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Skript zur Vorlesung

„„NNuummeerriisscchhee FFeellddbbeerreecchhnnuunngg““

SS 2011

Dr.-Ing. Hartmut Brauer

Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Informationstechnik FG Theoretische Elektrotechnik

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Inhaltsübersicht 0 Einführung

0.1 Historische Entwicklung 0.2 Moderne numerische Feldberechnung 0.3 Entwicklung der Diskretisierungsmethoden 1 Mathematisch-physikalische Feldmodellierungen

1.1 Klassifizierung und Randbedingungen 1.2 Randwertaufgaben und Anfangswertaufgaben 1.3 Potentialfelder 1.4 Feldanalogien 1.5 Lösungsansätze 1.6 Theorie – Simulation – Experiment 2 Finite - Differenzen - Methode (FDM)

2.1 Herleitung von Differenzengleichungen 2.1.1 Taylorreihenansatz - Symmetrien, Ränder, Grenzen 2.1.2 Umlaufintegralmethode - Rand- und Grenzbedingungen, Zeitabhängigkeiten - Ansatzverfahren 2.2 Aufstellung und Lösung der Gleichungssysteme 3 Finite-Difference Time-Domain Method (FDTD) 3.1 Entstehung der Methode 3.2 1D skalare Wellengleichung 3.3 2D-Lösung der Maxwell-Gleichungen 3.4 3D-Lösung der Maxwell-Gleichungen 3.5 Finite Integrationstechnik (FIT) 4 Finite - Elemente - Methode (FEM) 4.1 Einführung 4.2 Euler-Differentialgleichung und Variationsansatz 4.3 Aufstellung von Variationsfunktionalen 4.3.1 Extremalprinzip für stationäre Feldprobleme 4.3.2 Variationsfunktionale für lineare Felder 4.3.3 Variationsfunktionale für nichtlineare Magnetfelder 4.3.4 Variationsansätze für zeitabhängige Magnetfelder 4.4 Lösung von Variationsansätzen 4.4.1 RITZ - Verfahren 4.4.2 Methode der gewichteten Residuen (GALERKIN) 4.5 Der Finite - Elemente - Algorithmus 4.5.1 Elementetypen und Formfunktionen 4.5.2 Elementematrizen 4.5.3 Aufstellung / Lösung der Gleichungssysteme

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5 Integralgleichungsmethode (IGM)

5.1 Direkte IGM (Green´sche Methode) 5.1.1 Integralgleichung im homogenen Medium 5.1.2 Integralgleichung in inhomogenen Medien 5.2 Indirekte IGM (Sekundärquellenmethode) 5.2.1 Feldgleichungen für inhomogene Medien 5.2.2 Sekundärquellen in bereichsweise homogenen Feldgebieten 5.2.3 Integralgleichung für die Sekundärquellendichte 5.3 Boundary - Elemente - Methode (BEM) 5.3.1 Green´sche Funktion und Randintegrale 5.3.2 Randintegralgleichungen 5.4 Volumenintegralmethode (VIM) 5.4.1 Integralgleichungen für Magnetfelder 5.4.2 Numerische Lösung 6 Ersatzladungsverfahren 6.1 Überlagerungsprinzip 6.2 Ladungstypen 6.3 Ladungsermittlung 6.4 Kontrolle der numerischen Approximation 7 Mehrfach-MultiPol-Methode (MMP) 7.1 Mathematisches Modell 7.2 Auswahl der MMP-Ansätze 7.3 Numerische Realisierung 8 Bewertung der numerischen Methoden

8.1 Entscheidungskriterien für die Methodenwahl 8.2 Typische elektromagnetische Feldprobleme 9 Elektromagnetisches CAD

9.1 Programmorganisation 9.2 Datenverwaltung 9.3 Preprocessing 9.4 Hauptprogramm 9.5 Postprocessing 9.5.1 Berechnung von sekundären Größen 9.5.2 Integralparameter 9.5.3 Kräfte 9.5.4 Momente Literaturübersicht

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Literatur zur numerischen Feldberechnung (Auswahl): Binns, K.J.; P.J. Lawrenson; C.W. Trowbridge: The analytical and numerical solution of electric and magnetic fields. John Wiley & Sons, Chichester, 1992 Booton, R.C.: Computational methods for electromagnetics and microwaves. John Wiley & Sons, New York, 1992 Brebbia, C.A.; J.C.F. Telles; L.C. Wrobel: Boundary Element Techniques. Springer, Berlin, 1984 Chari, M.V.K.; S.J. Salon: Numerical methods in electromagnetics. Academic Press, San Diego, 2000 Davidson, D.B.: Computational electromagnetics for RF and microwave engineering. Cambridge University Press, Cambridge, 2005 Fetzer, J., M. Haas, St. Kurz: Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder: Methode der finiten Elemente – Randelementmethode – Kopplung beider Verfahren – Anwendung in der elektrotechnischen Praxis. expert-Verlag, Renningen-Malmsheim, 2001 Golberg, M.: Boundary integral methods: numerical and mathematical aspects. WIT Press, Boston, 1999 Hafner, Ch.: Numerische Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1987 Hafner, Ch.: MAX-1. A visual electromagnetics platform. John Wiley, Chichester, 1998 Hafner, Ch.: Post-modern electromagnetics: using intelligent Maxwell solvers. John Wiley, Chichester, 1999 Hameyer, K.; R. Belmans: Numerical modelling and design of electrical machines and devices. WIT Press, Southampton-Boston, 1999 Harrington, R.F.: Field computation by moment methods. IEEE Press, Piscataway, 1993 Hoole, S.R.H.: Computer-aided analysis and design of electromagnetic devices. Elsevier, New York, 1989 Hoole, S.R.H., P.R.P. Hoole: A modern short course in engineering electromagnetics. Oxford University Press, New York, 1996 Huebner, K.H.: The finite element method for engineers. Wiley, New York, 2001 Humphries, St.: Field solutions on computers. CRC Press, Boca Raton, 1998 Ida,N.; J.P.A. Bastos: Electromagnetics and calculation of fields. Springer, New York, 1992 Jin, J.: The finite element method in electromagnetics. John Wiley & Sons, New York, 2002 Kost, A.: Numerische Methoden in der Berechnung elektromagnetischer Felder. Springer, Berlin, 1994

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Kunz, K.S.; R.J. Luebbers: The Finite Difference Time Domain Method for Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, 1993 Lowther,D.A.; P.P. Silvester: Computer-aided design in magnetics. Springer, Berlin, 1986 Marinescu, M.: Elektrische und magnetische Felder: eine praxisorientierte Einführung. Springer, Berlin, 1996 Marsal, D.: Finite Differenzen und Elemente. Springer-Verlag, Berlin, 1989 Mayr, M., U. Thalhofer: Numerische Lösungsverfahren in der Praxis: FEM-BEM-FDM. Hanser, München, 1993 Philippow, E.: Grundlagen der Elektrotechnik (8.Aufl.). Verlag Technik, Berlin, 1988 Poljak, D., C.A. Brebbia: Boundary element methods for electrical engineers (Advances in electrical engineering and electromagnetics). WIT Press, Southampton-Boston, 2005 Reece, A.B.J., T.W. Preston: Finite element methods in electrical power engineering. Oxford University Press, 2000 Sabonnadiere, J.-C.; J.-L. Coulomb: Finite Element Methods in CAD. North Oxford Academic, London, 1987 Sadiku, M.N.O.: Numerical Techniques in Electromagnetics. CRC Press, Boca Raton, 2001 Schwarz, H.R.: Methode der finiten Elemente. B.G. Teubner, Stuttgart, 1992 (2.Aufl.) Shen, J.: Computational electromagnetics using Boundary Elements. Advances in modelling eddy currents. Computational Mechanics Publications, Southhampton, 1995 Silvester, P.P.; R.L. Ferrari: Finite Elements for Electrical Engineers. Cambridge University Press, 1983 Smith, G.D.: Numerical solution of partial differential partial differential equations: finite difference methods. Clarendon Press, Oxford, 1993 Strassacker, G., P. Strassacker: Analytische und numerische Methoden der Feldberechnung. B.G. Teubner, Stuttgart, 1993 Sykulski, J.: Computational Magnetics. Chapman & Hall, London, 1995 Taflove, A.: Advances in Computational Electrodynamics. The Finite-Difference Time-Domain Method. Artech House, Boston-London, 1998 Taflove, A., S.C. Hagness: Computational electrodynamics: the finite-difference time-domain method. Artech House, Boston, 2000 Zhou, P.: Numerical analysis of electromagnetic fields. Springer, Berlin-Heidelberg, 1993 Zienkiewicz, O.C., R.L. Taylor: The finite element method. Butterworth-Heinemann, Oxford, 2000

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0 Einführung

0.1 Historische Entwicklung der Feldberechnung Klassische Analyse - Approximationstheorie (Michlin, 1967) - spezielle analytische Lösung (Binns, 1963) - Transformationen (Schwarz, 1869) (Christoffel, 1870) Graphische Methoden (Johnson, 1927) (Stevenson, 1927) (Bewley, 1948) Netzwerkmodelle - Widerstandsnetzwerke (Liebman, 1949/52) (Duffin, 1959) Kontinuierliche Modelle - leitendes Papier (Karplus, 1958)

- elektrolytischer Trog Finite – Differenzen - Methode (Binns, 1963) Variationsrechnung - Rayleigh – Ritz - Verfahren (Ritz, 1909)

(Gould, 1957) (van Bladel, 1964) (Kornhauser, 1952) (McDonald, 1974) Statistische Verfahren - Monte – Carlo - Methode (Ehrlich, 1959) 0.2 Moderne numerische Feldberechnung

Anfang der siebziger Jahre

- 2D, statisch FDM (Trowbridge, 1972) FEM (Silvester, 1970)

- 3D FDM (Müller, 1972/83) IGM (Tozoni, 1975) Mitte der siebziger bis Mitte der achtziger Jahre

- zeitabhängige Probleme, 2D + 3D - interaktive Grafiktechniken (Csendes, 1981) - vorkond. konjugierte Gradientenverfahren (Kershaw, 1978) - automatische Netzgenerierung (2D) (Csendes, 1985) - a posteriori – Fehleranalysen (Biddlecombe, 86) - PC’s und CAD - Verfahren (Simkin, 1983) (Lowther, 1986)

Seit Mitte der achtziger Jahre - Übertragung auf PC – Technik - Nutzung von Supercomputern und Parallelrechnern - Kopplung verschiedener Methoden - CAD – Systeme - Berechnung verkoppelter Felder

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0.3 Entwicklung der Diskretisierungsmethoden Finite – Differenzen – Methode (FDM)

- erste elektrotechnische Anwendung (Erdelyi, 1970) - große 3D – Probleme (Müller, 1983) - Zeitdiskretisierung

Finite – Elementen – Methode (FEM)

- Mechanik (Zienkiewicz, 1965) - Elektrotechnik, Magnetostatik (Winslow, 1967) - elektrische Maschinen (Silvester, 1970) - elektrostatische Potentialprobleme (Silvester, 1969) - Wellenleiteranordnung (Silvester, 1969) (Ng, 1974) - 3D – Mikrowelleneinrichtungen (Hara, 1983) - Wirbelstromprobleme (Konrad, 1985) (Chari, 1980) - Modellierung von Permanentmagneten (Nakata, 1988) - 3D – Feldprobleme

Integralverfahren (IGM)

- Strukturmechanik BEM (Brebbia, 1980) - Elektrotechnik (Simkin, 1976)

(Wexler, 1969) - BEM – Softwarepakete (Tortschanoff, 1984) - Umlaufintegralmethode (Reichert, 1967)

(Koch, 1985) - Ersatzladungsverfahren (Steinbigler, 1968) - Momenten-Methode (Harrington, 1968)

COMPUMAG-Konferenzen:

1987 - Graz / Austria 1989 - Tokyo / Japan 1991 - Sorrento / Italy 1993 - Miami / USA 1995 - Berlin / Germany 1997 - Rio de Janeiro / Brasil 1999 - Sapporo / Japan 2001 - Evian / France 2003 - Saratoga Springs / USA 2005 - Shenyang / China 2007 - Aachen / Germany 2009 - Florianopolis / Brazil 2011 - Sydney / Australia

2013 - Budapest / Hungary

8

1 Mathematisch – physikalische Feldmodellierung 1.1 Klassifizierung und Randbedingungen Approximationen physikalischer Erscheinungen: partielle Differentialgleichungen + Rand-/Anfangsbedingungen Beispiele: Felder von: - Drücken - Temperaturen - Massekonzentrationen - Verschiebungen - Elektromagnetischen oder akustischen Potentialen RWA - Ortskoordinate = unabhängige Variable AWA - Zeit = unabhängige Variable pDGL 2. Ordnung: L() - f = 0

DCx

Bx

ALn

i i

i

n

i i

i

) () () (

) (11

2

2

allgemeine pDGL mit 2 unabhängigen Variablen:

yxyxD

yC

yxB

xA ,,,,2

2

22

2

2

Klassifizierung der Differentialgleichungen Nach Form der Funktion D: B2 - A C < 0 elliptische DGL B2 - A C = 0 parabolische DGL B2 - A C > 0 hyperbolische DGL

9

Randbedingungen Allgemeine Form:

n

1. Art ( Dirichlet-RB): gegeben; = 0 2. Art (Neumann-RB): /n gegeben; =0

homogene Neumann-RB: /n=0

3. Art (gemischte RB): , 0

Sturmscher Typ: = 0 auch: Cauchy-RB 1.2 Randwertprobleme / Anfangswertprobleme Feldeinteilung und Randbedingungen

Typ

hyperbolisch

parabolisch

elliptisch

D

> 0

= 0

< 0

Normal-

form

uxy = F

uxx – uyy =F

uxx = F

uxx + uyy =F

Rand-

bedingungen

3. Art

Dirichlet Neumann

3. Art

Dirichlet Neumann (3. Art)

Beispiel

Wellen-

gleichung

utt = 2uxx

Wärme- leitung

ut = 2uxx

Potential- gleichung

uxx + uyy =0

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X

Y

Z

Randwertaufgaben z.B. Lösung eines Variationsfunktionals: a ( , ) = f ( )

mit den Anfangs- und Randbedingungen

- Startzeit

- Dirichlet .)()( konstxgx

- Neumann .)()(

konstxgn

x

- mixed ( Konvektion ) )()(

)( xgn

xbxa

- binär ( m = 0; k = 1) mxxk iI )()(

oder periodisch

- Fernfeld

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Dirichlet – Randbedingung

Bedingung 1. Art Potential vorgegeben

Problem: - Wo muss man den Rand definieren?

a) b) c) Streufluss vernachlässigt

d) e) Kelvin–Transformation f)

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Neumann – Randbedingung

Normalen – Ableitung ist konstant

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Periodische Randbedingung Feldsymmetrien

- Diskretisierung muss auf den Rändern (i , I) identisch sein:

mxxk iI )()(

m = 0, k = 1 binäre Randbedingung

Fernfeld – Bedingung

Kelvin Transformation Transformation des freien Raumes in einen endlichen Raum

(d.h. im oberen kleinen Kreis FEM-Lösung) Potentiale auf dem Rand des (kleinen) FEM–Gebietes sind identisch mit denen auf dem

Kreis in der weiteren Umgebung der Hochspannungsleitung

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1.3 Potentialfelder Analoge Größen skalarer Potentialfelder

Größe Elektrostatik

Elektrisches Strömungs-

feld

Magneto- statik

Temperatur-feld

Flüssigkeits-strömung

Gravitations-feld

Potential Potential

Potential

Potential

Temperatur

T

Geschwindig-keitspotential

Newton- Potential

Intensität

elektrische Feldstärke

E

elektrische Feldstärke

E

magnetische Feldstärke

H

Temperatur-gradient

Geschwindig-keit

v

Gravitations-kraft

Material-konstante

Permittivität

Leitfähigkeit

Permeabilität

Wärmeleit-fähigkeit

Dichte

Kehrwert derGravitations-

konstante

Fluss-dichte

Verschiebung-

stromdichte D

Stromdichte J

Magnetische Flussdichte

B

Wärme-strom- dichte

q

Flussrate

Quellen-stärke

elektrische Ladungs-

dichte e

Stromdichte J

magnetische Ladungs-

dichte m

Wärme-quellen- dichte

q

Ausflussrate Massendichte

Integral-parameter

Kapazität C

Leitwert G

Induktivität L

Wärme- kapazität

C

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1.4 Feldanalogien

Magnetfeld:

0

:oder

JA1

2

2

A – magnetisches Vektorpotential – Permeabilität J – Stromdichte B – Magnetflussdichte ( = x A ) – skalares magnetisches Potential µ – Permeabilität J – Stromdichte ( = 0 ) H – magnetische Feldstärke ( = - )

Elektrostatik:

2

– skalares elektrisches Potential – Permittivität – Raumladungsdichte E – elektrische Feldstärke ( = - )

Flüssigkeitsströmung:

0f

oder

qp

2

2

p – Geschwindigkeitspotential – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = - ) f – Strömungsfunktion – Dichte q – Masseproduktion v – Geschwindigkeit ( = x f )

Temperaturfeld:

qTk 2

T – Temperatur k – Leitfähigkeit q – Wärmequellendichte v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k T )

Grundwasserströmung:

qk 2

– piezometrischer Knopf k – Leitfähigkeit q – Entladung / Pumpung v – Leitungsgeschwindigkeit ( = - k )

Torsion (2D):

2G

1 2

– Spannungsfunktion G – Young-Modul – Verdrehungswinkel / Länge – Scherspannung ( = x )

Elastische Membran:

FuT 2

u – Querauslenkung T – Membranspannung F – horizontal verteilte Last

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Analogien in den Feldgleichungen

t

TcqTgraddiv

felderTemperatur

transiente

t

BErot ,HB ,EJHrot

mfelderWirbelstro

transiente

0qTgraddiv felder Temperatur

stationäre

BjErot ,HB ,EJHrotmfelder Wirbelstro

eharmonisch

EJ 0,Jdiv 0,Erot eldStrömungsf

eselektrisch sstationäre

)H(MM , ischhartmagnet b)

0M ),H( B(H),Betisch weichmagna)

MHB 0,Bdiv,JHrottikMagnetosta

ED ,Ddiv 0,ErottikElektrosta

0

0

0

Feldformulierungen Das skalare elektrische Potential V

Die Vektoridentität 0)V(

führt zur elektrischen Feldstärke V- E

und zu einer Poisson – Gleichung für das elektrische Feld

VV 2

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Niederfrequente Magnetfelder

Statisch langsam veränderlich, transient zeitharmonische Wirbelstromprobleme

- linear - sinusförmig - Einzelfrequenzen

Das skalare magnetische Potential

Analog findet man eine Formulierung für das skalare magnetische Potential in

stromfreien Gebieten

0

0)(

H

2

weniger Unbekannte verglichen mit dem Vektorpotential Probleme in Regionen mit eingeprägten Strömen werden überwunden durch die

Definition eines elektrischen Vektorpotentials

)T()( 2 A – Formulierung

A – Formulierung

- Formulierung

Potentialformulierung

Vektorpotential

JA2

Skalarpotential

)T(2

Implizit erfüllte Gleichung

0B

JH

Explizit erfüllte Gleichung

HB

JH

HB

0B

Feldquellen

J

T ist zu bestimmen

Zusatzbedingungen

Eichung

Schnitte / Symmetrien

Elementetyp

Kanten (edge)

Knoten (node)

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Quasistationäre elektromagnetische Felder

PDE vom Poisson – Typ (d/dt = 0) Diffusionsgleichung (stationär)

J)A(

physikalische Effekte - ferromagnetische Sättigung - Hysteresis - zusätzliche Terme (quasistationär)

Bewegung v

Wirbelstrom

JAjA2

transienter Term

Jt

AA2

Praktische Anwendung - Frequenz < 10kHz - elektrische Energiewandler Motoren Aktuatoren Hochspannungsleitungen Ausnahme: Mikrowellenheizung (Verschiebungsströme)

Felderzeugung durch stromdurchflossene Spulen - Motoren - Transformatoren - Induktoren

Leitungsstrom kein Verschiebungsstrom !

Durchflutungsgesetz

JH

Felder sind quasistationär: l ; v

lTa

große Anstiegszeit Ta verglichen mit der Signallaufzeit

mm km ; l 5...10 ; v

lT GhzHza 30;600010...5 1050

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Wirbelstromformulierungen

- Faraday´sches Gesetz

At

Bt

E

- Ohmsches Gesetz

At

J e

liefert 0JAt

A1

und mit den gleichen Annahmen wie im stationären Fall ist die transiente Formulierung gegeben durch:

02 JA

tA

und mit AjAt

sowie sinusförmiger und Einzelfrequenz- Erregung erhalten wir die zeitharmonische Formulierung

02 JAjA

mit komplexem Vektorpotential )tcos(A)t(A

ausgedrückt durch )t(jeA)t(A

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Lösung von Feldaufgaben

Feldprobleme werden definiert durch Differentialgleichungen Problem: Finden der korrekten Lösung durch Anwendung der geeigneten Methode

(FEM, BEM, FDM, ... ) Partielle Differentialgleichung

Problem:

partielle Differentialgleichungen sind schwer zu lösen Lösung:

- Finde die komplizierte Lösung eines Problems indem sie durch eine einfachere ersetzt wird

- Aufstellung eines leicht zu lösenden linearen Gleichungssystems

1.5 Lösungsansätze

Analytische Methoden zur Feldberechnung

- Superposition - Gaußscher Satz der Elektrotechnik - Direkte Integration - Spiegelungsmethode - Konforme Abbildung - Schwarz – Christoffelscher Abbildungssatz - Produktansatz (Separation der Variablen) - Reihenentwicklungen (Fourier-, Multipol-,...) - Durchflutungsgesetz - Gesetz von Biot – Savart - Vektorpotential - Skalarpotential (totales oder reduziertes) - Monte – Carlo – Methode

Analysemethoden

analytische Methoden semi- analytisch/numerisch numerische Methoden

exakte Methoden:

Separation der

Variablen LAPLACE –

Transformation ...

Approximationen:

RAYLEIGH –

RITZ GALERKIN-

Methoden ...

numerische Lösung finite oder diskrete Elemente Methode

numerische Integration

finite Differenzen

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Semi – analytische Verfahren

- Ersatzladungsverfahren - Sonderfälle der Momentenmethode - Fourier – Transformation

Spectral Domain Analysis (3D Fourier – Transformation) Reihensätze, die auf komplizierte Integrale führen

- Point – Matching – Methode (Kollokation) - MMP – Methode (Multiple – Multipol –Methode)

Semi – numerische Verfahren

- Momentenmethode

Numerische Verfahren

- Direkte Lösung der Maxwell – Gleichungen

Integralform Differentialform

- Lösung abgeleiteter Gleichungen Wellengleichung Potentialgleichung

- Unabhängige Variable direkte Feldgrößen: E, D, H, B, J abgeleitete Größen: Skalarpotentiale , Vektorpotentiale A, T Hertzscher Vektor Π

Lösungsansätze erfüllen die Randbedingungen, aber nicht die Feldgleichungen!

Lösungsansätze erfüllen weder die Feldgleichungen, noch die Randbedingungen exakt!

Lösungsansätze erfüllen die Feldgleichungen, aber nicht die Randbedingungen!

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o Parasitäre Effekte, die für die Anwendung numerischer Methoden sprechen

Ferromagnetische Sättigung Zunahme von Leckströmen Hohe Betriebstemperaturen irreversible Verluste bei Verwendung von Permanentmagneten Kopplung verschiedener Effekte thermische/magnetische/strukturdynamische/Strömungsfelder durch Bewegung induzierte Strömungsfelder

o Eigenschaften numerischer Methoden

Zuverlässigkeit Robustheit Genereller Anwendungsbereich Genauigkeit Leistungsfähigkeit

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1.6 Theorie – Simulation – Experiment

Computersimulation - numerische Approximation - reflektiert und beeinflusst die klassische Theorie

Lösungsprozess

Annahmen

- Randbedingungen - Materialeigenschaften

Lösungskriterien - Gleichungstyp - Lösungsalgorithmus

Reale Anordnung Modellierung Mathematisches Modell des Gerätes

Messung

Experimentelle Daten

Computersimulation Theorie

Berechnete Daten Theoretische Erwartungen

Vergleich Vergleich

Modellverifikation durch Simulation

Modelverifikation über die Theorie

System von partiellen DGLn

Annahmen

Potentiale, Eichung, Schnitte, Symmetrie

Formulierung

Wahl des Lösungskriteriums

Wahl der Diskretisierungselemente

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Ablauf einer Feldberechnung

Grundelemente - Problemdefinition Geometrie Material Problemtyp:

- statisch, - transient, - zeitharmonisch, - gekoppelt,...

- Lösung - Auswertung

Potentialverteilung

Teilschritte einer Feldanalyse

Eingaben: - Geometrie - Fehlergrenzen - Auswertung als - Material - max. Iterationszahl Diagramm, - Randbedingungen Farbplots,... - Diskretisierung - Netzadaption - Optimierung - Approximation - numerische Methoden - weitere Modellierungen - Parametrisierung - Gleichungslöser konzentrierte Parameter - Kopplung: Felder - Approximation lokaler Geometrie Feldgrößen Netzwerk - Feldkopplung Bewegung Methoden

Preprocessing 50% Definition Geometrie,

Material

Netzgenerierung

Processing 20%

Modifizierte Newton – Methode

SSOR-CG

Fehlerabschätzung

Netzadaption

Postprocessing 30%

Auswertung

Preprocessing Processing Postprocessing

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Numerische Verfahren Magnetic Equivalent Circuit (MEC) Feldersatzverfahren (Elementarstrom-, Mengentheorie des Magnetismus) numerische Lösungsmethoden

- FDM - FEM - BEM

Materialmodellierung numerische Implementierung Netzverfeinerung Postprocessing Äquivalente magnetische Netzwerke / Magnetic Equivalent Circuit (MEC)

Äquivalenz zwischen elektrischem Strömungsfeld und Magnetfeld

Vorteile

- schnell - leicht zu implementieren - nichtlinear möglich

Nachteile - nur einfache Geometrie - Flusswege müssen für die Aufstellung des Modells bekannt sein - Kraftberechnung ist schwierig

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Äquivalente Netzwerke

Elemente mit konstanten Eigenschaften

1

0 )()(

1

xSx

dxR

m

m

- linear - nichtlinear - parametrisch nichtlinear

Feldlösung

- in diskreten Netzwerkknoten - gute Approximationsmethode

Feldersatzmethoden Äquivalenz zwischen elektrischem und magnetischem Feld Vorteile

- relativ schnell - 3D – Felder

Nachteile - Nichtlinearitäten werden nicht erfasst - nur für spezielle Geometrien - spezifische Randbedingungen (manchmal nicht sehr realistisch)

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Elementarstrommodell der Magnetisierung Verteilte (Elementar-) Ströme

- homogen verteilte Dipolmomente führen zu einem Oberflächenstrom IS, - Volumenstrom IV verschwindet

Magnetisches Ladungsmodell der Magnetisierung

Maxwell – Gleichungen

0

B

JH keine felderregenden Ströme im Volumen

0

H führt zu einem Gradientenfeld

Hm

Verwendung der Entmagnetisierungkennlinie des Permanentmagnetmaterials

)(0

MHB

führt zu der Poisson – Gleichung

0)(0

MHB

mmHM

Mm

Äquivalenz des PM – Feldes mit dem elektrischen Feld Die einfachen Regeln der Elektrostatik sind anwendbar für die Bestimmung von

Skalarpotential und magnetischer Feldstärke durch Integration über die Oberfläche des Permanentmagnetes

dAr

MdA

r

MPH

dAr

MdA

r

MP

A N pqA N pq

A N pqA N pq

m

0000

0000

44)(

,44

)(

28

Übersicht über die Feldberechnungsmethoden

Methode

Prinzip der

Diskretisierung

Geometrie-

Approximation

Nicht-

linearität

Rechen- Aufwand

FEM

extrem flexibel

gut

möglich

hoch

FDM

unflexibel

möglich

hoch

BEM

bedingt flexibel

ungünstig

hoch

MEC

spezielle Geometrie

möglich

gering

Ersatz- quellen

Magnetisches

Moment /

Dipolmoment

einfache Geometrie

ungünstig

niedrig