Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Erwartungswert

Hier spielt es keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Varianz bekannt

Normalverteilte Stichprobenvariable

M-L-Schätzer Varianz unbekannt

Übersicht

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Erwartungstreue Schätzer

Wenn der Parameter selbst geschätzt werden soll:

Wenn ein allgemeines statistisches Problem vorliegt:

Dabei bedeutet der Index , dass der Erwartungswert bzgl. des W.maßes zum Parameter genommen wird.

Schätzung des Erwartungswertes der Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Erwartungswert bekannt

Schätzung der Varianz der Stichprobenvariablen X

Statistisches Problem gegeben durch:

Erwartungstreuer Schätzer:

Erwartungswert unbekannt

Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer

für den Erwarungswert

Hier spielt es wieder keine Rolle, ob die Varianz bekannt ist oder nicht. In jedem Fall gilt:

ist erwartungstreuerwartungstreu

Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer

für die Varianz

bekannt

ist erwartungstreuerwartungstreu

Normalverteilte StichprobenvariableErwartungstreuer Schätzer

für die Varianz

unbekannt

ist erwartungstreuerwartungstreu

Kein M-L-Schätzer!!

Übersicht

erwartungstreuerwartungstreu

erwartungstreuerwartungstreu

erwartungstreuerwartungstreu

nichtnichterwartungstreuerwartungstreu

Konfidenzintervalle

Intervallschätzung

Jeder Beobachtung wird ein Intervall C() der reellen Zahlen zugeordnet

Niveau

Dabei ist die Wahrscheinlichkeit, eine Beobachtung zu machen, für die der wahre Parameter im zugehörigen

Intervall liegt, größer oder gleich 1 -

Die Ungleichung von TschebyschevTschebyschev

Niveau

Das Niveau wird „klein“„klein“ gewählt.(Wir nehmen in unseren Beispielen in den meisten Fällen = 0.05 oder = 0.1)

Es gibt aber einen ZusammenhangZusammenhang zwischen der Breite der Konfidenzintervalle und dem Niveau:

Niveaukleiner

Intervallbreiter

Die Intervallbreite soll möglichst gering sein.

BeispielGewicht von ÄpfelnÄpfeln

Gewicht von Äpfeln der Sorte Cox-Orange aus einem bestimmten italienischen Anbaugebiet

Schätzer von

Wichtige Eigenschaft der Normalverteilung

Für unabhängige normalverteilte Zufallsvariablen X und Y

hat man

Konfidenzintervall für den Erwartungswert

Varianz bekannt

Annahme:

Konfidenzintervalle:

wobei

In unserem Beispiel:

Bei einem Niveau von = 0.05 ist 1 - /2 = 0.975. Es ergibt sich:

und

Verwendung der Tafelfür die Normalvertreilung

Tafel für die Verteilungsfunktion bei Normalverteilung

BeispielKaufhaus-Konzern

Kauf würde in Erwägung

gezogen

Kauf würde nicht in Erwägung

gezogen

572 1428

Der Zentrale Grenzwertsatz

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall I

Konfidenzintervall zum Niveau

Approximative Konfidenzintervalle im Bernoulli-Fall II

Vereinfachung für großes n(n 100)