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FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1

Markus Sinnl2

[email protected]

http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnl

basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic, Mag. ChristianSpreitzer und Mag. Reinhard Ullrich

2Sprechstunde: MI, 10-11 Uhr [03/321]

Administratives

Vorlesung und Übung

8 Einheiten (?) + 2 Testtermine

1. Test: Mitte November2. Test: Ende des SemestersTerminvorschläge?

Benotung

zwei Tests zu je 12 Punkten

Beispiele zum Vorbereiten

Voraussetzung um positiv zu sein

mind. 50% angekreuzte Beispielemind. 15 Punkte aus den beiden Tests und den Zusatzpunktenauf die angekreuzten Beispiele

Markus Sinnl3 [email protected] http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnlFK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1

Administratives

Beispiele zum Vorbereiten

Kreuzerl-Liste unterhttp://www.univie.ac.at/nuhag-php/kreuz/

J. Brandstetter, W. Schachinger: Wirtschaftsmathematik 2,Beispielsammlung

Beispiele an Tafel rechnen

nicht vorbereitet/gar nicht anwesend: sämtliche in dieserStunde angekreuzten Beispiele gestrichen!

zu spät/früher gehen: nur die Kreuzerl angerechnet werden,die während der Anwesenheit der/des Studierendenvorgerechnet werden

Aufgaben können nicht außerhalb der Übung gebracht werden.


Administratives

Zusatzpunkte für X angekreuzte Beispiele

55% ≤ X < 65%: +1 Punkt65% ≤ X < 75%: +2 Punkte75% ≤ X < 85%: +3 Punkte85% ≤ X < 95%: +4 Punkte95% ≤ X ≤ 100%: +5 Punkte

Note für P Punkte

wenn Voraussetzungen für positive Note erfüllt

15 ≤ P < 18: Genügend18 ≤ P < 21 : Befriedigend21 ≤ P < 25 : Gut25 ≤ P : Sehr gut


Administratives

Literatur

J. Brandstetter, W. Schachinger: Wirtschaftsmathematik 2,Beispielsammlung

W. Schachermayer: Angewandte Mathematik II für BWL undIBWL, Skriptum

erhältlich im Facultas-Shop

weiterführend: K. Sydsaeter, P. Hammond: Mathematik fürWirtschaftswissenschaftler

Tutorium

Kontakt: Tinatini Buturishvili, e-mail:[email protected]


FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 1

Themen

Wiederholung: Funktionen in einer Variablen, Graph

Funktionen von zwei Variablen

Begriff des DefinitionsbereichsGraph als “Funktionengebirge”Niveaulinien


Funktionen in einer Variablen - Definition und Beispiele

Reellwertige Funktion einer reellen Variablen:

Eine Funktion f einer reellen Variablen x mit DefinitionsbereichD ist eine Regel, die jeder Zahl x in D ⊆ R genau eine reelle Zahlf (x) zuordnet. Die Menge W ⊆ R der Werte f (x), die man erhält,wenn x im Definitionsbereich variiert, heißt Wertebereich von f .

Schreibweise:

f : D →W , x 7→ f (x)

Beispiele:

Lineare Funktion: f : R→ R, f (x) = cx (c∈R)Affine Funktion: f : R→ R, f (x) = kx + d (d 6= 0)Quadr. Funktion: f : R→ R, f (x) = ax2 + bx + c (a 6= 0)Wurzelfunktion: f : [0,∞)→ [0,∞), f (x) =

√x


Funktionen in einer Variablen zeichnen - Graph

Graph einer Funktion:

Sei f : D →W . Dann heißt die Menge

Graph(f ) = {(x , y) ∈ D ×W | f (x) = y}

der Graph von f .

Der Graph von einer reellen Funktion f in einer Variablen x lässtsich in einem zweidimensionalen Koordinatensystem zeichnen,indem man bei jedem x-Wert auf der horizontalen Achse (x-Achse)den zugehörigen Funktionswert f (x) in Richtung der vertikalenAchse (y -Achse) aufträgt.

Der Graph einer Funktion in einer Variablen ist eine Kurve im R2.


Funktionen in einer Variablen zeichnen - Beispiele

Der Graph einer affinen Funktion f (x) = kx + d ist eine Gerade:


Funktionen in einer Variablen zeichnen - Beispiele

Der Graph einer quadratischen Funktion f (x) = ax2 + bx + c ,a 6= 0, ist eine Parabel:


Funktionen von zwei Variablen - Definition und Beispiele

Reellwertige Funktion von zwei reellen Variablen:

Eine Funktion f von zwei Variablen x und y mit DefinitionsbereichD ⊆ R2 ist eine Regel, die jedem Punkt (x , y) in D genau einereelle Zahl f (x , y) zuordnet.

Beispiele:

Lineare Funktion: f (x , y) = c1x + c2y

Affine Funktion: f (x , y) = c1x + c2y + d

Quadr. Funktion: f (x , y) = ax2 + by2 + cx + dy + e

Cobb-Douglas-Funktion: f (x , y) = xc1y c2 (c1, c2 > 0)


Funktionen von zwei Variablen, Definitionsbereich

Definitionsbereich:

Der Definitionsbereich einer Funktion (x , y) 7→ f (x , y) ist dieMenge aller Zahlenpaare (x , y), für die der Ausdruck f (x , y)definiert ist.

Beispiele: Skizziere den Definitionsbereich:

1 f (x , y) = x3+y3

x2+y2

2 f (x , y) = sin(x+y)x+y3 f (x , y) =

√y − x

4 f (x , y) = ln(x2 − y2)


Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Graph, Beispiele

Graph einer Funktion von zwei Variablen:

Für f : R2 → R ist Graph(f ) = {(x , y , z) ∈ R3 | f (x , y) = z} ein“Funktionsgebirge”: An einem Punkt (x , y) ∈ R2 wird derzugehörige Funktionswert f (x , y) in z-Richtung aufgetragen.

Der Graph einer Funktion von zwei Variablen ist eine Fläche im R3.

Sattelfläche:

f : R2 → Rf (x , y) = x2 − y2


Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Beispiele

Paraboloid:

f : R2 → [0,∞)f (x , y) = x2 + y2


Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Beispiele

Wellenfläche 1:

f : R2 → [−1, 1]f (x , y) = sin(x) cos(y)

Applet im Web:

http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/

flaechen3d/


http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/flaechen3d/http://www.mathe-online.at/nml/materialien/innsbruck/flaechen3d/

Funktionen von zwei Variablen zeichnen - Niveaulinien

Niveaulinien:

Die Menge {(x , y) ∈ R2 | f (x , y) = c} heißt Niveauline derFunktion f zum Wert c .

Niveaulinien einer Funktion von zwei Variablen sind Kurven imDefinitionsbereich, entlang derer der Funktionswert konstant ist.

Wellenfläche 2:

f : R2 → [−1, 1]f (x , y) = cos(x) cos(y)



Beispiel:

Die Seehöhe ist eine Funktion von zwei Variablen (geographischeLänge und Breite), deren Definitionsbereich lokal als Teilmenge desR2 betrachtet werden kann. Die Niveaulinien dieser Funktion sindgenau die in einer Landkarte eingezeichneten Höhenschichtlinien.

Darstellungen:

3D: Relieflandkarte2D: Niveaulinien



Niveaulinien skizzieren:

Die Niveaulinien von f : R2 → R zum Wert c entsprechen derLösungsmenge der Gleichung f (x , y) = c und sind in der RegelKurven im R2. Die wichtigsten solchen Kurven neben Geradensind sogenannte Kegelschnitte.



Kegelschnitte - Gleichungen:

Kreis mit Radius r und Mittelpunkt (a, b):

(x − a)2 + (y − b)2 = r2

Ellipse mit Halbachsen a und b:

x2

a2+

y2

b2= 1

Hyperbeln mit Asymptoten y = ±bax :

x2

a2− y

2

b2= 1 und

y2

b2− x

2

a2= 1

Parabel mit vertikaler Achse:

y = ax2 + bx + c



Beispiel: f (x , y) = log(1 + x2 + 9y2)

1 + x2 + 9y2 = const.⇐⇒ x2

32+ y2 = const.

Niveaulinien sind daher Ellipsen!

Verhältnis der Halbachsen ist 3:1.

-5

0

5

-2-1

01

2

0

1

2

3

4

-4 -2 0 2 4

-2

-1

0

1

2



Beispiele: Skizziere die Niveaulinien:

1 f (x , y) = |x |+ |y |2 f (x , y) = y + |y − x2|

Je dichter die Niveaulinien liegen, umso steiler ist dort derFunktionsgraph (vgl. Höhenschichtlinien)!


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