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Numerische Mathematik 2

(Numerik Partieller Differentialgleichungen)

Rolf Rannacher

Institut fur Angewandte Mathematik

Universitat Heidelberg

Vorlesungsskriptum WS 2007/2008

12. Februar 2008

ii

Adresse des Autors:

Institut fur Angewandte MathematikUniversitat HeidelbergIm Neuenheimer Feld 293/294D-69120 Heidelberg, Deutschland

[email protected]

http://www.numerik.uni-hd.de

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis vi

0 Einleitung 1

0.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

0.2 Ableitung von partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

0.4 Numerische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Theorie partieller Differentialgleichungen 9

1.1 Typeneinteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Elliptische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.1 Existenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.2.2 Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.2.3 Stetige Abhangigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.2.4 Regularitat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3 Hilfsmittel aus der Theorie von Funktionenraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Sobolew-Raume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2 Eigenschaften von Lebesgue- und Sobolew-Raumen . . . . . . . . . . . . . 27

1.3.3 Elemente der Spektraltheorie elliptischer Operatoren . . . . . . . . . . . . 31

1.4 Parabolische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.5 Hyperbolische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.6 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Differenzen-Verfahren fur elliptische Probleme 45

2.1 Allgemeine Differenzenapproximationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.1.1 Konsistenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2.2 Eigenschaften der Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2.1 Das Konvergenzverhalten von Differenzenverfahren . . . . . . . . . . . . . 55

2.3 Losungsaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3.1 Aufwandsanalyse: ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

3 Finite-Elemente-Verfahren fur elliptische Probleme 73

3.1 Allgemeine Projektionsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3.1.1 Beispiele von Galerkin-Ansatzraumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.1.2 Diskretes Maximumprinzip fur Finite-Elemente-Approximationen . . . . . 84

3.1.3 Approximation krummer Rander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.2 Allgemeine Finite-Elemente-Ansatze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

3.3 Interpolation mit finiten Elementen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

3.4 A priori Fehleranalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.4.1 Punktweise Fehlerabschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.5 Implementierungsaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.5.1 Aufbau der Systemmatrizen und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

3.5.2 Konditionierung der Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

3.5.3 Aufstellung der Systemmatrizen mit numerischer Integration . . . . . . . 123

3.6 A posteriori Fehleranalyse und Gittersteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.6.1 Allgemeine a posteriori Fehlerabschatzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.6.2 Spezielle a posteriori Fehlerschatzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

3.6.3 Strategien zur Gittersteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.6.4 Ein Testbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.7 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

4 Iterative Losungsverfahren fur FD- und FE-Gleichungen 157

4.1 Krylow-Raum-Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

4.1.1 Verfahren der konjugierten Richtungen (CG-Verfahren) . . . . . . . . . . 159

4.1.2 CG-Verfahren fur unsymmetrische und indefinite Probleme . . . . . . . . 164

4.1.3 Vorkonditionierung (PCG-Verfahren) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

4.2 Mehrgitterverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

4.2.1 Mehrgitteralgorithmus im Finite-Elemente-Kontext . . . . . . . . . . . . . 169

4.2.2 Konvergenz- und Aufwandsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

4.3 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

5 Verfahren fur parabolische Probleme 183

5.1 Differenzenverfahren fur parabolische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.1.1 Zeitschrittverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

5.1.2 Stabilitat und Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

INHALTSVERZEICHNIS v

5.2 FE-Galerkin-Verfahren fur parabolische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

5.2.1 A priori Konvergenzabschatzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

5.2.2 Fehlerkontrolle und Schrittweitensteuerung . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

5.3 Verallgemeinerungen und Losungsaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

5.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

6 Verfahren fur hyperbolische Probleme 221

6.1 Differenzenverfahren fur hyperbolische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

6.2 Finite-Elemente-Verfahren fur hyperbolische Probleme . . . . . . . . . . . . . . . 228

6.3 Verallgemeinerungen und Losungsaspekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

6.4 Ubungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Index 233

vi INHALTSVERZEICHNIS

Literaturverzeichnis

[1] R. Rannacher: Numerische Mathematik 0 (Einf. in die Numerische Mathematik),Vorlesungsskriptum, Universitat Heidelberg,http://numerik.uni-hd.de/∼lehre/notes/

[2] R. Rannacher: Numerische Mathematik 1 (Numerik Gew. Differentialgleichungen),Vorlesungsskriptum, Universitat Heidelberg,http://numerik.uni-hd.de/∼lehre/notes/

(I) Theorie partieller Differentialgleichungen

[3] G. Hellwig: Partielle Differentialgleichungen,B.G. Teubner 1960.

[4] A. Friedman: Partial Differential Equations,Holt, Rinehart und Winston 1970.

[5] F. John: Partial Differential Equations,Springer 1978.

[6] J. Wloka: Partielle Differentialgleichungen, Sobolewraume und Randwertaufgaben,B.G. Teubner 1982.

[7] W. R. Strauss: Partial Differential Equations: An Introduction,John Wiley 1992.

[8] M. Renardy, R. Rogers: An Introduction to Partial Differential Equations,Springer 1993.

[9] A. Tveito, R. Winther: Introduction to Partial Differential Equations: A ComputationalApproach, Springer 1998.

(II) Numerik partieller Differentialgleichungen

[10] R. D. Richtmeyer, K. W. Morton: Difference Methods for Initial Value Problems,Interscience 1967.

[11] G. Strang, G. J. Fix: An Analysis of the Finite Element Method,Prentice-Hall 1973.

[12] A. R. Mitchell: Computational Methods in Partial Differential Equations,John Wiley 1976.

[13] A. R. Mitchell, R. Wait: The Finite Element Method in Partial Differential Equations,John Wiley 1977.

[14] P. G. Ciarlet: The Finite Element Method for Elliptic Problems,North-Holland 1978.

[15] A. R. Mitchell, D. F. Griffiths: The Finite Difference Method in Partial Differential Equa-tions, John Wiley 1980.

vii

viii LITERATURVERZEICHNIS

[16] O. Axelsson, V. A. Barker: Finite Element Solution of Boundary Value Problems, Theoryand Computation, Academic Press 1984.

[17] V. Thome: Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems,Springer 1984.

[18] W. Hackbusch: Theorie und Numerik elliptischer Differentialgleichungen,B. G. Teubner 1986.

[19] C. Johnson: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite ElementMethod, Cambridge University Press 1987.

[20] H. R. Schwarz: Methode der finiten Elemente,B. G. Teubner 1991.

[21] W. Hackbusch: Iterative Losung großer schwachbesetzter Gleichungssysteme,B. G. Teubner 1991.

[22] F. Brezzi, M. Fortin: Mixed and Hybrid Finite Element Methods,Springer 1991.

[23] D. Braess: Einfuhrung in die Methode der Finiten Elemente,Springer 1991.

[24] Ch. Großmann, H.-G. Roos: Numerik partieller Differentialgleichungen,B. G. Teubner 1992.

[25] H. Goering, H.-G. Roos, L. Tobiska: Finite-Elemente-Methode,Akademie-Verlag 1993.

[26] S. C. Brenner, L. R. Scott: The Mathematical Theory of Finite Element Methods,Springer 1994.

[27] A. Quarteroni, A. Valli: Numerical Approximation of Partial Differential Equations,Springer 1994.

[28] K. Eriksson, D. Estep, P. Hansbo, C. Johnson: Computational Differential Equations,Cambridge University Press 1996.

[29] P. Knabner, L. Angermann: Numerik partieller Differentialgleichungen,Springer 2000.

0 Einleitung

Gegenstand dieser Vorlesung sind numerische Algorithmen zur naherungsweisen Losung vonpartiellen Differentialgleichungen. In der Regel lassen sich fur die in der Praxis auftretendenpartiellen Differentialgleichungen keine Losungen in analytischer Form angeben. Man ist also aufnumerische Approximation angewiesen. Dabei wird das kontinuierliche Ausgangsproblem durchein

”diskretes“, d.h. endlich dimensionales, ersetzt und dieses dann mit Hilfe des Computers

gelost.

0.1 Notation

Wir stellen zuachst einige der im folgenden verwendeten Begriffe und abkurzenden Bezeichnun-gen zusammen.

i) Unabhangige Variable: Wir betrachten (offene beschrankte) Gebiete Ω ⊂ Rd fur d = 1, 2, 3

mit Rand ∂Ω. Der außere Normaleneinheitsvektor zu ∂Ω ist n. Punkte im Rd sind x =

(x1, ..., xd)T oder im R

3 auch (x, y, z)T . Die Zeitvariable ist t. Fur d-dimensionale Vekto-ren a, b wird das ubliche euklidische1 Produkt mit (a, b) oder auch mit a · b bezeichnet.Die euklidische Vektornorm ist ‖a‖ := (a, a)1/2 und die zugehorige naturliche Matrizennorm‖A‖ := maxx∈Rd‖Ax‖, ‖x‖ = 1.ii) Funktionen: Wir betrachten im allgemeinen skalare Funktionen u = u(x) oder u = u(x, t)fur Argumente x ∈ R

d bzw. t ∈ R. In einigen Fallen treten auch vektorwertige Funktionen aufu = (u1, ..., ud)

T , die im allgemeinen wie skalare Funktionen bezeichnet werden. Analog werdenSkalarprodukte und Normen uber ein Gebiet Ω unterschiedslos fur skalare wie fur vektorwertigeFunktionen verwendet.

iii) Ableitungen: Fur Funktionen u(t) , u(x) bzw. u(x, t) werden totale sowie partielle Ablei-tungen abgekurzt geschrieben als

dtu :=du

dt, ∂tu :=

∂u

∂t, ∂xu :=

∂u

∂x, ∂iu :=

∂u

∂xi, u.s.w.

und analog auch fur hohere Ableitungen, z.B.: ∂pt u und ∂qxu . Mit dem Nabla-Operator ∇ wer-den der Gradient einer skalaren Funktion sowie die Divergenz einer Vektorfunktion geschriebenals gradu = ∇u := (∂1u, ..., ∂du)

T und divu = ∇ · u := ∂1u1 + ... + ∂dud . Zu einem Vektorβ ∈ R

d wird die Ableitung in Richtung β mit ∂βu := β · ∇u bezeichnet. Entsprechend ist z.B.∂nu = n · ∇u die Ableitung in Richtung der außeren Normalen entlang des Gebietsrandes ∂Ω .Kombination von Divergenz- und Gradientenbildung ergibt den sog.

”Laplace2 -Operator“

∇ · (∇u) = ∆u = ∂21u+ ...+ ∂2

du.

Mit dem Symbol ∇mu bezeichnen wir den Tensor aller partiellen Ableitungen der Ordnung mvon u ; z.B. in zwei Dimensionen ∇2u = (∂ix∂

jyu)i+j=2.

1Euklid (ca. 355-290 v. Chr.): griechischer Philosoph und Mathematiker; wirkte in Alexandria; sein mehrbandi-gen Lehrbuch “Die Elemente” faßte die Grundlagen der klassischen Geometrie zusammen; von ihm stammt dasklassische mathematische Ausdrucksschema “Voraussetzung - Behauptung - Beweis”.

2Pierre Simon Marquis de Laplace (1749-1827): franzosischer Mathematiker und Astronom; Prof. in Paris;begrundete u.a. die Wahrscheinlichkeitsrechnung.

1

2 Einleitung

iv) Integralsatze: Fur stuckweise glatt berandete Gebiete Ω ⊂ Rd und hinreichend glatte Funk-

tionen u, v gelten der klassische Integralsatz von Gauß3

∫

Ω∇ · u dx =

∫

∂Ωn · u do, (0.1.1)

sowie als Folgerung die Integralformel von Green4

∫

Ω∇u · ∇v dx =

∫

∂Ωu∂nv do−

∫

Ωu∆v dx. (0.1.2)

v) Funktionenraume: Auf Punktmengen Ω ∈ Rd verwenden wir die ublichen Vektorraume von

stetigen bzw. stetig differenzierbaren Funktionen

C(Ω), Cm(Ω), C∞0 (Ω).

Der Raum C(Ω) ist, versehen mit der Maximumnorm

‖u‖∞;Ω := maxx∈Ω

|u(x)|,

vollstandig, d.h. ein Banach-Raum5 . Weiter ist L2(Ω) der Raum der auf Ω meßbaren und imLebesgueschen Sinne quadratintegrablen Funktionen. Versehen mit dem Skalarprodukt und derzugehorigen Norm

(u, v)Ω :=

∫

Ωu(x)v(x) dx, ‖u‖Ω = (u, u)

1/2Ω ,

ist L2(Ω) vollstandig, d.h. ein Hilbert-Raum6 . Wenn der Definitionsbereich Ω aus dem Zu-sammenhang klar ist, wird er in der Bezeichnung von Skalarprodukten und Normen meist weg-gelassen; z.B.: ‖u‖ = ‖u‖Ω. Weitere Funktionenraume werden spater an den Stellen eingefuhrt,wo sie gebraucht werden.

vi) Ungleichungen: Wir listen einige der im folgenden haufig verwendeten Ungleichungen furFunktionen aus den oben definierten Funktionenraumen. Fur Funktionen u, v ∈ L2(Ω) gilt die

”Holdersche7 Ungleichung“

∣∣∣∫

Ωu(x)v(x) dx

∣∣∣ ≤( ∫

Ω|u(x)|2 dx

)1/2(∫

Ω|v(x)|2 dx

)1/2, (0.1.3)

3Carl Friedrich Gauß (1777-1855): bedeutender deutscher Mathematiker, Astronom und Physiker; wirkte inGottingen.

4George Green (1793-1841): englischer Mathematiker; Autodidakt und Besitzer einer Muhle; Beitrage zurPotentialtheorie.

5Stefan Banach (1892-1945): polnischer Mathematiker; Prof. in Lvov; begrundete die Funktionalanalysis.6David Hilbert (1862-1943): bedeutender deutscher Mathematiker; wirkte in Konigsberg und Gottingen; be-

grundete u. a. den axiomatischen Aufbau der Mathematik; zum Wesen der Axiomatik (in der Geometrie) sagteer “Man muß jederzeit anstelle von Punkten, Geraden, Ebenen - Tische, Stuhle, Bierseidel sagen konnen”.

7Ludwig Otto Holder (1859-1937): deutscher Mathematiker; Prof. in Tubingen; Beitrage zunachst zur Theorieder Fourier-Reihen und spater vor allem zur Gruppentheorie; fand 1884 die nach ihm benannte Ungleichung.

0.2 Ableitung von partiellen Differentialgleichungen 3

bzw. in kompakter Schreibweise: |(u, v)|Ω ≤ ‖u‖Ω ‖v‖Ω. Fur Funktionen u ∈ C(Ω)∩C1(Ω) mitden Eigenschaften u|∂Ω = 0 und |∇u| ∈ L2(Ω) gilt die

”Poincaresche8 Ungleichung“

(∫

Ω|u(x)|2 dx

)1/2≤ dΩ

( ∫

Ω|∇u(x)|2 dx

)1/2, (0.1.4)

bzw. in kompakter Schreibweise: ‖u‖Ω ≤ dΩ‖∇u‖Ω, wobei dΩ := diam(Ω) .

0.2 Ableitung von partiellen Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen werden meist als mathematische Modelle zur Beschreibung phy-sikalischer Vorgange abgeleitet. Ziel ist es, die Eigenschaften dieser Vorgange durch die Gleichun-gen moglichst vollstandig zu erfassen und davon ausgehend dann ihren Ablauf vorherzusagen.Bei der Konstruktion solcher Gleichungen geht man haufig nach recht formalen Regeln vor undverwendet Analogieschlusse. Vollig unterschiedliche physikalische Prozesse lassen sich haufigdurch Gleichungen sehr ahnlicher Gestalt beschreiben.

i) Harmonische (d.h.”schwingende“) Ausbreitungsvorgange sind z.B. die Ausbreitung einer Was-

serwelle (lokale Storung der Wasseroberflache) oder eines Gerauschs (lokale Storung der Luft-dichte). Es erscheint sinnvoll, diese im einfachsten Fall durch eine Funktion u = u(x, t) im Ortx und der Zeit t der Form u(x, t) = sin(x) sin(t) zu beschreiben. Diese genugt der Differenti-algleichung

∂2t u = ∂2

xu. (0.2.5)

Es zeigt sich, daß diese sog.”Wellengleichung“ tatsachlich die in der Natur auftretenden Schwin-

gungsvorgange beschreibt. Sie ist der Prototyp einer”hyperbolischen“ Differentialgleichung.

ii) Andere Ausbreitungsvorgange sind dadurch gekennzeichnet, daß lokale Storungen nicht schwin-gend, sondern

”diffundierend“ und sich abschwachend fortgepflanzt werden, z.B.: Temperatur-

ausbreitung in einem Leiter (Warmeleitung) oder Verteilung einer Dichtekonzentration in einerFlussigkeit (Stofftransport). Zur Beschreibung solcher Vorgange dienen Funktionen der Formu(x, t) = sin(x) e−t. Diese genugen der Differentialgleichung

∂tu = ∂2xu. (0.2.6)

Es zeigt sich, daß diese sog.”Warmeleitungsgleichung“ tatsachlich die in der Natur auftreten-

den Diffusionsvorgange beschreibt. Sie ist der Prototyp einer”parabolischen“ Differentialglei-

chung. In Fall zweier Raumdimensionen, u = u(x, y, t) , lautet die Warmeleitungsgleichung unterBerucksichtigung von externen Warmequellen

∂tu = ∂2xu+ ∂2

yu = ∆u+ f. (0.2.7)

8Jules Henri Poincare (1854-1912): franzosischer Mathematiker; Prof. an der Ecole Polytechnique und derSorbonne in Paris; eins der letzten mathematischen Universalgenies; fundamentale Beitrage zu allen Bereichender Mathematik, zur Himmelsmechanik, Stromungsmechanik und Wissenschaftsphilosophie.

4 Einleitung

iii) Der Grenzzustand fur t → ∞ eines Diffusionsprozesses u(x, y, t) , z.B. beschrieben durchdie Warmeleitungsgleichung (0.2.7), ist als Losung der sog.

”Poisson9-Gleichung“

−∆u = −∂2xu− ∂2

yu = f, (0.2.8)

gegeben. Diese ist der Prototyp einer”elliptischen“ Differentialgleichung.

0.3 Beispiele

Die folgenden Beispiele aus verschiedenen Wissenschaftsdisziplinen vermitteln einen Eindruckvon der Vielfaltigkeit der auftretenden Probleme.

1. Erhaltungsgleichungen

Die Grundgleichungen der (klassischen) Kontinuumsmechanik basieren auf dem physikalischenGrundprinzip der

”Erhaltung“, d.h.: Zustandsgroßen wie z.B. Massedichte ρ(x, t), innere Ener-

gie bzw. Temperatur T (x, t), Impuls ρ(x, t)~v(x, t), u.s.w., werden als Dichtefunktionen beschrie-ben, deren Integrale uber beliebige bewegte

”Kontrollvolumen“ sich beim Fehlen von außeren

Einflussen nicht verandern. Fur die zeitliche Veranderung der Masse mV (t) eines solchen mitdem Geschwindigkeitsfeld v = (v1, v2, v3) bewegten Volumens V (t) gilt (sog.

”Reynoldsches10

Transporttheorem“)

0 = dtmV (t) = dt

∫

V (t)ρ(x, t) dx =

∫

V (t)∂tρ+ ∇ · (ρv) dx. (0.3.9)

Da dies fur beliebige Volumen V (t) gelten soll, ergibt sich fur stetige Dichtefunktionen diefolgende Erhaltungsgleichung 1. Ordnung (sog.

”Kontinuitatsgleichung“):

∂tρ+ ∇ · (ρv) = 0. (0.3.10)

Auf analogem Wege erhalt man aus dem Erhaltungssatz fur die Temperatur unter Berucksich-tigung von Quelltermen und Warmediffusion in einem ruhenden Medium (~v ≡ 0) die folgendeErhaltungsgleichung 2. Ordnung (sog.

”Warmeleitungsgleichung“):

∂tT −∇ · (a∇T ) = ∇ · q, (0.3.11)

Physikalische Anschauung erfordert, daß Losungen zu diesen Gleichungen bei physikalisch sinn-vollen Anfangs- und Randbedingungen stets positiv sind: ρ > 0, T > 0 . Wir werden sehen, daßdies tatsachlich der Fall ist. Die entsprechenden Erhaltungssatze fur Impuls und Drehimpulsfuhren unter geeigneten zusatzlichen Annahmen zusammen mit der Kontinuitatsgleichung auf

9Simeon Denis Poisson (1781-1840): franzosischer Mathematiker und Physiker; Prof. in Paris; Beitrage zurmathematischen Formulierung der Physik, zum Magnetismus, zur Himmelsmechanik und Wahrscheinlichkeits-rechnung; einer der Begrunder der Potentialtheorie.

10Osborn Reynolds (1842-1912): englischer Ingenieur und Mathematiker; Prof. in Manchester; Beitrage zurTheorie des Elektro-Magnetismus und der Stromungslehre, Fundamente der Turbulenzbeschreibung und der hy-drodynamischen Stabilitat.

0.3 Beispiele 5

die bekannten”Navier11-Stokes12-Gleichungen“ fur inkompressible, Newtonsche Fluide mit kon-

stanter Dichte und Temperatur ( ρ ≡ konst., T ≡ konst.):

∂tv − ν∆v + v · ∇v + ∇p = f, ∇ · v = 0. (0.3.12)

Diese werden hier aber nur der Vollstandigkeit halber formuliert und im Laufe dieser Vorlesungnicht naher betrachtet.

2. Variationsgleichungen

Die Grundgleichungen der (klassischen) Elastizitatstheorie basieren auf dem physikalischen Grund-prinzip der

”Energieminimierung“, d.h.: Der von einem elastischen Korper unter statischer

außerer Belastung eingenommene Zustand ist so betimmt, daß er die potentielle Gesamtener-gie des Systems minimiert. Zur Beschreibung eines elastischen Systems werden in der linearenTheorie die folgenden Großen verwendet: der Verschiebungsvektor u , der Verzerrungstensorε(u) := 1

2(∇u+∇uT ) , der flachenorientierte (symmetrische) Spannungstensor σ und die Volu-menkraft f . Die Spannungen σ sind die Reaktionskrafte des Korpers auf von außen erzwungeneVerzerrungen ε(u) und werden idealisierend in einer linearen Beziehung angenommen, dem sog.(elastischen)

”Materialgesetz“, σ = Aε(u) , mit dem symmetrischen und positiv definiten Elasti-

zitatstensor A . Die potentielle Gesamtenergie des belasteten, elastischen Korpers schreibt sichdann in der Form:

E(u) =1

2

∫

Ωσ : ε(u) dx −

∫

Ωf u dx =

1

2

∫

ΩAε(u) : ε(u) dx−

∫

Ωf u dx. (0.3.13)

Die sich unter der außeren Belastung einstellende Verschiebung in einen neuen Gleichgewichts-zustand u∗ verleiht dann E(·) einen minimalen Wert unter allen zulassigen Verschiebungen,d.h. solchen mit denselben Randwerten. Fur einen solchen optimalen Zustand u∗ gilt dannnotwendig

d

dεE(u∗ + εϕ)|ε=0 = 0,

fur beliebige”zulassige“ Variationen ϕ . Auswertung dieser Beziehung liefert die sog.

”Variati-

onsgleichung“

(Aε(u), ε(ϕ))Ω = (f, ϕ)Ω ∀”zulassigen“ ϕ. (0.3.14)

Dabei bedeutet”zulassig“ fur eine Testfunktion ϕ, daß sie hinreichend glatt ist und entlang des

Randes ∂Ω verschwindet. Nimmt man an, daß das Minimum u hinreichend glatt ist, so folgtdurch partielle Integration

(∇ ·Aε(u) + f, ϕ)Ω = 0 ∀”zulassigen“ ϕ,

11Claude Louise Marie Henri Navier (1785-1836): franzosischer Bauingenieur und Mathematiker; Prof. an derEcole Polytechnique in Paris; Beitrage zum Bruckenbau (erste Theorie der Hangebrucke), Elastizitatstheorie undStromungsmechanik.

12Sir Georg Gabriel Stokes (1819-1903): englischer Mathematiker und Physiker; Prof. in Cambridge; Beitragezur Differential- und Integralrechnung, zur Hydrodynamik und zur Theorie des Lichts, Spektralanalyse undFluoreszenz.

6 Einleitung

und hieraus das Differentialgleichungssystem 2. Ordnung (in kompakter sowie ausfuhrlicherSchreibweise)

−∇ · Aε(u) = f ⇔ −d∑

i=1

d∑

k,l=1

∂iAijklεkl(u) = fj (j = 1, ..., d). (0.3.15)

Der wohl einfachste (mehrdimensionale) Spezialfall eines elastisch deformierten Korpers istdie

”eingespannte Membran“ in einem (beschrankten) Gebiet Ω ⊂ R

2 (Trommelfell). Hier wirdeine Belastung nur in vertikaler Richtung zugelassen ~f = (0, 0, f) und entsprechend auch nurdie Auslenkung in vertikaler Richtung ~u = (0, 0, u) berucksichtigt. Der Elastizitatstensor istdiagonal und wird hier der Einfachheit halber zu A = aI gesetzt. Dann nimmt das obigeFunktional der potentiellen Gesamtenergie die Form an

E(u) = 12a‖∇u‖2

Ω − (f, u)Ω, (0.3.16)

und die zugehorige Differentialgleichung (”Poisson-Gleichung“) lautet

−a∆u = f, in Ω. (0.3.17)

Da die Membran am Rand eingespannt sein soll, muß weiter u|∂Ω = 0 sein.

In einer elastischen Membran wirken als Gegenkrafte zur Belastung reine Federkrafte (invertikaler Richtung) und keine Biegemomente. Dies ist begrundet durch die Vernachlassigungder Dicke der Membran. Flache Korper mit (konstanter) positiver, aber geringer Dicke wer-den als

”Platten“ bezeichnet. Im Rahmen der linearen

”Kirchhoffschen Plattentheorie“ werden

zwar Biegemomente berucksichtigt, aber nur vertikale Verschiebungen zugelassen (”Kirchhoff-

Hypothese“). Im Fall kleiner Verschiebungen (gegenuber der Plattendicke) erhalt dann die po-tentielle Gesamtenergie die Form

E(u) = 12D‖∆u‖2

Ω + (1 − σ)D(∂2

1u, ∂22u)Ω − ‖∂1∂2u‖2

Ω

− (f, u)Ω,

mit Materialparametern σ ∈ (0, 1), D > 0 . Die zulassigen Funktionen mussen in diesem Fall qua-dratintegrable zweite Ableitungen besitzen. Durch den Variationsansatz wie oben erhalt man alsnotwendige (und hinreichende) Bedingung fur ein Energieminimum die sog.

”Plattengleichung“

D∆2u = f. (0.3.18)

Aus naheliegenden Grunden wird der Operator 4. Ordnung ∆2 auch”biharmonischer Opera-

tor“ genannt. Ist die Platte am Gebietsrand”eingespannt“, so mussen die Randbedingungen

u|∂Ω = 0, ∂nu|∂Ω = 0 erfullt sein. Wir merken an, daß ein identisches Modell bei der Beschrei-bung viskoser, inkompressibler Stromungen in zwei Raumdimensionen als Gleichung fur die sog.

”Stromfunktion“ ϕ auftritt; das Geschwindigkeitsfeld ergibt sich dabei durch Rotationsbildungu := (∂yϕ,−∂xϕ)T .

3. Schwingungsgleichungen

Wenn der elastische Korper unter Belastung zeitliche Schwingungen ausfuhren kann, so wird diezugehorige Auslenkung eine Funktion des Orts und der Zeit, u(x, t), und genugt im Rahmen

0.4 Numerische Methoden 7

der linearen Theorie der sog.”elastische Schwingungsgleichung“

∂2t u−∇ · Aε(u) = f. (0.3.19)

Die Gleichung fur die frei schwingende Membran ist die klassische”Wellengleichung“

∂2t u = a∆u. (0.3.20)

Diese beschreibt allgemein die Ausbreitung von Wellen in schwingfahigen Medien (z.B. Schall-welle in einem Gas, Auslenkung einer elastischen Membran oder die Amplitude eines elektrischenFeldes). Sie wird ublicherweise zusammen mit

”Randbedingungen“ u|∂Ω = 0 sowie

”Anfangsbe-

dingungen“ u|t=0 = u0, ∂tu|t=0 = u1 betrachtet.

0.4 Numerische Methoden

Aus den oben skizzierten Wegen zur Herleitung von partiellen Differentialgleichungen gewinntman unmittelbar Ansatze zu deren Diskretisierung.

1. Differenzenverfahren

Ersetzt man die Ableitungen in den Differentialgleichungen (0.2.5), (0.2.6), (0.2.7) und (0.2.8)durch geeignete Differenzenquotienten bezuglich eines regularen Punktegitters, gewinnt manlineare Gleichungen fur die zugehorigen

”diskreten“ Funktionswerte. Dies ist eine sog.

”Differen-

zenapproximation“ der Differentialgleichung. Die Eigenschaften solcher Differenzengleichungen,d.h. ihre Losbarkeit und Approximationsgute, werden weiter unten eingehend behandelt.

2. Finite-Volumen-Verfahren

Die lokale Erhaltungseigenschaft (0.3.9) fuhrt dadurch auf ein numerisches Verfahren, daß manfur die Losung einen bzgl. einer endlichen Zerlegung des Gebiets Ω in Teilvolumina (z.B. Drei-ecke oder Vierecke) stuckweise konstanten Ansatz macht und die Gultigkeit der Erhaltungsei-genschaften dafur auf jedem der sog.

”Kontrollvolumen

”fordert. Dies fuhrt auf ein algebrai-

sches Gleichungssystem fur die zugehorigen Zellmittelwerte. Dieser Diskretisierungsansatz wird

”Finite-Volumen-Methode“ genannt. Derartige Methoden finden hauptsachlich im Bereich der

numerischen Stromungsmechanik Anwendung. Wegen ihrer eingeschrankten Anwendbarkeit undschwierigen Analysierbarkeit werden wir uns mit dieser Methodenklasse in dieser Vorlesung nichtweiter befassen.

3. Variationsmethoden (”Methode der finiten Elemente“)

Die Variationsgleichung (0.3.14) fuhrt durch Einschrankung auf einen endlich dimensionalenTeilraum Vh des Losungsraums des kontinuierlichen Variationsproblems auf eine diskrete Va-riationsaufgabe

(Aε(uh), ε(ϕh))Ω = (f, ϕh)Ω ∀”zulassigen“ ϕh ∈ Vh. (0.4.21)

8 Einleitung

Dies ist aquivalent zu einem linearen (quadratischen) Gleichungssystem fur die Entwicklungsko-effizienten der diskreten Losung uh bzgl. einer geeignet gewahlten Basis des Ansatzraumes Vh .Sind die Funktionen in Vh stuckweise polynomial bzgl. einer Zerlegung des Gebiets Ω z.B. inDreiecke oder Vierecke gewahlt, liegt eine sog.

”Finite-Elemente-Methode“ vor. Diese Methoden

werden unten sehr ausfuhrlich behandelt.

1 Theorie partieller Differentialgleichungen

In diesem Kapitel wird eine Einfuhrung in die Theorie der partiellen Differentialgleichungengegeben, soweit sie fur deren numerische Behandlung relevant ist. Wir betrachten zunachstlineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung der Form

Lu := −d∑

i,j=1

aij∂i∂ju+

d∑

j=1

aj∂ju+ au = f, (1.0.1)

mit gegebenen Koeffizientenfunktionen aij , aj , a und rechter Seite f . Wenn diese Funktionennicht zusatzlich von der unbekannten Losung u abhangen, nennt man die Gleichung

”linear“.

Wegen der Vertauschbarkeit der Reihenfolge der Ableitungen kann o.B.d.A. aij = aji angenom-men werden. Fur allgemeine nichtlineare Gleichungen

F (x, u,∇u,∇2u) = 0 (1.0.2)

gibt es keine einheitliche Losungstheorie. Wir beschranken uns im folgenden daher im wesentli-chen auf lineare Probleme.

Differentialgleichungen werden in der Regel auf (beschrankten oder halbbeschrankten) Ge-bieten Ω ⊂ R

d betrachtet. Dazu kommen dann noch Bedingungen entlang des Randes ∂Ω. Diegeeignete Wahl dieser

”Randbedingungen“ ist eine sehr delikate Sache und erfordert eingehende

Berucksichtigung der speziellen Eigenschaften des Differentialoperators. Diesen wird der nachsteAbschnitt gewidmet sein.

Damit eine Differentialgleichung mit den zugehorigen Randbedingungen ein sinnvolles Modelleines realen physikalischen Vorgangs ist, sind eine Reihe von Forderungen zu stellen:

i) Existenz von Losungen in einem moglicherweise verallgemeinerten Sinne; unter einer”klassi-

schen“ Losung versteht man eine solche, fur die alle auftretenden Ableitungen im Gebietsinnernim strengen Sinne definiert sind und die bis an den Rand stetig ist, d.h.: u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω).

ii) Eindeutigkeit der Losungen moglicherweise unter Hinzunahme von weiteren physikalisch mo-tivierten Bedingungen.

iii) Stetige Abhangigkeit von den Daten wegen der meist inexakten Verfugbarkeit von Koef-fizienten und Randdaten in den physikalischen Modellen; Losungen sollten sich unter kleinenDatenstorungen auch nur wenig andern.

Eine Aufgabe, welche diesen Minimalforderungen genugt, nennt man”wohl-gestellt“ (im Sinne

von Hadamard1).

Bei Anfangs- oder Randwertaufgaben gewohnlicher Differentialgleichungen war die Regu-laritat der Losung kein besonderes Thema, da sich die Regularitat der Daten direkt auf dieentsprechende der Losung ubertragt. Bei partiellen Differentialgleichungen ist dies nicht immerder Fall und bedarf fur verschiedene Typen von Differentialgleichungen gesonderter Untersu-chung.

1Jacque Salomon Hadamard (1865-1963): franzosischer Mathematiker; Prof. in Bordeaux und Paris; vielewichtige Beitrage zur komplexen Analysis und speziellen Funktionen, zur analytische Zahlentheorie, zur Variati-onsrechnung und zu den Differentialgleichungen der mathematischen Physik.

9


1.1 Typeneinteilung

Partielle Differentialgleichungen lassen sich in drei Haupttypen einteilen: die”elliptischen“, die

”parabolischen“ und die

”hyperbolischen“ Gleichungen. Wir werden das dieser Unterteilung

zugrunde liegende Prinzip anhand einer leicht uberschaubaren Situation erlautern. Dies sind dielinearen, skalaren Gleichungen 2. Ordnung in zwei Variablen:

Lu = a11∂2xu+ 2a12∂x∂yu+ a22∂

2yu+ a1∂xu+ a2∂yu+ au = f

mit konstanten Koeffizienten aij. Dabei sollen nicht alle drei Koeffizienten a11, a12, a22 derAbleitungen zweiter Ordnung gleichzeitig Null sein. Diese Gleichung wird auf einem GebietΩ ⊂ R

2 betrachtet.

Ausgangspunkt ist ein direkter Losungsansatz, wie er auch bei gewohnlichen Differentialglei-chungen angewendet werden kann. Fur die Anfangswertaufgabe

u′(t) = f(t, u(t)), t ≥ 0, u(0) = u0,

erhalt man aus der Vorgabe u(0) = u0 durch sukzessives Differenzieren von f(t, x) Formeln furalle Ableitungen von u :

u(i)(0) =di−1

dti−1f(0, u0) =: f (i−1)(0, u0), i = 1, 2, 3, ... .

Wenn die Ableitungen f (i−1) nicht zu schnell wachsen (fur f(t, x) = sin(x) sind sie z.B.gleichmaßig beschrankt), konvergiert die Taylor2-Reihe

u(t) = u0 +

∞∑

i=1

ti

i!f (i−1)(0, u0)

fur alle t ≥ 0 absolut und stellt die (eindeutige) Losung der Anfangswertaufgabe dar.

x

y

nΩ Γ

Abbildung 1.1: Konfiguration der allgemeinen partiellen Differentialgleichung

2Brook Taylor (1685-1731): englischer Mathematiker und Schuler Newtons; die nach ihm benannte Reihenent-wicklung war im Kern bereits Gregory, Newton, Leibniz und Johann Bernoulli bekannt.

1.1 Typeneinteilung 11

Wir versuchen, diese Konstruktion auf partielle Differentialgleichungen zu ubertragen. Dazusei Γ ein Jordan3-Kurvenstuck in Ω mit beliebig oft differenzierbarer Parametrisierung Γ =(x(τ), y(τ)), τ ∈ [0, 1] . Entlang Γ seien fur die Losung u(x, y) der Differentialgleichung dieFunktionswerte u sowie ihre Ableitungen ∂nu in Normalenrichtung n zu Γ vorgegeben. Diesentspricht der Tatsache, daß wir es mit einer Differentialgleichung 2. Ordnung zu tun haben.Mit u und ∂nu ist der ganze Gradient ∇u = (∂xu, ∂yu)

T entlang Γ bekannt. Wir wollenversuchen, aus diesen Vorgaben alle weiteren Ableitungen von u entlang Γ zu bestimmen, umdamit wieder einen Taylor-Reihenansatz fur u in einer Umgebung von Γ zu machen. Zu diesemZweck fuhren wir die Abkurzungen ein:

p := ∂xu, q := ∂yu, r := ∂2xu, s := ∂x∂yu, t := ∂2

yu.

Differentiation von p und q entlang Γ , d.h. bzgl. des Parameters τ , ergibt

∂τp = ∂xp∂τx+ ∂yp∂τy = r∂τx+ s∂τy,

∂τq = ∂xq∂τx+ ∂yq∂τy = s∂τx+ t∂τy.

mit den bekannten tangentialen Ableitungen ∂τx und ∂τy entlang Γ. Zusammen mit der Dif-ferentialgleichung Lu = f ergibt dies ein 3 × 3-Gleichungssystem fur die drei gesuchten Ablei-tungen r, s, t:

a11r + 2a12s+ a22t = f − a1p− a2q − au

∂τxr + ∂τys = ∂τp

∂τxs+ ∂τyt = ∂τq

mit entlang Γ bekannter rechter Seite. Die Determinante der Koeffizientenmatrix B erhalt mandurch Entwicklung nach der ersten Zeile zu

detB = a11∂τy2 − 2a12∂τx∂τy + a22∂τx

2.

Wir unterscheiden jetzt zwei Falle.

i) Fall detB 6= 0 entlang ganz Γ:In diesem Fall sind alle zweiten Ableitungen r, s, t von u durch Vorgabe von u, ∂nu entlangΓ (eindeutig) bestimmbar. Durch weitere Differentiation des Gleichungssystems nach x und yerhalt man wieder ein System fur die dritten Ableitungen ∂xr, ∂xs, ∂xt sowie ∂yr, ∂ys, ∂yt jeweilsmit derselben Koeffizientenmatrix. Durch weiteres Differenzieren lassen sich so alle hoherenAbleitungen von u entlang Γ bestimmen. Durch den Reihenansatz

u(x, y) =∑

i+j≥0

(x− x0)i(y − y0)

j

(i+ j)!∂ix∂

jyu(x0, y0)

bzgl. eines Punktes (x0, y0) ∈ Γ erhalt man dann in einer Umgebung der Kurve Γ eine Losungder Differentialgleichung, die auf Γ die vorgegebenen Werte annimmt. Diese nennt man Losungder

”Cauchyschen4Anfangswertaufgabe“ der Differentialgleichung bzgl. der

”Anfangskurve“ Γ.

3Marie Ennemond Camille Jordan (1838-1922): franzosischer Mathematiker; Prof. in Paris; Beitrage zur Alge-bra, Gruppentheorie, Analysis und Topologie.

4Augustin Louis Cauchy (1789-1857): Ingenieur, Physiker und bedeutendster franzosischer Mathematiker seinerZeit; wirkte an der Ecole Polytechnique und der Sorbonne in Paris; gilt als Begrunder der modernen Analysis und


ii) Fall detB = 0 in einem Punkt (x0, y0) ∈ Γ:Die quadratische Gleichung

a11∂τy2 − 2a12∂τx∂τy + a22∂τx

2 = 0

bestimmt gewisse Richtungen ∂τy/∂τx = dy/dx bzw. ∂τx/∂τy = dx/dy von Kurven (mitGraph y = y(x) oder x = x(y) ) durch den Punkt (x0, y0). Zu deren Bestimmung sei etwaangenommen, daß a11 6= 0 und ∂τx 6= 0. Dann besitzt die Gleichung

(dydx

)2− 2a12

a11

(dydx

)+a22

a11= 0

die Losungen (dydx

)+/−

=a12

a11± 1

a11

√a2

12 − a11a22 .

Diese entsprechen Steigungen von Kurven durch den Punkt (x0, y0) ∈ Γ , entlang welcher diehoheren Ableitungen von u sich nicht aus den Vorgaben entlang Γ bestimmen lassen. Entlangdieser kritischen, auch

”charakteristisch“ genannten Kurven (sog.

”Charakteristiken“ des Dif-

ferentialoperators L) laßt sich also die Losung der Differentialgleichung nicht aus den obigenVorgaben konstruieren. Entlang solcher Kurven konnen Unstetigkeiten in der Losung oder ih-res Gradienten auftreten. Es ist also sehr wichtig, die Existenz von Charakteristiken und derenGestalt fur den zu betrachtenden Differentialoperator vor Ansatz eines numerischen Verfah-rens genau zu bestimmen. Offensichtlich hangt die Existenz von Charakteristiken allein vonden Koeffizienten der hochsten Ableitungen des Operators L , d.h. seinem sog.

”Hauptteil“

a11∂2xu+ 2a12∂x∂yu+ a22∂

2yu , ab. Diesem wird die quadratische Form

q(x, y) := a11x2 + 2a12xy + a22y

2

zugeordnet. Die Gleichung q(x, y) = 0 beschreibt Kegelschnitte in der (x, y)-Ebene:

a212 − a11a22

< 0 : Ellipse,

= 0 : Parabel,

> 0 : Hyperbel.

Von dieser rein formalen Charakterisierung stammen die obigen Bezeichnungen fur die dreiTypen von partiellen Differentialgleichungen. Die Klassifikation eines Differentialoperators als

”elliptisch“,

”parabolisch“ oder

”hyperbolisch“ wird fur jeden einzelnen Punkt (x0, y0) sepa-

rat vorgenommen. Im Falle variabler Koeffizienten aij = aij(x, y) oder im nichtlinearen Fallaij(u(x, y)) kann der Typ einer Gleichung also im Losungsgebiet wechseln. Wir werden im fol-genden nur Gleichungen eines einheitlichen Typs betrachten; in vielen Anwendungen spielt abergerade der Typwechsel eine wichtige Rolle.

Als nachstes wollen wir die prototypischen Vertreter von (linearen) elliptischen, paraboli-schen und hyperbolischen Differentialgleichungen ableiten. Dies wird uns erneut auf die obigeTypenunterteilung fuhren. Dazu schreiben wir den Hauptteil L0 des Differentialoperators in

der Funktionentheorie.

1.1 Typeneinteilung 13

Matrix-Vektor-Form:

L0 = a11∂2x + 2a12∂x∂y + a22∂

2y =

(∂x

∂y

)T (a11 a12

a21 a22

)(∂x

∂y

)= ∇TA∇

Die symmetrische Matrix A besitzt zwei reelle Eigenwerte λ, µ und ein zugehoriges Orthonor-malsystem von Eigenvektoren ξ, η . Mit der Spaltenmatrix Q := [ξ, η] gilt

QQT = I, QTAQ = D = diag(λ, µ).

Damit konnen wir schreiben:

L0 = ∇TQDQT∇ = (QT∇)TD(QT∇)

=

(ξ1∂x + ξ2∂y

η1∂x + η2∂y

)T (λ 0

0 µ

)(ξ1∂x + ξ2∂y

η1∂x + η2∂y

)

bzw.L0 = λ(ξ1∂x + ξ2∂y)

2 + µ(η1∂x + η2∂y)2,

oder mit den Richtungsableitungen ∂ξ = ξ · ∇ und ∂η = η · ∇ :

L0 = λ∂2ξ + µ∂2

η .

Die Eigenwerte erhalt man als Nullstellen des charakteristischen Polynoms

det(A− zI) = (a11 − z)(a22 − z) − a212 = z2 − (a11 + a22)z + a11a22 − a2

12

= (z − λ)(z − µ) = z2 − (λ+ µ)z + λµ.

Durch Koeffizientenvergleich findet man (”Vietascher5 Wurzelsatz).

λ+ µ = a11 + a22, λµ = a11a22 − a212.

a)”Elliptischer“ Fall a2

12 − a11a22 < 0 :Beide Eigenwerte λ, µ sind ungleich Null und haben dasselbe Vorzeichen. Die Losungen dercharakteristischen Gleichung sind nicht reell, d.h.: Es existieren keine charakteristischen Kurvendurch den Punkt (x0, y0). In diesem Fall ist der Konstruktionsprozeß fur die hoheren Ableitungenvon u durchfuhrbar. Die Normalform eines elliptischen Operators L ist im Fall λ = µ = 1 :

Lu = ∂2ξu+ ∂2

ηu+ ψ(ξ, η, u, ∂ξu, ∂ηu)

Der”Hauptteil“ dieses Operators ist also gerade der

”Laplace-Operator“ ∆ , der sich somit als

prototypischer Vertreter elliptischer Differentialoperatoren 2. Ordnung erweist. Wir werden unsdaher im Folgenden hauptsachlich mit der zugehorigen Poisson-Gleichung beschaftigen:

∂2xu+ ∂2

yu = f. (1.1.3)

5Francois Viete, lat. Franciscus Vieta (1540-1603): franzosischer Mathematiker; Arbeiten uber algebraischeGleichungen und spharische Trigonometrie; gab trigonometrische Tafeln heraus und fuhrte die systematischeBuchstabenrechnung ein.


b)”Parabolischer“ Fall: a2

12 − a11a22 = 0Einer der Eigenwerte ist Null; der zweite ist dann notwendig ungleich Null. Es existiert genaueine charakteristische Richtung im Punkt (x0, y0) mit der Steigung dy/dx = a12/a11 . DieNormalform eines parabolischen Operators L ist im Fall λ = 1, µ = 0 :

Lu = ∂2ξu+ ψ(ξ, η, u, ∂ξu, ∂ηu).

Der Hauptteil dieses Operators ist im linearen Fall gerade der sog.”Warmeleitungsoperator“,

der prototypische Vertreter parabolischer Differentialoperatoren 2. Ordnung. Wir werden unsdaher im folgenden mit der zugehorigen Warmeleitungsgleichung beschaftigen:

∂tu− ∂2xu = f. (1.1.4)

c)”Hyperbolischer“ Fall: a2

12 − a11a22 > 0Beide Eigenwerte sind ungleich Null, haben aber verschiedene Vorzeichen. Es existieren zweicharakteristische Richtungen im Punkt (x0, y0) mit den Steigungen (dy/dx)± = a12/a11 ±a−1

11

√a2

12 − a11a22 . Die Normalform eines hyperbolischen Differentialoperators L ist im Fallλ = 1, µ = −1 :

Lu = ∂2ξu− ∂2

ηu+ ψ(ξ, η, u, ∂ξu, ∂ηu).

Der Hauptteil dieses Operators ist der sog.”Wellenoperator“, der prototypische Vertreter hy-

perbolischer Differentialoperatoren 2. Ordnung. Wir werden uns daher im folgenden mit derzugehorigen Wellengleichung beschaftigen:

∂2t u− ∂2

xu = f. (1.1.5)

Wir haben gesehen, daß die”Cauchysche Anfangswertaufgabe“ durch Reihenansatz losbar

ist, wenn die”Anfangskurve“ Γ nirgends mit einer Charakteristik des Differentialoperators

zusammenfallt. Andernfalls kann die Situation eintreten, daß zu beiden Seiten der Kurve Γeine Losung existiert, diese aber nicht auf Γ stetig-differenzierbar fortsetzbar ist. Im folgendenwerden wir die fur die drei Gleichungstypen geeigneten Randbedingungen diskutieren und dabeiganz unterschiedliche Ergebnisse erhalten.

1.2 Elliptische Probleme 15

1.2 Elliptische Probleme

Wir haben gesehen, daß fur (im ganzen Losungsgebiet Ω ) elliptische Differentialoperatoren die

”Cauchysche Anfangswertaufgabe“ fur jede (analytische)

”Anfangskurve“ Γ ⊂ Ω losbar ist. Die

Verallgemeinerung dieser Aussage fur nichtlineare Differentialoperatoren der Art

L(u) = ∂2xu− F (x, y, u, ∂xu, ∂yu, ∂

2yu) (1.2.6)

ist der beruhmte Satz von Cauchy-Kovalevskaya6 Dieser sehr allgemeine Existenzsatz fur el-liptische Differentialgleichungen ist aber fur die Praxis nur von geringer Bedeutung. Die ubereinen lokalen Reihenansatz konstruierte Losung u hangt namlich i.a. nicht stetig von den vor-gegebenen Anfangswerten entlang Γ ab. Dies ist aber eine unverzichtbare Bedingung an einphysikalisch sinnvolles Modell.

Beispiel: In der Halbebene Ω = (x, y) ∈ R2 : x > 0 seien entlang der Randkurve Γ =

(0, y) ∈ R2 die Randwerte u(0, y) = u0

0(y) = 0, ∂xu(0, y) = u10(y) = 0 gegeben. Die zugehori-

ge Losung der Poisson-Gleichung ∆u = 0 ist u ≡ 0. Mit ε > 0 seien die Randdaten nun gestortzu

u0ε(y) = 0, u1

ε(y) = ε sin(y/ε),

wobei limε→0 u1ε(y) = 0 . Die zugehorige gestorte Losung der Poisson-Gleichung (nachrechnen!)

uε(x, y) = ε2 sin(y/ε) sinh(x/ε), sinh(z) = 12(ez − e−z),

konvergiert aber fur ε → 0 nicht gegen Null. Es zeigt sich, daß in diesem Fall entlang derAnfangskurve Γ nicht gleichzeitig Werte fur u und ∂nu vorgegeben werden durfen, wenn manan physikalisch sinnvollen Losungen interessiert ist.

Wir haben gesehen, daß man bei der Wahl von Randbedingungen fur elliptische Operatorenvorsichtig sein muß, wenn das resultierende Randwertproblem wohl-gestellt sein soll. Sei alsoΩ ⊂ R

2 ein beschranktes Gebiet mit hinreichend glattem Rand ∂Ω. Wir wollen dabei Randermit einer glatten Parametrisierung (mindestens zweimal stetig differenzierbar) oder ein Poly-gongebiet (mit endlich vielen Ecken) zulassen. Als prototypischen Modellfall betrachten wir die

”Poisson-Gleichung“

−∆u = f auf Ω. (1.2.7)

Es gibt drei Typen von Randbedingungen und zugehorige Randwertaufgaben (”RWAn“):

a) Dirichletsche7 Randbedingungen (”1. RWA“): u = g auf ∂Ω .

6Sofia Vasilyevna Kovalevskaya (1850-1891): russische Mathematikerin, eine der ersten Frauen mit Univer-sitatskarriere; 1869 Studium in Heidelberg als “Gasthorerin”, da hier fur Frauen ein offizielles Universitatsstu-dium noch nicht moglich war; ab 1871 Studium in Berlin bei Weierstraß und danach in Gottingen; eine ihrerersten Veroffentlichungen enthalt den nach ihr benannten “Existenzsatz”; konnte damals als Frau aber keine Uni-versitatsanstellung in Deutschland bekommen, trotz Fursprache von Weierstraß; auf Betreiben Mittag-Lefflersab 1884 Stelle als “Privatdozent” in Stockholm; leistete Beitrage zur Analysis und zur Theorie von Differenti-algleichungen der Physik; Anekdotisches: In ihrer Autobiografie steht, daß sie bereits als 11-Jahrige durch dieLekture von Seiten aus Ostrogradskis Vorlesungskriptum uber Differential- und Integralrechnung, mit denen ihrKinderzimmer tapeziert war, mit der Analysis in Beruhrung gekommen war.

7Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859) geb. in Duren (damals bei Frankreich): wirkte in Berlinund als Prof. in Gottingen (Nachfolger von Gauß ); wichtige Beitrage zur Zahlentheorie, Analysis und Differenti-algleichungen (“Dirichletsches Prinzip”).


b) Neumannsche8 Randbedingungen (”2. RWA“): ∂nu = g auf ∂Ω .

c) Robinsche9 Randbedingungen (”3. RWA“): ∂nu+ αu = g auf ∂Ω .

Die Randfunktionen g werden i.a. als glatt und α ≥ 0 angenommen. Alle diese RWAn sind, wiewir zum Teil zeigen werden, unter geeigneten Zusatzbedingungen an die Daten wohl gestellt.

Ωn

Ω

Abbildung 1.2: Konfiguration der elliptischen Randwertaufgabe

1.2.1 Existenz

Die Frage nach der Existenz von Losungen der 1. RWA ist wesentlich schwieriger als bei AWAngewohnlicher Differentialgleichungen. Als Vorbereitung fur analoge Argumente im Zusammen-hang mit den Diskretrisierungsverfahren wollen wir zwei vollig unterschiedliche Zugange zudieser Frage diskutieren, den

”klassischen“, potentialtheoretischen und den

”modernen“, funk-

tionalanalytischen. Der Einfachheit halber wird nur der Fall”homogener“ Randbedingungen

u|∂Ω = 0 betrachtet.

i) Potentialtheoretische Methode:Zunachst ist der Begriff einer

”klassischen“ Losung fur die Dirichletschen Randbedingung zu

prazisieren. Wir verstehen darunter eine Funktion u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω), welche im Innern vonΩ der Differentialgleichung und entlang des Randes ∂Ω der Randbedingung genugt. Fernersoll ihr Gradient (moglicherweise im uneigentlichen Riemannschen10 Sinne) quadratintegrabelsein: |∇u| ∈ L2(Ω). Zur Konstruktion solcher klassischer Losungen postulieren wir zunachst dieExistenz einer Funktion G(x, y) auf Ω × Ω ,

G ∈ C2(Ω × Ω \ x = y) ∩ C(Ω × Ω \ x = y),

8John von Neumann (1903-1957): US-amerikanischer Mathematiker ungarischer Abstammung; wirktehauptsachlich am Institute for Advanced Studies in Princeton (zus. mit A. Einstein u.a.) und gilt als mathe-matisches Genie; lieferte fundamentale Beitrage zu den mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik, zurOperatortheorie, zur Spieltheorie, zur Gruppentheorie und zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen;Pionier der Automatentheorie und theoretischen Informatik.

9Victor Gustave Robin (1855-1897: franzosischer Mathematiker; lehrte an der Sorbonne in Paris; Beitrage zurPotentialtheorie unf Thermodynamik; hat die nach ihm benannte 3. Randbedingung anscheinend selbst gar nichtbenutzt.

10Bernhard Riemann (1826-1866): deutscher Mathematiker; Professor in Gottingen als Nachfolger Dirichlets;Mitbegrunder der Funktionentheorie und der modernen Geometrie; einer der bedeutendsten Mathematiker des19. Jh.s, von großem Einfluß auch auf die theoretische Physik.


mit den Eigenschaften

−∆xG(·, y) = 0 in Ω \ y, G(·, y) = 0 auf ∂Ω \ y, (1.2.8)

fur beliebiges festes y ∈ Ω . Fur x = y habe G(x, y) eine dimensionsabhangige Singularitat, dieso beschaffen ist, daß sich −∆xG(·, y) wie die Dirac-Distribution verhalt, d.h.: Fur v ∈ C(Ω)gilt mit den Kugelumgebungen Bε := y ∈ Ω : |x| ≤ ε , ε > 0 :

x ∈ Ω : limε→0

∫

Ω\Bε

−∆xG(x, y) v(y) dy = v(x), (1.2.9)

x ∈ ∂Ω : limε→0

∫

∂Ω\Bε

∂nG(x, y) v(y) dy = v(x). (1.2.10)

Eine solches G(x, y) wird”Greensche Funktion (1. Art)“ genannt. Wir machen damit den

Losungsansatz

u(x) :=

∫

ΩG(x, y)f(y) dy +

∫

∂Ω∂nG(x, y)g(y) doy .

Die formulierten Eigenschaften der Greenschen Funktion erlauben es, zu zeigen, daß dieser An-satz tatsachlich eine klassische Losung der 1. RWA liefert. Diese Rechnung ist aufwendig undkann z.B. im Buch von Hellwig nachgelesen werden. Die Konstruktion einer Greenschen Funkti-on fur allgemeine Gebiete im R

d ist schwer. Im Fall d = 2 folgt ihre Existenz aber mit Hilfe desRiemannschen Abbildungssatzes aus der Theorie komplexer Funktionen (siehe Hellwig). Fur sehrspezielle Konfigurationen, wie z.B. Halbebenen oder Kreise, laßt sich die Greensche Funktionexplizit angeben.

Beispiel: Auf dem Kreis Ω := x ∈ R2 : |x| < R ist durch

G(x, y) = − 1

2π

log(|x− y|) + log(

R

|x| ) − log(| R2

|x|2 x− y|), x 6= 0, (1.2.11)

G(x, y) = − 1

2π

log(|y|) − log(R)

, x = 0. (1.2.12)

eine Greensche Funktion mit den obigen Eigenschaften gegeben.

Die Existenz Greenscher Funktionen laßt sich fur sehr allgemeine Gebiete Ω nachweisen,auch fur die anderen RWAn. Das Konzept der

”klassischen“ Losung ist in vielen Anwendungsfallen

zu restriktiv, z.B. wenn die rechte Seite f nicht regular genug ist, um eine C2-Losung zuzulas-sen. Die Greensche Funktion selbst ist ein Extremfall in dieser Hinsicht. Als nachstes werdenwir eine Abschwachung dieser Anforderungen kennenlernen, welche mehr Flexibilitat bietet undfur die man vergleichweise leicht die Existenz von Losungen garantieren kann.

ii) Funktionalanalytische Methode:Wir haben bereits fruher gesehen, daß eine enge Beziehung zwischen der Poisson-Gleichung undder Minimierung des zugehorigen Energiefunktionals besteht. Dies kann man zum Nachweis derExistenz von Losungen ausnutzen. Wir betrachten das Funktional

E(v) :=1

2

∫

Ω|∇v|2 dx−

∫

Ωf v dx


auf dem Vektorraum V der”zulassigen“ Funktionen:

V0 := v : Ω → R : v ∈ C1(Ω) ∩ C(Ω), v|∂Ω = 0, |∇v| ∈ L2(Ω).

Dieser Raum wird mit der naturlichen”Energie-Norm“

‖v‖E := ‖∇v‖Ω, v ∈ V0,

versehen. Daß dies wirklich eine Norm ist, folgt aus den entsprechenden Eigenschaften der L2-Norm ‖ · ‖ = ‖ · ‖Ω . Aus der Poincareschen Ungleichung

‖v‖Ω ≤ dΩ‖∇v‖Ω, v ∈ V0,

mit dΩ := diam(Ω) folgt weiter, daß diese Norm starker ist als die L2-Norm. In kompakterSchreibweise ist E(v) = 1

2‖∇v‖2 − (f, v). Wir verwenden jetzt eine Argumentation aus derVariationsrechnung, die dort als die

”direkte Methode“ bekannt ist.

i) Wir zeigen zunachst, daß E(·) nach unten beschrankt ist. Fur v ∈ V0 folgt mit Hilfe derHolderschen und der Poincareschen Ungleichung

E(v) ≥ 12‖∇v‖2 − ‖f‖ ‖v‖ ≥ 1

2‖∇v‖2 − dΩ‖f‖ ‖∇v‖.

Anwendung der Ungleichung ab ≤ 12a

2 + 12b

2 liefert weiter

dΩ‖f‖ ‖∇v‖ ≤ 12‖∇v‖2 + 1

2d2Ω‖f‖2,

und folglichE(v) ≥ −1

2d2Ω‖f‖2 > −∞, v ∈ V0.

ii) Sei nun (uk)k∈N ⊂ V0 eine”Minimalfolge“ des Funktionals E(·) , d.h.:

E(uk) → infv∈V

E(v) =: d > −∞.

Wir wollen zeigen, daß (uk)k∈N eine Cauchy-Folge bzgl. der Energie-Norm ist. Wichtiges Hilfs-mittel dazu ist die sog.

”Parallelogrammidentitat“

‖v −w‖2E + ‖v + w‖2

E = 2‖v‖2E + 2‖w‖2

E ,

die man durch direktes Nachrechnen verifiziert. Fur beliebige Indizes n,m ∈ N gilt folglich

‖un − um‖2E = 2‖un‖2

E + 2‖um‖2E − 4‖1

2 (un + um)‖2E

= 4E(un) + 4(f, un) + 4E(um) + 4(f, um) − 8E(12 (un + um))

− 8(f, 12 (un + um))

= 4E(un) + 4E(um) − 8E(12 (un + um)).

Wegenlim

n,m→∞E(un) + E(um) = 2d, E(1

2(un + um)) ≥ d,

folgt damitlim supn,m→∞

‖un − um‖2E ≤ 0,


d.h.: (un)n∈N ist wie behauptet eine Cauchy-Folge.

Die Cauchy-Folge (un)n∈N besitzt i.a. keinen Limes im normierten (unvollstandigen) RaumV0. Durch Vervollstandigung von V0 erhalt man den sog.

”Sobolew-Raum“ H1

0 (Ω). Die Ele-mente von H1

0 (Ω) sind zunachst als Aquivalenzklassen von Cauchy-Folgen (analog wie bei derKonstruktion der reelen Zahlen aus den rationalen) definiert; sie lassen sich aber wieder als Funk-tionen interpretieren. Sie sind L2-Funktionen, deren erste Ableitungen (im Distributionssinne)wieder in L2 liegen und die in einem abgeschwachten Sinn auf ∂Ω verschwinden (siehe die ange-gebene Literatur zur Theorie partieller Differentialgleichungen). Wir werden unten in Abschnitt1.3 die Eigenschaften dieser

”Sobolew11-Raume“ genauer diskutieren. Der Limes u ∈ H1

0 (Ω)der Folge (un)n∈N wird als die

”schwache“ oder auch

”variationelle“ Losung der 1. RWA des

Laplace-Operators bezeichnet. Als Minimalpunkt des Funktionals E(·) genugt sie, wie wir schonfruher gesehen haben, notwendig der Beziehung

(∇u,∇ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω). (1.2.13)

Umgekehrt gilt fur eine Funktion u ∈ H10 (Ω) , welcher dieser Variationsgleichung genugt, mit

jeder anderen Funktion v ∈ H10 (Ω)

E(v) −E(u) = 12‖∇v‖2 − (f, v) − 1

2‖∇u‖2 + (f, u)

= 12‖∇v‖2 − (∇u,∇v) − 1

2‖∇u‖2 + (∇u,∇u)= 1

2‖∇v‖2 − (∇u,∇v) + 12‖∇u‖2 = 1

2‖∇(v − u)‖2 ≥ 0.

Folglich ist u automatisch auch Minimum des Energiefunktionals und somit schwache Losung.

Wenn die schwache Losung u regularer ist, etwa sogar die Regularitat einer klassischenLosung besitzt, so kann partiell integriert werden, und wir finden

(−∆u, ϕ) + (∂nu, ϕ)∂Ω = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω)

bzw. wegen der Randbedingung ϕ|∂Ω = 0

(−∆u− f, ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ H10 (Ω).

Hieraus folgt mit den ublichen Argumenten, daß −∆u = f , d.h.: u ist sogar klassische Losungder RWA. Umgekehrt erfullt naturlich jede klassische Losung u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) die Variati-onsgleichung

(∇u,∇ϕ) − (f, ϕ) = (−∆u− f, ϕ) + (∂nu, ϕ)∂Ω = 0 ∀ϕ ∈ H10 (Ω).

Damit ist der”schwache“ Losungsbegriff vertraglich mit dem ursprunglichen

”klassischen“. Der

Nachweis hoherer Regularitat der schwachen Losung u ∈ H10 (Ω) ist allerdings schwierig und

kann im Rahmen dieser Vorlesung nur andiskutiert werden (siehe wieder die empfohlene Litera-tur).

Wir wollen noch kurz diskutieren, wie das obige Argument verwendet werden kann, um die

11Sergei Lvovich Sobolew (1908-1989): russischer Mathematiker; wirkte zunachst in Leningrad (St. Petersburg)und dann am beruhmten Steklov-Institut fur Mathematik der Akademie der Wissenschaften in Moskau; fundamen-tale Beitrage zur Theorie der partiellen Differentialgleichungen, Konzept der verallgemeinerten (distributionellen)Losung, Sobolew-Raume; beschaftigte sich auch mit numerischen Methoden, numerische Quadratur.


Existenz von schwachen Losungen der 1. RWA auch im Fall inhomogener Randdaten u|∂Ω = gzu sichern. Dazu nehmen wir an, daß die Randfunktion g als

”Spur“ einer auf ganz Ω definierten

Funktion g ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) gegeben ist, d.h.: g = g|∂Ω . Dann ware die Funktion v := u − gLosung der RWA

−∆v = f − ∆g in Ω, v|∂Ω = 0.

Hierfur garantiert nun die variationelle Methode die Existenz einer (eindeutigen) schwachenLosung v ∈ H1

0 (Ω) mit der Eigenschaft

(∇v,∇ϕ) = (f, ϕ) + (∇g,∇ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω).

Die schwache Losung der ursprunglichen RWA ergibt sich dann als u := v + g .

1.2.2 Eindeutigkeit

Die Eindeutigkeitsforderung an Losungen dieser RWAn ist leicht zu gewahrleisten. Wir disku-tieren hier nur die 1. RWA. Die entsprechenden Argumente fur die 2. und die 3. RWA seien alsUbung gestellt.

(i) Besonders einfach ist der Beweis fur die schwachen Losungen. Seien also u(1), u(2) ∈ H10 (Ω)

zwei schwache Losungen der 1. RWA, d.h.:

(∇u(i),∇ϕ) = (f (i), ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω).

Dann gilt fur die Differenz w := u(1) − u(2)

(∇w,∇ϕ) = 0 ∀ϕ ∈ H10 (Ω).

Mit ϕ := w folgt ‖∇w‖ = 0 und folglich w ≡ konst. bzw. w ≡ 0 wegen der Randbedingung.

(ii) Die Eindeutigkeit von klassischen Losungen folgt unmittelbar aus der gerade bewiesenenEindeutigkeit von schwachen Losungen, da jede klassische Losung ja auch schwache Losung ist.Eine direktere Argumentation ergibt sich mit Hilfe des sog.

”Maximumprinzips“ .

Hilfssatz 1.1 (Maximumprinzip): Fur den elliptischen Operator

Lu := −∆u+ au

mit a ≥ 0 auf einem Gebiet Ω ∈ Rd gilt das sog.

”Maximumprinzip“, d.h.: Eine Funktion

u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) mit der Eigenschaft Lu ≤ 0 hat in Ω kein positives Maximum. Diesbedeutet, daß entweder u ≤ 0 auf ganz Ω ist, oder

maxΩ

u ≤ max∂Ω

u. (1.2.14)

Beweis: Wir fuhren den Beweis nur fur den Fall, daß a > 0 auf Ω . Der allgemeine Falla ≥ 0 erfordert eine aufwendigere Argumentation (siehe z.B. das Buch von Hellwig). Ferner seid = 2. Angenommen, die Funktion u habe im Fall u 6≤ 0 in einem Punkt z ∈ Ω ein positivesMaximum, u(z) > 0. Dann ist notwendig

∇u(z) = 0, ∂2xu(z) ≤ 0, ∂2

yu(z) ≤ 0.


Damit folgt 0 ≥ Lu(z) = −∆u(z)+au(z) ≥ au(z) , was wegen a > 0 den Widerspruch u(z) ≤ 0erzwingt. Q.E.D.

Das Maximumprinzip fur elliptische Operatoren 2. Ordnung ist die naturliche Verallgemei-nerung der simplen Tatsache, daß in einer Raumdimension aus u′′(x) ≥ 0 die Konvexitat vonu folgt.

xΩ

y

u"(x) > 0

u(x)

Abbildung 1.3: Maximumprinzip in einer Dimension

Aussagen vom Typ des obigen Maximumprinzips lassen sich fur sehr allgemeine (auch nicht-lineare) elliptische Operatoren 2. Ordnung herleiten. Wir betonen, daß das Maximumprinzip i.a.fur elliptische Operatoren hoherer Ordnung (z.B. den

”biharmonischen Operator“ ∆2u ) und fur

elliptische Systeme (z.B. die Gleichungen der linearen Elastizitatstheorie) nicht mehr gilt.

Als erste, einfache Anwendung des Maximumprinzips erhalten wir einen alternativen Beweisfur die Eindeutigkeit (klassischer) Losungen der 1. RWA des Laplace-Operators. Sind u(1), u(2)

zwei Losungen, so gilt fur die Differenz w := u(1) − u(2) wieder

−∆w = 0 in Ω, w = 0 auf ∂Ω.

Anwendung des Maximumprinzips auf w sowie −w impliziert dann, daß notwendig w ≤0, −w ≤ 0 , d.h.: w ≡ 0.

1.2.3 Stetige Abhangigkeit

(i) Die Frage nach der stetigen Abhangigkeit der Losungen der 1. RWA wollen wir wiedersowohl mit Hilfe des klassischen Ansatzes als auch mit der variationellen Methode angehen.Seien zunachst u(1), u(2) zwei Losungen (klassisch oder variationell) der 1. RWA des Laplace-Operators zu unterschiedlichen rechten Seiten f (1), f (2). Fur die Differenz w = u(1) −u(2) folgtdann

‖∇w‖2 = (f (1) − f (2), w) ≤ ‖f (1) − f (2)‖Ω‖w‖.Unter Ausnutzung der Poincareschen Ungleichung folgt daraus

‖∇w‖ ≤ dΩ‖f (1) − f (2)‖,

d.h. die Stetigkeit der Losung (in der Energie-Norm) gegenuber Storungen der rechten Seite.


(ii) Als nachstes betrachten wir Storungen der Randdaten. Dazu verwenden wir wieder dasMaximumprinzip. Seien dazu u(1), u(2) zwei Losungen zu den Randdaten g(1), g(2). Fur dieDifferenz w := u(1) − u(2) gilt dann

−∆w = 0 in Ω, w = g := g(1) − g(2) auf ∂Ω.

Mit dem Maximumprinzip erschließen wir hieraus, daß w ≡ 0 (was naturlich i.a. nicht eintritt)oder

maxΩ

w ≤ max∂Ω

g, maxΩ

−w ≤ max∂Ω

−g.

Dies impliziert maxΩ |w| ≤ max∂Ω |g|.Schließlich ergibt sich mit Hilfe des Maximumprinzips noch, daß eine Losung der 1. RWA

des Laplace-Operators zu nichtnegativer rechter Seite und ebensolchen Randdaten,

−∆u ≥ 0 in Ω, u ≥ 0 auf ∂Ω,

notwendig uberall nicht-negativ ist: u ≥ 0 . Dies gilt dann z.B. auch fur die zugehorige Green-sche Funktion: g(·, ·) ≥ 0. Durch scharfere Argumente kann man daruber hinaus zeigen, daß dieGreensche Funktion im Innern des Definitionsgebiets Ω positiv ist. Dies bedeutet u.a., daß beieinem elliptischen Problem lokale Storungen in den Daten die Losung im gesamten Losungsge-biet verandern. Es liegt also gewissermaßen eine

”unendliche Ausbreitungsgeschwindigkeit“ von

Information vor. Dies ist charakteristisch fur elliptische Randwertaufgaben.

1.2.4 Regularitat

Auf glatt berandeten Gebieten Ω besteht, ahnlich wie bei gewohnlichen Differentialgleichungen,fur (lineare) partielle Differentialgleichungen vom elliptischen Typ die Regel, daß sich die Regu-laritat der Daten (rechte Seite und Randwerte) auf naturliche Weise auf die Losung ubertragt.Der Rand ∂Ω sei aus der Klasse C2 (2-mal stetig differenzierbar parametrisierbar). Dann besitztdie schwache Losung u ∈ H1

0 (Ω) im Falle f ∈ L2(Ω) zweite Ableitungen mit der Regularitat|∇2u| ∈ L2(Ω) , und es gilt die a priori Abschatzung

( 2∑

k=0

‖∇ku‖2)1/2

≤ c‖f‖. (1.2.15)

Diese Aussage bleibt gultig, wenn Ω ein konvexes Polygongebiet oder ein konvexer Polyederist. Ist daruber hinaus f Holder-stetig, so ist die schwache Losung u ∈ H1

0 (Ω) sogar klassischeLosung. Hohere Regularitatseigenschaften von ∂Ω und f ubertragen sich entsprechend auf u .

Im Fall von Gebieten mit Ecken, insbesondere”einspringenden“ Ecken (Innenwinkel ω > π)

treten allerdings dort Irregularitaten in der Losung auf; z. B. ist die in ebenen Polarkoordinaten(r, θ) ausgedruckte Funktion

u(r, θ) = r23 sin(2

3θ)

auf der gelochten Ebene R2 \ 0 harmonisch, d.h. ∆u ≡ 0 . Auf dem

”Tortenstuck“

Ω := (x, y) ∈ R2| 0 < r < 1, 0 < θ < 3

2π

mit einer rechtwinkligen einspringenden Ecke ist ∇u ∈ L2(Ω)2 , und u ist daher (klassische)


Losung der Poisson-Gleichung ∆u = 0 zu den Randbedingungen

u(r, θ) = 0 fur θ ∈ 0, 32π, u(r, θ) = sin(2

3 ) fur r = 1.

Wir sehen an diesem Beispiel, daß”klassische“ Losungen elliptischer Gleichungen nicht unbe-

dingt regular bis zum Rand ∂Ω zu sein brauchen. Fur allgemeinen Innenwinkel ω ∈ (0, 2π] (DerFall ω = 2π entpricht einem sog.

”Schlitzgebiet“.) erhalt man analoge klassische Losungen in

der Form u(r, θ) = rπω sin(πωθ) . Fur ω > π , d.h. fur eine

”einspringende“ Ecke hat die Losung

bei r = 0 singulare erste Ableitungen. Diese sog.”Eckensingularitaten“ sind gut analysiert und

abschatzbar. Sie haben einen signifikanten, negativen Einfluß auf die Approximationsgute vonDiskretisierungen und erfordern besondere Vorkehrungen.


1.3 Hilfsmittel aus der Theorie von Funktionenraumen

In diesem Abschnitt stellen wir einige Aussagen uber Raume verallgemeinert differenzierbarerFunktionen, sog.

”Sobolew-Raume“, zusammen, soweit sie spater bei der Analyse von Diskreti-

sierungsverfahren benotigt werden.

1.3.1 Sobolew-Raume

Sei Ω ein Gebiet im Rd (d = 2, 3) mit Rand ∂Ω . Der Rand wird als

”ausreichend“ glatt ange-

nommen, was von der betrachteten Situation abhangt; diesbezugliche Einschrankungen werdenvon Fall zu Fall angegeben. Wir nehmen generell an, daß ∂Ω eine Lipschitz-stetige Parametri-sierung besitzt und uberall bis auf endlich viele Punkte oder Kanten eine wohl-definierte außereNormale n besitzt.

Auf einem solchen Gebiet Ω definieren wir zunachst fur Funktionen aus C(Ω) (Vektorraumder stetigen Funktionen auf dem Abschluß Ω ) das sog. L2-Skalarprodukt und die zugehorigeNorm

(u, v)Ω :=

∫

Ωu(x)v(x) dx, ‖u‖0;Ω :=

( ∫

Ω|u(x)|2 dx

)1/2.

Wenn Verwechslungen ausgeschlossen sind, wird auch die kurzere Notation (·, ·) = (·, ·)Ω sowie‖ · ‖ = ‖ · ‖0 = ‖ · ‖0;Ω verwendet. Die Vervollstandigung von C(Ω) bzgl. der Norm ‖ · ‖0;Ω lie-fert den

”Lebesgueschen12 Hilbert-Raum“ L2(Ω) der auf Ω im Lebesgueschen Sinne meßbaren

und quadratintegrablen Funktionen. Eine”Funktion“ v ∈ L2(Ω) ist dann dadurch charakte-

risiert, daß es eine Folge glatter Funktionen (vk)k∈N ⊂ C(Ω) gibt, welche bzgl. der L2-NormCauchy-Folge ist und

”fast uberall“ (im Lebesgueschen Sinne) gegen v konvergiert. Mit einem

einfachen Approximationsargument laßt sich zeigen, daß sich L2(Ω) auch als Vervollstandigungdes Raumes der

”Testfunktionen“ (Begriff aus der Distributionen-Theorie)

C∞0 (Ω) := v ∈ C∞(Ω) : Trg(v) := x ∈ Ω, v(x) 6=0 ⊂ Ω kompakt

gewinnen laßt. Auf analoge Weise gewinnt man fur 1 ≤ p <∞ die sog.”Lp-Raume“ Lp(Ω) als

Vervollstandigung von C(Ω) bzgl. der Norm

‖v‖Lp(Ω) :=(∫

Ω|v(x)|p dx

)1/p.

Der Fall p = ∞ bedarf einer gesonderten Betrachtung. Der Lebesgue-Raum L∞(Ω) bestehtaus allen auf Ω definierten, im Lebesgueschen Sinne meßbaren und

”wesentlich beschrankten“

Funktionen; seine Norm ist‖v‖L∞(Ω) := ess supx∈Ω|v(x)|.

Man beachte, daß sich L∞(Ω) nicht als Vervollstandigung von C(Ω) bzgl. der Norm ‖·‖∞;Ω ge-winnen laßt, denn dies ergibt wieder C(Ω) . Wenn Mißverstandnisse ausgeschlossen sind, werdendie Lp-Normen auch kurz mit ‖ · ‖p = ‖ · ‖Lp = ‖ · ‖Lp(Ω) bezeichnet.

Die funktionalanalytische Methode zum Nachweis der Existenz von”schwachen“ Losungen

12Henri Leon Lebesgue (1875-1941): franzosischer Mathematiker, Professor am College de France in Paris,lieferte grundlegende Beitrage zur modernen Integrationstheorie (“Lebesgue-Intgeral”)

1.3 Hilfsmittel aus der Theorie von Funktionenraumen 25

der Poisson-Gleichung

−∆u = f in Ω, u|∂Ω = 0, (1.3.16)

bedient sich als naturlichen”Losungsraum“ des Sobolew-Raums H1

0 (Ω) . Dieser ist Teilraumdes Sobolew-Raums H1(Ω) , welchen man erhalt z.B. durch Vervollstandigung des VektorraumsC1(Ω) bzgl. der sog. H1-Norm

‖v‖1 :=(‖v‖2

0 + ‖∇v‖20

)1/2.

Entsprechend ist H10 (Ω) definiert als der Abschluß von C∞

0 (Ω) in H1(Ω) .

Die Definition des Sobolew-Raums H1(Ω) als Vervollstandigung von C1(Ω) besagt zunachst,daß seine Elemente als Aquivalenzklassen von Cauchy-Folgen (vk)k∈N ⊂ C1(Ω) bzgl. der H1-Norm definiert sind. Dies ist ein sehr unhandliches Konzept, mit dem man schlecht arbeitenkann. Daher werden diesen Aquivalenzklassen Funktionen auf Ω zugeordnet durch folgendeKonstruktion:

(vk)k∈N 7→ v ∈ H1(Ω) : v := limk→∞

vk, ∇v := limk→∞

∇vk,

wobei die Konvergenz jeweils im L2-Sinne zu verstehen ist. Umgekehrt existiert dann fur jedesolche Funktion v ∈ H1(Ω) eine approximierende Folge

”glatter“ Funktionen (vk)k∈N mit ‖v−

vk‖1 → 0 (k → ∞) . Auf diesem Wege, d.h. durch Konstruktion einer solchen approximierendenFolge wird auch fur eine gegebene Funktion v ∈ L2(Ω) gegebenenfalls v ∈ H1(Ω) gezeigt. DieLimiten ∂iv := limk→∞ ∂ivk werden

”verallgemeinerte“ (oder auch

”schwache“) Ableitungen

von v genannt. Sie sind i.a. nicht stetig oder beschrankt und existieren nur im L2-Sinne, d.h.im Lebesgueschen Sinn

”fast uberall“. Zum Nachweis, daß eine in fast allen Punkten x ∈ Ω

definierte Funktion v in H1(Ω) liegt, geht man ublicherweise wie folgt vor: Zunachst wirdaus Kenntnis der Struktur von v eine Folge approximierender

”glatter“ Funktionen (vk)k∈N ⊂

C1(Ω) konstruiert, welche fur k → ∞ samt ihrer ersten Ableitungen (fast uberall) punktweisegegen v konvergieren. Kann dann noch gezeigt werde, daß

lim ‖vk‖1;Ω <∞,

so folgt (nach dem Satz von der”dominierten Konvergenz“ der Maß-Theorie), daß (vk)k∈N eine

Cauchy-Folge bzgl. der H1-Norm ist und den Limes v besitzt; d.h. v ∈ H1(Ω) .

Beispiel 1.1: (i) L2-Funktionen: Sei Ω zunachst die gepunktete Kreisscheibe

Ω0 = x ∈ R2 : 0 < |x| < 1.

Auf Ω0 ist die Funktion u(x) = ln(|x|) stetig, aber unbeschrankt. Auf der vollen KreisscheibeΩ = x ∈ R

2 : |x| < 1 ist u(x) = ln(|x|) aber als Funktion in L2(Ω) erklart. Dies wird klarbei Betrachtung der approximierenden, stetigen Funktionen

uk(x) :=

ln(|x|) fur k−1 < |x| < 1,

ln(k−1) fur 0 ≤ |x| ≤ k−1.

Man rechnet leicht nach, daß (uk)k∈N eine Cauchy-Folge bzgl. der L2-Norm auf Ω ist und inallen Punkten x ∈ Ω (bis auf x = 0 ) uk(x) → u(x) (k → ∞) gilt.


Wir betrachten nun die Funktion u(x) := |x|−1 , welche ebenfalls auf Ω0 stetig und unbeschranktist. In diesem Fall bilden die approximierenden Funktionen

uk(x) :=

|x|−1 fur k−1 < |x| < 1,

k fur 0 ≤ |x| ≤ k−1,

wegen

‖uk‖2Ω = 2π

∫ k−1

0k2r dr + 2π

∫ 1

k−1

r−1 dr = 2π(

12 + ln(k)

)→ ∞ (k → ∞)

keine Cauchy-Folge bzgl. der L2-Norm, d.h.: Dieses u ist zu singular, um als L2-Funktion auf Ωerklart zu sein. Bei der analogen Betrachtung auf der Einheitskugel im R

3 ergibt sich dagegen,daß u(x) = |x|−1 in diesem Fall sehr wohl in L2(Ω) liegt. Die Zugehorigkeit von Funktionen mitlokalen Singularitaten zum Lebesgue-Raum L2(Ω) hangt also von der jeweiligen Raumdimensionab. Wir werden denselben Effekt auch beim Sobolew-Raum H1(Ω) finden.

(ii) H1-Funktionen: Wir betrachten wieder die Funktion u(x) = ln(|x|) auf der punktiertenKreisscheibe Ω0 ⊂ R

2 . Ihr Gradient ∇u(x) = |x|−2x verhalt sich bei Annaherung an x = 0wie |∇u(x)| ≈ |x|−1 . Im Hinblick auf das eben diskutierte Beispiel ist ∇u also nicht zu einer L2-Funktion auf die volle Kreisscheibe Ω fortsetzbar. Folglich ist u auch nicht in H1(Ω) . Wir sehen,daß insbesondere die Greensche Funktion zum Laplace-Operator in zwei Raumdimensionen nichtim

”Energie-Raum“ H1(Ω) liegt. Man beachte, daß v(x) = ln(x) in drei Raumdimensionen

aber sehr wohl in H1(Ω) liegt; der kritische Grenzfall ist hier die starker singulare Funktionu(x) = |x|−1 .

Als zweites Beispiel zeigen wir, daß H1-Funktionen in mehr als einer Dimension nicht be-schrankt sein mussen. Auf Ω0 sei die Funktion

u(x) = ln(ln(|x|−1) + 1)

betrachtet. Da | ln ln(r−1)| fur r → 0 langsamer wachst als | ln(r)| , ist u sicherlich zu einerL2-Funktion auf Ω fortsetzbar. Wir berechnen nun den Gradienten

∇u(x) = − x

|x|2(ln(|x|−1) + 1).

Die zugehorigen”abgeschnittenen“ Funktionen

uk(x) :=

ln(ln(|x|−1) + 1) fur k−1 < |x| < 1,

ln(ln(k) + 1) fur 0 ≤ |x| ≤ k−1,

haben die”stuckweise“ definierten Gradienten

∇uk(x) :=

x

|x|2(ln(|x|−1)+1)fur k−1 < |x| < 1,

0 fur 0 ≤ |x| ≤ k−1,


welche uberall (bis auf x = 0 ) gegen ∇u konvergieren. Aus der Abschatzung

‖∇uk‖2 = 2π

∫ 1

k−1

∣∣∣ r

r2(ln(r−1) + 1)

∣∣∣2r dr = 2π

∫ 1

k−1

1

r(ln(r−1) + 1)2dr (1.3.17)

=2π

ln(r−1) + 1

∣∣∣1

k−1= 2π − 2π

ln(k) + 1≤ 2π (1.3.18)

ersehen wir ferner, daß (∇uk)k∈N bzgl. der L2-Norm eine Cauchy-Folge ist. Folglich ist u zueiner Funktion im Sobolew-Raum H1(Ω) fortsetzbar. Mit der eben verwendeten

”Abschneide-

technik“ erhalten wir approximierende Funktionen uk , welche i.a. nur stuckweise stetig diffe-renzierbar sind, d.h. nicht im strengen Sinne in C1(Ω) liegen und somit nicht direkt in das obenformulierte Approximationskonzept fur H1-Funktionen passen. Dieser Mangel kann behobenwerden, in dem man statt abzuschneiden regularisiert, z.B. gemaß

uk(x) = ln(ln((|x| + k)−1) + 1).

Diese uk ∈ C1(Ω) bilden dann ebenfalls eine approximierende Folge von u bzgl. der H1-Norm.Eine ahnliche Modifikation (schon bei der Definition der Sobolew-Raume) muß auch vorgenom-men werden, um spezielle Gebiete Ω mit

”schlitz-artigen“ Randeinsprungen einbeziehen zu

konnen. Solche”Schlitz-Gebiete“ spielen eine wichtige Rolle z.B. in der Baumechanik, wenn die

Ausbreitung von Rissen in Bauteilen beschrieben werden soll.

Analog zu dem Sobolew-Raum H1(Ω)”erster Ordnung“ quadrat-integrabler Funktionen

kann man auch Sobolew-Raume Hm,p(Ω) hoherer Ordnung m ∈ N , bestehend aus p-integrablenFunktionen (1 ≤ p < ∞) , definieren. Diese erhalt man durch Vervollstandigung des RaumesCm(Ω) bzgl. der Norm

‖v‖Hm,p(Ω) :=(‖v‖p

Lp(Ω)+ ...+ ‖∇mv‖p

Lp(Ω)p

)1/p.

Der Fall p = ∞ bedarf wieder einer gesonderten Betrachtung. Die Raume Hm,∞(Ω) werdenuber die Gleichsetzung Hm,∞(Ω) := Wm,∞(Ω) als Raume sog.

”verallgemeinert differenzier-

barer“ Funktionen mit distributionellen Ableitungen in L∞(Ω) definiert. Wir wollen auf dieseBegiffsbildungen nicht weiter eingehen und verweisen statt dessen auf die einschlagige Literaturuber Sobolew-Raume (z.B.: Wloka (1982)).

1.3.2 Eigenschaften von Lebesgue- und Sobolew-Raumen

Wir wollen im folgenden einige wichtige Eigenschaften von Lebesgue- und Sobolew-Raumenzusammenstellen, welche spater bei der Analyse numerischer Verfahren benotigt werden.

Sei 1 < p < ∞ und q := p/(p − 1) . Dann gilt fur Funktionen u ∈ Lp(Ω) und v ∈ Lq(Ω)die allgemeine

”Holdersche Ungleichung“

∣∣∣∫

Ωu(x)v(x) dx

∣∣∣ ≤( ∫

Ω|u(x)|p dx

)1/p(∫

Ω|v(x)|q dx

)1/q, (1.3.19)

bzw. in Kurzform |(u, v)Ω| ≤ ‖u‖Lp(Ω)‖v‖Lq(Ω) . Fur die Grenzfalle p = ∞ bzw. q = 1 gilt

|(u, v)Ω| ≤ ‖u‖L∞(Ω)‖v‖L1(Ω). (1.3.20)


Die variationelle Methode zum Nachweis von”schwachen“ Losungen der Poisson-Gleichung

basierte auf der Eigenschaft der bilinearen Form (∇u,∇v)Ω , auf dem Teilraum H10 (Ω) ⊂ H1(Ω)

ein Skalarprodukt zu sein.

Hilfssatz 1.2 (Poincaresche Ungleichung): Fur Funktionen v ∈ H10 (Ω) gilt die sog.

”Poin-

caresche Ungleichung“

‖v‖Ω ≤ dΩ ‖∇v‖Ω, (1.3.21)

mit dem Durchmesser dΩ := diam(Ω) des Gebiets Ω .

Beweis: Wir geben den Beweis nur in zwei Raumdimensionen. In hoheren Dimensionen verlauftdie Argumentation ganz analog. Sei Q eine Quadrat der Kantenlange L = dΩ , in welchem dasGebiet Ω enthalten ist. O.B.d.A. sei das Koordinatensystem so verschoben und gedreht, daßQ = (0, L)×(0, L) . Fur irgendein v ∈ H1

0 (Ω) sei (vk)k∈N ⊂ C∞0 (Ω) eine approximierende Folge.

Mit vk bezeichnen wir die trivialen Fortsetzungen der vk auf Q :

vk(x) :=

vk(x) fur x ∈ Ω,

0 fur x ∈ Q \ Ω.

Diese sind dann ebenfalls in C∞0 (Q) . Wir setzen nun w := vk . Zunachst gilt in Punkten

(x, y) ∈ Q :

w(x, y) = w(0, y) +

∫ x

0∂ξw(ξ, y) dξ,

und folglich, bei Beachtung von w(0, y) = 0 ,

|w(x, y)|2 ≤ L

∫ L

0|∂ξw(ξ, y)|2 dξ

Integration zunachst uber y ∈ (0, L) und danach uber x ∈ (0, L) ergibt

∫ L

0

∫ L

0|w(x, y)|2 dy dx ≤ L2

∫ L

0

∫ L

0|∂ξw(ξ, y)|2 dξ dy.

Dies bedeutet‖w‖Q ≤ L‖∇w‖Q.

und wegen w = vk ≡ 0 auf Q \ Ω :

‖vk‖Ω ≤ L‖∇vk‖Ω.

Fur k → ∞ ubertragt sich diese Beziehung durch Stetigkeit auf v ∈ H10 (Ω) . Q.E.D.

Die variationelle Methode liefert auch die Existenz von Losungen der 1. RWA des Laplace-Operators, wenn die Randwertvorgaben inhomogen sind. Im allgemeinen Fall findet man eineschwache Losung v ∈ H1(Ω) . Wir haben gesehen, daß H1-Funktionen Singularitaten habenkonnen. Es stellt sich also die Frage, in welchem Sinne die Randwerte von der

”schwachen“

Losung uberhaupt angenommen werden.


Hilfssatz 1.3 (Spur-Lemma): Fur Funktionen v ∈ C1(Ω) gilt die sog.”Spur-Abschatzung“

‖v‖L2(∂Ω) ≤ c(Ω) ‖v‖H1(Ω) (1.3.22)

mit einer Ω-abhangigen Konstante c(Ω) .

Beweis: Zuerst betrachten wir den Spezialfall des Einheitsquadrats Ω = (0, 1)× (0, 1) . Seiv ∈ C1(Ω) . Fur Punkte (0, y) ∈ ∂Ω gilt

v(0, y) = −∫ x

0∂ξv(ξ, y) dξ + v(x, y), x ∈ [0, 1].

und folglich

|v(0, y)|2 ≤( ∫ 1

0|∂ξv(ξ, y)| dξ + |v(x, y)|

)2≤ 2

∫ 1

0|∂ξv(ξ, y)|2 dξ + 2|v(x, y)|2.

Integration zunachst uber y ∈ (0, 1) und dann uber x ∈ (0, 1) liefert

∫ 1

0|v(0, y)|2 dy ≤ 2

∫ 1

0

∫ 1

0|∂ξv(ξ, y)|2 dξ dy + 2

∫ 1

0

∫ 1

0|v(x, y)|2 dy dx.

Dieselbe Argumentation kann auch fur die drei anderen Randkomponenten von Ω angewendetwerden. Zusammenfassung der sich ergebenden Abschatzungen ergibt dann

‖v‖2L2(∂Ω) ≤ 8‖u‖2

H1(Ω).

Die gezeigte Argumentation fur das Einheitsquadrat laßt sich ohne Probleme fur allgemeinePolygongebiete modifizieren. Im allgemeineren Fall eines krumm berandeten Gebiets Ω erhaltman dasselbe Resultat mit Hilfe lokaler Transformationen, welche krumme Randstucke lokalgerade transformieren, so daß wieder das obige Argument angewendet werden kann. Q.E.D.

Mit Hilfe des Spurlemmas konnen wir Funktionen v ∈ H1(Ω) eine”Spur“ v|∂Ω ∈ L2(∂Ω)

zuordnen, was die Frage nach der Annahme von Randwerten durch die schwache Losung der 1.RWA beantwortet. Sei v ∈ H1(Ω) und (vk)k∈N ⊂ C1(Ω) eine approximierende Folge. Aufgrundder Spurabschatzung gilt dann

‖vk − vl‖L2(∂Ω) ≤ c(Ω) ‖vk − vl‖H1(Ω), k, l ∈ N.

Da die Norm auf der rechten Seite fur k, l → ∞ gegen Null konvergiert, folgt, daß die Spurenvk|∂Ω (k ∈ N) auf ∂Ω eine Cauchy-Folge im Lebesgue-Raum L2(∂Ω) bilden. Deren Limesv|∂Ω ∈ L2(∂Ω) wird dann als die

”Spur“ der Funktion v ∈ H1(Ω) bezeichnet. In diesem Sinne

nehmen schwache H1-Losungen vorgegebene Randwerte an.

Das Variationsargument liefert zunachst nur die Existenz einer”schwachen“ Losung u ∈

H1(Ω) der Poisson-Gleichung. Um zu sehen, daß diese im Fall”glatter“ Daten auch

”klassische“

Losung ist, zeigt man (mit einigem Aufwand) u ∈ Hm(Ω) fur sukzessive ansteigendes m ≥ 2 .Hieraus kann dann geschlossen werden, daß u auch bis zur gewunschten Stufe klassisch diffe-renzierbar ist. Dazu bedient man sich einer sog.

”Sobolewschen Ungleichung“. Zur Motivation

sei zunachst der eindimensionale Fall betrachtet.

Beispiel 1.2: Wir betrachten das Intervall Ω = (0, 1) ⊂ R1 . Fur eine Funktion u ∈ C1(Ω)


impliziert der Fundamentalsatz der Differential- und Integralrechnung, daß

u(x) = u(y) +

∫ x

yu′(ξ) dξ, x, y ∈ Ω.

Daraus folgt nach Integration uber y ∈ [0, 1] :

supx∈Ω

|u(x)| ≤∫ 1

0|u′| dξ +

∫ 1

0|u| dξ = ‖u‖H1,1(Ω),

mit der Norm des Sobolew-Raums H1,1(Ω) . Dies bedeutet, daß in einer Raumdimension eineH1,1-Funktion beschrankt ist. Daruber hinaus ist sie sogar stetig (genauer im L2-Sinne aqui-valent zu einer stetigen Funktion), was man mit Hilfe des ublichen Approximationsargumentserschließt. Hierfur reicht schon die L1-Integrabilitat der ersten Ableitung aus.

In hoheren Dimensionen ist die Situation komplizierter. Wir haben schon am Beispiel derFunktion v(x) = ln(ln(|x|−1)+1) gesehen, daß Funktionen in H1(Ω) (im R

2 ) i.a. unbeschranktsein konnen und man ihnen folglich auch nicht uberall Punktwerte zuordnen kann. Dies ist abermoglich fur Funktionen in Sobolew-Raumen hoherer Ordnung. Wir prasentieren hier als Beispielden folgenden

”Sobolewsche Einbettungssatz“.

Hilfssatz 1.4 (Sobolewsche Ungleichung): Fur Funktionen v ∈ C2(Ω) gilt in zwei Raum-dimensionen die Abschatzung

supx∈Ω

|v(x)| ≤ c(Ω) ‖v‖H2(Ω) (1.3.23)

mit einer Ω-abhangigen Konstante c(Ω) .

Beweis: Fur den nicht trivialen Beweis verweisen wir auf die einschlagige Literatur uber Sobolew-Raume (z.B.: Wloka (1982)). Q.E.D.

Analog wie schon vorher bei der Spurabschatzung dient die Sobolewsche Ungleichung (1.3.23)zur Definition von Punktwerten von Funktionen in Sobolew-Raumen. Fur ein v ∈ H2(Ω) sei wie-der (vk)k∈N ⊂ C2(Ω) eine approximierende Folge. Mit der Sobolewschen Ungleichung (1.3.23)erschließen wir, daß (vk)k∈N auch Cauchy-Folge bzgl. der Maximumnorm ist. Folglich konnenfur v ∈ H2(Ω) Punktwerte definiert werden durch

v(x) := limk→∞

vk(x), x ∈ Ω.

In diesem Sinne besteht also eine (”stetige“) Einbettung H2(Ω) → C(Ω) . Die Abschatzung

(1.3.23) laßt sich (im R2 ) ubertragen auf die Normen der Sobolew-Raume H2,1(Ω) und H1,p(Ω)

fur p > 2 . Folglich bestehen die stetigen Einbettungen

H2,1(Ω) ∪H1,p(Ω) → C(Ω), p > 2, im R2. (1.3.24)

Weitere Sobolewsche Ungleichungen fuhren auf die stetigen Einbettungen

H1(Ω) → Lp(Ω) (1 ≤ p <∞) im R2, H1(Ω) → L6(Ω) im R

3.


Von fundamentaler Bedeutung ist der sog.”Rellichsche Auswahlsatz“. Wir formulieren hier nur

eine einfache Variante, welche weiter unten benotigt wird.

Hilfssatz 1.5 (Rellichscher Auswahlsatz): Die naturliche Einbettung des Sobolew-RaumesH1(Ω) in L2(Ω) ist kompakt, d.h.: Aus jeder bzgl. der H1-Norm beschrankten Folge (vk)k∈N ⊂H1(Ω) ⊂ L2(Ω) laßt sich eine Teilfolge auswahlen, welche in L2(Ω) gegen einen Limes vkonvergiert. Dieser Limes ist dann auch wieder in H1(Ω) .

Beweis: Fur den Beweis wird auf die Literatur verwiesen; z.B. Wloka (1982). Q.E.D.

Der Rellichsche Auswahlsatz ist das Sobolew-Raum-Analogon des Auswahlsatzes von Ar-zela-Ascoli fur

”gleichgradig stetige“ Folgen stetiger Funktionen (siehe das Vorlesungsskriptum

Numerische Mathematik I).

1.3.3 Elemente der Spektraltheorie elliptischer Operatoren

Eine der wichtigsten Anwendungen des Rellichschen Auswahlsatzes findet sich in der”Spektral-

Theorie“ elliptischer Differentialoperatoren, speziell des Laplace-Operators. Wir wollen derenElemente hier kurz entwickeln. Dabei haben wir vor allem deren Anwendung in der Losungs-theorie fur parabolische ARWAn im Auge. Ferner werden wir spater die numerische Losung vonEigenwertaufgaben des Laplace-Operators mit Hilfe von Finite-Elemente-Verfahren untersuchen,wobei Resultate der Spektraltheorie benotigt werden.

Wir haben gesehen, daß fur jede rechte Seite f ∈ L2(Ω) eine eindeutige”schwache“ Losung

u ∈ H10 (Ω) der 1. RWA des Laplace-Operators existiert:

−∆u = f in Ω, u|∂Ω = 0. (1.3.25)

Diese ist bestimmt durch die variationelle Beziehung

(∇u,∇ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω). (1.3.26)

Die Zuordnung f 7→ Sf := u definiert dann einen linearen Operator S : L2(Ω) 7→ L2(Ω) , der indiesem Sinne als die

”L2-Inverse“ des Laplace-Operators auf Ω unter Dirichlet-Randbedingungen

bezeichnet werden kann. Der Beziehung

‖∇u‖20 = (f, u) ≤ ‖f‖0‖u‖0 ≤ dΩ‖f‖0‖∇u‖0

entnehmen wir, daß‖Sf‖0 ≤ dΩ‖∇Sf‖0 ≤ d2

Ω‖f‖0,

d.h.: Der Losungsoperator S : L2(Ω) 7→ L2(Ω) ist beschrankt und wegen der kompakten Ein-bettung H1(Ω) → L2(Ω) sogar kompakt. Wir haben schon gesehen, daß der Laplace-Operatorals Operator im Hilbert-Raum L2(Ω) symmetrisch und positiv-definit ist:

(−∆u, v) = (∇u,∇v) = (u,−∆v), (−∆u, u) = ‖∇u‖20 ≥ d−2

Ω ‖u‖20.

Dies gilt fur Funktionen u, v ∈ D(∆) im Definitionsbereich der”L2-Realisierung“ des Laplace-

Operators, welcher definiert ist durch

D(∆) :=v ∈ H1

0 (Ω) : |(∇v,∇ϕ)| ≤ c(v)‖ϕ‖0, ϕ ∈ H10 (Ω)

⊂ L2(Ω).


Fur glatt berandete Gebiete oder konvexe Polygongebiete Ω kann man zeigen, daß D(∆) =H1

0 (Ω) ∩H2(Ω) . Im Fall einspringender Ecken ist dagegen D(∆) 6⊂ H2(Ω) .

Wir haben damit eine Realisierung des Laplace-Operator im Hilbert-Raum L2(Ω) konstru-iert, welche auf ihrem Definitionsbereich D(∆) symmetrisch ist, diesen ein-eindeutig auf ganzL2(Ω) abbildet, also bijektiv ist und deren Inverse S = (−∆)−1 kompakt ist. Damit ist derRahmen fur die Anwendung abstrakter Resultate der Funktionalanalysis kompakter Operatorengeschaffen. Fur das Eigenwertproblem des Laplace-Operators

−∆w = λw in Ω, w|∂Ω = 0, (1.3.27)

mit Eigenfunktion w ∈ H10 (Ω) und Eigenwert λ ∈ R gelten die folgenden Aussagen:

– Es existieren nur relle, positive Eigenwerte 0 < λ1 ≤ ... ≤ λi ≤ ... , welche sich im Endli-chen nicht haufen konnen. Die zugehorigen Eigenraume E(λi) sind endlich dimensional.

– Es existiert ein vollstandiges Orthonormalsystem von Eigenfunktionen wi)i∈N ⊂ L2(Ω) ,d.h.: Fur jedes u ∈ L2(Ω) gilt die L2-konvergente

”Fourier13 -Entwicklung“

u =

∞∑

i=1

(u,wi)wi . (1.3.28)

– Mit Hilfe der Eigenwerte λi (ihrer Vielfachheiten entsprechend oft gezahlt) und zugehori-gen (orthonormierten) Eigenfunktionen wi lassen sich allgemeine Funktionen des Laplace-Operators definieren. Sei Φ(z) eine meromorphe Funktion, so daß die Eigenwerte λi keinePole sind. Dann wird durch

Φ(−∆)u :=

∞∑

i=1

Φ(λi)(u,wi)wi (1.3.29)

ein linearer Operator in L2(Ω) erklart. Wenn Φ(z) beschrankt ist, wird auch Φ(−∆)beschrankt und ist auf ganz L2(Ω) erklart.

Diese Aussagen zeigen die starke Parallelitat zwischen kompakten Operatoren bzw. von (dichtdefinierten) Operatoren mit kompakter Inverser im Hilbert-Raum und durch (n × n)-Matrizendargestellte linearen Abbildungen des R

n .

13Jean-Baptiste Baron de Fourier (1768-1830): franzosischer Mathematiker und Physiker; Mitglied der PariserAkademie lehrte an der Ecole Polytechniqe; begleitete Napoleon auf seinem Feldzug nach Agypten; zahlt zu denbedeutendsten Mathematikern des 19. Jahrhunderts; fand bei seinen Arbeiten zur Theorie der Warmeleitung dieDarstellbarkeit periodischer Funktionen durch triginometrische Reihen.

1.4 Parabolische Probleme 33

1.4 Parabolische Probleme

Die sog.”eindimensionale Warmeleitungsgleichung“

∂tu = ∂2xu, (1.4.30)

oder allgemeiner in hoheren Ortsdimensionen

∂tu− ∆u = f, (1.4.31)

wird ublicherweise auf Zylindern QT := Ω × I des Orts/Zeit-Raumes betrachtet. Dabei sindΩ ⊂ R

d ein Ortsgebiet und I := (0, T ] ein Zeitintervall. Im ortlich eindimensionalen Fall(d = 1) ist die naturliche Anfangskurve Γ = (x, t) ∈ R

2 : t = 0 gerade Charakteristik, sodaß das zugehorige Cauchysche Anfangswertproblem i.a. nicht losbar ist. Entlang Γ durfen, wiewir noch sehen werden, nur Anfangsbedingungen an u selbst gestellt werden: u|t=0 = u0(x).

Entlang eines nicht-charakteristischen”ortlichen“ Randes (x, t) ∈ R

d+1 : x ∈ ∂Ω, t > 0 giltdagegen dasselbe wie im elliptischen Fall, d.h.: Die zugehorige Anfangswertaufgabe ist losbar,doch durfen nur u oder ∂nu vorgeschrieben werden, wenn man stetige Abhangigkeit von denRanddaten gewahrleisten will.

Analog zum elliptischen Fall bieten sich drei verschiedene Typen von Randbedingungenentlang des ortlichen Randes ∂Ω × I fur die Anfangs-Randwert-Aufgabe (kurz

”ARWA“) der

Warmeleitungsgleichung an. Zusatzlich zu der Anfangsbedingung

u|t=0 = u0 (1.4.32)

wird gefordert:

a) Dirichletsche Randbedingungen (”1. ARWA“): u = g auf ∂Ω × I ;

b) Neumannsche Randbedingungen (”2. ARWA“): ∂nu = g auf ∂Ω × I ;

c) Robinsche Randbedingungen (”3. ARWA“): ∂nu+ αu = g auf ∂Ω × I .

Die Randfunktionen g werden i.a. als glatt und α ≥ 0 angenommen. Alle diese ARWAn sind,wie wir zum Teil zeigen werden, unter geeigneten Zusatzbedingungen an die Daten ebenfalls wohlgestellt. Unter einer

”klassischen Losung“ verstehen wir eine Funktion u ∈ C(QT ) ∩ C2(QT ) ,

welche der Differentialgleichung sowie den Anfangs- und Randbedingungen genugt. Ahnlichwie bei elliptischen Problemen gibt es auch im parabolischen Fall den Begriff der

”schwachen

Losung“, den wir hier aber wegen seiner Kompliziertheit nicht definieren wollen.

Zunachst diskutieren wir die Eindeutigkeitsfrage. Seien u(1), u(2) wieder zwei klassische (ana-log zum elliptischen Fall definiert) Losungen der 1. ARWA des Warmeleitungsoperators, fur die‖∇u(i)(t)‖Ω existiert und beschrankt ist. Fur die Differenz w := u(1) − u(2) gilt dann

∂tw − ∆w = 0 in Ω × I, w|t=0 = 0, w|∂Ω = 0.

Multiplikation mit w , Integration uber Ω und anschließende partielle Integration im Ort erge-ben analog zum elliptischen Fall

0 = (∂tw,w) − (∆w,w) = 12dt‖w‖2 + ‖∇w‖2.

Dies impliziert, daß ‖w(t)‖ ≤ ‖w(0)‖ = 0 fur t ≥ 0, und somit die Eindeutigkeit der Losung


und daruber hinaus deren stetige Abhangigkeit von den Anfangsdaten.

Die Existenzfrage laßt sich im Prinzip mit ahnlichen Methoden behandeln wie im elliptischenFall. Wir wollen das hier aus Zeitgrunden nicht weiter verfolgen. Im ortlich eindimensionalenSpezialfall Ω = (−∞,∞) und f ≡ 0 laßt sich die Losung der Anfangswertaufgabe explizitangeben:

u(x, t) =

∫ ∞

−∞1√4πte−(x−s)2/4tu0(s) ds. (1.4.33)

Dies wird durch Nachrechnen verifiziert, wobei speziell auf die Existenz der auftretenden Inte-gralterme zu achten ist. Man beachte, daß durch den Ansatz

s(x, t) = 1√4πte−x

2/4t

eine spezielle Losung der Warmeleitungsgleichung gegeben ist.

Im Fall allgemeinerer, beschrankter Ortsgebiete Ω ⊂ Rd gewinnt man eine zu (1.4.33) kor-

respondierende Losungsdarstellung mit Hilfe der”Methode der Variablenseparation“. Einsetzen

des Losungsansatzes u(x, t) = v(x)ψ(t) in die Warmeleitungsgleichung ergibt

ψ′(t)v(x) = ψ(t)∆v(x) ⇒ ψ′(t)ψ(t)

=∆v(x)

v(x)≡ konst. ,

fur alle Argumente (x, t) ∈ QT . Die Separationsfaktoren v(·) ∈ C(Ω) ∩ C2(Ω) , v|∂Ω = 0 , undψ(·) ∈ C(I) sind also notwendig Losungen der Eigenwertprobleme

−∆v(x) = λv(x) , x ∈ Ω , −ψ′(t) = λψ(t) , t ≥ 0 ,

unter den Nebenbedingungen v|∂Ω = 0 bzw. ψ(0) = 1 , mit Parametern λ ∈ R. Die Eigenwert-aufgabe fur v(x) besitzt, wie schon oben diskutiert, eine abzahlbare Folge von Losungen λj > 0und vj :

−∆vj = λjvj (j = 1, 2, 3, ...)..

Die Eigenfunktionen (vj)j∈N bilden ein vollstandiges Orthonormal-System im Raum L2(Ω) derauf Ω Lebesgue-meßbaren und quadratintegrablen Funktionen.

Die zugehorigen Losungen fur ψ(t) sind ψj(t) = e−λjt . Die Anfangsfunktion besitzt die(verallgemeinerte) Fourier-Entwicklung:

u0(x) =

∞∑

j=0

u0jvj(x) , u0

j =

∫

Iu0(x)vj(x) dx .

Durch Superposition der Einzellosungen fur j ∈ N ,

u(x, t) :=

∞∑

j=1

u0jvj(x)e

−λj t , (1.4.34)

erhalten wir folglich eine Losung der Warmeleitungsgleichung, welche den Randbedingungenund insbesondere den Anfangsbedingungen genugt. (Zum Nachweis uberprufe man die Konver-genz der Reihen der jeweils nach x sowie t abgeleiteten Einzellosungen.) Im eindimensionalen


Spezialfall Ω = (0, 1) ⊂ R1 ist gerade

vj(x) = αj sin(jπx) , λj = j2π2 , αj =(∫

Isin2(jπx) dx

)−1/2(j ∈ N),

und die Losungsdarstellung erhalt die explizite Form

u(x, t) =

∞∑

j=1

u0jαj sin(jπx)e−aj

2π2t (1.4.35)

Anhand dieser Losungsdarstellungen lassen sich einige wichtige Eigenschaften der ARWA derWarmeitungsgleichung ablesen. Wie bei AWAn gewohnlicher Differentialgleichungen entwickeltsich die Losung ausgehend vom Anfangswert in der Zeit. Der adaquate numerische Ansatz wirdalso wieder ein Teilschrittverfahren in der Zeit sein. Im Ort pflanzen sich Storungen wie imelliptischen Fall

”unendlich schnell“ fort. Irregularitaten in den Anfangs- oder Randdaten werden

sofort ausgeglattet, d.h.: im Innern des Zylindergebiets QT := Ω×(0, T ] ist die Losung (im Falleglatter rechter Seite f ) stets glatt.

Im folgenden wollen wir einige qualitative Eigenschaften von Losungen der Warmeleitungs-gleichung diskutieren. Die Warmeleitungsgleichung wird u.a. verwendet, um (ihrem Namen ent-sprechend) Warmeausbreitungs- bzw. allgemein instationare Diffusionsvorgange zu beschreiben.Es ist daher wichtig, garantieren zu konnen, daß ihre Losungen bei kompatiblen Daten auch stetspositiv sind. Dies wird durch ein (dem elliptischen Fall ahnliches) Maximumprinzip geleistet.

x

t

T

Ω

Ω

x (0, T]

x (0, T]

x 0

Ω

Abbildung 1.4: Parabolisches Raum-Zeit-Gebiet

Satz 1.1 (Parabolisches Maximumprinzip): Fur jede klassische Losung der Warmeleitungs-Ungleichung

∂tu− ∆u ≤ 0 in Ω, (1.4.36)

gilt das sog.”Maximumprinzip“, d.h.: Sie nimmt im (halboffenen) Zylinder QT := Ω × (0, T ]

kein striktes Maximum an.

Beweis: Wir geben den Beweis nur fur eine Raumdimension. Die Verallgemeinerung fur hohereDimensionen ist dann evident. Fur eine Losung u der Warmeleitungs-Ungleichung setzen wir


vε := u − εt, mit beliebigem ε > 0. Da vε stetig auf QT ist, nimmt es in einem Punkt(x0, t0) ∈ QT sein Maximum an. Angenommen, (x0, t0) ∈ QT . Dann gilt ∂2

xvε(x0, t0) ≤ 0 , undfolglich

∂tvε(x0, t0) ≤ ∂tvε(x0, t0) − ∂2xvε(x0, t0) = ∂tu(x0, t0) − ε− ∂2

xu(x0, t0) ≤ −ε.Aus Stetigkeitsgrunden ist dann auch ∂tvε(x0, t) ≤ −1

2ε fur t0−h ≤ t ≤ t0, mit einem geeignetenh > 0. Hiermit folgern wir, daß

vε(x0, t0) − vε(x0, t0 − h) =

∫ t0

t0−h∂tvε(x0, t) dt ≤ −1

2εh < 0.

Dies fuhrt auf den Widerspruch vε(x0, t0) < vε(x0, t0 − h). Also nimmt vε notwendig seinMaximum fur t = 0 an. Da ε > 0 beliebig klein gewahlt werden darf, gilt diese Aussage auchfur den (stetigen) Grenzfall ε = 0 , d.h. fur die Losung u . Q.E.D.

Als Konsequenz des”parabolischen“ Maximumprinzips sehen wir insbesondere, daß eine Losung

der (homogenen) Warmeleitungsgleichung

∂tu− ∆u = 0 in Ω, u = 0 auf ∂Ω, (1.4.37)

zu nicht-negativen Anfangsdaten u0 ≥ 0 (u|∂Ω = 0) nicht-negativ bleibt fur alle t ≥ 0 :

u0 ≥ 0 ⇒ 0 ≤ u(x, t) ≤ maxΩ u0, (x, t) ∈ QT . (1.4.38)

Ferner sind wieder”klassische“ Losungen u ∈ C(QT ) ∩ C2(QT ) eindeutig bestimmt.

Satz 1.2 (Globale Beschranktheit): Fur jede Losung der inhomogenen Warmeleitungsglei-chung (1.4.31) gilt die a priori Abschatzung

‖u(t)‖ ≤ e−λt‖u0‖ + λ−1 sup[0,t]

‖f‖, (1.4.39)

mit dem kleinsten Eigenwert λ > 0 des elliptischen Operators −∆ auf Ω zu homogenenDirichlet-Randbedingungen.

Beweis: Wir betrachten die beiden Hilfsprobleme

∂tv − ∆v = 0 in QT , v|∂Ω = 0, v|t=0 = u0, (1.4.40)

∂tw − ∆w = f in QT , w|∂Ω = 0, w|t=0 = 0. (1.4.41)

Offenbar ist dann u = v + w wegen der Linearitat des Warmeleitungsoperators (Superpositi-onsprinzip). Wir schatzen nun die beiden Losungsanteile v und w separat ab.

(i) Multiplikation von (1.4.40) mit v und Integration im Ort ergibt

12dt‖v‖2 + ‖∇v‖2 = 0.

Wir multiplizieren dies mit e2λt und finden

12dt(e2λt‖v‖2

)+ e2λt‖∇v‖2 − λe2λt‖v‖2 = 0.


Wegen λ‖v‖2 ≤ ‖∇v‖2 impliziert dies dt(e2λt‖v‖2

)≤ 0 , und Integration bzgl. t ergibt

e2λt‖v(t)‖2 ≤ ‖u0‖2

bzw. wieder‖v(t)‖ ≤ e−λt‖u0‖.

(ii) Multiplikation von (1.4.41) mit w und Integration im Ort ergibt

12dt‖w‖2 + ‖∇w‖2 = (f,w) ≤ 1

2λ‖w‖2 + 12λ

−1‖f‖2.

Mit Hilfe von λ‖w‖2 ≤ ‖∇w‖2 folgern wir

dt‖w‖2 + ‖∇w‖2 ≤ λ−1‖f‖2.

Wir multiplizieren diese Ungleichung nun mit eλt und finden

dt

(eλt‖w‖2

)+ eλt‖∇w‖2 − λeλt‖w‖2 ≤ λ−1eλt‖f‖2,

bzw.dt

(eλt‖w‖2

)≤ λ−1eλt‖f‖2.

Integration bzgl. t ergibt

eλt‖w(t)‖2 ≤ λ−1

∫ t

0eλs‖f‖2 ds,

‖w(t)‖2 ≤ λ−1e−λt∫ t

0eλs‖f‖2 ds.

Die Abschatzung

e−λt∫ t

0eλs ds ≤ λ−1.

impliziert dann ‖w(t)‖ ≤ λ−1 max[0,t] ‖f‖ . Kombination der Resultate fur v und w liefert diebehauptete Abschatzung. Q.E.D.

Als Folgerung aus diesem Satz ersehen wir insbesondere, daß bei einem parabolischen Pro-blem der Einfluß der Anfangsdaten exponentiell mit der Zeit abklingt. Weiter interessiert dasLosungsverhalten fur Anfangsdaten u0 mit minimaler Regularitat.

Satz 1.3 (Glattungseigenschaft): Fur jede Losung der homogenen Warmeleitungsgleichung(1.4.31) mit f ≡ 0 gelten die a priori Abschatzungen

‖∂tu(t)‖ + ‖∆u(t)‖ ≤ ‖∆u0‖, t ≥ 0, (1.4.42)

‖∂tu(t)‖ + ‖∆u(t)‖ ≤ t−1‖u0‖, t > 0, (1.4.43)

vorausgesetzt, der Anfangswert u0 besitzt die erforderliche Regularitat.

Beweis: Wir bedienen uns zum Beweis der sog.”Spektral-Methode“, welche aber auf symmetri-

sche und autonome (d.h. nicht explizit von der Zeit abhangige) Operatoren beschrankt ist. Al-ternative Zugange sind die

”Halbgruppen-Methode“, welche nicht die Symmetrie des Operators


erfordert, sowie die”Energie-Methode“, welche im allgemeinen Fall und sogar fur nichtlineare

Probleme anwendbar ist. Aus der Losungsdarstellung (1.4.34) mit dem Orthonormalsystem vonEigenfunktionen vjj∈N des Laplace-Operators,

u(x, t) :=

∞∑

j=1

u0jvj(x)e

−λj t,

folgern wir

∂tu(x, t) = ∆u(x, t) := −∞∑

j=1

u0jλjvj(x)e

−λj t.

Aufgrund der (verallgemeinerten) Parsevalschen14 Identitat gilt demnach

‖∂tu‖2 = ‖∆u‖2 =∞∑

j=1

(u0j )

2λ2je

−2λj t.

Als erstes Resultat entnehmen wir dieser Beziehung, daß

‖∂tu‖2 = ‖∆u‖2 ≤∞∑

j=1

(u0j )

2λ2j = ‖∆u0‖2.

Hieraus folgt wegen xe−x ≤ 1, x ≥ 0, :

‖∂tu‖2 = ‖∆u‖2 = t−2∞∑

j=1

(u0j )

2(λjt)2e−2λjt ≤ t−2

∞∑

j=1

(u0j )

2 = t−2‖u0‖2,

was den Beweis vervollstandigt. Q.E.D.

Als Folgerung aus diesem Satz finden wir nochmal bestatigt, daß die Warmeleitungsgleichungdie

”Glattungseigenschaft“ besitzt, d.h.: Irregularitaten in den Anfangsdaten werden fur t > 0

ausgeglattet. Durch Weiterfuhrung der Argumentation im Beweis von Satz 1.3 lassen sich analogbeliebig hohe Ableitungen der Losung abschatzen:

‖∂pt u(t)‖ + ‖∇2pu(t)‖ ≤ c(p) ‖∆pu0‖, t ≥ 0, (1.4.44)

sowie

‖∂pt u(t)‖ + ‖∇2pu(t)‖ ≤ c(p) t−p‖u0‖, t > 0, p ∈ N. (1.4.45)

14Mare-Antoine Parseval des Chenes (1755-1836): franzosischer Mathematiker; Privatgelehrter; Beitrage zuReihen, insbesondere Fourier-Reihen.

1.5 Hyperbolische Probleme 39

1.5 Hyperbolische Probleme

Die Wellengleichung

∂2t u− ∆u = 0 (1.5.46)

wird in der Regel wieder auf einem Zylindergebiet QT := Ω× I mit einem (meist beschrankten)Gebiet Ω ⊂ R

d und einem Intervall I = (0, T ] betrachtet. Die Frage nach der Wohlgestelltheitzugehoriger Anfangs-Randwertaufgaben wollen wir nur fur den ortlich eindimensionalen Falldiskutieren. Die charakteristischen Steigungen der (ortlich) eindimensionalen Wellengleichung

∂2t u = ∂2

xu (1.5.47)

sind gerade gegeben durch dt/dx = ±1, d.h.: die Charakteristiken sind alle Geraden in der (x, t)-Ebene mit der Steigung ±1. Die naturliche Anfangskurve Γ := (x, t) : x ∈ Ω, t = 0 ist alsokeine Charakteristik, so daß gemaß der Theorie die zugehorige Cauchysche Anfangswertaufgabebei Vorgabe von Werten u(x, 0) = u0(x) und ∂tu(x, 0) = u1(x) losbar ist. Diese Losung laßtsich im Fall einer Raumdimension leicht angeben. Wir betrachten den Sonderfall Ω = R

1 .

t

t0

xx0A(x , t )0 0

(x , t )0 0

0 0B(x , t )

Abbildung 1.5: Hyperbolisches Raum-Zeit-Gebiet

Die Koordinatentransformation ξ = x + t, η = x − t uberfuhrt die Wellengleichung in dieForm

∂ξ∂ηu = 0.

Diese hat die Losungen der Form

u(ξ, η) = F (ξ) +G(η)

mit beliebigen, hinreichend glatten Funktionen F (·) und G(·). Die allgemeine Losung der Wel-lengleichung lautet demnach

u(x, t) = F (x+ t) +G(x− t).

Zur Erfullung der Anfangsvorgaben auf Γ muß nun gelten:

F (x) +G(x) = u0(x), F ′(x) −G′(x) = u1(x).


Hieraus entnehmen wir, daß

F (x+ t) +G(x+ t) + F (x− t) +G(x− t) = u0(x+ t) + u0(x− t), (1.5.48)

F (x+ t) −G(x+ t) − F (x− t) +G(x− t) =

∫ x+t

x−tu1(s) ds, (1.5.49)

und folglich,

u(x, t) = 12

u0(x+ t) + u0(x− t) +

∫ x+t

x−tu1(s) ds

.

Dies ist die (eindeutige) klassische Losung der Wellengleichung zu den vorgegebenen Anfangs-daten u0(x), u1(x) . Eine analoge Konstruktion ist auch in hoheren Raumdimensionen moglich.

Die Form der Losung u(x, t) zeigt, daß bei einem hyperbolischen Problem die Ausbreitungs-geschwindigkeit von Information endlich ist. Lokale Storungen pflanzen sich entlang der Cha-rakteristiken (Geraden mit Steigung ±1 ) fort. Insbesondere erzeugen unstetige Anfangsdatennotwendig auch unstetige Losungen. Dies erfordert im Falle irregularer Anfangs- oder Randdateneinen neuartigen Losungsbegriff, der auch Unstetigkeiten zulaßt. Fur jeden Punkt (x0, t0) ∈ QTgibt es demnach einen

”Abhangigkeitsbereich“ A(x0, t0) sowie einen

”Bestimmtheitsbereich“

B(x0, t0) , innerhalb deren sich das Anfangswertproblem unabhangig vom restlichen Bereichlosen laßt:

A(x0, t0) := x ∈ R : |x− x0| ≤ t0, B(x0, t0) := (x, t) ∈ R × R+ : |x− x0| ≤ t.

Die Eindeutigkeit von Losungen der Wellengleichung erschließt man wieder am leichtestenmit

”Hilbertraum-Argumenten“. Sei u(x, t) eine klassische Losung der ARWA

∂2t u = ∆u in Ω, u|t=0 = u0, ∂tu|t=0 = u1, u|∂Ω = 0, (1.5.50)

mit endlicher”Energie“ (kinetische + potentielle Energie)

E(t) := ‖∂tu(t)‖2Ω + ‖∇u(t)‖2

Ω <∞.

Multiplikation der Differentialgleichung mit ∂tu , Integration uber Ω und anschließende partielleIntegartion ergibt

0 = (∂2t u− ∆u, ∂tu) = 1

2dt(‖∂tu‖2 + ‖∇u‖2

).

Dies impliziert, daß

‖∂tu(t)‖2 + ‖∇u(t)‖2 = ‖u1‖2 + ‖∇u0‖2, (1.5.51)

d.h. die Losung ist eindeutig und hangt bzgl. der naturlichen Energie-Norm stetig von denAnfangsdaten ab. Ferner bleibt die Gesamtenergie E(t) im System in der Zeit erhalten. Diesentspricht der Vorstellung, daß bei einem Schwingungsprozeß, etwa der Schwingung eines elasti-schen Korpers oder einer Schallwelle, bei Vernachlassigung von Dampfung im Verlaufe der Zeitkeine Energie verloren geht. Ein

”gutes“ Diskretisierungsverfahren fur die Wellengleichung sollte

diese kritische Eigenschaft moglichst gut wiedergeben.

1.6 Ubungen 41

1.6 Ubungen

Ubung 1.1: Gegeben sei die Anfangswertaufgabe (AWA) einer skalaren gew. Differentialglei-chung

u′(t) = f(t, u(t)), t ≥ t0, u(t0) = u0,

mit einer analytischen Funktion f(t, x) mit gleichmaßig beschrankten Ableitungen

supj,k≥0

‖∂jt ∂kxf(t, ·)‖∞ ≤ K <∞, t ≥ t0,

(z.B. die Funktion f(t, x) := sin(x) ). Man zeige, daß man durch den Taylor-Ansatz

u(t) = u0 +∞∑

k=1

f (k−1)(t0, u0)

k!(t− t0)

k

mit f (r)(t0, u0) := (d/dt)rf(t, u(t))|t=t0 eine globale (d.h. fur alle t ≥ t0 existierende) Losung

der AWA erhalt.

Ubung 1.2: In der Vorlesung wurde die Typeneinteilung von linearen Differentialoperatoren 2.Ordnung mit der Aufgabe motiviert, aus gegebenen Werten u(x0, y0) und ∂nu(x0, y0) entlangeiner Kurve Γ die Losung u(x, y) uber einen Taylor-Reihenansatz zu bestimmen. Diese Kon-struktion wurde allerdings nur bis zu den drei zweiten Ableitungen ∂2

xu(x0, y0) , ∂x∂yu(x0, y0)und ∂2

yu(x0, y0) durchgefuhrt und hing von der Regularitat einer gewissen Matrix A ab. Manzeige, daß nach Bestimmung der zweiten Ableitungen die Konstruktion der vier dritten Ablei-tungen ∂3

xu(x0, y0) , ∂2x∂yu(x0.y0) , ∂x∂

2yu(x0, y0) und ∂3

yu(x0, y0) auf dieselbe Matrix A fuhrt.Diese Aussage gilt auch fur die weiteren, hoheren Ableitungen. Die Vorgenommene Klassifizie-rung des Differentialoperators als elliptisch, parabolisch oder hyperbolisch basierend auf derKonstruierbarkeit der Losung aus den Randdaten ist also sinnvoll.

Ubung 1.3: Man bestimme den Typ der Differentialgleichungen

a) ∂x∂yu− ∂xu = 0,

b) ∂2xu+ ∂x∂yu+ y∂2

yu+ 4u = 0,

c) 2(∂x + ∂y)2u+ ∂yu = 0.

(Hinweis: Das in der Vorlesung angegebene Kriterium fur den Typ einer Gleichung kann auchbei variablen Koeffizienten separat in jedem einzelnen Ortspunkt verwendet werden.)

Ubung 1.4: Eine (skalare) lineare partielle Differentialgleichung (PDE) 2. Ordnung der Form

a11∂21u+ a12∂1∂2u+ a21∂2∂1u+ a22∂

22u = f

laßt sich durch Setzung u1 := ∂1u, u2 := ∂2u in ein System von PDE 1. Ordung umformen:

∂2u1 − ∂1u2 = 0,

a11∂1u1 + a12∂1u2 + a21∂2u1 + a22∂2u2 = f.


Man zeige, daß sich die in der Vorlesung fur (skalare) lineare PDE 2. Ordnung durchgefuhrteTypeneinteilung analog auch fur Systeme 1. Ordnung der allgemeinen Form

b111∂1u1 + b112∂1u2 + b121∂2u1 + b122∂2u2 = f1,

b211∂1u1 + b212∂1u2 + b221∂2u1 + b222∂2u2 = f2,

vornehmen laßt (mit analogen Resultaten). Ziel ist dabei die Bestimmung von Kurven Γ ⊂ R2 ,

bei denen die Vorgabe von Anfangswerten fur u1 und u2 entlang Γ die Konstruktion allerAbleitungen von u1 und u2 , beginnend mit den zweiten Ableitungen ∂2

1u1, ∂1∂2u1, ∂22u1,

∂21u2, ∂1∂2u2, ∂

22u2 und damit einen Taylor-Reihenansatz fur die Losung erlaubt. (Bem.: Wenn

die Konstruktion von u1 und u2 auf diesem Wege moglich ist, erhalt man fur die gegebene PDE2. Ordnung dann durch weitere Vorgabe von u entlang Γ aus der Kenntnis von ∂1u = u1 und∂2u = u2 im ganzen Losungsgebiet dort auch eine Losung u durch einfaches Aufintegrieren.)

Ubung 1.5: In der Vorlesung wurde die Poincaresche Ungleichung

∫

G|u(x)|2 dx ≤ d2

G

∫

G‖∇u(x)‖2 dx, dG := diam(G),

nur fur Funktionen u ∈ V0(G) formuliert, d.h. welche auf dem ganzen Rand ∂G null sind. DerBeweis funktioniert aber auch fur Funktionen, die nur entlang eines Teils Γ ⊂ ∂G des Randesmit Lange |Γ| 6= 0 null sind, d.h. auf dem Raum

V0(Γ;G) := v ∈ C1(G) ∩ C(G) : ∇v ∈ L2(G)n, v|Γ = 0.

(i) Man fuhre den Beweis dieser Verallgemeinerung der Poicareschen Ungleichung fur das Ein-heitsquadrat Q = (0, 1)2 ⊂ R

2 und den Randteil Γ := x = (x1, 0) : 0 ≤ x1 ≤ 1 .

(ii) Kann die Poincaresche Ungleichung gultig bleiben, wenn der Randteil Γ ⊂ ∂G trivial ist,etwa nur aus einem Punkt besteht? Man untersuche diese Frage anhand der in (i) gegebenenSituation mit Γ := (0, 0) . Welche Konsequenzen hat die Antwort auf diese Frage fur die1. RWA des Laplace-Operators? (Hinweis: Man betrachte die Folge der Funktionen uk(r, θ) =r1/k .)

Ubung 1.6: Auf einem beschrankten Gebiet Ω ⊂ Rn mit glattem Rand ∂Ω werden die fol-

gende (a) zweite und (b) dritte Randwertaufgabe betrachtet:

(a) − ∆u+ au = f in Ω, ∂nu = g auf ∂Ω,

(b) − ∆u+ au = f in Ω, ∂nu+ αu = g auf ∂Ω,

mit Konstanten a > 0 und α ≥ 0 . Man zeige, daß diese RWAn jeweils hochstens eine “klassi-sche” Losung u ∈ C2(Ω) ∩ C1(Ω) haben konnen. Welches Problem ergibt sich im Fall a = 0 ,d.h. fur den reinen Laplace-Operator?

Ubung 1.7: Fur die klassische Losung der Randwertaufgabe

−∆u = 1 in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf einem glatt berandetem Gebiet Ω ⊂ Q1 := (x, y) ∈ R2| 0 < x, y < 1 zeige man mit Hilfe

des Maximumprinzips die Einschließung 0 ≤ u(x) ≤ 18 . (Hinweis: Man vergleiche u mit der

1.6 Ubungen 43

quadratischen Funktion v = 14x(1 − x) + 1

4y(1 − y) .)

Ubung 1.8: Der Laplace-Operator ∆ = div grad hat fur Funktionen u = u(r, θ) in Polarko-ordinaten (r, θ) ∈ [0,∞) × [0, 2π] die folgende Form:

∆u = (∂2r + r−1∂r + r−2∂2

θ )u.

(i) Fur ein ω ∈ (0, 2π] sei Sω := (r, θ) : r > 0, θ ∈ (0, ω) der zugehorige Sektor der (x, y)-Ebene. Man zeige, daß die auf dem Gebiet G := Sω ∩K1(0) definierte Funktion

sω(r, θ) := rπ/ω sin(θπ/ω)

harmonisch ist, d.h. ∆sω ≡ 0 , und den Randbedingungen sω(r, 0) = sω(r, ω) = 0 sowiesω(1, θ) = sin(θπ/ω) genugt.

(ii) Man zeige, daß im Fall π < ω ≤ 2π , d.h. im Fall eines stumpfen Innenwinkels, die erstenAbleitungen dieser Funktion zwar unbeschrankt aber noch (uneigentlich) quadrat-integrabelsind, daß ihre zweiten Ableitungen aber nicht mehr quadrat-integrabel sind. Wie sieht das beispitzen Innenwinkeln, d.h. 0 < ω < π , aus?

Dieses Beispiel zeigt, daß klassische Losungen von elliptischen RWAn auch zu glatten Daten amGebietsrand nicht regular zu sein brauchen.

Ubung 1.9: Man untersuche, ob die folgenden Funktionen auf dem Einheitsquadrat Ω =(x, y) ∈ R

2| 0 < x, y < 1 im Sobolew-Raum H1(Ω) liegen:

a) u(x, y) = |x− y|1/2, b) u(x, y) = sin(ln(1/r)

), r =

(x2 + y2

)1/2.

(Hinweis: Man untersuche die “uneigentliche” Riemann-Integrabilitat der Ableitungen.)

Ubung 1.10: Man zeige, daß fur Funktionen u ∈ H1(Ω) unter der Mittelwertbedingung

∫

Ωu(x) dx = 0

ebenfalls die Poincaresche Ungleichung gilt (mit einer Konstante cΩ ):

‖u‖Ω ≤ cΩ‖∇u‖Ω.

(Hinweis: Zum Beweis gibt es zwei alternative Wege: Modifikation des direkten Beweises aus derVorlesung unter Verwendung von “Randwerten” u|Γ = 0 , oder Widerspruchsargument unterVerwendung des Rellichschen Auswahlsatzes.)

Ubung 1.11: Auf welchem der folgenden Gebiete ist die RWA

−∆u = 0 in Ω, u|∂Ω = 0,

wohl gestellt, d.h. besitzt eine eindeutige schwache Losung u ∈ H10 (Ω) (mit Begrundung)?


a) gepunktete Kreisscheibe

Ω = x ∈ R2| 0 < |x| < 1 ⊂ R

2;

b) geschlitzte Kreisscheibe

Ω = x ∈ R2| |x| < 1 \ Γ, Γ := x ∈ R

2| − 12 ≤ x1 ≤ 1

2 , x2 = 0 ⊂ R2.

Ubung 1.12: Man gebe eine variationelle Formulierung der folgenden Randwertaufgabe an:

−∆u+ u = f in Ω, ∂nu+ u|∂Ω = g,

und begrunde, daß deren Losung im Falle ausreichender Glattheit die RWA lost.

Ubung 1.13: Welche von den folgenden Sobolewschen Ungleichungen sind richtig?

a) ‖u‖L∞(Ω) ≤ c ‖u‖H2(Ω), u ∈ H2(Ω), Ω ⊂ R3;

b) ‖u‖L∞(Ω) ≤ c ‖u‖H1,1(Ω), u ∈ H1,1(Ω), Ω ⊂ R1;

c) ‖u‖L∞(Ω) ≤ c ‖u‖H1(Ω), u ∈ H1(Ω), Ω ⊂ R2;

d) ‖u‖L1(∂Ω) ≤ c ‖u‖H1,1(Ω), u ∈ H1,1(Ω), Ω ⊂ R2.

Man erklare die Bedeutung der verwendeten Funktionenraume und Normen.

2 Differenzen-Verfahren fur elliptische Probleme

In diesem Kapitel werden wir zunachst die klassischen Differenzenapproximationen zur Losungelliptischer Randwertaufgaben diskutieren. Der Ubersichtlichkeit halber beschranken wir uns da-bei auf das Modellproblem der Poisson-Gleichung in zwei Raumdimensionen mit DirichletschenRandbedingungen, d.h. auf die 1. RWA:

Lu := −∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω. (2.0.1)

Das Definitionsgebiet Ω ⊂ R2 wird zunachst wieder als glatt berandet oder als konvexes Po-

lygongebiet vorausgesetzt. Die Problemdaten f, g sind ebenfalls glatt, so daß die im vorigenKapitel beschriebenen Resultate anwendbar sind. Erweiterungen fur Probleme mit variablenKoeffizienten oder anderen Randbedingungen sowie auf den dreidimensionalen Fall werden ge-gebenenfalls in Bemerkungen berucksichtigt.

2.1 Allgemeine Differenzenapproximationen

Zur Definition einer sog.”Differenzenapproximation“ der RWA wird das Losungsgebiet Ω durch

ein endliches (nicht notwendig aquidistantes oder kartesisches) Punktgitter uberdeckt. Wir de-finieren disjunkte Punktmengen

Ωh := ”innere” Gitterpunkte in Ω, ∂Ωh :=

”Rand-Gitterpunkte” nahe bei ∂Ω,

und setzen Ωh := Ωh ∪ ∂Ωh . Welche Punkte zu ∂Ωh gehoren, hangt von der Eigenart dergewahlten Differenzenapproximation ab; im folgenden werden verschiedene Beispiele betrachtet.Der Parameter h > 0 beschreibt wie ublich die

”Feinheit” des Gitters Ωh , d.h. so etwas wie den

mittleren Abstand benachbarter Gitterpunkte. Die Gitterpunkte in ∂Ωh seien ahnlich dicht ver-teilt wie die in Ωh . Die Differentialgleichung wird nun in den Punkten in Ωh betrachtet und jedeAbleitung durch einen Differenzenquotient ersetzt. Diese Differenzenappoximation greift dabeiauch auf Randpunkte in ∂Ωh zuruck. So ergibt sich ein Differenzenschema zur Bestimmungeiner diskreten Losung uh : Ωh → R der allgemeinen Gestalt

Lhuh(P ) = fh(P ) fur P ∈ Ωh, uh(P ) = gh(P ) fur P ∈ ∂Ωh, (2.1.2)

wobei fh und gh geeignete Approximationen der rechten Seite f bzw. der Randwerte g sind(im einfachsten Fall etwa gh(P ) = g(P ) ). Auf naturliche Weise verstehen wir die Anwendungdes Operators Lh auch auf die kontinuierliche Losung u ∈ C(Ω) . Zur Konstruktion konkre-ter Differenzenoperatoren definieren wir zu jedem Punkt eine Umgebung von (verschiedenen)Punkten

N(P ) := Qi, i = 0, ..., rP (Konvention: Q0 := P ),

auf denen eine Differenzenapproximation des Laplace-Operators definiert ist. Der Differenzen-operator hat dann die Form

Lhuh(P ) =∑

Q∈N(P )

σ(P,Q)uh(Q), (2.1.3)

mit gewissen Koeffizienten σ(P,Q). Diese sind so zu bestimmen, daß die folgenden Forderungenerfullt sind:

45


i) Konsistenz: Das Schema ist”konsistent”, d.h.: Fur den

”Abschneidefehler”

τh(P ) := Lhu(P ) − fh(P ), P ∈ Ωh,

gilt

maxP∈Ωh

|τh(P )| → 0 (h→ 0). (2.1.4)

Wunschenswert ware eine moglichst hohe”Konsistenzordnung“ m ≥ 1 , d.h.:

maxP∈Ωh

|τh(P )| = O(hm). (2.1.5)

Wir werden uns im folgenden ublicherweise meist mit m = 2 begnugen. Aus Okonomiegrundenwird man rP von moderater Große wahlen ( rP ≈ 4 − 24 in zwei Raumdimensionen).

ii) Stabilitat: Das Differenzenschema ist wohl-gestellt, d.h.: Es bestimmt eindeutige diskre-te Losungen (uh(P ))P∈Ωh

, welche gleichmaßig bzgl. h stetig von den Daten des Problemsabhangen. Dazu ware z.B. eine Stabilitatsabschatzung des folgenden Typs zu beweisen:

maxP∈Ωh

|uh(P )| ≤ cstab

maxP∈Ωh

|Lhuh(P )| + maxP∈∂Ωh

|uh(P )|, (2.1.6)

mit einer von h unabhangigen Konstante cstab > 0 .

iii) Vertraglichkeit: Der Differenzenoperator Lh soll analoge charakteristische Eigenschaftenwie der kontinuierliche L besitzen; z.B.: Symmetrie, Definitheit, Maximumprinzip, u.s.w.

Das Hauptziel der Konvergenzanalyse von Differenzenschemata ist der Nachweis, daß eineKonsistenzordnung m auch eine Konvergenzordnung m des Fehlers eh := u− uh impliziert:

maxP∈Ωh

|eh(P )| = O(hm), (2.1.7)

vorausgesetzt, die Losung u ist ausreichend regular.

2.1.1 Konsistenz

Fur den Fall fh(P ) = f(P ) betrachten wir o.B.d.A. den Punkt P = Q0 = 0 und die Punktum-gebung N(P ) = Qi = (xi, yi), i = 0, ..., rP . Taylorentwicklung ergibt:

u(Qi) = u(P ) + xi∂xu(P ) + yi∂yu(P ) + 12x

2i ∂

2xu(P ) + xiyi∂x∂yu(P ) + 1

2y2i ∂

2yu(P ) + · · · .

Wir wollen aus diesem Ansatz die Koeffizienten σi := σ(P,Qi) im Differenzenoperator so bestim-men, daß eine vorgegebene Konsistenzordnung garantiert ist. Mit dem Ansatz τh(P ) = O(hm)erhalt man durch Koeffizientenvergleich als notwendige und hineichende Bedingung fur Konsi-stenz:

(B0) Konsistenz: Fur die Koeffizienten des Differenzenschemas gilt:

rP∑

i=0

σi =

rP∑

i=0

xiσi =

rP∑

i=0

yiσi =

rP∑

i=0

xiyiσi = 0, 12

rP∑

i=0

x2i σi = 1

2

rP∑

i=0

y2i σi = 1. (2.1.8)

2.1 Allgemeine Differenzenapproximationen 47

Aus diesen Beziehungen sind die Koeffizienten σi, i = 0, ..., rP , im Differenzenoperator Lh zubestimmen. Fur Konsistenz sind also im allgemeinen Fall eines vollig unstrukturierten Gittersmindestens 6 Punkte in N(P ) erforderlich. Die Konsistenz des Differenzenschemas ist offenbaraquivalent dazu, daß der Differenzenoperator

”exakt” ist fur quadratische Polynome:

u ∈ P2 : Lhu(P ) = Lu(P ), P ∈ Ωh. (2.1.9)

Da man in der Regel Diskretisierungen auf Folgen von Gittern mit Gitterweiten h→ 0 betrach-tet, fuhrt man skalierte Parameter ξi = h−1xi, ηi = h−1yi ein, um sich von der h-Abhangigkeitin den Koeffizienten zu befreien. Wegen

12h

2rP∑

i=0

ξ2i σi = 12h

2rP∑

i=0

η2i σi = 1,

ist σi = 0 oder σi ∼ h−2. Wenn also eine Losung fur (σ0, . . . , σrP ) existiert, dann ergibt sich furden Konsistenzfehler

τh(P ) = (Lhu− Lu)(P ) = O(h3ξ3i σi + . . .) = O(h). (2.1.10)

Auch bei ganz irregularer Gitterpunktsanordnung erhalt man somit schon mindestens eine Kon-sistenzordnung m = 1 . Es gibt mehrere Moglichkeiten, die Ordnung zu erhohen:

– Man nimmt mehr Gitterpunkte in die Menge N(P ) auf.

– Man ordnet das Gitter regular an, um in der Taylor-Entwicklung des AbschneidefehlersWeghebeffekte zu erzielen.

Wir werden uns nun im folgenden mit regularen, speziell aquidistanten, kartesischen Gitternbeschaftigen. Der Einfachheit halber sollen die Gitterpunkte aquidistant entlang von Paral-lelen zu den Koordinatenachsen angeordnet sein. Dabei bezeichnet R

2h das gesamte den R

2

uberdeckende Punktgitter. Die Schnittpunkte der Gitterlinien mit dem Rand ∂Ω bilden da-bei naturliche Stutzpunkte fur die Approximation der Randwerte. Die

”Gitterweite“ h hat auf

solchen Gittern eine naturliche Bedeutung.

ΩΩ

Ω

Ω

h

h

h

innere Knoten

Pseudo-Randknoten

Randknoten

P

h

0

Abbildung 2.1: Gitter fur Differenzenapproximation


Die einfachste Approximation ∆h ≈ ∆ des Laplace-Operators verwendet zentrale Differen-zenquotienten 2. Ordnung in jeder der Koordinatenrichtungen. Man erhalt den sog.

”5-Punkte-

Operator“:

∆(5)h uh(x, y) :=

1

h2

u(x± h, y) + u(x, y ± h) − 4u(x, y)

fur innere Gitterpunkte P = (x, y) ∈ Ωh . Wir verwenden hier die Konvention, daß”... ± h”

abkurzend fur die Summe der beiden Terme”...+h” und

”...−h” steht. Die Konsistenzordnung

dieser Differenzenapproximation ist wegen der Aquidistanz des Gitters und der symmetrischenPlazierung der Stutzpunkte m = 2 :

|∆(5)h u(P ) − ∆u(P )| ≤ 1

6M4(u)h2, (2.1.11)

wobei M4(u) := maxΩ|∂ix∂jyu|, i+ j = 4 . Diese Aussage bleibt gultig, wenn das Gitter nur in

jeder einzelnen der Koordinatenrichtungen aquidistant ist. Dagegen ginge die Konsistenzordnungauf m = 1 zuruck, wenn das Gitter zwar kartesisch, aber innerhalb einer Koordinatenrichtungnicht aquidistant ware. Hohere Approximationsordnungen lassen sich z.B. auf einem gleichformi-gen Gitter durch Hinzunahme von weiteren Punkten in der Umgebung des Auswertungspunkts(x, y) erzielen:

i) Approximation der zweiten Ableitungen im Laplace-Operator durch zentrale Differenzenquo-tienten auf jeweils 5 Punkten ergibt den

”gestreckten“ 9-Punkte-Operator:

∆(9)h uh(x, y) =

1

12h2

− u(x± 2h, y) + 16u(x± h, y)− u(x, y ± 2h) + 16u(x, y ± h)− 60u(x, y)

.

Dieser Differenzenoperator hat offensichtlich die Konsistenzordnung m = 4 , doch hat die zu-gehorige Koeffizientenmatrix wegen des Vorzeichenwechsels ungunstige Eigenschaften.

ii) Der”kompakte“ 9-Punkte-Operator verwendet neben dem Auswertungspunkt (x, y) die 8

direkten Nachbarpunkte (x± h, y), (x± h, y ± h), (x, y ± h) :

∆(9)h uh(x, y) =

1

6h2

4u(x± h, y) + 4u(x, y ± h) + u(x± h, y ± h) − 20u(x, y)

.

Dieses Schema hat zunachst auch nur die Ordnung m = 2 , doch kann man es durch eine Modifi-kation bei der Auswertung der rechten Seite auf die Ordnung m = 4 bringen (Ubungsaufgabe):

f(x, y) → f(x, y) + 112h

2∆(5)h f(x, y). (2.1.12)

Approximation entlang des Randes: Bei der Approximation am (moglicherweise gekrumm-ten) Rand des Gebiets gibt es verschiedene Moglichkeiten, die, wie wir spater sehen werden,durchaus auf unterschiedliche Approximationsordnungen fuhren. Wir betrachten wieder den 5-Punkte-Operator und definieren zunachst die folgenden Gitterpunktmengen:

Ωh := P ∈ R2h| N(P ) ⊂ Ω, ∂Ωh :=

⋃

P∈Ωh

N(P ) \ Ωh.

i) Konstante Randwertextrapolation: In Punkten von Ωh wird der 5-Punkte-Operator angesetzt,und in Punkten P ∈ ∂Ωh werden die Randwerte uh(P ) = g(P 0) verwendet. Dabei ist P 0 derP entlang einer der Koordinatenachsen am nachsten gelegene Punkt auf ∂Ω . Dies ergibt entlangdes Randes nur eine Approximationsordnung m = 1 .

2.1 Allgemeine Differenzenapproximationen 49

P0 P

Ω

Abbildung 2.2: Schema der konstanten Randapproximation

ii) Lineare Randwertinterpolation: Jeder Punkt P ∈ ∂Ωh liegt in x- und/oder y-Richtungzwischen zwei Punkten P0 ∈ ∂Ω und P1 ∈ Ωh mit Abstanden 0 ≤ αh < h zu P0 und h zuP1 . Man setzt dann (lineare Interpolation):

uh(P ) :=1

1 + α

g(P0) + αuh(P1)

. (2.1.13)

Damit wird eine implizite Kopplung der Randwerte an die”inneren“ Losungswerte bewirkt.

Diese Randwertapproximation hat die Ordnung m = 2 .

P0 P P1

Ω

Abbildung 2.3: Schema der linearen Randapproximation

iii) Shortley1-Weller2-Approximation: Wir definieren die folgenden Punktmengen:

Ω0h := P ∈ R

2h| N(P ) ⊂ Ω, ∂Ω∗

h :=⋃

P∈Ω0h

N(P ) \ Ωh,

Ωh := Ω0h ∪ ∂Ω∗

h, ∂Ωh := Schnittpunkte der Gitterlinien mit ∂Ω.

In Punkten P ∈ Ωh wird wieder der normale 5-Punkte-Operator und in den”fiktiven“ Rand-

punkten P ∈ ∂Ω∗h der modifizierte 5-Punkte-Operator verwendet (siehe die schematische Dar-

stellung):

−∆∗huh(x, y) := h−2

( 2

α+

2

β

)uh(x, y) −

2

1 + αuh(x+ h, y) − 2

α(1 + α)uh(x− αh, y)

− 2

1 + βuh(x, y + h) − 2

β(1 + β)uh(x, y − βh)

= f(x, y) ,

1George Shortley (1910-: ????2R. Weller (????-????): ????


gemaß

−∆∗huh = f auf ∂Ω∗

h, (2.1.14)

mit den Werten uh(P ) := g(P ) auf ∂Ωh . Fur diesen Differenzenoperator gilt

|∆∗hu(P ) − ∆u(P )| ≤ 2

3M3(u)h, (2.1.15)

wobei M3(u) := maxΩ|∂ix∂jyu|, i+ j = 3 .

(x, y+h)

(x+h, y)(x+2h, y)

(x, y- h)

(x, y)

h

β h

β

α h

(x- h, y)α

h

h Gitterweite

(x, y) Stutzpunkt

0 < α, β ≤ 1, αβ < 1

Abbildung 2.4: Schema der Shortley-Weller-Approximation

Die Verwendung dieser Differenzenapproximationen fuhrt auf Schemata der Form

Lhuh = fh in Ωh, Rhuh = gh auf ∂Ωh, (2.1.16)

wobei der”Randoperator“ Rh die jeweilige Randwertapproximation beschreibt. Dabei wer-

den die echten Randwerte von uh auf ∂Ωh unter Umstanden implizit mit Werten im Innernverkoppelt. In diesem Fall sind alle Werte uh(P ), P ∈ Ωh , zu bestimmen. Der Differenzenope-rator Lh steht fur den normalen 5-Punkte-Operator in Ωh und gegebenfalls den modifiziertenShortley-Weller-Operator auf ∂Ω∗

h . Im einfachsten Fall der trivialen RandwertapproximationRhuh = uh konnen die Randwerte uh(P ) = gh(P ), P ∈ ∂Ωh , direkt eliminiert werden. Wirwerden im folgenden nur diesen Fall weiter diskutieren.

Bemerkung: Die obigen Differenzenschemata haben naturliche Analoga in drei Raumdimensio-nen. Man spricht dann aus naheliegendem Grund vom

”7-Punkte-Operator“. Dessen Abschnei-

defehler genugt der Abschatzung

|∆(7)h u(P ) − ∆u(P )| ≤ 1

4M4(u)h2. (2.1.17)

2.2 Eigenschaften der Differenzengleichungen 51

2.2 Eigenschaften der Differenzengleichungen

Ausgangspunkt der folgenden Untersuchungen ist das Differenzenschema der Gestalt

Lhuh(P ) :=∑

Q∈N(P )

σ(P,Q)uh(Q) = fh(P ), P ∈ Ωh, (2.2.18)

uh(P ) = gh(P ), P ∈ ∂Ωh, (2.2.19)

mit geeigneten Approximationen fh(·) zu f und gh(·) zu g . Wir definieren die Koeffizentenσ(P,Q) := 0 fur Punkte Q 6∈ N(P ). Fur P ∈ Ωh gilt dann

∑

Q∈Ωh

σ(P,Q)uh(Q) = fh(P ) −∑

Q∈∂Ωh

σ(P,Q)gh(Q). (2.2.20)

Bei (beliebiger) Numerierung der Gitterpunkte etwa gemaß Ωh = Pn, n = 1, ..., N , ∂Ωh =Pn, n = N + 1, ..., N +M ergibt sich ein quadratisches Gleichungssystem fur den Vektor der(inneren) Knotenwerte U = (Un)

Nn=1, Un := uh(Pn) :

AU = F, (2.2.21)

mit A = (Anm)Nn,m=1, F = (Fn)Nn=1 , wobei

Anm := σ(Pn, Pm), Fn := fh(Pn) −N+M∑

m=N+1

σ(Pn, Pm)gh(Pm).

1

5

9

13

2

6

10

14

3

7

11

15

4

8

12

16

h

h

h = 1m+1 Gitterweite

N = m2

”innere“ Gitterpunkte

Abbildung 2.5: Differenzengitter

Beispiel (”Modellproblem”): Im Fall des Einheitsquadrats Ω = (0, 1)2 ergibt sich fur den

5-Punkte-Operator bei zeilenweiser Durchnumerierung des Gitters Ωh = Pijm+1i,j=0 die folgende

dunn-besetzte Matrix der Dimension N = m2 :

A =1

h2

Bm −Im−Im Bm −Im

−Im Bm. . .

. . .. . .

N Bm =

4 −1

−1 4 −1

−1 4. . .

. . .. . .

m


mit der m×m-Einheitsmatrix Im . Die rechte Seite ist F := (f(x11), . . . , f(xmm))T . Die MatrixA ist eine dunn besetzte Bandmatrix mit der Halbbandbreite m , symmetrisch und (irreduzibel)diagonal-dominant. Damit ist sie auch regular und positiv definit.

Bemerkung: In drei Raumdimensionen hat die entsprechende Matrix die Dimension N = m3

und die Halbbandbreite m2 . Ansonsten hat sie dieselben Eigenschaften wie in zwei Dimensionen.

Im allgemeinen Fall ist fur moderates rP die Matrix A dunn besetzt, aber haufig wegender Randwertapproximation nicht symmetrisch. Dies ware ein schwerwiegender Nachteil, etwabei der Approximation von Eigenwertaufgaben zum Laplace-Operator. Um die Regularitat vonA bzw. die Losbarkeit der Differenzengleichung garantieren zu konnen, formulieren wir diefolgenden Strukturbedingungen in numerierungs-unabhangiger Form:

(B1) Erweiterte Diagonaldominanz: Fur Punkte P ∈ Ωh gilt:

(i)∑

Q∈Ωh, Q 6=P|σ(P,Q)| ≤ |σ(P,P )| , (2.2.22)

und fur Punkte P ∈ Ω∗h := Q ∈ Ωh : N(Q) ∩ ∂Ωh 6= ∅ :

(ii)∑

Q∈Ωh, Q 6=P|σ(P,Q)| < |σ(P,P )| . (2.2.23)

(B2) Nicht-negativer Typ: Fur Punkte P ∈ Ωh und Q ∈ Ωh \ P gilt:

σ(P,P ) > 0, σ(P,Q) ≤ 0 . (2.2.24)

(B3) Zusammenhang: Es ist ∂Ωh 6= ∅ , und mit N(P ) := Q ∈ Ωh, σ(P,Q) 6= 0 gilt fur jedeechte Teilmenge Sh ⊂ Ωh :

( ⋃

P∈Sh

N(P ))∩ (Ωh \ Sh) 6= ∅ . (2.2.25)

Die ersten beiden Bedingungen (B1) und (B2) werden von vielen Differenzenschemata, insbe-sondere solchen hoherer als zweiter Ordnung (z.B.: der

”gestreckte” 9-Punkte-Operator), nicht

erfullt. Die hier betrachteten 5-Punkte-Schemata mit Randapproximation genugen ihnen aber.Wir zeigen im folgenden, wie bei den einzelnen Randapproximationen die Bedingung (B1ii)erfullt ist.

i) Konstante Randwertextrapolation: Fur P ∈ Ω∗h gilt

∑

Q∈Ωh, Q 6=P|σ(P,Q)| ≤ 3h−2 = 3

4 |σ(P,P )| ,

ii) Lineare Randwertinterpolation: Fur P ∈ Ω∗h gilt

∑

Q∈Ωh, Q 6=P|σ(P,Q)| ≤

(3 + α

1+α

)h−2 ≤ 7

2h−2 ≤ 7

8 |σ(P,P )| ,


iii) Shortley-Weller-Randwertapproximation: Fur P ∈ Ω∗h gilt

∑

Q∈Ωh, Q 6=P|σ(P,Q)| ≤

(2

1+α + 21+β

)h−2 ≤ 1

2

(2α + 2

β

)h−2 = 1

2 |σ(P,P )| .

Die dritte Bedingung (B3) sichert die Kopplung eines jeden inneren Gitterpunktes P ∈ Ωh

mit allen anderen, insbesondere mit den Randpunkten. Die Eigenschaft des kontinuierlichenProblems, daß sich eine kleine Storung in einem Punkt global bemerkbar macht, spiegelt sichhier wider.

Die obigen Eigenschaften des Differenzenschemas korrespondieren zu den bereits bekanntender zugehorigen Koeffizientenmatrix A . Unabhangig von der gewahlten Numerierung der Gitter-punkte implizieren die Bedingungen (B1) und (B3) zunachst die einfache Diagonaldominanz vonA , daruber hinaus aber auch die starkere

”irreduzible Diagonaldominanz” (analog dem

”schwa-

chen Zeilensummenkriterium“ fur die Konvergenz des Jacobi- oder des Gauß-Seidel-Verfahrens).Die Bedingung (B2) entspricht einer analogen fur A .

Um Existenz und Eindeutigkeit einer Losung fur das allgemeine Differenzenschema garantie-ren zu konnen, geht man ahnlich wie im Kontinuierlichen vor und nutzt ein diskretes Analogondes

”Maximumprinzips”.

Satz 2.1 (Diskretes Maximumprinzip): Wenn die Bedingungen (B1i), (B2) und (B3) erfulltsind, genugt das zugehorige Differenzenschema einem

”diskreten Maximumprinzip“, d.h.: Git-

terfunktionen uh mit der Eigenschaft

Lhuh(P ) ≤ 0, P ∈ Ωh, (2.2.26)

haben in Ωh kein positives Maximum. Genauer gilt uh ≤ 0 auf Ωh oder

maxΩh

uh ≤ max∂Ωh

uh. (2.2.27)

Beweis: Wir nehmen an, daß (2.2.26) fur ein uh erfullt ist, und fuhren den Beweis indirekt. Esgebe also einen Punkt P0 ∈ Ωh , so daß

M := uh(P0) = maxΩh

uh > 0, max∂Ωh

uh < M.

Ausgehend von Lhuh(P ) ≤ 0 , folgt mit Bedingung (B2):

uh(P0) ≤ −∑

Q 6=P0

σ(P0,Q)σ(P0,P0)

uh(Q) =∑

Q 6=P0

∣∣ σ(P0,Q)σ(P0,P0)

∣∣uh(Q)

=∑

Q 6=P0

∣∣ σ(P0,Q)σ(P0,P0)

∣∣ uh(P0) +∑

Q 6=P0

∣∣ σ(P0,Q)σ(P0,P0)

∣∣ uh(Q) − uh(P0).

Weiter gilt wegen Bedingung (B1i)

∑

Q 6=P0

∣∣ σ(P0,Q)σ(P0,P0)

∣∣ ≤ 1,


und folglich (uh(P0) = M )

M ≤M +∑

Q∈N(P0)\P0

∣∣ σ(P0,Q)σ(P0,P0)

∣∣ uh(Q) −M.

Da nach Voraussetzung uh(Q) ≤ M ist, muss also uh(Q) = M in allen Punkten Q ∈ N(P0)(d.h. solchen mit σ(P0, Q) 6= 0 ) sein, da sonst ein Widerspruch entsteht. Anwendung derselbenSchlußweise fur alle Punkte in N(P0) liefert

uh(Q) = M, Q ∈⋃

P∈N(P0)

N(P ).

Mit Hilfe der Bedingung (B3) erschließen wir dann durch sukzessive Fortsetzung dieses Argu-ments, daß uh ≡ M auf Ωh . Nach Voraussetzung ist ∂Ωh 6= ∅ , so daß es wegen (B3) einenPunkt Q ∈ ∂Ωh ∩N(P ) mit einem

”inneren“ Punkt P ∈ Ωh geben muß. Fur diesen folgt dann

uh(Q) = M , was im Widerspruch zur Annahme max∂Ωhuh < M steht. Q.E.D.

Das diskrete Maximumprinzip hat eine Reihe von wichtigen Folgerungen fur die obigen Dif-ferenzenschemata.

Korollar 2.1 (Eindeutigkeit): Unter den Voraussetzungen (B1), (B2) und (B3) besitzt dasDifferenzenschema (2.2.18), (2.2.19) genau eine Losung uh . Im Falle fh ≥ 0 folgt aus gh ≥ 0auch uh ≥ 0 .

Beweis: i) Wegen der Aquivalenz von (2.2.18), (2.2.19) zu dem Gleichungssystem AhU = Fhgenugt es, die Eindeutigkeit zu zeigen. Seien also u

(1)h und u

(2)h zwei Losungen:

Lhu(i)h = fh in Ωh, u

(i)h = gh auf ∂Ωh.

Fur die Differenz wh := u(1)h − u

(2)h gilt dann

Lhwh = 0 in Ωh, wh = 0 auf ∂Ωh.

Nun wird das diskrete Maximumprinzip auf Lhwh ≤ 0 sowie auf Lh(−wh) ≤ 0 angewendet.Ersteres ergibt wh ≤ 0 und letzteres wh ≥ 0 und folglich wh ≡ 0 .

ii) Sei nun fh ≥ 0 und gh ≥ 0 . Dann impliziert das diskrete Maximumprinzip angewendet fur−uh , daß entweder uh ≥ 0 oder minΩh

uh = −maxΩh(−uh) ≥ −max∂Ωh

(−gh) = min∂Ωhgh,

was zu beweisen war. Q.E.D.

Im nachsten Abschnitt werden wir das diskrete Maximumprinzip verwenden, um die stetigeAbhangigkeit der Losungen von den Problemdaten zu zeigen. Dies wird sich als Nebenprodukteiner sehr viel starkeren Stabilitatsungleichung ergeben.

Korollar 2.2 (Inverse Monotonie): Unter den Voraussetzungen (B1), (B2) und (B3) ist diezum Differenzenoperator Lh bei beliebiger Numerierung der Gitterpunkte gehorende Koeffizi-entenmatrix A eine sog.

”M-Matrix” (invers-monotone Matrix), d.h.: Ihre Inverse A−1 ist

elementweise nicht negativ:

A−1 ≥ 0. (2.2.28)


Beweis: Die Matrix A wird wie ublich geschrieben als Summe A = L+D+R einer linken un-teren Dreiecksmatrix L , einer Diagonalmatrix D und einer rechten oberen Dreiecksmatrix R .Die Bedingungen (B1), (B2) und (B3) implizieren, wie oben bereits bemerkt, die (irreduzible)Diagonaldominanz von A und damit 1) die Regularitat von A und D und 2) die Kontrak-tivitat spr(J) < 1 der Jacobi-Matrix J := −D−1(L + R) . Dann existiert eine (naturliche)Matrizennorm ‖ · ‖ , bzgl. derer ‖J‖ < 1 ist. Hiermit folgt die Existenz der Reihe (im Sinne derMatrizenkonvergenz)

∞∑

k=0

Jk = (I − J)−1.

Bedingung (B2) garantiert, daß (elementweise) J = −D−1(L+R) ≥ 0 und folglich auch

A−1D = (D−1A)−1 = (I +D−1(L+R))−1 = (I − J)−1 =∞∑

k=0

Jk ≥ 0.

Wegen D−1 ≥ 0 impliziert dies A−1 ≥ 0 . Q.E.D.

Die Matrix A−1 ordnet der rechten Seite fh und den Randwerten gh eindeutig den Losungs-vektor U der Differenzengleichung zu:

A−1 : fh, gh → U = A−1F (fh, gh).

Damit ist A−1 das algebraische Aquivalent der kontinuierlichen Greenschen Funktion G(·, ·) :

G : f, g → u(x) =

∫

ΩG(x, y)f(y) dy −

∫

∂Ω∂nG(x, y)g(y) dy.

Als Folgerung des Maximumprinzips ist G(x, y) ≥ 0, x 6= y , was analog zur gerade gezeigtenEigenschaft A−1 ≥ 0 ist.

2.2.1 Das Konvergenzverhalten von Differenzenverfahren

Die Grundlage der Fehleranalyse fur die oben eingefuhrten Differenzenschemata ist wie im Fallvon Differenzenverfahren fur gewohnliche Differentialgleichungen eine asymptotische Stabilitats-abschatzung. Wir formulieren diese im folgenden Satz fur ein allgemeines Differenzenschema

Lhuh = fh in Ωh, uh = gh auf ∂Ωh. (2.2.29)

Wir setzen im folgenden stets voraus, daß dieses Schema konsistent ist.

Satz 2.2 (Stabilitat): Das Differenzenschema (2.2.29) sei konsistent und genuge den Bedin-gungen (B1), (B2) und (B3). Dann gilt fur jede Gitterfunktion uh die Stabilitatsabschatzung

maxP∈Ωh

|uh(P )| ≤ 14d

2Ω max

Ωh

|Lhuh(P )| + maxP∈∂Ωh

|uh(P )| , (2.2.30)

wobei dΩ := diam(Ω) .


Beweis: Wir argumentieren im folgenden ahnlich wie auf der kontinuierlichen Ebene. Durch diefolgende Vorschrift fur beliebiges, festes Q ∈ Ωh

LhGh(·, Q) = h−2δ(·, Q) in Ωh, Gh(·, Q) = δ(·, Q) auf ∂Ωh, (2.2.31)

wird ein diskretes Analogon Gh(P,Q) : Ωh×Ωh → R zur kontinuierlichen Greenschen Funktion(des Laplace-Operators) definiert. Dabei ist δ(P,Q) das ubliche

”Kronecker3 -Symbol”. Aus

dem diskreten Maximumprinzip folgt, daß Gh(P,Q) ≥ 0 .

Fur eine Gitterfunktion vh gilt dann die diskrete”Greensche Identitat”

vh(P ) = h2∑

Q∈Ωh

Gh(P,Q)Lhvh(Q) +∑

Q∈∂Ωh

Gh(P,Q)vh(Q), P ∈ Ωh. (2.2.32)

Um dies zu sehen, bezeichnen wir die rechte Seite von (2.2.32) mit wh und erhalten mit denEigenschaften der Greenschen Funktion

Lhwh = Lhvh in Ωh, wh = vh auf ∂Ωh.

Die Eindeutigkeit der Losungen des Diffenzenschemas impliziert dann wh ≡ vh .

Aus der diskreten Greenschen Identitat folgt fur jede Gitterfunktion vh

|vh(P )| ≤ h2∑

Q∈Ωh

Gh(P,Q) maxΩh

|Lhvh| +∑

Q∈∂Ωh

Gh(P,Q) max∂Ωh

|vh|, P ∈ Ωh. (2.2.33)

i) Wegen der Konsistenz des Schemas gilt fur die Gitterfunktion wh ≡ 1 notwendig Lhwh ≡ 0 ,so daß aus der Greenschen Identitat folgt:

1 = h2∑

Q∈Ωh

Gh(P,Q)Lhwh(Q) +∑

Q∈∂Ωh

Gh(P,Q)wh(Q) =∑

Q∈∂Ωh

Gh(P,Q) . (2.2.34)

Dies impliziert eine Schranke fur die zweite Summe in (2.2.33).

ii) Jeder Punkt P0 ∈ Ωh ist Mittelpunkt eines Ω enthaltenden Kreises mit Radius dΩ . O.b.d.A.sei hier P0 = 0 . Fur die Funktion w(P ) := 1

4 |P |2 gilt in Punkten P ∈ Ωh :

Lhw(P ) = Lhw(P ) + ∆w(P ) − ∆w(P ) = M3(w)O(h) − ∆w(P ) = −1,

da M3(w) = 0. Wir definieren nun die Gitterfunktion

vh(P ) := h2∑

Q∈Ωh

Gh(P,Q).

Durch elementares Nachrechnen verifiziert man, daß

Lhvh = 1 in Ωh, vh = 0 auf ∂Ωh,

Lh(vh + w) = 0 in Ωh, vh + w ≤ 14d

2Ω auf ∂Ωh.

3Leopold Kronecker (1823-1891): deutscher Mathematiker; wirkte in Berlin als “Privatgelehrter”; betrieb dieArithmetisierung der Mathematik; wichtiger Vertreter des “Konstruktivismus”, welcher die generelle Verwendungdes Widerspruchsbeweises und des “aktual Unendlichen” in Form z.B. der allgemeinen reellen Zahlen ablehnt.


Aus dem diskreten Maximumprinzip folgt dann wegen w ≥ 0 notwendig

maxΩh

vh ≤ maxΩh

(vh + w) ≤ max∂Ωh

(vh + w) = max∂Ωh

w ≤ 14d

2Ω,

und somit

h2∑

Q∈Ωh

Gh(P,Q) ≤ 14d

2Ω , P ∈ Ωh. (2.2.35)

Die Abschatzungen (2.2.34) und (2.2.35) ergeben zusammen mit (2.2.33) die Behauptung. Q.E.D.

Als unmittelbare Folgerung aus Satz 2.2 erhalten wir (in Analogie zum kontinuierlichen Fall)die stetige Abhangigkeit der Losung von den Daten. Das wichtigste Resultat ist eine a prioriKonvergenzabschatzung fur das Differenzenschema (2.2.29).

Korollar 2.3 (Konvergenz): Unter den Voraussetungen von Satz 2.2 gilt fur das Differen-zenschema (2.2.29) die a priori Konvergenzabschatzung

maxP∈Ωh

|eh(P )| ≤ 14d

2Ω maxP∈Ωh

|τh(P )| + maxP∈∂Ωh

|eh(P )|, (2.2.36)

mit dem Fehler eh = u− uh und dem Abschneidefehler τh(P ) := Lhu(P ) + ∆u(P ) .

Beweis: Fur den Fehler eh gilt die Differenzengleichung

Lheh(P ) = τh(P ) P ∈ Ωh,

so daß die Stabilitatsungleichung (2.2.30) unmittelbar die Behauptung liefert. Q.E.D.

Die Abschatzung (2.2.36) garantiert wieder, daß fur ein”gutes“ Differenzenschema der globale

Diskretisierungsfehler mit derselben Ordnung wie der lokale Abschneidefehler konvergiert. Wirwollen diese allgemeinen Resultate fur die obigen speziellen Diskretisierungen anwenden. Dabeiwird wieder die folgende Bezeichnung fur Normschranken der exakten Losung verwendet:

Mm(u) := maxΩ

|∂ix∂jyu|, i+ j = m.

Korollar 2.4 (Konvergenz): Unter den Voraussetungen von Satz 2.2 gilt fur den Fehler den5-Punkte-Operator mit konstanter Randwertextrapolation die a priori Fehlerabschatzung

maxP∈Ωh

|eh(P )| ≤ 124d

2ΩM4(u)h

2 +M1(u)h. (2.2.37)

Beweis: Fur den Abschneidefehler gilt

maxΩh

|τh| ≤ 16M4(u)h

2,

und in Randgitterpunkten

max∂Ωh

|eh| = max∂Ωh

|u(P ) − u(P ⋆)| ≤M1(u)h.


Die Stabilitatsabschatzung (2.2.30) impliziert damit die Behauptung. Q.E.D.

Der ordnungsreduzierende Effekt der mangelhaften Randwertapproximation kann durch dieoben beschriebene

”lineare Randwertinterpolation“ behoben werden. Fur das so modifizierte

5-Punkte-Schema erhalt man ahnlich wie eben die a priori Fehlerabschatzung

maxP∈Ωh

|eh(P )| ≤ 112d

2ΩM4(u)h

2 + 12M2(u)h

2. (2.2.38)

Korollar 2.5 (Konvergenz): Unter den Voraussetungen von Satz 2.2 gilt fur den modifizier-ten 5-Punkte-Operator nach Shortley-Weller die a priori Fehlerabschatzung

maxP∈Ωh

|eh(P )| ≤ 124d

2ΩM4(u)h

2 + 13M3(u)h

3. (2.2.39)

Beweis: Fur den Fehler eh gelten die Beziehungen

−∆heh = τh in Ωh, −∆∗heh = τ∗h auf ∂Ω∗

h, eh = 0 auf ∂Ωh.

Fur die Abschneidefehler gilt

maxΩh

|τh| ≤ 16M4(u)h

2, max∂Ω∗

h

|τ∗h | ≤ 23M3(u)h.

In diesem Fall konnen wir nicht direkt die Stabilitatsungleichung (2.2.30) anwenden, da sie nurauf eine reduzierte Konvergenzordnung O(h) fuhren wurde. Statt dessen modifizieren wir ingeeigneter Weise den Beweis dieser Abschatzung. Mit den Bezeichnungen des Beweises von Satz2.2 ergibt die Greensche Identitat ( eh = 0 auf ∂Ωh )

eh(P ) = h2∑

Q∈Ω0h

Gh(P,Q)τh(Q) + h2∑

Q∈∂Ω∗

h

Gh(P,Q)τ∗h(Q)

und folglich

|eh(P )| ≤ h2∑

Q∈Ω0h

Gh(P,Q)maxΩ0

h

|τh| + h2∑

Q∈∂Ω∗

h

Gh(P,Q)max∂Ω∗

h

|τ∗h | . (2.2.40)

Wie im Beweis von Satz 2.2 folgt

h2∑

Q∈Ω0h

Gh(P,Q) ≤ h2∑

Q∈Ωh

Gh(P,Q) ≤ 14d

2Ω . (2.2.41)

Wir wollen jetzt zeigen, daß

∑

Q∈∂Ω∗

h

Gh(P,Q) ≤ 12 . (2.2.42)

Dazu definieren wir die Gitterfunktion wh durch

wh = 1 in Ωh, wh = 0 auf ∂Ωh .


Fur diese verifiziert man durch Nachrechnen

−∆hwh = 0 in Ω0h, −∆∗

hwh ≥ 2h−2 auf ∂Ω∗h .

Mit Hilfe der Greenschen Identitat folgt damit

1 = h2∑

Q∈∂Ω∗

h

Gh(P,Q)(−∆∗h)wh(Q) ≥ 2

∑

Q∈∂Ω∗

h

Gh(P,Q),

was (2.2.42) impliziert. Dies vervollstandigt den Beweis. Q.E.D.

Bemerkung: In drei Raumdimensionen gelten Satz 2.2 und Korollar 2.3 mit der Konstan-te 1

6d2Ω . Hiermit und der zugehorigen Abschatzung (2.1.17) fur den Konsistenzfehler ergeben

sich dann auch die a priori Fehlerabschatzungen der Korollare 2.4 und 2.4 mit der fuhrendenKonstante 1

24d2Ω .

Bemerkung: Wir betonen, daß die Konvergenz der betrachteten Differenzenschemata eine ver-gleichsweise hohe Regularitat der zu approximierenden Losung erfordert. Das Shortley-Weller-Schema erfordert z.B. fur seine

”maximale“ Konvergenzordnung m = 2 , daß u beschrankte

vierte Ableitungen auf ganz Ω besitzt (M4(u) < ∞ ). Dies ist eine sehr einschneidende Forde-rung, wie wir im vorigen Kapitel gesehen haben. Sie kann i.a. nur fur glatt berandete Gebietesowie unter gewissen Zusatzbedingungen fur spezielle Geometrien wie z.B. Rechtecke garan-tiert werden. Weiter erfordert sie auch hohe Glattheit der Daten f und g . Auf Gebieten miteinspringenden Ecken oder sonstwie reduzierter Regularitat von u konnen diese Satze nicht ver-wendet werden. In solchen realitatsnaheren Situationen werden sich die im nachsten Abschnittbehandelten

”Finite-Elemente-Verfahren“ als flexibler erweisen.


2.3 Losungsaspekte

Wir diskutieren nun die Losung der durch eine Differenzendiskretisierung entstehenden algebrai-schen Gleichungssysteme. Zugrunde gelegt wird die Situation des Modellproblems der 1. RWAdes Laplace-Operators

Lu := −∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω, (2.3.43)

auf einem Gebiet Ω ⊂ R2. Erweiterungen fur Probleme mit variablen Koeffizienten, anderenRandbedingungen, Unsymmetrien sowie auf drei Raumdimensionen werden wieder in Bemer-kungen berucksichtigt. Die zugehorigen algebraischen Systeme haben die Form

Ax = b, (2.3.44)

Die Matrix A = (anm)Nn,m=1 und der Vektor b = (bn)Nn=1 haben die Dimension N := Anzahl

der inneren Gitterpunkte bzw. Knotenfreiheitsgrade. In der Praxis ist meist N ≫ 1000 , so daßneben dem Rechenaufwand auch der Speicherbedarf ein wichtiger Aspekt ist. Die Matrix istextrem dunn besetzt und besitzt abhangig von der gewahlten Numerierung der Gitterpunktebzw. Knoten eine Bandstruktur. Fur die Wahl eines geeigneten (d.h.: moglichst sparsamen)Losungsverfahrens ist die zu erwartende Dimension N entscheidend.

Wir orientieren die folgende Diskussion an der Modellsituation der Poisson-Gleichung aufdem Einheitsquadrat Ω = (0, 1)2 und der Diskretisierung mit dem ublichen 5-Punkte-Schemaauf einem aquidistanten, kartesischen Gitter Ωh = Ωh ∪ ∂Ωh der Gitterweite h . Das GebietΩ = (0, 1)2 hat den Durchmesser dΩ =

√2 . Wir wahlen die Funktion u(x, y) = sin(πx) sin(πy)

als Losung der Randwertaufgabe

−∆u = 2π2u =: f in Ω, u = 0 auf ∂Ω. (2.3.45)

Es ist M4(u) = π4 . Die a priori Fehlerschranke (2.2.39) fur die Shortley-Weller-Approximationliefert damit die (pessimistische) Fehlerschatzung

maxΩh

|u− uh| ≈ 124d

2Ωπ

4h2 ≈ 8h2. (2.3.46)

Zur Erreichung garantierter 3-stelliger (relativer) Genauigkeit, TOL = 10−3 , ist in diesem Fallalso eine Gitterweite h ≈ 10−2 erforderlich. Dies fuhrt auf ein (symmetrisches) Gleichungssystemder Dimension N ≈ 104 .

Bemerkung 2.1: Die Fehlerabschatzung (2.3.46) ist in der Tat sehr pessimistisch. Der wirklicheFehler ist ungefahr um einen Faktor 10−1 kleiner. Dies zeigt, daß unsere a priori Fehleranalyseselbst fur ein so einfaches Modellproblem zu unscharf und fur praktische Zwecke nur bedingtbrauchbar ist.2) In drei Raumdimensionen ist dΩ =

√3 , und die a priori Fehlerabschatzung (2.3.46) liefert

den Wert ≈ 12h2 , so daß hier mindestens auch h = 10−2 und damit N ≈ 106 erforderlichware.

Die Struktur der Matrix A hangt von der gewahlten Numerierung der Gitterpunkte ab. Diegangigen Alternativen sind:

2.3 Losungsaspekte 61

Zeilenweise Numerierung: Die lexikographische Anordnung der Gitterpunkte, (xi, yj) ≤ (xp, yq) ,wenn j ≤ q oder j = q, i ≤ p fuhrt auf eine Bandmatrix mit Bandbreite 2m+ 1 ≈ h−1 .

1 52 3 4

6 7 8 9 10

11 12 13

21

14 15

16 17 18 19 20

2322 2524

Abbildung 2.6: Lexikographische Nummerierung

Diagonale Numerierung: Die sukzessive Numerierung diagonal zu den Koordinatenrichtungenfuhrt auf eine Bandmatrix mit geringem

”Bandinhalt“ (⇒ Speicherersparnis beim Gaußschen

Eliminationsverfahren).

13

14

16

18

19

22

2 5 9

84

1 3 6 10 15

127

11 20 23 25

242117

Abbildung 2.7: Diagonale Nummerierung

Schachbrett-Numerierung: Die versetzte zeilenweise- sowie spaltenweise Numerierung fuhrt aufeine 2 × 2-Blockmatrix mit diagonalen Hauptblocken.

1 2

7

12 13

14

17

25

3

4

6

5

8

9 10

11

15

16 18

19

21

20

22 23

24

Abbildung 2.8: Schachbrett-Nummerierung


a) Direkte Losung: Prinzipiell ware das klassische Gaußsche Eliminationsverfahren zur Losungdes Systems (2.3.44) geeignet. Zu seiner Durchfuhrung benotigt man bei zeilenweiser Nume-rierung und Ausnutzung der Symmetrie etwa mN Speicherplatze (im folgenden abgekurztals

”SP“) und m2N arithmetische Operationen (im folgenden abgekurzt als

”OP“). Im Fal-

le N ≈ 104 sind dies etwa 106 SP und 108 OP. Die kurze Uberschlagsrechnung zeigt, daßdirekte Losungsmethoden fur das Gleichungssystem (2.3.44) nur in speziellen Situationen inFrage kommen. Sie spielen eine Rolle bei geringer Problemgroße (N ≤ 103 ) oder im Falle sehruniformer Matrixeintrage (bei der Approximation von Differentialoperatoren mit konstantenKoeffizienten) (N ≤ 105 ). Speziell fur die 5-Punkte-Approximation des Laplace-Operators aufRechtecken gibt es sehr effiziente direkte Losungstechniken auf Grundlage der

”schnellen Fourier-

Transformation“ (N ≤ 107 ). Diese sind aber bei allgemeineren Problemstellungen meist nichtanwendbar und werden daher hier nicht weiter diskutiert.

Bemerkung: Zur Illustration machen wir dieselbe Uberschlagsrechnung auch fur die entsprechen-de dreidimensionale Situation Ω = (0, 1)3 . Hier hat die Matrix A die Dimension N = m3 ≈ 106

und die Bandbreite 2m2 + 1 ≈ 104 . Folglich betruge der benotigte Losungsaufwand ≈ 1010 SPund ≈ 1014 OP, was jenseits der Kapazitat normaler Arbeitsplatzrechner liegt.

b) Iterative Losung: Wie bereits erwahnt, ubertragen sich die wichtigen Eigenschaften (B1),(B2) und (B3) des Differenzenschemas unabhangig von der gewahlten Numerierung auf die je-weilige Matrix A . Diese ist (irreduzibel) diagonaldominant und von nichtnegativem Typ undfolglich eine M-Matrix, d.h.: Es gilt elementweise A−1 ≥ 0 . Zusatzlich ist A oft auch sym-metrisch und positiv definit. In diesem Falle sind die meisten gangigen iterativen Verfahrenkonvergent. Ausgehend von einer Defektkorrekturiteration

dt = F −Axt, Cvt = dt, xt+1 = xt + vt, (2.3.47)

mit einer regularen Matrix C (”Vorkonditionierer“) wird die Iteration zunachst als Fixpunkti-

teration geschrieben

Cxt+1 = Cxt + b−Axt ⇔ xt+1 = (I − C−1A)xt + C−1b. (2.3.48)

Fur den Fehler e(t) := x(t) − x gilt

e(t) = (I − C−1A)x(t−1) + C−1b− x

= (I − C−1A)x(t−1) + C−1b− (I − C−1A)x− C−1b

= (I − C−1A)e(t−1) = · · · = (I − C−1A)te(0).

(2.3.49)

Dies zeigt, daß die Iteration konvergiert, wenn die”Iterationsmatrix“ B := I − C−1A eine

Kontraktion ist, d.h.: ρ(B) := max|λ|, λ Eigenwert von B < 1 . Die”Konvergenzrate“ der

Iteration ist dann gegeben durch

ρ := supx(0)∈RN

limt→∞

( ‖x(t) − x‖‖x(0) − x‖

)1/t= ρ(B). (2.3.50)

Es ist dann naherungsweise

‖x(t) − x‖ ≤ ρt‖x(0) − x‖. (2.3.51)

Die Anzahl der zur Erreichung einer Reduktion des Anfangsfehlers um ε erforderlichen Iterati-


onsschritte ergibt sich damit zu

tε ≈ln(ε)

ln(ρ). (2.3.52)

Der”Vorkonditionierer“ C sollte folgende Bedingungen erfullen:

– einfache Invertierung (mit O(N) OP und Speicherbedarf O(N) SP);

– moglichst kleines ρ(I − C−1A) .

Dies sind leider gegenlaufige Zielsetzungen. Die einfachsten Verfahren dieses Typs verwendenausgehend von der naturlichen Aufspaltung A = L+D +R die Vorkonditionierer:

1. (Gedampftes) Richardson4-Verfahren: 0 < θ ≤ 2λmax(A)−1

C = θI, B = I − θA. (2.3.53)

2. Jacobi5-Verfahren (Gesamtschrittverfahren):

C = D, B = −D−1(L+R). (2.3.54)

3. Gauß-Seidel6-Verfahren (Einzelschrittverfahren):

C = D + L, B = −(D + L)−1R. (2.3.55)

4. SOR-Verfahren (”Successive Over-Relaxation“): ω = ωopt ∈ (0, 2)

C = D + ωL, B = (D + ωL)−1(1 − ω)D − ωR. (2.3.56)

5. ILU-Verfahren (”Incomplete LU Decomposition“):

C = LR, B = I − R−1L−1A. (2.3.57)

Fur eine symmetrische, positiv definite Matrix wird das ILU- zum ILLT -Verfahren (”In-

complete Cholesky7 Decomposition“). Die ILU-Zerlegung erhalt man mit Hilfe des ubli-chen, rekursiven Prozesses zur Bestimmung der LU-Zerlegung aus der Gleichung LU = A

4Lewis Fry Richardson (1881-1953): englischer Mathematiker und Physiker; wirkte an verschiedenen Institutio-nen in England und Schottland; typischer “angewandter Mathematiker”; leistete Pionierbeitrage zur Modellierungund Numerik in der Wettervorhersage.

5Carl Gustav Jakob Jacobi (1804-1851): deutscher Mathematiker; schon als Kind hochbegabt; wirkte in Konigs-berg und Berlin; Beitrage zu vielen Bereichen der Mathematik: zur Zahlentheorie, zu elliptischer Funktionen, zupartiellen Differentialgleichungen, zu Funktionaldeterminanten und zur theoretischen Mechanik.

6Philipp Ludwig von Seidel (1821-1896): deutscher Mathematiker; Prof. in Munchen; Beitrage zur Analysis(u.a. Methode der kleinsten Fehlerquadrate) owie Himmelsmechanik und Astronomie.

7Andre Louis Cholesky (1975-1918): franzosischer Mathematiker; Militarkarriere; Beitrage zur NumerischenLinearen Algebra.


durch Nullsetzung aller Matrixeintrage zu Indexpaaren n,m mit anm = 0 :

n = 1, ..., N : unm = anm −n−1∑

i=1

lniuim (m = 1, ..., N)

lnn = 1, lin = u−1nn

ain −

n−1∑

j=1

lij ujn

(i = n+ 1, ..., N)

lnm = 0, unm = 0, wenn anm = 0 .

6. ADI-Verfahren (”Alternating-Direction Implicit Iteration“):

C = (Ax + ωI)(Ay + ωI),

B = (Ay + ωI)−1(ωI −Ax)(Ax + ωI)−1(ωI −Ay).(2.3.58)

Das ADI-Verfahren ist fur beliebige Wahl des Parameters ω > 0 konvergent. Wenn dieStruktur der Matrix seine Anwendung zulaßt, ist es bei optimaler Wahl von ω mindestensso schnell wie das optimale SOR-Verfahren.

Die Konvergenzraten dieser einfachen Iterationsverfahren verhalten sich in Abhangigkeit vonder (gleichformigen) Gitterweite wie

ρ = ρ(I − C−1A) = 1 −O(hr),

in Abhangigkeit von der Gitterweite h der Diskretisierung (bei fester Problemkonfiguration)mit einem geeigneten r ≥ 0 . Die Anzahl T der zur Gewinnung einer Dezimalstelle Genauigeiterforderlichen Iterationsschritte ist also ungefahr bestimmt durch

ρT ≈ 10−1 ⇒ T ≈ − ln(10)

ln(ρ)≈ h−r. (2.3.59)

Hierzu beachte man, daß ln(1 − chr) = −chr + O(h2r) . Da die Durchfuhrung eines Itera-tionsschritts approximativ N ≈ h−2 OP (in zwei Raumdimensionen) kostet, ergibt sich einGesamtaufwand pro Dezimalstelle an Genauigkeit von ≈ h−2−r OP. Der fur die Durchfuhrungdieser Iterationsverfahren benotigte Speicherplatz entspricht etwa dem zur Speicherung der we-sentlichen Elemente der Matrix A erforderlichen. Fur das Jacobi- und Gauß-Seidel-Verfahrenist r = 2 und fur das (optimale) SOR-Verfahren ist r = 1 . Das ILU- und das ADI-Verfahrenliegen bei speziellen Konfigurationen etwa gleich auf zum SOR-Verfahren. Damit ergibt sich einGesamtlosungsaufwand von jeweils O(N2) bzw. O(N3/2) a.Op. fur die einzelnen Verfahren. Einwirklich

”effizientes“ Verfahren sollte ein moglichst kleines r aufweisen; optimal ware r = 0 .

Dies laßt sich durch den Einsatz von sog.”Multi-Level-Techniken“ (

”Mehrgitterverfahren“) er-

reichen, welche spater im Zusammenhang mit den Finite-Elemente-Diskretisierungen diskutiertwerden.

2.3.1 Aufwandsanalyse: ein Beispiel

Wir wollen das Konvergenzverhalten der bisher betrachteten Iterationsverfahren und deren sichdaraus ergebende Effizienz anhand des obigen Modellproblems eingehender diskutieren. Dabeisoll insbesondere die Bedeutung der Formel (2.3.59) fur die Konvergenzrate illustriert werden.


Fur die obige Modellsituation (5-Punkte-Differenzenoperator auf einem aquidistanden, karte-sischen Gitter des Einheitsquadrats) lassen sich die Eigenwerte und zugehorigen Eigenvektorender Systemmatrix A explizit angeben. Fur k, l = 1, . . . ,m ergibt sich mit der BezeichnungAwkl = λklw

kl :

λkl = h−24 − 2 (cos(khπ) + cos(lhπ)), k, l = 1, . . . ,m,

wkl = (sin(ikhπ) sin(jlhπ))i,j=1,...,m (h = 1/(m+ 1)) .

Also ist (fur h≪ 1)

λmax = h−24 − 4 cos (1 − h)π ≈ 8h−2,

λmin = h−24 − 4 cos (hπ) = h−24 − 4 (1 − 12π

2 h2 +O(h4)) ≈ 2π2 .

und somit

κ := cond2(A) ≈ 4

π2h2. (2.3.60)

Die Eigenwerte der Jacobi-Matrix J = −D−1(L+R) sind

µkl = 12 (cos(khπ) + cos(lhπ)) (k, l = 1, . . . ,m)

Folglich wird

ρJ = µmax = cos(hπ) = 1 − π2

2h2 +O(h4) . (2.3.61)

Fur die Iterationsmatrizen des Gauß-Seidel- und des (optimalen) SOR-Verfahrens gilt dann

ρGS = ρ2GS = 1 − π2h2 +O(h4) ,

ρSOR =1 −

√1 − ρ2

J

1 +√

1 − ρ2J

=1 − πh+O(h2)

1 + πh+O(h2)= 1 − 2πh +O(h2) .

Fur die Iterationszahlen (pro Dezimalstelle Fehlerreduktion) ergibt sich also asymptotisch:

TJ ≈ − ln(10)

ln(1 − π2

2 h2)

≈ 4, 6

π2h2≈ 1

2 N ,

TGS ≈ − ln(10)

ln(1 − π2h2)≈ 2, 3

π2h2≈ 1

4 N ,

TSOR ≈ − ln(10)

ln(1 − 2πh)≈ 2, 3

2πh≈ 1

3

√N .

Der Vollstandigkeit halber geben wir hier auch die entsprechenden Werte fur das CG-Verfahren(”Verfahren der konjugierten Richtungen“):

TCG = 12

√κ ln(20) ≈ 3

πh≈

√N .


Das CG-Verfahren ist zwar langsamer als das”optimale“ SOR-Verfahren, erfordert aber nicht

die Bestimmung eines Iterationsparameters.

Zum Vergleich der Effizienz der Iterationsverfahren muß naturlich auch der Aufwand proIterationsschritt berucksichtigt werden. Fur die Anzahl OP der arithmetischen Operationen proIterationsschritt gilt (optimistische Schatzung)

OPJ, OPGS, OPSOR ≈ 6N , OPCG ≈ 10N .

Als Endresultat finden wir, daß zur Bestimmung der Losung des diskretisierten Modellpro-blems das Jacobi-Verfahren, das Gauß-Seidel-Verfahren und das Gradientenverfahren O(N2)OP benotigen. Das direkte Cholesky-Verfahren wurde fur die Berechnung der

”exakten“ Losung

(auf Rundungsfehlergenauigkeit) ebenfalls O(m2N) = O(N2) OP benotigen, erscheint also demGauß-Seidel-Verfahren uberlegen zu sein. Es ist jedoch zu berucksichtigen, daß letzteres nurO(N) SP benotigt, im Gegensatz zu den O(mN) = O(N3/2) SP fur das Cholesky-Verfahren.Die schnelleren, auf Mehrgitterkonzepten basierenden Iterationsverfahren sind dagegen dem ein-fachen direkten Loser asymptotisch klar uberlegen.

Fur das Beispiel mit N = 104 ergibt sich uberschlagsmaßig der folgende Gesamtaufwand

”GA“ zur sicheren Losung des Systems (2.3.44) unter die Diskretisierungsgenauigkeit (TOL =

10−3, h = 10−2, N = 104 ):

GAJ(TOL) ≈ 4 · 3N2 ≈ 1, 2 · 109 OP ,

GAGS(TOL) ≈ 4 · 1, 5N2 ≈ 6 · 108 OP ,

GASOR(TOL) ≈ 4 · 2N3/2 ≈ 8 · 106 OP ,

GACG(TOL) ≈ 4 · 10N3/2 ≈ 4 · 107 OP .

Fur ein”optimales“ Verfahren wie z.B. das Mehrgitterverfahren

”MG“ wurde man hier wesent-

lich bessere Werte erwarten: GAMG(TOL) ≈ 4 · 25N ≈ 106 OP .

Bemerkung: In drei Raumdimensionen erhalten wir naherungsweise

λmax ≈ 12h−2, λmin ≈ 3π2, κ ≈ 8

3π2h2,

und folglich im wesentlichen dieselben Abschatzungen fur ρJ , ρGS und ρSOR sowie fur dieIterationszahlen TJ , TGS , TSOR und TCG wie im zweidimensionalen Fall. Der Aufwand fur dieDurchfuhrung eines Iterationsschritts ist hier OPJ, OPGS, OPSOR ≈ 8N bzw. OPCG ≈ 12N .Fur den Gesamtlosungsaufwand ergibt dies dann:

GAJ(TOL) ≈ 4 · 4N2 ≈ 1, 6 · 1013 OP ,

GAGS(TOL) ≈ 4 · 2N2 ≈ 8 · 1012 OP ,

GASOR(TOL) ≈ 4 · 3N3/2 ≈ 1, 2 · 1010 OP ,

GACG(TOL) ≈ 4 · 12N3/2 ≈ 4, 8 · 1010 OP .

Der Aufwand des Mehrgitterverfahrens erhoht sich aber nur vergleichsweise unwesentlich aufGAMG(ε) ≈ 4 · 50N ≈ 2 · 108 OP .

Zur Bewertung dieser Komplexitatsschatzungen muß man sich die Leistung heutiger Rechnervergegenwartigen. Ein normaler Arbeitsplatzrechner leistet real etwa 200 MFlops (200 Millio-


nen”Floating-Point“ Operationen pro Sekunde). Das SOR-Verfahren braucht dann auf einem

solchen Rechner zur Losung des Gleichungssystems (auf Diskretisierungsfehlergenauigkeit) etwa1, 5 Minuten, wogegen das Mehrgitterverfahren

”nur“ 1 Sekunde benotigt.


2.4 Ubungen

Ubung 2.1: Man betrachte die Diskretisierung der 1. RWA des Laplace-Operators auf demEinheitsquadrat des R

2 mit dem 9-Punkte-Differenzenschema (sog. “Mehrstellenformel”)

−∆(9)h uh(x, y) = f(x, y), (x, y) ∈ Ωh,

mit dem “gestreckten” Differenzenoperator

∆(9)h u(x, y) :=

1

12h2

− u(x± 2h, y) + 16u(x± h, y) − u(x, y ± 2h) + 16u(x, y ± h) − 60u(x, y)

und dem 9-Punkte-Differenzenschema

−∆(9)h uh(x, y) = f(x, y) + 1

12h2∆f(x, y), (x, y) ∈ Ωh

mit dem “kompakten” Differenzenoperator

∆(9)h u(x, y) =

1

6h2


.

Man zeige, daß dies Approximationen mit der Konsistenzordnung m = 4 sind.

Ubung 2.2: In vielen Fallen kann die asymptotische Konvergenzordnung eines Differenzenver-fahrens nur experimentell bestimmt werden. Dazu werden bei bekannter exakter Losung fur zweiSchrittweiten h und h/2 die Fehler eh := u−uh und eh/2 := u−uh/2 berechnet und dann dieOrdnung α uber den formalen Ansatz ‖u− uh‖h = hα mit einer geeigneten Gitternorm ‖ · ‖haus der folgenden Formel ermittelt:

α =log(‖eh‖h/‖eh/2‖h)

log(2).

a) Man rechtfertige diese Formel und uberlege, wie man vorgehen kann, wenn keine exakteLosung u bekannt ist.

b) Man bestimme die inharente Konvergenzordnungen der folgenden Zahlenfolgen:

h = 2−1 33.627 26.570

h = 2−2 30.318 27.008

h = 2−3 29.100 27.883

h = 2−4 28.586 28.072

h = 2−5 28.351 28.117

Ubung 2.3: Man betrachte die Diskretisierung der 1. RWA des Laplace-Operators auf demEinheitsquadrat des R

2 mit dem 9-Punkte-Differenzenschema

∆(9)h uh(x, y) = fh(x, y) := f(x, y) + 1

12h2∆f(x, y), (x, y) ∈ Ωh,

2.4 Ubungen 69

mit dem “kompakten” Differenzenoperator

∆(9)h u(x, y) =

1

6h2


.

Diese Approximationen hat nach Aufgabe 3.3 die Konsistenzordnung m = 4 .

a) Man zeige mit den Mitteln der Vorlesung die Fehlerabschatzung

maxP∈Ωh

|u(P ) − uh(P )| ≤ cM6(u)h4.

b) (Zusatzaufgabe fur Leute mit Ergeiz und Zeit) Im Falle eines allgemeinen, glattberande-ten Gebiets Ω ⊂ R

2 werde entlang der gekrummten Randabschnitte die Shortley-Weller-Approximation betrachtet:

−∆(9)h uh = f + 1

12h2∆f in Ωh, −∆∗

huh = f in Ω∗h, uh = g auf ∂Ωh.

Man zeige hierfur mit den Mitteln der Vorlesung die Fehlerabschatzung

maxP∈Ωh

|u(P ) − uh(P )| ≤ c M6(u)h4 +M3(u)h

3.

Ubung 2.4: Sei Ah die zum 5-Punkte-Operator auf dem Einheitsquadrat gehorende N ×N -Matrix (bei zeilenweiser Nummerierung der Gitterpunkte mit m Punkten in jeder Zeile). DieN = m2 Eigenvektoren wνµ, ν, µ = 1, . . . ,m , und die zugehorigen Eigenwerte λνµ von Ahsind gegeben durch:

wνµ(x, y) = sin(νπx) sin(µπy), (x, y) ∈ Ωh, λνµ =1

h2

(4 − 2(cos(νhπ) + cos(µhπ)

).

Man zeige, daß fur die Spektralkondition von Ah gilt:

cond2(Ah) =:λmax(Ah)

λmin(Ah)=

4

π2h2+ O(1).

Ubung 2.5: Eine Matrix A ∈ RN×N heißt “M-Matrix”, wenn sie von nichtnegativem Typ und

regular ist und wenn ihre Inverse A−1 = (a(−1)ij )Ni,j=1 elementweise nichtnegativ ist: a

(−1)ij ≥ 0 .

Das 5-Punkte-Differenzenschema (bzw. das Shortley-Weller-Schema) zur Approximation der 1.RWA des Laplace-Operators fuhrt z.B. auf eine solche M-Matrix.

a) Man zeige, daß M-Matrizen “invers-monoton” sind, d.h.: Fur Vektoren v,w ∈ RN gilt kom-

ponentenweise:Av ≥ Aw ⇒ v ≥ w.

b) Ist ferner Ahw ≥ (1, . . . , 1)T fur einen Vektor w ∈ RN , so folgt bzgl. der Maximumnorm

bzw. Maximalen-Zeilensummen-Norm:

‖A−1h ‖∞ ≤ ‖w‖∞.

c) Man zeige mit Hilfe von (b), daß fur die Systemmatrix Ah des 5-Punkte-Schemas auf dem


Einheitsquadrat die Abschatzung‖A−1

h ‖∞ ≤ 1/8

gilt, und folgere hiermit fur die l∞-Kondition von Ah :

cond∞(Ah) := ‖Ah‖∞‖A−1h ‖∞ ≤ h−2.

Die l∞-Kondition von Ah verhalt sich also in Abhangigkeit von der Gitterweite h genauso wiedie Spektralkondition. (Hinweis: Man versuche es mit der mit w(x, y) = x(1−x)/2+y(1−y)/2gebildeten Gitterfunktion.)

Ubung 2.6: Gegeben sei die 1. RWA des Laplace-Operators

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf dem Dreiecksgebiet Ω = (x, y) ∈ R2|x, y > 0, x+ y < 1 . Man stelle zu einem aquidistan-

ten, kartesischen Gitter das Gleichungssystem der 5-Punkte-Differenzenapproximation auf undvergleiche (a) die zeilenweise, (b) die diagonale und (c) die schachbrettartige Gitterpunktnume-rierung in Bezug auf Matrixstruktur, Speicherplatzbedarf und Rechenaufwand bei der Losungmit dem LR-Verfahren unter Ausnutzung der Bandstruktur.

Ubung 2.7: Zur Auffrischung der Kenntnise uber iterative Losungsverfahren: Eine Vereinfa-chung des Jacobi-Verfahrens zur Losung eines linearen N×N -Gleichungssystems Ax = b ist dassog. “Richardson-Verfahren”. Dabei wird ausgehend von einem beliebigen Startvektor x0 ∈ R

N

mit einem Dampfungsparameter θ ∈ R wie folgt iteriert:

xt+1 = xt − θ(Axt − b), t = 0, 1, 2, . . . .

a) Im Falle, daß A nur reelle Eigenwerte λmin ≤ · · · ≤ λ ≤ · · · ≤ λmax besitzt, zeige man furden Spektralradius ρ(Bθ) der zugehorigen Iterationsmatrix Bθ = I − θA die Gleichung

ρ(Bθ) = max|1 − θλmin|, |1 − θλmax|

.

b) Im Falle, daß zusatzlich alle Eigenwerte positiv sind, zeige man

ρ(Bθ) < 1 ⇔ 0 < θ <2

λmax.

c) Fur welchen Wert von θ wird ρ(Bθ) in dieem Falle minimal?

Ubung 2.8: Betrachtet werde wieder das Modellproblem

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf dem Einheitsquadrat Ω ⊂ R2. Die Systemmatrix des 5-Punkte-Diffrenzenoperators auf ei-

nem aquidistanten, kartesischen Punktgitter laßt sich schreiben als Summe der Anteile der beidenDifferenzenquotienten in x- und y-Richtung: A = Ax +Ay. Bei lexikographischer Numerierungsind dabei Ax und Ay regulare Tridiagonalmatrizen mit den Eintragen 2h−2 auf den Haupt-diagonalen und −h−2 verteilt auf den Nebendiagonalen. Das zugehorige Gleichungssystems

2.4 Ubungen 71

AU = F besitzt damit die aquivalenten Formen

(σI +Ax)U = (σI −Ay)U + F, (σI +Ay)U = (σI −Ax)U + F

mit einem beliebigen Parmeterwert σ > 0. Dies legt das folgende zweistufige Iterationsverfahren(sog. “ADI-Verfahren” = “Alternating Direction Implicit Iteration”) nahe:

(σI +Ax)Ut+1/2 = (σI −Ay)U

t + F, (σI +Ay)Ut+1 = (σI −Ax)U

t+1/2 + F.

Man zeige die Konvergenz dieses Verfahrens. Fur welche Wahl von σ wird die Konvergenz amschnellsten? (Hinweis: Man uberlege sich, daß die Zerlegungsmatrizen Ax und Ay ein gemein-sames System von Eigenvektoren besitzen und folglich vertauschbar sind.)

3 Finite-Elemente-Verfahren fur elliptische Probleme

In diesem Kapitel werden wir die modernen Finite-Elemente-(Galerkin)-Methoden zur Losungelliptischer Randwertaufgaben diskutieren. Der Ubersichtlichkeit halber werden wir uns dabeiauf das Modellproblem der Poisson-Gleichung mit Dirichletschen Randbedingungen, d.h. auf die1. RWA, beschranken:

Lu := −∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω. (3.0.1)

Das Definitionsgebiet Ω ∈ R2 wird zunachst wieder als glatt berandet oder als konvexes Po-

lygongebiet vorausgesetzt. Die Problemdaten f, g sind ebenfalls glatt, so daß die im vorigenKapitel beschriebenen Resultate anwendbar sind. Erweiterungen fur Probleme mit variablenKoeffizienten oder anderen Randbedingungen sowie auf drei Raumdimensionen werden wiederin Bemerkungen berucksichtigt.

3.1 Allgemeine Projektionsverfahren

Ausgangspunkt ist die variationelle Formulierung der Randwertaufgabe. Wir erinnern an denoben diskutierten Ansatz zu einer allgemeinen Losungstheorie. Eine schwache bzw. verallgemei-nerte Losung der 1. RWA des Laplace-Operators (zu den Randdaten g ≡ 0 ) ist definiert als das(eindeutige) Minimum auf dem Sobolew-Raum H1

0 (Ω) des Energiefunktionals

E(v) := 12‖∇v‖2 − (f, v) → min.

Wir verwenden hier und im folgenden wieder die Bezeichnungen

(v,w) :=

∫

Ωv(x)w(x) dx, ‖v‖ :=

( ∫

Ω|v(x)|2 dx

)1/2, ‖∇v‖ :=

( ∫

Ω|∇v(x)|2 dx

)1/2.

Uber den Variationsansatz

d

dεE(u+ εϕ)|ε=0 = 0 ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω)

erhalten wir die aquivalente Variationsgleichung (Stationaritatsbedingung)

u ∈ H10 (Ω) : (∇u,∇ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H1

0 (Ω). (3.1.2)

Wir erinnern daran, daß das naturliche Skalarprodukt des Raumes H10 (Ω) gerade durch (∇v,∇w)

gegeben ist. Zum Nachweis der Definitheit dieses Ausdrucks haben wir die Poincaresche Unglei-chung verwendet:

‖v‖ ≤ dΩ‖∇v‖, v ∈ H10 (Ω). (3.1.3)

Bemerkung 3.1: Im Falle inhomogener Randbedingungen u|∂Ω = g geht man wie folgt vor.Wir nehmen an, daß die Randwerte als Spur einer Funktion g ∈ H1(Ω) gegeben sind: g = g|∂Ω .Fur die Funktion v := u− g ∈ H1

0 (Ω) gilt dann im Falle ∆g ∈ L2(Ω) :

(∇v,∇ϕ) = (f, ϕ) − (∆g, ϕ) =: (f , ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω),

73


d.h.: Die Funktion v genugt einer Variationsgleichung der Art (3.1.2). Im folgenden konnen wiralso o.B.d.A. stets homogene Dirichlet-Randbedingungen annehmen.

Bemerkung 3.2: Im Fall von Neumannschen Randbedingungen ∂nu|∂Ω = g wird der Sobolew-Raum H1(Ω) (ohne Vorgabe von Randwerten) verwendet und die zugehorige variationelle For-mulierung lautet

u ∈ H1(Ω) : (∇u,∇ϕ) = (f, ϕ) + (g, ϕ)∂Ω ∀ϕ ∈ H1(Ω). (3.1.4)

Um die eindeutige Losbarkeit zu sichern, muß in diesem Fall noch eine Zusatzbedingung gestelltwerden, um konstante Losungen auszuschließen, z.B.: die Normierungsbedingung (u, 1)Ω = 0 .Ferner muß die Vertraglichkeitsbedingung (f, 1)+(g, 1)∂Ω = 0 erfullt sein. Jede hinreichend glat-te Losung von (3.1.4) erfullt dann neben der Differentialgleichung −∆u = f auch notwendig diein der variationellen Formulierung implizit enthaltene naturliche Randbedingung ∂nu|∂Ω = g(Beweis ahnlich wie im Fall der 1. RWA durch partielle Integration und Variation der Testfunk-tion). Eine ahnliche Konstruktion liefert auch die variationelle Formulierung im Fall der 3. RWA,d.h. fur Robinsche Randbedingungen.

Bemerkung 3.3: Nicht alle elliptischen Randwertaufgaben lassen sich uber den Energiemini-mierungsansatz behandeln. Ein typisches Beispiel ist die Diffusions-Transport-Gleichung

−∆u+ ∂1u = f in Ω, u = g auf ∂Ω. (3.1.5)

Ihre variationelle Formulierung lautet

(∇u,∇ϕ) + (∂1u, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ H10 (Ω). (3.1.6)

Diese besitzt ebenfalls eine eindeutige Losung u ∈ H10 (Ω) , was sich weiter unten als Folgerung

eines allgemeineren Resultats ergeben wird.

Die folgende Diskussion wird in einem etwas abstrakteren Rahmen durchgefuhrt, welche anden obigen Beispielen orientiert ist und diese als Sonderfalle beinhaltet. Seien V ein Hilbert-

Raum mit Skalarprodukt (·, ·)V und zugehoriger Norm ‖·‖V := (·, ·)1/2V und a(·, ·) : V ×V → R

eine beschrankte Bilinearform sowie l(·) : V → R eine beschrankte Linearform:

|a(v,w)| ≤ α‖v‖V ‖w‖V , |l(v)| ≤ γ‖v‖V , v, w ∈ V. (3.1.7)

Mit diesen Bezeichnungen betrachten wir die folgende allgemeine Variationsgleichung: Bestimmeu ∈ V , so daß

a(u, ϕ) = l(ϕ) ∀ϕ ∈ V. (3.1.8)

Zum Nachweis, daß diese Aufgabe auch eine Losung besitzt, postulieren wir, daß die Bilinearforma(·, ·)

”(stark) V -elliptisch“ ist, d.h.:

a(v, v) ≥ κ‖v‖2V , v ∈ V, (3.1.9)

mit einer Konstante κ > 0 . Allgemeiner wird die Bilinearform a(·, ·)”koerzitiv“ (oder

”regular“)

genannt, wenn

3.1 Allgemeine Projektionsverfahren 75

supϕ∈V

a(v, ϕ)

‖ϕ‖V≥ γ ‖v‖V , sup

ϕ∈V

a(ϕ, v)

‖ϕ‖V≥ γ ‖v‖V , v ∈ V, (3.1.10)

mit einer Konstante γ > 0 .

Hilfssatz 3.1: (Lax1-Milgram2-Lemma) Unter den obigen Voraussetzungen besitzt die Glei-chung (3.1.8) eine eindeutige Losung u ∈ V , fur welche die a priori Abschatzung gilt:

‖u‖V ≤ α

κ‖l‖V ∗ , (3.1.11)

mit der”Dualnorm“ ‖l‖V ∗ := supϕ∈V, ‖ϕ‖=1 |l(ϕ)| .

Beweis: Fur jedes feste v ∈ V definiert a(v, ·) ein lineares, stetiges Funktional auf V . Nachdem Rieszschen3 Darstellungssatz existieren Elemente Av ∈ V und f ∈ V , so daß

a(v, ϕ) = (Av,ϕ)V , l(ϕ) = (f, ϕ)V , ϕ ∈ V.

Die Zuordnung v 7→ Av definiert eine lineare Abbildung mit der Eigenschaft

‖Av‖V ∗ ≤ α‖v‖V ,

d.h.: A ist beschrankt. Die Aufgabe (3.1.8) ist offenbar aquivalent zu der Gleichung

Au = f . (3.1.12)

Wir wollen zeigen, daß die Abbildung

v ∈ V 7→ Tδv := v − δ(Av−f) ∈ V

fur einen geeigneten Wert δ > 0 eine Kontraktion auf ganz V ist. Dann besitzt die Fixpunkt-gleichung

Tδv = v

eine eindeutige Losung u ∈ V , welche wegen 0 = v − Tδv = δ(Av − f) dann auch (eindeutige)Losung von (3.1.12) bzw. (3.1.8) ist. Die Kontraktionseigenschaft ergibt sich aus der Beziehung

‖v − δAv‖2V = ‖v‖2

V − 2δ a(v, v) + δ2‖Av‖2V

≤ (1 − 2δκ + δ2α2)‖v‖2V ,

fur 0 < δ < 2κ/α2 . Q.E.D.

1Peter D. Lax (1926-): US-amerikanischer Mathematiker ungarischer Abstammung; Prof. an der New YorkUniversity und am Courant-Institut; wichtige Beitrage zur Analysis, insbesondere zu den partiellen Differential-gleichungen der Math. Physik, und zur Numerik.

2A. N. Milgram (????-????): US-amerikanischer Mathematiker; Topologe.3Frigyes Riesz (1880-1956): ungarischer Mathematiker; Prof. in Szeged und Budapest; fundamentale Beitrage

zur Funktionalanalysis, insbesondere der Fourier-Analysis im Hilbert-Raum als theoretische Grundlage der fruhenQuantenmechanik.


Die beiden obigen Beispiele zur 1. RWA passen in diesen Rahmen mit den Setzungen V :=H1

0 (Ω) , l(v) := (f, ϕ) und

a(v,w) := (∇v,∇w), a(v,w) := (∇v,∇w) + (∂1v,w).

Die Beschranktheit dieser Formen ergibt sich direkt mit Hilfe der Holderschen und der Poin-careschen Ungleichung. Ihre V -Elliptizitat ergibt sich unmittelbar:

a(v, v) = ‖∇v‖2 = ‖v‖2V ,

bzw. unter Beachtung von v|∂Ω = 0 :

a(v, v) = ‖∇v‖2 + (∂1v, v) = ‖∇v‖2 + 12(∂1v

2, 1)

= ‖∇v‖2 + 12(n1v

2, 1)∂Ω = ‖∇v‖2 = ‖v‖2V .

Durch geeignete Setzungen lassen sich auch die variationellen Formulierungen der 2. und 3. RWAin diesen abstrakten Rahmen einordnen.

Zur Approximation der Variationsgleichung (3.1.2) werden endlich dimensionale Teilraume

Vh ⊂ V (0 < h ≤ h0)

ausgewahlt, deren Feinheit durch einen Diskretisierungsparameter h (z.B.: Gitterweite) charak-terisiert ist.

(i) Im Fall einer symmetrischen Bilinearform a(·, ·) bestimmt das klassische”Ritzsche4 Projek-

tions-Verfahren“ Naherungslosungen uh ∈ Vh durch die Vorschrift

E(uh) = minvh∈V

E(vh) (3.1.13)

oder aquivalent durch die diskrete Variationsgleichung

a(uh, ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ Vh. (3.1.14)

Die (eindeutige) Existenz der diskreten Losung uh ∈ Vh folgt mit demselben Argument wiebeim kontinuierlichen Problem. Diese Analogie der Schlußweisen von kontinuierlicher und dis-kreter (endlich dimensionaler) Situation ist die charakteristische Starke der Projektionsmethodenim Gegensatz zu den Differenzenverfahren. Die Bezeichnung Projektionsverfahren ist motiviertdurch die Beziehung

a(u− uh, ϕh) = 0 ϕh ∈ Vh, (3.1.15)

welche man durch Subtraktion der Gleichungen (3.1.2) und (3.1.14) erhalt. Sie kann geome-trisch dahingehend interpretiert werden, daß der Fehler eh := u− uh bzgl. des Skalarproduktsa(·, ·) senkrecht auf dem Ansatzraum Vh steht. Dies impliziert auch die sog.

”Bestapproxi-

mationseigenschaft“ fur den Approximationsfehler eh bzgl. der naturlichen”Energie-Norm“

4Walter Ritz (1878-1909): schweizer Physiker; Prof. in Zurich und Gottingen; Beitrage zu Spektraltheorie inder Kernphysik und Elektro-Magnetismus.


‖ · ‖a := a(·, ·)1/2 , denn mit beliebigem ϕh ∈ Vh gilt:

‖eh‖2a = a(eh, eh) = a(eh, u− ϕh) + a(eh, ϕh − uh) ≤ ‖eh‖a‖u− ϕh‖a

bzw.

‖eh‖a ≤ infϕh∈Vh

‖u− ϕh‖a. (3.1.16)

Da die Normen ‖ · ‖a und ‖ · ‖V auf V aquivalent sind, ist die Frage nach der Konvergenz desProjektionsverfahrens,

‖eh‖V → 0 (h→ 0), (3.1.17)

damit zuruckgefuhrt auf die Frage der Approximierbarkeit von Funktionen u ∈ V durch An-satzfunktionen ϕh ∈ Vh :

infϕh∈Vh

‖u− ϕh‖V → 0 (h→ 0). (3.1.18)

(ii) Wenn die Bilinearform a(·, ·) nicht symmetrisch ist, wie beim obigen Diffusions-Transport-Problem, kann die zugehorige RWA nicht mehr durch ein Minimierungsproblem charakterisiertwerden. Das allgemeine

”Galerkinsche5 (Projektions)-Verfahren“ geht direkt von der Variations-

gleichung (3.1.2) aus und bestimmt Naherungen durch die Beziehung

a(uh, ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ Vh. (3.1.19)

Wegen der V -Elliptizitat der Bilinearform a(·, ·) auf dem endlich dimensionalen Teilraum Vhfolgt unmittelbar die Existenz der (eindeutigen) Losung uh ∈ Vh . Die Orthogonalitatsbeziehung(3.1.15) bleibt dabei gultig. Damit erschließen wir die Quasi-Best-Approximationseigenschaft(Ubungsaufgabe)

‖eh‖V ≤ α

κminϕ∈Vh

‖u− ϕh‖V . (3.1.20)

(iii) Eine noch allgemeinere Variante, bei der Ansatzraum V ansatzh und Testraum V test

h unter-schiedlich gewahlt werden,

u ∈ V ansatzh : a(uh, ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ V test

h , (3.1.21)

ist das sog.”Petrow6 -Galerkin-Verfahren“. Wir werden spater Beispiele fur diesen unkonven-

tionellen Ansatz kennenlernen.

Zur praktischen Realisierung des Projektionsverfahrens muß die zunachst abstrakte Va-riationsgleichung (3.1.19) im Funktionenraum algebraisiert werden, d.h.: in ein aquivalentesalgebraisches Gleichungssystem umgewandelt werden. Dazu wahlen wir zunachst eine Basis

5Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945): russischer Bauingenieur und Mathematiker; Prof. in St. Petersburg;Beitrage zur Struktur-Mechanik, insbesondere zur Plattentheorie.

6Georgi Iwanowitsch Petrow (1912-1987): russischer Ingenieur; 1965-1973 Direktor des Instituts fur Raum-fahrtforschung; Publ.: “Application of the Galerkin method and the problem of flow stability of a viscous liquid”(russ.), Prikl. Mat. Mekh. 4, 36-47 (1947)


ϕ(i)h , i = 1, ..., N, N := dimVh, von Vh aus und machen fur die zu bestimmende diskrete

Losung den Ansatz uh =∑N

j=1 ξjϕ(j)h . Wird dies in (3.1.19) eingesetzt und laßt man die Test-

funktionen ϕh ∈ Vh alle Basisfunktionen durchlaufen, ergibt sich ein lineares (algebraisches)N ×N -Gleichungssystem

N∑

j=1

ξja(ϕ(j)h , ϕ

(i)h ) = (f, ϕ

(i)h ), i = 1, ..., N,

fur den Vektor ξ = (ξj)Nj=1 der Entwicklungskoeffizienten, bzw. in kompakter Schreibweise

Ahξ = bh. (3.1.22)

Dabei sind die Koeffizientenmatrix Ah = (aij)Ni,j=1 sowie die rechte Seite bh = (bi)

Ni=1 durch

die spezielle Wahl der Basis bestimmt:

aij = a(ϕ(j)h , ϕ

(i)h ), bj = (f, ϕ

(j)h ).

Die Entwicklungskoeffizienten ξj konnen sehr unterschiedliche Bedeutung haben; z.B.: Monom-Koeffizienten einer Polynomdarstellung, Fourier-Koeffizienten einer trigonometrischen Entwick-lung, Knotenwerte einer stuckweise polynomialen Funktion, u.s.w.. Die Eigenschaften der Bili-nearform a(·, ·) ubertragen sich direkt auf die zugehorige Matrix Ah . Ist a(·, ·) symmetrisch,so auch Ah ,

aij = a(ϕ(j)h , ϕ

(i)h ) = a(ϕ

(i)h , ϕ

(j)h ) = aji,

und die V -Elliptizitat von a(·, ·) impliziert die Definitheit von Ah , denn fur x ∈ Rn \ 0 gilt:

(Ahx, x) =

N∑

i,j=1

aijxixj =

N∑

i,j=1

a(ϕ(j)h , ϕ

(i)h )xixj

= a( N∑

j=1

xjϕ(j)h ,

N∑

i=1

xiϕ(i)h

)≥ κ

∥∥∥N∑

i=1

xiϕ(i)h

∥∥∥2

V> 0.

3.1.1 Beispiele von Galerkin-Ansatzraumen

Wir wollen einige konkrete Realisierungen fur den beschriebenen abstrakten Rahmen diskutie-ren. Bei der Wahl der Ansatzraume Vh ⊂ V = H1

0 (Ω) sowie der Basen zur Aufstellung derGleichungssysteme (3.1.22) sind einige Bedingungen zu beachten:

– Die Berechnung der Matrixelemente aij = a(ϕ(j)h , ϕ

(i)h ) sowie die der rechten Seite (f, ϕ

(i)h )

sollte”billig“ sein.

– Aus Genauigkeitsgrunden wird die Problemdimension in der Regel sehr groß sein: N ≫100 . Die Matrix Ah sollte daher moglichst dunn besetzt sein.

– Die Matrix Ah sollte nicht zu schlecht konditioniert sein; akzeptabel sind z.B. beim vor-liegenden Problem cond2(Ah) ≈ O(N) − O(N2) , wogegen cond2(Ah) ≈ O(N4) − O(eN )nicht praktikabel waren.

Beispiele von solchen Ansatzen sind:


1) Globaler Polynomansatz: Auf einem Quadrat Ω = (0, 1)2 wird der Tensor-Produkt-Ansatzgemacht

Vh := Qm(Ω) :=p(x, y) =

m∑

i,j=0

cijxiyj, h := 1/m, N = (m+ 1)2 .

Als Basen kommen dabei in Frage:

a) Monombasis 1, x, y, x2, xy, y2, ... ; die zugehorige Matrix A mit den Elementen

aij =

∫ 1

0

∫ 1

0∇xi · ∇yj dx dy, 0 ≤ i, j ≤ m,

verhalt sich dann wie die bekannte Hilbert-Matrix mit exponentiell mit N wachsender Konditioncond2(Ah) = O(eN ) . Dieser Ansatz ist also praktisch unbrauchbar.

b) Tensorprodukt-Basen L2-orthogonaler Polynome wie z.B. Legendre-Polynome oder Tscheby-scheff-Polynome; die zugehorige Matrix Ah mit den Elementen

aij =

∫ 1

0

∫ 1

0∇L(m)

i · ∇L(m)j dx dy, 0 ≤ i, j ≤ m,

ist dann zwar voll besetzt, hat aber eine wesentlich gunstigere Kondition, cond2(Ah) = O(N) .Dieser Ansatz fuhrt auf die sog.

”Spektral-Galerkin-Verfahren“, welche bei Problemen auf geo-

metrisch einfachen (rechteckigen) Gebieten sehr leistungsfahig sind. Die Bezeichnung”Spek-

tralverfahren“ ruhrt daher, daß man die orthogonalen Polynome auch als Eigenfunktionen ge-wisser Differentialoperatoren 2. Ordnung charakterisieren kann. Wegen ihrer konzeptionellenBeschrankung auf einfache Geometrien wollen wir derartige Methoden hier nicht weiter disku-tieren. Stichworte fur Entwicklungen in Richtung auf eine Uberwindung dieser Restriktion sindz.B.

”Spektral-Elemente-Methoden“ und

”h/p-Finite-Elemente-Methode“.

2) Globaler trigonometrischer Ansatz (”echte Spektralverfahren“): Wieder auf einem Quadrat

Ω = (0, 1)2 wird der Tensor-Produkt-Ansatz gemacht

Vh := Tm(Ω) :=t(x, y) =

m∑

i,j=0

cij sin(iπx) sin(jπy), h := 1/m, N = (m+ 1)2 .

Als Basen verwendet man dabei die naturliche trigonometrische Basis

1, sin(nπx) sin(mπy), ... .

Die zugehorige Matrix Ah ist dann vergleichsweise gut konditioniert, cond2(Ah) = O(N) .In diesem Fall gibt es mit der schnellen Fourier-Transformation (

”FFT“) einen fast optimalen

Algorithmus mit der Komplexitat O(N ln(N)) zur Losung des Gleichungssystems (3.1.22). DerNachteil dieses in Spezielfallen sehr leistungsfahigen Ansatzes ist wieder seine Beschranktheitauf einfache Rechteckgeometrien und sog.

”separable“ Differentialoperatoren mit konstanten

Koeffizienten.

3) Stuckweise polynomialer Ansatz (”Finite Elemente“): Um das Problem der Approximation

allgemeiner Gebiete zu losen, werden Ansatzfunktionen (auch”Formfunktionen“ genannt) ver-

wendet, welche bzgl. einer Zerlegung von Ω in einfache Teilgebiete T , sog.”Zellen“, stuckweise

polynomial sind. Gangige Beispiele von Zellen sind Dreiecke oder (konvexe) Vierecke in zweibzw. Tetraeder oder (konvexe) Hexaeder in drei Dimensionen. Der Parameter h ist in diesem


Fall etwa der maximale Zelldurchmesser.

Wir illustrieren diesen Finite-Elemente-Ansatz anhand eines einfachen Beispiels. Die 1. RWA(3.1.2) sei auf einem (konvexen) polygonalen Gebiet Ω ⊂ R

2 mit homogenen Randwerten u|∂Ω =0 und rechter Seite f ∈ L2(Ω) gestellt. Die zugehorige Losung u ∈ H1

0 (Ω) ist dann auch imSobolew-Raum H2(Ω) und genugt der a priori Abschatzung

‖∇2u‖ ≤ cs‖f‖, (3.1.23)

wobei cs = 1 im Falle eines konvexen Gebiets.

Weiter sei eine Folge von Zerlegungen Th = T des Gebiets Ω in abgeschlossene Drei-ecke T (

”Triangulierung“) gegeben mit h := maxT diam(T ) → 0 . Wir stellen die folgenden

Regularitatsbedingungen an diese Triangulierung:

i) Strukturregularitat: Je zwei Dreiecke der Zerlegung Ω =⋃T ∈ Th uberlappen sich

hochstens in gemeinsamen Eckpunkten oder in ganzen Seiten, d.h.: Sog.”hangende“ Knoten

sind hier nicht erlaubt.

ii) Formregularitat: Alle Dreicke der Triangulierungen T ∈ Th sind von ahnlicher Gestalt, d.h.:Fur den Inkreisradius ρT und Umkreisradius hT eines jeden Dreiecks T gilt gleichmaßig furh→ 0 :

maxT∈Th

hTρT

≤ c1 (3.1.24)

iii) Großenregularitat: Alle Dreiecke einer Triangulierung Th sind von gleicher Großenordnung,d.h.: Es gilt gleichmaßig fur h→ 0 :

maxT∈Th

hT ≤ c2 minT∈Th

hT . (3.1.25)

Ω

T

Abbildung 3.1: Finite-Elemente: Dreiecks- bzw. Vierecksgitter

Auf den Triangulierungen Th definieren wir Ansatzraume stuckweise linearer Funktionen(”lineare finite Elemente“: Verallgemeinerung des Konzepts eines Polygonzugs auf hohere Raum-

dimensionen):

V(1)h := vh ∈ C(Ω)| vh|T ∈ P1(T ), T ∈ Th, v|∂Ω = 0 .

Dabei bezeichnet allgemein Pr(T ) den Vektorraum der Polynome bis zum Grad r ≥ 0 uber

T . Man uberlegt sich leicht, daß dadurch tatsachlich Teilraume V(1)h ⊂ H1

0 (Ω) erklart sind. Sei


N die Anzahl der”inneren“ Knoten (Dreieckseckpunkte) der Triangulierung. Jedes vh ∈ V

(1)h

ist als stuckweise lineare Funktion eindeutig durch Vorgabe ihrer Funktionswerte (”Knotenwer-

te“) in den”inneren“ Dreieckseckpunkten (

”Knoten“) festgelegt. In den Eckpunkten auf dem

Gebietsrand ∂Ω ist vh = 0 wegen der Dirichlet-Randbedingung. In V(1)h gibt es daher eine

naturliche Basis, die sog.”Knotenbasis“ in Analogie zur

”Lagrange7 -Basis“ bei der eindimen-

sionalen Lagrange-Interpolation. Jedem Knoten ai wird durch die Bedingung

ϕih(aj) = δij, j = 1, ..., N,

eindeutig eine Funktion ϕih ∈ V(1)h zugeordnet. Damit gilt dann fur jedes vh ∈ V

(1)h die Dar-

stellung

vh =N∑

i=1

vh(ai)ϕ(i)h .

Daraus folgt, daß ϕ(i)h , i = 1, ..., N tatsachlich eine Basis von V

(1)h ist. Umgekehrt laßt sich

jeder kontinuierlichen Funktion v ∈ C(Ω) durch die Vorschrift

Ihv :=

N∑

i=1

v(ai)ϕ(i)h

eindeutig eine (stuckweise lineare)”Interpolierende“ Ihv ∈ V

(1)h zuordnen. Offenbar ist Ihvh ≡

vh fur vh ∈ V(1)h .

Dieser Diskretisierungsansatz erfullt offensichtlich die oben formulierten Anforderungen anein brauchbares Galerkin-Verfahren: Die resultierende Systemmatrix Ah ist dunn besetzt (wegender geringen Uberlappung der Trager der Basisfunktionen), und ihre Elemente sind sehr leicht zuberechnen. Wir werden die praktische Berechnung von A im Zusammenhang mit allgemeinerenFinite-Elemente-Ansatze dieser Art noch eingehender diskutieren.

Abbildung 3.2: Knotenbasisfunktionen: Lineare und bilineare Ansatze

Fur die Kondition der Matrix Ah werden wir spater in zwei Dimensionen cond2(Ah) =O(h−2) = O(N) zeigen (ahnlich wie bei der 5-Punkte-Differenzendiskretisierung). Wir reka-

7Joseph Louis de Lagrange (1736-1813): franzosischer Mathematiker; 1766-87 Direktor der mathem. Klasseder Berliner Akademie, dann Prof. in Paris; bahnbrechende Arbeiten zur Variationsrechnung, zur komplexenFunktionentheorie sowie zur theor. Mechanik und Himmelsmechanik.


pitulieren fur das Galerkin-Verfahren mit dem Finite-Elemente-Raum V(1)h die asymptotische

Abschatzung fur den Fehler eh := u− uh :

‖∇eh‖ = minϕh∈V (1)

h

‖∇(u− ϕh)‖. (3.1.26)

Die Frage ist also, ob es ϕh ∈ V(1)h gibt, so daß ‖∇(u−ϕh)‖ → 0 (h→ 0) . Wenn man nur weiß,

daß u ∈ H10 (Ω) ist, dann kann man nur qualitative Konvergenz zeigen. Viel interessanter ware

es, wieder die Konvergenzgeschwindigkeit in Potenzen der Gitterweite h zu kennen. Hierzu istaber naturlich mehr Regularitat der Losung u erforderlich. Fur den stuckweise linearen Ansatzwerden wir spater im Rahmen einer allgemeinen Theorie die folgende Interpolationsabschatzungzeigen:

‖∇(v − Ihv)‖ ≤ cih ‖∇2v‖, v ∈ H10 (Ω) ∩H2(Ω). (3.1.27)

(Man vergleiche die analoge Abschatzung, welche in einer Dimension bei der Finite-Elemente-Approximation eindimensionaler Sturm-Liouville-Probleme verwendet wird.) Unter den bisherformulierten Voraussetzungen laßt sich eine erste quantitative Konvergenzaussage fur das Finite-Elemente-Verfahren ableiten.

Satz 3.1 (Konvergenzsatz): Fur die Galerkin-Approximation des Modellproblems (3.1.2) mit

”linearen“ finiten Elementen gelten unter den obigen Voraussetzungen die Fehlerabschatzungen

‖∇eh‖ ≤ cicsh ‖f‖, (3.1.28)

‖eh‖ ≤ c2i c2sh

2 ‖f‖, (3.1.29)

mit den Konstanten ci, cs aus den Ungleichungen (3.1.27) und (3.1.23).

Beweis: (i) Die Abschatzung des sog.”Energienorm-Fehlers“ ergibt sich unmittelbar aus der

Best-Approximationsbeziehung (3.1.26), der Interpolationsabschatzung (3.1.27) und der Regu-laritatsabschatzung (3.1.23):

‖∇eh‖ ≤ ‖∇(u− Ihu)‖ ≤ cih ‖∇2u‖ ≤ cicsh ‖f‖.

(ii) Zum Beweis der Fehlerabschatzung in der L2-Norm verwenden wir ein sog.”Dualitatsargu-

ment“ (”Aubin8 -Nitsche9 -Trick“). Sei z ∈ H1

0 (Ω) die (schwache) Losung des Hilfsproblems

−∆z = ‖eh‖−1eh in Ω, z|∂Ω = 0.

Diese ist dann auch in H2(Ω) , und es gilt die a priori Abschatzung

‖∇2z‖ ≤ cs‖∆z‖ = cs,

8Jean-Pierre Aubin (1939-): franzosischer Mathematiker; Prof. an der Univ. Paris-Dauphine (2004) emeritiert);Beitrage zur Theorie partieller Differentialgleichungen und ihrer Numerik.

9Joachim A. Nitsche (1926-1996): deutscher Mathematiker; Prof. in Freiburg; fundamentale Beitrage zur Theo-rie der Finite-Elemente-Methode.


wobei wieder cs = 1 auf konvexem Gebiet Ω . Nach Konstruktion folgt mit Hilfe der Galerkin-Orthogonalitat:

‖eh‖ = (∇eh,∇z) = (∇eh,∇(z − Ihz))

≤ ‖∇eh‖ ‖∇(z − Ihz)‖ ≤ cih ‖∇eh‖ ‖∇2z‖ ≤ cicsh ‖∇eh‖.

Mit dem Ergebnis (i) ergibt sich damit die gewunschte Abschatzung. Q.E.D.

Die im Beweis von Satz 3.1 verwendete Schlußweise uber ein Dualitatsargument ist”das“

zentrale Hilfsmittel bei der Konvergenzanalyse von Finite-Elemente-Verfahren. Dieses abstrakteArgument entspricht der allgemeinen Regel, daß sich die Analyse der Projektionsverfahren engan die abstrakten Hilbertraum-Methoden zur Behandlung des kontinuierlichen Problems an-lehnt. Das zentrale Hilfmittel bei der Untersuchung von Differenzenverfahren war dagegen das

”(diskrete) Maximumprinzip“, welches sich mehr an den klassischen Techniken fur partielle Dif-

ferentialgleichungen orientiert. Wir wollen diesen Vergleich”Finite-Elemente-Method (FEM) -

Finite-Differenzen-Method (FDM)“ anhand des Resultats von Satz 3.1 noch etwas weiterfuhren.

Die a-priori Fehlerabschatzung (3.1.29) fur das Finite-Elemente-Verfahren ist zu verglei-chen mit der Abschatzung (2.2.37) fur das Differenzenverfahren (5-Punkte-Diskretisierung mitShortley-Weller-Randapproximation auf polygonalen Gebieten):

maxΩ

|eh| ≤ 124d

2ΩM4(u)h

2 + O(h3), (3.1.30)

mit der Schranke M4(u) fur die vierten Ableitungen von u . Beide Abschatzungen zeigen diesel-be asymptotische Konvergenzordnung O(h2) , was aufgrund der verwendeten Diskretisierungs-ansatze auch zu erwarten ist. Die Unterschiede liegen zum einen in der Art der Norm, in derder Fehler gemessen wird, und zum anderen in der benotigten Regularitat der approximiertenLosung. Beim Differenzenverfahren erhalt man wegen der Verwendung des Maximumprinzipspunktweise Abschatzungen, wie sie auch der Anwender gern hat. (Der Ingenieur ist z.B. ander maximalen Auslenkung einer belasteten Bruckenkonstruktion interessiert.) Dagegen liefertdie Hilbert-Raum-Theorie fur das Finite-Elemente-Verfahren zunachst nur Abschatzungen imquadratischen Mittel, was etwa lokale

”Ausreißer“ an kritischen Stellen nicht ausschließt. (Dem

Bruckenbauer genugt so etwas nicht, wenn Fehlerspitzen etwa in kritischen Lagerungspunktender Brucke auftreten konnen.) Wir werden spater die Frage diskutieren, ob und wie man auchfur das Finite-Elemente-Verfahren Fehlerabschatzungen in der Maximumnorm herleiten kann.Die in der Abschatzung (3.1.30) geforderte hohe Regularitat der Losung ist ein sehr viel schwer-wiegender Nachteil unserer Analyse des Differenzenverfahrens, da diese Regularitatsstufe i.a.auf Polygongebieten und unter realistischen Annahmen an die Problemdaten nicht erwartetwerden kann. Wir bemerken, daß man fur das Finite-Elemente-Verfahren mit wesentlich mehrtechnischem Aufwand

”optimale“ Maximumnorm-Fehlerabschatzungen der Form

maxΩ

|eh| ≤ cM2(u)h2| ln h| (3.1.31)

beweisen kann. Allerdings ist auch die abgeschwachte Annahme M2(u) < ∞ i.a. noch zurestriktiv. Fur das Finite-Elemente-Verfahren ist auch noch unter der Minimalvoraussetzungu ∈ H1

0 (Ω) wenigstens qualitative Konvergenz gesichert. Seinen eigentlichen Vorteil, namlichdie große Flexibilitat bei der Approximation von komplizierten Geometrien auf unstrukturier-ten Gittern werden wir spater im Zusammenhang mit der Frage nach adaptiver Gittersteuerungund Fehlerkontrolle erkennen.


3.1.2 Diskretes Maximumprinzip fur Finite-Elemente-Approximationen

Als nachstes wollen wir zeigen, daß Galerkin-Verfahren mit finiten Elementen als Ansatzfunk-tionen tatsachlich eng verwandt mit Differenzenverfahren sind. Die Elemente der

”Steifigkeits-

matrix“ Ah des Finite-Elemente-Verfahrens fur den Fall”linearer“ Ansatzfunktionen auf einem

Dreiecksgitter werden exakt bestimmt.

Dazu wird zunachst ein einzelnes Dreieck T mit den Eckpunkten Pi (i = 1, 2, 3) betrachtet(siehe Bild). Die dem Eckpunkt Pi gegenuberliegende Seite sei mit Si und die zugehorigeHohe mit Hi bezeichnet. Die Seiten werden dabei als im Gegenuhrzeigersinn und die Hohengegen den Eckpunkt orientierte Vektoren aufgefaßt. Weiter bezeichne ψi die (stuckweise lineare)Knotenbasisfunktion zum Punkt Pi , welche auf T definiert ist durch ψi(Pk) = δik, i, k = 1, 2, 3 .

Abbildung 3.3: Dreiecksschema

Es gilt ∇ψh ≡ konst. und wegen ψi(Pj) = ψi(Pk) = 0, i 6= j, k , hat ∇ψi in RichtungSi die Komponente Null. Folglich zeigt ∇ψi in Richtung Hi und hat wegen ψi(Pi) = 1 denBetrag |Hi|−1 :

∇ψi =Hi

|Hi|2.

Wir erhalten also

(∇ψi,∇ψj)T = |T | (Hi,Hj)

|Hi|2|Hj|2.

Fur den Winkel γij zwischen den Hohen Hi und Hj gilt

cos(γij) =(Hi,Hj)

|Hi| |Hj |

und, da γij gleich dem Winkel θij zwischen den Seitenvektoren Si und Sj ist, auch (Manbeachte die Orientierung von Si und Sj .):

cos(γij) =(Si, Sj)

|Si| |Sj |

Damit folgt bei Beachtung von 2|T | = |Hi| |Si| die Beziehung

(∇ψi,∇ψj)T = |T | (Si, Sj)

|Si| |Sj | |Hi| |Hj |=

(Si, Sj)

4|T | .


Hieraus lesen wir ab, daß

(∇ψi,∇ψi)T > 0, (∇ψi,∇ψj)T ≤ 0, i 6= j, (3.1.32)

falls alle Winkel im Dreieck T kleiner oder gleich π/2 sind. Weiter ist nach Konstruktion

3∑

j=1

ψj ≡ 1, (∇ψi,3∑

j=1

∇ψj)T = 0,

bzw.N∑

j=1,j 6=i|(∇ψi,∇ψj)T | ≤ (∇ψi,∇ψi)T , i = 1, 2, 3.

Fur die Elemente aij =∑

T∈Th(∇ψj,∇ψi)T der Matrix Ah erhalten wir somit, daß

aii > 0, aij ≤ 0 (i 6= j),

wenn alle Dreiecksinnenwinkel in der Triangulierung kleiner oder gleich π/2 sind. Daruberhinaus gilt

∑

j 6=i|aij | ≤ aii,

∑

j 6=i0|ai0j| < ai0i0 fur ein i0 . (3.1.33)

Die Steifigkeitsmatrix Ah ist in diesem Fall also”(irreduzibel) diagonal-dominant“,

”von nicht-

negativem Typ“ und eine”M -Matrix“. Wir fassen die sich daraus ergebenden Konsequenzen in

einem Satz zusammen.

Satz 3.2 (Maximumprinzip fur finite Elemente): Wenn alle Innenwinkel der Triangulie-rung Th kleiner oder gleich π/2 sind, genugt das Finite-Elemente-Schema mit stuckweise li-nearen Ansatzfunktionen einem diskreten Maximumprinzip, d.h.:

(∇vh,∇ϕ(n)h ) ≤ 0 (n = 1, ..., N) ⇒ maxΩ vh ≤ max0,max∂Ω vh. (3.1.34)

Ferner ist die Steifigkeitsmatrix Ah eine M -Matrix, d.h. es gilt A−1h ≥ 0 sowie

x ∈ RN , Ahx ≥ 0 ⇒ x ≥ 0. (3.1.35)

Dieses Resultat kann so interpretiert werden, daß unter den gegebenen Voraussetzungen auchdie Finite-Elemente-Diskretisierung ein

”diskretes Maximumprinzip“ erfullt. Leider gilt die kri-

tische Eigenschaft (3.1.32) praktisch nur in der oben beschriebenen Situation. InsbesondereFinite-Elemente-Ansatze hoherer Ordnung erfullen dies nicht (z.B. quadratische Ansatze nurauf

”gleichseitigen“ Triangulierungen).

Bemerkung 3.4: Im Spezialfall einer gleichformigen, kartesischen Triangulierung (mit Kan-tenlange h ) des Einheitsquadrats erhalten wir aus der obigen expliziten Darstellung fur dieMatrixelemente aij = (∇ψi,∇ψj) die Beziehung:

aii = 4, ai,i±1 = −1, ai,i±m = −1;


alle anderen Elemente aij sind Null. In diesem Fall stimmt die Steifigkeitsmatrix AFEMh alsobis auf den Faktor h−2 mit der Matrix AFDMh des

”5-Punkte-Operators“ uberein:

AFEMh = h2AFDMh . (3.1.36)

Fur die Elemente des zugehorigen”Lastvektors“ gilt entsprechend:

bFEMi =

∫

Ωfψi dx ≈ h2f(Pi) + O(h4) = h2 bFDMi + O(h4). (3.1.37)

Dies zeigt, daß aus algebraischer Sicht FEM und FDM eng verwandt sind. Fur eine stuckweise

”bi-linearen“ Ansatz auf einer gleichformigen Quadratzerlegung erhalt man ein Analogon zu

einem”kompakten 9-Punkte-Operator“ (siehe Abb. 3.4):

Abbildung 3.4: Differenzensterne

3.1.3 Approximation krummer Rander

Zum Abschluß dieser einfuhrenden Diskussion wollen wir noch darstellen, wie in der FEM krum-me Rander approximiert werden. Dazu sei angenommen, daß der Rand ∂Ω regular genug ist,daß die schwache Losung u ∈ V := H1

0 (Ω) auch in H2(Ω) ist und der a-priori Abschatzung

‖u‖H2 ≤ cs‖f‖ (3.1.38)

genugt.

i) Der”konvexe Fall“: Sei Ω ⊂ R

2 ein glatt berandetes, konvexes Gebiet. Dieses sei uberdecktdurch eine regulare Triangulierung Th = T , so daß alle Eckpunkte des Polygongebiets

Ωh :=⋃

T ∈ Th ⊂ Ω,

auf dem Rand ∂Ω liegen. Die Lange der Polygonkanten von ∂Ω ist dann durch die Gitterweiteh der Triangulierung Th beschrankt (siehe Abb. 3.5).

Auf Ω wird nun zunachst der einfachste Finite-Elemente-Ansatz (mit linearen Formfunktio-nen) wie folgt definiert:

V(1)h := vh ∈ C(Ω)| vh|T ∈ P1(T ), T ∈ Th, vh|Ω\Ωh

≡ 0 ⊂ V = H10 (Ω).

Die zugehorigen Galerkin-Approximationen uh ∈ V(1)h sind durch die Variationsgleichung

(∇uh,∇ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ Vh (3.1.39)


bestimmt. Wegen der Teilraumbeziehung Vh ⊂ V gilt dann wieder fur den Fehler eh := u− uhdie Bestapproximationsbeziehung (3.1.26).

Abbildung 3.5: Polygonale Approximation eines krumm berandeten Gebiets; Randstreifen Sh =∪ST schraffiert.

Satz 3.3 (FEM auf konvexem Gebiet): Fur das Finite-Elemente-Schema (3.1.39) auf ei-nem glatt berandeten, konvexen Gebiet Ω gelten die a-priori Konvergenzabschatzungen

‖∇eh‖ ≤ (ci+cΩ)csh ‖f‖, (3.1.40)

‖eh‖ ≤ (ci+cΩ)2c2sh2 ‖f‖, (3.1.41)

mit Stabilitats- und Interpolationskonstanten cs, ci und einer Konstante cΩ .

Beweis: (i) Sei Ihu ∈ Vh die naturliche Knoteninterpolierende von u , welche auf dem StreifenSh = Ω \ Ωh zu Null gesetzt wird. Fur diese gilt wieder auf jeder Zelle T ∈ Th (wird spatergezeigt werden)

‖∇(u− Ihu)‖T ≤ cihT ‖∇2u‖T , (3.1.42)

und folglich‖∇(u− Ihu)‖Ωh

≤ cih‖∇2u‖Ωh.

Mit Hilfe der Approximationsbeziehung (3.1.26) ergibt sich somit

‖∇eh‖2Ω ≤ c2ih

2‖∇2u‖2Ωh

+ ‖∇u‖2Sh. (3.1.43)

Es bleibt, das Integral uber den Randstreifen Sh zu behandeln.

(ii) Fur ein glatt berandetes Gebiet (d.h.: ∂Ω ist C2-parametrisiert.) ist nun |Sh| = O(h2) .Um dies zu sehen, nehmen wir an, daß der Randabschnitt ∂ΩT , welcher durch Γ von ∂Ωabgetrennt wird, als Graph einer Funktion ψ(s) der Bogenlange uber Γ aufgefaßt werden kann.Diese nehme ihr Maximum ψ0 fur s = s0 an, so daß

(ψ − ψ0)(s0) = 0, (ψ − ψ0)′(s0) = 0.


Durch Taylor-Entwicklung von ψ − ψ0 um s0 ergibt sich dann

maxΓ

|ψ(s)| = maxΓ

|ψ(s) − ψ0| ≤ δ := 12 max

Γ|ψ′′|h2

T .

Folglich ist |Sh| ≤ ch2 . Damit ist bewiesen, daß

‖∇eh‖Ω ≤ ch‖u‖H2,p . (3.1.44)

(iii) Zur Abschatzung des Integrals uber Sh gehen wir ahnlich vor wie beim Beweis der Poin-careschen Ungleichung. Sei T ∈ Th ein Randdreieck und ST der zugehorige Teilabschnitt desRandstreifens Sh , welcher von der Kante Γ von T begrenzt ist. O.B.d.A. sei angenommen,daß ein Rechteck QT mit Γ als kurzer Seite und Lange L > 0 (unabhangig von h ) ganz in Ωenthalten ist (siehe Abb. 3.6).

Abbildung 3.6: Schema der Randapproximation

Sei nun weiter v ∈ C1(Ω) beliebig. Es bezeichne nΓ(x) den bzgl. Sh nach innen gerichtetenNormaleneinheitsvektor zu Γ im Punkt x ∈ Γ mit Parameterwert s . Damit gilt fur 0 ≤ t ≤ δ :

v(x+ tnΓ(x)) = v(x) +

∫ t

0∂rv(x+ rnΓ(x)) dr,

bzw.

|v(x+ tnΓ(x))|2 ≤ 2|v(x)|2 + 2δ

∫ ψ(s)

0|∇v(x+ rnΓ(x))|2 dr.

Wir integrieren dies zunachst uber 0 ≤ t ≤ ψ(s) ≤ δ (Man beachte, daß fur x ∈ Γ giltx+ ψ(s)nΓ(x) ∈ ∂ΩT .),

∫ ψ(s)

0|v(x+ tnΓ(x))|2 dt ≤ 2δ|v(x)|2 + 2δ2

∫ ψ(s)

0|∇v(x+ rnΓ(x))|2 dr,

und dann uber x ∈ Γ und erhalten∫

ST

|v(x)|2 dx ≤ 2δ

∫

Γ|v(x)|2 ds+ 2δ2

∫

ST

|∇v(x)|2 dx.

Fur das Randintegral rechts erhalten wir mit Hilfe der Spurabschatzung

∫

Γ|v(x)|2 ds ≤ cΩ‖v‖2

H1(QT )


mit einer von maxΓ |ψ′| abhangigen Konstante cΩ . Damit gewinnen wir schließlich die Abschatzung

∫

Sh

|v(x)|2 dx ≤ cΩh2‖v‖2

H1(Ω), (3.1.45)

mit einer generischen Konstante cΩ . Durch das ubliche Stetigkeitsargument ubertragt sich dieseAbschatzung auf alle Funktionen v ∈ H1(Ω) .

Wir wenden die Abschatzung (3.1.45) nun fur die Funktion |∇u| ∈ H1(Ω) an und erhalten

‖∇u‖2Sh

≤ cΩh2‖u‖2

H2 ,

so daß sich mit (3.1.43) schließlich das erste gewunschte Resultat ergibt:

‖∇e‖ ≤ cih‖∇2u‖ + cΩh‖u‖H2 ≤ (ci+cΩ)csh ‖f‖. (3.1.46)

Zur Abschatzung des L2-Fehlers wird wieder ein Dualitatsargument verwendet. Sei z ∈ H10 (Ω)∩

H2(Ω) die Losung des Hilfsproblems

−∆z = ‖e‖−1e in Ω, z|∂Ω = 0.

Wie im Fall eines Polygongebiets argumentieren wir nun wie folgt:

‖e‖ = (∇e,∇z) = (∇e,∇(z − Ihz)) ≤ ‖∇e‖ ‖∇(z − Ihz)‖.

Mit Hilfe der Interpolationsabschatzung (3.1.42) sowie der Randstreifenabschatzung (3.1.45) furv := |∇z| folgt weiter

‖e‖ ≤ ‖∇e‖cih‖∇2z‖ + cΩh‖z‖H2

≤ (ci+cΩ)h‖∇e‖ ‖z‖H2 .

Hiermit folgt dann unter Verwendung des ersten Resultats (3.1.46) sowie der a-priori Schranke‖z‖H2 ≤ cs auch die zweite gewunschte Ungleichung

‖e‖ ≤ (ci+cΩ)2c2s h2 ‖f‖. (3.1.47)

Dies vervollstandigt den Beweis. Q.E.D.

ii) Der”nicht-konvexe Fall“: Sei Ω ⊂ R

2 ein glatt berandetes, aber nicht notwendig konvexesGebiet. Dieses sei wieder uberdeckt durch eine regulare Triangulierung Th = T , so daß alleEckpunkte des Polygongebiets Ωh :=

⋃T ∈ Th auf dem Rand ∂Ω liegen (siehe Abb. 3.7).Die Lange der Polygonkanten von ∂Ωh ist dann durch die Gitterweite h der TriangulierungTh beschrankt. Ist Ω nicht konvex, so ist Ωh 6⊂ Ω . Der auf Ωh =

⋃T ∈ Th definierte

Finite-Elemente-Raum V(1)h ist dann auch nicht in V enthalten, und die Approximation wird

”nicht-konform“ (bzgl. V = H1

0 (Ω) ) genannt. Die Analyse dieser Approximation gestaltet sichtechnisch etwas schwieriger als im konformen Fall. Doch auch hierfur kann man Konvergenz mitder optimalen Ordnung beweisen.


Abbildung 3.7: Approximation nicht-konvexer Randteile

Satz 3.4 (FEM auf nicht-konvexem Gebiet): Fur das Finite-Elemente-Schema (3.1.39) aufeinem glatt berandeten, nicht-notwendig konvexen Gebiet Ω gelten die a-priori Konvergenz-abschatzungen

‖∇eh‖Ω ≤ (ci+cΩ)csh‖f‖Ω (3.1.48)

‖eh‖Ω ≤ (ci+cΩ)2c2sh2 ‖f‖Ω, (3.1.49)

mit Stabilitats- und Interpolationskonstanten cs, ci und einer Konstante cΩ .

Beweis: Der Beweis wird in einer spateren Version dieses Skriptums gegeben werden. Q.E.D.

3.2 Allgemeine Finite-Elemente-Ansatze 91

3.2 Allgemeine Finite-Elemente-Ansatze

Wir wollen nun Finite-Elemente-Ansatzraume allgemeineren Typs konstruieren und Fragen derpraktischen Realisierung der Methode diskutieren. Zunachst wird Ω als ein Polygongebiet (Po-lyeder in 3-D) angenommen. Seien Th Zerlegungen von Ω in Dreiecke oder Vierecke (Tetraederoder Hexaeder in 3-D), welche den im vorigen Abschnitt formulierten Bedingungen genugen. Furdie folgenden Konstruktionen von Finite-Elemente-Ansatzen verwenden wir die Bezeichnungen

Pr :=p(x) =

∑

0≤i+j≤rcijx

i1xj2

, Qr :=

q(x) =

∑

0≤i,j≤rcijx

i1xj2

,

fur Polynom-Vektorraume im R2 (analog fur solche im R

3 ). Wir verwenden die Bezeichnungen

Th = T Zerlegung von Ω,

∂Th = Γ Menge aller Kanten (bzw. Flachen),

∂2Th = a Menge aller Eckpunkte (

”Knoten“),

sowie die folgende Symbolik fur einige typische Knotenwertevorgaben:

Abbildung 3.8: Funktionswerte vh(a) sowie vh(a), ∇vh(a) (links), Normalableitung ∂nvh(m)in Seitenmitten (Mitte), Funktionswerte vh(a), ∇vh(a), ∇2vh(a) (rechts).

Ein Finite-Elemente-Ansatz ist definiert durch Vorgabe eines Polynomraumes P (T ) ⊂ Pr(T )oder P (T ) ⊂ Qr(T ) auf T ∈ Th sowie eines geeigneten Satzes von

”Knotenwerten“ (gegeben

durch lineare”Knotenfunktionale“), z.B.:

vh(a), vh(m), ∂nvh(m), ∇vh(a), (vh, 1)Γ, (vh, 1)T , . . . ,

welcher Polynome aus P (T ) eindeutig bestimmt.

Definition 3.1 (Unisolvenz): Ein Polynomraum P (T ) und ein zugehoriger Satz von linearen

”Knotenfunktionalen“ K(T ) heißen

”unisolvent“, wenn jedes p ∈ P (T ) eindeutig durch die

Vorgabe von χ(p) fur alle χ ∈ K(T ) bestimmt ist.

Definition 3.2 (Lagrange- und Hermite-Ansatz): Man spricht bei einem FE-Ansatz P (T )mit zugehorigem Satz von Knotenfunktionalen χr, r = 1, ..., R von

”Lagrange-Elementen“,

wenn die Knotenfunktionale nur auf Funktionswerte zuruckgreifen; werden auch Ableitungswerteverwendet, spricht man von

”Hermite10-Elementen“.

10Charles Hermite (1822-1901): franzosischer Mathematiker; Prof. an der Ecole Polytechnique und der Sorbonnein Paris; Beitrage zur Zahlentheorie und zur Theorie elliptischer Funktionen; Beweis der Transzendenz von e .


Notwendig fur Unisolvenz ist offenbar dimP (T ) = #K(T ) und hinreichend, daß fur ein p ∈P (T ) aus χ(p) = 0 fur alle χ ∈ K(T ) notwendig p ≡ 0 folgt. Dies wird in der Regel zumNachweis von Unisolvenz verwendet.

Definition 3.3 (Interpolation): Fur jede Zelle T ∈ Th sei ein Polynomraum P (T ) mitDimension R und ein Satz KT = χr, r = 1, ..., R von Knotenfunktionalen

χr : Hm(T ) → R (r = 1, ..., R),

spezifiziert, welche”unisolvent“ sind. Durch die Vorgabe

χr(Ihv) = χr(v), r = 1, . . . , R,

ist dann eindeutig eine”Finite-Elemente-Interpolierende“ Ihv ∈ P (T ) definiert.

Durch Zusammensetzen der zunachst zellweise definierten Formfunktionen vT ∈ P (T ) erhaltman global definierte Funktionen

vh : Ω → R, vh|T := vT , T ∈ Th ,

mit denen der Finite-Elemente-Ansatzraum Vh gebildet wird. Durch Gleichsetzen geeigneterKnotenwerte auf dem gemeinsamen Rand Γ = T∩T ′ jeweils benachbarter Zellen wird Stetigkeit,Differenzierbarkeit und auf analogem Wege auch die Randbedingung vh|∂Ω = 0 implementiert.Die Dimension des endlich dimensionalen Teilraumes Vh ⊂ V ist dann gleich der Anzahl derKnotenfunktionalwerte zur eindeutigen Festlegung einer Funktion vh ∈ Vh .

Definition 3.4 (Konformitat): Ein Finite-Elemente-Ansatzraum Vh dieser Art heißt”H1

0 -konform“, wenn Vh ⊂ H1

0 (Ω), und andernfalls”nicht-konform“.

A) Dreieckselemente im R2: Als erstes betrachten wir Finite-Elemente-Ansatze auf Trian-

gulierungen von Polygongebieten.

1) Konstanter Ansatz: P (T ) = P0 , dimP (T ) = 1 .Mit konstanten Polynomansatzen kann offensichtlich fur die Variationsgleichung (3.1.2) keinekonforme Diskretisierung gewonnen werden. Diese spielen aber bei anderen Typen von variatio-nellen Formulierungen, den sog.

”dual-gemischten“, eine Rolle

2) Linearer Ansatz: P (T ) = P1 , dimP (T ) = 3 .

Der Polynomraum P1(T ) und der Satz von Knotenfunktionalen χi(p) = p(ai), i = 1, 2, 3 sindunisolvent, denn fur p ∈ P1(T ) mit p(ai) = 0 gilt notwendig p|∂T ≡ 0 und damit auch p ≡ 0 .Mit dem Ansatz

V(1)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ P1, vh stetig in Eckpunkten, vh = 0 in Eckpunkten auf ∂Ω.

erhalt man einen H10 -konformen Finite-Elemente-Raum. Denn der Sprung von [vh] uber eine

gemeinsame Kante Γ zweier Dreiecke T1 und T2 ist in P1(Γ) . Folglich ist vh stetig, da seineRestriktionen auf T1 und T2 gemeinsame Werte in den beiden Endpunkten von Γ haben.


Einen nicht-konformen Ansatz erhalt man durch

V(1)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ P1, vh stetig in Kantenmitten, vh = 0 in Kantenmitten auf ∂Ω.

Die Unisolvenz folgt analog wie die des entsprechenden konformen Ansatzes. Dieses nicht-konforme

”lineare“ Element spielt z. B. eine Rolle bei der Diskretisierung der Navier-Stokes-

Gleichungen in der Stromungsmechanik.

3) Quadratischer Ansatz: P (T ) = P2 , dimP (T ) = 6 .Der Polynomraum P2(T ) und der Satz von Knotenfunktionalen χi(p) = p(ai), ψi(p) = p(mi),i = 1, 2, 3 sind unisolvent. Fur p ∈ P2(T ) mit p(ai) = p(mi) = 0 gilt notwendig p|∂T ≡ 0 .Dies impliziert, daß ∇p(ai) = 0 , woraus wegen ∂ip ∈ P1(T ) wiederum ∇p ≡ 0 und schließlichp ≡ 0 folgt. Mit dem Ansatz

V(2)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ P2, vh stetig in Eckpunkten und Kantenmitten,

vh = 0 in solchen Punkten auf ∂Ω.

erhalt man einen H10 -konformen Finite-Elemente-Raum. Denn der Sprung von [vh] uber eine

gemeinsame Kante Γ zweier Dreiecke T1 und T2 ist in P2(Γ) . Folglich ist vh stetig, da seineRestriktionen auf T1 und T2 gemeinsame Werte in den beiden Endpunkten und dem Mittel-punkt von Γ haben. Alternativ zu den Werten in den Kantenmitten m kann man auch dieMittelwerte |Γ|−1

∫Γ vh ds uber Kanten Γ ∈ ∂Th als Knotenwerte verwenden.

Der nicht-konforme Ansatz

V(2)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ P2, vh stetig in jeweils zwei Gauß-Punkten auf Kanten,

vh = 0 in solchen Punkten auf ∂Ω

ist nicht unisolvent, denn es existieren nicht-triviale, stuckweise quadratische Funktionen, wel-che in allen Knotenpunkten verschwinden. Man betrachte dazu auf jeder Kante die Legendre-Polynomen L2 zweiten Grades, deren Nullstellen gerade die beiden Gauß-Punkte m1, m2 sind.Sie konnen wegen ihrer Symmetrie zum Kantenmittelpunkt so normiert werden, daß sie in denEckpunkten a gleiche Werte L2(a) = 1 haben. Dann laßt sich eine Funktion L ∈ P2(T ) finden,durch konforme Interpolation in Eckpunkten und Seitenmitten: L(a) = 1 , L(m) = L2(m) . Aufjeder Kante ist dann L ≡ L2 , so daß sich ein Widerspruch zur Unisolvenz des Ansatzes ergibt.

Eine weitere nicht-konforme Variante des quadratischen Elements (das sog.”Morley11 -Platten-

element“) erhalt man bei Wahl der Knotenwerte vh(a), ∂nvh(m) . Dieser Ansatz ist wiederunisolvent. Fur p ∈ P2(T ) folgt aus p(ai) = ∂np(mi) = 0, i = 1, 2, 3 , notwendig ∂τp(mi) = 0und somit ∇p(mi) = 0 . Wegen ∂ip ∈ P1(T ) folgt ∇p ≡ 0 und damit auch p ≡ 0 .

11L.S.D. Morley (????-????): englischer Ingenieur; Forscher an der Brunel University in Uxbridge, England;Beitrage zur FEM fur nichtlineare Schalenmodelle.


Das Morley-Element ist zwar nicht-konform bzgl. der H1- wie auch der H2-Norm, trotzdemkann es bei geeigneter Modifikation der variationellen Formulierungen,

uh ∈ V Mh :

∑T∈Th

(∇2uh,∇2ϕh)T = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ V Mh ,

sogar zur Approximation des biharmonischen Operators ∆2u = f verwendet werden.

5) Kubischer Ansatz (sog.”kubisches Membran-Element“: P (T ) = P3 , dimP (T ) = 10 .

Mit dem Ansatz

V(3)h =vh : Ω → R| vh|T ∈ P3, vh stetig in Eckpunkten und in je

zwei Gauß-Punkten auf Kanten, vh = 0 in solchen Punkten auf ∂Th.

ist H10 -konform. Denn der Sprung von [vh] uber eine gemeinsame Kante Γ zweier Dreiecke T1

und T2 ist in P3(Γ) . Folglich ist vh stetig, da seine Restriktionen auf T1 und T2 gemeinsameWerte in den beiden Endpunkten und zwei Gauß-Punkten auf Γ haben. Alternativ zu den Gauß-Punkten auf den Kanten kann man auch in jedem Knoten die beiden partiellen Ableitungen,d.h. den Gradienten ∇vh(a) , als Knotenwerte verwenden. Auch damit erhalt man einen H1

0 -

konformen Ansatzraum V(3)h ; dieser ist offenbar echt kleiner als V

(3)h (Ubungsaufgabe).

Zur Diskretisierung der biharmonischen Gleichung kann man wieder eine nicht-konforme Va-riante mit den Knotenwerten vh(a), ∂nvh(m1), ∂nvh(m2), vh(z) (m1,m2 zwei Gauß-Punkteauf Γ und z der Mittelpunkt von T ) verwenden. Ein H2-konformes Platten-Element erhaltman durch den sog.

”Clough-Tocher-Ansatz“ als

”zusammengesetztes“ Element ( vh ∈ C1(T )

stuckweise kubisch).

6) Quartischer Ansatz: P (T ) = P4(T ) , dimP (T ) = 15 .Mit dem Satz von Knotenwerten vh(a),∇vh(a), vh(m1), vh(m2) (m1, m2 die beiden Gauß-Punkte auf jeder Kante Γ ∈ ∂Th) erhalt man hier einen H1-konformen Ansatz (Ubungsaufgabe).


7) Quintischer Ansatz (sog.”Argyris12 -Plattenelement“): P (T ) = P5(T ) , dimP (T ) = 21 .

Mit dem Satz von Knotenwerten vh(a),∇vh(a),∇2vh(a), ∂nvh(m) erhalt man hier sogar einenH2-konformen Ansatz (Ubungsaufgabe). Dieses finite Element ist ein Beispiel fur einen konfor-men Ansatz zur Losung der biharmonischen Gleichung ∆2u = f , fur welche stetig differenzier-bare Ubergange von Zelle zu Zelle erforderlich sind.

B) Viereckselemente: Als nachstes betrachten wir Finite-Elemente-Ansatze auf (kartesischen)Rechteckszerlegungen.

1) Bi-linearer Ansatz: P (T ) = Q1 = span1, x1, x2, x1x2 , dimP (T ) = 4 . Der PolynomraumQ1(T ) und der Satz von Knotenfunktionalewn χi(p) = p(ai), i = 1, . . . , 4 sind unisolvent. Einp ∈ Q1(T ) ist entlang der Kanten von T linear. Aus p(ai) = 0 folgt also p|∂T ≡ 0 und weiter∇p(ai) = 0 . Wegen ∂ip ∈ P1(T ) impliziert dies ∇p ≡ 0 und schließlich p ≡ 0 . Der Ansatz

V(1)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ Q1, vh stetig in Eckpunkten, vh = 0 in Eckpunkten auf ∂Ω

ist H10 -konform, da die Sprunge von vh entlang von Kanten linear sind.

Der naheliegende nicht-konforme Ansatz

V(1)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ Q1, vh stetig in Kantenmitten, vh = 0 in Kantenmitten auf ∂Ω

ist aber i.a. nicht unisolvent, da z.B. die Funktion vh(x1, x2) = x1x2 in den Kantenmittendes Quadrats T1 = [−1, 1] × [−1, 1] verschwindet. Auf T1 erhalt man aber durch P (T ) =span1, x1, x2, x

21 −x2

2 einen mit den Kantenmitten als Knotenfunktionale unisolventen An-satz. Alternativ zu den Funktionswerten in den Seitenmitten kann man auch die Mittelwerte|Γ|−1

∫Γ vh ds uber die Kanten als Knotenwerte verwenden. Dies ergibt aber einen von V

(1)h

verschiedenen Ansatzraum.

2) Bi-quadratischer Ansatz: P (T ) = Q2 = span1, x1, x2, x21, x1x2, x

22, x

21x2, x1x

22, x

21x

22 ,

dimP (T ) = 9 . Die Konstruktion eines”zulassigen“ Satzes von Knotenwerten ist Ubung.

3) Reduzierter bi-quadratischer Ansatz (sog.”Wilson13 -Membran-Element“):

P (T ) = P2(T ) ⊕ spanx21x2, x1x

22 , dimP (T ) = 8 . Dieser Ansatz wird mit den Knotenwerten

12John Argyris (1916-2004): deutscher Bauingenieur; Prof. in Stuttgart; einer der”Erfinder“ der Finite-

Elemente-Methode.13E.L. Wilson (????-????): amerikanischer Ingenieur; Publ.: K. Bathe, E.L Wilson: Numerical Methods in Finite

Element Analysis, Prentice-Hall, New Jersey, 1976.


vh(a), vh(m) H1-konform.

4) Bi-kubischer Ansatz: P (T ) = Q3 = span1, x1, x2, x21, ..., x

31x

32 , dimP (T ) = 16 .

Die Konstruktion eines”zulassigen“ Satzes von Knotenwerten wird als Ubung gestellt.

5) Reduzierter bi-kubischer Ansatz (sog.”Adini14 -Platten-Element“):

P (T ) = P3(T ) ⊕ spanx31x2, x1x

32 , dimP (T ) = 12 . Dieser Ansatz wird mit den Knotenwerten

vh(a), ∇vh(a) unisolvent und H1-konform, ist aber nicht H2-konform.

Viele der aufgefuhrten zwei-dimensionalen Finite-Elemente-Ansatzen haben naturliche Er-weiterungen auf drei Dimensionen. Die gebrauchlichsten Beispiele sind:

1) Lineares Tetraederelement: P (T ) = span1, x1, x2, x3, dimP (T ) = 4 . Mit den Funktions-werten in den Eckpunkten als Knotenwerte ist dieser Ansatz unisolvent und H1-konform.

2) Nicht-konf., lineares Tetraederelement: P (T ) = span1, x1, x2, x3, dimP (T ) = 4 .Mit den Funktionswerten in den Flachenmitten als Knotenwerte ist dieser Ansatz unisolvent,aber nicht-konform.

3) Quadratisches Tetraederelement: P (T ) = span1, x1, x2, x3, x1x2, x1x3, x2x3, x21, x

22, x

23 ,

dimP (T ) = 10 . Mit den Funktionswerten in den Ecken und den Kantenmitten als Knotenwerteist dieser Ansatz unisolvent und H1-konform.

4) Kubisches Tetraederelement: P (T ) = P3 , dimP (T ) = 20 .Mit den Funktionswerten in den Ecken, in zwei Gauß-Punkten auf den Kanten und in denSeitenmitten als Knotenwerte ist dieser Ansatz unisolvent und H1-konform.

14A. Adini (????-????): ????


5) Tri-lineares Quaderelement: P (T ) = span1, x1, x2, x3, x1x2, x1x3, x2x3, x1x2x3,dimP (T ) = 8 . Mit den Funktionswerten in den Eckpunkten als Knotenwerte ist dieser Ansatzunisolvent und H1-konform.

Ein zugehoriges nicht-konformes Quaderelement erhalt man durch den AnsatzP (T ) = span1, x1, x2, x3, x

21−x2

2, x21−x2

3, dimP (T ) = 6 . Mit den Funktionswerten in denFlachenmitten als Knotenwerte ist dieser Ansatz unisolvent.

6) Tri-quadratisches Quaderelement: P (T ) = span1, x1, x2, x3, ..., x21x

22x

23,

dimP (T ) = 27 . Mit den Funktionswerten in den Eckpunkten, den Kantenmitten, den Seiten-mitten und dem Mittelpunkt als Knotenwerte ist dieser Ansatz unisolvent und H1-konform.

In allgemeinen Situationen konnen die Zellen bzgl. des Koordinatensystems gedreht odergezerrt werden. Daraus folgt, daß es Falle gibt, in denen man fur zwei Zellen der ZerlegungTh nicht denselben Ansatz nehmen kann (z.B. das bi-lineare Viereckselement). Deshalb mussenwir uns bei der Definition von Finite-Elemente-Ansatzen von dem festen Koordinatensystembefreien. Dies induziert die Idee des

”Referenzelements“. Wir verwenden als Referenzelement

ein naturliches Einheitselement T (Einheitsdreieck, Einheitsviereck, ...) und definieren zunachsteinen Polynomansatz P (T ) auf diesem Referenzelement.

Sei σT eine (polynomiale) Transformation des Referenzelements auf das (”physikalische“)

Element mit der Inversen σ−1T : T → T . Der Ansatz auf der Zelle T ist dann gegeben durch

P (T ) := vh : T → R| vh(σT (·)) ∈ P (T ). (3.2.50)

Der Funktionenraum P (T ) ist nicht notwendig ein Raum von Polynomen, auch wenn P (T ) einsolcher ist. Dies liegt daran, daß im Allg. die inverse Abbildung σ−1

T und damit die Funktionvh(x) = vh(σ(σ−1(·))) nicht polynomial ist, z.B. im Fall (echt) bilinearer Abbildungen σT .Wenn man T aus T durch eine Verschiebung, eine Rotation, eine Scherung und eine Skalierunggewinnen kann, so ist σT eine affin-lineare Transformation:

σT (x) = BT x+ bT

mit einer Matrix BT ∈ Rd×d und einem Verschiebungsvektor bT ∈ R

d . Dies ist moglich beiDreiecken (in 2-D) bzw. Tetraedern (in 3-D) sowie bei Parallelogrammen (in 2-D) bzw. Parallel-epipeden (in 3-D). Fur allgemeine (konvexe) Vierecke (in 2-D) oder Hexaeder (in 3-D) benotigtman fur die Transformation echt bi- bzw. tri-lineare Abbildungen.

Wir gehen nun zum allgemeinen d-dimensionalen Fall uber und betrachten Zerlegungen Th =


T eines Gebiets Ω ⊂ Rd in d-Simplizes. Dabei ist ein (nicht degeneriertes) Simplex T ⊂ R

d

die konvexe lineare Hulle von d+ 1 linear unabhangigen Punkten ai ∈ Rd, i = 0, ..., d:

T =x ∈ R

d| x =d∑

i=0

λiai ,

d∑

i=0

λi = 1, 0 ≤ λi ≤ 1. (3.2.51)

Das System ai, i = 0, ..., d heißt linear unabhangig, wenn die erzeugenden Vektoren wi =ai−a0, i = 1, ..., n eine Basis des R

d bilden. Die einfachsten Beispiele sind wieder Dreiecke furd = 2 und Tetraeder fur d = 3 . Sei T das Einheitssimplex im R

d , welches von den Punktene0 := 0 , ei = (δ1i, ..., δdi)

T , i = 1, ..., d , aufgespannt wird.

Hilfssatz 3.2 (Referenztransformation): Jedes (nicht degenerierte) Simplex T ⊂ Rd laßt

sich mittels einer umkehrbaren affinen Abbildung

x = σT (x) := BT x+ bT , BT ∈ Rd×d, bT ∈ R

d, (3.2.52)

aus dem Einheitssimplex T gewinnen: T = BT T + bT . Dabei ist die Umkehrabbildung gegebendurch x = σ−1

T (x) = B−1T x−B−1

T bT .

Beweis: Wir lassen im folgenden den Zusatz T weg. Sei A ∈ Rd×d die regulare Matrix, welche

die Basis wi = ai− a0, i = 1, ..., d auf die kartesische Einheitsbasis ei, i = 1, ..., d abbildet:ei = Awi , i = 1, ..., d . Man gewinnt ihre Elemente aνµ als Losungen der Gleichungssysteme

n∑

µ=1

aνµwiµ = eiν , i = 1, ..., d ,

fur ν = 1, ..., d. Die Koeffizientenmatrix (wiµ)di,µ=1 enthalt die linear unabhangigen Vektoren

wi, i = 1, ..., d, als Zeilenvektoren und ist folglich regular. Die affine Abbildung x = Ax − Aa0

ist dann umkehrbar und bildet das Simplex T auf das Einheitssimplex T ab, denn fur x =∑di=0 λia

i ∈ T ist (Man beachte∑d

i=1 λi = 1 .)

Ax−Aa0 =

d∑

i=0

λiA(ai − a0) =

d∑

i=0

λiei ∈ T ,

und umgekehrt fur x =∑d

i=0 λiei ∈ T

A−1x+ a0 =

d∑

i=0

λiA−1ei + a0 =

d∑

i=0

λiwi + a0 =

d∑

i=0

λiai + (1 −

d∑

i=1

λi)a0 ∈ T .

Dies komplettiert den Beweis mit BT := A−1 und bT := a0 . Q.E.D.

Bemerkung 3.5: Zu Hilfssatz 3.2 gibt es ein Analogon fur Vierecks-Zerlegungen im R2 sowie

Hexaeder-Zerlegungen im R3 . Zu jedem konvexen Viereck T ∈ R

2 oder Hexaeder T ∈ R3

(”6-Flachner“) existieren bi- bzw. tri-lineare Abbildungen σT : T → T des Einheitsquadrats

bzw. Einheitswurfels T auf T . Dabei werden die Eckpunkte von T auf die Eckpunkte von Tsowie die Kanten bzw. Seitenflachen von T auf die Kanten bzw. Seitenflachen von T abgebildet(jeweils in derselben Orientierung).


Die Erzeugung von Finite-Elemente-Ansatzen uber Transformation von einem Referenz-element hat auch den Zweck, auf allgemeinen Vierecks- oder Hexaeder-Zerlegungen konformeAnsatze zu gewinnen. Wir wollen das anhand des bilinearen Ansatzes diskutieren:

V(1)h = vh : Ω → R| vh|T ∈ Q1, vh stetig in Knoten, vh = 0 in Knoten auf ∂Ω.

Wir betrachten allgemeine Vierecke T und T ′ , die eine gemeinsame Kante Γ haben, und setzenP (T ) = P1 ⊕ spanx1x2. Der Sprung von vh ist zwar gleich Null in den Endpunkten von Γ ,doch ist er im Allg. nicht linear auf Γ , so daß die Stetigkeit uber Γ nicht gesichert ist. Hierfur

muß erreicht werden, daß die Restriktion von vh ∈ V(1)h auf alle Kanten Γ ∈ ∂Th linear ist.

Dies kann durch Konstruktion von V(1)h mit Hilfe der bilinearen Transformationen σT : T → T

erreicht werden.

Fur eine bi-lineare Transformation σT : T → T ist die Inverse σ−1T : T → T i.a. nicht bi-linear.

In diesem Fall ist der gemaß (3.2.50) erzeugte lokale Ansatzraum P (T ) auch kein Polynomraum.Dennoch ist v|Γ auf jeder Kante Γ ∈ ∂Th linear, so daß Stetigkeit in allen Eckpunkten auch

automatisch globale Stetigkeit auf Ω sowie v|∂Ω = 0 garantiert. Dieser Transformationsansatzlost also das Problem der globalen Stetigkeit.

Definition 3.5 (Parametrischer Ansatz): Der Ansatz P (T ) wird”parametrisch“ genannt,

wenn er durch Transformationen σT : T → T von einem Referenzelement T erzeugt wird. Erheißt

”isoparametrisch“, wenn die Transformation σT vom selben Polynomtyp wie die Ansatz-

funktionen in P (T ) ist.

Der Begriff des”isoparametrischen“ Finite-Element-Ansatzes laßt sich auf hoheren Polynomgrad

r ≥ 2 ubertragen. Dies wird wichtig bei der Approximation eines krummen Randes bei Verwen-dung von Ansatzen hoherer Ordnung. (siehe Bild mit

”quadratischer“ Randapproximitation).

Die einfache Polygonzugapproximation wurde hier zu einer Ordnungsreduktion fuhren:

‖∇(u− uh)‖ ≤ chr‖u‖r + h‖u‖2

,

im Gegensatz zur optimalen Abschatzung

‖∇(u− uh)‖ ≤ chr‖u‖r.

Abbildung 3.9: Parametrische Randapproximation


3.3 Interpolation mit finiten Elementen

Dieser Abschnitt ist dem grundlegenden Aspekt bei der mathematischen Analyse der Methodeder finiten Elemente gewidmet: Wie gut lassen sich hinreichend glatte Funktionen durch stuck-weise polynomiale approximieren? Wir gehen von der im vorigen Abschnitt anhand von Beispie-len beschriebenen abstrakten Situation aus. Sei T ⊂ R

d eine Zelle eines Finite-Elemente-GittersTh ; der Durchmesser von T wird wieder mit diam(T ) = hT und der Radius einer (maximalen)einbeschriebenen Kugel mit ρT bezeichnet.

Wir betrachten im folgenden ausschließlich”parametrische“ Finite-Elemente-Ansatze. Jedes

T ∈ Th sei Bild eines”Referenz-Einheitselements“ T ⊂ R

d mit Durchmesser diam(T ) = h ≈ 1und Inkugelradius ρ > 0. Die zugehorigen Abbildungen σT : T → T seien der Einfachheit halberals affin-linear angenommen:

x = σT (x) = BT x+ bT , BT ∈ Rd×d, bT ∈ Rd. (3.3.53)

Der Fall allgemeiner Vierecke mit erzeugenden bilinearen Transformationen wird gegebenenfallsin Bemerkungen berucksichtigt werden.

Allgemeine Interpolationsaufgabe: Auf einem beliebigen, aber festen Element T (z.B. demEinheitselement T ) seien ein Vektorraum P (T ) von Polynomen uber T mit dimP (T ) = Rsowie ein System von linearen

”Knotenfunktionalen“ KT = χr, r = 1, ..., R gegeben, so daß

die folgenden Bedingungen erfullt sind:

(i) Der Ansatz ist unisolvent:

q ∈ P (T ) : χr(q) = 0 (r = 1, ..., R) ⇒ q = 0. (3.3.54)

(ii) Fur ein m ≥ 1 gilt Pm−1 ⊂ P (T ) .

(iii) Die Knotenfunktionale aus KT sind stetig auf Hm(T ) :

|χr(v)| ≤ cb‖v‖m;T , v ∈ Hm(T ), r = 1, ..., R. (3.3.55)

Unter der Bedingung (i) ist die zugehorige Lagrangesche bzw. Hermitesche Interpolationsauf-gabe eindeutig losbar, d.h: Zu jeder Funktion v ∈ Hm(T ) existiert ein eindeutig bestimmtes

”Interpolationspolynom“ IT v ∈ P (T ) mit den Eigenschaften

χr(IT v) = χr(v), r = 1, ..., R.

Wenn die Knotenfunktionale zu”singular“ sind, um fur Funktionen aus Hm(Ω) definiert zu

sein (z.B. die Ableitung ∂m−1n v(m) in einer Seitenmitte m ∈ ∂T ), kann auch ein starkerer

Sobolew-Raum Hm,p(Ω) mit p > d verwendet werden. Wir werden diesen Fall hier aber nichtweiter verfolgen.

Notation: Im folgenden verwenden wir eine gebrauchliche”Multiindex“-Schreibweise fur mehr-

fach indizierte Großen. Fur einen Indexvektor α = (α1, ..., αd)T ∈ Zd mit ganzzahligen, nicht-

negativen Komponenten setzen wir

|α| :=d∑

i=1

αi, xα :=d∏

i=1

xαi

i , Dα :=d∏

i=1

∂αi

i , Pk =q(x) =

∑

|α|≤kaαx

α.

3.3 Interpolation mit finiten Elementen 101

Mit dieser Notation schreiben sich z.B. die Sobolew-Normen bzw. -Halbnormen uber T in derForm

‖v‖m;T =( ∑

0≤|α|≤m‖Dαv‖2

T

)1/2, |v|m;T =

( ∑

|α|=m‖Dαv‖2

T

)1/2.

Wir leiten nun eine Reihe von technischen Hilfssatzen ab, die am Schluß zu den gewunsch-ten allgemeinen Abschatzungen fur den Interpolationsfehler bei Finite-Elemente-Ansatze fuhrenwerden. Die dabei verwendete Schlußweise geht in diesem Zusammenhang auf Bramble undHilbert (1971) zuruck, weswegen die ganze Theorie auch

”Bramble-Hilbert-Theorie“ und das

Hauptresultat”Bramble-Hilbert-Lemma“ genannt werden.

Hilfssatz 3.3 (Nullraum von Ableitungsoperatoren): Jede Funktion v ∈ Hm(T ) mit derEigenschaft

Dαv = 0 , |α| = m, (3.3.56)

ist fast uberall gleich einem Polynom aus Pm−1(T ) .

Beweis: Aus den Voraussetzungen folgt DβDαv ≡ 0 fur beliebiges β und somit v ∈ ⋂∞k=1H

k(T ) .Nach dem Sobolewschen Einbettungssatz ist damit v ∈ Cm(T ), so daß sich die Behauptung mitHilfe

”klassischer“ Argumente ergibt. Q.E.D.

Hilfssatz 3.4 (Polynomprojektion): Zu jeder Funktion v ∈ Hm(T ) existiert ein eindeutigbestimmtes Polynom q ∈ Pm−1(T ) mit der Eigenschaft

∫

TDα(v − q) dx = 0 , 0 ≤ |α| ≤ m− 1 . (3.3.57)

Beweis: Zur Losung der Aufgabe machen wir den Ansatz

q(x) :=∑

|β|≤m−1

ξβxβ ∈ Pm−1(T )

mit unbekannten Koeffizienten ξ = (ξβ)|β|≤m−1 (bei lexikographischer Anordnung der Index-komponenten). Dies fuhrt auf das quadratische, lineare Gleichungssystem

∑

0≤|β|≤m−1

ξβ∫

TDαxβ dx =

∫

TDαv dx , 0 ≤ |α| ≤ m− 1.

Dessen Koeffizientenmatrix

M =(∫

TDαxβ dx

)0≤|α|,|β|≤m−1

ist regular. Andernfalls gabe es ein ξ = (ξβ)|β|≤m−1 6= 0 mit Mξ = 0 . Das damit gebildete

Polynom q(x) =∑

0≤|β|≤m−1 ξβxβ ∈ Pm−1(T ) hatte dann die Eigenschaft

∫

TDαq dx = 0 , 0 ≤ |α| ≤ m− 1 , (3.3.58)


woraus offensichtlich q ≡ 0 und damit der Widerspruch ξ ≡ 0 folgte. Also existiert ein eindeutigbestimmtes Polynom mit den verlangten Eigenschaften. Q.E.D.

Hilfssatz 3.5 (Verallg. Poincaresche Ungleichung): Fur jede Funktion v ∈ Hm(T ) mitder Eigenschaft

∫

TDαv dx = 0 , 0 ≤ |α| ≤ m− 1 , (3.3.59)

gilt mit einer Konstante c0 = c(d,m, T )

‖v‖m;T ≤ c0 |v|m;T . (3.3.60)

Beweis: Angenommen, die Behauptung ware falsch. Dann existierte eine Folge von Funktionenvk ∈ Hm(T ) , k ∈ N mit den Eigenschaften

1 = ‖vk‖m;T ≥ k|vk|m;T , k ∈ N . (3.3.61)

Aufgrund der Kompaktheit der Einbettung von Hm(T ) in Hm−1(T ) konvergiert eine Teilfolge,welche wir wieder mit (vk)k∈N bezeichnen, in Hm−1(T ) gegen ein v ∈ Hm−1(T ):

‖vk − v‖m−1;T → 0 (k → ∞). (3.3.62)

Mit der Annahme folgt |vk|m;T → 0 (k → ∞) . Also ist (vk)k∈N Cauchy-Folge in Hm(Ω) mitLimes v ∈ Hm(T ) . Wegen vk →Hm−1 v muß v = v sein. Damit folgt |v|m;T = 0. Nach Hilfssatz3.3 ist also v ∈ Pm−1(T ) und besitzt die Eigenschaft

∫

TDαv dx = lim

k→∞

∫

TDαvk dx = 0 , 0 ≤ |α| ≤ m− 1 . (3.3.63)

Dies bedeutet aber wegen Hilfssatz 3.4 notwendig v ≡ 0, was im Widerspruch zur Annahme‖v‖m;T = limk→∞ ‖vk‖m;T = 1 steht. Q.E.D.

Nach diesen Vorbereitungen konnen wir das zentrale Resultat dieses Abschnitts, das sog.Bramble15-Hilbert16-Lemma, beweisen.

Satz 3.5 (Bramble-Hilbert-Lemma): Sei F (·) : Hm(T ) → R ein beschranktes, sublinearesFunktional, welches auf Pm−1(T ) verschwindet, d.h.:

(i) |F (v)| ≤ c1‖v‖m;T (Beschranktkeit),

(ii) |F (u+ v)| ≤ c2|F (u)| + |F (v)| (Sublinearitat),

(iii) F (q) = 0, q ∈ Pm−1(T ) (Annulierungseigenschaft).

15James H. Bramble (1932-): US-amerikanischer Mathematiker: Prof. an der Cornell University und der TexasA&M University; fundamentale Beitrage zur Theorie der Finite-Elemente-Methode und von Iterationsverfahren,insbesondere Mehrgitterverfahrens.

16Stephen Hilbert (????-): US-amerikanischer Mathematiker: Prof. am Ithaca College, New York; bekannt durchdas sog. “Bramble-Hilbert-Lemma”.


Dann gilt mit der Konstante c0 aus Hilfssatz 3.5:

|F (v)| ≤ c0c1c2|v|m;T , v ∈ Hm(T ). (3.3.64)

Beweis: Fur ein v ∈ Hm(T ) gilt mit beliebigem q ∈ Pm−1(T ) :

|F (v)| = |F (v − q + q)| ≤ c2|F (v − q)| + |F (q)| ≤ c1c2‖v − q‖m;T .

Wir wahlen nun q ∈ Pm−1(T ) als das gemaß Hilfssatz 3.4 zu v gehorende Polynom, so daßgemaß Hilfssatz 3.5 folgt:

‖v − q‖m;T ≤ c0 |v − q|m;T = c0 |v|m;T .

Dies impliziert dann|F (v)| ≤ c3 |v|m;T ,

mit c3 := c0c1c2 , was zu beweisen war. Q.E.D.

Korollar 3.1 (Allg. Interpolationssatz): Seien die obigen Voraussetzungen erfullt. Fur jedeFunktion v ∈ Hm(T ) und das zugehorige interpolierende Polynom IT v ∈ P (T ) gilt bzgl. einerbeliebigen stetigen Halbnorm | · | auf Hm(T ):

|v − IT v| ≤ c |v|m;T (3.3.65)

mit einer Konstante c = c(d,m,R, T, | · |).

Beweis: O.B.d.A. sei |v| ≤ ‖v‖m;T , v ∈ Hm(T ) . Durch F (v) := |v− ITv| wird auf Hm(T ) einsublineares Funktional definiert. Die Interpolierende IT v besitzt die Darstellung

IT v =

R∑

r=1

χr(v)ϕ(r)

mit der durch die Bedingung χr(ϕ(s)) = δrs, (r, s = 1, ..., R) eindeutig bestimmten verallgemei-

nerten Lagrange-Basis ϕ(r), r = 1, ..., R des Polynomraums P (T ) . Wegen der Beschranktheitder Knotenfunktionale χr folgt

|F (v)| ≤ |v| + |IT v| ≤ |v| +R∑

r=1

|χr(v)| |ϕ(r)| ≤ (1 +Rcb maxr=1,...,R

|ϕ(r)|) ‖v‖m;T ,

und damit die Beschranktheit von F (·) . Wegen IT q = q fur q ∈ P (T ) gilt weiter

F (q) = 0, q ∈ Pm(T ).

Aus Satz 3.5 folgt damit die behauptete Abschatzung. Q.E.D.

Beispiele von Halbnormen, fur die das obige Resultat angewendet wird, sind etwa:

1. L2-Norm uber T :

|v − IT v| :=

(∫

T|v − IT v|2 dx

)1/2

.


2. L2-Norm uber den Rand ∂T :

|v − IT v| :=

(∫

∂T|v − IT v|2 dx

)1/2

.

3. Mittelwert uber eine Kante Γ ⊂ ∂T :

|v − IT v| :=

∣∣∣∣∫

Γ(v − IT v) dx

∣∣∣∣ .

4. Maximum-Norm uber T :|v − IT v| := max

T|v − IT v|.

5. Wert in einem Punkt P ∈ Ω :

|v − IT v| := |(v − IT v)(P )|.

Als nachstes greifen wir nun unser eigentliches Problem an, namlich den Interpolationsfehlerauf den einzelnen Zellen T der Zerlegung Th abzuschatzen. Wir tun dies fur den representativenSpezialfall der klassischen Lagrange/Hermite-Interpolation, bei der die Knotenfunktionale χrals Punktfunktionale fur Funktionswerte sowie Ableitungswerte in gewissen Knotenpunkten ar ∈T (r=1, ..., R) gegeben sind.

Sei T das Referenzelement der Große h := diam(T ) = 1 und Inkreisradius ρ > 0 . Fur eineeinzelne Zelle T ∈ Th bezeichnen wir mit ar = Bar + b die aus den Stutzstellen ar ∈ T durchAnwendung der Transformation σ(x) = Bx+ b erzeugten Punkte ar ∈ T . Entsprechend seienhT := diam(T ) sowie ρT > 0 der Inkreisradius von T . Die Umkehrabbildung σ−1 : T → T

hat die Darstellung σ−1(x) = B−1x−B−1b mit der inversen Matrix B−1 = (b(−1)ij )di,j=1 . Unter

Verwendung dieser Abbildung x = σ(x) werden fur Funktionen v : T → R und w : T → R

zugehorige Funktionen v : T → R und w : T → R definiert durch

v(x) := v(x), w(x) := w(x). (3.3.66)

Entsprechend lassen sich die partiellen Ableitungen nach x und x durch die jeweils anderenausdrucken:

∂i :=

d∑

j=1

bij∂j , ∂i :=

d∑

j=1

b(−1)ij ∂j .

Wir nehmen an, daß der Polynomansatz P (T ) unisolvent ist mit einem Satz von Knotenfunktio-nalen der Form Drv(ar), r = 1, ..., R , wobei die Punkte ar auch mehrfach auftreten konnen unddie Ableitungsoperatoren die Gestalt Dr = ∂α

r

mit geeigneten Multiindizes αr = (αri , ..., αrd)

haben. Der Ansatzraum P (T ) habe die Lagrange-Basis ϕr, r = 1, . . . , R , d.h.:

Drϕs(ar) = δrs.

Wir nehmen weiter an, daß alle auftretenden Ableitungen Dr auf Hm(T ) wohl definiert undstetig sind:

|Dr v(ar)| ≤ c ‖v‖m;T , v ∈ Hm(T ).

Die lokalen Polynomraume P (T ) werden wieder erzeugt via Koordinatentransformation aus


dem Ansatzraum P (T ) auf dem Referenzelement:

P (T ) := q : T → R| q(σ(·)) ∈ P (T ).

Dasselbe gilt fur die zugehorigen Basen ϕ(r), r = 1, ..., R von P (T )

ϕr(x) := ϕr(σ−1(x)) , x ∈ T.

Fur Funktionen v ∈ Hm(Ω) erhalt man dann durch Setzung

IT v :=

R∑

s=1

Dsv(as)ϕs ∈ P (T )

eine zellweise Lagrange/Hermite-Interpolierende IT v ∈ P (T ) mit den Eigenschaften (Man be-achte Drϕs(ar) = δrs .):

DrIT v(ar) =

R∑

s=1

Dsv(as)Drϕs(ar) =

R∑

s=1

Dsv(as)Drϕs(ar)

= Dr v(ar) = Drv(ar), r = 1, ..., R.

Je nach Art der Ableitungsoperatoren Dr laßt sich dies gegebenenfalls auch als eine Interpo-lation mit lokal auf den Einzelzellen T definierten Ableitungsoperatoren Dr bzgl. der (phy-sikalischen) Variablen x ausdrucken; z.B. in den einfachsten Fallen Drv(ar) := v(ar) bzw.Drv(ar) ≈ ∇v(ar) .

Wir beweisen nun den Hauptsatz dieses Abschnittes zur Lagrange/Hermite-Interpolation.

Satz 3.6 (Spez. Interpolationssatz): Fur jedes v ∈ Hm(T ) und die zugehorige Lagrange-Hermite-Interpolierende IT v ∈ P (T ) auf der Zelle T ∈ Th gilt:

|v − IT v|k;T ≤ cIhmTρkT

|v|m;T , 0 ≤ k ≤ m, (3.3.67)

mit Durchmesser und Inkreisradius hT bzw. ρT von T und einer Konstante cI = cI(d,m, T ) .

Beweis: (i) Fur eine Funktion f ∈ L1(T ) bezeichnet f ∈ L1(T ) die zugehorige Transformierte

f(x) := f(x), x = σ−1(x) = B−1x−B−1b ∈ T . (3.3.68)

Die Transformation σ−1 hat die Funktionalmatrix ∇σ−1 = B−1, so daß gilt:

∫

Tf(x) dx = |detB−1|

∫

Tf(σ−1(x)) dx = |detB|−1

∫

Tf(x) dx . (3.3.69)

Wir schatzen nun die Elemente bij sowie b(−1)ij der Matrizen B und B−1 ab. Jedes x ∈ R

d

mit |x| = ρ gestattet mit zwei Punkten ξ, η ∈ T die Darstellung x = ξ − η, wobei ξ etwaals Mittelpunkt der Inkugel von T gewahlt werden kann. Dann sind ξ = B−1ξ − B−1b, η =B−1η −B−1b ∈ T , und wir erhalten

|B−1x| = |B−1ξ −B−1b−B−1η +B−1b| = |ξ − η| ≤ h. (3.3.70)


Da alle Matrizennormen auf Rd×d aquivalent sind, gilt mit einer Konstante c = c(d)

maxi,j=1,...,d

|b(−1)ij | ≤ c sup

x∈Rd

|B−1x||x| = c sup

|x|=ρ

|B−1x||x| ≤ c

h

ρ. (3.3.71)

Analog wird bewiesen:

maxi,j=1,...,d

|bij | ≤ ch

ρ. (3.3.72)

(ii) Es seien nun T ∈ Th sowie v ∈ Hm(T ) beliebig gegeben. Es ist IT v ∈ P (T ) die Interpolie-rende von v auf T und

IT v(·) = IT v(σ(·)) ∈ P (T ) (3.3.73)

die Interpolierende der Transformierten v ∈ Hm(T ) auf T . Nach Satz 3.1 gilt auf T :

|v − IT v|k;T ≤ c |v|m;T , 0 ≤ k ≤ m, (3.3.74)

mit einer festen Konstante c = c(d,m, T ) . Durch Koordinatentransformation zwischen T undT werden wir nun zeigen, daß

|v − IT v|k;T ≤ c

ρk|detB|1/2 |v − IT v|k;T ,

|v|m;T ≤ c hm |detB|−1/2 |v|m;T ,

mit Konstanten c = c(d,m, T ). Diese beiden Beziehungen ergeben dann zusammen mit (3.3.74)die Behauptung.(iii) Fur die Ableitungen von v bzw. v gilt mit x = σ−1(x) = B−1x−B−1b :

∂iv(x) = ∂iv(x) = ∂iv(σ−1(x)) =

d∑

j=1

∂j v(x) ∂iσ−1j (x) =

d∑

j=1

∂j v(x) b(−1)ji ,

∂iv(x) = ∂iv(σ(x)) =

d∑

j=1

∂jv(x) ∂iσj(x) =

d∑

j=1

∂jv(x)bji =

d∑

j=1

∂jv(x)bji ,

und folglich

|∂iv(x)| ≤ ch

ρmaxj=1,...,d

|∂j v(x)| |∂iv(x)| ≤ ch

ρmaxj=1,...,d

|∂jv(x)|.

Fur allgemeine Ableitungen Dα bzw. Dα der Ordnung k = |α| gewinnen wir durch k-maligeAnwendung dieser Beziehungen:

|Dαv(x)| ≤ c maxi,j=1,...,d

|b(−1)ij ||α| max

|β|=|α||Dβ v(x)| ≤ c

( hρ

)|α|max|β|=|α|

|Dβ v(x)|,

|Dαv(x)| ≤ c maxi,j=1,...,d

|bij ||α| max|β|=|α|

|Dβv(x)| ≤ c(hρ

)|α|max|β|=|α|

|Dβv(x)| .


Mit Hilfe dieser Abschatzungen und der Substitutionsformel (3.3.69) folgt nun

∫

T|Dαv(x)|2 dx = |detB|

∫

T|Dαv(x)|2 dx

≤ c |detB|( hρ

)2|α|max|β|=|α|

∫

T|Dβ v(x)|2 dx

∫

T|Dαv(x)|2 dx ≤ c

(hρ

)2|α|max|β|=|α|

∫

T|Dβv(x)|2 dx

≤ c |detB|−1(hρ

)2|α|max|β|=|α|

∫

T|Dβv(x)|2 dx .

Damit ist fur 0 ≤ k ≤ m bewiesen:

|v|k;T ≤ c |detB|1/2( hρ

)k|v|k;T , |v|k;T ≤ c |detB|−1/2

(hρ

)k|v|k;T .

Anwendung dieser Beziehungen fur v und v − IT v ergibt schließlich wegen 0 < ρ ≤ h ≤ 1 diebehauptete Abschatzungen (3.3.67). Q.E.D.

Bemerkung 3.6: Die Fehlerabschatzung (3.3.67) fur die Polynominterpolation hat naturlicheVerallgemeinerungen auf andere Halbnormen | · |T sowie auf andere Regularitatsstufen v ∈Hm,p(T ) , 1 ≤ p ≤ ∞ . Wir geben ohne Beweis das folgende allgemeine Resultat an:

|v − IT v|k,q;T ≤ cihm−d/pT

ρk−d/qT

|v|m,p;T , (3.3.75)

fur 0 ≤ k ≤ m, 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ , mit einer Konstante ci = ci(d, k,m, p, q, T ) . Fur spatereZwecke sind hiervon insbesondere die Falle p = q = 1 (fur m ≥ 2) , p = q = ∞ sowiep = 2, q = ∞ (fur k ≤ m+ 2) von Interesse. Z.B. gilt fur d = 2, m = 2, q = ∞, p = 2 :

maxT

|v − IT v| ≤ cihT |v|2,2;T . (3.3.76)

Auf ahnliche Art wie im Beweis von Satz 3.6 gewinnt man durch Transformation auf dasEinheitselement T die folgende sog.

”inverse Beziehung“ fur finite Elemente:

Satz 3.7 (Inverse Beziehung): Unter den obigen Voraussetzungen gilt auf jeder Zelle T ∈Th fur Finite-Elemente-Funktionen v ∈ P (T ) mit einer Konstante c = c(d, ρT , k, s):

|v|k;T ≤ chsTρkT

|v|s;T , 0 ≤ s ≤ k ≤ m. (3.3.77)

Beweis: Fur Polynome q ∈ P (T ) gilt wegen der Aquivalenz von Normen auf dem (endlichdimensionalen) Quotientenraum P (T )/Pk−1(T ) mit einer Konstante c = c(d,m, T ) :

|q|k;T ≤ c |q|s;T , 0 ≤ s ≤ k ≤ m. (3.3.78)

Die Behauptung ergibt sich nun wieder durch Transformation auf die Zelle T . Q.E.D.


Bemerkung 3.7: Analoge Abschatzungen wie die in Satz 3.6 und Satz 3.7 gelten auch furTensorprodukt-Polynomansatze auf Vierecken bzw. Hexaedern.

Wir wollen diese Resultate auf die obigen konkreten Beispiele anwenden. In diesen sind alleformulierten Bedingungen erfullt. Insbesondere gilt die

”uniform shape“ Bedingung

suph>0

maxT∈Th

hTρT

≤ c.

Dann folgt aus Satz 3.6 fur die FE-Ansatzraume V(m−1)h ⊂ H1

0 (Ω) vom Polynomgrad m−1 ∈ N0

die Interpolationsfehlerabschatzungen

|v − IT v|k;T ≤ c hm−kT |v|m;T , k = 0, ...,m, T ∈ Th, (3.3.79)

mit Konstanten c = c(d,m, T ). Manchmal mochte man den Interpolationsfehler auch uber denRand der Zelle oder punktweise abschatzen. Hierfur gilt

‖v − IT v‖∂T ≤ chm−1/2T ‖∇2v‖m;T , (3.3.80)

und z.B. in zwei Dimensionen

maxx∈T

|v − IT v| ≤ chm−1T ‖∇2v‖m;T . (3.3.81)

Als Folgerung aus diesem lokalen Abschatzungen erhalten wir die folgenden globale Approxima-tionsabschatzungen

|v − Ihv|k ≤ c hm−k |v|m, k = 0, ...,m. (3.3.82)

Fur”lineare“ finite Elemente gilt also speziell

‖u− Ihu‖ + h‖∇(u− Ihu)‖ ≤ ch2‖∇2u‖. (3.3.83)

In diesem Fall ergibt die”inverse“ Beziehung (3.3.77):

‖∇vh‖ ≤ h−1‖vh‖, vh ∈ V(1)h . (3.3.84)

Entsprechend gilt fur”quadratische“ finite Elemente

‖u− Ihu‖ + h‖∇(u− Ihu)‖ ≤ ch3‖∇3u‖, (3.3.85)

und

‖∇2vh‖ ≤ h−2‖vh‖, vh ∈ V(2)h . (3.3.86)

Damit ist jetzt die theoretische Grundlage fur die a priori Fehlerabschatzungen fur das Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren aus Satz 3.1 geschaffen.

3.4 A priori Fehleranalyse 109

3.4 A priori Fehleranalyse

Die in Abschnitt 3.3 hergeleiteten Abschatzungen fur den Fehler bei der Interpolation mitstuckweise polynomialen Funktionen sind die Basis fur die a priori Fehleranalyse des Finite-Elemente-Verfahrens. Wir formulieren die folgende Verallgemeinerung von Satz 3.1 fur FE-Approximationen allgemeiner Ordnung m ≥ 2 ,

(∇uh,∇ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ Vh, (3.4.87)

der Poisson-Gleichung. Dabei ist die sog.”Ordnung“ eines FE-Verfahrens im wesentlichen durch

den Polynomgrad der verwendeten Ansatzfunktionen bestimmt, d.h. durch die Beziehung Pm−1 ⊂P (T ) fur alle T ∈ Th .

Korollar 3.2 (Allg. FE-Konvergenz): Fur den Fehler eh := u−uh einer FE-Methode mitAnsatzraumen Vh ⊂ H1

0 (Ω) der Ordnung m ≥ 2 zur Approximation der Poisson-Gleichung giltdie a priori Fehlerabschatzung:

‖eh‖ + h‖∇eh‖ ≤ c hm ‖∇mu‖ . (3.4.88)

Wir wollen eine Schwache dieses Resultats nicht unerwahnt lassen. Im allgemeinen sind Losun-gen u ∈ H1

0 (Ω) elliptischer Gleichungen zweiter Ordnung uber Gebieten mit Polygonrand nichtaus Hm(Ω) fur m ≥ 3. An den Ecken von ∂Ω treten starke Singularitaten der Ableitungen vonu auf. Die obige Voraussetzung u ∈ Hm(Ω) ist also fur m > 2 unrealistisch. Finite Elementehoherer Ordnung m > 2 konnen jedoch bei Gebieten mit hinreichend glattem Rand ∂Ω er-folgreich verwendet werden, denn in diesem Fall kann die Regularitatstheorie meist u ∈ Hm(Ω)sichern. Dabei sind aber besondere Maßnahmen, wie z. B. die Verwendung isoparametrischerAnsatze, zur Approximation entlang des krummen Randes erforderlich.

Wir haben gesehen, daß der Fehler z.B. bei”linearen“ finiten Elementen gemessen in der L2-

Norm eine verbesserte Konvergenzordnung O(h2) gegenuber der von O(h) in der Energie-Normzulaßt. Es stellt sich die Frage, ob man durch weitere Abschwachung der Norm vielleicht nochhohere Konvergenzordnungen erzielen kann. Diese Hoffnung wird zunachst bestarkt durch dieBeobachtung, daß dies fur die L2-Projektion durchaus der Fall ist. Die in Frage kommenden Nor-men werden illustrativ als

”negative“ Sobolew-Normen bezeichnet und sind in den einfachsten

Fallen definiert durch

‖v‖−1 := supϕ∈V

(v, ϕ)

‖ϕ‖1, ‖v‖−2 := sup

ϕ∈V ∩H2(Ω)

(v, ϕ)

‖ϕ‖2.

wobei wieder V := H10 (Ω) .

Hilfssatz 3.6 (L2-Projektion): Fur die L2-Projektion Ph : V → Vh auf den Raum V(1)h der

”linearen“ finiten Elemente gilt die Fehlerabschatzungen

‖u− Phu‖−2 + h‖u− Phu‖−1 + h2‖u− Phu‖ ≤ ch4 ‖∇2u‖ . (3.4.89)

Beweis: Zunachst rekapitulieren wir die ubliche”Bestapproximationseigenschaft“ der L2-Projektion:

‖u− Phu‖ = minϕh∈V (1)

h

‖u− ϕh‖ . (3.4.90)


Daraus folgt mit der lokalen Interpolationsabschatzung (3.3.79) die Beziehung

‖u− Phu‖ ≤ ch2 ‖∇2u‖ . (3.4.91)

Mit einem beliebigen ϕ ∈ H10 (Ω) gilt entsprechend fur k ∈ 1, 2 :

(u− Phu, ϕ) = (u− Phu, ϕ− Phϕ)

≤ ‖u− Phu‖ ‖ϕ − Phϕ‖≤ ch2+k ‖∇2u‖ ‖∇kϕ‖ .

Dies impliziert

supϕ∈H1

0 (Ω)∩Hk(Ω)

(u− Ph, ϕ)

‖ϕ‖k≤ ch2+k ‖∇2u‖ ,


Der Beweis von Hilfssatz 3.6 zeigt, daß eine weitere Erhohung jenseits O(h4) der Approximati-

onsordnung der L2-Projektion auf den Ansatzraum V(1)h auch in einer noch schwacheren Norm

nicht mehr moglich ist. Fur die”Ritz-Projektion“ Rh : V → V

(1)h ist in diesem Fall sogar O(h2)

die Obergrenze fur die erreichbare Ordnung. Dies zeigt der folgende Satz.

Satz 3.8 (Ritz-Projektion): Fur die Ritz-Projektion Rh : V → V(1)h auf den Raum der

”linearen“ finiten Elemente gilt die Abschatzung

‖u−Rhu‖−1 ≥ c(f) ‖∇(u −Rhu)‖2, (3.4.92)

mit einer positiven Konstante c(f) > 0 .

Beweis: Sei f ∈ H10 (Ω) . Fur die Losung u ∈ V der Gleichung −∆u = f gilt unter Ausnutzung

der”Galerkin-Orthogonalitat“:

(u−Rhu, f) = (∇(u−Rhu),∇u) = ‖∇(u−Rhu)‖2.

Wegen

supϕ∈V

(u−Rhu, ϕ)

‖ϕ‖1≥ (u−Rhu, f)

‖f‖1

impliziert dies die Behauptung. Q.E.D.

Da die Energie-Fehlerabschatzung

‖∇(u−Rhu)‖ ≤ ch ‖∇2u‖

bzgl. der Ordnung bestmoglich ist, folgt aus (3.4.92) die Unmoglichkeit einer Fehlerabschatzungmit einer Ordnung großer als zwei fur

”lineare“ finite Elemente.

3.4.1 Punktweise Fehlerabschatzung

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir gesehen, daß die Methode der finiten Elementeals Projektionsmethode zunachst ganz naturlich zu a priori Abschatzungen in der

”Energienorm“


‖∇e‖ und dann uber ein Dualitatsargument auch zu verbesserten Abschatzungen in der L2-Norm ‖e‖ fuhrt. Diese Konvergenzaussagen im

”quadratischen Mittel“ gestatten aber noch

keinen unmittelbaren Schluß auf die punktweise Konvergenz des Verfahrens. Dieser Frage solljetzt wieder anhand des einfachen Modellproblems

”Poisson-Gleichung“,

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω, (3.4.93)

auf einem (konvexen) Polygongebiet Ω ⊂ R2 nachgegangen werden. Wir beschranken uns da-

bei auf die Approximation (3.4.87) mit stuckweise linearen Ansatzen V(1)h ⊂ V auf regularen

Triangulierungen. Wir rekapitulieren hierfur die a priori Fehlerabschatzung

‖e‖ + h‖∇e‖ ≤ ch2 ‖∇2u‖ , (3.4.94)

wobei die Konstante c wesentlich durch die Konstante in der Interpolationsfehlerabschatzung

‖∇(u− Ihu)‖T ≤ cih ‖∇2u‖T , T ∈ Th, (3.4.95)

bestimmt ist. Wir erinnern daran, daß im vorliegenden Fall eines konvexen Grundgebiets jedesv ∈ V mit ∆v ∈ L2(Ω) automatisch in H2(Ω) ist und der a priori Abschatzung genugt:

‖∇2v‖ ≤ ‖∆v‖. (3.4.96)

Satz 3.9 (Sub-optimale L∞-Norm-Fehlerabschatzung): Unter den obigen Voraussetzun-gen konvergiert die Methode der finiten Elemente punktweise mit der Ordnung O(h) :

maxΩ

|e| ≤ ch‖∇2u‖ . (3.4.97)

Beweis: Sei T ein beliebiges Dreieck aus Th. Fur eine Funktion vh ∈ V(1)h gilt dann

maxT

|vh| ≤ c|T |−1

∫

T|vh| dx. (3.4.98)

Dies folgt leicht mit Hilfe der Transformation auf die Referenzzelle T ( dx ≈ |T |dx ) und derdort geltenden Beziehung (Aquivalenz von Normen)

maxT

|vh| ≤ c

∫

T|vh| dx.

Mit der Knoteninterpolierenden Ihu ∈ V(1)h zu u ∈ V ∩H2(Ω) gilt

maxT

|u− Ihu| ≤ chT ‖∇2u‖T . (3.4.99)

Damit erschließen wir dann

maxT

|e| ≤ maxT

|u− Ihu| + maxT

|Ihe|

≤ maxT

|u− Ihu| + c|T |−1

∫

T|Ihe| dx

≤ maxT

|u− Ihu| + c|T |−1

∫

T|e| dx ≤ chT ‖∇2u‖T + ch−1

T ‖e‖T .


Mit Hilfe der L2-Fehlerabschatzung (3.4.94) folgt also die Behauptung. Q.E.D.

Bemerkung 3.8: Unter der bloßen Annahme u ∈ V ∩H2(Ω) ist die Fehlerabschatzung (3.4.97)bzgl. der h-Potenz optimal. Um dies einzusehen, betrachte man z.B. auf dem EinheitskreisB1 = x ∈ R

2| |x| < 1 die Funktionen

uh(x) := (|x|2 + h4)1/2

Offenbar ist uh ∈ H2(B1) , und es gilt

‖∇2uh‖B1 ≤ c( ∫

B1

(|x|2 + h4)−1 dx)1/2

≤ c | ln(h)|1/2.

Wir nehmen nun an, daß unser Losungsgebiet Ω den Kreis B1 enthalt und die Funktionenuh geeignet zu Funktionen uh ∈ H1

0 (Ω) ∩ H2(Ω) fortgesetzt sind. Ferner gehore zu jeder derTriangulierungen Th ein Dreieck T0 mit Durchmesser h und dem Inkreismittelpunkt a0 = 0.Dann ist in den Eckpunkten ai und dem Mittelpunkt a0 von T0 stets

uh(ai) ≥ h, uh(a0) = h2.

Wurde nun fur die Ritz-Projektion uhh ∈ Vh zu uh mit einem ε > 0 gelten

maxT0

|uh − uhh| ≤ ch1+ε‖∇2uh‖Ω,

so ergabe sich fur hinreichend kleines h im Widerspruch zur Linearitat der uhh auf T0 :

|uhh(a0)| ≤ |uhh(a0) − uh(a0)| + |uh(a0)| ≤ ch1+ε1 , 0 < ε1 < ε,

|uhh(ai)| ≥ |uh(ai)| − |uh(ai) − uhh(ai)| ≥ ch.

Numerische Experimente zeigen, daß im Falle hoherer Regularitat von u (etwa u ∈ C2(Ω))die optimale Ordnung O(h2) des L2-Fehlers auch fur die punktweise Konvergenz vorliegt. Einahnliches Phanomen haben wir bereits bei der Differenzenapproximation mit dem 5-Punkte-Operator gesehen, bei dem sich auf gleichformigen Gittern die Konvergenzordnung O(h) imFalle u ∈ C3(Ω) auf O(h2) im Falle u ∈ C4(Ω) erhoht. Fur die Methode der finiten Elementebeweisen wir nun das folgende optimale Resultat auf allgemeinen regularen Gittern:

Satz 3.10 (Optimale L∞-Abschatzung): Im Falle u ∈ V ∩ C2(Ω) gilt die Konvergenz-abschatzung

supΩ

|e| ≤ ch2| ln(h)| + 1maxΩ

|∇2u|. (3.4.100)

Beweis: Wir notieren zunachst die Interpolationsfehlerabschatzung

supΩ

|u− Ihu| + h supΩ

|∇(u− Ihu)| ≤ ch2 supΩ

|∇2u| (3.4.101)

I) Fur ein h > 0 sei T∗ ∈ Th beliebig, aber fest gewahlt. O.B.d.A. wird im folgenden h ≤ 12

angenommen. Mit der Knoteninterpolierenden Ihu ∈ V (1)h von u gilt wieder (siehe Beweis von


Satz 3.9)

maxT∗

|e| ≤ cmaxT∗

|u− Ihu| + c|T∗|−1

∫

T∗

|e| dx

≤ ch2T∗ max

T∗|∇2u| + c|T∗|−1

∫

T∗

|e| dx.

Damit ist die Abschatzung des L∞-Fehlers zuruckgefuhrt auf eine lokale L1-Fehlerabschatzung.Mit der durch

δh :≡ |T∗|−1sign(e) in T∗, δh :≡ 0 sonst,

definierten Funktion δh ∈ L2(Ω) (”regularisierte“ Dirac17 -Funktion) gilt weiter

|T∗|−1

∫

T∗

|e| dx = (δh, e).

II) Im nachsten Schritt wird wieder ein Dualitatsargument verwendet. Wir betrachten das Hilfs-problem

−∆gh = δh in Ω, gh = 0 auf ∂Ω. (3.4.102)

Die Funktion gh kann als”regularisierte“ Greensche Funktion angesehen werden. Damit erhalten

wir

|T∗|−1

∫

T∗

|e| dx = (∇e,∇gh). (3.4.103)

Unter Verwendung der durch

(∇ghh ,∇ϕh) = (∇gh,∇ϕh) ∀ϕh ∈ V(1)h ,

definierten”Ritz-Projektion“ ghh ∈ V

(1)h von gh erhalten wir durch zweimalige Anwendung der

Galerkin-Orthogonalitat die Beziehung

|T∗|−1

∫

T∗

|e| dx = (∇e,∇(gh − ghh)) = (∇(u− Ihu),∇(gh − ghh)). (3.4.104)

Mit der Holderschen Ungleichung folgt

|T∗|−1

∫

T∗

|e| dx ≤ maxΩ

|∇(u− Ihu)|∫

Ω|∇(gh − ghh)| dx. (3.4.105)

Unter Beachtung der Interpolationsabschatzung (3.4.101) erhalten wir schließlich die Beziehung

maxT∗

|e| ≤ chh+

∫

Ω|∇(gh − ghh)| dx

max

Ω|∇2u|. (3.4.106)

Die punktweise Abschatzung des Fehlers e ist also zuruckgefuhrt auf eine globale L1-Fehler-abschatzung fur den Gradienten der

”Greenschen Funktion“: ∇(gh − ghh) . Dieser wird unten

17Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984): franzosischer Physiker und Mathematiker; Prof. in Cambridge; wich-tige Beitrage zur Quanten Mechanik und Kosmologie, 1933 Nobel-Preis.


weiter abgeschatzt. Dazu benotigen wir einige a priori Abschatzungen fur gh , die im folgendenbereitgestellt werden.

III) Sei x∗ der Inkreismittelpunkt von T∗ . Wir definieren die Gewichtsfunktion

σ(x) := (|x− x∗|2 + κ2h2)1/2.

Durch Nachrechnen verifiziert man leicht die Beziehungen ( 0 < h ≤ 12 )

κh ≤ σ ≤ c, |∇σ| ≤ c∗, |∇2σ| ≤ cσ−1, ‖σ−1‖ ≤ c | ln(h)|1/2,

mit von h und κ unabhangigen Konstanten. Fur die Großen σT := maxT σ und σT := minT σgilt daher

σT ≤ σT + hmaxT

|∇σ| ≤ σT + c∗h,

und bei Wahl von κ := 2c∗ (unabhangig von h):

σT ≤ σT + 12 σT ,

und damit

maxT∈Th

σTσT

≤ 2. (3.4.107)

Hilfssatz 3.7 (Greensche Funktion): Fur die regularisierte”Greensche Funktion“ gh gel-

ten die a priori Abschatzungen

supΩ

|gh| ≤ c | ln(h)|, (3.4.108)

‖∇gh‖ + ‖σ∇2gh‖ ≤ c | ln(h)|1/2, (3.4.109)

‖∇2gh‖ ≤ ch−1, (3.4.110)

mit von h ∈ (0, 12 ] unabhangigen Konstanten c.

Beweis: (i) Die”richtige“ Greensche Funktion g(·) = g(x∗, ·) zum Aufpunkt x∗ erlaubt die

Abschatzung (Beweis mit Hilfe des Maximumprinzips)

|g(x)| ≤ c | ln(|x− x∗|)| + 1 .

Konstruktionsgemaß folgt damit

|gh(x)| = |(∇gh,∇g)| = |(δh, g)Ω| ≤ ch−2

∫

T∗

|g| dx ≤ c | ln(h)| + 1 .

Dies impliziert die Abschatzung (3.4.108).(ii) Zum Beweis von (3.4.110) verwenden wir die ubliche a priori L2/H2-Abschatzung

‖∇2gh‖ ≤ c‖δh‖ ≤ ch−1.

(iii) Als nachstes notieren wir die einfache a priori Abschatzung

‖∇2gh‖ ≤ ‖∆gh‖ ≤ ch−1. (3.4.111)


Weiter gilt‖∇gh‖2 = (δh, gh) ≤ cmax

Ω|gh| ≤ c | ln(h)|.

Dies impliziert den ersten Teil der Abschatzung (3.4.109).(iii) Schließlich setzen wir ξ := x− x∗ und finden wegen

|ξi∇2gh| ≤ |∇2(ξigh)| + |∇gh|

die Beziehung

‖σ∇2gh‖2 =

2∑

i=1

‖ξi∇2gh‖2 + κ2h2‖∇2gh‖2

≤2∑

i=1

‖∇2(ξig

h)‖2 + ‖∇gh‖2

+ κ2h2‖∇2gh‖2.

Mit Hilfe der ublichen a priori L2/H2-Abschatzung (3.4.96) folgt

‖∇2(ξigh)‖ ≤ ‖∆(ξig

h)‖ ≤ ‖ξi∆gh‖ + ‖∇gh‖≤ ‖ξiδh‖ + ‖∇gh‖ ≤ c+ c | ln(h)|1/2.

Die vorausgehenden Abschatzungen implizieren dann

‖σ∇2gh‖ ≤ c

1 + | ln(h)|1/2,

woraus (3.4.109) folgt. Dies vervollstandigt den Beweis von (3.4.109). Q.E.D.

IV) Wir kehren nun zum Beweis des Satzes zuruck und schatzen wie folgt ab:

∫

Ω|∇(gh − ghh)| dx ≤ ‖σ−1‖ ‖σ∇(gh − ghh)‖ ≤ c | ln(h)|1/2‖σ∇(gh − ghh)‖.

Durch Ausdifferenzieren folgt weiter

‖σ∇(gh − ghh)‖2 = (∇(gh − ghh),∇(σ2(gh − ghh))) − (∇(gh − ghh), (gh − ghh)∇σ2)

=: E1 − E2.

Die Terme E1 und E2 werden im folgenden separat abgeschatzt. Im Hinblick auf die Galerkin-Orthogonalitat gilt

E1 = (∇(gh − ghh),∇(σ2(gh − ghh) − ψh))

mit der Knoteninterpolierenden ψh := Ih∇(σ2(gh−ghh)) ∈ V(1)h . Dies wird weiter abgeschatzt

durch

E1 ≤∑

T∈Th

‖σ∇(gh − ghh)‖T ‖σ−1∇(σ2(gh − ghh) − ψh)‖T

≤ 14‖σ∇(gh − ghh)‖2 + c

∑

T∈Th

‖σ−1∇(σ2(gh − ghh) − ψh)‖2T .


Mit Hilfe der Interpolationsfehlerabschatzung (3.4.99) werden die einzelnen Summanden wiefolgt abgeschatzt:

‖σ−1∇(σ2(gh − ghh) − ψh)‖2T ≤ σ−2

T ‖∇(σ2(gh − ghh) − ψh)‖2T

≤ c σ−2T h2

T ‖∇2(σ2(gh − ghh))‖2T

≤ c σ−2T h2

T

‖gh − ghh‖2

T + ‖σ∇(gh − ghh)‖2T + ‖σ2∇2gh‖2

T

≤ c ‖gh − ghh‖2T + c σ−2

T σ2Th

2T

‖∇(gh − ghh)‖2

T + ‖σ∇2gh‖2T

.

Dies ergibt wegen (3.4.107):

E1 ≤ 14‖σ∇(gh − ghh)‖2 + c ‖gh − ghh‖2 + c h2

‖∇(gh − ghh)‖2 + ‖σ∇2gh‖2

.

Die schon bekannten L2-Fehlerabschatzungen liefern weiter

E1 ≤ 14‖σ∇(gh − ghh)‖2 + ch2

h2‖∇2gh‖2 + ‖σ∇2gh‖2

,

sowie unter Beachtung der Abschatzungen von Hilfssatz 3.7

E1 ≤ 14‖σ∇(gh − ghh)‖2 + ch2| ln(h)|.

Fur den zweiten Term gilt wegen |∇σ2| ≤ cσ :

E2 ≤ c‖σ∇(gh − ghh)‖‖gh − ghh‖ ≤ 14‖σ∇(gh − ghh)‖2 + c‖gh − ghh‖2

sowie mit den Argumenten von eben:

E2 ≤ 14‖σ∇(gh − ghh)‖2 + ch2.

Kombination der Abschatungen fur E1 und E2 ergibt schließlich

‖σ∇(gh − ghh)‖2 ≤ 12‖σ∇(gh − ghh)‖2 + ch2| ln(h)|,

und damit die Behauptung. Q.E.D.

Der logarithmische Term | ln(h)| in der Abschatzung (3.4.100) laßt sich auf allgemeinen Git-tern nicht vermeiden. Dies wird durch numerische Tests und auch durch theoretische Analysebestatigt. Auf gleichformigen Gittern (Je zwei benachbarte Dreiecke bilden ein Parallelogramm.)erhalt man unter der starkeren Glattheitsbedingung u ∈ C2+α(Ω) allerdings die optimale Kon-vergenzordnung O(h2). Vergleicht man dieses Resultat mit dem entsprechenden fur die Diffe-renzenapproximation mit dem 5-Punkte-Operator, so stellen wir eine deutliche Abschwachungder Regularitatsanforderungen um fast zwei Stufen fest.

Auf Polygongebieten ist die Bedingung u ∈ H2,∞(Ω) fur die schwache Losung von (3.4.93)im allgemeinen unrealistisch. Bei den Ecken konnen die zweiten Ableitungen Singularitatenhaben. Auf konvexen Polygongebieten ist gerade die Voraussetzung u ∈ H2(Ω) naturlich, d.h.stets erfullt, wogegen u ∈ H2,∞(Ω1) nur auf Teilgebieten Ω′

1 ⊂ Ω mit positivem Abstand zuden Eckpunkten gilt. In diesem Fall haben wir das folgende

”lokale“ Resultat:

Satz 3.11 (Lokales Fehlerverhalten): Sei Ω1 ⊂ Ω ein Teilgebiet mit positivem Abstand δ1zu den Eckpunkten von Ω und u ∈ H2(Ω) ∩ C2(Ω1). Dann gilt auf jedem zweiten Teilgebiet


Ω2 ⊂ Ω1 mit Abstand δ2 > δ1 zu den Eckpunkten die Fehlerabschatzung

supΩ2

|e| ≤ ch2

| ln(h)| sup

Ω1

|∇2u| + ‖∇2u‖Ω

. (3.4.112)

Beweis: Der technisch aufwendige Beweis kann im Rahmen dieser Vorlesung nicht gefuhrtwerden. Q.E.D.

Bemerkung 3.9: Zum Abschluß bemerken wir noch, daß sich fur finite Elemente hoherer Ord-nung (Polynomgrad m− 1 ≥ 2) zu (3.4.100) analoge punktweise Fehlerabschatzungen unter derVoraussetzung u ∈ Cm(Ω) herleiten lassen:

supΩ

|e| ≤ chm supΩ

|∇mu|. (3.4.113)

Bemerkenswerterweise tritt dabei ab Polynomordnung m− 1 = 2 der storende logarithmischeTerm | ln(h)| nicht auf. Dasselbe gilt auch fur den niedrigsten Ansatzgrad m−1 = 1 , wenn dermaximale Fehlergradient betrachtet wird:

supΩ

|∇e| ≤ ch supΩ

|∇2u|. (3.4.114)


3.5 Implementierungsaspekte

Im folgenden wollen wir einige Fragen im Zusammenhang mit der praktischen Realisierung vonFinite-Elemente-Methoden diskutieren. Dazu betrachten wir als Modellfall die 1. RWA einesallgemeineren (elliptischen) Differentialoperators,

Lu := −∇a∇u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω, (3.5.115)

mit moglicherweise variablem Koeffizienten a = a(x) ≥ α > 0 auf einem (konvexen) Polygonge-biet Ω ⊂ R

2 . Die Diskretisierung erfolgt wieder auf Ansatzraumen Vh ⊂ H10 (Ω) zu einer Folge

von (gleichmaßig) regularen Zerlegungen Th = T des Grundgebiets Ω ⊂ Rd (d = 2, 3),

a(u, ϕ) = l(ϕ) ∀ϕh ∈ Vh. (3.5.116)

mit den bilinearen bzw. linearen Formen

a(u, ϕ) := (a∇uh,∇ϕh), l(ϕ) := (f, ϕh).

Die Aufstellung des zugehorigen linearen Gleichungssystems erfordert in der Regel die Anwen-dung numerischer Integration, was zu einem zusatzlichen Fehler fuhrt.

3.5.1 Aufbau der Systemmatrizen und Vektoren

Im Gegensatz zu den Differenzenverfahren auf strukturierten Gittern lassen sich die algebrai-schen Gleichungssysteme der Finite-Elemente-Verfahren auf allgemeinen Zerlegungen Th in derRegel nicht explizit

”per Hand“ aufstellen.

Mit der Knotenbasis ϕ(n)h , n = 1, ..., N des Finite-Elemente-Raumes Vh ⊂ H1

0 (Ω) sinddie Systemmatrizen A = (anm)Nn,m=1 (

”Steifigkeitsmatrix“) und M = (mnm)Nn,m=1 (

”Massen-

matrix“) sowie der”Lastvektor“ b = (bn)

Nn=1 gebildet gemaß

anm = a(ϕ(m)h , ϕ

(n)h ), mnm = (ϕ

(m)h , ϕ

(n)h ), bn = l(ϕ

(n)h ).

Beide Matrizen sind konstruktionsgemaß symmetrisch und positiv-definit. Ihre großten undkleinsten Eigenwerte seien λmax(A) , λmin(A) bzw. λmax(M) , λmin(M) , und die zugehorigenSpektralkonditionen:

κ2(A) =λmax(A)

λmin(A), κ2(M) =

λmax(M)

λmin(M).

Wir rekapitulieren die folgenden Beziehungen zwischen einer Finite-Elemente-Funktion vh ∈ Vhund ihrem zugehorigen Knotenvektor ξ = (ξn)

Nn=1 ∈ R

N :

vh =N∑

n=1

ξnϕ(n)h , ‖vh‖2 = 〈Mξ, ξ〉, a(vh, vh) = 〈Aξ, ξ〉,

wobei 〈·, ·〉 das euklidische Skalarprodukt bezeichnet; die euklidische Vektornorm ist | · | . DerKnotenvektor ξ ist bestimmt durch das lineare Gleichungssystem

Aξ = b (3.5.117)

3.5 Implementierungsaspekte 119

Zur Aufstellung des Systems (3.5.117) bedient man sich in der Praxis eines zell-orientiertenProzesses, des sog.

”Assemblierens“ (englischen

”assembling“). Dabei wird das Konzept der

”Element-(Last)-Vektoren“ und

”Element-(Steifigkeits)-Matrizen” verwendet. Fur einen Kno-

tenvektor ξ ∈ RN und eine Zelle T ∈ Th ist dabei ξT = (ξT1 , ..., ξ

Tn , ..., ξ

TN )T mit

ξTn := ξn falls ϕ(n)h 6≡ 0 auf T, ξTn := 0 falls ϕ

(n)h ≡ 0 auf T.

Die zugehorigen Element-Matrizen und -Vektoren haben die Form

AT = (aTnm)Nn,m=1 :=((a∇ϕ(m)

h ,∇ϕ(n)h )T

)Nn,m=1

,

MT = (mTnm)Nn,m=1 :=

((ϕ

(m)h , ϕ

(n)h )T

)Nn,m=1

,

bT = (bTn )Nn=1 :=((f, ϕ

(n)h )T

)Nn=1

.

Dabei werden naturlich nur die wesentlichen, von Null verschiedenen Elemente von AT , MT

und bT gespeichert. Die einzelnen Gesamtmatrizen und Vektoren werden dann gebildet durchAssemblierung der entsprechenden Element-Matrizen und -Vektoren gemaß :

A =∑

T∈Th

AT , M =∑

T∈Th

MT , b =∑

T∈Th

bT .

Entsprechend gilt

〈Aξ, ξ〉 =∑

T∈Th

〈AT ξT , ξT 〉, 〈Mξ, ξ〉 =∑

T∈Th

〈MT ξT , ξT 〉.

Die Element-Beitrage werden in der Regel durch Transformation auf ein Referenzelement be-rechnet. Wir diskutieren hier nur den Fall von Dreieckszerlegungen. Sei also wieder σT : T → Tdie affin-lineare Abbildung des Einheitsdreiecks T auf das Dreieck T :

x = σT (x) = BT x+ bT , x = σ−1T (x) = B−1

T x−B−1T bT .

Die charakteristischen Parameter von T sowie T sind mit hT , ρT bzw. h, ρ bezeichnet. Furtransformierte Funktionen v(x) = v(x) gilt dann

∫

Tv(x) dx = |detBT |

∫

Tv(x) dx,

woraus insbesondere |detBT | = |T ||T |−1 ≈ hdT folgt. Ferner ist mit der Inversen B−1T =

(b(−1)ij )dij=1 :

∂iv(x) = ∂iv(x) = ∂iv(x) =

d∑

j=1

∂j v(x)∂ixj =

d∑

j=1

∂j v(x)b(−1)ji .

bzw. ∇v(x) = B−TT ∇v(x) . Die Elemente der Element-Matrizen AT und MT sowie des Element-


Vektors bT transformieren sich wie folgt:

aTnm =

∫

Ta∇ϕ(m)

h ∇ϕ(n)h dx = |detBT |

∫

Ta∇ϕ(m)

h ∇ϕ(n)

h dx

= |detBT |∫

TaB−T

T ∇ϕ(m)h B−T

T ∇ϕ(n) dx =: |detBT | aTnm ,

mTnm =

∫

Tϕ

(m)h ϕ

(n)h dx = |detBT |

∫

Tϕ

(m)h ϕ

(n)h dx =: |detBT | mnm .

bTn =

∫

Tfϕ

(n)h dx = |detBT |

∫

Tf ϕ

(n)h dx =: |detBT | bn.

Die Werte aTnm , mTnm und bTn auf der Referenzzelle werden nun mit Hilfe von Quadraturformeln

auf T berechnet. Dazu werden wir weiter unten noch mehr Details angeben. Wichtig ist, daßdiese Quadratur nur auf der Referenzzelle stattfindet und die tatsachlich verwendeten Großenanm , mnm und bn im wesentlichen durch Skalierung mit |detBT | gewonnen werden.

3.5.2 Konditionierung der Systemmatrix

Wir wollen zunachst die Stabilitat (fur h→ 0 ) der diskreten Finite-Elemente-Gleichung (3.5.117)gegenuber Storungen der Daten untersuchen. Diese treten z.B. auf durch die Fehler bei der Be-rechnung der Elemente anm und mnm bei Verwendung von numerischer Quadratur. Durch reinalgebraische Argumente erhalten wir zunachst eine Stabilitatsabschatzung fur allgemeine lineareGleichungssysteme (siehe Skriptum

”Einfuhrung in die Numerik“).

Satz 3.12 (Allgemeiner Storungssatz): Seien Storungen δA der Matrix A und δb derrechten Seite b gegeben, so daß µ := κ2(A)‖δA‖/‖A‖ < 1 . Dann gilt die Fehlerabschatzung

|δξ||ξ| ≤ κ2(A)

1 − µ

‖δA‖‖A‖ +

|δb||b|. (3.5.118)

Zur quantitativen Auswertung dieser Abschatzung mussen wir die Spektralkondition der Stei-figkeitsmatrix A in Abhangigkeit von der Gitterweite h abschatzen. Dazu nehmen wir an, daßdie betrachtete Familie von Zerlegungen (Th)h>0 gleichmaßig

”form- und großen-regular“ ist,

d.h.:

suph>0

(maxT∈Th

hTρT

)≤ c, sup

h>0

(maxT∈ThhT

minT∈ThhT

)≤ c.

Dann ergibt sich analog zum Differenzenverfahren das folgende allgemeine Resultat.

Satz 3.13 (Konditionierung): Auf einer Folge von (gleichmaßig) regularen Zerlegungen Th

gilt fur die Spektralkonditionen der (symmetrischen und positiv definiten) SteifigkeitsmatrizenA und der Massenmatrizen M :

κ2(A) = O(h−2), κ2(M) = O(1) (h→ 0). (3.5.119)

Beweis: (i) Fur die großten und kleinsten Eigenwerte von M gilt

λmin(M) = minξ∈RN

〈Mξ, ξ〉|ξ|2 ≤ max

ξ∈RN

〈Mξ, ξ〉|ξ|2 = λmax(M) .


In der folgenden Argumentation werden wieder die Element-Matrizen MT . Ferner bezeichnedmin und dmax die kleinste bzw. die großte Anzahl von Zellen, die in einem Knoten der ZerlegungTh zusammentreffen. Mit dieser Notation ergibt sich:

〈Mξ, ξ〉 =∑

T∈Th

〈MT ξT , ξT 〉 ≥ minξ∈RN , T∈Th

〈MT ξT , ξT 〉|ξT |2

∑

T∈Th

|ξT |2 ≥ minT∈Th

λmin(MT ) dmin|ξ|2,

〈Mξ, ξ〉 =∑

T∈Th

〈MT ξT , ξT 〉 ≤ maxξ∈RN , T∈Th

〈MT ξT , ξT 〉|ξT |2

∑

T∈Th

|ξT |2 ≤ maxT∈Th

λmax(MT ) dmax|ξ|2.

Mit Hilfe der Beziehung |detBT | ≈ hdT ergibt sich mit der (festen) Matrix M := (mnm)Nn,m=1 :

λmax(MT ) = |detBT |λmax(M) ≤ chdT , λmin(MT ) = |detBT |λmin(M) ≥ chdT ,

und folglich κ2(M) = O(1) .

(ii) Fur die kleinsten und großten Eigenwerte von A gilt:

λmin(A) ≥ minξ∈RN

〈Aξ, ξ〉〈Mξ, ξ〉 min

ξ∈RN

〈Mξ, ξ〉|ξ|2 = min

vh∈Vh

a(vh, vh)

‖vh‖2λmin(M),

λmax(A) ≤ maxξ∈RN

〈Aξ, ξ〉〈Mξ, ξ〉 max

ξ∈RN

〈Mξ, ξ〉|ξ|2 = max

vh∈Vh

a(vh, vh)

‖vh‖2λmax(M).

Wir schatzen weiter ab durch

minvh∈Vh

a(vh, vh)

‖vh‖2≥ min

v∈H10 (Ω)

a(v, v)

‖v‖2=: λmin(L)

mit dem kleinste Eigenwert des Differentialoperators L auf dem Gebiet Ω . Ferner ergibt sichmit Hilfe der

”inversen Beziehung“ fur Finite-Elemente-Funktionen:

a(vh, vh) ≤ ‖a‖∞∑

T∈Th

‖∇vh‖2T ≤ c‖a‖∞

∑

T∈Th

ρ−2T ‖vh‖2

T ≤ c‖a‖∞ maxT∈Th

ρ−2T ‖vh‖2,

bzw. λmax(A) ≤ cmaxT∈Thρ2T λmax(M) . Wir gewinnen so die Abschatzung

λmin(L)λmin(M) ≤ λmin(A) ≤ λmax(A) ≤ cmaxT∈Th

ρ−2T λmax(M).

Also ist κ2(A) ≤ cmaxT∈Thρ−2T , was im Hinblick auf die Gleichformigkeitsannahmen an die

Zerlegungsfolge den Beweis vervollstandigt. Q.E.D.

Bemerkung 3.10: Wir betonen, daß die Asymptotik O(h−2) der Kondition der Steifigkeits-matrix durch die Ordnung des zugrunde liegenden Differentialoperators L bestimmt ist; sie hatnichts mit dem Polynomgrad m − 1 des Finite-Elemente-Ansatzes oder der Raumdimensiond zu tun. In der Tat wurde der Beweis von Satz 3.13 allgemein fur d ≥ 1 und fur beliebigenPolynomgrad m− 1 ≥ 1 gefuhrt. Die Abhangigkeit von ρ := minT∈Th

ρT kommt uber die Ver-wendung der inversen Beziehung zur Abschatzung von λmax(A) ins Spiel. Dabei ergibt offenbarjede Ableitungsstufe in der Energieform a(·, ·) genau eine negative ρ-Potenz. Der Exponent−2 ist also gerade durch die Ordnung des betrachteten Differentialoperators bestimmt. Bei derFinite-Elemente-Diskretisierung von Differentialoperatoren hoherer Ordnung 2r ≥ 2 verhalt


sich die Kondition der Steifigkeitsmatrix dementsprechend wie κ2(A) = O(h−2r) . Zum Beispieltreten in der Plattenstatik Randwertaufgaben vierter Ordnung (r = 2) mit dem biharmonischenOperator ∆2 auf. In diesem Fall verhalt sich die Kondition der zugehorigen Steifigkeitsmatrixwie O(h−4) . Fur eine Gitterweite der Großenordnung h ∼ 10−2 in zwei Dimensionen ergibtsich damit κ2(A) ∼ 108 , was Rechnung in mindestens doppelt-genauer Arithmetik nahe legt.

Die Fehlerabschatzung (3.5.118) ist am Extremfall einer Storung des Eigenvektors wmax inRichtung des Eigenvektors wmin orientiert. Sie erfassen also den ungunstigsten Fehlereinfluß, wieer in der Praxis kaum auftreten wird. Tatsachlich erweist sich (3.5.118) als viel zu pessimistischzur realistischen Erfassung des Einflusses von Datenfehlern bei der Losung der Finite-Elemente-Gleichungen Ax = b . Zur Verdeutlichung betrachten wir im folgenden ausschließlich den Fall vonStorungen in der rechten Seite b , welche durch fehlerhafte Auswertung (z.B. durch numerischeQuadratur) der gegebenen rechten Seite f der Differentialgleichung entstehen.

Satz 3.14 (Spezieller Storungssatz): Auf einer Folge von (gleichmaßig) regularen Zerlegun-gen Th gilt die Fehlerabschatzung

|δξ||ξ| ≤ κ2(M)

λ

‖f‖‖uh‖

|δb||b| , (3.5.120)

mit dem kleinsten Eigenwert λ der 1. RWA des Differentialoperators L auf Ω .

Beweis: Aus der Identitat Aδξ = δb folgt |δξ| ≤ ‖A−1‖ |δb| = λmin(A)−1|δb| . Weiter ist

λmin(A) = minz∈RN

〈Az, z〉|z|2 ≥ min

z∈RN

〈Az, z〉〈Mz, z〉 min

z∈RN

〈Mz, z〉|z|2

= minvh∈Vh

a(vh, vh)

‖vh‖2λmin(M) ≥ λλmin(M) ,

und somit |δξ| ≤ λ−1 λmin(M)−1 |δb| . Mit Hilfe der Schwarzschen Ungleichung ergibt sich

|b|2 =N∑

n=1

(f, ϕ(n)h )2 =

(f,

N∑

n=1

(f, ϕ(n)h )ϕ

(n)h

)≤ ‖f‖

∥∥∥N∑

n=1

(f, ϕ(n)h )ϕ

(n)h

∥∥∥.

Wegen

∥∥∥N∑

n=1

(f, ϕ(n)h )ϕ

(n)h

∥∥∥2

=

N∑

n,m=1

(f, ϕ(m)h )(f, ϕ

(n)h )(ϕ

(m)h , ϕ

(n)h ) = 〈Mb, b〉 ≤ λmax(M) |b|2

folgt dann |b| ≤ λmax(M)1/2 ‖f‖ . Ferner gilt wegen 〈Mξ, ξ〉 ≤ λmax(M)‖ξ‖2 :

|ξ| ≥ λmax(M)−1/2 〈Mξ, ξ〉1/2 = λmax(M)−1/2 ‖uh‖ .

Wir kombinieren die obigen Beziehungen und erhalten

|δξ||ξ| ≤ λ−1λmax(M)

λmin(M)

|δb||b|

‖f‖‖uh‖

,



Wir haben in Satz 3.13 gesehen, daß die Massenmatrix M eine gleichmaßig bzgl. h be-schrankte Spektralkondition hat κ2(M) = O(1) (h → 0) . Ferner folgt aus der Konvergenz desVerfahrens die Beziehung

‖uh‖ = ‖u‖ + O(h) (h→ 0).

Damit erhalten wir aus Satz 3.14 die folgende asymptotische Abschatzung fur die Fehlerfort-pflanzung im Finite-Elemente-Galerkin-Verfahren

|δξ||ξ| ≤ c(f, u,Ω)

|δb||b| , (3.5.121)

mit einer nur von f, u und Ω abhangigen Konstante c(f, u,Ω). Dies besagt, daß die Finite-Elemente-Methode stabil ist (fur h→ 0 ) bzgl. Storungen der rechten Seite f .

3.5.3 Aufstellung der Systemmatrizen mit numerischer Integration

Im folgenden analysieren wir den zusatzlichen Fehler, welcher bei naherungsweiser Berechnungder Matrix- und Vektorelemente anm und bn mittels numerischer Quadratur entsteht. Im Zugeder Matrix-Assemblierung mussen Integrale uber Gitterzellen T ∈ Th ,

∫

Ta(x)∇ϕ(i)

h (x)∇ϕ(j)h (x) dx,

∫

Tf(x)ϕ

(j)h (x) dx, (3.5.122)

berechnet werden, wobei ϕ(i)h (x) die Knotenbasisfunktionen sind. Wenn die Datenfunktionen

a(x), f(x) konstant oder auf der Zelle durch Polynome approximiert sind, so sind Integrale derForm ∫

Txp1x

q2 dx, p, q ∈ N0,

zu berechnen. Hierfur gibt es z.B. auf Dreiecken explizite Formeln. Sei T ein Dreieck in der(x, y)-Ebene mit den Eckpunkten (xi, yi), i = 1, 2, 3 . Ist der Ursprung des Koordinatensystemsim Schwerpunkt von T , d.h. x1 + x2 + x3 = y1 + y2 + y3 = 0 , so gilt z.B.:

∫

T1 d(x, y) = |T |,

∫

Tx d(x, y) =

∫

Ty d(x, y) = 0,

∫

Tx2 d(x, y) =

|T |12

(x21 + x2

2 + x23),

∫

Txy d(x, y) =

|T |12

(x1y1 + x2y2 + x3y3),

∫

Ty2 d(x, y) =

|T |12

(y21 + y2

2 + y23).

Nicht exakt berechenbare Integrale werden durch numerische Quadratur angenahert. Dazudienen sog.

”Quadraturformeln“, welche analog wie auf 1-dimensionalen Intervallen auch auf

2- oder 3-dimensionalen Zellen uber einen Interpolationsansatz erzeugt werden. Dies geschiehtzunachst auf der Referenzzelle T und ergibt dann durch Transformation T → T = σT (T ) =BT x + bT auch Quadraturformeln auf den einzelnen Zellen T ∈ Th . Wir beschreiben diesen


Prozess im folgenden nur fur Quadratur basierend auf Lagrange-Interpolation.

Auf der Referenzzelle T seien ein Polynomraum P (T ) mit S := dimP (T ) sowie ein Satzvon Stutzpunkten xs ∈ T , s = 1, ..., S gewahlt, welche unisolvent sind. Die Stutzpunkte xsbrauchen nicht mit den Knotenpunkten des Finite-Elemente-Ansatzes ubereinzustimmen. Seienweiter Ls ∈ P (T ) die zugehorigen Lagrangeschen Basispolynome, welche durch die EigenschaftLs(xr) = δsr charakterisiert sind. Dies erlaubt wieder die explizite Darstellung des zu einerstetigen Funktion v(x) gehorenden Interpolationspolynoms durch

p(x) =

S∑

s=1

v(xs)Ls(x).

Dies fuhrt zu folgendem Ansatz fur eine Quadraturformel auf T :

QT (v) :=S∑

s=1

ωsv(xs), ωs :=

∫

TLs(x) dx. (3.5.123)

Die Stutzpunkte xs werden so gewahlt, daß Polynome von moglichst hohem Grad durch dieFormel exakt integriert werden. Dabei ist aus Stabilitatsgrunden wieder darauf zu achten, daßdie Gewichte ωs positiv sind.

Definition 3.6 (Quadraturformel): Eine interpolatorische Quadraturformel der Art (3.5.123)auf einer Referenzzelle T heißt

”von der Ordnung r“, wenn durch sie Polynome bis zum Grad

r − 1 (und nicht hoher) exakt integriert werden. Sie wird”zulassig“ fur den Polynomansatz

P (T ) genannt, wenn ihre Stutzstellenmenge reichhaltig genug ist, so daß

q ∈ P (T ) : ∇q(xs) = 0 (s = 1, ..., S) ⇒ q ≡ konst. (3.5.124)

Mit den Bezeichnungen

xs := σT (xs), ωs := |detBT | ωs (s = 1, ..., S),

erhalten wir durch

QT (v) :=

S∑

s=1

ωsv(xs) :=

S∑

s=1

|detBT |ωs v(xs) = |detBT |QT (v) (3.5.125)

Quadraturformeln QT (·) auf den einzelnen Zellen T ∈ Th . Die gebrauchlichsten solcher For-meln fur Dreiecke sind in Abbildung 3.10 zusammengestellt. Dabei bedienen wir uns der ge-brauchlichen Schreibweise mit sog.

”baryzentrischen Koordinaten“. Fur ein d-Simplex T mit

Eckpunkten a0, ..., ad besitzt jeder Punkt x ∈ T eine eindeutige Darstellung als konvexeLinearkombination der Eckpunkte:

x =d∑

i=0

λiai, 0 ≤ λ ≤ 1,d∑

i=0

λi = 1.

Die Koeffizienten λ0, ..., λd sind dann die baryzentrischen Koordinaten von x im Simplex T .Zum Beispiel sind 1, 0, ..., 0 die baryzentrischen Koordinaten des Eckpunkts a0 und 1

2 , ...,12


die des Mittelpunktes zT . Die einfachsten Quadraturformeln auf Dreiecken/Simplizes sind die

”Mittelpunktregel“ und die

”Trapezregel“ (siehe auch Abb. 3.10):

QT (v) := |T |v(zT ), QT (v) :=1

d+ 1|T |

d∑

i=0

v(ai).

Abbildung 3.10: Beispiele von Quadraturformeln auf Dreiecken.

Auf Vierecken bzw. Hexaedern werden sog.”Tensorproduktformeln“ verwendet. Diese erhalt

man ebenfalls uber Transformation von der Referenzzelle. Demgemaß lauten auf dem Qua-drat/Quader mit Mittelpunkt zT und Eckpunkten a1, ..., a2d die Mittelpunktregel sowie die


(Tensorprodukt)-Trapezregel:

QT (v) := |T |v(zT ), QT (v) :=1

2d|T |

2d∑

i=0

v(ai).

Zur Erzielung hoherer Genauigkeit werden extrapolierte Trapez-Formeln (z.B. Tensorprodukt-Simpson-Regel) oder Tensorprodukt-Gauß-Formeln verwendet, welche ahnlich wie im eindimen-sionalen Fall konstruiert sind. Ein der gebrauchlichsten Formeln fur Quadrate ist die 4-Punkt-Gauß-Formel

QT (v) :=1

4

4∑

i=1

v(ξi),

mit den Gauß-Punkten ξ1 = (η−, η−), ξ2 = (η−, η+), ξ3 = (η+, η−) und ξ4(η+, η+), wobeiη± := 1

2(1 ±√

1/3) .

Satz 3.15 (Quadraturfehler): Fur eine interpolatorische Quadraturformel QT (·) der Ord-nung r ≥ d auf einer Zelle T ∈ Th angewendet auf eine Funktion v ∈W r,1(T ) gilt

∣∣∫

Tv dx−QT (v)

∣∣ ≤ cqhrT

∫

T|∇rv| dx, (3.5.126)

mit einer von T und v ∈ Hr(T ) unbhangigen Quadraturkonstanten cq > 0 .

Bemerkung 3.11: Die Vorausssetzung r ≥ d in Satz 3.15 dient zur Vereinfachung der Formu-lierung des Resultats. Wegen der Einbettung W d,1(T ) ⊂ C(T ) sind fur Funktionen v ∈W r,1(T )die fur die Anwendung der Quadraturformel erforderlichen Punktwerte wohl definiert. Dies istaber auch gerade die

”richtige“ Regularitatsstufe fur die maximale Ausnutzung der Approxima-

tionsgute der Quadraturformel. Dies ist wichtig fur die folgende Untersuchung des Einflusses desQuadraturfehlers auf den Gesamtfehler. Im Ubrigen ist jede der gebrauchlichen Quadraturfor-meln (z.B. Mittelpunkts- oder Trapezregel) mindestens von der Ordnung r = 2 , so daß in zweiDimensionen gar keine Einschrankung besteht. In drei Dimensionanen bedarf der Fall r = 2eine gesonderte Betrachtung, die obwohl nicht schwer, hier nicht durchgefuhrt wird.

Beweis: Der Beweis verwendet das Bramble-Hilbert-Lemma 3.5 in Verbindung mit dem Trans-formationsargument von Satz 3.6. Auf der Referenzzelle T definieren wir das Fehlerfunktional

F (v) :=∣∣∫

Tv(x) dx−QT (v)

∣∣.

Zur Definition von F (·) benotigen wir Punktwerte von v . Diese sind aufgrund des SobolewschenEinbettungssatzes in zwei Dimensionen fur v ∈ H2,1(Ω) und in drei Dimensionen fur v ∈H3,1(Ω) wohl definiert. Es gilt dann

|F (v)| ≤ c‖v‖Hr,1 .

Ferner ist F (·) offensichtlich sublinear und verschwindet nach Voraussetzung auf Pr−1 . Nachder L1-Variante des Bramble-Hilbert-Lemmas gilt dann

|F (v)| ≤ c‖∇rv‖L1(T ).


Sei nun σT wieder die affin-lineare Transformation von T auf die Zelle T . Dann gilt fur eineFunktion v ∈ Hr,1(Ω) und ihre Transformierte v(x) := v(x), x = σT (x) :

∣∣∫

Tv(x) dx −QT (v)

∣∣ = |detBT | |F (v)|,

sowie‖∇rv‖L1(T ) ≤ c|detBT |−1hrT ‖∇rv‖L1(T ).

Kombination der letzten beiden Beziehungen ergibt die Behauptung. Q.E.D.

Im folgenden werden wir uns auf die Quadratur auf Dreiecken bzw. Simplizes beschrankenund nehmen außerdem an, daß der Polynomansatz ein voller Polynomraum ist: P (T ) = Pm−1(T ) .Analoge Resultate gelten auch fur die Quadratur auf Vierecken bzw. Hexaedern, doch erfordernderen Formulierung und Beweis eine aufwendigere Notation.

Die Anwendung von Quadraturformeln zur Berechnung der Zellintegrale (3.5.122) ergibt einegestorte Bilinearform und rechte Seite

ah(u, ϕ) :=∑

T∈Th

QT (a∇u∇ϕ), lh(ϕ) :=∑

T∈Th

QT (fϕ)

sowie zugehorige gestorte Steifigkeitsmatrix- und Lastvektorelemente

aij :=∑

T∈Th

QT (a∇ϕ(j)h ∇ϕ(i)

h ), bj :=∑

T∈Th

QT (fϕ(i)h ).

Statt der exakten Finite-Elemente-Losung uh ∈ Vh ist dann eine gestorte Approximation uh ∈Vh zu bestimmen durch

ah(uh, ϕh) = lh(ϕh) ∀ϕh ∈ Vh. (3.5.127)

Satz 3.16 (Numerische Integration): Die Quadraturformel auf der Referenzzelle QT (·) sei

”zulassig“ fur den Finite-Elemente-Ansatz P (T ) und von der Ordnung r ≥ d . Dann besitzen die

gestorten Finite-Elemente-Gleichungen (3.5.127) eindeutige Losungen uh ∈ Vh . Ist a ∈ Cr(Ω) ,so gilt fur das gestorte Finite-Elemente-Verfahren der Ordnung m ≥ 2 die Fehlerabschatzung

‖u− uh‖ + h‖∇(u− uh)‖ ≤ c hminm,r+3−m‖u‖Hm . (3.5.128)

Zur Erzielung einer maximalen Konvergenzordnung ist also r ≥ 2m− 3 zu wahlen.

Beweis: (i) Koerzitivitat: Auf einer Zelle T ∈ Th gilt unter Verwendung der TransformationT = σT (T ) wegen a ≥ α > 0 :

QT (a|∇vh|2) =

S∑

s=1

ωsa(xs)|∇vh(xs)|2 ≥ α

S∑

s=1

ωs |∇vh(xs)|2 = α

S∑

s=1

|detBT | ωs |B−1T ∇vh(xs)|2

≥ α

S∑

s=1

|detBT | ωs ‖BT ‖−2|∇vh(xs)|2 ≥ αc |detBT |h−2T

S∑

s=1

ωs |∇vh(xs)|2,


wobei vh(x) = vh(x), x = σ−1T (x) . Analog gilt

‖∇vh‖2T≥ c|detBT |−1h2

T ‖∇vh‖2T .

Durch

|||vh|||T :=( S∑

s=1

ωs |∇vh(xs)|2)1/2

ist auf dem Quotientenraum P (T )/P0 eine Norm definiert. Dazu muß nur noch die Definitheitgezeigt werden. Aus |||vh|||T = 0 folgt offenbar ∇vh(xs) = 0 (s = 1, ..., S) , so daß wegender vorausgesetzten

”Zulassigkeit“ der Quadraturformel notwendig vh ≡ konst. ist. Da auch

‖∇vh‖T auf P (T )/P0 eine Norm ist, gilt wegen der Aquivalenz aller Normen auf einem endlichdimensionalen Vektorraum mit einer Konstante c > 0 :

|||vh|||T ≥ c ‖∇vh‖T .

Dies impliziert dann

QT (a|∇vh|2) ≥ c|detBT |h−2T |||vh|||2T ≥ c|detBT |h−2

T ‖∇vh‖2T≥ c ‖∇vh‖2

T ,

bzw. die gleichmaßige Koerzitivitat der Bilinearformen ah(·, ·) :

ah(vh, vh) ≥ c‖∇vh‖2, vh ∈ Vh. (3.5.129)

(ii) Fehlerabschatzung: Mit Hilfe der Koerzitivitatsabschatzung (3.5.129) folgt fur den Fehlerηh := uh − uh ∈ Vh :

c ‖∇ηh‖2 ≤ ah(uh − uh, ηh) = ah(uh, ηh) − ah(uh, ηh)

≤ (ah − a)(uh, ηh) + (l − lh)(ηh).

Dies impliziert

‖∇ηh‖ ≤ c maxvh∈Vh

|(ah − a)(uh, vh)|‖∇vh‖

+|(l − lh)(vh)|

‖∇vh‖.

Zusammen mit der bekannten H1-Fehlerabschatzung

‖∇(u− uh)‖ ≤ chm‖u‖Hm

folgt

‖∇(u− uh)‖ ≤ chm‖u‖Hm + c maxvh∈Vh

|(ah − a)(uh, vh)|‖∇vh‖

+|(l − lh)(vh)|

‖∇vh‖.

Im nachsten Schritt werden wir zeigen, daß

maxvh∈Vh

|(ah − a)(uh, vh)|‖∇vh‖

+|(l − lh)(vh)|

‖∇vh‖

≤ c hminm,r−m+2‖u‖Hm . (3.5.130)

Dies impliziert dann den ersten Teil der Behauptung

‖∇(u− uh)‖ ≤ chminm,r−m+2‖u‖Hm . (3.5.131)


(iii) Konsistenz: Als nachstes schatzen wir den”Abstand“ zwischen a(·, ·) und ah(·, ·) sowie

l(·) und lh(·) ab. Fur uh, vh ∈ Vh folgt mit Hilfe der Abschatzung des Integrationsfehlers inSatz 3.15:

|(a− ah)(uh, vh)| ≤∑

T∈Th

∣∣∫

Ta∇uh∇vh dx−QT (a∇uh∇vh)

∣∣

≤ cq∑

T∈Th

hrT

∫

T|∇r(a∇uh∇vh)| dx.

Durch Ausdifferenzieren erhalten wir

|(a− ah)(uh, vh)| ≤ c∑

T∈Th

hrT ‖∇uh‖Hr(T )‖∇vh‖Hr(T ),

wobei die Konstante c wesentlich durch Schranken fur die Ableitungen der Koeffizientenfunktiona(x) bestimmt ist. Bei Beachtung von vh|T ∈ Pm−1 ergibt sich

|(a− ah)(uh, vh)| ≤ c∑

T∈Th

hrT ‖∇uh‖Hm−2(T )‖∇vh‖Hm−2(T ).

Mit Hilfe der”inversen Beziehung“ fur finite Elemente gilt

‖∇vh‖Hm−2(T ) ≤ ch2−mT ‖∇vh‖T ,

womit folgt:

|(a− ah)(uh, vh)| ≤ chr−m+2( ∑

T∈Th

‖∇uh‖2Hm−2(T )

)1/2‖∇vh‖.

Die Terme in uh werden unter Verwendung der Knoteninterpolierenden Ihu ∈ Vh und mit Hilfeder inversen Beziehung sowie der lokalen Interpolationsabschatzungen wie folgt abgeschatzt:

‖∇uh‖Hm−2(T ) ≤ ‖uh − Ihu‖Hm−1(T ) + ‖Ihu− u‖Hm−1(T ) + ‖u‖Hm−1(T )

≤ ch2−mT ‖uh − Ihu‖H1(T ) + chT ‖∇mu‖T + ‖u‖Hm−1(T )

≤ ch2−mT ‖uh − u‖H1(T ) + ch2−m

T ‖u− Ihu‖H1(T ) + ‖u‖Hm(T )

≤ ch2−mT ‖uh − u‖H1(T ) + ‖u‖Hm(T ).

Zusammenfassen der bisherigen Abschatzungen ergibt

|(a− ah)(uh, vh)| ≤ chr+2−mh2−m‖uh − u‖H1 + ‖u‖Hm

‖∇vh‖,

und unter Verwendung der bekannten H1-Fehlerabschatzung ‖uh − u‖H1 ≤ chm−1‖u‖Hm :

|(a− ah)(uh, vh)| ≤ chr+2−m‖u‖Hm‖∇vh‖. (3.5.132)

Auf analoge Weise erschließen wir

|(l − lh)(vh)| ≤ chr−m+2‖∇vh‖ ‖u‖Hm . (3.5.133)

Die Abschatzungen (3.5.132) und (3.5.133) ergeben (3.5.130) und damit das Resultat (3.5.131).

(iv) L2-Fehlerabschatzung: Zur Abschatzung des Fehlers in der L2-Norm bedienen wir uns wieder


eines Dualitatsarguments. Sei z ∈ V die (eindeutige) Losung des Hilfsproblems

−∇ · a∇z = uh − uh in Ω, z = 0 auf ∂Ω.

Wegen der angenommenen Glattheit von a und der Konvexitat von Ω ist z ∈ H2(Ω) undgenugt der a-priori Abschatzung

‖z‖H2 ≤ c‖uh − uh‖.Sei zh ∈ Vh die Ritz-Projektion von z . Mit dieser Konstruktion erhalten wir mit Hilfe derGalerkin-Orthogonalitat:

‖uh − uh‖2 = a(uh − uh, z) = a(uh − uh, zh)

= a(uh, zh) − (a− ah)(uh, zh) − ah(uh, zh)

= (l − lh)(zh) − (a− ah)(uh, zh).

Die beiden Storungsterme werden nun analog wie unter (iii) abgeschatzt. Zunachst gilt wiedermit Hilfe der inversen Beziehung:

|(a− ah)(uh, zh)| ≤ c∑

T∈Th

hrT ‖∇uh‖Hm−2(T )‖∇zh‖Hm−2(T )

≤ chr+3−m( ∑

T∈Th

‖∇uh‖2Hm−2(T )

)1/2( ∑

T∈Th

‖∇zh‖2H1(T )

)1/2.

Fur die beiden Summen erhalten wir analog wie oben unter (iii):

( ∑

T∈Th

‖∇uh‖2Hm−2(T )

)1/2 ≤ ch2−mT ‖uh − u‖H1 + ‖u‖Hm ,

sowie ( ∑

T∈Th

‖∇zh‖2H1(T )

)1/2 ≤ c‖z‖H2 ≤ c‖uh − uh‖.

Kombination dieser Abschatzungen und Berucksichtigung der schon bewiesenenH1-Fehlerabschatzungergibt dann:

|(a− ah)(uh, zh)| ≤ chr−m+3‖uh − uh‖‖u‖Hm . (3.5.134)

Analog erschließen wir

|(l − lh)(zh)| ≤ chr−m+3‖uh − uh‖. (3.5.135)

Kombinieren aller vorausgehenden Beziehungen ergibt

‖uh − uh‖ ≤ chr−m+3‖u‖Hm .

Zusammen mit der bekannten L2-Fehlerabschatzung fur eh = u− uh erhalten wir schließlich

‖u− uh‖ ≤ chminm,r−m+3‖u‖Hm ,



Bemerkung 3.12: Die Aussage von Satz 3.16 kann so interpretiert werden, daß zur Vermeidungeiner Reduzierung der Konvergenzordnung O(hm−1) in der Energie-Norm eine Quadraturfor-mel der Ordnung r ≥ 2m − 3 verwendet werden sollte. Damit wurden dann im Falle eineskonstanten Koeffizienten a die Matrixelemente anm exakt berechnet werden. Fur bloße Kon-vergenz uh → u (h → 0) ware die Wahl r ≥ maxd,m − 2 ausreichend, vorausgesetzt dieZulassigkeitsbedingung ist erfullt.


3.6 A posteriori Fehleranalyse und Gittersteuerung

Eine wichtige Rolle bei der Losung von partiellen Differentialgleichungen spielen die beidenAspekte Fehlerkontrolle und Gittersteuerung. Hat man eine approximative Losung uh berech-net, ist es von Interesse, den Fehler zwischen dieser Naherung und der exakten Losung u bzgl.eines geeigneten Maßes abzuschatzen. Zu diesem Zweck dienen sog.

”a-posteriori Fehlerschatzer“,

welche im besten Fall ausschließlich von berechneten Großen und den Daten f abhangen. Indiesem Abschnitt wollen wir einfache residuen-basierte Fehlerschatzer fur das Modellproblemder 1. RWA des Laplace-Operators herleiten.

Eine globale Verfeinerung des ganzen Rechengebietes ist in drei Dimensionen in der Re-gel nicht realisierbar, da der Speicherplatz auf den verfugbaren Rechnern dazu nicht ausreicht.Deshalb versucht man, nur dort lokal zu verfeinern, wo es die Losungsstruktur bzw. die Genauig-keitsanforderungen verlangen. Unter optimaler Gittersteuerung wird dabei verstanden, moglichstwenige markierte Elemente des Gitters zu verfeinern, so daß der Fehler in moglichst wenigenSchritten unter eine vorgegebene Toleranz gedruckt wird. Die Wahl der zu verfeinernden Elemen-te trifft man aufgrund sog.

”lokaler Fehlerindikatoren“, aus denen sich der globale Fehlerschatzer

zusammensetzt. Solche Gittersteuerungsmethoden werden wir im zweiten Teil dieses Abschnittsdiskutieren.

3.6.1 Allgemeine a posteriori Fehlerabschatzung

Aus der a priori Fehlerschatzung aus Abschnitt 3.4 konnten wir die Konvergenzordnung desDiskretisierungsfehlers eh = u− uh schon fur verschiedene Normen herleiten:

– Energienorm-Fehlerabschatzung: ‖∇eh‖ ≤ cics h ‖u‖H2 ,

– L2-Norm-Fehlerabschatzung: ‖eh‖ ≤ cics h2 ‖u‖H2 ,

– L∞-Abschatzung: maxΩ |eh| ≤ cics h2| ln(h)|M2(u),

mit lokalen Interpolationskonstanten ci und globalen Stabilitatskonstanten cs . Leider sind dieseAbschatzungen fur eine quantitative Fehlerkontrolle nicht zu gebrauchen, da die notigen Infor-mationen uber die hoheren Ableitungen der exakten Losung u fehlen und insbesondere praziseAbschatzungen fur die Stabilitatskonstanten cs i.a. nicht zur Verfugung stehen. Ist aber derCharakter einer lokalen Singularitat der Losung bekannt, wie z.B. im Fall von

”Ecken- oder

Kantensingulariutaten“, so kann diese Information zur vorab Anpassung des Gitters verwendetwerden. Dabei wird die Gitterweite h in Richtung auf die singuilare Stelle hin systematischverkleinert, etwa gemaß h(r) ≈ h0r

α wobei der Exponent α > 1 aus dem bekannten singularenVerhalten der Ableitungen der Losung abgeleitet wird.

In allgemeinen Situationen muß man sich aber heuristischer Methoden zur Bestimmung derRegularitat der Losung bedienen. Dies lauft (in Anlehnung an die traditionelle, abschneidefehler-basierte Vorgehensweise bei Differenzenverfahren) auf die Schatzung der lokalen Glattheit derunbekannten Losung aus der berechneten numerischen Approximation hinaus. Zum Beispiel kannman versuchen, auf einem Zellblock (etwa aus 2d Zellen) aus einer linearen Naherungslosung uhdurch Anwendung eines Differenzenquotienten ∇2

h zweiter Ordnung im Schwerpunkt zT einer

3.6 A posteriori Fehleranalyse und Gittersteuerung 133

Zelle T ∈ Th eine Schatzung der zweiten Ableitungen von u auf T zu gewinnen:

maxT

|∇2u||T ≈ ηT := |∇2huh(zT )||T . (3.6.136)

Auf der Basis dieses Indikators ließen sich dann Strategien zu lokaler Gitterverfeinerung oder-vergroberung aufstellen: Ist zum Beispiel ηT auf einer Zelle T ∈ Th uberdurchschnittlich groß,so wird diese in Teilzellen zerlegt. Diese Strategie der ad hoc Gitteranpassung erfordert keinengroßen Aufwand und funktioniert in der Praxis in vielen Fallen erstaunlich gut. Daher sindVarianten dieser Strategie derzeit auch in vielen kommerziellen Programmen realisiert, wenndiese uberhaupt Gitteradaption beinhalten. Dabei gibt es aber die folgenden grundsatzlichenSchwachen:

– Die Auswertung von (3.6.136) liefert keine Aussage uber die tatsachliche Große des Fehlerseh = u− uh .

– Die auf den lokalen Indikatoren ηT basierende Gitterverfeinerungsstrategie geht davon aus,daß der

”gemessene“ Fehler in T auch dort entstanden ist und durch lokale Verfeinerung

von T reduziert werden kann. Dies ist aber i.a. nicht richtig, da dabei das Phanomen derglobalen

”Fehlerakkumulation“ (auch

”pollution effect“ genannt) vernachlassigt wird.

Ziel der folgenden Diskussion ist es, uber eine a posteriori Fehleranalyse via Dualitatsargumentesystematisch auswertbare und zuverlassige Fehlerschatzer zu entwickeln, aus denen auch effizien-te Kriterien zur lokalen Gitteranpassung abgeleitet werden konnen. Wir betrachten dazu wiederdas Modellproblem

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω, (3.6.137)

auf einem (nicht notwendig konvexen) Polygon- oder Polyedergebiet Ω ⊂ Rd . Die durch die

Variationsgleichung

(∇u,∇ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ V = H10 (Ω), (3.6.138)

definierte schwache Losung u ∈ H10 (Ω) wird durch ein Galerkin-Finite-Elemente-Verfahren ap-

proximiert. Wir konzentrieren uns im folgenden auf die Approximation mit”linearen“ finiten

Elementen. Die Naherungslosung uh = Rhu ∈ V(1)h ⊂ V ist bestimmt durch die Gleichung

(∇uh,∇ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ Vh. (3.6.139)

Bei der Schatzung des Fehlers eh muß man sich fur ein geeignetes”Fehlermaß“ entscheiden,

welches sich am Bedarf der betrachteten Anwendung orientieren sollte. Beispiele sind etwa wieschon oben erwahnt die traditionellen Maße

”Energienorm“, L2-Norm sowie L∞-Norm. Weitere

Beispiele sind:

– Mittelwerte: |(eh, ψ)Ω|, ψ ∈ C(Ω),

– Linienintegrale: |(eh, ψ)Γ|, ψ ∈ C(∂Ω),

– Ableitungswerte: |∂ieh(a)|, a ∈ Ω.

Um alle diese Sonderfalle im Rahmen einer einheitlichen Theorie behandeln zu konnen, fuhrenwir zunachst den Begriff des

”Fehlerfunktionals“ ein. Dies ist ein (der Einfachheit halber als


linear angenommenes) FunktionalJ(·) : V → R,

bzgl. dem der Fehler eh geschatzt werden soll; d.h. gesucht ist eine berechenbare Schrankefur J(eh) = J(u) − J(uh) . Zu einem solchen Fehlerfunktional gehort eine (eindeutige)

”duale

Losung“ z ∈ V , welche als Losung des zugehorigen”dualen Problems“ bestimmt ist:

(∇ϕ,∇z) = J(ϕ) ∀ϕ ∈ V. (3.6.140)

Testen wir in (3.6.140) mit ϕ = eh ∈ V , so ergibt sich unter Berucksichtigung der Galerkin-Orthogonalitat die Fehleridentitat

J(eh) = (∇eh,∇z) = (∇eh,∇(z − ψh)), ψh ∈ Vh. (3.6.141)

Dies wird nun weiter mit Hilfe von elementweise partieller Integration umgeformt zu

J(eh) =∑

T∈Th

− (∆eh, z − ψh)T + (∂neh, z − ψh)∂T

=∑

T∈Th

(f + ∆uh, z − ψh)T − (∂nuh, z − ψh)∂T

.

Da z−ψh stetige Spuren entlang ∂T hat und in der obigen Summe jede Kante zweimal auftrittmit wechselnder Richtung der Normalableitung ∂nuh, erhalten wir

J(eh) =∑

T∈Th

(f + ∆uh, z − ψh)T − 1

2([∂nuh], z − ψh)∂T, (3.6.142)

wobei auf”inneren“ Kanten [∂nuh]|Γ := ∂nuh|T + ∂n′uh|T ′ jeweils den Sprung der Normalablei-

tung uber Γ ⊂ ∂T zur Nachbarzelle bedeutet. Entlang von Kanten am Rand, Γ ⊂ ∂Ω , setzenwir [∂nuh]|Γ := 2∂nuh . Diese Fehleridentitat beinhaltet Information uber die Abhangigkeit des

Fehlerterms J(eh) von den lokalen”Residuen“ RT := (f + ∆uh)|T und r∂T := −1

2 [∂nuh]|∂T :

∂J(eh)

∂RT≈ (z − ψh)|T ,

∂J(eh)

∂r∂T≈ (z − ψh)|∂T . (3.6.143)

Damit konnen wir hoffen, auf das spezielle Zielfunktional J(eh) bezogene Kriterien fur lokaleGitterverfeinerung und damit Reduzierung dieser Residuen zu gewinnnen. Dabei

”mißt“ das

”Zellresiduum“ R(uh) das Erfulltsein der Differentialgleichung durch die Naherungslosung uh

und das”Kantenresiduum“ r(uh) deren

”Glattheit“.

Von der exakten Fehlerdarstellung (3.6.142) konnen wir nun in mehreren Schritten weitere,gegebenenfalls leichter auswertbare Fehlerabschatzungen ableiten. Zunachst ist

|J(eh)| ≤∣∣∣∑

T∈Th

(f + ∆uh, z − ψh)T − 1

2([∂nuh], z − ψh)∂T∣∣∣, (3.6.144)

und weiter

|J(eh)| ≤∑

T∈Th

∣∣(f + ∆uh, z − ψh)T − 12 ([∂nuh], z − ψh)∂T

∣∣. (3.6.145)


Bei Beachtung von z−ψh|∂Ω = 0 folgt dann mit Hilfe der Holderschen Ungleichung:

|J(eh)| ≤∑

T∈Th

‖f + ∆uh‖T ‖z − ψh‖T + 1

2‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω ‖z − ψh‖∂T. (3.6.146)

Die letzte Abschatzung schreiben wir in der kompakten Form

|J(eh)| ≤ η(uh) :=∑

T∈Th

ρT (uh)ωT (z) + ρ∂T (uh)ω∂T (z)

(3.6.147)

mit den”Zellresiduentermen“

ρT (uh) := ‖f + ∆uh‖T , ρ∂T (uh) := 12h

−1/2T ‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω,

und den”Zellgewichten“

ωT (z) := ‖z − Ihz‖T , ω∂T (z) := h1/2T ‖z − Ihz‖∂T .

Die Fehlerdarstellung (3.6.142) bzw. die Fehlerabschatzung (3.6.147) sind nicht unmittelbarauswertbar. Zwar sind die

”Residuenterme“ R(uh) = f + ∆uh und r(uh) = −1

2 [∂nuh] aus derNaherung uh berechenbar, doch die Wichtungsfaktoren z−ψh sind nur implizit uber das dualeProblem (3.6.140) gegeben und mussen gesondert bestimmt werden. Mit dieser kritischen Fragewerden wir uns im Folgenden noch eingehender beschaftigen.

Die Zellgewichte lassen sich bei Wahl ψh := Ihz mit Hilfe der lokalen Interpolationsfehler-abschatzungen aus Abschnitt 3.3 weiter abschatzen durch

ωT (z) ≤ cih3T max

T|∇2z|. (3.6.148)

Hierbei muß naturlich vorausgesetzt werden, daß die duale Losung z ∈ H2,∞(Ω) ist. Wir wer-den spater sehen, wie man sich von dieser sehr einschrankenden Annahme in gewisser Weisebefreien kann. Die Interpolationskonstante ci ist von verschiedenen Faktoren abhangig: Vondem Polynomgrad der verwendeten Interpolierenden, vom Referenzelement T sowie von denTransformationen σT : T → T . Sie stellt einen Unsicherheitsfaktor dar. Genaueres Nachrech-nen ergibt eine Großenordnung von ci ≈ 0, 1 − 10 .

Die a posteriori Fehlerabschatzung (3.6.147) ist”zuverlassig“ im Sinne, daß sie eine siche-

re obere Schranke fur den Fehler |J(eh)| liefert, vorausgesetzt, es liegen zuverlassige Wertefur die Gewichte ωT (z) und ω∂T (z) vor. Sie ware auch

”effizient“, wenn fur den zugehorigen

”Effektivitatsindex“ (

”Uberschatzungsfaktor“) gilt:

Ieff :=η(uh)

|J(eh)|≤ c0 (h→ 0). (3.6.149)

Bemerkung 3.13: Es ist zu bemerken, daß bereits der Ubergang von der”Fehleridentitat“

(3.6.142) zur”Fehlerabschatzung“ (3.6.144) in gewissen Fallen zu einer groben Uberschatzung

des tatsachlichen Fehlers fuhren kann. Betrachten wir hierzu folgendes Beispiel: Auf dem QuadratΩ = (−1, 1)× (−1, 1) gilt es, fur die Poisson-Gleichung den Punktfehler im Ursprung zu finden:J(eh) = eh(0) . Es ist moglich, die rechte Seite f und das Gitter Th so anti-symmetrischbzgl. x = 0 zu konstruieren, daß u(0) = 0 = uh(0) . In diesem Fall wird aber in der Regelη(uh) ≈ h2 > 0 sein, d.h.: Ieff = ∞ .


3.6.2 Spezielle a posteriori Fehlerschatzer

Der oben abgeleitete allgemeine Fehlerschatzer wird nun fur verschiedene spezielle Fehlerfunktio-nale ausgewertet. In den betrachteten Fallen lassen sich die Gewichte ωT (z), ω∂T (z) analytischabschatzen. Wir beschranken uns hier auf die Betrachtung von P1-Elementen.

a) Energienorm-Fehlerschatzer:

Zur Abschatzung des”Energienormfehlers“ ‖∇eh‖ wahlen wir das Fehlerfunktional

J(ϕ) := ‖∇eh‖−1(∇ϕ,∇eh),

so daß wir fur ϕ = eh automatisch J(eh) = ‖∇eh‖ haben. Fur die zugehorige Losung z ∈ Vdes dualen Problems

(∇ϕ,∇z) = J(ϕ) ∀ϕ ∈ V (3.6.150)

gilt dann‖∇z‖2 = ‖∇eh‖−1(∇z,∇eh) ≤ ‖∇z‖,

woraus sich die folgende einfache a priori Abschatzung ‖∇z‖ ≤ 1 ergibt. Ausgehend von derallgemeinen Fehlerabschatzung (3.6.146) erhalten wir

‖∇eh‖ ≤∑

T∈Th

‖f + ∆uh‖T ‖z − ψh‖T + 1

2‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω ‖z − ψh‖∂T.

Wir wahlen nun ψh := Ihz als eine”verallgemeinerte“ Knoteninterpolierende von z , fur welche

die folgende lokale Fehlerabschatzung gilt:

‖z − Ihz‖T + h1/2T ‖z − Ihz‖∂T ≤ cihT ‖∇z‖T , (3.6.151)

wobei T := ∪T ′∈Th : T ′∩T 6= ∅ . Damit folgt dann mit den Residuen ρT (uh) und ρ∂T (uh) :

‖∇eh‖ ≤ ci∑

T∈Th

hT‖f + ∆uh‖T + 1

2h−1/2T ‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω

‖∇z‖T

≤ c( ∑

T∈Th

h2T

ρT (uh)

2 + ρ∂T (uh)2)1/2( ∑

T∈Th

‖∇z‖2T

)1/2.

Wegen ( ∑

T∈Th

‖∇z‖2T

)1/2 ≤ c‖∇z‖ ≤ c,

ergibt sich schließlich das folgende Resultat:

Satz 3.17 (a posteriori Energienormfehler): Fur den Fehler eh := u−uh gilt die a poste-riori Abschatzung bzgl. der Energienorm:

‖∇eh‖ ≤ ηE(uh) := c( ∑

T∈Th

h2T

ρT (uh)

2 + ρ∂T (uh)2)1/2

. (3.6.152)


Diese Abschatzung ist in folgendem Sinne “scharf“:

ηE(uh) ≤ c‖∇eh‖ + c( ∑

T∈Th

h2T ‖f‖2

T

)1/2. (3.6.153)

Beweis: Es bleibt, die Abschatzung (3.6.153) zu beweisen. Dazu verwenden wir folgende Re-gularitatsaussage: Fur eine Funktion v ∈ H1(Ω) mit der Eigenschaft ∆v ∈ L2(Ω) existiert∂nv ∈ L2(∂Ω) und genugt der Abschatzung

‖∂nv‖∂Ω ≤ cΩ‖∆v‖Ω + ‖∇v‖Ω

.

Wir wenden dies auf der Referenzzelle T an und erhalten mit Hilfe des ublichen Transformati-onsarguments auf jeder einzelnen Zelle T ∈ Th fur entsprechende Funktionen v ∈ H1(T ) dieAbschatzung

‖∂nv‖2∂T ≤ c∗

hT ‖∆v‖2

T + h−1T ‖∇v‖2

T

, (3.6.154)

mit einer von h unabhangigen Konstanten c∗ .

Auf jeder Zelle T ∈ Th ist uh|T ∈ P1(T ) und folglich

ρT (uh)2 = ‖f + ∆uh‖2

T = ‖f‖2T .

Fur ein T ∈ Th sei T := ∪T ′∈Th|T ′ undT haben gemeinsame Kante. . Wegen der Stetigkeitvon ∂hu uber Zellkanten hinweg, ist [∂nuh] = −[∂neh] . Mit Hilfe der Abschatzung (3.6.154)folgt damit wegen hT ≈ hT ′ fur T ′ ∈ T :

h2T ρ∂T (uh)

2 = 14hT ‖[∂neh]‖2

∂T\∂Ω ≤ chT∑

T ′∈T‖∂neh‖2

∂T ′\∂Ω

≤ c∗hT∑

T ′∈T

hT ′‖∆eh‖2

T ′ + h−1T ′ ‖∇eh‖2

T ′

= c∗∑

T ′∈T

h2T ‖f‖2

T ′ + ‖∇eh‖2T ′

.

Dies impliziert nach Summation uber T ∈ Th die behauptete Abschatzung (3.6.153). Q.E.D.

Bemerkung 3.14: Mit einer etwas aufwendigeren Argumentation kann man die folgende ver-scharfte a posteriori Abschatzung herleiten:

ηE(uh) ≤ c( ∑

T∈Th

h2T

h2T ‖∇f‖2

T + ρ∂T (uh)2)1/2

.

Diese besagt, daß im Fehlerschatzer ηE(uh) in der Regel der Einfluß der Gleichungsresiduen‖f + ∆uh‖T gegenuber den Regularitatsresiduen ‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω vernachlassigt werden konnen.Dies ist in dieser Form allerdings nur richtig fur lineare bzw. bilineare finite Elemente.

b) L2-Norm-Fehlerschatzer:

Zur Abschatzung des L2-Fehlers ‖eh‖ wahlen wir das Fehlerfunktional


J(ϕ) := ‖eh‖−1(ϕ, eh),

womit automatisch J(e) = ‖eh‖ gilt. Die zugehorige Losung z ∈ V des dualen Problems

(∇ϕ,∇z) = J(ϕ) ∀ϕ ∈ V (3.6.155)

ist dann auf dem konvexen Gebiet Ω auch in H2(Ω), und es gilt die a priori Abschatzung‖∇2z‖ ≤ ‖∆z‖ = 1 . Ausgehend von der Fehlerabschatzung (3.6.146) erhalten wir wieder

‖eh‖ ≤∑

T∈Th

‖f + ∆uh‖T ‖z − ψh‖T + 1

2‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω ‖z − ψh‖∂T.

Wir konnen nun ψh := Ihz als die normale Knoteninterpolierende von z wahlen:

‖z − Ihz‖T + h1/2T ‖z − Ihz‖∂T ≤ cih

2T ‖∇2z‖T . (3.6.156)

Damit folgt dann wieder mit den oben definierten Residuen ρT (uh) und ρ∂T (uh) :

‖eh‖ ≤ ci∑

T∈Th

h2T

‖f + ∆uh‖T + 1

2h−1/2T ‖[∂nuh]‖∂T\∂Ω

‖∇2z‖T

≤ c( ∑

T∈Th

h4T

ρT (uh)

2 + ρ∂T (uh)2)1/2( ∑

T∈Th

‖∇2z‖2T

)1/2.

Wegen ( ∑

T∈Th

‖∇2z‖2T

)1/2= ‖∇2z‖ ≤ 1,

ergibt sich schließlich das folgende Resultat:

Satz 3.18 (a posteriori L2-Normfehler): Fur den Fehler eh := u− uh gilt die a posterioriAbschatzung bzgl. der L2-Norm:

‖eh‖ ≤ ηL2(uh) := c( ∑

T∈Th

h4T

ρT (uh)

2 + ρ∂T (uh)2)1/2

. (3.6.157)

Diese Abschatzung ist ebenfalls”scharf“ in folgendem Sinne:

ηL2(uh) ≤ c‖eh‖ + c( ∑

T∈Th

h4T ‖f‖2

T

)1/2. (3.6.158)

Beweis: Der Beweis verlauft analog wie bei der Energienorm-Fehlerabschatzung. Diesmal basiertdie Herleitung der Umkehrabschatzung (3.6.158) auf der zellweisen Beziehung

‖∂nv‖2∂T ≤ c∗hT ‖∆v‖2

T + h−3T ‖v‖2

T , (3.6.159)

welche ebenfalls durch Transformation von der Einheitszelle abgeleitet wird. Der Rest des Be-weises sei als Ubungsaufgabe gestellt. Q.E.D.


c) Punktfehler-Schatzer:

Zur Abschatzung des Fehlers eh(a) in einem festen Punkt P ∈ Ω wurden wir gern das Fehler-funktional J(ϕ) := ϕ(P ) wahlen. Dieses ist auf stetigen Funktionen, aber nicht auf dem ganzenLosungsraum V = H1

0 (Ω) definiert, so daß die oben entwickelte allgemeine Theorie nicht unmit-telbar anwendbar ware. Deshalb wahlen wir eine Kugelumgebung Bε := x ∈ R

d : |x− P |<εdes Punktes P und arbeiten statt dessen mit dem regularisierten Funktional

Jε(ϕ) := |Bε|−1

∫

Bε

ϕdx,

welches sicher auf ganz V definiert und beschrankt ist. Der Regularisierungsparameter ε wirdublicherweise gleich einer vorgegebenen Fehlertoleranz TOL gesetzt. Fur hinreichend glatteFunktionen ϕ ist dabei (Fehler der Mittelpunktregel)

|ϕ(P ) − Jε(ϕ)| ≤ c ε2. (3.6.160)

Wir betrachten den Fall d = 2 . Die Losung zε ∈ V des zugehorigen dualen Problems

(∇ϕ,∇zε) = Jε(ϕ) ∀ϕ ∈ V, (3.6.161)

ist dann eine”regularisierte“ Greensche Funktion und verhalt sich wie

zε(x) ≈∣∣ log(|x−P | + ε)

∣∣, |∇2zε| ≈∣∣|x−P | + ε

∣∣−2.

Die Gewichte in der a posteriori Fehlerabschatzung (3.6.147) gestatten daher die Abschatzung

ωT (zε) + ω∂T (zε) ≤ ch2T ‖∇2zε‖T ≤ c h3

T d−2T ,

mit dT := maxx∈T |x−a| + ε . Wir finden also als obere Schranke fur den Punktfehler:

|eh(P )| ≤ c∑

T∈Th

ρT (uh)h2T ‖∇2zε‖T + cε2 ≤ c

∑

T∈Th

ρT (uh)h3T

d2T

+ cε2.

In diesem Fall ist aber die a-priori Bestimmung der Konstante c praktisch unmoglich.

d) Ein hyper-singularer Fall

Einen kuriosen Sonderfall stellt die folgende Auswertungsgroße dar:

J(u) :=

∫

∂Ω∂nu ds

(=

∫

Ω∆u dx = −

∫

Ωf dx

).

Dieser”mittlere Normalfluß“ ließe sich offenbar auch direkt aus den Daten f berechnen. Zur

Illustration wollen wir aber annehmen, daß diese Information nicht ausgenutzt wird, sondernstatt dessen J(u) durch J(uh) approximiert wird. Das Funktional J(·) ist wieder nicht aufdem ganzen Losungsraum V definiert (wohl aber auf der regulareren Losung u ∈ V ∩H2(Ω) ).Zur Anwendung unserer allgemeinen Theorie muß das Funktional daher zunachst regularisiertwerden. Fur das Folgende nehmen wir der Einfachheit halber an, daß Ω der Einheitskreis imR

2 ist. Fur ε = TOL setzen wir Sε := x ∈ Ω,distx, ∂Ω < ε und erhalten fur glattes ϕ :


Jε(ϕ) := ε−1

∫

Sε

∂rϕdx =

∫

∂Ω∂rϕds + O(ε).

Dabei ist ∂n auf Sε auf naturliche Weise durch Fortsetzung von ∂Ω definiert. Die Losungzε ∈ V des zugehorigen dualen Problems

(∇ϕ,∇zε) = Jε(ϕ) ∀ϕ ∈ V,

ist dann gegeben durch

zε = −1 in Ω\Sε, zε(x) = −ε−1(1−|x|) auf Sε.

Hieraus ergibt sich die Fehlerabschatzung

|Jε(eh)| ≤ ci∑

T∈Th

h2T ρT (uh)‖∇2zε‖T ≈

∑

T∩Sε 6=∅... ,

d.h.: Die Zellen im Innern von Ω tragen nicht zum Gesamtfehler bei. Daher ware die besteStrategie zur Gitterverfeinerung, in jedem Verfeinerungszyklus jeweils nur die Zellen entlangdes Randes ∂Ω zu verfeinern. Dies setzt aber voraus, daß die Elemente des Lastvektors, bn =

(f, ϕ(n)h )Ω , exakt berechnet werden. Abbildung 3.11 zeigt ein automatisch verfeinertes Gitter

nach 7 Verfeinerungszyklen sowie die numerisch bestimmte duale Losung auf diesem Gitter. Diezugehorigen Ergebnisse sind in Tabelle 3.1 gelistet.

Abbildung 3.11: Verfeinertes Gitter nach 7 Verfeinerungszyklen (links) und die auf diesem Gitter nu-merisch bestimmte Losung (rechts).

ηE

L N J(eh)

1 1024 2.91 + 0

2 4096 1.50 + 0

3 16384 7.49 − 1

4 64768 3.77 − 1

5 253858 1.73 − 1

6 memory exhausted

”optimale“ Strategie

L N J(eh)

1 559 2.90 + 0

2 1294 1.50 + 0

3 3079 7.48 − 1

4 7174 3.62 − 1

5 16738 1.67 − 1

6 38146 6.93 − 2

Tabelle 3.1: Resultate mit dem Energienorm-Fehlerschatzer ηE(uh) und der”optimalen“ Strategie.


Numerische Auswertung des a-posteriori Fehlerschatzers

Wir wollen nun kurz die numerische Auswertung der Fehleridentitat (3.6.142) diskutieren:

J(eh) = η(uh) :=∑

T∈Th

(f + ∆uh, z − ψh)T − 1

2 ([∂nuh], z − ψh)∂T. (3.6.162)

Wir wahlen dazu ψh := Ihz , die Knoteninterpolierende von z . Die Qualitat der Auswertungwird durch den sog.

”Effektivitatsindex“ gemessen:

Ieff :=∣∣∣η(uh)J(eh)

∣∣∣.

Alle Methoden der Auswertung von (3.6.162) bedienen sich einer numerischen Losung zh ∈ Vhdes dualen Problems, welche im einfachsten Fall durch direkte Diskretisierung von (3.6.162) mitHilfe des vorliegenden Verfahrens gewonnen wird:

(∇ϕh,∇zh) = J(ϕh) ∀ϕh ∈ Vh. (3.6.163)

Wir unterscheiden zwei Anwendungen der Fehleridentitat (3.6.162):

– Uberprufung der Genauigkeit einer auf dem Gitter Th berechneten Naherungslosung uhund Abbruchkriterium fur einen Gitterverfeinerungsprozess: η(uh) ≤ TOL ?

– Grundlage zur Gewinnung von Kriterien (”Verfeinerungsindikatoren“ ηT ) zur lokalen Git-

teranpassung.

Die folgenden Strategien zur Auswertung von η(uh) kommen in Betracht (hier beschrieben furden Fall d-linearer Ansatze auf Rechteckgittern im R

d):

1. Die duale Losung z wird durch eine Naherung hoherer Ordnung approximiert. Zum Bei-

spiel liefert die Approximation z ≈ z(2)h mit der d-quadratischen Ritz-Projektion das

gewunschte asymptotische Verhalten limTOL→0 Ieff = 1 .

2. Die duale Losung z wird durch eine zellblockweise (je 2d Zellen) d-quadratische Inter-

polierende der d-linearen Ritzapproximation approximiert: z ≈ I(2)h zh . In diesem Fall

beobachtet man limTOL→0 Ieff < 1 (≈ 0.5 − 0.9).

3. Die Differenz z−Ihz wird in Anlehnung an die oben zitierte Interpolationsfehlerabschatzungmit Hilfe eines skalierten Differenzenquotienten der d-linearen Ritz-Proktion approximiert:|z−Ihz| ≈ ci,Th

2T |∇2

hzh| . Dies fuhrt in der Regel auf eine grobe Uberschatzung des Fehlers.

In der Praxis wird meist die”billige“ und ausreichend genaue Prozedur (2) verwendet. Dabei

brauchen insbesondere keine Interpolationskonstanten ci spezifiziert zu werden.

3.6.3 Strategien zur Gittersteuerung

Ziel ist es, den Fehler in dem durch das Fehlerfunktional J(·) beschriebenen Maß unter einegewisse vorgegebene Toleranz |J(eh)| ≤ TOL zu bringen und dabei mit dem vorhandenen Spei-cher auszukommen. Es konnen also nur eine bestimmte Anzahl von Zellen N ≤ Nmax verwaltet


werden. Die Gitterverfeinerung erfolgt dabei standardmaßig durch”Kantenbisektion“, d.h. durch

Unterteilung einer Zelle T in 2d Teilzellen. Bei Gittervergroberung werden mehrere Zellen zueiner Makrozelle zusammengefaßt. Wir werden im folgenden hauptsachlich Vierecks- oder He-xaedergitter betrachten. Bei Unterteilung einer Zelle entstehen sog.

”hangende“ Knoten auf den

Zellrandern, so daß das neue Gitter zunachst nicht zulassig ware. Diese Unzulassigkeit kanndurch verschiedenen Methoden aufgehoben werden. Die meist gebrauchliche ist die Eliminationder zu den hangenden Knoten gehorenden Freiheitsgraden durch lineare Interpolation, wodurchder entstehende diskrete Ansatzraum wieder konform wird: Vh ⊂ V (s. Abb. 3.12). Dabei wirdder fiktive Knotenwert vh(P ) in einem hangenden Knoten P auf einer Kante Γ ⊂ ∂T mitEndpunkten P ′, P ′′ durch die Interpolationsvorschrift vh(P ) := 1

2vh(P ′)+vh(P ′′) festgelegt.Alle im folgenden gezeigten Beispielrechnungen bedienen sich dieser Technik.

x

4

Abbildung 3.12: Verfeinertes Rechteckitter mit”hangendem“ Knoten sowie die Basisfunktion

zum Mittelknoten.

Ausgangspunkt zur Gewinnung von Kriterien fur die lokale Gitteranpassung ist eine a-posteriori Fehlerschatzung der Form

|J(eh)| ≈∑

T∈Th

ηT , (3.6.164)

mit lokalen”Fehlerindikatoren“ ηT , welche durch Auswertung der Fehleridentitat (3.6.142) mit

Hilfe einer der oben beschriebenen Methoden gewonnen werden. Wir erhalten bei Verwendungvon Methode (2):

ηT :=∣∣(f + ∆uh, I

(2)h zh − zh)T − 1

2 ([∂nuh], I(2)h zh − zh)∂T\∂Ω

∣∣ (3.6.165)

und mit Methode (3):

ηT := cih2T ρT (uh) + ρ∂T (uh) ‖∇2

hzh‖T . (3.6.166)

Wir beschreiben im folgenden das allgemeine Schema eines auf lokalen Fehlerindikatoren ηTbasierenden Gitteranpassungsprozesses:

Nachdem uber das Gebiet Ω ein Grobgitter T0 := Th0 mit einer Gitterweitenverteilung h0

gelegt worden ist, sei der Prozeß der adaptiven Gittersteuerung schon L-mal durchlaufen worden.Wir bestimmen nun auf dem Gitter TL := ThL

die approximative Losung uL ∈ VL := VhL.

Ebenso wird die diskrete duale Losung zL ∈ VL auf TL berechnet. Nun konnen die lokalenFehlerindikatoren ηT gemaß (3.6.165) oder (3.6.166) fur jede Zelle T ∈ TL ausgewertet werden.


Wir bezeichnen mit NL ≈ dim(VL) die Anzahl der Zellen des Gitters TL .

Abbruchabfrage: Ist das Abbruchkriterium η(uh) ≤ 12TOL auf dem Gitter TL erfullt, wird

der Adaptionsprozess abgebrochen und zL als Naherung zu u akzeptiert, welche die ZielgroßeJ(u) durch J(uh) mit der gewunschten Genauigkeit TOL approximiert. Andernfalls wird einneuer Adaptionszyklus begonnen.

Adaptionszyklus: Der Ubergang vom Gitter TL zum nachsten Gitter TL+1 erfolgt nach einerder im folgenden beschriebenen

”Adaptionsstrategien“. Zunachst werden die Zellen T ∈ TL nach

der Große ihrer Indikatorwerte ηT angeordnet,

Ti, i = 1, ..., NL : ηT,1 ≥ ... ≥ ηT,i ≥ ηT,i+1 ≥ ... ≥ ηT,NL.

I) Fehlerbalancierungs-Strategie: Das Ziel ist, die Indikatorwerte so zu balancieren, daß

ηT ≈ TOL

NL, T ∈ TL . (3.6.167)

Dann wurde wie gewunscht gelten:

|J(eL)| ≈ η(uL) ≈∑

T∈TL

TOL

NL= TOL.

Das Problem bei dieser Strategie ist zum einen, daß die Zahl NL sich wahrend des Verfeine-rungsprozesses standig andert, und zum anderen, daß die Balancierungsvorschrift (3.6.167) diedelikate Wahl von Parametern 0 < α < β < 1 erfordert:

αTOL

NL≤ ηT ≤ β

TOL

NL.

Fur die folgende Diskussion setzen wir der Einfachheit halber α = 1/2, β = 1 . Im ersten Schritttestet man, ob ηT,1 ≤ TOL/NL ist. Wenn

”ja“, ist das Abbruchkriterium erfullt, wenn

”nein“,

wird die Zelle T1 verfeinert. Dies fuhrt zu einer Erhohung von NL auf NL + 3 . Danach warees moglich, daß fur alle ubrigen Zellen TL,i gilt:

TOL

NL + 3≤ ηT,i ≤

TOL

NL.

Der Verfeinerungszyklus ware also bereits nach dem ersten Schritt zu beenden und auf demerhaltenen Gitter TL+1 eine neue Naherungslosung uL+1 zu berechnen. Dies ware aber sehrineffizient. Der Verfeinerungsprozeß sollte daher beschleunigt werden. Dazu uberpruft man vondem Indikator ηT,1 ausgehend und beginnend mit j = 0 , ob

ηT,i ≤TOL

NL + 3j.

Ist dies nicht erfullt, wird das Element Ti geteilt, die Zahler j und i um Eins erhoht, undman geht zum nachstkleineren ηT,i uber. Ist die Bedingung allerdings erfullt, hat man dasneue Gitter TL+1 gefunden. Diese Balancierungsstrategie ist zwar potentiell optimal, jedochmit aufwendigen Abfragen verbunden. Mogliche alternative Strategien, die einfacher sind, aberweniger gute Ergebnisse liefern, sind die folgenden.


II)”Fest-Raten-Strategie“: Ziel ist es, in jedem Adaptionszyklus die Anzahl der Gitterzellen

NL mit einer festen Rate zu erhohen oder den Fehlerschatzwert η(uL) mit einer festen Rate zuverkleinern. Ausgangspunkt ist wieder eine Anordnung der Zellen von TL nach der Große derzugehorigen Indikatorwerte. Zu vorgewahlten Prozentsatzen X% und Y% werden die Zellenso gruppiert, daß (and der Zellanzahl orientierte Strategie)

#Ti, . . . , TN∗ ≈X

100NL , #TNL−N∗+1, . . . , TNL

≈ Y

100NL ,

oder alternativ (am Schatzwert orientierte Strategie)

N∗∑

i=1

ηT,i ≈ Y η(uL),

NL∑

i=NL−N∗+1

ηT,i ≈ X η(uL).

Dann werden die Zellen Ti, . . . , TN∗verfeinert und die Zellen TNL−N∗+1, . . . , NL vergrobert.

”Exakte“ Gitteroptimierung

Zum Abschluß wollen wir noch diskutieren, daß die Fehlerschatzung (3.6.147)

|J(eh)| ≈ η :=∑

T∈Th

ρT (uh)ωT (zh) (3.6.168)

im Prinzip auch zur direkten Bestimmung eines”optimalen“ Gitters mit Gitterweitenfunktion

h = h(x) verwendet werden konnte. Dies wird als Nebenprodukt auch eine Rechtfertigung furdie

”Aquilibrierungsstrategie“ liefern. Zu losen sind die folgenden Optimierungsaufgaben:

(OP I) Bei vorgegebener Fehlertoleranz TOL soll die zu deren Erreichung benotigte Anzahl vonZellen N (d.h. der numerische Aufwand) minimiert werden:

N →MIN, η ≤ TOL. (3.6.169)

(OP II) Bei vorgegebener maximalen Zellzahl Nmax (d.h. begrenzter Speicherkapazitat) soll derFehler (genauer der Fehlerschatzer) minimiert werden:

η →MIN, N ≤ Nmax. (3.6.170)

Wir diskutieren im folgenden nur die fur die Praxis relevantere Fragestellung (OP II). Das Op-timierungsproblem (OP I) laßt sich mit analogen Argumenten behandeln (Ubungsaufgabe). Diegrundlegende Annahme ist, daß die Großen ρT (uh) sowie ωT (zh) (nach geeigneter Skalierung)fur TOL→ 0 zunehmend bessere, lokale Approximationen gewisser kontinuierlicher FunktionenΦ(x) bzw. Ψ(x) sind:

h−1T ρT (uh) = h−1

T ‖f + ∆uh‖T + 12h

−3/2T ‖h−1

T [∂nuh]‖∂T\∂Ω → Φu(xT ), (3.6.171)

h−3ωT (zh) = maxh−3T ‖z − Ihz‖T , h−5/2

T ‖z − Ihz‖∂T

→ Ψz(zT ), (3.6.172)

wobei xT ein gemeinsamer Punkt einer Folge von Zellen T ist. Diese Annahme ist naturlichim strengen Sinne nicht realistisch, da auf allgemeinen Gitterfolgen (Th)h→0 ein sehr unre-


gelmaßiges Konvergenzverhalten auftreten kann. Unter der obigen Annahme gilt mit der Funk-tion A(x) := Φ(x)Ψ(x) :

∑

T∈Th

ρT (uh)ωT (zh) =∑

T∈Th

h4T

h−4T ρT (uh)ωT (zh)

≈∫

Ωh(x)2A(x) dx. (3.6.173)

Fur die Zellzahl N haben wir die Darstellung

N =∑

T∈Th

1 =∑

T∈Th

h2Th

−2T ≈

∫

Ωh(x)−2 dx. (3.6.174)

Damit konnen wir die Optimierungsaufgabe (OP II) naherungsweiser in kontinuierlicher Formschreiben als:

F (h) :=

∫

Ωh(x)2A(x) dx→MIN, N(h) :=

∫

Ωh(x)−2 dx = Nmax. (3.6.175)

Hierbei haben wir o.B.d.A. die Ungleichungsbedingung N ≤ Nmax durch eine Gleichungsbe-dingung N = Nmax ersetzt, da sich ein minimaler Fehler sicherlich unter maximaler Aus-nutzung der moglichen Zellzahl ergibt. Dieses restringierte Optimierungsproblem wird nun mitdem Lagrange-Formalismus der Variationsrechnung gelost. Dazu definieren wir die

”Lagrange-

Funktion“L(h, λ) := F (h) + λ N(h) −Nmax

mit einem skalaren Lagrange-Parameter λ ∈ R. Jede Losung des Optimierungsproblems ist dannnotwendig stationarer Punkt (Sattelpunkt) von L . Zur Bestimmung eines solchen Sattelpunktsmachen wir den Ansatz

d

dtL(h+ tϕ, λ+ tµ)|t=0 = 0 ∀ϕ ∈ C(Ω), ∀µ ∈ R.

Auswertung dieser Beziehung ergibt

2

∫

Ωh(x)A(x)ϕ(x) dx − 2λ

∫

Ωh−3(x)ϕ(x) dx = 0 ∀ϕ ∈ C(Ω)

sowie

µ

∫

Ωh(x)−2 dx−Nmax

= 0 ∀µ ∈ R,

bzw. notwendig

h(x)A(x) − λh−3(x) = 0,

∫

Ωh(x)−2 dx = Nmax.

Hieraus ergibt sich, daß

h(x) =(Aλ

)−1/4,

und weiter

W :=

∫

ΩA(x)1/2 dx = λ1/2Nmax .


Damit erhalten wir einerseits den Lagrange-Parameter,

λ =( W

Nmax

)2, (3.6.176)

und andererseits eine Gleichung fur die gesuchte”optimale“ Gitterweitenverteilung

hopt(x) =( W

Nmax

)1/2A(x)−1/4. (3.6.177)

Als Nebenprodukt dieser Rechnung ergibt sich fur die optimale Gitterweite die Beziehung

ηT = h4TAT = λ ≡ konst., (3.6.178)

d.h.: Die an der Aquilibrierung der lokalen Fehlerindikatoren ηT orientierten Gittersteuerungs-strategien fuhren tatsachlich auf optimale Gitterweitenverteilungen.

Wir erwahnen noch, daß das zu (OP I)”duale“ Optimierungsproblem (OP II) auf die folgende

Losung fuhrt:

hopt(x) =(TOLW

)1/2A(x)−1/4. (3.6.179)

Die Große W ist bei den ublichen Fehlerfunktionalen wohl definiert; dies beinhaltet sogar sosingulare Falle wie die Punktauswertung von Ableitungen J(u) = ∂iu(a) , A(x) ∼ |x − a|−3.Erst die Auswertung von zweiten Ableitungen J(u) = ∂2

i u(a) macht hier Probleme.

3.6.4 Ein Testbeispiel

Wir wollen die bisher erzielten Ergebnisse anhand eines konkreten Beispiels illustrieren. Dazuwird wieder das ubliche Modellproblem betrachtet:

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω. (3.6.180)

Wir wollen den Punktwert ∂1u(P ) fur ein P ∈ Ω berechnen. Das zugehorige Funktional istwieder nicht auf dem ganzen Losungsraum V = H1

0 (Ω) definiert und muß regularisiert werden.Wir setzen dazu mit ε := TOL :

Jε(ϕ) := |Bε|−1

∫

Bε

∂1u dx . (3.6.181)

Testfall 1: Sei Ω := (−1, 1)2 und P = 0 (siehe Abb. 3.13). Die zu dem Funktional Jε(·)gehorige duale Losung zε verhalt sich dann wie |∇2zε(x)| ≈ (|x| + ε)−3. Dies impliziert, daß

|∂1eh(0)| ≈ ci∑

T∈Th

h4T

d3T

ρT (uh), (3.6.182)


mit dT := |xT | + ε und dem Mittelpunkt xT von T . Wir wollen hierfur eine optimale Gitter-weitenverteilung bestimmen. Ausgangspunkt ist die Aquilibrierungsbedingung

ηT ≈ h4T

d3T

≈ TOL

N⇒ h2

T ≈ d3/2T

(TOLN

)1/2.

Hieraus ergibt sich

N =∑

T∈Th

h2Th

−2T =

( N

TOL

)1/2 ∑

T∈Th

h2T d

−3/2T ≈

( N

TOL

)1/2

und folglich Nopt ≈ TOL−1. Bei Verwendung des Energienorm-Fehlerschatzers (3.6.152) zurGitterverfeinerung ergibt sich dagegen die Gitterkomplexitat Nopt ≈ TOL−2. Dieses vorher-gesagte Verhalten der verschiedenen Gitterverfeinerungsprozesse wird durch die numerischenErgebnisse in Tabelle 3.2 gut bestatigt.

TOL N L |∂1eh(0)| ηweight(uh) Ieff

4−2 148 6 7.51e-1 5.92e-2 0.08

4−3 940 9 4.10e-1 1.42e-2 0.03

4−4 4912 12 4.14e-3 3.50e-3 0.65

4−5 20980 15 2.27e-4 9.25e-4 4.16

4−6 86740 17 5.82e-5 2.38e-4 4.16

Tabelle 3.2: Resulte der Berechnung von ∂1u(0) unter Verwendung des gewichteten a posterioriFehlerschatzers ηweight(uh) fur verschiedenen Verfeinerungslevel L ; der

”Effektivitatsindex“ ist

definert durch Ieff := |ηweight(uh)/∂1eh(0)|.

Wir betonen, daß die richtige Wahl des Regularisierungsparameters ε = TOL in (3.6.181)fur den Losungsprozess wichtig ist. Die triviale Alternative ε = hmin ist automatisch realisiert,wenn zur Berechnung der Gewichte ωT (z) die numerisch bestimmte, diskrete, duale Losungzh ∈ Vh verwendet wird (siehe Abb. 3.13). Dies kann bei sehr

”singularen“ Funktionalen zu

starker lokaler Uberverfeinerung, d.h. zu unnotig vielen Verfeinerungsschritten, fuhren.

Abbildung 3.13: Verfeinerte Gitter und numerisch bestimmte duale Losung zur Berechnungvon ∂1u(0) auf dem Quadrat bei Verwendung des a posteriori Fehlerschatzers ηweight(uh) mitTOL = 4−4.


Testfall 2: Sei nun Ω das Rechteckgebiet Ω = (−1, 1) × (−1, 3) mit Schlitz bei (0, 0) (sieheAbb. 3.15). Die Prasenz der (einspringenden) scharfen Ecke mit Innenwinkel ω = 2π bewirkt inder schwachen Losung eine

”Eckensingularitat“ der Form s = ψ(θ)r1/2 , d.h. eine Singularitat

im Gradienten. Wir wollen illustrieren, wie diese Eckensingularitat mit der durch die GewichteωT (z) im Fehlerschatzer induzierten zusammenspielt.

Wir sehen in Abb. 3.15, daß der gewichtete Fehlerschatzer Zellen sowohl bei der Schlitzspitze(zur Unterdruckung des

”Pollutionseffekts“), aber auch beim Auswertungspunkt konzentriert,

wahrend der Energienorm-Fehlerschatzer wesentlich starker an der Schlitzspitze und naturlichgar nicht im Auswertungspunkt verfeinert.

1e-05

0.0001

0.001

0.01

0.1

1000 10000 100000

e_x(

-2.,.

5)

Number of elements N

"ETA_weight""ETA_E"

0.0001

0.001

0.01

1000 10000

e_x(

-2.,.

5)

Number of elements N

"ERROR""ETA_weight"

Abbildung 3.14: Vergleich der Effizienz von ηE(uh) und ηweight(uh) auf dem Schlitzgebiet.

Abbildung 3.15: Verfeinerte Gitter mit ungefahr 5000 Zellen zur Berechnung von ∂1u(P ) , er-zeugt mit dem gewichteten Fehlerschatzer ηweight(uh) (mittig) sowie dem Energienorm-Fehler-schatzer ηE(uh) (rechts).

3.7 Ubungen 149

3.7 Ubungen

Ubung 3.1: Man formuliere das Ritzsche Verfahren mit endlich dimensionalen Teilraumen ge-eigneter Sobolew-Raume Hm(Ω) fur die folgenden Aufgabenstellungen:

a) Neumannsche RWA des Laplace-Operators:

−∆u = f in Ω, ∂nu = g auf ∂Ω.

b) Eigenwertproblem des Laplace-Operators:

−∆u = λu in Ω, u = 0 auf ∂Ω.

c) Dirichletsche RWA des “biharmonischen” Operators:

−∆2u = f in Ω, u = ∂nu = 0 auf ∂Ω.

Dabei seien jeweils das Gebiet Ω sowie die Daten f, g als genugend regular und kompati-bel angenommen. Man versuche, hierfur analog zur Vorlesung “Bestapproximations”-Aussagenherzuleiten.

Ubung 3.2: Seien V ein Hilbert-Raum mit Skalarprodukt (·, ·)V und zugehoriger Norm ‖·‖Vund a(·, ·) sowie l(·) bilineare bzw. lineare Formen auf V mit den Eigenschaften

|a(v,w)| ≤ α‖v‖V ‖w‖V , v, w ∈ V (Beschranktheit),

|a(v, v)| ≥ κ‖v‖2V , v, w ∈ V (“V-Elliptizitat”),

|l(v)| ≤ β‖v‖V , v ∈ V (Beschranktheit).

Dann hat die Variationsgleichung

a(u, ϕ) = l(ϕ) ∀ϕ ∈ V

nach dem Satz von Lax-Milgram eine eindeutige Losung u ∈ V . Fur endlich dimensionaleTeilraume Vh ⊂ V werden approximative Losungen uh ∈ Vh bestimmt durch die “Galerkin-Gleichungen”

a(uh, ϕh) = l(ϕh) ϕh ∈ Vh.

a) Man zeige hierfur die (eindeutige) Existenz der “diskreten” Losungen uh ∈ Vh und dieFehlerabschatzung

‖u− uh‖V ≤ α

κinf

ϕh∈Vh

‖u− ϕh‖V .

b) Man wende das Resultat von (a) zum Nachweis der Konvergenz der Galerkin-Approximationdes Diffusions-Konvektions-Problems

−∆u+ ∂1u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf einem regularen Gebiet Ω ⊂ R2 mit rechter Seite f ∈ L2(Ω) an.

c) Man versuche das Resultat von (a) fur den Fall zu verallgemeinern, daß die Biliearform a(·, ·)


nicht V -elliptisch sondern nur “koerzitiv” ist, d.h.:

supϕ∈V \0

a(v, ϕ)

‖ϕ‖V≥ γ‖v‖, sup

ϕ∈V \0

a(ϕ, v)

‖ϕ‖V≥ γ‖v‖, v ∈ V.

Worin bestehen hierbei die Probleme?

Ubung 3.3: Das Modellproblem

−∆u = f in Ω, u|∂Ω = 0,

auf dem Einheitsquadrat Ω = (0, 1)2 werde auf einem aquidistanten, kartesischen Gitter mit derGitterweite h mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode mit stuckweise bilinearen Ansatzfunktio-nen diskretisiert. Man stelle die zugehorigen Systemmatrizen auf:

a) mit exakter Integration,

b) unter Verwendung der 2-dimensionalen “Tensorprodukt-Trapezregel”

QT (f) :=|T |4

4∑

i=1

f(ai), ai Eckpunkte der Zelle T.

Welche Besonderheit ergibt sich?

Ubung 3.4: Man uberlege (etwa durch Konstruktion von Beispielen), in wie weit die folgendenBedingungen an eine Folge von (im Sinne der Vorlesung regularen) Zerlegungen Thh>0 einesGebiets Ω ⊂ R

2 (in Dreiecke oder Vierecke) aquivalent sind:

a) Die inneren Winkel aller Zellen T ∈ Th sind gleichmaßig fur T ∈ Th und h > 0 von Nullwegbeschrankt (“minimum angle condition”).

b) Fur die Inkreisradien ρT und Umkreisradien hT der Zellen T ∈ Th gilt (“uniform shapecondition”):

supT∈Th, h>0

hTρT

<∞.

c) Fur die Seiten Γ ⊂ ∂T jeder Zelle T ∈ Th gilt

maxΓ⊂∂T

|Γ| ≤ c minΓ⊂∂T

|Γ|

mit einer von T unabhangigen Konstante c.

Ubung 3.5: Sei V(1)h ⊂ H1(Ω) der Raum der stuckweise linearen finiten Elemente bzgl. einer

regularen Triangulierung von Ω ⊂ R2 . Mit Hilfe des L2-Skalarprodukts (·, ·) ist die sog. “L2-

Projektion” Ph : L2(Ω) → V(1)h definiert durch die Vorschrift

(Phu, ϕh) = (u, ϕh) ∀ϕh ∈ V (1)h .

a) Man leite eine Fehlerabschatzung fur die L2-Norm ‖u − Phu‖ her, zunachst unter der An-nahme v ∈ H2(Ω) . Was wurde man unter den schwacheren Regularitatsannahmen v ∈ H1(Ω)

3.7 Ubungen 151

oder v ∈ L2(Ω) erhalten?

b) Welche verbesserte Abschatzung erhalt man bzgl. der “negativen” Sobolew-Norm

‖u− Phu‖−1 := supϕ∈H1

0 (Ω)

(u− Phu, ϕ)

‖∇ϕ‖ ≤ ch?‖v‖H2 ?

Ubung 3.6: Man begrunde anhand der eindimensionalen Poisson-Gleichung

−u′′(x) = f(x) in Ω = (0, 1), u(0) = u(1) = 0,

daß fur die Ritz-Projektion Rh : H10 (Ω) → V

(1)h eine Abschatzung wie in Aufgabe 6.3b nicht

gelten kann. (Hinweis: Man verifiziere, daß in diesem Fall die Ritz-Projektion Rhu identisch mitder Knoteninterpolierenden Ihu ist.)

Ubung 3.7: Die Dirichletsche Randwertaufgabe

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf einem konvexen Polygongebiet Ω ⊂ R2 werde mit einem Galerkin-Verfahren mit An-

satzraumen V(1)h ⊂ V := H1

0 (Ω) von”linearen” finiten Elementen approximiert. Mit welcher

Ordnung konvergieren

i) der gewichtete Mittelwert uber Ω (ω ∈ H1(Ω) eine glatte Gewichtsfunktion):

∫

Ωuhω dx→

∫

Ωuω dx (h→ 0) ?

ii) der quadratischen Mittelwert uber einen glatten geschlossenen Weg Γ ⊂ Ω :

∫

Γu2h ds→

∫

Γu2 ds (h→ 0) ?

(Hinweis: Zur Erzielung eines optimalen Resultats verwende man die Variante des Spurlemmasfur Funktionen in H1,1(Ω) und die Fehlerabschatzungen aus der Vorlesung.)

Ubung 3.8: Man untersuche, ob die folgenden Satze von Funktionalen fur die angegebenenPolynomraume “unisolvent” sind. Dabei bezeichnen ai die Ecken, mi die Seitenmitten sowiebij (j = 1, 2) jeweils zwei Gauß-Punkte auf der Kante Γi, i = 1, . . . , d + 1 , und z den Schwer-punkt des Elements T .

i) T (kartesisches) Einheitsdreieck:

P (T ) = P3(T ), p(ai), ∇p(ai), p(z);P (T ) = P3(T ), p(ai), p(bij), p(z);

P (T ) = P5(T ), p(ai), ∇p(ai), ∇2p(ai), ∂np(mi).


ii) T (kartesisches) Einheitsquadrat:

P (T ) = Q1(T ) := P1(T ) ⊕ spanx2 − y2, p(mi);

P (T ) = Q3(T ) := P3(T ) ⊕ spanx3y, xy3, p(ai), ∇p(ai).

Ubung 3.9: Sei Ω ⊂ R2 ein Polygongebiet und Th = T eine Triangulierung von Ω . Man

betrachte die beiden mit den kubischen Ansatzen aus Aufgabe 7.2 gebildeten Ansatzraumen

S(3)h und S

(3)h und bestimme deren Dimensionen asymptotisch in Abhangigkeit von h auf

gleichmaßigen Triangulierungen. Wieviele von Null verschiedene Elemente haben die zugehorigenSteifigkeitsmatrizen pro Zeile bei der Approximation der Laplace-Gleichung?

Ubung 3.10: Die Neumannsche Randwertaufgabe

−∆u+ u = f in Ω, ∂nu = 0 auf ∂Ω,

auf einem konvexen Polygongebiet Ω ⊂ R2 soll mit einem Galerkin-Verfahren mit Ansatzraumen

V(1)h ⊂ V := H1

0 (Ω) von”linearen” finiten Elementen approximiert werden.

a) Man formuliere diese Approximation, d. h. die Ansatzraume Vh ⊂ V := H1(Ω) und diezugehorigen Variationsgleichungen.

b) Man leite Fehlerabschatzhungen in der H1- und der L2-Norm her.

c) Wie muß dieser Ansatz im Fall eines krumm berandeten Gebiets und einer inhomogenenNeumann-Randbedingung ∂nu = g auf ∂Ω zur Erzielung einer konformen Approximationmodifiziert werden?

Ubung 3.11: Die Randwertaufgabe

−∆u = f in Ω, u|∂Ω = 0,

auf einem Gebiet Ω ⊂ R2 mit (stuckweise) kubisch (z. B. CAD-Daten mit kubischen Spline-

Funktionen) parametrisiertem C2-Rand ∂Ω soll mit einem (isoparametrischen) kubischen Finite-Elemente-Ansatz diskretisiert werden. In diesem Fall hat die Losung mindestens die Regularitats-stufe u ∈ H3(Ω) (i. Allg. aber u 6∈ H4(Ω) ), und es gilt die a priori Abschatzung

‖u‖2+k ≤ c‖∆u‖k, k = 0, 1.

a) Man gebe einen geeigneten Ansatzraum an. Welche Konvergenzordnungen sind dafur zuerwarten bzgl. der Energie-Norm (H1-Seminorm) und der L2-Norm, und welche Regularitatmuß dabei jeweils fur die Losung u vorausgesetzt werden?

b) Welche Fehlerordnung laßt sich mit Hilfe eines Dualitatsarguments fur die Mittelwerte zeigen,d. h.: ∣∣∣

∫

Ωu dx−

∫

Ωuh dx

∣∣∣ ≤ ch?‖u‖? ?

Ubung 3.12: Sei T ⊂ R2 ein Dreieck mit Durchmesser hT und Inkreisradius ρT mit hT ≤

cρT , und sei Ihv die lineare Interpolierende mit den Funktionswerten in den Eckpunkten von

3.7 Ubungen 153

T als Knotenwerte. Man zeige mit den Mitteln der Vorlesung die Abschatzung

‖v − Ihv‖∂T ≤ ch3/2T ‖∇2v‖T .

Hierdurch wird auch die Abschatzung

‖v − Ihv‖∂T ≤ ch1/2T ‖∇v‖T

nahegelegt. Kann diese gelten?

Ubung 3.13: Man gebe die bestmoglichen h-Potenzen in den folgenden Interpolationsfehler-abschatzungen fur die Lagrange-Interpolation in P (T ) := P2(T ) an:

(i) ‖∇2(v − IT v)‖T ≤ cih?T ‖∇3v‖T ;

(ii) |(v − IT v)(a)| ≤ cih?T ‖∇3v‖T ;

(iii) ‖∂n(v − IT v)‖∂T ≤ cih?‖∇3v‖T ;

(iv) ‖v − IT v‖T ≤ cih?T ‖∇2v‖T .

Ubung 3.14: Zur Finite-Elemente-Approximation des sog.”Plattenbiegeproblems” (Randwert-

problem des”biharmonischen” Operators)

∆2u = f in Ω, u = ∂nu = 0 auf ∂Ω,

wird wieder von einer zugehorigen variationellen Formulierung ausgegangen. Diese ist auf naturli-che Weise im Sobolew-Raum V := H2

0 (Ω) = v ∈ H2(Ω)| u|∂Ω = ∂nu|∂Ω = 0 definiert: Findeu ∈ V mit

a(u, ϕ) := (∆u,∆ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ V.

Die Bilinearform ist a(·, ·) V -elliptisch, so daß die betrachtete RWA eine eindeutige”schwache”

Losung u ∈ V besitzt. Auf einem Rechteck Ω ist diese schwache Losung sogar in H4(Ω) undgenugt der a priori Abschatzung

‖u‖H4 ≤ c‖f‖.Fur einen konformen Finite-Elemente-Ansatzraum Vh muß nun gelten Vh ⊂ V , d.h.: die stuck-weise polynomialen Ansatzfunktionen mußen global stetig differenzierbar sein. Das GrundgebietΩ sei als konvex polygonal angenommen.

a) Einen konformen Finite-Elemente-Ansatzraum Vh ⊂ V erhalt man mit Hilfe des quintischenArgyris-Elements. Man gebe hierfur eine Fehlerabschatzung in der

”Energienorm” sowie in der

L2-Norm an. (Hinweis: Dualitatsargument.)

b) Welche Spektral-Kondition in Abhangigkeit von der Gitterweite h ist fur die zugehorigeSteifigkeitsmatrix Ah zu erwarten?

Ubung 3.15: Die Steifigkeitsmatrix und der Lastvektor eines kubischen FE-Ansatzes zur Ap-proximation der RWA

−∆u = 0 in Ω, u|∂Ω = 0,

auf einer Triangulierung von Ω ⊂ R2 werde mit Hilfe numerischer Quadratur berechnet.


a) Von welcher Ordnung sollte die verwendete Quadraturformel sein, damit (i) Konvergenz desresultierenden Verfahrens bzgl. der Energienorm garantiert ist, und (ii) seine Ordnung optimalist? Man gebe jeweils ein Verfahrensbeispiel (Quadraturformel) mit moglichst geringer Komple-xitat (Anzahl der Funktionsauswertungen) an.

b) Zur Illustration der Notwendigkeit bzw. Nichtnotwendigkeit der in der Vorlesung abgeleitetenBedingungen an die numerische Quadratur betrachte man die Approximation der 1. RWA desLaplace-Operators auf dem Einheitsquadrat mit bilinearen finiten Elementen auf einem aqui-distanten, kartesischen Gitter. Welches Differenzenschema erhalt man, wenn die Elemente derSystemmatrix mit der Mittelpunktsregel berechnet werden? Diese Situation ist durch die Theorieaus der Vorlesung nicht abgedeckt. Ist das resultierende Verfahren dennoch konvergent?

Ubung 3.16: Fur die Systemmatrix Ah einer Finite-Elemente-Diskretisierung fur die 1. RWAdes Laplace-Operators

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

wurde in der Vorlesung fur “quasi-gleichformige” Triangulierungsfolgen (Th)h>0 die Konditioncond2(Ah) = O(h−2) gezeigt.

(i) Man rekapituliere, was fur eine Triangulierungsfolge “quasi-gleichformig” bedeutet.

(ii) Wie hangt die Kondition von Ah von den Inkreis- bzw. Inkugelradien der Zellen ab, wenndie Triangulierungsfolge nicht “formregular” ist?

(iii) Man untersuche die Abhangigkeit der Kondition der Systemmatrix cond2(Ah) der “5-Punkte-Differenzendiskretisierung auf aquidistanten Tensorproduktgittern mit unterschiedlichenGitterweiten hx 6= hy vom Seitenverhaltnis hx/hy (“aspect ratio”). (Hinweis: Man verallgemei-nere die in einer fruheren Ubungsaufgabe hergeleiteten expliziten Formeln fur die Eigenwerteder 5-Punkte-Matrix fur die vorliegende Situation.)

Ubung 3.17: Man rekapituliere den Beweis der Konditionsabschatzung cond2(Ah) = O(h−2)aus der Vorlesung fur die Systemmatrix einer FE-Diskretisierung der 1. RWA (“DirichletscheRWA”) des Laplace-Operators auf einer “quasi-gleichformigen” Triangulierungsfolge fur die FE-Diskretisierung der 2. RWA (“Neumannsche RWA”):

−∆u = f in Ω, ∂nu = 0 auf ∂Ω.

Ubung 3.18: Es werde die inhomogene Neumannsche RWA

−∇ · (α∇u) + γu = f in Ω, n · (α∇u) = g auf ∂Ω,

auf einem konvexen Polygongebiet Ω ⊂ R2 betrachtet. Die Daten α , γ , f und g seien glatt

und ferner α, γ > 0 . Mit Hilfe der FEM mit stuckweise linearen Ansatzfunktionen wird eine

Naherung uh ∈ V(1)h ⊂ H1(Ω) berechnet.

a) Man gebe die zugehorige variationelle Formulierung an.

b) Man leite eine a posteriori Fehlerabschatzung fur den Energie-Norm-Fehler her:

‖eh‖E :=((α∇eh,∇eh)Ω + (γeh, eh)Ω

)1/2.

c) Man leite eine a posteriori Fehlerabschatzung fur den L2-Norm-Fehler ‖eh‖2 her.

3.7 Ubungen 155

Ubung 3.19: Die 1. RWA des Laplace-Operators auf einem konvexen Polygongebiet Ω ⊂ R2

werde durch”lineare” finite Elemente auf einer Triangulierung Th von Ω approximiert. Man

zeige, daß die in der Vorlesung abgeleitete a posteriori Abschatzung fur den L2-Norm-Fehler,

‖u− uh‖2 ≤ c ηL2(uh)

mit dem”Schatzer”

ηL2(uh) :=( ∑

T∈Th

h4T

‖f + ∆uh‖2

2;T + 12h

−1T ‖[∂nuh]‖2

2;∂T\∂Ω

)1/2,

asymptotisch optimal ist, d.h.:

ηL2(uh) ≤ c‖u − uh‖2 +( ∑

T∈Th

h4T ‖f + ∆uh‖2

2

)1/2.

Dazu verwende man die”Spur-Abschatzung”

‖∂nv‖2;∂T ≤ ch1/2T ‖∆v‖2;T + h

−3/2T ‖v‖2;T ,

deren genaue h-Potenzen man mit Hilfe des ublichen Transformationsarguments aus der ent-sprechenden Ungleichung auf einer

”Einheitszelle” (Beweisskizze zur Wiederholung) erhalt.

Ubung 3.20: In Anlehnung an die Argumentationsweise der Vorlesung (siehe auch das Skrip-tum) leite man eine Formel fur eine Gitterweitenfunktion h(x) her, welche in folgendem Sinne“optimal” ist:

N → min!, η(uh) ≤ TOL,

wobei

N :=

∫

Ωh(x)−2 dx, η(uh) :=

∫

Ωh(x)2A(x) dx.

Ubung 3.21: Dem in der vorigen Aufgabe verwendeten Optimierungsargument liegt die An-nahme zugrunde, daß sich die Zellresiduen im wesentlichen wie

ρT := ‖f + ∆uh‖T + 12h

1/2T ‖[∂nuh]‖∂T = O(hT )

verhalten. Man zeige, daß dies im Fall linearer Ansatzfunktionen auf einer quasi-gleichformi-gen (regular mit “uniform shape”- und “uniform-size”-Eigenschaft) Folge von Triangulierungenim R

2 mit hT ∼ h tatsachlich der Fall ist. Dazu verwende man die bekannte a priori Fehler-abschatzung

‖∇(u− uh)‖∞ ≤ ch‖∇2u‖∞unter der Annahme u ∈ W 2,∞(Ω) , sowie die gleichfalls bekannten lokalen Interpolationsfeh-lerabschatzungen und “inversen” Beziehungen fur Finite-Elemente-Funktionen. (Bem.: Die An-nahme der Quasi-Gleichformigkeit ist naturlich unrealistisch, da ja im Endeffekt gerade lokalverfeinerte Gitter erzeugt werden sollen.)

4 Iterative Losungsverfahren fur FD- und FE-Gleichungen

In diesem Kapitel werden iterative Losungsverfahren fur die durch Anwendung einer Finite-Differenzen- oder Finite-Elemente-Diskretisierung entstehenden (linearen) Gleichungssystemediskutiert. Dies sind neben den traditionellen Fixpunktiterationen vor allem sog.

”PCG-Verfahren“

(preconditioned conjugate gradient methods) und die modernen”Mehrgittermethoden“. Zugrun-

de gelegt wird dabei meist wieder das Modellproblem der 1. RWA des Laplace-Operators

Lu := −∆u = f in Ω, u = g auf ∂Ω, (4.0.1)

auf einem (konvexen) Polygongebiet Ω ⊂ R2. Erweiterungen fur Probleme mit variablen Ko-effizienten, anderen Randbedingungen, Unsymmetrien sowie auf drei Raumdimensionen werdenwieder in Bemerkungen berucksichtigt. Die zugehorigen algebraischen Systeme haben die Form

Ax = b, (4.0.2)

mit Matrizen A = (anm)Nn,m=1 und Vektoren b = (bn)Nn=1 der Dimension N . In der Praxis

ist meist N ≫ 1000 , so daß neben dem Rechenaufwand auch der Speicherbedarf ein wichtigerAspekt ist. Je nach der gewahlten Numerierung der Gitterpunkte bzw. Knoten haben die Ma-trizen in der Regel Bandstruktur und sind extrem dunn besetzt. Ist das kontinuierliche Problemselbstadjungiert sowie definit, wie z.B. im Fall der 1. RWA des Laplace-Operators, so ubertragensich diese Eigenschaften bei FE-Diskretisierungen direkt auf die Systemmatrizen A .

4.1 Krylow-Raum-Methoden

Wir diskutieren jetzt sog.”Krylow1 -Raum-Methoden“, zu denen auch das klassische Verfahren

der konjugierten Gradienten (”CG-Verfahren“) gehort. Im folgenden werden euklidisches Skalar-

produkt und Norm auf RN mit 〈x, y〉 bzw. |x| bezeichnet. Die Koeffizientenmatrix A ∈ R

N×N

sei zunachst als symmetrisch und positiv definit angenommen. Dann laßt sich die Gleichung(4.0.2) aquivalent charakterisieren durch ein quadratisches Minimierungsproblem:

Ax = b ⇔ Q(x) = miny∈RN

Q(y) (4.1.3)

mitQ(y) := 1

2〈Ay, y〉 − 〈b, y〉.Wegen ∇2Q ≡ A folgt aus der Positiv-Definitheit von A die Existenz eines eindeutig be-stimmten Minimums von Q(·) , welches notwendig Losung von (4.0.2) ist. Diese Konstruktionist analog zu der beim Nachweis von

”schwachen“ Losungen der 1. RWA des Laplace-Operators.

Wir halten fest, daß der Gradient von Q in einem Punkt y ∈ Rn gegeben ist durch

∇Q(y) = 12 (A+AT )y − b = Ay − b . (4.1.4)

Dies ist gerade der”Defekt“ im Punkt y . Fur jede symmetrische, positiv definite Matrix B ∈

RN×N ist durch ‖y‖B := 〈By, y〉1/2 eine sog.

”Energie-Norm“ definiert. Mit dieser Notation

1Aleksei Nikolaevich Krylov (1863-1945): russischer Mathematiker; Prof. an der Sov. Akademie der Wissensch.in St. Petersburg; Beitrage zu Fourier-Analysis und Differentialgleichungen, Anwendungen in der Schiffstechnik.

157


gilt dann

2Q(y) = 〈Ay, y〉 − 2〈b, y〉= 〈Ay, y〉 − 〈b, y〉 − 〈Ay,A−1b〉 + 〈b,A−1b〉 − 〈b,A−1b〉= 〈Ay − b, y −A−1b〉 − 〈b,A−1b〉= 〈A−1(Ay − b), Ay − b〉 − 〈b,A−1b〉 = |Ay − b|2A−1 − |b|2A−1

= 〈y −A−1b,A(y −A−1b)〉 − 〈AA−1b,A−1b〉 = |y − x|2A − |x|2A,

d.h.: Die Minimierung des Funktionals Q(·) ist aquivalent zur Minimierung der Defektnorm|Ay − b|A−1 bzw. der Energie-Norm |y − x|A .

Die sog.”Abstiegsverfahren“ bestimmen nun ausgehend von einem geeigneten Startvektor

x(0) ∈ Rn eine Folge von Iterierten x(t) , t ∈ N , durch

x(t+1) = x(t) + αtd(t) . (4.1.5)

Dabei sind die d(t) vorgegebene oder auch erst im Verlauf der Iteration berechnete”Abstiegs-

richtungen“, und die”Schrittweiten“ αt ∈ R sind durch die Vorschrift bestimmt (sog.

”line

search“):

Q(x(t+1)) = minα∈R

Q(x(t) + αd(t)) . (4.1.6)

Die notwendige Optimalitatsbedingung

d

dαQ(x(t) + αd(t)) = ∇Q(x(t) + αd(t)) · d(t) = 〈Ax(t) − b, d(t)〉 + α〈Ad(t), d(t)〉 = 0

ergibt mit dem Residuum r(t) := b−Ax(t) = −∇Q(x(t)) :

αt =〈r(t), d(t)〉〈Ad(t), d(t)〉 .

Das allgemeine Abstiegsverfahren lautet also wie folgt:

Startwert: x(0) ∈ RN ,

fur t ≥ 0: Iterierte x(t), Residuum r(t) = b−Ax(t), Abstiegsrichtung d(t),

αt =〈r(t), d(t)〉〈Ad(t), d(t)〉 , x(t+1) = x(t) + αtd

(t).

Praktisch gunstiger ist die folgende Schreibweise, bei der man eine Matrix-Vektor-Multiplikationspart, wenn man den Vektor Ad(t) abspeichert:

Startwert: x(0) ∈ Rn, r(0) := b−Ax(0),

fur t ≥ 0: Iterierte x(t), Residuum r(t), Abstiegsrichtung d(t),

αt =〈r(t), d(t)〉〈Ad(t), d(t)〉 , x(t+1) = x(t) + αtd

(t), r(t+1) = r(t) − αtAd(t).

Die verschiedenen Abstiegsverfahren unterscheiden sich im wesentlichen durch die jeweilige

4.1 Krylow-Raum-Methoden 159

Wahl der Abstiegsrichtungen d(t). Die einfachste Moglichkeit ware, die Richtungen d(t) zyklischdie kartesischen Einheitsvektoren e(1), . . . , e(n) durchlaufen zu lassen. Die so erhaltene itera-tive Methode wird

”Koordinatenrelaxation“ genannt. Ein voller Relaxationszyklus ist aquivalent

zum Gauß-Seidel-Verfahren (Ubungsaufgabe).

Naheliegender ist die Wahl der Richtung des starksten Abfalls von Q(·) im Punkt x(t) ,d.h. des Gradienten bzw. Residuums, als Suchrichtung d(t) = −g(t) = −∇Q(x(t)) = r(t) . Diese

”Gradientenverfahren“ ist aber relativ langsam (vergleichbar mit dem Jacobi-Verfahren). Je

zwei aufeinander folgende Abstiegsrichtungen sind dabei orthogonal, (d(t+1), d(t)) = 0 , aberd(t+2) braucht nicht einmal annahernd orthogonal zu d(t) zu sein. Dies fuhrt zu einem starkoszillatorischen Konvergenzverhalten des Gradientenverfahrens besonders bei Matrizen A mitweit auseinander liegenden Eigenwerten. Dies bedeutet etwa in Fall N = 2 , daß das FunktionalQ(·) stark exzentrische Niveaulinien hat und sich die Iterierten in einem Zickzackkurs der Losungannahern (siehe Bild).

Abbildung 4.1: Niveaulinien des quadratischen Funktionals in zwei Dimensionen

4.1.1 Verfahren der konjugierten Richtungen (CG-Verfahren)

Das Gradientenverfahren nutzt die Struktur des quadratischen Funktionals Q(·) , d.h. die Ver-teilung der Eigenwerte der Matrix A , nur lokal von einem Schritt zum nachsten aus. Es waregunstiger, wenn bei der Wahl der Abstiegsrichtungen auch die bereits gewonnenen Informationenuber die globale Struktur von Q(·) berucksichtigt wurden, d.h. wenn etwa die Abstiegsrichtungenpaarweise orthogonal waren. Dies ist die Grundidee des sog.

”Verfahrens der konjugierten Gra-

dienten“ nach Hestenes2 und Stiefel3 (”conjugate gradient method“ oder kurz

”CG-Verfahren“),

welches sukzessive eine Folge von Abstiegsrichtungen d(t) erzeugt, die bzgl. des Skalarprodukts(·, ·)A orthogonal sind (

”A-orthogonal“). Zur Konstruktion dieser Folge macht man den Ansatz

Kt = spand(0), ..., d(t−1)

und sucht, Iterierte in der Form

x(t) = x(0) +

t−1∑

i=0

αid(i) ∈ x(0) +Kt (4.1.7)

zu bestimmen, so daßQ(x(t)) = min

y∈Kt

Q(x(0) + y) .

2Magnus R. Hestenes (1906-1991): US-amerikanischer Mathematiker; Prof. an der UCLA, USA, fundamentaleBeitrage u.a. zur Numerischen Linearen Algebra.

3Eduard Stiefel (1909-1978): schweizer Mathematiker; Prof. an der ETH Zurich; fundamentale Beitrage u.a.zur Numerischen Linearen Algebra.


Dies ist aquivalent zu den”Galerkin-Gleichungen“

〈x(t) − x, d(t)〉A = 〈Ax(t) − b, d(j)〉 = 0, j = 0, ..., t − 1, (4.1.8)

bzw. zu r(t) = b − Ax(t) ⊥ Kt. Setzt man den Ansatz (4.1.7) in (4.1.8) ein, so erhalt man dasGleichungssystem

t−1∑

i=0

αi〈Ad(i), d(j)〉 = 〈b−Ax(0), dj〉, j = 0, ..., t − 1, (4.1.9)

mit der regularen Koeffizientenmatrix MA = (〈Ad(k), d(j)〉)t−1j,k=0 .

Eine naturliche Wahl der Ansatzraume Kt sind die sog.”Krylow-Raume“

Kt(r(0);A) := spanr(0), Ar(0), ..., At−1r(0)

zum Residuum r(0) = b−Ax(0) des Startvektors x(0). Nach Konstruktion ist stets

r(t) = b−Ax(t) = r(0) − r(0) + b−Ax(t)

= r(0) +A(x(0) − x(t)) ∈ r(0) +AKt(r(0);A) ⊂ Kt+1(r

(0);A).

Da nach Konstruktion r(t) ⊥ Kt , ist also stets

〈r(t), r(i)〉 = 0, i = 0, . . . , t− 1.

Ferner folgt im Fall Atr(0) ∈ Kt(r(0);A) notwendig r(t) = 0 bzw. Ax(t) = b .

Ausgehend von der Formulierung (4.1.8) konstruiert das CG-Verfahren eine A-orthogona-le Folge von Abstiegsrichtungen d(i) , die eine Basis des Krylow-Raumes Kt(r

(0);A) bildet.Dies ließe sich etwa mit Hilfe des klassischen Gram4 -Schmidt5 -Algorithmus leisten, was abernumerisch sehr instabil ist. In Analogie zur vergleichbaren Situation bei der Konstruktion or-thogonaler Polynome (z.B. die Legendre6 -Polynome) ist aber zu erwarten, daß dasselbe durcheine zweistufige Rekursion erreichbar ist.

Ausgehend von einem Startpunkt x(0) mit Residuum (negativer Gradient) r(0) = b − Ax(0)

seien Iterierte x(i) und zugehorige Abstiegsrichtungen d(i)(i = 0, ..., t − 1) bestimmt, so daßd(0), ..., d(t−1) eine A-orthogonale Basis von Kt(d

(0);A) ist. Zur Konstruktion des nachsten

4Jørgen Pedersen Gram (1850-1916): danischer Mathematiker, Mitarbeiter und spater Eigentumer einer Versi-cherungsgesellschaft, Beitrage zur Algebra (Invariantentheorie), Wahrscheinlichkeitstheorie, Numerik und Forst-wissenschaft; das u.a. nach ihm benannte Orthogonalisierungsverfahren geht aber wohl auf Laplace zuruck undwurde bereits von Cauchy 1836 verwendet.

5Erhard Schmidt (1876-1959): deutscher Mathematiker, Prof. in Berlin, Grunder des dortigen Instituts furAngewandte Mathematik 1920, nach dem Krieg Direktor des Mathematischen Instituts der Akademie der Wis-senschaften der DDR; Beitrage zur Theorie der Integralgleichungen und der Hilbert-Raume sowie spater zurTopologie.

6Adrien-Marie Legendre (1752-1833): franzosischer Mathematiker; Mitglied der Pariser Akademie der Wis-sensch.; Beitrage zur Himmelsmechanik, Zahlentheorie und Geometrie.


d(t) ∈ Kt+1(d(0);A) mit der Eigenschaft d(t) ⊥A Kt(d

(0);A) machen wir den Ansatz

d(t) = r(t) +t−1∑

j=0

βt−1j d(j) ∈ Kt+1(d

(0);A). (4.1.10)

Dabei wird o.B.d.A. angenommen, daß r(t) = b−Ax(t) /∈ Kt(d(0);A) ist, da andernfalls r(t) = 0

bzw. x(t) = x ware. Zur Bestimmung der Koeffizienten βt−1j beachten wir fur i = 0, ..., t − 1 :

0 = 〈d(t), Ad(i)〉 = 〈r(t), Ad(i)〉 +

t−1∑

j=0

βt−1j 〈d(j), Ad(i)〉 = 〈r(t) + βt−1

i d(i), Ad(i)〉 .

Fur i < t− 1 ist 〈r(t), Ad(i)〉 = 0 wegen Ad(i) ∈ Kt(d(0);A) und demnach βt−1

i = 0 . Furi = t− 1 fuhrt die Bedingung

0 = 〈r(t), Ad(t−1)〉 + βt−1t−1〈d(t−1), Ad(t−1)〉 (4.1.11)

zu den Formeln

βt−1 := βt−1t−1 = − 〈r(t), Ad(t−1)〉

〈d(t−1), Ad(t−1)〉 , d(t) = r(t) + βt−1d(t−1) . (4.1.12)

Die nachsten Iterierten x(t+1) und r(t+1) = b−Ax(t+1) sind dann bestimmt durch

αt =〈r(t), d(t)〉〈d(t), Ad(t)〉 , x(t+1) = x(t) + αtd

(t) , r(t+1) = r(t) − αtAd(t) . (4.1.13)

Dies sind die Rekursionsformeln des klassischen CG-Verfahrens. Wegen r(t) ⊥ Kt(r(0);A) und

Kt(r(0);A) = spand(0), . . . , d(t−1) ist

〈r(t), d(i)〉 = 0, i = 0, . . . , t− 1.

Damit lassen sich die Formeln fur die Koeeffizienten αt und βt vereinfachen. Mit

|r(t)|2 = 〈d(t) − βt−1d(t−1), r(t+1) + αtAd

(t)〉 = αt〈d(t), Ad(t)〉 , (4.1.14)

|r(t+1)|2 = 〈r(t) − αtAd(t), r(t+1)〉 = −αt〈Ad(t), r(t+1)〉 . (4.1.15)

ergibt sich

αt =|r(t)|2

〈d(t), Ad(t)〉 , βt =|r(t+1)|2|r(t)|2 , (4.1.16)

solange die Iteration nicht mit r(t) = 0 abbricht. Diese Konstruktion fuhrt auf den folgenden


CG-Algorithmus:

Startwert: x(0) ∈ Rn, r(0) := b−Ax(0) ,

fur t ≥ 0: αt =|r(t)|2

〈Ad(t), d(t)〉 ,

x(t+1) = x(t) + αtd(t), r(t+1) = r(t) − αtAd

(t),

βt =|r(t+1)|2|r(t)|2 , d(t+1) = r(t+1) + βtd

(t) .

In jedem Iterationsschritt ist dabei eine Matrix-Vektor-Multiplikation und funf Operationen derMachtigkeit eines Skalarproduktbildung durchzufuhren. Im Falle einer dunn besetzten Matrixvom Typ der Modellmatrix sind das etwa 10N arithmetische Operationen. Das CG-Verfahrenerzeugt eine Basis von Abstiegsrichtungen, so daß es zwangslaufig nach spatestens t = N − 1Schritten mit der Losung x des Gleichungssystems (4.0.2) abbricht. Es handelt sich hierbeialso formal um ein

”direktes“ Losungsverfahren. Bei großer Dimension N ≥ 103 geht die A-

Orthogonalitat der Folge d(0), ..., d(t−1) wegen des unvermeidlichen Rundungsfehlereinflussesschnell verloren, und das Verfahren wird zu einem nicht terminierenden, iterativen Prozess.Außerdem ware die Durchfuhrung von nahezu N − 1 Iterationsschritten wegen der damit ver-bundenen Zahl von O(N2) arithmetischen Operationen viel zu hoch. Man wird also mit einerwesentlich geringeren Anzahl von t≪ N Schritten auskommen mussen. Wir fassen die wichtig-sten Eigenschaften des CG-Verfahrens in folgendem Satz zusammen.

Satz 4.1 (CG-Konvergenz): Das CG-Verfahren bricht fur jeden Startvektor x(0) ∈ RN nach

spatestens N−1 Schritten mit x(t) = x ab. Fur 0 ≤ t < N−1 gilt die Fehlerabschatzung

|e(t)|A ≤ 2(1 − 1/

√κ

1 + 1/√κ

)t|e(0)|A, t ≥ 1, (4.1.17)

mit der Spektralkondition κ := κ2(A) = λmax(A)/λmin(A) von A . Zur Reduzierung des An-fangsfehlers um den Faktor ε sind hochstens

t(ε) ≤ 1

2

√κ ln

(2

ε

)+ 1 (4.1.18)

Iterationsschritte erforderlich.

Dieses Resultat zeigt die Wichtigkeit der Kondition κ(A) fur die Konvergenzgeschwindigkeit desCG-Verfahrens. Fur das Modellproblem ist κ(A) = O(h−2) , was eine Gesamtlosungskomplexitatvon O(N3/2) bedeutet. Das CG-Verfahren ist daher i.a. ahnlich effizient wie das

”optimale“

SOR-Verfahren, allerdings mit einer großeren Fehlerkonstanten. Im Gegensatz zu letzterem er-fordert das CG-Verfahren aber nicht die Bestimmung eines optimalen Relaxationsparameters.Dafur ist das Resultat (4.1.17) auf den Fall einer symmetrischen, positiv definiten Matrix Abeschrankt.

Beweis: (i) Unter Beachtung der Beziehung

|x(t) − x|A = miny∈x(0)+Kt

|y − x|A ,

Kt := Kt(r(0);A) = spand(0), . . . , d(t−1) = spanA0r(0), . . . , At−1r(0)


finden wir|x(t) − x|A = min

p∈Pt−1

|x(0) − x+ p(A)r(0)|A .

Wegen r(0) = b−Ax(0) = A(x− x(0)) folgt weiter

|x(t) − x|A = minp∈Pt−1

|[I − p(A)A](x(0) − x)|A

≤ minp∈Pt−1

|I +Ap(A)|A |x(0) − x|A ≤ minp∈Pt, p(0)=1

|p(A)|A |x(0) − x|A ,

wobei die zu der Vektornorm | · |A assoziierte naturliche Matrizennorm der Einfachheit halberebenfalls mit | · |A bezeichnet ist. Fur beliebiges y ∈ R

N haben wir mit einer Orthonormalbasisw(1), . . . , w(N) aus Eigenvektoren von A die Entwicklung

y =N∑

i=1

γiw(i) , γi = 〈y,w(i)〉 ,

und folglich

|p(A)y|2A =N∑

i=1

λip(λi)2γ2i ≤ M2

N∑

i=1

λiγ2i = M2 |y|2A ,

wobeiM := sup

λ≤µ≤Λ|p(µ)| , λ := λmin(A), Λ := λmax(A) .

Dies impliziert dann

|p(A)|A = supy∈Rn, y 6=0

|p(A)y|A|y|A

≤M.

(ii) Wir haben gefunden, daß

|x(t) − x|A ≤ minp∈Pt, p(0)=1

sup

λ≤µ≤Λ|p(µ)|

|x(0) − x|A .

Dies ergibt die Behauptung, wenn wir zeigen konnen, daß

minp∈Pt, p(0)=1

sup

λ≤µ≤Λ|p(µ)|

≤ 2

(1 −√λ/Λ

1 +√λ/Λ

)t.

Dabei handelt es sich um ein Problem der Bestapproximation mit Polynomen bzgl. der Maxi-mumnorm (Tschebyscheff7 -Approximation). Die Losung p ist gegeben durch

p(µ) = Tt

(Λ + λ− 2µ

Λ − λ

)Tt

(Λ + λ

Λ − λ

)−1,

mit dem t-ten Tschebyscheff-Polynom Tt auf [−1, 1] . Dabei ist

supλ≤µ≤Λ

p(µ) = Tt

(Λ + λ

Λ − λ

)−1.

7Pafnuty Lvovich Tschebyscheff (russ.: Chebyshev) (1821-1894): russischer Mathematiker; Prof. in St. Peters-burg; Beitrage zur Zahlentheorie, Wahrscjheinlichkeitstheorie und vor allem zur Approximationstheorie; entwickel-te allgemeine Theorie orthogonaler Polsynome.


Aus der Darstellung

Tt(µ) = 12

[(µ+

√µ2 − 1

)t+(µ−

√µ2 − 1

)t], µ ∈ (−∞,∞),

fur die Tschebyscheff-Polynome folgt uber die Identitat

κ+ 1

κ− 1±√(κ+ 1

κ− 1

)2− 1 =

κ+ 1

κ− 1± 2

√κ

κ− 1=

(√κ± 1)2

κ− 1=

√κ± 1√κ∓ 1

die Abschatzung nach unten

Tt

(Λ + λ

Λ − λ

)= Tt

(κ+ 1

κ− 1

)=

1

2

[(√κ+ 1√κ− 1

)t+(√κ− 1√

κ+ 1

)t]≥ 1

2

(√κ+ 1√κ− 1

)t.

Also wird

supλ≤µ≤Λ

p(µ) ≤ 2(√κ− 1√

κ+ 1

)t,

was (4.1.17) impliziert.

(iii) Zur Herleitung von (4.1.18) fordern wir

2(√κ− 1√

κ+ 1

)t(ε)< ε ⇒ t(ε) > ln

(2

ε

)ln(√κ+ 1√

κ− 1

)−1.

Wegen

ln(x+ 1

x− 1

)= 2

1

x+

1

3

1

x3+

1

5

1

x5+ . . .

≥ 2

x

ist dies erfullt fur t(ε) ≥ 12

√κ ln(2/ε) . Q.E.D.

4.1.2 CG-Verfahren fur unsymmetrische und indefinite Probleme

Zur Losung allgemeiner Gleichungssysteme Ax = b mit einer regularen, aber nicht notwendigsymmetrisch und positiv definiten Matrix A ∈ R

n mit Hilfe des CG-Verfahrens kann man etwazu dem aquivalenten System

ATAx = AT b (4.1.19)

mit der positiv definiten Matrix ATA ubergehen. Hierauf angewendet, schreibt sich das CG-Verfahren wie folgt:

Startwerte: x(0) ∈ RN , d(0) = r(0) = AT (b−Ax(0)) ,

fur t ≥ 0: αt =|r(t)|2|Ad(t)|2 ,

x(t+1) = x(t) + αtd(t) , r(t+1) = r(t) − αtA

TAd(t) ,

βt =|r(t+1)|2|r(t)|2 , d(t+1) = r(t+1) + βtd

(t) .


Die Konvergenzgeschwindigkeit ist dabei charakterisiert durch κ(ATA) . Das ganze Verfahrenberuht offenbar auf der Minimierung des Funktionals

Q(y) := 12 〈ATAy, y〉 − 〈AT b, y〉 = 1

2 |Ay − b|2 − 12 |b|2 . (4.1.20)

Da κ(ATA) ∼ κ(A)2 ist, muß man mit einer recht langsamen Konvergenz dieses”quadrierten“

CG-Verfahrens fur nicht symmetrische Systeme rechnen.

Auf der Basis der Chrakterisierung (4.1.3) ist das beschriebene CG-Verfahren auf sym-metrische, positiv definite Matrizen beschrankt. Geht man allerdings von der

”notwendigen

Optimalitatsbedingung“ (4.1.8) aus, so ist dieser Ansatz auch fur allgemeine Matrizen sinn-voll. Tatsachlich lassen sich auf diesem Wege leistungsfahige Verallgemeinerungen des CG-Verfahrens auch fur unsymmetrische und indefinite Matrizen ableiten. Dabei werden in derGalerkin-Formulierung (4.1.8) als Ansatzraume meist wieder die Krylow-Raume

Kt = spanr(0), Ar(0), ..., At−1r(0)

verwendet. Als”Testraume“ treten gleichfalls K∗

t = Kt oder auch

K∗t = spanr(0), AT r(0), ..., (AT )t−1r(0)

auf. Die resultierenden Verfahren GMRES, ORTHOMIN, CRS, bi-CG-stab u.s.w., haben dannjeweils die eine oder die andere Eigenschaft des normalen CG-Verfahrens, lassen aber keine sovollstandige Konvergenzanalyse zu.

4.1.3 Vorkonditionierung (PCG-Verfahren)

Die Fehlerabschatzuung fur das CG-Verfahren garantiert eine besonders gute Konvergenz, wenndie Kondition der Matrix A nahe bei Eins liegt. Daher wird eine

”Vorkonditionierung“ vorge-

nommen, d.h.: Das System Ax = b wird in ein aquivalentes umgeformt, Ax = b , dessen MatrixA besser konditioniert ist. Sei C eine symmetrische, positiv definite Matrix, welche explizit inProduktform

C = KKT (4.1.21)

gegeben ist mit einer regularen Matrix K . Das System Ax = b wird dann in der aquivalentenForm geschrieben

K−1A (KT )−1

︸︷︷︸A

KTx︸︷︷︸x

= K−1b︸︷︷︸b

. (4.1.22)

Das CG-Verfahren wird nun auf das System Ax = b angewendet. Die Beziehung

(KT )−1AKT = (KT )−1K−1A(KT )−1KT = C−1A (4.1.23)

zeigt, daß fur C ≡ A die Matrix A ahnlich zu I, d.h. κ(A) = κ(I) = 1 ware. Folglich wirdman C−1 als moglichst gute Approximation von A−1 wahlen, wobei naturlich die ZerlegungC = KKT bekannt sein muß. Das CG-Verfahren fur das transformierte System Ax = b kann


in den ursprunglichen Großen A, b und x als PCG-Verfahren geschrieben werden:

Startwert: x(0) ∈ RN , d(0) = r(0) = b−Ax(0) ρ(0) = C−1r(0) ,

fur t ≥ 0: αt =〈r(t), ρ(t)〉〈Ad(t), d(t)〉 ,

x(t+1) = x(t) + αtd(t), r(t+1) = r(t) − αtAd

(t),

ρ(t+1) = C−1r(t+1),

βt =〈r(t+1), ρ(t+1)〉〈r(t), ρ(t)〉 , d(t+1) = r(t+1) + βtd

(t) .

Verglichen mit der einfachen CG-Iteration erfordert das PCG-Verfahren in jedem Schritt zusatz-lich die Losung des Systems Cρ(t+1) = r(t+1) , was unter Ausnutzung der Zerlegung C = KKT

erfolgt. Zur Erzielung einer Komplexitat von O(N) a.Op. pro Schritt sollte die DreiecksmatrixK eine ahnliche Besetzungsstruktur wie der untere Dreiecksanteil L von A haben. Ausgehendvon den oben betrachteten einfachen Fixpunktiterationen werden in der Praxis die folgendenVorkonditionierer verwendet:

1) Diagonal-Vorkonditionierung (Skalierung): C = D1/2D1/2 .Die Skalierung bewirkt, daß die Elemente von A auf etwa gleiche Großenordnung gebrachtwerden, insbesondere wird aii = 1 . Dies reduziert die Kondition, denn es gilt:

κ(A) ≥ max1≤i≤N aiimin1≤i≤N aii

. (4.1.24)

Beispiel: Die Matrix A = diagλ1 = ... = λN−1 = 1, λN = 10k hat die Kondition cond2(A) =10k . Die skalierte Matrix A = D−1/2AD−1/2 hat dagegen die optimale Kondition cond2(A) = 1 .

2) SSOR-Vorkonditionierung:Mit einem Parameter ω wird gesetzt

C = (D + ωL)D−1(D + ωR) = (D1/2 + ωLD−1/2︸︷︷︸

K

)(D1/2 + ωD−1/2R︸︷︷︸KT

) .

Offenbar besitzt die Dreiecksmatrix K dieselbe schwache Besetzung wie A . Pro Iterationsschritterfordert das so vorkonditionierte Verfahren etwa doppelt so viel Aufwand wie das einfacheVerfahren. Dagegen gilt fur die Modellmatrix bei optimaler Wahl des Parameters ω (i.a. nichtleicht zu bestimmen!)

κ(A) =√κ(A) .

3) ICCG-Verfahren (Incomplete Cholesky Conjugate Gradient):Die symmetrische, positiv definite Matrix A besitzt eine Cholesky-Zerlegung A = LLT mit

einer unteren Dreiecksmatrix L = (lij)Ni,j=1 . Die Elemente von L sind bestimmt durch die


Rekursionsformeln

lii =(aii −

i−1∑

k=1

l2ik

)1/2, i = 1, . . . , N ,

lji =1

lii

(aji −

i−1∑

k=1

ljklik

), j = i+ 1, . . . , N .

Die Matrix L hat i.a. innerhalb der Hulle von A von Null verschiedene Elemente, erfordert alsoin der Regel weit mehr Speicherplatz als A selbst. Dies wird jedoch dadurch ausgeglichen, daßman nur eine ”unvollstandige Cholesky-Zerlegung” vornimmt, d.h.: Im Cholesky-Algorithmuswerden einige der lji willkurlich Null gesetzt, z.B.: lji = 0 , wenn aji = 0 . Dies ergibt danneine Zerlegung

A = LLT + E (4.1.25)

mit einer unteren Dreiecksmatrix L = (lij)i,j=1,...,N , welche eine ahnliche (dunne) Besetzungs-struktur wie A besitzt. Man spricht von der ICCG(0)-Variante, wenn (4.1.25) gefordert wird.Werden im Fall einer Bandmatrix A weitere p Nebendiagonalen mit von Null verschiede-nen Elementen in L hinzugefugt bzw. weggestrichen, so nennt man dies die ICCG(+p) bzw.ICCG(−p)-Variante. Zur Vorkonditionierung verwendet die ICCG-Methode die Matrix

C = KKT = LLT . (4.1.26)

Obwohl keine strenge theoretische Begrundung fur den Erfolg dieses Ansatzes vorliegt, so zei-gen doch numerische Tests an Modellproblemen, welchen Einfluß diese Konditionierung auf dieVerteilung der Eigenwerte der Matrix A hat. Zwar wird die Konditionszahl κ(A) nicht deut-lich kleiner als κ(A) , doch die Eigenwerte von A haufen sich im Gegensatz zu denen von Astark bei λ = 1 . Dies bewirkt, wie eine feinere Analyse zeigt, eine deutliche Beschleunigung derKonvergenz.

4) ADI-Vorkonditionierung: C = (Ax + ωI)(Ay + ωI)(ATy + ωI)(ATx + ωI) .

Auch hier muß zur Bewahrung der Symmetrie von A eine symmetrisierte Variante des ADI-Matrix verwendet werden.

Eine gute Vorkonditionierung der Modellmatrix bewirkt eine Verbesserung der Konvergenz-rate von ρ(A) = 1 − O(h) auf ρ(A) = 1 − O(h1/2) und damit auf die LosungskomplexitatO(N5/4) . Besonders die ILU-Vorkonditionierung hat sich in der Praxis bei vielen Problemen alseffizient und robust erwiesen. Sie reduziert zwar nicht die Kondition, doch bewirkt eine Kon-zentration der Eigenwerte um den Wert λ = 1 , was ebenfalls eine deutliche Beschleunigung derCG-Konvergenz mit sich bringt.


4.2 Mehrgitterverfahren

Mehrgitterverfahren gehoren zum Typ der (verallgemeinerten) Defektkorrekturiterationen undverwenden eine Folge von Subproblemen ahnlicher Struktur, aber sukzessive kleiner werden-der Dimension. Sie sind speziell zugeschnitten auf die Losung der Gleichungssysteme, wie siebei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen mit Differenzen- oder Finite-Elemente-Verfahren entstehen. Die Idee ist die eines allen diskreten Problemen zugrunde liegenden uberge-ordneten, kontinuierlichen Problems und der fortgesetzten Aufspaltung von Fehlern und Defek-ten auf den verschiedenen Gittern in niedrig- und hochfrequente Anteile, die separat behandeltwerden. Bei richtiger Zusammenstellung der einzelnen Verfahrenskomponenten erhalt man Ide-alfall das gewunschte

”optimale“ Losungsverfahren der Komplexitat O(N) .

Zum Einstieg betrachten wir das Gleichungssystem auf dem Gitter Th :

Ahxh = bh (4.2.27)

und approximieren die Losung mit dem Richardson-Verfahren

x(t+1)h = x

(t)h + θh(bh −Ahx

(t)h ) = (Ih − θhAh)x

(t)h + θhbh (4.2.28)

mit einem Dampfungsfaktor 0 < θh ≤ 1 . Die symmetrische, positiv definite Matrix Ah besitzt

ein Orthonormalsystem von Eigenvektoren w(i)h , i = 1, ..., Nh zu den geordneten Eigenwerten

λmin(Ah) = λ1 ≤ ... ≤ λN = λmax(Ah) =: Λh . Entwickelt man den Anfangsfehler in der Form

e(0)h := x

(0)h − xh =

Nh∑

i=1

εiw(i)h ,

so gilt fur die iterierten Fehler entsprechend

e(t)h = (Ih − θhAh)

te(0)h =

Nh∑

i=1

εi(Ih − θhAh)tw

(i)h =

Nh∑

i=1

εi(1 − θhλi)tw

(i)h .

Folglich ist

|e(t)h |2 =

Nh∑

i=1

ε2i (1 − θhλi)2t. (4.2.29)

Die Bedingung 0 < θh ≤ Λ−1h ist hinreichend fur die Konvergenz der Richardson-Iteration.

Wegen |1 − θhλi| ≪ 1 fur große λi und |1 − θhλ1| ≈ 1 werden offenbar”hoch-frequente“

Komponenten des Fehlers sehr schnell, aber”niedrig-frequente“ nur sehr langsam gedampft.

Dasselbe gilt auch fur das Residuum r(t)h = bh − Ahx

(t)h = Ahe

(t)h , d.h.: Bereits nach wenigen

Iterationen gilt:

|r(t)h |2 ≈[N/2]∑

i=1

ε2i λ2i (1 − θhλi)

2t, (4.2.30)

wobei [N/2] := maxn ∈ N|n ≤ N/2 ist. Dies kann so interpretiert werden, daß der iterierte

Defekt r(t)h auf dem Gitter Th glatt ist. Daher sollte er auf einem groberen Gitter T2h mit Git-

4.2 Mehrgitterverfahren 169

terweite 2h gut approximierbar sein. Die resultierende Defektgleichung zur Berechnung der Kor-

rektur zur Naherung x(t)h auf Th wurde dann wegen ihrer geringeren Dimension N2h ≈ Nh/4

auch weniger Aufwand kosten. Dieser Defektkorrekturproze in Verbindung mit sukzessiver Ver-groberung kann weitergefuhrt werden bis zu einem grobsten Gitter, auf dem die Defektgleichungdann exakt gelost wird. Die wichtigsten Bestandteile eines solchen Mehrgitterprozesses sind die

”Glattungsiteration“ x

(ν)h = Sνh(x

(0)h ) sowie geeignete Transferoperationen zwischen den Finite-

Elemente-Raumen auf den verschiedenen Gittern. Die Glattungsoperation Sh(·) ist gewohnlichgegeben in Form einer Fixpunktiteration (z.B. der Richardson-Iteration)

x(ν+1)h = Sh(x

(ν)h ) := (Ih − C−1

h Ah)x(ν)h + C−1

h bh,

mit der Iterationsmatrix Sh := Ih − C−1h Ah .

4.2.1 Mehrgitteralgorithmus im Finite-Elemente-Kontext

Zur Formalisierung des Mehrgitterprozesses betrachten wir nun eine Folge von Gittern Tl =Thl

, l = 0, ..., L , zunehmender Feinheit h0 > ... > hl > ... > hL sowie zugehorige FE-RaumeVl := Vhl

⊂ V . Der Einfachheit halber sei angenommen, daß die FE-Raume hierarchisch geord-net sind, d.h.: V0 ⊂ V1 ⊂ ... ⊂ Vl ⊂ ... ⊂ VL . Diese Voraussetzung erleichtert die Analyse desMehrgitterprozesses, ist aber nicht entscheidend fur sein Funktionieren. Zwischen den Funktio-nen vl ∈ Vl und den zugehorigen Knotenwertevektoren yl ∈ R

Nl gilt der ubliche Zusammen-hang vl(an) = yl,n, n = 1, ..., Nl . Wie ublich schreiben wir das kontinuierliche Problem und seinFE-Analogon in kompakter Form als

a(u, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ V, (4.2.31)

bzw. auf dem feinsten Gitter TL als

a(uL, ϕL) = (f, ϕL) ∀ϕL ∈ VL. (4.2.32)

Dabei sind a(u, ϕ) := (Lu,ϕ) die zum (elliptischen) Operator L gehorende “Energie-Form“ und(f, ϕ) das L2-Skalarprodukt auf dem Losungsgebiet Ω . Die

”exakte“ diskrete Losung uL ∈ VL

genugt der a priori Fehlerabschatzung

‖u− uL‖ ≤ c h2L ‖f‖ . (4.2.33)

Ziel ist es, einen Losungsprozess zu finden, der eine Approximation uL ≈ uL liefert mit

‖uL − uL‖ ≤ c h2L ‖f‖. (4.2.34)

Ist der dazu erforderliche Aufwand O(NL) und zwar gleichmaßig bzgl. L , so nennt man diesenProzess

”komplexitats-optimal“. Wir werden sehen, daß der Mehrgitteralgorithmus bei richtiger

Wahl der Verfahrenskomponenten in diesem Sinne”optimal“ ist.

Sei u(0)L ∈ VL eine Schatzung fur die exakte Losung uL ∈ VL auf Gitterlevel L . Zunachst

wird u(0)L ”

geglattet“. Dazu werden ausgehend von u(0)L := u

(0)L z.B. ν Schritte des Richardson-

Verfahrens durchgefuhrt. In variationeller Schreibweise lautet dies:

(u(k)L , ϕL) = (u

(k−1)L , ϕL) + θL

(f, ϕL) − a(u

(k−1)L , ϕL)

∀ϕL ∈ VL, (4.2.35)


wobei θL = λmax(Ah)−1 . Mit der geglatteten Approximation wird der Defekt dL ∈ VL gebildet

(ohne ihn wirklich zu berechnen):

(dL, ϕL) := (f, ϕL) − a(u(ν)L , ϕL), ϕL ∈ VL. (4.2.36)

Wegen VL−1 ⊂ VL erhalt man auf dem nachst groberen Gitter TL−1 die Defektgleichung(”Grobgittergleichung“)

a(qL−1, ϕL−1) = (dL, ϕL−1) = (f, ϕL−1) − a(u(ν)L , ϕL−1) ∀ϕL−1. (4.2.37)

Die Korrektur qL−1 ∈ VL−1 wird nun entweder exakt berechnet (etwa mit einem”direkten“

Loser) oder nur naherungsweise mit Hilfe einer Defektkorrekturiteration q(0)L−1 → q

(R)L−1 unter

Verwendung der noch groberen Gitter TL−2, ...,T0 . Das Ergebnis q(R)L−1 ∈ VL−1 wird dann als

Element von VL interpretiert und zur Korrektur von u(ν)L verwendet:

¯u(0)L := u

(ν)L + ωLq

(R)L−1. (4.2.38)

Dabei wird der Dampfungsparameter ωL ∈ (0, 1) verwendet, um das Residuum von ¯uL zuminimieren. Auf diesen in der Praxis sehr nutzlichen Trick wollen wir hier nicht weiter eingehen.Die erhaltene korrigierte Naherung ¯uL wird nun nochmals µ-mal

”nachgeglattet“. Ausgehend

von ¯u(0)L := ¯uL wird etwa wieder mit dem Richardson-Verfahren iteriert:

(¯u(k)L , ϕL) = (¯u

(k−1)L , ϕL) + θL

(f, ϕL) − a(¯u

(k−1)L , ϕL)

∀ϕL ∈ VL. (4.2.39)

Das Ergebnis wird schließlich als die nachste Mehrgitteriterierte u(1)L := ¯u

(µ)L akzeptiert. Damit

haben wir einen Schritt des Mehrgitterverfahrens (einen”Zyklus“) auf dem Gitterlevel L be-

schrieben. Jeder solche Zyklus beinhaltet also neben ν + µ Richardson-Schritten (auf Level L),welche jeweils eine Inversion der Massematrix erfordern, die Losung des

”Grobgitterproblems“

(4.2.37).

Wir wollen nun den beschriebenen Mehrgitteralgorithmus in etwas abstrakterer Form dar-stellen, um seine Struktur besser zu verstehen und ihn auch leichter analysieren zu konnen. Zuden Matrizen Al = Ahl

auf den Gittern Tl sind Operatoren Al : Vl → Vl assoziiert durch

(Alvl, wl) = a(vl, wl) = 〈Alyl, zl〉 ∀vl, wl ∈ Vl . (4.2.40)

Weiter seien Sl(·) die zugehorigen Glattungsoperationen mit (linearen) IterationsoperatorenSl . Beim Richardson-Verfahren ist der Iterationsoperator Sl = Il− θlAl . Schließlich fuhren wirnoch Transferoperatoren zwischen aufeinander folgenden Raumen ein:

rl−1l : Vl → Vl−1 (Restriktion), pll−1 : Vl−1 → Vl (Prolongation).

Im Finite-Elemente-Kontext ist naturlicherweise rl−1l = Pl−1 die L2-Projektion und pll−1 =

id. die naturliche Einbettung. Wir beschreiben nun den Mehrgitterprozeß zur Berechnung derLosung des Sytems

ALuL = fL (4.2.41)

auf dem”feinsten“ Gitter TL .


Mehrgitterprozeß: Ausgehend von einem Startwert u(0)L ∈ VL werden Iterierte u

(t)L durch den

folgenden rekursiven Prozeß

u(t+1)L = MG(L, u

(t)L , fL) (4.2.42)

erzeugt. Sei also die t-te Mehrgitteriterierte u(t)L bestimmt.

Grobgitterlosung: Fur l = 0 bedeutet MG(0, ·, g0) stets die exakte Losung des Systems A0v0 =g0 (z.B. mit Hilfe eines direkten Losungsverfahrens), d.h.:

v0 = MG(0, ·, g0) = A−10 g0 . (4.2.43)

Rekursion: Sei fur ein 1 ≤ l ≤ L das System Alvl = gl zu losen. Mit Parameterwerten ν, µ ≥ 1ist dann

MG(l, v(0)l , gl) := v

(1)l ≈ vl (4.2.44)

rekursiv definiert durch die folgenden Schritte:

(i) Vorglattung:

vl := Sνl (v(0)l ) ; (4.2.45)

(ii) Defektbildung:

dl := gl −Alvl, ; (4.2.46)

(iii) Restriktion:

dl−1 := rl−1l dl ; (4.2.47)

(iv) Defektgleichung: Ausgehend von q(0)l−1 := 0 wird fur 1 ≤ r ≤ R iteriert:

q(r)l−1 := MG(l − 1, q

(r−1)l−1 , dl−1) ; (4.2.48)

(4.2.49)

(v) Prolongation:

ql := pll−1q(R)l−1 ; (4.2.50)

(vi) Korrektur: Mit einem Dampfungsparameter ωl ∈ (0, 1] wird gesetzt:

¯vl := vl + ωlql ; (4.2.51)

(vii) Nachglattung:

v(1)l := Sµl (¯vl) ; (4.2.52)


Im Falle l = L wird schließlich gesetzt:

u(t+1)L := v

(1)l . (4.2.53)

Schematische Darstellung des Mehrgitterschritts u(t)L → u

(t+1)L :

u(t)L → u

(t)L = SνL(u

(t)L ) → dL = fL −ALu

(t)L

↓ dL−1 = rL−1L dL−1 (Restriktion)

qL−1 = A−1L−1dL−1 (R-malige Defektkorrektur)

↓ qL = pLL−1qL−1 (Prolongation)

¯u(t)L = u

(t)L + ωLqL → u

(t+1)L = SµL(¯u

(t)L )

Wenn die Defektgleichung AL−1qL−1 = dL−1 auf dem groberen Gitter TL−1 ”exakt“ gelost wird

(z.B. durch Gauß-Elimination), spricht man von einer”Zweigittermethode“: In der Regel wird

der Prozeß aber rekursiv zum Mehrgitterverfahren bis zum grobsten Gitter fortgesetzt. Dabeikann der vollstandige Mehrgitterzyklus auf verschiedene Art organisiert werden. Seine Strukturist im wesentlichen durch den Parameter R bestimmt, der festlegt, wie oft der Defektkorrektur-prozeß auf jedem Gitterlevel durchgefuhrt wird. In der Praxis spielen nur die Falle R = 1 oderR = 2 eine Rolle. Dem entsprechen der im schematischen Bild gezeigte sog.

”V-Zyklus“ und

der sog.”W-Zyklus“. Dabei stehen die Punkte

”•“ fur Glattung und Defektkorrektur auf den

Gittern Tl , und die Linie”−“ fur den Transfer zwischen aufeinander folgenden Gitterniveaus.

4v3v

v2

v1

v0

v4

vv3

2

v1

v0

Abbildung 4.2: Schema eines Mehrgitterverfahrens mit V- (oben links) F- (oben rechts) undW-Zyklus (unten).

Der V-Zyklus ist sehr effizient (wenn er funktioniert), krankt aber oft an Instabilitaten,welche durch Irregularitaten im Problem (starke Unsymmetrien, Eckensingularitaten, Gitterun-regelmaßigkeiten u.s.w.) hervorgerufen werden. Der W-Zyklus ist dagegen sehr robust, aber auch


teurer. Methoden mit R ≥ 3 sind gewohnlich zu ineffizient. Ein guter Kompromiß zwischen V-Zyklus und W-Zyklus stellt der sog.

”F-Zyklus“ dar. Dieser wird gewohnlich auf Gitter TL

gestartet mit einem beliebigen Startvektor u(0)L (meist u

(0)L = 0 ). Wird dieser Prozeß allerdings

zur Losung eines nicht linearen Problems im Rahmen einer Newton-Iteration angewendet, sokann dieser Startwert zu ungenau sein, und die ganze Iteration divergiert. In einem solchen Fallstartet man zur Generierung einer hinreichend genauen Anfangsapproximation den Mehrgitter-prozess gewohnlich auf dem grobsten Gitter T0 . Wir beschreiben dieses sog.

”geschachtelte“

Mehrgitter-Schema (”nested multigrid“) fur das lineare Problem.

Geschachteltes MG: Ausgehend von dem Startwert u0 := A−10 f0 auf dem grobsten Gitter T0

werden fur l = 1, ..., L rekursiv Naherungen ul ≈ ul berechnet nach der Vorschrift:

u(0)l = pll−1ul−1

u(t)l = MG(l, u

(t−1)l , fl), t = 1, ..., tl, ‖u(tl)

l − ul‖ ≤ c h2l ‖f‖,

ul = u(tl)l .

Es gibt nicht”den“ Mehrgitteralgorithmus. Die erfolgreiche Realisierung des Mehrgitterkon-

zepts erfordert eine sorgfaltige Balance der verschiedenen Bestandteile wie Glatter Sl und Gitte-roperatoren Al sowie der Gittertransfers rl−1

l und pll−1 jeweils fur das zu losende Problem. Imfolgenden werden wir diese Verfahrenskomponenten im Rahmen des Finite-Elemente-Kontextsdiskutieren.

i) Glatter:”Glatter“ sind ublicherweise einfache Fixpunktiterationen, die auch als

”Loser“

verwendet werden konnen, aber mit einer sehr schlechten Konvergenzrate. Sie werden auf jedemGitterniveau nur ein paarmal angewendet (ν, µ ∼ 1 − 4), um die hochfrequenten Fehleranteileauszudampfen. Wir betrachten im folgenden nur das klassische Richardson-Verfahren,

Sl := Il − θlAl , θl = λmax(Al)−1 , (4.2.54)

welches aber nur bei sehr”gutartigen“ Problemen funktioniert. Leistungsfahiger und robuster

sind das Gauß-Seidel- und das ILU-Verfahren. Diese funktionieren auch noch gut, wenn dasProblem gewisse Pathologien beinhaltet. Im Fall eines starken Advektionsterms besitzt die Sy-stemmatrix bei Numerierung der Knotenpunkte in Transportrichtung einen dominanten unterenDreicksanteil L , fur den die Gauß-Seidel-Methode

”exakt“ ist. Fur Probleme mit degenerierten

Koeffizienten in einer Raumrichtung sowie auf stark anisotropen Gittern besitzt die Systemma-trix einen dominaten Tridiagonalanteil, fur den wiederum die ILU-Iteration exakt ist. Fur echtindefinite Probleme werden spezielle, der jeweiligen Struktur des Problems angepaßte Glatterverwendet, deren Diskussion aber außerhalb des Rahmens dieser Vorlesung liegt. Auf lokal ver-feinerten Gittern darf die Glattung im Wesentlichen nur auf den jeweils neu hinzugekommenenZellen operieren, da sonst der arithmetische Aufwand pro Gitterlevel zu groß wird.

ii) Gittertransfers: Im Kontext einer Finite-Elemente-Diskretisierung mit geschachtelten An-satzraumen V0 ⊂ V1 ⊂ ... ⊂ Vl ⊂ ... ⊂ VL ist die generische Wahl fur die Prolongationpll−1 : Vl−1 → Vl die zellweise Einbettung und fur die Restriktion rl−1

l : Vl → Vl−1 die L2-Projektion. Bei anderen Diskretisierungen (z.B. Differenzenschemata) verwendet man geeigneteInterpolationsprozesse (z.B. bilineare Interpolation).

iii) Grobgitteroperatoren: Die Operatoren Al auf den verschiedenen Gitterniveaus mussen nichtnotwendig zur selben Diskretisierung des Ausgangsproblems gehoren. Dies wird z.B. wichtig


bei der Berucksichtigung von gitterweitenabhangiger kunstlicher Diffusion (”upwinding“) zur

Behandlung von Transporttermen. Wir beschranken uns hier aber auf den Idealfall, daß alleAl durch dieselben FE-Diskretisierungen auf der Gitterhierarchie Tll=0,...,L erzeugt sind. Indiesem Fall gilt die fur die theoretische Analyse nutzliche Beziehung

(Al−1vl−1, wl−1) = a(vl−1, wl−1)

= a(pll−1vl−1, pll−1wl−1)

= (Alpll−1vl−1, p

ll−1wl−1) = (rl−1

l Alpll−1vl−1, wl−1) ,

d.h.: Al−1 = rl−1l Alp

ll−1 .

iv) Korrekturschritt: Im Korrekturschritt wird ein Dampfungsparameter ωl ∈ (0, 1] verwendet,der im einfachsten Fall ωl = 1 gesetzt ist. Es hat sich als sehr wirksam erwiesen, ihn so zuwahlen, daß der Defekt Al ¯vl − dl−1 minimal wird. Dies fuhrt auf die Formel

ωl =(Al ¯vl, dl−1 −Al ¯vl)

‖Al ¯vl‖2. (4.2.55)

In der folgenden Analyse werden wir der Einfachheit halber stets ωl = 1 setzen.

4.2.2 Konvergenz- und Aufwandsanalyse

Die klassische Analyse des Mehrgitteralgorithmus basiert auf seiner Interpretation als eine De-fektkorrekturiteration und dem Konzept einer rekursiven Anwendung des Zweigitterverfahrens.Zur Vereinfachung nehmen wir an, daß nur Vorglattung angewendet wird (d.h.: ν > 0, µ = 0)und daß im Korrekturschritt keine Dampfung erfolgt (d.h.: ωl = 1 ). Der Zweigitterprozeß laßtsich dann in der folgenden Form schreiben:

u(t+1)L = SνL(u

(t)L ) + pLL−1A−1

L−1rL−1L

(fL −ALS

νL(u

(t)L ))

= SνL(u(t)L ) + pLL−1A−1

L−1rL−1L AL

(uL − SνL(u

(t)L )).

Fur den Iterationsfehler e(t)L := u

(t)L − uL gilt daher

e(t+1)L =

(IL − pLL−1A−1

L−1rL−1L AL

)(SνL(u

(t)L ) − uL

). (4.2.56)

Die Glattungsoperation ist gegeben in der (affin-linearen) Form

SL(vL) := SLvL + gL

und erfullt als Fixpunktiteration die Bedingung SL(uL) = uL . Daraus erschließt man rekursiv,daß

SνL(u(t)L ) − uL = SL

(Sν−1L (u

(t)L ) − uL

)= ... = SνLe

(t)L .

Mit dem sog.”Zweigitteroperator“

ZGL(ν) := (IL − pLL−1A−1L−1r

L−1L AL)SνL


gilt daher

e(t+1)L = ZGL(ν)e

(t)L . (4.2.57)

Satz 4.2 (Zweigitterkonvergenz): Fur hinreichend haufige Glattung, ν > 0 , ist der Zwei-gitteralgorithmus konvergent mit einer bzgl. L gleichmaßigen L2-Konvergenzrate:

‖ZGL(ν)‖ ≤ ρZG(ν) = c ν−1 < 1 . (4.2.58)

Beweis: Wir schreiben

ZGL(ν) = (A−1L − pLL−1A−1

L−1rL−1L )ALSνL (4.2.59)

und schatzen ab:

‖ZGL(ν)‖ ≤ ‖A−1L − pLL−1A−1

L−1rL−1L ‖‖ALSνL‖ . (4.2.60)

Der erste Term rechts beschreibt die Qualitat der Approximation der Feingitterlosung auf demgroberen Gitter, wahrend der zweite Term den Glattungseffekt enthalt. Die Idee fur die weitereAnalyse ist nun, zu zeigen, daß der Glatter SL(·) die sog.

”Glattungseigenschaft“,

‖ALSνLvL‖ ≤ csν−1h−2

L ‖vL‖ , vL ∈ VL , (4.2.61)

und die Grobgitterkorrektur die sog.”Approximationseigenschaft“ besitzt,

‖(A−1L − pLL−1A−1

L−1rL−1L )vL‖ ≤ cah

2L‖vL‖ , vL ∈ VL , (4.2.62)

mit positiven Konstanten cs, ca gleichmaßig bzgl. L . Kombination dieser beiden Abschatzungenergibt dann die behauptete Ungleichung (4.2.58). Fur hinreichend haufige Glattung ist ρZG :=cν−1 < 1 , und der Zweigitteralgorithmus konvergiert gleichmaßig bzgl. L . Alle im folgendenauftretenden Konstanten sind unabhangig von L .

(i) Glattungseigenschaft: Der selbstadjungierte Operator Al besitzt reelle, positive Eigenwerte0 < λ1 ≤ ... ≤ λi ≤ ... ≤ λNL

=: ΛL mit einem zugehorigen L2-Orthonormalsystem vonEigenfunktionen w(1), ..., w(NL) , so daß sich jedes vL ∈ VL in der Form

vL =

NL∑

i=1

γiw(i), γi = (vL, w

(i)) (4.2.63)

darstellen laßt. Fur den Richardson-Iterationsoperator

SL := IL − θLAL : VL → VL, θL = Λ−1L , (4.2.64)

gilt dann

ALSνLvL =

NL∑

i=1

γiλi

(1 − λi

ΛL

)νw(i) , (4.2.65)


und folglich

‖ALSνLvL‖2 =

NL∑

i=1

γ2i λ

2i

(1 − λi

ΛL

)2ν

≤ Λ2L max

1≤i≤NL

( λiΛL

)2(1 − λi

ΛL

)2ν NL∑

i=1

γ2i

= Λ2L max

1≤i≤NL

( λiΛL

)2(1 − λi

ΛL

)2ν‖vL‖2 .

Mit Hilfe der Beziehung (Ubungsaufgabe)

max0≤x≤1

x2(1 − x)2ν ≤ (1 + ν)−2 (4.2.66)

ergibt sich

‖ALSνLvL‖2 ≤ Λ2l (1 + ν)−2‖vL‖2 . (4.2.67)

Die Beziehung ΛL ≤ ch−2L liefert dann schließlich die behauptete Ungleichung fur den Richardson-

Iterationsoperator

‖ALSνL‖ ≤ csν−1h−2

L , ν ≥ 1. (4.2.68)

(ii) Approximationseigenschaft: Wir erinnern daran, daß im vorliegenden Kontext geschachtelterFE-Raume Prolongationen und Restriktionen gegeben sind durch

pLL−1 = id. (Identitat), rL−1L = PL−1 (L2-Projektion).

Ferner erfullt der Operator AL : VL → VL definitionsgemaß

(ALvL, ϕL) = a(vL, ϕL), vL, ϕL ∈ VL.

Fur ein beliebiges, aber fest gewahltes fL ∈ VL gilt demnach fur die Funktionen vL := A−1L fL

und vL−1 := A−1L−1r

L−1L fL :

a(vL, ϕL) = (fL, ϕL) ∀ϕL ∈ VL,

a(vL−1, ϕL−1) = (fL, ϕL−1) ∀ϕL−1 ∈ VL−1.

Der Funktion vL ∈ VL ordnen wir eine Funktion v ∈ V ∩H2(Ω) zu als Losung der Randwert-aufgabe

Lv = fL in Ω, v = 0 auf ∂Ω, (4.2.69)

bzw. in”schwacher“ Formulierung

a(v, ϕ) = (fL, ϕ) ∀ϕ ∈ V . (4.2.70)


Dafur gilt die a priori Abschatzung

‖∇2v‖ ≤ c‖fL‖. (4.2.71)

Dann ist

a(vL, ϕL) = (fL, ϕL) = a(v, ϕL), ϕL ∈ VL,

a(vL−1, ϕL−1) = (fL, ϕL−1) = a(v, ϕL−1), ϕL−1 ∈ VL−1,

d.h.: vL und vL−1 sind gerade die Ritz-Projektionen von v auf VL bzw. VL−1 . Fur diese geltendie L2-Fehlerabschatzungen

‖vL − v‖ ≤ ch2L‖∇2v‖, ‖vL−1 − v‖ ≤ ch2

L−1‖∇2v‖. (4.2.72)

Damit erhalten wir wegen hL−1 ≤ 4hL und der a priori Abschatzung (4.2.71):

‖vL − vL−1‖ ≤ ch2L‖∇2v‖ ≤ ch2

L‖fL‖ . (4.2.73)

Dies bedeutet mit der obigen Setzung, daß

‖A−1L fL − pLL−1A−1

L−1rL−1L fL‖ ≤ ch2

L‖fL‖ . (4.2.74)

Damit folgt die gewunschte Abschatztung

‖A−1L − pLL−1A−1

L−1rL−1L ‖ ≤ ch2

L . (4.2.75)


Das Resultat fur den Zweigitteralgorithmus wird nun verwendet zum Nachweis der Konver-genz des vollen Mehrgitteralgorithmus.

Satz 4.3 (Mehrgitterkonvergenz): Es sei angenommen, daß der Zweigitteralgorithmus kon-vergiert mit einer L2-Konvergenzrate ρZG(ν) → 0 fur ν → ∞ , gleichmaßig bzgl. L . Dannkonvergiert fur hinreichend haufige Glattung der Mehrgitteralgorithmus mit R ≥ 2 (W-Zyklus)mit einer von L unabhangigen L2-Konvergenzrate ρMG < 1 ,

‖uL −MG(L, u(t)L , fL)‖ ≤ ρMG ‖uL − u

(t)L ‖. (4.2.76)

Beweis: Der Beweis wird durch Induktion nach dem Gitterlevel L gefuhrt. Wir betrachten nurden relevanten Fall R = 2 (W-Zyklus) und werden uns der Einfachheit halber nicht bemuhen,die auftretenden Konstanten zu optimieren. Sei ν so groß, daß die Konvergenzrate des Zweigit-teralgorithmus ρZG ≤ 1

8 ist. Wir wollen zeigen, daß dann die Konvergenzrate des Mehrgitteral-gorithmus ρMG ≤ 1

4 ist, gleichmaßig bzgl. L . Fur L = 1 ist dies dann offenbar richtig. Sei nunauch ρMG ≤ 1

4 fur Gitterlevel L− 1 . Auf Gitterlevel L gilt dann ausgehend von der Iterierten

u(t)L mit der approximativen Losung q

(2)L−1 (nach 2-maliger Anwendung der Grobgitterkorrektur)

und der exakten Losung qL−1 der Defektgleichung auf Level L− 1 :

u(t+1)L = MG(L, u

(t)L , fL) = ZG(L, u

(t)L , fL) + pLL−1(q

(2)L−1 − qL−1) (4.2.77)


Nach Induktionsvoraussetzung ist (Man beachte, daß der Startwert der Mehrgitteriteration aufLevel L− 1 gleich Null ist und ρL−1 = A−1

L−1rL−1L dL ):

‖qL−1 − q(2)L−1‖ ≤ ρ2

MG ‖qL−1‖ = ρ2MG ‖A−1

L−1rL−1L ALSνL(uL − u

(t)L )‖ . (4.2.78)

Kombination der letzten Beziehungen ergibt fur den Iterationsfehler e(t)L := u

(t)L − uL :

‖e(t+1)L ‖ ≤

(ρZG + ρ2

MG ‖A−1L−1r

L−1L ALSνL‖

)‖e(t)L ‖ . (4.2.79)

Die Norm rechts ist bereits im Zusammenhang mit der Konvergenz des Zweigitteralgorithmusabgeschatzt worden. Mit dem Zweigitteroperator ZGL = (A−1

L − pLL−1A−1L−1r

L−1L )ALSνL gilt

A−1L−1r

L−1L ALSνL = SνL − (A−1

L − pLL−1A−1L−1r

L−1L )ALSνL = SνL − ZGL

und somit

‖A−1L−1r

L−1L ALSνL‖ ≤ ‖SνL‖ + ‖ZGL‖ ≤ 1 + ρZG ≤ 2 . (4.2.80)

Damit erhalten wir schließlich

‖e(t+1)L ‖ ≤

(ρZG + 2ρ2

MG

)‖e(t)L ‖ . (4.2.81)

Mit Hilfe der Annahme uber ρZG und der Induktionsannahme folgt

‖e(t+1)L ‖ ≤

(18 + 2 1

16

)‖e(t)L ‖ ≤ 1

4‖e(t)L ‖ , (4.2.82)

was den Induktionsbeweis vervollstandigt. Q.E.D.

Fur”gutartige“ Probleme (symmetrischer, positiv definiter Operator, glatte Koeffizienten,

quasi-gleichformige Gitter u.s.w.) erreicht man in der Regel Mehrgitterkonvergenzraten im Be-reich ρMG = 0, 1−0, 3 . Die obige Analyse ist nur fur den W-Zyklus gultig, da im Beweisteil (ii)R ≥ 2 benotigt wird. Der V-Zyklus kann nicht auf Basis nur einer Zweigitteranalyse behandeltwerden. In der Literatur finden sich allgemeinere Ansatze, die Konvergenz von Mehrgitterver-fahren auch in weniger regularen Situationen garantieren.

Als nachstes diskutieren wir die numerische Komplexitat des Mehrgitteralgorithmus. Dabeiwerden die folgenden Bezeichnungen verwendet:

OP (T ) = Anzahl der a.Op. zur Durchfuhrung einer Operation T,

R = Anzahl der Defektkorrekturschritte auf den einzelnen Gitterniveaus,

Nl = dimVl ≈ h−dl (d = Raumdimension),

κ = max1≤l≤L

Nl−1/Nl,

C0 = OP (A−10 )/N0,

Cs = max1≤l≤L

OP (Sl)/Nl, Cd = max1≤l≤L

OP (dl)/Nl,

Cr = max1≤l≤L

OP (rl)/Nl, Cp = max1≤l≤L

OP (pl)/Nl.

In der Praxis ist meist κ ≈ 2−d , Cs ≈ Cd ≈ Cr ≈ Cp ≈ #anm 6= 0 und C0N0 ≪ NL .


Satz 4.4 (Mehrgitterkomplexitat): Unter der Bedingung q := Rκ < 1 gilt fur einen Mehr-gitterzyklus MGL :

OP (MGL) ≤ CLNL (4.2.83)

mit

CL =(ν + µ)Cs + Cd + Cr + Cp

1 − q+ C0q

L,

Der Mehrgitteralgorithmus liefert die NL-dimensionale diskrete Losung uL ∈ VL auf dem GitterTL im Rahmen der Diskretisierungsgenauigkeit O(h2

L) bzgl. der L2-Norm mit O(NL ln(NL))a.Op. und hat damit (fast) optimale Komplexitat.

Beweis: Wir setzen Cl := OP (MGl)/Nl. Ein Mehrgitterschritt beinhaltet die R-fache Anwen-dung desselben Algorithmus auf dem nachst groberen Gitter. Bei Beachtung von Nl−1 ≤ κNl

gilt mit C := (ν + µ)Cs + Cd + Cr + Cp :

CLNL = OP (MGL) ≤ CNL +R ·OP (MGL−1) = CNL +R · CL−1NL−1 ≤ CNL + qCL−1NL,

und folglich CL ≤ C + qCL−1 . Rekursive Anwendung dieser Beziehung liefert

CL ≤ C(1 + q + q2 + ...+ qL−1) + qLC0 ≤ C

1 − q+ qLC0.

Dies impliziert die behauptete Abschatzung (4.2.83). Die Komplexitat des Gesamtalgorithmusergibt sich dann aus den Beziehungen

ρtMG ≈ h2L ≈ N

−2/dL , t ≈ − ln(NL)

ln(ρMG).


Wir bemerken, daß im Beweis der Aussage (4.2.83) die Bedingung

q := Rκ = R max1≤l≤L

Nl−1/Nl < 1

wesentlich ist. Dies besagt fur den W-Zyklus (R = 2), daß sich beim Ubergang vom Gitter Tl−1

zum nachst feineren Tl die Anzahl der Gitterpunkte (bzw. Freiheitsgrade) hinreichend starkerhohen muß, etwa wie bei einer gleichformigen Verfeinerung

Nl ≈ 4Nl−1.

Bei einem adaptiv gesteuerten Verfeinerungsprozeß mit teilweise nur lokaler Gitterverfeinerungist dies meist nicht erfullt; selbst bei Verwendung der

”Fest-Raten“-Strategie ist z.B. oft nur

Nl ≈ 2Nl−1 . In solchen Fallen muß der Mehrgitterprozeß zur Aufwandsersparnis modifiziertwerden. Dies geschieht dadurch, daß die kostenintensive Glattung sowie die anderen Operatio-nen nur jeweils auf den beim Ubergang von Tl−1 zu Tl neu hinzugekommenen Gitterpunktendurchgefuhrt werden. Bei der Implementierung eines Mehrgitteralgorithmus auf lokal verfeiner-ten Gittern ist viel Fingerspitzengefuhl erforderlich, wenn der resultierende Gesamtalgorithmuskomplexitats-optimal sein soll.


Fur das geschachtelte MG-Schema erhalt man sogar im strengen Sinne”optimale“ Losungs-

komplexitat O(NL) , da auf jedem Gitterniveau bestmogliche Startwerte verwendet werden.

Satz 4.5 (Geschachteltes Mehrgitterverfahren): Das geschachtelte MG-Schema ist kom-plexitats-optimal, d.h.: Es liefert die diskrete Losung uL ∈ VL auf dem feinsten Gitter TL

im Rahmen der Diskretisierungsgenauigkeit O(h2L) bzgl. der L2-Norm mit einem Aufwand von

O(NL) a.Op.

Beweis: Die Genauigkeitsanforderung fur die Mehrgitteriteration auf Gitterlevel TL ist

‖e(t)L ‖ ≤ ch2L‖f‖. (4.2.84)

(i) Wir wollen zunachst zeigen, daß (4.2.84) beim geschachtelten MG-Schema unter den Vor-aussetzungen des Mehrgitterkonvergenzsatzes 4.3 auf jedem Level L mit einer (hinreichend

großen) festen Zahl t∗ von Mehrgitterschritten erreichbar ist. Sei e(t)L := u

(t)L − uL wieder der

Iterationsfehler auf Level L . Nach Annahme ist e(t)0 = 0, t ≥ 1 . Im Fall u

(0)L := u

(t)L−1 gilt dann

‖e(t)L ‖ ≤ ρtMG‖e(0)L ‖ = ρtMG‖u

(t)L−1 − uL‖

≤ ρtMG

(‖u(t)

L−1 − uL−1‖ + ‖uL−1 − u‖ + ‖u− uL‖)

≤ ρtMG

(‖e(t)L−1‖ + ch2

L‖f‖).

Rekursive Anwendung dieser Beziehung fur L ≥ l ≥ 1 ergibt dann (wegen hl = 2L−lhL )

‖e(t)L ‖ ≤ ρtMG

(ρtMG

(‖e(t)L−2‖ + ch2

L−1‖f‖)

+ ch2L‖f‖

)

...

≤ ρLtMG‖e(t)0 ‖ +(cρtMGh

2L + cρ2t

MGh2L−1 + ...+ cρLtMGh

21

)‖f‖

= c2−2h2L

(ρtMG22 + ρ2t

MG22·2 + ...+ ρLtMG22·L) ‖f‖

≤ c2−2h2L‖f‖

22ρtMG

1 − 22ρtMG

,

vorausgesetzt 22ρtMG < 1 . Offenbar gibt es also ein t∗ , so daß (4.2.84) fur t ≥ t∗ erfullt ist,und zwar gleichmaßig bzgl. L .

(ii) Wir kommen nun zur Aufwandsanalyse. Satz 4.4 besagt, daß ein Zyklus des”einfachen“

Mehrgitteralgorithmus MG(l, ·, ·) auf dem l-ten Level Wl ≤ c∗Nl a.Op. benotigt (gleichmaßigbzgl. l ). Sei nun Wl die Anzahl der a.Op. des geschachtelten Schemas auf Gitterlevel l . Danngilt konstruktionsgemaß:

WL ≤ WL−1 + t∗WL.

Durch Iteration dieser Beziehung erhalten wir mit κ := max1≤l≤LNl−1/Nl < 1 :

WL ≤ t∗c∗NL + ...+N0 ≤ ct∗c∗NL1 + ...+ κL ≤ ct∗c∗1 − κ

NL,


4.3 Ubungen 181

4.3 Ubungen

Ubung 4.1: Das allgemeine “Abstiegsverfahren” zur iterativen Losung des GleichungssystemsAx = b mit symmetrischer, positiv-definiter Matrix A ∈ R

N×N lautet:

Startwert: x(0) ∈ Rn, r(0) := b−Ax(0) ,

fur t ≥ 0: Abstiegsrichtung d(t) ,

αt =〈r(t), d(t)〉〈Ad(t), d(t)〉 ,

x(t+1) = x(t) + αtd(t) , r(t+1) = r(t) − αtAd

(t) .

Die sog. “Koordinatenrelaxation” erhalt man durch zyklische Wahl der Abstiegsrichtungen d(t)

aus den kartesischen Einheitsvektoren e(1), . . . , e(N) . Man zeige, daß jeder N -Zyklus der Ko-ordinatenrelaxition aquivalent ist zum ublichen Gauß-Seidel-Verfahren. Bemerkung: Fur einetypische FE-Matrix hat die zyklische Koordinatenrelaxation also das Konvergenzverhalten:

|x(tN) − x| ≤ cqt, q ≈ 1 − cond2(A)−1 ≈ 1 − h2.

Ubung 4.2: Die erste RWA des Laplace-Operators

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf einem”regularen” Gebiet Ω ⊂ R

2 werde mit einem FE-Verfahren mit stuckweise linea-ren Ansatzfunktionen auf einer Folge von quasi-gleichformigen Gittern (d.h. großen- und form-regular) der Weite h diskretisiert. Dies fuhrt auf lineare Gleichungssysteme Ax = b mit sym-metrischen, positiv definiten (N × N)-Matrizen A , wobei N die Anzahl der Knotenpunkteist.

Welchen arithmetischen Aufwand (ausgedruckt in Potenzen von h) erfordert dabei die Losungdieser Gleichungssysteme mit dem CG-Verfahren mit der Genauigkeit des Diskretisierungsfehlersgemessen in der

”Energie-Norm” ‖∇(u − uh)‖ ? Dazu verwende man die folgende bekannte

Fehlerabschatzung fur das CG-Verfahren:

|x− xt|A ≤ 2qt|x− x0|A, q :=1 − 1/

√κ

1 + 1/√κ,

mit der diskreten”Energienorm” ‖x‖A := (Ax, x)1/2 und der Spektralkondition κ := cond2(A)

von A . (Hinweis: Man verwende die bekannte Beziehung fur die Spektralkondition von A so-wie die aus der obigen Fehlerabschatzung abgeleitete Abschatzung fur die Anzahl der Iterati-onsschritte. Der Aufwand pro CG-Schritt entspricht etwas der zweimaligen Defektberechnungx→ d := Ax− b .)

Ubung 4.3: Man versuche, den Beweis der Konvergenz des Zweigitterverfahrens ZG aus derVorlesung fur den Fall zu verallgemeinern, daß die Restriktion rl−1

l : Vl → Vl−1 mit Hilfe lokaler,bilinearer Interpolation (anstelle der L2-Projektion) auf dem Gitter Tl−1 definiert ist. Wo istdabei das Problem, und wie kann man damit fertig werden?


Ubung 4.4: Die FE-Diskretisierung des Konvektions-Diffusionsproblems

−∆u+ ∂1u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

fuhrt auf unsymmetrische Systemmatrizen Ah . In diesem Fall erfordert die Analyse des Mehr-gitterverfahrens einige Modifikationen. Man ubertrage den Beweis aus der Vorlesung fur dieKonvergenz des Zweigitteralgorithmus, wenn als Glatter wieder das Richardson-Verfahren

xt+1h = xth − θt(Ahx

th − bh), t = 0, 1, 2, . . . ,

mit den Dampfungsparametern θt := 12‖Ah‖−1 verwendet wird.

Ubung 4.5: Zur Losung der 1. RWA der Laplace-Gleichung

−∆u = f in Ω, u = 0 auf ∂Ω,

auf dem Einheitsquadrat Ω = (0, 1)2 werde auf einer Folge aquidistanter, kartesischer GitterTl mit Gitterweiten hl = 2−l mit Hilfe bilinearer finiter Elemente approximiert. Die diskreteGleichung auf Gitterlevel l werde dabei mit einem MG-Verfahren gelost, wobei das Richardson-Verfahren zur Glattung, die naturliche Einbettung zur Prolongation und die lokale bilineareInterpolation zur Restriktion verwendet werden. Die Anzahl der Vor- und Nachglattungsschrittesei ν = 2 und µ = 0 . Wieviele a.Op. kosten dann ungefahr ein V-Zyklus und ein W-Zyklusausgedruckt in Vielfachen der Dimension Nl = dimVl ?

5 Verfahren fur parabolische Probleme

Wir diskutieren zunachst wieder die klassischen Differenzenapproximationen zur Losung para-bolischer Anfangs-Randwert-Aufgaben. Der Ubersichtlichkeit halber beschranken wir uns dabeiauf das Modellproblem der Warmeleitungsgleichung in zwei Ortsdimensionen mit DirichletschenRandbedingungen, d.h. auf die 1. ARWA:

∂tu+ Lu = f in Ω × (0, T ), u|∂Ω = 0, u|t=0 = u0, (5.0.1)

mit einem elliptischen Operator L , der hier exemplarisch als L := −a∆ mit einer Konstantena > 0 gewahlt wird.

Das Definitionsgebiet Ω ∈ R2 wird wieder als glatt berandet oder als konvexes Polygonge-

biet vorausgesetzt. Die Problemdaten f, g, u0 sind ebenfalls glatt und kompatibel, so daß dieLosung ebenfalls als glatt angenommen werden kann. Erweiterungen fur Probleme mit wenigerregularen Daten oder anderen Randbedingungen sowie auf den dreidimensionalen Fall werdengegebenenfalls in Bemerkungen berucksichtigt. Gelegentlich wird auch das eindimensionale Ana-logon von (5.0.1) betrachtet. Als Basis von Finite-Elemente-Diskretisierungen dient wieder dievariationelle Formulierung von (5.0.1):

(∂tu, ϕ) + a(u, ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ V, t > 0, u|t=0 = 0, (5.0.2)

mit dem ublichen Sobolew-Raum V := H10 (Ω) und der symmetrischen und positiv definiten

”Energie-Form“ a(u, ϕ) := (a∇u,∇ϕ)Ω .

Bei der Diskretisierung von instationaren Problemen gibt es drei verschiedene Vorgehenswei-sen, die wir im folgenden kurz beschreiben wollen.

i)”Linienmethode“: Zunachst wird eine Diskretisierung bzgl. der Ortsvariablen vorgenom-

men, d.h.: mit Hilfe eines Finite-Differenzen- oder Finite-Elemente-Ansatzes werden”diskrete“

Funktionen uh(t) = uh(·, t) bestimmt aus der Gleichung

uh(t) + Ahuh(t) = fh(t), t ≥ 0, uh(0) = u0h. (5.0.3)

Im Falle eines Differenzenverfahrens auf einem Ortsgitter xii=1,...,N ist die diskrete Funktionuh(t) = (un(t))

Nn=1 der Vektor der Knotenwerte un(t) ≈ u(xn, t) , Ah = Ah : R

N → RN die

zum verwendeten Differenzenoperator korrespondierende Matrix und fh = bh = (f(xn))Nn=1 .

Beim Finite-Elemente-Ansatz ist uh(t) ∈ Vh eine Finite-Elemente-Funktion, Ah =: Vh → Vhdas durch

(Ahvh, ϕh) = a(vh, ϕh), vh, ϕh ∈ Vh,

definierte diskrete Analogon zum Differentialoperators L und fh = Phf ∈ Vh die L2-Projektionder rechten Seite f auf Vh . Die Aufgabe (5.0.3) lautet demgemaß in variationeller Form wiefolgt:

(uh(t), ϕh) + a(uh(t), ϕh) = (f, ϕh) ∀ϕh ∈ Vh, t ∈ I, uh(0) = Phu0. (5.0.4)

Nach Einfuhrung einer Knotenbasis ϕ(n)h , n = 1, ..., N = dim(Vh) geht dieses Problem uber

in ein System fur den Vektor Uh(t) = (Un(t))Nn=1 der zugehorigen Knotenwerte,

MhUh(t) +AhUh(t) = bh(t), t ≥ 0, Uh(0) = U0h , (5.0.5)

183


mit der”Steifigkeitsmatrix“ und

”Massenmatrix“

Ah = (a(ϕ(n)h , ϕ

(m)h ))Nn,m=1, Mh = ((ϕ

(n)h , ϕ

(m)h ))Nn,m=1

der Finite-Elemente-Basis. In beiden Fallen, (5.0.3) oder (5.0.5), handelt es sich um ein Systemvon (linearen) gewohnlichen Differentialgleichungen. Dieses wird nun mit einem der ublichenSchemata bzgl. der Zeit diskretisiert. Nach Wahl einer (zunachst konstanten) Zeitschrittweite kwerden zu den “diskreten“ Zeitleveln tm = mk Approximationen Umh = (Umn )Nn=1 zu u(·, tm)bestimmt. Wir sprechen von einem

”Einschritt-“ bzw. einem

”Zweischrittverfahren“, wenn Umh

aus den vorausgehenden Werten gemaß einer Formel der Form

Umh = F (Umh , Um−1h ) bzw. Umh = F (Umh , U

m−1h , Um−2

h )

berechnet wird. Im Falle

Umh = F (Um−1h ) bzw. Umh = F (Um−1

h , Um−2h )

heißt die Methode”explizit“. Zur Durchfuhrung einer nicht expliziten, d.h.

”impliziten“, Me-

thode mussen in jedem Zeitschritt Gleichungssysteme gelost werden. Die hohe Dimension desSystems, N = #Gitterpunkte an bzw. N = dim(Vh) , mit N ∼ 103 − 108 impliziert imHinblick auf die Losungsokonomie Einschrankungen bei der Wahl der Verfahren. Es kommen inder Regel nur Schemata einfacher Struktur, d.h. mit wenigen Matrix-Vektor-Multiplikationen,und niedriger Ordnung r = 1 − 4 in Frage. Eine weitere wesentliche Einschrankung bestehtin der generischen Steifheit des Systems. Die Systemmatrix Ah hat in Abhangigkeit von der(gleichformigen) Gitterfeinheit h die Kondition

κ2(Ah) ≈ h−2.

Bei expliziten Zeitschrittschemata sind also einschneidende Schrittweitenrestriktionen einzuhal-ten, welche deren Verwendung in der Regel verbietet. Der formale Vorteil der expliziten Verfah-ren, daß in den einzelnen Zeitschritten keine impliziten Gleichungssysteme zu losen sind, wirdbesonders in hoheren Raumdimensionen (d = 2, 3) durch die hohe Zahl von durchzufuhrendenZeitschritten (besonders bei Verwendung lokal verfeinerter Ortsgitter) schnell aufgehoben.

Beispiel numerischer Instabilitat: Wir wollen dies anhand einer einfachen Modellsituation illu-strieren. Die eindimensionale, homogene Version der ARWA (5.0.1)

∂tu− ∂2xu = 0 in Ω = (0, 1), u|∂Ω = 0, u|t=0 = u0 (5.0.6)

wird auf einem aquidistanten Gitter 0 = x0 < ... < xn < ... < xN+1 = 1 mit Hilfe zentralerDifferenzenquotienten 2. Ordnung,

∂2xu(xn, t) ≈ h−2

Un−1(t) − 2Un(t) + Un+1(t)

.

diskretisiert. Die Vektorfunktion Uh(t) = (Un(t))Nn=1 genugt dann dem System gewohnlicher

Differentialgleichungen

Un(t) − h−2Un−1(t) − 2Un(t) + Un+1(t) = 0 ,

wobei bei Berucksichtigung der Randbedingungen U0 ≡ UN+1 ≡ 0 gesetzt ist. Die Anfangswerte

185

sind naturgemaß Un(0) = u0(xn). Dies kann kompakt geschrieben werden als

Uh +AhUh(t) = 0 , t ≥ 0, Uh(0) = U0 , (5.0.7)

mit der (N ×N)-Matrix

Ah = h−2

−2 1 0

1 −2. . .

. . .. . .

−2 1

0 1 −2

.

Diese Matrix hat, wie wir bereits wissen, die Eigenwerte

0 < λ1 ≤ ... ≤ λN =4

h2+ O(h2), (5.0.8)

d.h.: Das nach Ortsdiskretisierung entstandene System (5.0.7) wird fur kleines h zunehmendsteif mit Steifigkeitsrate κ = O(h−2). Beim expliziten Euler1 -Schema (

”Polygonzugmethode“)

ist z.B. aus Stabilitatsgrunden die Schrittweitenbedingung

−λnk ∈ [−2, 0] ⇒ k ≤ 12h

2 (5.0.9)

einzuhalten. Diese Schrittweitenbeschrankung fur explizite Verfahren hat entscheidende prak-tische Bedeutung. Wir wollen das Phanomen der numerischen Instabilitat illustrieren. Dazubetrachten wir als einfachstes explizites Zeitschrittschema das klassische Euler-Verfahren (Poly-gonzugmethode) mit aquidistanter Schrittweite k . Dies fuhrt auf die folgenden Differenzenglei-chungen fur die Approximationen Umn ≈ u(xn, tm) :

Um+1n = Umn +

k

h2

(Umn−1 − 2Umn + Umn+1

). (5.0.10)

Fur k = h2 ist dannUm+1n = Umn−1 − Umn + Umn+1.

Im Fall oszillierender Anfangsdaten u0n = (−1)n ergibt sich

U1n = (−1)n−1 − (−1)n + (−1)n+1 = −3(−1)n = −3U0

n,

und bei Fortsetzung dieses Arguments:

Umn = (−3)mU0n, m ≥ 1, n = 1, ..., N. (5.0.11)

Dieses Verhalten bedeutet numerische”Instabilitat“. Es mag unrealistisch erscheinen, eine oszil-

lierende Anfangsbedingung der Art U0n = (−1)n anzunehmen, doch bedingt durch Rundungs-

1Leonhard Euler (1707-1783), geb. in Basel: universeller Mathematiker und Physiker; bedeutendster und pro-duktivster Mathematiker seiner Zeit; wirkte in Berlin und St. Petersburg; Arbeiten zu allen mathemischen Ge-bieten seiner Zeit.


fehler konnte gelten

U0n = V 0

n + ε(−1)n (5.0.12)

mit”glatten“ exakten Anfangsdaten V 0 . Wegen der Linearitat der betrachteten Differenzen-

gleichungen folgt

Umn = V mn + ε(−3)m(−1)n, (5.0.13)

so daß die anfanglich kleinen Anfangsstorungen schnell anwachsen. Z.B. ist diese fur ε = 10−15 >3−32 bereits nach nur 32 Zeitschritten auf Große ≈ 1 angewachsen und zwar unabhangig vonder Große von h .

ii)”Rothe-Methode“:Bei der Rothe2-Methode wird die Differentialgleichung als gewohnliche

Differentialgleichung fur eine Hilbertraum-wertige Funktion U(t) ∈ V aufgefaßt und zunachstmit einem A-stabilen Verfahren in der Zeit diskretisiert. Bei Verwendung z.B. des implizitenEuler-Schemas ergibt sich eine Folge von speziellen Randwertaufgaben

Um + kLUm = Um−1 + kfm, m ≥ 1, U0(x) = u0(x) .

Diese Probleme werden nun nacheinander auf moglicherweise wechselnden, dem Losungsverlaufangepaßten Ortsgittern diskretisiert. Das Problem ist dabei der adaquate Transfer der jeweiligenStartlosung Um−1 vom alten auf das neue Ortsgitter. Hier zeigt sich wieder der systematischeVorteil einer Finite-Elemente-Galerkin-Methode, bei der sich ganz automatisch als richtige Wahldie L2-Projektion von Um−1 auf das neue Gitter ergibt.

iii) Globale Orts-Zeit-Diskretisierung: Ahnlich wie bei den Transportproblemen konnteauch bei der Warmeleitungsgleichung eine simultane Diskretisierung (etwa mit einem Finite-Elemente-Galerkin-Verfahren) auf einem unstrukturierten Gitter der ganzen (x, t)-Ebene erfol-gen. Dieser theoretisch durchaus attraktive Ansatz wird aber bei hoher dimensionalen Proble-men wegen der globalen Kopplung aller Unbekannten sehr rechenaufwendig und spielt daher beiparabolischen Problemen in der Praxis keine wesentliche Rolle.

Im folgenden Abschnitt werden wir Differenzenapproximationen in Verbindung mit der Lini-enmethode betrachten. Die Rothe-Methode wird in Verbindung mit Finite-Elemente-Verfahrenim Ort diskutiert. Dies mundet dann auch ohne Probleme in Galerkin-Diskretisierungen simul-tan in Ort und Zeit, den sog.

”unstetigen“ oder

”stetigen“ Galerkin-Verfahren (sog.

”dG(r)-“

oder”cG(r)-Verfahren“).

2Erich Rothe (1895-1988): deutscher Mathematiker; Promotion und Habilitation in Berlin (1928), danachAssistent in Breslau, nach dem Krieg Prof. an der University of Michigan, USA.

5.1 Differenzenverfahren fur parabolische Probleme 187

5.1 Differenzenverfahren fur parabolische Probleme

5.1.1 Zeitschrittverfahren

Wir beginnen mit der Diskussion der”Linienmethode“ zur Diskretisierung von parabolischen

ARWAn der Art

∂tu+ Lu = f in QT := Ω × I, u|∂Ω = 0, u|t=0 = u0, (5.1.14)

mit L := −a∆ auf einem beschrankten (regular berandeten) Gebiet Ω ⊂ R2 und einem Zeitin-

tervall I = [0, T ] . Der Einfachheit halber wird die rechte Seite f gelegentlich zu Null gesetzt.

Ortsdiskretisierung von (5.1.14) mit einem der ublichen Differenzenverfahren (z.B. dem 5-Punkte-Operator mit geeigneter Randapproximation) fuhrt auf ein System gewohnlicher Diffe-rentialgleichungen

Uh(t) +AhUh(t) = 0, t > 0, Uh(0) = U0, (5.1.15)

fur den Vektor Uh(t) ∈ RN der Knotenwerte. Da die Eigenwerte der Systemmatrix Ah alle reell

sind (oder wenigstens nahe an der rellen Achse liegen), kame zur stabilen Integration des Sy-stems (5.1.15) jede A(0)-stabile Formel in Frage. Dabei muß aber der hohe numerische Aufwandbei der Durchfuhrung komplizierter impliziter Verfahren hoher Ordnung berucksichtigt werden.Durch Ubertragung der klassischen Zeitschrittformeln fur gewohnliche Differentialgleichungenauf das System (5.1.15) erhalten wir unter Benutzung der oben eingefuhrten Bezeichnungen diefolgenden einfachsten Einschrittverfahren:

1) Explizites Euler-Verfahren (Polygonzugmethode):

k−1Umh − Um−1h +AhU

m−1h = fm−1, m ≥ 1,

2) Implizites Euler-Verfahren:

k−1Umh − Um−1h +AhU

mh = fm, m ≥ 1,

3) Crank3 -Nicolson4 -Verfahren (Trapezregel):

k−1Umh − Um−1h + 1

2Ah(Umh + Um−1

h ) = 12k(f

m + fm−1), m ≥ 1,

und die Zweischrittverfahren:

4) BDF(2)-Verfahren (Ruckwartsdifferenzenformel):

12k

−13Umh − 4Um−1h + Um−2

h +AhUmh = fm, m ≥ 2,

5) Mittelpunkts-Verfahren:

12k

−1Umh − Um−2h +AhU

m−1h = fm−1, m ≥ 2,

3John Crank (1916-): englischer Mathematiker; Prof. an der Brunel University, Uxbridge, England; Beitragezur Numerik partieller Differentialgleichungen, bekannt durch das

”Crank-Nicolson-Verfahren“.

4Phyllis L. Nicolson (1917-1968): englische Physikerin; Lecturer an der Univ. Leeds und an der Univ. Manche-ster; bekannt durch das

”Crank-Nicolson-Verfahren“.


6) Simpson-Verfahren:

12k

−1Umh − Um−2h + 2

3AhUmh + 4Um−1h + Um−2

h = fm−1, m ≥ 2.

Als Startwerte werden gewohnlich (im Fall glatter Anfangsdaten) einfach die RestriktionenU0n = u0(an) verwendet. Bei den Zweischrittverfahren wird der zweite erforderliche Startwert

U1h durch Anwendung einer Einschrittformel entsprechender Ordnung gewonnen. Wegen ih-

rer inharenten Instabilitat (triviales Stabilitatsgebiet) kommen die Mittelpunktsformel und dieSimpson-Formel fur die praktische Anwendung nicht in Frage.

Wie bei der Analyse von Differenzenverfahren ublich verwenden wir den”Abschneidefehler“

τmh,k = (τmn )Nn=1 der Differenzenformeln. Diesen erhalt man wieder durch formales Auswerten derDifferenzenformeln auf der exakten Losung:

k τmh,k := um − F (um, um−1, um−2).

Bei einer Ortsdiskretisierung der Ordnung p verhalt sich der Abschneidefehler dann gemaß

τmh,k = O(hp + kq),

wobei q die”Ordnung“ des Zeitschrittverfahrens ist. Von der Fehleranalyse der Zeitschrittverfah-

ren fur gewohnliche Differentialgleichungen wissen wir bereits, daß die einfachen Euler-Verfahrendie Ordnung q = 1 und das Crank-Nicolson- sowie das BDF(2)-Verfahren die Ordnung q = 2haben. Spater werden wir noch Verfahren der Ordnung q = 3, 4 kennenlernen. Bei der Analysedieser Zeitschrittschemata fur parabolische Probleme ist die genaue Abhangigkeit des Abschnei-defehlers von der ortlichen und zeitlichen Regularitat der Losung interessant.

Hilfssatz 5.1 (Konsistenz): Fur die ARWA (5.1.14) genugen die Abschneidefehler der be-trachteten Differenzenverfahren den folgenden (scharfen) Abschatzungen:

i) Explizites und implizites Euler-Verfahren:

maxQT

|τmh,k| ≤ maxQT

|τmh | + 12k max

QT

|∂2t u| ; (5.1.16)

ii) Crank-Nicolson-Verfahren:

maxQT

|τmh,k| ≤ maxQT

|τmh | + 112k

2 maxQT

|∂3t u| ; (5.1.17)

iii) BDF(2)-Verfahren:

maxQT

|τmh,k| ≤ maxQT

|τmh | + 23k

2 maxQT

|∂3t u| . (5.1.18)

Dabei ist τmh = O(h2) der Abschneidefehler der Ortsdiskretisierung.

Beweis: Der Abschneidefehler der Ortsdiskretisierung genugt im allgemeinen der Abschatzung

|τmh | = |Lum − Lhum| ≤ ch2Mm

4 (u),

wobei Lh der Ortsdifferenzenoperator ist und M4(u) := maxΩ |∇4um| . Speziell in einer Raum-


dimension mit Ω = (0, 1) gilt

|τmh | = |∂2xu

m − Lhum| ≤ 1

12h2 max

[0,1]|∂4xu

m|.

i) Fur die explizite Euler-Formel gilt

|k−1(um − um−1) + Lhum−1| =

∣∣∣k−1

∫ tm

tm−1

∂tu dt + Lhum−1

∣∣

=∣∣∣k−1

∫ tm

tm−1

∂tu dt − ∂tum−1 − Lum−1 + Lhu

m−1∣∣∣

≤ k−1∣∣∣∫ tm

tm−1

∂tu− ∂tu

m−1ds∣∣∣+ |Lum−1 − Lhu

m−1|

≤ k−1

∫ tm

tm−1

(t− tm−1) dt max[tm−1,tm]

|∂2t u| + |τm−1

h |

Es folgtmaxQT

|τmh,k| ≤ 12k max

QT

|∂2t u| + max

QT

|τm−1h |.

Dieselbe Abschatzung gilt auch fur die implizite Euler-Formel.

ii) Fur die Crank-Nicolson-Formel gilt

|k−1(um − um−1) + 12Lh(u

m + um−1)| =∣∣∣k−1

∫ tm

tm−1

∂tu dt− 12(∂tu

m + ∂tum−1)

+ 12(Lum − Lhu

m) + 12(Lum−1 − Lhu

m−1)∣∣∣

≤ k−1∣∣∣∫ tm

tm−1

12(t− tm)(t− tm−1) dt

∣∣∣ max[tm−1,tm]

|∂3t u|

+ 12(|τmh | + |τm−1

h |)

Wir erhalten damitmaxQT

|τmh,k| ≤ 112k

2 maxQT

|∂3t u| + max

QT

|τmh |.

iii) Fur die BDF(2)-Formel gilt

12k

−13um − 4um−1 + um−2 + Lhum = 1

2k−13um − 4um−1 + um−2 − 2k∂tu

m+ Lhu

m − Lum .

Taylor-Entwicklung um tm liefert

3um − 4um−1 + um−2 − 2k∂tum = 4

3k3∂3t u(·, ηm)


mit gewissen Zwischenstellen ηm ∈ [tm−2, tm] . Damit erhalten wir

maxQT

|τmh,k| ≤ 23k

2 maxQT

|∂3t u| + max

QT

|τmh |.


Die Losung der ARWA (5.1.14) besitzt die explizite Darstellung

u(x, t) =∞∑

n=1

u0nv

(n)(x)e−λnt, (x, t) ∈ QT , (5.1.19)

mit den Eigenwerten und (orthonormierten) Eigenfunktionen des regularen”elliptischen“ Ope-

rators −a∆ : V ⊂ L2(Ω) → L2(Ω) ,

0 < λ1 < ... ≤ λn ≤ ... (n ∈ N), v(n)(x) ∈ V : −a∆v(n) = λnv(n),

und den Entwicklungskoeffizienten der Startwerte

u0(x) =∞∑

n=0

u0nv

(n)(x) , u0n = (u0, v(n))Ω .

Diese Darstellung laßt sich wegen der gleichmaßigen Konvergenz der Reihen wie folgt umformen:

u(x, t) =

∞∑

n=1

u0nv

(n)(x)( ∞∑

i=0

(−1)iλint

i

i!

)=

∞∑

i=0

(−1)iti

i!

( ∞∑

n=1

u0nλ

inv

(n)(x))

=∞∑

i=0

(−1)iti

i!

( ∞∑

n=1

u0n∆

iv(n)(x))

=∞∑

i=0

(−1)iti

i!∆i( ∞∑

n=1

u0nv

(n)(x))

=( ∞∑

i=0

(−1)i1

i!(−t∆)i

)u0(x) =: et∆u0(x).

Die Definition der Operatorfunktion et∆ uber eine konvergente Taylor-Reihe laßt sich auf be-liebige analytische Funktionen ubertragen. Wir betonen, daß eine solche kompakte Losungsdar-stellung nur im Fall zeitlich konstanter Koeffizienten a moglich ist. Auf dem diskreten Zeitgittergilt dann

u(·, tm) = ek∆u(·, tm−1), m ∈ N. (5.1.20)

Dies legt es nahe, den Zeitschritt tm−1 → tm mit Hilfe einer rationalen Approximation R(z) ≈ez der Exponentialfunktion der

”Ordnung“ q + 1 anzusetzen,

R(z) =P (z)

Q(z)= ez + O(|z|q+1), z ≤ 0, (5.1.21)

mit geeigneten Polynomen P ∈ Pr und Q ∈ Ps , wobei naturlich Q auf z ∈ R− keine Nullstellenhaben darf. Das Diskretisierungsschema lautet dann

Umh = R(−kAh)Um−1h bzw. Q(−kAh)Umh = P (−kAh)Um−1

h . (5.1.22)


Die oben betrachteten Einschrittverfahren lassen sich in diesen Rahmen einordnen gemaß:

”Expliziter Euler“ : R(z) = 1 + z ,

”Impliziter Euler“ : R(z) = (1 − z)−1 ,

”Crank-Nicolson“ : R(z) = (1 + 1

2z)(1 − 12z)

−1 .

Durch die Ordnungsbedingung

ezQrs(z) − Prs(z) = O(|z|r+s+1), z ≤ 0, (5.1.23)

fur den Ansatz Prs ∈ Pr, Qrs ∈ Ps wird man auf die sog.”Pade5 -Schemata“ gefuhrt. Diese

sind eindeutig bestimmt und werden gewohnlich in der sog.”Pade-Tafel“ dargestellt:

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

11

1+z1

1+z+12z2

1

1+x+12z2+

16z3

1...

11−z

1+12z

1−12z

1+23z+

16z2

1−13z

1+34z+

14z2+

124z3

1−14z

...

1

1−z+12z2

1+13z

1−23z+

16z2

1+12z+

112z2

1−12z+

112z2

... ...

... ... ...

1+12z+

110z2+

1120

z3

1−12z+

110z2− 1

120z3

...

... ... ... ... ...

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

.

Offensichtlich sind alle bisher betrachteten Einschrittschemata Pade-Formeln und damit indiesem Sinne ordnungsoptimal. Aus der Pade-Tafel erhalten wir nun weitere Zeitschrittverfahrenhoherer Ordnung. Dabei kommen aus Okonomiegrunden nur die

”diagonalen“ oder

”subdiago-

nalen“ Pade-Schemata in Frage; z.B. die folgenden impliziten Verfahren 3. bzw. 4. Ordnung:

(I + 13kAh)U

mh = (I − 2

3kAh + 16k

2A2h)U

m−1h (q = 3),

(I + 12kAh + 1

12k2A2

h)Umh = (I − 1

2kAh + 112k

2A2h)U

m−1h (q = 4).

Wir bemerken fur die weitere Analyse, daß eine rationale Approximation R(z) der Expo-nentialfunktion (der Ordnung r ≥ 1 ) die folgende Eigenschaft hat:

|R(z)| ≤ eδz , −1 ≤ z ≤ 0, (5.1.24)

mit einem geeigneten δ > 0 . Die Wirkung der Zeitschrittschemata des Typs (5.1.22) laßt sichmit Hilfe der Spektralzerlegung der Matrix Ah wieder beschreiben durch:

Umh =N∑

n=1

U0jR(−kλn)mv(n), m ≥ 1,

5Henri Eugene Pade (1785-1836): franzosischer Mathematiker; Prof. in Poitiers und Bordeaux; entwickelte diesog. Pade-Approximation.


bzw. (mit der Euklidischen Vektornorm | · | )

|Umh |2 =

N∑

n=1

|U0n|2 |R(−kλn)|2m.

Ihr qualitatives Verhalten laßt sich also weitgehend durch die Eigenschaften der verwendetenrationalen Funktion R(z) charakterisieren. Wir stellen einige wichtige Bedingungen fur diefolgende Analyse zusammen.

(i) Die A-Stabilitat|R(z)| ≤ 1 , z ≤ 0.

sichert die”Stabilitat“ der Zeititeration supm≥0 |Umh | <∞ .

(ii) Die strenge A-Stabilitat|R(z)| ≤ 1 − ck , z ≤ −1,

sichert die Beschranktheit der diskreten Losung auch im Fall inhomogener rechter Seiten,supm≥0 |Umh | < c supm≥0 |fm| .

(iii) Die starke A-Stabilitat|R(z)| ≤ κ < 1 , z ≤ −1 ,

sichert die (exponentielle) Dampfung”hochfrequenter“ Losungsanteile und macht das Verfahren

robust gegenuber lokalen Storungen der Daten (”Glattungseigenschaft“).

(iv) Zur korrekten Wiedergabe von Schwingungsprozessen (im Ort oszillierenden Losungen)sollte

R(±i) ∼ 1

sein, um diese Schwingungen moglichst wenig zu dampfen (”numerischen Dissipativitat“).

Offensichtlich konnen nur implizite Verfahren die gelisteten Eigenschaften haben. Das im-plizite Euler-Schema (und genauso alle sub-diagonalen Pade-Schemata) ist stark A-stabil (mitLimes κ = 0 ), neigt aber zur Uberdampfung: |(1 + i)−1| = 1/

√2 . Dagegen ist das Crank-

Nicolson-Schema (und genauso alle diagonalen Pade-Schemata) nur einfach A-stabil,

limz→−∞

1 − 12z

1 + 12z

= 1,

besitzt aber praktisch auch keine numerische Dissipation: |(1 − i/2)(1 + i/2)−1| = 1 . Die feh-lende starke A-Stabilitat hat nachteilige Konsequenzen im Fall von irregularen Anfangswertenu0 (z.B.: lokalen Temperaturspitzen). Die durch diese Anfangsdaten induzierten hochfrequentenFehleranteile werden durch das Crank-Nicolson-Schema nur unzureichend ausgedampft, so daßsich ein unphysikalisches Losungsverhalten zeigen kann. Es sei daran erinnert, daß der kontinu-ierliche Differentialoperator stark dampfend ist:

‖u(t)‖ ≤ e−λmint‖u0‖ , t ≥ 0 ,

mit dem kleinsten Eigenwert des Ortsoperators, λmin > 0 .

Bei Verwendung des Crank-Nicolson-Schemas fur Rechnungen uber lange Zeitraume solltees stabilisiert werden, um wenigstens strenge A-Stabilitat zu sichern. Dies kann ohne Reduktion


der Konsistenzordnung durch einen leichten k-abhangigen Schift erfolgen:

(I + 1

2(1 + ck)kAh)Umh =

(I − 1

2 (1 − ck)kAh)Um−1h . (5.1.25)

Verfahren hoherer Ordnung erfordern die Invertierung der Operatorfunktion Q(−kAh) . Diesist in der Regel zu teuer. Einerseits ist die Besetzungstruktur von Q(−kAh) selbst bei Polynom-grad j = 2 bereits deutlich dichter als die von Ah , andererseits wurde das Arbeiten mit derLinearfaktorzerlegung Q(z) = (z − µ)(z − µ) die Verwendung (kostspieliger) komplexer Arith-metik erfordern. Geeignet waren dagegen Schemata, bei denen das Nennerpolynom in reelleLinearfaktoren zerfallt: Q(z) =

∏sj=1(z − µj), µj ∈ R . Durch diesen Ansatz sollten sich syste-

matisch Verfahren mit gunstigeren Eigenschaften als die der einfachen Basisschemata gewinnenlassen.

Ein Beispiel fur einen solchen Ansatz ist die parameter-abhangige rationale Funktion

Rθ(z) =(1 + αθ′z)(1 + βθz)2

(1 − αθz)2(1 − βθ′z)= ez +O(|z|3), z ≤ 0 ,

mit θ = 1 − 12

√2 = 0, 292893..., θ′ = 1 − 2θ und beliebigen Werten α ∈ (1

2 , 1], β = 1 − α . Dasauf dieser rationalen Funktion basierende Schema ist wegen

|Rθ(z)| < 1 , z < 0 , limz→−∞

|Rθ(z)| =β

α< 1 .

stark A-stabil. Die Entwicklung

Rθ(z) = 1 + z + 12z

21 − (α− β)(2θ2 − 4θ + 1) + 16r(θ, α)z3 + O(|z|4)

zeigt, daß fur die obige Parameterwahl von der Ordnung O(k2) ist. Fur die Gute dieser Appro-ximation im Vergleich zu der des Crank-Nicolson-Schemas ist die Große der fuhrenden Fehler-konstante r(α) bestimmend. Eine Taylor-Entwicklung ergibt

r(θ, α) = (18θ′ + 24θ3)α3 + (42θ2θ′ + 12θθ′2 + 30θ′3)α2β

+ (12θ3 + 30θ2θ′ + 24θθ′2 + 6θ′3)αβ2 + (6θ2θ′ + 12θθ′2 + 6θ′3).

Im betrachteten Bereich 0, 5 < α ≤ 1 ist |r(θ, α)| ≤ 0, 5 . Damit ist die Fehlerkonstante dieserApproximation nur in akzeptablem Maß großer als die entsprechende Fehlerkonstante 1

12 derTrapezregel. Das zugehorige Verfahren laßt sich in Form eines Teilschrittschemas schreiben (hierfur den inhomogenen Fall),

Teilschritt-θ-Verfahren (Fractional-Step-θ-Method):

(I + αθkAh)Um−1+θ = (I − βθkAh)U

m−1 + θkfm−1h , (5.1.26)

(I + βθ′kAh)Um−θ = (I − αθ′kAh)U

m−1+θ + θ′kfm−θh , (5.1.27)

(I + αθkAh)Um = (I − βθkAh)U

m−θ + θkfm−θh . (5.1.28)

Jeder der Teilschritte hat die Form eines geschifteten Crank-Nicolson-Schritts, so daß der Ge-samtaufwand pro Zeitschritt dem von drei Crank-Nicolson-Schritten entspricht. Fur den spezi-ellen Wert

α = (1 − 2θ)(1 − θ)−1 = 0, 585786...


ist αθ = βθ′ , so daß die zu invertierenden Matrizen in den drei Teilschritten ubereinstimmen,was z.B. bei der direkten Losung der Gleichungssysteme ausgenutzt werden kann. Eine genaueAnalyse des Abschneidefehlers des FS-Schemas zeigt, daß seine fuhrende Fehlerkonstante nurwenig großer als die von drei kombinierten Crank-Nicolson-Schritten ist:

τmk = ck2 + O(k3), cFS ∼ c3×CN .

Dies bedeutet, daß das FS-Schema gegenuber dem CN-Schema bzgl. Genauigkeit und Aufwandgleichwertig ist, aber uber eine hohere Robustheit verfugt. Das FS-Schema hat sich in der Pra-xis als besonders geeignet zur Behandlung von parabolischen Problemen mit nicht notwendigregularen Daten und geringer naturlicher Eigendissipation erwiesen.

5.1.2 Stabilitat und Konvergenz

Wir wollen nun die Stabilitat und Konvergenz von Diskretisierungen der Warmeleitungsglei-chung untersuchen. Dabei bedienen wir uns exemplarisch verschiedener Techniken, die alle dis-krete Analoga von Analysemethoden beim kontinuierlichen Problem sind.

i)”Maximumprinzipmethode“

Eine einfache, direkte Variante der Maximumprinzipmethode kann bei gewissen expliziten Dif-ferenzenschemata angewendet werden. Die Ortsdiskretisierung fuhre auf eine M-Matrix Ah . Furdie explizite Euler-Formel

Umh = Um−1h − kAhU

m−1h

gilt dann wegen der Diagonaldominanz von Ah :

|Umn | = |1 − kann||Um−1n | + k

∑

ν 6=n|anν ||Um−1

ν |

≤ |1 − kann||Um−1n | + kann max

ν|Um−1ν |.

Unter der Schrittweitenbedingung

k ≤ maxn

a−1nn ∼ ch2 (5.1.29)

folgt daher die L∞-Stabilitat des Verfahrens

maxn

|Umn | ≤ maxn

|Um−1n | ≤ ... ≤ max

n|U0n|, m ≥ 1. (5.1.30)

Im Fall des 5-Punkte-Schemas ist ann = 4h−2 , so daß die Stabilitatsbedingung (5.1.29) dieForm

k ≤ 14h

2 (5.1.31)

erhalt.

Satz 5.1 (Explizites Euler-Verfahren): Unter der Schrittweitenbedingung (5.1.29) gilt fur


das explizite Euler-Verfahren die Konvergenzabschatzung

maxQT

|Umh − u(·, tm)| ≤ T

12kmax

QT

|∂2t u| + max

QT

|τmh |. (5.1.32)

mit dem ortlichen Abschneidefehler τmh = O(hq) .

Beweis: Der Fehler em := u(·, tm) − Um genugt der Gleichung

k−1(em − em−1) +Ahem = τmh,k

mit dem Abschneidefehler

maxQT

|τmh,k| ≤ 12kmax

QT

|∂2t u| + max

QT

|τmh | .

Das bei der Herleitung der Stabilitatsbedingung (5.1.29) verwendete Argument liefert

maxΩ

|em| ≤ maxΩ

|em−1| + kmaxQT

|τmh,k|

Durch Iteration dieser Abschatzung folgt weiter wegen e0 = 0 :

maxΩ

|em| ≤ k

m∑

µ=1

|τµh,k|

≤ 12tmkmax

QT

|∂2t u| + tm max

QT

|τmh |.

Dies impliziert die behauptete Fehlerabschatzung. Q.E.D.

Eine wichtige Eigenschaft des kontinuierlichen Warmeleitungsoperators ist seine”inverse

Monotonie“, d.h.: Losungen zu nicht-negativen Anfangsdaten und rechter Seite bleiben nicht-negativ. Diese Eigenschaft ubertragt sich auf die diskretisierten Probleme, wenn die Systemma-trix Ah M-Matrix ist.(i) Fur das explizite Euler-Verfahren folgt unter der Schrittweitenbedingung (5.1.29) aus Um−1

n ≥0 und fmn ≥ 0 notwendig auch

Umn = (1 − kann)Um−1n + k

∑

ν 6=n|anν |Um−1

ν + kfmn ≥ 0.

(ii) Fur das implizite Euler-Verfahren ist im Falle Um−1n ≥ 0 und fmn ≥ 0

(Ih + kAh)Umh = Um−1

h + kfmh ≥ 0.

Da mit Ah naturlich auch Ih + kAh M-Matrix ist, gilt (Ih + kAh)−1 ≥ 0 . Es folgt Umh ≥ 0 .

In beiden Fallen ist also auch das diskrete Schema”invers-monoton“. Dies ist i.a. fur das Crank-

Nicolson-Schema nicht der Fall.

ii)”Von Neumannsche Methode“ (Fourier-Methode)

Wir beschranken uns auf den ortlich eindimensionalen Fall mit Ω = (−π, π) ,

∂tu− ∂2xu = 0 in QT ,


mit”periodischen“ Dirichlet-Randbedingungen

u(−π, t) = u(π, t), t ≥ 0.

In diesem Fall kann die Losung der ARWA nach trigonometrischen Funktionen entwickelt werden(Fourier-Entwicklung). In komplexer Schreibweise lautet dies

u(x, t) =∞∑

ν=0

a0νeiνxeν

2t, (5.1.33)

mit den Entwicklungskoeffizienten a0ν der Anfangsbedingung. Auf einem aquidistanten Punkt-

gitter xn = −π + nh, n = 0, ..., N = 2π/h machen wir fur die diskrete Losung Umh =Umn , n = 0, ..., N, m ≥ 0, den analogen Entwicklungsansatz

Umn =N∑

ν=0

amν eiνnh =:

N∑

ν=0

a0νω

mν e

iβνn (5.1.34)

mit βν := νh und zu bestimmenden Parametern ων ∈ C . Wir fragen nach der Stabilitat furm→ ∞ der Differenzendiskretisierung bzgl. der diskreten Spektralnorm

‖Umh ‖h :=( N∑

n=1

|amn |2)1/2

.

Die Wirkung des (linearen) Differenzenschemas kann fur jede einzelne Fourier-Komponente se-parat untersucht werden. Gesucht sind Bedingungen an k und h , unter denen |ων | ≤ 1 ist furalle moglichen βν . Dann liegt Stabilitat vor in dem Sinne, daß

‖Umh ‖2h =

N∑

n=1

|a0n|2|ων |2m ≤

N∑

n=1

|a0n|2 = ‖U0

h‖2h. (5.1.35)

Wir fuhren diese Analyse wieder exemplarisch fur das explizite Euler-Schema durch. Mit r :=kh−2 gilt

Um+1n = rUmn−1 + (1 − 2r)Umn + rUmn+1.

Einsetzen von Umn := ωmeiβn ergibt

ωm+1eiβn = rωmeiβ(n−1) + (1 − 2r)ωmeiβn + rωmeiβ(n+1),

und nach Vereinfachungω = re−iβ + (1 − 2r) + reiβ.

Es liegt Stabilitat vor, wenn |ω| ≤ 1 fur beliebiges β . Unter Ausnutzung der Beziehungen

eiβ = cos(β) + i sin(β), cos(β) = 1 − 2 sin2(12β),

folgt

ω = r(eiβ + e−iβ

)+ (1 − 2r) = r (cos(β) + i sin(β) + cos(β) − i sin(β)) + (1 − 2r)

= r(2 − 4 sin2(1

2β))

+ (1 − 2r) = 1 − 4r sin2(12β).


Stabilitat liegt vor fur−1 ≤ 1 − 4r sin2(1

2β) ≤ 1 ∀β,was aquivalent ist zu

r sin2(12β) ≤ 1

2 .

Dies fuhrt auf die schon bekannte Stabilitatsbedingung

k ≤ 12h

2. (5.1.36)

Die Fourier-Methode kann auch fur”exotischere“ Differenzenformeln angewendet werden.

Wir demonstrieren dies anhand des klassischen”Du Fort6-Frankel7-Verfahren“:

1

2k

(Um+1n − Um−1

n

)− 1

h2

(Umn−1 − (Um+1

n + Um−1n ) + Umn+1

)= 0. (5.1.37)

Sein Abschneidefehler verhalt sich wie

maxn,m

|τmn | = O(k2/h + k2 + h2). (5.1.38)

Die von Neumannsche Stabilitatsanalyse liefert fur die Verstarkungsfaktoren die Darstellung( r := k/h2 )

ω =2r cos(β) ±

√1 − 4r2 sin2(β)

1 + 2r. (5.1.39)

Dies impliziert , daß |ω| ≤ 1 fur alle β , d.h.: Das DuFord-Frankel-Schema ist unbedingt stabil.Analog zeigt man, daß das sog.

”Richardson-Verfahren“

1

2k(Um+1

n − Um−1n ) − 1

h2(Umn−1 − 2Umn + Umn−1) = 0 (5.1.40)

unbedingt instabil ist. Obwohl es die”optimale“ Konsistenzordnung O(h2 + k2) besitzt, ist

es also praktisch unbrauchbar. Dies ist nicht verwunderlich, da dieses Schema ein Derivat derMittelpunktsregel mit dem Stabilitatspolynom π(z, hλ) und den Wurzeln z1,2 = hλ± (h2λ2 +1)1/2 ist.

Die von Neumann’sche Fourier-Methode zur Stabilitatsanalyse von Differenzenschemata istauf den Fall periodischer Dirichlet-Randbedingungen bzw. den Grenzfall von

”Ganzraum-Proble-

men“ (Ω = R1 ) beschrankt und erfordert aquidistante Ortsgitter. Fur allgemeinere Ortsdiskre-

tisierungen anwendbar ist die im folgenden prasentierte”Spektralmethode“.

iii) Spektral-Methode:Die symmetrische, positiv definite Matrix Ah habe die Eigenwerte und zugehorigen (l2-ortho-normierten) Eigenvektoren

0 < λ1 ≤ ... ≤ λN , w(n), n = 1, ..., N.

6E.C. Du Fort (????-????): ????; Publ. mit S.P. Frankel: Stability conditions in the numerical tratment ofparabolic differential equations, Math. Tables and other Aids to Comput. (jetzt Math. Comput.) 7, 135-152(1953).

7S.P. Frankel (????-????): ????


Jede Gitterfunktion besitzt dann eine Entwicklung der Form

Umh =

N∑

n=1

anw(n), an = 〈Umh , w(n)〉.

Dabei ist das Skalarprodukt 〈·, ·〉 fur eine FD-Diskretisierung im Ort wieder ein diskretes Ana-logon der kontinuierlichen L2-Norm,

〈v,w〉 :=

N∑

n=1

h2nvnwn,

und fur eine FE-Diskretisierung gerade diese: 〈v,w〉 := (v,w)Ω . Entsprechend sind die zugehori-gen Normen ‖u‖ := 〈v, v〉1/2 definiert. Wir analysieren im folgenden isoliert den Zeitschrittfehlerim Rahmen der Linienmethode.

Satz 5.2 (Glattungseigenschaft): Jedes stark A-stabile Einschrittschema vom Typ (5.1.22)der Ordnung r besitzt die Glattungseigenschaft:

‖Umh − umh ‖ ≤ ckr

trm‖u0

h‖, m > 0. (5.1.41)

Beweis: Nach Voraussetzung ist supz≥0 |R(−z)| ≤ 1 , limz→∞ |R(−z)| ≤ ω < 1 und

|R(−z) − e−z| ≤ c|z|r+1, 0 ≤ z ≤ 1.

O.B.d.A. nehmen wir an, daß |R(−z)| ≤ ω < 1 fur z ≥ 1 . Wir verwenden wieder das Spek-tralargument von oben. Mit den Eigenwerten 0 < λ1 ≤ ... ≤ λN von Ah und einem zugehorigenOrthonormalsystem w(n), n = 1, ..., N von Eigenvektoren gilt wieder fur den Anfangswert

u0h =

N∑

n=1

αnw(n)

die Abschatzung ( τn := kλn )

|Umh − umh |2 =

N∑

n=1

α2n

∣∣∣R(−kλn)m − e−mkλn

∣∣∣2

=∑

τn≤1

... +∑

τn>1

... .

Fur die erste Summe rechts gilt mit einem geeigneten δ > 0 :

∑

τn≤1

... =∑

τn≤1

∣∣∣R(−τn) − e−τn∣∣∣2∣∣∣m−1∑

µ=0

R(−τn)m−1−µe−µτn∣∣∣2α2n

≤ c∑

τn≤1

τ2r+2n m2e−2δ(m−1)τnα2

n ≤ cm−2r|u0h|2.


Fur die zweite Summe rechts gilt entsprechend mit einem δ > 0 :

∑

τn>1

... ≤ 2∑

τn>1

α2n

|R(−τn)|2m + e−2mτn

≤ ce−δm∑

τn>1

α2n ≤ cm−2r|u0

h|2.

Kombination dieser beiden Abschatzungen liefert wegen m = tm/k :

|Umh − umh |2 ≤ ck2r

t2rm|u0h|2. (5.1.42)


Das populare Crank-Nicolson-Schema

Umh = (Ih + 12kAh)

−1(Ih − 12kAh)U

m−1h

besitzt als nicht stark A-stabiles Schema nicht die volle Glattungseigenschaft. Wir wollen diesenDefekt anhand einer Modellbetrachtung erlautern. Sei

U0h =

N∑

n=1

α0nv

(n) ⇒ Umh =N∑

n=1

α0n

(1 − kλn/2

1 + kλn/2

)mv(n).

Die Losungskomponente zur hochsten Frequenz Λ = λN verhalt sich wie

ωm =(1 − kΛ/2

1 + kΛ/2

)m∼ e−tmΛ,

was dem Abfall der”exakten“ Losung entspricht.

(i) Fur kΛ < 2 (⇔ k ∼ h2) ist|ω| ≤ e−δ , δ > 0,

was den korrekten exponentiellen Abfall e−δm impliziert.(ii) Im Fall kΛ ∼ k/h2 ∼ 4/h (⇔ k ∼ h) ist

ω ∼ −1 − h/2

1 + h/2,

was oszillierendes Verhalten (−1)me−hm impliziert.

Zur Dampfung dieser Oszillationen in den”hochfrequenten“ Komponenten konnen folgende

Strategien verwendet werden:a) Mittelbildung:

U1h = 1

4U0h + 2U1

h + U2h =

N∑

n=1

α0n

1

4+

1

2

1 − 12kλn

1 + 12kλn

+1

4

(1 − 12kλn

1 + 12kλn

)2w(i).


Auswertung des Ausdrucks in der Klammer ergibt

1 + kλn + 12k

2λ2n + 2 − 1

2k2λ2

n + 1 − kλn + 14k

2λ2n

4(1 + 12kλn)

2=

1

(1 + 12kλn)

2

und somit

U1h =

N∑

n=1

αn

(1 + 12kλn)

2.

b) Euler-Dampfung: Der Zeitschrittprozeß wird mit zwei impliziten Euler-Schritten mit halberSchrittlange gestartet. Dies ergibt

U1h =

N∑

n=1

α0n

( 1

1 + 12kλn

)2w(n).

Satz 5.3 (Gedampftes Crank-Nicolson-Verfahren): Das durch zwei Euler-Schritte gedampf-te Crank-Nicolson-Verfahren besitzt die Glattungseigenschaft:

‖Umh − umh ‖ ≤ ck2

t2m‖u0

h‖. (5.1.43)

Beweis: Fur z ≥ 0 gilt

∣∣∣∣∣e−z − 1 − 1

2z

1 + 12z

∣∣∣∣∣ ≤ cz3

1 + 12z,

∣∣∣∣e−z −1

1 + z

∣∣∣∣ ≤ cz2

1 + z.

Wir verwenden dies in der folgenden Abschatzung:

‖Umh − umh ‖2 =

N∑

n=1

α2n

(1 − 12kλn

1 + 12kλn

)m− 2( 1

1 + 12kλn

)2e−mkλn

2

Wir bezeichnen den Inhalt der außeren Klammer mit σmn und setzen τn := kλn . Es gilt

σmn = e−(m−2)τne−2τn −

( 1

1 + 12τn

)2+e−(m−2)τn −

(1 − 12τn

1 + 12τn

)m− 2( 1

1 + 12τn

)2

= e−(m−2)τn(e−τn − 1

1 + 12τn

)(e−τn +

1

1 + 12τn

)

+(e−τn − 1 − 1

2τn

1 + 12τn

)( 1

1 + 12τn

)2 m−3∑

µ=0

e−µτn(1 − 1

2τn

1 + 12τn

)M−3−µ.

i) Fall τn ≤ 2 :1 − 1

2τn

1 + 12τn

≤ e−12 τn .

Dies sieht man wie folgt: Wegen ez ≥ z gilt −1 + ze−z ≤ 0 . Die Funktion f(z) := 1 − z −(1 + z)e−z hat die Eigenschaften f(0) = 0 und f ′(z) = −1 + ze−z ≤ 0 und folglich f(z) ≤ 0 .


Damit erschließen wir

|σmn | ≤ ce−mτnτ2

n + τ3i e

−mτn/2m−3∑

µ=0

e−µτn/2

≤ ce−mτnτ2

n + τ3ne

−mτn/2 1 − e−(m−2)τn/2

1 − e−τn/2

≤ c

m2= c

k2

t2m.

ii) Fall τn > 2 : ∣∣∣1 − τn/2

1 + τn/2

∣∣∣ ≤ e−2/τn .

Damit erschließen wir:

|σmn | ≤ ce−mτn + e−2(m−2)/τn 1

τ2n

≤ c

(mτn)2e−mτn

1

m2+ e−2m/τn

(mτn

)2 1

m2

≤ c1

m2= c

k2

t2m.

Zusammenfassung der Resultate (i) und (ii) liefert nun:

‖Umh − umh ‖2 ≤ ck4

t4m

N∑

n=1

α2n. (5.1.44)


Auch die Spektralmethode ist auf den Fall parabolischer Probleme mit zeitunabhangigen,selbstadjungierten Operatoren wie dem Laplace-Operator ∆ beschrankt. Die weitreichendsteAnalysetechnik ist die sog.

”Energie-Methode“ (Hilbertraum-Methode), welche auch fur Pro-

bleme mit unsymmetrischen Operatoren mit zeitabhangigen Koeffizienten anwendbar ist. Wirdemonstrieren diese Technik hier aber nur fur die vorliegende Modellsituation.

iv) Energie-Methode:Wir betrachten das populare Crank-Nicolson-Schema. Fur Funktionen (vn)

Nn=1 auf einem aqui-

distanten Quadratgitter sind

(v,w)h := hdN∑

n=1

vnwn , ‖v‖h := (v, v)1/2h ,

diskrete Analoga des L2-Skalarprodukts und der zugehorigen L2-Norm.


Satz 5.4 (Crank-Nicolson-Verfahren): Das Crank-Nicolson-Verfahren hat fur hinreichendglatte Losung u den globalen Diskretisierungsfehler

maxQT

‖u− Uh‖h ≤ c(u)Th2 + k2 , (5.1.45)

mit einer Konstante c(u) ≈ maxQT|∂3

t u| + a|∇4u| .

Beweis: Fur den Fehler em := um − Um gilt

k−1(em − em−1) + 12Ah(e

m + em−1) = τmh,k .

Multiplikation dieser Identitat mit em + em−1 und Summation uber m ergibt

k−1‖em‖2h − ‖em−1‖2

h + 12(Ah(e

m + em−1), em + em−1)h = (τmh,k, em + em−1)h .

Der kleinste Eigenwert von Ah ist λ > 0 . Damit erschließen wir

k−1‖em‖2h − ‖em−1‖2

h + 12λ‖em + em−1‖2

h ≤ 12λ‖em + em−1‖2

h + 12λ

−1‖τmh,k‖2h ,

bzw.‖em‖2

h ≤ ‖em−1‖2h + 1

2λ−1k‖τmh,k‖2

h .

Wir summieren nun uber µ = m, ..., 1 und erhalten

‖em‖2h ≤ ‖e0‖2

h + 12λ

−1km∑

µ=1

‖τµh,k‖2h .

Mit e0 = 0 und der obigen Abschatzung fur den Abschneidefehler folgt schließlich die Behaup-tung. Q.E.D.

5.2 FE-Galerkin-Verfahren fur parabolische Probleme 203

5.2 FE-Galerkin-Verfahren fur parabolische Probleme

Wir diskutieren nun die Rothe-Methode zur Losung des Problems

∂tu− ∆u = f in QT = Ω × [0, T ], (5.2.46)

mit den Nebenbedingungen u|t=0 = u0 und u|∂Ω = 0 . Da die folgende Analyse exemplarischenCharakter hat, betrachten wir nur das implizite Euler-Schema. Dieses lautet angewendet auf daskontinuierliche Problem (5.2.46)

k−1m (Um − Um−1) − ∆Um = fm, U0 := u0, (5.2.47)

wobei die rechte Seite im zeitlichen Mittel ausgewertet wird gemaß

fm := k−1m

∫ tm

tm−1

f(t) dt = fm + O(km).

Die Zeitschrittweite km := tm− tm−1 darf hier variieren, um eine moglichst gute Anpassung andie Losungseigenschaften zu erreichen. Mechanismen zur adaptiven Wahl der Zeitschrittweitenauf der Basis von a posteriori Fehlerabschatzungen werden weiter unten diskutiert.

Die einzelnen Zeitschritte seien mit Hilfe eines FE-Verfahrens mit Ansatzraumen V mh ⊂ V

auf moglicherweise von Zeit zu Zeit wechselnden Gittern Tmh diskretisiert:

(Umh , ϕ) + km(∇Umh ,∇ϕ) = (Um−1h , ϕ) + km(fm, ϕ) ∀ϕ ∈ V m

h . (5.2.48)

Die Varianz der Ortsdiskretisierungen im Verlaufe der Zeititeration ermoglicht die dynamischeadaptive Anpassung der Ortsgitter an die momentane Losungsstruktur. In Operatorschreibweiselautet das Schema (5.2.47)

(Imh + kmAmh )Umh = Pmh U

m−1h + kmP

mh f

m, U0h = P 0

hu0, (5.2.49)

mit der L2-Projektion Pmh auf V mh . Bezuglich der ublichen Knotenbasen ϕm,nh , n = 1, ..., Nm =

dimV mh der Raume V m

h laßt sich dies als lineares Gleichungssystem zur Bestimmung der zu-gehorigen Knotenwertevektoren xmh ∈ R

Nm schreiben. Dazu fuhren wir zusatzlich zu Massema-trizen, Steifigkeitsmatrizen und Lastvektoren

Mmh :=

((ϕm,ih , ϕm,jh )

)Nm

i,j=1, Amh :=

((∇ϕm,ih ,∇ϕm,jh )

)Nm

i,j=1, bmh :=

((fm, ϕm,jh )

)Nm

j=1

auf dem Gitter Tmh noch Transfermatrizen zwischen den Raumen V m−1

h und V mh ein:

Mm−1,mh :=

((ϕm−1,j

h , ϕm,nh ))Nm−1,Nm

j,n=1.

Damit schreibt sich

(Um−1h , ϕm,nh ) =

Nm−1∑

j=1

xm−1j (ϕm−1,j

h , ϕm,nh ) = Mm−1,mh xm−1

h


und folglich

(Mmh + kmA

mh )xmh = Mm−1,m

h xm−1h + kmM

mh b

mh . (5.2.50)

Wir wollen dieses Verfahren im folgenden im Hinblick auf Stabilitat, Konvergenz sowie a prioriund a posteriori Fehlerabschatzung untersuchen.

5.2.1 A priori Konvergenzabschatzungen

Der naturliche Ansatz zur Analyse von FE-Diskretisierungen ist die”Energie-Methode“. Wir

geben zunachst einen einfachen Beweis fur das implizite Euler-Verfahren unter realistischenAnnahmen an die Regularitat der Losung. Wir setzen

hm := maxK∈Tm

h

diam(K), k = max1≤m≤M

km

und emh := Umh − um mit um := u(·, tm) .

Satz 5.5 (Implizites Euler-Verfahren): Fur das implizite Euler-Schema in Verbindung miteiner FE-Diskretisierung 2. Ordnung gelten die folgenden Fehlerabschatzungen:i) Fur beliebig variierende Ortsdiskretisierung:

max1≤m≤M

‖emh ‖ ≤ c T 1/2 max0≤m≤M

k−1/2m h2

m‖∇2um‖ + c( M∑

m=1

k2m

∫ tm

tm−1

‖∇∂tu‖2 dt)1/2

; (5.2.51)

ii) Im Spezialfall V mh = Vh gleich fur alle m :

max1≤m≤M

‖emh ‖ ≤ c T 1/2 max0≤m≤M

h2m‖∇2um‖ + c

( M∑

m=1

k2m

∫ tm

tm−1

‖∇∂tu‖2 dt)1/2

. (5.2.52)

Die Konvergenzordnung in (5.2.51) ist nicht optimal. Unter der Bedingung h4/3m ≤ ckm ergibt

sich aber die zeit-optimale Konvergenzordnung O(km) . Das optimale Resultat (5.2.52) laßtsich auch unter den weniger einschrankenden Bedingungen V m−1

h ⊂ V mh oder h2

mk−1m ≤ κ

hinreichend klein beweisen.

Beweis: Wir bezeichnen mit Rmh u ∈ V mh die

”elliptische“ Ritz-Projektion der kontinuierlichen

Losung um zum Zeitlevel tm auf den Finite-Elemente-Raum V mh , definiert durch

(∇Rmh v,∇ϕh) = (∇v,∇ϕh) ∀ϕh ∈ V mh . (5.2.53)

Fur deren Fehler gilt

‖v −Rmh v‖ + hm‖∇(v −Rmh v)‖ ≤ ch2m‖∇2v‖. (5.2.54)

Wir betrachten nun zunachst die Differenz ηmh := Umh − Rmh um . Fur beliebiges ϕh ∈ V m

h istdann unter Ausnutzung der Identitat

(Umh − Um−1h , ϕh) + km(∇Umh ,∇ϕh) = km(fm, ϕh)


und der Projektionseigenschaft von Rmh :

(ηmh − ηm−1h , ϕh) + km(∇ηmh ,∇ϕh) = km(fm, ϕh) − (Rmh u

m−Rm−1h um−1, ϕh)

− km(∇Rmh um,∇ϕh)= km(fm, ϕh) − (Rmh u

m−Rm−1h um−1, ϕh)

− km(∇um,∇ϕh).

Wir setzen nun ϕh := ηmh und erhalten mit Hilfe der Identitat

(a− b)a = 12a

2 − 12b

2 + 12 (a− b)2

die Beziehung

12‖ηmh ‖2 − 1

2‖ηm−1h ‖2 + 1

2‖ηmh − ηm−1h ‖2 + km‖∇ηmh ‖2

= km(fm, ηmh ) − (Rmh um −Rm−1

h um−1, ηmh ) − km(∇um,∇ηmh )

= km(fm, ηmh ) − (um − um−1, ηmh ) − km(∇um,∇ηmh ) (5.2.55)

+ (um −Rmh um, ηmh ) − (um−1 −Rm−1

h um−1, ηm−1h )

+ (um−1 −Rm−1h um−1, ηm−1

h − ηmh ).

Weiter haben wir

km(fm, ηmh ) − (um − um−1, ηmh ) − km(∇um,∇ηmh )

=

∫ tm

tm−1

(f − ∂tu, ηmh ) dt − km(∇um,∇ηmh )

=

∫ tm

tm−1

(∇u,∇ηmh ) dt − km(∇um,∇ηmh ) (5.2.56)

=

∫ tm

tm−1

(t− tm−1)(∇∂tu,∇ηmh ) dt

≤ km‖∇ηmh ‖2 + 14k

2m

∫ tm

tm−1

‖∂t∇u‖2 dt

sowie

(um−1 −Rm−1h um−1, ηm−1

h − ηmh ) ≤ 12‖ηm−1

h − ηmh ‖2 + ch4m‖∇2um−1‖2 (5.2.57)

oder

(um−1 −Rm−1h um−1, ηm−1

h − ηmh ) ≤ k−1m ‖ηm−1

h − ηmh ‖2 + ckmh4m‖∇2um−1‖2 (5.2.58)

i) Wir betrachten zunachst den Fall allgemein variierender Ortsdiskretisierung. Kombination derBeziehungen (5.2.55), (5.2.56) und (5.2.57) und Absorption von Termen in die linke Seite ergibt

12‖ηmh ‖2 − 1

2‖ηm−1h ‖2 ≤ (um −Rmh u

m, ηmh ) − (um−1 −Rm−1h um−1, ηm−1

h )

+ 14k

2m

∫ tm

tm−1

‖∂t∇u‖2 dt+ ch4m‖∇2um−1‖2.


Wir wenden diese Abschatzung rekursiv fur m,m− 1, ..., 1 an und finden

‖ηmh ‖2 ≤ ‖η0h‖2 + 2(um −Rmh u

m, ηmh ) − 2(u0 −R0hu

0, η0h)

+ c

m∑

µ=1

k2µ

∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt+ ch4µ‖∇2uµ−1‖2

bzw.

‖ηmh ‖2 ≤ ‖η0h‖2 + 1

2‖ηmh ‖2 + 12‖um −Rmh u

m‖2 − (u0 −R0hu

0, η0h)

+ cm∑

µ=1

k2µ

∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt + ctm max0≤µ≤m

k−1m h4

µ‖∇2uµ‖2.

Mit Hilfe der Abschatzung

‖uµ −Rµhuµ‖ + ‖uµ − Pµh u

µ‖ ≤ ch2µ‖∇2uµ‖, µ = 1, ...,m, (5.2.59)

folgt

‖emh ‖ ≤ ‖ηmh ‖ + ‖um −Rmh um‖ ≤ ‖ηmh ‖ + ch2

m‖∇2um‖, (5.2.60)

‖η0h‖ ≤ ‖u0 −R0

hu0‖ + ‖u0 − P 0

hu0‖ ≤ ch2

0‖∇2u0‖ (5.2.61)

und damit schließlich die Fehlerabschatzung (5.2.51):

‖emh ‖2 ≤ ctm max0≤µ≤m

k−1µ h4

µ‖∇2uµ‖2 + cm∑

µ=1

k2µ

∫ tµ

tµ−1

‖∇∂tu‖2 dt. (5.2.62)

ii) Wir nehmen nun an, daß V mh = Vh bzw. Rmh = Rh fur m = 1, ...,M . Kombination der

Beziehungen (5.2.55), (5.2.56) und (5.2.58) und Absorption von Termen in die linke Seite ergibt

12‖ηmh ‖2 − 1

2‖ηm−1h ‖2 ≤ (um −Rmh u

m, ηmh ) − (um−1 −Rm−1h um−1, ηm−1

h )

+ 14k

2m

∫ tm

tm−1

‖∂t∇u‖2 dt + k−1m ‖ηm−1

h − ηmh ‖2 + ckmh4m‖∇2um−1‖2.

Wir wenden diese Abschatzung rekursiv fur m,m− 1, ..., 1 an und finden:

‖ηmh ‖2 ≤ ‖η0h‖2 + 2(um −Rmh u

m, ηmh ) − 2(u0 −R0hu

0, η0h)

+ c

m∑

µ=1

k2µ

∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt+ kmh4µ‖∇2uµ−1‖2 + k−1

µ ‖ηµ−1h − ηµh‖2

bzw. mit den Abschatzungen (5.2.59), (5.2.60) und (5.2.61),


h2µ‖∇2uµ‖2 +

m∑

µ=1

k−1µ ‖ηµ−1

h − ηµh‖2 + cm∑

µ=1

k2µ

∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt. (5.2.63)


Im letzten Schritt schatzen wir die mittlere Summe rechts ab. Jetzt kann ϕh = ϕmh := ηmh −ηm−1h ∈ Vh als Testfunktion verwendet werden, und wir erhalten wie oben

‖ϕmh ‖2 + 12km‖∇ηmh ‖2 − 1

2km‖∇ηm−1h ‖2 + 1

2km‖∇ϕmh ‖2

= km(fm, ϕmh ) − (Rmh um−Rm−1

h um−1, ϕmh ) − km(∇Rmh um,∇ϕmh )

= km(fm, ϕmh ) − (um − um−1, ϕmh ) − km(∇um,∇ϕmh )

+ (um − um−1 −Rh(um + um−1), ϕmh ).

Weiter haben wir

km(fm, ϕmh ) − (um − um−1, ϕmh ) − km(∇um,∇ϕmh ) =

∫ tm

tm−1

(f − ∂tu, ϕmh ) dt− km(∇um,∇ϕmh )

=

∫ tm

tm−1

(∇u,∇ϕmh ) dt − km(∇um,∇ϕmh )

=

∫ tm

tm−1

(t− tm−1)(∇∂tu,∇ϕmh ) dt

≤ 12km‖∇ϕmh ‖2 + 1

2k2m

∫ tm

tm−1

‖∂t∇u‖2 dt

sowie

(um − um−1 −Rh(um − um−1), ϕmh ) ≤ 1

4‖ϕmh ‖2 + ch2m‖∇(um − um−1)‖2

≤ 14‖ϕmh ‖2 + ch2

mkm

∫ tm

tm−1

‖∇∂tu‖2 dt.

Kombination dieser Abschatzungen und Absorption von Termen in die linke Seite ergibt

‖ϕmh ‖2 + km‖∇ηmh ‖2 − km‖∇ηm−1h ‖2 ≤ k2

m + ch2mkm

∫ tm

tm−1

‖∇∂tu‖2 dt.

Wir wenden diese Abschatzung wieder rekursiv fur m,m− 1, ..., 1 an und finden

m∑

µ=1

k−1µ ‖ϕmh ‖2 + ‖∇ηmh ‖2 ≤ ‖∇η0

h‖2 + cm∑

µ=1

kµ + h2µ∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt.

Mit ‖∇η0h‖2 ≤ ch4

0‖∇2u0‖2 folgt schließlich

m∑

µ=1

k−1µ ‖ηµh − ηµ−1

h ‖2 ≤ ch40‖∇2u0‖2 + c

m∑

µ=1

kµ + h2µ∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt. (5.2.64)

Wir setzen dies in (5.2.63) ein und erhalten die behauptete Abschatzung (5.2.52):


h2µ‖∇2uµ‖2 +

m∑

µ=1

k−1µ ‖ηµ−1

h − ηµh‖2 + c

m∑

µ=1

k2µ

∫ tµ

tµ−1

‖∂t∇u‖2 dt,



Hilfssatz 5.2 (A-priori Schranke): Fur die Losung der ARWA (5.2.46) gilt die a prioriAbschatzung

max[0,T ]

‖∇2u‖ +(T−1

∫ T

0‖∇∂tu‖2 dt

)1/2≤ c ‖∇2u0‖ + c max

[0,T ]‖f‖ + ‖∂tf‖. (5.2.65)

Beweis: Der Beweis verwendet die”Energie-Technik“, wird hier aber nicht ausgefuhrt. Q.E.D.

Wir wollen noch die Frage nach der”inversen Monotonie“ der Orts-Zeit-Diskretisierung dis-

kutieren. Unter bestimmten Bedingungen an das Ortsgitter (z.B. alle Innenwinkel einer Triangu-lierung ω ≤ π/2 ) ist die Steifigkeitsmatrix Ah eine M-Matrix. Die Systemmatrix Mh+kAh mußaber nicht automatisch M-Matrix sein. Um dies dennoch sicherzustellen, werden die Elementevon Mh ,

mij = (ϕm,ih , ϕm,jh ),

mit Hilfe der Trapezregel ausgewertet. Bei stuckweise linearen Ansatzen liefert dies eine Diago-nalmatrix Mh = Mh + O(h2) mit positiven Diagonalelementen, so daß Mh + kAh M-Matrixwird. Dieser

”Mass-Lumping“ genannte Prozeß erhalt die Konvergenzordnung des Gesamtsche-

mas und stellt seine”inverse Monotonie“ sicher (Ubungsaufgabe).

5.2.2 Fehlerkontrolle und Schrittweitensteuerung

Zur Herleitung von a posteriori Fehlerabschatzungen erweist sich eine globale Betrachtung si-multan in Ort und Zeit (ohne die bisherige Aufspaltung in Orts- und Zeitdiskretisierung) alsangemessen. Wir fuhren dazu das Konzept der

”unstetigen Galerkin-Verfahren“ fur parabolische

ARWAn ein, als deren einfachster Spezialfall das implizite Euler-Verfahren (5.2.48) erscheinenwird. Die Vorgehensweise entspricht der bereits von den gewohnlichen AWAn her bekannten,erganzt um die Aspekte der Ortsdiskretisierung.

Ausgehend von oben formulierten Diskretisierungen Tmh = Km

n des Ortsgebiets Ω und0 = t0 < ... < tµ < ... < tM = T des Zeitintervalls I = [0, T ] fuhren wir die folgendenBezeichnungen ein (Man beachte, daß die Zeitschrittweite nicht bzgl. des Orts variiert.):

Im := (tm−1, tm], km = tm − tm−1,

k := maxm=1,...,M

km, hm := maxK∈Tm

h

hK , h := maxm=1,...,M

hm,

vm± := lims↓0

v(·, tm ± s), [v]m := vm+ − vm−,

Qmn := Kmn × Im, ∂Qmn := ∂Km

n × Im, Qm := Ω × Im.

Die ARWA (5.2.46) laßt sich aquivalent schreiben in der Form

M∑

m=1

∫

Im

(∂tu, ϕ) + (∇u∇ϕ) dt + ([u]m−1, ϕ(m−1)+)

=

∫

I(f, ϕ) dt (5.2.66)

fur beliebige in der Zeit stetige Testfunktion ϕ(·, t) ∈ V , wobei die Anfangsbedingung durchdie Setzung u0− := u0 berucksichtigt ist. Jede (glatte) Losung von (5.2.46) erfullt offenbar dieBeziehung (5.2.66), und umgekehrt muß jede Losung von (5.2.66) in den Teilintervallen Im der


Warmeleitungsgleichung genugen und bei tm auch stetig sein. Damit folgt dann wieder, daß essich um eine Losung der ARWA handeln muß. Dieses Problem wird nun mit einem Galerkin-Ansatz auf dem ganzen Orts-Zeit-Zylinder QT diskretisiert. Dazu fuhren wir die folgendenFinite–Elemente–Raume ein:

Vh = v : QT → R| vt∈Im(·, t) ∈ V mh , vt∈Im(x, ·) ∈ Pr(Im), (x, t) ∈ QT .

Die Funktionen in Vh sind also bzgl. des Ortes stuckweise in V mh (d.h. linear oder bilinear

und stetig) und bzgl. der Zeit stuckweise polynomial vom Grad r (und unstetig). Der Galerkin-Ansatz sucht dann Approximationen Uh ∈ Vh zu bestimmen durch die Vorschrift

M∑

m=1

∫

Im

(∂tUh, ϕh) + (∇Uh,∇ϕh) dt + ([Uh]m−1, ϕ

(m−1)+h )

=

∫

I(f, ϕh) dt (5.2.67)

fur beliebige Testfunktion ϕh ∈ Vh mit dem Anfangswert U0−h = P 0

hu0 (P 0

h die L2-Projektionauf V 0

h ). Da die Testfunktionen unstetig in der Zeit sein durfen, zerfallt dieses formal zeitlichglobal gekoppelte System in lokale Teilprobleme auf jedem Zeitstreifen Qm = Ω × Im . DiesesSchema wird

”unstetiges Galerkin-Verfahren“ (abgekurzt

”dG(r)-Verfahren“) genannt. Wir wol-

len im folgenden nur den einfachsten Fall r = 0 , d.h. das dG(0)-Verfahren, betrachten. In diesemFall reduziert sich das globale Schema (5.2.67) auf die folgende Sequenz von lokalen Gleichungenauf den Zeitintervallen Im, m = 1, ...,M :

∫

Im

(∂tUh, ϕh) + (∇Uh,∇ϕh) dt + ([Uh]m−1, ϕh) =

∫

Im

(f, ϕh) dt (5.2.68)

fur beliebiges ϕh ∈ V mh . Mit der Setzung Umh := Um,−h ergibt sich wegen ∂tUh ≡ 0 auf Im :

km(∇Umh ,∇ϕh) + (Umh − Um−1h , ϕ) = km(fm, ϕh) (5.2.69)

fur beliebiges ϕh ∈ V mh . Dies ist gerade das implizite Euler-Verfahren (5.2.48), welches sich also

in diesem Rahmen als dG(0)-Verfahren interpretieren laßt. Diese Sicht andert zwar nichts amVerfahren selbst, bietet jedoch einen systematischen Zugang zu seiner Fehleranalyse.

Bemerkung 5.1: Die dG(r)-Verfahren hoheren Grades r ≥ 1 entsprechen keinem der obendiskutierten Zeitschritt-Schemata, sie sind vielmehr Varianten gewisser impliziter Runge8 -Kutta9 -Verfahren. Wir bemerken aber, daß sich auch das populare Crank-Nicolson-Verfahrenin den Rahmen der Galerkin-Verfahren einordnen laßt. Dazu macht man einen modifiziertenAnsatz mit bzgl. der Zeit stuckweise linearen, aber diesmal global stetigen Funktionen. DerRaum der Testfunktionen ist dagegen derselbe wie beim dG(0)-Verfahren. Dies wird dann ein

”Petrow-Galerkin-Verfahren“ (sog. cG(1)-Verfahren), welches sich ahnlich analysieren laßt wie

das dG(0)-Verfahren:

(Umh , ϕh) + 12km(∇(Umh + Um−1

h ),∇ϕh) = (Um−1h , ϕh) + km(fm, ϕh), (5.2.70)

fur beliebige Testfunktion ϕh ∈ V mh .

8Carle David Tolme Runge (1856-1927): deutscher Mathematiker; Prof. in Hannover und Gottingen; Beitragezur Spektraltheorie mit Anwendungen in der Atom-Physik.

9Martin Wilhelm Kutta (1867-1944): deutscher Mathematiker; Prof. in Stuttgart; Beitrage zur Aerodynamikund zur Numerik von Differentialgleichungen.


Wir wollen jetzt eine a posteriori Fehlerabschatzung fur das dG(0)-Verfahren ableiten, welcheals Basis fur eine simultane Anpassung des Ortsgitters und der Zeitschrittweite an den Losungs-verlauf dienen kann. Dazu setzen wir eh := Uh − u . Ein typisches Beispiel ist die Kontrolle desL2-Fehlers zum Endzeitpunkt J(eh) := ‖eN+

h ‖ .

Satz 5.6 (A-posteriori Fehlerschranke): Fur das dG(0)-Verfahren gilt bei Kontrolle desortlichen L2-Fehlers zum Endzeitpunkt, J(eh) := ‖eN+

h ‖ , die a posteriori Fehlerabschatzung

J(eh) ≤ η(Uh) := ci

m∑

µ=1

∑

Kµn∈T

µh

ρµn(Uh)ωµn(z), (5.2.71)

mit den Residuentermen

ρµn(Uh) := ‖R(Uh)‖Qµn

+ h−1/2n ‖[∂nUh]‖∂K×Iµ + k−1/2

µ ‖[Uh]µ−1‖Kµn,

R(Uh) := f − ∂tUh + ∆Uh , und einer”Interpolationskonstante“ ci . Mit der Losung z des

”dualen Problems“

−∂tz − ∆z = 0 in Ω × [0, tm], z|∂Ω = 0, z|t=tm = ‖em+‖−1em+. (5.2.72)

haben die Gewichte ωµn(z) die Gestalt:

ωµn(z) := kµ‖∂tz‖Qµn

+ k2µ‖∂2

t z‖Qµn

+ h2n‖∇2z‖Qµ

n.

Beweis: Das erste”Standbein“ des Beweises ist ein (parabolisches) Dualitatsargument. Wir

fuhren zunachst fur ein festes tm ∈ I das (kontinuierliche)”duale Problem“ ein:

−∂tz − ∆z = ψ in Qm := Ω × [0, tm], z|∂Ω, zt=tm = χ, (5.2.73)

bzw. in semi-variationeller Formulierung

−(∂tz, ϕ) + (∇z,∇ϕ) = (ψ,ϕ) ∀ϕ ∈ V. (5.2.74)

Umschreiben in die Form (5.2.66) ergibt

m∑

µ=1

∫

Iµ

−(ϕ, ∂tz) + (∇ϕ,∇z) dt + (ϕµ+, [z]µ)

=

∫

[0,tm](ϕ,ψ) dt

fur beliebige in der Zeit stetige Testfunktion ϕ(·, t) ∈ V , wobei die Anfangsbedingung wiederdurch die Vorschrift zm+ := χ berucksichtigt ist. Durch partielle Integration in der Zeit wirddies umgeformt zu

m∑

µ=1

∫

Iµ

(∂tϕ, z) + (∇ϕ,∇z) dt + ([ϕ]µ−1, z(µ−1)+)

= (ϕm+, χ) +

∫

[0,tm](ϕ,ψ) dt (5.2.75)

fur beliebige in der Zeit (stuckweise) differenzierbare Testfunktion ϕ(·, t) ∈ V .

Das zweite”Standbein“ des Beweises ist die Galerkin-Orthogonalitat des Fehlers des dG(0)-

Verfahrens. Durch Vergleich der beiden Gleichungen (5.2.66) fur u und (5.2.67) fur Uh erhalten


wir fur den Fehler eh := Uh − u die”Galerkin-Orthogonalitat“:

M∑

m=1

∫

Im

(∂teh, ϕh) + (∇eh∇ϕh), dt + ([eh]m−1, ϕ

(m−1)+h )

= 0 (5.2.76)

fur beliebige stetige Testfunktion ϕh(·, t) ∈ Vh .

Wir wahlen nun in (5.2.75) die spezielle Testfunktion ϕ := eh und erhalten

m∑

µ=1

∫

Iµ

(∂teh, z) + (∇eh,∇z) dt + ([eh]µ−1, z(µ−1)+)

= (em+

h , χ) +

∫

[0,tm](eh, ψ) dt.

Unter Ausnutzung von (5.2.76) erhalten wir damit die allgemeine Fehleridentitat:

(em+h , χ) +

∫

[0,tm](eh, ψ) dt =

m∑

µ=1

∫

Iµ

(∂teh, z − zh) + (∇eh,∇(z − zh)) dt

+ ([eh]µ−1, (z − zh)

(µ−1)+) (5.2.77)

mit einer beliebigen Approximation zh ∈ Vh zur dualen Losung z . Wir setzen nun im dualenProblem tm = T , ψ := 0 und χ := ‖eN+‖−1eN+ . Aus der allgemeinen Fehleridentitat (5.2.77)folgt

‖em+h ‖ =

m∑

µ=1

∫

Iµ

(∂teh, z − zh) + (∇eh,∇(z − zh)) dt + ([eh]µ−1, (z − zh)

(µ−1)+)

(5.2.78)

mit einer beliebigen Approximation zh ∈ Vh zur dualen Losung z . Wir nutzen nun die Losungs-eigenschaften von u und integrieren auf jeder Zelle Km

n partiell bzgl. des Orts:

‖em+h ‖ =

m∑

µ=1

∑

Kµn∈T

µh

∫

Iµ

(∂tu− ∂tUh, z − zh)Kµn− (∆u− ∆Uh, z − zh)Kµ

n

− (∂n(Uh − u), z − zh)∂Kµn dt + ([Uh − u]µ−1, (z − zh)

(µ−1)+)Kµn

.

Dies ergibt

‖em+h ‖ =

m∑

µ=1

∑

Kµn∈T

µh

∫

Iµ

(R(Uh), z − zh)Kµn− 1

2([∂nUh], z − zh)∂Kµn dt

+ ([Uh]µ−1, (z − zh)

(µ−1)+)Kµn

,

mit dem Residuum R(Uh) := f − ∂tUh + ∆Uh und dem Sprung [∂nUh] von ∂nUh uber dieZellkanten. Durch Anwendung der Holder’schen Ungleichung erhalten wir

‖em+h ‖ ≤

m∑

µ=1

∑

Kµn∈T

µ

h

‖R(Uh)‖Qµ

n‖z − zh‖Qµ

n

+ 12‖[∂nUh]‖∂Qµ

n‖z − zh‖∂Qµ

n dt + ‖[Uh]µ−1‖Kµ

n‖(z − zh)

(µ−1)+‖Kµn

,

(5.2.79)


Wir wahlen nun fur zh die naturliche Interpolierende Ih,kz ∈ Vh , welche zellweise definiert istdurch die Vorschrift

Ih,kz|Iµ = k−1µ

∫

Iµ

z dt, Ih,kz|Kµn

= konstante Interpolation von z. (5.2.80)

Dann gelten die Interpolationsabschatzungen (Beweis mit Hilfe einer Variante des Bramble-Hilbert-Lemmas)

‖z − Ih,kz‖Qµn≤ ci ω

µn(z), (5.2.81)

h1/2n ‖z − Ih,kz‖∂Qµ

n≤ ci ω

µn(z), (5.2.82)

k1/2µ ‖(z − Ih,kz)

(µ−1)+‖Kµn≤ ci ω

µn(z), (5.2.83)

wobeiωµn(z) := kµ‖∂tz‖Qµ

n+ k2

µ‖∂2t z‖Qµ

n+ h2

n‖∇2z‖Qµn.

Die”Interpolationskonstante“ ci , welche in die a posteriori Fehlerabschatzung (5.2.71) eingeht,

hat dabei in der Regel die Große ci ∼ 0, 1−1 . Einsetzen dieser Abschatzungen in (5.2.79) undAnwendung der Schwarz’schen Ungleichung ergeben

‖em+h ‖ ≤ ci

m∑

µ=1

∑

Kµn∈T

µ

h

‖R(Uh)‖Qµ

n+ h−1/2

n ‖[∂nUh]‖∂Qµn

+ k−1/2µ ‖[Uh]µ−1‖Kµ

n

ωµn(z),

Dies impliziert die Behauptung. Q.E.D.

Zur konkreten Auswertung der a posteriori Fehlerabschatzung (5.2.71) mussen die Gewichteωmn (z) berechnet werden. Dazu wird analog zum stationaren, elliptischen Fall das duale Problem(5.2.72) numerisch auf dem aktuellen Gitter gelost. Mit der resultierenden diskreten dualenLosung zh wird dann approximiert gemaß:

ωµn(z) ≈ ωµn := kµ‖k−1µ [zh]

µ−1‖Kµn

+ h2n‖∇2

hzh‖Qµn, (5.2.84)

wobei ∇2hzh ∼ ∇2z ein geeigneter Differenzenqotient ist. Auf der Basis der approximativen a

posteriori Fehlerabschatzung

‖em+h ‖ ≈ η(Uh) := ci

m∑

µ=1

∑

Kµn∈T

µh

ρµn(Uh) ωµn(z) (5.2.85)

konnen nun simultan das Ortsgitter und die Zeitschrittweite adaptiert werden. Dabei werden ineinem iterativen Prozess die Ortsresiduen

ρm,1n (Uh) := ‖R(Uh)‖Qµn

+ h−1/2n ‖[∂nUh]‖∂Qµ

n,

und Zeitresiduenρm,2n (Uh) := k−1/2

µ ‖[Uh]µ−1‖Kµn,

durch Anpassen von hn und km balanciert, bis η(Uh) ≤ TOL fur eine vorgegebene Fehlerto-leranz TOL.


Analoge Resultate gelten fur andere Fehlermaße, z.B. den globalen L2-Fehler auf QT :

J(eh) := ‖eh‖QT=(∫

I‖eh‖2 dt

)1/2. (5.2.86)

In diesem Fall gilt die a posteriori Fehlerabschatzung (5.2.85) mit dem dualen Problem

−∂tz − ∆z = ‖eh‖−1/2QT

eh in Ω × [0, tm], z|∂Ω = 0, z|t=tm = 0. (5.2.87)

Die Wirksamkeit der adaptiven Steuerung der Ortsgitterweite auf der Basis dieser a posterioriFehlerabschatzungen wird anhand eines einfachen Beispiels demonstriert.

Beispiel 5.1: Wir losen die inhomogene Warmeleitungsgleichung

∂tu− ∆u = f in QT , u|∂Ω = 0, u|t=0 = u0, (5.2.88)

auf dem Einheitsquadrat Ω = (0, 1)2 . Als”exakte“ Losung wird angesetzt:

u(x, t) :=1

1 + α|x− x0|2 , x0 :=(

12 + 1

4 cos(2πt), 12 + 1

4 sin(2πt))T,

woraus sich Anfangswert und rechte Seite ergeben zu

u0(x) := u(x, 0), f(x, t) := ∂tu(x, t) − ∆u(x, t).

Diese Losungsfunktion beschreibt einen”Hugel“ im Gebiet (0, 1)2 , der wahrend des Zeitinter-

valls I = [0, 1] einmal im Kreis um den Punkt (12 ,

12) herumlauft. Die Große bzw. Steigung des

Hugels laßt sich durch Wahl des Parameters α steuern. Fur den Test wird α = 50 gesetzt.


Abbildung 5.1: Gittersequenzen bei Kontrolle des Endzeit-L2-Fehlers ‖eM‖Ω ; Quelle: R. Hartmann,”A

posteriori Fehlerschatzung ... fur die Warmeleitungsgleichung“, Diplomarbeit 1998.

Abbildung 5.2: Gittersequenzen bei Kontrolle des globalen L2-Fehlers ‖e‖Ω×I (unten); Quelle: R. Hart-mann,

”A posteriori Fehlerschatzung ... bei Galerkin-Verfahren fur die Warmeleitungsgleichung“, Di-

plomarbeit 1998.

5.3 Verallgemeinerungen und Losungsaspekte 215

5.3 Verallgemeinerungen und Losungsaspekte

Wir haben als Modellfall die Warmeleitungsgleichung

∂tu− a∆u = f in QT = Ω × [0, T ], (5.3.89)

mit homogenen Dirichlet-Randbedingungen u|∂Ω = 0 und einem konstanten”Diffusionskoeffi-

zienten“ a > 0 betrachtet.

i) Verallgemeinerungen:Wir lassen nun zu, daß der Koeffizient a = a(x, t) vom Ort und von der Zeit abhangt. DasProblem schreibt sich dann in der Form

∂tu−∇ · a∇u = f in QT = Ω × [0, T ]. (5.3.90)

Die oben betrachteten Zeitschrittverfahren lassen sich in der Regel leicht auf diesen allgemeinerenFall ubertragen. Wir wollen dies anhand des Crank-Nicolson-Verfahren diskutieren:

k−1(Umh − Um−1

h

)+ 1

2

(Amh U

mh +Am−1

h Um−1h

)= 1

2

(fmh + fm−1

h

), (5.3.91)

mit der Ortsdiskretisierung Ah(t) des Operators −∇ · (a(·, t)∇) . Dabei werden fur Funktio-nen w(t) die abkurzenden Bezeichnungen wm := w(tm) , wm−1/2 := w(tm−1/2) und tm−1/2 :=12(tm + tm−1) verwendet. Dies entspricht der sog.

”Sehnentrapezregel“; Anwendung der

”Tan-

gententrapezregel“ fuhrt auf das Schema:


h

)+ 1

2Am−1/2h

(Umh + Um−1

h

)= f

m−1/2h . (5.3.92)

Beide Verfahrensvarianten sind unbedingt stabil und von der Konvergenzordnung O(k2 + h2) .Zu Ihrer Analyse ist das elegante Spektralargument aus dem vorigen Abschnitt leider nicht mehrgeeignet, da der Operator Ah(t) nun mit der Zeit variiert. Statt dessen verwendet man die fle-xiblere

”Energietechnik“ und behalt im wesentlichen dieselben Aussagen wie im autonomen Fall,

allerdings mit wesentlich mehr Aufwand. Im (praktisch wichtigen) nichtlinearen Fall a = a(u(t))wird zweckmaßigerweise die Tangententrapezform des Crank-Nicolson-Schemas verwendet:


h

)+Ah

(12(Umh + Um−1

h ))

= fm−1/2h . (5.3.93)

Hier ist auch die BDF(2)-Formel gut anwendbar:

2k−1(3Umh − 4Um−1

h + Um−2h

)+Ah(U

mh ) = fmh . (5.3.94)

Eine Stabilitats- und Konvergenzanalyse steht aber außerhalb des Rahmens dieser Vorlesung.

ii) Berechnung der Startwerte:Bei der Durchfuhrung jedes Zeitschritts ist die rechte Seite aufzubauen, welche die Informationvom vorausgehenden Zeitlevel beinhaltet. Dabei ist unter Umstanden eine L2-Projektion auf dasaktuelle Gitter vorzunehmen.

a) Anfangswert: Die Auswertung des Anfangswerts U0h kann meist durch einfache, lokale Inter-

polation (oder Restriktion) des kontinuierlichen Anfangswerts u0 auf das Gitter erfolgen. ImFall eines irregularen Anfangswerts, etwa u0 /∈ C(Ω) , ist jedoch Vorsicht geboten. Zur Gewahr-leistung der vollen

”Glattungseigenschaft“ der Diskretisierung (im Ort sowie in der Zeit) sollte


U0h als L2-Projektion ausgewertet werde gemaß:

(U0h , ϕh) = (u0, ϕh) ϕh ∈ Vh. (5.3.95)

b) Ortsgitterwechsel: Verandert sich die Ortsdiskretisierung vom Zeitlevel tm−1 zum Zeitleveltm , so muß die vorausgehende Naherung Um−1

h ∈ V m−1h auf das neue Gitter transferiert werden.

Im FE-Kontext geschieht dies zwangslaufig gemaß

(Um−1h , ϕh) ∀ϕh ∈ V m

h , (5.3.96)

was gleichbedeutend mit der Auswertung der L2-Projektion Pmh Um−1h ∈ V m

h ist. Dieser un-scheinbare Schritt kann unter Umstanden die

”teure“ Komponente des ganzen Losungsprozesses

sein. Dies ist dann der Fall, wenn die beiden Gitter Tm−1h und Tm

h vollig unabhangig von-einander erzeugt werden. Zur Auswertung von (5.3.96) mussen Zellintegrale uber Produkte vonKnotenbasisfunktionen berechnet werden:

∫

Kmn

ϕm−1,jh ϕm,nh dx.

Normalerweise geschieht dies mit Hilfe von Quadraturformeln. Da die Funktion ϕm−1,jh auf der

Zelle Kmn aber in der Regel nur stuckweise glatt ist, ware das zu ungenau. Der dadurch in

jedem Zeitschritt eingeschleppte Fehler wurde im Verlaufe der Rechnung akkumulieren und dasErgebnis stark verfalschen. Die Verwendung von Quadraturformeln besonders hoher Ordnung(z.B. 3×3-Gauß-Formeln) behebt diese Schwierigkeit nicht, da letztere zur Erreichung ihrerhohen Genauigkeit naturlich auch eine entsprechend hohe Regularitat des Integranden benotigen.Gerade diese ist aber im betrachteten Fall nicht gegeben. Es gibt im wesentlichen drei Wege zurLosung dieses technischen Problems:

- Es werden”summierte“ Quadraturformeln auf den einzelnen Zellen Km

n verwendet; etwadurch Unterteilung in 4 − 16 Unterzellen. Dies erhoht zwar nicht die Ordnung der Integration,vermindert aber die relevante Fehlerkonstante.

- Die Integration wird fur den stuckweise polynomialen Integranden”exakt“ durchgefuhrt. Dazu

ist die Bestimmung aller Teilstucke von Kmn erforderlich, auf denen ϕm−1,j

h glatt ist. Dies wirdbei, unstrukturierten Gittern in 3-D allerdings sehr aufwendig.

- Gehoren die Gitter Tm−1h und Tm

h zu einer Familie von hierarchisch verfeinerten Gittern,kann diese strukturelle Information zur effizienten Berechnung der Integrale verwendet werden,da die Lage der kritischen Knicklinien von ϕm−1,j

h durch die regulare Verfeinerung bestimmtist.

iii) Losungskomplexitat:Wir betrachten wieder den Modellfall der homogenen Warmeleitungsgleichung auf dem Ein-heitsquadrat Ω = (0, 1)2 ⊂ R

2 ,

∂tu− ∆u = 0 in QT , (5.3.97)

welche auf einem aquidistanten Gitter mit dem 5-Punkte-Differenzenoperator diskretisiert sei.

(i) Explizite Verfahren (etwa das explizite Euler-Schema) erfordern in jedem Zeitschritt eineMatrix-Vektor-Multiplikation mit einem arithmetischen Aufwand O(N) . Die Stabilitatsbedin-gung k ≤ ch2 erzwingt etwa M ∼ h−2 ∼ N Zeitschritte pro Zeiteinheit. Dies bedeutet einen


Gesamtaufwand von O(N2) OP.

(ii) Implizite Verfahren erfordern in jedem Zeitschritt die Losung eines linearen Gleichungssy-stems, erlauben aber großere Zeitschritte. Zur Uberbruckung einer Zeiteinheit sind aus Genau-igkeitsgrunden in der Regel M ∼ h−1 Zeitschritte erforderlich. Wir diskutieren exemplarischdas Crank-Nicolson-Verfahren. Bei zeilenweiser Numerierung der Gitterpunkte haben die resul-tierenden Gleichungssysteme

(Ih + 12akAh)U

m = (Ih − 12akAh)U

m−1 (5.3.98)

die Koeffizientenmatrix Lh := Ih + 12akAh , wobei wieder

Ah =

Bm −Im−Im Bm −Im

−Im Bm. . .

. . .. . .

N Bm =

4 −1

−1 4 −1

−1 4. . .

. . .. . .

m

mit der m×m-Einheitsmatrix Im . Die Eigenwerte dieser Matrix sind gegeben durch:

λkl(Lh) = 1 + 12akh

−24 − 2(cos(khπ) + cos(lhπ)), k, l = 1, ...,m.

Damit ergibt sich ihre Spektralkondition zu

cond2(Lh) =λmax(Lh)

λmin(Lh)∼ 1 + 4akh−2

1 + akπ2. (5.3.99)

Wir haben also unterschiedlich kritische Konditionierung abhangig von der Relation zwischen kund h . Im Hinblick auf eine Balancierung von Orts- und Zeitfehler ist die Wahl k ∼ h sinnvoll.In diesem Fall ist dann

κ2(Lh) = O(h−1). (5.3.100)

Im parabolischen Fall ist in der Regel die Konditionierung der zu losenden impliziten Gleichungs-systeme also weniger kritisch als bei elliptischen Problemen. Bei Einhaltung der (naturlich un-realistischen) Schrittweitenrelation k ∼ h2 wird sogar κ2(Lh) = O(1) , und der Losungsaufwandder impliziten Verfahren nahert sich dem der expliziten.

Zur Losung des Systems (5.3.98) konnen alle oben diskutierten Methoden verwendet wer-den. Da sich im autonomen Fall die Matrix Lh von Zeitschritt zu Zeitschritt nicht andert, bietetsich die direkte Losung mit Hilfe einer einmaligen Cholesky-Zerlegung zu Beginn der Rechnungan (wenn dies speichertechnisch moglich ist). Dieser Ansatz erfordert es aber, den Zeitschrittk konstant zu halten, was in den meisten praktischen Fallen nicht okonomisch ist. Im allge-meinen muß in jedem Zeitschritt eine

”neue“ Matrix invertiert werden, was die Verwendung

iterativer Losungsverfahren impliziert. Dabei steht mit Um−1h ein meist recht guter Startwert

zur Verfugung. Bei Verwendung eines Mehrgitterverfahrens bietet sich daher die Organisationim F-Zyklus an. Haufig ist wegen der vergleichsweise moderaten Konditionierung der MatrizenLh (bei kleiner Zeitschrittweite) zu ihrer Invertierung ein normales CG-Verfahren ausreichendschnell, so daß sich der Einsatz der komplizierten Mehrgitteriteration erubrigt. Dies hangt abersehr von der jeweiligen konkreten Situation ab.


iv) Splitting-Methoden (ADI-Verfahren):In hoheren Raumdimensionen ist die Losung der Gleichungssysteme in jedem Zeitschritt einesimpliziten Verfahrens kostspielig und kann Rechnungen uber sehr lange Zeitintervalle T ≫ 1unmoglich machen. Der Ubergang zu expliziten Schemata ist in der Regel wegen der damit ver-bundenen Zeitschrittrestriktion auch nicht sinnvoll. In dieser Situation stellen die sog.

”Splitting-

Methoden“ eine attraktive Alternative dar. Diese zerlegen die Losung der vollen d-dimensionalenGleichungssysteme in eine Folge von tridiagonalen Systemen (wie im 1-dimensionalen Fall), wel-che mit optimaler O(N)-Komplexitat gelost werden konnen. Ein Vertreter dieses Verfahrenstypsist das

”ADI-Verfahren“ (Alternating Direction Implicit Iteration) nach Peaceman-Rachford,

welches wir bereits im Zusammenhang mit iterativen Losungsverfahren fur spezielle”separable“

Gleichungssysteme kennengelernt haben. Bei mehrdimensionalen, parabolischen Problemen wirdes nun als Diskretisierungsverfahren eingesetzt.

Wir betrachten wieder die Warmeleitungsgleichung auf dem Einheitsquadrat Ω = (0, 1)2 ,

∂tu− a∆u = 0 in QT , (5.3.101)

welche auf einem aquidistanten Gitter mit dem 5-Punkte-Differenzenoperator diskretisiert sei.Bei zeilenweiser Numerierung der Gitterpunkte haben die aus dem Crank-Nicolson-Verfahrenresultierenden Gleichungssysteme die Gestalt

(Ih + 12akAh)U

m = (Ih − 12akAh)U

m−1. (5.3.102)

Der Differenzenoperator Ah wird auf dem kartesischen Tensorprodukt-Gitter in seine Bestand-teile bzgl. der einzelnen Koordinatenrichtungen zerlegt gemaß

Ah = Ah,1 +Ah,2.

Entsprechend erhalt das Gleichungssystem (5.3.102) des Crank-Nicolson-Schemas die Form

(Ih + 12ak(Ah,1 +Ah,2))U

m = (Ih − 12ak(Ah,1 +Ah,2))U

m−1

Die Ah,i sind Tridiagonalmatrizen. Es wird dann unter Einfuhrung von Zwischenwerten Um−1/2h

wie folgt iteriert:

(Ih + 12akAh,1)U

m−1/2h = (Ih − 1

2akAh,2)Um−1h

(Ih + 12akAh,2)U

mh = (Ih − 1

2akAh,1)Um−1/2h .

Die ADI-Methode kann als ein Mehrschritt-Differenzenschema interpretiert werden, wobei al-lerdings die Zwischenwerte keine physikalische Relevanz haben. In jedem Teilschritt mussenGleichungssysteme mit Tridiagonalgestalt gelost werden. Wir wissen bereits von der Diskussi-on der iterativen Losungsverfahren, daß der ADI-Algorithmus fur jeden Wert des Parametersak > 0 gegen die Losung U∞

h des Gleichungssystems AhU∞h = 0 konvergiert. Dies ist auch

”physikalisch“ sinnvoll, da ja im homogenen Fall ( f ≡ 0 ) auch fur die exakte Losung giltu(t) → 0 (t → ∞) . Damit erweist sich das ADI-Verfahren automatisch als unbedingt numerisch

stabil. Durch Elimination des Zwischenwertes Um−1/2h erhalten wir

(I + 12kAh,1)(I + 1

2kAh,2)Umh = (I − 1

2kAh,1)(I − 12kAh,2)U

m−1h . (5.3.103)


Der Abschneidefehler dieser Differenzenformel erlaubt die Abschatzung

|τmh,k| ≤ ck2 max

QT

|∂3t u| + h2 max

QT

|∇4u|. (5.3.104)

Eine Konvergenzanalyse ist leicht moglich, wenn wir wieder annehmen, daß die Zerlegungsma-trizen Ah,1 und Ah,2 kommutieren, d.h.: Ah,1Ah,2 = Ah,2Ah,1 . In diesem Fall besitzen sie eingemeinsames ONS von Eigenvektoren v(n), n = 1, ..., N zu Eigenwerten λn = λn(Ah,1) undµn = µn(Ah,2) . Die Koeffizienten in der Entwicklung

Umh =

N∑

ν=1

αmν v(n)

werden dann durch das ADI-Schema wie folgt fortgepflanzt

αmn =(1 − 1

2kλn)(1 − 12kµn)

(1 + 12kλn)(1 + 1

2kµn)αm−1n . (5.3.105)

Hieraus folgt wieder, analog zum Crank-Nicolson-Schema, direkt die unbedingte Stabilitat desADI-Schemas. Fur die Fourier-Koeffizienten αn(t) der ortlich semi-diskreten Approximationuh(t) gilt

αn(tm) = e−k(λn+µn)αn(tm−1). (5.3.106)

Aus der Beziehung fur z = z1 + z2, zi ≤ 0 ,

1 + 12z1

1 − 12z1

· 1 + 12z2

1 − 12z2

=ez1 + O(|z1|3)

ez2 + O(|z2|3)

= ez + O(|z|3) (5.3.107)

erhalt man durch Adaption des Arguments, welches bei der Konvergenzanalyse der Pade-Verfahrenverwendet wurde, den folgenden Satz.

Satz 5.7 (ADI-Verfahren): Angewendet auf die 5-Punkte-Diskretisierung der Warmeleitungs-gleichung auf dem Einheitsquadrat ist das ADI-Verfahren fur jede Zeitschrittweite k stabil undmit 2. Ordnung konvergent:

‖Umh − um‖h ≤ c

k2 max

QT

|∂3t u| + h2 max

QT

|∇4u|. (5.3.108)

Beweis: Der Beweis bedient sich wieder der Spektralmethode. Q.E.D.

Der ADI-Ansatz ist generell auf (kartesischen) Tensorproduktgittern in beliebigen Raumdi-mensionen moglich, wenn der zugrunde liegende Differentialoperator

”separabel“ ist, d.h. additiv

in eindimensionale Operatoren zerfallt, wie z.B. der Operator

Lu = −∂21u− ∂2

2u+ ∂1u+ ∂2u+ u.

In allgemeineren Situationen (z.B. bei Auftreten gemischter Ableitungen ∂1∂2u oder auf un-strukturierten Gittern) sind additive Zerlegungen von Ah in tridiagonale Teilmatrizen nichtmehr moglich, und der Wert des ADI-Ansatzes wird zweifelhaft.


5.4 Ubungen

Ubung 5.1: Das implizite Euler-Verfahren angewendet auf eine FE-Diskretisierung des (homo-genen) Warmeleitungsproblems

∂tu− ∆u = 0, t ≥ 0, u|t=0 = u0, u|∂Ω = 0,

mit linearen oder bilinearen Ansatzfunktionen fuhrt auf eine Folge von linearen Systemen

MhUm + kAhU

m = MhUm−1, m ≥ 1, U0 = Phu

0,

mit der zugehorigen Massematrix Mh und Steifigkeitsmatrix Ah . Man zeige:

a) Die Auswertung der Elemente der Massematrix mit der Trapezregel ergibt eine Diagonalma-trix (sog. “Masse-Lumping”).

b) Auf Triangulierungen ohne stumpfe Innenwinkel ist die durch Masse-Lumping entstehendeSystemmatrix Mh+kAh diagonal-dominant und vom nicht-negativen Typ, d.h. eine M-Matrix.

c) Anspruchsvolle Zusatzaufgabe: Der Lumping-Prozeß bewirkt einen Zusatzfehler der Große|Um − Um| = O(h2) .

Ubung 5.2: Man leite eine Bedingung fur die L2–Stabilitat sowie die L∞-Stabilitat des Warme-leitungsproblems aus Aufgabe 13.1 auf dem Einheitswurfel im R3 her. Die Ortsdiskretisierungerfolge mit dem 7-Punkte-Differenzenoperator auf einem (aquidistanten) kartesischen Gitter mitGitterweite h . (Hinweis: Man ubertrage die Argumentation aus der Vorlesung von zwei auf dreiRaumdimensionen.)

Ubung 5.3: Die Warmeleitungsgleichung

∂tu− a∆u = f, t ≥ 0, ut=0 = u0, u|∂Ω = 0,

auf einem Polygongebiet Ω ⊂ R2 mit Warmeleitkoeffizient a > 0 werde im Ort mit einem

linearen Finite-Elemente-Ansatz auf einer quasi-gleichformigen Folge von Triangulierungen derGitterweite h und in der Zeit mit dem impliziten Euler-Schema mit Schrittweite k diskretisiert:

MhUm + kAhU

m = MhUm−1 + kbm, m ≥ 1, U0 = Phu

0.

Man untersuche die Abhangigkeit der Konditionierung der zugehorigen Systemmatrix Mh+kAhvon den Diskretisierungsparametern h und k . (Hinweis: Man betrachte zunachst den Spezialfall,daß Ω das Einheitsquadrat mit einem gleichformigen Rechteckgitter ist und die MassematrixMh unter Anwendung der Trapezregel (“Masse-Lumping”) nur naherungsweise berechnet wird.)

6 Verfahren fur hyperbolische Probleme

Wir diskutieren zunachst wieder die klassischen Differenzenapproximationen zur Losung hyper-bolischer Anfangs-Randwert-Aufgaben (ARWAn). Der Ubersichtlichkeit halber beschranken wiruns dabei auf das Modellproblem der Wellengleichung in einer Ortsdimension mit DirichletschenRandbedingungen, d.h. auf die 1. ARWA:

∂2t u− c2∂2

xu = f in QT := (0, 1) × [0, T ], (6.0.1)

u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u0, ∂tu(x, 0) = v0,

bzw. deren ortlich zweidimensionales Analogon

∂2t u− c2∆u = f in QT := Ω × [0, T ], (6.0.2)

u|∂Ω = 0, u|t=0 = u0, ∂tu|t=0 = v0.

Das Definitionsgebiet Ω wird wieder als glatt berandet oder als konvexes Polygongebiet vor-ausgesetzt. Die Problemdaten f, u0, v0 sind ebenfalls glatt und kompatibel, so daß die Losungebenfalls als glatt angenommen werden kann. Unsere theoretischen Uberlegungen haben gezeigt,daß bei hyperbolischen Problemen Irregularitaten in den Anfangsdaten oder der rechten Seiteentlang der Charakteristiken fortgepflanzt werden. Im Gegensatz zu den elliptischen und para-bolischen Problemen besitzen hyperbolische keinerlei

”Glattungseigenschaft“. Lokale Storungen

(bzw. Wellen) werden ungedampft fortgeplanzt. Insbesondere gilt das Prinzip der”Energieer-

haltung“, d.h.: Fur f ≡ 0 bleibt die Gesamtenergie (Summe aus kinetischer und elastischerEnergie) in der Zeit erhalten:

‖∂tu(t)‖2 + c2‖∇u(t)‖2 = ‖v0‖2 + c2‖∇u0‖2. (6.0.3)

Diese charakteristische Eigenschaft sollten auch Diskretisierungen der Wellengleichung besitzen.

6.1 Differenzenverfahren fur hyperbolische Probleme

Wir beginnen mit der ortlich eindimensionalen, homogenen Wellengleichung

∂2t u− c2∂2

xu = 0 in QT := (0, 1) × [0, T ], (6.1.4)

u(0, t) = u(1, t) = 0, u(x, 0) = u0, ∂tu(x, t) = v0.

Auf einem (aquidistanten) Orts-Zeit-Gitter xn = nh, tm = mk mit Ortsgitterweite h sowieZeitschrittweite k lautet die naturliche, zentrale Differenzenapproximation 2. Ordnung

k−2Umn − 2Um−1n + Um−2

n − c2h−2Um−1n−1 − Um−1

n + Um−1n+1 (6.1.5)

zur Bestimmung der Approximationen Umn ∼ u(xn, tm) . Dies ist eine (explizite)”Zweischrittformel“.

Die Startwerte U0n und U1

n werden aus den Anfangsbedingungen berechnet gemaß:

U0n := u0(xn),

221


sowie unter Beachtung von

u(xn, k) = u(xn, 0) + k∂tu(xn, 0) + 12k

2∂2t u(xn, 0) + ...

= u0(xn) + kv0(xn) + 12c

2k2∂2xu

0(xn) + ...

durchU1n = u0(xn) + kv0(xn) + 1

2c2k2h−2u0(xn−1) − 2u0(xn) + u0(xn+1).

Mit dem Quotienten σ := k/h gilt fur den zugehorigen Abschneidefehler:

τh,k = ∂2t u− c2∂2

xu + 112h

2(σ2 − c−2)∂4t u+ 1

360h4(σ4 − c−4)∂6

t u+ ....

Offenbar ist τh,k ≡ 0 fur σ = c−1 , d.h.: Die explizite Differenzenformel

Unn = Um−1n−1 + Um−1

n+1 − Um−2n

ist eine”exakte“ Differenzendarstellung der Wellengleichung. Das Abhangigkeitsgebiet der Dif-

ferenzenformel hangt offenbar von der Schrittweitenrelation σ = k/h ab.

1. Fall 0 < σ ≤ c−1 : Abhangigkeitsgebiet der Differenzenformel enthalt das der Differential-gleichung;

2. Fall σ = c−1 :”Ubereinstimmung“;

3. Fall σ > c−1 : Abhangigkeitsgebiet der Differenzenformel ist enthalten in dem der Diffe-rentialgleichung.

Satz 6.1 (Courant1 -Friedrichs2 -Lewy3 ): Notwendig fur die Konvergenz

Umn → u(xn, tm) (h, k → 0), (6.1.6)

fur beliebige Anfangsdaten ist die Schrittweitenbedingung (”CFL-Bedingung“)

σ :=k

h≤ c−1. (6.1.7)

Beweis: Sei σ > c−1 . Wenn in irgendeinem festen Gitterpunkt (xn, tm) fur eine spezielleAnfangsbedingung Umn → u(xn, tm) konvergiert fur h, k → 0 , so konnen wir diese Anfangsdatenaußerhalb des Abhangigkeitsintervalls von (xn, tm) bzgl. der Differenzenformel beliebig andern,ohne daß Umn verandert wird. In diesem Fall kann also Umn nicht gegen die veranderte Losungu(xn, tm) konvergieren. Q.E.D.

Bemerkung 6.1: Wir weisen darauf hin, daß fur spezielle Anfangsdaten durchaus (theoreti-sche) Konvergenz auch fur σ > c−1 eintreten kann; in diesem Fall liegt aber numerische In-stabilitat vor. Die Schrittweitenbedingung (6.1.7) ist weniger restriktiv als die entsprechendeBedingung k ≤ 1

2ah2 bei der Warmeleitungsgleichung.

Im folgenden werden wir die Konvergenz des Differenzenschemas (6.1.5) untersuchen. Dabeibedienen wir uns der Spektraltechnik, die wir bereits bei parabolischen Problemen kennengelernt

6.1 Differenzenverfahren fur hyperbolische Probleme 223

haben. Der ortliche Differenzenoperator

AhUmn := − c2

h2Umn−1 − 2Umn + Umn+1 (6.1.8)

(Um0 = UmN+1 = 0 ) ist symmetrisch und positiv definit bzgl. des diskreten Skalarprodukts

(v,w)h := h2N∑

n=1

vnwn, ‖v‖h := (v, v)1/2h .

Seine Eigenwerte seien 0 < λ1 ≤ ... ≤ λN ∼ 4c2/h2 mit einem zugehorigen Orthonormalsystemw(n), n = 1, ..., N von Eigenvektoren. Insbesondere gilt

(Ahv, v)h ≥ λ‖v‖2h (6.1.9)

mit einer von h unabhangigen Konstante λ > 0 .

Satz 6.2 (CFL-Bedingung): Die explizite Differenzenformel (6.1.5) ist genau dann nume-risch stabil, wenn die CFL-Bedingung k/h ≤ c−1 erfullt ist. Im Falle einer hinreichend glattenLosung gilt dann die Konvergenzabschatzung

max[0,T ]

‖Umh − u(·, tm)‖h ≤ c(u)T 2k2 + h2. (6.1.10)

Beweis: i) Fur die Entwicklungskoeffizienten in

Umh =N∑

n=1

amn w(n)

giltamn − 2am−1

n + am−2n + k2λna

m−1n = 0

bzw.

amn + (k2λn − 2)am−1n + am−2

n = 0. (6.1.11)

Diese homogene Differenzengleichung hat die allgemeine Losung

amn = c1rm1 + c2r

m2

mit den Wurzeln ri des charakteristischen Polynoms ρ(r) = r2 + (k2λn − 2)r + 1 :

r1,2 =2 − k2λn ±

√(2 − k2λn)2 − 4

2.

Im Fall k2λn ≤ 4 ist |r1,2| ≤ 1 , d.h.: Es liegt Stabilitat vor. Im Fall k2λn > 4 ist |r2| > 1 ,d.h.: Es besteht Instabilitat. Offenbar gilt fur h→ 0 :

k2λn ≤ 4 ⇔ σ ≤ c−1. (6.1.12)


ii) Sei nun k2λn ≤ 4 und die Losung u glatt. Wir betrachten den Fehler der Ortsdiskretisierunggetrennt von dem der Zeitdiskretisierung:

emn := u(xn, tm) − Umn = u(xn, tm) − uh(xn, tm) + uh(xn, tm) − Umn =: εh(xn, tm) + Emn .

Fur den Ortsdiskretisierungsfehler εh gilt ε0h = ∂tε0h = 0 und

∂2t εh +Ahεh = O(h2).

Wir multiplizieren diese Identitat mit ∂tεh ,

12dt‖∂tεh‖2

h + (Ahεh, εh)h

= (O(h2), ∂tεh)h,

und integrieren uber [0, t] :

‖∂tεh(t)‖2h + (Ahεh(t), εh(t))h = ‖εh(0)‖2

h + (Ahεh(0), εh(0))h +

∫ t

0(O(h2), ∂sεh)h ds.

Dies impliziertmax[0,t]

‖∂tεh‖2

h + (Ahεh, εh)h≤ tO(h2)max

[0,t]‖∂tεh‖h

bzw. nach Aufintegrieren bzgl. der Zeit:

max[0,t]

‖εh‖h ≤ c t2 h2. (6.1.13)

Der Faktor t2 laßt sich hier nicht vermeiden, da bei der Wellengleichung (im Gegensatz zurWarmeleitungsgleichung) lokale Storungen nicht ausgedampft werden.

iii) Fur den Zeitdiskretisierungsfehler gilt

k−2Em − 2Em−1 + Em−2 +AhEm−1 = O(k2). (6.1.14)

Die Konstante in O(k2) hangt dabei von den Zeitableitungen von uh(t) bis zur Ordnung 4 ab.Diese lassen sich durch die entsprechenden Zeitableitungen von u beschranken, was hier jedochnicht ausgefuhrt werden soll. Fur die n-te Fourier-Komponente Emn = (Em, w(n))h gilt

Emn − 2Em−1n + Em−2

n + k2λnEm−1n = (O(k4), w(n))h,

gleichmaßig bzgl. n . Das charakteristische Polynom dieser Differenzengleichung ist ρ(r) = r2 +(k2λn−2)r + 1 mit Wurzeln |r1,2| = 1 . Die a priori Abschatzung fur Losungen inhomogenerDifferenzengleichungen aus Hilfssatz 6.1 liefert also:

|Emn | ≤ c

maxµ=0,1

|Eνn| +m2 maxν=2,...,m

O(k4)

bzw.

‖Em‖2h =

m∑

ν=1

|Eνn|2 ≤ c‖E0‖2

h + ‖E1‖2h

+ ct4mk

4.


Offenbar ist E0 = 0 und

E1 = uh(t1) − U1 = uh(t1) − u0 − ku1 − 12k

2Ahu0

= −ε(t1) + u(t1) − u0 − ku1 − 12k

2c2∂2xu(0) + O(k2h2)

= −ε(t1) + u(t1) − u0 − ku1 − 12k

2∂2t u(0) + O(k2h2)

= O(k3 + k2h2) + O(k3).

Dies fuhrt auf

‖Em‖2h ≤ c t2m h2 + k22. (6.1.15)

Kombination der Abschatzungen (6.1.13) und (6.1.15) vervollstandigt schließlich den Beweis.Q.E.D.

Hilfssatz 6.1 (Differenzengleichungen): Die Folge ymm∈N genuge der linearen, inhomo-genen Differenzengleichung

R∑

ν=0

aνym+ν = gm, m ≥ 0. (6.1.16)

Wenn alle Nullstellen λν des charakteristischen Polynoms

ρ(z) :=

R∑

ν=0

aνzν

Betrag |λν | ≤ 1 haben, gilt die a priori Abschatzung

maxR≤ν≤m

|yν | ≤ cR

max0≤ν≤R

|yν | +m2 max0≤ν≤m

|gν |, m ≥ R . (6.1.17)

Beweis: ohne Q.E.D.

Bemerkung 6.2: Die bisher erhaltenen Aussagen bleiben gultig, wenn man das explizite Diffe-renzenschema auf das reine Anfangswertproblem (

”Cauchy-Problem“) der Wellengleichung an-

wendet. In diesem Fall ist man auf explizite Verfahren angewiesen, da zur Verwendung impliziterFormeln die notwendigen Randwerte fehlen.

Bei der ARWA der Wellengleichung kann man sich von der einschrankenden CFL-Bedingungdurch Verwendung impliziter Differenzenformeln befreien, etwa der Art

k−2Umh − 2Um−1h + Um−2

h + αAhUmh + (1 − 2α)AhU

m−1h + αAm−2

h = 0 (6.1.18)

mit einem Parameter α ∈ [0, 1] . Diese Formel hat den Abschneidefehler

τh = h2 1

12 (σ2 − 1) − ασ2∂4xu+ O(h2)

;

Sie ist also fur beliebiges α von zweiter Ordnung. Fur ein implizites Differenzenschema enthaltihr Abhangigkeitsbereich offensichtlich den der Differentialgleichung.


Satz 6.3 (Konvergenz impliziter Verfahren): Die implizite Differenzenformel (6.1.18) istim Falle α ≥ 1/4 unbedingt stabil und im Fall 0 < α < 1/4 stabil fur

0 < σ ≤ 1

c√

1 − 4α; (6.1.19)

Fur andere σ ist sie instabil. Im stabilen Fall gilt die Konvergenzabschatzung

max[0,T ]

‖Umh − u(·, tm)‖h ≤ c(u)Tk2 + h2. (6.1.20)

Beweis: Fur die Entwicklungskoeffizienten in

Umh =

N∑

n=1

amn w(n)

giltamn − 2am−1

n + am−2n + k2λnαamn + (1 − 2α)am−1

n + αam−2n = 0.

Das charakteristische Polynom dieser Differenzenformel

ρ(r) = (1 + αk2λn)r2 +

(k2λn(1 − 2α) − 2

)r + (1 + k2λnα)

hat die Wurzeln

r1,2 =2 − k2λn(1 − 2α) ±

√(k2λn(1 − 2α) − 2)2 − 4(1 + k2λnα)2

2(1 + αk2λn).

Wir haben zwei Falle zu unterscheiden:

a) Stabiler Fall:

(k2λn(1 − 2α) − 2)2 ≤ 4(1 + k2λnα)2 ⇒ |r1,2| = 1. (6.1.21)

b) Instabiler Fall

(k2λn(1 − 2α) − 2)2 > 4(1 + k2λnα)2 ⇒ |r2| > 1. (6.1.22)

Der Kette aquivalenter Ungleichungen

k2λn(1 − 2α) − 2 ≤ 2 + 2k2λnα

k2λn − 2αk2λn ≤ 4 + 2αk2λn

k2λn − 4αk2λn ≤ 4

4k2c2

h2(1 − 4α) ≤ 4

k2

h2(1 − 4α) ≤ c−2


entnehmen wir die Bedingungen α ≥ 1/4 oder

0 < α < 1/4, σ ≤ 1

c√

1 − 4α. (6.1.23)

Dagegen ist

k2λn(1 − 2α) − 2 ≥ −2 − 2k2λnα

k2λn − 2αk2λn ≥ −2αk2λn

k2λn ≥ 0,

stets erfullt.

Dies beweist den die Stabilitat betreffenden Teil des Satzes. Die Konvergenzabschatzungwird dann ahnlich wie im expliziten Fall gezeigt. Wir lassen die Details weg. Q.E.D.

In zwei Raumdimensionen ist der Abhangigkeitsbereich der Wellengleichung kegelformig(z.B. Kreiskegel bei kreisformigem Grundgebiet). Die obigen Aussagen fur den eindimensionalenFall gelten sinngemaß auch in zwei Dimensionen. Bei Ortsdiskretisierung mit dem 5-Punkte-Operator Ah lautet das Analogon des expliziten Schemas (6.1.5)

k−2Umh − 2Um−1

h + Um−2h

+ c2AhU

m−1h = 0 (6.1.24)

und hat die Stabilitatsbedingung

σ ≤ 1√2c. (6.1.25)

In drei Raumdimensionen verscharft sich diese Bedingung zu σ ≤ (√

3c)−1 .


6.2 Finite-Elemente-Verfahren fur hyperbolische Probleme

Als Basis von Finite-Elemente-Diskretisierungen dient wieder die variationelle Formulierung von(6.0.2):

(∂2t u, ϕ) + (a∇u,∇ϕ) = (f, ϕ) ∀ϕ ∈ V, t > 0, u|t=0 = 0, (6.2.26)

mit dem ublichen Sobolew-Raum V := H10 (Ω) . Im Sinne der

”Rothe-Methode“ konnten diese

Gleichung nun zunachst wieder mit einem Differenzenschema 2. Ordnung in der Zeit und an-schließend die einzelnen Zeitschritte mit FE-Ansatzen im Ort diskretisiert werden. Dies fuhrtwie bei den Differenzenverfahren zwangslaufig auf Zwei-Schritt-Schemata, mit denen die Ener-gieerhaltung nicht zu bewerkstelligen ist. Wir wollen daher jetzt einen anderen Weg beschreiten,der etwas naher an der Vorgehensweise bei parabolischen Problemen ist. Durch Einfuhrung derzusatzlichen Unbekannten v = ∂tu geht die Wellengleichung uber in das System

∂tu− v = 0,

∂tv − c2∆u = f,

mit den naturlichen Randbedingungen u|∂Ω = v|∂Ω = 0 sowie den Anfangsbedingungen u|t=0 =u0 und v|t=0 = v0 . In variationeller Form schreibt sich dies wie

(∂tv, ϕ) − (v, ψ) = 0 ∀ψ ∈ V, t ∈ [0, T ],

(∂tu, ψ) + c2(∇u,∇ϕ) = (f, ϕ), ∀ϕ ∈ V,

mit den Anfangsbedingungen u|t=0 = u0 und v|t=0 = v0 . Dieses System von Differential-gleichungen ist wieder

”hyperbolisch“, da alle Eigenwerte der Koeffizientenmatrix rein imaginar

sind. Zur Diskretisierung ware also ein Zeitschrittverfahren gunstig, bei dem die imaginare Achsegerade der Rand des Stabilitatsgebiets ist. Das Crank-Nicolson-Verfahren besitzt diese Eigen-schaft.

Zur Diskretisierung dieses Systems verwenden wir das Rothe-Verfahren, d.h.: Zunachst wirdbzgl. der Zeit diskretisiert. Dazu verwenden wir auf einem Zeitgitter

0 = t0 < t1 < ... < tm < ... < tM = T,

mit Schrittweiten km = tm − tm−1 das Crank-Nicolson-Schema:

(um−um−1, ψ) − 12km(vm+vm−1, ψ) = 0,

(vm−vm−1, ϕ) + 12km(c2∇(um+um−1),∇ϕ) =0,

fur alle Testfunktionen ϕ und ψ mit Anfangswerten u0 und v0 . Bei diesem Zeitschrittverfahrenbleibt die totale Energie in jedem einzelnen Zeitschritt erhalten. Dazu setzen wir im variationellenSchema ϕ := um−um−1 und ψ := vm− vm−1 und kombinieren die beiden resultierendenGleichungen zu

12‖vm‖2 + 1

2‖c∇um‖2 = 12‖vm−1‖2 + 1

2‖c∇um−1‖2. (6.2.27)

Die einzelnen Probleme in jedem Zeitschritt tm−1 → tm werden nun mit Hilfe eines FE-Verfahrens diskretisiert. Dazu werden zu jedem Zeitlevel tm FE-Ansatzraume V m

h ⊂ V =

6.2 Finite-Elemente-Verfahren fur hyperbolische Probleme 229

H10 (Ω) auf Gittern Tm

H der ublichen Art gewahlt. Im folgenden betrachten wir zunachst den Fall,daß die Gitter und Ansatzraume zu allen Zeitpunkten dieselben sind. Die allgemeine Situationvon mit der Zeit variierenden Ortsgittern ist in Abb. 6.1 skizziert.

Abbildung 6.1: Raum-Zeit-Gitter mit “hangenden Knoten“

Zu dem FE-Ansatz gehoren wieder die Masse- und Steifigkeitsmatrizen

Mh = (mij)ij =((ϕ

(j)h , ϕ

(i)h ))ij, Ah = (aij)ij =

((c2∇ϕ(j)

h ,∇ϕ(i)h ))ij,

wobei ϕ(i)h , i = 1, ..., N die Knotenbasis von Vh ist. Dabei wird angenommen, daß beide

Unbekannte uh sowie vh in demselben Ansatzraum Vh bestimmt werden. Dies ist wegen derphysikalisch vorgegebenen Randbedingung v|∂Ω = ∂tu|∂Ω = 0 sinnvoll. Eigentlich brauchte vhim Hinblick auf die gewahlte variationelle Formulierung aber nur in L2(Ω) gewahlt zu werden.

Bezeichnen wir nun die zugehorigen Knotenwertvektoren von umh und vmh ebenfalls mit umhund vmh , so erhalt das Zeitschrittschema die Gestalt

Mh(Umh − Um−1

h ) + 12kmMh(V

mh − V m−1

h ) = 0,

Mh(Vmh − V m−1

h ) + 12kmAh(U

mh + Um−1

h ) = 0.

Dies kann nun so umgeformt werden, daß ein System von zwei sukzessive losbaren Problemenentsteht:

(Mh + 14k

2mAh)U

mh = MhU

m−1h + kmMhV

m−1h − 1

4k2mAhU

m−1h ,

MhVmh = MhV

m−1h − 1

2kmAh(Umh + Um−1

h ).

In jedem Zeitschritt sind also eine (modifizierte) Ritz-Projektion sowie eine L2-Projektion durch-zufuhren. Die Konvergenzanalyse dieses Verfahrens kann wieder mit Hilfe der oben schon be-schriebenen

”Energie-Technik“ erfolgen, was hier aber nicht ausgefuhrt werden soll.


6.3 Verallgemeinerungen und Losungsaspekte

Bei der Anwendung unbedingt stabiler, impliziter Differenzenschemata mussen in jedem Zeit-schritt lineare Gleichungssysteme mit Koeffizientenmatrizen der Form Ih+αk

2Ah gelost werden.Deren Kondition verhalt sich im Falle k ∼ h wie

κ2(Ah) ∼ 1. (6.3.28)

Auf solchen gleichformigen Gittern sind implizite Verfahren also verhaltnismaßig kostengunstig.Dies andert sich aber, wenn das Ortsgitter zur Anpassung an irregulare Losungsstrukturen lokalverfeinert wird.

6.4 Ubungen 231

6.4 Ubungen

Ubung 6.1:

Ubung 6.2:

Index

5-Punkte-Operator, 48, 57, 64, 837-Punkte-Operator, 509-Punkte-Operator

gestreckter, 48kompakter, 48, 84

L2-Norm-Fehler, 130L2-Norm-Fehlerschatzer, 135L2-Projektion, 107, 148, 227L∞-Norm-Fehler, 109, 130M -Matrix, 83V -elliptisch, 72dG(0)-Verfahren, 208dG(r)-Verfahren, 207h/p-Finite-Elemente-Methode, 77

A-orthogonal, 157A-Stabilitat, 190

starke, 190, 196strenge, 190

Abhangigkeitsbereich, 39, 225Ableitung

schwache, 24verallgemeinerte, 24

Abschneidefehler, 46, 186, 217, 223Abstiegsrichtung, 156Abstiegsverfahren, 156Adaptionsstrategie, 141ADI-Verfahren, 63, 216, 217Adini (????-????), 93Adini-Plattenelement, 93Allgemeiner Storungssatz, 118Anfangs-Randwert-Aufgabe, 32Approximationseigenschaft, 173Argyris (1916-2004), 92Argyris-Plattenelement, 92Assemblierung, 117Aubin (????-????), 80Aubin-Nitsche-Trick, 80

Banach (1892-1945), 2Bandmatrix, 52, 60Baryzentrische Koordinaten, 122BDF-Verfahren, 185, 186Bestapproximationseigenschaft, 74, 107Bestimmtheitsbereich, 39Biharmonischer Operator, 7, 21, 91, 120, 151Bramble (1932-), 100Bramble-Hilbert-Lemma, 100, 124, 210

Cauchy (1789-1857), 11

Cauchy-Problem, 11, 223

CFL-Bedingung, 220, 221CG-Verfahren, 157, 160, 179, 215

quadriertes, 163Charakteristik, 12

Charakteristisches Polynom, 223Cholesky (1975-1918), 63Cholesky-Zerlegung, 63, 215Courant (1888-1972), 220

Crank (1916-), 185Crank-Nicolson-Verfahren, 186, 190, 200, 207,

213, 215, 216, 226gedampftes, 198Sehnentrapezform, 213

Tangententrapezform, 213

Dampfung, 172Defekt, 155Defektgleichung, 169

Defektkorrektur-Iteration, 61Diagonaldominanz

erweiterte , 52irreduzible, 53

Differentialgleichung2. Ordnung, 10gewohnliche, 10lineare, 9

nichtlineare, 9, 15Differentialoperator

elliptischer, 12hyperbolischer, 12

parabolischer, 12Differenzenappoximation, 45Differenzengleichung, 223Differenzenoperatoren, 45

DifferenzenverfahrenA(0)-stabil, 185explizit, 182

implizit, 182Diffusions-Transport-Gleichung, 72Dirac (1902-1984), 111Dirac-Funktion, 111

Direkte Methode, 18Dirichlet (1805-1859), 15Divergenz, 1Du Fort (????-????), 195

Du Fort-Frankel-Verfahren, 195Duale Losung, 132Duales Problem, 132

233

234 INDEX

Dualitatsargument, 80, 208

Eckensingularitat, 23, 43, 146Effektivitatsindex, 133, 139Eigenwerte, 68Eigenwertproblem, 31Einschrittverfahren, 182Element-(Last)-Vektor, 117Element-(Steifigkeits)-Matrix, 117Energie, 39Energie-Form, 167, 181Energie-Methode, 36, 199Energie-Norm, 18, 74, 155Energieerhaltung, 219Energiefunktional, 71Energienorm-Fehler, 80, 130Energienorm-Fehlerschatzer, 134Erhaltungsgleichung, 40Euklid (ca. 355-290 v. Chr.), 1Euklidische Vektornorm, 1Euklidisches Produkt, 1Euler (1707-1783), 183Explizites Euler-Verfahren, 185, 192

F-Zyklus, 171, 215Fehler

lokaler, 114Fehlerbalancierungs-Strategie, 141Fehlerfunktional, 131Fehlerindikator, 140Fest-Raten-Strategie, 142Finite Elemente, 77

bi-kubisch, 93, 94bi-linear, 92bi-quadratisch, 92isoparametrisch, 96konform, 89konstant, 89kubisch, 91, 150linear, 78, 89, 93nicht-konform, 89parametrisch, 96quadratisch, 90, 93quartisch, 91quintisch, 92tri-linear, 94tri-quadratisch, 94

Finite-Elemente-Interpolierende, 89Finite-Elemente-Raum, 207

Fixpunktiteration, 62Formfunktion, 77Formregularitat, 78Fourier (1768-1830), 31Fourier-Entwicklung, 31Frankel (????-????), 195Friedrichs (1901-1982), 220

Galerkin (1871-1945), 75Galerkin-Gleichungen, 158Galerkin-Orthogonalitat, 208Galerkin-Verfahren, 75Gauß-Seidel-Verfahren, 63Gaußsches Eliminationsverfahren, 61Gauß (1777-1855), 2Geschachteltes Mehrgitterverfahren, 171Gitterfeinheit, 45Gitternumerierung

diagonale, 60Schachbrett, 61zeilenweise, 60

Gitteroptimierung, 142Gittersteuerung, 139Gittertransfer, 171Glatter, 171Glattungseigenschaft, 36, 173, 190, 196, 198,

213Glattungsiteration, 167Großenregularitat, 78Gradient, 1Gradientenverfahren, 157Gram (1850-1916), 158Gram-Schmidt-Algorithmus, 158Green (1793-1841), 2Greensche Funktion, 17, 111, 112Greensche Identitat, 56Grobgitteroperatoren, 171Grobgitterproblem, 168

Hangender Knoten, 227Holder (1859-1937), 2Holdersche Ungleichung, 2, 27Hadamard (1865-1963), 9Halbbandbreite, 52Halbgruppen-Methode, 36Hauptteil, 12, 13Hermite (1822-1901), 88Hermite-Element, 88Hestenes (1906-1991), 157

INDEX 235

Hilbert (1862-1943), 2

Hilbert (????-), 100

ILU-Verfahren, 63

Implizites Euler-Verfahren, 185, 186, 202, 207Integralformel von Green, 2Integralsatz von Gauß, 2Interpolationsabschatzung, 101, 103

Interpolationskonstante, 208, 210Interpolierende, 79Inverse Beziehung, 105

Inverse Monotonie, 54, 193inverse Monotonie, 68Iterationsmatrix, 62

Jacobi (1804-1851), 62Jacobi-Verfahren, 62Jordan (1838-1922), 11

Kantenresiduum, 132Kegelschnitt, 12klassische Losung, 32

Knoten, 78Knotenbasis, 79Knotenbasisfunktion, 79

Knotenfunktional, 88Knotenwert, 78, 88Koerzitivitat, 72Konditionierung, 118, 151

Konditionszahl, 68Konformitat, 89Konsistenz, 46, 186

Konsistenzordnung, 46Kontinuitatsgleichung, 5Konvergenz, 57Konvergenzordnung, 46, 67

Konvergenzrate, 62Koordinatenrelaxation, 157Kovalevskaya (1850-1891), 15

Kronecker (1823-1891), 56Kronecker-Symbol, 56Krylov (1879-1955), 155Krylow-Raum, 158

Krylow-Raum-Methode, 155Kutta (1867-1944), 207

Losungklassische, 16schwache, 19, 43

Losungskomplexitat, 214Lagrange (1736-1813), 79Lagrange-Basis, 79Lagrange-Element, 88Lagrange-Hermite-Interpolation, 103Lagrange-Interpolation, 79Laplace (1749-1827), 1Laplace-Operator, 1, 13, 30, 43, 48, 59, 155Lastvektor, 116, 201Lax (????-), 73Lax-Milgram-Lemma, 73Lebesgue (1875-1941), 23Lebesgue-Raum, 26Legendre (1752-1833), 158Legendre-Polynom, 158Lewy (????-????), 220Line Search, 156Linienmethode, 181, 185

M-Matrix, 54, 68, 193, 206Mass-Lumping, 206Massematrix, 116, 182, 201, 227Matrix

diagonal-dominant, 83von nicht-negativem Typ, 52, 83

Matrizennorm, 1Maximumnorm, 2Maximumprinzip, 20, 112

diskretes, 53elliptisches, 20fur finite Elemente, 83parabolisches, 34

Maximumprinzipmethode, 192Mehrgitter-Zyklus, 168Mehrgitterverfahren, 166, 215Mehrstellenformel, 67Milgram (????-????), 73Minimalfolge, 18Mittelpunktregel, 123Mittelpunkts-Verfahren, 185Monombasis, 77Morley (????-????), 90Morley-Plattenelement, 90Multiindex, 98

Nabla-Operator, 1Nachglattung, 169Navier (1785-1836), 5Navier-Stokes-Gleichungen, 5

236 INDEX

Neumann, von (1903-1957), 16

Nicolson (1917-1968), 185Nitsche (1926-1996), 80Normaleneinheitsvektor, 1

Numerische Dissipativitat, 190Numerische Integration, 121, 125, 151

Operator

kompakt, 31positiv-definit, 31symmetrisch, 31

Orthonormalsystem, 173Orts-Zeit-Diskretisierung, 184

Pade (1785-1836), 189

Pade-Schema, 189Pade-Tafel, 189Parallelogrammidentitat, 18

Parseval (1755-1836), 37Parsevalsche Identitat, 37Partielle Ableitung, 1PCG-Verfahren, 163

Petrow (1912-1987), 75Petrow-Galerkin-Verfahren, 75, 207Plattengleichung, 7

Poincare (1854-1912), 3Poincaresche Ungleichung, 3, 27, 42, 43, 100Poisson (1781-1840), 4Poisson-Gleichung, 4, 7, 13, 15, 71, 109

Pollution-Effekt, 146Polygonzugmethode, 183Projektionsmethode, 74

Prolongation, 168, 169Punktfehler-Schatzer, 137Punktgitter, 45

Quadraturfehler, 124Quadraturformel, 122

Ruckwartsdifferenzenformel, 185Randbedingungen

Dirichletsche, 15, 32, 71naturliche, 72

Neumannsche, 16, 32, 72Robinsche, 16, 32, 72

Randwertaufgabe, 15, 42

Referenzelement, 94, 102, 117Referenztransformation, 95Rellichscher Auswahlsatz, 30

Residuum, 132

Restriktion, 168, 169

Reynolds (1842-1912), 5

Richardson (1881-1953), 62

Richardson-Verfahren, 62, 166, 168, 180, 195

Riemann (1826-1866), 16

Riesz (1880-1956), 73

Rieszscher Darstellungssatz, 73

Ritz (1878-1909), 74

Ritz-Projektion, 108, 202, 227

Ritzsche Projektions-Verfahren, 74

Robin 1855-1897, 16

Rothe (1895-1988), 184

Rothe-Methode, 184, 201, 226

Runge (1856-1927), 207

Runge-Kutta-Verfahren, 207

Satz

Geschachteltes Mehrgitterverfahren, 178

Mehrgitterkomplexitat, 177

Mehrgitterkonvergenz, 175

von Cauchy-Kovalevskaya, 15

von Lax-Milgram, 147

Schlitzgebiet, 23

Schmidt (1876-1959), 158

Schnelle Fourier-Transformation, 61

Schrittweitensteuerung, 206

Seidel, von (1821-1896), 63

Separabilitat, 216

Shortley (1910-), 49

Shortley-Weller-Approximation, 49, 53, 58, 60,67, 81

Simplex, 95

Simpson-Verfahren, 186

Sobolew (1908-1989), 19

Sobolew-Raum, 18, 24, 26, 71

Sobolewsche Ungleichung, 29, 44

Sobolow-Raum, 43

SOR-Verfahren, 63Spektral-Elemente-Methode, 77

Spektral-Galerkin-Verfahren, 77

Spektral-Methode, 36, 195

Spektral-Theorie, 30

Spektralkondition, 160, 215

Spektralnorm, 194

Spektralverfahren, 77

Spezieller Storungssatz, 120

Splitting-Methode, 216

INDEX 237

Spur-Abschatzung, 28

Spur-Lemma, 28Stabilitat, 46Startwert, 213

Steifigkeitsmatrix, 116, 182, 201, 227Stiefel (1909-1978), 157Stokes (1819-1903), 5Strukturregularitat, 78

Taylor (1685-1731), 10Taylor-Reihe, 10

Teilschritt-θ-Verfahren, 191Tensorprodukt-Basis, 77Tensorprodukt-Gauß-Formel, 124Tensorprodukt-Simpson-Regel, 124

Tensorprodukt-Trapezregel, 148Tensorproduktformel, 123Transfermatrix, 201

Trapezregel, 123Triangulierung, 78Tschebyscheff (1821-1894), 161Tschebyscheff-Approximation, 161

Typeneinteilung, 10, 41

Unisolvenz, 88, 98, 149, 153

Unstetiges Galerkin-Verfahren, 207

V-Zyklus, 170Variablenseparation, 33

Variationelle Formulierung, 72, 181, 226Variationsgleichung, 6, 72, 74Verfeinerungstrategie

Fehleraquilibrierung, 142Vertraglichkeit, 46Vieta (1540-1603), 13Vietascher Wurzelsatz, 13

Von Neumannsche Methode, 193Von Neumannsche Stabilitatsanalyse, 195Vorglattung, 169

Vorkonditionierung, 62, 163ADI, 165Diagonal, 164ICCG, 164

SSOR, 164

W-Zyklus, 170

Warmeleitungsgleichung, 4, 5, 14, 32, 181, 211Wellengleichung, 4, 7, 14, 38, 219, 226Weller (????-????), 49

Wilson (????-????), 93Wilson-Plattenelelement, 93Wohl-gestellt, 9, 15

Zeilensummenkriteriumschwaches, 53

Zeitschrittverfahren, 185Zeitschrittweite, 182, 206, 219Zelle, 77Zellgewicht, 133Zellresiduum, 132Zusammenhang, 52Zweigittermethode, 170Zweigitteroperator, 172Zweischrittformel, 219Zweischrittverfahren, 182

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