Ökonometrie II

Ökonometrie II

Analyse der Modellstruktur

22.4.2005 Ökonometrie II 2

Fragestellungen Annahme A1: Modell ist Linearkombination der

Regressoren mit fixen Gewichten; stabile, zeitlich invariante Modellstruktur

In der Realität: Strukturbrüche, zB Ölpreisschock Gleitende Strukturänderungen, zB Nachfrage nach

Telekommunikationsdiensten Verfahren zum Identifizieren von Strukturänderungen

Testen auf eine bestimmte, vermutete Änderung Unspezifisches Testen


Verfahren Graphische Darstellung der lokal oder für Teilbereiche

geschätzten Regressionskoeffizienten Modellierung der vermuteten Nichtkonstanz und Test

durch Modellvergleich; Dummy-Variable Prognosetest, Chow-Test zum Testen auf Strukturbruch Unspezifisches Testen, zB mittels CUSUM-Test auf Basis

von rekursiven Residuen


Rekursive OLS-SchätzungSpezifiziertes Modell: y = X + u y, u: n-Vektoren; X: Ordnung nxk, : k-Vektor

Frage: Sind die Regressionskoeffizienten im gesamten Beobachtungsbereich konstant?

Rekursiv geschätzte Parameter bt: aus den Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t} mittels OLS geschätzt, wobei für t die Werte k+1, ..., n genommen werden


Rekursive OLS-Schätzung, Forts.

bt: OLS-Schätzer für aus Beobachtungen

{(xi, Yi), i=1,...,t}

bt = (Xt’Xt)-1 Xt’yt, t=k+1,...,n

mit Xt: Ordnung txk, yt: t-Vektor

Rekursive Beziehung zum Berechnen der bt

Var{bt} = 2 (Xt’Xt)-1


KonsumfunktionOLS-Anpassung an Österreichische Jahres-Daten 1954

bis 1999:

rekursiv geschätztemarginale Konsum-neigung und Kon-fidenzband (=0.95)

ˆ 1.948 0.897C Y

0.78

0.80

0.82

0.84

0.86

0.88

0.90

0.92

65 70 75 80 85 90 95

Recursive C(2) Estimates ± 2 S.E.


Dummy-VariableRegressor, der das Zutreffen eines bestimmen

Umstandes anzeigt; er hat den Wert 1 in Perioden, in denen der Umstand zutrifft, sonst den Wert 0

Beispiele: Konjunktur/Stagnation Zeit vor/nach Ölpreis-Schock Regionen (Stadt/Land) Saisonen des Jahres


Dummy-Variable für SaisonenFür die Saisonen sind definiert:

Frühlings-Dummy Q1t hat den Wert 1 in jedem ersten Quartal; analog das Sommer-Dummy (i=2), etc.

Beachte: Für jede Periode (t=1,…,n) gilt Q1t + Q2t + Q3t + Q4t = 1

1,

0,it

it

Q i tes Quartal

Q sonst


Modelle für QuartalsdatenDas Modell Y = + X + u berücksichtigt keine saisonalen

Effekte

Modell mit saisonspezifischem Interzept und Anstieg: Yt = + Xt + ut

Yt = + Xt + ut

Yt = + Xt + ut

Yt = + Xt + ut

Schreibweise mit Saison-Dummyvariablen Qit:Yt = iQit+ i Qit Xt + ut

oderYt = Q2tQ3tQ4t+ Xt+Q2t Xt+Q3t Xt+Q4t Xt + ut

mit , , i=2,3,4.


Modelle für Quartalsdaten, Forts.

Modell mit saisonspezifischem Interzept, aber gemeinsamem Anstieg

Yt = iQit+ Xt + ut = + iQit + Xt + ut

Modell mit gemeinsamem Interzept, aber saisonspezifischem Anstieg

Yt = + i Qit Xt + ut


Konsumfunktion (AWM)Dependent Variable: PCR_DLMethod: Least SquaresDate: 03/23/05 Time: 18:06Sample(adjusted): 1971:1 2003:4Included observations: 132 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010387 0.001032 10.06448 0.0000PYR_DL 0.757562 0.041388 18.30379 0.0000

R-squared 0.720447 Mean dependent var 0.024496Adjusted R-squared 0.718297 S.D. dependent var 0.014857S.E. of regression 0.007885 Akaike info criterion -6.832601Sum squared resid 0.008083 Schwarz criterion -6.788922Log likelihood 452.9517 F-statistic 335.0289Durbin-Watson stat 0.558338 Prob(F-statistic) 0.000000


Konsumfunktion (AWM), Forts.

Dependent Variable: PCR_DLMethod: Least SquaresDate: 03/23/05 Time: 18:06Sample(adjusted): 1971:1 2003:4Included observations: 132 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.010666 0.001601 6.662470 0.0000PYR_DL 0.757309 0.041862 18.09057 0.0000D2 0.000151 0.001963 -0.076833 0.9389D3 0.000304 0.001963 -0.155092 0.8770D4 0.000338 0.001963 -0.325062 0.7457

R-squared 0.720703 Mean dependent var 0.024496Adjusted R-squared 0.711906 S.D. dependent var 0.014857S.E. of regression 0.007974 Akaike info criterion -6.788060Sum squared resid 0.008076 Schwarz criterion -6.678863Log likelihood 453.0120 F-statistic 81.92822Durbin-Watson stat 0.558960 Prob(F-statistic) 0.000000


Konsumfunktion (AWM), Forts.

Konsumfunktion mit Saison-Dummyvariablen

Ct = Q2t Q3t Q4t+ Yt + ut

Modellvergleich: Test von H0: 2 = 3 = 4 = 0 mittels F-Test:

mit p-Wert 0.99

(2 3)

30.008083 0.008076 132 5

0.03870.008076 3

RS S nF

S


StrukturbruchStrukturbruch: Der datengenerierende Prozess kann in

Teilbereichen des Beobachtungszeitraums durch das gleiche Modell beschrieben werden; den Teilbereichen entsprechen aber unterschiedliche Werte einiger oder aller Regressionskoeffizienten

Den Teilbereichen (Regimen) entsprechen unterschiedliche Strukturen

Strukturbruch-Analyse: Gibt es Teilbereiche mit unterschiedlichen Strukturen? Wann hat der Strukturbruch stattgefunden; Schätzung des

Zeitpunktes des Strukturbruchs (change point)


Chow-TestChow-Test: Zum Entscheiden, ob unterschiedliche Strukturen

vermutet werden müssen oder nicht

Voraussetzungen: 1. Teilbereiche mit konstanter Struktur können identifiziert

werden2. bekannter Zeitpunkt, zu dem der Übergang zwischen

den Regimen stattgefunden hat3. ausreichende Anzahl von Beobachtungen aus jedem

Regime, so dass das Modell an die Daten jedes einzelnen Regimes angepasst werden und die Residuen bestimmen werden können

Dummyvariable erlauben das Modellieren von Regimen


Chow-Test, Forts.

Vermutung: der datengenerierende Prozess läuft in mehreren Regimen ab; das Modell muss hinsichtlich seiner Koeffizienten regimespezifisch angepasst werden

Nullhypothese: die Regressionskoeffizienten sind in allen Teilbereichen des Beobachtungszeitraums die gleichen

Alternative: zu bestimmten Zeitpunkten ändern das Interzept und einige oder alle anderen Regressionskoeffizienten ihren Wert


Chow-Test, Forts.

Modell mit zwei Regimen:

die partitionierten Größen y, X, , und u entsprechen den Beobachtungen vor und nach dem Strukturbruch

Nullhypothese (kein Strukturbruch) H0: 1 = 2 kann

mittels F-Test überprüft werden:

S: Summe der Fehlerquadrate im Modell mit StrukturbruchSR: Summe der Fehlerquadrate im Modell unter H0

1 1 1 1

2 2 2 2

0

0

y X u

y X u

2RS S n kF

S k


Chow-Test, Forts.

Die F-Statistik folgt bei Zutreffen von H0 der F-Verteilung F(k,n-2k) bei normalverteilten

Störgrößen näherungsweise der Chiquadrat-Verteilung (k) bei

großem n


Konsumfunktion, Forts.

OLS-Anpassung des Modells mit 2 Regimen 1. 1954 bis 1971: b = 0.817, S1 = 200.68

2. 1972 bis 1999: b = 0.824, S2 = 5107.17

F-Statistik:

p-Wert: 0.004

6899.7 (200.68 5107.17) 46 46.30

200.68 5107.17 2F


Chow-Test für m RegimeVerallgemeinerung: m Regime

H0: 1 = … = m

F-Statistik

Si: Summe der Fehlerquadrate im Modell für i-tes Regime (i=1,…,m)

Verteilungen F(k,n-mk) oder ([m-1]k)

( 1)R ii

ii

S S n mkF

S m k


Chow‘s PrognosetestÄnderung der Struktur gegen Ende des Beobachtungszeitraums,

nach der Änderung p<k Beobachtungen: Der Chow-Test ist nicht anwendbar

Anpassen des Modells y = X + u an Beobachtungen t=1,…,n-p gibt OLS-Schätzer b

Prognose ŷf=Xfb für Beobachtungen t = n-p+1,…,n

Der Prognosetest prüft die Nullhypothese, dass das Modell auch im Prognosebereich gültig ist:

H0: yf = Xf + u

F-Statistik (mit Prognosefehlern ef‘)

p

kpneXXXXIe

eeF fffpf

ff

1)'('

'

1


Prognosetest: Berechnung von F

1. Anpassen des Modells an die n-p Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD

2. Anpassen des Modells an alle n Beobachtungen; Summe der Fehlerquadrate SD+F

3. Einsetzen in F-Statistik gibt

p

kpn

S

SSF

D

DFD



Chow‘s Prognosetest OLS-Anpassung des Modells an Daten

1. 1954 bis 1999: , SD+F = 6899.69

2. 1954 bis 1995: , SD = 4205.01

F-Statistik:

p-Wert: 0.0004

6899.69 4205.01 46 4 26.41

4205.01 4F

ˆ 1.948 0.897C Y ˆ 9.306 0.882C Y


Rekursive ResiduenModell: y = X + u Rekursive Residuen sind definiert als 1-Schritt Prognosefehler:

bt ist OLS-Schätzer von auf Basis der Beobachtungen {(xi, Yi), i=1,...,t}

Der (n-k)-Vektor w folgt (bei normalverteilten Störgrößen)

w ~ N(0, 2I)

Gut geeignet für Konstruktion von Tests zur Strukturstabilität

1

1, 1,...,

1 ( )t t t

t

t t t t

Y x bw t k n

x X X x

w



-30

-20

-10

0

10

20

30

40

60 65 70 75 80 85 90 95

Recursive Residuals ± 2 S.E.

Rekursive Residuen


Tests zur StrukturstabilitätTests, die auf Basis der rekursiven Residuen konstruiert sind:

CUSUM Test MOSUM Test CUSUM-SQ Test

CUSUM Test:

Kritische Schranken nach Brown et al. (1975)

1

1 t

t ss kW w

s



-20

-10

0

10

20

30

60 65 70 75 80 85 90 95

CUSUM 5% Significance

CUSUM Test

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