,in der Konstruktion die Normalgesta.lten des Ra.umes in wohla.bge-wogener, dem kUnstlerischen Zweck angemessener Weise benutzen. Inii.hnl icher Weise ist der Komponist an die Gesetze der Tonwelt ge-bunden und bDD. seinen kiiDStlerischen Zweck erst da~~ei~ii~.wenn er sie, sei es ausdrilcklich, sei es intuitiv! kennt un~L~cll_.ih.nJ!n~~ fUgen weiB.(4) Jedes Tongeschehen findet in der Zeit s tatt. Wir finden femer inuns die Vorstellung musikaJischer Individuen, Stimmen genannt,welohedie Tonverbindungen ausfiihren. Wihlen wir als Ausgangspunktder Betrachtung die zeitlichen Vorgii.ngeunter Absehen von allem Be-sonderen, das die Zeit erfiillt, so haben wir den Gegenstand der ~yom RhYtmnus vor una. Musik a1seinstimmiger Vorgang, wo die Tonein unmitte~ Folge auftreten, ist Gegenstand der, Melodielehre.Die Harmonielehre endlich geht aus von dar Betrachtung der Ton-verhiltnisse unter Absehen von allen anderen BediDgungen:-Sie fiildetdabei die NormaJgestalten der Oktave, Quinte un(t Terz, die sichimDreiklang zusammenfinden j aus diesen koDStruiert sie mannigfaltigeTonsysteme. Zieht man die Bedingung der Zeit heran, indem ein Ton-system in der Zeit dargelegt werden soli, so erhilt man versohiedeneKadenzen als Folgen von Harmonieschritten, die eine Tonart zum Aus-druok bringen. Zieht man die Bedingung ,der stimmigen Da.rstellungdurch musikalische Individuen heran, so ergibt sich die Lehre von derStimmfiihnmg. Betrachtet man die Stimmftlhrung endIich unter be-sonderen rhythmisohen Bedingungen, so ergibt sich eine Fil lle vonDisaonanzbildungen, aus denen sioh die Strebeklinge als besondersausgezeichnete Gebilde abheben.

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3ll. Die mathematisch-physikalischen GrnndJagen

des Tonsystems(5) Die praktische Kenntnis der Intervalle und Tonarten wird hiervorausgesetzt. Wit erinnem, daB d as Oktav-, Quint- und Terzintervall

als einfaohste, ursprUng~~te Verhi ltnisse unseres Tonsystems zugel ten haben. Do. wir die mathematische Seite der Musik eingehendbetrachten werden, so sei dae hierzu Notige in Kiirze gesagt:Tone entstehen durch gleichmii.Bigschwingende Korper, deren Schwin-gungen sich der umgebenden Luft mitteilen (Schallwellen) und zuletzt.auf das menschllche Ohr treHen. Unregelmii.Bige Schwingungen ver-ursachen keine Tone, sondem bloB GeriLusche.Von den physikalisohenEigenschaften der Tone (Stirke, Dauer usw.) interessiert uns am meistendie Schnel ligkeit und, wenn mehrere Tone zugleich erklingen, dasSchnelligkeitsverhiltnis ihrer Schwingungen. Man hat nun gefunden,daB den obenerwahnten einfachsten Intervallen auch besonders ein-fache Schwingungsverhiltnisse zugeordnet sind, und zwar kommen beider Oktave auf eine Schwingung des tieferen zwei Schwingungen deshoberen Tones, .bei der Quint auf zwei Schwingungen des tieferendrei Schwingungen des hoheren Tones, bei der groBen Terz auf. vierSch~gungen des tieferen fUnf Soh~gungen des hijheren Tones.Man beaehte, daB dem tieferen Tone immer eine Potenz von 2(namlich 20, 21 und 22) entspricht , dem hOheren Tone dagegen dieersten drei Primzahlen, 2, 3 und .5. Man kann a1sdaa mathematisoheCharakterist ikum der Oktave die Primzahl 2, als Charakteristikum .der Quint die Primzahl 3' und aJ s Charakteristikum der Terz diePrimzahl 5 ansehen. '-_-(6) AIle musikalischen Interlalle lassen sioh durch Addieren und ,Subtrahieren von Oktaven, Quinten und groBen Terzen datstellen.Dem Addi~n der IDtervaJle entsprioht ein Multiplizieren, dem Sub-

trahieren ein Djvidieren ihrer Schwingungsverhiltnisse. Wir lassen nunzur bequemen Berechnung eine Tabelle folgen, die mit g~gfugigen.Anderungen dem Buoh Arthur von Oettingens "Das duaJe Harmonie-system" entnommen ist -- einem Buoh, auf das W i r : , obne seinenduallstischen Sta.ndpunkt zu teilen, dooh diejenigen Leser hinweisenmochten, die sich fur den ZW!ammenhang zwisohen a.kustisch-mathe-matischen und eigentlich musikaJischen Frtgen intere.'lsieren. Besonders. erwihnen wit Oettingens Verdienste um den Bau von Reininstnunenten-mid bedauem dberaus, daB sie kein lebhafteres Echo und - soweituna bekannt. - keine Fortsetzung gefunden haben.1

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4~ - 6 1 - 5 1 - 4 1 - 3 1 - 2 1 - 1 1 0 1 + 1 1 + 2 1 + 3 1 +41 + 5 1 + 6': i -

~~a s I g s 8 ills =;= e s 8 '- fisisl c;8 i8II a e alB M81-+ 1 t 7 c d a l e r l i s cis g i s diIJ aisI I e

j-- ~0 g e s de s a8 ell b g d a e I II, fisr II u e s bb l u ee s g u as es b [_ e t. d- - - - - - --II c u e s g u e sd e s E_ a8a8 eses L e a c u l ~ des as e .s b11=--1= = =1= =1- =1= = =.Man sieht, daB die Tone in borizontaler Richtung in Quintabstiinden,in vertikaler Richtung in GroBterzabstiinden angeordnet sind. Die Zu-gehOrigkeit zu einer bestimmten horizont&len Reihe ist auGerdem anden iiber- und untergesetzten Strichen kenntlich, so zwar, daB die Toneder obersten Reihe zwei Striche, die der nachsten Reihe einen Str ichiibergesetzt haben; die mittlere Reihe hat kein Kennzeichen, die nichsteist einmal, die unterste zweimal unterstrichen.Um nun das Schwingungsverhiltnis zweier Tone zu berechnen, suchtman einen von ihnen in der Tabelle auf und setzt zuna.chst < l a s Ver-hiltnis beider Tone mit 1:1 an. Jeder Sohritt nach rechts, der not-wendig ist, um zum anderen Ton zu gelangen, bedeutet Multiplikation,jeder Schritt naeh links Division seiner Verhiltniszahl mit bzw. durch 3;[eder Schritt nach oben bedeutet Multipl ikation, jeder Schrit t nachunten Division mit bzw. duroh 5. Das so entstehende Verhii.ltDismuGnoch reduziert und seine kleinere Seite solange mit 2 multipliziert werden,bis sein Wert groBer als 1/ : und kleiner als 2 ist; endl ich moge man be-achten, daBdem tieferen Ton diekleinereVerhiltniszahl entsprechen muG.Es sei z. B. da s Verhiltnis des groBen Ganztones e:d gesucht. Aufder Tabelle sehen wir t daB zwei Schritte nach rechts notwendig sind,

um von c nach d zu kommen; folglich mUssen wir die rechte Seite desVerhi ltnisses 1:1 zweimal mit 3 multipl izieren; dies ergibt 1:9. Wirmultiplizieren nun die linke Seite so lange mit 2. bis der Wert des Ver-hiltnisses groBer als 1/1' ist, nimlich drelmal; dies ergibt 8.:9. SchlieB-lich iiberzeugen wir uns, daB dem c die kleinere Verhil tniszahl 8 ent-spricht (im anderen Falle ~en wir die kleine Septime 16:9 erbalten).Es se i das Verhiltnis der iibermiBigen Qu~ c:(iB gesucht. Aufder Tabelle iiberzeugen wir uns, da B zwei Schrit te nach rechts undeiner nach oben notwendig sind um von e nach J 1 8 zu gelangen. Dierechte Seite des Verhiltnisses 1:1 muB also zweimal mit 3 wid einmal

t,

5mit 5 multipliziert werden; dies ergibt 1:45. Die linke Seite muB nochfiinfmal mit 2 multipliziert werden, und wir erhalten zuletzt 32:45.Es sei das VerhiLltnis der verminderten Quarte X : ee gesucht. Auf der

Tabelle sehen wir, daB zwei Schritte naeh abwa.rta notwendig sind, urnvon h nach ~ zu gelangen. Die rechte Seite des Verhiltnisses 1:1muBalso zweimal durch 5 dividier t werden, 1:1/:s= 25 :1.Die kleinere Seitemit 2 erweiter t, erhiLlt man 25:32.(7)Der aufmerksame Leser wird bemerkt haben, daB eine Reihe vonTonen zwei- und dreimal in unserer Tabelle vorkommt, tier Ton e z. B.

dreimal, und zwar als C, e und c.Diese drei Tone, die in der musikalischenPra.xis nicht auseinander gehaUen werden, sind mathematiscb, aber auchin ihrer musikaJischen Bedeutung wohl zu unterscheiden. Das Intervo.lle: e heiBt syntonische.sKomme. und hat das Schwingungsverhii.ltnis 80:81,~ nachzurechnen dem Leser iiberlo.ssenbleibt. Es ist trotz seiner Klein-heit (etwa den neunten Teil eines Go.nztones) von groBer Wichtigkeit.fU r aile Intervallberechnungen, wie auch fur ein matheme.tisch fun-diertes Ho.rmoniesystem. 'Auf unserer Tabelle bedeutet:

1 untergesetzter Strich Erbohung um 1 syntonisches Komma2 untergesetzte Striche Erhohung um 2 syntonische Kommata1 iibergesetzter Strich Emiedrigung um 1 syntonisches Komme.2 i ibergesetzte Striche Erniedrigung um 2 syntonische Kommata.Gist also urn ein syntonisches Komma, a um zwei syntonischeKom-

m;-ta hoher, a um ein syntonisches Komm; und a um zwei syntoDiscbeKommato.niedriger ala G.mer ist zu erwiLhnen,daB der Ausdruck "Komme." generell fiir sehrkleine Tondifferenzen verwendet wird.(8)Das Phii.nomender Obertonreihe setzen wir hier als bekannt voraus:

1 . - II 7 8 9 10 1011 1lI 18 14 15 16Sie ist bisweilen sehr bequem zur Intervallberechnung zu gebrauchen,do. ihre Tone im Verhiltnis Ihrer Ordnungszahlen schwingen (siehe die. unten beigesetzten Zahlen); d. h. dererste,.und zweite Ton der Oberton-. .reihe schwingen imVerhiLltnis 1:2, der zweite und dritte im Verhilt-Dis 2:3 usw. Man suche die Schwingungsverhil.ltnisse der drei urspriing;


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6lichen Intervalle, Okta.ve, Quinte und groBe Terz, in der Obertonreiheauf. FIlr den weniger Geilbten empfiehlt es sicb bier, verscbiedeneIntervallberecbnungen nacb unserer Tabelle und bierauf mit Hilfe derObertonreihe auszufilhren.(9) Mit der .OOOrtonreihe bingt eng zusammen der Begriff der aritb-

metischen und harmonischen Teilung eines Intervalles.Ein Intervall wird durcb einen in seinem Inneren liegenden dr it ten

Ton arithmetisch geteilt, wenn die Verbiltniszablen der drei Tane einearithmetiscbe Reihe bilden.Die Okta.v~ c-c, Schwingungsverhi i.l tnis 1:2, wird durcb die Quinte g

arithmetiscb geteilt, o-g-c', 2: 3:4. Die Schwingungsverhal tnisse kannman bier sehr leicht aus dem zweiten, dritten und vierten Ton der OOOr-tonreihe ablesen. "Oberbaupt stellen drei aufeinanderfolgende Tane derObertonreihe stets ein arithmetisch geteiltes Intervall dar, da die dreizugebOrigen Verhi i.l tniszahlen der Reihe der ganzen Zablen entnommensind und daher notwendig eine arithmetische Reihe bilden. Man sucbenun die folgenden arithmetiscb geteilten Intervalle in der Oberton-reihe auf:Die Quinte C-;, 2:3, ~ durch die graBe Terz arithmetisch geteilt,c-e-g, 4:5:6.Die groBe Terz a -e, 4: 5, wird durcb den groBen Ganzton a arith-metisch geteilt, a-a-e, 8 :9: 10.(10) Ein Intervall wird durcb einen in seinem Inneren liegenden

dritten Ton barmoniscb geteilt, wenn die Verbiltniszablen der dreiTOne e~e harmonische Reihe bilden, oder wenn, was dasselbe ist, diereziproken Werte der Verbiltniszablen eine arithmetische Reihe bilden.Die Oktave g' -g", 1 :2, wird durcb den Ton a~'barmoniscb geteilt,gl~"-1', 3:4:6; die reziproken Werte 1/ 3 :1 /4:1/,=4:3:2, bilden einearithmetische Reihe. 'Man bemerke, da B die barmonisch geteilte Oktave das Spiegelbild der

ari thmetisch geteil ten Oktave ist . Der Begriff der barmonischen Teilungfilhrt zuletzt zl1 einer bypotbetiscben Untertonreihe, die der Oberton-reibe spiegel1?i ldlich gleicbt und bis jetzt erst mit kompUzierten .elektr l-'soben Mitteln bOrbar gemacht werden konnte; in der Natur ~ sie 800Stmcbt zu linden: . "2 .

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SO , wie drei nebeneinanderl iegende TOne der Obertonreihe ein ari th-metisch geteiltes Intervall bilden, 80 stellen drei nebeneinanderliegendeTOne der Untertonreihe. ein barmonisch geteiltes Intervall dar.Man suche die folg~nden barmoniscb getei lten Intervalle in der Unter- '

tonreihe auf:Die Quinte o-g wird durch den Ton e8 barmonisch geteilt. o-u-g;

die Ordnungszahlen in der Untertonreihe sind 6, 5 und 4, dazu reZfprokdie Verbiltniszablen 10:12:15.Dio groBe Terz es-g wird durch den Ganzton! barmoniscb geteilt,es-!-g; die Ordn~gszablen in der Untertonreihe sind 10, 9 und 8,&.zu reziprok die Verbil tniszablen 36:40:45.Fill' den musikaliscben Gebraucb komm~n nur diejenigen TOne der

Ober- und Untertonreibe in Frage, die mit den ursprilnglichen Inter-vallen zusammenhangen. Die Ordnunggablen dieser TOne entbalten-nur die Primfaktoren 2, 3 und 5. Die ausscheidenden TOne sind obeneingeklammert.

,tf m . Dur- und MoUdreikiang(11) Wir wenden un a nun der psycbischen Seite der Tonbeziehungenzu. FIlr die folgenden Sii.tze ist es notwendig, zwiscben "Oktave" und..Oktavinterva.ll" zu unterscbeiden, 80 zwar, daB der Ausdruck Oktaveeinen einzelnen Ton bedeuten soll, der zu einem gegebenen Ton denAbstand einer Oktave bat, der Ausdruck Oktavintervall aber das vonzwei TOnen im Abstand einer Oktave gebildete Intervall. Ebenso be-deutet ItQuinte" einen einzelnen Ton im Abstand einer Quinte vomgegebenen Grundton aus, .. Q uintintervall" das von zwei TOnen imAbstand einer Quinte ge~ildete Intervall, "Terz" einen einzelnen TonimAbstand' einer Terz, "TerzintervalIu das von zwei TOnen imAbstandeiner Terz gebildete Intervall. Wenn kein gegenteiliger Zusatz geinacbtwird, soll die Oktave immer aIs Oberoktave, die Quinte aIs Oberquinte, 'die Terz als Oberterz verstanden werden. Die Unterscbeidung von Dur-l ind MollteIz werden wir spi ter vornehmen.(12) 1. Axiom: Oktavgleicbe TUne gelten alB barmoniscb gleicbartig.Das Vorsteb~nde ist allgemein anerkannt, 80 daB wir uns kurz fassen

kannen. Verscbiedene Oktaven eines Tones werden bekanntlicb durchden gleichen Bucbstaben beselehnet, z. B. 0, 0, e, e', 'r,", d" usw.;Melodien oder BaBstimmen werden znr ..Verstirkung in der Oktaveverdoppelt; man empfindet solche miteiiumder'in Oktaven ,gebende. St immen als ident isch.


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2. Axiom: Das Oktavintervall entsteht von unten nach oben.Die Gleichartigkeit von OktavtOnen ist keine vollige Gleiehwertig-kei t; vielmehr behal t stete der tiefere Ton das 'Obergewicht. Schlagt, man den hoheren Ton eines Oktavintervalles sehr leise an, so versohmilzter ginzlieh imGesamtklang und wird fast unMrbar. Dagegen wird dieleise Unteroktave eines sehr lauten Tones immer noch deutlioh unter-sobieden. Kinder treffen von einem gegcbenen Ton aus die h6here Oktaveviel leiehter und sioherer, als die tiefere. Diese Umstinde bestimmenuns, den tieferen Ton eines Okta~,r:v~~ .gleichsam als dessen r-- ". zeuger, den hoheren Ton aber lois AE!,ommling anzusehen. Pfianzt siehnun ein sehr tief gelegener Ton in mehreren Oktaven nach oben fort.so entsteht ein ganzes Oktevenreieh, dessen Herrseher und Ausgangs-punkt steta der tiefste Ton bleibt.Wir ben1hren in diesem Punkt einen allgemeinen Gnmdzug desharmonisehen Horens: Das Ohr faBt den tiefsten Ton eines Klangesstets als Basis auf, iiber der das ganze KIanggebii.udesich erhebt. Dieaufsteigende Riehtung des Entstehens findet sieh auch in der Oberton-reibe, weshalb man deren Bedeutung fiir die Bildung von Tonsystemenzeitweise stark iiberschli.tzt hat. Nach unserer Auffassung stiitzt sichunser Tonsystem wohl auf die natiirlichen Verhii.ltnisse der Oberton-reibe, zeigt aber aueh andere Wesenszuge geistiger Art, die aus diesenniOOtabgeleitet werden konnen.

(13) 3. Axiom: Die Quinte bewegt den KJangraomdes Oktaviniervalles nacb auBen. Das Quintinierval list also fallend auf seinen Grnndton hin geordnet,du Quartlntervall steigend zur OktaV8 bin.Um das Wesen des Quint- und Quartintervalles zuverstehen, mUssenwir mit der iiberlieferten Meinung, welche die Quintolediglich lois ein Erzeugnis ihres Gnmdtones ansieht, brechen. Die Quinto

wird vielmehr in das fertig ausgegliederte Oktayenr~iOObinein geboren;ihre Eltem sind Gnmdton und Oktave, so wie die Pr imza.bl 3, die wirweiter oben lois Charakteristikum der Quinto bezeichnet haben, mch loisSumme von 1 und 2 erSibt. Daraus foIgt , d8.Bdas Quint- und Quart-intervall gIeich urspriinglich sind. Ihre Rangversobiedenbeit aber beruhtauf der Rangversobiedenbei t von Gnmdton und Oktave, indem da s

r Quintintervall zwischen Grundton und Quint stattfindet, das Quart-intervall zwisOOllnQuint und Oktave.Die Quinte ist gleiobsam eine zusatzliehe Bejabung des Klangraumesder Oktave und ordnet sioh diesem vallig unter; daber weist sie vonm o o fort auf beide Tone des Oktavintervalls, was in. obigem Axiomzum Ausdruok kommt.

3 ., !f

j:,1,~

So, wie die Oktave sieh in die femsten Klangbezirke bin fortpfianzt,so vervielfacht sieh auch die neugeborene Quinto. Das Ergebnis ist eindurch aUeOktaven fortgesetzterQuintklang (Bsp. 4).4. Axiom: Die Quarte bewogt den KIangraum desOktavlntervalles nach innen. Si e ergibt wiederum eins teigend geordnetes Quart iniervaU und ein faUend go-ordnetes QuintintervaU (Bsp. 5).Obiges Axiom ist zunii .chst eine Erhirtung undVertiefung des vorigen. Man sieht leicht, daB derGrundton bier in der Mitte liegt und das Qmni : .intervall und Quartintervall ihre ursprunglichenfallenden bzw. steigenden Tendenzen beibebalten.

. ~..J ~~ererseits bat de!,tiefste Ton das BWmWln,.eine.....j" Vorherrschaft durchzusetzen. Daraus resultiert ein,!" ge.wisserWide~p'~ch z~chen dem Grundton des Oktavjoteryo.lJea undder Quarte, die eigentlieh Quintgrundton ist. Diesen Widerspruch sehen .wir als Charakteristikum des Pbinomens der sogenannten "ungedeckten1 .. i C ' - ~ H;,Quarte", das jst der Quarte zum BaSton an. Duroh verscbiedene Be- ,; '~,:":>'"gIeitumstinde kann er hervorgekehrt, zum 'Oberwiegen gebracht oderunterdriickt werden, wie spiter zu zeigen ist. .

Ein Vergleich des 3. und 4. Axioms fiihrt auf den psychisohen Unter-scbied zwischen arithmetiseb und harmoniscb geteilten Intervallen: derar ithmetische Teilungston der Oktave ordnet sieh ihr unter , der bar-monische Teilungston setzt sioh in Widerspruoh. Dasselbe Phii.nomenfinden wir sogleich bei der Teilung des Quintintervalles wieder.(14) Teilt man d ss Quintintervall arithmetisch, so entsteht der Dnr-dreiklang c-e-g; don a.rithmetischen Teilungston des QuintintervalJes'nennen wir "Durterz". Teilt man da s Quintintervall barmoniscb, soentsteht der Molldreildo.ng~-g; den barmonischen Teilungston desQuintintervaUes nennen wir "MollterzU Wir ft1hrten schon bei derQuinto aus, daB diese in dss fertige OktavenreiOObineingeboren wird.Ebenso ~ntsteht auoh dieTerz im Quintraum und ist kein ausschlieB-liohesErzeugnis des Grundtones; dementspreOOend ergibt sieh die Prim,zahl5, welOOeder Terz zugeordnet ist, als Summe von 2 und 3.Wir betonen, daB wir uns damit gegen eine isolierte Intervallbetracb-tung verwahren wollen. Der.Dreiklang ist niOOtal s Summe von Inter-vallen zu betrachten, seine EigensOOaften sind nioht auf analytisOOemWege aus den Eigenscha.ften von Intervallbausteinen, die naOOtrigliohzusammengesetzt werden, zu ermitteln; vjelmehr lassen wir den Drei-klang a1s gesetzgebende' Normalgestalt auf , a1 s Ganzes, das b e -stimmend auf seine Tei1e wirkt.

9

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106. A xio m : D ie D urte rz o rdne t sie h natiirUeb I n cUel aUen do Or ien ti e ru n g

de s Quintintervalles ei n ODd b ek ril tig t sie , c Ue M o ll te rz w id er st re bt Ihr.Rier wiederholt mcb derse lbe Vorgang, den wir im Raum des Oktav.

intervalles beobachtet baben, im Raum des Quintintervalles: der arith-metische Teilungston ordnet mch demselben unter, der barmonischeTeilungston widersprioht ibm. Die Obereinstimmung der Durterz emp-linden wir al s ErheUung, den Widerspruch der MoUterz ala Verdunkelungdes Klangraumes der Quinte.(15) In der Auff88Sung des Durdreiklanges emplindet unser Ohr

keinen Zweifel. Der MoUdreiklang ist jedoch problematisch und erla.ubtmebrere Deutungsmogliohkeiten, von denen wir zwei hauptsichlicheanfUhren wollen. .a) So, wie in dem Gebilde g'~" -g" das e" als harmonischer Teilungs.

ton sich durchsetzt und zum Grundton des' QuintintervaUes wild, sokonnte man auch im MoUdreiklang c-u-g.das es, da es harmonischerTei lungs ton ist , als Grundton ansehen. g wire d~ Terz dieses Grund.. tones, das caber ana einem verwandten Dreiklang, etwa. dem AsDurdreiklang, abzuleiten: a,-c-ea-g-b. Die Quinte c-ghit te sekun-- . . . . _ " , - _ _ _ -diren Charakter. Diese Auff88SUDg kommt gelegentUch zur Geltung,wenn ein Molldreiklang a.us den Ha.uptdreikli i.ngen einer Durtonar t abogelei tet wird; im aUgemeinen jedoob sind wir geneigt, den Molldreiklangals etwas Urspri lngUches und Einfaches zu begreifen. Das fiihrtb) zur dualist ischen Auff88SUDg des Molldreiklanges. Wir saben oben,

daD das Oktav., Quint. und groBe TerzintervaU aus dem Grundtonnach oben gezeugt sind und fallend auf ibn hin geordnet bleiben. DasQuartintervall dagegen entsteht nach unten von der Oktave aus undbleibt daher s teigend auf diese zurUckbezogen, das kleine Terzintervallnach unten von der QUinte aus und bleibt ebenfaJIs auf diese hin-geordnet (Bsp. 680).

I,:'

6. a) Durdreikla.ngEn'stehenI!J 3\ RiickbezugI ;:;, ojJ . !J ... .b) MoUdreik1&ng nach dualistischer Auffaasung1 En'stehen Riickbezug

' . & . ! ! . I::. ~J LII. IIf I : : 1 ';'l " J1 ,.1 ,I I

I I

11Um nun zu einer einheitlichen Auff88SUDg des Molldreiklanges zu

kommen, mUBten wir dieses ganze Verhii.ltnis umkehren (Bsp, 6b).Qktav., Quint- und groDes Terzintervall wiirden dann vo m Grundtonaus nach unten im Sinne der Untertonreibe entstehen und steigend aufdiesen bingeordnet bleiben. Dem widersprioht, daD wir durohaus dentiefsten Ton als Grundton des MoUdreiklanges emplinden und daherauch im mebrstimmigen Satz am besten verdoppeln.Wir versuchen nun, die Problematik des Dor .MoUverhii .l tnisses in den

nli .chsten Axiomen zu losen,6. Axiom: Die Q uinte be hilt im Dnr- und ! Io ll dr ei kl an g I hr e l aU e nd eOrdnung. .Dies entspricht am besten dem natiirUahen Klangeindruck. Auah die

obenerwii.hnten Verdoppelungsverhiltnisse bezeugen die Vorherrsohaftdes Grundtones.(16) Rier ist Gelegenheit, in aUer Kiirze das Setzen von einzelnen

Dreik1ii .ngen zu erortem. \Vir legen die Vorstel lung zugrunde, d e . O derDreiklang sich von seinem tiefsten Ton aus durch alle Oktaven naehoben fortpf lanzt (Bsp.7a). Verschiedene musikaUsche Individuen, In-strumente oder Singer, hiiufig vier an der Zahl, treHen nun aus derMenge der v~rvielfli. ltigten DreiklangstOne eine zweckmii.J3ige Auswahl,um den Dreiklang darzusteUen. Dabei ist folgendes zu beach ten:Die Anordnung der Tone soll eine natilrliohe sein. Die OberstimmensoUen voneinander nicht weiter als eine Oktave a.bstehen die tiefste. 'Stimme, gemeinhin BaD genannt, nimmt am liebsten den Grundton,weniger hii.ufig die Terz, am seltensten die Quinte des Dreiklanges undkann von den iibrigen Stimmen weiter entfemt eein,. Weoo mob mehr als drei Stimmen an der Da.rsteUung, eiDes Drei-klanges beteiligen, 80 muD mindestens einer von dessen Tonen ver.doppelt werden; dasu eignet s ioh am besten der Grundton, wo dies nichtm6gUch ist d ie Quinte , am sohlechtesten aber die Terz .: Di_ letzteredar{ auf keinen Fall verdoppe lt werden, wenn sie Leittonchara.kter bat. 7. a) b). .I I ! . . . .: .

....8 ., .11""""""",,,, " " II


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12FUr die Darstellung von Molldreiklingen braucht man in Bsp. 7bbloB die Ten zu emiedrigen.Eine Bezeichnung der Umkehrungen des Dreiklanges als Sextakkordund Quartsextakkord soli bier nicht vorgenommen werden, da siestrenggenommen nur bei den Hauptdreiklil.ngen berechtigt. schon beiden sogenannten Nebendreiklil.ngen aber problematisch ist und


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14wobei sie aber ihre harmonische Bedeutungandem, InBsp. 90. ist derTon g z. B. im ersten Dreiklang Grundton, bleibt Hegen und wird zurQuinte des zweiten Dreiklanges.(19) Unter dem Gesichtspunkt der ho.rmonischen Wirkung bezeichnet

man die Melodiebewegungen eines mehrstim_~jg~~t~es_ a 1 s _ Stitnm.:filhrungen, Eie ~~5?,!l~~hen und _~e!o.~l!~n B~gen, d.~Il~Il_~ie!L~_ di~~,Q~d~ .~nt~!"}iegen, . ~Is_.gesetz~_~e~~~geln c:le~_~_~!'P_I!I.pihrung. Wir lassen die wichtigsten von ihnen folgen.Zwischen zwei St immen eines mehrs timmigen Satzes konnen folgendeBewegungsverhiiJtnisse auftreten:10. a) b) c) d) e)& : ; : I::;8 I:b 5':; 'Z < : : I : : ; : : : I)I::::

g) h) i) j) aber nicht k) I)4 : - : I :0 : : ,g::;Z I 0 ; ; 1 1 I 0 -= 1 ,: '0 - - - = "

. a) Gegenbewegong, wenn eine Stimme steigt und die andere fillt(Bsp. lOa, b).b) Sei tenbewegung, wenn eine Stinime steigt oder fi iJI t und die andere

Hegen bleibt (Bsp. 100, d) .0) Gera.de Bewegung, wenn beide Stimmen entweder steigen oder

fallen (Hsp. 10e, I).d) ParaUelbewegung al s Sonderf8ll der gera


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I

i -

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1615.

e " I e " I Isehleeht gute) Zwei Stimmen sollen nioht in gerader Bewegung die Terz oderQuinte

.erreichen, dies ist vielmehr nur heim Grundton erlaubt. Der in gerader Be-wegung verdoppel te Ton trit t nimlich aus dem Gewehe der St immen deut-Iich hervor und dieses Recht steht nur dem Grundton zu (Bsp. 16o.-d).16. a) b) c) d)

e n I ; : I ; ~ 1 : : . =F til Hi I I I.. " Hi i. , He e eschlecht gut schlecht gutf) "Oberhaupt ist Gegen- oder Seitenbewegung &IlZUStreben.g) GroBe Melodiespriinge sind mit Vorsieht zu behandeln, ebenso

verminderte und UbermiBige Sehr itte.h) Melodische BedOrfnisse sind zu beaohten; dazu gehort vor a11emdie Leittontendenz von der siebenten zur aohten Stufe der Tonleiter(Bsp. 17a ., b, e).17. a) b) e)

\F 91 " Iie e esdaledlt.1a Lelt_1 b e S I e r . . cia dcra p n n _ 1 guttOIl imSopmlub_ cede Lef tt oa faSPr1Dct eJDer MlttellltlmaselleIt

1M

17(20) :Pi~Verbindung zweier guintverwo.n4~~ Dreikl!Lpg_~_~eiBt_~in-

faoh~r Qwntschritt oder aueh Quintsehritt sehlechthin:

Do. es vier Arten der Quintverwandtsohaft gibt, jede von diesen o.berzwei Moglichkeiten der zei tliehen Aufeioanderfolge zuIaBt, muD es achtArlen von Quintschritten geben, die sieh in vier Paaren ordnen lassen.7. Axiom : Z~ chen zw ei quintverwandten DurdreikUingen bem chtAnzlebung 1m falle nde n S inn; die se finde t ih re n m e lo disc be n A UB druckin d er s tc ig en de n L eJ tt on te nd en z d er D ur te rz .19.

Die beiden Dreiklinge von Bsp. 19 bilden zusammen ein einfaohstes.Tons~t?m. Ihr~ Ver~indung. gebt in beiden Riohtungen glatt und ge-schmeldig vor Slch. Filhren WU"das Beispiel zu wiederhol ten Malen ausso empfinden ~ bald .den C-D~ikJang a1s Ruhepunkt deS Systems;der ~.Durdreikla.ng WU"dvon diesem Ruhepunkt a.ngezogen. Die Be-wegung vom G.Thirdreiklang in den C-Durdreiklang empfinden wir al aFall, die umgeke~ ~ Anstieg und Entfemung au der Ruhelage.Entspreehend werden WU"von fo.llenden und steigenden Quintschrittensprechen. Die bekannte Tatsacbe der Leittontendenz wurde schon Of te rbeschrieben.8. A xio m : Z wisc be n zw ei q ulntv erw and te n M onclre ikliD ge n b em cbtAbstoBung 1m st eig en cle n S in n; d le se f in de t l br en m e lo disc he n A us m ekin de r nae h a bw irts ge rie bte te n L eW on te ncle nz de r M oll& en.20.,2 1(oolll_aa, JlanaOllldebre

"'.


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18Wiederholen 'wir die Harmoniefolge von Bsp. 20 eioige Male, soempfinden wir den c-Molldreiklang ala Ruhep~_d~~I!I~m.!!J_ den/-Molldreiklang ala Abweichung von der Ruhelage. J?ie B.~wegungyomJ-Molldfeiklang in den c-Molldteiklang wird jedoch ni~~ ala ; F . ~ , ~ ! _ O . ! ! :dem 0 . 1 8 Anstieg entgegen der natiirlichen WirkU!l_g_4.eLSch!'VerkraftempfiiDaen. Dies foiSt-ja scbon aus dem Wesen der Quinte, die der

EidaIiiiehung unterliegt. .Um nun die merkwiirdige Tatsache zu erkliren, daB der hahere,dem ideellen Sohwerpunkt ferner gelegene Klang den Ruhepunkt dar-stellt nehmen wir eine abstoBende Kraft an, die naeh oben, der natiir-lichen Schwerkraft entgegenwirkt (etwa vergleichbar den abstoBendenKriften zwischen elektrisch geladenen Korpern). Uber die Herkunftdieser abstoBenden Kraft kann kein Zweifel sein: Sie entspringt derobenerwiLhnten dualistischen Natur des Molldreiklanges.(21) Hiermit ist nun unser Standpunkt beauglieh der Ableitung unddes Wesens des Mollphiinomens im groBen und ganzen erkliin. Wirmochten ibn ala sekundii.ren Dualismus bezeichnen. Er besagt inKiirze daB Dur und Moll nicht im Aufbau des Einzelklanges, wohlaber in dessen Folgebeziehung zu anderen Klangen entgegengesetzt

geartet sind.. .Die Terz wird somit zum eigentlichen kritisehen Intervall, das dieNatur der Quinte in der Zeit entfaltet: die Durterz ala steigender Leit-ton, der die Unterquinte in den Tonraum ruft, in 'Obereinstimmung mitder Schwerkraft, die Mollterz ala sinkender Leitton, der die Quinte derQuinte in den Tonraum ruft, im Widerspruch zur Sehwerkraft.a) b)

, l i Z "!] I~!.ill I..__. ."U'

Der Durd.reiklang ist bestrebt mit einem fallenden Quintschritt fort-zuschreiten, der Molldreiklang mit einem steigenden. .Man wird unseren Standpunkt vielleicht als inkonsequente Kom-promiBl6aungbezeichnen. Dem halten wir entgegen, daB die Sehwie.rig-keiten, die W i r vorfinde~, auch auf anderen Gebieten auftreten. So siehl;;sich die Theologie genatigt. den Dualismus von Gut und BOse, ~er alle .irdischen Erscbeinungen durehzieht. mit der ewigen und ausscb1ieB.-lichen Gnte ibres Urhebers zu vereinen, e m Problem. das zwar oichtin Umfang und nberragender Bede~tung. aber doch in seiner grand-sitzlichen Artung mit unserem nbereiostimmt.

21. ..

19 .. ~, ": ,. ~ , . .. .: 'c .. ..(22) 9.Axiom: Zwischen elnem DnrdreikJang und dem eine Quinte tieferen Molldreiklang herncht Anziehung im fallenden, Abst9J1ung'linsteigenden Sinne. Ilelodischer AtfsdruCK dieses VerhiiltnissesSiiid dJeLeittontondenzen der Dnrterz oach aufwirts in die Unterquint, der !Ioll-terz Bach abwiirts in die doppelte Oberquint des Grundtones.

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22. a) b){ I ~i : _ . : ; : : : I ~ :~ u m l l ~ ~ ; : t : 1 : I I-'"'~ I1"LVon den beiden Klangen des Bsp. 22a kann jeder als Rubepunktempfunden werden, je nachdem wir unser GehOr absichtlich auf denoberen oder unteren Dreiklang einsteUen. Das Vorhandensein zweierLeittane bewirkt ein besonders enges Verhaltnis der beiden Klli.nge.10. Axiom: Zwischen einem MoUdreiklang und dem cine Quintetieferen Durdreiklang herneht keine unmit1elbare Beziehung; melodischerAusdrnck datnr ist da s Fehlcn jedes Lcittones. _;;~:.4 O~l,.(, -.J :-:l!,;.O~S~;~Q~ . .23. a) b)I I ! : i : : ' : J g . - . .~ I : ' : ' : : JI

~Wir sahen vorhin, da B der Durdreiklang mit einem fallenden Quint-schritt. der Molldreikla.ng mit einem steigenden Quintschritt fort-zuschreiten ,strebt. Die obige Verbindung ist gegen diose natiirlicheTendenz gerichtet ..Man .konnte vergleichsweise sagen, daB die beiden

Klinge'sich den Riic!ten kehren. Desbo.lbwird auch keiner von ibnenzum Ruhepunkt. .~)24. I I

. .,Em tl'berblick ilber die .vier Maglichkeiten quintverwa.ndter :preiJdiDge zeigt. d a B zwei von.ihnen. eine gate Verbindtmg zulasaen. eine2-


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20besonders ausgezeichnet and eine ungiinstig is~. Es herrscht also eineharmonische und ausgeglichene Ordnung im Bereich der Quintverwandt-schaften, die man in folgender Figur da.rsteUen kann:

(23) Aus der einIaohen Quintverwandtschaft entstehen eine Beihevon Intervallen, die im Dur- oder Molldreiklang noah nicht zu linden,sind, und zwara) zwischen dem Grundto~ des unteren Id. groBe GanztonDreiklaoges und der Quinte des oberen d. kl. kl. SeptimeDreiklanges )" -; ~0..b) zwischen dem Grundton des unteren 1Dreiklaoges und der Durterz des oberen d. kl. Sekunde

Dreiklanges oder zwischen der Mollterz J ' d S t i m ' . gr. ep ~des unteren Dreiklanges und der Quintedes oberen Dreiklanges ~ r11

0) zwischen dem Grundton as unteren 1DreiklaDRes und der Mollt8rz des oberen d kl G.' anztonDreiklanges oder zwischen der Durterz J d kl Se ..._ gr. . pWl1ledes unteren Dreiklanges und der Quinte, des oberen Dreiklanges .

d) zwisChen der Dnrters des tlDteren Drei-lkl~es und der ~rz des oberen - a , reine ~teDreiklanges odm: zWlBchen der MoU~ d. ~ine Quartedes unteren Dreiklanges und der MoU-terz' des oberen Dreiklanges .

e) 'zwisohen der MoUterz des unteren Drei-j d . . ilberm. Quinte 1 6: 2 5klanges und der Durterz des oberen d. vermind.' Qu&rte 25: 3;Dreiklanges " ,f) zwischen der Durterz des unteren Drei- .1 ' d.,vermind. Quinte 25:36klanges und ~er MoUterz des oberen d. ilherm. Qu&rte 18:25Dreik1~es ' :. .. ~

25. til !a' .~ H I iausgezeichnet

,8: 99:16

15:168:15

9 : 1 05: 9

2: 33: 4

-,~

21Dem Leser sei empfohlen, die angegebenen SchwingungsverhAltnisse

an Hand der Tabelle bei (6) S. 4 nachzurechnen. Er braucbt sich dabeibloB eines kleinen Ausschnittes der Tabelle zu . bedienen, namlioh:e h

9 tlb

Man sieht, daB bier der Durdreiklang immer emstehe~des rechtwinklig.gleichschenkliges Dreieck bil-det e , der MoUdreiklang ein hingendes e 9

ee 9 u

Der Unt&scbied zwisohen dem groBen Ganzton bei a) und dem kleiaenGanzton bei c) betrii.gt em syntonisches Komma 80:81 (was naehau-rechnen dem Leser uberlassen bleibt).Die reine Quinte unter 'd) konnte leicht mit der gewohnlichen Drei-

klaogsquinte verweohselt werden, de sie dasselbe Schwingungsverhii.ltoishat. Man beaohte [edoch, daB'sie ala sekundires Intervall zwischen zweiDuro bzw. MoUtenen entsteht. In den folgeoden zwei Beispielen istdiese selqmdire Quinte ala Melodieschritt in den Sopran gelegt worden,um dem Leser ihre musikalische Wirkung zu veranschaulichen:26 . b) c))

{ 1\-t,J .... u man veJglei_'U" -&che damU 'U"Die verminderte Quinte unter f) ist, da sie der schlechtesten Quint-

verwandtsohaft entstammt, mitsamt ihrer UmkehruDg bedeutungslos. Umso wiohtiger sind die iibermiBigeQuinte und verminderteQuarte unter e),die der besten unter den einIachen Quintverwa.ndtsohaften entsta.mmen.(24) Bei der mehrstimmisen AuStnbrung eineS einIachen Quintschrittes

,treten aile seinem Verwandtschaftsverhiltnis entspringenden Inter.valle entweder stimmfilhrend oder querstehend auf.Em Intervall heiBt stimmfilhrend, wenn es beimHannoniewechsel ala Melodieschritt in ein und der-selben Stimme vorkommt (in Bap.27 die heiden,Melodieschritte h--c und g-8). Quei-stehend sind ~IntervaUe, die beim Harmoniewechsel zwischen var-eehiedenen Stimmen entstehen (Bsp, 27 A-e undg--c, durch die iiberkreuzten Striche anged89tet). BeieinervierstimmigeD, Akkordverbind1.1Dg treten vier &timmfiihrende und zwijlf querstehende.~tervaUe auf, was der Leser am o'benstebenden Beispiel kontroUieren

27.==,


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22mage. Es folgt nun ein weiteres Beispiel fiir verschiedene Ausfiihrungendes einfachen Quintschrittes in seinen praktiscb brauchbaren Arten:

28.

11 I I . J . .J J ,j I"JJ~4 , J d J _ . d . !!!-I

Fyi,) J t l J lA W J JBsp. 28 kann auch mit a8 statt ti oder a8 und es statt Iiund e ge-braucht werden. . - . - -.D. Die einfame Tonart(25) Die gewohnliohsten Tonsysteme in unserer Musik bestehen ausdrei quintverwandten Dreiklangen, deren mittlerer Tonika (abgekiirzt P), .der obere Dominante (abgekiirzt D), der untere Subdominante (abge-

kiirzt 8)heiSt. Mit gewissen spii.ter zu besprechenden Einschrinkungen 'k8.nn jeder dieser Dreiklii.nge in Dur- oder Mollgestalt aoltreten. ImAnschluB an Hugo Riemann wollen wir Durdreiklii.nge mit einem +,Molldreiklinge mit einem 0 bezeichnen. Es ist also dann +P die Dur-ionika. +D die Durdominante, +8 die Dursubdominante, op die Moll-'tonika. 0D die MoDdominante, 08 die Mollsubdom4tante., Hii.ufigist es notig, einze1neTone von Dreiklii.~en gesondert zu be-, zeiohnen, dies ~.chieht ,mit arabischen Za.hlen 'J ) fiir den G~,'~ die Terz,


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r l .IIi24nach Rilckkehr in diese Bedeutung bezeichnen. Insofem ist sie geistigerNatur, wihrend man die zuerat besprochenen anziehenden und ab-stoBenden Krlifte zwischen quintverwandten Dreik1ii.ngen mit physi-kaJischen Wirkungen vergleichen k6nnte.Bestilnde bine tonale Anziehungskraft, so k6nnte man folgenden

Vorgang ala einen musikalischen ansehen: Wir beginnen mit einem ein-fachen Quintschritt votn ODur zum F.Durdreiklang; do . wir mit11Il8tu-emAusgangspunkt in keiner Weise mehr verbunden sind, konnenwir nun, dem ~tiirlichen Streben des Durdreiklanges {olgend, zumB.Durdreiklang fortschreiten, von diesem weiter zum E".Dur., As.Dur.,Des.Dur. , GesDur. usw. Dreiklang. Man sieht, daJl der einfache Quint.'fall auf dlesem Weg ins Bodenloso ffihrt . Bei aller scheinbaren Einfaoh.heit kann man einen solchen Vorgang bereits ala atonal bezeichnen.Dem menschl ichen Geist widerstrebt nun das Mechanische eines solchenVerfahrens und er hilt demgegenilber die Einheit des Tonsystems durchRiiokkehr in seinen Ausg&ngspunkt fest .(27) Die Durtonika BchlieSt die Molldominante aus, die ltlolltonika

sohlieSt die Dursubdom!nante aua,Dies ergibt sioh ala unmittelbare Folge des 10. Axioms, do . zwischen

Durtonika und Molldominante bzw. Molltonika und Durdominante dasdort.besproehene ungilnstige Verhiltnis herrscht.Die in der praktischen Musj,k hiufige scheinbare Folge cMolldrei-

klang - F.Durdre~ng oder O.Durdreiklang - g.Molldreiklang, woder F.Durdreiklang ~e Rolle einer Dursubdominante und der g-Moll-dreiklang die Rolle einerMolldominante spielen konnte, werden wirspiter deuten und. ihren wil.hfen Charakter erhellen, ebenso die inklassischen Komposit ionen hiuf ige Verbindung des Molldrei;klanges darzweiten Stufe mit der Durdoininante.Untersuchen wir die BimtlichJ 'n mogliohen Kombinationen von Dnr-

und ,Molldreiklingen auf den drei Fundamenten der p.8 und D unterBeriicksichtigung der eben gemachten ~ohrii.nkung, so ergeben mchderen vier: . '.a) Reine DuItoilart: !-a-c-e-g-r-a

'+8 , +Dp, , b) Harmonische Durtonart: !_J8 _ c - e . .; _g - I-cl

+P' , +D

26

OJ!i!c) Harmonische Molltonart: !-J8 - C -:- e8 - 9 - Ii- cl- . . . . ; ; ; ; ; : ; . . . . -- : : = - . . . . - - - - -d) Reine Molltonart: !-!!!_-c-'!!_-g-b-cl

Die erate ist unter dem Namen Durtonart bekannt; wir werden dergenaueren Bestimmung wegen stets den Zusatz ,,reine Durtonart"machen. Die vierte ist unter dem Namen "reine Molltonart", die dritteunter dem Namen "barmonische Molltonart" ebenfalls bekannt, Diezweite wurde von Hugo Riemann ala ,,Molldur" bezeichnet wir wihlen. 'die Bezeicbnung "harmonisches Dur" in Analogie zum harmonischenMoll. Diese beiden Tonarten sind nimlich spiegelbUdlich gleich. AuBer.dem wird sich zeigen, daJl die beiden harmonischen Tonarten starkerin sicb gebunden sind ala die reinen. Die Bezeiohnungen "Durmoll"und ,,Molldur" erscheinen uns zu ihnlioh und zu leioht vertausohbar ,was in der Praxis zti Verwec=~n fiihren kann.C"!!/J ~(28) a) 1m rein en Dur liberwiegen die znsammenhaltenden, die Tonika

. ~ stlitzenden KlUte.~~~&i~ .AilS dem 7. Axiom ergibt sioh, daB die +8 der verhiltnismiBig selb-.stindige, die +P negierende Pol des Systems ist. Ihr wirkt jedochdie +D entgegen, die sich &us demselben Grunde der ToDika volligunterordnet. Beriicksichtigt man feroer die allgemeine tonale An.ziehungskraft, so ergibt sich die obige Behauptung.

. . . .

31.

b) 1m ~oniaehen Dor heteD 8ussehJie8llch zusammenhaltendeKrirte 'auf. IRier ist die negierende +8 durch die 8 ers~tzt;die naeh dem 9.Axi~m

Iin einem gilnst igeren Verhil tnis zur +P stebt. '

32. -.


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260) 1m reinen Iloll iiberwiegen die fllehenden, die T negier!,nden Krirte.Zuniohst ersiebt man aus dem 8. Axiom, daB die T bier duroh

die oS gestiitzt wird. Freilich Macht sicb die Scbwerkraftwirkung derUnterquin te bemerkbar, so daB das Verhii.ltnis S-oT dem von der +Dzur +T an Bindekraft unterlegen ist. Der negierende , nach Selbstindig-keit strebende Pol ist die D und dies in boherem Grade o.ls die +S infhrem VerMltnis zur +T. Begeben wir uns von der T in die D, someinen wir unseren Ausgangspunkt ginzlich verlassen zu haben; dieRiickkebr geschieht nur widerstrebend. Die D ist also der schwachePunkt der reinen Molltonart und daher wurde sie auch sehr haufigdurch die +D ersetzt.

33.

Im gamen ist das reine Dur dem reinen Moll in der Wirkung der Sahnlioh, in der Wirkung der D [edoeh uberlegen. .

.-U e, . d) 1m harmonisehen Moll iiberwiegen die zmammenhaltenden Kriilte.> . 'JJJjJ .,).1..:_:: Bier ist, wie dies iiblicherweise geschieht, die D durch die +D ersetzt,

diese aber steht zur 0p in e inem giinstigeren Verha ltnis, wie 0.08, dem9. Axiom zu ersehen ist.34.

Diejenige Seite, die zur T. imbesseren Verhii .l tnis s teht , heiBt s tarkeSeite. Aus dem Vorstehenden ersieht man, da.Bdas harmonisohe Dur zweiann8.hernd gleich sta rke Seiten hat; beim re inen Dur lind ha.nnonischenMoll ist die D al a starke Sei te anzusehen, die S 'als schwaohe. Beim reinenMoll sind be ide Seiten schwach, die D jedoch nooh'schwicher als die S.Zus 'o.mmenfassend ergeben 'die viel" Tonarten unterelnander eine ihn-

liche Ordnung, wie die Vier Quintverwandtsobaften. Dem ausgezeich-neten ha.nnonischen Dnr steht d se ungiinstige reine Mon gegeniiber, ,wihrend reines Dur und b8.rmonisches Moll in der Mitte stehen.

Ha.nnonisohes Dur__:.-------. harmonisches Moll reines Dnr----_;_--:-. reines Moll

27(29) In der wirklichen Komposition treten die vier Tonarten selten

fur sich allein auf. Vielmehr ist meist harmonisches und reines Molloder reines und ha.rmonisches Dur gemiseht. Man wird soga.r in Durgelegentlich die P, inMoll die ~T antreffen.Als Umfirbung nach Moll bezeichnen wir die Verwandlung eines

Durdreiklanges in. den gleichnamigen Molldreiklang, als Umfirbungnaoh Dur die Verwandlung e ines Molldre iklanges in den gleichnamigenDurdreiklang.a) WU'd die P nach Du r umgefiirbt, 80 streb t sie in die Sj wird sienach Moll umgefiirb t, so strebt sic in die +D. '

3 5 . a) b)8 j j m J!!, IIll; = f t I- - -Die Gegenuberstellung von Moll und gleichnamigem Dur bring t deren

entgegengesetzte Folgebestrebung aufa deutl ichs te zum Ausdruck. Nach-dem die Mollterz voraufging, wirkt die Durterz um so stirker als Leittonin die SI, umgekehrt. die Moll~erz nach der Durterz als Leitton in die D,.b) Die S wird nat ii rl icherweise von Du r nach I' I. ,l l umgefii rbt, die Dvon Moll naeh Dur.

36 . a), I(]I ...t

b)I io]n ;!~. II

Die oS steht. in einem besseren Verhii.ltnis zurT al a die +S. Die Um-firbung nach Moll stellt in diesem. Fall eine Annihening dar, die ent-gegengesetzte Umfirbung naoh Dur eine Entfernung; im ersten Fallkann die T sogleich folgen, im zweiten Fall nicht. FU r die Umfirbungdar D nach Dur gilt das obige sinngemiB. Bei der Umfirbung trittein neues IntervaU zwisohen Dur- und Mollterz auf: da s sogenanntekleine Chroma mit dem Schwingungsverh iltn is 24: 25.Bisher wurde.nur untersucht, welches die ni.chst liegenden Richtungen

der Forts.chreitung sind. In der Komposition rirde man aber sehr ein-tanig wirken, wollta man nur diese verwenden. Vielmehr werden beieiner kluge.: :'Anlage .die s ti rksten Sohri~te an den Stellen gemacht , wo sie'am besten zur Geltung kommen und zwischelldurch herrschen schwichereBeziehungen. Insbesondere kann man aIle' Quintschritte fallend undsteigend verwenden, iIi ihrer na.t1lrlichen Rioht~g oder g~en diese,


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I 28je na.chdem 8cblieBende Kraft oder schwebendes Da.hingleiten erfordertwird. Diese Erweiterung der Moglichkeiten gilt auch fiir a lles folgende.(30) Zwei Dreiklinge heIDen doppelt quintverwandt, wenn der Grund-

ton des einen eine Quinte liber, oder, was dasselbe ist, eine Quaneunter der Quinte des anderen liegt. DieVerbindung zweier solcher Dreiklinge heiBtdoppelter Quintschritt; dieser kann ent-weder steigend oder fallend gebraucht wer-den. Wie leicht einzusehen, sind S und Dmiteinander doppelt quintverwandt und

eillem doppelten Quin~chritt verbunden werden.

37., ,II I ' I ItI if #,gkonnen daher mitFU r diesen gilt:Di e natiirliche Richtung des doppelten Quintschrittes geht von de~schwachen zur starken Seite der Tonart.Wir greifen hier auf denselben Grundsatz zuriick, den wir oben bei

der Umrarbong der S nach Moll bzw. der D nach Dur herangezogenhaben. Unser Ohr vertrigt zwar eine plotzliche Entfemung von der Tbis in entlegene Bereiche, verlangt jedoch dann eine stetige, nirgendsunterbrochene '.Rfickfiihrung, bel der jeder folgende KIang der T nochmehr angenii.hert se in soll ala dervorhergehende. Wo dies nicht be-achtet wird, tritt unter Umstii.nden bereits Modulation ein, wovonspii.ter zu sprechen ist.Im einzelnen gilt:a) im harmonischen Dur ist der doppelte Quintschrit t in heiden Rich-

, tongeD. gut, ven-der o s zor +D [edoehbeeser zu brauchen (Bsp, 380. , b);b) im reinen Du r ist die natiirlich~ Richtong des doppelten Quint-

schrittes von der +S zor +D (Bsp. 38c, d);'c) ebenso im harmonisohen Moll von der oS zor +D (Bsp. 38e, f) ;d) im reinen Moll wirkt der doppelte Quintsohrit t in keiner von .beiden

Richtungen iiberzeugend und kriftig, besser jedoch von der Dzur oS(Bap. 38g, h). ,Es sei bier noch bemerkt, daB Abweichungen vom Nichstl iegendenilbera .l l dort inoglich und von guter Wirkung sind, wo in der ~omposit ionnicht die groBte Kraft ausgegeben werden soll.

dl: 1 : : : : 1

29f)) g) h )

(31) Aus der doppelten Quintverwandtschaft entstehen eine Beihe ., zum Teil neuer Intervalle, die alle in den vier Tonarten enthalten sind.~ und zwa.r:

a) zwischen S. und D, {die pythagoreische kleine Terz 27: 32" die pytbagoreische groBe Sext 16: 27

. b) . . S. . . +D , } {die verminderte Quinte 45: 64. . oS , . . D, die ubermiBige Quarte 32: 450) . . 8. . . D3} {die falacbe Quinte . 27: 40. . +8, " D$ die falsche Quarte 20: 27d) " S. " D. } {der groBe Ganzton 8: 9. . . S& ". D& die kleine kleine Septime 9: 16e) oS , . . +D , {die libermiBige Sekunde 64: 75" die vermin4erte Septime. 75:128f) . . +8, . . +D ,} {der groBe Ganzton 8: 9

" flS, , ,_D3 die kleine kleine, Septime 9: 16. g) ft oS " D l} {die groBe Septime 8: 153,. S& " +D3 . die kleine Sekunde 15: 16h),

"+83 u DI } {die groBe ~eine Septime 5: 9". S, . " D 3 dar kleine Ganzton 9: 10I

i) S& D. {die reine Quinte 2: 3" " . die reine Qua.rte 3: 4. Von diasen sind die eraten vier P&are auch groBenmiBig noch nichtvorgekommen. Die pytbagoreisohe Kleinfe.,: unter a ist 'om ein synto-. Iiisohes Komma kIeiner ala die gewo~che Kleinteri 5 :6. Ihr eigenerCharakter istauch ' f iir ein -ungesohultes Ohr zu unterscheiden, wenn

,.


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30man sicb die kleine Ten zwischen Quint und Septime des Dominent-septakkordes vorsteUt. Die verminderte Quinte unter b ist um einKommo. kleiner o.ls die bei (23) S. 20 angegebene. (Der AusdruckKommo.ohne Beiwort bedeutet von jetzt an immer das syntonischeKomma.) Sie ist die eigentlicbe verminderte Quinte, die fUr gewohn.licb o.nzutreffen ist. Die Ialsche Quinte unter o ist um ein Kommakleiner ala die reine Quinte 2 : 3 . Die IntervaUpaare unter d, f, g, hund i sind groBenmii.Bigschon bei (23) vorgekommen, baben jedochhier eine andere musikalisehe Bedeutung.Zur Erleichterung der .Berechnung geben wir den geeigneten Aus-schnit t aus der Tabelle bei (6) S. 4 an:

a hg d

bf c

a s(32) Der doppelte Quintschritt von dor S zur D odor omgekehrt stoUteine Dissonanz in der Folge dar, die naeh AuD6sung mittels cines eln-

'achen Quintschrittes in aie T verlangt. Sinnfilliger Ausdruck dieserDissonanz sind die verschiedenen ibr zugcordneten querstebenden undstimmftihrenden IntervaUe; von diesen sind besonders die pytbagoreischeIDeinterz, die verminderte Quinto und die falsche Quinte, sowie dieUmkebnmgen dieser Interralle charakteristiscb.Es war oben schon gesagt, daB jede Abweichung von der T eine?-dissonanten Zustand schaffe. Im doppelten Quintschritti folgen .ein-ander zwei solche dissonante Zustinde j der erSte wird zunichst nichtaufgelost; sond~m. besteht latent unter dem zweiten fQrt und miindeterst gemeinsa.m mit ibm in die T.Die Empfindung des Dissonierensvon zwei Seiten her ubertrii.gt sicb auf die querstebenden oder stimmfUbrenden Intervalle, die sich beim doppelten Quintschritt ergeben, und

unter diesen fll .ll tdie verminderte Quinte am meisten auf:39 . a) reines Dui: . , ,

. . falsche Qulnte I pythagor. k I 1 Jdelne klelne I verminderteA" Ten Sevtime Quinte .

.'". o s +s , "U'+D,

I

"

31b) harmonisches Dur und harmonisches "Moll

x~rm.inderte I pythagor.k I ' 1 verminderte I ~~rminderte\luinte Terz . Septime \luinte

c) reines Moll!8rminderte pythagor."l)deine klelne falsche Quiutov.uinte Terz Sevtime

. . . .-&1,0

:..,. .aIt Hier sind nur diejenigen querstehenden oder stimmfiihrenden Inter-valle eingezeichnet, die beim einfachen Quintschritt noeh nicht auf.traten.Es folgen noch eine Beihe Beispiele fUr die Ausfiibrung des doppeltenQuintschrittes, die der Leser beliebig vermehren kann.

40. a) -b] e)))

(33) Damit sind die gnmdIegenden Beziehungen des gewohnlichenTonsystems in seinen vier Abwa.ndlungen erortert. Wir wollen sie nocheinmel kurz ~usammenfassen:ImDominantbereich steht der Durdreiklang, im Subdominantbereichder Molldreiklang 1m .besseren VerhiiJtnis, zur Tonika. Im Dominant.bereich' sind Dur und Moll ginzlich v~ohieden in wer WirkuDg, U nSubdominantbereioh sind Sie einander angenii.hert. Ferner: die +Tschlie.Bt die D aua, die T die +S. .Die n~tiir1iche Richtung des doppelten QJpntschrit~ ist von der +Sodor Szur +D , von der +D aber nur zur oS , endlich von deroDzur s .


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32Durch die Umfirbung sind die vier Tonarten zu einer einheitlichenGesamttonart verbunden, die man reoht eigentlich am Durmollton~bezeichnen kann:

41.

Wir setzen zuletzt nooh die vi~r Tonar ten sowie ihre Zusammen-fassung in einer DunnoUtonart in skolenmiBiger Anordnung her:4 2 .a) reines Dur' ; :; ;: ~:- 0 "- 0 T,T, D$ +T, S, T6 +S3 +D3 8,, S, o,b) remes Moll 5 : 1 ::il ~o IIt i'T, Dr. T, S t Tfl S a D. T,Sr. Dt S,.c) harmonisches , : : : c : : : : : ;;: ;; :: FW 0Dur - 0 T,T, Dfl -r, 8, Til S s +D~S, D, 85. u haJ 'monisches , , : :: . = = = :;: I.Moll . . . T,T, D, T. S, T, -s , +D,SII D, S,e) Dumoll , ~~ t ;- t::i IliI ~e (i! ~ I: .- T. 0D +D . Tt-T D, OT.\ s , oS, + S as : D, 3 ~ a S,Ein einfacher Pfeil gibt die natilrliohe Leittonrichtung an; ein Doppel-pfeil bezeiohnet den Widerspruch zwischen der LeittOnrichtung aus der

Eigenkraft der Akkorde und der Leittonrichtung zur Tonika.A~ ~ .... ~ ~ ' Q u . e. q~"'. d~ ~..d'b, ck . m . Quintverwandte Tooarieo..; _1': (34) Den 'Obergang von einer Tonart in eme andere nennt .man"'" Modulation. Daa Wesen der Modulation is t bezeiohnet durch die1 " . . : . b Setzung einer neuen Tonika.: Durch diese Setz1lD8erf~~n die klingen.

..;_ " 1 " den T6ne einen Bedeutungswandel, den man ols Umdeutung be-

33zeichnet; z. B. beim 'Obergang von C.Dur nach G.Dur geht.der Ton cvon der Bedeutung eines Tl in die eines 81fiber.43. , g f i 0 1 2 w o a I I. ~~, '1J'

T 9' ' E ~~L I IDie Setzung der neuen Toniko. ist bier und bei den folgenden Bei-spielen auf der unteren Zeile angedeutet.

::

Qoin tve rwand te Tona rt e n v e rha lt e n s ie h ihnUeh zuei nande r , w i e qn in t -v e rwandte Dr e ik l inge.No.chdem wir die Verhil.ltni8se zwischen quintverwandten Dur- undMoUdreikliingen.erortert haben, Uegt es nahe, die VerhiUtnisse zwischenebensolchen Tonarten ihnlich anzusehen. Insbesondere werden wir inkonsequenter Anwendung des 10.Axiomes keine unmitte lbare Be.ziehung zwischen einer reinen oder barmonischen Durtonart und dereineQumte hOher gelegenen reinen oder harmonischen Molltonart an.nehmen;wo eine solche scheinbar vorliegt, handelt es sich in Wabrheitum ein ganz anderes Verhiltnis, das wir spster aufkliren werden. ,(35) Wir wollen nun die magUchen Moduln.tionen in einlacb qumt.verwandte Tonarten untersuchen: Jede der vier Tonarten bnn sichauf vierfache Weise mit einer Tonart der Oberquinte, ebenso auf vier.fache Weise mit einer Tonart. der Unterquinte ve~binden; dies ergibt. . 2 X 16=32 Kombinationen. Von dieeen scheiden [edoeh die Modula.t i!>nen von einer Molltonart in die eine Quinta tiefer gelegene Darton,art aus; do.es zwei Molltonarten gibt, die sich je mit zwei Durtonartenverbinden kannen, verringert sich die Zabl der Kombinationen umvier; auf i ihnliohe Weise fa llen vier MOdulationen in die Oberquinte -

8.US. Damit verbleiben von 32 Kombinationen noch 24. Diese scheidensich in solche, bei denen mitder Umdeutung zugleich eine Umfirbung, .' vorgenommen werden muB, und solche, wo dies nicbt der Fall ist.~Mit letzteren wollen wir beginnen:.~, 44. a)von CDur rein nachGDur rein b) von cMollrein nach/.Moll rein!_ u D a u 1 1 I I L a ~ik! L a r r ~ ! , ._ w D . _ _ ~ _ .

+T -s +D +T-+S +D. . , y . T DOS 0T.OD s 0TT 9 ' its ) E I it ) r 5 1.3 Nliullia.aD. BarmoDleidlre

- : : : ; Q . n.,~ " (,0.""" o L \ . " ucu.,.l ~~'()LM + " 0 . + ( " ' - : 0 e~o.cw.to


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34c) von c-MoUr ein nachg.MoU rein d) vonCDur rein ~chF.Dur rein

e) von CDur harmonisch nachGDur rein f) von cMoU harmoniseh nachI MoU rein, 9 t o e U 9 A l i II 1" 0 it! 1.0 ~!~! - -D U T + D o s T O D o s TT o s + D + T " + S + TT ~; . J J _ I '! A r 5 1't -) von c-MoU rein nach g.Moll

harmonischh) von CDur rein naeh F-Dur

harmonisch

'1Y 1 , 0 " 9 1 1 3 6 ~i I ft !i ft i!! ".. . - -+ T + s + D + T , , + D o s + TT D o s T " O S + D ,O T ~"j I J r 1 "T 9' 't Ii! . 1- {i) \von c-MoU harmoniSch BachG n o r harmonisch '0T o S

T " 't . . . . . 11 ('t-ie obigen Beispiele sind in P~n dual ent~eg~ngesetzt angeo~et.Das Priozip der dualen' Entgegensetzung .ist die Vertauschung spiegel.biIdlich gleioher JDinge: es trltt dann '

an SteDe der +D die 8.. " "oD .... +8,.. .. .. +T .. ' T und umgekehrt.

36Sollen nur einzelne TOne vertauscht werden, so tritt an Stelle desGruadtones die Quinte, an SteDe der Durterz die MoUterz und um-gekehrt.Die verschiedenartige Wirkung vorstehender Modulationen ha.t fol.gende 'Grilnde:Das TonariverhiJtnis wirkta) rUckbezieltend bel lt lodulation in die +D (Bsp. 440., e und i),{J ) riickbezlehend bei Modulation in die 8 [Bsp.44b. f und j)7) venelbstindigend bel Modulation in die D (Bsp.44c und g),a) venelbstindigend bel Modulation in die +8 (Bsp.44d und h).In den FiiJIen a und fJ erwartet unser Ohr Bach dem Erreichen derZieltonart eine baldige Rfickkehr in die Ausgangstonart. bei, r und J

ist dies Picht der Fall. Das Vorstehende ist eine Erweiterung und Aus-ffihrung des unte r (34) S. 33 ausgesprochenen Grundsatzes, wonach sichquintverwandte l'onarten ebeoso zueinander verhalten wie quint.verwandte DreikJil.nge. Man mage auch beachten, daB die rfickbeziehendeWirkung bei iund j am schwlichsten ist, do. daa bier gegebene Ver.hil ltnis einer best immten Richtung entbehrt .,~) ltlodulation von der harmonischen in die reine Tonart wirkt rUck.beziehend (Bsp.44e und fl .t:) l\lodulation von der reinen iii die harmonische Touart wirkt ver.'seIbstiodigend (Bsp. 44g und h).mer ist es der bessere innere Zusammenha.l t, dar der harmonischen

Toliart jeweUs das 'Obergewicht fiber die reine gibt, so daB s ie in jedemFaD. sei es als Ausganga-, sei es als Zieltonart, zum tonalen Schwer-punkt wird.(36) Es folgen nun diejeingen Modulationen. in deren VerIauf direkte

. oder indirekte (d. Ii. durch Zwischenakkorde getre.inte) Um.fi.rbungen.(t__j) auftreten:


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36 c) von c-Moll ha.rmoniach nachg-Moll harmonisch, " f t~!A d) von C-Dur harmonisch nachF-Dor harmonisch~ ~

T 9' .. .

[g) von c-Moll harmonisch nach [h} von CoD';""harmonisch nachg-Moll rein] F-Dor rem]

:t " O ~ ! i"0 ~ '8 lot! i!1~tA !f S I - _ ~ ~ ~"U" -T s +D T.oS CD 0 ' +T = s +D +T,,+D+T +S +D +Tt f f t,]tJ _lit ,J -,i) von c-Moll rein nach G-Dueharmonisch

j) von C-Dur rein nach !-Mollharmonisch

I 0 !i ft e 1- ~+T +S +D +T.+D os Tf r l t I .I it J _- _ _ . ,

3 7[m) von e-Moll rein nach [n) von C-Dur rein nach

G-Dur rein] !-Moll rein]'L!iii~!L~~.IlI!!i!3!t!~!1Die lJmJirbDDg wirld bei obigen Modnlationena) venelbstincUgend beillodulation in die Dominante and lJm1irbDDgder Zieltonlka nach Moll (Bap. 450 und g);fJ) veneibstlndlgend bel Modulation in die Sand Umfirbung der Zlel-tGnika nach Dur (&P. 45d und h);r) riiekbezlehend bel Modula tion in die D und lJmfirbung der Ziel.tonika Bach Dur (Bsp, 45i und m):c J ) riickbezlehend bel Modulation in die S und lJmfirbung der Zlel-tGnika nach Moll (&P.45j und n):e) 13rdemd bei Modulation in die D und Umfirbung der Ausganga-tonlb Bach MoB (Bap. 45a. und e);l:) 13rdemd bei Modulation in die S und Umfirbung der Auaganga-tonJka nach Dur (Bsp, 45 b und f);'1) bemmend be i Modulation in die D und Umtirbung der Auaganga-tonika nach Dur (Bap. 45 k und m): 8) bemmend bel Modulation in die .8 und lJmlirbung der Anaganga-tonika nach MoB (Bsp, 451 und n).ct, p, r und 6bedUrfen keiner Erklinmg, e and ~ hingen mit (29)

. S. 27 zusammen, ebenso f/ und f) aber im widenprecbenden Sinn. Dortwa.r nimlicb gesagt, da.B die '1' bei der Umf'a.rbung nach Moll ~ die Datrebt, bei Umfirbung nach Dur in die S. Was endUoh die hemmende Wirkung der Umfirbung bei den letzten vier Beispielenbetrllft, 80wird der Leser ersta.unt sein, sie nicbt zu spiiren. Wir milssen un a bier

, mit der Andeutung begnugen, da.B da a Ohr die sinnwidrig wpgeil.rbtenKlinge ala Strebekl inge a .uf f a.Bt und ihnen 80 einen Sinn unter legt ,den \Vii an seiner Stelle klar machen werden. Man vergleiche bierzuBsp. 120 bei (74) S. 85. Ferner gilt: ..a) Bei Modulation in cUeD verbunden mU UmJirbung cUeserletzterenDaeb lIoB v~langt dRs Ohr die +D dm: Zleltonari ZD bUren (Bsp. 45c):


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3 8(I ) bel ModuJation In die S verbnnd6n mit Umrirbung der letzteren

nach Dur verlangt d88 Ohr die oS der Zleltqnart Zll hUren (Bap.45d).Man kann sich zwei quintver-

1 a a a a a wandte Tonarten zu elnem GefilgeJ " i 8 J fi s I fi s J fi s J f_ , von vier ilbereinandergesahichteten) ) ) ) quintverwa.ndten Dreiklii.ngen zu -I!1 ~ 1 ~ 1 a ~ 1 a~ sammengefaBt denken. Das Vorf. ,.,. stehende besagt nun, daB nur elneeinzige Schicht nach Dur oderl -e u 1 e~ 1 ~ . 1 ~ . 1 ~ . Moll umgefarbt werden soil, nicht.... _ ~ aber 'zwei gleichzeitig. Greift dieUmfirbung nach Dur eine Schioht1 ; 1 l : . 1 : . 1 : . 1 : . tiefer, so versobiebt sich die Moll... __ .... __ ,_ erwartung ebenfalls um eineSchicbt nach unten; greift aberf f f f f die Umfirbung nach Moll eine

. Schicht hoher, so verschiebt sichdie Durerwartung ebenfalls um eine Scbicht naeh oben. Die Modula.tionen Bsp. 45g und h, die gegen obigen Grundsatz verstollen, wordeneingeklammert. Beili iufig gesagt vers toBen die M'odUlat ionen Hap. 45 mund n ebenfalls gegen dieses Prinzip.' ,

s0'_DI\~nQ . IV. Die erweiferte Tonart(37) Im vorigen wurde mehrfacb von riickbeziehenden Kriften bei

einzelnen Modulationen gespecehen, :biese bedil rfen einer niheren Erklirung:Wir haben weiter oben die tonue Auziehungskraft als Gediobtnis

ftlr den Ausgo.ngspunkt und .Bedilrfnis nach Rilckkehr in denselben 'erJdirt. Dieses Gedicht~ und BediirfniS erlischt nun keineswegs, 'wennwir una in eine zum Ausgangspunkt quintverwandte Tonart begeben;vielmehr besteht as auoh in diesem Fall grundsii.tzlioh weiter. Wll'saben femer,fdaB die einzelnen zur Tonika quintverwandten Dreikli ingesichverscbiedenartig gegeniiber der tonalen Anziehu'ngskraft verhalten:die +D U11ddie oS un~rstiitzen sie, die D und die +S widerstrebenihr. So durften wir erwarten, daB Buoh die quintverwandten Tonartensioh nach diesem Gesetz r iohten.Die bier dargelegte Auffassung der tonalea Ariziehwigskraft ermag -

lioht n~ den ZusammensohluB dreier quintverwandter 'Tonarten zueinem erweiterten Tonsystem, &Dalog dem Aufbau des einfacben Tonsystems aus drei quintverwandten Dreiklingen.. I.

.'.,~

g :.I. . , ,~.f ~ ~I -~~-, h7' " J" - ' J ! !~

~Q1, J.~ 1 ' . d~"~l :L.~

"

39Wie man, aus nebenstehender Figur sieht, .J~!nndie Tonika neben ihrer 'tP f- =

h~uptsiich~~chen zentralen ~~eutung au~h noch vorilbergehend 8 der ,Dominanttono.rt oder D der Subdoininanttonart -- Sd"SoL+-~. Die D entf8itet"-nunm-ehrelne, !igeli;;. J D S,)~ ~ dJ..-=t; +Tor:uart, in der sie ..als_~.!~~~~~ fungiert, eben. ~ O ID l '1 ' ~o!,O e S. -R ~ - -t:Es is t zweokmiBig, fiir diese erweiterte Ton. ~ 'I '1 ' = S . r. , - 1 D . A,art die Bezeichnungsweise Hugo Riemanns zu I) S -= 1 '1 ' S I?ilbemehmen: Er Daunt die D der Dominant. to +- ~ r: . a,.'' 'F',:p- S '1: btonart "Doppeldominante", abgekilrzt ~. die 8 ' F .q ~ ; : S d . t . 00t~~. . J . ' ! ; A ' bder Subdo~inanttonart ..Doppelsubdominante". abgekiirzt i. Unter ~ ~-

Hintanstellung der mehrfachen Bedeutung elnzelner Klii.nge 9r~ .{~ SoL~ sieht unsere Figur nun so aua: :ltri ~D (>OJ. Jede der drei einfa.che~ Tonarten unseres erweiterten Systems \J ~P .: ...'1 ' R f. gehorcht dem bei (27) S. 24 aufgestellten Grundsatz, wonsch - Q . t. .. U 2 - , Q..S ~\~.L die +'1 ' die D ausschlieBt, die 0'1 ' aber die +S. Damns ergibti111 b 4. sich unmittelbar: ;~ot. - J..a)u. ,.......0' ~u.. '_ d.. .J. f.1.0-

Di e +D schUeJJ t d i e 0~ BUS, und die oS sehlleJJt die + * aU8.Unter Beracksichtigung dieser Baugesetze konnte unser erweitertes

System auf folgende sachs Arten verwirklicht werden:a) b)relne

Durtonart.+~ +i+D +D+ '1 ' + '1 '+S +8+ i C l i

c) d)harmonische harmoniscbeDurtonart Molltonart

+i +i+D +D+'1 ' 0 '1 'oS oSi i '

e ) f)reine

Molltonart .+i iD DT T8 : oS0i ' o

Von diesan'scheidet jedoch b und e ans; bei b ist die +S Neben-toma einer harmonischen Tonart und reint daber die HerrschaCt ilberdie reine Haupttonart an sich, bei e ist die D Nebentonika einer haremo~en Tonart und iiberwiegt ebenfalls gegeniiber dar reinen Haupt-tonart. (Man beachte den Zusammenhang mit (35) 8 und , S. 35.)Damit verbleiberr vier erweiteI;te, Tonmen. Nach allem bisher Dar.

gelegten wird dar Lese r leicht einsehen, daB die beiden harmoniscbenTonarten den reinen i lberlegen sein mils8enl , femer daB ,die reine Dur-:tonart der reinen Molltonart, die harmonisohe Durto~art der harmo.nisoben Molltonart ilberlegen ist; mit anderen Worten: die vier ere

4 0 41


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weiterten TOnarien sind untereinander ihnlich geordnet wie die viereinfachen.(38) Der einfache Quintschritt ist in der erweiter ten Tonart an allengeeigneten Stellen m6glich. Da die erweiterte Tonart drei einfa.cheTC!n.arten enthl!. lt , ist der doppelte Quintsohritt an drei Stellen denkbar ,nimlich:

t a) von der % zur T oder umgekehrt,b) von der 8 zur D oder umgekehrt,0) von der T zur B oder umgekehrt.Die nattirliche Richtung des doppeUen Quintschrittes gebt von der Tzur 0 oder von cler T zor i.Durch die oben angefUhrten doppelten Quintschritte wird die T indemoAugenblick, da sie verlessen wird, zur 8 der Dominanttonart oderzur D der Subdominanttonart bestimmt. No.ch (32) S.3O stellt derdoppelte Quintschritt eine Dissonanz in der Folge dar , die naeh Auf-16sung mit einem einfachen Quintschritt verlangt. Das Gehor erwartetalso im ersten Fall den Eintritt der D, im zweiten Fal l den Eintri ttder 8 als vermittelnden Klang. Infolge der ruckbesiehenden tonalenKraft werden diese jedoch schon vor ihrem erwarteten Eintrit t auf

die T bezogen und ihrer scheinbaren Selbstii.ndigkeit ala "Aufl6suogs-klang" beraubt. Beim Verlassen der 'T mit einem doppel ten Quint .schritt wird diese also bum ernstlich in Frage gestellt. W oo die Tdagegen mit einem doppelten Quintschri~t erreicht: B-T oder i-T,. 80 wird me schon bei ihrem Eintrit t zur 8 der Dominanttonart oderzur D der Subdominanttonart bestimmt und muD daher zunichst miteinem einfachen Quintschrit t, der zugleich die Folgedissonanz desdoppelten, Quintschrittes auflost, in die D oder in die 8 gefUh~werden.. .

Es eriibrigt sieh zu bemerken, daB der zuletzt besprochene Fallkeineswegs ganz ausgeschlossen ist. Er wird ilberall da Platz f inden,. wo keine' oder nur eine sohwache harmonische SchluDwirkung be -absichtigt wird.(39) Aus demGesagten ergibt sieh noch:.Die 0 streb' zur elnJaehen D, die i.zur einfaelien 8. Ferner: Wlrddio B mit der T unmlUelbar verbunden, so versehiebt sieh dastGnale, Glelebgewlcht in die DominanHonari, wird die i unmittelbar m i t der T.verbunden, so versehiebt es sleh naeh der SubdominanUonarL, : E m Ausgleic~ di~ VeJ'8Chiebnng kann selbstverstindlich mitwenigen folgende~ HarmoniesoJ;lritten erreioht werden:

46. a) b)

Ii 0 I ~ O i.I

Foigende kadenzierende Harmonieverbindungen sind naeh dem bis-herigen magtich: E .~e .~'J' .;Q."_": '.t U;...d.f..u., ~ .:..:.~ ~ S /;.():..-Bc._ .-.Q;-...t.. 6~ /'ri!.v:e Q~ i ~ : : . ~ . ~ o.~e.~,o.~47. a) remes Dur oder b) remes Moll oder .~), \" ,).M :r.?:,?..;;,~~.,hannonisches Dur harmonisches Moll' ~~!I : : : I I ; ; ; I ; ~ : I+T +~ +D +T T o oS T

c) harmonisches Moll d) bermonisehee Dur

e) reines MoU f) reines Dur .

g) reines Moll . h) reines Dur

43


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"

Von diesen besti tigen Bsp. 470.,b, e,d das oben Gesagte; e und fwirken weniger iiberzeugend wegen der groBeren Selbsta.ndigkeit der Dund der +8, aber auch wegen ihres Widerspruches zu (30) S.2S. Derdoppelte Quintschritt geht nimlich bier von der starken zur schwachenSeite der Nebentonm. Verbessem konnte man'diese beiden Folgendurch Einscbieben der 8 bzw. der +D (g, h).(40) Zwei Dreiklii.nge sind miteinander dreifach quintverwandt,wenn der Grundton des einen zwei Quinten liber der Quinte des

anderen liegt., Die beiden Grundtone liegen also drei Quinten auseinander; bringtman dieses Intervall durch Oktavversetzung auf den engsten Raum, soerhAlt man die pythagoreische kleine Terz. Hier. ist Gelegenheit, noah .einmal auf den Unterscbied zwischen der pythagoreischen und dergewohnlichen (oder wie man auch sagt: natftrlichen) kleinen Terz hin-zuweisen. Die pythagoreische kleine Terz entsteht duroh Zusa.mm~n-ziehen von drei Quintintervallen; es ist also in ihr der Primfaktor 5,den wir oben als Charakterist ikum der Terz bezeichnet haben, nichtenthatten. Schon daraus ersieht man, daB sie mit dem naturlicheIi Terz-intervall nur den Namen gemeinsam hat. Auf unserer Tabelle bei (6)S. 4 findet man dementsprechend die pythagoreische kleine Terz,indem man vom Ausga.ilgston drei Schritte na.ch links oder rechts gebt.Ihren Namen hat sie von dem griecbischen Mathematiker, Philosophenund Musiktheoretiker Pythagoras. dessen Tonsystem ausschlieBlich aufder Oktave und Qufnte aufgebaut war., In unserem erweiterten System sind die '% und D dreifach quint-verwandt, eben80 S und ~.(41) Aus der dreifachen Quintverwandtsch,aft entstehen wiederumeine Beihe zum Tell Deuel Intervalle, die in den erweiterten Tonmenvorkommen. Der Einfachheit halber legen ~ unserer folgenden Tabellenur da s Verhil tnis zwischen 8 und ~ zugrunde und liberlassen' es demLeser. dieses sinngemiB auf die dreifache Quintverwandtscha.f~. z~-

schen % und D auszudehnen. Aus dem gleichen Grunde lassen WlI' die , .Umkehrungen der neu abgeleiteten Intervalle weg.a) zwischen 8. und ~I entsteht die pythagoreische gr. T.u:z 64: 81

128:135) It 8. " +~3 } das groBe Chromaoder u . 83 II 16 "0) II 8. " 13 } d& s syntonische Ko~maoder II +83 i6 . .II

"f'

80: 81 ,I

d) zwischen 8, und +~ ,entsteht die verminderte Terz 225:256e)oder:: :~::: ::: /1 die pythagoreische kl. Terz 27: 32.... 8. It i. .."It Sa.. ~s

f) " 8a . . +13 }oder " o S , " I .g) ." S" " 13 }oder " +83 It ~ . die verminderte Quinte 45: 64t die falsche Quinte 27: 40.h) S" It ~ ' " 8: 9er graBe Ganzton"Die Intervalle unter a, b, 0 und d sind gr6BenmiBig bisher noahnicht vorgekommen. Die pythagoreische groBe Terz ist um ein Kommagr6Ber als die nati ir liche; ebenso wie die pythagoreische kleine Terzist sie ein reiner Quinta.bkommling' und nur dem Namen nach eineTerz. Das groBe Chroma unter b ist um ein Komma groBer als d askleine Chroma 24:25.Die Intervalle unter e, f, g und h sind gr6Benmii.Bigschon bei (31)S. 29 vorgekommen, haben jedoch bier eine andere musikalische Be-deutung, Zur Erleichterung der Berechnung mijge man sich folgendenAusschnit tes aus der Tabelle bei (6) S. 4 bedienen:

a li BI c g d, a

as I(42) Die Verbindung zweier dreifach' quintve~dter Dreiklinge,heiSt dreifacher Quintschrit~; dieser kann entweder steigend (von

der zur D oder von der B zur ~) oder fallend (von der ~ zur 8 odervon der D zur ) gebraucht werden.' .Der t1reifache Qalntscbritt 1s t eine FolgedJ88onanz und verlangt IUseiner v61lst1ndigen AofliBDDg das Erscheinen beider ibn vermitteIn-den DreWinge. Ausdruck der Folgedi88onanz des clreifachen Quint-schriUes iind die lhm zugeorc1neten querstehonden oder stlmmlllliren-denlntenalle: 'V~lD dIeten sind besonders., die pytbagoreische groSeTen, das gro8e Chroma, das Komma und die verminderie Ten charakte-pstiBch. " ' '

'I1, .I

.'

r )O.! .-eu:~v //'.I'eu~ d~el ' ) ) 1 - - e s , . . . . . j .o.er.d\"G, : ) v . t - ( ) '.Ul8' J ' ? J 2 _ -


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44Wir aetzen zunicbst einige Beispiele filt den dreifachen Quintschritther, an denen man die'oben angegebenen Intervalle beobachten moge.

48. a) remes Dur:K omm a

b) harmonische:s Dur und harmonisches Moll:groAes Chroma I pythagor. e r o D e l gro~esChromalverminderteTerz Terz

c)reines Moll:

A

Wie schon beim doppel ten Quintschri tt, so folgen auoh bier zweidissonante Zustinde aufeinander, obne die vermittelnde '1' horen zulassen. Wie dort kann man apeh bier 'von einem latenten Fortbestehendes einen dissonanten Zustandes unte~ dem anderen sprechen. Deshalbgenfigt es auch zut voDstindigen Auflosung niOOt.mit einem einfachenQuintschritt weiter zu gehen, da dann die eine Seite unaufgel6st bliebe.Der dreifache QoiDtschrltt wlid am natilrllchBten mit zwei ihm ent-gegengeriebteten einlacben QulntscbrlUen aulgel6st.Es llegt dem Gehor nahe, die AuflOsung des dreifachen Quintschrittesmit dem natiltllohsten und besten Harmonieschritt, dem einiachen. Quintschritt zu beginnen. Z~ AuflosuDg der noch verbleibenden RestspannUDg ist sodann ein weiterer Quintschri tt ~otig. Da daa Ohr dieendgiUtige AufUisung des dreifachen QuinUchrittes zugleiOO al a '1'empfinden m6chte, folgt bierau8:

, . .tr0"

~ " 3 ': 3a . '- ~ '-4,., dQ . ,. .. .a. - r 45Die nattirllebe Ricbtung des dreifaehen Qnintscbrittes lsi von der 8zur"~ oder von der D zor % .'-"1I&n vergleiche nUDfolgende Beispiele:

49. a) reines Dur b) reines Moll

e) harmonisches Moll f) harmonisches :pur

Bsp. 49~f sind obne weiteres einleuchtendj wir wollen daher nurBsp. genauer besprechen und die sinngemilJ3eAnwendung .uf b-fdem Lese r fiberJasaen: Der Schritt von der '1' "ur 8,ist der Beginn einernormalen KadeDZj die folgende .~ un~bricht den gewohnJichen Fort.ga.ng und l i S : die D erwarten; diese wird jedoch 8Ch~nvor ihrem Ein .

!o fi

4 6 4 7


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tritt al a neuerlich aufliSsungsbednrftig zur T hin emplunden, 80mit diebauptaicbliche Tonika kaum in Frage gestellt.Bei g und h machtsich die Selbstii.ndigkeit der D bzw. der +8~eltend.Man kannte die T durch eine eingeschobene 8 bzw. D unterstutzen:b) reines Dur

(43) Der dreifache Quintschritt kann auch, wenige.rna~iirli?h, miteinem entgegengeri,*teten doppelten und einem neuerlich die ~chtungwechselnden einfachen Quintschritt aufgelost werden. Da der schlieBendeKlang wiederum die T sein soll, .findet der dreifache Quintschri~t bierentgegen dem vorhin Gesagten zwischen der ~ und der 8 bzw. zwischender iund der D statt.Wie leicht einzusehen mussen in der obigen Folge die beiden dendreifachen Quintschritt ;ermittelnden Dreiklinge erseheinen. Durch dieAneina.nderreihung zweier Folgedissonanzen, .nim1ic~ eines. dreifach~nund eines doppelten ~Quintschrittes, wird die Auflosung [edoeh VlelsprOder:61. a) reines Dur b) reines MollI~ :~: ~. . ij ~:' :

q : :' : ; I+T +j -s +D +T T o f D o s T

,0 ) barmonisches Dur

e) hannonisches Moll f) hannonisches Dur

g) reines Moll h) relnes Dur

Die obigen Beispiele verlaufen weniger eindeut ig ala die bei (42)S.45. Betrachten wir Bsp. 5la. genauer: Durch den Schrit t von der Tzur ~ W i rd das tonale Gleichgewicht zur D hin verschoben. Wilrde nundie D eintreten, so wOrden die ruekbeeiehenden Kri lte das Gleich.gewicht solort wieder herstel len. Die 8 steigert aber die Dominant-erwartung nur nooh ~ehr. Die Verbindung ~-8 kann nimlich auf dieDominanttoDart al a D-i bezogen werden (siehe (42) S.45 fiber dienatilrliche Richtung des dreifachen Quintschrittes). Wilrde man nunmit ein~m einfachen ,Quintschritt zur T gehen, 80 konnte diese .auchal a 8 der Dorilinanttonart aufgelaBt werden. Die vollige Auflosung miteinem weite~en Quintschritt wilrde tonal beruhigend und schlieBend indie Dominanttonart fUhren. Statt dessen jedooh erscheint die D undnimmt den nach der ~ unterbrochenen Zusamm~nhang wieder auf. DerSchritt 8-D ist eine Folgedissonanz und verlangt zu seiner Aufl6sungdie sohlieBende T. Der Leser'Wkd imstande sein, den entsprechendenVerlauf bei e, e und g zu durchdenken,sowie die Umkehrung diesesVerla~es bei b, d, f und h. Inallen diesen Fillen erhilt entweder dieDominant. oder die Subdominanttonart eine stirkere Betonung., (44)' Die dargestellten Zusammenhinge werden aber noch durch dieEigenarten der einzelnen Tonarten beeinfluBt. Vor allem der grOBereinnere Zusammenhalt derbarmonischen Tonarten macht sich geltend.So ist in B s p . 610' me +'1' uDzweifelbaft dUP.Chhre 8 festgelegt unddie DominanttOnart kommt, do . sie rein ist, nicht zur Geltung' (vgl. (35),Bsp. 448 und f). Spiegelbildlich gleich liagen i die Verhil tnisse bei d.

I 1

4 9


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4 8Auch Bsp.4ge und f sind durch starken Ruckbezug zur Ha.upttonikahin begtinstigt.Dies erlo.ubt ODS sagar, obige vier Beispiele folgendermaBen suformulieren:Dre. o.cher Quintschr it t mit unvol lst indiger AuIlosung:

52.

c) h&rmonisches Dur d) h&rmonisches Moll

t l ! : I : :~:I i : : : : I:T o s + l } . + T T + D o TMe be&chte besonders, daB bei-Bsp. 52c und d der doppelte Quint-schritt entgegen (32) S. 30 moot a.ufgelOst wird. Dennoch ist die Emp-findung der '1' UDZweifelhaft.Zuletzt Bach zwei Beispiele:

Bier wird im eraten Fall die storende Wirkung der a.usgel&S8enen 0Ddurch die .schlieBende +'1' ausgescha.ltet, im zweiten Fall die sWrendeWirkung .der ausgelassenen +8 durch Eintreten der 0'1 am Schl1!B(siebe auch (22) S. 19). AuBeniem aber sind' noch kommatischeSchwebungsvorgiDge im Spiel" die wir bier Boob nicbt aufkliren-konnen.-

"

Es folgen Boob emige Beispiele fU r veracbiedenartige AusfOhrung desdreifa.chen Quintschr it tes :if: ; . ! :i(;t . ; 1 ~ ;; ) : I ;{ I ~ : ; : I : L ; : i; ; : : ; ; i;I(45) Unser erweitertes System enthil.lt auch ein Pallor vierfach

quintverwandter Dretklange, niimlich iund 0. Die beiden Grund-tone liegen bier vier Quinten oder, auf engsten Raum gebraeht, einegroBe pythagoreische Terz auseinander. i und 0 konnen mit einemsteigenden oder fallenden vierfaohen Quintsohri tt verbunden werden.Wir setzen zuniichst eine ~eraicht Uber die Intervalle her. die ausder' vierfachen Quintverwandtsche.f t entstehen (die weniger wicht igenh&b~n wir in [ ] gesetzt):a) zwischen i. imd 0, entsteht d. pythagoreische Halbton 243:256b) .. i. u+0, }oder.. 0i, u 05 ..[c) II i. It 00 3 }oder.. +i,.. 0, "d) .. i, .. +0,

i,+i3i,i,+i3i s

[e) IIoder ..f) IIoder:,.

[g) - ..oder ..h) IIoder IIi) II

.. Neumaaa, HarmoI I IeIchre

die iibermiBige Quinte 256:405eine zu groBe Quinte

" die iibermiBige Ten 512:675die pythagoreisohe gr. Ten 64: 81das groBe Chroma 128:135das syntoniscbe Komma

II

die p~reisc1ie gr. Ten 64: 81die pythago!8ische kl. Ten 27: 32

50 51


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Der pythagoreische Halbton unter & ist, wie alle pythagoreischenIntervalle, ein r eme r Quinta.bkommling; er ist um ein Komm8okleinerals der gewohnliche Halbton 15:16. Die ubermiBige Quinte unter bist um ein Komma groBerals die unter (23) f S.20 a.ngegebene.Wiohtigist noch die iibermiLBigeTerz uoter d, die bekanntl ich mit der reinenQua.rte enbarmonisoh verlauscht werden kann.(46) Dor vic ria cho Quin tschr i tt is' cine Folgcdissonanz lind bedarf Inseinor vo ll sb lnd igo Jl Au f li is u og do s E r sc h ai neDs allor drci ibn vormittoln-dOli DroikUingo.Das Obige ist in '

Neumann, Synthetische Harmonielehre

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