1KlassischeMechanik1.1Was bedeutet eigentlich klassisch?DiesekurzeVorbemerkungdienteinerBegrisklrung:DievielleichtgrteRevolutionderPhysik stellte die Entwicklung der Quantentheorie vor nunmehr ber hundert Jahren dar. Ihrprovokantester Zug ist die Aussage, dass Gren wie der Ort oder die Geschwindigkeit einesTeilchens keine objektiv existierendenWerte haben, sondern in gewisser Weise viele Wertegleichzeitig sie sind unbestimmt (oder ausgeschmiert, wie der Jargon sie nennt). Dement-sprechendlsstsichnichtmitBestimmtheitvorhersagen, welchenWertdieMessungeinersolchen Gre liefern wird. Lediglich Wahrscheinlichkeitsaussagen sind mglich. PhysikalischeKonzepteundTheorien,diedieseumwlzendeNeuerung nichtbercksichtigen,werdenalsklassischbezeichnet. DieklassischePhysikhatkeineswegsausgedient, dennetwazurBe-rechnungder Bahneiner Raumsondeauf demWegzumJupiter ist dieBercksichtigungquantentheoretischerEektenichtntig. DiesesBuchistzwei groenklassischenTheorie-entwrfen gewidmet. Die Quantentheorie wird im zweiten Band behandelt.1.2Zur Bedeutung mathematischer ModelleDerPhysikstehenvieleMethodenzurVerfgung,umErkenntnisseberdiephysikalischenNaturgesetze zu gewinnen. Dazu zhlen das Beobachten und Experimentieren, das AusbildenvonKonzeptvorstellungen,dasNachdenkenundDiskutieren,VersuchundIrrtum,dasAuf-stellen von Hypothesen, die Intuition, das Formulieren physikalischer Theorien, das Erzielenvon Vorhersagen und das erneute Experimentieren, um eine Theorie zu testen, das Verbessernoder Verwerfen einer Theorie, das berprfen der inneren Widerspruchsfreiheit eines Modells,dasZusammenfassenderKernstckedesbisherErreichtenunddasZusammenfgen(Ver-einheitlichen)bishergetrennterTheorienuntereinemgemeinsamenBlickwinkel. ProzessedieseArterstrecktensichinderGeschichteberJahrhunderte, wennnichtJahrtausende!Wasbleibtvonihnenbrig, wasgehtindaszueinerbestimmtenZeitgeltendeWeltbildoder Lehrgebude der Physik ein? Von der Flle der technologischen Anwendungen, die ausdiesem Wissen entstanden sind, einmal abgesehen, sind es vor allem die Theorien, die unserWissen ber die physikalischen Gesetze zum Ausdruck bringen.Nun knnte man meinen, eine widerlegte Theorie knne getrost vergessen werden. Ganz soeinfach ist es aber nicht! Hat sich eine physikalische Theorie einmal bewhrt, indem sie eineAnzahl vonPhnomenenerklrenkonnte underfolgreicheVorhersagenmachte,sowirdsiedurch neue Entdeckungen, die ihr widersprechen, in der Regel nicht ganz und gar hinfllig!Sowissenwirheutebeispielsweisedankderdrei grtenErrungenschaftenderPhysikdeszwanzigsten Jahrhunderts der Speziellen und der Allgemeinen Relativittstheorie sowie derF. Embacher, Elemente der theoretischen Physik, DOI 10.1007/978-3-8348-9782-4_1, Vieweg + Teubner Verlag | Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH 20102 1Klassische MechanikQuantentheorie, dassdiemeistenderzuvorformuliertenNaturgesetzegenaugenommenfalschsind. Dennoch leisten viele von ihnen wie etwa das Newtonsche GravitationsgesetzunddasKonzeptdesklassischenelektromagnetischenFeldesnachwievorsehrntzlicheDienste, da sie zumindest in gewissen Situationen nherungsweise gltig sind. Man kann dasauch so ausdrcken, dass sie in den neueren Theorien als Grenzflle enthalten sind wie etwadas Newtonsche Gravitationsgesetz als Grenzfall der Allgemeinen Relativittstheorie fr kleineMassen und kleine Geschwindigkeiten. Oft sind die Unterschiede zwischen den Vorhersagender neuen undalten Theoriensoklein, dass sienur unter ZuhilfenahmeaufwndigerTechnologien beprft werden knnen. Um ein extremes Beispiel zu erwhnen: In den letztenzwei Jahrzehntenistviel vonder(angestrebten, abernochnichtgefundenen)TheoriederQuantengravitation die Rede. Sollte eine solche je gelingen, so werden die Theorien, die sieablsen wird (die Allgemeine Relativittstheorie und die Quantentheorie) noch als Grenzfllein ihr enthalten sein.EsgibtnocheinenzweitenGrund, warumauchTheorien, dienichtderletzteSchrei sind,zum Lehrgebudeder Physik zhlen: Die Analyse deren innerer (konzeptueller und mathe-matischer)LogikundStrukturenkannAnhaltspunktefrdieFormulierungweitergehenderTheorien liefern. Ein besonders wichtiges Beispiel sind klassische Modelle, aus denen durcheinenProzess, derQuantisierung genanntwird, ModellevonQuantensystemenhervorge-hen.DieserZusammenhangzwischendenStrukturenderklassischenPhysikundjenenderQuantenphysik ist einer der Grnde dafr, dass Sie in diesem ersten Kapitel einen Abschnittber den so genannten Hamiltonformalismus nden werden: Er stellt die beste Vorbereitungauf die Quantentheorie dar.Kurz zusammengefasst: Die theoretische Physik beschftigt sich mit verschiedenen physika-lischen Theorien, auch solchen, die einem frheren Stand unserer Erkenntnisse entsprechen.Sie sollten nicht mit der Wirklichkeitverwechselt werden, sondern als das genommen wer-den,wassiesind:mathematischeModelle,dieinnerhalbeinesgewissenGltigkeitsbereichszur Beschreibung der Natur genutzt werden knnen, und die eine innere Logik besitzen. Umdiese innere Logik geht es der theoretischen Physik ganz besonders.Umanschaulichzuillustrieren, wasmitdemBegridesmathematischenModellsgemeintist,betrachtenwireinBeispiel,dasIhnenausIhrerbisherigenphysikalischenAusbildungwahrscheinlich bereits aus Ihrem Physikunterricht bekannt ist: die Bewegung eines Krpers,der ausder Ruhefallengelassenwird. Wir nennendieseBewegungsformdenfreienFall.AlsmathematischesModell frsiebetrachtenwirdas(auf GalileoGalilei zurckgehende)Fallgesetzs(t) =g2 t2. (1.1)Der Krper beginnt zur Zeit 0 zu fallen und hat bis zur Zeit t die Strecke s(t) zurckgelegt. DieKonstante g steht fr die Erdbeschleunigung, ihr numerischer Wert ist etwa 9.81 m/s2. (DergenaueWerthngtvomOrtaufderErdeabundvariiertumeinigePromille).Klarerweisewurden hier einige Idealisierungen vorgenommen:Das bewegte Objekt wird als Punktteilchen angesehen. Dieses Konzept entspringt nicht1.2Zur Bedeutung mathematischer Modelle 3der Erfahrung1, ist aber mathematisch leichter zu handhaben als das eines ausgedehntenKrpers und in vielen praktischen Situationen nherungsweise erfllt. Die Frage, ob esin der Natur tatschlich Punktteilchen gibt, die sich nach dem Gesetz (1.1) bewegen,ist insofern hinfllig, als die klassische Mechanik als Ganzes nur eine Nherung ist. DieFrage nach der Existenz von Punktteilchen lsst sich aber auch stellen, wenn wir an die imRahmenderQuantentheorie beschriebenenBausteine derMaterie denken:Sogibt es etwa heute keine experimentellen Hinweise darauf, dass das Elektron eine innereStruktur besitzt. Aber in jedem Fall ist klar, dass ein fallender Stein kein Punktteilchenist.Das Gesetz (1.1) vernachlssigt den Luftwiderstand.Weitersbercksichtigt esnicht dieTatsache, dasssichder AbstandeinesfallendenObjekts zum Erdmittelpunkt ndert und daher g keine Konstante ist.Es vernachlssigt dieErdrotation(dieeinekleineAblenkungder Flugbahnaus derLotrechten bewirkt).Es ignoriert die Erkenntnisse der Relativittstheorie. In diesem Sinne kann es ein nicht-relativistisches Gesetz genannt werden.Undschlielichstellteseineklassische,d. h.nicht-quantentheoretischeBeschreibungdar.Man kann durchaus noch tiefer schrfen und fragen, ob die Beschreibung von Orten (Positio-nen im Raum) und Zeiten durch reelle Zahlen gerechtfertigt ist und ob das Voranschreiten derZeittatschlicheinekontinuierliche Entwicklungist(undnichtetwaeineAbfolge diskreterZeitpunkte).Trotzall dieser UnsicherheitensindAussagenwie(1.1)ntzlich. Wir wollennocheinmalbetonen, dass uns mathematische Modelle mit zweierlei Aspekten konfrontieren:Ein mathematisches Modell hat (in der Regel) einen gewissen Gltigkeitsbereich, d. h.einen Bereich, in dem es im Hinblick auf die Genauigkeit, mit der wir es experimentellberprfen knnen eine gute (vielleicht sogar sehr gute) Nherung darstellt. Beispiels-weise ist (1.1) gut genug, um mit Zehntelsekunden-Genauigkeit vorhersagen zu knnen,wie lange eine aus dem Fester geworfene Eisenkugel fllt, bis sie den Boden erreicht.Ein mathematisches, d. h. ein formales, in sich logisch konsistentes Modell erlaubt wei-tergehende Fragen, die unabhngig vom Gltigkeitsbereich gestellt (und in den meistenFllen auch durch mathematische Argumentation beantwortet) werden knnen. So kannbeispielsweise nach der Geschwindigkeit gefragt werden, die ein gem dem Modell (1.1)bewegterKrperzurZeitt hat.Ganzallgemeinistdie(Momentan-)Geschwindigkeit1Vor zwei Jahrtausenden schrieb Euklid von Alexandria in seinen Elementen: Ein Punkt ist, was keine Teilehat.4 1Klassische MechanikzurZeit t durchdieZeitableitung s(t)gegeben2.Mit(1.1)ergibtsich s(t) = gt.Dasbedeutet, dass die Geschwindigkeit linear mit der Zeit zunimmt, und zwar ohne jeglicheBeschrnkung! Eine vorgegebene Geschwindigkeit v wird zur Zeit t =v/g erreicht. Nachknapp einem Jahr bewegt sich der Krper mit Lichtgeschwindigkeit! Das ist natrlichfrFallbewegungeninderNhederErdobercheirrelevant, abereszeigt, dasseinGesetz der Form (1.1) im Prinzip mit der Speziellen Relativittstheorie (der zufolge sichkein Krper schneller als das Licht bewegen kann) nicht vereinbar ist. Eine interessanteBeziehungergibt sichzwischender Geschwindigkeit s(t)zur Zeitt undder Durch-schnittsgeschwindigkeitwhrenddesgesamtenFallsbiszurZeit t.Letztereistdurchv(t) = s(t)/t =12 gtgegeben. Daher gilt s(t) = 2v(t), d. h. die Geschwindigkeit zu einerbeliebigen Zeit ist stets doppelt so gro wie die Durchschnittsgeschwindigkeit whrendder bisherigen Falldauer. Diese einfachen berlegungen illustrieren, dass die Analyse derinneren Logik eines mathematischen Modells in der Regel eine mathematische Analyseist.Weiters kann anhand des Fallgesetzes (1.1) eine theoretische Tugendverdeutlicht werden,die Ihnen hiermit ans Herz gelegt sei: In den allermeisten Fllen ist es sinnvoll, in Berechnun-gen physikalische Konstanten durch ihre Symbole darzustellen, nicht durch ihre numerischenWerte. So ist beispielsweise fr das Studium der inneren Logik des Fallgesetzes der Wert derKonstanten g eigentlich unerheblich. Die Verwendung des Symbols g anstelle des numerischenWerts 9.81 m/s2macht Berechnungen bersichtlicher, und wenn Sie die Bewegung eines aufderMondoberchefallengelassenenKrpersbeschreibenwollen, setzenSiefrgeinfachden entsprechenden Wert der Schwerebeschleunigung auf dem Mond (1.62 m/s2) ein. In derSprache der Mathematik stellt (1.1) eine ganze Familie von Bewegungsformen dar. Die Kon-stante g spielt in ihr die Rolle eines Parameters, und es kann etwa gefragt werden, wie die frdasDurchfalleneinergegebenenStreckebentigteZeitvongabhngteineMglichkeit,die nicht besteht, wenn anstelle des Symbols g von Beginn an der Wert 9.81 m/s2eingesetztwird.MathematischeModellesindnatrlichnichtimmersoeinfachwie(1.1). Wiewirbaldbe-sprechen werden, kann das Fallgesetz gemeinsam mit anderen Bewegungsformen unter einemeinheitlichenGesichtspunktzusammengefasstwerden, deretwasabstrakterundmathema-tischaufwndigerist. AberdiebeidenzentralenAspekteeinGltigkeitsbereichundeinedavon unabhngige innere Logik kennzeichnen auch komplexere mathematische Modelle.2Die (gewhnliche) Ableitung einer von der Zeit abhngigen Gre wird traditionellerweise mit einem berdas betreende Symbol gestellten Punkt gekennzeichnet, die zweite Ableitung mit zwei Punkten.1.3Womit beschftigt sich die klassische Mechanik? 51.3Womit beschftigt sich die klassische Mechanik?DenKernderklassischenMechanikbildetdieBeschftigungmitphysikalischenSystemen,die nur eine endliche Zahl zeitlich vernderlicher Freiheitsgrade (Koordinaten oder Ortsvaria-ble) aufweisen, und die ohne Zuhilfenahme der Quantentheorie beschrieben werden. TypischeBeispiele sind die Bewegung von Objekten, die nherungsweise als Punkte behandelt werdenknnen(wir nennensiePunktteilchenoder Massenpunkte), wiez. B. dieBewegungeinesSatelliten im Schwerefeld eines Himmelskrpers oder die Bewegungen der Planeten und derSonne unter der Wirkung ihrer gegenseitigen Gravitationsanziehung. Ein anderes Beispiel istdieBewegungeinesElektronsineinemgegebenenelektromagnetischenFeld,sofernQuan-teneektenichtbercksichtigtwerden.AufgrunddesVorherrschenspunktfrmigerObjekteindiesemGebietderPhysikwirdesauchalsPunktmechanikbezeichnet.SystemewiedasPendel oderderstarreKrper(dienichtpunktfrmigsind,aberebenfallsnurendlichvieleFreiheitsgrade besitzen) knnen mit dem gleichen Schema beschrieben werden.DieersteumfassendeundeinheitlicheBeschreibungall dieser Bewegungsformengeht aufIsaac Newton zurck und beruht vor allem auf den Konzepten der Beschleunigung und derKraft.SiewirdimAbschnitt1.4berdieNewtonscheMechanik(Seite7)besprochen. ImBemhen, die Struktur der klassischen Mechanik besser zu verstehen und sie auch auf kom-plexere Probleme anzuwenden (wie z. B. die Dynamik eines Systems mit Zwangsbedingungen)wurde sie im achzehnten und neunzehnten Jahrhundert auf verschiedene Weise weiterentwi-ckelt. Die daraus entstandenen Zugnge, der Lagrangeformalismus (Abschnitt 1.6, Seite 103)und der Hamiltonformalismus (Abschnitt 1.7, Seite 148), frderten ein Gestaltungsprinzip frphysikalische Theorien zutage, das seither die Physik beherrscht, zu einer neuen SichtweiseberihregrundlegendenPrinzipiengefhrthat,bei derHerausbildungdesmodernenFeld-konzeptsundderEntwicklungderQuantentheorieeinewichtigeRollespielteundauchdermodernen Teilchenphysik zugrunde liegt.Bewegungsformen von Teilchen, wie sie in relativistischen Theorien auftreten, knnen eben-fallszur klassischenMechanikgezhlt werden. Wir werdenihnensowohl imRahmenderklassischen Mechanik als auch im Kapitel ber die spezielle Relativittstheorie begegnen.Inmoderner Zeithatsichder BegriklassischedynamischeSystemeherausgebildet. Dasdamit bezeichnete Gebiet kann zwar der klassischen Mechanik zugeordnet werden, legt abersein Hauptinteresse auf andere Fragestellungen wie z. B. die Ausbildung chaotischen Ver-haltens und verfgt ber ein anderes Methodenspektrum. Zur Mechanik im weiteren SinnezhltauchdasStudiummateriellerSystememitunendlichvielenFreiheitsgraden(wiedieElastizittstheorie und die Strmungsmechanik) zusammengefasst unter dem Begri Kon-tinuumsmechanik.SystememitsehrgroerTeilchenzahl werdenderklassischenMechanikblicherweisenichtzugerechnet. Fr ihreBeschreibungsinddieThermodynamikunddiestatistischePhysikzustndig.Damit ist umrissen, welche Typen physikalischer Systeme von der klassischen Mechanik be-handelt werden. Daneben schwingt aber auch ein anderes, in gewisser Hinsicht weitergehendes6 1Klassische MechanikInteresse mit: Wir haben bereits den Begri der physikalischen Naturgesetze verwendet. Mitihm verbindet sich die Vorstellung eines gesetzmigen Verhaltens der Natur, das wir ergrn-den und verstehen wollen. Im Rahmen der Newtonschen Physik ist beispielsweise die Existenzder Gravitationskraft mit den von Newton formulierten Eigenschaften ein solches Gesetzes beschreibt eine als fundamental betrachtete Wechselwirkung zwischen massiven Krpern.Man kann aber noch einen Schritt weiter gehen und fragen, ob es Prinzipien gibt, denen sogarderartige Gesetze unterworfen sind! Sicher wrden wir einem Bericht ber eine krzlich ent-deckte Wechselwirkung, die den Satz von der Erhaltung der Energie verletzt, keinen Glaubenschenken so als stnde der Energiesatz berden Gesetzen, die konkrete Wechselwirkun-gen beschreiben, als wre er noch fundamentalerals diese. In der wissenschaftlichen Praxisspielen derartige Vorstellungen die Rolle von Gestaltungsprinzipien fr physikalische Theori-en.Siesollenunsbeispielsweisehelfen,zuentscheiden,welcheTypenvonKraftgesetzenauf der Basis der grundlegendsten physikalischen Vorstellungen, die wir besitzen berhauptmglich sind! Aber wie sollen diese Vorstellungen formuliert werden? Soll beispielsweise derEnergiesatz als eigenes Postulat aufgestellt werden? Oder folgt er aus einem anderen Prinzip?Aus welchem? Fragen wie diese beeinussen nicht nur unsere Sichtweise der Natur, sondernauchdieVorgangsweisebeimAufstellenvonModellen, dieInteressenslagebei derenAna-lyseundganzallgemeindieRichtung, indiewirdiePhysikweiterentwickelnwollen. Wasnun die klassische Mechanik betrit, so hat sich mit der Entwicklung vom lteren (Newton-schen) zum moderneren (Lagrangeschen und Hamiltonschen) Formalismus eine Vernderungder grundlegenden Gestaltungsprinzipien vollzogen, die ein Verstndnis der modernen Physiknicht unbercksichtigt lassen kann. Eng damit verbunden ist das Raumzeit-Konzept, das dernichtrelativistischen Physik zugrunde liegt und gewissermaen den Rahmen, in dem sich diesebewegt(bewegenmuss),absteckt.WirwerdenesimAbschnitt1.5(Seite91)auchalsVorbereitung auf die Spezielle Relativittstheorie errtern.1.4Newtonsche Mechanik 71.4Newtonsche Mechanik1.4.1Bewegung, Geschwindigkeit und BeschleunigungDer Ausgangspunkt der klassischen Mechanik ist die Bewegung von Krpern. Dazu wollen wirzunchst einige Konventionen vereinbaren. Der Ort eines Punktes in Bezug auf ein kartesisches(rechtwinkeliges)KoordinatensystemwirddurchseineKoordinatenx, yundzangegeben.Manchmal istesgnstiger, diesedurchzunummerierenundx1, x2undx3zunennen. (Wirsagen dann, dass xj diej-te Koordinate ist). Die Koordinaten eines Punktes knnen zu seinemOrtsvektorx =xyzx1x2x3(1.2)zusammengefasst werden3. Dessen Betrag4r = [x[ x2_x2+y2+z2(1.3)ist der Abstanddes Punktes vomKoordinatenursprung. Bewegt sicheinals punktfrmiggedachter Krper (wir werden dafr auch den Ausdruck Teilchenverwenden), so wird dieseBewegung durch eine Abhngigkeit5x x(t) (1.4)des Ortsvektors vonder Zeit t beschrieben: Zur Zeitt bendet sichder Krper amOrtx(t). Beachten Sie, dass (1.4) aus drei Funktionen besteht, da ja alle drei Komponenten desOrtsvektors von tabhngen:x(t) =x(t)y(t)z(t). (1.5)Die Geschwindigkeit des Krpers zur Zeit tist durch die Ableitung6v(t) =x(t) dx(t)dt x(t) y(t) z(t), (1.6)3Mit dem Zeichen (identisch) werden Dinge verbunden, die verschieden angeschrieben, aber auf trivialeoder oensichtlicheWeisegleichsind. Wir benutzenes auch, umauszudrcken, dass eineGrevonanderen Gren abhngt, etwa indem wir f f (x), V V(x, y, z) oder x x(t) schreiben.4Unter x2verstehen wir das Skalarprodukt des Vektors x mit sich selbst, das auch in der Form x x ange-schrieben werden kann.5Eine andere Schreibweise, um auszudrcken, dass x von t abhngt, ist t x(t).6Fr Schreibweisen von Ableitungen siehe den Abschnitt B.5 (Seite 300) im Anhang.8 1Klassische Mechanikseine Beschleunigung durch die zweite Ableitunga(t) =x(t) d2x(t)dt2 x(t) y(t) z(t)(1.7)deniert.Beispiel: die gleichfrmige KreisbewegungWir betrachtenals Beispiel einPunktteilchen, das sichauf einer KreisbahnmitRadius R bewegt, die in der xy-Ebene liegt:x(t) =R cos(t)R sin(t)0. (1.8)DieKreisbahnwirdmit konstanter Winkelgeschwindigkeit durchlaufen, dieUmlaufszeitbetrgt2/(sieheAufgabe1).Ist > 0(wasblicherweisean-genommenwird, ohneeseigensdazuzusagen), sondetdieBewegung, wennsievonoben betrachtetwird, imGegenuhrzeigersinn(alsoimmathematischpositivenUmlaufsinn) statt. Die Geschwindigkeit ergibt sich durch komponen-tenweises Dierenzieren nach der Zeitvariablen tzux(t) =R sin(t)R cos(t)0, (1.9)die Beschleunigung nach einer weiteren Dierentiation nach tzux(t) =2R cos(t)2R sin(t)0. (1.10)Vielleicht haben Sie die Kreisbewegung noch nie auf diese Weise charakterisiertgesehen. Was in diesen Formeln steckt, kennen Sie aber wahrscheinlich aus IhremPhysikunterricht: (1.10) heit Zentripetalbeschleunigung und erflltx(t) = 2x(t). (1.11)Sie ist zu jedem Zeitpunkt parallel und entgegengesetzt gerichtet zum Ortsvektordes Teilchens. Die Betrge der Geschwindigkeit und der Beschleunigung hngennicht von der Zeit ab und sind durchv = [x(t)[ = R und a = [x(t)[ = 2R =v2R(1.12)gegeben.1.4Newtonsche Mechanik 9Neben Bewegungen von Punktteilchen im dreidimensionalen Raum sind auch manchmal Be-wegungen von Interesse, die auf eine oder zwei Dimensionen beschrnkt sind. Im Fall einereindimensionalen Bewegung lassen wir die Vektorpfeilchen weg und bezeichnen den Ort, dieGeschwindigkeit und die Beschleunigung (jeweils zur Zeit t) mit x(t), x(t) und x(t) oder inentsprechender Weise mit einem anderen Symbol, beispielsweise mit z(t), z(t) und z(t) freine Bewegung in z-Richtung.Beispiel: die harmonische SchwingungZu den fr die Physik wichtigsten eindimensionalen Bewegungsformen zhlt dieharmonische Schwingung, beschrieben durchx(t) = A sin(t +), (1.13)wobei die Konstanten > 0 die Kreisfrequenz,A > 0 die Amplitude und dieAnfangsphasegenanntwerden. Einenderungvon entsprichtlediglicheinerVerschiebung des Zeitnullpunkts. Daher kann durch eine entsprechende Neude-nition der Zeitvariablen erreicht werden, dass = 0 gilt. Wie der Vergleich mit(1.8) zeigt, kann die harmonische Schwingung als Projektion der Kreisbewegung(mit R = A) in die x- oder y-Richtung interpretiert werden7. Ihre Periodendauer(oder Schwingungsdauer), d. h. die Zeit, in der eine gesamte Periode durchlaufenwird, ist durch=2(1.14)gegeben, ihre Frequenz (d. h. die Zahl der pro Zeitintervall stattndenden Schwin-gungen) ist gleichf =1=2(1.15)(siehe Aufgabe 2). Achtung: Die Kreisfrequenz wird in der theoretischen Physik ein bisschen schlampig oft einfach als Frequenz bezeichnet. Vergessen Sieabernicht, dasssichdieGrenund f umeinenFaktor2unterscheiden!Durch Dierenzieren nach der Zeitvariablen t erhalten wir fr die Geschwindigkeit x(t) = A cos(t +) (1.16)und fr die Beschleunigung x(t) = 2A sin(t +). (1.17)Beachten Sie, dass letztere fr alle Zeitpunkte tdie Beziehung x(t) = 2x(t) (1.18)erfllt.7BeachtenSiedabei,dassSinusundCosinusnurphasenverschobene Versionenvoneinandersind,dennes gilt cos() = sin( +/2) fr alle R.10 1Klassische MechanikBetrachten wir ein aus mehreren Punktteilchen bestehendes System, so bezeichnen wir derenOrte zur Zeit tmit x1(t), x2(t) usw. Ihre Geschwindigkeiten sind dannx1(t),x2(t) usw., ihreBeschleunigungen sindx1(t),x2(t) usw.1.4.2Die Kraft als Ursache der BewegungsnderungNunkommenwir zur entscheidendenFrage: Warumbewegt sicheinKrper?Wollenwireinen Gegenstand unseres Alltags in Bewegung setzen, so mssen wir eine Kraft auf ihn aus-ben. Theoretisch knnen wir die Kraft, die wir zu jedem Zeitpunkt auf so einen Gegenstandausben, mit einer Federwaage8messen bzw. dosieren. Mathematisch wird sie als Vektor

Fdargestellt9. WieistaberdasgenaueVerhltnisderBewegungzurKraft?SeitderAntikeglaubeman, dassdieKraftdieUrsachederBewegungsei. EinedererstenfundamentalenErrungenschaftenderneuzeitlichenPhysikbestanddarin, diesesVerhltnisneuzubestim-men: Aufbauend auf Galileis Annahme, dass sich ein krftefreier Krper mit gleichbleibenderGeschwindigkeit bewege, gelangte Newton zur Erkenntnis, dass die Kraft die Ursache der Be-wegungsnderung ist, und er formulierte diese Aussage in mathematischer Form: Wirkt aufeinen Krper zu einem gegebenen Zeitpunkt eine Kraft

F, so reagiert er damit, beschleunigtzu werden, und zwar so, dass seine zu diesem Zeitpunkt erfahrene Beschleunigungx zurKraft

Fproportional ist. Der Proportionalittsfaktor ist charakteristisch fr den Krper erist der Kehrwert seiner Masse. Auf eine Krafteinwirkung

Freagiert der Krper also mit derBeschleunigungx =1m F . (1.19)Ist seine Masse m gro, so ist die aus einer gegebenen Krafteinwirkung resultierende Beschleu-nigung klein (und umgekehrt). Denken Sie beispielsweise daran, einen auf einem Eislaufplatzstehenden PWK und mit der gleichen Kraft einen Kinderwagen (beide unter Vernachls-sigung der Reibung) in Bewegung zu setzen! Der PKW wird der Krafteinwirkung eine grereTrgheitentgegensetzenalsderKinderwagen,daheristseineMassegrer.DieMassealsMadafr,wieschweroderleichtesfllt,dieTrgheiteinesKrperszuberwinden,wirdgenaugenommentrgeMassegenannt.InallenAnwendungendiesesKapitelswirdm > 0,also insbesondere m,= 0 sein. (Auf so genannte masselose Teilchenwerden wir im RahmenderSpeziellenRelativittstheorie eingehen,sieheSeite208).DasGesetz(1.19)istderma-thematische Ausgangspunkt der Newtonschen Mechanik. Es wird als zweites NewtonschesAxiom bezeichnet (auch manchmal die Grundgleichung der Mechanik oder das GrundgesetzderMechanikgenannt)undbildeteeinenderGrundpfeilerderPhysikvonNewtonbisins8Eine Federwaage benutzt die Dehnung einer Schraubenfeder zur Messung der Kraft. Dieses Prinzip wirduns bei der Besprechung der harmonischen Kraft (Seite 16) noch einmal begegnen.9Die Komponenten des Vektors Fwollen wir entweder mit Fx, Fy und Fz oder in durchnummerierter Form mit F1, F2und F3bezeichnen. Wir werden diese Konvention auch bei anderen Vektoren verwenden.1.4Newtonsche Mechanik 11neunzehnte Jahrhundert10. Es wird blicherweise in der Formm x =

F (1.20)oder umgekehrt als

F = m x, d. h. Kraft ist gleich Masse mal Beschleunigung, angeschrie-ben11, aber seineeigentlicheBedeutungerhltesinder Lesart(1.19): Ist dieKraftein-wirkungbekannt, solsst sichdaraus etwas ber dieBewegungerschlieen. Umauszudrcken, dass ein als punktfrmig gedachter Krper eine Masse besitzt, nennen wir einsolches (idealisiertes) Objekt einen Massenpunkt.IstdieBewegungeinesTeilchensaufeineDimensioneingeschrnkt,somussnureinerele-vanteKraftkomponenteFbetrachtetwerden.Anstellevon(1.20)schreibenwirdaszweiteNewtonsche Axiom dann ohne Vektorpfeilchen in der Formm x = F (1.21)an.Wir stellen gleich zu Beginn klar, dass das zweite Newtonsche Axiom in der Form (1.20) oder(1.21)ausheutiger SichtweisebetrachteteinnichtrelativistischesPrinzipist. AuchinderSpeziellen Relativittstheorie gibt es das Konzept der Kraft, aber an die Stelle des ProduktsMasse mal Beschleunigungtritt dann eine andere Gre (die wir im Kapitel ber die Spe-zielle Relativittstheorie besprechen werden, Seiten 207 und 229). Selbst in der AllgemeinenRelativittstheorie, die viele der bis ins frhe zwanzigste Jahrhundert geltenden Anschauungenein weiteres Mal umwlzte, nden sich diese Begrie, wenngleich in einer stark verndertenForm.1.4.3Wovon Krfte abhngenZu den Krften, die die Physik interessieren, gehren jene, die mechanisch (etwa unter Zu-hilfenahmeeinerFederwaagezurrichtigenDosierung)aufKrperbertragenwerden,aberauchjene, dieAusdruckfundamentaler Wechselwirkungensind, wieetwadieSchwerkraftoderdieelektrischeKraft. WasauchimmerihreUrsacheimEinzelfall seinmagindeninteressantesten Fllen hngen sie von einer Reihe physikalischer Gren ab.Krfte in drei DimensionenDerwichtgsteundamhugstenstudierteFall liegtvor, wenneineaufeinPunktteilchenwirkendeKraft vomOrtxabhngt, andemes sichbendet. Hngt eineKraft nur von10Das erste Newtonsche Axiom ist der eigentlich auf Galilei zurckgehende und aus dem zweiten Axiom fol-gende Trgheitssatz: Ein krftefreier als punktfrmig gedachter Krper erfhrt keine Beschleunigung,d. h. er bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit.11Um der historischen Wahrheit die Ehre zu geben, fgen wir hinzu, dass diese Formulierung nicht von New-ton, sondern von Leonhard Euler stammt. Newtons ursprngliche Formulierung wrden wir in modernenBegrien als zeitliche nderungsrate des Impulses= Kraft wiedergeben auf den Impuls kommen wirspter zu sprechen.12 1Klassische MechanikdiesemOrtab, istsiealsoeineFunktion

F

F (x), sosprechenwirvoneinem(zeitunab-hngigen)Kraftfeld. Hngtsiezustzlichnochexplizitvonder Zeitab, d. h. istsieeineFunktion

F

F (x, t), so liegt ein zeitabhngiges Kraftfeld vor12. Ist ein derartiges Kraftfeldx vorgegeben, so spricht man auch von einer ueren Kraft oder einem ueren Kraftfeld.Typische Beispiele fr Krfte dieser Art sind jene, die vorgegebene (d. h. uere) NewtonscheGravitationsfelder13und elektrische Felder auf Teilchen ausben.Beispiel: die Newtonsche GravitationskraftDie Newtonsche Gravitationskraft (Schwerkraft), die ein im Ursprung des Koor-dinatensystems xierter Zentralkrper der Masse Mauf einen zweiten (bewegli-chen) Krper (einen Satelliten) der Masse m ausbt, der sich am Ort x bendet,ist durch

F (x) = GMm[x[3x (1.22)gegeben, wobei G = 6.67428 1011m3/(kg s2) die Newtonsche Gravitationskon-stante ist. Genau genommen gilt diese Formel nur, wenn die rumliche Ausdeh-nung der beiden Krper sehr klein gegenber ihrem Abstand ist (d. h. wenn sie indiesem Sinn als Massenpunkte betrachtet werden knnen) oder wenn sie KugelnmitradialsymmetrischemDichteverlauf sind, dieeinandernichtberschneiden.WahrscheinlichkennenSiedieseKraftbereitsausIhrerfrherenPhysikausbil-dung, aber mglicherweise in einer anderen Schreibweise: Lassen Sie sich von derdritten Potenz von [x[ im Nenner nicht irrefhren der Betrag dieser Kraft ist[

F (x)[ =GMm[x[2GMmr2, (1.23)nimmt also mit zunehmender Entfernung wie 1/r2ab. Das Minuszeichen in (1.22)drckt aus, dass die Kraft auf den Satelliten stets zum Zentralkrper hin weist:Sie ist anziehend. Beachten Sie weiters, dass die Masse m des Satelliten in (1.22)eine andere Rolle spielt als die Masse in (1.19). Sie kennzeichnet hier nicht denWiderstand gegen die berwindung der Trgheit, sondern die Strke der Schwer-kraft und wird daher als schwere Masse bezeichnet. Theoretisch wre es mglich,dass trgeundschwereMassezwei verschiedenephysikalischeGrensindtatschlich scheinen sie aber gleich zu sein, und daher unterscheiden wir in derBenennung der Gren nicht zwischen ihnen. Wir werden darauf noch zu sprechenkommen (Seiten 21 und 54).12Die Bezeichnung explizitbezieht sich auf die hier farblich hervorgehobe Zeitabhngigkeit

F

F (x, t),dieverbleibt, wennderOrt xalsfestgehaltenbetrachtetwird. DassolltenichtverwechseltwerdenmitderZeitabhngigkeiteinerKraft,diesichdarausergibt,dasssichderOrtdesTeilchensimLaufeseinerBewegung ndert: Ist das Teilchen zur Zeit t am Ort x(t), so ist die zum Zeitpunkt t wirkende Kraft durch

F (x(t), t) gegeben. Falls keine explizite Zeitabhngigkeit vorliegt, ist sie durch

F (x(t)) gegeben.13DerZusatzNewtonsch drcktaus, dassessichumeineBeschreibungimRahmenderNewtonschenGravitationstheorie handelt. Wie bereits erwhnt, ist die beste Theorie der Schwerkraft, die uns heute zurVerfgung steht, die von Albert Einstein entwickelte Allgemeine Relativittstheorie.1.4Newtonsche Mechanik 13Beispiel: die CoulombkraftDie elektrische Kraft, die eine im Ursprung des Koordinatensystems xierte (elek-trische) Punktladung Q auf ein Teilchen mit Ladung q ausbt, das sich am Ortx bendet, (die so genannte Coulombkraft) ist durch

F (x) =Qq40[x[3x (1.24)gegeben (wobei 0 = 8.85418781762 1012C2/(N m2)) die so genannte elektri-sche Feldkonstante ist, ber die Sie sich an dieser Stelle keine weiteren Gedankenmachen mssen). Genau genommen handelt es sich um eine nichtrelativistischeNherung: (1.24) gilt im Zusammenhang mit dem zweiten Newtonschen Axiom(1.20)nurdann,wenndieauftretendenGeschwindigkeitenkleingegenberderLichtgeschwindigkeit sind. Je nach den Vorzeichen der Ladungen kann diese Kraftzum Zentrum hin oder von ihm weg weisen: Sie kann anziehend oder abstoendsein. Davon abgesehen besitzt sie die gleiche mathematische Struktur wie (1.22).Insbesondere nimmt ihr Betrag mit zunehmender Entfernung wie 1/r2ab.Beispiel: die konstante GravitationskraftDie Kraft auf ein nahe der Erdoberche frei fallendes Teilchen der Masse m istdurch

F (x) =00mg(1.25)gegeben, wobei die z-Achse nach oben weist, also von der Erde weg, und die (po-sitive) Konstante g die Erdbeschleunigung bezeichnet. Es handelt sich hier um einhomogenes(d. h. konstantes)Kraftfeld,dessenGltigkeitsbereichaufRaumge-biete beschrnkt ist, die klein im Vergleich zur Erde sind. Mit Hilfe des Ausdrucks(1.22) kann es hergeleitet und der Wert der Erdbeschleunigung unter der idea-lisierten Annahme, die Erde wre eine Kugel aus ihrer Masse und ihrem Radiusberechnet werden (siehe Aufgabe 3).Beispiel: Kraft in einem ueren elektrischen FeldStellt

E

E(x, t)eingegebenes(alsoeinueres)elektrischesFeld14dar, soist die (nichtrelativistische) Kraft, die es auf ein Teilchen mit Ladung q ausbt,durch

F (x, t) = q

E(x, t) (1.26)14Die Bezeichnung elektrisches Feld meintin der Regel dieelektrische Feldstrke. Aufdie EigenschaftenundDynamikdes elektromagnetischenFeldes wirdimdrittenBanddieser Lehrbuchserieeingegangenwerden. ImMomentgengtes, zuakzeptieren, dassFelderwie

E

E(x, t)vorgegebensindundKrfteverursachen.14 1Klassische Mechanikgegeben. EinSpezialfall istdieCoubombkraft(1.24). Siewirdverursachtvomzeitunabhngigen elektrischen Feld

E(x) =Q40[x[3x, (1.27)das von der im Koordinatenursprung sitzenden Punktladung Q erzeugt wird.Eine Kraft auf ein Punktteilchen kann zustzlich noch von der Geschwindigkeitx abhngen,mit der es sich bewegt. Hngt eine Kraft vom Ort und der Geschwindigkeit des Teilchens ab,so ist sie eine Funktion F

F_x, x_, hngt sie zustzlich auch explizit von der Zeit ab, so istsie eine Funktion

F

F_x, x, t_.Beispiel: Kraft in einem ueren MagnetfeldStellt

B

B(x, t) ein gegebenes (also ein ueres) Magnetfeld15dar, so ist dieKraft, die es auf ein Teilchen mit Ladung q ausbt, durch

F_x, x, t_ = q x

B(x, t) (1.28)gegeben, wobeidas Vektorprodukt16bezeichnet. Sie wird manchmal auch inKombination mit (1.26), siehe Formel (1.40) weiter unten Lorentzkraft genannt.Auchhierbei handeltessichimKontextmitdemzweitenNewtonscheAxiom(1.20) um eine nichtrelativistische Nherung.Krfte in MehrteilchensystemenIn einem aus mehreren Teilchen bestehenden System kann die Kraft auf jedes dieser Teilchenvon dessen Ort und Geschwindigkeit sowie von den Orten und Geschwindigkeiten aller anderenTeilchen und zudem noch explizit von der Zeit abhngen.Beispiel: Krfte im gravitativen ZweikrperproblemDasberhmtesteZweikrperproblembestehtauszwei (alsMassenpunktenbe-trachteten) Krpern mit Massen m1 und m2, die sich zu einer gegebenen Zeit andenOrten x1und x2benden, undzwischendenendieNewtonscheGravitati-onskraft wirkt. Im Unterschied zu (1.22) knnen sich nun beide Krper bewegen.Ist

F1 die Kraft, die auf den ersten und

F2 die Kraft, die auf den zweiten Krperwirkt, so gilt

F1 (x1,x2) =Gm1m2[x1x2[3 (x2x1) (1.29)

F2 (x1,x2) =Gm1m2[x1x2[3 (x1x2) (1.30)15Die Bezeichnung Magnetfeldmeint in der Regel die magnetische Flussdichte (magnetische Induktion).16Siehe (B.8) im Anhang.1.4Newtonsche Mechanik 15(siehe Aufgabe 4). Das ist das Newtonsche Gravitationsgesetz, das die zwischenzwei Krpern wirkenden Gravitationskrfte angibt. Wird der erste MassenpunktimUrsprungfestgehalten(d. h. x1 = 0gesetzt),soreduziertsichdieKraftaufden zweiten Massenpunkt mit m1 = M, m2 = m und x2 =x genau auf (1.22). Be-achten Sie, dass die Schwerkraft, die zu einem gegebenen Zeitpunkt auf einen derbeiden Krper wirkt, von der Position des anderen zur gleichen Zeit abhngt. DieSchwerkraft wird in der Newtonschen Theorie als eine instantane Wechselwirkungbetrachtet, die ohne Zeitverzgerung eintritt.Beispiel: Coulombkrfte zwischen zwei TeilchenVon hnlicher mathematischer Struktur wie die Krfte im gravitativen Zweikr-perproblem sind die elektrischen Krfte zwischen zwei geladenen Teilchen. Jedesder beiden Teilchen (mit Ladungen q1 und q2) erzeugt ein elektrisches Coulomb-feld vom Typ (1.27). Wird mit diesen Feldern die Beziehung (1.26) auf das jeweilsandere Teilchen angewandt, so ergeben sich die Ausdrcke

F1 (x1,x2) =q1q240[x1x2[3 (x1x2) (1.31)

F2 (x1,x2) =q1q240[x1x2[3 (x2x1). (1.32)Sie sehen bis auf die Konstanten und die Tatsache, dass Ladungen positiv odernegativseinknnengenausoauswie(1.29) (1.30).Auchhierbei handeltessich im Kontext mit dem zweiten Newtonsche Axiom (1.20) um eine nichtrelati-vistische Nherung, die nur dann eine gute Beschreibung darstellt, wenn sich dieTeilchen langsam (genauer: sehr viel langsamer als das Licht) bewegen17.BeachtenSie,dasssowohl dieKrfte(1.29) (1.30)alsauchdieKrfte(1.31) (1.32)dieBeziehung

F2 (x1,x2) =

F1 (x1,x2) (1.33)erfllen: InbeidenFllensinddieauf dieTeilchenwirkendenKrftezueinander parallel,entgegengesetzt orientiert und haben den gleichen Betrag, im Einklang mit dem dritten New-tonschen Axiom, dem wir uns nun kurz zuwenden.17FrschnellereTeilchenkommeneinigeEektedazu, diehiervernachlssigsind: Dasvoneinerschnellbewegten Punktladung erzeugte elektrische Feld sieht ein bisschen anders aus als (1.27). Weiters erzeugteinebewegteLadungaucheinmagnetisches Feld. Zudemwurdehier ganzauer Acht gelassen, dasssich nderungen im elektromagnetischen Feld mit einer endlichen Geschwindigkeit (nmlich mit Lichtge-schwindigkeit) ausbreiten, die Kraftwirkung also zeitlich verzgert (retardiert) eintritt im obigen Modellwird, ebenso wie im Newtonschen Gravitationsgesetz, eine instantane, d. h. augenblicklich wirkende Kraftangenommen.UndschlielichstrahlenbeschleunigteTeilchen,d. h.sieerfahreneineweiterezustzlicheKraft(diesogenannteStrahlungsrckwirkung), diehierignoriertwurde. TrotzdieserEinschrnkungendes Gltigkeitsbereichs sind (1.31) und (1.32) bzw. ihre Verallgemeinerung auf mehr als zwei Teilchen ntzlich, etwa fr eine nherungsweise Beschreibung von Atomen und Moleklen in der Quantentheorie.16 1Klassische MechanikDas dritte Newtonsche AxiomNewton postulierte, dass Krfte immer paarweise auftreten, und dass die Kraft, die ein KrperA auf einen anderen Krper B ausbt, gleich (minus) der Kraft ist, die der Krper B auf denKrper A ausbt (actio est reactio), so wie dies beispielsweise fr die Krfte (1.29) (1.30)sowie fr (1.31) (1.32) erfllt ist. Dieses Prinzip ist ntzlich bei der Modellierung von Krftenin Mehrteilchensystemen, hat aber aus heutiger Sicht nur einen begrenzten Wert. Neben dengravitativenundelektrischenKrfteninderobenangegebenenForm(die, wirbetonenesnochmals, Nherungen darstellen) sind hier vor allem mechanische Krfte zwischen Krpernzu nennen, die ein abgeschlossenes System, d. h. ein System ohne uere Krafteinwirkungenbilden.Letztereswirdmanchmal durcheinExperimentveranschaulicht,indemzwei gleichschwere Personen in Sesseln, die (reibungslos) auf Rdern fahren knnen, sitzen und einanderdie Hnde reichen. Unabhngig davon, welche Person die andere zu sich zieht, bewegen sichbeide in gleicher Weise aufeinander zu.In anderen Kontexten gilt das dritte Newtonsche Axiom nicht bzw. nicht in der von Newtonangegebenen Form. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn Kraftwirkungen aufgrund derendlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit von Feldern mit einer zeitlichen Verzgerung eintreten.Wir werdenauf dieseProblematik, diegleichzeitigdieGrenzender klassischenMechanikaufzeigt, spter (Seite 62) zurckkommen, nachdem die Dynamik von Mehrteilchensystemenbesprochen wurde. Die moderne Physik setzt an die Stelle des dritten Newtonschen Axiomsein anderes Prinzip, das im Abschnitt 1.6 (Seite 103) vorgestellt wird.Krfte in einer DimensionIst die Bewegung eines Teilchens auf eine Dimension eingeschrnkt, so knnen wir in analogerWeise die Flle F F (x), F F (x, t), F F (x, x) und F F (x, x, t) unterscheiden. Zustzlichsind die Flle F F ( x) zur Beschreibung einer lediglich von der Geschwindigkeit abhngigenReibungskraft und F F (t) zur Beschreibung einer nur von der Zeit abhngigen uerenKraft vonInteresse. EindimensionaleModellewerdenauchherangezogen, umSystemezubeschreiben, dienureinenFreiheitsgradbesitzenselbstwennessichdabei nichtumPunktteilchenhandelt. (EinBeispiel freinsolchesSystemistdasebenePendel, dasaufSeite 138 behandelt wird).Beispiel: die harmonische KraftDie so genannte harmonische Kraft oder Federkraft auf ein Punktteilchen in einerDimension ist durchF (x) = kx (1.34)deniert,wobei dieKonstantek > 0alsFederkonstantebezeichnetwird.DieseKraft weist stets zum Nullpunkt x = 0 hin, und ihr Betrag ist proportional zumAbstand des Teilchens von diesem. Der Nullpunkt ist insofern ausgezeichnet, alser der einzige Punkt ist, an dem die Kraft verschwindet. Wird x als Auslenkung(vom Nullpunkt) bezeichnet, so knnen wird auch sagen, dass die F eine rcktrei-bende Kraft (Rckstellkraft) darstellt, die proportional zur Auslenkung ist. Mit einbisschen Phantasie kann man sie sich mit Hilfe eines (idealen) elastischen Fadens1.4Newtonsche Mechanik 17realisiert vorstellen, das zwischen dem Teilchen und dem Nullpunkt gespannt ist.AufdiesemPrinzipberuhtdieMessungvonKrftenmitHilfeeinerFederwaa-ge,wobei nunxnichtalsOrtskoordinateeinesPunktteilchensangesehenwird,sondern die Dehnung einer Schraubenfeder bezeichnet: Ist k bekannt und wird xgemessen, so ergibt sich daraus F. Aber auch in vielen anderen ZusammenhngentrittdieseFormderKraftauf.Durch

F (x) = kxkanndieharmonischeKraftauf zwei oder drei Dimensionen verallgemeinert werden.Beispiel: ReibungskrfteNeben den bereits erwhnten in einem Magnetfeld auftretenden Krften hngenauch Reibungskrfte von der Geschwindigkeit ab. Wir beschrnken uns hier auf dieModellierungzweierTypenvonReibungskrftenineindimensionalenModellen.In beiden Fllen hngt die Kraft nur von der Geschwindigkeit ab.Reibungskrfte,wiesiebei derDmpfungvonSchwingungenundbei derBewegung von Krpern in zhen Flssigkeiten auftreten, sind proportionalzur Geschwindigkeit. IneinemeindimensionalenModell werdensiedurcheinen Ansatz der FormF ( x) = x (1.35)beschrieben, wobei > 0 die Dmpfungskonstante ist, auf deren Zustande-kommen wir hier nicht nher eingehen. Das Minuszeichen drckt aus, dassdie Reibung der Bewegung entgegenwirkt: Ist x > 0 (Bewegung in positivex-Richtung, also nach rechts), so wirkt die Kraft in die negative x-Richtung(alsonachlinks),ist x < 0(Bewegunginnegativex-Richtung),sowirktdie Kraft in die positive x-Richtung.DerLuftwiderstand hingegenhngtvomQuadratderGeschwindigkeitab.Wir knnen ihn in der FormF ( x) = x[ x[ (1.36)anschreiben,wobei > 0eineKonstanteist,dievonderDichtederLuftundder GeometriedesbewegtenKrpersabhngt. DieSchreibweise x[ x[stellt sicher, dass der Luftwiderstand der Bewegung entgegenwirkt: Fr einenKrper, der sichinpositivex-Richtungbewegt, d. h. fr den x > 0gilt,reduziert sich (1.36) auf F( x) = x2. Gilt x < 0, so reduziert sich (1.36)auf F( x) = x2.Beispiel: aufgeprgte (antreibende) Krfte, die nur von t abhngenVorallemimRahmeneindimensionalerModelleistderFall vonInteresse,dasseine lediglich von der Zeit abhngige Kraft F F (t) wirkt. Wir knnen uns vor-stellen, dass eine solche Kraft einem Krper sozusagen mit der Hand aufgeprgtwird. Wir sprechen auch von einer antreibenden Kraft. Insbesondere wird oft derAnsatzF (t) = F0 sin(t) (1.37)18 1Klassische Mechanikmit Konstanten F0und zur Beschreibung einer periodisch wirkenden uerenKraft gemacht.Komplexere FlleEs sind auch komplexere Flle denkbar, z. B. dass die Kraft von der Vorgeschichte des Teil-chens bzw. des Systems abhngt (etwa, weil die Wirkung eines Feldes aufgrund seiner endli-chen Ausbreitungsgeschwindigkeit zeitlich verzgert eintritt), aber solche Situationen werdenwir in diesem Kapitel nicht betrachten.Das gemeinsame Wirken mehrerer KrfteWirkenauf einTeilchenmehrereKrfte, somssenwir dieseTeilkrfteaddieren, umdiewirkendeGesamtkraft (resultierendeKraft, kurzResultierende) zuerhalten. (DieseRegelwird auch als das Superpositionsprinzip von Krften bezeichnet).Beispiele:Bendet sich ein Teilchen unter dem Einuss der harmonischen Kraft (1.34) undwirkt gleichzeitig eine Reibungskraft vom Typ (1.35), so ist die gesamte wirkendeKraftF (x, x) = kx x. (1.38)WirktzustzlichnocheinenurvonderZeitabhngigeuere(aufgeprgte)Kraft vom Typ (1.37), so ist die Gesamtkraft durchF (x, x, t) = kx x +F0 sin(t) (1.39)gegeben.BeimZusammenwirkenmehrerer KrfteindreidimensionalenModellengehenwir analogvor: Sie werden vektoriell addiert. Geometrisch interpretiert fhrt dies zur berhmten Darstel-lungsform durch Krfteparallelogramme, die Sie aus Ihrer bisherigen Physikausbildung kennen.Rechnerisch bedeutet es einfach, dass die Kraftvektoren komponentenweise addiert werden.Beispiel: die LorentzkraftDieaufein(nichtrelativistischbehandeltes)Teilchenineinemgegebenen(d. h.ueren)elektromagnetischenFeldwirkendeKraft ist durchdieSummeaus(1.26) und (1.28)

F_x, x, t_ = q_

E(x, t) + x

B(x, t)_(1.40)gegeben. Wiebereitserwhnt, wirdmanchmal dieseKraft, manchmal nurdervom Magnetfeld

B herrhrende Anteil als Lorentzkraft bezeichnet.Beispiel: Schwerkraft und CoulombkraftWirkt auf ein Teilchen mit Masse m und Ladung q gleichzeitig die Gravitations-kraft (1.22) und die elektrische Kraft (1.24), so ist die Gesamtkraft durch

F (x) =_Qq40GMm_x[x[3(1.41)1.4Newtonsche Mechanik 19gegeben. Durch geeignete Wahl der hier auftretenden Massen und Ladungen kannerreicht werden, dass die Teilkrfte einander aufheben, d. h. dass die Gesamtkraftverschwindet18.DamithabenwirdiewichtigstenKrafttypen, dieindaszweiteNewtonscheAxiom(1.20)bzw. (1.21) eingesetzt werden, besprochen.1.4.4Die Grundgleichungen der Newtonschen MechanikNunwollenwir inall diesenFllen, dieillustrieren, wovonKrfteabhngenknnen, demzweiten Newtonschen Axiom d. h. (1.20) fr die Bewegung eines Teilchens im Raum bzw.(1.21) fr eine eindimensionale Bewegung eine przise mathematische Bedeutung geben.Bewegungsgleichungen in einer DimensionDer einfachsteFall liegtvor, wennauf einPunktteilchender Massem, dessenBewegungauf eineDimensioneingeschrnkt ist, eineKraft wirkt, dienur vondessenOrt abhngt,d. h.wennein(eindimensionaleszeitunabhngiges)KraftfeldF F(x)vorliegt.DaszweiteNewtonscheAxiomistindiesemFall vonderForm(1.21). UmdurchdiemathematischeNotationauszudrcken,dassesfralleZeitpunkte t gilt,schreibenwirdielinkeSeitevon(1.21) zur Zeit t als m x(t). Damit die rechte Seite von (1.21) die auf das Teilchen zur Zeitt wirkende Kraft darstellt, mssen wir in F F(x) die allgemeine Ortsvariablex durch denOrt, an dem sich das Teilchen zur Zeit t bendet, ersetzen, also F(x(t)) schreiben19. Damitnimmt (1.21) die Formm x(t) = F (x(t)) (1.42)an. Diese Beziehung wird die (Newtonsche) Bewegungsgleichung des Teilchens unter demEinuss der betrachteten Kraft genannt. (Newtonsch nennen wir sie, um sie von anderenFormen von Bewegungsgleichungen, die wir spter kennen lernen werden, zu unterscheiden).Beispiel 1DieBewegungsgleichungeinesTeilchensunter demEinussder harmonischenKraft (1.34) lautetm x(t) = kx(t). (1.43)EsistdieseinederwichtigstenBewegungsgleichungenderPhysik.Wirwerdensie in diesem Buch (unter dem Krzel harmonischer Oszillator) ausfhrlich be-sprechen und zur Illustration verschiedener Methoden und Prinzipien heranziehen(etwa auf den Seiten 29, 36 und 103).18Die so genannten extremen schwarzen Lcher sind hypothetische Objekte, bei denen sich die gravitativeAnziehung und die elektrische Abstoung die Waage halten allerdings nicht im Rahmen der NewtonschenMechanik, sondern der Allgemeinen Relativittstheorie.19Auchauf dieGefahrhin, unszuwiederholen: DaxvonderZeitabhngtundFvonx, hngtdieaufdasTeilchenwirkendeKraftinder Regel ebenfallsvonder Zeitab. DieseZeitabhngigkeitder Kraft,diedurchdieBewegungx x(t)zustandekommt, mussvonderbereitsdiskutiertenMglichkeiteinerexpliziten Zeitabhngigkeit der Kraft unterschieden werden!20 1Klassische MechanikBeispiel 2Fr einen (unter Vernachlssigung des Luftwiderstands) nahe der Erdoberchefrei fallenden Krper (wir bezeichnen die Ortsvariable nun mit z) nden wir unterVerwendung der z-Komponente der Kraft (1.25) die Bewegungsgleichungm z(t) = mg. (1.44)Nach Division beider Seiten durch m vereinfacht sie sich zu z(t) = g. (1.45)BeachtenSie, dassdarauszwei wichtigeErkenntnissefolgen: DieMassemistweggefallen(alleKrperfallengleichschnell, sofernderLuftwiderstandnichtbercksichtigt wird), und die Bewegung erfolgt mit konstanter, in die negative z-Richtung (nach unten) gerichteter Beschleunigung (und wird daher gleichmigbeschleunigt genannt).HngtdieKraftnochzustzlichvonderGeschwindigkeitundexplizitvonderZeitab, soschreiben wir die Bewegungsgleichung in der Formm x(t) = F (x(t), x(t), t) (1.46)an.Beispiel 1Bewegt sich ein Teilchen unter dem Einuss der harmonischen Kraft (1.34) unddergleichzeitigenWirkungeinerReibungskraftvomTyp(1.35), soistdieGe-samtkraft durch (1.38) gegeben, und die Bewegungsgleichung lautetm x(t) = kx(t) x(t). (1.47)Beispiel 2Wirktzustzlichzudenin(1.47)angeschriebenenKrftennocheine(aufge-prgte) Kraft vom Typ (1.37), so nimmt die Bewegungsgleichung die Formm x(t) = kx(t) x(t) +F0 sin(t) (1.48)an (vgl. (1.39)).Beispiel 3FreinennahederErdoberchefrei fallendenKrper(wiederbezeichnenwirdie Ortsvariable mit z) nden wir unter Verwendung der z-Komponente der Kraft(1.25)undunterBercksichtigungdesLuftwiderstands(1.36)dieBewegungs-gleichungm z(t) = mg+ z(t)2, (1.49)wobei angenommen wird, dass sich der Krper in negative z-Richtung (also nachunten)bewegt. DaderletzteTermstetspositivist, wirktdieReibungskraftdann immer in positive z-Richtung (also nach oben, der Bewegung entgegen).1.4Newtonsche Mechanik 21Bewegungsgleichungen in drei DimensionenUm die Bewegung eines Punktteilchens der Masse m im dreidimensionalen Raum zu beschrei-ben, gehen wir analog zum eindimensionalen Fall vor: Wir betrachten zuerst den Fall, dass dieKraft nur von dessen Ort abhngt, d. h. dass ein zeitunabhngiges Kraftfeld F

F(x) vorliegt.Wiederargumentierenwir:DaszweiteNewtonscheAxiom(1.20)giltfralleZeitpunkte t.DaherschreibenwirdielinkeSeitevon(1.20)zurZeit t alsm x(t).DamitdierechteSeitevon (1.20) die auf das Teilchen zur Zeit t wirkende Kraft darstellt, mssen wir in

F

F(x)den allgemeinen Ortsvektor x durch den Ort, an dem sich das Teilchen zur Zeit t bendet,ersetzen, also F(x(t)) schreiben. Die Newtonsche Bewegungsgleichung nimmt fr diesen Falldaher die Formm x(t) =

F (x(t)) (1.50)an. Aufgrund ihres vektoriellen Charakters besteht sie genau genommen aus drei Gleichungen:In Komponenten aufgeschrieben, lautet siem x(t) =Fx (x(t))Fx (x(t), y(t), z(t)) (1.51)m y(t) =Fy (x(t))Fy (x(t), y(t), z(t)) (1.52)m z(t) =Fz (x(t))Fz (x(t), y(t), z(t)). (1.53)Beachten Sie, dass die Komponenten der Kraft von allen drei Koordinaten abhngen knnen.HngtdieKraftnochzustzlichvonderGeschwindigkeitundexplizitvonderZeitab, soschreiben wir die Bewegungsgleichung in der Formm x(t) =

F_x(t), x(t), t_(1.54)an.Beispiel: das KeplerproblemFr einen unter dem Einuss der gravitativen Zentralkraft (1.22) bewegten Mas-senpunkt (das Keplerproblem) giltm x(t) = GMm[x(t)[3x(t). (1.55)BeachtenSie, dassdieMassemauf beidenSeitendieserGleichungstehtunddaher weggestrichen werden kann. Die Bewegung des Krpers ist unabhngig vonseinerMasse!Dieser(ganzallgemeininuerenGravitationsfelderngeltenden)Konsequenz der Gleichheit von trger und schwerer Masse sind wir bereits beimSchritt von (1.44) zu (1.45) begegnet.Bewegungsgleichungen von MehrteilchensystemenEinen letzten Fall mssen wir noch erwhnen: den eines Systems mehrerer miteinander wech-selwirkender Teilchen. Zur Illustration betrachten wir ein System aus zwei Teilchen mit Massenm1 und m2 und nehmen an, dass die Kraft auf jedes von ihnen nur von den Orten (d .h. von22 1Klassische MechanikbeidenOrten)abhngt.WirbezeichnendieKraft,dieaufdasersteTeilchenwirkt,mit

F1und jene, die auf das zweite Teilchen wirkt, mit

F2. Das System von Bewegungsgleichungen,dasausderAnwendungvon(1.20)frjedesderbeidenTeilchenundfralleZeitpunkte tresultiert, wird dann in der Formm1 x1(t) =

F1 (x1(t),x2(t)) (1.56)m2 x2(t) =

F2 (x1(t),x2(t)) (1.57)angeschrieben.Beispiel: das gravitative ZweikrperproblemDie Bewegungsgleichungen fr das durch die Krfte (1.29) (1.30) denierte gra-vitative Zweikrperproblem lautenm1 x1(t) =Gm1m2[x1(t) x2(t)[3 (x2(t) x1(t)) (1.58)m2 x2(t) =Gm1m2[x1(t) x2(t)[3 (x1(t) x2(t)). (1.59)SiestelleneinenHhepunktderNewtonschenMechanikdar. AusihnenlassensichwiewirsehenwerdendieKeplerschenGesetzederPlanetenbewegungherleiten. Andererseits kann aus ihnen (wenn einer der Krper die Erde, der an-dere ein fallender Apfel ist) das Fallgesetz (1.1) hergeleitet werden20. Historischbetrachtet verhalfen sie der Ansicht zum Durchbruch, dass auf der Erde und imHimmel die grundstzlich gleichen physikalischen Gesetze gelten.DieVerallgemeinerungaufSystememitmehralszwei TeilchenodermitKrften,dieauchvon den Geschwindigkeiten und explizit von der Zeit abhngen, liegt auf der Hand.Bemerkung zur SchreibweiseWir haben bisher peinlich genau darauf geachtet, in den Bewegungsgleichungen die Abhn-gigkeitder Ortsvariablenvonder Zeitanzudeuten, d. h. x(t),x(t), x(t)usw. zuschreibenstatt einfach x, x, x usw. Damit sollte unterstrichen werden, dass etwa (1.47) eine Aussage20DazusetzenSiem1gleichderMassederErde, ignorierendieGleichung(1.58), diedieBewegungderErdeunter demEinuss des Apfels beschreibt, undnehmenin(1.59) an, dassx1(t) x2(t), alsoderVerbindungsvektor vom Apfel zum Erdmittelpunkt, zeitlich praktisch konstant sein wird. Um (1.59) weiterzuvereinfachen,legenSienundasKoordinatensystemso,dassseinUrsprungirgendwoinderNhedesfallenden Apfels liegt und die z-Achse vom Erdmittelpunkt weg (also nach oben) weist. Die rechte Seitevon (1.59) nimmt dann in der Nhe des Geschehens die Form (1.25) an, wobei anstelle vonm die Massem2desApfelsauftrittunddieKonstantegwieinAufgabe3bestimmtwird.DaderApfel(invertikalerLinie)fallensoll, knnenSiedieKoordinatenxundyignorieren. KrzenSiem2ausderverbleibendenBewegungsgleichungheraus, sondenSiegenau(1.45). DassdarausdasFallgesetzfolgt, werdenwirweiter unten bei der Besprechung der Bewegung im homogenen Schwerefeld (Seite 28) sehen.1.4Newtonsche Mechanik 23freineFunktionx x(t)ist.WennSiesichdiesenUmstandklargemachthabenundihnnicht vergessen, knnen Sie (1.47) zum x = kx x (1.60)verkrzen, und auch in allen anderen Bewegungsgleichungen knnen die Zustze (t) weg-gelassenwerden. Essei aberbetont, dassdamitdieUnterscheidungzwischendenzeitab-hngigen Ortsvariablen und den zustzlich auftretenden Konstanten schwieriger sein kann insbesondere, wenn die Ortsvariable mit einem anderen Symbol als x bezeichnet wird21!Resmee: die allgemeine Theorie der BewegungMit(1.42), (1.46), (1.50)und(1.54)sowie(1.56) (1.57)habenwirdie Grundgleichun-genderNewtonschenMechanikfrdiehauptschlichauftretendenTypenvonKrftenformuliert. Die eingeochtenen Beispiele illustrieren, dass diese sehr allgemeine Theorieder Bewegung eine Flle konkreter physikalischer Systeme unter dem gemeinsamen Gesichts-punkt des zweiten Newtonschen Axioms, d. h. der Kraft als Ursache der Bewegungsnderungzusammenfasst.Bisher alles verstanden?IstIhnenaufgefallen, dassindiesemBuchbishernochfastnichtsgerechnetwurde?AberdennochsindbereitsvielemathematischeSymbolehingeschriebenworden. FallsesIhnenschwer gefallen ist, den Argumenten zu folgen, halten Sie an dieser Stelle inne! Vielleicht hilftes Ihnen, die bisherigen Ausfhrungen ber die Newtonsche Mechanik noch einmal zu lesen.Versuchen Sie, sich an die verwendete mathematische Schreibweise zu gewhnen! Rekapitu-lieren wir kurz, welche mathematischen Voraussetzungen ntig sind, um das bisher Gesagtezu verstehen:Es muss bekannt sein, dass die Geschwindigkeit und die Beschleunigung eines Teilchensdie erste und die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit sind.Es wurden einfachste Regeln fr den Umgang mit dreidimensionalen Vektoren voraus-gesetzt.Das zweite Newtonsche Axiom (1.20) bzw. (1.21) als fundamentales Grundgesetz wurdenicht begrndet. Wenn Sie so wollen, rechtfertigt es sich durch seinen Erfolg (den wiranhand einiger Beispiele noch demonstrieren werden).EinemglicheHrdefrdasVerstndnisistdiefrfunktionaleAbhngigkeitenver-wendeteSchreibweise.MachenSiesichklar,welcheArtenvonAbhngigkeitendurchAusdrckewieF (x) undF (x(t)) bzw.

F (x) und

F (x(t)) ausgedrckt werden.Insbesondere sollte Ihnen klar sein,21Im Physikunterricht wrde man statt (1.60) etwa die Schreibweise ma =kx v verwenden, wobei v frdieGeschwindigkeitundafrdieBeschleunigungsteht. LeideristindieserSchreibweisenungarnichtmehr oensichtlich, dass es sich um eine Aussage fr x als Funktion von thandelt.24 1Klassische Mechanikdass eine Funktion der Form F

F (x) ein Vektorfeld darstellt, d. h. dass in jedemRaumpunkt x ein Vektor

F (x) deniert ist,und warum die Schreibweise x(t)in einer Kraftdenition wie F(x) =kx nichtsverlorenhat, ineiner Bewegungsgleichungwiem x(t) = kx(t)aber sehr wohlsinnvoll ist!1.4.5Bewegungsgleichungen lsenDieBewegungsgleichungenderNewtonschenMechaniksindDierentialgleichungenfrdieOrtsvariable(n). Genau genommen sind sie im eindimensionalen Fall Dierentialgleichungen,imdreidimensionalenFall bzw. frMehrteilchensystemeSystemevonDierentialgleichun-gen22. Sie alle sind von zweiter Ordnung, da die hchsten auftretenden Zeitableitungen zweiteAbleitungen sind. Der direkteste Weg, um herauszunden, welche Bewegungsform von einergegebenenKraftverursachtwird(d. h.wiedie ZeitentwicklungdesbetreendenSystemsaussieht), besteht darin, die entsprechende Dierentialgleichung zu lsen. Beispielsweise isteine Lsung der Bewegungsgleichung (1.47) eine Funktion x x(t), die, in die Aussage (1.47)eingesetzt, diese erfllt. Eine Lsung der Bewegungsgleichung (1.55) besteht aus drei Funktio-nen x x(t), die, in die Aussage (1.55) eingesetzt, diese erfllen. In diesem Sinn beschreibendie Bewegungsgleichungen die Dynamik der betrachteten Systeme.Die Struktur der Bewegungsgleichungen und das AnfangswertproblemIn den folgenden Abschnitten werden wir einige Grundtatsachen ber Dierentialgleichungenzweiter Ordnung bentigen. Die wichtigsten betreen die Struktur der allgemeinen Lsungen wir stellen sie hier zusammen und werden gleich darauf mit einer fundamentalen Erkenntnisbelohnt:Eindimensionaler Fall: DieallgemeineLsung(d. h. dieLsungsmenge) einer Die-rentialgleichungzweiterOrdnungvomTyp(1.46)demallgemeinstenTyp, denwirbetrachtet haben besitzt zwei frei whlbare Konstanten. Diese knnen durch den An-fangsort x(0) und die Anfangsgeschwindigkeit x(0) die Anfangsdaten ausgedrcktwerden.Dreidimensionaler Fall: Die allgemeine Lsung einer Dierentialgleichung zweiter Ord-nungvomTyp(1.54)demallgemeinstenTyp, denwirbetrachtethabenbesitztsechs frei whlbare Konstanten. Diese knnen durch den Anfangsort x(0) und die An-fangsgeschwindigkeitx(0) die Anfangsdaten ausgedrckt werden.Mehrteilchensysteme: Das entsprechende System von Bewegungsgleichungen fr n Teil-chen in drei Dimensionen besitzt 6n frei whlbare Konstanten. Diese knnen ebenfalls22Der sprachlichen Einfachheit halber werden wir auch ein System von Dierentialgleichungen meist einfachalsDierentialgleichung bezeichnen. IngewisserWeiseistdasnichteinmal falsch, daetwa(1.50)imvektoriellen Sinn eine Dierentialgleichung fr den zeitabhngigen Vektor x(t) ist.1.4Newtonsche Mechanik 25durch die Anfangsdaten (alle Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten) ausgedrcktwerden. Das Zweikrperproblem (1.58) (1.59) ist ein Beispiel fr n = 2.Allein aus diesen allgemeinen Eigenschaften folgt ein zentraler Aspekt der Newtonschen Me-chanik:SinddiewirkendenKrfte(d. h.dieBewegungsgleichungen)unddieAnfangsdaten(d. h. die Anfangsorte und Anfangsgeschwindigkeiten aller beteiligten Teilchen) bekannt, soist daraus die gesamte Bewegung (die Zeitentwicklung) eindeutig und vollstndig bestimmt23.Als Anfangszeit haben wir hier der Einfachheit halber t = 0 gewhlt, knnten dazu aber auchjede andere Zeit t =t0benutzen.DieAufgabe,dieLsungeinerDierentialgleichungzugegebenenAnfangsdatenzunden,wird als Anfangswertproblem bezeichnet. Dessen allgemeine Lsbarkeit im Rahmen der New-tonschen Mechanik hat Pierre-Simon Laplace durch den nach ihm benannten LaplaceschenDmon veranschaulicht: Bestnde die gesamte Welt aus Punktteilchen, die der NewtonschenMechanik gehorchen, so knnte diese imaginierte Intelligenz aus der Kenntnis der Krfte undder Anfangsdaten die gesamte Zukunft des Universums berechnen!LsungsmethodenVon der bloen mathematisch gesicherten Existenz von Lsungen der Bewegungsgleichun-gen hat man in der Praxis nicht allzu viel. Vielmehr wollen wir die Lsungen, wann immer dasmglich ist, auch nden. Wie Lsungen von Dierentialgleichungen tatschlich gefunden wer-den knnen, ist nur in einem sehr eingeschrnkten Sinn Gegenstand dieses Buchs. Dafr ist eineigenes sehr umfassendes Gebiet der Mathematik zustndig. Die Handhabung einfacherDierentialgleichungen sollten Sie in den der mathematischen Grundausbildung gewidmetenLehrveranstaltungen kennen gelernt haben. Das konkrete Lsen von BewegungsgleichungenwirdindiesemBuchnur anhandeiniger einfacher Flle(undumIhneneinGefhl frkomplexere Situationen zu geben anhand des Keplerproblems) vorgefhrt werden.Leider gibt es fr das Aunden der Lsungen von Dierentialgleichungen keine Rezepte, diein jedem Fall funktionieren wrden. Nicht in allen Fllen gelingt es, Lsungen durch bekann-temathematischeFunktionen(ingeschlossenerForm)auszudrcken.ManistdannaufdieNutzung von Nherungsverfahren und numerischen Techniken angewiesen. Glcklicherweiselassensichaberauchdann, wennkeinegeschlossenenLsungenvorliegen, ausdenBewe-gungsgleichungen wichtige Eigenschaften der Bewegungsvorgnge erschlieen. Vor allem dieso genannten Erhaltungsgren, auf die wir spter in diesem Kapitel eingehen werden, helfenuns dabei.Eine Methode, die Ihnen in jedem Fall oen steht, ist die Nutzung von Computeralgebra-Systemen (CAS). Die meisten dieser Programme knnen geschlossene Lsungen von Die-23Wir erwhnen der Vollstndigkeit halber, dass es Ausnahmen geben kann. So wird es beispielsweise im Falldes Zweikrperproblems (1.58) (1.59) nicht klug sein, die Anfangsdaten so zu whlen, dass x1(0) =x2(0)gilt, dadanndieKrfteauf der rechtenSeiteder beidenBewegungsgleichungenmathematischnichtwohldeniert sind. Zudem kann es auch bei harmlos anmutenden Anfangsdaten zu Zusammensten vonTeilchen kommen. Was nach einem solchen Ereignis passiert, knnen die Modelle der klassischen Mechaniknicht voraussagen. Zum Glck tritt dieses Problem in der Quantentheorie nicht auf.26 1Klassische Mechanikrentialgleichungen suchen und, falls keine gefunden werden, numerische Nherungslsungenangeben.Tipps zur Nutzung von ComputeralgebraComputeralgebrakannIhnenviel ArbeitersparenundistdennochfrdasVer-stndnisnichtunbedingtabtrglich. ProgrammewieMathematicaoderMapleknnen (unter anderem) Gleichungen und Gleichungssysteme lsen, mit Vektorenund Matrizen rechnen, dierenzieren, Reihenentwicklungen ermitteln, bestimmteund unbestimmte Integrale berechnen und Dierentialgleichungen lsen. In vie-len Fllen sind Sie nicht darauf angewiesen, die Ergebnisse kritiklos hinzunehmen.Wenn ein Computeralgebra-System etwa die Lsung einer Dierentialgleichung ingeschlossener (d. h. durch bekannte Funktionen ausgedrckter) Form ausgibt,mssen Sie sie nicht blind glauben: Setzen Sie sie in die Dierentialgleichung einund verizieren Sie durch Rechnung auf dem Papier, dass es sich tatschlich umeine Lsung handelt! Manche Dierentialgleichungen besitzen keine geschlosse-nen Lsungen in diesem Fall knnen Computeralgebra-Systeme (wie auch an-dere Programme) benutzt werden, um numerische Nherungslsungen zu nden.DasPlottenvonLsungen(obsienuninsymbolisch-exakterodernumerischerFormausgegebenwerden)informiert sieinSekundenschnelleber derenVer-halten. Schalten Sie aber dabei nie den Kopf aus: Computerprogramme denkennicht so wie wir Menschen! Wenn Ihnen (um ein anderes und bertrieben einfa-ches Beispiel auszuwhlen) ein Computerprogramm sagt, dass das unbestimmteIntegral von 1/x2gleich 1/x ist, drfen Sie daraus nicht schlieen, dass_11dxx2= 1x11= 2 (1.61)ist! Wenn Sie jetzt nicht wissen, warum, dann plotten Sie den Graphen von 1/x2!EingutesComputeralgebra-SystemwrdedasbestimmteIntegral (1.61)sofortals divergent erkennen, aber grundstzlich ist zu empfehlen, Ergebnisse derartigerSysteme so gut (durch Rechnungen und durch Mitdenken) zu berprfen, wie esebengeht!AlsBonusknnenSieaufdieseWeiseauchihrVerstndnisfrdieerhaltenen Resultate verbessern.Wir wollen uns nun drei besonders wichtige Beispiele einfacher physikalischer Systeme ansehenund ihre Bewegungsgleichungen lsen. Im Anschluss daran wird ein einfaches und ntzlichesnumerisches Verfahren vorgestellt.Krftefreie BewegungWiebewegtsicheinkrftefreier (alsMassenpunktbetrachteter)Krper?Ist

F(x) = 0fralle x, so lautet die Bewegungsgleichung (1.50) einfach m x(t) = 0 oder, nach Division beiderSeiten durch m,x(t) = 0. (1.62)1.4Newtonsche Mechanik 27In Worten besagt dies: Ein Massenpunkt, auf den keine Kraft wirkt, bewegt sich so, dass seineBeschleunigung gleich 0 ist. Nun wollen wir die sehr einfache Dierentialgleichung (1.62)lsen, d. h.x x(t)nden. EineetwasakribischanmutendeMethode, dieaber zwingendund logisch transparent zum Ergebnis fhrt (und zudem veranschaulicht, dass das Lsen vonDierentialgleichungenetwasmitIntegrierenzutunhat)istdiese:Wirbenennenzunchstdie Zeitvariable tin t/ um und integrieren beide Seiten von (1.62) nach t/ von 0 bis zu einemgegebenen Zeitpunkt t. Wir erhalten_t0dt/ x(t/) = 0. (1.63)Beachten Sie, dass der Integrand eine Zeitableitung ist (x ist die Zeitableitung vonx)! Nachdem Hauptsatz der Dierential- und Integralrechnung24vereinfacht sich (1.63) daher zux(t/)t0 x(t) x(0) = 0. (1.64)Die Aussagex(t) x(0) = 0 ist ebenfalls eine Dierentialgleichung (mitx(0) als Konstante),diefralleZeiten t erflltseinmuss.WiederbenennenwirdieZeitvariable t in t/umundintegrieren ein zweites Mal beide Seiten nach t/von 0 bis zu einem gegebenen Zeitpunkt t:_t0dt/_x(t/) x(0)_= 0. (1.65)DasIntegral deserstenTermswirdwiedermitHilfedesHauptsatzesdesDierential-undIntegralrechunggefunden, das Integral des zweitenTerms ergibt sichganzelementar, dadieser Term ja konstant ist, als das Produktx(0)t. Insgesamt erhalten wirx(t) x(0) x(0)t = 0, (1.66)was wir zux(t) =x(0) + x(0)t (1.67)umformen. Damit ist die allgemeine Lsung von (1.62) gefunden! Die Probe durch Dieren-zieren ergibt sofort, dass (1.67) die Dierentialgleichung (1.62) erfllt. Da die beiden freiwhlbaren Konstanten x(0) undx(0) die Anfangsdaten (Anfangsort und Anfangsgeschwin-digkeit) darstellen, ist gleichzeitig auch das allgemeine Anfangswertproblem gelst.Die Lsung (1.67) stellt keine groe berraschung dar25. Sie besagt, dass sich ein krftefreierMassenpunktstetsmit(inRichtungundBetrag)konstanterGeschwindigkeitbewegt: DieGeschwindigkeit zu jeder Zeit tist gleich der Anfangsgeschwindigkeitx(0). Damit haben wiraus dem zweiten Newtonschen Axiom (1.50) fr den krftefreien Fall den Trgheitssatz (daserste Newtonsche Axiom) abgeleitet: Ein krftefreier (als Massenpunkt betrachteter) Krperbewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. (Handelt es sich um einen ausgedehnten Krper,so trit diese Aussage genau genommen nur auf seinen Massenmittelpunkt zu).24Siehe (B.134) im Anhang.25Eine einfachere Methode, sie zu gewinnen, besteht darin, zunchst die Formx(t) =

C1+

C2t (mit konstantenVektoren C1 und C2) zu erraten, durch Einsetzen in (1.62) die Probe durch Dierenzieren zu machen wasnatrlich ganz einfach ist, da die zweite Zeitableitung von t verschwindet und schlielich herauszunden,dass

C1und

C2den Anfangsort und die (konstante) Geschwindigkeit darstellen.28 1Klassische MechanikBewegung im homogenen SchwerefeldEinzeitunabhngiges Kraftfeldheit homogen, wennes imganzenRaumkonstant, d. h.berall durchdengleichenVektorgegebenist. AlsPrototypeineshomogenenKraftfeldesbetrachten wir das durch (1.25) gegebene Schwerefeld, das die tatschliche Gravitationskraftin einem kleinen Raumbereich nahe der Erdoberche approximiert. Die Bewegungsgleichung(1.50) nimmt fr diese Kraft, nach Division beider Seiten durch m, die Formx(t) =00g(1.68)an.IhreallgemeineLsungkanngenausowieimkrftefreienFall durchzwei Integrationengefunden werden. Wir fhren dies nicht vor (siehe dazu Aufgabe 5), sondern schreiben nurdas Ergebnis an:x(t) = x(0) + x(0)t +00g2 t2. (1.69)DurchDierenzierenkannsofortberprftwerden,dassesdieDierentialgleichung(1.68)erfllt. Wieder ist damit sowohl die allgemeine Lsung der Bewegungsgleichung als auch dieallgemeine Lsung des Anfangswertproblems gefunden. Nicht zum ersten Mal bemerken wir,dassdieMassemherausgefallenistunddaherinderallgemeinenLsungnichtvorkommt.EinezweitewichtigeEigenschaftdieserBewegungsformwirdsichtbar, wennwirdieBewe-gungsgleichung (1.68) in Komponentenform x(t) =0 (1.70) y(t) =0 (1.71) z(t) =g (1.72)hinschreiben. Die Bewegung in den Koordinaten x und y, d. h. in die auf die Kraft orthogonalstehendenRichtungen,istfrsichbetrachtetkrftefrei26. Dementsprechendlautetdieallgemeine Lsung (1.69) in Komponentenformx(t) =x(0) + x(0)t (1.73)y(t) =y(0) + y(0)t (1.74)z(t) =z(0) + z(0)t g2 t2. (1.75)DieseFormderallgemeinenLsungkannaucherzieltwerden, indemdiedrei Dierential-gleichungen (1.70) (1.72) jeweils fr sich gelst werden. Damit ist das Problem des schie-fenWurfsganzallgemeingelst.EinSpezialfall von(1.75)frdieAnfangsgeschwindigkeit26Diesrhrteinfachdaher, dassdiehorizontaleKraftkomponenteverschwindet esisteineFolgedervektoriellen Natur der Kraft.1.4Newtonsche Mechanik 29 z(0) = 0istderfreieFall ausderRuhe. IndemwirdievomAnfangsortz(0)ausalsposi-tiv gemessene durchfallene Strecke mit s bezeichnen, also s(t) = z(0) z(t) setzen, erhaltenwirgenaudaseingangsdiskutierteFallgesetz(1.1). ZurDiskussionvon(1.75)sieheauchAufgabe 6.Der harmonische OszillatorMit diesem Begri wird ein eindimensionales System bezeichnet, dessen Bewegung durch dasWirken der harmonischen Kraft (1.34) zustande kommt. Die zugehrige Bewegungsgleichunghaben wir in (1.43) bereits hingeschrieben und wiederholen sie hier:m x(t) = kx(t), (1.76)wobei k > 0 die Federkonstante ist. Der harmonische Oszillator ist charakterisiert durch einezurAuslenkungxproportionalercktreibendeKraft. Wirknnenunsvorstellen,dassdieseKraft auf ein Punktteilchen wirkt, aber sie tritt auch in anderen Zusammenhngen auf. WelcheBewegungformverursachtsie?Umdiesbequemanalysierenzuknnen, istesblich, den(positiven)Quotientenk/mals 2zuschreiben,also =_k/mzusetzen.NachDivisionbeider Seiten der Bewegungsgleichung durch m nimmt diese dann die Form x(t) = 2x(t) (1.77)an. Zwei (linear unabhngige) Lsungen sind nach ein bisschen Nachdenken schnell gefunden:cos(t) und sin(t). Da die Dierentialgleichung (1.77) linear ist, ist auch jede Linearkom-binationx(t) = C1cos(t) +C2sin(t) (1.78)eine Lsung. (Rechnen Sie nach!) Nun besagt die Theorie der linearen Dierentialgleichun-genzweiter Ordnung, dassdieallgemeineLsungalsLinearkombinationzweier beliebiger(linear unabhngiger) Lsungen zweier Basislsungen angeschrieben werden kann, wor-ausfolgt, dassmit(1.78)bereitsdieallgemeineLsunggefundenwurde27! Umsiedurchdie Anfangsdaten auszudrcken, gehen wir nach einem Schema vor, das ganz allgemein beiBewegungsproblemenimRahmenderklassischenMechanikangewandtwerdenkann,wenndie allgemeine Lsung mit zwei frei whlbaren Konstanten C1und C2 bekannt ist:1. ZuerstwirddieersteAbleitungderallgemeinenLsung(1.78)gebildet,d. h.dieGe-schwindigkeit als Funktion der Zeit berechnet: x(t) = C1sin(t) +C2cos(t). (1.79)27Dass die beiden Lsungen cos(t) und sin(t) linear unabhngig sind, bedeutet, dass sie keine Vielfachenvoneinander sind. Damit ist sichergestellt, dass dieKonstantenC1undC2in(1.78) tatschlichzweiunabhngigen Freiheitsgraden entsprechen. Falls jemand nur sin(t) als Lsung erkennt und den Ausdruckx(t) = (C1+C2)sin(t) mit dem Argument, dass zwei freie Konstanten drinnenstehen, als allgemeine Lsungverkaufen will, sollten Sie protestieren! Ist Ihnen klar, warum? C1 +C2stellt in Wahrheit nur eine einzigeKonstante dar! Mit (1.78) funktioniert so eine Reduktion auf eine einzige Konstante nicht.30 1Klassische Mechanik2. Dann wird in die Ausdrcke fr x(t) und x(t) die Anfangszeit t = 0 eingesetzt:x(0) =C1(1.80) x(0) =C2. (1.81)3. Die beiden erhaltenen Beziehungen werden als Gleichungssystem fr die Konstanten C1und C2aufgefasst. Dessen Lsung ist mitC1=x(0) (1.82)C2= x(0)(1.83)sogleich gefunden.4. Die auf diese Weise erhaltenen Ausdrcke fr die Konstanten C1 und C2 werden in dieallgemeine Lsung (1.78) eingesetzt.Damit ergibt sich mitx(t) = x(0)cos(t) + x(0)sin(t) (1.84)die allgemeine Lsung des Anfangswertproblems. Wieder besttigt sich: Sind die Anfangsda-ten x(0) und x(0) bekannt, so ist der gesamte Bewegungsverlauf eindeutig bestimmt. Er wirdharmonische Schwingung oder harmonische Bewegung genannt28. Eine seiner charakteristi-schen Eigenschaften besteht darin, dass er periodisch in der Zeit mit Periode = 2/ist.Das bedeutet, dass das Teilchen, das sich zu einer beliebigen Zeit t ja am Ort x(t) bendet,zur Zeit t +wieder zu diesem Ort zurckgekehrt ist, und dass das kleinste Zeitintervallmit dieser Eigenschaft ist. In der mathematischen Formelsprache wird diese Rckkehr zumselben Ort nach einer Periodedurch die Beziehungx(t +) = x(t) fr allet (1.85)ausgedrckt. Rechnen wir sie fr den Cosinus-Anteil nach:cos((t +)) = cos__t + 2__= cos(t +2) = cos(t). (1.86)FrdenSinus-Anteil verluftdieRechnungganzidentisch. DasZeitintervall heitauchPeriodendauer. Ihr Kehrwert ist die Frequenzf =1=2 . (1.87)28AusgenommenistdietrivialeBewegung, dieausdenAnfangsdatenx(0) = x(0) = 0entsteht. IndiesemFall gilt x(t) = 0fr allet, d. h. dasTeilchenruht amOrt x = 0undist vlligmit sichundder WeltimGleichgewicht.DerOrtx = 0wirddaheralsGleichgewichtslageoderRuhelagebezeichnet.Bei einernichttrivialenBewegungkannxalsAuslenkungausderGleichgewichtslageangesehenwerdenundwirdauch als Elongation bezeichnet.1.4Newtonsche Mechanik 31Sie gibt die Zahl der pro Zeitintervall stattndenden (vollstndigen) Schwingungen an. DieKonstante wird Kreisfrequenz genannt.Sowohl die Bezeichnung harmonische Schwingung als auch die zuletzt eingefhrten Begrieder Periodendauer, der Frequenz und der Kreisfrequenz sollten Ihnen bekannt vorkommen siesind Ihnen in diesem Buch bereits begegnet! Tatschlich handelt es sich bei der Lsung unsererBewegungsgleichung um genau die gleiche Bewegung wie die in (1.13) wiedergegebene:x(t) = A sin(t +). (1.88)Sie ist lediglich anders angeschrieben! Lesen Sie als Wiederholung die frhere Diskussion derharmonischen Schwingung auf Seite 9 noch einmal durch! Sie werden feststellen, dass wir dieBeziehungen (1.87) in (1.15) bereits gefunden haben. Interessanterweise sind wir sogar schonauf dieDierentialgleichung(1.77)gestoen, undzwar inFormder Beobachtung(1.18).Das beweist, dass (1.84) und (1.88) die gleiche Bewegungsform darstellen. Um diese beidenDarstellungen ineinander umzurechnen, bilden wir die Zeitableitung von (1.88), x(t) = A cos(t +), (1.89)und stellen fest, dassx(0) =A sin (1.90) x(0)=A cos (1.91)gilt. Dieses Ergebnis erlaubt es, (x(0), x(0)) und (A, ) ineinander umzurechnen, wobei nurbisaufganzzahligeVielfachevon2bestimmtist29.(MathematischistdieseUmrechnungganzhnlichdemWechsel zwischenkartesischenKoordinatenundPolarkoordinateninderEbene30). DarausfolgteinweiteresntzlichesResultat: DieAmplitudeA, d. h. diegrteAuslenkung, die das Teilchen im Laufe seiner Bewegung erfhrt, hngt im Unterschied zurPeriodendauer und der Frequenz, die sich ja beide durch die Konstante ausdrcken lassen von den Anfangsdaten ab. Aus (1.90) (1.91) folgt unmittelbarA =_x(0)2+ x(0)22(1.92)(Aufgabe 7), was mit (1.82) (1.83) auch in der FormA =_C12+C22(1.93)geschrieben werden kann. Da der Amplitude A durch die Wahl entsprechender Anfangsdatenbeliebige (nicht-negative) Werte gegeben werden knnen, folgt: Es sind Bewegungen mit be-liebiger (also auch beliebig groer) Amplitude mglich, und sie alle verlaufen mit der gleichenFrequenzf und der gleichen Periodendauer . Das wird manchmal auch so ausgedrckt, dassdie Frequenz und die Periodendauer unabhngig von der Amplitude sind.29Eine andere Methode, diese Umrechnung durchzufhren, besteht darin, das Additionstheorem sin(+) =sin()cos() +cos()sin()zubenutzen, um(1.88)direktineineLinearkombinationvoncos(t)undsin(t) aufzuspalten.30Siehe (B.46) (B.47) im Anhang.32 1Klassische MechanikEin numerisches VerfahrenDawiebereitserwhntvieleinteressanteBewegungsproblemenichtgeschlossengelstwerden knnen, ist man in diesen Fllen auf numerische Verfahren angewiesen. Zudem kn-nen im Rahmen des Physikunterrichts beim Kennenlernen des zweiten Newtonschen Axiomsnoch keine Techniken der Analysis eingesetzt werden, so dass die Behandlung auch einfacherSystememitnumerischenMethodeneinedidaktischeOptionist31. Dafrstehenausgefeil-teMethodenzurVerfgung(vorallemdassehrgenaueRunge-Kutta-Verfahren), diesichaufgrund ihrer formalen Komplexitt aber nur in Ausnahmefllen zur Anwendung im Physik-unterricht eignen. Wir gehen auf diese hier nicht weiter ein, sondern skizzieren statt dessenein ntzliches, mathematisch einfaches und robustes Verfahren, das physikalisch einleuchtet(und im Physikunterricht insbesondere dazu benutzt werden kann, um das Vorhersagepotenti-al des zweiten Newtonschen Axioms zu verdeutlichen). Wir formulieren es fr eindimensionaleSystemeundeinernurvomOrtabhngigenKraft.UmeineBewegungsgleichungvomTyp(1.42)m x(t) = F (x(t)) (1.94)nherungsweise fr gegebene Anfangsdaten x(0) x0 und x(0) v0 zu lsen, kann der konti-nuierliche Zeituss in kurze Zeitintervalle der Dauer zerlegt werden. Aus den Anfangsdatenwerden die Werte x() x1 und x() v1 abgeschtzt, aus diesen die Werte x(2) x2 und x(2) v2 und so weiter. Die einfachste Methode, dies zu tun, ist das Euler-Cauchy-Verfahrenxn+1=xn +vn (1.95)vn+1=vn + F(xn)m . (1.96)Es besteht einfachdarin, die BewegungimZeitintervall n t (n +1) in(1.95) alsgleichfrmigeundin(1.96)alsgleichmigbeschleunigteBewegung(mitBeschleunigungF(xn)/m)zuapproximieren. DieserAlgorithmuskannsehrleichtmiteinemTabellenkalku-lationsprogramm durchgefhrt und die Paare (n, xn) als Punktgraph visualisiert werden. Erist allerdings nicht sehr genau. Auch fr einfache Systeme wie dem harmonischen OszillatorweichtdieNherungslsungsehrbaldmerklichvonderexaktenab,selbstwenndieDauerder Zeitschritte sehr klein gewhlt wird. Nichts ist irritierender als die Visualisierung einerSchwingung, dieimmerstrkerausschlgt, obwohl sieeigentlicheinekonstanteAmplitudehaben sollte.Eine wesentliche Verbesserung kann erzielt werden, indem zunchst (1.95) durch eine Appro-ximation ersetzt wird, die die Bewegung als gleichmig beschleunigt annimmt:xn+1= xn +vn + F(xn)2m2. (1.97)31Eine andere Mglichkeit fr denPhysikunterricht besteht natrlichdarin, Simulationsprogramme mitBlack-Box-Charakter zu verwenden. Hier soll es aber um Verfahren gehen, deren Anatomie auch im Detailverstanden und berblickt werden kann.1.4Newtonsche Mechanik 33Die Beschleunigung ist dabei die durch (1.94) angegebene Beschleunigung am Ort xn, alsoF(xn)/m. (Beachten Sie, dass es sich dabei um nichts anderes als den allgemeinen Lsungsaus-druck fr die gleichmig beschleunigte Bewegung handelt, wie er etwa durch (1.75) gegebenist, wenn g durch F(xn)/m und t durch ersetzt wird). Um (1.96) durch eine genauere Va-riante zu ersetzen, belassen wir es zwar bei der Approximation der Bewegung als gleichmigbeschleunigt, knnen aber den dabei verwendeten Wert der Beschleunigung verbessern: Daxn+1 in (1.97) bereits berechnet wurde, kann die Anfangsbeschleunigung F(xn)/m durch denMittelwert aus Anfangs- und Endbeschleunigung ersetzt werden:vn+1= vn + 12_F(xn)m+ F(xn+1)m_ . (1.98)Der durch (1.97) (1.98) denierte Algorithmus ist eine Kombination aus einer quadratischenEntwicklung mit dem so genannten Heun-Verfahren. Ebenso wie das Euler-Cauchy-Verfahrenlsst er sich mit einem Tabellenkalkulationsprogramm durchfhren und visualisieren, zeichnetsich aber durch seine numerische Zuverlssigkeit aus. Fr die meisten fr den Physikunterrichtrelevanten Systeme (wie etwa fr den harmonischen Oszillator oder die Pendelbewegung) lie-ferter Ergebnisse, dieauchnacheiner beachtlichenZahl vonIterationsschrittenvondenexakten Lsungen nicht merklich abweichen, selbst wenn nicht mikroskopisch klein gewhltwird(sieheAufgabe8). Weiterslsst er sichohnegroenAufwandauchfr komplexereSysteme, etwa in hheren Dimensionen (wie das Keplerproblem) oder fr Systeme, in denenReibungskrfte wirken (wie der freie Fall mit Luftwiderstand) oder fr Systeme mit uerenKrften (wie die erzwungene Schwingung) verallgemeinern. Auch die Berechnung und Visua-lisierung von Gren wie dem Impuls und der Energie, auf die wir gleich zu sprechen kommen,ist mit diesem Zugang mglich.1.4.6Denition von Impuls, kinetischer Energie und DrehimpulsWir haben uns bisher auf eine der Hauptaufgaben der Newtonschen Mechanik konzentriert:dasLsenderBewegungsgleichungen, umdirektenAufschlussberdenAblaufvonBewe-gungen zu erhalten. Damit ist es aber aus zwei Grnden nicht getan. Einerseits kann nichtfralleinteressantenSystemeeinegeschlosseneLsungderBewegungsgleichunggefundenwerden. Wir sind daher oft auf allgemeinere Charakterisierungen, die interessante Teilaspekteder Bewegung betreen, angewiesen. Andererseits gibt es weitere Gesichtspunkte der Mecha-nik, die wir bisher gnzlich unterschlagen haben. Beispielsweise ist vom Begri der Energienoch gar nicht die Rede gewesen.DaherwollenwirunsnunderallgemeinenAnalysevonBewegungsablufenzuwenden.Wirbeginnen mit drei Gren, die unabhngig von der konkreten Dynamik (d. h. unabhngig vonder konkreten Form der Kraft) durch die folgenden Formeln deniert werden knnen:ImpulsDer (lineare) Impuls ist fr drei- bzw. eindimensionale Bewegungen durchp = m x bzw. p = m x (1.99)34 1Klassische Mechanikdeniert. In Worten: Impuls = Masse mal Geschwindigkeit. Im dreidimensionalen Fall schrei-ben wir seine Komponenten gem der vereinbarten Konvention als px, py und pz oder einfachindurchnummerierterFormals p1, p2undp3an.Dap = m xbzw. p = m xgilt,kanndaszweite Newtonsche Axiom (1.20) bzw. (1.21) auch in der Formp =

F bzw. p = F (1.100)geschrieben werden (zeitliche nderungsrate des Impulses ist gleich Kraft, vgl. Funote 11auf Seite 11).).Kinetische EnergieDie kinetische Energie (Translationsenergie, Bewegungsenergie) ist fr drei- bzw. eindimen-sionale Bewegungen durchT=m2x2bzw. T=m2 x2(1.101)deniert.DrehimpulsDer Drehimpuls ist fr dreidimensionale Bewegungen durch

L = x p y pzz pyz pxx pzx pyy px(1.102)deniert32. Er steht immer normal auf den Impuls und daher auch auf die Geschwindigkeit:p

L = 0 undx

L = 0. (1.103)BeachtenSie, dasservomOrtdesTeilchensabhngt!DieserHinweismagberssiger-scheinen, ist es aber nicht: Bendet sich ein Teilchen zu einem Zeitpunkt gerade am Koor-dinatenursprung, so verschwindet sein Drehimpuls zu dieser Zeit, unabhngig davon, wie essich bewegt. Wird ein dazu verschobenes Koordinatensystem benutzt, um dieselbe Bewegungzubeschreiben, sokannsichhingegeneinnichtverschwindenderDrehimpulsergeben! DerDrehimpulsisteineGre,diesichaufdenUrsprungdesverwendetenKoordinatensystemsbezieht.Bei dieser Gelegenheit wollen wir auf eine Schreibweise hinweisen, die Berechnungen immerdann, wenn Vektorprodukte im Spiel sind, vereinfachen kann:32Fr das Vektorproduktsiehe (B.8) im Anhang.1.4Newtonsche Mechanik 35ExkursIndexschreibweise, Epsilon-Symbol und Einsteinsche Summenkonvention:Unter Zuhilfenahme des so genannten Epsilon-Symbols (Epsilon-Tensors)33jkl =1 ... wennjkleine gerade Permutation von 123 ist1... wennjkleine ungerade Permutation von 123 ist0 ... sonst(1.104)(soistz. B. 123 = 1, 213 = 1und112 = 0)kanndie j-teKomponentedesDrehimpulses in der FormLj=3k,l=1jklxk pl(1.105)geschrieben werden (wobei alle Vektorkomponenten nun von 1 bis 3 durchnum-meriert werden). Besonders bequem fr das konkrete Rechnen ist die EinsteinscheSummenkonvention. Sie besagt, dass in der Summe ber ein Produkt, das zwei In-dizes gleichen Namens enthlt, das Summensymbol weggelassen werden kann.Wird sie vereinbart, so kann (1.105) einfach in der FormLj= jklxk pl(1.106)angeschriebenwerden.EineDemonstrationderNtzlichkeitdieserNotationistder Beweis von (1.103). Wir schreiben das Skalarprodukt des Impulses mit demDrehimpuls zunchst alsp

L =pjLj= jkl pjxk pl(1.107)an. Nun fllt es nicht schwer, zu zeigen, dass jklunter der Vertauschung zweierIndizes sein Vorzeichen wechselt, d. h. dass das Epsilon-Symbol total antisymme-trisch ist (siehe Aufgabe 9) eine Eigenschaft, die zu merken sich lohnt, da sieoft verwendet werden kann. Andererseits bleibt das Produktpjplunter Vertau-schung der beiden Indizes j und l gleich. Werden nun in der Summe (1.107) dieIndizes j und l ineinander umbenannt, so folgt, dass diese Gre negativ zu sichselbst, also gleich 0 ist. Wenn man diese Logik einmal durchschaut hat, sieht mandas mit einem Blick!Wir werdendas Epsilon-Symbol spter vor allemimZusammenhangmit derMechanik des starren Krpers (Unterabschnitt 1.4.12, Seite 68) bentigen. Sieheden Abschnitt B.2 (Seite 290) des Anhangs fr weitere Details zum Rechnen mitdiesem Objekt.Impuls, kinetische Energie und Drehimpuls sind kinematisch denierte Gren34. Ihre beson-derenBedeutungenwerdenerstklar, wennsievordemHintergrundderwirkendenKrfte,also im Rahmen der Dynamik mechanischer Systeme, betrachtet werden.33Nheres dazu nden Sie im Abschnitt B.2 (Seite 290) des Anhangs.34Kinematik ist die Lehre der Bewegungen, soweit die wirkenden Krfte nicht beachtet werden.36 1Klassische Mechanik1.4.7Dynamik eindimensionaler BewegungenBereits bei der Analyse eindimensionaler Systeme leistet das Konzept der Energie unschtz-bare Dienste. Einerseits fhrt es zu einer mathematischen Vereinfachung des Bewegungspro-blems. Darber hinaus wird eine tiefer liegende Struktur sichtbar, die auch im dreidimensio-nalen Fall sowie in anderen Gebieten der Physik eine wichtige Rolle spielt.Beispiel: Der harmonische OszillatorBetrachten wir als Einstiegsbeispiel die Bewegungsgleichung (1.77) des harmonischen Oszil-lators. Wir haben sie bereits gelst und benutzen sie nun zur Illustration einer allgemeinerenBetrachtungsweise. Wir schreiben sie in der Formm x(t) +m2x(t) = 0 (1.108)undwendeneinenmathematischenTrickan,vondemwirSiebitten,ihnzunchsteinfachzur Kenntnis zu nehmen die Belohnung wird sogleich folgen! Der Trick besteht darin, beideSeiten der Bewegungsgleichung mit der Geschindigkeit x(t) zu multiplizieren:m x(t) x(t) +m2 x(t)x(t) = 0. (1.109)Nunflltauf, dassbeideTermealsZeitableitungengeschriebenwerdenknnen, dennausder Produktregel fr das Dierenzieren folgtddt ( x(t)2) = 2 x(t) x(t) undddt (x(t)2) = 2 x(t)x(t).Damit kann (1.109) in der Formm2ddt_ x(t)2_+ m22ddt_x(t)2_= 0 (1.110)oder, da die Vorfaktoren Konstanten sind, in der Formddt_m2 x(t)2+ m22x(t)2_= 0 (1.111)geschrieben werden. Das bedeutet: Ist x x(t) eine Lsung der Bewegungsgleichung (1.108),sohngt dieGre, diehier inder Klammmer steht, nicht vonder Zeit ab. Sieist eineErhaltungsgre. Betrachtenwirsie genauer:IhrersterSummandistdie kinetische Ener-gie(1.101)der eindimensionalenBewegung. DenzweitenSummandenbezeichnenwir alspotentielle Energie und schreiben ihn als Funktion von x in der FormV(x) =m22x2(1.112)an. (Achtung: DieseGrewirdimJargonder theoretischenPhysikmanchmal auchalsPotential bezeichnet. Genaugenommenist das Potential, auf das wir nochzusprechenkommen, die durch die Masse m dividierte potentielle Energie, also der Anteil22x2alleine).Sowohl die kinetische als auch die potentielle Energie hngen (auer fr die triviale Lsung1.4Newtonsche Mechanik 37x(t) = 0, die darin besteht, dass das Teilchen in seiner Gleichgewichtslage verweilt) von derZeit ab, aber ihre Summe, die Gesamtenergie (kurz Energie)E= T +V=m2 x2+ m22x2(1.113)ist fr jede Lsung von (1.108) zeitlich konstant. Beachten Sie die Logik, mit der diese Er-kenntnis gewonnen wurde: Die Form der potentiellen Energie wurde aus dem Ausdruck fr die(harmonische) Kraft, d. h. dem zweiten Summanden in (1.108) gewonnen. Fr andere Krfte d. h. fr andere Bewegungsgleichungen wird sie, sofern sich eine analoge Argumentationdurchfhren lsst, eine andere Form annehmen.Dieses Ergebnis fhrt sofort zu einer Vereinfachung des Bewegungsproblems. Da die EnergiefrjedeLsungderBewegungsgleichung(1.108)konstantist,knnenwir Evorgebenundjene Lsungen suchen, deren Energie gleich Eist: Wir schreiben (1.113) in die Form x2+2x2=2Em(1.114)um und interpretieren sie als Dierentialgleichung erster Ordnung fr die Funktion x x(t).Dierentialgleichungen erster Ordnung sind in der Regel leichter zu lsen als Dierentialglei-chungen zweiter Ordnung. Damit ernet sich neben dem auf Seite 29 vorgefhrten Weg,der auf demErratenzweier BasislsungenberuhteeinezweiteMglichkeit, zur Lsung(1.78) bzw. (1.84) oder (1.88) des Bewegungsproblems zu gelangen.ExkursLsen der Bewegungsgleichung unter Ausnutzung der Energierhaltung:Wir werden nun eine auf den ersten Blick vielleicht etwas skurril anmutende Methode anwenden, um die Dierentialgleichung (1.114) nach x x(t) zu lsen.Dazu schreiben wir sie der Form_dxdt_2+2x2=2Em(1.115)an (wobei Eals nichtnegative Konstante betrachtet wird), behandeln die Die-rentiale dxunddt so,alswrensiegewhnlicheVariable,lsennachdt2auf,ziehen die Wurzel und erhalten auf diese Weisedx_2Em 2x2= dt (1.116)(in der Theorie der Dierentialgleichungen heit das Trennung der Variablen).DurchdasWurzelziehenhatsicheineAufspaltunginzwei Flleergeben: Dasobere(untere)Vorzeichenentsprichteiner Bewegunginpositive(negative)x-Richtung. Nun bilden wir auf beiden Seiten das unbestimmte Integral_dx_2Em 2x2= _dt . (1.117)38 1Klassische MechanikDas Integral auf der linken Seite wird entweder durch elementare Argumentation,durch Nachschlagen in einer Integraltafel oder mit Hilfe eines Computeralgebra-Systems berechnet. Wir erhalten1asin__ m2Ex_ = (t C), (1.118)wobei asin fr die Arcus-Sinus-Funktion steht und C die hier auftretenden Inte-grationskonstanten sind. Nach x aufgelst ergibt sich mitx x(t) = 1_2Emsin((t C)) (1.119)genau die harmonische Schwingung (1.88), aufgespaltet in die beiden Bewegungs-richtungen. Ihre Amplitude, durch die Energie ausgedrckt, ist durchA =1_2Em(1.120)gegeben. Wir werden diese Beziehung weiter unten auch mit Hilfe einer anderenMethode erhalten, siehe (1.124).Die Tatsache der Energieerhaltung fhrt auch zu einem uerst ntzlichen graschen Verfah-ren,daszum(qualitativenundquantitativen)VerstndnisdesBewegungsverlaufsbeitrgt:DazudenkenwirunszunchstEalsvorgegebenundbetrachtenjeneLsungenderBewe-gungsgleichung, frdiedieEnergiedenWertEhat. FrjededieserBewegungenundfrjeden Zeitpunkt giltm2 x2+V(x) = E , (1.121)wobei V(x) durch (1.112) gegeben ist. Daraus folgt unmittelbar, dassE V(x) 0 (1.122)sein muss. Wie in Abbildung 1.1 skizziert, legen wir nun ein Ort-Energie-Diagramm an undzeichnendenGraphender potentiellenEnergieals Funktiondes Orts, alsodenGraphenderFunktion V V(x)und den Graphen der (konstanten) Funktion mit dem Wert E(er ist eine zur x-Achseparallele Gerade)ein. Mit Hilfe dieser Skizze lsst sich Einiges ber den Bewegungsverlauf sagen: Zunchst kannsichdas TeilchenaufgrundderBedingung1.122nuranjenenOrten xaufhalten,andenenV(x) E ist, d. h. an denen der Graph der potentiellen Energie unterhalb der Geraden, die denWert Edarstellt, liegt oder diese schneidet. Da V(x) gegeben durch (1.112) quadratischinxmitpositivemVorfaktorist(unddaherinderGrakdurcheinenachobenoeneund1.4Newtonsche Mechanik 39Abbildung 1.1: Grasches Verfahren zur Diskussion der Bewegung des harmonischen Oszillators: InjedemPunktderBewegungmuss(1.122)gelten.FreinengegebenenWertEderEnergieistdieBewegungdaherauf jenex-Werteeingeschrnkt, frdiederGraphderpotentiellenEnergieV(x)unterhalbderGeradenliegt, diedenWertEda