Nukleon-Nukleon-Streuung im Medium

Nucleon-Nucleon-Scattering in the medium

Bachelor Thesis

vorgelegt von

Andreas Ruhlgeboren am 14. Juni 1987 in Alsfeld

September 2009

Betreuer:

Prof. Dr. Horst Lenske

Institut fur Theoretische Physik I

Fachbereich 07 Mathematik und Informatik,

Physik, Geographie

Justus-Liebig-Universitat Gießen

Inhaltsverzeichnis

Einleitung iii

1 Streutheorie 11.1 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Transformation in Schwerpunkt- und Relativkoordinaten . . . . . . . 41.3 Partialwellenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Radialgleichung - Asymptotisches Verhalten . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Streuphase und Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Eigenschaften der Streuphasen bei niedrigen Energien . . . . . . . . . 11

2 NN-Streuung: Analytischer Losungsansatz 132.1 Kastenpotential: Radialgleichung und Streuphase . . . . . . . . . . . 132.2 Numerische Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Numerik: Numerov-Cowell-Verfahren 213.1 Herleitung und Implementierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.2 Beispiel: Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Beispiel: 1-dim. Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 NN-Streuung: Numerischer Losungsansatz 334.1 M3Y-Wechselwirkung im Singlett-Even-Kanal . . . . . . . . . . . . . 334.2 Ubertragung der M3Y-Wechselwirkung in den freien Raum . . . . . . 374.3 Postulat einer Ubergangsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5 Zusammenfassung und Ausblick 43

Anhang 45

Abbildungsverzeichnis 51

Literaturverzeichnis 54

Danksagung 55

i

Einleitung

Die vorliegende Arbeit behandelt die Nukleon-Nukleon-Streuung. Die Motivation furdie Auswahl dieses Themas ist der grundlegende Prozess, der eine Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung darstellt. Als das Zusammenspiel der Bausteine der Materie liegtder Ansporn darin, ein umfassendes Verstandnis dieses Vorganges, aber auch derexpliziten theoretischen Behandlung und Berechnung desselbigen zu erlangen. Dasdieser Prozess eine so elementare Bedeutung hat, sieht man im Ubrigen an der mo-mentanen Forschungssituation am CERN -Institut bei Genf. Dort werden Nukleonen(Protonen) zur Kollision gebracht um ein weiteres tieferes Verstandnis der Materiezu erzielen und um die Bedingungen des Urknalls zu erforschen.

Obwohl es sich bei dem Titel der Thesis um die NN-Streuung im Medium dreht,wird dieser Fall erst im letzten Kapitel aufgegriffen. Vielmehr soll es um den

”Weg

dortin“ gehen. Dieser Weg umfasst die theoretischen Grundlagen, die mathemati-schen Verfahren und schließlich die computergestutzte Umsetzung. Ziel der gesamtenArbeit wird es sein, die Schrodinger-Gleichung im Ortsraum zu losen, was die Be-stimmung der Wellenfunktion nach sich zieht. Jedes Kapitel dient dabei als Aufbauund Vorbereitung fur das jeweilige Nachfolgende. Es wurde versucht, eine in sich kon-sistente Darstellung der Zusammenhange zu finden um alle auftauchenden Fragen zuBerechnungen von Formeln und Ahnlichem zu beantworten.

In Kapitel 1 wird die allgmeine Streutheorie ausgiebig diskutiert. Die wichtigentheoretischen Grundlagen und Zusammenhange zur Streuamplitude, Wirkungsquer-schnitt, Radialgleichung und Streuphase werden hier erarbeitet.Kapitel 2 zeigt dann ein erstes Beispiel fur die Berechnung der freien Nukleon-Nukleon-Streuung. Dies geschieht vollkommen analytisch mithilfe eines einfachen,aber doch aussagefahigen Modells (Kastenpotentiale). Fur die numerische Auswer-tung wird zusatzlich die effektive Reichweiten-Formel vorgestellt, die auch fur dieBehandlung der NN-Streuung in Kapitel 4 wichtig sein wird.Die erzielten Ergebnisse des 3. Kapitels bilden ausschließlich die Grundlage fur dasabschließende 4. Kapitel. Wie der Titel andeuten lasst, wird das nach Numerov undCowell benannte numerische Verfahren hergeleitet und vorgestellt. An verschiedenenBeispielen werden anschließend die Eigenschaften und Eigenheiten dieses Verfahrensuntersucht.Kapitel 4 nutzt das numerische Verfahren aus dem vorherigen Kapitel und wendetsich dem eigentlichem Thema der Arbeit zu, der NN-Streuung in Materie. Die Basisfur die Betrachtung stellt die so genannte M3Y-Wechselwirkung da, eine effektive in-medium Nukleon-Nukleon-Wechselwirkung. Als Ziel dieses Kapitels soll durch einenintuitiven Ansatz die freie Wechselwirkung mit der in-medium Wechselwirkung kom-

iii

iv Einleitung

biniert werden, um ein dichteabhangiges Verhalten zu simulieren.Im 5. und letzten Kapitel werden die Ergbenisse der Arbeit kurz zusammengefasstund gegebenfalls bewertet. Desweiteren wird ein kleiner Ausblick angegeben, derbeschreiben soll, inwieweit auf die Resultate dieser Arbeit aufgebaut werden kann.

1 Streutheorie

Ziel dieses Kapitels ist eine theoretische Grundlage fur die gesamte Bachelor Thesiszu schaffen. Die Vorgehensweise ist dabei sehr elementar gehalten und mag daherdem geubten (Physik-)Leser etwas zu ausfuhrlich sein. Jedoch ist es ein Anliegen desAutors alle unvermuteten und nicht direkt ersichtlichen Zwischenschritte erschopfendzu beschreiben (was im Ubrigen fur die gesamte Arbeit gilt).Von der Schrodingergleichung beginnend wird es inhaltlich einen Einblick in die

Streutheorie geben. In mehreren aufeinander aufbauenden Schritten soll das Kon-zept der Streuphasen hergeleitet und vorgestellt werden, sodass am Ende das notigeRustzeug fur das weitere Verstandnis der Arbeit vorhanden ist.(Hauptquellen dieses Kapitels: [CTDL08b], [JOA75])

1.1 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt

Zunachst einmal sind wir auf der Suche nach einem Zusammenhang zwischen demexperimentell gemessenen Wirkungsquerschnitt und der so genannten Streuamplitu-de. Dazu definieren wir uns einen stationaren Streuzustand. Stationar heißt, mankonstruiert Losungen der Schrodingergleichung mit einer bestimmten Energie E.

Φ(~r, t) = ϕ(~r)e−iEt/~ E =~2k2

2µ(1.1)

Bei ϕ(~r) handelt es sich um Eigenfunktionen der stationaren Schrodingergleichung.

Hϕ(~r) = Eϕ(~r)[∇2 + k2 − 2µ

~2V (~r)

]ϕ(~r) = 0 (1.2)

In der zweiten Zeile wurde die Eigenwertgleichung ein wenig umgeschrieben, sodassanstatt der Energie die Wellenzahl k auftritt.Wenden wir uns jetzt einer konkreten Streusituation zu (Abb. (1.1)). Ein beliebigesTeilchen soll an einem Potential mit einer endlichen Ausdehnung r0 gestreut werden.Das Potential ist so begrenzt, dass sich ein moglicher Detektor außerhalb desselbigenbefindet, was ja bei einer in der Praxis durchgefuhrten Nukleon-Nukleon-Streuungder Fall ist. Die Schrodingergleichung vereinfacht sich daher fur große Abstande rzu:

r r0 : [∇2 + k2]ϕ(~r) = 0 (1.3)

1

2 1 Streutheorie

Abbildung 1.1: Zur Definition des Streuzustands [?]

Mit dieser Vereinfachung lasst sich nun einen allgemeinen Ausdruck fur den stati-onaren Streuzustand finden. Dazu betrachten wir wieder Abb. (1.1). Das einfallendeTeilchen, reprasentiert durch eine ebene Welle in z-Richtung, wird an dem Potenti-al V (~r) gestreut. Dadurch wird im klassischen Sinne eine Kugelwelle angeregt. Dieebene Welle bewegt sich nach dem Streuvorgang weiter, sodass sich weit weg vomStreuzentrum eine Uberlagerung von ebener Welle und Kugelwelle ergibt (ahnlichdem Prinzip bei Rontgenbeugung).Weiter erfullt die ebene Welle Gl. (1.3). Bei der radialabhangigen Kugelwelle ist esnicht so offensichtlich. Betrachtet man sich aber den Radialteil des Laplace-Operatorsin Kugelkoordinaten, verifiziert man es sofort. Insgesamt kann man daher fur den ge-suchten Streuzustand folgenden Ansatz aufstellen:

Ψ(s)k

r→∞−−−→ A

(eikz + fk(ϑ, ϕ)

eikr

r

)(1.4)

Die Funktion fk(ϑ, ϕ) ist die Streuamplitude. Sie berucksichtigt als Amplitude derKugelwelle eine mogliche Abhangigkeit der Streuung von der Raumrichtung.

Wir haben also einen stationaren Streuzustand definiert, dessen WellenfunktionΨ

(s)k , die so genannte Streuwellenfunktion, Losung der Schrodingergleichung (1.2)

ist und im Unendlichen die Form von Gl. (1.4) aufweist. Um jetzt eine Beziehungzum Experiment (Wirkungsquerschnitt) herzustellen, benutzt man die Theorie desWahrscheinlichkeitsstroms. Es gilt (Herleitung z.B. [CTDL08a]):

~j(~r) =1

µRe

[ϕ∗(~r)

~i∇ϕ(~r)

](1.5)

Dabei erfullt der Wahrscheinlichkeitsstrom ahnlich zu dem Analogon in der Elek-trodynamik eine Kontinuitatsgleichung. Im Folgenden werden wir die Wahrschein-lichkeitsstrome der einlaufenden und auslaufenden Wellen berechnen. Fur die ebene

1.1 Streuamplitude und Wirkungsquerschnitt 3

Welle erhalt man:

ϕ(~r) = eikz

(~jinc)z =1

µRe

[~ie−kiz

∂

∂zeikz]

=~kµ

(1.6)

Die auslaufende Welle ist eine Kugelwelle, daher betrachtet man zunachst die Kom-ponenten des Nabla-Operators in Kugelkoordinaten.

(∇)r =∂

∂r; (∇)ϑ =

1

r

∂

∂ϑ; (∇)ϕ =

1

r sinϑ

∂

∂ϕ(1.7)

Da wir immer noch den asymptotischen Grenzfall betrachten (r → ∞), kann mandie Winkelanteile im Nabla-Operator vernachlassigen (Sie werden spater mit 1/r2

gewichtet, s. Gl. (1.26)). Der Wahrscheinlichkeitsstrom berechnet sich damit zu:

(~jout)r =1

µRe

[~if ∗k (Ω)

e−ikr

r

∂

∂r

(fk(Ω)

eikr

r

)]=

~kµ

1

r2|fk(Ω)|2 + · · · (1.8)

In der zweiten Zeile nutzt man aus, dass der zweite Term aus der Produktregel einePotenz von r mehr im Nenner hat. Es gilt daher die gleiche Argumentation wie vorherund wir konnen den Term vernachlassigen.Nun ist es moglich mithilfe des Wahrscheinlichkeitsstroms die Zahl von Teilchenanzugeben, die auf den Detektor treffen. Der Strom gibt sowas wie eine Wahrschein-lichkeit pro Flache an. Unter Berucksichtigung der Flache des Detektors (dS = r2dΩ)erhalt man somit die Teilchenzahl dn. Dabei fugt man noch eine allgemeine Konstan-te C hinzu, da die Teilchenzahl nicht direkt die Wahrscheinlichkeit ist, sondern nurproportional zur derselbigen.

dn = C(~jout)rr2dΩ = C

~kµ|fk(Ω)|2 dΩ (1.9)

φA = C|~jinc| = C~kµ

(1.10)

In der unteren Zeile wurde der einfallende Teilchenfluss berechnet. Mit diesen bei-den Informationen lasst sich jetzt der differentielle Wirkungsquerschnitt bestimmen.Letzteren erhalt man namlich, in dem man die unter einem Raumwinkel dΩ gestreu-ten Teilchen dn durch den einfallenden Teilchenstrom φA teilt [CTDL08b].

dn

φA= σ(Ω)dΩ

!= |fk(Ω)|2 dΩ (1.11)

Jetzt haben wir den gewunschten Zusammenhang gefunden. Das Betragsquadratder Streuamplitude ist gerade gleich dem differentiellen Wirkungsquerschnitt. Diesenuber alle Raumwinkel integriert, ergibt schließlich den totalen Wirkungsquerschnitt.

σ(ϑ, ϕ) = |fk(ϑ, ϕ)|2 σtot =

∫σ(ϑ, ϕ)dΩ (1.12)

4 1 Streutheorie

Eigentlich musste man bei der Herleitung einen Interferenzterm berucksichtigen, dadie auslaufende Welle eine Uberlagerung von zwei Wellentypen ist. In JOACHAIN,Quantum Collision Theory [JOA75] wird gezeigt, dass dieser Term fur große r sehrstark oszilliert und daher vernachlassigt werden kann. Man kann sich aber auchuberlegen, dass es in der Praxis zu keiner Interferenz kommt, da sich der Detektor inder Regel nicht direkt im Einflussbereich des einfallenden Teilchenstrahls befindet.

1.2 Transformation in Schwerpunkt- undRelativkoordinaten

Bisher haben wir nur die Streuung eines einzelnen Teilchens an einem Potential be-trachtet. Unser Ziel ist aber die Nukleon-Nukleon-Streuung, was ja bekanntlich dieStreuung zweier Teilchen ist. Daher transformieren wir das Problem in Schwerpunkt-und Relativkoordinaten.Die Schrodingergleichung des Zwei-Korper-Problems mit einem von der Realtivkoor-dinate abhangigen Potential lautet:

(HrA +HrB + V (~rA − ~rB)) Φ(rA, rB) = E Φ(rA, rB) (1.13)

Mit der Einfuhrung des Schwerpunktes ~R und der Relativkoordinate ~r

~R =mA~rA +mB~rB

M(1.14)

~r = ~rA − ~rB (1.15)

Gesamtmasse M = mA +mB

sowie der zugehorigen Impulse ~pR bzw. ~p

M ~R = ~pR = ~pA + ~pB (1.16)

µ(~rA − ~rB) = ~p =mB~pA −mA~pB

M(1.17)

reduzierte Masse µ =mAmB

M

erhalt man unter Berucksichtigung von

p2A

2mA

+p2B

2mB

=p2

2µ+pR

2

2M(1.18)

die Schrodingergleichung in Schwerpunkt- und Relativkoordinaten:

p→ −i~∇ :

(− ~2

2µ∇2r −

~2

2M∇2R + V (~r)

)Φ(~r, ~R) = E Φ(~r, ~R) (1.19)

1.3 Partialwellenentwicklung 5

Man hat dabei vorher den Impuls in die Ortsdarstellung transformiert. Durch denSeparationsansatz Φ(~r, ~R) = Ψ(~r)χ(~R) trennt man nun den Schwerpunktsanteil vomRelativanteil. Man erhalt zwei Gleichungen mit den jeweiligen Koordinatentypen.

− ~2

2M∇2R χ(~R) = EC.M. χ(~R) (1.20)(

− ~2

2µ∇2r + V (~r)

)Ψ(~r) = EΨ(~r) Etot = E + EC.M. (1.21)

Die erste Gleichung beschreibt die Bewegung des Schwerpunktes als ein freies Teil-chen mit der Energie EC.M.. Die Losung dieser Bewegung ist bekannt, denn es handeltsich offensichtlich um die ebene Welle. Es bleibt also nur noch die zweite Gleichungzu losen. Wir identifizieren somit unseren stationaren Streuzustand als die Wellen-funktion eines Relativteilchens in einem Potential V (~r). Dieses Ein-Korper-Problemgilt es jetzt zu losen.

Ψ(~r)!= Ψ

(s)k (~r) (1.22)

1.3 Partialwellenentwicklung

Nachdem wir im vorherigen Abschnitt das Zwei-Korper-Problem in ein Ein-Korper-Problem mit Relativteilchen uberfuhrt haben, wollen wir in diesem Abschnitt dieEigenschaften des angenommenen Potential explizit ausnutzen. Und zwar gehen wirvon einem Zentralpotential aus, was eine sinnvolle Annahme fur die Wechselwirkungin S = 0 Spin-Singlett Kanalen ist.Ziel des Abschnitts sind die so genannten Partialwellen, sodass wir die Streuwellen-funktion als Entwicklung dieser Partialwellen darstellen konnen.

H = − ~2

2µ∇2 + V (r) (1.23)

Da das Zentralpotential nur vom Abstand r abhangig ist, nutzt man die Symmetrieund schreibt den Nabla-Operator des Hamilton-Operators in Kugelkoordiaten um.

∇2 =1

r

∂2

∂r2r +

1

r2

(∂2

∂ϑ2+

1

tanϑ

∂

∂ϑ+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2

)(1.24)

Im nachsten Schritt verwendet man die Beziehung zwischen dem Drehimpulsoperatorzum Quadrat und dem Winkelanteil des Laplace-Operators

−~L2(ϑ, ϕ)/~2 =∂2

∂ϑ2+

1

tanϑ

∂

∂ϑ+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ2, (1.25)

wobei ~L = −i~(~r ×∇) gilt. Fur den Hamilton-Operator bedeutet dies:

H = − ~2

2µ

1

r

∂2

∂r2r +

~L2

2µr2+ V (r) (1.26)

6 1 Streutheorie

Der Hamilton-Operator vertauscht mit dem Drehimpulsoperator zum Quadrat([H, ~L2] = 0). D.h., beide Operatoren haben die gleichen Eigenfunktionen. DieseEigenfunktionen haben die folgende Form:

ϕ(~r) = R(r)Y ml (ϑ, ϕ) (1.27)

Im Prinzip handelt es sich um einen Produktansatz fur die Wellenfunktion, beste-hend aus einer radialabhangigen Funktion und den Kugelflachenfunktionen. DieseWellenfunktion ist auch tatsachlich Eigenfunktion zu beiden Operatoren, denn esgelten die Eigenwertgleichungen:

Hϕ = Eϕ (1.28)

~L2ϕ = l(l + 1)~2ϕ (1.29)

Fuhrt man jetzt den Produktansatz aus und separiert die Winkelkoordinaten von derRadialkoordinate, so ergeben sich mit der Separationskonstante λ zwei Gleichungen.(

− ~2

2µ

1

r

∂2

∂r2r +

~L2

2µr2+ V (r)

)R(r)Y m

l (ϑ, ϕ) = ER(r)Y ml (ϑ, ϕ)

1

Y ml

(ϑ, ϕ)~L2Y ml (ϑ, ϕ) =

2µr2

R(r)

(~2

2µ

1

r

∂2

∂r2rR(r)−R(r)(V (r)− E)

)!= λ (1.30)

Die linke Seite ist gerade die Eigenwertgleichung des Drehimpulsoperators zum Qua-drat mit den Kugelflachenfunktionen als Eigenfunktionen. Da man den Eigenwertkennt, finden wir auf diese Weise einen Ausdruck fur die Separationskonstante.

~L2Y ml (ϑ, ϕ) = λY m

l (ϑ, ϕ) (1.31)

Formt man nun die rechte Seite von Gl. (1.30) um und verwendet sofort λ = l(l+1)~2,ergibt sich die so genannte Radialgleichung.(

− ~2

2µ

1

r

∂2

∂r2r +

l(l + 1)~2

2µr2+ V (r)

)Rk,l(r) = ERk,l(r) =

~2k2

2µRk,l(r) (1.32)

Man fugt zusatzliche Indizes an die Funktion R(r) an, um Quantenzahlen anzugebenund um zu signalisieren, dass unser Problem neben der Abhangigkeit von r zusatzlichvon den Parametern l und k bestimmt wird. Durch den Separationansatz wurde dergesamte Losungsraum in mehrere Unterraume aufgeteilt, die durch l und k charak-terisiert werden.Um den Differentialoperator zu vereinfachen und um die Konstanten besser zusam-menzufassen, erreicht man mit den Substitutionen Rk,l = uk,l/r und U = 2µV/~2

folgende Darstellung der Radialgleichung:(∂2

∂r2− l(l + 1)

r2− U(r) + k2

)uk,l(r) = 0 (1.33)

1.3 Partialwellenentwicklung 7

Das uk,l(r) ist noch unbestimmt. Setzten wir alle Teillosungen wieder zusammen,erhalt man die so genannten Partialwellen.

ϕk,l,m(~r) =1

ruk,l(r)Y

ml (ϑ, ϕ) (1.34)

Sie sind allgemein Losungen eines beliebigen Zentralpotentials. Die einzelnen Parti-alwellen sind die Projektionen des Gesamtlosungsraums auf die Unterraume. Daherkonnen wir die Streuwellenfunktion in diese Funktionen entwickeln.

Ψ(s)k =

∞∑l=0

l∑m=−l

clm1

ruk,l(r)Y

ml (ϑ, ϕ) (1.35)

Fur die spateren Abschnitte ist es noch erforderlich den Spezialfall eines freienTeilchens zu betrachten. Wir nehmen also die Radialgleichung (1.33) und setzen dasPotential U(r) gleich null.

U(r) = 0 :

(∂2

∂r2+ k2 − l(l + 1)

r2

)uk,l(r) = 0 (1.36)

Mithilfe der Substitutionen uk,l := ρfl(ρ) und ρ/k = r uberfuhrt man die Radialglei-chung wieder in eine andere Darstellung. Aufgrund der Produktregel besteht dabeider Differentialoperator aus zwei Summanden. Teilt man noch durch k2 und ρ ergibtsich folgende Form der Radialgleichung.

(∂2

∂ρ2+

2

ρ

∂

∂ρ+

[1− l(l + 1)

ρ2

])fl(ρ) = 0 (1.37)

Diese Gleichung ist bekannt als die spharische Besselsche Differentialgleichung. IhreLosungen sind die spharischen Besselfunktionen (Bessel-Fkt. 1. Art jl(kr), Neumann-Fkt. nl(kr) und Hankel-Fkt. hl(kr), [AS64]).Die Hankel- und Neumann-Funktionen sind auch bekannt als irregulare Losungen,denn sie haben eine Singularitat fur kleine ρ. Das ist auch der Grund, warum sienicht als Losungen fur unser Problem in Frage kommen. Die Bessel-Funktion bleibthingegen fur ρ gegen null regular und genugt somit der fur die Wahrscheinlichkeits-interpretation notwendigen Bedingung uk,l(0) = 0.Die Partialwellen fur ein freies Teilchen, die so genannten freien Kugelwellen, sehenalso folgendermaßen aus:

ϕ(0)k,l,m =

1

ruk,lY

ml (ϑ, ϕ) =

ρ

rjl(kr)Y

ml (ϑ, ϕ) (1.38)

Mit der richtigen Normierung bilden diese Funktionen eine Basis |jl(kr)Y ml (ϑ, ϕ)〉

des Hilbertraums zu H0, des Hamilton-Operators ohne Potential V . Da die ebenen

8 1 Streutheorie

Wellen ei~k~r ebenfalls die Schrodingergleichung mit H0 losen, kann man diese in die

Basis der freien Kugelwellen entwickeln [CTDL08b].

ei~k~r = eikz =

∞∑l=0

il√

4π(2l + 1)jl(kr)Y0l (ϑ, ϕ) (1.39)

Wie bei der Definition des Streuzustandes, hat man hier wieder die z-Richtung alsexplizite Ausbreitungsrichtung gewahlt. Auf diese Entwicklung der ebenen Welle wirdim letzten Abschnitt des Kapitels zuruckgegriffen.

1.4 Radialgleichung - Asymptotisches Verhalten

Wir wollen in diesem Abschnitt nochmal ein genaues Augenmerk auf das asymptoti-sche Verhalten der Losungsfunktionen werfen. Die Radialgleichung in ihrer Form vonGl. (1.33) vereinfacht sich bei der Annahme eines begrenzten Potentials fur große rzu Gl. (1.36), der Radialgleichung eines freien Teilchen.Somit liegen die gleichen Losungsfunktionen wie im vorherigen Abschnitt vor. DerUnterschied ist, dass wir uns weit weg vom Ursprung r = 0 befinden und so auch dieirregularen Losungen berucksichtigt werden konnen. Die Radialgleichung wird dem-nach im asymptotischen Grenzfall durch eine Linearkombination aus spharischenBessel- bzw. Neumann-Funktionen gelost.

U(r)r→∞−−−→ 0 ⇒ uk,l = kr (Bl jl(kr) + Cl nl(kr)) (1.40)

Wenn man sich das Verhalten der spharischen Funktionen in diesem Grenzfall be-trachtet, kommt man zu folgendem Ergebnis. Dabei ist die Herleitung dieser Formelnrelativ einfach [CTDL08b].

jl(x)r→∞−−−→ 1

xsin(x− lπ/2) (1.41)

nl(x)r→∞−−−→ −1

xcos(x− lπ/2) (1.42)

Unsere Losung bekommt demnach die Form:

uk,l(r)r→∞−−−→ Bl sin(kr − lπ/2)− Cl cos(kr − lπ/2) (1.43)

Uber die trigonometrische Transformation

tan δl = −ClBl

und Al =√B2l + C2

l (1.44)

bringt man die Losung auf eine Winkelfunktion mit einer Phasenverschiebung δl.

uk,l(r)r→∞−−−→ Al sin(kr − π/2 + δl) (1.45)

1.5 Streuphase und Wirkungsquerschnitt 9

Fugt man wieder alle Teillosungen zusammen, ergibt sich fur das asymptotischeVerhalten der Partialwelle folgender Ausdruck:

ϕk,l,m(~r)r→∞−−−→ 1

rAlei(kr−π/2+δl) − e−i(kr−π/2+δl)

2iY ml (ϑ, ϕ) (1.46)

Hierbei wurde der Sinus mithilfe der Exponentialfunktion ausgedruckt.

Im vorletzten Schritt wurde eine neue Große eingefuhrt. Man bezeichnet sie als dieStreuphase δl. Durch die Multiplikation mit dem globalen Phasenfaktor e−δl (spieltphysikalisch keine Rolle) soll die physikalische Bedeutung dieser Streuphase geklartwerden.

ϕk,l,m(~r)r→∞−−−→ Al

eikre−iπ/2e−2δl − e−ikre−iπ/2

2irY ml (ϑ, ϕ) (1.47)

Wenn man sich den Ausdruck betrachtet, sieht man, dass es sich es um eine Uberlage-rung von einer einlaufenden und auslaufenden Kugellwelle handelt. Die einlaufendeWelle hangt dabei im Gegensatz zur auslaufenden nicht von der Streuphase ab. Phy-sikalisch interpretiert man diese Tatsache, dass die einlaufende Welle durch das vor-liegende Potential modifiziert wird. Dieser Veranderung wird durch die Streuphaseδl Ausdruck verliehen. Nach der Wechselwirkung mit dem Potential ensteht also einephasenverschobene auslaufende Welle.

1.5 Streuphase und Wirkungsquerschnitt

In diesem Abschnitt soll nun ein Zusammenhang zwischen der im letzten Abschnitteingefuhrten Streuphase δl und dem Wirkungsquerschnitt hergeleitet werden, umwieder ein Bezug zum Experiment zu haben.Wir betrachten wieder unseren stationaren Streuzustand (1.4) und setzen die Ent-wicklung (1.39) der ebenen Welle ein. Dabei wurde das asymptotische Verhalten derBessel-Funktionen schon berucksichtigt.

Ψ(s)k

r→∞−−−→A(k)

(∞∑l=0

√4π(2l + 1)il

1

krsin(kr − lπ/2) Y 0

l + fk(ϑ, ϕ)eikr

r

)

=A(k)

(∞∑l=0

l∑m=−l

√4π(2l + 1)il

ei(kr−lπ/2) − e−i(kr−lπ/2)

2ikrY ml (ϑ, ϕ)δm,0 + fk(ϑ, ϕ)

eikr

r

)(1.48)

Eine andere Form der Streuwellenfunktion erlangt man durch die allgemeine Darstel-lung mit Partialwellen (1.35). Wir nutzen dabei den asymptotischen Grenzfall fur diePartialwellen vom vorherigen Abschnitt (1.46).

Ψ(s)k

r→∞−−−→∞∑l=0

l∑m=−l

clmAl(k)ei(kr−lπ/2+δl) − e−i(kr−lπ/2+δl)

2irY ml (ϑ, ϕ) (1.49)

10 1 Streutheorie

Wir haben jetzt also zwei verschiedene Darstellungen der Streuwellenfunktion. Ubereinen Koeffizientenvergleich wird zunachst der unbekannte Faktor clm bestimmt. DerVergleich erfolgt an dem Term −e−i(kr−lπ/2)Y m

l (ϑ, ϕ) .

(1)A(k)

(∞∑l=0

l∑m=−l

√4π(2l + 1)il

ei(kr−lπ/2) − e−i(kr−lπ/2)

2ikrY ml (ϑ, ϕ)δm,0 + fk(ϑ, ϕ)

eikr

r

)

(2)∞∑l=0

l∑m=−l

clm Al(k)ei(kr−lπ/2+δl) − e−i(kr−lπ/2+δl)

2irY ml (ϑ, ϕ) (1.50)

Alles Aufsammeln der Koeffizienten (blau Terme) liefert:

−clmAl(k)e−iδl1

2ir= −A(k)

√4π(2l + 1)il

1

2ikrδm,0

clm =A(k)

kAl(k)

√4π(2l + 1)ileiδlδm,0 (1.51)

Diese neue Information eingesetzt lasst eine Unbekannte ubrig, und zwar die Streu-amplitude fk(ϑ, ϕ). Ein letzter Koeffizientenvergleich soll Aufschluss daruber geben.Der Vergleichsterm ist eikr/r.

(1)A(k)

(∞∑l=0

√4π(2l + 1)il

ei(kr−lπ/2) − e−i(kr−lπ/2)

2ikrY 0l (ϑ, ϕ) + fk(ϑ, ϕ)

eikr

r

)

(2)A(k)

(1

k

∞∑l=0

√4π(2l + 1)il

ei(kr−lπ/2+2δl) − e−i(kr−lπ/2)

2irY 0l (ϑ)

)(1.52)

Aufsammeln und Umformen ergibt fur die Streuamplitude fk(ϑ, ϕ):

∞∑l=0

1

2ik

√4π(2l + 1)ile2iδle−lπ/2Y 0

l (ϑ) =∞∑l=0

1

2ik

√4π(2l + 1)ile−lπ/2Y 0

l (ϑ) + fk(ϑ, ϕ)

fk(ϑ) =∞∑l=0

1

2ik

√4π(2l + 1)Y 0

l (ϑ)(e2iδl − 1) (1.53)

Zu guter Letzt bringt der Zusammenhang e2iδl−1 = 2ieiδl sin δl eine endgultige Form.

fk(ϑ) =1

k

∞∑l=0

√4π(2l + 1)Y 0

l (ϑ)eiδl sin δl (1.54)

Der Schritt von Streuphase zu Wirkungsquerschnitt ist jetzt fast vollendet, muss mandoch nur den Zusammenhang des ersten Abschnitts (1.12) ausnutzen.

σ(ϑ) = |fk(ϑ)|2 =1

k2

∣∣∣∣∣∞∑l=0

√4π(2l + 1)eiδl sin δlY

0l (ϑ)

∣∣∣∣∣2

(1.55)

1.6 Eigenschaften der Streuphasen bei niedrigen Energien 11

Integration uber alle Raumwinkel liefert schließlich den totalen Wirkungsquerschnitt.Hier kommt vor allem die Orthogonalitat der Kugelflachenfunktionen zum Tragen,die in der Formel wie eine Delta-Funktion wirken.

σtot =

∫dΩ σ(ϑ) =

1

k2

∑l,l′

4π√

(2l + 1)(2l′ + 1)ei(δl−δl) sin δl sin δ′l

∫dΩ Y 0∗

l′ (ϑ)Y 0l (ϑ)

σtot =4π

k2

∞∑l=0

(2l + 1) sin2 δl (1.56)

Gl. (1.56) zeigt nun den Wirkungsquerschnitt in Abhangigkeit der Streuphase δl, denzu Beginn gewunschten Zusammenhang. Es fallt auf, dass der Wirkungsquerschnittunabhangig vom Azimutalwinkel ϕ ist. Das ergibt physikalisch Sinn, da die Aus-gangssituation eine Symmetrie um die einfallende Achse aufweist.

1.6 Eigenschaften der Streuphasen bei niedrigenEnergien

Um dieses Kalkul der Streuphasen in der Praxis zu nutzen, gibt es verschiedeneMoglichkeiten. Ausgehend von einem Potential V (r) kann man durch Losen der Ra-dialgleichung die zu jedem Wert von l gehorenden Streuphasen berechnen und somitden Wirkungsquerschnitt darstellen. Die Radialgleichung muss dabei fur jeden l-Wertseparat gelost werden.Oft ist das Potential unbekannt. Dann geht man den umgekehrten Weg. Man ver-sucht einen Satz von Streuphasen zu finden, die den experimentell gemessen Wir-kungsquerschnitt fur eine bestimmte Energie k wiedergeben. Anschließend machtman einen Ansatz fur ein Potential, das diese Streuphasen produziert. Naturlichsollte der Satz Streuphasen endlich sein (Es gilt eine obere Schranke fur endlichePotentiale [CTDL08b]).Das geschickte Wahlen der Streuphasen wird u.a. realisiert, indem man die Winkel-abhangigkeit des Wirkungsquerschnitts genauer unter die Lupe nimmt. Gibt es z.B.keine ϑ-Abhangigkeit, so liegt ein isotroper Wirkungsquerschnitt vor und es gibtnur eine Streuphase mit dem Wert l = 0. Zeigen die experimentellen Ergebnisseϑ-Abhangigkeiten, weiß man, dass es zusatzliche Werte von l 6= 0 gibt, die zum Wir-kungsquerschnitt effektiv beitragen.Eine weitere wichtige Hilfestellung fur solche Uberlegungen sind die experimen-tell messbaren Großen Streulange a und effektive Reichwete r0. Uber diese konnenRuckschlusse auf die Streuphase und damit auch auf das Potential gezogen werden.Zunachst werden wir beide Großen diskutieren.

Betrachtet man den totalen Wirkungsquerschnitt (1.56) fur l = 0

σtot =4π

k2sin2 δ0 , (1.57)

12 1 Streutheorie

stellt man fest, dass der Quotient aus Sinus und Wellenzahl k fur k → 0 endlich seinmuss. Denn ein unendlich großer Wirkungsquerschnitt fur kleine Energien wurde of-fensichtlich physikalisch keinen Sinn machen. Das bedeutet die Streuphase δ0 mussahnlich gegen null laufen wie k.Wenn man diesen Quotienten zum Quadrat weiter umformt und zusatzlich eine Kon-stante a einfuhrt, kommt man zu folgendem Ergebnis:

sin2 δ0k2

=tan2 δ0

k2(1 + tan2 δ0)

“endlich“−−−−−−−→ tan δ0k

k→0−−→ := −a

⇔ k cotg(δ0)k→0−−→ := −1

a(1.58)

Die neue Konstante bezeichnet man als die Streulange a. Experimentell kann mansie direkt aus dem Wirkungsquerschnitt fur kleine Energien ermitteln, wie an denFormeln zu sehen ist.Der in Gl. (1.58) vorkommende Kotangens soll im Weiteren genauer untersucht wer-den. Deshalb leiten wir uns eine Naherung her, indem wir den Tangens bis zumzweiten Term in die Taylorreihe entwickeln. Anschließend wendet man nochmal dieTaylorentwicklung fur 1/(1 + x) an.

cotg(x) =1

tanx≈ 1

x+ 1/3x3=

1

x

1

1 + 1/3x2≈ 1

x

(1− 1

3x2

)(1.59)

Da der Wirkungsquerschnitt endlich sein muss, verhalt sich die Streuphase in irgend-einer Form proportional zur Energie (δ0 ≈ α ·k). Diese Argumentation benotigt manum den folgenden Schritt begrunden zu konnen.

k cotg(δ0) =k

αk(1− 1

3α2k2) =

1

α− 1

3αk2 (1.60)

Wenn man jetzt die bekannte Streulange a und eine weitere Große in diese Formeleinbindet, haben wir eine Gleichung motiviert, die als effektive Reichweitenformelbekannt ist [PB75]. Sie gilt nur fur kleine k.

k cotg(δ0) = −1

a+

1

2r0k

2 (1.61)

Bei der neu eingefuhrten Große handelt es sich um die effektive Reichweite r0. Wiebereits erwahnt, lasst sich auch diese Große experimentell bestimmen. Der theoreti-sche Hintergrund soll hier im Detail nicht behandelt werden. In Preston und Badhuri,Structure of the Nucleus [PB75] wird eine Art der Herleitung vorgestellt.Eine andere Moglichkeit, die hier nur kurz erwahnt werden soll, gelingt mit demMatrixelement M(k)

M(k) = 4π

∫ ∞0

drr2j0(k, r)V (r)χ0(k, r) , (1.62)

und der Gleichung

tan δ0k

= − 2µ

4π~2M(k) . (1.63)

2 NN-Streuung:Analytischer Losungsansatz

Nachdem die Grundlagen im vorherigen Kapitel geschaffen wurden, soll nun einkonkretes Problem behandelt werden. Ausgehend von einem Potentialansatz wirdzunachst mithilfe der Radialgleichung die Streuphase zu dem Wert l = 0 berechnet.Mit der in Kapitel 1 behandelten effektiven Reichweiten-Formel werden anschließendRuckschlusse auf das Potential gezogen. Dadurch legt man sich auf die freie Nukleon-Nukleon-Streung fest, denn die Parameter werden bei ebendieser Art von Streuunggemessen. Die Behandlung in der Kernmaterie erfolgt in Kapitel 4.Diese Untersuchungen benutzen ein schematisches Modell, das trotz seiner Vereinfa-chungen die wesentlichen Aspekte der niederenergetischen Nukleon-Nukleon-Streuungwiedergibt. Die Rechnungen sollen vorangig zur analytischen Uberprufung der spaterenrealistischen Ergebnisse dienen. Außerdem werden weitere wichtige Konzepte zurAnalyse von Streudaten eingefuhrt.

2.1 Kastenpotential: Radialgleichung und Streuphase

Unser Potential fur die Nukleon-Nukleon-Streuung soll durch Kastenpotentiale reali-siert werden. Die Motivation fur diesen Ansatz ist in Abb. (2.1) illustriert (Naturlichkann man einen Ansatz auch immer so wahlen, in dem man “gut rat“).Aus theoretischen Berechnungen hat man herausgefunden, dass das Nukleon-Nukleon-Potential aus einem repulsiven Anteil fur kleine Entfernungen und einem attraktivenAnteil fur mittlere Entfernungen besteht, ehe es fur sehr große Abstande r relativschnell gegen null abfallt (vgl. dazu auch den Ansatz aus Kapitel 4).Man macht sozusagen die 1. Naherung und “fittet” an die Kurve ein Kastenpotential.Die freien Parameter V1 und V2 gilt es nachher zu bestimmen. Die raumliche Aus-dehnung und Starke des Potentials kennt man aufgrund der NN-Streudaten relativgut. Die Reichweiten r1 und r2 entsprechen in guter Naherung der Ausdehnung derNukleonen, die aus der Elektronenstreuung ermittelt wurde. Sie konnen daher alsbekannt vorausgesetzt werden.

Wir starten mit der Radialgleichung (1.33) und setzen, da wir s-Wellen betrachtenwollen, sofort l = 0.

l = 0 :

(∂2

∂r2+

2µ

~2(E − V (r))

)uk(r) = 0 (2.1)

13

14 2 NN-Streuung: Analytischer Losungsansatz

Abbildung 2.1: Kastenpontial als Naherung fur NN-Potential (roter Graph) [?]

Nun geht man so vor, wie man es vielleicht in der Vorlesung bei Berechnungen vonKastenpotentialen gelernt hat. Wir unterteilen das Potential in 3 Bereiche und losenzunachst separat die Radialgleichung fur jeden Bereich.Da man eine Energie vorausgesetzt hat, die positiv und kleiner als V1 ist, kann man

sich im Bereich I ein k1 definieren und die in dieser Form sehr kompakte Dgl. 2. Ord.mit einer Linearkombination aus Exponentialfunktionen losen.

I :

(∂2

∂r2− 2µ

~2(V1 − E)

)uk,l(r) = 0√

2µ

~2(V1 − E) := k1

⇒ uI(r) = αek1r + βe−k1r (2.2)

Nutzt man noch die Bedingung, dass die Wellenfunktion am Ursprung verschwindenmuss, erhalten wir fur die Losung im Bereich I:

uI(r)r→∞−−−→ 0 ⇒ α = −β

uI(r) = AI sinh(r) (2.3)

Ebenso verfahrt man fur den zweiten Bereich.

II :

(∂2

∂r2+

2µ

~2(E + V2)

)uk,l(r) = 0√

2µ

~2(E + V2) := k2

⇒ uII(r) = AII sin(k2r) +BII cos(k2r) (2.4)

2.1 Kastenpotential: Radialgleichung und Streuphase 15

Bei dem dritten Bereich verwendet man das Wissen aus dem 1. Kapitel und nimmt alsLosungsansatz die asymptotische Form der Wellenfunktion (1.45), denn wir befindenuns außerhalb des Potentials.

III :

(∂2

∂r2+

2µ

~2E

)uk,l(r) = 0√

2µ

~2E := k

⇒ uIII(r) = AIII sin(kr − lπ/2 + δl)!= sin(kr + δ0) (2.5)

Der Koeffizient AIII wird als bekannt vorausgesetzt, da wir sozusagen die Welle alseinfallenden Teilchenstrahl kennen. Deshalb gibt man fur diesen Wert 1 vor.Im Folgenden werden nun alle Teillosungen zusammengefuhrt. Das geschieht uberdie Anschlussbedingungen, an den “Schnittstellen” mussen namlich die Wellenfunk-tionen selbst und deren Ableitungen gleich sein. Am geschicktesten verwertet mandiese Bedingungen in der Form der “logarithmischen Ableitungen”.

u′I(r1) = u′II(r1)uI(r1) = uII(r1)

→ u′I

uI(r1) =

u′IIuII

(r1) (2.6)

Die explizite Rechnung befindet sich im Anhang (6). Als Ergebnis fur die Streuphaseδ0 ergibt sich:

(6.2)⇒ δ0 = arccot

[k2(cos(k2r2)− γ sin(k2r2))

k(sin(k2r2) + γ cos(k2r2))

]− kr2 = δ0(V1, V2, E, r1, r2) (2.7)

Die Streuphase δ0 ist jetzt als Funktion von den Parametern V1, V2, E, r1 und r2analytisch vollstandig bestimmt. Um Aussagen uber die Hohe der Potentialstufen zutreffen, ist eine numerische Betrachtung erforderlich.

16 2 NN-Streuung: Analytischer Losungsansatz

2.2 Numerische Auswertung

Die im voherigen Abschnitt hergleitete effektive Reichweiten-Formel wird nun her-angezogen um Aussagen uber das Potential treffen zu konnen. Bevor dies geschieht,wollen wir kurz die Streuphase graphisch behandeln. Dazu dient Abb. (2.2).

Abbildung 2.2: Streuphase δ abhangig von k[/fm] bzw. V1[MeV ]

Das Bild auf der linken Seite zeigt deutlich, dass beide Werte, sowohl k als auch δ(k)gegen null gehen fur k → 0. Es gibt daher einen Grenzwert a, die Streulange.Auf der rechten Seite ist dargestellt, wie die Streuphase fur große Werte von V1 gegeneinen festen Werte geht. Anschaulich scheint dieser Effekt klar zu sein. Die Streupha-se steht fur die Wechselwirkung mit dem Potential. Das Potential ist jetzt so stark,dass es gar nicht mehr zur Wechselwirkung kommt, das einfallende Relativteilchen

”prallt“ einfach nur ab.

Bei Ausfuhrung der Plots traten oft Sprunge um ±π auf, was an den RiemannschenBlattern liegt (Mehrdeutigkeit der Arcustangens-Funktion). Addition um π an denSprungstellen behob diese Unstetigkeit.

Die Potentialdiskussion wird gestartet, indem wir Gl. (1.61) nehmen und fur dieStreuphase δ0 den aus dem ersten Abschnitt gewonnenen Ausdruck (2.7) einsetzen.Die auf der linken Gleichungsseite von V1 und V2 abhangige Funktion f muss naturlichidentisch zur rechten Seite sein. Auf dieser Seite konnen wir die experimentellen Wer-te von Streulange und effektive Reichweite einsetzen und die Parameter V1 und V2

so anpassen, dass die Gleichung erfullt wird.

k cotg(δ0(V1, V2, E)) = f(V1, V2, k)!= −1

a+

1

2r0k

2 = g(k) (2.8)

Die Losungsidee besteht im Folgenden darin, zwei Werte von k, moglichst klein undnahe beieinander, vorzugeben und somit ein Gleichungssystem von 2 Gleichungen zu

2.2 Numerische Auswertung 17

erzeugen.

k1 : f1(V1, V2, k1) = g1(k1) = α1

k2 : f2(V1, V2, k2) = g2(k2) = α2 (2.9)

Wir haben ein losbares Gleichungssystem erhalten, denn es existieren genauso vie-le Gleichungen wie Unbekannte. Da wir die Neutron-Proton- und Proton-Proton-Streuung betrachten wollen, gibt man die reduzierte Masse µ unter Annahme vongleicher Massen Proton und Neutron an. Uber die Radien weiß man, wie schon ge-sagt, relativ gut Bescheid (halbes bis ganzes Fermi). Es fehlt noch die Angabe derexperimentellen Werte.

Neutron-Proton-Streuung: a ∼−23.7 fm

r0 ∼ 2.71 fm

Proton-Proton-Streuung: a ∼−17.7 fm

r0 ∼ 2.71 fm (2.10)

Die numerische Rechnung wurde mit Mathematica durchgefuhrt. Als Losungsbefehlwurde der FindRoot-Befehl mit der Angabe von zwei Startwerten verwendet. Dasgesamte Mathematica-Skript befindet sich im Anhang (6).Die explizite Auswertung gestaltete sich jedoch nicht ganz so leicht, da Singularitatenauftraten und man ein gewisses

”Handchen“ fur die Startwerte benotigte. Was das

bedeutet, soll an einem Plot (2.3) erklart werden.

Abbildung 2.3: Plot von f1(V1, V2, k2)− α1(k1) bei Neutron-Proton-Streuung

Man sieht hier die Funktion f1(V1, V2, k1)−α1(k1) bei der Neutron-Proton-Streuunggeplottet. Die Losung des Gleichungssystem sollte bei einem Nulldurchgang liegen.

18 2 NN-Streuung: Analytischer Losungsansatz

V1 und V2 sind in diesem 3D-Plot frei laufende Parameter. Wie deutlich zu erkennenist, befindet sich eine in V1-Richtung langlich gezogene Singularitat zwischen den V2-Werten 200MeV und 400MeV . Wahlt man Startwerte von V2, die

”rechts“ von der

Singularitat liegen (V2 > 400MeV ), so landet der Losungsalgorithmus unabhangigvon V2 immer in der Singularitat und konvergiert somit nicht. Die Losung fur diezweite Potentialstufe muss demnach immer kleiner 400MeV sein.Trotz der Berucksichtigung des Startwertes fur V2 konvergierte der Algorithmus nichtso wie erwunscht, sondern brach nach einer festgelegten maximalen Anzahl von Ite-rationen ab. Erhohung der Iterationszahl fuhrten auch nicht zur Konvergenz.Die Werte fur die Potentialstufen nach einem solchen Abbruch, erfullten allerdingsrelativ gut das aufgestellte Gleichungssystem. Abb. (2.4) soll das belegen.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

Str

euph

ase

k [/fm]

Streuphase bei V1=97639.00, V2=348.24

k cotg(δ)effektive Reichweiten Formel, (N-P)

Abbildung 2.4: k · cotg(δ(k)) und effektive Reichweiten-Formel (N-P)

Insgesamt ließen sich daher schon sinnvolle Werte fur die Potentiale finden. Was mansicher sagen konnte, war die obere Begrenzung fur die V2-Potentialstufe. Die letztend-lichen Werte sind trotz ihrer akzeptablen Genauigkeit als Orientierung einzuordnen.Unter diesem Gesichtspunkt sind die Ergebnisse der numerischen Auswertung dieses

2.2 Numerische Auswertung 19

Parameterfits zu bewerten.

Neutron-Proton-Streuung: V1 = 97639 MeV

V2 = 348.24 MeV

Proton-Proton-Streuung: V1 = 97518 MeV

V2 = 346.25 MeV (2.11)

3 Numerik:Numerov-Cowell-Verfahren

Als vorbereitenden Schritt fur das nachste Kapitel, soll hier ein numerisches Verfah-ren hergeleitet und vorgestellt werden. Mit diesem Verfahren wird dann die Radial-gleichung aus Kapitel 1 numerisch gelost und damit auch die Streuphase berechnet.

3.1 Herleitung und Implementierung

Das numerische Verfahren, benannt nach Numerov und Cowell [HW91], nutzt das sogenannte 3-Punkte-Verfahren, dessen Herleitung im Folgenden prasentiert wird.Zu Beginn definieren wir die zu losende Dgl. um die Notation festzulegen.

f ′′(x) + w(x)f(x) = 0 (3.1)

Unsere Radialgleichung ist naturlich vom selben Typ.Man verwendet jetzt die allgemeine Taylorentwicklung

f(x) = f(x0) + f ′(x0)(x− x0) +1

2f ′′(x0)(x− x0)

2 + · · ·+ f (n)(x0)(x− x0)n

n!(3.2)

und uberfuhrt sie mit x = xn + h und der Entwicklung in xn = x0 in eine etwasandere Darstellung

f(xn + h) = f(xn) + f ′(xn)h+1

2f ′′(xn)h2 + · · ·+ f (n)(xn)hn

n!. (3.3)

Die Punkte xn sind feste Punkte. Damit wurde das Problem diskretisiert. Man wirdspater auch sehen, dass h gerade die Schrittweite zwischen den Punkten xn und xn+1

ist. Zur besseren Ubersicht fuhrt man die Abkurzungen fn := f(xn) und fn+1 :=f(xn + h) ein und schreibt damit die Taylorentwicklung bis zum 3. Term auf.

fn+1 = fn + f ′nh+1

2f ′′nh

2 + · · ·

fn−1 = fn − f ′nh+1

2f ′′nh

2 + · · · (3.4)

Die zweite Zeile ist entstanden, in dem man bei der Uberfuhrung in Gl. (3.3) einfachx = xn − h benutzt. Addition liefert die 3-Punkte-Regel.

fn+1 + fn−1 ≈ 2fn + f ′′nh2 !

= 2fn − fnwn(x)h2

⇔ fn+1 = 2fn − fn−1 − wn(x)fnh2 (3.5)

21

22 3 Numerik: Numerov-Cowell-Verfahren

Die ungeraden Terme fallen aufgrund des unterschiedlichen Vorzeichens raus. Imletzten Schritt hat man noch die Dgl.-Def. (3.1) ausgenutzt.Diese Rekursionsformel besitzt schon eine relativ gute Genauigkeit. Wir wollen jedochsozusagen eine Stufe Genauigkeit mehr erreichen. Dazu leiten wir die 3-Punkte-Regel(3.5) zweimal ab, um einen Ausdruck fur die 4. Ableitung zu erhalten.

f ′′n+1 = 2f ′′n − f ′′n−1 + f (4)n h2

f (4)n =

1

h2(f ′′n+1 + f ′′n−1 − 2f ′′n) (3.6)

Nun setzten wir an der Stelle an, bei der die beiden Taylorentwicklungen addiertwurden und gehen diesmal bis zum 5. Term. Die ungeraden Terme fallen wieder rausund man hat eine Rekursionsformel, die bis zur 4. Ableitung geht. Wird diese 4.Ableitung durch den Ausdruck in Gl. (3.6) ersetzt, erhalt man

fn+1 = 2fn − fn−1 + f ′′nh2 +

h4

12

f ′′n+1 + f ′′n−1 − 2f ′′nh2

(3.7)

und wieder mit Ausnutzung von Gl. (3.1)

fn+1 = 2fn − fn−1 − wnfnh2 +h2

12(−wn+1fn+1 − wn−1fn−1 + 2wnfn) . (3.8)

Die endgultige Rekursionsformel erreicht man noch, indem nach fn+1 umgeformtwird.

fn+1 =

(12

12 + wn+1h2

)(2fn − fn−1 − h2

(wnfn +

wn−1fn−1 − 2wnfn12

))(3.9)

Die obige Formel ist im Prinzip das Numerov-Cowell-Verfahren. Mit der richtigenImplementierung lassen sich jetzt am PC die Funktionswerte der Losungsfunktionvon Gl. (3.1) iterativ berechnen. Das soll im nachsten Absatz beschrieben werden.

Die Implementierung erfolgte in der Programmiersprache C++. Das Kernstuckdes Programms ist eine For-Schleife, in der die Rekursionsformel iterativ umgesetztwurde. Neben diesem Haupteil besteht das Programm aus einem Initialisierungsblock(Festlegung der Variablen, Konstanten, etc.) und einem Ausgabeblock, in dem dieFunktionswerte in Textdateien gespeichert und auch direkt von gnuplot gezeichnetwerden.Im Anhang ist der zugehorige Programmcode dargestellt (6).

3.2 Beispiel: Sinus und Cosinus 23

3.2 Beispiel: Sinus und Cosinus

Bevor das im letzten Abschnitt vorgestellte Verfahren fur ein Problem der Nukleon-Nukleon-Streuung verwendet wird, soll zunachst anhand von Problemen mit analy-tisch bekannten Losungen das implementierte Programm auf seine Richtigkeit getes-tet werden. Dazu gehort auch die Untersuchung von extremen Fallen (Variation derParameter) um ein “Gefuhl” fur das Programm zu bekommen und um herauszufin-den, unter welchen Bedingungen die Berechnung exakt bleibt.

Wir beginnen mit dem einfachsten Fall fur w(x).

w(x) = k2 = const (3.10)

Entscheidend ist auch, dass w positiv ist. Es liegt also die bekannte harmonischeDifferentialgleichung vor, mit einer Linearkombination aus Sinus und Cosinus alsLosung.

f(x) = a sin(kx) + b cos(kx) (3.11)

Der Fall w negativ wurde auch behandelt, soll hier aber nicht diskutiert werden. Erfuhrt entsprechend zu den Exponentialfunktionen.Setzt man diese Vorgaben fur w(x) in den Programmcode ein, erhalt man die har-monischen Funktionen mit einer Phasenverschiebung zueinander (tan(δ) = b/a) undeinem willkurlichen Amplitudenfaktor A. Beide Großen sind abhangig von den An-fangswerten der ersten beiden Funktionswerten. Die Abhangigkeiten dieser beidennumerisch bedingten Großen von den Details der Rechnung und den Parametern desVerfahrens, sollen im Folgenden untersucht werden.

Ehe jedoch diese Ergebnisse prasentiert werden, folgt die Erwahnung eines weite-ren Programmblocks, der besonders fur die Nukleon-Nukleon-Streuung relevant ist.Es handelt sich im Prinzip um einen Vergleich zwischen numerischer und analytischbekannter Losung. Das Programm nimmt die letzten zwei numerisch berechnetenFunktionswerte und versucht daran die analytische Funktion zu fitten. In diesemspeziellen Fall bedeutet das die Bestimmung der Koeffizienten aus Gl. (3.11), wasauf die Losung eines 2× 2-Gleichungssystem hinauslauft. Die Umsetzung mit expli-ziten Code findet sich wieder im Anhang 6.Dieses “Matching” ist fur die spatere Bestimmung der Streuphasen wichtig. Wiein Kapitel 1 hergeleitet, ist die asymptotische Form der Streuwellenfunktion eineUberlagerung aus spharischen Bessel- bzw. Neumann-Funktionen und das sind ja imasymptotischen Fall die Sinus- bzw. Cosinus-Funktionen.

Nun sollen einige Beispiele von berechneten Losungsfunktionen graphisch vorge-stellt werden. In diesen Plots wurden die angepassten analytischen Funktionen aucheingezeichnet.Um eine gute Analyse der numerischen Berechnungen durchfuhren zu konnen, ver-sucht man eine der zwei Partikularlosungen herauszugreifen. Mithilfe der Vorgabe

24 3 Numerik: Numerov-Cowell-Verfahren

der ersten beiden Funktionswerte betrachten wir so nur den Sinus. Der erste Funk-tionswert muss dafur null sein. Es folgt damit sofort b = 0 und numerisch wird derSinus dargetellt.

Abbildung 3.1: Harmonische Gleichung - Sinuslosung

Wie an Abb. (3.1) zu sehen, scheint das Verfahren offensichtlich zu funktionieren.Es wird fast ausschließlich der Sinus dargestellt. Der Anteil an Cosinus ist so gering,dass das Programm auf null rundet. Anhand der Dateinamen sieht man u. a. welcheStartwerte verwendet wurden. In diesem Fall ist es f0 = 0 und f1 = 0.40.Jetzt werden die freien Parameter Iterationsschritte “n” und Schrittweite “h” vari-iert um die Eigenschaften des Verfahrens festzustellen. Zuallererst die Anzahl derIterationsschritte, Abb. (3.2).In den ersten 3 Bildern betrug die Schrittweite konstant h = 0.1. Man erkennt deut-lich, dass mit Vergroßern der Iterationsschritte der Cosinus-Anteil großer wird. DerWert liegt zu Beginn 3 Stellen hinter dem Komma und wachst kontinuierlich bisauf 1 Nachkommastelle an, sodass bei n = 100.000 eine sichtbare Phasenverschie-bung eingetreten ist. Die Erklarung dafur ist in den Rundungsfehlern des PCs zusuchen. Je haufiger die Schleife mit den Rechnungen durchlaufen wird, desto mehrund mehr Fehler schleichen sich ein. Es zeigt sich also eine Begrenzung der nume-rischen Fahigkeiten eines PCs. Um gegen diesen Fehler fur große n gegenzusteuern,kann man die Schrittweite h verkleinern. Das ist in den anderen 3 Bildern geschehen.

3.2 Beispiel: Sinus und Cosinus 25

Hier kann man die Iterationsschritte deutlich mehr erhohen, ohne das ein zu großerFehler eintritt. Selbst bei n = 100.000 ist der Fehler noch relativ gering. Nach 10Millionen Schritten ist aber auch fur die Schrittweite h = 0.04 Schluss. Solch einegroße Anzahl von Iterationsschritten fuhrt auch zu erheblich langeren Berechnungs-zeiten (ca. 15 min) und die Textdatei mit 10 mio. Eintragen wird dann schon mal276 MB groß.

Abbildung 3.2: Variation der Iterationsschritte n

26 3 Numerik: Numerov-Cowell-Verfahren

Abbildung 3.3: Variation der Schrittweite h

Die Variation der Schrittweite h soll zeigen, bei welchem Wert die graphische Dar-stellung des Verfahrens noch akzeptabel ist (Abb. (3.3)).Die ersten beiden Bilder zeigen, dass die Schrittweiten h = 0.1 und h = 0.2 immernoch eine genugend große Punktedichte produzieren um eine graphisch akzeptableZeichnung zu erhalten. Die Punkte selbst liegen auch auf der gefitteten analytischenLosung, das Verfahren arbeitet korrekt.Bild 3 und 4 zeigen, was passiert wenn man zu große Schrittweiten verwendet. DieFunktionen selbst werden nicht nur “eckiger”, sondern auch die Funktionswerte lie-gen nicht mehr genau auf der analytischen Losung. Die numerische Rechnung verliertsomit an Genauigkeit.

3.3 Beispiel: 1-dim. Harmonischer Oszillator 27

3.3 Beispiel: Spektrum und Eigenfunktionen des1-dim. Harmonischen Oszillators

Der vorherige Testfall hat schon einige Erkenntnisse uber die Grenzen des Verfahrensgeliefert. Wir gehen jetzt eine Stufe weiter, indem wir ein Problem betrachten, beider w(x) tatsachlich von x abhangt. Die Rede ist vom 1-dim. quantenmechanischenharmonischen Oszillator, dessen Energiespektrum und Eigenfunktionen bekannt sind[CTDL08a].

En =

(n+

1

2

)~ω

Ψn(x) = AnHn(x/b)ex2/2b2 mit

1

b2=mω

~(3.12)

Dabei sind Hn die Hermite-Polynome. Die Schrodingergleichung fur dieses Problemlautet mit dem eingesetzten harmonischen Potential:(

− ~2

2m

d2

dx2+

1

2mω2x2 − E

)Ψ = 0

⇔(d2

dx2+−m2ω2x2 − 2mE

~2

)Ψ = 0 . (3.13)

Da wir dimensionslose Koordinaten verwenden wollen, setzen wir m = 1, ~ = 1 undω = 1. Damit wird w(x) aus Gl. (3.1) zu

w = −x2 + 2E (3.14)

und fur die Eigenwerte gilt:

En = n+ 1/2 (3.15)

Die analytischen Losungen sind wie gesagt die Hermite-Funktionen aus Gl. (3.12).Jedoch sind das die physikalisch sinnvollen Losungen, fur die die Wellenfunktionenaus Grunden der Wahrscheinlichkeitsinterpretation fur x→∞ gegen null gehen. Ma-thematisch gibt es fur jede Energie E eine Losung. Um dies jetzt bei der numerischenBerechnung umzusetzen, geht man folgendermaßen vor (der komplette Programm-code befindet sich im Anhang, (6)).Es wird eine weitere Schleife eingefuhrt, die die bisherige Numerov-Cowell-Iterationmiteinschließt. Man durchlauft damit einen großeren Energiebereich und testet so furjede Energie die mathematische Losung. Wir nutzen dabei die Tatsache aus, dass dieLosungen einen Vorzeichenwechsel vollziehen, wenn sie uber einen Energieeigenwert“gehen”. Lauft die Funktion z.B. fur einen Energiewert En gegen −∞ und fur En+1

gegen +∞, muss der Energieeigenwert zwischen diesen beiden Werten liegen.Implementiert wird das Ganze, indem das Programm den letzten Funktionswert der

28 3 Numerik: Numerov-Cowell-Verfahren

numerischen Iteration nimmt und die Große (Unendlichkeitsbedingung) und das Vor-zeichen (Paritat) uberpruft. Findet nach einmaligem Hochzahlen in der Energieschlei-fe ein Vorzeichenwechsel statt, wird das Intervall halbiert und die Suche startet wiedermit neuer Schrittweite. Die Abbruchbedingung fur diesen Suchvorgang tritt ein, wennder letzte Funktionswert fn nicht mehr unendlich groß ist.Soweit das Prinzip, die exakte Implementierung gestaltet sich jedoch ein wenig schwie-riger, was an einer weiteren Besonderheit der numerischen Berechnung mit Compu-tern liegt. Hat man eine Losung mit einem Energieeigenwert En gefunden, schmiegt

Abbildung 3.4: Harmonischer Oszillator, n=151

sich diese Funktion fur große Werte gegen die x-Achse an, z.B. von der positiven Sei-te her. Das Programm erechnet immer kleinerer Funktionswerte. Es passiert jedochirgendwann, dass durch Rundungsfehler ein Funktionswert negativ wird. Die analy-tische Losung wurde naturlich nie “uber die Null springen”. Wenn das geschehen ist,wird ein Funktionsgraph errechnet, der in diesem Fall gegen −∞ gehen wurde.Eine wichtige Erkenntnis fur diesen Testfall ist somit, das notwendige Einfuhren ei-ner numerischen Null, da der PC nie exakt die Null ermitteln wird.Es besteht aber weiterhin das Problem, dass die Codeabfrage nur den letzten Funk-tionswert uberpruft. Aus diesen Grund kann man “zu weit laufen” und die Funktion,obwohl bei dem richtigen Energiewert berechnet, ist unendlich groß geworden.Glucklicherweise findet der Vorzeichenwechsel auch noch bei diesen Fallen statt undder Suchvorgang konvergiert daher trotzdem (Naturlich greift nicht die Abbruchbe-

3.3 Beispiel: 1-dim. Harmonischer Oszillator 29

dingung, daher ist die Schleife mit einer festgelegten Zahl von Durchgangen empfeh-lenswert).Fur eine anschließende Zeichnung der Losung zu einem gefundenen Energieeigenwert,werden alle Punkte bis zu der Bedingung mit der numerischen Null berucksichtigt.Abb. (3.4) zeigt ein Ergebnis.Dargestellt ist die Losung fur den Energieeigenwert E151 = 151.5. Anhand der An-fangsbedingungen im Dateinamen, f0 = 0 und f1 = 0.4, erkennt man, dass eineantisymmetrische Losung vorliegt. Allgemein sind die Hermite-Funktionen namlichantisymmetrisch oder symmetrisch. Durch die Bedingung hier, kann das Suchver-fahren nur die Losungen mit Punktsymmetrie finden. Es handelt sich dabei um dieLosungen mit ungeraden Index n, also 1, 3, 5, . . . n.Die Symmetrie half auch bei der Zeichnung, denn berechnet wurden nur die auf derpositiven x-Achse befindlichen Funktionswerte. Multiplikation mit −1 lieferte danndie linke Seite vom Ursprung.Die Frage, ob die berechneten Losungen tatsachlich mit den analytischen Hermite-Funktionen identisch sind, lasst sich mithilfe einer Anpassung des globalen Amplitu-denfaktors beantworten. Dazu mussen nur jeweils zwei Funktionswerte beterachtetwerden. Abb. (3.5) zeigt das Ergebnis.

Abbildung 3.5: Fit mit analytischer Losung, n=3

30 3 Numerik: Numerov-Cowell-Verfahren

Die Bildfolge (3.6) soll das Prinzip der Energiesuche illustrieren. Die Energiesuchestartet bei E = 3.0 und stellt ein negatives singulares Verhalten fest. Nachdem dieSchleife auf E = 4.0 gefuhrt hat, findet das Programm einen Vorzeichenwechsel furden letzten Funktionswert. Als nachstes wird die Intervallmitte E = 3.5 gewahlt, wasschließlich das Verfahren konvergieren lasst. Dank des

”guten“ Startwertes ermittelt

die Programmschleife schon nach 3 Iterationen den Energieeigenwert.

Abbildung 3.6: Bildabfolge zur Energiesuche

In Abb. (3.7) sind nochmal die ersten 4 symmetrischen Losungen dargestellt. Rea-lisiert wurden sie durch einen Iterationsstart bei x0 = −h und x1 = h und jeweilsidentischen Funktionswerten (hier f0 = f1 = 20). So konnte die Energiessuche nursymmetrische Losungen finden, was gerade Indices n bedeutet.

3.3 Beispiel: 1-dim. Harmonischer Oszillator 31

Abbildung 3.7: Harmonischer Oszillator: Symmetrische Losungen (n=0,2,4,6)

test

4 NN-Streuung:Numerischer Losungsansatz

Die vorherige Betrachtung der Nukleon-Nukleon-Streuung in Kapitel 2 erfolgte ohnedirekte Berucksichtigung des Spins bzw. Isospins eines Nukleons. In der Theorie spie-len diese beiden Quanteneigenschaften bei der Aufstellung des Potentials eine Rolle.Aufgrund der Vorgabe eines bestimmten radialabhangigen Potentialverlaufs wurdebei den Kastenpotentialen der gesamte Losungsraum auf einen Unterraum projeziert,wodurch indirekt dem Spin und Isospin dennoch Rechnung getragen worden ist. DerLosungsraum aller Wellenfunktionen der Schrodingergleichung wird namlich durcheinen Produktansatz mit zusatzlichen Spin- bzw. Isospineigenvektoren erweitert, ne-ben den bisherigen radial- und winkelabhangigen Teillosungen.Dieser Produktansatz ist moglich, da das Potential V (r) radialsymmetrisch und se-parabel in den Spin- und Isospinfreiheitsgraden ist. Der Drehimpulsoperator zumQuadrat ist auch weiterhin Eigenfunktion mit Eigenwert l(l + 1)~2 zur gesamtenWellenfunktion, sodass mit diesem erweiterten Produktansatz die gleiche Radialglei-chung wie in Kapitel 2 gefunden werden kann. Unsere Radialgleichung behalt alsomit Einbeziehung der Spin- und Isospineigenschaften ihre ursprungliche Form bei.Nun soll explizit der Gesamtspin S und Gesamtisospin I beider Nukleonen beruck-sichtigt werden, indem im Folgenden der Singlett-Even-Kanal betrachtet wird. Eshandelt sich dabei um die Projektion auf den durch S = 0 und I = 1 charakteri-sierten Unterraum des Gesamtlosungsraumes. Im Gegensatz zu Kapitel 2 wird dieseBetrachtung dabei im Medium durchgefuhrt. Spater soll dann ein Zusammenhangmit der freien Wechselwirkung postuliert werden.

4.1 M3Y-Wechselwirkung im Singlett-Even-Kanal

Wir binden jetzt die Spin- und Isospineigenschaften in unsere Uberlegungen fur einenPotentialansatz ein, indem wir allgemein ein Potential suchen, das neben der Orts-komponente und evtl. der Dichte eine zusatzliche Abhangigkeit von den Operatoren~σ1,2 und ~τ1,2 besitzt, welche proportional zu den Spin-Operatoren der beiden Nukleo-nen sind. Unter Berucksichtigung von Invarianzbedingungen kommt man zu demErgebnis, dass das gesuchte Potential V (r) folgende Form aufweisen muss. Es han-

33

34 4 NN-Streuung: Numerischer Losungsansatz

delt sich dabei zunachst um den Operator zum Potential ([FD90], [PB75]).

VNN = V00(r, ρ) + V01(r, ρ)~τ1~τ2 + V10(r, ρ)~σ1~σ2 + V11(r, ρ)~τ1~τ2~σ1~σ2

=1∑

S,T=0

VST (r, ρ)(~σ1~σ2)S(~τ1~τ2)

T (4.1)

Uber den Erwartungswert dieses Operators gelangt man schließlich zum eigentlichenPotential. Mit der Wahl einer Wellenfunktion, bestehend u. a. aus Eigenfunktionenzu den Spinoperatoren, kann man auch festlegen, welche Spinzustande betrachtetwerden sollen. Fur unseren Fall bedeutet das, wir betrachten die Eigenfunktion desSinglett-Even-Kanals |SE〉 = |S = 0〉 |I = 1〉 . Der Potentialoperator wirkt nur aufdiese Eigenfunktionen, sodass der Rest der gesamten Wellenfunktion nicht weiter be-achtet werden muss.Wenn wir den Erwartungswert der ~σ-Operatoren auswerten, ergibt sich unter Ver-wendung von ~σ1~σ2 = 2(~S2 − ~s1

2 − ~s22)/~2) und s1,2 = 1/2:

〈S|~σ1~σ2 |S〉 = 2 (S(S + 1)− s1(s1 + 1)− s2(s2 + 1))

=

−3 S = 0+1 S = 1

(4.2)

Dasgleiche gilt fur die ~τ -Operatoren. Somit folgt fur das Potential des Singlett-Even-Kanals:

〈SE|VNN |SE〉 = VSE(r) =1∑

S,T=0

VST (r, ρ) 〈SE| (~σ1~σ2)S(~τ1~τ2)

T |SE〉

= V00(r, ρ) + V01(r, ρ)− 3V10(r, ρ)− 3V11(r, ρ) (4.3)

Um nun die radialabhangigen Terme VST weiter zu spezifizieren, postuliert man eineNukleon-Nukleon-Streuung, die auf einer Mesonen-Austausch-Wechselwirkung be-ruht. Dieser Ansatz sieht vor, dass das Potential aus einzelnen Mesonen-Potentialenzusammengesetzt ist, die alle eine Yukawa-Form aufweisen und deren Reichweite uberdie Masse der Mesonen bestimmt ist.

VST =∑m

V STm (ρ)

e−r/Rm

r/Rm

(4.4)

Fur die Bestimmung der Faktoren vor den Yukawa-Potentialen gibt es verschie-dene theoretische Modelle und Berechnungen. Ein Ansatz geht im Prinzip einenSchritt zuruck und vereinfacht Gl. (4.3), indem

”quasi“ alle Terme vor den einzel-

nen 3 Yukawa-Potentialen Ym(r/Rm) aufgesammelt und durch einen freien Parame-ter ersetzt werden. So erhalt man eine effektive NN-Wechselwirkung, eine direkteUberlagerung von 3 Yukawa-Potentialen.

VSE(r) =3∑

m=1

Vm · Ym(r/Rm) (4.5)

4.1 M3Y-Wechselwirkung im Singlett-Even-Kanal 35

Diese Vorgehensweise wurde zuallerst von G. Bertsch und Co. [BBML77] um-gesetzt. Sie wird als M3Y-Wechselwirkung bezeichnet. Die Bestimmung der freienParameter Vm erfolgte durch einen Fit an G-Matrix Elementen, also mithilfe vontheoretischen Uberlegungen. Auf diese soll hier nicht weiter eingegangen werden,sondern wir verwenden das Ergebnis als Potentialansatz.In [FDH02] hat man auf diese Arbeit aufgebaut und Fits fur verschiedene Kanaledurchgefuhrt. Fur den Singlett-Even-Kanal ergaben sich folgende Werte.

Channel R1 = 0.25fm R2 = 0.40fm R3 = 1.414fm

SE 10279 −3393 −10.463

Tabelle 4.1: Parameter fur die M3Y-Wechselwirkung im SE-Kanal

In Abb. (4.1) ist das mit diesen Werten resultierende Potential dargestellt. DasPotential hat dabei die gleiche Form, wie das Potential in Kapitel 2, was fur dieAbleitung des Kastenpotential verwendet wurde.

-100

0

100

200

300

400

500

600

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

V [M

eV]

r [fm]

M3Y-Potential

V(r)

Abbildung 4.1: M3Y-Potential im SE-Kanal

Unser weiteres Ziel besteht nun darin, die Radialgleichung (1.33) mit diesem Po-tential zu losen und damit die Streuphasen zu bestimmen. Da wir wieder s-Wellen

36 4 NN-Streuung: Numerischer Losungsansatz

betrachten, vereinfacht sich die Radiagleichung zu:(∂2

∂r2− 2µ

~2

3∑m=1

Vm · Ym(r/Rm) + k2

)uk,l(r) = 0 (4.6)

Lost man diese Radialgleichung mit dem in Kapitel 3 vorgestellten Verfahren, erhaltman Wellenfunktionen, die außerhalb der Reichweite des Potentials zu oszillierenbeginnen. In Abb. (4.2) ist das deutlich zusehen. Als Startwerte fur die Berech-nung wird zum einen die notwendige Bedingung u(0) = 0 verwendet. Der zweitebeliebig gewahlte Wert bestimmt dann nur noch die Große der Amplitude. Fur diespatere Bestimmung der Streuphasen spielt das keine Rolle, da es auf das Verhaltnisder Sinus- und Cosinus-Amplituden ankommt, nicht auf die explizite Große. Die re-duzierte Masse wurde unter Annahme gleicher Protonen- und Neutronenmasse miteiner halben Protonmasse festgelegt. Also ganz exakt betrachten wir jetzt die Proton-Proton-Streuung.Um jetzt die Streuphasen zu berechnen fittet man an diese Funktionen die asympto-tische Form der Streuwellenfunktion, die in Kapitel 1 hergeleitet wurde (Sinus undCosinus). Das ist in Abb. (4.2) auch schon geschehen. Die Streuphase ermittelt sichschließlich nach Gl. (1.44) aus dem Quotient der beiden Amplituden des Sinus bzw.Cosinus.

-2000

-1500

-1000

-500

0

500

1000

1500

2000

0 5 10 15 20

u(r)

r [fm]

Radialfunktion u(r)933.84*sin(1*x) + 1222.43*cos(1*x)

Abbildung 4.2: Losung der Radialgleichung und Fit an asymptotische Form, k=1

Der nachste Schritt besteht darin, die Streuphase (eigtl. k cotg(δ(k)) in Abhangigkeit

4.2 Ubertragung der M3Y-Wechselwirkung in den freien Raum 37

-0.33

-0.32

-0.31

-0.3

-0.29

-0.28

-0.27

-0.26

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

k [/fm]

k*cotg(δ) Fitfunktion: p1+0.5 p2 k2

Abbildung 4.3: M3Y: Streuphase gegen k mit Fit fur effektive Reichweiten-Formel

der Wellenzahl k darzustellen. Dazu werden mehrere Werte von Streuphasen zu ver-schiedenen k-Werten berechnet. Abb. (4.3) zeigt das Resultat.Man hat in dieser Abbildung auch gleich einen Fit an ein quadratisches Polynom ge-macht. So lassen sich die in der freien Wechselwirkung auftretenden Großen Streulangea und effektive Reichweite r0 auch fur diesen in-medium Fall bestimmen. Die Fitdatenergeben a = 3.1fm und r0 = 1.7fm.

4.2 Ubertragung der M3Y-Wechselwirkung in denfreien Raum

Die M3Y-Wechselwirkung, wie es im vorherigen Abschnitt diskutiert wurde, gilt nurfur einen kleinen Dichtebereich. Um Aussagen uber andere Dichtebereiche zu treffenoder eine gewisse Dichteabhangigkeit in die M3Y-Wechselwirkung hineinzubringensoll in diesem Abschnitt zunachst das M3Y-Potential an die freie Wechselwirkungangepasst werden.Dazu nimmt man die ersten beiden Parameter in Gl. (4.5) wieder als frei an. Dannliegt eine ahnliche Situation wie in der analytischen Rechnung aus Kapitel 2 vor. Wirhaben zwei freie Parameter V1 und V2 und zwei experimentell bekannte Großen a und

38 4 NN-Streuung: Numerischer Losungsansatz

r0. Bis zu dem Punkt, wo wir zwei feste Werte k1,2 wahlen (2.9), lauft die Rechnungauch analog. Da jedoch keine analytische Losungsfunktion vorliegt, muss man eineigenes Naherungsverfahren fur die Losung des 2× 2-Gleichungssystem bereitstellen(d.h. kein FindRoot-Befehl von Mathematica).Das verwendete Verfahren ist das so genannte 2d-Newton-Verfahren [OR00]. DasPrinzip dahinter ist ein nicht lineares Gleichungssystem zu linearisieren. Das genaueAussehen des Verfahrens und dessen explizite Implementierung soll hier nicht darge-stellt werden (siehe dazu Anhang 6).Das Verfahren wurde direkt in die Schleife fur die Streuphasen-Bestimmung inte-griert. Es mussten nicht nur die zwei Funktionswerte f1 = k1 cotg(δ0(V1, V2, k1))und f2 = k2 cotg(δ0(V1, V2, k2)) bestimmt werden, sondern fur die im Verfahren auf-tauchenden numerischen Ableitungen mussten jeweils 4 weitere Funktionswerte mitleicht verschobenen Potentialwerten berechnet werden.

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

k [/fm]

k*cotg(δ) mit V1=628 MeV und V2=412 MeVFitfunktion: p1+0.5 p2 k2

effektive Reichweiten-Formel der freien PP-Streuung

Abbildung 4.4: M3Y-freie-WW: Streuphase gegen k mit Fit fur effektive Reichweiten-Formel

4.3 Postulat einer Ubergangsformel 39

Mit der richtigen Wahl der Startwerte konvergierte das so implementierte Newton-Verfahren ziemlich schnell (7 Iterationen). Durch Zeichnen der Funktion δ(k) undder effektive Reichweiten-Formel ließen sich die Startwerte gut abschatzen.

SE-KanalM3Y-freie NN-W V1 [MeV] V2 [MeV]

Startwerte 5000 1442finale Werte 628 412Fehler ∆V1,2 3.9 · 10−5 1.3 · 10−5

Tabelle 4.2: Ergebnisse des Newton-Verfahrens

Dass die ermittelten Parameterwerte die effektive Reichweiten-Formel der freien NN-Streuung fur kleine k-Werte gut wiedergeben, sieht man an Abb. (4.4), welche dieErgebnisse graphisch darstellt. Der Achsenabschnitt betragt p1 = 0.05646 /fm. Dernegative Kehrwert ergibt ungefahr a = −17.7 fm. Es wurde demnach an die freieProton-Proton-Wechselwirkung angefittet. Der mithilfe des Fits ermittelte Wert furdie effektive Reichweite liegt mit r0 = 3.78fm um 1fm uber dem erwunschten Wert.Diese Abweichung erkennt man auch in der Zeichnung (4.4), die fur großere k-Werteauftritt.

4.3 Postulat einer Ubergangsformel

Die Ergebnisse aus den letzten beiden Abschnitten sollen in diesem Abschnitt ab-schließend zusammengefuhrt werden.Wir haben ein Potential fur die freie NN-Streuung und ein weiteres fur einen in-medium Fall. Die Idee der Zusammenfuhrung besteht darin, die freie Wechselwirkungmit zunehmender Dichte “auszuschalten” und parallel dazu die in-medium Wechsel-wirkung “einzuschalten”. Diese Uberlegung fuhrt zu folgendem Ansatz fur ein dich-teabhangiges Potential im Singlett-Even-Kanal.

VSE(x, ρ) = V(0)SE (x)

(1−

(ρ

ρ0

)α)+ V

(M3Y )SE (x)

(ρ

ρ0

)α(4.7)

ρ0 ist dabei die Halfte der Sattigungsdichte ρs = 0.16/fm3. Der Parameter α wurdeeingefuhrt um die Art und Weise des

”Ubergangs“ zu beeinflussen. Die Wahl fur

diesen Parameter soll kurz physikalisch motiviert werden.Detaillierte Untersuchungen der Dichteabhangigkeit der NN-Wechselwirkung zeigen,dass fur diese Abhangigkeit eine Beschreibung als Funktion von kF geeignet ist([Ata06], [HL98], [HLK00]). Unter Berucksichtigung dieser Untersuchungen ist eineinfacher, aber physikalisch vertretbarer Ansatz, von einer linearen funktionalen

40 4 NN-Streuung: Numerischer Losungsansatz

Abhangigkeit der Dichtefunktion von k2F auszugehen. Da die Dichte ρ wiederum pro-

portional zur 3. Potenz des Fermiimpuls ist, lautet unsere Wahl insgesamt α = 2/3.

ρ

ρ0

∝(kFkF0

)3

⇒(kFkF0

)2

∝(ρ

ρ0

)2/3

(4.8)

Mit den Werten aus den Tabellen (4.1) und (4.2) wird der obige Potentialansatz (4.7)in das Programm eingesetzt und die Streuphasen, Streulange und effektive Reichweitefur verschiedene Werte von ρ bestimmt. Die Ergebnisse sind im Folgenden graphischdargestellt.Zunachst die Streuphase in Abhangigkeit der Wellenzahl k.

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1 0.11

δ(k)

k [/fm]

Phase(k) ρ=0Phase(k) ρ=0.04Phase(k) ρ=0.08Phase(k) ρ=0.12

Abbildung 4.5: Streuphase in Abh. von k fur unterschiedliche Dichten

Zum Abschluss dieses letzten Kapitels sind die Plots der Streulange a und dereffektiven Reichweite r0 in Abhangigkeit der Dichte ρ zu sehen. Um die Werte vona und r0 zu erhalten, wurden, wie weiter oben auch, Fits an die Funktion k cotg(δ)durchgefuhrt.In Abb. (4.6) befindet sich eine Singularitat. Das liegt an dem Vorzeichenwechsel derStreulange a beim Ubergang von freier zu in-medium Wechselwirkung.

4.3 Postulat einer Ubergangsformel 41

−40

−30

−20

−10

0

10

20

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

a(ρ)

ρ [/fm3]

Streulaenge(ρ)

Abbildung 4.6: Streulange in Abhangigkeit der Dichte ρ

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16

r 0(ρ

)

ρ [/fm3]

effektive Reichweite(ρ)

Abbildung 4.7: effektive Reichweichte in Abhangigkeit der Dichte ρ

5 Zusammenfassung und Ausblick

In dieser Bachelorarbeit wurde u. a. ein numerisches Verfahren vorgestellt und er-folgreich implementiert. Das 1. Kapitel (Grundlagen) mal außen vorgelassen, spieltedieses Verfahren in allen Kapiteln, bis auf das 2., eine tragende Rolle. In Kapitel 2 istjedoch ein weiterer wichtiger Punkt dieser Arbeit gelungen, namlich die Berechnungder Streuphasen und die anschließende graphische Darstellung dieser Streuphasenund der effektiven Reichweiten-Formel. Auch in Kapitel 4, in welchem das nume-rische Verfahren angewandt wurde, funktionierte die Streuphasen-Berechnung sehrgut.

Die Gute der physikalischen Ergebnisse in dieser Thesis sind abhangig von der Ge-nauigkeit der theoretischen Modelle, die verwendet wurden. Damit sind vor allem dieverschiedenen Potentialansatze gemeint. Es ist klar, dass ein Potentialkastenansatz,wie er in Kapitel 2 benutzt wurde, keine realistisch exakten Daten liefern kann. Den-noch fuhrte die Auswertung zu einigen guten Richtwerten. Entscheidend fur diesenFall war aber die Durchfuhrung des Streuphasen-Kalkuls an einem einfachen Modell,um sich mit der Anwendung der Theorie vertraut zu machen.Das gilt im Prinzip auch fur die M3Y-Wechselwirkung in Kapitel 4. Die Anwendungder theoretisch motivierten Streuphasen ist gegluckt. Der physikalische Gehalt derErgebnisse ist aber spatestens ab der Simulation einer Dichteabhangigkeit mit Vor-sicht zu genießen, da sie einem experimentell ungepruftem Ansatz entsprungen sind.Sie liefern aber auch eine gute Orientierung, z.B. fur die Großen der repulsiven undattraktiven Potentialanteile.

Der Ausblick fur diese Arbeit kann generell sehr vielfaltig sein. Es wurde einfunktionierendes Verfahren vorgestellt, das prinzipiell Radialgleichungen mit allenmoglichen Arten und Variationen von Potentialenansatzen lost. Eine Weiterfuhrungder Arbeit ware somit eine Verwendung eines Potential, das theoretisch fundierterund exakter ist, als die hier verwendeten Modelle.

Insofern gibt es wirklich einige Moglichkeiten auf diese Arbeit aufzubauen, da der

”allgemeine Weg zur Losung“ prasentiert wurde und nicht eine spezielle Losung fur

ein einziges Modell.

43

Anhang

Rechnung zur Bestimmung der Streuphase

Setzt man die Wellenfunktion in die Anschlussbedingungen (2.6) fur den Ort r1 ein,erhalt man:

k1AI cosh(k1r1)

AI sinh(k1r1)= k2

(AII cos(k2r1)−BII sin(k2r1))

(AII sin(k2r1) +BII cos(k2r1))

γ=BII/AII⇔ k1 coth(k1r1) = k2(cos(k2r1)− γ sin(k2r1))

(sin(k2r1) + γ cos(k2r1))(6.1)

Fur den Ort r2 gilt das Gleiche. Hierbei wurde schon die Substitution γ = BII/AIIverwendet.

k2(cos(k2r2)− γ sin(k2r2))

(sin(k2r2) + γ cos(k2r2))= k

cos(kr2 + δ0)

sin(kr2 + δ0)= k cot(kr2 + δ0) (6.2)

Aus Gl. (6.1) folgt nun das γ

(6.1)⇒ γ =k2 cos(k2r1)− k1 coth(k1r1) sin(k2r1)

k2 sin(k2r1) + k1 coth(k1r1) cos(k2r1), (6.3)

wahrend aus Gl. (6.2) die gesuchte Streuphase δ0 resultiert.

(6.2)⇒ δ0 = arccot

[k2(cos(k2r2)− γ sin(k2r2))

k(sin(k2r2) + γ cos(k2r2))

]− kr2 = δ0(V1, V2, E, r1, r2) (6.4)

45

46 Anhang

Mathematica-Skript fur 2 Gleichungen - 2 Unbekannte

Anhang 47

Programmcode zur Implementierung desNumerov-Cowell-Verfahren

Im Folgenden ist nicht nur die entscheidende For-Schleife berucksichtigt, sondernauch der Initialisierungsblock. Damit soll die Bedeutung der einzelnen Variablenin der Schleife geklart werden (Die Initialisierungswerte sind fur die harmonischeGleichung mit Sinus als Losung, s. Abschn. 3.2).Weitere Programme wie die Implementierung des Newton-Verfahrens befindensich auf der beiliegenden CD-Rom.

// f’’+w(x) f=0 (zu losende Dgl.) -- Initialisierungsblock

// Name/Beschreibung von w(x)

#define Charakterisierung "harmonisch -k=2"

// w(x),

#define W 4

// f_n -1(0) startpunkt bei x_0

#define Start_x_0 0

// f_n(h) startpunkt bei h + x_0

#define Start_h 0.4

// Schrittweite h

#define Schrittweite 0.01

// maximale Iterationsschritte / Funktionswerte , neu berechnet

#define Iterationsschritte 450

#define Starpunkt 0 // Startpunkt x_0

...

f_0 = Start_x_0;

f_n = Start_h;

h = Schrittweite;

max = Iterationsschritte;

x_0=Starpunkt;

...

// iterative Berechnung der Rekursionsformel!

for (int i=1; i <= max; i++)

while (j < 2) // Initialsierung der Anfangswerte von w(x)=W

x=x_n+j*h; // Schleifenblock bei w=konst eigtl. nicht notig

w_n=W;

if (j<1)

w_0=W;

j=j+1;

48 Anhang

x=x_n+(i+1)*h; //x erhohen entsprechend der Schrittweite h

w_m=W;

f_m =12/(12+ w_m*h*h) //f_i+1 --> Rekursionsformel

*(2*f_n -f_0 -h*h*(w_n*f_n+(w_0*f_0 -2*w_n*f_n )/12));

f_0=f_n; // Umspeichern fur na. Iteration

f_n=f_m;

w_0=w_n;

w_n=w_m;

Das in Abschnitt (3.2) eingefuhrte Matching wird zunachst durch eine For-Schleiferealisiert, in der zuerst die Funktionswerte der analytischen Losungen berechnet wer-den. Zusatzlich findet dort die fur die spatere Rechnung notige Variablenzuordnungstatt. Anschließend lost man dann das 2× 2-Gleichungssystem.

//"Matching ": 2 asymptotische Losungen , f_n=a h_n + b g_n

for (t=0; t <= 1; t++)

x=x_0 + (max+t)*h;

a=sin(sqrt(W)*x); //1. Losung

b=cos(sqrt(W)*x); //2. Losung

if (t==0)

h_0=a; // Werte berechnen (Ort n und n-1)

g_0=b;

else

h_n=a;

g_n=b;

// 2 Gleichungen , 2 Unbekannte

// f_n=a*h_n + b*g_n und f_n+1= a*h_n+1 + b*g_n+1

a=(f_m*g_0 -f_0*g_n)/( h_n*g_0 -h_0*g_n);

b=(f_0*h_n -f_m*h_0)/( h_n*g_0 -h_0*g_n);

Programmcode zu Harmonischer Oszillator

// Schleife fur Energiesuche

while (u <=40)

//Bei Vorzeichenwechsel , Energiebereich verkleinern

if (Wechsel ==1)

// E_i .. E_mittel .. E_i+1

E=(E_vor+E)/2;

// Schrittweite verkleinern

//fur neuen Energiebereich

p=p/4;

Anhang 49

Wechsel =0; // Reinitialisierung

k=0; //k-Laufindex

else

E=E+k*p; // Hochzahlen der Energie

// iterative Berechnung der Rekursionsformel!

// Gleicher Programm -Block in Abschnitt 3.2, siehe a.u.

// Test auf Vorzeichenwechsel und endlicher Funktion

if (abs(f_m) > pow (10 ,4.0))

if (f_m < 0) // Paritat =0 <-> Initialsierungsfall

if (( Paritaet == -1)||( Paritaet == 0))

Paritaet =-1;

E_vor=E;

k=k+1;

else

Wechsel =1;

else

if (( Paritaet == 1)||( Paritaet == 0))

Paritaet =1;

E_vor=E;

k=k+1;

else

Wechsel =1;

else

u=42; // Funktion endlich , Abbruch der Energiesuche

u++;

// Erneute Berechnung mit Energiewert

//der aus Schleifenberechnung " ubrig" bleibt

// --> fur Zeichnen

// Reinitialisierung

f_0 = Start_x_0;

f_n = Start_h;

j=0;

Wertetabelle [0]= f_0; // Speichern der Werte in Matrix

Wertetabelle [1]= f_n;

i=1;

50 Anhang

while (i <= max)// iterative Berechnung der Rekursionsformel!

// Initialsierung der Anfangswerte von w

...

// numerische Berechnung

x=x_0+(i+1)*h;

w_m=W;

f_m =12/(12+ w_m*h*h)*(2*f_n -f_0 -

h*h*(w_n*f_n+(w_0*f_0 -2*w_n*f_n )/12));

Wertetabelle[i+1]= f_m;

// numerische Null , ansonsten gibts falsche Berechnungen ,

//null wechselt

// zweite Bedingung falls vorher zufallig num. Null

// --> "abbruch verlangern"

if ((abs(f_m ) <0.001) && (i > max /2))

j=i; // Position mitnehmen

i=max;

f_0=f_n; // Umspeichern fur na. Iteration

f_n=f_m;

w_0=w_n;

w_n=w_m;

i++;

Abbildungsverzeichnis

1.1 Zur Definition des Streuzustands [?] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2.1 Kastenpontial als Naherung fur NN-Potential (roter Graph) [?] . . . . 142.2 Streuphase δ abhangig von k[/fm] bzw. V1[MeV ] . . . . . . . . . . . 162.3 Plot von f1(V1, V2, k2)− α1(k1) bei Neutron-Proton-Streuung . . . . . 172.4 k · cotg(δ(k)) und effektive Reichweiten-Formel (N-P) . . . . . . . . . 18

3.1 Harmonische Gleichung - Sinuslosung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 Variation der Iterationsschritte n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.3 Variation der Schrittweite h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4 Harmonischer Oszillator, n=151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Fit mit analytischer Losung, n=3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.6 Bildabfolge zur Energiesuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.7 Harmonischer Oszillator: Symmetrische Losungen (n=0,2,4,6) . . . . 31

4.1 M3Y-Potential im SE-Kanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Losung der Radialgleichung und Fit an asymptotische Form, k=1 . . 364.3 M3Y: Streuphase gegen k mit Fit fur effektive Reichweiten-Formel . . 374.4 M3Y-freie-WW: Streuphase gegen k mit Fit fur effektive Reichweiten-

Formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Streuphase in Abh. von k fur unterschiedliche Dichten . . . . . . . . 404.6 Streulange in Abhangigkeit der Dichte ρ . . . . . . . . . . . . . . . . 414.7 effektive Reichweichte in Abhangigkeit der Dichte ρ . . . . . . . . . . 41

[?]: Selbst erstellte Skizzen!

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[CTDL08a] Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, and Franck Laloe. Quantenme-chanik, Band 1. de Gruyter, 2008. Chapter 3, Postulate der Quanten-mechanik.

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[doc] Google docs. Harmonischer Oszillator (QuantenmechanischeBehandlung). http://docs.google.com/gview?a=v&q=cache:

P07heiJkYPYJ:www.ipc.uni-jena.de/download/pr_pc4_harm_

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[PB75] Preston and Bhaduri. Structure of the Nucleus. Addison-Wesley Publis-hing Company, 1975.

Danksagung

Besonderen Dank fur das Gelingen dieser Arbeit geht an ...

• Prof. Dr. Horst Lenske, fur seine unermudliche Hilfe und gute Betreuung. Seinphysikalisches Wissen scheint unerschopflich und verdient daher eigentlich eineeigene Quellenangabe.

• Abdul Ahad Ataie und Andreas Fedoseew, die gelegentliche Fragen bereitwilligbeantworteten.

• PD. Dr. Stefan Leupold, fur die Ubernahme der Zweitkorrektur.

• die gesamte Theorie, fur die freundliche Aufnahme und netten Mittagspau-sen. Auch fur Fragen, die sich in irgendeiner Form auf meine Arbeit bezogen,standen die Turen gerne (nehme ich mal an) und weit offen.

• die”Computermanner“, Fabian Eichstadt und Janus Weil, die einen einwand-

freien technischen Service boten (besser als alle ”beruchtigten“ Internetproviderzusammen!)

• meinen Zimmerkollegen Eric Daniels, dessen angenehme und gelegentlich ablen-kende Gesellschaft so manche Bachelorarbeit-bedingte-Frustration beseitigte.

• alle meine Kommilitonen (/innen gab’s leider nicht), fur die bisherige schoneund manchmal (oft) anstrengende Studienzeit. Den Master schaffen wir auchnoch!

• meine Eltern, die finanziellen Investoren (und so vieles mehr!)

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Hiermit versichere ich, dass ich diese Bachelor Thesis selbststandig verfasst undkeine der von mir nicht angegebenen Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.

Gießen, den

• Erstkorrektor: Prof. Dr. Horst Lenske

• Zweitkorrektor:PD. Dr. Stefan Leupold

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