O ine Bewegungsplanung: Translation und Rotation Bewegung, Translation und Rotation gleichzeitig...

Offline Bewegungsplanung: Translation undRotation

Elmar Langetepe

University of Bonn

Offline Bewegungsplanung 9.12.13 Kollisionsfreie Wege c©Elmar Langetepe WS ’1314 1

Jetzt: Translation und Rotation!



• Konvexer Roboter, m Ecken




• Polygonale Szene, n Ecken





• Bewegung, Translation und Rotation gleichzeitig






• Startpunkt S, Endpunkt T







• Kollisionsfreie Bewegung?








• Wie aufwendig ist die Berechnung? Untere Schranke!








• Wie aufwendig ist die Berechnung? Untere Schranke!

• Kann ich einen Weg angeben? Obere Schranke!


Kapitel 2.3 Beispiel!



Bewegung von A nach B mit Rotation und Translation




s




s

t


Untere Schranke! Th. 2.25



• Liniensegment bewegen




• Von s nach t in Szene mit n Kanten





s





s

t





• Mindestens Ω(n2) Bewegungsschritte

s

t






• Translation, Rotation im Wechsel

s

t






• Translation, Rotation im Wechsel

• Konstruktiv!

s

t




LowerBound.html


2

34

56

7

75 3 6 4

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12


LowerBound.html


LowerBound.html

2

34

56

7

75 3 6 4

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12


LowerBound.html


2

34

56

7

75 3 6 4

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12


LowerBound.html


6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2



• Einen B Block uberwinden,

6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2



• Einen B Block uberwinden, in die Kerbe

6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2




• Dazu: Sukzessive Reihe von A Blocken uberwinden

6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2





• Dazu: Sukzessive Reihe von C Blocken uberwinden

6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2






• Nachster B Block: zuruck!!

6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2







• O(n) fur jeden B-Block!6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2







• O(n) fur jeden B-Block! n Blocke: Ω(n2)6

L

C

B

A

2 3 4 6 71 5

12

34

56

7

13 45

2


Berechne 3D Konfigurationsraum? Ein Hindernis!

θ

KonfigurationsraumArbeitsraum

CPi

R

P

x

y

y

x


Ideen!


Ideen!

• Konfigurationsraum berechnen:


Ideen!


– Problem: Kurven als Kanten


Ideen!



• Diskrete Orientierungen:


Ideen!



• Diskrete Orientierungen: θi = i · 360

k , 0 ≤ i ≤ k − 1


Ideen!




k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung


Ideen!




k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung– Problem: (x, y, θi), (x, y, θi+1) in Cfrei , dazwischen nicht!


Ideen!




k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung– Problem: (x, y, θi), (x, y, θi+1) in Cfrei , dazwischen nicht!– Abhilfe: Vergroßern!


Ideen!




k , 0 ≤ i ≤ k − 1

– Vereinigung– Problem: (x, y, θi), (x, y, θi+1) in Cfrei , dazwischen nicht!– Abhilfe: Vergroßern!– Keine Korrekte Bahnplanung!


Kritische Platzierung: 2.3.1



• Ansatz: Wann andert sich der Konfigurationsraum substantiell




• Neue Kante, neuer Knoten





• Definition: Kritische Platzierungen






• Zum Beispiel bei Kontakten mit Hindernissen!






• Zum Beispiel bei Kontakten mit Hindernissen!

W1S1

W3S3W2

S2 R

W1S1

W3S3W2

S2 R


Anderung des Konfigurationsraumes!Auch bei Wechsel parallel und nicht-parallel! Neue Knoten

θ

KonfigurationsraumArbeitsraum

CPi

R

P

x

y

y

x


Kritische Platzierungen Def.: 2.27



R konvexer Roboter m Ecken, Pi polygonale Hindernisse




Kontaktpaar O = (W,S),




Kontaktpaar O = (W,S), W beruhrt S





i) W ist eine Hinderniskante und S eine Roboterecke (Typ I) oder

ii) W ist eine Hindernisecke und S eine Roboterkante (Typ II) oder

iii) W ist eine Hindernisecke und S eine Roboterecke (Typ III)








Freie Plazierung (x, y, θ):








Freie Plazierung (x, y, θ): Kritische Plazierung








Freie Plazierung (x, y, θ): Kritische Plazierung

• drei paarweise verschiedene Kontaktpaare vom Typ I oder II oder

• Kontaktpaar vom Typ III und Kontaktpaar vom Typ I oder II



W3

R

S1W1

W3

(i) (iii)(ii)

W2

S2

P2

S3

S3

S3

W3

R RSW

WS

P3

P1 P1P1

P3


Zelle Cfrei: Kritische Platzierungen Lem.: 2.28



Jede Zelle von Cfrei besitzt Krit. Platzierung!




Pi




Pi

R




Pi

R

(i)




Pi

R

(i)

Pj




Pi

R

(i)

Pj

(ii)




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)

Pk




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)

Pk

1.

(iii)




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)

Pk

1.

(iii)

Pi




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)

Pk

1.

(iii)

Pi

(iii)




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)

Pk

1.

(iii)

Pi

(iii)

Pj

Pi




Pi

R

(i)

Pj

(ii)

(i)/(ii)

Pi

Pk

(iii)

Pk

1.

(iii)

Pi

(iii)

Pj

Pi

(iii)


Kurven in Cfrei! Bem. 2.29



• Zwei Kontakte behalten




• Kurve eines Referenzpunktes (x, y)

O2KRO1





• Parametrisierung: Grad 4

O2KRO1





• Parametrisierung: Grad 4 (Ubungsaufgabe)

O2KRO1


Anzahl Kontakte: Kor. 2.30

S1S2

S3W3

W2 W1R

O1 O2

S3 W3

K

R



• Drei Kontaktpaare Oi = (Wi, Si)

S1S2

S3W3

W2 W1R

O1 O2

S3 W3

K

R




• 2 Falle: Zwei festhalten oder die Hindernisse bewegen

S1S2

S3W3

W2 W1R

O1 O2

S3 W3

K

R





• Kurve Grad 4 (Bem. 2.29) und Grad 1 schneiden

S1S2

S3W3

W2 W1R

O1 O2

S3 W3

K

R






• Hochstens vier mal kommt das vor!

S1S2

S3W3

W2 W1R

O1 O2

S3 W3

K

R






• Hochstens vier mal kommt das vor!

• Typ III und Typ I/II?

S1S2

S3W3

W2 W1R

O1 O2

S3 W3

K

R


Anzahl Krit. Platzierungen: Th. 2.31



• |R| = m,∑|Pi| = n

• Ecke/Kante, Kante/Ecke, Ecke/Ecke



• |R| = m,∑|Pi| = n


• 2mn Kontaktpaare Typ I/II



• |R| = m,∑|Pi| = n



• Je drei auswahlen:(2mn3

)∈ O(m3n3)



• |R| = m,∑|Pi| = n




)∈ O(m3n3)

• 4 mal vorkommen: O(m3n3)



• |R| = m,∑|Pi| = n




)∈ O(m3n3)


• Typ III und Typ I/II: O((mn2

))



• |R| = m,∑|Pi| = n




)∈ O(m3n3)


• Typ III und Typ I/II: O((mn2

))

• Konvexitat nicht genutzt



Ω(m3n3) konstruktiv:



Ω(m3n3) konstruktiv:(m3

)mal

(n3

)


R konvex! Krit. Platzierungen: Th. 2.32



• |R| = m konvex,∑|Pi| = n




• Anzahl Kritische Platzierungen: O(mnλ6(mn))





• λ6(mn) ∈ O(mn log∗(mn))





• λ6(mn) ∈ O(mn log∗(mn)) subquadratisch






• Davenport-Schinzel-Sequenzen







• Wichtige Elemente fur Bahnplanung








• Beweis Komplexitat








• Beweis Komplexitat

• Berechnen!


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