Nonlinear Model Reduction for Constrained Me- chanical Systems · Nonlinear Model Reduction for...

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Lehrstuhl für Angewandte Mechanik Fakultät für Maschinenwesen Technische Universität München Nonlinear Model Reduction for Constrained Me- chanical Systems Masterarbeit Betreuung: Christian Meyer 1 Motivation Bei der Optimierung der Dynamik von mechanischen Leichtbau-Bauteilen wird häufig auf Finite- Elemente-Simulationen zurückgegriffen. Die dabei zu lösenden Differentialgleichungen sind nicht- linear und von hoher Dimension. Gerade bei Optimierungsaufgaben, bei denen die Differentialglei- chungen mehrere Male gelöst werden müssen, ergeben sich daraus hohe Rechenzeiten, die man vermeiden möchte oder dazu führen könne, dass die Optimierung am Arbeitsplatzcomputer nicht durchgeführt werden kann. Um die Rechenzeit zu reduzieren, werden Modellreduktionsmethoden angewendet. Für geometrisch nichtlineare Modelle, die benötigt werden, wenn beim untersuchten System große Verformungen auftreten (bspw. bei MEMS oder Flügel von Windkraftanlagen und Flugzeugen) erfolgt die Modellre- duktion in zwei Schritten: Projektion und Hyperreduktion. Für einfache Modelle sind diese Redukti- onsschritte in der Literatur bekannt und können für einfache mechanische Systeme bereits angewen- det werden. In industriellen Anwendungen besteht ein System häufig aus mehreren Komponenten, die im Modell über Zwangsbedinungen (Constraints) miteinander verbunden werden. Diese Zwangs- bedingungen ändern die Struktur der Differentialgleichungen. Eine Formulierung der nichtlinearen Reduktionsmethoden für solche Systeme existiert bisher nicht. Um die nichtlinearen Reduktionsme- thoden für industrielle Anwendungen attraktiv zu machen, ist die Anwendbarkeit der Methoden auf Systeme mit Zwangsbedingungen unabdingbar. das Ziel dieser Masterarbeit ist, die Schritte Modellreduktionsschritte (Projektion und Hyperredukti- on) so umzuformulieren, dass sie auch auf Systeme mit Zwangsbedingungen angewendet werden können. Die entwickelten Methoden sollen im lehrstuhleigenen Forschungscode AMfe (geschrieben in Python) implementiert und an einigen Beispielen getestet werden. 1

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Page 1: Nonlinear Model Reduction for Constrained Me- chanical Systems · Nonlinear Model Reduction for Constrained Me-chanical Systems Masterarbeit Betreuung: Christian Meyer 1 Motivation

Lehrstuhl für Angewandte MechanikFakultät für MaschinenwesenTechnische Universität München

Nonlinear Model Reduction for Constrained Me-chanical SystemsMasterarbeit

Betreuung: Christian Meyer

1 Motivation

Bei der Optimierung der Dynamik von mechanischen Leichtbau-Bauteilen wird häufig auf Finite-Elemente-Simulationen zurückgegriffen. Die dabei zu lösenden Differentialgleichungen sind nicht-linear und von hoher Dimension. Gerade bei Optimierungsaufgaben, bei denen die Differentialglei-chungen mehrere Male gelöst werden müssen, ergeben sich daraus hohe Rechenzeiten, die manvermeiden möchte oder dazu führen könne, dass die Optimierung am Arbeitsplatzcomputer nichtdurchgeführt werden kann.

Um die Rechenzeit zu reduzieren, werden Modellreduktionsmethoden angewendet. Für geometrischnichtlineare Modelle, die benötigt werden, wenn beim untersuchten System große Verformungenauftreten (bspw. bei MEMS oder Flügel von Windkraftanlagen und Flugzeugen) erfolgt die Modellre-duktion in zwei Schritten: Projektion und Hyperreduktion. Für einfache Modelle sind diese Redukti-onsschritte in der Literatur bekannt und können für einfache mechanische Systeme bereits angewen-det werden. In industriellen Anwendungen besteht ein System häufig aus mehreren Komponenten,die im Modell über Zwangsbedinungen (Constraints) miteinander verbunden werden. Diese Zwangs-bedingungen ändern die Struktur der Differentialgleichungen. Eine Formulierung der nichtlinearenReduktionsmethoden für solche Systeme existiert bisher nicht. Um die nichtlinearen Reduktionsme-thoden für industrielle Anwendungen attraktiv zu machen, ist die Anwendbarkeit der Methoden aufSysteme mit Zwangsbedingungen unabdingbar.

das Ziel dieser Masterarbeit ist, die Schritte Modellreduktionsschritte (Projektion und Hyperredukti-on) so umzuformulieren, dass sie auch auf Systeme mit Zwangsbedingungen angewendet werdenkönnen. Die entwickelten Methoden sollen im lehrstuhleigenen Forschungscode AMfe (geschriebenin Python) implementiert und an einigen Beispielen getestet werden.

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2 Ziele

• Literaturrecherche zu nichtlinearer Modellreduktion und Modellreduktion für Systeme mit Zwangs-bedingungen

• Entwicklung von neuen bzw. Umformulierung bestehender Reduktionsmethoden, sodass sieauf Systeme mit Zwangsebedingungen angewendet werden können.

– Berechnung von Reduktionsbasen für Systeme mit Zwangsbedingungen– Berechnung von Hyperreduktionsparameter der ECSW (Hyperreduktionsmethode) für Sys-

teme mit Zwangsbedingungen

• Test der Methoden an Anwendungsbeispielen

• Beschreibung der Einsatzmöglichkeiten der Methode und Aufzeigen ihrer Grenzen

3 Arbeitsschritte

• Literaturrecherche

• Entwicklung/Umformulierung der Reduktionsmethoden auf Systeme mit Zwangsbedingungen

• Einarbeitung in Python und das FE-Programm des Lehrstuhls (AMfe)

• Implementierung der Methoden

• Aufzeigen der Grenzen der Methode durch Simulationsbeispiele

4 Anforderungen

• Gute allgemeine Programmierkenntnisse und Spaß am Programmieren (idealerweise Python,Einarbeitung möglich)

• Verständnis der Finite Elemente Methode (idealerweise auch nichtlineare FE, Einarbeitungmöglich)

• Umgang mit Linux, Git, LaTeX, Gmsh, Paraview, Python IDE, (Einarbeitung möglich)

• Selbständige Arbeitsweise

• Idealerweise Kenntnisse in der Strukturdynamik und numerische Methoden

Weitere Anforderungen/Hinweise

• Sauberer Aufbau und Dokumentation des Codes (Kommentare, konsistente Variablenbezeich-nungen)

• Saubere Dokumentation der Ergebnisse

• Präsentationen Auftakt und Abschluss

• Die Arbeit kann auf Deutsch oder Englisch verfasst werden

Beispiele für Vorlesungen als Vorbereitung (nicht obligatorisch): Structural Dynamics, NumerischeMethoden für Ingenieure, Nichtlineare Finite Elemente, Moderne Methoden der Regelungstechnik 3.Es wird keine der Vorlesungen vorausgesetzt, sie wären nur ein ideales Repertoire, um die Master-arbeit zu starten.

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5 Literatur

[3] Allgemeiner Überblick[5] Modal Derivatives[1] Hyperreduction[2] Systeme mit Zwangsbedingungen[4] Basenbewertung (könnte vielleicht hilfreich sein)

Ansprechpartner

Bei Interesse melden Sie sich bitte per E-Mail zur Vereinbarung eines Termins zu einem unverbindli-chen Gespräch. Die Arbeit kann ab 1.4.18 oder später begonnen werden.

Christian MeyerLehrstuhl für Angewandte MechanikBoltzmannstr. 1585748 GarchingBüro: MW 3131E-Mail: [email protected].: 089-289-15202

Literatur

[1] Farhat, C., Chapman, T. und Avery, P. „Structure-preserving, stability, and accuracy properties ofthe energy-conserving sampling and weighting method for the hyper reduction of nonlinear finiteelement dynamic models“. In: International Journal for Numerical Methods in Engineering 102.5(2015), S. 1077–1110.

[2] Gruber, G. E., Rutzmoser, J. B. und Rixen, D. J. „Implementation and Investigation of MultibodyConstraints in Finite Elements“. 2017.

[3] Lerch, C. und Meyer, C. „Modellordnungsreduktion für parametrische nichtlineare mechanischeSysteme mittels erweiterter simulationsfreier Basen und Hyperreduktion“. de. In: Methoden undAnwendungen der Regelungstechnik. Hrsg. von Lohmann, B. und Roppenecker, G. 1. Aufl.Bd. 2017. Aachen, Deutschland: Shaker Verlag, Juli 2017. Kap. 6, S. 67–86. ISBN: 978-3-8440-5367-8. DOI: 10.2370/9783844053678.

[4] Rutzmoser, J. B., Gruber, F. M. und Rixen, D. J. „A Comparison on Model Order ReductionTechniques for Geometrically Nonlinear Systems Based on a Modal Derivative Approach UsingSubspace Angles“. In: Proceedings of the 11th International Conference on Engineering Vibra-tion. Sep. 2015.

[5] Slaats, P., De Jongh, J. und Sauren, A. „Model reduction tools for nonlinear structural dynamics“.In: Computers & structures 54.6 (1995), S. 1155–1171.

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