Institut für Werkstofftechnik – Lehrstuhl für Materialkunde und

Werkstoffprüfung

Prof. Dr.-Ing. Hans-Jürgen Christ

__________________________________________________

Übungen zur Vorlesung

„Aufbau technischer Werkstoffe“

Übung 1:

Aufgabe 1:

a) Gegeben seien ein Lithiumchlorid- (LiCl) sowie ein Calciumsulfidmolekül (CaS). Be-

stimmen Sie die Elektronenkonfiguration der angegebenen Atome sowie den Elekt-

ronenübergang zur Bildung des jeweiligen Moleküls. Das folgende Beispiel verdeut-

licht die Vorgehensweise.

Bsp. NaCl: Na11: 1s22s22p63s1[1s22s22p6]++e-

Cl17: 1s22s22p63s23p5+e-[1s22s22p63s23p6]-

b) Welchem Bindungstyp ist das Lithiumchlorid- (LiCl) sowie das Calciumsulfidmolekül

(CaS) zuzuordnen?

Aufgabe 2:

Ein Gefäß mit V=2 l Inhalt wird bei der Temperatur T=22 °C evakuiert und anschlie-

ßend mit Helium gefüllt, bis sich gegenüber dem äußeren Luftdruck pL=1016 hPa der

Überdruck pÜ=2,0 bar eingestellt hat. Wie groß sind die Teilchenanzahl N, die Stoff-

menge n und die Masse m des Gases?

Hinweise: Zustandsgleichung der idealen Gase: p ∙ V = n ∙ Rm ∙ T

Avogadro-Konstante: NA =N

n= 6,022 ∙ 1023 1

mol

Boltzmann-Konstante: k =Rm

NA= 1,38 ∙ 10−23 J

K

Aufgabe 3:

Wie groß ist die Coulombenergie EC für ein eindimensionales unendliches Gitter an

Ionen, deren Ladungen ± 1×e im Abstand r0 alternieren?

Hinweis: Berechnen Sie die Madelung-Konstante M durch Aufsummieren über alle

Bindungen, die ein bestimmtes Ion mit allen anderen Ionen eingeht.

Aufgabe 4:

Berechnen Sie für NaCl (Eges = 8 eV, r0 = 0,28 nm) den Exponenten n des Born-Lande

Potentials. Berechnen Sie unter Verwendung dieses Ergebnisses die Kompressibilität

κ.

Übung 2:

Aufgabe 5:

Leiten Sie den Ausdruck für die Bindungsenergie Eges eines Ionenkristalls unter Ver-

wendung eines abstoßenden Potentials nach Born-Mayer ab.

Berechnen Sie für KBr (Eges = 6,8 eV, r0 = 0,33 nm) die Konstanten A und ρ.

Aufgabe 6:

a) Erklären Sie anhand einer Skizze die Anordnung der Atome in der CsCl- Struktur

(Elementarzelle, dichtest gepackte Richtung).

b) Berechnen Sie den Mindestwert des Radienverhältnisses von Kation zu Anion (im

Modell der harten Kugeln), der notwendig ist, damit ein Kation zwischen den be-

nachbarten Anionen nicht „klappert“.

Aufgabe 7:

a) Wie groß ist der Anteil der Coulomb- Energie EC an der gesamten Bindungsenergie

Eges in einem MgO-Kristall, wenn folgende Daten gelten:

Hinweise: M (Madelung-Konstante) = 1,748

r0 (Ionenabstand) = 2,102×10-1 nm

Beachten Sie bitte die Zweiwertigkeit der Ionen.

b) Welchen Einfluss hat das Abstoßungspotential?

Setzen Sie das Abstoßungspotential mit A ∙ e−r

ρ an und substituieren Sie A durch r0

mit Hilfe einer Betrachtung des Kräftegleichgewichts.

Wie groß ist die gesamte Gitterenergie Eges des MgO-Kristalls, wenn gilt:

p = 0,345×10-1 nm?

Übung 3:

Aufgabe 8:

Gegeben sind eine kubisch-flächenzentrierten (kfz) und eine kubisch-raumzentrierte

(krz) Elementarzelle.

a) Bestimmen Sie den prozentualen Anteil des von Ionen besetzten Volumens einer

kfz-Elementarzelle.

Kubisch-flächenzentrierte Elementarzelle

b) Bestimmen Sie analog zu Aufgabenteil a) den prozentualen Anteil des von Ionen

besetzten Volumens einer krz-Elementarzelle.

c) Bestimmen Sie zeichnerisch die Koordinationszahlen von einer kfz- sowie einer krz-

Elementarzelle.

Aufgabe 9:

Die Dichte von Kupfer beträgt ρ = 8,93 g/cm³ und sein Atomradius rCu = 128 pm. Liegt

das Metall eher in der kubisch-flächenzentrierten oder kubisch-raumzentrierten Struk-

tur vor?

Aufgabe 10:

Bei Molekülen treten oft Kombinationen von kovalenten und ionischen Bindungen auf.

In welcher der gegenübergestellten Verbindungen jedes Paares ist der ionische Cha-

rakter der Bindungen stärker ausgeprägt?

a) HCl oder HI

b) P4O10 oder PCl3

c) CO2 oder CS2

Übung 4:

Aufgabe 11:

Zwischen Edelgasatomen wirkt aufgrund einer Van-der-Waals-Bindung das Lennard-

Jones-Potential:

ELJ = 4 ∙ ε [(σ

r)

12

− (σ

r)

6

]

Zeigen Sie durch eine nähere mathematische Behandlung obiger Beziehung:

a) welche Bedeutung der Abstand σ im E(r)-Verlauf hat,

b) wie groß das Verhältnis von Gleichgewichtsabstand r0 zu σ ist

c) und welche Energie die Größe ε darstellt.

Aufgabe 12:

Die spezifische Wärmeleitfähigkeit je Volumeneinheit lässt sich für freie Elektronen

durch folgenden Term beschreiben:

λ =1

3neCvDl

Hier ist ne die Elektronendichte, C die spezifische Wärme ( 3

2kB) pro Elektron, vD die

Elektronendriftgeschwindigkeit und l die mittlere freie Weglänge.

Zeigen Sie, dass für das Verhältnis der Wärmeleitfähigkeit zur elektrischen Leitfähig-

keit gilt:

λ

σ= 3 (

kB

e)

2

T (Wiedemann-Franz Gesetz)

Aufgabe 13:

Man berechne die Driftgeschwindigkeit vD der Leitungselektronen in einem Kupfer-

draht, zwischen dessen Enden eine elektrische Feldstärke von E=1 V/m herrscht.

Gegeben: Leitfähigkeit von Kupfer: χ = 58 × 106 1

Ωm

Dichte der Leitungselektronen: ne = 8,5 × 1028 1

m3

Übung 5:

Aufgabe 14:

Gehen Sie von der Zustandsdichte g(E) der freien Elektronen aus.

a) Zeigen Sie, dass die mittlere Energie der Leitungselektronen

E̅ =3

5EF (EF: Fermi-Energie) ist.

b) Betrachten Sie ergänzend zu a) die Elektronen als einatomiges klassisches Gas mit

der Energie 3

2kBT. Welche Temperatur müssten die Teilchen eines solchen klassi-

schen Gases besitzen, wenn sie die Energie Ē (vgl. Aufgabenteil a)) enthalten sol-

len. Wie groß wäre diese Temperatur im Falle des Kupfers (EF=7 eV)?

Aufgabe 15:

a) Zeigen Sie, dass der Beitrag der freien Elektronen zur spezifischen Wärme:

Cel = 2kB2g(EF)T

ausgedrückt werden kann als

Cel =3 ne kB

2 T

EF

b) Vergleichen Sie diesen Ausdruck mit der spezifischen Wärme eines einatomigen

Gases gemäß der klassischen Theorie der Gaskinetik, Cklass. .

Zeigen Sie, dass

Cel

Cklass.=

2 kBT

EF

c) Berechnen Sie dieses Verhältnis für Kupfer (EF=7 eV) bei Raumtemperatur.

Aufgabe 16:

Wie breit ist der Energiebereich, in dem die Fermi-Dirac-Verteilung von Natrium von

Raumtemperatur (300 K) von 90 % auf 10 % abnimmt?

Gegeben: Parameter des Fermi-Niveaus verschiedener Metalle.

Element Fermi-Energie EF [eV]

Li 4,7

Na 3,1

K 2,1

Cu 7,0

Ag 5,5

Aufgabe 17:

Welche Besetzungswahrscheinlichkeit hat ein Quantenzustand, dessen Energie um a)

0,10 eV oberhalb oder b) 0,10 eV unterhalb der Fermi-Energie liegt? Die Temperatur

betrage T=800 K.

Übung 6:

Aufgabe 18:

a) Leiten Sie den Ausdruck zur Bestimmung der Fermi-Energie bei T=0 K über die

Integration der Dichte der besetzten Zustände her.

Dichte der besetzten Zustände für Kupfer am absoluten Nullpunkt

b) Bestimmen Sie für Silber (Ag) die Anzahl n der Leitungselektronen pro Volumenein-

heit. Die dazugehörige Fermi-Energie ist Aufgabe 31 zu entnehmen.

Aufgabe 19:

Berechnen Sie die Grenzflächenenthalpie γS für eine (111)-Fläche und eine (100)- Flä-

che in Ni, wenn die Sublimationsenergie LS=2088 kJ/mol beträgt und der Atomdurch-

messer etwa 3×10-1 nm ist.

Aufgabe 20:

a) Nach Glühung bei hoher Temperatur stellt sich an den Korngrenzentripelpunkten

die folgende Gleichgewichtskonfiguration ein:

Man zeige, dass folgende Bedingung gilt:

γ12

sin θ3=

γ13

sin θ2=

γ23

sin θ1

b) Was geschieht nach dem Glühen mit den an der Oberfläche austretenden Korn-

grenzen?

Berechnen Sie die Korngrenzenenergie γB, wenn der an der Oberfläche gebildete

Winkel 147° beträgt und die Oberflächenenergie γS bei 1,089 J/m² liegt.

Übung 7:

Aufgabe 21:

Die spezifische Wärmekapazität der Festkörper entspricht bei tiefen Temperaturen dem Deby-

eschen T3 – Gesetz c = konst.T3. Für Zink gilt Cm = 1,76 Jmol-1K-1 (T = 20 K). Welche Wärme

muss einem Bauteil der Masse m = 200 g entzogen werden, wenn es von T2 = 20 K auf T1 =

4,2 K abgekühlt werden soll?

Aufgabe 22:

Berechnen Sie die Entropie von 1 Mol O2-Gas bei a) T = 150 °C und b) p = 150 atm!

Gegeben: S0(298) = 205 Jmol−1K−1

Cp = (29,96 + 4,18 ∙ 10−3T– 1,7 ∙ 105T−2)Jmol−1K−1

Θ3 Θ2

Θ1

Korn 2

Korn 3

Korn 1

Aufgabe 23:

Berechnen Sie die Änderung der Gesamtentropie bei dem reversiblen Schmelzvor-

gang des Eisens bei Atmosphärendruck!

Gegeben: Schmelzpunkt T(s→l) = 1809 K

Schmelzenthalpie H(s→l) = 13765 Jmol-1

Aufgabe 24:

Berechnen Sie die Schmelztemperatur von Eisen bei einem Druck von p = 21 atm!

Gegeben: T(s→l) = 1809 K (bei 1 atm)

H(s→l) = 371 kJmol-1

ρ(l) = 7,01 gcm-3

ρ(s) = 7,87 gcm-3

M(Fe) = 55,8 gmol-1

Übung 8:

Aufgabe 25:

Berechnen Sie, unter Verwendung der tabellarisierten Werte (Tabelle 1), die Reakti-

onswärme ∆H298 für folgende Reaktion:

< 𝐶𝑜𝑂 > + (CO) = < 𝐶𝑜 > + (CO2)

Aufgabe 26:

a) Berechnen Sie mit Hilfe des Heßschen Satzes die Bildungswärme von < Al4C3 >.

Hinweis: Roth hat die Verbrennungswärme von < Al4C3 > entsprechend der folgen-den

Gleichung gemessen und einen Wert ∆H298 = -1035,5 ± 7,5 kcal/mol ermittelt:

< Al4C3 > + 6 (O2) = 2 < Al203 > + 3 (CO2)

b) Lässt sich durch diese Berechnungsweise eine Beeinflussung der errechneten Bil-

dungswärme erkennen?

Aufgabe 27:

Für exakte Berechnungen muss auch die Änderung der Reaktionswärme mit der Tem-

peratur berücksichtigt werden.

Erläutern Sie die Abhängigkeit am Beispiel der folgenden Reaktion:

< Fe2O3 > + 3 < C > = 2 < Fe > + 3 (CO)

Aufgabe 28:

Berechnen Sie die Verdampfungsenthalpie von Bismut!

Gegeben: Dampfdrücke von Bismut bei zwei verschiedenen Temperaturen:

T1 = 1500 K; p1 = 35 mbar

T2 = 1800 K; p2 = 394,3 mbar

R = 8,314 Jmol-1K-1

Übung 9:

Aufgabe 29:

Kupfer – Zinn – Schmelze

Ermitteln Sie graphisch die Werte der partiellen molaren freien Mischungsenthalpie

ΔG(M, Cu) und ΔG(M, Sn)!

Gegeben: Für eine Kupfer – Zinn – Schmelze ist die molare Gibbssche Mischungs-

energie in Abhängigkeit von der Zusammensetzung gegeben (T=1400 K):

χSn 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

ΔG (M) Jmol-1 8042 11857 13368 13807 13251 12088 10389 8104 5004

Verlauf der freien Mischungsenthalpie im System Kupfer-Zinn (T = 1400 K)

Aufgabe 30:

Berechnen Sie die Aktivitätsverläufe aCu und aSn in Abhängigkeit von der Zusammen-

setzung und tragen Sie diese Verläufe in ein Aktivitätsschaubild ein!

χSn →

aS

n b

zw.

aC

u→

Aufgabe 31:

Berechnung der Aktivitäten in Blei – Bismut – Schmelzen

Bei 746 K verändert sich der Aktivitätskoeffizient von Blei in Blei – Bismut – Schmelzen

mit der Zusammensetzung wie folgt:

ln γPb = -0,74 (1 - χPb)2

Ermitteln Sie die korrespondierende Gleichung für die Veränderung von 𝛾𝐵𝑖 mit der

Zusammensetzung für diese Temperatur!

Aufgabe 32:

Berechnen Sie die Aktivität des Bleis für χPb = 0,5 bei 746 K und bei 1000 K!

Übung 10:

Aufgabe 33:

Wir betrachten ein Phasendiagramm bestehend aus zwei Komponenten. Zeigen Sie

für eine binäre Legierung, dass aus einem linearen Verhalten der Komponente 1, re-

sultierend aus dem Raoultschen Gesetz ein nach dem Henry Gesetz abzuleitendes

Verhalten der Komponente 2 folgt.

Aufgabe 34:

Gegeben ist eine Zink-Cadmium-Lösung bei einer Temperatur von 723 K. Berechnen

Sie die Wechselwirkungsparameter ω, die Aktivitätskoeffizienten γZn und γCd sowie die

Aktivitäten aZn und aCd mit Hilfe der vorgegebenen Wertetabelle.

Gegeben: Für eine Zink-Cadmium-Lösung seien die molaren Mischungsenthalpien für

die dazugehörigen Molenbrüche bei T = 723 K gegeben.

χZn HM [J

mol]

0,0596 493

0,1527 1126

0,3716 1985

0,7625 1585

0,8659 1039

0,9517 423

Aufgabe 35:

Gegeben ist der Verlauf der freien Enthalpie von Kristall und Schmelze einer binären

Legierung mit völliger Mischbarkeit bei verschiedenen Temperaturen. Erstellen Sie mit

Hilfe dieser Informationen schematisch das Zustandsdiagramm.

Übung 11:

Aufgabe 36:

Leiten Sie mit Hilfe des Massenwirkungsgesetzes und dem ersten und zweiten Haupt-

satz der Thermodynamik über die Gibbssche Freie Enthalpie die Gleichgewichtskon-

stante bei Standardbedingungen ∆G=0 her.

Aufgabe 37:

Erläutern Sie die Unterschiede zwischen der Schottky- und der Frenkel-Fehlerordnung

und bestimmen Sie jeweils die dazugehörige Gleichgewichtskonstante.