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Kursvorlesung

Theoretische Optik

WS 1999/2000

Falk Lederer

Institut fur Festkorpertheorie und Theoretische OptikFriedrich-Schiller-Universitat Jena

4

Inhaltsverzeichnis

1 Einfuhrung 8

2 Optische Felder in dispersiven und isotropen Medien 92.1 Die Maxwellschen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Ubergang zu Gleichungen in der Optik . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Das Zeitverhalten der Felder - Mono- und Polychromasie . . . . . 102.1.3 Die Maxwellschen Gleichungen im Fourierraum . . . . . . . . . . 112.1.4 Ubergang von den Maxwellgleichungen zur Wellengleichung . . . . 112.1.5 Bemerkungen zur Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Beschreibung der Medien - die Materialgleichungen . . . . . . . . . . . . 132.2.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.2 Die dielektrische Polarisation und die dielektrische Funktion . . . 162.2.3 Der Konduktionsstrom und die Leitfahigkeit . . . . . . . . . . . . 172.2.4 Die komplexe dielektrische Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.5 Dispersion im Glas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.6 Die Materialgleichungen im Zeitbereich . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3 Die Energiestromdichte und Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.1 Der zeitlich gemittelte Poyntingvektor . . . . . . . . . . . . . . . 242.3.2 Die zeitlich gemittelte Energiebilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Die Kramers–Kronigsche Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Die Normalmoden des homogenen isotropen Mediums . . . . . . . . . . . 29

2.5.1 Longitudinale Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5.2 Transversale Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.5.3 Energiestromdichte und Intensitat ebener Wellen . . . . . . . . . 36

2.6 Gebundelte Wellenfelder (Strahlen) und Impulse - Analogie von Beugungund Pulsverbreiterung (Dispersion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.6.1 Ausbreitung gebundelter Wellenfelder im homogenen Raum . . . 392.6.2 Ausbreitung eines Gauß-Bundels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.6.3 Gaußsche Optik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.6.4 Gaußsche Moden in einem Resonator . . . . . . . . . . . . . . . . 562.6.5 Ausbreitung von Impulsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3 Beugungstheorie 763.1 Wechselwirkung mit ebenen Schirmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 763.2 Beschreibung der Ausbreitung in verschiedenen Naherungen . . . . . . . 77

3.2.1 Der allgemeine Fall - kleine Offnungen, große Offnungswinkel . . . 773.2.2 Fresnelnaherung - paraxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5

3.2.3 Fraunhofernaherung - paraxial und Fernfeld . . . . . . . . . . . . 783.3 Fraunhoferbeugung an ebenen Schirmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.3.1 Bemerkungen zur Fresnelbeugung am Spalt . . . . . . . . . . . . 87

4 Fourieroptik −→ Optische Filterung 884.1 Die Abbildung eines beliebigen Feldes mit einer dunnen Linse . . . . . . 88

4.1.1 Transferfunktion einer dunnen Linse . . . . . . . . . . . . . . . . 884.1.2 Die Beschreibung der Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

4.2 Optische Filterung bzw. Bildberarbeitung . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

4.2.1 Die 4f - Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2.2 Beispiele: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

4.3 Das Prinzip der holographischen Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5 Die Polarisation elektromagnetischer Wellen 1025.1 Einfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.2 Die Polarisation einer Normalmode im isotropen, dispersiven Medium . . 102

5.2.1 Polarisationszustande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.3 Alternative Darstellung des Polarisationszustandes . . . . . . . . . . . . . 107

5.3.1 Poincare-Kugel, Stokes-Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1075.3.2 Jones-Kalkul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

6 Grundzuge der Kristalloptik - Normalmoden in homogenen, anisotro-pen Medien 1106.1 Suszeptibiltats- und Dielektrizitatstensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106.2 Die optische Klassifikation von Kristallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.3 Das Indexellipsoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6.4 Normalmoden im anisotropen Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1146.4.1 Normalmoden bei Ausbreitung in Hauptachsen . . . . . . . . . . 1156.4.2 Normalmoden bei beliebiger Ausbreitungsrichtung −→ Dispersi-

onsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1166.4.3 Einachsige Kristalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 Optische Felder in isotropen, dispersiven und stuckweise homogenenMedien 1277.1 Grundsatzliches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

7.1.1 Definition des Problems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1277.1.2 Grenzflachen und Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287.1.3 Die Ubergangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7.2 Das Feld im Schichtsystem −→ die Matrixmethode . . . . . . . . . . . . 129

7.2.1 Das Feld in einer homogenen Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.2.2 Das Feld im Schichtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.3 Reflexions - Transmissionsproblem an Schichtsystemen . . . . . . . . . . 132

6

7.3.1 Allgemeines Schichtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.3.2 Die einfache Grenzflache . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

7.3.3 Die optische Schicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1487.3.4 Periodische Vielschichtsysteme - Bragg-Spiegel . . . . . . . . . . . 1517.3.5 Fabry-Perot-Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

7.4 Gefuhrte Wellen in Schichtsystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.4.1 Feldstruktur gefuhrter Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.4.2 Die Dispersionsrelation gefuhrter Wellen . . . . . . . . . . . . . . 1647.4.3 Gefuhrte Wellen an einer Grenzflache - Oberflachenpolaritonen . . 1667.4.4 Gefuhrte Wellen in einer Schicht - Schichtwellenleiter . . . . . . . 1707.4.5 Anregung gefuhrter Moden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.4.6 Einige Bemerkungen zu Streifen- und Faserwellenleitern . . . . . . 179

8 Statistische Optik – Koharenztheorie 1848.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1848.2 Statistische Eigenschaften des Lichtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

8.2.1 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1858.3 Interferenz mit partiell koharentem Licht . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

8.3.1 Interferenz zweier partiell koharenter Wellen . . . . . . . . . . . . 1908.3.2 Interferenz und zeitliche Koharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1918.3.3 Interferenz und raumliche Koharenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1928.3.4 Raumliche Koharenz und Ausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . 193

7

Kapitel 1

Einfuhrung

Optik(grie. optique - Lehre vom Licht)

8

Kapitel 2

Optische Felder in dispersiven undisotropen Medien

2.1 Die Maxwellschen Gleichungen

2.1.1 Ubergang zu Gleichungen in der Optik

Die Maxwellschen Gleichungen in ihrer allgemeinsten Form lauten

rotE(r, t) = −∂B(r, t)

∂t, divD(r, t) = ρext(r, t)

(2.1)

rotH(r, t) = jmakr(r, t) +∂D(r, t)

∂t, divB(r, t) = 0

Die dielektrische Verschiebung D(r, t) und das Magnetfeld H(r, t) unterscheiden sichin Medien vom elektrischen Feld E(r, t) und der Induktion B(r, t) folgendermaßen

D(r, t) = ε0E(r, t) + P(r, t)

(2.2)

H(r, t) =1

µ0

[B(r, t) − M(r, t)]

Dabei beschreiben die dielektrische Polarisation P(r, t) und die Magnetisierung M(r, t)den Einfluß der Materie. Sie hangen mit den Feldern E(r, t) und B(r, t) uber die Mate-rialgleichungen zusammen. Dieser Zusammenhang ist im allgemeinen recht kompliziertund folgt aus anderen Theorien (Festkorpertheorie). In der Optik hat man es in der Regelmit unmagnetischen Medien zu tun und kann deshalb M(r, t) = 0 setzen.

Die Quellen der Felder sind die frei verschiebbaren Ladungsdichten ρext(r, t) und diemakroskopischen Stromdichten jmakr(r, t) = jcond(r, t)+ jconv(r, t). Der konduktive Stromhangt in noch zu spezifizierender Weise vom elektrischen Feld ab, jcond(r, t) = f(E). Fur

9

den konvektiven Strom gilt: jconv(r, t) = ρext(r, t)v. In der Optik gibt es in der Regelkeine externen Ladungen (ρext(r, t) = 0, jconv(r, t) = 0).

Damit lassen sich die Maxwellschen Gleichungen in der fur die Optik relevanten Formschreiben

rotE(r, t) = −µ0∂H(r, t)

∂t, ε0divE(r, t) = −divP(r, t)

(2.3)

rotH(r, t) = jcond(r, t) +∂P(r, t)

∂t+ ε0

∂E(r, t)

∂t, divH(r, t) = 0

Die Polarisationsladungen ρpol(r, t) = −divP(r, t) und -strome jpol(r, t) = ∂P(r,t)∂t

sindnicht vorgebbar.

Die Grundaufgabe der Optik besteht darin, bei vorgegebenem Zusammenhang P(E)und j(E) die Gleichungen (2.3) konsistent zu losen.

Obwohl physikalische Großen reell sind, kann man sie in linearen Theorien ins Kom-plexe fortsetzen, muß jedoch letztendlich wieder zum Realteil ubergehen. Bei Produkt-bildungen ist immer mit den reellen Großen zu rechnen. Die Gleichungen (2.3) geltenalso fur komplexe Großen, wobei fur den Realteil gilt Er(r, t) = 1

2[E(r, t) + E∗(r, t)] =

Re [E(r, t)]

2.1.2 Das Zeitverhalten der Felder - Mono- und Polychromasie

A) Monochromasie ←→ stationare Felder

Alle Felder weisen eine harmonische Zeitabhangigkeit auf ∼ exp(−iωt) → feste Pha-senlage, vollstandige Koharenz, unendliche Wellenzuge. Wir geben das fur alle Feldertypische Zeitverhalten fur das elektrische Feld an

E(r, t) = E(r, ω) exp(−iωt)

B) Polychromasie ←→ nichtstationare Felder

Alle Wellenzuge sind endlich. Das Feld wird in seine Fourierkomponenten zerlegt ←→Zerlegung in unendliche, harmonische Wellenzuge

E(r, t) =

∞∫−∞

E(r, ω) exp(−iωt)dω (2.4)

E(r, ω) =1

2π

∞∫−∞

E(r, t) exp(iωt)dt (2.5)

10

2.1.3 Die Maxwellschen Gleichungen im Fourierraum

Setzt man die Fourierzerlegung (2.4) in die Gleichungen (2.3) ein und beachtet dabei,daß die Zeitableitungen wegen

∂E(r, t)

∂t=

∂

∂t

∞∫−∞

E(r, ω) exp(−iωt)dω =

∞∫−∞

(−iω)E(r, ω) exp(−iωt)dω

im Fourierraum in die Multiplikation mit (−iω) ubergehen, erhalt man

rotE(r, ω) = iωµ0H(r, ω), ε0divE(r, ω) = −divP(r, ω)

(2.6)

rotH(r, ω) = j(r, ω) − iωP(r, ω) − iωε0E(r, ω), divH(r, ω) = 0

2.1.4 Ubergang von den Maxwellgleichungen zur Wellenglei-chung

A) Zeitraum

Aus den Gleichungen (2.3) erhalt man

rotrot E(r, t) = −µ0rot∂H(r, t)

∂t= −µ0

∂

∂t

[j(r, t) +

∂P(r, t)

∂t+ ε0

∂E(r, t)

∂t

]

rotrot E(r, t) +1

c2

∂2

∂t2E(r, t) = −µ0

∂j(r, t)

∂t− µ0

∂2P(r, t)

∂t2(2.7)

Weiterhin gilt fur das elektrische Feld

ε0divE(r, t) = −divP(r, t)

und das Magnetfeld erhalt man aus

∂H(r, t)

∂t= − 1

µ0

rot E(r, t)

11

B) Frequenzraum

Durch Fouriertransformation von (2.7) oder direkt aus (2.6) erhalt man

rotrot E(r, ω) − ω2

c2E(r, ω) = iωµ0j(r, ω) + µ0ω

2P(r, ω) (2.8)

Entsprechend gilt

ε0divE(r, ω) = −divP(r, ω) (2.9)

und

H(r, ω) = − i

ωµ0

rot E(r, ω) (2.10)

Im stationaren Fall erhalt man die Losung des Problems durch die Losung der obigenGleichungen und einfache Multiplikation mit exp(−iωt). Fur nichtstationare Felder hatman die Fourier-Rucktransformation (2.4) auszufuhren, um die zeitabhangigen Felder zuerhalten.

2.1.5 Bemerkungen zur Polarisation

In beliebigen isotropen Medien sind im allgemeinen alle Feldkomponenten verkoppelt.Die Situation vereinfacht sich, wenn in einer Richtung (z.B. y ) Translationsinvarianzvorliegt (−→ ∂/∂y = 0). Das gilt in homogenen unendlichen, Medien, Schichten und anunendlichen Grenzflachen. Der Differentialoperator der Wellengleichung (2.8) schreibtsich dann

rot rot E = grad div E − ∆E =

∂∂x

(∂Ex

∂x+ ∂Ez

∂z

)0

∂∂z

(∂Ex

∂x+ ∂Ez

∂z

)−

∆(2)Ex

∆(2)Ey

∆(2)Ez

Die Zerlegung E = E⊥ + E mit

E⊥ =

0Ey

0

, E =

Ex

0Ez

ergibt mit (2.8)

∆(2)E⊥ +ω2

c2E⊥(r, ω) = −iωµ0j⊥(r, ω) − µ0ω

2P⊥(r, ω)

∆(2)E +ω2

c2E(r, ω) − grad(2) div(2) E = −iωµ0j(r, ω) − µ0ω

2P(r, ω)

Bei Vorliegen von Translationsinvarianz in einer Richtung konnen die verkoppeltenvektoriellen Wellengleichungen (2.8) entkoppelt werden. Die Ausbreitung der senkrechtzueinander polarisierten Felder kann unabhangig berechnet werden. Die entsprechendenPolarisationen kurzt man mit (‖oder p oder TM) und (⊥ oder s oder TE) ab.

12

2.2 Beschreibung der Medien - die Materialgleichun-

gen

2.2.1 Grundsatzliches

Die Bestimmung der Zusammenhange P(E) und j(E) erfordert i.a. die Losung eineskomplizierten Vielteilchenproblems in der Festkorpertheorie. Oftmals beschreiben jedochphanomenologische Modelle diesen Zusammenhang ausreichend. Wir werden hier als ein-faches Modell das Drude-Modell fur freie und gebundene Ladungtrager kennenlernen.Freie Ladungstrager treten in Metallen und angeregten Halbleitern (Intrabandeffekte),gebundene Ladungstrager in Dielektrika und Halbleitern (Interbandeffekte) auf. Der Zu-sammenhang zwischen Ursache (elektrisches Feld) und Wirkung (induzierte Polarisationbzw. Strom) wird im Rahmen der linearen Responsetheorie beschrieben. Wir klassifi-zieren die Materialeigenschaften am Beispiel der Polarisation. Die lineare Reaktion desMediums kann im Zeit- oder im Frequenzraum beschrieben werden. Die die Reaktionvermittelnde Große heißt im Zeitraum Responsefunktion und in Frequenzraum Ubertra-gungsfunktion.

E(r, t) −→ Medium (Responsefunktion) −→ P(r, t)

E(r, ω) −→ Medium (Ubertragungsfunktion) −→ P(r, ω)

2.2.1.1 Definition der Begriffe

• linear:

P(r, t) = ε0R(r, t)E(r, t), R(r, t) - Responsefunktion, - Operator

P(r, ω) = ε0χ(r, ω) E(r, ω), χ(r, ω) - Suszeptibilitat, - Operator

χ(r, ω)FT←→ R(r, t)

• dispersiv (nichtinstantan) ←→ nichtdispersiv (instantan):

dispersiv −→ χ(r, ω) ←→ P(r, t) = f[E(r, t, t′)

]nichtdispersiv −→ χ (r) ←→ P(r, t) = f [E(r, t)]

• homogen ←→ inhomogen

homogen −→ χ(ω), R(t)

• isotrop ←→ anisotrop

anisotrop −→ χij(r, ω) Rij(r, t)

• lokal ←→ nichtlokal

nichtlokal −→ P(r, t) = f[E(r, r′, t, t′)

]13

2.2.1.2 Folgerungen fur die Wellengleichungen aus den unterschiedlichenMaterialgleichungen

Wir setzen die relevante Polarisation P(r, ω) in die Wellengleichung (ohne Stromterm)


c2E(r, ω) = µ0ω

2P(r, ω)

und in D(r, ω) = ε0E(r, ω) + P(r, ω) ein.

a) linear, homogen, isotrop, nichtdispersiv

χ(r, ω) = χ skalare KonstanteP(r, ω) = ε0χ E(r, ω) ←→ P(r, t) = ε0χE(r, t)

D(r, ω) = ε0ε E(r, ω) ←→ D(r, t) = ε0εE(r, t) → ε = 1 + χ

R(t) =∫

χ(ω) exp(−iωt)dω = 2πχδ(t) → instantan

damit wird wegen div D(r, ω) = 0 div E(r, ω) = 0 und damit

∆ E(r, ω) +ω2

c2ε E(r, ω) = 0

∆ E(r, t) − ε

c2

∂2

∂t2E(r, t) = 0

Das Ergebnis ist ’unphysikalisch’, da jedes Medium dispersiv ist. Gilt naherungsweisein einem Frequenzbereich, in dem Dispersion zu vernachlassigen ist.

b) linear, homogen, isotrop,dispersiv −→ χ(ω)

P(r, ω) = ε0χ(ω) E(r, ω),

D(r, ω) = ε0ε(ω) E(r, ω)

div D(r, ω) = 0 div E(r, ω) = 0 fur ε(ω) = 0.

Daraus folgt die Helmholtzgleichung

∆ E(r, ω) +ω2

c2ε (ω) E(r, ω) = 0

→ Response hangt von Frequenz ab.

c) linear, inhomogen, isotrop, dispersiv −→ χ(r,ω)

14

P(r, ω) = ε0χ(r, ω) E(r, ω),

D(r, ω) = ε0ε(r, ω) E(r, ω).

div D(r, ω) = ε0ε(r, ω)div E(r, ω) + ε0E(r, ω)grad ε(r, ω),

div E(r, ω) = −grad ε(r, ω)

ε(r, ω)E(r, ω).

Damit erhalt man

∆ E(r, ω) +ω2

c2ε (ω) E(r, ω) = −grad

grad ε(r, ω)

ε(r, ω)E(r, ω)

→ Kopplung der Feldkomponenten.

d) linear, homogen, anisotrop, dispersiv −→ χij(ω)

Pi(r, ω) = ε0χij(ω) Ej(r, ω)

Di(r, ω) = ε0εij(ω) Ej(r, ω).

e) nichtlinear, homogen, isotrop, dispersiv −→ χ(ω, E)

P(r, ω) = ε0χ(r, ω) E(r, ω) + PNL(E)

→tritt auf fur hohe Intensitaten.

Ahnliche Uberlegungen lassen sich fur den Strom j(r, ω) anstellen.Im wesentlichen lassen sich zwei Falle unterscheiden:

1. Beitrage gebundener Elektronen und Gitterschwingungen → typisch fur Dielektrikaund Halbleiter

• Gitterschwingungen oder Phononen

ionischer Teil (geladene Teilchen) der Materialresponse, große Massen (103×Elektronenmasse), kleine Schwingungen, verantwortlich fur thermische Eigen-schaften, einige spezielle Gitterschwingungen (Phononenmoden) tragen zu op-tischen Eigenschaften bei, optische und akustische Phononen, optische rele-vant, aber geringe Dispersion → constant, longitudinal und transversal, nurtransversale koppeln mit Licht, longitudinale WW starker → hohere Frequen-zen

in Resonanznahe werden die Teilchen aus der Ruhelage bewegt → durch Ver-schiebung der Ladungsschwerpunkte entsteht ein Dipolmoment (Polarisati-onsdichte), das mit der Feldfrequenz schwingt → Abstrahlung eines Feldes →Uberlagerung mit einfallendem Feld → Amplituden hangen vom Verhaltnisder anregenden Frequenz zur Eigenfrequenz ab, Dispersion (unterschiedlicheReaktion)→ χ(ω)

15

• Elektronenubergange

eigentlich quantentheoretisch, Teilchen von Valenzband in Leitungsband, Uber-gangsfrequenz, Vielteilcheneffekte, kann klassisch durch eine Schwingung ge-bundener Elektronen beschrieben werden, (Eigenfrequenzen der Ionen ω0ion <<Eigenfrequenzen der Elektronen ω0el) → χ(ω)

2. Beitrage freier Elektronen → typisch fur Metalle und angeregte Halbleiter

relativ freie Elektronen → Modell des freien Elektronengases (keine gegenseitigeWW), Ladungsbalance durch Untergrund der Ionen, Stoße nur mit ruhenden Ionen→ σ(ω)

→ die beiden Falle werden einzeln behandelt und spater zusammengefuhrt.

2.2.2 Die dielektrische Polarisation und die dielektrische Funk-tion

→ Beitrage gebundener Teilchen (Ionen, Elektronen) → Drude–Modellzeitabhangiges Feld E(r, t) ruft eine Verschiebung s(r, t) fur eine bestimmte Sorte

von Atomen hervor → Beschreibung als Oszillator mit außerer, treibender Kraft

s(r,t)+gs(r,t) + ω20s(r,t) = − e

mE(r, t)

mit der Resonanzfrequenz (elektronischer Ubergang oder optische Gitterschwingung) ω0

und der Dampfung g . Das induzierte Dipolmoment ist

p(r, t) = −es(r,t),

was auf die Dipoldichte oder dielektrische Polarisation

P(r, t) = Np(r, t)

fuhrt. Damit ergibt sich

P(r,t)+gP(r,t) + ω20P(r, t) =

e2N

mE(r, t) = ε0f E(r, t)

mit der Oszillatorstarke

f =1

ε0

e2N

m.

Wir losen die Gleichung im Fourierraum

E(r, t) =

∞∫−∞

E(r, ω) exp(−iωt)dω, P(r, t) =

∞∫−∞

P(r, ω) exp(−iωt)dω

und erhalten−ω2P(r, ω) − igωP(r, ω) + ω2

0P(r, ω) = ε0f E(r, ω)

P(r, ω) =ε0f

(ω20 − ω2) − igω

E(r, ω).

16

Im Falle mehrerer Resonanzen ergibt sich

P(r, ω) = ε0

∑j

fj(

ω20j − ω2

)− igjω

E(r, ω)

= ε0χ (ω) E(r, ω)

mit der komplexen, frequenzabhangigen Suszeptibilitat

χ (ω) =∑

j

fj(

ω20j − ω2

)− igjω

= χPhon (ω) + χElek (ω) .

Fur die dielektrische Verschiebung kann man dann schreiben

D(r, ω) = ε0E(r, ω) + ε0χ (ω) E(r, ω) = ε0ε (ω) E(r, ω),

wobei ε (ω) die komplexe dielektrische Funktion darstellt. Das wichtigste Ergebnis be-steht darin, daß die dielektrische Response im Frequenzraum (Ubertragungsfunktion)komplex und frequenzabhangig ist. Die Auswirkungen auf das zeitliche Verhalten disku-tieren wir spater, geben jedoch die zeitliche Responsefunktion R(t) an

R(t).=

1

2πFT [χ(ω)] =

1

2π

∞∫−∞

χ(ω) exp(−iωt)dω

=f

ν0

exp(−g

2t) sin ν0t, ν2

0 = ω20 −

g2

4.

2.2.3 Der Konduktionsstrom und die Leitfahigkeit

→ Beitrag freier Ladungstrager (wechselwirkungsfreies Elektronengas uber positiv gela-denem Hintergrund), getriebener Oszillator mit Resonanzfrequenz ω0 = 0 (keine ruck-treibende Kraft)

s(r, t)+gs(r, t) = − e

mE(r, t),

wobei die Elektronenmasse m im Halbleiter durch die effektive Masse meff zu ersetzenist. Die Dampfung g hangt mit Stoßen der Elektronen mit den Rumpfen zusammen. Derinduzierte Srom ergibt sich zu

j(r, t) = −Nes(r, t)

und damit

j(r, t)+gj(r, t) =e2N

mE(r, t) = ε0f E(r, t) = ε0ω

2pE(r, t)

mit der Plasmafrequenz

ω2p = f =

1

ε0

e2N

m.

Im Fourierraum ergibt sich

−iωj(r, ω) + gj(r, ω) = ε0ω2p E(r, ω)

17

j(r, ω) =ε0 ω2

p

g − iωE(r, ω) = σ (ω) E(r, ω).

mit der komplexen Leitfahigkeit

σ (ω) =ε0 ω2

p

g − iω= −i

ε0 ωω2p

−ω2 − igω.

Bemerkung zur Plasmafrequenz:Wir berechnen die Bewegung einer externen Ladungswolke ρext in ihrem eigenen Feld:

j(r,t)+gj(r,t) =ε0ω2pE(r, t)

undε0divE(r, t) = ρext.

Divergenzbildung ergibt

divj(r,t)+gdivj(r,t) =ε0ω2pdivE(r, t) = ω2

pρext.

Benutzt man die Kontinuitatsgleichung

ρext + divj = 0,

ergibt sich

−ρext − gρext = ω2pρext

ρext + gρext + ω2pρext = 0,

d.h. die Plasmafrequenz ω2p ist die Eigenfrequenz der im eigenen Feld schwingenden

Ladungswolke.

2.2.4 Die komplexe dielektrische Funktion

Wir setzen die Materialgleichungen j(r, ω) und P(r, ω) in die Wellengleichung (2.8) einund erhalten


c2E(r, ω) = iωµ0j(r, ω) + µ0ω

2P(r, ω)

=[µ0ε0ω

2χ(ω) + iωµ0σ (ω)]E(r, ω)

rotrot E(r, ω) =ω2

c2

1 + χ(ω) +

i

ωε0

σ (ω)

E(r, ω)

=ω2

c2ε(ω)E(r, ω)

mit der komplexen dielektrischen Funktion

ε(ω) = 1 + χ(ω) +i

ωε0

σ (ω) = ε′(ω) + iε′′(ω)

= 1 +∑

j

fj(

ω20j − ω2

)− igjω

+

ω2p

−ω2 − igω,

18

die die Beitrage des Vakuums, der Gitterschwingungen, der gebundenen und freien Elek-tronen enthalt.

Speziell gilt fur die relevanten Materialien im IR und sichtbaren Spektralbereich:

• Dielektrika, Isolatoren in der Nahe einer Gitterresonanz (IR-Spektralbereich)

ε(ω) = 1 +∑

j

fj(

ω20j − ω2

)− igjω

+

f

(ω20 − ω2) − igω

= ε∞ +f

(ω20 − ω2) − igω

,

wobei ε∞ den Beitrag des Vakuums und aller elektronischen Ubergange beschreibt.

Damit erhalt man

ε(ω) = ε(ω) + i ε(ω) = ε′(ω) + i ε′′(ω)

ε′(ω) = ε∞ +f (ω2

0 − ω2)

(ω20 − ω2)

2+ g2ω2

,

ε′′(ω) =gf ω

(ω20 − ω2)

2+ g2ω2

.

Die Lage der Resonanzen wird durch ω0 und die Resonanzbreite durch g bestimmt.Die Resonanz tragt auch zu statischer Dielektrizitatskonstante

ε0 .= ε(0) = ε∞ +

f

ω20

bei. Die Oszillatorstarke kann damit in den Formeln entsprechend

f =(ε0 − ε∞

)ω2

0

ersetzt werden. Bei der sog. longitudinalen Frequenz (ω = ωL) verschwindet derRealteil der dielektrischen Funktion, d.h. ε′(ωL) = 0. ε′′(ω) = 0 ist immer mit einerAbsorption verbunden, d.h. Absorption und Dispersion treten immer gemeinsamauf.

Isolierte Resonanz

-4

0

4

8

12

ε′ε′′

ω0 ωLω

ε∞

ε0

19

Man beachte, daß in Resonanznahe ε′(ω) < 0 (fuhrt auf Dampfung ohne Ab-sorption) sein kann. Normale Dispersion liegt fur ∂ε′(ω)/∂ω > 0, anormale fur∂ε′(ω)/∂ω > 0 < 0 vor. Fur eine extrem scharfe ’ Resonanz gilt g → 0.

Scharfe Resonanz

-8

-4

0

4

8

12

ω0 ωL ωε∞

ε0

ε

Hier kann man einen Zusammenhang zwischen den beiden charakteristischen Fre-quenzen ω0 und ωL, die sog. Lyddane-Sachs-Teller Relation, angeben

ωL = ω0

√ε0

ε∞.

• Dielektrische Medien im sichtbaren Spektralbereich kann man vorteilhaft mit einemsog. Doppelresonanzmodell beschreiben, wobei jeweils eine Gitterschwingung im IRund ein elektronischer ’Ubergang’ berucksichtigt werden

ε(ω) = ε∞ +fG

(ω20G − ω2) − igGω

+fe

(ω20e − ω2) − igeω

,

wobei typische Werte fur ein Flouridglas sind:√

fG = 1.22 × 1014s−1, gG = 0.9 ×1014s−1, ω0G = 1.74 × 1014s−1,

√fe = 6.7 × 1015s−1, ge = 2.8 × 1015s−1, ω0e =

0.9 × 1016s−1. In ε∞ sind mogliche andere weit entfernte Resonanzen enthalten,u.U. kann hier ε∞ = 1 sein.

Zwei Resonanzen

20

0 2 4 6 81.4

1 .6

1 .8

2

2.2

V IS

ε'

ω in 1015s -1

• Halbleiter

ε(ω) = 1 +∑

j

fj(

ω20j − ω2

)− igjω

+

f

(ω20 − ω2) − igω

+ω2

phl

−ω2 − igω,

= ε∞ +f

(ω20 − ω2) − igω

+ω2

phl

−ω2 − igω

d.h. im Halbleiter treten neben den Gitterschwingungsbeitragen im fernen IR, elek-tronische Ubergange im nahen IR oder im Sichtbaren (wide-gap Halbleiter) auf.Daneben sind im angeregten HL die Beitrage der Elektronen im Leitungsband zubeachten. ωphl ist im allgemeinen wesentlich kleiner als ωpmet ≈ 1016s−1 > ω undist im IR angesiedelt (ωphl = 1014s−1 < ω).

• Metalle

ε(ω) = 1 − ω2pmet

ω2 + igω.

Hier ist (ωpmetl >> ω) . Damit weist die dielektrische Funktion einen großen nega-tiven Realteil auf. Als Beispiel moge Aluminium dienen:

1. λ = 500 nm, ε′ = −32, ε′′ = 7.3

2. λ = 700 nm, ε′ = −46, ε′′ = 20

Die Beitrage freier Elektronen (sowohl im Halbleiter als auch im Metall) fuhrenauf

ε′(ω) = 1 − ω2p

ω2 + g2, ε′′(ω) =

gω2p

ω (ω2 + g2).

21

Metall

5 10 15 20 25

-20

0

20 ε′ε′′

ω in 10 15s -1

V IS

ωP2-g2

2.2.5 Dispersion im Glas

Glas spielt als optisches Material eine herausragende Rolle. Im Gegensatz zu kristallinenMedien ist Glas amorph. Man unterscheidet zwischen Kronglas, das im wesentlichen ausSoda, Kalk und Siliziumdioxid besteht, niedrigbrechend ist ( n = 1.42...1.53) und einegeringe Dispersion aufweist und Flintglas, das aus Bleioxid und Siliziumdioxid besteht,hochbrechend ist ( n = 1.5...1.76) und eine starke Dispersion aufweist. Zur Dispersiondes Glases tragen phononische und elektronische Anteile bei, deren Resonanzfrequen-zen jedoch weit von den optischen Frequenzen entfernt sind (ω0p << ω << ω0e), d.h.Absorptionseffekte konnen vernachlassigt werden (ε′′ = 0) . Es gilt damit im Doppelre-sonanzmodell

ε′(ω) − 1 =∑

j

fj(ω2

0j − ω2) , j = p, e

mit ω = 2πc/λ folgt

ε′(λ) − 1 =∑

j

sjλ2(

λ2 − λ2j

) , sj =fjλ

2j

4π2c2

• elektronischer Beitrag → λ2e << λ2

[ε′(λ) − 1]e =se(

1 − λ2e

λ2

) ≈ se

(1 +

λ2e

λ2+

λ4e

λ4+ ...

).

• phononischer Beitrag → λ2p >> λ2

[ε′(λ) − 1]p =spλ

2(λ2 − λ2

p

) = −spλ2

λ2p

(1 − λ2

λ2p

)−1

≈ −spλ2

λ2p

.

22

Damit ergibt sich

ε′(λ) − 1 = [ε′(λ) − 1]p + [ε′(λ) − 1]e

≈ −spλ2

λ2p

+ se

(1 +

λ2e

λ2+

λ4e

λ4+ ...

)≈ A − Bλ2 +

C

λ2+

D

λ4.

oder

n ≈ A +B

λ2,

dn

dλ≈ −2B

λ3.

2.2.6 Die Materialgleichungen im Zeitbereich

→ die Responsefunktion oder Greensche FunktionIm Frequenzraum gilt:

D(r, ω) = ε0ε(ω)E(r, ω)

P(r, ω) = ε0χ(ω)E(r, ω).

Wir beschranken uns hier auf den Zusammenhang zwischen Polarisation und elektri-schem Feld im Zeitraum. Wir fuhren die Responsefunktion (Greensche Funktion) R(t)folgendermaßen ein

R(t) =1

2π

∫ ∞

−∞χ(ω) exp (−iωt) dω.

(Man beachte den zur FT zusatzlichen Faktor 12π

). Mit

χ(ω) =

∫ ∞

−∞R(t) exp (iωt) dt

E(r, ω) =1

2π

∫ ∞

−∞E(r, t) exp (iωt) dt

erhalt man

1

2π

∫ ∞

−∞P(r, t) exp (iωt) dt = ε0

1

2π

∫ ∫ ∞

−∞R(t′) exp (iωt′)E(r, t′′) exp (iωt′′) dt′dt′′

und mit der Transformation t′ = t − t′′∫ ∞

−∞exp (iωt) dt

[P(r, t) − ε0

∫ ∞

−∞R(t − t′′)E(r, t′′)dt′′

]= 0

P(r, t) = ε0

∫ t

−∞R(t − t′′)E(r, t′′)dt′′.

Fur E(r, t′′) = δ(t′′ − t0) ergibt sich P(r, t) = ε0R(t − t0) ,d.h. die Response- oderGreensche Funktion.

Beispiele:

23

• Dielektrika

R(t) =1

2π

∫ ∞

−∞

f

ω20 − ω2 − igω

exp (−iωt) dω,

Anwendung des Residuensatzes ergibt

R(t) ∼ exp(−g

2t) 1

Ωsin Ωt, Ω =

√ω2

0 −g2

4.

P(r, t) ∼

∫ t

−∞exp

[−g

2(t − t′)

]sin [Ω(t − t′)]E(r, t′)dt′

• MetallR(t) ∼ exp (−gt)

P(r, t) ∼

∫ t

−∞exp [−g(t − t′)]E(r, t′)dt′

Die Dispersionstheorie ist ein Beispiel fur eine lineare Ubertragungstheorie. Eine lineareDifferentialgleichung mit dem Differentialoperator LD

LDW (t) = U(t)

hat im Zeitraum die Losung

W (t) =

∫ t

−∞h(t − t′)U(t′)dt′,

wobei U das Ursachenfeld, W Wirkungsfeld und R die Response- oder Greensche Funk-tion darstellen, wobei gilt

LDh(t − t′) = −δ(t − t′).

Im Fourierraum giltLaW (ω) = U (ω) ,

W (ω) = h (ω) U (ω).= H (ω) U (ω)

wobei La ein algebraischer Operator und H (ω) die Ubertragungsfunktion des Systemsist. Es gilt

h =1

2πFT [H] .

2.3 Die Energiestromdichte und Energiebilanz

2.3.1 Der zeitlich gemittelte Poyntingvektor

Der Energiefluß eines elektromagnetischen Feldes wird durch den Poyntingvektor S, derEnergiefluß durch eine Flache (Detektor) durch S · n beschrieben, wobei n der Norma-lenvektor zur Flache ist. Der momentane Energiefluß ist definiert als

S(r, t) = Er(r, t) × Hr(r, t).

Folgende Zeitskalen treten auf:

24

• Die Schwingungsdauer ist gegeben duch T0 = 2π/ω0 ≤ 10−14 s.

• Fur die Impulsdauer Tp gilt i.a. Tp >> T0.

• Fur die Meßzeit Tm gilt i.a. Tm >> T0, Tm ≥ Tp

→ der Detektor kann im allgemeinen den schnellen Oszillationen nicht folgen und mißtden zeitlichen Mittelwert. Man schreibt die Felder als Produkt aus langsam veranderli-chen Amplituden (Einhullende) und schnellen Oszillationen

× →

Er(r, t) =1

2

[E(r, t) exp (−iω0t) + c.c.

].

Damit ergibt sich fur den Energiefluß (instantaner Poyntingvektor)

S(r, t) = Er(r, t) × Hr(r, t)

=1

4

[E(r, t) × H∗(r, t) + E∗(r, t) × H(r, t)

]+

1

4

[E(r, t) × H(r, t) exp (−2iω0t) + E∗(r, t) × H∗(r, t) exp (2iω0t)

]=

1

2[E(r, t) × H∗(r, t)

]+

1

2[E(r, t) × H(r, t)

]cos 2ω0t

+1

2[E∗(r, t) × H∗(r, t)

]sin 2ω0t.

Der Meßprozeß stellt eine zeitliche Mittelung von S(r, t) dar

〈S(r, t)〉 =1

2Tm

∫ Tm

−Tm

S(r, t)dt.

Die Integration fuhrt zum Verschwinden der schnell oszillierenden Anteile

〈S(r, t)〉 =1

2

1

2Tm

∫ Tm

−Tm

[E(r, t) × H∗(r, t)

]dt.

Fur stationare (monochromatische) Felder

E(r, t) = E(r, ω), H(r, t) = H(r, ω)

vereinfacht sich die Beziehung zu

〈S(r, t)〉 =1

2 [

E(r, ω) × H∗(r, ω)].

Im allgemeinen bezeichnet manI = |〈S(r, t)〉|

als die optische Intensitat. Bei der Messung wird i.a. die Phaseninformation zerstort.

25

2.3.2 Die zeitlich gemittelte Energiebilanz

→ hier nur stationare FelderAus den Maxwell-Gleichungen erhalt man

∂

∂tε0E

2r (r, t) +

∂

∂tµ0H

2r (r, t) + div [Er(r, t) × Hr(r, t)] = −

[jr(r, t) + Pr(r, t)

]Er(r, t).

Zeitliche Mittelung ergibt fur die linke Seite

∂

∂t

⟨ε0E

2r (r, t) + µ0H

2r (r, t)

⟩+div [〈Er(r, t) × Hr(r, t)〉] =

1

2div

[E(r, ω) × H∗(r, ω)

].

Fur die rechte Seite erhalten wir

−⟨[

jr(r, t) + Pr(r, t)]Er(r, t)

⟩= −1

4

⟨[σE exp (−iωt) − iωε0χE exp (−iωt) + c.c.

] [E exp (−iωt) + c.c.

]⟩= −1

4

⟨[−iωε0

(χ + i

σ

ωε0

)E exp (−iωt) + c.c.

] [E exp (−iωt) + c.c.

]⟩=

1

4iωε0 [ε (ω) − 1] EE

∗+ c.c. =

1

4iωε0 [ε′ (ω) − 1 + iε′′ (ω)] EE

∗+ c.c.

= −1

2ωε0ε

′′ (ω) E(r, ω)E∗(r, ω).

Es gilt also

div 〈S〉 = −1

2ωε0ε

′′ (ω) E(r, ω)E∗(r, ω).

Senken des Energieflusses ergeben sich damit fur nichtverschwindenden Imaginarteil derdielektrischen Funktion, also in der Nahe von Materialresonanzen, d.h. Materialresonan-zen sind immer mit einem Energieverlust des elektromagnetischen Feldes verbunden →Absorption.

2.4 Die Kramers–Kronigsche Dispersionsrelation

Wir zeigen, daß in einem linearen System unter bestimmten Bedingungen Real- undImaginarteil der Ubertragungsfunktion durch eine Intergraltransformation verbundensind. Insbesondere wird das fur die dielektrische Suszeptibilitat (oder die dielektrischeFunktion) gelten.

lineares Ubertragungssystem:

U(t′) → h(t, t′) → W (t)

URSACHE RESPONSEFUNKTION WIRKUNG

E(t′) →E(t′) →

R(t, t′)R(t, t′)

→ P(t)→ D(t)

26

speziell:

P(t) = ε0

∫ t

−∞R(t − t′)E(t′)dt′,

D(t) = ε0

∫ t

−∞R(t − t′)E(t′)dt′

mitR(t − t′) = δ(t − t′) + R(t − t′).

Definition der Voraussetzungen:

W (t) =

∫ ∞

−∞h(t, t′)U(t′)dt′ → linear

=

∫ t

−∞h(t, t′)U(t′)dt′ → kausal

=

∫ t

−∞h(t − t′)U(t′)dt′ t′ = t − τ

=

∫ ∞

0

h(τ)U(t − τ)dτ → zeitinvariant

mit h(τ) als Response- und H(ω) =∫∞−∞ h(τ) exp (iωτ) dτ als Ubertragungsfunktion. Fur

die (reelle) dielektrische Polarisation gilt dann

Pr(r, t) = ε0

∫ t

−∞R(τ)Er(r, t − τ)dτ,

damit ist R(τ) reell. Die K.-K.-Dispersionsrelation besagt nun, daß es eine Beziehungzwischen Real- und Imaginarteil von H(ω) (oder hier: χ(ω) ) gibt, wenn diese vier Be-dingungen erfullt sind.

Folgerungen aus diesen Voraussetzungen:

• Realitat

E(r, t) =

∫ ∞

−∞E(r, ω) exp (−iωτ) dω

ausE(r, t) = E∗(r, t)

folgtE(r, ω) = E∗(r,−ω),

d.h. nur positive Frequenzen sind relevant.

• Linearitat

P(r, ω) = ε0χ(ω)E(r, ω),

P∗(r, ω) = ε0χ∗(ω)E∗(r, ω),

P(r, ω) = ε0χ∗(−ω)E(r, ω),

27

damitχ(ω) = χ∗(−ω)

oder

χ(ω) = χ(−ω)

χ(ω) = −χ(−ω).

→ konsistent mit Drude-Formeln.

• Kausalitat

χ(ω) =

∫ ∞

−∞R(τ) exp (iωτ) dτ =

∫ ∞

0

R(τ) exp (iωτ) dτ,

da R(τ) = 0 fur τ < 0.

analytische Fortsetzung: ω = ω′ + iω′′ → da τ > 0 und R(τ) endlich χ(ω) ist inder oberen Halbebene analytisch.

χ(ω) =

∫ ∞

0

R(τ) exp (iω′τ) exp (−ω′′τ) dτ.

Ableitung: Man berechne das Integral

∫C

χ(ω)

ω − ωdω,

ωℜ

ωℑ

ωω−

2C

1C

wobei C den in der Abbildung dargetellten Intergrationsweg entspricht. Fur reellesω ist der Intergrand analytisch und fur ω → iω′′ verschwindet der Beitrag zum Integral.Wir haben also:

0 =

∫C

χ(ω)

ω − ωdω

= ℘

∫ ∞

−∞

χ(ω)

ω − ωdω +

∫C1

χ(ω)

ω − ωdω +

∫C2

χ(ω)

ω − ωdω

= ℘

∫ ∞

−∞

χ(ω)

ω − ωdω + lim

ρ→0[iχ(ω)]

∫ 0

−π

ρ exp (iϕ)

ρ exp (iϕ)dϕ + 0

= ℘

∫ ∞

−∞

χ(ω)

ω − ωdω − iπχ(ω) + 0

und damit die vorlaufige Form der Dispersionsrelation

χ(ω) = − i

π℘

∫ ∞

−∞

χ(ω)

ω − ωdω,

28

d.h. eine Beziehung zwischen Real-und Imaginarteil. Mit χ(ω) = χ′(ω) und χ(ω) =χ′′(ω) folgt

χ′(ω) =1

π℘

∫ ∞

−∞

χ′′(ω)

ω − ωdω,

χ′′(ω) = − 1

π℘

∫ ∞

−∞

χ′(ω)

ω − ωdω.

Die endgultige Form erhalt man, wenn man χ′(ω) = χ′(−ω) und χ′′(ω) = −χ′′(−ω)ausnutzt und die dielektrische Funktion χ(ω) = ε(ω) − 1 = [ε′(ω) − 1] + iε′′(ω) einfuhrt

ε′(ω) − 1 =2

π℘

∫ ∞

0

ωε′′(ω)

ω2 − ω2dω,

ε′′(ω) = − 2

πω℘

∫ ∞

0

[ε′(ω) − 1]

ω2 − ω2dω.

℘∫∞−∞ bezeichnet ein Hauptwertintegral. Physikalisch sagen die KKD aus, daß die Di-

spersion eines Mediums durch die Absorption hervorgerufen wird, d.h., die Kenntnisdes vollstandigen Absorptionsspektrums ist zur Bestimmung der dielektrischen Funkti-on bei einer Frequenz erforderlich. Oftmals reicht jedoch das Spektrum in der Nahe derinteressierenden Frequenz aus.

Fur eine unendlich schmale Absorptionslinie ε′′(ω) = Aδ(ω − ω0) erhalt man

ε′(ω) − 1 =Aω0

ω20 − ω2

und bestatigt damit das Drude-Modell.

2.5 Die Normalmoden des homogenen isotropen Me-

diums

→ Suche nach einfachsten Losungen der Wellengleichung im Fourierraum → Normalm-oden oder Elementaranregungen, mit denen dann jede beliebige Losung konstruiert wer-den kann. Normalmoden in der Optik zeichnen sich im allgemeinen dadurch aus, daß beider Propagation

• die Amplitudenverteilung unveranderlich ist,

• der Polarisationszustand erhalten bleibt,

• die Phase eine harmonische Abhangigkeit aufweist und

• eine Dispersionsrelation verbindet Frequenz und Wellenzahl.

29

Ausgangspunkt ist die Wellengleichung

rotrot E(r, ω) =ω2

c2ε(ω)E(r, ω)

mit der Bedingung der Divergenzfreiheit

ε0ε(ω)div E(r, ω) = 0

und der komplexen dielektrischen Funktion

ε(ω) = 1 + χ(ω) +i

ωε0

σ (ω) = ε′(ω) + iε′′(ω).

Wegen ε0ε(ω)div E(r, ω) = 0 hat man zunachst zwei Falle zu unterscheiden:

• longitudinale Wellen bei ω = ωL → ε(ω) = 0,

• transversale Wellen fur ω = ωL → div E(r, ω) = 0.

Wir vermuten als einfachste Losungen ebene Wellen

E(r, ω) = E(k, ω) exp (ikr) ,

wobei k vorerst unbestimmt ist und die Amplitude fur festes (k, ω) konstant ist. Damitergibt sich das Gesamtfeld zu

E(r, t) =

∫ ∞

−∞E(k, ω) exp [i (kr−ωt)] dω.

Der sog. komplexe Wellenzahlvektor k = k′ + ik′′ definiert die Flachen konstanter Pha-se k′r =const. und konstanter Amplitude k′′r =const. → Ebenengleichungen. Stimmenbeide Flachen uberein, spricht man von homogenen Wellen, ansonsten von inhomoge-nen Wellen. Stehen die Flachen senkrecht aufeinander, handelt es sich um evaneszenteWellen

2.5.1 Longitudinale Wellen

Longitudinale Wellen konnen nur im dielektrischen Medium fur ε(ω) = 0 bei der longi-tudinalen Frequenz ω = ωL auftreten. Aus

rotrot E(r, ωL) = 0

folgt mit dem ebenen-Wellen-Ansatz und den Bezeichnungen E⊥,fur die zum k - Vektorsenkrechte und parallele Feldkomponente

k× [k × E(r, ωL)

]= 0,

k× [k× (

E⊥+E

)]= 0,

k× [k × E⊥

]+ k× [

k × E

]= 0,

k2E⊥ = 0 → E(r, ωL) = E(r, ωL).

30

2.5.2 Transversale Wellen

Die fur uns interessanten Losungen sind die divergenzfreien transversalen Wellen. Furω = ωL gilt

div E(r, ω) = 0

und damit erhalt man aus der Wellengleichung die Helmholtzgleichung

∆E(r, ω) +ω2

c2ε(ω)E(r, ω) = 0.

Damit wird E(r, ω) durch drei skalare Gleichungen bei einer Nebenbedingung bestimmt→ zwei unabhangige komplexe Feldkomponenten. Mit dem EW-Ansatz erhalten wir[

−k2 +ω2

c2ε(ω)

]E(k, ω) = 0

und

kE(k, ω) = 0.

Daraus folgt

• die Dispersionsrelation

k2 = k2 = k2x + k2

y + k2z =

ω2

c2ε(ω),

die die Lange des Wellenzahlvektors in Abhangigkeit von der Frequenz bestimmtund

• die Transversalitat

k ⊥ E(k, ω).

Ebenen Wellen sind Losungen der Maxwellgleichungen im homogenen, isotropen Me-dium, wenn die Dispersionsrelation k(ω) erfullt ist und die Wellen transversal sind.

Im allgemeinen ist k komplex und damit die EW keine Normalmode (Amplitudeverandert sich bei der Ausbreitung). Man fuhrt dann in der Optik oftmals eine komplexeBrechzahl ein

k =ω

c

√ε(ω) =

ω

cn(ω) =

ω

c[n(ω) + iκ(ω)] .

Da die Dispersionsrelation gilt, kann man E(k, ω) = E(ω) schreiben.

2.5.2.1 Diskussion der Losung in den verschiedenen Frequenzbereichen

1. ε(ω) = ε′(ω) > 0 → Transparenzgebiet, weit weg von Resonanzen → bevorzugtesGebiet der Optik

31

ε′ε′′

ω

k2 = k′2 − k′′2 + 2ik′k′′ =ω2

c2ε′(ω) =

ω2

c2n2(ω).

• k′′ = 0 → reeller Wellenzahlvektor

E(r, ω) = E(ω) exp (ikr) ,

H(r, ω) = H(ω) exp (ikr)

mit

H(r, ω) = − i

ωµ0

rot E(r, ω) =1

ωµ0

[k × E(ω)] exp (ikr)

H(ω) =1

ωµ0

[k × E(ω)] → |H|2 =ε0

µ0

n2(ω) |E|2

mit √µ0

ε0

= Z = 377 Ohm

als Wellenwiderstand. Die Dispersionsrelation kann als

k = k(ω) =ω

cn(ω) =

ω

cn

=2π

λn(ω)

oder

ω = ω(k) =c

n(ω)k

geschrieben werden.

Beispiele:

ε(ω) = ε′(ω) = ε∞ +f

ω20 − ω2

→ Gitterschwingungen (Phononen)

32

ckω

ε∞

=

ω

k

0

ckω

ε=

0ω

20

fωε∞

+

(Phonon-Polariton)

oder

ε(ω) = ε′(ω) = 1 − ω2p

ω2→ freie Elektronen (Plasma)

ckω=

ω

k

pω

(Plasmon-Polariton)

Schlußfolgerungen:Ebene, monochromatische, transversale, elliptisch pola-risierte Wellen

E(r, ω) = E(ω) exp i [k (ω) r−ωt]sind Normalmoden des homogenen isotropen Mediums fur ε(ω) = ε′(ω) > 0,d.h. 0 < ω < ω0, ω > ωL, wenn die Dispersionsrelation k(ω) = ω

cn(ω) erfullt

ist.

• k′k′′ = 0 → k′ ⊥ k′′ → komplexer Wellenzahlvektor → inhomogene, speziellevaneszente Wellen

k2 = k′2 − k′′2 =ω2

c2ε(ω),

k′′2 = k′2 − k2.

Das heißt, k′′2 = 0 fur k′2 > k2 und die evaneszenten Wellen haben die Form

E(r, ω) = E(ω) exp i [k′ (ω) r] exp (−k′′r) ,

33

d.h. Flachen konstanter Phase stehen senkrecht auf Flachen konstanter Am-plitude → keine Normalmoden, da exponentielles Wachstum im homogenenRaum. Evaneszente Wellen konnen nur an Grenzflachen existieren.

2. ε(ω) = ε′(ω) < 0, Reststrahlgebiet, in der Nahe von Resonanzen, ω0 < ω < ωL

(Dielektrika), ω < ωp (Metalle)

ε′ε′′

ω

k2 = k′2 − k′′2 + 2ik′k′′ =ω2

c2ε′(ω) < 0

• k′ = 0

k′′2 =ω2

c2|ε′(ω)|

E(r, ω) ∼ exp (−k′′r) → starke Dampfung

→ keine Ausbreitung, wenn ε′′ = 0

• k′k′′ = 0 → k′ ⊥ k′′ → evaneszente Wellen

k2 = k′2 − k′′2 = −ω2

c2|ε′(ω)|

k′′2 =ω2

c2|ε′(ω)| + k′2.

Evaneszente Wellen → nur an Grenzflachen wie bei 1) aber fur alle k′2.

3. ε(ω) komplex → in Resonanznahe, aber spater schwache Absorption ε′′(ω) <<|ε′(ω)| voraussetzen

k2 = k2 =ω2

c2ε(ω) =

ω2

c2[n(ω) + iκ(ω)]2

mit ε′(ω) ≶ 0 und k komplex.

ε(ω) = ε′(ω) + iε′′(ω) = n2(ω) − κ2(ω) + 2in(ω)κ(ω)

34

daraus folgt

ε′(ω) = n2(ω) − κ2(ω)

ε′′(ω) = 2n(ω)κ(ω)

und damit fur beliebiges ε′′

n2(ω) =ε′

2

[sgn (ε′)

√1 + (ε′′/ε′)2 + 1

],

κ2(ω) =ε′

2

[sgn (ε′)

√1 + (ε′′/ε′)2 − 1

].

Man kann zwei Grenzfalle unterscheiden:

ε′ε′′

ω

1 2

1. Dielektrikum ε′, ε′′ > 0, ε′′ << ε′, ω < ω0

n(ω) ≈√

ε′(ω), κ(ω) ≈ 1

2

ε′′(ω)√ε′(ω)

d.h. die Ausbreitung dominiert die Absorption.

2. Metalle, Reststrahlgebiet ε′ < 0, ε′′ > 0, ε′′ << |ε′| , ω0 < ω < ωL

n(ω) ≈ 1

2

ε′′(ω)√|ε′(ω)| , κ(ω) ≈√|ε′(ω)| ,

d.h. Dampfung dominiert Ausbreitung.

Beispiel: Aluminium @ 500 nm → ε = −32 + i7.3 n ≈ 0.65, κ ≈ 5.6 → 1/e-Dampfung nach 56 nm

Struktur der Losungen fur schwache Dampfung (Fall1):

35

Sind die ebenen Wellen homogen?

k′2 − k′′2 =ω2

c2ε′(ω),

2k′k′′ =ω2

c2ε′′(ω).

→Von vorn gilt:

|k′| ≈ ω

c

√ε′(ω), |k′′| ≈ 1

2

ω

c

ε′′(ω)√ε′(ω)

k′k′′ ≈ |k′| |k′′| ,d.h. Real- und Imaginarteil des Wellenzahlvektors sind annahernd parallel → homogeneWellen. im homogenen, isotropen Medium breiten sich in Resonanznahe gedampfte, homogeneebene Wellen aus → keine Normalmoden

E(r, ω) = E(ω) exp (ikr) = E(ω) exp

i[ω

cn (ω) (er)

]exp

[−ω

cκ (ω) (er)

].

ε′ε′′

ωa

b

cc

a

(a) ungedampfte Wellen →Normalmoden → Plasmon-Polaritonen, Phonon-Polaritonen;zusatzlich → evaneszente QWellen an Grenzflachen

(b) evaneszente Wellen

(c) gedampfte, fast homogene Wellen fur schwache Dampfung (ε′ > 0); stark gedampf-te Wellen fur ε′ < 0 .

2.5.3 Energiestromdichte und Intensitat ebener Wellen

Die Energiestromdichte hangt mit der Intensitat wie folgt zusammen

〈S(r, t)〉 = I(r, t)n =1

2

1

2Tm

∫ Tm

−Tm

[E(r, t) × H∗(r, t)

]dt,

36

dabei sind die -Großen langsam veranderlich. Fur ebene Wellen erhalten wir

E(r, t) = E(t) exp (ikr) = E(t) exp (ik′r) exp (−k′′r)

H∗(r, t) = H∗(t) exp (ik′r) exp (−k′′r) .

Wir bemerken, daß im stationaren Fall gilt: E(t) = E(ω).

〈S(r, t)〉 =1

ωµ0

1

4Tm

∫ Tm

−Tm

[k∗ |E(t)|2 − E∗(t) (k∗E)

]dt exp (−2k′′r)

=k′

ωµ0

1

4Tm

nk′ exp (−2k′′r)∫ Tm

−Tm

|E(t)|2 dt

= n

√ε0

µ0

nk′ exp[−2

ω

cκ (nk′′r)

] 1

4Tm

∫ Tm

−Tm

|E(t)|2 dt.

Fur stationare Wellen gilt dann:

〈S(r, t)〉 =1

2n

√ε0

µ0

nk′ exp[−2

ω

cκ (nk′′r)

]|E(ω)|2 .

2.6 Gebundelte Wellenfelder (Strahlen) und Impul-

se - Analogie von Beugung und Pulsverbreite-

rung (Dispersion)

Wir wollen zeigen, daß sich Pulse mit endlicher transversaler Breite (gepulste Bundel)als eine Superposition (im Frequenz- und Ortsfrequenzraum) von Normalmoden darstel-len lassen. Es wird sich herausstellen, daß sich die raum-zeitlich lokalisierten optischenAnregungen sowohl zeitlich als auch raumlich durch die unterschiedliche Phasenentwick-lung in Ausbreitungsrichtung fur verschiedene Frequenzen (wegen der Dispersion) undOrtsfrequenzen (wegen der unterschiedlichen Ausbreitungsrichtungen der einzelnen Nor-malmoden) verbreitern werden. Im raumlichen Bereich spricht man von Beugung, imzeitlichen einfach von Pulsverbreiterung. Wir behandeln den raumlichen Fall, gehen dannzum allgemeinen Fall uber und diskutieren zum Schluß den zeitlichen Fall.Bundel werden charakterisiert durch ihre endliche Breite.

ebene Welle Bundel

2w

37

Ein Bundel stellt eine kontinuierliche Uberlagerung stationarer, ebener Wellen verschie-dener Ausbreitungsrichtung dar.

E(r, t) =

∫ ∞

−∞E(k) exp [i (kr − ωt)] d3k.

Impulse werden charakterisiert durch ihre endliche Lange.

stationare Welle Impuls

p2T

Ein Impuls stellt eine kontinuierliche Uberlagerung stationarer, ebener Wellen verschie-dener Frequenz dar.

= + +

E(r, t) =

∫ ∞

−∞E(ω) exp [i (k(ω)r − ωt)] dω.

Ein Impuls endlicher Breite (Bundel) stellt eine kontinuierliche Uberlagerung stationarer,ebener Wellen verschiedener Frequenz und Ausbreitungsrichtung dar.

E(r, t) =

∫ ∞

−∞E(k,ω) exp [i (k(ω)r − ωt)] d3kdω.

In der Literatur wird die Ausbreitung solch lokalisierter Anregung oftmals auch alter-nativ beschrieben. Man separiert zeitlich und raumlich schnell oszillierende Anteile vonlangsam veranderlichen (’slowly varying envelope approximation’-SVEA). Dieses Vor-gehen bietet sich immer dann an, wenn die spektralen Breiten im Frequenz und Orts-frequenzbereich wesentlich kleiner als die entsprechenden Mittenfrequenzen sind. Manschreibt z.B. fur ein gepulstes Bundel, das die Mittenfrequenz ω0 besitzt und sich in z-Richtung ausbreitet

E(r, t) = E(r,t) exp [i (k(ω0)z−ω0t)] .

E(r,t) folgt dann i.a. einer aus der Wellengleichung abgeleiteten parabolischen Diffe-rentialgleichung (1. Ordnung in Ausbreitungsrichtung). Wir kommen spater auf dieseMethode zuruck.

38

2.6.1 Ausbreitung gebundelter Wellenfelder im homogenen Raum

Das Verstandnis dieses Effektes (Beugung) ist wichtig fur das Verstandnis der optischenAbbildung, der optischen Filterung, der Mikroskopie, der Beugung an Gittern, der opti-schen Nahfeldmikroskopie etc.

Wir beginnen mit dem stationaren Fall (ω = const.) Unser Vorgehen lehnt sich starkan die lineare Ubertragungstheorie an (integrale Formulierung). Am Ende zeigen wir dieAquivalenz zu einer differentiellen Formulierung.

Wir nehmen an, daß wir uns im optischen Transparenzgebiet befinden, d.h.,

ε(ω) = ε′(ω) > 0,

d.h. es existieren Normalmoden in Form von stationaren homogenen und evaneszentenebenen Wellen. Wir beschranken uns hier auf die skalare Naherung, die im Fall eindimen-sionaler Bundel den Fall linear polarisierten Lichtes exakt beschreibt. Im zweidimensio-nalen Fall stellt sie eine Naherung dar, ist jedoch auch hier exakt, wenn man die skalareGroße mit einer Komponente des Vektorpotentials identifiziert (siehe Zusatzkapitel).

Wir schreiben fur das stationare optische Feld

E(r,ω) → Ey(r,ω)ey → Ey(r,ω) → u(r, ω).

Damit folgt aus der Helmholtzgleichung

∆ E(r, ω) +ω2

c2ε (ω) E(r, ω) = 0,

in skalarer Naherung bei fester Frequenz ω

∆ u(r, ω) +ω2

c2ε (ω) u(r, ω) = 0,

∆ u(r, ω) + k2 (ω) u(r, ω) = 0.

Wir werden im folgenden die feste Frequenz ω oftmals weglassen.

2.6.1.1 Beliebig enge Bundel → der allgemeine Fall

Die Aufgabe besteht darin, bei vorgegebener Feldverteilung in einer Ebenen (z.B. z = 0) die Feldverteilung im Halbraum z > 0 zu bestimmen.

39

Fouriertransformation ergibt

u(r, ω) =

∫ ∞

−∞U(k, ω) exp [ik(ω)r] d3k

und stellt eine Uberlagerung der NM mit unterschiedlicher Ausbreitungsrichtung (gege-ben durch k) dar. Wir haben jedoch zu beachten, daß die NM der Dispersionsrelation

k2 = k2 = k2x + k2

y + k2z =

ω2

c2ε (ω)

genugen mussen, nur zwei Komponenten von k konnen unabhangig gewahlt werden, z.B. kx, ky. Aus Grunden der einfacheren Schreibweise setzen wir

kx = α, ky = β, kz = γ.

Damit schreiben wir anstelle der 3D Fouriertransformation (wir lassen jetzt ω weg)

u(r) =

∫ ∫ ∞

−∞U(α, β;z) exp [i (αx + βy)] dαdβ.

Einsetzen in die skalare Helmholtzgleichung

∆ u(r) + k2 (ω) u(r) = 0

ergibt (d2

dz2+ k2 (ω) − α2 − β2

)U(α, β;z) = 0,(

d2

dz2+ γ2 (ω)

)U(α, β;z) = 0,

mit der Losung

U(α, β;z) = U1(α, β) exp (iγz) + U2(α, β) exp (−iγz) .

Offensichtlich gibt es zwei Typen von Losungen:

1. γ2 ≥ 0, und damit α2 + β2 ≤ k2 , d.h. homogene Wellen

k

γ

α

β

2. γ2 < 0, und damit α2 + β2 > k2 , d.h. evaneszente Wellen, da γ = kz imaginar ist.

40

k

α

β

k²² ²α + β >

γ

Damit entfallt der zweite Teil der Losung, da eine unendlich anwachsende Amplitudeim Halbraum unphysikalisch ist. Wir erhalten also

U(α, β;z) = U1(α, β) exp (iγz) = U(α, β; 0) exp (iγz).= U0(α, β) exp (iγz)

mit der Randbedingung U(α, β; 0) = U0(α, β). Das Gesamtfeld im Halbraum z > 0ergibt sich somit zu

u(r) =

∫ ∫ ∞

−∞U0(α, β) exp [iγ (α, β) z] exp [i (αx + βy)] dαdβ. (2.11)

Die Ursache der Beugung ist die unterschiedliche Phasenverschiebung in Propagations-richtung fur verschiedene α, β. Es ist klar, daß sich die Randbedingung U0(α, β) aus derFeldverteilung auf dem Rand z = 0 ergibt, da gilt

U0(α, β) =

(1

2π

)2 ∫ ∫ ∞

−∞u0(x, y) exp [−i (αx + βy)] dxdy,

wobei u0(x, y) = u(x, y, 0). U0(α, β) stellt damit die raumliche spektrale Verteilung beiz = 0 dar und wird Ortsfrequenzspektrum oder Winkelspektrum von u0(x, y) genannt(im Sinne der FT sind α, β Ortsfrequenzen, im Sinne der Optik ebener Wellen sind α/k,β/k Richtungskosinusse und reprasentieren deshalb Winkel).

Die Anfangverteilung u0(x, y) bestimmt damit das Spektrum, Ausbreitung bedeutetnur Multiplikation mit dem Phasenfaktor exp [iγ (α, β) z] und ergibt ein neues SpektrumU(α, β; z) = U0(α, β) exp [iγ (α, β) z] und damit eine neue Verteilung u(x, y, z). Damitist das Wesen der Beugung beschrieben.

Man kann Gl.(2.11) also folgendermaßen interpretieren:

• 1. Das resultierende Feld ergibt sich aus der Rucktransformation des neuen Spek-trums:

u(r) =

∫ ∫ ∞

−∞U(α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ.

2. Das resultierende Feld ergibt sich aus der Uberlagerung homogener und inho-mogener ebener Wellen (’plane-wave spectrum’), die der Dispersionsrelationgenugen

u(r) =

∫ ∫ ∞

−∞U0(α, β) exp i [αx + βy + γ (α, β) z] dαdβ.

41

Im Sinne der linearen Ubertragungstheorie konnen die Ergebnisse folgendermaßeninterpretiert werden:

Die lineare Gleichung∆u + k2u = 0

hat im Fourierraum die Losung

U(α, β; z) = H(α, β; z)U0(α, β),

wobei U0(α, β) die Ursache, U(α, β; z) die Wirkung und H(α, β; z) = exp [iγ (α, β) z] (mitγ (α, β) =

√k2 − α2 − β2) die Ubertragungsfunktion darstellen. Entsprechend ergibt

sich im Ortraum

u (x, y, z) =

∫ ∫ ∞

−∞h(x − x′, y − y′; z)u0(x

′, y′)dx′dy′

mit der Responsefunktion

h(x, y; z) =

(1

2π

)2 ∫ ∫ ∞

−∞H(α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ.

Diskussion der Ubertragungsfunktion Die UF

H(α, β; z) = exp [iγ (α, β) z]

ist im allgemeinen komplex. Fur ein festes z kann man Betrag und Argument einfachgraphisch darstellen:

Betrag

α

|H|k

β

1

Phase

arg H

kz

βα

Man hat zwischen dem Beitrag homogener und evaneszenter Wellen zu unterscheiden.

1. homogene Wellen → α2+β2 ≤ k2 |H| = 1, arg H = 0 , d.h. jede homogene ebene

Welle wird bei der Ausbreitung mit einem Phasenfaktor exp[i√

k2 − α2 − β2z]

belegt.

2. evaneszente Wellen→ α2 + β2 > k2 |H| = exp

[−√α2 + β2 − k2z

], arg H = 0 ,

d.h. jede evaneszente Welle wird bei der Ausbreitung mit einem Amplitudenfaktor<1 belegt → Beitrage werden fur wachsende z gedampft.

42

Es ist die Frage zu klaren, wann evaneszente Wellen auftreten. Das hangt offensicht-lich von der Struktur der Anfangsverteilung u0(x, y) ab und erfordert die Prasenz hoherOrtsfrequenzen, d.h., es muß U0(α, β) = 0 fur α2 + β2 > k2 gelten. Wir wollen das ameindimensionalen Beispiel untersuchen.

Es gelte:

u0(x) =

1 fur |x| ≤ a

2

0 sonst.

Damit

U0(α) ∼

sin(a2α)

(a2α)

= sinc(a

2α)

.

-10 0 10

-0 .25

0

0.25

0.5

0 .75

1

2

a αππ−

Die wesentliche Information ist im Intervall∣∣a2α∣∣ ≤ π enthalten, d.h. |α| = 2π/a

ist die großte auftretende Ortsfrequenz fur eine Struktur mit der Breite a. EvaneszenteWellen treten auf fur |α| > k, d.h.

2π

a> k =

2π

λn

also

a <λ

n,

d.h. evaneszente Wellen sind mit Strukturen verbunden, die kleiner als die Wellenlangesind. Die damit in Zusammenhang stehenden Informationen gehen bei der Ausbreitunguber makroskopische Distanzen ( z >> λ ) verloren.Beispiel:Da exp(−2π) ≈ 0, folgt fur α2 = 2k2 (a = λ√

2n), kz = 2π oder nach einer Ausbrei-

tungslange z = λ/n ist diese Information verloren gegangen.Schlußfolgerung: Im homogenen Raum werden uber makroskopische Distanzen nurInformationen ubertragen, die mit Strukturdetails |∆x| , |∆y| > λ/n zusammenhangen,d.h., der freie Raum stellt fur das Licht einen Tiefpaßfilter dar.

Zusammenfassend kann also die Ausbreitung einer begrenzten Feldverteilung folgen-dermaßen beschrieben werden:

u0(x, y)FT−1→ U0(α, β) → U(α, β; z) = H(α, β; z)U0(α, β)

FT→ u(x, y, z)

2.6.1.2 Fresnel- (paraxiale) Naherung

→ wichtiger SpezialfallWenn das Ortfrequenzspektrum ’schmalbandig’ ist, d.h.,

U0(α, β) = 0 fur α2 + β2 k2

43

oder anders gesagt, die ebenen Wellen, die das Bundel beschreiben, nur eine kleine Nei-gung zur Ausbreitungsrichtung (paraxiale Naherung) aufweisen, kann die Große γ =√

k2 − α2 − β2 in eine Potenzreihe

γ =√

k2 − α2 − β2≈ k

(1 − α2 + β2

2k2

)= k − α2 + β2

2k

entwickelt werden und die Ubertragungsfunktion HF(α, β; z) in Fresnelscher Naherung

HF(α, β; z) = exp (ikz) exp

(−i

α2 + β2

2kz

)enthalt nur noch homogenen Wellen. Dieser Fall tritt auf, wenn die Strukturdetails dieBedingung |∆x| , |∆y| λ/n ≈ 10 λ/n erfullen.

Betrag

|H|

βα

k

1

Phase

β

arg H

kz

kα

Damit erhalt man fur die Ausbreitung des Spektrums

UF(α, β; z) = HF(α, β; z)U0(α, β). (2.12)

Ist die Anfangsverteilung ’grob’, sind die Spektralamplituden U0(α, β) nur fur α2 +β2 k2 von Null verschieden. Es tragen nur paraxiale, ebene Wellen zur Ubertragung derInformation bei.

In Fresnelscher Naherung kann man die Resultate im Fourierraum einfach auf denOrtsraum ubertragen. Man erhalt

uF(x, y, z) =

∫ ∫ ∞

−∞UF(α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ

=

∫ ∫ ∞

−∞HF(α, β; z)U0(α, β) exp [i (αx + βy)] dαdβ

=

∫ ∫ ∞

−∞hF(x − x′, y − y′; z)u0(x


mit der Responsefunktion

44

hF(x, y; z) =

(1

2π

)2 ∫ ∫ ∞

−∞HF(α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ

=

(1

2π

)2

exp (ikz)

∫ ∫ ∞

−∞exp

(−i

α2 + β2

2kz

)exp [i (αx + βy)] dαdβ.

Quadratische Erganzung im Exponenten und anschließende elementare Integrationfuhrt auf

hF(x, y; z) = exp (ikz)

− i

λzexp

[ik

2z

(x2 + y2

)],

d.h., die Responsefunktion ist eine Kugelwelle in paraxialer Naherung. Man erhaltschließlich

uF(x, y, z) = − i

λzexp (ikz)

∫ ∫ ∞

−∞u0(x

′, y′) exp

ik

2z

[(x − x′)2

+ (y − y′)2]

dx′dy′.

(2.13)

In paraxialer Naherung kann die Ausbreitung

• im Fourierraum mit Gl.(2.12) und anschließender Fouriertransformation oder

• im Ortsraum unter Benutzung von Gl.(2.13).

beschrieben werden.

2.6.1.3 Die paraxiale Wellengleichung

Die Wellengleichung ist eine elliptische Differentialgleichung, d.h. die Losung des Rand-wertproblems erfordert die Vorgabe der Felder auf dem gesamten Rand. Im Gegensatzdazu erfordert die Losung einer parabolischen DGL nur die Vorgabe der Anfangswerte.Fur eine numerische Losung des Problems ist also eine parabolische DGL von Vorteil.Wir zeigen, daß sich in paraxialer Naherung die Wellengleichung zu einer parabolischenGleichung vereinfacht.

In paraxialer Naherung gilt

UF(α, β; z) = HF(α, β; z)U0(α, β)

= exp (ikz) exp

(−i

α2 + β2

2kz

)U0(α, β)

und mit Einfuhrung des langsam veranderlichen Spektrums V (α, β; z)

45

UF(α, β; z) = exp (ikz) V (α, β; z)

erhalt man

V (α, β; z) = exp

(−i

α2 + β2

2kz

)V0(α, β).

Differentiation

i∂

∂zV (α, β; z) =

1

2k

(α2 + β2

)V (α, β; z)

und anschließende Fouriertransformation ergibt

i∂

∂z

∫ ∫ ∞

−∞V (α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ =

1

2k

∫ ∫ ∞

−∞

(α2 + β2

)V (α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ

i∂

∂zv(x, y, z) = − 1

2k

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)∫ ∫ ∞

−∞V (α, β; z) exp [i (αx + βy)] dαdβ

i∂

∂zv(x, y, z) = − 1

2k

(∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)v(x, y, z)

oder in kompakter Form

i∂

∂zv(x, y, z) +

1

2k∆(2)v(x, y, z) = 0

u(x, y, z) = v(x, y, z) exp (ikz) .

Das gleiche Ergebnis erhalt man aus der skalaren Helmholtzgleichung, die wir jedochaus Grunden der Allgemeingultigkeit fur inhomogene Medien aufschreiben wollen (sieheUbungen, numerische Losung mit der ’beam propagation method’-BPM).

∆u(x, y, z) + k2(r, ω)u(x, y, z) = 0 mit k2(r, ω) =ω2

c2ε(r, ω).

Wir spalten einen schnell oszillierenden Anteil ab

u(x, y, z) = v(x, y, z) exp (ik0z)

wobei k0 ≈ k. Damit folgt fur die Dynamik der langsamen Amplitude v

∂2

∂z2v(x, y, z) + 2ik0

∂

∂zv(x, y, z) + ∆(2)v(x, y, z) +

[k2(r, ω) − k2

0

]v(x, y, z) = 0,

wenn man wegen |kv| |∂v/∂z| das erste Glied vernachlassigt.Fur homogene Medien (k = k0) erhalten wir das obige Ergebnis

i∂

∂zv(x, y, z) +

1

2k∆(2)v(x, y, z) = 0.

In inhomogenen Medien kann man die nun parabolische Gleichung

i∂

∂zv(x, y, z) +

1

2k0

∆(2)v(x, y, z) +

[k2(r, ω) − k2

0

2k0

]v(x, y, z) = 0

durch Vorgabe der Anfangsbedingung v(x, y, z = 0) = v0(x, y). losen. Zwei Methodensind dabei weit verbreitet, die Fast-Fourier-Transform BPM und die Finite-Differenzen-Methode (Naheres in den Ubungen).

46

2.6.2 Ausbreitung eines Gauß-Bundels

→ wichtiger Spezialfall, da die transversale Laser-Fundamentalmode diese Gestalt auf-weist.

Fundamentalmode im Fokus

y

u0

x

u0(x, y) = v0(x, y) = A0 exp

[−(

x2

w2x

+y2

w2y

)]exp [iϕ(x, y)] .

Wir beschranken uns auf Rotationssymmetrie (w2x = w2

y = w20) und setzen im Moment

eine ’flache’ Phase voraus ϕ(x, y) = 0) (Gauß im Fokus). Die Breite ist durch

u0(x2 + y2 = w2

0) = A0 exp (−1)

definiert.

Die Ausbreitung wird im Ortsfrequenzraum berechnet.

1. Feld bei z = 0:

u0(x, y) = v0(x, y) = A0 exp

(−x2 + y2

w20

).

2. Spektrum bei z = 0:

U0(α, β) = V0(α, β) =1

(2π)2 A0

∫ ∫ ∞

−∞exp

(−x2 + y2

w20

)exp [−i(αx + βy)] dxdy

=A0

4πw2

0 exp

(−α2 + β2

4/w20

)=

A0

4πw2

0 exp

(−α2 + β2

w2s

),

d.h. das Spektrum weist ebenfalls ein Gauß-Profil auf und das Produkt aus raum-licher und spektraler Breite ist konstant (2ws × 2w0 = 8).

47

Spektrum der Fundamentalmode im Fokus

β

U0

α

3. Ist paraxiale Naherung erfullt? Es gilt

U0(α, β) ≈ 0

fur (α2 + β2) ≥ 16/w20 → exp (−4) . Die Bedingung fur die Gultigkeit der paraxia-

len Naherungk2 (

α2 + β2)

ergibtk2 16/w2

0

w20 16(

2πλ

n)2 =

(2λ

πn

)2

≈(

λ

n

)2

,

d.h., die paraxiale Naherung gilt fur w0 10λn

= 10λn

4. Ausbreitung des Spektrums:

U(α, β; z) = V (α, β; z) exp (ikz)

V (α, β; z) = U0(α, β) exp

(−i

α2 + β2

2kz

)

=A0

4πw2

0 exp

[−w2

0

(α2 + β2)

4

]exp

(−i

α2 + β2

2kz

).

5. Rucktransformation in den Ortsraum:

v(x, y, z) =A0

4πw2

0

∫ ∞∫−∞

exp

[− (

α2 + β2)(w2

0

4+

i

2kz

)]exp [i (αx + βy)] dαdβ

= A01

1 + 2izkw2

0

exp

− x2 + y2

w20

(1 + 2iz

kw20

) = A0

1

1 + i zz0

exp

− x2 + y2

w20

(1 + i z

z0

) .

48

Schlußfolgerungen:

• Gauß-Bundel behalt bei der Ausbreitung Gestalt, jedoch Amplitude, Breite undPhase andern sich.

• zwei Parameter, Ausbreitungslange z und Beugungsparameter z0, bestimmen dieEigenschaften, wobei

z0 =kw2

0

2=

π

λn

w20.

Man bezeichnet die Große LB = 2z0 als Beugungslange oder Rayleigh-Gebiet. Furw0 10λn ergibt sich LB 600λn.

Beugungslange

Man kann nun schreiben:

v(x, y, z) = A0

1 − i zz0

1 +(

zz0

)2 exp

− x2 + y2

w20

[1 +

(zz0

)2] exp

izz0

(x2 + y2)

w20

[1 +

(zz0

)2]

= A01√

1 +(

zz0

)2exp

− x2 + y2

w20

[1 +

(zz0

)2] exp

ik

2

(x2 + y2)

z[1 +

(z0

z

)2] exp [iϕ(z)] ,

wobei

w20 =

2z0

k

ausgenutzt wurde und

tan ϕ = − z

z0

die Guoy-Phasenverschiebung darstellt.Ein Gauß-Bundel laßt sich nun bequem unter Einfuhrung von z -abhangiger Ampli-

tude, Breite und Krummung schreiben

v(x, y, z) = A(z) exp

[−x2 + y2

w2(z)

]exp

[ik

2

(x2 + y2)

R(z)

]exp [iϕ(z)]

mit:

49

1. der Amplitude

A(z) = A01√

1 +(

zz0

)2= A0

1√1 +

(2zLB

)2,

Intensitat

Intensitat im Nullpunkt

2. der Breite

w(z) = w0

√1 +

(z

z0

)2

= w0

√1 +

(2z

LB

)2

,

Bundelbreite

50

3. der Krummung

R(z) = z

[1 +

(z0

z

)2]

= z

[1 +

(LB

2z

)2]

Krummungsradius

Phasenfronten

4. und der Phase

tan ϕ = − z

z0

= −− 2z

LB

Phase

51

2.6.2.1 Eigenschaften eines Gauß-Strahls bei der Ausbreitung

Das Verhaltnis von Ausbreitungslange z und Beugungsparameter z0 =kw2

0

2= π

λnw2

0

bestimmt die Ausbreitungseigenschaften.

1. z z0 : Das Gauß-Bundel andert seine Gestalt und Phase nicht.

2. z z0 :

a) Das Produkt aus Breite und Amplitude ist konstant. → A(z)w(z) = const.

b) Bundelbreite → w(z) = w0

√1 +

(zz0

)2

→ w(LB) = w0

√5 ≈ 2w0 → LB be-

zeichnet die Beugungslange oder Fokustiefe.

speziell fur z z0 gilt w(z) ≈ w0zz0

→ w(z)/z = tan Θ0 ≈ w0/z0

Θ0 ≈

λw0

πnw20

=1

w0

λ

πn→ Θ0w0 ∼

λ

n

d.h., die Strahldivergenz nimmt zu mit starkerer Fokussierung und großererWellenlage.

c) Krummung

Flache konstanter Phase:

Φ(x, y, z) =

k

[z +

x2 + y2

2R(z)+ ϕ(z)

]= const.

Krummungsradius R(z)

1

k

(∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2

).=

1

R(z)= z

[1 +

(z0

z

)2]

R(0) → ∞ ; R(z0) = 2z0 = Rmin; R(z → ∞) = z

52

2.6.2.2 Zusammenhang der Parameter des Gauß-Bundels mit einem kom-plexen Bundelparameter q(z)

Es seiq(z) = z − iz0

1

q(z)=

1

z − iz0

=z

z2 + z20

+ iz0

z2 + z20

=1

z(1 +

z20

z2

) + i1

z0

(1 + z2

z20

)1

q(z)=

1

R(z)+ i

λn

πw2(z).

Diese Beziehung gilt fur jedes z und ordnet einer bestimmten vorgegebenen Krummungund Bundelbreite eineindeutig einen komplexen Parameter zu, der damit das Verhaltendes Bundels vollstandig beschreibt.

Beispiel: Ausbreitung im homogenen Raum um z = d

1. Vorgabe der Anfangsbedingungen:

1

q(0)=

1

R(0)+ i

λn

πw2(0)

2. Ausbreitung (folgt aus Definition des Parameters)

q(d) = q(0) + d

3. Bundelparameter bei z = d

1

q(d)=

1

q(0) + d.=

1

R(d)+ i

λn

πw2(d)

2.6.3 Gaußsche Optik

Die Fundamentalmoden vieler Laser weisen eine Gaußsche Intensitatsverteilung auf. Esist daher zweckmaßig, auf der Grundlage des komplexen q - Parameters eine einfache Be-schreibung der Ausbreitung und Wechselwirkung dieser Bundel zu versuchen. Ziel ist esfur vorgegebene R0, w0 (d.h. q0) die entsprechenden qn ,d.h. Rn, wn , nach dem Durchgangdurch n optische Elemente zu finden. Dabei haben wir q(zi) durch qi ersetzt. Obwohl wirWellenoptik und nicht geometrische Optik betreiben, konnen die optischen Elemente mitden aus der geometrischen Optik bekannten 2x2 ABCD-Matrizen beschrieben werden.In der geometrischen Optik gilt:

M =

[A BC D

].

Beim Durchgang durch mehrere Elemente multipliziert man einfach die Matrizen

53

M = MNMN−1..M1 =

[A BC D

]. (2.14)

Die Matrix verbindet die Strahlabstande und die Neigungswinkel vor und nach demElement (

r2

Θ2

)= M

(r1

Θ1

).

Bildet man den Quotienten z1 = r1

Θ1, so erhalt man

r2

Θ2

=A r1

Θ1+ B

C r1

Θ1+ D

, z2 =Az1 + B

Cz1 + D

Diese Quotienten, die einem Abstand auf der optischen Achse entsprechen, sind uber dieMatrixelemente verbunden, jedoch nicht durch eine kanonische Matrixmultiplikation. DieBrucke zur Wellenoptik kann man jetzt schlagen, indem man folgert, daß die endlicheBundelbreite aus dem rellen Abstand einen komplexen Parameter q macht. Damit erhaltman fur die Entwicklung des q - Prameters beim Durchgang durch ein Element

q1 =A1q0 + B1

C1q0 + D1

oder entsprechend beim Durchgang durch n -Elemente

qn =Aq0 + B

Cq0 + D

mit der Matrix (2.14).

ABCD-Matrizen fur ausgewahlte optische Systeme:

54

1. Ausbreitung im homogenen Raum - Ausbreitungslange d

M =

[1 d0 1

]

2. Durchgang durch dunne Linse der Brennweite f (f < 0 fur Konkavlinse)

f < 0 f > 0

M =

[1 0− 1

f1

],

3. Durchgang durch spharische Flache mit Krummungsradius RS (von Medium mitn1 in Medium mit n2 ), wobei RS < 0 fur Konkavflache.

RS > 0 RS < 0

M =

[1 0

− (n2−n1)n2RS

n1

n2

],

4. Durchgang durch ebene Flache (von Medium mit n1in Medium mit n2 )

M =

[1 00 n1

n2

],

5. Reflexion am ebenen Spiegel

M =

[1 00 1

],

6. Reflexion am spharischen Spiegel (Krummungsradius RS)

RS > 0 RS < 0

M =

[1 02

RS1

],

7. Durchgang durch ein Schichtsystem (di, ni)

55

M =

[1

∑Ni=1

di

ni

0 1

].

Man beachte, daß nur die Entwicklung der Bundelbreite und -krummung beschriebenwird. Amplitudenanderungen durch Reflexionen sind nicht enthalten.

2.6.4 Gaußsche Moden in einem Resonator

2.6.4.1 Transversale Fundamentalmoden (Rotationssymmetrie)

Die Idee besteht darin, daß ein Resonator stabil sein sollte, wenn die Spiegelflachenmit den Phasenflachen ubereinstimmen. In paraxialer Naherung heißt das, daß die Krummungs-radien der Spiegel identisch mit den Krummungsradien der Phasenflachen sein sollten.

Definitionen:

• Wegen

R(z) = z +z20

z

ist der Radius der Phasenflache negativ fur negative z.

• Trifft das Bundel auf eine konkave Spiegelflache, gilt fur den Spiegelradius Ri(i =1, 2) < 0.

• z1,2 bezeichne den Abstand von der Taille zum Spiegel ’1’,’2’. d sei der Abstandder Spiegel und damit

z2 = z1 + d

Beispiele:

• R(z1), R(z2) > 0; R1 > 0, R2 < 0

56

d0 z2z1

• R(z1) < 0, R(z2) > 0; R1, R2 < 0

d

0z1 z2

Die Konsistenzbedingungen lauten nun:

R1 = R(z1), R2 = −R(z2)

R1 = z1 +z20

z1

, −R2 = z2 +z20

z2

.

Ersetzen von z20 ergibt

z1(R1 − z1) = −z2(R2 + z2)

und mit z2 = z1 + d erhalt man

z1 = − d (R2 + d)

R1 + R2 + 2d,

d.h. bei Vorgabe von R1, R2, d folgt die Lage der Moden im Resonator. Die Stabilitatder Moden wird dadurch bestimmt, daß die Bedingung

z20 = R1z1 − z2

1 = −d (R1 + d) (R2 + d) (R1 + R2 + d)

(R1 + R2 + 2d)2 (2.15)

erfullt sein muß. Gleichzeitig folgt aus z20 die Taillenbreite w0. Nach einigen Umformungen

folgt aus Gl.(2.15) die Stabilitatsbedingung eines Resonators

0 ≤(

1 +d

R1

)(1 +

d

R2

)≤ 1

57

oder die Hyperbelgleichung

0 ≤ g1g2 ≤ 1.

In der Abbildung sind die Gebiete zwischen den Koordinatenachsen und den Hyperbelnstabil.

Die beiden folgenden Konfigurationen sind Beispiele fur einen stabilen bzw. instabilenResonator:

b1) R1, R2 < 0; |R1| = d + ε1, |R2| = d + ε2; 0 ≤ ε1ε2 ≤ d2 ε1ε2 ≥ 0 stabil

b2) ε1ε2 < 0 instabil

58

Folgende Faustregeln hinsichtlich der Dimensionierung stabiler Resonatoren lassen sichaufstellen:

• beide Spiegel sind konkav

1. Beide Mittelpunkte der entsprechenden Kreise mussen außerhalb des Resona-tors liegen.

2. Beide Mittelpunkte mussen innen und naher zum entprechenden anderen Spie-gel liegen.

stabil instabil

• ein Spiegel ist konvex, der andere konkav

Beide Mittelpunkte mussen jenseits eines Spiegels liegen, wobei der Mittelpunktdes Konvexspiegels weiter entfernt vom Resonator liegen muß.

stabil instabil

59

Instabile Resonatoren sind fur high-gain-Laser interessant, da wegen der großen Verlustedas starkste Modenfeld selektiert wird.

Gauß-Bundel sind Losungen der paraxialen Wellengleichung. Gleichzeitig sind sie dieNormalmoden von Resonatoren mit gekrummten Spiegeln (ebene Spiegel sind Grenz-fall). Damit kann ein beliebiges Feld nach einem vollstandigen Satz von Resonatormodenentwickelt werden → siehe nachstes Unterkapitel.

2.6.4.2 Bemerkungen zu Moden hoherer Ordnung

Das Ziel besteht im Auffinden des gesamten Modensatzes. Die bisher behandelte Funda-mentalmode ist forminvariant, unterliegt aber der Beugung. Trotzdem kann diese Modeals eine longitudinale Normalmode des Resonators angesehen werden, da sie unverander-lich im Resonator existiert. Die Fundamentalmode ist rotationssymmetrisch in Amplitu-de und Phase. Die Konsistenzbedingung bezog sich nur auf die Phasenflache. Moden mitgleicher Phasenflache, aber azimuthal variierender Intensitatsverteilung sollten ebenfallsdiese Bedingung erfullen. Fur die Gaußche Mode galt bisher

vG(x, y, z) = Aw0

w(z)exp

[−x2 + y2

w2(z)

]exp

[ik

2

x2 + y2

R(z)

]exp [iϕ(z)] .

Wir verallgemeinern den Ansatz ( x, y -Abhangigkeit der Phase bleibt erhalten)

v(x, y, z) = X

[√2

x

w(z)

]Y

[√2

y

w(z)

]vG(x, y, z).

Einsetzen in die paraxiale Wellengleichung ergibt eine Eigenwertgleichung mit den Eigen-werten l und m und den hermiteschen Polynomen als Eigenfunktionen, wenn man beruck-sichtigt, daß vG(x, y, z) Losung der paraxialen Wellengleichung ist. Die Gesamtlosung(mit schnellen Phasenanteilen) schreibt sich dann

ul,m(x, y, z) = Al,mw0

w(z)Gl

[√2

x

w(z)

]Gm

[√2

y

w(z)

]exp

[ik

2

x2 + y2

R(z)

]exp (ikz) exp [i(l + m + 1)ϕ(z)] .

mit

Gl(u) = Hl(u) exp

(−u2

2

)

60

und den hermiteschen Polynomen Hl(u) ( H0 = 1, H1 = 2u und Hl+1 = 2uHl −2lHl−1).

Aus der Orthogonalitat der Gauß-Hermite-Polynome∫ ∞

−∞Gl(x)Gm(x)dx =

√π2llδlm

folgt die Orthogonalitat der Resonatormoden∫ ∞

−∞ulm(x, y)u∗

l′m′(x, y)dxdy ∼ δll′δmm′ .

Damit kann ein beliebiges Feld im Resonator nach diesen Moden entwickelt werden

u(x, y, z) =∑l,m

Al,mulm(x, y, z),

wobei die Entwicklungskoeffizienten aus dem Eingangsfeld folgen

Al,m ∼

∫u0(x, y)ulm(x, y, 0)dxdy.

Durch Storungen (Spiegelinhomogenitaten, Nichtlinearitaten etc.) konnen diese Modenkoppeln.

61

2.6.5 Ausbreitung von Impulsen

2.6.5.1 Pulse mit endlicher transversaler Breite (gepulste Bundel)

Bisher: transversal begrenztes Wellenfeld (Strahl), aber monochromatisch −→ ω festge-legt −→ k(ω) fest −→ cw-Laser

aber: fur viele Anwendungen sind Impulse im Bereich von 100 fs - 100 ps von Interesse(Spektroskopie, nichtlineare Optik)

Zeit- und Frequenzskalen:

Pulsenveloppe: 10−13s ≤ T0 ≤ 10−10s

Mittenfrequenz: ω0 = 2πν ∼ 4·1015 Hz −→ Schwingungsdauer Ts = 2π/ω0 ≈1.6 fs

Spektrum des Pulses (z.B. Gauß):

f(t) = exp (−iω0t) exp

(− t2

T 20

)

F (ω) ∼ exp

[−(ω − ω0)

2

4/T 20

]→ ω2

s =4

T 20

→ ωsT0 = 2

−→ spektrale Breite: 4·1010Hz ≤ ωs ≤ 4·1013Hz −→ ωs << ω0 −→ ω−ω0 << ω0

Folgerung: Statt die komplizierte, im allgemeinen nicht analytisch vorliegende, Dispersi-onsrelation k(ω) zu benutzen, kann man eine Taylorentwicklung bei ω = ω0 vornehmenund damit die Dispersionseigenschaften in parabolischer oder kubischer Naherung be-schreiben.

0ω

sω

ω

k

62

k(ω) ≈ k (ω0) +∂k

∂ω

∣∣∣∣ω0

(ω − ω0) +1

2

∂2k

∂ω2

∣∣∣∣ω0

(ω − ω0)2 + ..

k (ω0) = k0,→ 1

vPh

=k0

ω0

=n (ω0)

c−→ Phasengeschwindigkeit

1

vg

=∂k

∂ω

∣∣∣∣ω0

−→ Gruppengeschwindigkeit

Dω =∂2k

∂ω2

∣∣∣∣ω0

−→ Dispersion der Gruppengeschwindigkeit

Damit ist die komplizierte Dispersionsrelation auf drei Großen zuruckgefuhrt:· Phasengeschwindigkeit· Gruppengeschwindigkeit· Dispersion der Gruppengeschwindigkeit

a) Gruppengeschwindigkeit −→ Ausbreitungsgeschwindigkeit des Pulszentrums.Mit

k(ω) =ω

cn(ω) −→ 1

vg

=1

c

[n(ω0) + ω0

∂n

∂ω

∣∣∣∣ω0

]

vg =c[

n(ω0) + ω0∂n∂ω

∣∣ω0

] = vPHn(ω0)

ng(ω0)

ng(ω0) = n(ω0) + ω0∂n

∂ω

∣∣∣∣ω0

−→ Gruppenindex

normale Dispersion: ∂n/∂ω > 0 vg < vPH, ng > nanormale Dispersion: ∂n/∂ω < 0 vg > vPH, ng < n

b) Dispersion der Gruppengeschwindigkeit (GVD) (manchmal einfach Dispersion)−→verantwortlich fur Anderung der Pulsform bei der Ausbreitung

D = Dω =∂2k

∂ω2

∣∣∣∣ω0

[ps2

km

]manchmal auch (optische Kommunikation):

Dλ =∂

∂λ

(1

vg

)= −2π

λ2cDω

63

Achtung wegen Vorzeichen!wichtig fur spatere Diskussion (bei veranderlicher Frequenz unter dem Puls) −→

chirp:

D =∂

∂ω

(1

vg

)= − 1

v2g

∂vg

∂ω

−→ D > 0

∂vg

∂ω< 0

−→ D < 0

∂vg

∂ω> 0

Ausgangspunkt ist die skalare Helmholtzgleichung:

∆ u(r, ω) +ω2

c2ε(ω) u(r, ω) = 0 (2.16)

wobei ω jetzt eine beliebige Fourierkomponente des Feldes darstellt. Es gilt weiterhindie Dispersionsrelation

k2(ω) =ω2

c2ε(ω).

Fur die Entwicklung des Fourierspektrums gilt

U(α, β, ω; z) = U0(α, β, ω) exp [iγ (α, β, ω) z] (2.17)

mitγ (α, β, ω) =

√k2(ω) − α2 − β2

.

64

Das Anfangsspektrum bei z = 0 U0(α, β, ω) ist die Fouriertransformierte der Feld-verteilung

U0(α, β, ω) =1

(2π)3

∫ ∫ ∫ ∞

−∞u0(x, y, t) exp [−i (αx + βy − ωt)] dxdydt

In Fresnelscher (paraxialer) Naherung (k2(ω) >> α2 + β2) ergibt sich aus 2.17

U(α, β, ω; z) ≈ U0(α, β, ω) exp [ik (ω) z] exp

[−i

α2 + β2

2k (ω)z

]und damit die Ubertragungsfunktion fur Pulse in Fresnelscher Naherung

HFP(α, β, ω; z) = exp [ik (ω) z] exp

[−i

α2 + β2

2k (ω)z

]Durch Einsetzen der Taylorentwicklung von k(ω) in ersten Term und Ersetzen von

k(ω) ≈ k(ω0) = k0 (gilt nicht fur extrem kurze Impulse T0 15 fs) im zweiten Termerhalt man die parabolische Naherung der Ubertragungsfunktion

HFP(α, β, ω; z) ≈ exp [ik0z] exp

[i1

vg

(ω − ω0) z

]exp

[iD

2(ω − ω0)

2 z

]exp

[−i

α2 + β2

2k0

z

](2.18)

= exp [ik0 z] exp

[i z

(ω

vg

+1

2Dω2 − α2 + β2

2k0

)](2.19)

= exp [ik0 z] HFP(α, β, ω; z)

wobei HFP(α, β, ω; z) den in z langsam variierenden Teil der Ubertragungsfunktiondarstellt.

Damit ergibt sich fur das Gesamtfeld u(x, y, z, t)

u(x, y, z, t) = exp [ik0 z]

∫ ∫ ∫ ∞

−∞U0(α, β, ω)HFP(α, β, ω; z) exp [i (αx + βy − ωt)] dαdβdω

= exp [i (k0 z − ω0t)]

∫ ∫ ∫ ∞


Einfuhrung der langsam variierenden Amplitude

u(x, y, z, t) = v(x, y, z, t) exp [i (k0 z − ω0t)]

65

fuhrt auf:

v(x, y, z, t) =

∫ ∫ ∫ ∞


Das Spektrum des Gesamtanfangsfeldes ist noch durch das Spektrum des ’langsamen’Feldes zu ersetzen:

u0(x, y, t) = v0(x, y, t) exp (−iω0t)

U0(α, β, ω) =1

(2π)3

∫ ∫ ∫ ∞

−∞v0(x, y, t) exp [−i (αx + βy − ωt)] dxdydt

= V0(α, β, ω)

v(x, y, z, t) =

∫ ∫ ∫ ∞

−∞V0(α, β, ω)HFP(α, β, ω; z) exp [i (αx + βy − ωt)] dαdβdω

=

∫ ∫ ∫ ∞

−∞V0(α, β, ω)HFP(α, β, ω; z) exp

i

[αx + βy − ω

(t − z

vg

)]dαdβdω

wobei der lineare Term aus der Transmissionsfunktion separiert worden ist. Fuhrtman die sog. ’mitgefuhrte’ Zeit des Impulses

τ = t − z

vg

ein und schreibt schließlich die Transmissionsfunktion aus, erhalt man die langsameAmplitude im mitgefuhrten Bezugssystem

v(x, y, z, τ) =

∫ ∫ ∫ ∞

−∞V0(α, β, ω) exp

[i

z

2

(Dω2 − α2 + β2

k0

)]exp i [αx + βy − ωτ ] dαdβdω

Fur das Gesamtfeld gilt dann:

u(x, y, z, t) = v(x, y, z, τ) exp [i (k0z − ω0t)]

Damit ist die Evolution eines beliebigen Eingangsimpulses endlicher transversalerDimension vollstandig beschrieben.

Die Analogie zwischen Beugungs-und Dispersionseffekten kann leicht hergestellt wer-den, wenn man erhalt eine dreidimensionale Verallgemeinerung der Beugung:

66

v(−→µ , τ) =

∫V0(

−→ρ ) exp[i

z

2

−→δ −→ρ 2

]exp (i−→ρ −→µ ) d−→ρ

−→ρ =

αβω

,−→µ =

xy−τ

,−→δ =

− 1k0− 1k0

D

Man erkennt leicht den Zusammenhang: D ←→ −1/k0,dabei gilt zu beachten,daß

D ≷ 0.

Aus der Entwicklung des Spektrums gelingt es wieder, eine Differentialgleichung furdie langsame Amplitude abzuleiten:

V (α, β, ω; z) = V0(α, β, ω) exp

[i

z

2

(Dω2 − α2 + β2

k0

)]

Differenzieren ergibt:

i∂V (α, β, ω; z)

∂z= − 1

2

(Dω2 − α2 + β2

k0

)V (α, β, ω; z)

Fourier-Rucktransformation fuhrt auf die gewunschte DGL:

i∂v(x, y, z, τ)

∂z− D

2

∂2

∂τ 2v(x, y, z, τ) +

1

2k0

∆(2)v(x, y, z, τ) = 0 (2.20)

→ paraxiale Gleichung zur Beschreibung der Impulsausbreitung. Fur D = 0 wird derFall der ’einfachen’ Beugung reproduziert.

2.6.5.2 Unendliche transversale Ausdehnung

Spezialfall: α = β = 0 → nur eine Ortsfrequenz in z-Richtung, ebene Welle

1. Anfangsverteilung:

u0(t) = v0(t) exp (−iω0t)

2. Anfangsspektrum:V0(ω) = U0(ω)

3. Entwicklung des Spektrums:

V (ω; z) = exp

[i z

D

2ω2

]V0(ω)

−→ Rucktransformation mit τ

67

4. Entwicklung der Amplitude:

v(z, τ) =

∫ ∞

−∞V0(ω) exp

[i z

D

2ω2

]exp [−i ωτ ] dω

Die Fouriertransformation der Ubertragungsfunktion

HP(ω; z) = exp

[i z

D

2ω2

]ergibt die zeitliche Responsefunktion

hP(τ − t′; z) =

√2

−iπDzexp

[−i

(τ − t′)2

2Dz

]

Damit kann man im Zeitraum schreiben:

v(z, τ) =

∫ ∞

−∞hP(τ − t′; z)v0(t

′)dt′

Die Differentialgleichung fur die langsame Amplitude ergibt sich aus (2.20) zu

i∂v(z, τ)

∂z− D

2

∂2

∂τ 2v(z, τ) = 0 (2.21)

Aus (2.21) kann man nochmals einfach die Analogie zwischen Beugungs- und Disper-sionseffekten ablesen

(α, β) ←→ ω, (x, y) ←→ τ,∇ ←→ ∂

∂τ,

1

k0

←→ −D, aber :D ≶ 0.

2.6.5.3 Beispiel: Chirpfreier Gauß-Impuls

→ Analogie zur Beugung ausnutzen 1. Anfangsverteilung −→ chirpfreier Impuls

τ

0u

02T0u

e

68

u0(t) = A exp

(− t2

T 20

)exp (−iω0t) → v0(τ) = A exp

(− τ 2

T 20

)2. Anfangsspektrum:

V0(ω) = AT0√π

exp

(−ω2T 2

0

4

)spektrale Breite: ω2

s = 4/T 20

Ergebnisse von Ausbreitung eines Gauß-Strahles ausnutzen:

z0 beschreibt Gauß

z0 =

(k

2w2

0

)= −1

2

T 20

D≷ 0

Dispersionslange: LD = 2 |z0|3. damit folgt aus Analogie zur Ausbreitung eines Bundels die Entwicklung der Am-

plitude:

v(z, τ) = A

√T0

T (z)exp

[− τ 2

T (z)2

]exp

[− i

2D

τ 2

R(z)

]exp [i ϕ(z)]

mit

A(z) = A 4

√√√√ 1

1 +(

zz0

)2 , T (z) = T0

√1 +

(z

z0

)2

’Krummung’ ist fur Impuls keine passende Große → Einfuhrung des Chirps

Erinnerung: (∂2

∂x2+

∂2

∂y2

)Φ(x, y) =

k

R(z)

fur monochromatische Felder galt:

Φ(τ) = −ωτ −→ −∂Φ(τ)

∂τ= ω

Verallgemeinerung auf beliebige Zeitabhangigkeit der (Gesamt)-Phase

−∂Φ(τ)

∂τ= ω(τ) und − ∂2Φ(τ)

∂τ 2= chirp

Man fuhrt den ’chirp’ als dimensionslose Große ein (parabolische Naherung):

69

C = −T 20

2

∂2Φ(τ)

∂τ 2

damit wird die variable Frequenz unter dem Puls

−∂Φ(τ)

∂τ= ω(τ) = ω0 + 2C

τ

T0

C > 0 −→ up-chirp

τ

C < 0 −→ down-chirp

τ

Man hat nun die Krummung R(z) durch den chip C(z) zu ersetzen:

Φ(τ) = −ω0τ − τ 2

2DR(z)≡ −ω0τ − C(z)

τ 2

T 20

−→ C(z) =T 2

0

2DR(z)= − z0

R(z)

Mit

R(z) =z2 + z2

0

z−→ C(z) = − z0z

z2 + z20

= − z

z0

(1 + z2

z20

)Achtung: Der Chirp tragt das Vorzeichen von z0 und damit von D.

Damit ergibt sich fur das Gesamtfeld:

u(z, τ) = A

√T0

T (z)exp

[− τ 2

T (z)2

]exp

[−iC(z)

τ 2

T 20

]exp [i ϕ(z)] exp [i (k0z − ω0t)]

Physikalisch ist die Situation ahnlich zu der beim Bundel. Die entscheidende Großeist der Dispersionsparameter

z0 = − T 20

2D

70

1) z << |z0|: keine Effekte

2) z ≈ |z0|: wie bei Bundel

3) D ≶ 0 spielt nur bei chirp eine Rolle, da sonst quadratisch.

2.6.5.4 Beispiel: Gechirpter Gauß-Impuls

Oftmals generieren Laser gechirpte Impulse oder man erzeugt sich den Chirp gezielt, umden Puls zu komprimieren. Diese Kompression kann man in Analogie zur Strahlausbrei-tung erwarten (gekrummte Phase −→ Fokussierung).

Ein gechirpter Eingangsimpuls hat die Form

v0(τ) = A exp

[−τ 2(1 + iC0)

T 20

].

Durch Fouriertransformation erhalt man das Spektrum

V0(ω) = A exp

[−ω2T 2

0 (1 − iC0)

4(1 + C20)

].

Damit ergibt sich die spektrale Breite zu

ω2s =

4(1 + C20)

T 20

.

Ein gechirpter Puls ist immer spektral breiter als ein ungechirpter (ω2s = 4/T 2

0 ) −→transformationsbegrenzt.

Das Ziel besteht nun darin, Pulsbreite und Chirp in Abhangigkeit von den Ein-gangsparametern zu berechnen. Da ein gaußformiger Strahl vollstandig vom q-Parameterbeschrieben wird, kann man das auch von einem Gauß-Impuls erwarten. Wir nutzen dieseAnalogie aus.

Bei Ausbreitung im homogenen Raum gilt:

71

q(z) = q(0) + z. (2.22)

Wir erinnern uns an den Zusammenhang von q-Parameter und Strahlparametern

1

q(z)=

1

R(z)+ i

2

kw2(z).

Durch Ausnutzen der Analogie zwischen Beugung und Dispersion konnen wir den q-Parameter des Impulses mit Pulslange und Chirp in Zusammenahn bringen. Wir ersetzen:

k −→ − 1

D, w2(z) −→ T 2(z),

1

R(z)−→ 2DC(z)

T 20

und erhalten

1

q(z)=

2DC(z)

T 20

− i2D

T 2(z)=

2D

T 20

[C(z) − i

T 20

T 2(z)

]. (2.23)

Man beachte, daß T0 mit der Pulsbreite bei z = 0 und nicht in der Taille zusam-menhangt.

Als Eingangsgroße (z = 0) erhalt man aus 2.23

1

q(0)=

2D

T 20

[C0 − i] (2.24)

wobei C0 = C(0).

Die Idee besteht nun darin, Gl.(2.24) in Gl.(2.22) einzusetzen und mit Gl.(2.23)gleichzusetzen. Da sowohl Real- als auch Imaginarteil identisch sein mussen, erhalt manzwei Gleichungen fur die funf Großen C0, T0, z, C(z), T (z), d.h. man muß sich drei dieserGroßen vorgeben.

Man geht folgendermaßen vor, um die Pulsparameter bei z = d zu berechnen:

1) q-Parameter am Eingang

q(0) =T 2

0

2D

(C0 + i)

(1 + C20)

(2.25)

2) Entwicklung des q-Parameters

q(d) = q(0)+d =T 2

0

2D

(C0 + i)

(1 + C20)

+d =1

2D (1 + C20)

[2Dd

(1 + C2

0

)+ C0T

20 + iT 2

0

](2.26)

3) Invertieren von Gl. 2.23 ergibt

q(d) =T 2

0 T 2(d)

2D [C2(d)T 4(d) + T 40 ]

[C(d)T 2(d) + iT 2

0

](2.27)

72

4) Gleichsetzen von 2.26 und 2.27 fuhrt auf

[2Dd (1 + C20) + C0T

20 ]

(1 + C20)

=C(d)T 2

0 T 4(d)

[C2(d)T 4(d) + T 40 ]

1

(1 + C20)

=T 2

0 T 2(d)

[C2(d)T 4(d) + T 40 ]

Bei Vorgabe von drei relevanten Großen lassen sich daraus die zwei gewunschten Großenberechnen.Ein wichtiger Spezialfall ist dadurch gegeben, daß man fragt, an welcher Stelle ein ge-chirpter Puls seine großte Kompression (Taille) erreicht und wie groß die Kompressionist.Vorgegeben sind damit: C0, T0, C(d) = 0 (Taille) und die Gleichungen vereinfachen sichzu:

[2Dd

(1 + C2

0

)+ C0T

20

]= 0 −→ d = − C0T

20

2D (1 + C20)

= −1

2sgn(D)

C0

(1 + C20)

LD

T 2(z) =T 2

0

(1 + C20)

Schlußfolgerungen:1) Ein Puls kann komprimiert werden, wenn das Produkt aus Anfangschirp und Disper-sion negativ ist −→ C0D < 0.2) Die Kompression ist umso großer je großer der Anfangschirp ist.

Physikalische Interpretation:z.B. C0 < 0 und D > 0 −→ ∂vg/∂ω < 0 −→’blau’ schneller als ’rot’

73

−→ der ’rote Schwanz’ uberholt die ’blaue Front’ −→ bis C(z) = 0 (Taille), d.h. derPuls wird kompromiert. Bei der weiteren Ausbreitung wird C(z) > 0 und damit die ’roteFront’ schneller als der ’blaue Schwanz’ , d.h., der Puls wird breiter.Experiment:

• Ausbreitung im nichtlinearen Medium (Selbstphasenmodulation) −→ C < 0 −→anschließend Ausbreitung in Medium mit D > 0 −→ Kompression (Faktor 5 isttypisch)

• Halbleiterlaser liefern gechirpten Puls

hier Analogie weiterfuhren (chirper) IEEE JQE 26 (90)1158

2.6.5.5 Beispiel: Ausbreitung eines Gauß-Impulses mit endlicher Breite

−→ optisches Bullet

Zur expliziten Berechnung nutzt man die in Kapitel 2.6.1.1 abgeleitetet Ergebnisse(insbesondere Gl.(2.18), die fur jede beliebige Anfangsverteilung (nicht auf Gauß be-schrankt) gelten.

Hier beschranken wir uns auf ein raum-zeitliches Gauß-Profil.1. Eingangsfeld:

v0(x, y, τ) = A exp

(− τ 2

T 20

)exp

(−x2 + y2

w20

)2. Feld nach Ausbreitung :

v(x, y, z, τ) = A

√T0

T (z)

w0

w(z)exp

[− τ 2

T (z)2

]exp

[− x2 + y2

w2(z)

]

exp

[ik0

x2 + y2

2R(z)

]exp

[−iC(z)

τ 2

T 20

]exp [i ϕ(z)] exp [i (k0z − ω0t)]

u(x, y, z, τ) = v(x, y, z, τ) exp i [k0z − ω0 (τ − z/vg)]

mit

T (z) = T0

√1 +

(2z

Ld

)2

, w(z) = w0

√1 +

(2z

Lb

)2

,

C(z) =2z sgn(D)

Ld

[1 +

(2z

Ld

)]−1

, R(z) = z

[1 +

(Lb

2z

)2]

Ld =T 2

0

|D| , Lb = kw20

74

Eine Verallgemeinerung auf Gauß-Hermite- bzw. Gauß-Laguerre-Moden ist moglich (imResonator).

75

Kapitel 3

Beugungstheorie

3.1 Wechselwirkung mit ebenen Schirmen

a) Beugung im weiteren Sinne −→ Ausbreitung eines raumlich begrenzten Wellenfeldesin einem Halbraum −→ Problem bisher behandelt.

b) Beugung historisch −→ Feld trifft auf Hindernis −→ WW induziert Polarisation, dieein Sekundarfeld abstrahlt −→ Interferenz fuhrt zum Beugungsbild

−→ vektorielles Randwertproblem −→ vektorielles Randwertproblem selbstkonsistent zulosen

Es gibt nur wenige strenge Losungen −→ keine große praktische Bedeutung

Naherungen:

a) geometrische Optik −→ Schatten

b) skalare Beugungstheorie mit Naherungen fur die Wechselwirkung −→ von der Aperturgehen Erregungen mit bestimmten Amplituden aus −→ Interferenz

Die Wechselwirkung mit der Apertur wird durch eine komplexe Transferfunktion t(x, y)beschrieben, wobei gilt, daß t(x, y) = 0 außerhalb der Apertur.

Damit reduziert sich das Beugungsproblem auf drei verschiedene Prozesse:

1. Ausbreitung von der Lichtquelle zur Apertur

2. Multiplikation der Feldverteilung mit der Transferfunktion

3. Ausbreitung der modifizierten Feldverteilung hinter der Apertur

Problem ’1’ spielt fur viele Anwendungen keine Roll, da man eine ebene Beleuchtungs-welle (keine Beugung) voraussetzt.

Wechselwirkung mit der Apertur

u+(x, y, zA) = t(x, y)u−(x, y, zA)

Ausbreitung nach der Apertur

76

u(x, y, z) =

∫ ∞∫−∞

h (x − x′, y − y′, z − zA) u+(x′, y′, zA)dx′dy′

oder

u(x, y, z) =

∫ ∞∫−∞

H (α, β; z − zA) U+(α, β; zA) exp [i (αx + βy)] dαdβ,

wobei

h =1

(2π)2 FT [H]

und im folgenden wird zB = z − zA eingefuhrt.

Die Ausbreitung im Halbraum hinter der Apertur kann exakt oder in verschiedenenNaherungen (Fresnel, Fraunhofer) beschrieben werden.

3.2 Beschreibung der Ausbreitung in verschiedenen

Naherungen

3.2.1 Der allgemeine Fall - kleine Offnungen, große Offnungs-winkel

Die Ubertragubgsfunktion wurde im Kapitel 2.6.1 abgeleitet. Wir erinnern uns:

H (α, β; zB) = exp (iγzB)

mit

γ2 = k2(ω) − α2 − β2.

Es bestehen keinerlei Beschrankungen bzgl. der Ortsfrequenzen α, β, d.h., es tretensowohl homogene als auch evaneszente Wellen auf. Es sind beliebig kleine Aperturstruk-turen zugelassen. Dazu benutzt man die sog. Weyl-Darstellung der Kugelwelle (Winkel-spektrum der Kugelwelle).

1

rexp (ikr) =

i

2π

∫ ∞∫−∞

1

γexp [i (αx + βy + γzB)] dαdβ

Die Kugelwelle ist die Green’sche Funktion der Helmholtzgleichung im homogenenRaum.

Daraus folgt durch einfaches Differenzieren:

77

−2π∂

∂z

[1

rexp (ikr)

]=

∫ ∞∫−∞

exp [i (αx + βy + γzB)] dαdβ = FT [H] = (2π)2 h

h (x, y, zB) = − 1

2π

∂

∂z

[1

rexp (ikr)

]

mit r =√

x2 + y2 + z2B. Damit wird die Beugung durch die Rayleigh-Formel

u(x, y, z) =

∫ ∞∫−∞

h (x − x′, y − y′, zB) u+(x′, y′, zA)dx′dy′

beschrieben. h (x − x′, y − y′, zB) bezeichnet man auch als Green’sche Funktion derHelmholtzgleichung im homogenen Halbraum.

Man kann sich aus der Ubertragungsfunktion die Responsefunktion im Ortsraumbeschaffen.

3.2.2 Fresnelnaherung - paraxial

Wenn α2 + β2 << k2 (eingeschranktes Ortsfrequenzspektrum −→ bestimmte minimaleGroße der Variationen in der Apertur), kann man die oben abgeleiteten Ubertragungs-und Responsefunktionen benutzen.

HF (α, β; zB) = exp (ikzB) exp[−i

zB

2k

(α2 + β2

)]

hF (x, y, zB) = − i

λzB

exp (ikzB) exp

[i

k

2zB

(x2 + y2

)]

Das gleiche Ergebnis erhalt man, wenn h (x, y, zB) im Ortsraum entwickelt wird.

3.2.3 Fraunhofernaherung - paraxial und Fernfeld

α2 + β2 << k2, kzB >> 1 −→ zB >> λ

zusatzliche Forderung (Begrundung spater) fur Fresnelzahl NF

NF 0.1 mit NF =a

λ

a

zB

=1

π

z0

zB

Ableitung aus Fresnelnaherung mitMethode der stationaren Phase:

Zu berechnen ist das Integral

78

I =

∫ ∫g(p, q) exp [iκf(p, q)] dpdq

Die naherungsweise Berechnung kann erfolgen, wenn κ >> 1 und g(p, q) langsam verander-lich ist.Idee: Wenn κ >> 1, oszilliert der Expomnt im Integranden schon bei kleinen Anderungenvon f(p, q) stark −→ durch die Integration heben sich diese Beitrage heraus.Ausnahme: stationare Punkte pm, qm

∂f

∂p

∣∣∣∣pm,qm

= fp|pm,qm= 0,

∂f

∂q

∣∣∣∣pm,qm

= fq|pm,qm= 0

Das Integral laßt sich dann naherungsweise als eine Summe uber die stationaren Punktedarstellen:

I =2π

iκ

M∑m=1

1√fpp(m)fqq(m) − f 2

pq(m)

g (pm, qm) exp [iκf(pm, qm)]

Das Beugungsfeld in Fresnelnaherung ergibt sich zu

uF(x, y, zB) =

∫ ∞∫−∞

U+(α, β; zA) exp (ikzB) exp[−i

zB

2k

(α2 + β2

)]exp [i (αx + βy)] dαdβ

Anwendung der Methode der stationaren Phase:

uF(x, y, zB) = exp (ikzB)

∫ ∞∫−∞

U+(α, β; zA) exp

ikzB

[(α

k

x

zB

+β

k

y

zB

)− 1

2

(α2

k2+

β2

k2

)]dαdβ

Mit den Abkurzungen:

p =α

k, q =

β

k, κ = kzB >> 1

f(p, q) = px

zB

+ qy

zB

− 1

2

(p2 + q2

)folgt daraus:

uF(x, y, zB) = k2 exp (iκ)

∫ ∞∫−∞

U+(kp, kq; zA) exp [iκf(p, q)] dpdq (3.1)

Die Ableitungen lauten

79

∂f

∂p=

x

zB

− p,∂f

∂q=

y

zB

− q,∂2f

∂p2=

∂2f

∂q2= −1,

∂2f

∂p∂q= 0

damit ergeben sich die stationaren Punkte:

p1 =x

zB

, q1 =y

zB

−→ f(p1, q1) =x2 + y2

2zB

Das Beugungsfeld in Fraunhofernaherung ergibt sich dann zu:

uFR(x, y, zB) =2π

ikzB

k2 exp (ikzB) U+(kx

zB

, ky

zB

; zA) exp

[i

k

2zB

(x2 + y2)

]= −i

(2π)2

λzB

exp (ikzB) U+(kx

zB

, ky

zB

; zA) exp

[i

k

2zB

(x2 + y2)

]

−→ in Fraunhoferscher Naherung ist die Amplitudenverteilung des Beugungsbildesproportional zur Fouriertransformierten des Feldes hinter der Apertur

I =(2π)4

(λzB)2

∣∣∣∣U+(kx

zB

, ky

zB

)

∣∣∣∣2

Interpretation:

An jedem Ort x, y tragt nur eine Ortsfrequenz(α = k x

zB; β = k y

zB

)mit der entsprechen-

den Spektralamplitude U+(k xzB

, k yzB

; zA) zum Beugungsbild bei (i.a. tragen alle Ortsfre-quenzen bei).

Warum muß die Bedingung

NF =a

λ

a

zB

0.1

erfullt sein?

zwei wesentliche Quotienten: Apertur/Wellenlange und Apertur/Abstand

Idee:

80

• f(p, q) muß schnell im Vergleich zu U(p, q) abklingen −→ U(p, q) ≈ const. anstationaren Punkten

• schnelles Abklingen von U(p, q) wird durch Apertur und nicht durch kleine Struk-turen bestimmt

Wir zeigen das fur den eindimensionalen Fall:

a) spektrale Breite im Exponenten

f(p) ≈ f(ps) +1

2

∂2f

∂p2

∣∣∣∣ps

(p − ps)2

=x2

2zB

− 1

2

(p − x

zB

)2

sp

p

f

Interpretation:

f(p) ≈ f(ps) +1

2

∂2f

∂p2

∣∣∣∣ps

(p − ps)2

=x2

2zB

− 1

2

(p − x

zB

)2

Damit ergibt sich fur den Exponenten (Phase) in (3.1)

kzBf(p) ≈ kx2

2zB

− 1

2

zB

k

(α − kx

zB

)2

damit ergibt sich fur die spektrale Breite:

w2s =

2k

zB

−→ 2ws = 4

√π

λzB

b) spektrale Breite von U(p, q) :

Apertur −→ a −→ αa = 2π/a −→ Breite = 4π/a

81

Mit der Forderungen, dass U(p, q) sich langsamer andert als der Exponent folgt:

4π/a >> 4

√π

λzB

−→ NF =a2

λz<< π

q.e.d.

Damit ergibt sich (im eindimensionalen Fall) fur die Gultigkeit der Fraunhofernahe-rung:

1) a2 << k2 −→ ∆x >> λ

2) kzB >> 1 −→ zB >> λ

3) NF = a2

λz<< 1 −→ zB >> a2

λ

Beispiel: ∆x = 10λ, a = 100λ −→ zB >> 104λ ≈ 1 cm

3.3 Fraunhoferbeugung an ebenen Schirmen

Beleuchtungswelle:

• senkrechtu−(x, y, zA) = A exp (ikzzA)

• schrag

u−(x, y, zA) = A exp [i (kxx + kyy + kzzA)]

Beugungsbild:

I(x, y, zB) = |u(x, y, zB)|2 =(2π)4

(λzB)2

∣∣∣∣U+(kx

zB

, ky

zB

)

∣∣∣∣2−→ Spektrum nach Schirm bei α = k x

zB, β = k y

zB

82

Spektrum:Feld nach Schirm:

u+(x, y, zA) = u−(x, y, zA)t(x, y) = A exp [i (kxx + kyy + kzzA)] t(x, y)

U+(kx

zB

, ky

zB

) =A

(2π)2 exp (ikzzA)

∫ ∞∫−∞

t(x′, y′) exp

−i

[(k

x

zB

− kx

)x′ +

(k

y

zB

− ky

)y′

]dx′dy′

= A exp (ikzzA) T

(k

x

zB

− kx, ky

zB

− ky

)

Damit ergibt sich fur die Intensitat des Beugungsbildes

I(x, y, zB) = A2 (2π)4

(λzB)2

∣∣∣∣T (k

x

zB

− kx, ky

zB

− ky

)∣∣∣∣2

−→ |FT der Apertur|2

−→ Verschiebung des Bildes durch schrage Beleuchtung

3.3.0.1 Beispiele:

3.3.0.2 rechteckiger Spalt bei senkrechter Beleuchtung

t(x, y) =

1 fur |x| a, |y| b0 sonst

I(x, y, zB) ∼ sinc2

(ka

x

zB

)sinc2

(kb

y

zB

)

83

3.3.0.3 Lochblende

t(x, y) =

1 fur x2 + y2 a2

0 sonst

I(x, y, zB) ∼J1

(kazB

√x2 + y2

)kazB

√x2 + y2

2

−→ Airy-Funktion

−→ Definition des Auflosungsvermogens

Punkt −→Airy-Beugungsscheibchen

x2 + y2 = ρ2

ka

zB

ρs = 1.22π −→ ρs

zB

=0.61λ

a

Θ =2ρs

zB

=1.22λ

a

Θ −→ Auflosungsvermogen spater

3.3.0.4 eindimensionale periodische Strukturen

b - Periode, 2a - Offnung

84

t1(x) =

tS(x) fur |x| a

0 sonst

t(x) =N−1∑n=0

t1(x − nb)

T

(k

x

zB

)∼

N−1∑n=0

∞∫−∞

t1(x′ − nb) exp

(−ik

x

zB

x′)

dx′

mit x′ − nb = X ′

T

(k

x

zB

)∼

N−1∑n=0

a∫−a

tS(X′) exp

(−ik

x

zB

X ′)

exp

(−ik

x

zB

nb

)dX ′

∼ TS

(k

x

zB

) N−1∑n=0

exp

(−ik

x

zB

nb

)

∼ TS

(k

x

zB

) sin(N k

2xzB

b)

sin(

k2

xzB

b)

wegenN−1∑n=0

exp (−iδn) =sin

(N δ

2

)sin

(δ2

)Fur ein Strichgitter gilt:

TS

(k

x

zB

)= sinc

(k

x

zB

a

)Damit ergibt sich die Intensitat des Beugungsbildes zu

I ∼ sinc2

(k

x

zB

a

) sin2(N k

2xzB

b)

sin2(

k2

xzB

b)

85

-42 -35 -28 -21 -14 -7 0 7 1 4 2 1 2 8 3 5 4 2

0

1 0

2 0

3 0

4 0

5 0

B2

k b xN

z π

0

I

I7N=

Sx

Nxpx=

Die Struktur des Beugungsbildes wird durch drei Großen bestimmt:

• Breite des Beugungsbildes → erste Nullstelle der Spaltfunktion

kxS

zB

a = π → xS =λzB

a

• Maxima des Beugungsbildes → Maxima der Gitterfunktion

k

2

xp

zB

b = nπ → xp = nλzB

b

• Breite der Maxima → Nullstellen der Gitterfunktion

Nk

2

xN

zB

b = π → xN =λzB

Nb

N −→ ∞ −→ Delta-Funktion δ(x − nλbzB)

86

3.3.1 Bemerkungen zur Fresnelbeugung am Spalt

Verhalten wird durch Fresnelzahl NF = aλ

azB

= 1π

z0

zBbestimmt.

• NF 10 (a groß, λzB klein, zB < 1/30 z0) −→ geometrischer Schatten

• NF 0.1 ( zB > 3z0) −→ Fraunhoferbeugung −→ Fouriertransformation derApertur

• 10 NF 0.1 (1/30 z0 < zB < 3z0) −→ Fresnelbeugung

Beispiel: 1D Spalt

u+(x) = 1 fur |x| a

U+ (α) = a sinc(αa) −→ U (α; z) ∼ a sinc(αa) exp

(−i

α2

2kz

)

u(x, z) ∼∫

a sinc(αa) exp

(−i

α2

2kz

)exp (iαx) dα

87

Kapitel 4

Fourieroptik −→ Optische Filterung

Beherrscht man die Beschreibung der Ausbreitung des Feldes, benotigt man noch dieTransferfunktion einer Linse, um die optische Abbildung zu beschreiben. Wir beschrankenuns auf die paraxiale Naherung ( siehe Kapitel 3.2.2), was im allgemeinen fur die opti-schen Systeme eine ausreichende Naherung darstellt. Es wird sich herausstellen, daßunter bestimmten Bedingungen bei der Abbildung die Fouriertransformierte des Objek-tes entsteht. Diese Feldverteilung kann nun in der Fourierebene manipuliert werden. Eineweitere Abbildung erzeugt ein gegenuber dem Objekt verandertes Bild. Durch gezielteManipulationen konnen Filterfunktionen verwirklicht werden.

Die Ausbreitung im homogenen Raum wird im Fourierraum beschrieben, die Wech-selwirkung mit der Linse im Ortsraum.

4.1 Die Abbildung eines beliebigen Feldes mit einer

dunnen Linse

4.1.1 Transferfunktion einer dunnen Linse

Eine dunne Linse soll nur die Phase eines optischen Feldes verandern (Transmission =1). Nimmt man an, daß eine Linse eine vom Fokus ausgehende Kugelwelle in eine ebeneWelle transformiert, ergibt sich fur die Transferfunktion einer dunnen Linse wegen

exp (ikz) exp

[ik

2f

(x2 + y2

)]tL (x, y) = exp (ikz)

tL (x, y) = exp

[−i

k

2f

(x2 + y2

)].

Im Fourierraum gilt damit:

TL (α, β) = −iλf

(2π)2 exp

[if

2k

(α2 + β2

)].

Der Vollstandigkeit halber geben wir noch die Ubertragungsfunktion des homogenenRaumes an

88

HF (α, β; z) = exp (ikz) exp

[− i

2k

(α2 + β2

)z

].

4.1.2 Die Beschreibung der Abbildung

Das Objekt befinde sich im hinteren Fokus einer Linse, das Beugungsbild wird im Fokusberechnet.

4.1.2.1 1. Spektrum in der Objektebene

U0(α, β) = FT−1 [u0(x, y)]

4.1.2.2 2. Ausbreitung Objekt −→Linse

U−(α, β; f) = HF (α, β; f) U0(α, β)

4.1.2.3 3. Wechselwirkung mit der Linse

u+(x, y, f) = tL (x, y) u−(x, y, f)

−→ U+(α, β; f) = TL (α, β) ∗ U−(α, β; f)

4.1.2.4 4. Ausbreitung Linse −→Bildebene

U(α, β; 2f) = HF (α, β; f) U+(α, β; f)

89

4.1.2.5 5. Fouriertransformation in der Bildebene

u(x, y, 2f) = FT [U(α, β; 2f)]

Durchfuhrung der Rechnung

90

4.1.2.6 1. Spektrum in der Objektebene

U0(α, β) = FT−1 [u0(x, y)]

4.1.2.7 2. Ausbreitung Objekt −→Linse

U−(α, β; f) = exp (ikf) exp

[− i

2k

(α2 + β2

)f

]U0(α, β)

4.1.2.8 3. Wechselwirkung mit der Linse

U+(α, β; f) = TL (α, β) ∗ U−(α, β; f)

= −iλf

(2π)2 exp (ikf)

∫ ∫ ∞

−∞exp

if

2k

[(α − α′)2

+ (β − β′)2]

·

· exp

[− i

2k

(α′2 + β′2) f

]U0(α

′, β′)dα′dβ′

4.1.2.9 4. Ausbreitung Linse −→Bildebene

U(α, β; 2f) = −iλf

(2π)2 exp (2ikf)

∫ ∫ ∞

−∞exp

if

2k

[(α − α′)2

+ (β − β′)2]

·

· exp

[− i

2k

(α′2 + β′2) f

]exp

[− i

2k

(α2 + β2

)f

]U0(α

′, β′)dα′dβ′

= −iλf

(2π)2 exp (2ikf)

∫ ∫ ∞

−∞U0(α

′, β′) exp

[−i

f

k(αα′ + ββ′)

]dα′dβ′

= −iλf

(2π)2 exp (2ikf) u0

(−f

kα,−f

kβ

)−→ das Spektrum in der Bildebene entspricht der Objektverteilung, wobei die Ortsfre-

quenzen (α, β) durch(− k

fx,− k

fy)

zu ersetzen sind.

91

4.1.2.10 5. Fouriertransformation in der Bildebene

u(x, y, 2f) = FT [U(α, β; 2f)]

= −iλf

(2π)2 exp (2ikf)

∫ ∞∫−∞

u0

(−f

kα,−f

kβ

)exp [i (αx + βy)] dαdβ

Mit der Koordinatentransformation

x′ = −f

kα, y′ = −f

kβ −→ dα = −k

fdx′, dβ = −k

fdy′

ergibt sich

u(x, y, 2f) = −i1

λfexp (2ikf)

∫ ∞∫−∞

u0 (x′, y′) exp

[−i

k

f(xx′ + yy′)

]dx′dy′

= −i(2π)2

λfexp (2ikf) U0

(k

fx,

k

fy

)

Das Bild in der hinteren Brennebene entspricht der Fouriertransformierten der Ob-jektverteilung −→ Analogie zum Fernfeld in der Fraunhofernaherung, aber zB ←→ f .

Die optische Fouriertransformation erlaubt Manipulationen am spektralen Inhalt.

4.2 Optische Filterung bzw. Bildberarbeitung

4.2.1 Die 4f - Geometrie

92

In der hinteren Brennebene der ersten Linse (Fourierebene) soll eine Manipulation amSpektrum durch eine Pupillenfunktion p(x, y) vorgenommen werden. Das wesentlicheErgebnis bisher ist, daß das Bild in der hinteren Brennebene einer Linse (Objekt invorderer Brennebene) proportional zur Fouriertransformierten der Objektverteilung ist

u(x, y, 2f) = AU0

(k

fx,

k

fy

), (4.1)

wobei A eine komplexe Amplitude ist. Unser Ziel besteht nun darin, die Abbildungdurch die zweite Linse unter Berucksichtigung der Manipulation zu beschreiben undeine Ubertragungsfunktion HA(α, β; 4f) des gesamtem abbildenden Systems zu finden.

u(x, y, 4f) =

∫ ∞∫−∞

HA (α, β; 4f) U0(α, β) exp [i (αx + βy)] dαdβ

Die Aperturfunktion p(x, y) beschreibt alle Begrenzungen des Systems und beliebige,zusatzlich einzubringende, Filterfunktionen.

Damit ergibt sich mit (4.1) das Feld hinter der Pupille zu

u+(x, y, 2f) = u(x, y, 2f)p(x, y)

= AU0

(k

fx,

k

fy

)p(x, y)

Aus den vorangegangenen Rechnungen wissen wir, daß die Linse eine Fouriertrans-formation dieser Feldverteilung durchfuhrt, also

u(x, y, 4f) = AU+

(k

fx,

k

fy; 2f

)= A

∫ ∞∫−∞

u+(x′, y′, 2f) exp

[−i

k

f(xx′ + yy′)

]dx′dy′

= AA

∫ ∞∫−∞

U0

(k

fx′,

k

fy′

)p(x′, y′) exp

[−i

k

f(xx′ + yy′)

]dx′dy′

Eine Koordinatentransformation

α =k

fx′, β =

k

fy′

fuhrt auf

93

u(x, y, 4f) = A

∫ ∞∫−∞

U0 (α, β) p(f

kα,

f

kβ) exp [−i (αx + βy)] dαdβ

u(−x,−y, 4f) = A

∫ ∞∫−∞

p(f

kα,

f

kβ)U0 (α, β) exp [i (αx + βy)] dαdβ

= A

∫ ∞∫−∞

HA (α, β; 4f) U0 (α, β) exp [i (αx + βy)] dαdβ (4.2)

Damit konnen wir die Ubertragungsfunktion ablesen:

HA (α, β; 4f) = Ap(f

kα,

f

kβ)

−→ Jede Fourieramplitude des Objektspektrums wird mit der Pupillenfunktion ge-wichtet, d.h., die Pupillenfunktion stellt im wesentlichen die Ubertragungsfunktion dar.Ahnlich zu unserem fruheren Vorgehen konnen wir die Abbildung im Ortsraum beschrei-ben, indem wir die Responsefunktion hA(x − x′, y − y′) einfuhren.

u(−x,−y, 4f) =

∫ ∞∫−∞

hA(x − x′, y − y′)u0(x′, y′)dx′dy′

wobei gilt:

hA(x − x′, y − y′) =1

(2π)2

∫ ∞∫−∞

HA (α, β; 4f) exp i [α (x − x′) + β (y − y′)] dαdβ

= A

∫ ∞∫−∞

p(f

kα,

f

kβ) exp i [α (x − x′) + β (y − y′)] dαdβ

mit

x =f

kα, y =

f

kβ

folgt

hA(x − x′, y − y′) =←→A

∫ ∞∫−∞

p(x, y) exp

−i

k

f[x (x′ − x) + y (y′ − y)]

dxdy

=←→A P

[k

f(x′ − x) ,

k

f(y′ − y)

]

94

und damit

u(−x,−y, 4f) =←→A

∫ ∞∫−∞

P

[k

f(x′ − x) ,

k

f(y′ − y)

]u0(x

′, y′)dx′dy′, (4.3)

d.h., wie zu erwarten war, ist die Responsefunktion im wesentlichen die Fouriertransfor-mation der Pupillenfunktion.

Die 4f -Abbildung mit einer Aperturfunktion bei z = 2f ist damit im Fourier-und imOrtsraum beschrieben.

4.2.2 Beispiele:

4.2.2.1 Die ideale Abbildung (unendliche Apertur)

Mit p = 1 −→ P ∼ δ (x − x′) δ (y − y′) folgt aus 4.2 oder 4.3

u(−x,−y, 4f) =←→A u0(x, y)

d.h. ein seitenverkehrtes Original.

4.2.2.2 Endliche Apertur

p(x, y) =

1 fur x2 + y2 ≤ (D/2)2

0 sonst

95

Die Ubertragungsfunktion ergibt sich damit zu

HA (α, β; 4f) =

1 fur

(fkα)2

+(

fkβ)2 ≤ (D/2)2

0 sonst

d.h. die endliche Apertur schneidet die hohen Objektortsfrequenzen ab (Tiefpaßfilter)und bestimmt damit das Auflosungsvermogen.

Mit ρ2 = a2 + β2 ergibt sich damit fur die obere Grenzfrequenz ρG, (Bandbreite desSystems)

ρ2G =

k2

f 2

(D

2

)2

−→ ρG =2πn

λf

D

2.

Entsprechend der Fourier-Theorie hangt die kleinste noch ubertragbare Struktur mit derBandbreite zusammen

∆rmin =2π

ρG

=2λf

nD=

2λ

nF≈ λ

nΘ≈ λ

n sin Θ(4.4)

wobei F = D/f ≈ 2Θ die Fresnelzahl der Linse und Θ der halbe Aperturwinkel ist.Gl.(4.4) ist die bekannte Formel fur das Auflosungsvermogen bei der optischen Abbil-dung.

Ein alternativer Zugang zur Bestimmung des Auflosungsvermogen ergibt sich imOrtsraum:

96

u(−x,−y, 4f) =←→A

∫ ∞∫−∞

P

[k

f(x′ − x) ,

k

f(y′ − y)

]u0(x


=←→A

∫ ∞∫−∞

J1

[kD2f

√(x′ − x)2 + (y′ − y)2

]kD2f

√(x′ − x)2 + (y′ − y)2

u0(x′, y′)dx′dy,′

d.h., jeder Objektpunkt wird bei der Abbildung zu einem Airy’schen Beugungsscheib-

chen. P[

kf

(x′ − x) , kf

(y′ − y)]

stellt gleichzeitig die Green’sche Funktion des Ubertra-

gungssystems dar.

Definiert man die Auflosungsgrenze dahingehend, daß das Maximum eines zweitenBildpunktes im ersten Minimum des ersten liegen muß, erhalt man

kD

2f

∆rmin

2= 1.22π

∆rmin =1.22λ

n sin Θ

4.2.2.3 Optisches Differenzieren (hier eindimensional)

Man gebe sich eine Pupillenfunktion p(x) = −ix vor und erhalt

u(x, 4f) = A

∞∫−∞

U0 (α)

(−i

f

kα

)exp (−iαx) dα

= B∂

∂x

∞∫−∞

U0 (α) exp (−iαx) dα

= B∂

∂xu0(−x)

Experimentell kann die Funktion mit einem Graukeil mit einem Phasensprung π imZentrum realisiert werden:

p(x) =

x exp

(i32π)

fur x > 0|x| exp

(iπ2

)fur x > 0

97

4.2.2.4 Das Phasenkontrastverfahren nach Zernike

Problem: Ein reines Phasenobjekt (z.B. biologische Objekte) u0(x, y) = exp [iϕ(x, y)]wird bei der idealen Abbildung identisch abgebildet, d.h., u(−x,−y, 4f) = exp [iϕ(x, y)]und damit I(−x,−y, 4f) = |u(−x,−y, 4f)|2 = 1, d.h., die Information geht bei derDetektion verloren.

Die Idee besteht nun darin, eine Manipulation in der Pupillenebene vorzunehmen.

Die Phasenvariationen im Objekt sind i.a. klein, d.h.,

u0(x) ≈ 1 + iϕ(x)

U0(α) = δ(α) + iΦ(α)

Die Pupillenfunktion sei ein Phasenplattchen mit einem Loch im Zentrum, so daß nurdie Ortsfrequenz α = 0 unbeeinflußt hindurchgeht. Alle anderen Ortsfrequenzen solleneinen Phasenshift π/2 erfahren.

p(x) =

1 fur x ≈ 0exp

(iπ2

)= i sonst

p(f

kα) =

1 fur α ≈ 0

exp(iπ2

)= i sonst

Damit ergibt sich in der Bildebene

u(−x, 4f) ≈ A

∞∫−∞

[δ(α) − Φ(α)] exp (iαx) dα

= A [1 − ϕ(x)]

und fur die Intensitat

I(x, 4f) ∼ 1 − 2ϕ(x),

d.h., die Phasenmodulation wird in eine Amplitudenmodulation umgewandelt.

98

4.3 Das Prinzip der holographischen Abbildung

Idee: Wenn das Feld u(x, y, zH) in einer Ebene z = zH bekannt ist (genugend groß),ist es im Prinzip im gesamten Halbraum z > zH bekannt (2D Information −→ 3DInformation). Das Problem besteht darin, daß bei z = zH das komplexe Feld bekannt

sein muß. Konventionelle Aufnahmeverfahren registrieren i.a. nur die Intensitat. So weisteine Fotoplatte eine Transmissionsfunktion

t(x, y, zH) = C |u(x, y, zH)|2

auf. Der Ausweg besteht darin, das Objektfeld mit einer einfach strukturierten Referenz-welle (z.B. ebene Welle) zu uberlagern.

a) Aufzeichnung des Hologramms

uH(x, y, zH) = u(x, y, zH) + a exp (iKrH)

99

t(x, y, zH) = C |uH(x, y, zH)|2

= C[|u|2 + |a|2 + ua∗ exp (−iKrH) + u∗a exp (iKrH)

]t(x, y, zH) ist die Transmissionsfunktion einer entwickelten Fotoplatte −→ Hologramm.Das Interferenzmuster weist keine Ahnlichkeit mit dem Objekt auf. Der Interferenz-term tragt die benotigte Phaseninformation. Eine Verkleinerung (’Zerbrechen’) des Ho-logramms bedeutet keinen Verlust des Bildes. Es werden nur bestimmte Ortfrequenzenausgeblendet.

b) Rekonstruktion des Objektes noindent

uH+(x, y, zH+) = a exp (±iKrH) t(x, y, zH)

Das dritte Glied in der Transmissionsfunktion ergibt bei zur Referenzwelle identischerRekonstruktionswelle

∼ |a|2 exp [−i (K − K) rH] u(x, y, zH) = |a|2 u(x, y, zH)

Das Objektfeld breitet sich im Halbraum z > zH aus −→ virtuelle Abbildung.

Das vierte Glied in der Transmissionsfunktion ergibt bei zur Referenzwelle konjugierterRekonstruktionswelle

∼ |a|2 exp [i (K − K) rH] u∗(x, y, zH) = |a|2 u∗(x, y, zH)

Das konjugierte Objektfeld (einlaufende Welle) breitet sich im Halbraum z < zH aus −→relle Abbildung.

Fourier-Holographie

100

Holographische (van der Lugt) FilterDas Ziel besteht in der optischen Generierung einer beliebigen Filterfunktion, um optischeFilterung (Bildverarbeitung) zu implementieren.

u(x, y, z) =

∫ ∞∫−∞

f(x − x′, y − y′, z)u0(x′, y′)dx′dy′

101

Kapitel 5

Die Polarisationelektromagnetischer Wellen

5.1 Einfuhrung

Der zeitliche Verlauf des reellen elektrischen Feldvektors Er(r,t) bestimmt den Polarisa-tionszustand des Feldes.Wir betrachten hier den Polarisationszustand einer Normalmode

E(r, t) = E(ω) exp i [k (ω) r − ωt]wobei wir uns der Einfachheit halber auf eine sich in z ausbreitende Mode beschranken.Die Ergebnisse konnen auf Normalmoden mit kleinen transversalen Wellenzahlvektoren(paraxiale Verhaltnisse) ubertragen werden. Da die Felder transversal sind, besitzen sienur eine x− und y−Komponente. Die Orientierung und Gestalt der Flache, auf dersich der (reelle) elektrische Feldvektor bewegt, bestimmt den Polarisationszustand. DieseFlache ist i.a. eine sich mit der Ausbreitungsrichtung nicht andernde Ellipse, die zur Linie(lineare Polarisation) oder zum Kreis (zirkulare Polarisation) entarten kann.

5.2 Die Polarisation einer Normalmode im isotro-

pen, dispersiven Medium

Wir berechnen die Bewegung des momentanen elektrischen Feldvektors, wobei nach Vor-aussetzung

k =

00k

gilt. Die relevante Große ist der Realteil des Feldes

Er(r, t) = E(ω) exp [ikz − ωt)]

,

wobei wegen der Transversalitat des Feldes nur zwei komplexe Feldkomponenten freiwahlbar sind.

102

E(ω) =

Ex

Ey

0

=

Ex exp (iϕx)Ey exp (iϕy)

0

mit den reellen Großen Ex,y und ϕx,y.

Er(r, t) =

Ex cos (Φ − ϕx)Ey cos (Φ − ϕy)

0

!=

X(z, t)Y (z, t)

0

und Φ = ωt − kz. Wir erhalten

X

Ex

= cos (Φ) cos (ϕx) + sin (Φ) sin (ϕx) (5.1)

Y

Ey

= cos (Φ) cos (ϕy) + sin (Φ) sin (ϕy) (5.2)

Multipliziert man zuerst (5.1) mit sin (ϕy) und (5.2) mit sin (ϕx) und subtrahiert dieGleichungen und wiederholt das entsprechend mit cos (ϕy) , cos (ϕx), erhalt man

X

Ex

sin (ϕy) − Y

Ey

sin (ϕx) = cos (Φ) sin (ϕy − ϕx)

X

Ex

cos (ϕy) − Y

Ey

cos (ϕx) = − sin (Φ) sin (ϕy − ϕx) .

Mit der Abkurzung δ = ϕy − ϕx und Quadrieren und Addieren der resultierenden Glei-chungen ergibt sich die Gleichung einer Ellipse

X2

E2x

+Y 2

E2y

− 2XY

ExEy

cos δ = sin2 δ.

Die Dreh-Transformation ins Hauptachsensystem fuhrt man mit

X = ξ cos ψ − η sin ψ

Y = ξ sin ψ + η cos ψ

durch. Verschwinden des ξη -Gliedes erfordert fur den Drehwinkel

tan 2ψ =2ExEy

E2x − E2

y

cos δ (5.3)

und es folgt die Ellipsengleichung im Hauptachsensystem

ξ2

α2+

η2

β2= 1

103

mit den Hauptachsen

1

α2=

(cos2 ψ

E2x

+sin2 ψ

E2y

− cos δ

ExEy

sin 2ψ

)1

sin2 δ

1

β2=

(sin2 ψ

E2x

+cos2 ψ

E2y

+cos δ

ExEy

sin 2ψ

)1

sin2 δ,

wobei sich ψ aus 5.3 ergibt.

Abbildung 5.1: Polarisationsellipse

Die Normalmode eines isotropen, dispersiven Mediums ist i.a. elliptisch polarisiert, dabeliebige Ex, Ey und Phasendifferenz δ = (ϕy − ϕx) .

5.2.1 Polarisationszustande

A) elliptische Polarisation −→ Ex = Ey, δ = nπ

α) δ = ±π/2 −→ ψ = 0, α = Ex, β = Ey

+π/2 −→ linksdrehend, −π/2 −→ rechtsdrehend (man sieht entgegen der Ausbrei-tungsrichtung auf den Feldvektor)

β) 0 < δ < π −→ linksdrehendπ < δ < 2π −→ rechtsdrehendψ ist endlich

B) zirkulare Polarisation −→ Ex = Ey = E, δ = ±π/2ψ = 0, α = E, β = Erechts/links wie oben

C) lineare Polarisation −→ δ = nπ

104

tan 2ψ = (−1)n 2ExEy

E2x − E2

y

Ex = Ey ψ = π/4, 3π/4

Bemerkung: linear polarisierte Welle ist die Uberlagerung zweier zirkularer Wellen

(kz = 0, δ = ±π/2)

E

cos (ωt)sin (ωt)

0

+ E

cos (ωt)− sin (ωt)

0

= 2E

cos (ωt)00

.

106

5.3 Alternative Darstellung des Polarisationszustan-

des

5.3.1 Poincare-Kugel, Stokes-Parameter

−→ anschauliche Darstellung der Dynamik von Systemen mit drei Freiheitsgraden

s0 = E2x + E2

y

s1 = E2x − E2

y

s2 = 2ExEy cos δ

s3 = 2ExEy sin δ

s20 = s2

1 + s22 + s2

3

Jeder Polarisationszustand kann durch einen Punkt auf der Kugeloberflache (Radius s0)dargestellt werden.

Abbildung 5.2: Poincare-Kugel

obere Halbkugel −→ linksdrehenduntere Halbkugel −→ rechtsdrehendAquator −→ lineare Polarisation s3 = 0 −→ δ = nπPole −→ zirkulare Polarisation s1 = s2 = 0 −→ Ex = Ey, δ = ±π/2

107

5.3.2 Jones-Kalkul

Dieses Kalkul ist nutzlich, um die Anderung des Polarisationszustandes bei Durchgangdurch optische Elemente zu berechnen.

Polarisationszustand J, normiert j

opt. Element Matrix −→ T

J =

(Ex exp (iϕx)Ey exp (iϕy)

)

=√

E2x + E2

y exp (iϕx)

Ex√E2

x+E2y

Ey√E2

x+E2y

exp (iδ)

=√

E2x + E2

y exp (iϕx)

(jx

jy

)mit

tan Ψ =Ey

Ex

, sin Ψ =Ey√

E2x + E2

y

, cos Ψ =Ex√

E2x + E2

y

j =

(cos Ψ

sin Ψ exp (iδ)

)

Kennt man jx und jy folgen daraus Ex, Ey, δ.

Beispiele:a) lineare Polarisation δ = nπ

jlin=

(cos Ψ± sin Ψ

)

b) zirkulare Polarisation δ = ±π/2, Ex = Ey Ψ = π/4

jzl=1√2

(1i

), jzr=

1√2

(1−i

)

Definition der Orthogonalitat:

j1j∗2 = j1xj

∗2x + j1yj

∗2y = δ12

z.B. lin. polarisiert (x und y), zirkular (rechts, links)

Zerlegung jedes beliebigen Polarisationszustandes nach diesen orthogonalenZustanden:

108

j = αj1 + βj2

α = j∗1j, β = j∗2j,

Durchrechnen durch optische Elemente:

jout = T · jinBei Anwendungen oft Koordinatentransformation (Drehung) notig.

j′= R · j

T′= R (−Θ) · T · R (Θ)

R =

[cos Θ sin Θ− sin Θ cos Θ

]

109

Kapitel 6

Grundzuge der Kristalloptik -Normalmoden in homogenen,anisotropen Medien

6.1 Suszeptibiltats- und Dielektrizitatstensor

Bisherige Annahme der Isotropie (Richtungsunabhangigkeit der optischen Eigenschaf-ten) von Materialen fallenlassen. In vielen optischen Materialien (insbesondere Kristalle)hangen die Polarisierbarkeiten (Auslenkungen) von der Richtung des Feldes ab, da dieAtome periodisch, aber mit unterschiedlichen Symmetrien angeordnet sind Aniso-tropie.Beispiele:

Lithiumniobat −→ elektro-optisches MaterialQuarz −→ PolarisatorenFlussigkristalle −→ Anzeigeelemente, NLOMQW −→ Optoelektronik

Wir beschranken uns hier auf eine Frequenz- (Monochromasie) und eine Ortsfrequenz-komponente (ebene Welle), die Ergebnisse sind zu verallgemeinern bei Anwendung der imisotropen Medien benutzten Methoden (Fouriertransformation), i.a. jedoch schwieriger.Wir nehmen weiterhin Absorptionsfreiheit an.

Im isotropen Material waren elliptisch polarisierte, ebene monochromatische Wel-len die Normalmoden. Im folgenden sollen die Normalmoden des anisotropen Mediumsidentifiziert werden. Mit Hilfe dieser Normalmoden kann man sich dann jede beleibigeraum-zeitlich begrenzte Losung aufbauen.

bisher:P(r, ω) = ε0χ (ω) E(r, ω)

D(r, ω) = ε0ε (ω) E(r, ω)

Im folgenden wird E durch E usw. ersetzt, da nur eine Frequenzkomponente betrach-tet wird

110

jetzt:

Pi(r, ω) = ε0

3∑j=1

χij(ω)︸︷︷︸Ej(r, ω)!= ε0χij(ω)Ej(r, ω)

Tensorkomponenten P E, χij - wiederspiegelt die Kristallstruktur −→ jedoch nicht mikroskopisch

wegen unterschiedlicher Langenskalen (Optik - 5 · 10−7 m,Kristall - 5 · 10−10 m dasFeld spurt periodische Anordnung nicht im einzelnen, aber Symmetrien des Kristalls

analog:

Di(r, ω) = ε0εij(ω)Ej(r, ω)

D(r, ω) = ε0ε(ω)E(r, ω)

D Eχ = (χij )- Suszeptibilitatstensorε = (εij ) - Dielektrizitatstensor −→ im folgenden benutztoftmals auch inverser Tensor σ

ε0E(r, ω) = σ D(r, ω)

σ = [ε]−1 = (σij)

Eigenschaften:· σij, εij −→ reell im Transparenzgebiet (ω weggelassen,nicht vergessen).· εij = εji , σij = σji −→ Tensoren sind symmetrisch, nur noch 6 Komponenten, d.h. Tensor

Beweis:

Aus Maxwell-Gleichungen im Fourierraum folgt:

div (E × H∗) − iω (Eε∗ E∗ − µ0H∗H) + j∗E = 0

Fur ein verlustfreies Medium gilt div 〈S〉 = 12 [div (E × H∗)] = 0 und damit

(iEε∗ E∗) = − (Eε∗ E∗) = 0

Gilt fur jedes beliebige E-Feld, also auch wenn nur Ex = 0

|Ex|2 (ε∗xx) = 0

111

In analoger Weise gilt das fur εyy und εzz, d.h. alle Diagonalelemente des Tensors sindreell.Nutzt man dieses Ergebnis aus gilt z.B. weiterhin (:

(ε∗xyExE

∗y + ε∗yxEyE

∗x

)= [(

ε∗xy − εyx

)ExE

∗y

]= 0 −→ ε∗xy = εyx.

Dieses Ergebnis kann man auf alle εij verallgemeinern. Damit ist gezeit, daß derdielektrische Tensor hermitisch ist. (analog gilt das fur χij und σij)

· Transformation auf Hauptachsen moglich−→ hier fur σij zeigenRichtungen gesucht, wo D E

σijDj = ε0Ei = λDi

det [σij − λIij] = 0, Iij = δij

Gleichung 3.Ordnung −→ drei Wurzeln λ(α). Wir setzen

σijD(α)j = λ(α)D

(α)j ,

um die Eigenvektoren D(α)j zu bestimmen.

Die Eigenvektoren sind orthogonal, da

σijD(α)j = λ(α)D

(α)j , σijD

(β)j = λ(β)D

(β)j

und die anschließende Multiplikation ergibt

D(β)i σijD

(α)j − D

(α)i σijD

(β)j =

(λ(α) − λ(β)

)D

(β)i D

(α)i

Die linke Seite verschwindet, da Summationen vertauscht werden konnen und σij =

σji D(β)i D

(α)i = 0 fur λ(α) = λ(β). Die Hauptachsenrichtungen spiegeln die Kristall-

symmetrien wieder.

εij = εiδij, σij = σiδij =1

εi

δij

(εij) =

ε1 (ω) 0 00 ε2 (ω) 00 0 ε3 (ω)

ein anisotropes Medium wird i.a. durch drei verschiedene dielektrische Funktionen

charakterisiert (im Hauptachsensystem). In der Regel rechnet man im Hauptachsen-(Kristall-) System und fuhrt zum Schluß die Transformation ins Laborsystem durch.

112

6.2 Die optische Klassifikation von Kristallen

a) isotropEs existieren drei kristallographisch aquivalente, senkrechte Achsen

−→ kubische Kristalle−→ Gase, amorphe Festkorper, Flussigkeiten, polykristalline Medien

ε1 (ω) = ε2 (ω) = ε3 (ω) −→ Di = ε0ε (ω) Ei

b) optisch einachsig (uniaxial)Es existieren zwei oder mehr kristallographisch aquivalente Achsen in einer Ebene

−→ trigonal, tetragonal, hexagonal

ε1 (ω) = ε2 (ω) = ε3 (ω)

c) optisch zweiachsig (biaxial)

Es existieren keine zwei kristallographisch aquivalente Richtungen−→ orthorhombisch, monoklin, triklin

ε1 (ω) = ε2 (ω) = ε3 (ω)

6.3 Das Indexellipsoid

−→ geometrische Veranschaulichung des inversen dielektrischen Tensors σVektor: im physikalischen Raum unabhangig vom Koordinatensystem, einfach im Haupt-achsensystemTensor: Ahnlich ist ein symmetrischer Tensor als Flache 2. Ordnung darzustellen −→invariant gegenuber KoordinatentransformationenDarstellung von σ = [ε]−1 :

3∑i,j=1

σijxixj = 1

113

wegen:

3∑i,j=1

σijDiDj = ε0

3∑i=1

EiDi = 2wel

in Hauptachsen:

σ1x21 + σ2x

22 + σ3x

23 =

x21

ε1

+x2

2

ε2

+x2

3

ε3

= 1

D

D

k→

x

y

3n

2n1n

Abbildung 6.1: Indexellipsoid

Das Medium wird durch einen Tensor (statt eines Skalars) beschrieben ; Hauptachsen:√εi = ni

Degenerierte Falle:kubisch: Kugeleinachsig: rotationssymmetrisch um z−Achse und n1 = n2

6.4 Normalmoden im anisotropen Medium

Normalmode:

· Losung der Wellengleichung, die bei der Ausbreitung nur eine raum-zeitlichePhasenanderung erfahrt.

· die raumliche und zeitliche Phasenanderung hangen uber eine Dispersions-relation ω = ω(k) oder k = k(ω) zusammen.

114

Isotropes Medium:

Normalmode −→ monochromatische ebene Welle

E(r, t) = Eω exp i [k (ω) r−ωt]

k2 (ω) =ω2

c2ε(ω)

bei reellem ε(ω) > 0 und mit kEω = kDω = 0. Die Welle ist i.a. elliptisch polarisiert,der Polarisationszustand bleibt bei der Ausbreitung erhalten.

−→ jetzt Suche nach Normalmoden im anistropen Medium. Im Hauptachsensystem istderen Berechnung einfach.

6.4.1 Normalmoden bei Ausbreitung in Hauptachsen

Annahme: Hauptachsen in x, y, z −→ kDω = kEω = 0, Ausbreitung in z - Richtung(k −→kz), Dx, Dy = 0

Di = ε0εiEi

−→ Achtung keine SummationFeld beliebig in x, y−Ebene:

D1, ε1 D1 exp [i (k1r−ωt)] = D1 exp [iϕ1] exp (iωt) mit k21 =

ω2

c2ε1(ω)

D2, ε2 D2 exp [i (k2r−ωt)] = D2 exp [iϕ2] exp (iωt) mit k22 =

ω2

c2ε2(ω)

−→ E D −→ elliptische Polarisation keine Normalmode −→ Polarisationszustandandert sich bei der Ausbreitung wegen δ = ϕ2 − ϕ1 = (k2 − k1) z.Jedoch wenn Feld in jeweils einer Hauptachse polarisiert −→ Normalmode

D(a) = D1 exp [i (kar−ωt)] e1 −→ k2a =

ω2

c2n2

a = k21 −→ Normalmode a

D(b) = D2 exp [i (kbr−ωt)] e2 −→ k2b =

ω2

c2n2

bk = k22 −→ Normalmode b

−→es existieren zwei senkrecht zueinander, linear polarisierte Normalmoden, −→E D.

115

6.4.2 Normalmoden bei beliebiger Ausbreitungsrichtung −→Dispersionsrelation

6.4.2.1 Geometrische Konstruktion I

· Vorgabe von ω und Kristall −→ εi −→ Indexellipsoid bekannt· Vorgabe der Ausbreitungsrichtung −→ k/k· Ebene durch Ursprung des Indexellipsoids und senkrecht zu k zeichnen

−→Schnittflache ist Ellipse −→ Indexellipse· Die Halbachsen dieser Ellipse sind die Brechzahlen na, nb der Normalmoden

in dieser Ausbreitungsrichtung −→ ka = ωcna, kb = ω

cnb

· Die Richtungen der Halbachsen −→ Polarisationsrichtungen von D(a) und D(b) an.

· E(a) und E(b) folgen aus E(a)i =

D(a)i

ε0εi, E

(b)i =

D(b)i

ε0εi

damit D(a,b) E(a,b) und E(a,b) nicht ⊥ zu k.

· Ellipse −→ Kreis, Richtungdes k- Vektors definiert die optischen Achse.

6.4.2.2 Ableitung der Dispersionsrelation

isotropes Medium:

Dispersionsrelation:

Die Lange des k- Vektor ist nicht von der Richtung abhangig.

k2(ω) =ω2

c2ε(ω)

Feld der Normalmode:

116

E(r, t) = Eω exp i [k (ω) r−ωt]

D(r, t) = Dω︸︷︷︸ exp i [k (ω) r−ωt]

elliptisch polarisiert

anisotropes Medium:

Normalmode wird wieder eine ebene, monochromatische Welle

∼ exp i [k (ω) r−ωt]

sein. Im anisotropen Medien wird jedoch die Lange des k-Vektors i.a. neben der Frequenzauch noch von der Ausbreitungsrichtung abhangen (Dispersionsrelation). Daruberhinauswurde schon deutlich, daß die Polarisation der Normalmode nicht elliptisch sein wird. Umdie Richtungsabhangigkeit zu erfassen. schreiben wir den k-Vektor komponentenweiseauf:

k =

k1

k2

k3

= k

u1

u2

u3

mit u21 + u2

2 + u23 = 1

Ziel:ω = ω(k1, k2, k3) oder ω = ω(k, u,1u2, u3) oder k = k(ω, u1, u2, u3) zusammen.

Maxwell-Gleichungen:kDω = 0 k × Eω = ωµ0Hω

kHω = 0 k × Hω = −ωDω

S =1

2 (Eω × H∗

ω)

k ∦ S, S ⊥ Eω

jetzt Index ’ω′ weglassen

− [k× (k × E)] =ω2

c2

1

ε0

D

−k (k · E) +k2E =ω2

c2

1

ε0

D

117

im Hauptachsensystem

Di = ε0εiEi

−ki

∑j

kjEj + k2Ei =ω2

c2εiEi

(ω2

c2εi − k2

)Ei = −ki

∑j

kjEj

fur isotrope Medien wird die rechte Seite zu Null.Eigenwertgleichung:

ω2

c2ε1 − k2

2 − k23 k1k2 k1k3

k2k1ω2

c2ε2 − k2

1 − k23 k2k3

k3k1 k3k2ω2

c2ε3 − k2

2 − k23

E1

E2

E3

=

000

Aus det [..] = 0 folgt die gewunschte Dispersionsrelation ω = ω(k) fur vorgegebenen ki/k.

Hier einfacheren Weg:

Ei = − ki(ω2

c2εi − k2

) ∑j

kjEj

Multiplikation mit ki und Summation uber ’i’ ergibt bei Subsitution i ←→ j auf derlinken Seite ∑

j

kjEj = −∑

i

k2i(

ω2

c2εi − k2

) ∑j

kjEj,

da div E =∑

j kjEj =0 folgt daraus die Dispersionsrelation∑i

k2i(

k2 − ω2

c2εi

) = 1

118

mit

k1

k2

k3

= k(ω)

u1

u2

u3

= ωcn(ω)

u1

u2

u3

konnen wir schreiben

∑i

k2u2i(

k2 − ω2

c2εi

) = 1

∑i

u2i(

1 − εi

n2

) = 1

∑i

u2i

[n2 (ω) − εi (ω)]=

1

n2 (ω)

Damit ergibt sich fur vorgegebene εi (ω) und Richtungskosinus’ (u1, u2, u3) die Brechzahln (ω, u1, u2, u3) (eigentlich n (ω, u1, u2), da u2

1 + u22 + u2

3 = 1), die die Normalmode sieht.Explizit ergibt sich:

u21

(n2 − ε2

) (n2 − ε3

)n2 + u2

2

(n2 − ε1

) (n2 − ε3

)n2 + u2

3

(n2 − ε1

) (n2 − ε2

)n2 =

(n2 − ε1

) (n2 − ε2

) (n2 − ε3

)−→ quadratische Gleichung in n2 (n6-Term verschwindet) −→ zwei Losungen na, nb unddamit ka = ω

cna, kb = ω

cnb fur die beiden senkrecht zueinander polarisierten Normalm-

oden D(a) und D(b).

speziell:

Ausbreitung in einer Hauptachse −→ u3 = 1 (siehe Kapitel 6.3.1):

(n2 − ε1

) (n2 − ε2

)n2 =

(n2 − ε1

) (n2 − ε2

) (n2 − ε3

)(n2 − ε1

) (n2 − ε2

)ε3 = 0 −→ n2

a = ε1, n2b = ε2

Geometrische Interpretation II - Die NormalenflacheGleichung einer Flache im ki-Raum ( k

ω/cui = nui) −→ Normalenflache −→ centrosym-

metrische, aus zwei Blattern bestehende Flache −→ schneidet jede Hauptebene als Kreisund Ellipse.biaxial: 4 Schnittpunkte der Flachen −→ Verbindungslinien ergeben die zwei optischen

Achsen.uniaxial: Rotationsellipse und Kugel −→ 2 Schnittpunkte in den Polen −→ Verbindungslinie

ergibt die optische Achse (wenn ε1 = ε2 = n2or, ε3 = n2

e), dann ist z-Achse dieoptische Achse

kubisch: Kugel

119

Abbildung 6.2: (a) zweiachsiger; (b) einachsiger; (c) isotroper Kristall

Vorgehen:· Richtung festlegen (u1, u2) −→ Schnittpunkte mit Oberflache

· Abstand Zentrum - Schnittpunkt ergibt die Brechzahlen der Normalmoden

· in der optischen Achse −→ na = nb

−→ damit zwei geometrische Interpretationen:

a) Indexellipsoid

· Richtung festlegen Indexellipse Halbachsen ergeben na, nb

(Brechzahlen, die NM sehen)· optische Achse dann, wenn Indexellipse zum Kreis entartet· bei einachsigen Kristallen ist die optische Achse mit einer Hauptachse identisch

b) Normalenflache

· Richtung festlegen Schnittpunkte mit Normalenflache Abstande vom Zentrum ergeben na, nb

· optische Achse verbindet die Schnittpunkte der Blatter

Felder:

120

Di = − ε0εiki(ω2

c2εi − k2

) ∑j

kjEj

D1 : D2 : D3 = − ε1k1

ω2

c2ε1 − k2

:ε2k2

ω2

c2ε2 − k2

:ε3k3

ω2

c2ε3 − k2

Verhaltnis reell −→ Phasendifferenz 0 −→ lineare Polarisationalso:Im anisotropen Medium existieren zwei Normalmoden - linear polarisierte ebenen mono-

chromatische Wellen- mit zwei unterschiedlichen Phasengeschwindigkeiten(

cna

, cnb

)und

zwei senkrecht zueinander stehenden Polarisationsrichtungen bei beliebig vorzugebenderRichtung

6.4.3 Einachsige Kristalle

−→ trigonal, tetragonal, hexagonalIndexellipsoid ist rotationssymmetrisch um z- Achse

ε1 = ε2 = εor = n2or, ε3 = εe = n2

e

−→ ordentlicher und außerordentlicher Brechungsindex

2 Normalmoden:a) ordentliche Welle −→ n unabhangig von Richtungb) außerordentliche Welle −→ n abhangig von Richtung

Die z-Achse ist die optische Achse mit na = nb.

Die ordentliche Welle ist senkrecht zur Rotationsachse und zum k-Vektor polarisiert.Die außerordentliche Welle ist senkrecht zum k-Vektor polarisiert und liegt in der Ebenek-VektorRotationsachse.

Dispersionsrelation:

u21

(n2 − εor

) (n2 − εe

)n2 + u2

2

(n2 − εor

) (n2 − εe

)n2+

+u23

(n2 − εor

)2n2 =

(n2 − εor

)2 (n2 − εe

)Division durch n2 ergibt:

(n2 − εor

) [(u2

1 + u22

) (n2 − εe

)+ u2

3

(n2 − εor

) − (n2 − εe) (n2 − εor)

n2

]= 0

121

1. Wellenzahl der ordentlichen Welle unabhangig von Richtung

n2a = εor −→ k2

a =ω2

c2n2

a = k20εor

2. Wellenzahl der außerordentlichen Welle abhangig von Richtung

(u2

1 + u22

) (n2 − εe

)+ u2

3

(n2 − εor

)=

(n2 − εe) (n2 − εor)

n2

n2(u2

1 + u22 + u2

3

) − n2 − (u2

1 + u22

)εe − u2

3εor + εe + εor − εeεor

n2= 0

εe

(1 − u2

1 − u22

)+ εor

(1 − u2

3

) − εeεor

n2= 0

(u21 + u2

2)

εe (ω)+

u23

εor (ω)− 1

n2 (ω)= 0

−→ Vorgabe von ui −→ na, nb

Man beachte, daß εe, εor in dispersiven Medien Funktionen der Frequenz sind.

Geometrische Darstellung als Normalenflachen

dak2

i = k20n

2u2i

1. ordentlich

k2a = k2

1 + k22 = k2

0εor = k20n

2or

2. außerordentlich

1

εe

(k21 + k2

2)

k20

+1

εor

k23

k20

= 1

1

n2e

(k21 + k2

2)

k20

+1

n2or

k23

k20

= 1

−→ Rotationsellipsoid, deshalb o.B.d.A. Ausbreitung in y − z−Ebene −→ u1 = 0. Manbeachte, daß sich die Große der Ellipse mit der Frequenz andert.

Einfache Berechnung von n2(Θ)

u22

εe

+u2

3

εor

=1

n2

122

u2 = sin Θ, u2 = cos Θ

sin2 Θ

εe (ω)+

cos2 Θ

εor (ω)=

1

n2 (ω, Θ)

n2 (ω, Θ) =εe (ω) εor (ω)

εor (ω) sin2 Θ + εe (ω) cos2 Θ

Klassifizierungen:εor > εe −→ negativ einachsig

εor < εe −→ positiv einachsig

Polarisation der Felder:1) ordentlich: senkrecht zu Ebenen optischer Achse - k ,

D ⊥ k,D‖ E

123

2) außerordentlich:senkrecht zu k und in Ebene optische Achse - kD ⊥ k,D E, da D1 = ε0ε0rE1, D3 = ε0εeE3

Bemerkungen zur Ausbreitung von Gaußschen Strahlen

Zusammenhang zwischen Dispersionsrelation ←→ Propagationsgleichung:

Das Ziel besteht darin, zu zeigen, daß fur die außerordentliche Welle die Richtung desk-Vektors nicht mit der Ausbreitungsrichtung eines Gauß-Bundels ubereinstimmt. Wei-terhin wollen wir zeigen, wie diese Ausbreitungsrichtung mit der Normalenflache in Zu-sammenhang steht.

Wir erinnern uns an die skalare Helmholtzgleichung fur eine Fourierkomponente

∆u(r, ω) +ω2

c2ε(ω)u(r, ω) = 0

im isotropen Medium. Im Ortsfrequenzraum folgt daraus

[− (

α2 + β2 + γ2)

+ω2

c2ε(ω)

]U(α, β, γ; ω) = 0.

Man kann die Dispersionsrelation der Normalmoden der Helmholtzgleichung ablesen:

α2 + β2 + γ2 = k2x + k2

y + k2z =

ω2

c2ε(ω).

Es gilt auch der Umkehrschluß: Kennt man die Dispersionsrelation, findet man die zu-gehorige Differentialgleichung. Im einachsigen Kristall haben wir die Dispersionsrelation

u21

εe

+u2

2

εe

+u2

3

εor

=1

n2

k2x

n2e

+k2

y

n2e

+k2

z

n2or

=ω2

c2

124

Daraus folgt sofort eine modifizierte Helmholtzgleichung im anisotropen Medium(1

εe

∂2

∂x2+

1

εe

∂2

∂y2+

1

εor

∂2

∂z2

)u(r, ω) +

ω2

c2u(r, ω) = 0

Mit den Transformationen

ξ = nex, η = ney, ς = norz

erhalten wir eine kugelsymmetrische Helmholtzgleichung fur die Ausbreitung im freienRaum (

∂2

∂ξ2+

∂2

∂η2+

∂2

∂ς2

)u(ξ, η, ς, ω) +

ω2

c2u(ξ, η, ς, ω) = 0

Fur paraxiale Bedingungen ist die Losung fur einen Gaußschen Strahl bei z = 0

u ∼ 1

ς ′ − iz0

exp

[iω

2c

ξ′2 + η2

ς ′ − iz0

],

wobei ξ′ und ς ′ darauf hinweisen, daß sich der Strahl in einer beliebigen Richtung in derξ′ - ς ′−Ebene ausbreiten kann. Im Prinzip ist damit das Problem der Ausbreitung einesGauß-Strahl gelost, wenn man nur die entsprechende Rucktransformation ausfuhrt. Aufdie anfaggs gestellten Fragen haben wir jedoch noch keine Antwort erhalten.

Zu diesem Zwecke bedienen wir uns einfacher geometrischer Uberlegungen. In densymmetrischen Koordinaten stimmen die Richtungen der Phasenfrontnormalen (Rich-tung des k-Vektors und des Strahls uberein. Man nutzt nun die Transformationsglei-chungen, um die Verhaltnisse im ’echten’ Raum (x, y, z) darzustellen.

Man wahle einen Punkt (x0, z0) auf der Achse des Gaußschen Strahles −→ entsprichteinem Punkt (ξ0, ς0) im transformierten System. Es gilt dann

tan Θ =z0

x0

=ne

nor

ς0ξ0

=ne

nor

tan ψ,

wobei Θ die Richtung der Achse des Gauß-Strahls angibt. Nun betrachtet man die zweiSchnittpunkte mit den Achsen ς = ς1, ξ = ξ1. Im realen System hat man dann

125

x1

z1

=ξ1

ς1

nor

ne

!= tan β,

wobei β den Winkel der Normalen zur Phasenflache bezeichnet (siehe Abbildung) . Imtransformierten System gilt

ξ1

ς1=

ς0ξ0

.

Damit erhalten wir

tan β =ξ1

ς1

nor

ne

=ς0ξ0

nor

ne

=z0

x0

n2or

n2e

= tan Θn2

or

n2e

,

tan β

tan Θ=

n2or

n2e

d.h. Richtung des k-Vektors und Strahlrichtung stimmen nicht uberein (walk off).Jetzt bleibt noch, eine Beziehung der Strahlrichtung zur Normalenflache herzustellen.

Wir gehen zuruck zur Dispersionsrelation fur die außerordentliche Welle (Ausnutzen derRotationssysmmetrie und Weglassen des ky-Terms)

k2x

n2e

+k2

z

n2or

=ω2

c2,

die Normalenflache ist eine Ellipse, deren Tangente gegeben ist durch

dkz

dkx

= −kx

kz

n2or

n2e

,

was zur Normalen

−dkx

dkz

=kz

kx

n2e

n2or

= tan βn2

e

n2or

= tan Θ,

fuhrt, d.h., die Richtung des Gaußschen Strahles steht senkrecht auf der Normalenflache.Diese Richtung ist gleichzeitig die Richtung des Poyntingvektors, da die Gruppenge-schwindigkeit gegeben ist mit

vg = ∇kω

und damit ebenfalls senkrecht auf der Flache mit konstantem ω (Normalenflache) steht..

· Die Strahlachse eines Gauß-Strahl stimmt mit der Richtung der Gruppengeschwin-digkeit und des Poyntingvektors uberein, i.e. senkrecht zu Normalenflache.

· Damit stimmt bei außerordentlichen Strahlen die Richtung des k− Vektors nicht mitder Richtung der Strahlausbreitung uberein.

· Damit stimmen auch die Richtungen von ordentlichen und außerordentlichen Strah-len nicht uberein −→ walk off.

· Ubereinstimmung besteht nur bei Ausbreitung in Richtung der Hauptachsen.

126

Kapitel 7

Optische Felder in isotropen,dispersiven und stuckweisehomogenen Medien

7.1 Grundsatzliches

7.1.1 Definition des Problems

−→ bisher keine echten Grenzflacheneffekte (nur Feld vorgegeben auf Grenzflache), jetztwerden Reflexion-und Transmissionseigenschaften diskutiert.Physikalische Systeme· Grenzflachen· Schichten· Schichtsysteme

Geometrien:

· Wechselwirkung von Normalmoden (ebene, monochromatische Wellen) mitbeliebigen Vielschichtsystemen −→ Interferometer, dielektrische Spiegel etc.−→ Uberlagerung der Normalmoden (Wechselwirkung von raum-zeitlichenbegrenzten Feldern mit diesen Geometrien)

· ’Einsperren’ dieser Normalmoden in beliebige Wellenleiter −→ neue Normal-moden −→ gefuhrte Wellen −→ beugungsfrei −→Uberlagerung der neuen Normalmoden (Pulspropagation in Wellenleitern)−→ Wellenleiter- oder Intergrierte Optik, Spektroskopie an Oberflachen

Vorgehen:

• Maxwellsche Ubergangsbedingungen an Grenzflachen

• Feldberechnung im inhomogenen Medium −→ Matrixmethode

• Reflexions - Transmissionsproblem −→ Grenzflache, Schicht, Schichtsystem, Fabry-Perot Interferometer

127

• Gefuhrte Wellen −→ Grenzflache, Film, Streifen, Faser

7.1.2 Grenzflachen und Symmetrien

bisher:Homogenitat des Raumes −→ exp (ikr)

Stationaritat −→ exp (−iωt)

E(r, t) = Eω exp [i (kr − ωt)]

jetzt:Grenzflache in (y, z) - Ebene, unendlich ausgedehnt

1. k =(

kx, 0, kz

)in (x, z) - Ebene −→ Einfallsebene Problem hangt nicht von

y - Koordinate ab

2. Homogenitat nur noch in z - Richtung zu retten: ∼ exp (ikzz) kz stetig anGrenzflachen

E(x, z, t) = Eω(x) exp [i (kzz − ωt)]

3. Polarisation −→ Erinnerung an vorn −→ Translationsinvarian in eine Richtung−→ E = ETE + ETM Gesamtfeld wird zerlegt, unabhangig durchgerechnet undschließlich wieder addiert.

TE:

ETE =

0Ey

0

=

0E0

, HTE =

Hx

Hz

TM:

ETM =

Ex

Ez

, HTM =

0Hy

0

=

0H0

4. Transversalitat −→ kETE = kETM = 0

5. Dispersionsrelation in Schicht ’i’:

−→ k2i = k2

ix + k2z =

ω2

c2εi(ω)

k2ix =

ω2

c2εi(ω) − k2

z

128

7.1.3 Die Ubergangsbedingungen

a) Felder

Maxwell −→ Et,Ht gehen stetig durch Grenzflachen

TE: E und Hz stetig

TM: Ez und H stetig

a) Wellenzahlvektoren

Homogenitat in z- Richtung −→ Phase exp (ikzz) −→ kz stetig

7.2 Das Feld im Schichtsystem −→ die Matrixme-

thode

7.2.1 Das Feld in einer homogenen Schicht

Die Schicht sei durch eine dielektrische Funktion εf(ω) charakterisiert und weise dieDicke d auf. Das Ziel besteht darin, bei Vorgabe der Felder bei x = 0 die Felder beix = d zu berechnen. Dabei beschrankt man sich auf die Tangentialkomponenten, dadiese stetig ubergehen, und berechnet die Normalkomponenten spater. Wir zeigen dasim Fourierraum fur eine Fourierkomponente E(x, z; ω),H(x, z; ω).

TE-PolarisationFeldgleichung (ω und weglassen, aber nicht vergessen):(

∂2

∂x2+

∂2

∂z2+

ω2

c2εf(ω)

)E(x, z) = 0

Mit dem Ansatz:

E(x, z) = E(x) exp (ikzz) , H(x, z) = H(x) exp (ikzz)

folgen aus (d2

dx2+

ω2

c2εf(ω) − k2

z

)E(x) = 0

und

HTE(x, z) = − i

ωµ0

rot E(x, z)

die beiden Gleichungen fur die tangentialen Felder Ey = E,Hz(d2

dx2+ k2

fx

)E(x) = 0

Hz(x) = − i

ωµ0

∂

∂xE(x).

129

TM-PolarisationIn analoger Weise folgt fur die tangentialen Komponenten Hy = H,Ez(

d2

dx2+ k2

fx

)H(x) = 0

Ez(x) =i

ωε0ε

∂

∂xH(x).

Damit besteht die Aufgabe darin, jeweils die Felder (E,H)) und Ableitungen(

∂∂x

E(x), ∂∂x

H(x))

bei x = d aus ihrer Kenntnis bei x = 0 zu bestimmen. Am Ende der Rechnung (alleSchichten) folgt aus H −→ ETM und damit E = ETE + ETM.

Aufgrund der identischen Struktur obiger Gleichungen konnen wir beide Polarisati-onsrichtungen simultan behandeln, indem wir setzen

E,H −→ F

iωµ0Hz,−iωε0Ez(x) −→ G

Damit ergibt sich (d2

dx2+ k2

fx

)F (x) = 0

G(x) = αf∂

∂xF (x).

mit

αfTE = 1, αfTM =1

εf

.

Die allgemeine Losung ergibt sich zu

F (x) = C1 exp (ikfxx) + C2 exp (−ikfxx)

G(x) = αf∂

∂xF (x) = ikfxαf [C1 exp (ikfxx) − C2 exp (−ikfxx)] .

F (0) und G(0) werden als bekannt vorausgesetzt. Damit konnen die unbekanntenKoeffizienten C1 und C2 bestimmt werden. Aus

F (0) = C1 + C2

G(0) = ikfxαf (C1 − C2)

130

folgt

C1 =1

2

[F (0) − i

kfxαf

G(0)

]

C2 =1

2

[F (0) +

i

kfxαf

G(0)

].

Damit ergibt sich die gesucht Losung fur 0 ≤ x ≤ d zu

F (x) = cos (kfxx) F (0) +1

kfxαf

sin (kfxx) G(0)

G(x) = −kfxαf sin (kfxx) F (0) + cos (kfxx) G(0)

7.2.2 Das Feld im Schichtsystem

Dielektrische Schichtsysteme sind haufig benutzte optische Bauelemente (Braggspiegel,gechirpte Spiegel zur Dispersionskompensation, Interferometer, Vielschichtwellenleiter,Braggwellenleiter). Daruberhinaus kann man jede beleibige inhomogene Brechzahlver-teilung durch eine Diskretisierung in ein Schichtsystem beliebig genau annahern (wichtigfur sog. ’GRIN’ - Graded-Index-Wellenleiter.

Unser Ziel besteht darin, die Ergebnisse fur eine Schicht auf einen Schichtstapelzu ubertragen. Es wirkt sich nun vorteilhaft aus, daß wir fur unsere Rechnungen dieFeldkomponenten nutzen, die stetig durch die Grenzflachen gehen. Wir konnen das Feldin der ersten Schicht schreiben als

F (x)G(x)

= m

F (0)G(0)

,

d.h. eine 2 x 2-Matrix beschreibt die Ausbreitung der Felder

131

m (x) =

cos (kfxx) 1

kfxαfsin (kfxx)

−kfxαf sin (kfxx) cos (kfxx)

.

Speziell gilt am Ende der Schicht x = d. Fur absorptionsfreie Medien gilt weiterhin‖m (x)‖ =1, d.h. die Matrix ist unimodular. Fur ein Schichtsystem, charakterisiert durch εi, di, gilt:

a) zwei Schichten:(FG

)d1+d2

= m2(d2)

(FG

)d1

= m2(d2)m1(d1)

(FG

)0

b) N Schichten:

(FG

)d1+d2+..+dN=D

=N∏

i=1

mi(di)

(FG

)0

= M

(FG

)0

(7.1)

M =N∏

i=1

mi(di)

Alle Matrizen mi haben die gleiche Gestalt und unterscheiden sich nur durch unter-schiedliche kfx, α

if , di.

Das Verfahren arbeitet folgendermaßen:· Man gebe sich F (0) und G(0) vor (E,Hz fur TE, Ez, H fur TM)· Die Vorgabe von kz, α

if , di erlaubt die Berechnung der Matrixelemente.

· Durch Multiplikation der Matrizen ergibt sich die Gesamtmatrix.· Damit kann man die Felder F (D) und G(D) berechnen.

7.3 Reflexions - Transmissionsproblem an Schicht-

systemen

7.3.1 Allgemeines Schichtsystem

7.3.1.1 Reflexions- und Transmissionskoeffizienten - die verallgemeinertenFresnelschen Formeln

Das Ziel besteht darin, reflektiertes und transmittiertes Gesamtfeld in Abhangigkeit vomEinfallswinkel und Frequenz des einfallenden Feldes zu bestimmen. Bisher haben wir nurbestimmte Feldkomponenten von der ersten bis zur letzten Schicht durchgerechnet. DieseKomponenten mussen nun mit den zuganglichen Feldern verknupft werden.

Wir definieren am Anfang die wesentlichen Großen:Wellenzahlvektor des einfallenden (kI), reflektierten (kR) und transmittierten (kT)

Feldes:

kI =

ksx

0kz

, kR =

−ksx

0kz

, kT =

kcx

0kz

132

mit

ksx =

√ω2

c2εs(ω) − k2

z =√

k2s (ω) − k2

z , kcx =

√ω2

c2εc(ω) − k2

z =√

k2c (ω) − k2

z ,

wobei εs(ω) und εc(ω) die dielektrischen Funktionen des Substrats und Claddings sind.

Bemerkung zum Reflxions-und Brechungsgesetz:kz ist eine Erhaltungsgroße

1. ks sin ϕI = ks sin ϕR ϕI = ϕR (Reflexionsgesetz)2. ks sin ϕI = kc sin ϕT ns sin ϕI = nc sin ϕT (Brechungsgesetz)

A) Feld im Substratmit den komplexen Feldamplituden FI, FR.

Fs(x, z) = exp (ikzz) [FI exp (iksxx) + FR exp (−iksxx)]

(7.2)

Gs(x, z) = iαsksx exp (ikzz) [FI exp (iksxx) − FR exp (−iksxx)]

B) Feld im Schichtsystem−→ bekannt durch Matrixmethode

Ff(x, z) = exp (ikzz) F (x)

(7.3)

Gs(x, z) = exp (ikzz) G(x)

und (FG

)x

= M

(FG

)0

C) Feld im Cladding

133

Fc(x, z) = exp (ikzz) FT exp [ikcx (x − D)] (7.4)

Gc(x, z) = iαckcx exp (ikzz) FT exp [ikcx (x − D)] .

Das Ziel besteht nun darin, FR und FT in Abhangigkeit von kz(∼ sin ϕI), εi, di und Nzu berechnen. Dazu nutzen wir Gl.(7.3) und die Tatsache, daß F und G stetig an denGrenzflachen sind. Es gilt (

FG

)D

= M

(FG

)0

.

Setzen wir nun auf der linken Seite das Claddingfeld (7.4) bei x = D und auf der rechtenSeite das Substratfeld (7.2) bei x = 0 ein, erhalten wir

(FT

iαckcxFT

)=

M11 M12

M21 M22

(FI + FR

iαsksx (FI − FR)

).

Die Losung des inhomogenen Gleichungssystems ergibt

FR =(αsksxM22 − αckcxM11) − i (M21 + αsksxαckcxM12)

(αsksxM22 + αckcxM11) + i (M21 − αsksxαckcxM12)︸︷︷︸FI (7.5)

N

FT =2αsksx (M11M22 − M12M21)

NFI =

2αsksx

NFI. (7.6)

Wir spezifizieren die Resultate (7.5) und (7.6) auf die beiden Polarisationsrichtungen:

A) TE - PolarisationEs gilt

F = E = Ey, αTE = 1

Damit erhalten wir fur das reflektierte Feld

ETER = RTEETE

I

(7.7)

RTE =(ksxM22 − kcxM11) − i (M21 + ksxkcxM12)

(ksxM22 + kcxM11) + i (M21 − ksxkcxM12)︸︷︷︸NTE

134

und das transmittierte Feld

ETET = TTEETE

I

(7.8)

TTE =2ksx

NTE

,

wobei RTE und TTE die komplexen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten sind (be-einflussen Amplitude und Phase des einfallenden Feldes). Man beachte, daß die Matrix-elemente von der Polarisationsrichtung abhangig sind, d.h. MTE

ij = MTMij .

B) TM - Polarisation

Es gilt

F = H = Hy, αTM =1

ε.

Die einfache Durchfuhrung der Rechnung wie bei der TE-Polarisation ist hier nicht kor-rekt, da wir nicht das Verhaltnis der H-Felder (z.B. HR/HI) sondern das Verhaltnis derelektrischen Felder (z.B. ETM

R /ETMI ) benotigen. Wir mussen deshalb die H-Felder in die

ETM−Felder umrechnen.

Nebenrechnung:

kz

kx

ExETM

Ex

ETM= − sin ϕ = −kz

k

ETM = − k

kz

Ex,

wegen

E = − 1

ωε0ε(k × H)

folgt

Ex =1

ωε0εkzHy

und schließlich

ETM = − k

ωε0εHy = − 1

ωc√

εHy

und damitETM

R,T

ETMI

=

√εs

εs,c

HR,T

HI

,

135

das heißt, der Faktor√

εs/εc spielt nur bei der Berechnung der Transmissionskoeffizienteneine Rolle. Wenn wir das beachten erhalten wir aus Gl. (7.5), indem wir Zahler undNenner mit εsεc multiplizieren.

ETMR = RTMETM

I

(7.9)

RTM =(εcksxM22 − εskcxM11) − i (εsεcM21 + ksxkcxM12)

(εcksxM22 + εskcxM11) + i (εsεcM21 − ksxkcxM12)︸︷︷︸FI

NTM

ETMT = TTMETM

I

(7.10)

TTM =2√

εsεcksx

NTM

.

Damit sind die komplexen Reflexions- und Transmissionskoeffizienten (R, T = |R| , |T | exp iϕ))fur beide Polarisationsrichtungen bekannt. Die Amplituden- und Phasenanderung isti.a. unterschiedlich und abhangig von sin ϕI, εi (ω) , di und N. Dieses Ergebnis findetAnwendung beim Verfahren der Ellipsometrie. Ist das einfallende Licht linear polari-siert (z.B.45 −→ ∣∣ETM

I

∣∣ =∣∣ETE

I

∣∣ , ϕITE = ϕITM), wird das reflektierte oder transmit-tierte Feld i.a. elliptisch polarisiert sein. Aus mehreren Messungen ermittelt man dannεi (ω) , di. Die Formeln (7.7) -(7.10) stellen die verallgemeinerten Fresnelschen Formelnfur ein beliebiges dielektrisches Vielschichtsystem dar.

7.3.1.2 Bemerkungen zum Reflexions-Transmissionsverhalten von Impulsenmit endlicher Breite

Die fur eine Normalmode geltenden Formeln (7.7) -(7.10) konnen auf den wichtigenFall, daß das einfallende Feld zeitlich und/oder raumlich begrenzt ist, erweitert werden,indem wir unsere Ergebnisse aus Kapitel 2 nutzen. Wir haben jedoch zu beachten, daßdie karthesischen Koordinaten x ←→ z vertauscht worden sind. Um Konfusionen zuvermeiden, ersetzen wir die Komponenten des k - Vektors wieder durch (α, β, γ).

Hier gilt nun kz ←→ α, ky ←→ β, ks,c,fx ←→ γs,c,f .Der Einfachheit halber nehmen wir an, daß die Haupteinfallsrichtung senkrecht zum

Schichtsystem orientiert ist (ϕI = 0). Damit erhalten wir identische Ergebnisse fur dieReflektions- und Transmissionskoeffizienten in TE- und TM-Polarisation. Ist die Begren-zung nur in einer Dimension relevant (∞-Ausdehnung in Polarisationsrichtung) ist dasVorgehen exakt. Fur eine begrenzte Feldverteilung in beiden Dimensionen hat das Feldeine Komponente in Ausbreitungsrichtung. Fur nicht zu enge Bundel (Durchmesses ei-nige zehn Wellenlangen) kann man diese Komponente vernachlassigen. Wir berechnendas Spektrum des einfallenden Feldes zu

136

ETE,TMI (α, β, ω) =

1

(2π)3

∫ ∫ ∞∫−∞

dzdydt ETE,TMI (z, y, t) exp [−i (αz + βy − ωt)]

Das reflektierte/transmittierte Spektrum berechnet man mit den verallgemeinertenFresnelschen Formeln (7.7) -(7.10). Es gilt zum Beispiel fur die Reflexion des TE-Feldes

ETER (α, β, ω) = RTE (α, β, ω) ETE

I (α, β, ω)

(7.11)

RTE (α, β, ω) =[γsM22 (α, β, ω) − γcM11 (α, β, ω)] − i [M21 (α, β, ω) + γsγcM12 (α, β, ω)]

[γsM22 (α, β, ω) + γcM11 (α, β, ω)] + i [M21 (α, β, ω) − γsγcM12 (α, β, ω)]

mit

γs,c,f =

√ω2

c2εs,c,f (ω) − α2 − β2 =

√k2

s,c,f (ω) − α2 − β2.

Fur γs,c,f kann im allgemeinen die Fresnelsche Naherung und die Entwicklung der Di-spersionsrelation ks,c,f (ω) verwendet werden

γs,c,f ≈ k0 +1

vg

ω +D

2ω2 − α2 + β2

2k0

.

Damit ist das reflektierte Spektrum bekannt. Das Feld ergibt sich dann aus

ETER (z, y, t) =

∫ ∫ ∞∫−∞

dαdβdω ETER (α, β, ω) exp [i (αz + βy − ωt)]

=

∫ ∫ ∞∫−∞

dαdβdω RTE (α, β, ω) ETEI (α, β, ω) exp [i (αz + βy − ωt)] .

Analog verfahrt man bei der Berechnung des transmittierten Feldes.

7.3.1.3 Reflektivitat und Transmissivitat

Haufig benotigt man man nicht die komplexen Koeffizenten, sondern die Verhaltnisseder Energieflusse (Reflektivitat und Transmissivitat). Dazu mussen wir den Energieflußsenkrecht zu den Grenzflachen berechnen.

Fluß durch eine Flache x = const. :

〈S〉 ex =1

2 (E × H∗) ex

mit

H∗ =1

ωµ0

(k∗ × E∗)

137

folgt

〈S〉 ex =1

2ωµ0

(k∗ex) |E|2 =1

2ωµ0

(kx) |E|2 .

In absorptionsfreien Schichten und Substrat bleibt der Energiefluß erhalten. Es giltim

Substrat

〈S〉s ex =1

2ωµ0

[ksx |EI|2 − ksx |ER|2

]und im Cladding

〈S〉c ex =1

2ωµ0

(kcx) |ET|2 .

〈S〉s ex = 〈S〉c ex

|EI|2 = |ER|2 + (kcx)

ksx

|ET|2 .

Das Ziel besteht in der Berechnung der globalen Reflektivitaten ρ und Transmissivitatenτ sowie derer fur die einzelnen Polarisationsrichtungen. Wir benutzen die Ergebnisse desvorhergehenden Kapitels.

ER = ETER + ETM

R , ET = ETET + ETM

T

|EI|2 =∣∣ETE

R

∣∣2 +∣∣ETM

R

∣∣2 + (kcx)

ksx

(∣∣ETET

∣∣2 +∣∣ETM

T

∣∣2)

=

|RTE|2 +

(kcx)

ksx

|TTE|2 ∣∣ETE

I

∣∣2 +

|RTM|2 +

(kcx)

ksx

|TTM|2 ∣∣ETM

I

∣∣2 .

Das einfallende Feld wird wie folgt zerlegt

E

ETE

ETM

ETEI = |EI| cos δ, ETM

I = |EI| sin δ.

138

Damit ergibt sich

1 =

|RTE|2 +

(kcx)

ksx

|TTE|2

cos2 δ +

|RTM|2 +

(kcx)

ksx

|TTM|2

sin2 δ

1 =(|RTE|2 cos2 δ + |RTM|2 sin2 δ

)+

(kcx)

ksx

(|TTE|2 cos2 δ + |TTM|2 sin2 δ)

1 = ρ + τ

mit

ρ = ρTE cos2 δ + ρTM sin2 δ

τ = τTE cos2 δ + τTM sin2 δ

und

ρTE,TM = |RTE,TM|2 , τTE,TM = (kcx)

ksx

|TTE,TM|2 .

Damit kann man alle relevanten Großen berechnen, wenn die Reflektions- und Trans-missionskoeffizienten und der Polarisationszustand am Eingang bekannt sind.

7.3.2 Die einfache Grenzflache

7.3.2.1 Fresnelsche Formeln

Wir erinnern uns an die relevanten Wellenzahlvektoren

kI =

ksx

0kz

, kR =

−ksx

0kz

, kT =

kcx

0kz

.

Die stetige Komponente ergibt sich zu

kz =ω

c

√εs sin ϕI =

ω

cns sin ϕI.

Damit kann man die entsprechenden x-Komponenten von k schreiben als

kix =

√ω2

c2εi − k2

z =

√ω2

c2εi − ω2

c2εs sin2 ϕI =

ω

c

√n2

i − n2s sin2 ϕI

ksx =ω

cns cos ϕI, kcx =

ω

c

√n2

c − n2s sin2 ϕI,

139

d.h. ksx ist immer reell, wahrend kcx fur nc < ns sin ϕI imaginar wird (Totalreflexion).Mit der ’Schichtmatrix’

m(d −→ 0) =

(1 00 1

)ergeben sich die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten.

A) TE-Polarisation

RTE =(ksx − kcx)

(ksx + kcx)=

ns cos ϕI −√

n2c − n2

s sin2 ϕI

ns cos ϕI +√

n2c − n2

s sin2 ϕI

=ns cos ϕI − nc cos ϕT

ns cos ϕI + nc cos ϕT

TTE =2ksx

(ksx + kcx)=

2ns cos ϕI

ns cos ϕI +√

n2c − n2

s sin2 ϕI

=2ns cos ϕI

ns cos ϕI + nc cos ϕT

ρTE = |RTE|2 =|ksx − kcx|2|ksx + kcx|2

τTE = (kcx)

ksx

|TTE|2 =4ksx (kcx)

|ksx + kcx|2.

ρTE + τTE = 1

140

A) TM-Polarisation

RTM =(ksxεc − kcxεs)

(ksxεc + kcxεs)=

nsn2c cos ϕI − n2

s

√n2

c − n2s sin2 ϕI

nsn2c cos ϕI + n2

s

√n2

c − n2s sin2 ϕI

=nc cos ϕI − ns cos ϕT

nc cos ϕI + ns cos ϕT

TTM =2ksx

√εcεs

(ksxεc + kcxεs)==

2n2snc cos ϕI

nsn2c cos ϕI + n2

s

√n2

c − n2s sin2 ϕI

=2ns cos ϕI

nc cos ϕI + ns cos ϕT

,

und damit

ρTM = |RTM|2 =|ksxεc − kcxεs|2|ksxεc + kcxεs|2

,

τTM = (kcx)

ksx

|TTM|2 =4ksx (kcx) εs |εc||ksxεc + kcxεs|2

.

Widerspruch fur ϕI = 0 ? Es gilt RTE = −RTM, TTE = TTM. Warum?

7.3.2.2 Totalreflexion

141

Bedingung:

kcx = 0 nc = ns sin ϕI

sin ϕItot =nc

ns

.

Fur ϕI > sin ϕItot gilt dann

kcx = iω

c

√n2

s sin2 ϕI − n2c = iµc = i

√k2

z −ω2

c2εc imaginar.

Totalreflexion tritt auf, wenn (kcx) = 0. Das gilt fur beide Polarisationsrichtungen ingleicher Weise. Fur die Energieflusse gilt (hier TE):

ρTE =|ksx − iµc|2|ksx + iµc|2

=

∣∣∣∣ ZZ∗

∣∣∣∣2 = 1

τTE =4ksx (kcx)

|ksx + kcx|2= 0.

Fur Metalle ( (εc) < 0, (εc) << | (εc)| tritt immer Totalreflexion auf keinGrenzwinkel. (εc) << | (εc)| fuhrt zu einer kleinen Verschiebung des Grenzwinkelsund zu einer Verschmierung des abrupten Ubergangs.

Da der Reflexionskoeffizient komplex ist, kommt es bei der Totalreflexion zu einer Pha-senverschiebung.

A) TE-Polarisation

142

RTE = 1 · exp (iΘTE

) =ksx − iµc

ksx + iµc

=Z

Z∗ =exp (iα)

exp (−iα)= exp (2iα)

tan α = tanΘ

TE

2= − µc

ksx

= −√

n2s sin2 ϕI − n2

c

ns cos ϕI

= −√

sin2 ϕI − sin2 ϕItot

cos ϕI

.

B) TM-PolarisationEntsprechend gilt fur TM-Polarisation

RTM = 1 · exp (iΘTM

) =ksxεc − iµcεs

ksxεc + iµcεs

=Z

Z∗ =exp (iα)

exp (−iα)= exp (2iα)

tan α = tanΘ

TM

2= − µcεs

ksxεc

=εs

εc

tanΘ

TE

2,

d.h.

|ΘTM

| > |ΘTE| ,

linear polarisiertes Licht wird bei Totalreflexion elliptisch polarisiert FresnelschesPrisma

143

Das Feld im Cladding ist evaneszent ∼ exp (ikzz) exp (−µcz) . Der mittlere Energieflußins Cladding verschwindet

〈S〉x =1

2ωµ0

(k |E|2)x

=1

2ωµ0

(kx) |E|2 = 0.

7.3.2.3 Der Brewster-Winkel

Fur TM-polarisiertes Licht gibt es einen zweiten ausgezeichneten Winkel −→ Brewster-winkel ϕB. Dort verschwindet der Reflexionskoeffizient −→ RTM = 0, d.h., es muß gelten

ksxεc = kcxεs

ε2c

(εs − sin2 ϕBεs

)= ε2

s

(εc − sin2 ϕBεs

)sin2 ϕB =

εsεc (εs − εc)

εs (ε2s − ε2

c)=

εc

(εs + εc)

tan ϕB =

√εc

εs

.

Der Brewster-Winkel existiert fur ns ≶ nc.

Physikalische Interpretation:

tan ϕB =sin ϕB

cos ϕB

=nc

ns

ns sin ϕB = nc cos ϕB = nc sin(π

2− ϕB

)ns sin ϕB = nc sin ϕT ϕT =

π

2− ϕB,

d.h., Wellenzahlvektoren der reflektierten und transmittierten Welle stehen senkrechtaufeinander keine Abstrahlung in Richtung der potentiellen reflektierten Welle.

144

7.3.2.4 Folgerungen aus spezifischem Reflexionsverhalten

1. ϕI = ϕB reflektiertes Licht ist vollstandig TE-polarisiert bei beliebig polarisiertemEingangsfeld EI

2. ϕI > ϕtot ΘTE = ΘTM, aber |RTE| = |RTM| fur lin.pol.einfallende Welle (45)∣∣ETE

I

∣∣ = ∣∣ETMI

∣∣

∣∣ETER

∣∣ = ∣∣ETMR

∣∣, aber in Abhangigkeit vom Material ist ein Winkel zu finden, wo∆Θ ≈ 45 , d.h., zweimalige Totalreflexion gibt zirkular polarisiertes Licht.

7.3.2.5 Der Goos-Hanchen-Shift

−→ Totalreflexion endlicher Bundel an Grenzflachen (hier fur TE-Polarisation zeigen)

Ebene Welle:

EI(x, z) = EI exp [i (ksxx + kzz)] −→ EI(x, z) = EI exp [i (αz + γsx)]

ER(x, z) = EI exp [i (αz − γsx)] exp [iΘ (α)]

mit

α =ω

cns sin ϕI, γs =

√ω2

c2n2

s − α2.

−→ wichtig fur das folgende ist, daß die Phasenverschiebung vom Einfallswinkel(transversale Wellenzahl) abhangt.

Bundel:

EI(x, z) =

∫dαeI (α) exp [i (αz + γsx)]

Da schrager Einfall mit Haupteinfallswinke α0=ωcns sin ϕI0

α = α0 + ε

nur Integration uber nichtverschwindene Spektralamplituden

EI(x, z) = exp (iα0z)

∫ ∆

−∆

dεeI (ε) exp [i (εz + γsx)]

ER(x, z) = exp (iα0z)

∫ ∆

−∆

dεeI (ε) exp [i (εz − γsx)] exp [iΘ (α0 + ε)] .

145

Annahmen:· Reflexion an der Grenzflache x = 0.· da Divergenz des Strahles klein −→ alle Fourierkomponenten totalreflektiert.

Damit kann die Phasenverschiebung entwickelt werden

Θ (α0 + ε) ≈ Θ (α0) +∂Θ

∂α

∣∣∣∣α0

ε = Θ (α0) + Θ′ε

und wir erhalten

ER(0, z) = exp i [α0z + Θ (α0)]∫ ∆

−∆

dεeI (ε) exp [i (z + Θ′) ε]

exp i [α0z + Θ (α0)]EI (z + Θ′) .

−→ der reflektierte Strahl ist um d = −Θ′ verschoben (Goos-Hanchen Shift).

Berechnung dieser Verschiebung:

von vorn:

Θ = −2 arctg

√α2 − ω2

c2n2

c√ω2

c2n2

s − α2

−→ Θ′|α0= −2

α0√ω2

c2n2

s − α20

1√α2

0 − ω2

c2n2

c

= −2 tan ϕI01

µc

Θ′|α0= −d = −2 tan xET mit xET =

1

µc

=1√

α20 − ω2

c2n2

c

,

wobei xET als Eindringtiefe interpretiert werden kann

tan ϕI0 =d/2

xET

.

146

7.3.2.6 Bemerkungen zur Metallrefelxion und Doppelbrechung

A) Metallreflexion

Wir setzen ein ’ideales’Metall (freie Elektronen ohne Stoße) im Cladding voraus:

εc(ω) = 1 − ω2p

ω2,

wobei im optischen Spektralbereich (ωp > ω) εc(ω) < 0 gilt. Damit gilt fur alle Einfalls-winkel

µc =

√ω2

c2|εc(ω)| + k2

z ,

d.h. an Metallgrenzflachen tritt immer Totalreflexion auf, unabhangig vom Einfallswin-kel. Die Eindringtiefe 1

µcist immer kleiner als bei Dielektrika.

B) Doppelbrechung an anisotropen Medien (einachsig)

z. B. : ns = 1 (isotrop), nc −→ ncor und nce

Prinzip: Stetigkeit von kz

ns sin ϕI =

ncor sin ϕTor

nce (ϕTor) sin ϕTe

Doppelbrechung von Strahlen:Wenn die Hauptausbreitungsrichtung nicht in einer Hauptachse liegt, stimmen im

anisotropen Medium die Richtungen von k und S nicht uberein (walk off).

147

7.3.3 Die optische Schicht

7.3.3.1 Reflexions- und Transmissionskoeffizienten

Wir beziehen uns auf folgende Geometrie und beschranken uns der Eifachheit halber aufTE-Polarisation (TM analog aus Kapitel 7.3.1)

Aus den Gln.(7.7) und (7.8) folgt mit

M = m(d) =

cos (kfxd) 1

kfxsin (kfxd)

−kfx sin (kfxd) cos (kfxd)

RTE =(ksx − kcx) cos δ

2+ i(kfx − ksxkcx

kfx

)sin δ

2

(ksx + kcx) cosδ

2− i

(kfx +

ksxkcx

kfx

)sin

δ

2︸︷︷︸N

,

TTE =2ksx

N,

wobeiδ

2= kfxd.

Fur die Reflektivitat und Transmissivitat ergibt sich damit

ρTE = |RTE|2

τTE =kcx

ksx

|TTE|2 .

Fur absorptionsfreie Filme gilt naturlich:

ρTE + τTE = 1

148

und

ρTE =(ksx + kcx)

2 cos2 δ2

+(kfx + ksxkcx

kfx

)2

sin2 δ2− 4kcxksx

(ksx + kcx)2 cos2 δ

2+

(kfx +

ksxkcx

kfx

)2

sin2 δ

2︸︷︷︸N

.

τTE =4kcxksx

N

Reflektivitaten und Transmissivitaten sind phasenempfindlich (Resonatoren). Daraus er-geben sich die bekannten Anwendungsfalle.

a) λ/2-Schichten

δ

2= kfxd = mπ, d = m

λ

2nf

√1 − k2

z

k2f

−→ ⊥−→ d = mλ

2nf

mit sin δ2

= 0, cos δ2

= ±1 folgt dann

ρTE =(ksx − kcx)

2

(ksx + kcx)2 −→ wie Grenzflache.

Mit ksx = kcx ergibt sich ρTE = 0 −→ Antireflexionsschicht.

b) λ/4-Schichten

δ

2= kfxd = (2m + 1)

π

2 d = (2m + 1)

λ

4nf

√1 − k2

z

k2f

−→⊥−→ d = (2m + 1)λ

4nf

mit sin δ2

= 1, cos δ2

= 0 folgt dann

ρTE =

(kfx − ksxkcx

kfx

)2

(kfx + ksxkcx

kfx

)2

und fur senkrechten Einfall

ρTE =(n2

f − nsnc)2

(n2f + nsnc)

2 =

(1 − nsnc

n2f

)2

(1 + nsnc

n2f

)2 ,

d.h. fur n2f >> nsnc wird die Reflektivitat maximiert, betragt bei ns = nc = 1, nf = 2

jedoch nur 35%. Die Idee besteht nun darin λ/4-Schichten hintereinander anzuordnen.Fugt man eine zweite Schicht mit nf = 1.5 hinzu, erhalt man mit 5 solchen Doppelschich-ten eine Reflektivitat von 95%. Solche dielektrischen Schichtsysteme spielen eine großepraktische Rolle und werden als Laser- oder Resonatorspiegel (Braggspiegel) eingesetzt.Wir kommen spater auf diesen Punkt zuruck.

149

7.3.3.2 Der optische Tunneleffekt

Analog zum Tunneleffekt in der Quantenmechanik kann Licht durch dunne Filme tun-neln, wenn eigentlich die Bedingungen der Totalreflexion erfullt sind, also

εf < 0 oder εf < εc,εs und ϕI > ϕTot

Wir erhalten also

kfx = iµf = i

√

k2z − ω2

c2εf(ω), Dielektrikum√

ω2

c2|εf | + k2

z , Metall.

Fur eine symmetrische Anordnung εc = εs und sin (iµfd) = i sinh (µfd) , cos (iµfd) =cosh (µfd) ergibt sich dann fur den Transmissionskoeffizienten mit Γ = µfd

TTE =1

cosh Γ − i(k2

sx − µ2f )

2ksxµf︸︷︷︸ sinh Γ

C

=2

exp Γ + exp (−Γ) − iC [exp Γ − exp (−Γ)]

=2 exp (−Γ)

(1 − iC) + (1 + iC) exp (−2Γ).

150

Damit folgt fur die Transmissivitat

τTE =4 exp (−2Γ)

(1 + C2) (1 + exp (−4Γ)) + 2 (1 − C2) exp (−2Γ)

≈

4

(1 + C2)exp (−2Γ) .

Fur Γ = µfd ∼ 1 erhalten wir τTE ∼ 0.1. Fur einen Metallfilm mit |εf | = 10 folgt beisenkrechtem Einfall

Γ =2π

λ

√|εf |d 1 d λ

20.

Das Licht kann also durch extrem dunne Filme ’tunneln’, wenn es eigentlich total-reflektiert werden mußte. Anwendungen ergeben sich fur die Nahfeldmikroskopie beiAuflosungen unterhalb der Wellenlange.

7.3.4 Periodische Vielschichtsysteme - Bragg-Spiegel

Periodische Strukturen spielen in der Physik eine große Rolle (Kristalle, Supergitter,atomare Ketten, Arrays von Wellenleitern). Periodische Anordnungen von Schichtenwerden als Bragg-Spiegel bezeichnet. Die Reflektivitat dieser Spiegel ist in bestimm-ten Frequenzbereichen nahezu ’1’ und wachst mit der Anzahl der Schichten und demBrechzahlkontrast zwischen den Schichten. Braggspiegel werden in Resonatoren (Laser,Interferometer) eingesetzt. Andert sich die Periode (z. b. linear) nennt man die Spie-gel gechirpt. Solche Spiegel werden zur Dispersionskompensation in Nachrichtenubertra-gungsstrecken und bei der Erzeugung ultrakurzer Impulse (einige fs) eingesetzt.

151

Wir wollen hier die Grundlagen der Braggreflexion verstehen und betrachten einhalbunendliches periodisches Vielschichtsystem [x > 0, (ε1, d1) , (ε2, d2)] und setzen TE-Polarisation und Monochromasie voraus. Von vorn wissen wir, daß an der GrenzflacheSubstrat-Braggspiegel (x = 0) gelten muß:

EI + ER = E0

(7.12)

iksx (EI − ER) =∂E

∂x

∣∣∣∣0

= E′0,

damit ergibt sich fur die Reflektivitat

ρ =

∣∣∣∣ER

EI

∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣ksxE0 + iE′0

ksxE0 − iE′0

∣∣∣∣2 , (7.13)

d. h., Totalreflexion tritt auf, wenn E′0 reell ist. Die Aufgabe besteht nun darin, das Feld

im Vielschichtsystem zu berechnen. Fur endliche Systeme muß die Matrixmethode unddie numerische Losung des Problems herangezogen werden. Ist das periodische Mediumunendlich ausgedehnt (Analogie zum eindimensionalen Kristall), kann man vom Bloch-Theorem (siehe Festkorperphysik) Gebrauch machen. Das periodische Vielschichtsystemkann charakterisiert werden durch

ε(x) = ε(x + Λ),

wobei Λ = d1 + d2 die Periode darstellt. Das Bloch-Theorem sagt aus, daß nun jedeLosung die Gestalt

E(x, z; ω) = exp i [kx (kz, ω) x + kzz]Ekx(x)

mitEkx(x + Λ) = Ekx(x)

annimmt. kx ist der sog., bislang unbekannte, Blochvektor. Naturlich unterscheidet sichder zu bestimmende Zusammenhang zwischen kx, kz und ω von der Volumendispersions-relation

k2x =

ω2

c2ε (ω) − k2

z .

Zur Vereinfachung der Schreibweise setzen wir im folgenden kx = K. Das Feld tragtden Index ’K’,.d.h., zu jeder Losung der Dispersionsrelation gehort ein anderes Feld.Die Felder am Anfang der N−ten und (N + 1)−ten Schicht sind damit folgendermaßenverbunden (wir lassen den Index weg)(

EE

′

)(N+1)d

= exp (iKΛ)

(EE

′

)Nd

.

Andererseits konnen wir die Felder unter Benutzung der Matrixmethode verbinden(EE

′

)(N+1)d

= M

(EE

′

)Nd

(7.14)

152

mit M = M (d2) M (d1), wobei Mij =∑

k M(2)ik M

(1)kj . Gleichsetzen ergibt

M− exp (iKΛ) I( E

E′

)Nd

= 0 (7.15)

und mit µ = exp (iKΛ) erhalt man wegen

detM−µI

= 0

die vorlaufige Dispersionsrelation (eigentlich ist K) zu bestimmen

µ =(M11 + M22)

2±√

(M11 + M22)

2

2

− 1. (7.16)

Bevor wir uns naher mit dieser Dispersionsrelation beschaftigen, bestimmen wir ausGl.(7.15) das Feld und die Ableitung(

EE

′

)Nd

=

1

(µ − M11) /M12

ENd.

153

Setzen wir N = 0, folgt aus Gl.(7.13) , daß fur Totalreflexion E′0 und damit µ reell sein

muß, d.h. ∣∣∣∣(M11 + M22)

2

∣∣∣∣ ≥ 1

mit

M11 = cos (k1xd1) cos (k2xd1) − k2x

k1x

sin (k1xd1) sin (k2xd1)

M22 = cos (k1xd1) cos (k2xd1) − k1x

k2x

sin (k1xd1) sin (k2xd1) .

Die explizite Dispersionsrelation ergibt sich aus Gl.(7.16) mit

µ = exp (iKΛ) = cos (KΛ) + i sin (KΛ) = cos (KΛ) −√cos (KΛ)2 − 1

zu

cos K (kz, ω) Λ =(M11 + M22)

2

und ersetzt damit die Volumendispersionsrelation k2x = ω2

c2ε (ω) − k2

z .Folgende Schlußfolgerungen lassen sich aus der Dispersionsrelation ziehen:

1. Fur die obige Bedingung fur Totalreflexion (µ reell) wird der Blochvektor komplexmit

K (kz, ω) Λ = nπ

und

K (kz, ω) Λ = ln

(−1)n

(M11 + M22)

2±√

(M11 + M22)

2

2

− 1

.

2. Komplexer Wellenzahlvektor bedeutet Dampfung. Damit ist in diesem Bereich von(kz, ω) keine Ausbreitung moglich −→ evaneszente Einhullende. Es gibt unendlichviele solcher Bereiche (n = 1...∞). Diese Bereiche heißen verbotene Bander odergaps −→ Braggspiegel, Braggwellenleiter, ’photonic crystals’

3. Die Bandgrenzen sind gegeben durch K (kz, ω) Λ = nπ K (kz, ω) = nπ/Λ(und mit K = 2π/λB (λB−Blochwellenlange) Λ = nλB/2) und K (kz, ω) Λ = 0.

4. Außerhalb der verbotenen Bander existieren propagierende Losungen, die sich aberin ihren Eigenschaften von Volumenwellen unterscheiden (Dispersionsrelation)

Ausnutzen der starken Krummung zur Dispersionskompensation.

5. Fur senkrechten Einfall (kz = 0) heißt das, daß verbotene Frequenzbereiche existie-ren (Filter etc.).

6. Graphische Darstellung der Dispersionsrelation fur kz = 0 in dimensionslosenGroßen: Λ

cω(KΛ)

154

7. Nimmt man

cos K (ω) Λ =(M11 + M22)

2

= cos(ω

cn1d1

)cos(ω

cn2d2

)− 1

2

(n2

n1

+n1

n2

)sin(ω

cn1d1

)sin(ω

cn2d2

)so findet man leicht im ersten verbotenen Band mit KΛ = π + ix fur die Mitte desgaps, die gegeben ist mit

ωB

cn1d1 =

ωB

cn2d2 =

π

2∼ λ/4 − Schichten,

cosh xma =1

2

(n2

n1

+n1

n2

), xma = Λ(K)ma ≈ 2

n2 − n1

n2 + n1

fur |n2 − n1| << (n2 + n1)

Dampfung ist proportional zum Kontrast.

8. Die Breite des Bandes ergibt sich zu

∆ωgap ≈

2ωB

πxma =

2ωB

πΛ(K)ma

und ist damit ebenfalls proportional zum Kontrast.

7.3.5 Fabry-Perot-Resonatoren

Fabry-Perot-Resonatoren stellen eine Kombination der in den Kapiteln 7.3.3. und 7.3.4.behandelten Konfigurationen, Schicht (Cavity) und periodisches Vielschichtsystem (Spie-gel) , dar. Sie spielen in der Optik eine wichtige Rolle. Zum einen werden sie als

• Spektralapparate verwendet,

• zum anderen stellt ein Laser mit ebenen Spiegeln einen Fabry-Perot-Resonator miteinem aktiven Medium in der Cavity dar.

• In der nichtlinearen Optik sind sie von Interesse, da in der Cavity eine starkeFelduberhohung auftritt und damit nichtlinear optische Effekte bei geringeren In-tensitaten des einfallenden Lichtes auftreten. Effekte wie

155

1. Bistabilitat,

2. Modulationsinstabilitat,

3. Muster- und Resonatorsolitonenbildung

sind Gegenstand moderner Forschung.

Aus diesem Grunde ist es wichtig, die wesentlichen physikalischen Eigenschaften die-ses optischen Elementes zu verstehen.

Hinsichtlich der Spiegel unterscheidet man zwischen Resonatoren mit Metall- (Aus-kopplung uber den Tunneleffekt) und Bragg-Spiegeln.Wir untersuchen das Transmissi-onsverhalten der Resonatoren fur

• beliebige ebene, unterschiedliche Spiegel mit Absorption

• absorbierende Cavity

• TE-Polarisation

Folgende Geometrie wird betrachtet:

ET

ER

EI

0

DSD

S0

RD

R0

TD

T0

E+

E-

Dabei sind EI, ER und ET,die Amplituden des einfallenden, reflektierten und transmit-tierten Feldes an den jeweiligen außeren Grenzflachen der Spiegel. Die Reflexions- undTransmissionskoeffizienten konnen fur Metallfilme und Braggspiegel mit den in den Ka-piteln 7.3.3. und 7.3.4. behandelten Methoden berechnet werden.

1) am unteren Spiegel gilt:

T0EI + R0E−(0) = E+(0) (7.17)

Das Ziel besteht darin, E−(0) und E+(0) durch die Felder ER und ET zu ersetzen.

156

2) E+(0) wird ersetzt durch Felder am oberen Spiegel

ET = TDE+(D) mit E+(D) = E+(0) exp (ikfxD)

E+(0) =ET

TD

exp (−ikfxD) (7.18)

3) jetzt ersetzt man E−(0)a) am oberen Spiegel gilt:

E−(D) = RDE+(D) =RD

TD

ET

b) am unteren Spiegel gilt:

E−(0) = E−(D) exp (ikfxD) wegen E−(D) = E−(0) exp (−ikfxD)

E−(0) =RD

TD

ET exp (ikfxD)

4) nun setzt man E+(0) und E−(0) in 7.17 ein und erhalt:

T0EI + R0E−(0) = E+(0)

T0EI + R0RD

TD

ET exp (ikfxD) =ET

TD

exp (−ikfxD)

EI =1

T0TD

exp (−ikfxD) − R0RD exp (ikfxD)ET.

Daraus folgt Transmissionsfunktion eines Fabry-Perot zu

TTE =ET

EI

=T0TD exp (ikfxD)

1 − R0RD exp (2ikfxD).

Die Reflexion- und Transmissionskoeffizienten der Spiegel sind komplex −→ (R, T )0,D =

(|R| , |T |)0,D exp(iϕR,T

0,D

), aber nur die Phasen der Reflexionskoeffizienten spielen fur die

Transmissivitat τTE ∼ |TTE|2 eine Rolle. Wir setzen jetzt

kfx = (kfx) + i (kfx) = k + iα

und erhalten

|TTE|2 = |T |2 =|T0|2 |TD|2 exp (−2αD)

1 + exp (−4αD) |R0|2 |RD|2 − |R0| |RD| exp (−2αD) cos

(2kD + ϕ0 + ϕD︸︷︷︸

)δ

τ =kcx

ksx

|T |2 . (7.19)

157

Die Art der Spiegel (Bragg-Spiegel unterschiedlicher Dicke) beeinflußt die Phasen (ϕ0, ϕD)und damit die Transmissivitat. Die Beziehung 7.19 stellt die allgemeinste Formel zur Be-rechnung der Transmissivitat bei Vorgabe von |R0| , |RD| , |T0| , |TD| und ϕ0, ϕD dar, i.a.gilt τma < 1.

Wir behandeln nun einige Spezialfalle:

a) verlustfreier FP-Resonator (Cavity und Spiegel)

τ =kcx

ksx

|T0|2 |TD|21 + |R0|2 |RD|2 − |R0| |RD| cos δ

Wegen Verlustfreiheit der Spiegel gilt:

|T0|2 |TD|2 =ksx

k

(1 − |R0|2

) k

kcx

(1 − |RD|2

)

=ksx

kcx

(1 − |R0|2

) (1 − |RD|2

)mit

cos δ = cos2 δ

2− sin 2 δ

2= 1 − 2 sin 2 δ

2

erhalten wir

τ =

(1 − |R0|2

) (1 − |RD|2

)1 + |R0|2 |RD|2 − 2 |R0| |RD|

(1 − 2 sin 2 δ

2

)

=

(1 − |R0| |RD|)2(

1 − |R0|2) (

1 − |RD|2) +

4 |R0| |RD|(1 − |R0|2

) (1 − |RD|2

) sin 2 δ

2

−1

.

Und mit

ρ0 = |R0|2 , ρD = |RD|2

τ =

(1 −√

ρ0ρD

)2(1 − ρ0) (1 − ρD)

+4√

ρ0ρD

(1 − ρ0) (1 − ρD)sin 2 δ

2

−1

.

b) verlustfreier FP-Resonator mit symmetrischen Spiegeln

Dieser wichtigste Spezialfall erlaubt die Ableitung einer kompakten Formel (Airy-Formel)fur die Transmissivitat. Bei Verlustfreiheit gilt das Reziprozitatstheorem, d.h. Reflekti-vitaten und Transmissivitaten an den Einzelspiegeln sind gleich von innen und von außen.Damit gilt

ρ = |R0|2 = |RD|2 = ρ0 = ρD, ϕ = ϕ0 = ϕD

158

gilt

τ =

(1 − ρ)2

(1 − ρ)2 +4ρ

(1 − ρ)2 sin 2 δ

2

−1

=

1 + F sin 2 δ

2

−1

mit

F =4ρ

(1 − ρ)2

undδ

2= kD + ϕ

Die Airy-Formel beschreibt die Transmissivitat eines symmetrischen, verlustfreien Fabry-Perot-Resonators. Nur in diesem Fall ist die maximale Transmissivitat τ = 1 fur δ/2 =nπ zu erreichen.

Bemerkungen und Schlußfolgerungen

• Gleichungen gelten analog fur TM-Polarisation, man hat die entsprechenden Refe-xionskoeffiziente RTM bzw. Reflektivitaten ρTM einzusetzen.

• Resonanzen: τMAX = 1 fur δ/2 = kDMAX + ϕ = mπ mit

k = kx =2π

λ

√n2

F − n2S sin2 ϕI

DMAX =mπ − ϕ

kx

=λ

2

(m − ϕ

π

)√n2

F − n2S sin2 ϕI

λ

2cavity. (7.20)

Transmissionseigenschaften andern sich mit ϕI und λ.

• Transmissionsminima

τMIN =1

1 + F

−→ Ziel: großes F, um großen Kontrast zu erreichen, z.B. F = 100

100 = F =4ρ

(1 − ρ)2

ρ = 1 − ε

4

ε2≈ 100 ε = 0.2 ρ = 0.8.

159

Abbildung 7.1: Fabry-Perot-Resonator

160

• bei Pulsen und Bundeln geht man wie bei der Grenzflache vor −→z.B. TE: ET(α, β, ω) =TFP(α, β, ω)EI(α, β, ω) −→ Fouriertransformation ET(x, y, t) = FT [ET(α, β, ω)],interessante Naherung (Moden- oder mean-field-Theorie)

TFP(α, β, ω) ∼ 1

σ2 (ω) − α2 − β2

−→ σ2 (ω) (komplexe Resonanz) entwickeln und Fouriertransformation −→ DGLin z, y, t.

• Reflektivitaten von Metallfilmen oder dielektrischen Spiegeln werden mit den inden Kapiteln 7.3.3. und 7.3.4. vorgestellten Methoden berechnet.

• Finesse (Gute) eines Resonators:

Φ =ABSTAND DER RESONANZEN

HALBWERTSBREITE=

∆(

δ2

)ε

=π

ε

ε.= FWHM

1 + F sin2(mπ ± ε

2

)−1 .=

1

2=

1 + F

(ε

2

)2−1

F(ε

2

)2

= 1 ε =2√F

Φ =π

2

√F ε =

π

Φ.

−→ Linienbreite ist umgekehrt proportional zur Finesse. Wir erhalten fur die Airy-Formel

τ =

1 +

(2Φ

π

)2

sin 2 δ

2

−1

.

• Fabry-Perot-Resonator als Spektralapparat −→ Auflosungsvermogen (senkrechterEinfall)

Resonanz:

kD + ϕ = mπ −→ kD + ϕ ± ∆k

2D = mπ ± ε

2= mπ ± π

2Φ

|∆k| =2π

λ2nf |∆λ| =

π

ΦD

∣∣∣∣∆λ

λ

∣∣∣∣ = λ

nfΦD∼ 1

ΦD∼ ε (ρ)

D

Das Auflosungsvermogen wird großer mit kleinerer Linienbreite oder /und große-rer Cavitydicke.

Beispiel: λ = 5 · 10−7m, Φ = 30, nfD = 4 · 10−3m

∣∣∆λλ

∣∣ = 4 · 10−6 ∆λ =

2 · 10−12m

• Felduberhohung in der Cavity ∼ |T |−2∼ 1/(1−ρ) ∼ Φ −→ wichtig fur nichlineare

Effekte

161

• Lebensdauer der Photonen in der Cavity

Unscharferelation: ∆ωTc = const. ≈ 1. Wegen

|∆k| =1

cnF∆ω =

π

ΦD

∆ω =c

nF

π

ΦD Tc =

1

∆ω=

nFΦD

cπ∼

D

ε (ρ).

Lebensdauer wachst mit Finesse und Cavity-Dicke. Trade-off zwischen Felduberhohungund Lebensdauer.

• Optische Bistabilitat

−→ in Resonator Felduberhohung −→ wenn Cavity-Material nichtlinear ist (z.B.nF(I) = nF + n2I) −→ Verstimmung

δ

2=

δ0

2+ kDn2I =

δ0

2+ akD |ET|2

T =1

EI

ET und T = f (ET)

a) geringe Finesse

T

ET1 32 4 1 32 4

ET

EI

b) große Finesse

T

ET

1

3

2

4

1 32 4

ET

EI

4

3

2

1

162

7.4 Gefuhrte Wellen in Schichtsystemen

Motivation:

• Suche nach Wellen, die sich beugungsfrei ausbreiten.

• Miniaturisierung der Optik −→ Licht in dielektrischen Schichten (Streifen, Fasern)kleiner Dimension einsperren.

• Storunanfalligkeit, Fuhrung des Lichtes an gewunschte Positionen, optische Nach-richtenubertragung

• uberhohte nichtlineare Effekte.

• Schichtsysteme deshalb, um allgemeingultige Aspekte zu erkennen und bestimmtepraktisch wichtige Falle (stark gekoppelte Wellenleiter, Bragg-Wellenleiter) behan-deln zu konnen.

7.4.1 Feldstruktur gefuhrter Wellen

bisher: Reflexions–TransmissionsproblemAufgabe: Vorgabe von kz,EI, di,εi −→ Berechnung von ER,ET

Felder (eine Fourierkomponente) sind Normalmoden des homogenen Mediums:

∼ Eα (kz, ω) exp [i (kαxx + kzz − ωt)]

Frage: Kann Schichtsystem Wellen einfangen (nicht mehr unendlich ausgedehnt)

Hinweis: Totalreflexion

ET(x, z) = ET exp (ikzz) exp (−µcx)

−→ Totalreflexion ist der prinzipielle Mechanismus (auch an Grenzflache???)

neue Eigenschaft gefuhrter Wellen −→ Ausbreitung ist nur absorptions- und nicht beu-gungsbegrenzt.

Feldstruktur gefuhrter Wellen:

• ebene Welle in Ausbreitungsrichtung

∼ exp (ikzz)

163

• oszillierende Losung (stehende Wellenfelder) im Kern (Schichten, Faserkern, Strei-fen) (spater werden wir auch exponentielle Felder im Kern kennenlernen), hierzumindest in einer Schicht

∼ A sin (kfxx) + B cos (kfxx)

mit

kix =

√ω2

c2εi(ω) − k2

z > 0

1. Einschrankung:

k2z <

ω2

c2max

iεi(ω)

• evaneszente Wellen in Substrat und Cladding

∼ exp [−µc (x − D)] Cladding

∼ exp (µsx) Substrat

mit:

µs,c =

√k2

z −ω2

c2εs,c(ω) > 0

2. Einschrankung:

k2z >

ω2

c2εs,c(ω)

und damit ist die z-Komonente des Wellenzahlvektors gefuhrter Wellen einge-schrankt:

max(ω

cns,c

)< kz < max

i

(ω

cni

)Die Feldstruktur in den umgebenden Medien

ET(x, z) = ET exp (ikzz) exp [−µc (x − D)] x > D

ES(x, z) = ES exp (ikzz) exp (µsx) x < 0

impliziert, daß eine reflektierte und transmittierte Welle im Grenzfall verschwindendereinfallender Welle existiert. Diese Tatsache nutzen wir aus, um die Eigenschaften gefuhr-ter Wellen einfach durch Spezialisierung der in Kapitel 7.3 gewonnenen Erkenntnisseabzuleiten anstatt den gesamten schwerfalligen Apparat nochmals zu bemuhen.

7.4.2 Die Dispersionsrelation gefuhrter Wellen

Da ET,ER = 0 fur EI −→ 0, gilt R, T −→ ∞, d.h. gefuhrte Wellen sind Resonanzen desSystems (vgl. mit getriebenen harmonischen Oszillator)

x =F

ω2 − ω20

−→ ω = ω0 ist Resonanz. Damit erhalt man die Dispersionsrelation gefuhrter Wellenfur verschwindende Nenner von R, T . Man kann ein allgemeines physikalischen Prinzipformulieren:

164

Die Pole der Responsefunktion (oder der Greenschen Funktion) entspre-chen Resonanzen des Systems.

Man erhalt damit von vorn:

(αsksxM22 + αckcxM11) + i (M21 − αsksxαckcxM12).= 0

und mitksx = iµs, kcx = iµc

(αsµsM22 + αcµcM11) + (M21 + αsµsαcµcM12).= 0

M11 + αsµsM12 +1

αcµc

M21 +αsµs

αcµc

M22.= 0

mit

αTE = 1, αTM =1

ε

zusatzlich zur Materialdispersion

k2(ω) =ω2

c2εi(ω) = k2

x + k2z

tritt die Wellenleiterdispersionsrelation kz (ω, Geometrie) es gibt nur einen diskretenSatz von Losungen −→ Moden, d.h. bei Vorgabe von εi, di, ω folgt kzµ (ω) .

Bemerkung: Analogie zur zeitfreien Schrodingergleichungz.B. TE-Polarisation

d2

dx2+

ω2

c2ε(x)

E(x) = k2

zE(x) ←→

d2

dx2− 2m

2

V (x)

ψ(x) = −2m

2

Eψ(x)

• gefuhrte Wellen ←→ diskrete Energieeigenwerte

k2z >

ω2

c2εc,s ←→ E < VUmgebung

E S

C

f

VS

VC

kz

2

2

c2

2

V

• Tunneleffekt

k2z >

ω2

c2εFilm ←→ E < VBarriere

165

kz

2

2

c2

2

E

VB

V

• Warum nur endliche Anzahl diskreter Moden?

Randbedingung (ET,R −→ 0 fur x −→ ±∞) wahlt diskrete Werte von kz aus.εc, εs, kz bestimmen eindeutig die Ableitungen auf den Grenzflachen nur dieerlaubten kz fuhren auf Losungen mit dem richtigen asymptotischen Verhalten aufdem Rand.

• Dispersionsrelation ist eine komplizierte transzendente Gleichung fur kz(ω, d, εi, εc, εs) −→im allgemeinen werden numerische Nullstellensuchroutinen benotigt.

• Feldberechnung im Schichtsystem

1. kz aus Dispersionsrelation

2. im Substrat gilt:

F (x) = F exp (µsx) , G(x) = α∂

∂xF exp (µsx)

F (0), G(0) = αµsF (0) sind bekannt bei Vorgabe von F (0) −→ freier Pa-rameter

3. (FG

)x

= M(x)

(FG

)0

= M(x)

(1

αµs

)F (0).

7.4.3 Gefuhrte Wellen an einer Grenzflache - Oberflachenpola-ritonen

Gibt es lokalisierte Anregungen an einer Oberflache?

Bedingung: k2z > ω2

c2εc,s

Matrix:

M =

(1 00 1

)166

damit folgt die Dispersionsrelation

1 +αsµs

αcµc

= 1.

a) TE-Polarisation (α = 1)

µs + µc = 0,

da beide Großen positiv sind, gibt es keine Losung. Das ist physikalisch sofort klar, dahier

F = E, G =∂E

∂x

und Feld und Ableitung mussen steig sein. Die Ableitung ist jedoch unstetig an derGrenzflache. es existieren keine TE-polarisierten Oberflachenpolaritonen.

b) TM-Polarisation (α = 1/ε)

Dispersionsrelation

µc

εc

+µs

εs

= 0 −→ vgl. Brewsterkcx

εc

− ksx

εs

= 0,

daµc, µs > 0 εc · εs < 0,

d.h., ein Medium muß ’oberflachenaktiv’ sein (εc∨ εs < 0) −→ Gefuhrte TM-polarisierteOberflachenwellen existieren nur in der Nahe von Resonanzen eines beteiligten Materials.

167

Existenzbedingungen:

• Dielektrika −→ ω0(T) < ω < ωL −→ Oberflachen-Phonon-Polaritonen

• Metall −→ ω < ωp −→ Oberflachen-Plasmon-Polaritonen

explizite Dispersionsrelation

(µcεs)2 = (µsεc)

2

ε2s (ω)

k2

z −ω2

c2εc

= ε2

c

k2

z −ω2

c2εs (ω)

kz(ω) =ω

c

√εs (ω) εc

εc + εs (ω)

• zweite Bedingung: εc + εs (ω) < 0, also insgesamt:

1. εs (ω) < 0, εc > 0,

2. |εs (ω)| > εc

es existiert bei Vorgabe der Frequenz und fur eine Materialkombination nur einegefuhrte Mode mit kz(ω).

Beispiel:OF-Plasmon-Polaritonen an Grenzflache Luft-Metall

Metall:

εs (ω) = 1 − ω2p

ω2< −εc = −1

ω2 <ω2

p

2.

168

Explizite Dispersionsrelation:

k2z (ω) =

ω2

c2

1 − ω2p

ω2

1 + 1 − ω2p

ω2

ω2 =1

2

(ω2

p + 2c2k2z

)−√1

4

(ω2

p + 2c2k2z

)2 − c2k2zω

2p,

kz −→ 0 ω −→ 0, kz −→ ∞ ω −→ ωp/√

2.

kz

P

= P =

=ckz

C S+ ( )=02

−→ an der Grenzflache konnen sich im ’dampfenden’ Frequenzbereich (Volumen)ungedampfte Wellen ausbreiten.

Feldstruktur eines TM-OF-Polaritons

stetige Felder −→ F = Hy = H, G =1

ε

∂H

∂x,

da ε das Vorzeichen wechselt, gilt das auch fur ∂Hy

∂x.

Hs(x, z) = H0 exp (ikzz) exp (µsx)

Hs(x, z) = H0 exp (ikzz) exp (−µcx)

mit µs =

√k2

z +ω2

c2|εM|.

Aus der Maxwellgleichung

ETM =i

ωε0εrot HTM

169

folgt

Es,cx =kz

ωε0εs,c

H ∼

∂

∂z

Esz =i

ωε0

µs

εs

H ∼

∂

∂x

Ecz = − i

ωε0

µc

εc

H ∼

∂

∂x.

GF GF

x x

Ex H,Ez

H,Ex in Phase, Ez um -π/2 phasenverschoben.

OF-Wellen:

• Spektroskopie, jedoch eingeschrankter Frequenzbereich

• Radiowellen (AM)

• Erdbeben, Wasserwellen

• whispering gallery

7.4.4 Gefuhrte Wellen in einer Schicht - Schichtwellenleiter

−→ eigentliche Basis der Integrierten Optiktypische Parameter:

• d ≈ einige λ

• ∆ε ≈ 10−3 − 10−1

• Herstellung durch Beschichtung, Diffusion, Ionenimplantation

170

M = m(d) =

(cos (kfxd) 1

αfkfxsin (kfxd)

−αfkfx sin (kfxd) cos (kfxd)

)Dispersionsrelation:

M11 + αsµsM12 +1

αcµc

M21 +αsµs

αcµc

M22.= 0

cosδ

2+

αsµs

αfkfx

sinδ

2− αfkfx

αcµc

sinδ

2+

αsµs

αcµc

cosδ

2= 0,

δ

2= kfxd

tan (kfxd) =1 + αsµs

αcµc

αfkfx

αcµc− αsµs

αfkfx

=αfkfx (αsµs + αcµc)

α2f k

2fx − αcαsµcµs

tan (kfxd) =

kfx

αf

(µs

αc+ µc

αs

)k2fx

αcαs− µcµs

α2f

.

7.4.4.1 a) TE-Polarisation

(α = 1)

tan (kfxd) =kfx (µs + µc)

k2fx − µcµs

,

−→ implizite Gleichung fur kz −→ Losungen kzν ; fur reelle dielektrische Funktionen und

ω2

c2max (εc, εs) ≤ k2

z ≤ ω2

c2εf

171

sind alle Losungen reell.

7.4.4.2 Bemerkungen:

• Trick zur Bestimmung der Wellenzahl (Propagationskonstante) −→ kz vorgeben−→ d oder ω bestimmen

1. Startwert: kz =(ω/c)√

εf

2. einsetzen in :

dcalc =1

kfx

arctan

(kfx (µs + µc)

k2fx − µcµs

)+ νπ

.

( ν = 0, 1, 2.. nummeriert Moden)

172

3. ∆ = dcalc − d

4. kz reduzieren bis dcalc − d das Vorzeichen wechselt.

5. Intervallhalbierung

• meist im sichtbaren Gebiet εi(ω) = εi, da weit weg von Resonanz. Wellenleiter-dispersion i.a. viel starker als Materialdispersion.

• Verschwinden eines Modes −→ cut-off (hier o.B.d.A. εc < εs)

Definition des cut offs: γs = 0 −→ kein Abklingen k2z = ω2

c2εs

tan(ω

c

√εf − εsd

)=

√εf − εs

√εs − εc

εf − εs

=

√εs − εc

εf − εs

(ωd)TEco =

c√εf − εs

arctan

√εs − εc

εf − εs

+ νπ

(ωd)TEco =

c√εf − εs

arctan a︸︷︷︸max π/2

+ νπ

mit Asymmetrieparameter a :

εs≈εc a −→ 0εs≈εf a −→ ∞

εs =εc

.

−→ cut-off Frequenz fur kz (ω) −→ d fest

−→ cut-offDicke fur kz (d) −→ ω fest

1. symmetrischer Wellenleiter cut-off = 0

2. stark asymmetrischer Wellenleiter (ωd)TEco = c√

εf−εs

π2

+ νπ

• Anzahl der Moden m −→ Umstellen nach ν und ν = m + 1

•m = 1 + int

1

π

(2π

λ

√εf−εsd − arctan a

)mit

int(c) =

Vorkommawert f. c > 0

−1 f. c < 0.

• Dispersionskurven −→ graphische Darstellung der Dispersionsrelation mit neff =kz/(

ωc

)1. kz (ω) −→ neff (ω)

2. kz (d) −→ neff (d)

173

3. kz (ωd) −→ speziell in Faseroptik

V =ω

cd√

εf−εs =ω

cdNA = 2πNA

d

λ

B =n2

eff − εs

εf−εs

neff (V ) oder B(V ); V - Wellenleiterparameter, NA- numerische Apertur

Modenanzahl:

m = 1 + int

1

π

(2π

λ

√εf−εsd − arctan a

)= 1 + int

2NA

d

λ− arctan a

π

m = 1 + int

2NA

d

λ

symm.WL

m = 1 + int

2NA

d

λ− 1

2

stark asymm.WL

• Feldstruktur

µs,c =

√k2

z −ω2

c2εs,c

1. kz −→√

ωcεf µs,c werden am großten starker Abfall

2. kz −→√

ωc

max(εs,c) µs ∨ µc −→ 0 weites Eindringen

174

(FG

)x

= m(x)

(FG

)0

F = E, G =dF

dx=

dE

dx

Ef(x) = m11E0 + m12dE

dx

∣∣∣∣0

,dE

dx

∣∣∣∣0

= µsE0

Ef(x) = E0

cos (kfxd) +

µs

kfx

sin (kfxd)

.

Gesamtfeld einer Mode:

Eν(x, z) = E0 exp (ikzνz)

cos (kfxνd) + µsν

kfxνsin (kfxνd)

exp [−µc (x − d)] x > d

cos (kfxνx) + µsν

kfxνsin (kfxνx) 0 ≤ x ≤ d

exp (µsx) x < 0

,

also: kzν aus Dispersionsrelation Modenfeld Eν(x); ν-Anzahl der Nulldurchgange

• Energietransport

〈S〉 =1

2 (E × H∗)

〈Sx〉 =1

2 (EH∗

z ) =1

2ωµ0

(

iE∂E∗

∂x

)= 0

〈Sz〉 =1

2 (EH∗

x) = − 1

2ωµ0

(

iE∂E∗

∂z

)=

kzν

2ωµ0

|Eν(x)|2

Energiefluß gefuhrter Moden nur in Ausbreitungsrichtung

• Gefuhrte Leistung

Pν =kzν

2ωµ0

∫ ∞

−∞|Eν(x)|2 dx

[W

m

]

7.4.4.3 b) TM-Polarisation

(α = 1/ε)

• Dispersionsrelation

tan (kfxd) =kfxεf (µsεc + µcεs)

k2fxεcεs − µcµsε2

f

.

175

• cut off

tan(ω

c

√εf − εsd

)=

√εf − εs

√εs − εcεsεf

(εf − εs) εsεc

=εf

εc

√εs − εc

εf − εs

(ωd)TMco =

c√εf − εs

arctan

(εf

εc

a

)+ νπ

fur TM-Polarisation sind cut-off Dicken und Frequenzen großer kTE

zν > kTMzν .

• Anzahl der Moden

m = 1 + int

1

π

(2π

λ

√εf−εsd − arctan

(εf

εc

a

)).

• Feldstruktur

Hν(x, z) = H0 exp (ikzνz)

cos (kfxνd) + εfµsν

εskfxνsin (kfxνd)

exp [−µc (x − d)] x > d

cos (kfxνx) + εfµsν

εskfxνsin (kfxνx) 0 ≤ x ≤ d

exp (µsx) x < 0

,

und die elektrischen Feldkomponenten folgen mit

Ex =i

ωε0ε

∂H

∂z= − kzν

ωε0εH

Ez = − i

ωε0ε(x)

∂H

∂x

• Energietransport

〈Sx〉 = 0

〈Sz〉 =1

2 (ExH

∗) ==kzν

2ωε0ε(x)|Hν(x)|2 .

• Gefuhrte Leistung

PTMν =

kzν

2ωε0

∫ ∞

−∞

|Hν(x)|2ε(x)

dx

[W

m

].

Bemerkung: Gefuhrte Wellen im Strahlenbild

C

dk

S

∆Φ + ∆Θtot = 2kxfd + Θc + Θs = 2mπ.

176

7.4.5 Anregung gefuhrter Moden

−→ OF-Polaritonen analogzwei Moglichkeiten: Feldanpassung oder Wellenzahl (kz)-Anpassung

• Feldanpassung −→ Stirnflachenkopplung

im Wellenleiter (ohne Strahlungsmoden):

E(x, z) =∑

ν

aνEν(x) exp (ikzνz)

E(x, 0) ≈

∑ν

aνEν(x)

∣∣∣∣∫ Eµ(x)

wegen : Pν =kzν

2ωµ0

∫ ∞

−∞|Eν(x)|2 dx

aν =kzν

2ωµ0Pν

∫ ∞

−∞Ein(x)Eν(x)dx,

d.h. die Mode ′ν ′ wird durch das einfallende Feld Ein(0) mit der Amplitude aν angeregt.Gauß-Strahl regt den Grund-Modus gut an. Wegen der Symmetrie ungerader Modenwerden sie nur von versetztem Gauß-Strahl angeregt.

• Wellenzahlanpassung −→ Impulserhaltung

C

f

S

kz

1. kz muß an Grenzflachen stetig ubergehen

2. Bedingung fur die Existenz gefuhrter Wellen

kz >ω

c

√εc,s

auch fur OF-Polaritonen

kz(ω) =ω

c

√εs (ω) εc

εc + εs (ω)=

ω

cεc

√|εM (ω)|

|εM (ω)| /εc − 1>

ω

cεc.

177

3. Dispersionsrelation der Volumenwelle erfordert

kz =

√ω2

c2εc,s − k2

s,cx <ω

c

√εc,s

Widerspruch

• Prismenkopplung

Auf Wellenleiter Medium mit εp > εf (Prisma) kz < ωc

√εf kz < ω

c

√εp

kpx =√

ω2

c2εp − k2

z > 0.

kzkpx

z

x

kz

p

f

möglichstweit hinten

evaneszent

−→ Physik des Tunneleffektes , ATR(’attenuated total reflection’)

R

kz

enger Spalt

breiter Spalt

Breite und Minimum der Resonanz und damit die Effektivitat der Anregung hangenvon Breite des Luftspalts ab Strahlungsdampfung ∼ 1/Breite −→ Optimierung; Pris-ma ’verfalscht’ Mode

Luft Metall-film

Metall Luft

Otto-Geometrie (WL, OF) Kretschmann-Geometrie (OF)

178

• Gittlerkoppler

C

f

S

kz

kzg

Gitter:

d(z) = d + ς(z)

ς(z) = A sin (gz) mit g =2π

P

P - Gitterperiode

Bedingung:

kzν = kz + mg

=ω

cns sin φ + mg.

Gittermodulation bestimmt Effektivitat (ahnlich Luftspalt).

Bei beiden Methoden ist Einkopplung stets mit Auskopplung verbunden.

7.4.6 Einige Bemerkungen zu Streifen- und Faserwellenleitern

7.4.6.1 Streifenwellenleiter

−→ fur Anwendung wichtiger −→ zweidimensionale Fuhrung

h C

S

f

w

179

i. a. keine Aufspaltung in TE- und TM-Moden → Hybridmoden (besitzen alle Feldkom-ponenten)

Eν(x, y) =

(Et(x, y)Ez(x, y)

).

Die Gleichungen lassen sich entkoppeln und es folgt eine Eigenwertgleichung fur Et(x, y)(∇2

t +

ω2

c2ε(x, y) − k2

z

)Et(x, y) + ∇t Et(x, y)∇t log ε(x, y) = 0

mit

∇t =

∂∂x∂∂y

0

.

EW-Gleichung kann nur mit vektoriellen Eigenwertlosern behandelt werden → z.B.Finite-Element-Methode (FEM).

Wichtige Naherung → Effektive-Index-Methode: Quasi-TE, Quasi-TM→ sukzessive Losung fur zwei Schichtwellenleiter

w

neff 1

2neff 2

2neff 1

2

neff 1

2

S

f

C

C

C

f f

f

S S

neff 2

2neff 1

2

TE

Zerlegung in 3 Gebiete1)

2) in y-Richtung nun als effektiver Wellenleiter

d d

x

neff 1

2

neff 1

2

neff 2

2

TM w

y

y

7.4.6.2 Grundbauelemente:

1. RichtkopplerAufbau:

Theorie: Supermoden, Kopplung

P1(z) = P0 cos2 (kkopz)

180

→ nichtlinearer Schalter.

Technologie:

7.4.6.3 Reflektoren (Spiegel)

→ Bragg-Gitter

2 |kz| = 22π

λneff = mg = m

2π

Λ

Λ =mλ

2neff

.

7.4.6.4 Faserwellenleiter

→ Quarzglas, Si02, → Kern, cladding, jacket, zylindrische Geometrie, step-index, graded-index

Brechzahlverhaltnisse:

Wellenleiterparameter:

V =2π

λrco

√n2

co − n2c

Fur V < 2.405 single-mode Wellenleiter, ansonsten multi-mode

i.a. schwache Wellenleitung → skalare Naherung der Eigenwertgleichung(∇2

t +

ω2

c2ε(x, y) − k2

z

)ψ(x, y) = 0

→ Entartung, Zylindersymmetrie, Besselfunktionen sind Eigenlosungen, Grundmo-dus kann oft durch Gauß-Profil genahert werden fur 1 < V < 2.405. Man erhalt mit

∆ = 0.5εco − εc

εco

181

ψ ∼ ψ0 exp

(−2

r2

r2co

log V

)/ exp (−2 log V )

kz =1

rco

√V 2

2∆− 1 − 2 log V .

7.4.6.5 Dampfung und Dispersion

→ Dampfung extrem niedrigα = 0.2 dB/km @ 1.55 µm (50% nach 15 km)

→ im wesentliche Rayleigh-Streuung an stochastischen InhomogenitatenDispersion:

Dω =∂2kz

∂ω2=

∂

∂ω

1

vg

, [Dω] =ps2

km

oft:

Dλ =∂

∂λ

1

vg

mit

ω =2πc

λ

182

folgt∂

∂λ= −2πc

λ2

∂

∂ω

und damit

Dλ = −2πc

λ2Dω, [Dλ] =

ps

nm · km

Dλ = 1 psnm×km

bedeutet, daß sich eine Wellenlangenverschiebung um 1nm bei derAusbreitung uber 1 km in einer Veranderung der Ankunftszeit um 1 ps bemerkbar macht.

Es gilt die Faustformel:

Dλ

[ ps

nm · km

]≈ − 1.88

λ2 [µm]Dω

[ps2

km

].

Typische Dispersionswerte bei der Kommunikartionswellenlange von λ = 1550 nm:Standardfaser (billig, einfaches Profil): Dλ = 17 ps/(nm· km)

183

Kapitel 8

Statistische Optik –Koharenztheorie

8.1 Grundlagen

wesentliche Beitrage durch Max Born und Emil Wolf (50iger Jahre)Gegenstand: Eigenschaften von ‘zufalligem’ Licht → Fluktuationen der Quelle oderder optischen Eigenschaften des Mediums, das vom Licht passiert wird.

• naturliches Licht (Warmestrahler), viele unabhangige Atome (unterschiedliches ωund Phase)

• Streuung an rauhen Oberflachen

→ Koharenztheorie

Annahmen: skalare Naherung u(r, t), bisher: u(r, t) = U(r, ω) exp−iωt) + c.c. z.B.:U(r, ω) = exp (ikr) → Phasen vollstandig determiniert → koharentes Licht

Feld ist Zufallsgroße, erfullt jedoch nach wie vor die Wellengleichung. Statistische Eigen-schaften fuhren zur Einteilung des Lichtes nach dem Grad der Korrelation der Phasenin:

• koharentes Licht

• partiell koharentes Licht

• inkoharentes Licht

Wir definieren zuerst wesentliche Begriffe der Koharenztheorie.

184

8.2 Statistische Eigenschaften des Lichtes

8.2.1 Definitionen

u(r, t) → komplexes anyltisches Signal

u(r, t) =

∫ ∞

0

U(r, ω) exp (−iωt) dω

uR(r, t) = ∫ ∞

0

U(r, ω) exp (−iωt) dω.

8.2.1.1 a) Intensitat

I(r, t) =⟨|u(r, t)|2⟩

e

|u(r, t)|2 - Zufallsintensitat, 〈〉e - Ensemblemittelwert → gleiche Praparation des Systems

• statistisch stationar - Lampe mit konstantem Strom

I(r, t) = I(r).

Es gilt die Ergodenhypothese: Ensemblemittelwert kann durch Zeitmittelwert er-setzt werden.

〈〉e = 〈〉t = 〈〉

I(r) = lim1

2T

∫−T

T→∞

T

|u(r, t)|2 dt

• statistisch nichtstationar → Lampe mit veranderlichem Strom → I(r, t)

185

8.2.1.2 b) zeitliche Koharenz und Spektrum

Annahmen: statistisch stationar → I(r) und am festen Ort → I(r) = I.Maß fur Korrelation von u(t) und u(t + τ) → Autokorrelationsfunktion G(τ)

G(τ) = 〈u∗(t)u(t + τ)〉 = limT→∞

1

2T

T∫−T

u∗(t)u(t + τ)dt.

G(τ) ist die zeitliche Koharenzfunktion.Zeitskalen: u(t) schwach veranderlich innerhalb von tK (Korrelationszeit), daruber-

hinaus ‘rauh’, d.h., G(τ) = 0 fur τ > tK.Speziell gilt:

G(0) = I.

G(τ) beschreibt damit Koharenz und Intensitat. Man kann beide Effekte trennen durchdie Einfuhrung einer normierten Große → komplexer zeitlicher Koharenzgrad g(τ)

g(τ) =G(τ)

G(0)=

〈u∗(t)u(t + τ)〉〈u∗(t)u(t)〉

0 ≤ g(τ) ≤ 1.

Beispiel: deterministisches Licht

u(t) = A exp (−iω0t)

g(τ) =1

2T

∫ |A|2 exp (−iω0τ) dt1

2T

∫ |A|2 dt= exp (−iω0τ) → |g(τ)| = 1.

i.a.:

Koharenzzeit:|g(τ)| nimmt monoton ab Definition der Koharenzzeit uber Breite von |g(τ)| = 1/e

o. 1/2.

186

τc =

∫ ∞

−∞|g(τ)|2 dτ,

also |g(τ)| = 1 τc → ∞.z.B.: g(τ) = exp (− |τ | /A) τc = 2

∫exp (−2 |τ | /A) dτ = A(1 − 0) = A.

Koharenzlange: lc = cτc wenn Langendifferenzen in optischen Systemen ≤ lc →Koharenz.

8.2.1.3 c) Das Wiener-Khinchin-Theorem

→ Zusammenhang Spektrum und zeitliche KoharenzTheorem: Die Fouriertransformation der Autokorrelationsfunktion eines Signals istidentisch mit dem Betragsquadrat der Fouriertransformation des Signal.

hier also: Zusammenhang zwischen FT der zeitlichen Koharenzfunktion und des Signal-spektrums

G(τ) =

∫ ∞

−∞S(ω) exp (−iωt) dω

und

S(ω) = |U(ω)|2 .

Beweis (beachten, daß endliche Zeiten, da bei stationaren Prozessen unendliche Ener-gie):

G(τ) = 〈u∗(t)u(t + τ)〉 = limT→∞

1

2T

T∫−T

u∗(t)u(t + τ)dt.

abgeschnittene FT:

UT(ω) =1

2π

∞∫−∞

uT(t) exp (iωt) dt

uT(t) =

u(t) fur |t| ≤ T0 sonst

uT(t) =

∫ ∞

−∞UT(ω) exp (−iωt) dω,

187

G(τ) = limT→∞

1

2T

T∫−T

U∗T(ω′) exp (iω′t) UT(ω′′) exp [−iω′′ (t + τ)] dω′dω′′dt

= limT→∞

1

2T2π

T∫−T

|UT(ω′)|2 exp (−iω′τ) dω′

S(ω) = 2π limT→∞

1

2T|UT(ω)|2 q.e.d.

S(ω)dω → spektrale Intensitat zwischen ω und ω + dω. Da U(−ω) = 0 , gilt

I =

∫ ∞

0

S(ω)dω.

→ Koharenz einer Lichtquelle durch spektrale Intensitat bestimmt.

Es gilt:

τc∆ω = const.

mit spektraler Breite

∆ω =

[∫ ∞0

S(ω)dω]2∫ ∞

0S2(ω)dω

• spektrale Filter verbessern Koharenz, aber Intensitat geht verloren,

• Monochromasie ( ∆ω → 0) bedeutet vollst. zeitl. Koharenz ( τc → ∞).

• wenn ∆ω << ω0 oder τc >> tsystem → Quasimonochromasie (wie koharentes Licht)

188

8.2.1.4 d) gegenseitige Koharenzfunktion (raumliche und zeitliche Koharenz)

→ Kreuzkorrelation u(r1, t1), u(r2, t2) mit τ = t2 − t1

G (r1, r2, τ) = 〈u∗(r1, t), u(r2, t + τ)〉

g (r1, r2, τ) =G (r1, r2, τ)√

I(r1)I(r2), 0 ≤ |g (r1, r2, τ)| ≤ 1.

G - gegenseitige Koharenzfunktion, g - komplexer Koharenzgrad, g (r1, r2, τ) - Maß furKorrelation zwischen (r1, t) und (r2, t + τ).Beispiel: ebene, monochromatische Welle:

|g (r1, r2, τ)| = |exp [ik (r1 − r2) − ωτ ]| = 1.

speziell:

a) zeitliche Koharenz: r1 = r2 = r

b) raumliche Koharenz: τ = 0.

8.2.1.5 e) gegenseitige Intensitat - raumliche Koharenz

→ τ = 0G (r1, r2, 0) = 〈u∗(r1, t), u(r2, t)〉 = G (r1, r2)

G (r1, r2) → gegenseitige Intensitat

g (r1, r2) =G (r1, r2)√I(r1)I(r2)

g (r1, r2) → normierte gegenseitige Intensitat

Bemerkung:Wenn Wegdifferenz im optischen System <lc

G (r1, r2, τ) = G (r1, r2) exp (−iω0τ)

= G (r1, r2) G(τ),

Separartion von zeitlicher und raumlicher Koharenz, dabei vollst. zeitl. Koharenz →quasimonochr.Licht.

Koharenzgebiet:

189

Wenn Apertur <Koharenzgebiet |g| = 1 → Koharenz

Wenn Auflosungsgrenze >Koharenzgebiet |g| = 0 → Inkoharenz

z.B.: Warmestrahler → Koharenzgebiet ∼ λ2 , d.h. inkoharent.

8.3 Interferenz mit partiell koharentem Licht

8.3.1 Interferenz zweier partiell koharenter Wellen

Es seien u1(r,t) und u2(r,t) zwei Zufallsfunktionen mit den Intensitaten an einem Ort rzur gleichen Zeit t

I1 =⟨|u1(r,t)|2

⟩, I2 =

⟨|u2(r,t)|2⟩

und der Kreuzkorrelation

G12 = 〈u∗1u2〉

bzw. der normierten Große

g12 =〈u∗

1u2〉√I1I2

(man beachte den Unterschied zu den Großen g und G ohne Index, bisher kein Bezug zudiesen Großen).

Uberlagerung ergibt:

I(r) =⟨|u1 + u2|2

⟩=

⟨|u1|2⟩

+⟨|u2|2

⟩+ 〈u∗

1u2〉 + 〈u1u∗2〉

= I1 + I2 + G12 + G∗12 = I1 + I2 + 2 (G12)

= I1 + I2 + 2√

I1I2 (g12)

= I1 + I2 + 2√

I1I2 |g12| cos ϕ, ϕ = arg (g12) .

1. |g12| = 1 → Interferenzformel fur koharentes Licht

2. |g12| = 0 → I = I1 + I2 → inkoharentes Licht

3. i.a. 0 ≤ |g12| < 1 → Interferenzmuster mit Sichtbarkeit

v =Imax − Imin

Imax + Imin

= 2

√I1I2

I1 + I2

|g12|

und fur I1 = I2

v = |g12| .Das Ziel besteht nun darin, g12 mit g (τ) oder g (r1r2, τ) in Zusammenhang zubringen, um eine Meßvorschrift fur die normierten Koharenzfunktionen zu besitzen.

190

8.3.2 Interferenz und zeitliche Koharenz

Wir betrachten das Signal am gleichen Ort zu zwei verschiedenen Zeiten.

u1 = u(t) → I0 =⟨|u(t)|2⟩

u2 = u(t + τ) → I0 =⟨|u(t + τ)|2⟩ → zeitversetzte Welle

Damit gilt:

g12 =〈u∗

1u2〉I0

=〈u∗(t)u(t + τ)〉

I0

= g (τ) .

Das Interferenzmuster ergibt sich zu

I (r) = I1 + I2 + 2√

I1I2 (g12)

I(τ) = 2I0 1 + [g (τ)] = 2I0 [1 + |g (τ)| cos ϕ (τ)]

|g (τ)| bestimmt die Sichtbarkeit v = |g (τ)| und cos ϕ (τ) die Lage der Interferenzstreifen,d.h. v = 1 fur τ = 0 und v = 0 fur τ > τc.

Realisierung → Michelson- oder Mach-Zehnder-Interferometer:

τ =2(d2 − d1)

c

Quasimonochromasie (ω0 >> ∆ω)

u(t) = a(t) exp (−iω0t)

g (τ) = ga (τ) exp (−iω0τ) = |ga (τ)| exp [−i (ω0τ − ϕa)]

ga (τ) =〈a∗(t)a(t + τ)〉

|a(t)|2

I(τ) = 2I0

1 + |ga (τ)|

Kontrast

cos

[ω0

Periodeτ − ϕa (τ)

Lage

].

8.3.2.1 Fourier-Transformations-Spektroskopie:

Da S(ω) reell ist, gilt

191

G (τ) = g (τ) I0 =

∫ ∞

0

S(ω) exp (−iωτ) dω

I(τ) = 2I0 + 2I0g (τ)

= 2I0 + 2

∫ ∞

0

S(ω) exp (−iωτ) dω

= 2

∫ ∞

0

S(ω)dω + 2

∫ ∞

0

S(ω) cos (ωτ) dω

= 2

∫ ∞

0

S(ω) [1 + cos (ωτ)] dω.

I(τ) messen → FT−1 [I(τ)] = S(ω) G (τ)Interpretation: kontinuierliche Uberlagerung von Interferogrammen mit Sichtbarkeit

v = 1.

8.3.3 Interferenz und raumliche Koharenz

Young–Interferometer → Beugung am Schirm,

u1 = u1(r,t) - Licht von Loch ’1’, u2 = u2(r,t) - Licht von Loch ’2’Messung von I(r,t)

r1 = (−a, 0, 0) , r2 = (a, 0, 0) , r = (x, 0, d) , Θ ≈ 2a

d.

In Fresnelnaherung gilt:1. Loch

u1(r,t) = u

(r1,t − |r − r1|

c

)≈ u

r1,t − d + (x + a)2 / (2d)

c

,

2.Loch

u2(r,t) = u

(r2,t − |r − r2|

c

)≈ u

r2,t − d + (x − a)2 / (2d)

c

.

Weiterhin

I1 ≈ I2 ≈ I0.

Von vorn haben wir:

I = 2I0 (1 + |g12| cos ϕ)

192

mit

g12 =〈u∗

1u2〉I0

=〈u∗(r1, t)u(r2, t + τ)〉

I0

= g (r1, r2, τ)

erhalt man den gegenseitigen komplexen Koharenzgrad. Dabei ist

t =d + (x + a)2 /2d

c,

τ =(x + a)2

2dc− (x − a)2

2dc=

2ax

dc= Θ

x

c.

und dieser Koharenzgrad uber die Intensitat zu messen:

I(x) = 2I0 1 + g [r1, r2, τ(x)] cos ϕ(x) .

Setzt man zeitliche Koharenz voraus (τ < τc), kann man separieren

g (r1, r2, τ) = g (r1, r2) exp (−iω0τ)

und erhalt die normierte gegenseitige Intensitat (raumlicher Koharenzgrad)

I(x) = 2I0

1 + |g (r1, r2)| cos

(ω0Θ

x

c+ ϕ (r1, r2)

).

Periode: xp = λ/Θ, Sichtbarkeit v = |g (r1, r2)| , Lage ϕ (r1, r2)

Messung der raumlichen Koharenz mit Young-Interferometer und quasimonochroma-tischem Licht.

8.3.4 Raumliche Koharenz und Ausbreitung

Annahme: zeitlich koharentes Licht (τ < τc),

G (r1, r2, τ) = G (r1, r2) exp (−iω0t)

Frage: Wie andert sich raumliche Koharenz bei Ausbreitung durch beliebiges, linearesSystem?

ui(r′) −→ h(r, r′) −→ue(r)

ue(r) =

∫ ∞

−∞h(r, r′)ui(r

′)dr′

Koharenzfunktion am Ausgang

Ge (r1, r2) =

∫ ∫ ∞

−∞h∗(r1, r

′1)h(r2, r

′2)Gi (r

′1, r

′2)dr′1dr′2.

193

• Intensitat:

1. partielle Koharenz am Eingang

Ie (r) =

∫ ∫ ∞

−∞h∗(r, r′1)h(r, r′2)Gi (r

′1, r

′2)dr′1dr′2

um Intensitat zu berechnen, braucht man die Koharenzfunktion am Ein-gang.

2. Inkoharenz am Eingang → Gi (r′1, r

′2) ∼ σIi(r

′1)δ(r

′1 − r′2)

Ie (r) = σ

∫ ∞

−∞h∗(r, r′1)h(r, r′1)Ii (r

′1)dr′1

Ubertragungsfunktion fur inkoharentes Licht

hINT(r, r′) = σ |h(r, r′)|2

• Koharenzfunktion bei inkoharenter Beleuchtung

Gi (r′1, r

′2) ∼ σIi(r

′1)δ(r

′1 − r′2)

Ge (r1, r2) = σ

∫ ∞

−∞h∗(r1, r

′1)h(r2, r

′1)Ii(r

′1)dr′1.

inkoharentes Licht wird bei der Ausbreitung partiell koharent.

Physik: Licht, das von einem Punkt kommt, und dami koharent ist, wird in ent-ferntere Bereiche gebeugt Korrelation ist endlich → van–Cittert-Zernike-Theorem

Ahnlichkeit zu verrauschtem Zeitsignal → Filter →Koharenzzeit wird großer →Raum wirkt als Tiefpaßfilter

Beispiel: d sehr groß → Fraunhoferbeugung

h(ri, r′1) ∼ exp

(−ik

rir′1

d

)|Ge (r1, r2)| ∼ σ

∣∣∣∣∫ ∫ ∞

−∞exp

[−i

kr′1d

(r2 − r1)

]Ii(r

′1)dr′1

∣∣∣∣ ,

|Ge (r1, r2)| ∼ σ

∣∣∣∣Ii

k

d(r2 − r1)

∣∣∣∣ , Ii − FT(II).

|ge (r1, r2)| =

∣∣∣Ii

kd(r2 − r1)

∣∣∣∣∣∣Ii(0)∣∣∣

• Ii ∼ δ(r′1)

|ge (r1, r2)| = 1 Punktquelle liefert vollstandig koharentes Licht

194

• Lichtquelle groß (Radius a) Koharenzgebiet sehr klein

I(r′1) = I0 fur |r′1| ≤ a,

|ge (r1, r2)| =2 J1

(kdaρ

)kdaρ

,

ρ = |r2 − r1| , Θs =2a

d,

k

da =

2π

λda =

π

λΘs

|ge (r1, r2)| =2 J1 (πρΘs/λ)

πρΘs/λ

2 J1 (x)

x= 0 fur x = 3.832

ρc = 1.22λ

Θs

Koharenzradius ρc

Beispiel: λ = 0.6 µm, a = 1 cm, d = 100 m ρc = 3.7 mm

• Anwendung: Michelson-Stern-Interferometer

Schirm

Stern inkoharent, Koharenz → 0, wenn ρc = 1.22λ/Θs = 1.22λd/ (2a) 2a =1.22λd/ρc

ρc uber verschwindene Sichtbarkeit im Interferogramm bestimmen Sterndurch-messer 2a.

195

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