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Offene chaotische Billiardsysteme: Periodic-Orbit-Theorie

Offene chaotische Billiardsysteme:Periodic-Orbit-Theorie

Dennis Rapp

16. Mai 2012


Inhalt

Einfuhrung/Motivation

Gutzwiller-Spurformel

Dynamische Systeme & Chaos

Periodische Bahnen und symbolische Dynamik

Von der Fluchtrate zur dynamischen Zetafunktion

Cycle Expansion

In Schritten zum Zeitentwicklungsoperator

Spurformeln und Spektraldeterminanten

Zusammenfassung und Quellen



Inhalt






Cycle Expansion







I Wir betrachten weiterhin offene Systeme→ Resonanzen und ungebundene Zustande

I Bisher: komplexe Rotation zur Bestimmung der Resonanzen

I Problem: Basiselemente und zugehorige Matrixelementeberechnen

I zum Auffinden vieler Resonanzen ist oft eine sehr große Zahlvon Matrixelementen zu berechnen

I stattdessen: Bestimmung von Resonanzen/Zustandsdichte/...mithilfe klassischer Konzepte wie Bahnen und derenWirkungen

I jetzt: zuerst Losung, dann Herleitung



Inhalt






Cycle Expansion






Die Gutzwiller-Spurformel

I Zustandsdichte fur nichtintegrable Systeme:Gutzwiller-Spurformel

ρ(E ) ≈ ρ(E ) +1

πRe∑p

Tp

∞∑ν=1

Bνp eiνSp(E)

mit Tp Periodendauer, Sp Wirkung, Bp Gewichtungsfaktor furden primitiven periodischen Orbit p und ν als Zahl derWiederholungen

I ρ(E ) beschreibt dabei den konstanten Term derZustandsdichte

I der andere Term beschreibt das oszillierende Verhalten mitMaxima bei den Resonanzen/Polstellen



Herleitung der Spurformel

I QM-Propagator:

K (r, r′; t − t ′) =⟨r∣∣U(t, t ′)

∣∣r′⟩ =⟨r∣∣∣e− i

~ H(t−t′)∣∣∣r′⟩

mit Eigenschaft:

(−i~ ∂∂t

+ H)K (r, r′; t − t ′) = −i~δ(r − r′)

I Fourier-Integral fuhrt auf Green’sche Funktion:

G (r, r′;E ) = − i

~limε→0

∫ ∞0

K (r, r′; t)ei~ (E+iε)tdt

=∑n

Φ∗n(r′)Φn(r)1

E − En

I Green’sche Funktion erfullt: (E − H)G (r, r′;E ) = δ(r − r′)



Zu den Spuren

I Die Spur von G (r, r′;E ) ist:

trG (E + iε) =

∫G (r, r;E + iε)dr =

∑n

1

E − En + iε

I Zustandsdichte ist gegeben durch:∑

n δ(E − En)

I Deltafunktion ist: δ(E ) = limε→01π

εE2+ε2

I Einsetzen fuhrt auf:

ρ(E ) = limε→0− 1

πIm∑n

1

E − En + iε

I Damit ist die Zustandsdichte gegeben durch:

ρ(E ) = limε→0− 1

πIm trG (E + iε)



Herleitung und Alternative

I Nun: semiklassischer Propagator und Greenfunktion: trGscl =

= − i

~(2πi~)−(d+1)/2

∑Pfade

∫|D|1/2 exp

(i

~S(r, r;E )− iµ

π

2

)I nur geschlossene Bahnen tragen zur Spur bei

I Im Phasenraum geschlossen: 1~[∂S∂r

]r0

!= 0

→ nur geschlossene periodische Bahnen tragen zur Spur bei

I Entwicklung von Wirkung S fuhrt auf oszillierenden Teil derSpurformel

⇒ die Herleitung ist noch einiges ausfuhrlicher. Stattdessenalternative Herleitung uber rein klassische Begriffe, die auch auf dieDef. der Spurformel fuhrt und moglicherweise anschaulicher ist.



InhaltEinfuhrung/Motivation


Dynamische Systeme & ChaosDynamische SystemeChaos



Cycle Expansion






Dynamische Systeme

Dynamische Systeme

I Tupel (T ,M, f ) bildet dynamisches Systemmit T = N0,R als Zeitraum (diskret, kontinuierlich)und M 6= ∅ den Phasenraum (hier Rd)

I Die deterministische Vorschrift f t ordnet dabei jedem Punktx ∈M einen Ort x(t) = f t(x) in abhangigkeit derverstrichenen Zeit t zu.

I Wir betrachten dymamische Systeme mit stetigem f undM = Rd

I diese heißen Kaskade (zeitdiskret) bzw. Fluss

I Das Beispielsystem ist 3-Scheiben Billard (QM: Mikrowellenim Resonator bzw. offenen System)



Chaos

Chaos im deterministischen System

Abbildung: Chaotisches Verhalten bei Variation der Anfangsbedingung [1]



Chaos

Definition von Chaos

I Definition: pos. Entropie und pos. Ljapunov-Exponent⇒ Chaos

I pos. Entropie ⇒ globale Vermischung

I Ljapunov-Exponent: λ|δx(t)| ≈ eλt |δx(0)|

Abbildung: Positiver Ljapunov-Exponent [1]



Chaos

Benachbarte TrajektorienI Ljapunov-Exponent beschreibt das Verhalten benachbarter

TrajektorienI Beschreibung auch per Jacobi-Matrix moglichI Entwicklung 1. Ordnung von f t(x0 + δx0) komponentenweiseI Es gilt dann:δxi (t) =

∑dj=1 J

t(x0)ijδx0j , Jt(x0)ij = ∂xi (t)∂x0j

Abbildung: Beschreibung mit Jacobi-Matrix [1]



Chaos

Jacobi-Matrix

I Die Jacobi-Matrix J beschreibt die Verformung von Uε(x(t))

I Matrix hat naturlich Eigenwerte und Eigenvektoren

I J nicht hermitisch ⇒ komplexe Eigenwerte

I Jeder EW beschreibt das Verhalten des Systems in Richtungdes zugehorigen Eigenvektors

I Punkte separieren sich bei positivem Realteil⇒ Instabil in Richtung des EV

I Punkte konvergieren bei negativem Realteil (stabil)

I Sonst bleibt der Abstand erhalten






Periodische Bahnen und symbolische DynamikPeriodische BahnenSymbolische DynamikBeispiel: 3-Scheiben Billard


Cycle Expansion






Periodische Bahnen

Periodische Bahnen

I Definition: Eine geschlossene Bahn, die unendlich oftdurchlaufen wird heißt periodisch

I periodische Bahn ist geschlossene Kurve im Phasenraum

I Nicht jede geschlossene Bahn ist periodisch

I Definition primitiv: Eine Bahn heißt primitiv, wenn sie nureinmal durchlaufen wird→ genaueres dazu bei symbolische Dynamik

I Periodische Bahnen bilden”Skelett“ des dynamischen Systems

→ s. Beitrage zur Spurformel



Periodische Bahnen

Poincare-SchnittI Diskretisierung des dynamischen Systems durch Schnittpunkte

mit einer MannigfaltigkeitI Bahn nun Abfolge von SchnittpunktenI d − 1-Dimensionales dynamisches SystemI Schnitt ist orientierte Flache

Abbildung: Poincare-Schnitt P definiert uber U(x) = 0 [1]



Periodische Bahnen

Poincare-Abbildung

I Abbildung P : P → P; x 7→ x ′ = P(x) = f τ(x)(x)mit τ(x) als verstrichene Zeit (first return function)

I Die Abbildung kann auch zwischen verschiedenen Schnittendefiniert werden ⇒ periodische Bahnen mussen nicht durcheine einzelnen Schnitt beschrieben werden

I geschickte Wahl von Schnitten und Abbildungen deckt alleperiodischen Bahnen ab

I Trajektorie ist Abfolge von Abbildungen{fA, fB , . . . , fZ}M → M zwischen Schnittpunkten

I f n = f n−1 ◦ f ist n-fache Ausfuhrung einer Abbilding

I Periodische Bahnen sind Losungen von f n(xk) = xk mit k < n



Symbolische Dynamik

Symbolische Dynamik

I Bahn als diskrete Abfolge von Abbildungen

I Jeder Punkt ist nur mit einer Abbildung verbunden

I Bezeichnung der Abbildungen durch Symbole

I Diese Bezeichnungen bilden ein Alphabet

I Periodische Bahnen sind eine Abfolge von unendlich vielenSymbolen

I Notation ist abc

I Primitive periodische Bahnen sind Abfolge von np nichtwiederholenden Symbolen

I Zyklisches Vertauschen beschreibt dieselbe Bahn

I ab = ba = abab ist eine Bahn der Lange 2



Beispiel: 3-Scheiben Billard

Beispiel: 3-Scheiben BillardI Eine Kugel bewegt sich mit Impuls p auf zweidimensionalem

Tisch mit 3 reflektierenden ScheibenI 4-dimensionaler PhasenraumI Reflektionen sind elastische Stoße⇒ Impulsbetrag konstant → Richtung genugt (3-dim.)

I 3 (3-1)-dim. Poincare-Schnitte beschreiben alle BahnenI Es existieren 6 (mit Symmetrie 2) Abbildungen zwischen den

Schnitten

Abbildung: Die Abbildungen 0 und 1 [1]




Beispiel: 3-Scheiben BillardI 3 aquidistante Scheiben mit R : d = 1 : 2, 5 und u = 5 a.u.I Birkhoff-Koordinaten (s, p) mit p = |p| sinφI o.B.d.A. |p| = 1 und s ∈ [−2, 5; 2, 5]

Abbildung: Poincare-Schnitt in Birkhoff-Koordinaten [1]





I Das System ist ein offenes System

I Nur ein kleiner Teil der einlaufenden Kugeln bleibt im Umlauf

I periodische Bahnen haben unendliche Lebensdauer

Abbildung: Poincare-Schnitt einer Scheibe mit Urbildern der Abbildungen0 (121, 131) und 1 (123, 132) [1]







Von der Fluchtrate zur dynamischen ZetafunktionDie FluchtrateZur Zetafunktion

Cycle Expansion






Die Fluchtrate

Die Fluchtrate

I Bei einem offenen System”uberlebt“ nur ein Teil der

Trajektorien den nachsten Zeitschritt

I andere Bahnen werden aus dem System gelenkt

I Uberlebenswahrscheinlichkeit Γi nach dem n-ten Schritt

Γn =1

|M|

(n)∑i

|Mi |

I Die betrachteten Bahnen sind i.A. nicht geschlossen

I Billard: Γ1 = |M0||M| + |M1|

|M| , Γ2 = |M00|+|M01|+|M10|+|M11||M|

I Fluchtrate γ: Γn+1

Γn= e−γn → e−γ



Die Fluchtrate

Abschatzen der Fluchtrate

I Dazu Abschatzung der Flache nach dem n-ten Schritterforderlich

I Im Beispiel: |Mi | ≈ Lli mit Streifenhohe L und Breite liI Verallgemeinerung durch Eigenwerte der Jacobi-Matrix

I li = ai|Λi |

I Λi ist der EW in die instabile (chaotische) Richtung

I In betrachteten niedrigdimensionalen Systemen gibt eshochstens eine instabile Richtung

I Auswertung von J an einem periodischen Punkt xi , welcher injedem Streifen existiert

I ai berucksichtigt Systemgroße und Verteilung der Startpunkte

I Hyperbolizitat: ai ≈ O(1) und |Λi | wachst exponentiell

I Damit |Mi | ≈ Lli ≈ 1|Λi |



Zur Zetafunktion

Zur Zetafunktion

I Es gilt: Γn =∑(n)

i1|Λi | wobei die Summe alle Bahnen der

Periodizitat n einschließt

I Wir definieren: Erzeugendenfunktion fur alle Γn:

Γ(z) =∞∑n=1

Γnzn

I Fur große n gilt Γn → e−nγ :

Γ(z) ≈∞∑n=1

(ze−γ)n =ze−γ

1− ze−γ

I Funktion divergiert fur z = eγ

I Definition von γ uber den ersten Pol von Γ(z)



Zur Zetafunktion

Was habe wir gewonnen?

I alternative Definition von γ uber Γ(z)

I γ ist nun nicht mehr der Grenzwert einer Folge von γnI Einsetzen der Definition von Γn fuhrt (beim Billard) auf:

Γ(z) =∞∑n=1

(n)∑i

1

|Λi |

=z

|Λ0|+

z

|Λ1|+

z2

|Λ00|+ +

z2

|Λ01|+

z2

|Λ10|+

z2

|Λ11|+ . . .

I Problem ist jetzt das finden eines Pols von einem Polynom(z.B. uber Pade-Approximation)

I Einfacher: Nullstelle einer ahnlichen Funktion → dynamischeZetafunktion



Zur Zetafunktion

Periodische Bahnen?I Fur die Auswertung des Polynoms muss dieses endlich seinI Die unendliche Summe wird abgeschnitten, Γn berucksichtigt

somit aber nur Bahnen der Lange nI Stattdessen: primitive periodische BahnenI Alle Bahnen durchlaufen eine primitive periodische BahnI Der Eigenwert ist dann Λr

p mit Lange der primitiven Bahn pI Jeder Zyklus der Lange np tragt np Terme zur Summe beiI Damit kann Γ(z) geschrieben werden als:

Γ(z) =∑p

np

∞∑r=1

(znp

|Λp|

)r

=∑p

nptp1− tp

, tp =znp

|Λp|

I Abschneiden der Summe geschieht nun uber p, welches alleverschiedenen primitiven Bahnen durchlauft

I Bahnen aller Langen werden aber berucksichtigt → jetztasymptotische Abschatzung



Zur Zetafunktion

Die dynamische ZetafunktionI Der Term npz

np ermoglicht ein Umschreiben als AbleitungI Damit ist Γ(z) gegeben durch:

Γ(z) = −z d

dz

∑p

ln(1− tp)

I Summation und Logarithmus lassen sich vertauschenI Γ(z) ist also definiert als Ableitung des Logarithmus von:

1

ζ(z)=∏p

(1− tp), tp =znp

|Λp|

I Eine Nullstelle von 1ζ(z) ist ein Pol von Γ(z)

I Das Problem reduziert sich nun auf die Bestimmung derersten Nullstelle von 1

ζ(z)

I Trivial? Nullstellen zp = |Λp|1/np sind aber falsch!


Cycle Expansion






Cycle ExpansionCycle ExpansionShadowing





Cycle Expansion

Cycle Expansion

Cycle ExpansionI Wie berechnet man nun die Nullstelle eines unendlichen

Produktes?I Abschneiden bei Zyklen der Lange pI Genauigkeit wie die kurzeste ignorierte BahnI Die Berucksichtigung langerer Bahnen erhoht diese nicht

(außer bei exponentiell vielen weiteren Bahnen)I Daher: Unbedingt alle kurzen Zyklen berucksichtigenI Nun: Ausmultiplizieren des (endlichen) Produktes unter

Gruppierung von Termen gleicher symbolischer Lange:

1

ζ= (1− t0)(1− t1)(1− t10)(1− t100) . . .

= 1− t0 − t1 − [t10 − t1t0]− [(t100 − t10t0) + (t101 − t10t1)] . . .

I Jeder Ausdruck in eckigen Klammern ist aus geom. Grundenexponentiell kleiner als die enthaltenen Terme (Shadowing)


Cycle Expansion

Shadowing

ShadowingI Einsetzen und Berechnen der Nullstellen fuhrt aufγ = 0, 4103 . . .

I Die Zyklen 0, 1 und 01 ermoglichen eine Bestimmung von γauf 3-4 Nachkommastellen!

I Grund: Shadowing

Abbildung: Skelett erzeugt durch zwei 1-Zyklen und einem 2-Zyklus [1]


Cycle Expansion

Shadowing

Was ist Shadowing?

I Typischer Term in Produktzerlegung:

tab − tatb = tab

(1− tatb

tab

)I Bei gleichen Eigenwerten fallt der Term komplett weg

I Anhliche Eigenwerte fuhren zum exponentiellen Abfall

I |Λab| ≈ |Λa||Λb| gilt wg. Multiplizitat der EW entlang desFlusses

I Fur einen glatten Fluss fallen die Terme exponentiell ab unddie Terme konvergieren sehr schnell

I Anschaulich approximieren die Bahnen die exakte Form als einGerust (s. vorherige Seite), welches schon durch eine kleineZahl von Stutzpunkten sehr genau ist



Inhalt






Cycle Expansion






Der kontinuierliche FlussI Bisher: diskrete Zeitschritte definiert durch Ereignis

”Reflektion“

I Fluchtrate in einem kontinuierlichem Fluss?I

”Uberlebendenzahl“ Γ(t) ist definiert als:

Γ(t) =

∫M dxdyδ(y − f t(x))∫

M dx→ e−γt

I Das obere Integral untersucht ob eine Trajektorie startend beix nach der Zeit t noch in M ist

I Das untere Integral gibt die Gesamtzahl der Trajektorien anI Der Integralkern

Lt(y , x) = δ(y − f t(x))

ist eine Deltafunktion (Perron-Frobenius Operator)I Fur den deterministischen Fluss wird jeder Punkt x zu exakt

einem Punkt y zur Zeit t transportiert



Darstellungstheorie und der Integralkern

I Der Integralkern kann dargestellt werden uber A, demErzeugenden von infinitesimalen Zeitschritten:

Lt = etA

I in Analogie zur QM, wo H infinitesimale Zeitschritte erzeugt:

ei~Ht

I Der Integralkern und dessen Verallgemeinerungen werden nunZeitentwicklungsoperatoren genannt



Inhalt






Cycle Expansion






SpurformelnI Bisher: heuristische Herangehensweise uber die FluchtrateI Im Entwicklungsoperatorformalismus sind die Fluchtrate und

andere dynamische Mittel durch exakte Formeln gegebenI Diese Formeln kommen aus den Spektren der

EntwicklungsoperatorenI Zentraler Bestandteil sind Spurformeln und

SpektraldeterminantenI Das Ergebnis lautet:

trLt =∑p

Tp

∞∑r=1

δ(t − rTp)

det(E −M rp)

wobei Tp die Periodendauer, Mp die Monodromiematrix undE die Einheitsmatrix ist

I Die Monodromiematrix ist der zum Fluss senkrechte Teil derJacobi-Matrix



Spektraldeterminanten

I Spektraldeterminante:

det(s −A) = exp(−∑p

∞∑r=1

1

r

er(βAp−sTp)∣∣det(E −M r

p

)∣∣)I Nullstellen fuhren auf EW von AI dabei wurde die klassische Spurformel verwendet, die mit

anderen Gewichtungsfaktoren tp arbeitet

I Damit sind EW fur bel. Operatoren berechenbar

I Insbesondere auch fur die Zustandsdichte→ Gutzwiller-Spurformel

I Dort gilt: tp = 1|Λp |1/2 e

i~Sp−iπmp/2




Abbildung: 1/ζ(s) bzw. det(s −A) fur 3-Scheiben Billard mit a:R=6 [1]



Inhalt






Cycle Expansion






ZusammenfassungI klassischer Begriff der Uberlebenswahrscheinlichkeit (aus

Flachenvergleich) fuhrt z. Def. d. Fluchtrate als Γn+1

Γn→ e−γ

I Dynamische Zetafunktion ermoglicht alternative Definition derFluchtrate uber Nullstelle derselben

I Damit: asymptotische Abschatzung statt AbschneidenI Bestimmung der Nullstelle uber Cycle ExpansionI Formalisierung mit Zeitentwicklungsoperator und

SpektraldeterminanteI Fuhrt mit richtigem Gewichtungsfaktor auf

Gutzwiller-Spurformel:

ρ(E ) ≈ ρ(E ) +1

πRe∑p

Tp

∞∑ν=1

Bνp eiνSp(E)

I Ermoglicht die Bestimmung der Zustandsdichte von offenenund damit nicht hermitischen Quantensystemen



Quellen

P. Cvitanovic: Chaos: Classical and Quantum, E-Book,http://chaosbook.org/.

M. Brack, R. Bhaduri: Semiclassical Physics, Frontiers inPhysics, Westview Press, 2003.

H.-J. Stockmann: Quantum Chaos, An Introduction,Cambridge University Press, 2007.

http://chaosbook.org/

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