Numerische Methoden 2

von I . S. Beresin und N. P . Shidkow

Mit 11 Abbildungen

m VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften

Berlin 1971

INHALT

6. Lösung von linearen algebraischen Gleichungssystemen 9

6.1. Klassifikation der Methoden 9

6.2. Der Gaußsche Algorithmus 10 6.2.1. Der Gaußsche Algorithmus mit Pivotsuche 10 6.2.2. Der verkettete Gaußsche Algorithmus 14 6.2.3. Matrizeninversion 18 6.2.4. Berechnung von Determinanten 19 6.2.5. Der Jordansche Algorithmus 20 6.2.6. Der Jordansche Algorithmus ohne Aufrechnung der Unbekannten 21 6.2.7. Die Anwendung des Jordanschen Algorithmus zur Lösung von Aufgaben der

linearen Optimierung 25

6.3. Die Quadratwurzelmethode 29

6.4. Orthogonalisierungsverfahren . . . . ' 32

6.5. Methode der konjugierten Gradienten 40

6.6. Blockmethoden 48 6.6.1. Die Quadratwurzelmethode 49 6.6.2. Der Jordansche Algorithmus 51 6.6.3. Matrizeninversion durch Zerlegung in Blöcke 54 6.7. Lineare Operatoren. Normen von Operatoren 55 6.7.1. Bndlichdimensionale lineare normierte Räume 58 6.7.2. Lineare Operatoren im endlichdimensionalen normierten Raum und ihr Zu­

sammenhang mit Matrizen 60 6.7.3. Die Konvergenz von Matrizenfolgen und Matrizenreihen 63

6.8. Überblick über die Methoden der sukzessiven Approximation 66

6.9. Lineare Gesamtschrittverfahren erster Ordnung 68 6.9.1. Konvergenz der linearen Gesamtschrittverfahren erster Ordnung. Einfache

Iteration 68 6.9.2. Das Verfahren von RICHABDSON 72

6.9.3. Matrizeninversion mit Methoden der sukzessiven Approximation 76 6.10. Lineare Einzelschrittverfahren erster Ordnung 79 6.10.1. Das Verfahren von SEIDEL 79 6.10.2. Konvergenz des Verfahrens von SEIDEL 79 6.10.3. Das Relaxationsverfahren 83

6.11. Die Methode des steilsten Abstiegs 84 6.12. Übungen 91

6 Inhalt

7. Numerische Verfahren zur Lösung nichtlinearer Gleichungen und zur Lösung von Systemen nichtlinearer algebraischer und transzen­denter Gleichungen 93

7.1. Einführung 93 7.2. Lokalisierung von Nullstellen 94 7.2.1. Allgemeine Bemerkungen . . 94 7.2.2. Lokalisierung reeller Wurzeln bei algebraischen Gleichungen 97 7.3. Einfache Iterationsverfahren zur Lösung algebraischer und transzendenter

Gleichungen 101 7.3.1. Das Prinzip der kontrahierenden Abbildungen und seine Anwendung zum Be­

weis der Konvergenz von Iterationsverfahren 102 7.3.2. Die einfachen Iterationsverfahren: die Regula falsi und das Newtonsche Ver­

fahren 108 7.3.3. Über eine Möglichkeit der Konvergenzverbesserung bei Iterationsverfahren . 114 7.3.4. Der Einfluß von Fehlern auf die Konvergenz der Iterationsverfahren . . . . 116 7.4. Iterationsverfahren höherer Ordnung zur Lösung der Gleichung f(x) = 0 . . 118 7.4.1. Die Methode von TSCHEBYSCHEFF zur Konstruktion von Iterationsverfahren

höherer Ordnung 118 7.4.2. Die Konstruktion von Iterationsverfahren höherer Ordnung mit Hilfe des

Satzes von KÖNIG 121 7.4.3. Die Methode von AITKEN zur Konstruktion von Iterationsverfahren höherer

Ordnung 125 7.4.4. Beispiel 127 7.5.. Lösung von Gleichungssystemen 129 7.5.1. Ein Iterationsverfahren zur Lösung von Systemen spezieller Form 129 7.5.2. Das Newtonsche Verfahren 134 7.5.3. Verfahren des Abstiegs 148 7.6. Das Verfahren von LOBATSCHEWSKI zur Lösung von algebraischen Gleichungen

(GBAEFTE-Verfahren) 152 7.6.1. Das GRAEFFE-Verfahren. Reelle, dem absoluten Betrag nach verschiedene

Nullstellen.- . 1 5 2 7.6.2. Das GRAEFFE-Verfahren. Komplexe Wurzeln 157 7.6.3. Das GRAEFFE-Verfahren. Benachbarte oder gleiche Wurzeln 159 7.6.4. Die von LEHMEB entwickelte Variante des GRAEFFE-Verfahrens 160 7.7. Zwei Iterationsverfahren zur Lösung algebraischer Gleichungen 165 7.7.1. Verfahren des Abstiegs 165 7.7.2. Das Parabelverfahren 169 7.8. Berechnung der Werte eines Polynoms, seiner Ableitungen sowie einige andere

Operationen mit Polynomen 171 7.8.1. Das HoRNER-Schema 171 7.8.2. Die Berechnung des Quotienten und des Restes bei der Division von Pn(x)

durch ein quadratisches Polynom 172 7.8.3. Die Berechnung der Ableitungen eines Polynoms '. 173 7.9. Die Berechung der Wurzeln algebraischer Gleichungen durch Abspalten von

Paktoren 175 7.9.1. Das Verfahren von LEST 175

Inhalt 7

7.9.2. Das Verfahren von FRIEDMAN 179 7.9.3. Das Verfahren von HITOHCOCK zur Abspaltung eines quadratischen Faktors . 182 7.10. Übungen 185

8. Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen . . . . 188

8.1. Einführung 188

8.2. Das Verfahren von KRYLOW 190

8.2.1. Das Minimalpolynom einer Matrix 190 8.2.2. Die Bestimmung des Minimalpolynoms (191 8.2.3. Die Bestimmung der Eigenvektoren der Matrix 194

8.3. Das Verfahren von LANCZOS 196

8.3.1. Die Bestimmung der Eigenwerte 196 8.3.2. Die Bestimmung der Eigenvektoren 205

8.4. Das Verfahren von DANILEWSKI 208

8.5. Übersicht über andere Methoden zur Bestimmung des charakteristischen Poly­noms 214

8.5.1. Das Verfahren von LEVERRIER 214 8.5.2. Die Methode des Ränderns 216 8.5.3. Die Escalatormethode 217 8.5.4. Das Verfahren von SAMTJELSON 219 8.5.5. Die Interpolationsmethode 220

8.6. Bestimmung von Schranken für die Eigenwerte 220 8.6.1. Der Fall einer symmetrischen Matrix 221 8.6.2. Der Fall einer nichtsymmetrischen Matrix 225

8.7. Iterationsverfahren zur Lösung des teilweisen Eigenwertproblems 228 8.7.1. Der Fall einer symmetrischen Matrix 228 8.7.2. / Der Fall einer nichtsymmetrischen Matrix einfacher Struktur 239 8.7.3. Einige Bemerkungen zur Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren von

Matrizen allgemeiner Struktur 243

8.8. Die Methode der Drehungen zur Bestimmung von Eigenwerten und Eigen-yektoren symmetrischer Matrizen (Verfahren von JACOBI) 246

8.9. Über Iterationsverfahren zur Lösung des vollständigen Eigenwertproblems . 255 8.9.1. Die Dreiecksiteration 255 8.9.2. Dreiecksorthogonalmatrizenverfahren 259

8.10. Konvergenzbeschleunigung von Iterationsprozessen bei der Lösung von Auf­gaben der linearen Algebra 262

8.10.1. Konvergenzbeschleunigung bei Iterationsverfahren zur Lösung von Systemen linearer algebraischer Gleichungen. Allgemeine Bemerkungen 263

8.10.2. Das Verfahren von GAWURIN 264 8.10.3. Das Verfahren von LJUSTERNIK 266 8.10.4. Der <52-Prozeß von A I T K E H 267 8.10.5. Konvergenzverbesserung bei Iterationsverfahren zur Bestimmung von Eigen­

werten von Matrizen 269

- ' ; • • " - _ ^ - - \

8 Inhalt

8.11. Die Kondition von Systemen und Fehlerabschätzung bei der numerischen Lö­sung linearer algebraischer Gleichungssysteme 270

8.11.1. Der Begriff der Kondition eines Systems 270 8.11.2. Abschätzung der Genauigkeit der Näherungslösungen linearer algebraischer

Gleichungssysteme 272 8.11.3. Die Kondition von Matrizenprodukten 274 8.12. Übungen 277

Literatur 280

Namen- und Sachregister 282