Optikprojekt 2013 Protokoll

Manuel Frey, Maria Kegeler, Ilja Kruger,Natalie Schon, Timon Thomas, Moritz Zeidler

August 2013

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Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 3

2 Phasenverschiebungsmethode 42.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4 Bewertung der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Abbe - Refraktometer 83.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.4 Bewertung der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4 Michelson-Interferometer 114.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.4 Bewertung der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Winkel der Minimalablenkung 185.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205.3 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215.4 Bewertung der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6 Newtonsche Ringe 256.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276.3 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326.4 Bewertung der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

7 Lichtreflexion 347.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347.2 Durchfuhrung und Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367.3 Fehlerquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.4 Bewertung der Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

8 Fazit 40

9 Quellen 41

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1 Einleitung

Wahrend des Optikpraktikums bestimmten wir die Brechungsindizes verschiedener Ma-terialen mit unterschiedlichen Methoden. Als Brechugsindex bezeichnet man eine mate-rialspezifische Zahl, die das Verhaltnis der Phasengeschwindigkeiten von elektromagneti-schen Wellen in Medien zum Vakuum angibt. Dementsprechend ist der Brechungsindexim Vakuum mit eins definiert.Fur Flussigkeiten verwendenten wir das Abbe-Refraktometer und die Methode der Ver-messung der Newtonschen Ringe. Mittels der Bestimmung des Brewster-Winkels, derMethode der Totalreflexion und des Verfahrens der Phasenverschiebung konnten wirdie Brechzahlen von Festkorper ermitteln. Als einziger Versuch zur Analyse von Gaseneignete sich das Michelson-Interferometer. Die Versuche werden im folgenden genauererlautert und unsere Ergebnisse prasentiert. Ziel war hierbei vor allem, die Eignung unddie Genauigkeit der verschiedenen Methoden festzustellen und zu vergleichen.

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2 Phasenverschiebungsmethode

Die Methode der Phasenverschiebung bietet als einer der wenigen Experimente ein Ver-fahren zur direkten Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit. Der Versuch beruht dabei aufder Tatsache, dass Licht eine Welle ist. Zusatzlich ist es, durch Einfugen einer Kuvettein den Strahlengang, auch moglich Brechungsindizes zu bestimmen. Die Adaption desVersuchs nutzt Laufzeitunterschiede im Strahlengang aus.

2.1 Grundlagen

Mithilfe einer roten LED wurde amplitudenmoduliertes Licht uber 2 Umlenkspiegel aufeine Photodiode gelenkt. An die Photodiode wurde ein Oszilloskop angeschlossen umdie Schwingung graphisch darzustellen. Wir konnen annaherend sagen, dass eine LEDeine punktformige Lichtquelle ist. Um spater im Strahlengang paralleles Licht zu haben,welches vor allem notig war um viel Licht im Strahlengang zu halten und um in derPhotodiode nicht Interferenzen von Lichtstrahlen verschiedener Laufzeiten zu erzeugen,befestigten wir vor der Photodiode und hinter der LED jeweils eine baugleiche Linse,so dass sich Photodiode und LED im jeweiligen Brennpunkt der Linse befanden. In derAusgangslage befanden sich die Umlenkspiegel nahe an der LED und die Phase wurdeso geregelt, dass wir auf dem Oszilloskop ein leicht wiedererkennbares Muster haben.

Da Licht eine elektromagnetische Welle ist, hatten wir theoretisch auch diese Schwin-gung verwenden konnen, jedoch kann kein Oszilloskop Schwingungen im Frequenzbereichvon 1014 Hz - 1015 Hz darstellen. Auch wurden wir dann nur Gangunterschiede im Nano-meterbereich messen. Deshalb wird bei dem Expermiment eine Amplitudenmodulationverwendet, welche bei uns mit einer Frequenz von f = 50 MHz erfolgte.

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2.2 Durchfuhrung und Auswertung

Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

Abbildung 1: Schematischer Aufbau zur Messung der Lichtgeschwindigkeit

Um die Lichtgeschwindigkeit zu bestimmen muss man die Umlenkspiegel um ∆x ver-schieben, bis das erste Mal ein Phasenunterschied von 180◦ auf dem Oszilloskop zurAusgangslage erkennbar ist. Dieser Phasenunterschied entspricht gerade einer halbenPeriode der Amplitudenmodulation. Das Licht legte aufgrund des Versuchsaufbaus dieStrecke 2 ·∆x zuruck. Da wir den Versuch in Luft, welches ein sehr schwach dispersivesMedium ist, durchgefuhrt haben entspricht die Phasengeschwindigkeit der Amplituden-modulation derer des Lichts:

c =2 ·∆x0, 5 · T

=4 ·∆xT

= 4 ·∆x · f (1)

Wobei f die Frequenz der Amplitudenmodulation und T die entsprechende Perioden-dauer ist. Bei unserem Versuch maßen wir die Strecke um die wir die Spiegel verschiebenmussten als ∆x = 149, 2cm. Daraus ergibt sich eine Lichtgeschwindigkeit von

c = 4 ·∆x · f = 4 · 149, 2cm · 50MHz = 2, 984 · 108m

s

Die Abweichung zum Literaturwert 2, 99792 · 108ms betragt 0, 4%.

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Ermittlung der Brechzahlen einiger Flussigkeiten

Abbildung 2: Schematischer Aufbau zur Messung der Brechzahlen

In den gleichen Aufbau wurden nun Kuvetten gefullt mit Wasser, Ethanol und Glyceringebracht. Da diese eine andere Brechzahl als Wasser besitzen, breitet sich das Lichtentsprechend mit einer anderen Lichtgeschwindigkeit aus. Diese entspricht cmat = c

nwobei n die Brechzahl der Flussigkeit ist. Sei nun s die Lange der Kuvette und d dierestliche Strecke, die das Licht zurucklegen muss, dann ergibt sich die Laufzeit des Lichtszu

t =s

cmat+d

c=s · nc

+d

c(2)

Zu Beginn regelt man die Phase des modulierten Lichts bis man ein leicht wiedererkenn-bares Muster hat. Nun entfernt man die Kuvette und verschiebt die beiden Umlenkspiegelsolange auf der Befestigungsschiene um ∆x bis man das gleiche Muster erneut auf demOszilloskop sieht. Dann hat das Licht in der gleichen Zeit die Strecke von der LED zurPhotodiode, sowie, aufgrund der Symmetrie des Aufbaus, die Strecke 2·∆x zuruckgelegt.Da wir die Kuwette entfernten, besaß das Licht uberall die gleiche Geschwindigkeit c.Eigentlich musste man in die Betrachtung noch mit einbeziehen, dass man die Figur aufein ganzzahliges Vielfaches der Periode hatte treffen konnen. Dies konnten wir jedochausschliessen und wird im folgenden auch nicht weiterbetrachtet. Daraus folgt fur dieLaufzeit

t =s

c+d

c+

2 ·∆xc

(3)

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Durch Umformen und Gleichsetzen der beiden Gleichungen 2 und 3 erhalt man schließlich

n = 1 +2 ·∆xs

(4)

Wir vermaßen die Kuvettenlange zu s = 101, 5cm. In der folgenden Tabelle maßen wirdie ∆x Werte und errechneten mit Gleichung 4 die Brechzahlen.

Flussigkeit ∆x in cm Brechzahl Literaturwert Abweichung zum Literaturwert

Wasser 17 1,33 1,33 0%Ethanol 18,3 1,36 1,36 0%Glycerin 23,9 1,47 1,45 1,00%

Tabelle 1: Brechzahlen einiger Flussigkeiten

Die berechneten Brechungsindizies fur Wasser und Ethanol unterscheiden sich umLiteraturwert in der 3. Nachkommastelle. Aufgrund des erwarteten Fehler ist eine Aus-wertung der 3. Nachkommastelle nicht sinnvoll.

2.3 Fehlerquellen

Hauptfehlerquelle des Experminents ist die Ungewissheit, ob man vor und nach dem Ver-schieben der Spiegel die gleiche Lissajou-Figur auf dem Oszilloskop sieht, da man sichhier auf sein Augenmaß verlassen muss. Den Effekt kann man jedoch minimieren, wennman sich eine markante Figur aussucht. Wir betrachteten bei beiden Teilexperiment je-weils immer eine Gerade auf dem Oszilloskop, was uns erlaubt gut entscheiden zu konnen,ob wir den richtigen Phasenunterschied erreicht haben. Hinzu kommt naturlich, dass wirdie Langen auf einem Lineal mit 1mm Markierungen gemessen haben. Ein vergleichswei-se geringen Fehler beim zweiten Teilexperiment erhalten wir durch die Vernachlassigungder Verschlussglasser bei den Kuvetten: da sie einen Brechungsindex ungleich 1 haben,verandern sie auch die Laufzeit des Lichtes. Jedoch sind die Glasser dunn, sodass dieLaufzeit insgesamt kaum verandert wird.

2.4 Bewertung der Methode

Da die Kuvetten sowohl komplett mit der zu untersuchenden Flussigkeit gefullt seinmussen als auch eine gewisse Lange aufweisen mussen, um bei dem Experiment ver-wendbare Ergebnisse zu erhalten, eignet sich dieses Experiment nicht zur Untersuchungvon Flussigkeiten, die nur im geringen Maße vorhanden sind. Theoretisch konnten wiruns vorstellen dieses Experiment auch mit Gasen durchzufuhren, jedoch wurde dies wohlan der Ungenauigkeit des Expermiments scheitern.

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3 Abbe - Refraktometer

3.1 Grundlagen

Definitionsgemaß ist ein Abbe-Refraktometer ein optisches Gerat, welches zur Ermitt-lung des Brechungsindexes, primar von Flussigkeiten, dient. Der dabei genutzte phy-sikalische Effekt ist die Totalreflexion beim Ubergang des Lichtes von einem optischdichteren in ein optisch dunneres Medium, etwas genauer der Grenzwinkel der Total-reflexion. Dieser hangt gemaß dem Snelliusschen Gesetz von dem Brechungsindex derbeteiligten Medien ab.Das Abbe-Refraktometer, benannt nach seinem Erfinder Ernst Abbe, besitzt als Herzstuckzwei Prismen. Zwischen ihnen wird die Flussigkeit eingefullt. In eines der Prismen falltLicht von außen ein und durchdringt es. Das verwendete Licht ist meist nicht monochro-matisch. Stattdessen wird Sonnenlicht oder eine Gluhlampe verwendet. Dieses durch-dringt dann die Flussigkeit und wird an den entsprechenden Grenzflachen gebrochen.Aus dem zweiten Prisma (okularseitig) tritt das Licht schließlich aus und beleuchtet dieOkulare. Da das Abbe-Refraktometer auf die Natrium-D-Linie geeicht ist, ist im Okularder Grenzwinkel nicht als scharfe Linie, sondern verbreitert und in verschiedenen Farbenzu beobachten. Schuld hieran ist die Wellenlangenabhangigkeit des Brechungsindexes.Glucklicherweise befindet sich ein Fokussiermechanismus an dem Gerat. Die Bestim-mungsgleichung des Brechungsindex der Flussigkeit ergibt sich wie bereits erwahnt ausdem Gesetz von Snellius:

n1 sin(α) = n2 sin(β) = n2 = nfl (5)

Hier ist α der Eintrittswinkel an der Grenzflache Prisma-Flussigkeit und β der entspre-chende Austrittswinkel. Es ist zu beachten, das der Austrittswinkel im betrachteten Fall90◦ betragt (α entspricht dem Grenzwinkel der Totalreflektion). Also ist es moglich,bei bekanntem Brechungsindex der Prismen durch Messung des Grenzwinkels der To-talreflexion α den unbekannten Brechungsindex der Flussigkeit zu berechnen. Bei demverwendeten Gerat ist dies bereits geschehen und man kann an der Skala sofort denBrechungsindex ablesen.Außerdem ist eine Skala fur den Zuckergehalt vorhanden. Dies weist auf die Tatsachehin, das Abbe-Refraktometer traditionell unter anderem zur Bestimmung des Zucker-gehaltes von Weinproben genutzt werden. Mithilfe dieser Werte kann der Hersteller aufden Reifegrad der Weinprobe schließen.

3.2 Durchfuhrung und Auswertung

Nachdem eine ausreichend helle Lichtquelle vorliegt, konnen wir den Spiegel nun so jus-tieren, dass ein ausreichend heller Lichtstrahl in die Offnung des ersten Prismas fallt. Nunwird die zu untersuchende Flussigkeit in den Zwischenraum geleitet. Danach muss durchverandern der Lage der Prismenkonstruktion im rechten Okular eine hell-dunkel-Grenze

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gesucht werden. Findet man diese, so stellt man sie mithilfe des Fokussierradchens scharf.Dann justiert man die Lage der Prismenkonstruktion weiterhin so, dass im rechten Oku-lar die Linie genau mittig liegt. Dazu dienlich ist ein im Okular integriertes Fadenkreuz.Ist dies geschehen, kann man im linken Okular den Brechungsindex direkt ablesen.Wenn man den Brechungsindex eines Festkorpers bestimmen mochte, dreht man dieApparatur so weit, dass die Oberflache des zweiten Prismas (okularseitig) horizontalist und man den Festkorper darauf legen kann und blickt von unten in die Okulare.Die Prismenanordnung bleibt bei diesem Versuch vollkommen geoffnet. Nun lasst manLicht direkt streifend einfallen. Es wird eine Kontaktflussigkeit verwendet, in unseremFalle α - Bromnaphtalin , welche sich zwischen dem zu untersuchenden Festkorper unddem Prisma befindet. Der Brechungsindex dieser Flussigkeit wurde zuvor vermessen umVerwechselungen bei der Messung auszuschließen. Ihr Brechungsindex ist 1,654.

Zuerst ermittelten wir den Brechungsindex der Flussigkeiten Wasser, Ethanol, Glyce-rin und α - Bromnaphtalin.

Tabelle 2: Messwerte und Vergleich mit Literaturwerten

Flussigkeit gemessener Brechungsindex Literaturwert Abweichung in Prozent

Wasser 1,3365 1,3359 +0,0449Ethanol 1,3665 1,3665 0Glycerin 1,459 1,455 +0,275α - Bromnaphtalin 1,654 1,658 -0,241

Die gemessenen Werte scheinen die Literaturangaben hinreichend gut zu bestatigen.Desweiteren wurde der Brechungsindex zweier Plattchen ermittelt, welche geeicht sind.Fur Plattchen 1 ist n = 1,5165 und fur Plattchen 2 ist n = 1,4653. Gemessen wurdenfur Plattchen 1 n = 1,520 und fur Plattchen 2 n = 1,4693. Diese kleine, jedoch nichtunwesentliche Abweichung von +0,231 Prozent bei Plattchen 1 bzw. +0,273 Prozentfur Plattchen 2 hat sich auch nach mehreren Kontrollmessungen nicht verkleinert. Nachdieser Messung wurde der Brechungsindex eines Prismas und einer geschwarzten Platteuntersucht, als Vergleichsmessung bezuglich des Brewsterwinkel-Experiments und desVersuchs zum Winkel der Minimalablenkung. Fur das Prisma ergab sich ein Wert vonn = 1,623 und fur die geschwarzte Platte wurde n = 1,495 ermittelt. Bezuglich der inden Kapiteln 5 und 7 aufgefuhrten Werte betragen die Abweichungen bei dem Prisma+0,185 Prozent und bei der geschwarzten Platte +0,538 Prozent.

3.3 Fehlerquellen

Bei der Messung der Brechungsindizes der 4 Flussigkeiten war auffallig, dass die Abwei-chungen bei den letzten beiden Flussigkeiten signifikant hoher sind als bei den erstenbeiden Flussigkeiten. Da die ermittelten Brechungsindizes bei Glycerin und α - Brom-naphtalin deutlich hoher sind als diejenigen von Wasser und Ethanol vermuten wir, dass

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das unscharfe Erscheinungsbild des Grenzwinkels im Okular bei hohen Brechzahlen dieQualitat der Messung beeintrachtigt hat. Dies gilt in hoherem Maße fur die Versuche, indenen wir Festkorper verwendet haben. Hier war der Grenzwinkel teilweise nur schwergenau identifizierbar, auch aufgrund der Lichtverhaltnisse. Da die Abweichungen beider Messung der Brechzahlen der geeichten Plattchen mit der Zeit nicht kleiner wur-den, kommt als Ursache hier also nicht das zu langsame Angleichen der Temperatur desPlattchens an die Raumtemperatur infrage. Wir vermuten, das die erhohte Raumtem-peratur im Gebaude diese Abweichung verursacht hat.

3.4 Bewertung der Methode

Die Bestimmung des Brechungsindex mithilfe eines Abbe-Refraktometers erwies sich vorallem fur Flussigkeiten als eine sehr benutzerfreundliche Methode. Dahingehend ist dieApparatur aufgrund der kommerziellen Nutzung naturlich optimiert. Im Vergleich zuanderen Methoden wie z.B. der Michelson-Interferometrie ist die Genauigkeit entspre-chend deutlich niedriger. Fur den vorgesehenen Anwendungsbereich ist diese allerdingsvollig ausreichend. Jedoch eignet sich diese Methode nicht fur die Untersuchung vonGasen. Zum einen erfordert dies eine hohere Genauigkeit, da ihre Brechungsindizes sehrnahe beieinander liegen, zum anderen befinden sie sich nahe 1 was aber außerhalb desMessbereiches unseres Gerates liegt.

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4 Michelson-Interferometer

Das Michelson-Interferometer wurde nach seinem Erfinder Albert Abraham Michelsonbenannt. Bekannt wurde es vor allem durch das Michelson-Morley-Experiment, in wel-chem man versuchte den Ather nachzuweisen.Heutzutage wird der Aufbau unter anderem zur Bestimmung der Wellenlange einer Licht-quelle, sowie zur Berechung der Brechungsindizes, von in den Strahlengang eingesetztenGasen, Flussigkeiten und transparenten Festkorpern, genutzt.

Grundlegend beruht der Versuch auf Interferenzen, welche aus Gangunterschieden re-sultieren. Durch geringe Gangunterschiede lassen sich dabei Interferenzmuster erzeugen,die prazises Messen erlauben.

4.1 Grundlagen

Abbildung 3: schematische Darstellung des Michelson-Interferometers

Als koharente, monochromatische Lichtquelle verwendet man einen roten He-Ne-Laserder Wellenlange λ = 632, 8nm oder einen grunen He-Ne-Laser mit der Wellenlangeλ = 543, 5nm.Der Lichtstrahl wird mit Hilfe eines Strahlteilers in zwei Teilstrahlen aufgeteilt, der inetwa in einem Winkel von 45◦ zum Lot montiert ist. An diesem werden 50% des Lichtesreflektiert, die im weiteren an dem justierbaren Spiegel M2 reflekiert und von dort zuruckdurch den Strahlteiler auf den Sichtschirm projeziert werden. Die ubrigen 50% werdenvom Strahlteiler transmittiert und dann am horizontal beweglichen Spiegel zuruck zumStrahlteiler reflektiert, der wiederum die Halfte des Lichtstrahls zum Sichtschim reflek-tiert. Auf dem Schirm uberlagern sich also die beiden Teilstrahlen und man kann ein

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Interferenzmuster erkennen. Fugt man nun noch eine Linse in den Strahlengang ein,wird das punktformige Interferenzmuster zu Kreisen aufgeweitet. Die Phasenbeziehungan jedem Punkt des Schirms hangt nur vom Unterschied in der optischen Weglange derbeiden interferierenden Strahlen ab, da sie aus einem gemeinsamen Anfangsstrahl kom-men, also in Phase waren.Mit einem Zahlrad kann man einen der Spiegel vor- und zuruckbewegen und dadurcheine Phasenverschiebung verursachen, wodurch sich das Interferenzmuster verandert.Um die Brechzahl des zu untersuchenden Stoffes zu bestimmen, bringt man ihn in denStrahlengang, wodurch sich ebenfalls die optische Weglange andert.

Korrekturfaktor

Als erstes muss man das Zahlrad kalibrieren. Nach Herstellerangaben bewegt sich derSpiegel um 1 µm, wenn man das Rad um einen Skalenstrich dreht. Leider stimmt dasnicht genau. Um bei spateren Versuchen moglichst geringe Fehler zu haben, ermitteltman also den Korrekturfaktor mit Hilfe von zwei Lasern bekannter Wellenlangen. DurchVerschieben des beweglichen Spiegels M1 verandert man die optische Weglange einesder beiden Teilstrahlen. Die Radien der Interferenzringe verringern sich: Wenn man dieWeglange um 1

4 der Wellenlange andert, tauschen Maxima und Minima die Positionen,andert man sie um 1

2λ, ergibt sich gerade wieder das Originalmuster. Verschiebt man denSpiegel um die Strecke dN , sodass insgesamt N Maxima-Maxima Ubergange zu erkennensind, so folgt fur die Wellenlange:

1

2λ =

dNN

(6)

Ist die Wellenlange bekannt, kann man dN berechnen:

dN =λ ·N

2(7)

Der Korrekturfaktor ergibt sich aus dem Vergleich mit der Herstellerangabe:

k =dN,berechnetdN,gemessen

(8)

Fur 100 Maxima-Maxima-Verschiebungen mit dem roten Laser der Wellenlange λ =632, 8nm betragt die gemessene Weglangenanderung dN,m = 33µm. Fur den theoreti-schen Wert erhalt man nach Gleichung 7 dN,b = 31, 64µm, und damit einen Korrektur-faktor von 0,958.

Aus der Messung mit dem grunen Laser der Wellenlangen λ = 543, 5nm erhalt manmit einer gemessenen Weglangenanderung von 28 µm und einer berechneten von 29,2µm einen ahnlichen Korrekturfaktor von 0,959.

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Bestimmung des Brechungsindex von Gasen

Der Brechungsindex eines Gases ist abhangig von dessen Druck, da dieser die optischeWeglange beeinflusst. Es gilt der lineare Zusammenhang

n(p) = n(p = 0) +dn

dp· p (9)

wobei Vakuum die Brechzahl 1 hat, also fur p=0 n=1 ist.Fur den Anstieg der Geraden dn

dp gilt:

dn

dp=

∆N

∆p· λ

2s(10)

Kennt man also die Wellenlange des verwendeten Lasers und misst die Weglange desLichtstrahls durch die Kuvette und die Anzahl der Maxima-Maxima-Wechsel und dieentsprechende Druckanderung, so kann man den Brechungsindex uber folgende Glei-chung berechnen:

n = 1 +∆N · λ2s ·∆p

· p (11)

Um die Messung durchzufuhren, befullt man die Kuvette mit dem zu untersuchendenGas und verringert langsam den Innendruck, wodurch sich das Interferenzmuster ver-schiebt. Ist das Muster mit dem am Anfang identisch, notiert man die entsprechende-Druckanderung.Bei Luft macht man sich zu nutze, dass die Kuvette nicht vollstandig dicht ist: Manpumpt die Kuvette weitgehend leer und lasst anschließend Luft einstromen.

4.2 Durchfuhrung und Auswertung

Fur die Messungen mit Luft haben wir den Druck in der Kuvette auf 100 mbar abge-senkt, dann Luft einstromen lassen und dabei die Maxima-Maxima-Wechsel gezahlt:

Anzahl an Maxima-Maxima Wechseln N ∆p in mbar

18 85018 84118 847

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Abbildung 4: Interferenzwechsel von Luft

Nun kann man uber Gleichung 11 den Brechunungsidex von Luft ausrechnen:

nLuft = 1 +18 · 543, 5 · 10−9m

847mbar · 0, 06m· 990mbar

= 1, 0001906

Vergleicht man diesen Wert mit dem Literaturwert von n=1,000290 ergibt sich eineprozentuale Abweichung von 0,00994 %.

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Fur die Gase CO2, N2, Ar haben wir je 3 Messreihen gemacht und dabei versucht denjeweiligen Druck fur 18 aufeinanderfolgende Wechsel der Interferenzmuster zu erfassen.

Mittelwerte fur die einzelnen Gase (jeweils ∆p in mbar):

N CO2 N2 Ar

00 990,0 990,0 990,001 979,3 947,5 952,002 959,7 913,0 912,003 940,0 868,5 873,004 921,5 832,5 831,005 898,0 794,7 789,006 875,0 759,0 750,007 851,0 722,0 712,008 822,0 677,0 674,009 798,3 645,0 631,0

N CO2 N2 Ar

10 769,0 603,5 590,011 748,0 567,0 545,012 734,0 523,0 502,013 710,0 487,0 465,014 686,0 448,0 424,015 656,0 406,0 385,016 634,5 364,5 348,017 607,5 325,5 309,018 580,0 288,0 268,0

Ebenfalls uber Gleichung 11 kann man nun die Brechungsindizes der drei Gase berech-nen, sowie deren Abweichungen von den Literaturwerten:

experimental bestimmter Wert Literaturwert prozentuale Abweichung

CO2 1,0003986 1,000450 0,00514 %N2 1,0002294 1,000300 0,00706%Ar 1,0002239 1,000283 0,00591%

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Abbildung 5: Interferenzwechsel von CO2 (blau), N2 (grun) und Ar (rot)

4.3 Fehlerquellen

Eine Erklarung fur die Abweichung unserer berechneten Brechungsindizes von den Li-teraturwerten konnte sein, dass die Literaturwerte fur eine Temperatur von 20 ◦C gel-ten - wir haben unsere Messungen dagegen an warmen Sommertagen bei mindestens25◦ durchgefuhrt. Da alle berechneten Brechungsindizes kleiner sind als die Literatur-werte, vermuten wir Verunreinigungen des Versuchsgases. Vorallem die etwas undichteKuvette durfte Einfluss gehabt haben, so dass sich das Gas im Laufe des Experimentsmit Luft verdunnt hat, aber auch Verunreinigungen durch Vermischung mit Gasresten inder Kuvette, obwohl wir wahrend des Experminents versucht haben den Einfluss dieserbeiden Fehlerquellen so gering wie moglich zu halten, indem wir die Kuvette und dieVakuumpumpe mehrere Minuten mit dem Versuchsgas durchflutet haben und dann soschnell wie moglich die Versuchsreihen aufgenommen haben.

4.4 Bewertung der Methode

Das Michelson-Interferometer eignet sich am besten zur Bestimmung von Brechungsin-dizes von Gasen, bei denen man eine Genauigkeit von vier Nachkommastellen oder mehrerreichen kann.

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Man kann mit dessen Hilfe aber auch Brechungsindizes von Flussigkeiten und transpa-renten Festkorpern bestimmen. Dies ist etwas schwieriger und erfordert einige Tricks umeine stufenlosen Messreihe zu bekommen.Um die Brechzahl von Glasern zu ermitteln fugt man einen Probequader in den Strah-lengang ein. Dreht man ihn, verandert sich die Weglange, die der Strahl durch das Glaszurucklegt.Die Messung mit Flussigkeiten ware z.B. moglich, wenn man die Apperatur dreht, sodass man eine Kuvette in den Strahlengang einfugen kann, aus der der Schwerkraft fol-gend die Flussigkeit langsam abfließt und man so eine Anderung der Weglange durchdie zu untersuchende Flussigkeit erreicht.

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5 Winkel der Minimalablenkung

5.1 Grundlagen

Elektromagnetische Strahlung, insbesondere also auch Licht, wird beim Ein- und Aus-tritt aus einem in Luft gelagerten Prisma (mit brechendem Winkel γ) bekanntlich inAbhangigkeit von der Wellenlange unterschiedlich stark gebrochen, so dass es beimDurchgang durch das Prisma ”aufgefachert” wird. Man kann zeigen, dass der Winkelδ, unter dem das Licht abgelenkt wird, minimal wird, wenn der Durchgang des Lichtsdurch das Prisma symmetrisch ist. (Vgl. Abb. 6)Durch den Versuch lasst sich sehr genau die Dispersion des Prismas, also die Abhangigkeitdes Brechungsindex von der Wellenlange, ausmessen. Durch den Vergleich mit Litera-turwerten lasst sich auf diese Weise feststellen, um was fur eine Glassorte es sich bei demPrisma handelt. Es gilt nach Snellius, mit nLuft = 1:

δ

γ

α β90◦

Abbildung 6: Strahlengang bei minimaler Ablenkung

sin(α) = nPrisma · sin(β)

Man erhalt dann aus der gegebenen Geometrie α = δ+γ2 und β = γ

2 , und durch einsetzenund umformen aus obiger Gleichung:

nPrisma =sin(δ+γ2

)sin(γ2

) (12)

Im Optikprojekt wird mit einer Quecksilber-Cadmium-Dampflampe gearbeitet. DerenLicht gelangt durch einen Kollimator (durch einen regulierbaren Spalt und eine Sammel-linse erhalt man einen dunnen Strahl parallelen Lichts) auf das Prisma, das auf einemDrehtisch steht. Durch ein um den Mittelpunkt des Drehtisches rotierbar montiertesBeobachtungsfernrohr lasst sich das Spektrum des vom Prisma abgelenkten Lichts derLampe beobachten. (Abb. 7)

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Hg-Cd-Lampe

Drehtisch

Prisma

Kollimator

Beobachtungsfernrohr

Abbildung 7: Versuchsaufbau Messung des Winkels der Minimalablenkung

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5.2 Durchfuhrung und Auswertung

Zunachst mussen die gut sichtbaren Spektrallinien der Hg-Cd-Dampflampe ihren Wel-lenlangen zugeordnet werden. Zu diesem Zweck wird anstelle des Prismas zunachst einGitter mit Gitterkonstante g = 1

651mm= 1, 536 · 10−6m verwendet. Es wird im Faden-kreuz des Beobachtungsfernrohrs jeweils eine Spektrallinie fixiert, dann wird der Winkelder Auslenkung am Drehtisch abgelesen. Die Farbe der Linie wird dann einer der Wel-lenlangen des Spektrums von Quecksilber und Cadmium zugeordnet (Vergleich mit derLiteraturangabe). (Abb. 8) Beim Gitter besteht ein linearer Zusammenhang zwischen

Abbildung 8: Ablenkung durch das Gitter

dem Sinus des Auslenkwinkels δ und der Wellenlange, wodurch sich leicht uberprufenlasst, ob die beobachtete Linie auch der richtigen Wellenlange zugeordnet wurde. Eswurden fur den gesamten Versuch die in Tab. 3 genannten Spektrallinien verwendet. DieSteigung der Regressionsgerade in Abb. 8 betragt 1539nm = 1, 539 ·10−6m, was lediglichum 0,2% von der Gitterkonstante abweicht und somit fur eine recht genaue Ausmessungder Ablenkwinkel spricht.Anschließend wird die Messung mit zwei Prismen aus verschiedenen Glassorten wieder-holt. Der Drehtisch wird langsam in eine Richtung gedreht, so dass der Auslenkwinkelabnimmt, bis er sein Minimum erreicht und wieder zunimmt. Dieses Minimum ist geradeder gesuchte Winkel δ (vgl. Tab. 4). Uber Gl. 12 wird aus den Auslenkwinkeln δ und dengegebenen (kleines Prisma: γ = 60◦) bzw. zuvor ausgemessen (großes Prisma: γ = 67, 6◦)Brechungswinkeln γ der zugehorige Brechungsindex berechnet und in einem Koordina-

20

Tabelle 3: Beobachtete Spektrallinien und Auslenkung am Gitter (Winkel in Grad)

Farbe Wellenlange/nm δ sin(δ)

violett 404,66 15,22 0,2625violett 433,92 16,47 0,2835blau 467,0 17,73 0,3045blau-grun 479,99 18,18 0,3121grun 508,58 19,23 0,3294gelb-grun 546,07 20,83 0,3555gelb (Doppellinie, arithmetisches Mittel) 578,02 22,09 0,3761rot 643,85 24,75 0,4187

tensystem uber der Wellenlange aufgetragen (Abb. 9 und Abb. 10). Durch Vergleich mitLiteraturangaben liegt die Vermutung nahe, dass es sich bei dem kleinen Prisma umFlintglas handelt (die Werte ahneln denen des Flintglases F3, weichen jedoch ein wenigdavon ab, vgl. Tab 5), wahrend das Große vermutich aus Quarzglas SiO2 besteht (dieWerte sind bis auf zwei Nachkommastellen nahezu identisch, vgl. Tab. 6).

Tabelle 4: Winkel der minimalen Auslenkung (Winkel in Grad)

kl. Prisma gr. PrismaFarbe Wellenlange/nm δ n δ n

violett 404,66 51,25 1,651 42,05 1,468violett 433,92 50,37 1,642 41,72 1,466blau 467,0 49,67 1,635 41,43 1,464blau-grun 479,99 49,42 1,632 41,33 1,463grun 508,58 49,00 1,628 41,18 1,462gelb-grun 546,07 48,55 1,624 40,97 1,460gelb 578,02 48,17 1,620 40,83 1,458rot 643,85 47,67 1,615 40,57 1,456

5.3 Fehlerquellen

Bei dem Versuch gibt es zahlreiche Fehlerquellen, die sich jedoch durch immer zeitauf-wendigere, sorgfaltigere Messungen und mit einiger Ubung korrigieren lassen. So kannman dank der Ablesung an den Nonien den eingestellten Winkel relativ genau ablesen,es ist jedoch deutlich schwieriger, diesen Winkel derart genau einzustellen, da das Fa-denkreuz oft nur schwach sichtbar ist. Das erkennt man vor allem daran, dass in Abb. 8die Punkte nicht exakt auf der Geraden liegen; und die Gitterkonstante entspricht nicht

21

Abbildung 9: Dispersionskurve des kleinen Prismas

Abbildung 10: Dispersionskurve des großen Prismas

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Tabelle 5: Vergleich der Dispersion des kl. Prismas mit der Literatur

Wellenlange/nm Brechungsindex F3 Wellenlange/nm Brechungsindex kl. Prisma

404,7 1,64256 404,66 1,651435,8 1,63423 433,92 1,642480,0 1,62560 479,99 1,632546,1 1,61685 546,07 1,624589,3 1,61279 578,02 1,620643,8 1,60883 643,85 1,615

Tabelle 6: Vergleich der Dispersion des gr. Prismas mit der Literatur

Wellenlange/nm Brechungsindex SiO2 Wellenlange/nm Brechungsindex gr. Prisma

404,7 1,4696 404,66 1,468435,8 1,4667 433,92 1,466480,0 1,4635 479,99 1,463546,1 1,4601 546,07 1,460589,3 1,4584 578,02 1,458643,8 1,4567 643,85 1,456

23

ganz der Steigung der Geraden. Gelingt es einem, die Messung zu verfeinern und die-se Abweichung zu reduzieren, konnte man damit auch die Genauigkeit des Ergebnisseserhohen.Es ist außerdem schwierig, den Winkel der minimalen Ablenkung genau zu treffen. DurchFixierung des Spaltes mit dem Fadenkreuz kann man den Umkehrpunkt recht genau er-reichen; jedoch konnte diese Messunsicherheit nicht vollstandig behoben werden.Bei dem großen Prisma kam außerdem hinzu, dass es mit der einen Hand festgehaltenwerden musste, um nicht vom Drehtisch zu fallen. Das hat sicherlich zur Erhohung derMessunsicherheit gefuhrt.

5.4 Bewertung der Methode

Trotzdem ist der Versuch eine sehr gute Moglichkeit, den Brechungsindex von gutdurchlassigen Prismen zu bestimmen, da man die Dispersionskurve mit relativ einfa-chen Methoden hinreichend genau bestimmen kann, und dadurch gute Schlusse auf dasMaterial ziehen kann. Fur Materialien, die fur sichtbares Licht nicht durchlassig sind,lasst sich der Versuch in dieser Form jedoch nicht durchfuhren. Mit einem aufwendige-ren Aufbau und geeigneten Detektoren lasst er sich jedoch prinzipiell auch mit einemanderen Bereich des elektromagnetischen Spektrums durchfuhren.Nicht geeignet ist der Versuch hingegen fur Flussigkeiten und Gase. Man musste siein eine geeignete Form ”zwingen”, musste dann jedoch noch den ”Formkorper” mitberucksichtigen. Dies ist sicherlich unnotig aufwendig, und andere Methoden boten sichdann eher an. Man konnte zum Beispiel fur Gase das Michelson-Interferometer benutzenoder fur Flussigkeiten Newtonsche Ringe vermessen.

24

6 Newtonsche Ringe

6.1 Grundlagen

Die Entstehung der Newtonschen Ringe basiert auf der Interferenz, welche durch Gang-unterschiede verschiedener Teilstrahlen entsteht. Der Versuch ahnelt vom Prinzip herdem bereits vorgestellten Michselson-Interferometrie Experiment, beruht jedoch auf an-deren geometrischen Zusammenhangen.

Lichtstrahlen werden hier zum Teil an der Oberflache einer schwach gewolbten Linsereflektiert (Abb. 11 Strahl 1), ein anderer Teil der Strahlen geht durch die Linse durchund wird an einer Planglasplatte reflektiert (Abb. 11 Strahl 2). Der Strahl 2 erfahrtdabei einen Phasensprung an der Glasplatte, da er an einem optisch dichterem Medi-um reflektiert wird. Die beiden Strahlen haben folglich einen unterschiedlichen Weg ∆xzuruck gelegt, wenn sie sich uberlagern. Deswegen kommt es zur konstruktiven Interfe-renz (Verstarkung - hell) und zur destruktiven Interferenz (Ausloschung - dunkel). Dawir paralleles Licht genutzt haben und die Linse ein Kugelsegment ist, konnten wir helleund dunkle Ringe beobachten, die sogenannten Newtonschen Ringe.

Abbildung 11: Strahlengang

Unsere Aufgabe war es uber die Messung der Ringradien rk (der Radius des k-tendunklen Rings) zunachst den Radius R der Linse, die Wellenlange λ des Lichtes undschlussendlich die Brechungsindizes n verschiedener Flussigkeiten zu bestimmen. AlsFlussigkeiten haben wir Wasser und Ethanol genutzt. Diese wurden in den Zwischen-raum von Linse und Glasplatte gefullt. Um monochromatisches Licht zu erzeugen nutzten

25

Abbildung 12: nicht maßstabsgerechte Linse

wir zwei verschiedene Filter, einen grunen und einen orangen.Zur Bestimmung des Linsenradius bzw. der Wellenlange haben wir Gleichung 18 herge-leitet. rk lasst sich aus der Abbildung 12 mit dem Hohensatz bestimmen (Gleichung 13).In der Abbildung ist sowohl d als auch d0 ubertrieben groß dargestellt. In der Realitatist d sehr viel kleiner als R. Damit kann bei dem Hohensatz der Term d2 vernachlassigtwerden. Der Wegunterschied der beiden Strahlen betragt das doppelte der Abstande dund d0 (siehe Abb. 12) addiert mit dem Phasensprung (Gleichung 14).

r2k = (2R− d) · d = 2Rd− d2 ≈ 2Rd (13)

δ =2π

λ·∆x

∆x = 2(d+ d0) +λ

2(14)

Setzt man nun die letzte in die vorletzte Gleichung ein, so erhalt man einen erweitertenAusdruck fur δ:

δ =2π

λ· (2(d+ d0) +

λ

2) =

4π

λ(d+ d0) + π (15)

Da wir den Fall der destruktiven Interfernz betrachteten gilt fur die Phasenverschiebungaußerdem:

δ = π(2k − 1) (16)

26

Schlussendlich erhalt man durch Gleichsetzen von Gleichung15 und 16:

π(2k − 1) =4π

λ(d+ d0) + π

⇒ d =λ

2· (k − 1)− d0 (17)

17 in 13=====⇒ r2k = λ ·R(k − 1)− 2R · d0 = λ ·R · k − λ ·R− 2R · d0 (18)

Die ermittelte Gleichung fur r2k ist eine Geradengleichung. Wir konnen demzufolge ausunserem Diagramm r2k den Anstieg m (= R · λ) ablesen und bei bekannter Wellenlangeden Linsenradius berechnen. Mit dem Ergebnis konnten wir dann nicht bekannte Wel-lenlangen in weiteren Messungen berechnen. Der Achsenschnittpunkt mit der y Achseist der Term a = −λ · R − 2R · d0. Damit kann d0 berechnet werden und festgestelltwerden ob es eine Verschmutzung (positives d0) oder einen Kratzer (negatives d0) beidem Auflagepunkt der Linse gab.

Zur Bestimmung des Linsenradius und der Wellenlange war zwischen der Linse und derGlasplatte Luft. Um den Brechungsindex n von Wasser und Ethanol zu ermitteln mussin der Gleichung 18 die Wellenlange λ ersetzt werden durch λvac

n (Gleichung 19). Mitden durch die erste Messung ermittelten Linsenradius und der Wellenlange, welche λvacentspricht (nLuft ≈ 1) , kann nun der Brechungsindex der Flussigkeiten ausgerechnetwerden. Es wird der Anstieg der Geraden r2k(k) abgelesen und mit Gleichung 20 derBrechungsindex berechnet.

r2k =λvacn·R · k − λvac

n·R− 2R · d0 (19)

⇒ n =λvac ·Rm

(20)

6.2 Durchfuhrung und Auswertung

Um die Ringe auszumessen haben wir paralleles Licht verwendet. Damit die Ringe bessersichtbar werden haben wir in den Strahlengang einen Farbfilter (grun 546 nm oderorange 578 nm) und eine Lochblende eingefugt. Im Mikroskop traf der Lichtstrahl aufeine Glasplatte welche den Strahl zu der Linse und der Planglasplatte umlenkt. ImMikroskop konnten die Newtonschen Ringe sichtbar gemacht werden. An das Mikroskopwurde eine Kamera angeschlossen und es konnten Bilder von den Ringen, sowie von einemObjektmikrometer (um den Maßstab fur die Ringdurchmesser zu erhalten) gemachtwerden. Fur Luft konnten wir 20 Ringe ausmessen. Bei Wasser und Ethanol wurden dieBilder nicht so gut wie bei Luft, da der Brechungsindex der Flussigkeit dichter an demBrechungsindex des Glases von der Linse und der Planglasplatte ist. Demzufolge konntenwir nur 15 Ringe ausmessen. Wir fuhrten den Versuch ebenfalls fur Brom-Naphtalin undZedernholzol durch. Jedoch war der Brechungsindex bei diesen Flussigkeiten zu dicht andem des Glases, so dass wir keine Ringe sichtbar machen konnten.

27

Luft

Zunachst fuhrten wir die Messung fur Luft durch (Abbildung 14 und 15). Wir ermitteltenfur den grunen Filter einen Anstieg mg = 142056µm2 (Abbildung 13). Mit der bekanntenWellenlange des Filters λg = 546nm konnten wir mittels Gleichung 21 einen Radius von260,17 mm ermitteln.

Abbildung 13: Messung Luft

28

Abbildung 14: Newtonsche Ringe von Luft, gruner Farbfilter

Abbildung 15: Newtonsche Ringe von Luft, oranger Farbfilter

29

m = R · λ⇒ R =

m

λ(21)

⇒ R =142056 · 10−12m2

546 · 109m= 0, 26017m = 260, 17mm

Daraus folgend ermittelten wir die Wellenlange des orangen Filters. Wir erhielten indem Diagramm (Abbildung 13) einen Anstieg von mo = 149157µm2. In Gleichung 22ermittelten wir eine Wellenlange von 573,68 nm. Auf dem Filter stand der Wert 578 nm,unser Wert weicht demzufolge nur um 0,74% von dem korrektem Wert ab. Da wir dieWellenlange mit dem ermittelten Radius aus Gleichung 21 berechnet haben, wird auchdieser nur sehr geringfugig von dem realen Wert abweichen.

m = R · λ⇒ λ =

m

R

⇒ λ =149157 · 10−12m2

0, 26017m= 5, 7368 · 10−7m = 573, 68nm (22)

Des weiteren berechneten wir fur d0 in Gleichung 23 einen Wert von -270,95 nm fur dengrunen Farbfilter und -258,75 nm fur den orangen Farbfilter. Beide Werte sind negativeund haben von einander nur eine Abweichung von 4,7%. Demzufolge war in unseremMessaufbau in der Glasplatte eine Vertiefung.

a = −λ ·R− 2R · d0

⇒ d0 =a+ λ ·R−2R

(23)

grun===⇒ d0 =

−1061, 9 · 10−12m2 + 546 · 10−9m · 0, 26017m

−2 · 0, 26017m= −2, 7095m = −270, 95nm

orange====⇒ d0 =

−15738 · 10−12m2 + 578 · 10−9m · 0, 26017m

−2 · 0, 26017m= −2, 5875m = −258, 75nm

Wasser

Im zweiten Teil des Experimentes ermittelten wir den Brechungsindex von Wasser. MitGleichung 20 und dem Diagramm 16 konnten wir mit Gleichung 24 fur Wasser mit demgrunen Farbfilter einen Wert von ng = 1, 33 und fur den orangen Farbfilter no = 1, 34ermitteln. Der Wert ng ist exakt der Tabellenwert nH2O = 1, 33 und der Wert no weichtnur um 0,74% von dem Tabellenwert ab.

30

Abbildung 16: Messung Wasser

n =λvac ·Rm

(24)

grun===⇒ n =

546 · 10−9m · 0, 26017m

106352 · 10−12m2= 1, 33

orange====⇒ n =

578 · 10−9m · 0, 26017m

111814 · 10−12m2= 1, 34

Ethanol

Im dritten Teil des Experimentes ermittelten wir den Brechungsindex von Ethanol. MitGleichung 20 und dem Diagramm 17 konnten wir mit Gleichung 25 fur Ethanol mit demgrunen Farbfilter einen Wert von ng = 1, 35 und fur den orangen Farbfilter no = 1, 38ermitteln. Der Wert ng liegt um 0,75% unter dem Tabellenwert nEthanol = 1, 36 und derWert no weicht um 1,47% ab.

31

Abbildung 17: Messung Ethanol

n =λvac ·Rm

(25)

grun===⇒ n =

546 · 10−9m · 0, 26017m

105346 · 10−12m2= 1, 35

orange====⇒ n =

578 · 10−9m · 0, 26017m

108783 · 10−12m2= 1, 38

6.3 Fehlerquellen

Bei der Messmethode fur die Newtonschen Ringe gab es Probleme die Ringdurchmessergenau zu bestimmen. Die inneren Ringe waren unscharf und breiter, so dass es schwierigwar genau den richtigen Durchmesser zu bestimmen.Fur Flussigkeiten mit einem Brechungsindex ahnlich dem des Glases von der Linse,war es uns nicht moglich Newtonsche Ringe zu bestimmen. Dies kann an der Justageder Messeinrichtung liegen, dadurch konnen Verzerrungen und Unscharfen in dem Bildzustande kommen. Jedoch hatten wir den Eindruck, dies zu Beginn sehr genau vorge-nommen zu haben. Desweiteren kann es an einer zu schwachen Lichtquelle liegen. Diegroßte Fehlerquelle wird jedoch sein, dass die Linse keinen Auflagepunkt mehr auf derGlasplatte hatte. Wir probierten wenig Flussigkeit zu nehmen und die Linse stark andie Glasplatte anzudrucken. Allerdings waren die Flussigkeiten so dickflussig, dass dieLinse wieder ein Stuck hochging so bald wir den Druck entfernten.

32

6.4 Bewertung der Methode

Abschließend lasst sich sagen, dass die Messmethode der Newtonsche Ringe sehr ge-eignet fur Flussigkeiten, die einen großen Abstand zu dem Brechungsindex der Linsebesitzen, ist. Fur Wasser und Ethanol erhielten wir genaue Werte, mit nur geringen Ab-weichung von den Tabellenwerten und ebenfalls fur unterschiedliche Wellenlangen zeig-ten die Messungen nur geringfugige Abweichungen auf. Fur Messungen von Flussigkeitenmit großeren Brechungsindizes ware es eventuell eine Moglichkeit die Linse aus einemanderem Material zu fertigen (welches einen großeren Brechungsindex hat) und die Linseschwerer zu machen, damit sie besser aufliegt.

33

7 Lichtreflexion

7.1 Grundlagen

Analog zur Vermessung der Minimalablenkung wird in diesem Experiment ein Reflexi-onsphanomen untersucht. Bei diesem Versuch wird jedoch die Intenistat von monochro-matischem, linear polarisiertem Licht gemessen.

Das Licht eines Lasers fallt durch einen drehbaren Polarisationsfilter auf ein eben-falls drehbar gelagertes, durchsichtiges Probeplattchen. Dieses ist auf der Ruckseite ge-schwarzt um transmittiertes Licht zu absorbieren und nicht an der Unterseite erneut zureflektieren. Der von der Vorderseite der Platte reflektierte Strahl fallt auf eine Kreis-wand mit Winkelskala, an der man den Reflektionswinkel ablesen kann. Die Intensitatdes reflektierten Strahls wird mittels einer Photodiode gemessen. Hierbei nimmt mandie induzierte Stromstarke auf, die sich proportional zur Lichtintesitat verhalt.

Abbildung 18: Aufbau zur Messung der Intensitat des reflektierten Lichts

Zunachst bestimmten wir die Intentesitat I0 des einfallenden Strahls. Der Reflekti-onsgrad R ist dann der Quotient der Intensitaten von reflektiertem und eingestrahltemLicht.

R =IRI0

(26)

Fresnel entwickelte Formeln, die die Reflexion von linear polarisiertem Licht in Abhangigkeitvom Einfallswinkel beschreiben. Dabei bezieht er sich auf die Schwingungsebene des ~E-Vektors parallel beziehungsweise senkrecht zur Einfallsebene.

34

R‖ =(n · cosα− cosβ)2

(n · cosα+ cosβ)2(27)

R⊥ =(cosα− n · cosβ)2

(cosα+ n · cosβ)2(28)

Der Winkel α ist der Einfallswinkel des Strahls und β gibt den Ablenkungswinkel destransmittierten Strahls an. Die graphische Darstellung des Reflexionsgrads uber den Ein-fallswinkel ergibt charakteristische Kurven fur senkrecht und parallel polarisiertes Licht.

Brewster fand heraus, daß von unpolarisiertem Licht in einem bestimmten Einfallswin-kel nur der senkrechte Anteil reflektiert wird, nicht jedoch der parallele. Er hat somiteine einfache Moglichkeit gefunden nur mit Hilfe der Reflexion an Oberflachen Lichtzu polarisieren. Er stellte weiterhin fest, daß der Winkel zwischen reflektiertem undtransmittiertem Strahl fur diesen Spezialfall exakt 90◦ betragt. Da laut ReflexionsgesetzEinfallswinkel = Reflexionswinkel gilt, heißt das im Umkehrschluß, daß der Einfalls-winkel mit dem Ablenkungswinkel des transmittierten Strahls ebenfalls den Winkel 90◦

ergeben muß.

αp + βp = 90◦ (29)

Mit dem Brechungsgesetz von Snellius kann man nun den direkten Zusammenhang zwi-schen Brewsterwinkel αp und Brechzahl nBr herstellen.

nBR = tanαp (30)

Auch im Gleichungssystem von Fresnel ist der von Brewster gefundene Spezialfall ent-halten. Fur die Einfallswinkel α0 = 0◦ und αp vereinfachen sich die Fresnelschen Formelnund man kann auch so den Brechungsindex berechnen.

R‖,0◦ =(n0◦ − 1)2

(n0◦ + 1)2= R⊥,0◦ (31)

⇒ n0◦ = −√R‖,0◦ + 1√R‖,0◦ − 1

(32)

R⊥,αp =(n2αp

− 1)2

(n2αp+ 1)2

(33)

35

⇒ nαp =

√−√R⊥,αp + 1√R⊥,αp − 1

(34)

Mit den Gleichungen 30, 32 und 34, haben wir also drei Moglichkeiten gefunden, denBrechungsindex des Probeplattchen zu bestimmen.

7.2 Durchfuhrung und Auswertung

Wir haben zunachst die Polarisationsfolie mit Hilfe des Brewsterwinkels auf parallel po-larisiertes Licht eingestellt. Dafur wurde die Einstellung gewahlt, bei der die Intensitatdes reflektierten Strahls bei einem bestimmten Einfallswinkel den Wert 0 annahm. DerBrewsterwinkel wurde so durch dreimalige Messung mit αp = 57, 375◦ bestimmt.

Mit Gleichung 30 konnen wir nun den Brechungsindex berechnen.

nBR = tanαp = tan(57, 25◦) = 1, 562

Dann wurde der Strahl ohne Ablenkung direkt auf die Photodiode eingestrahlt um diemaximale Intensitat I0 zu messen. Fur paralleles Licht haben wir I0,‖ mit 8, 9µA be-stimmt.

Danach wurde eine Messreihe aufgenommen, in der der Einfallswinkel α in sinnvollenSchritten von 0◦ bis 90◦ eingestellt wurde. Wie zu erwarten war fiel die gemessene In-tensitat zunachst relativ linear ab, bis der Brewsterwinkel erreicht wurde. Danach stiegdie Lichtintensitat exponentiell an, bis sie ihr Maximum bei 90◦ erreichte, bei der keineReflexion mehr vorliegt, sondern der Strahl idealerweise ungehindert auf die Diode tref-fen kann.

Dieselbe Meßreihe wurde auch fur senkrecht polarisiertes Licht aufgenommen, indemder Polarisationsfilter um 90◦ gedreht wurde. Die maximale Intenstitat wurde hier mitI0,⊥ = 10µA gemessen. Die Intensitat des reflektierten Strahl stieg hier zunachst langsaman und naherte sich dann ebenfalls exponentiell dem Maximum bei α = 90◦.

36

Abbildung 19: Charakteristische Kurven der Reflexionskoeffizienten linear polarisiertenLichts

Die Abbildung 19 zeigt die graphische Darstellung unserer mit Gleichung 26 be-rechneten Werte fur den Reflektionskoeffizienten des senkrecht und parallel polarisiertenLichtstrahls. Man erkennt, daß der Brewsterwinkel zwischen 55◦ und 60◦ liegen muß.Wir haben den Brechungsindex fur beide Einfallswinkel mit der Gleichung 34 berechnetund den Mittelwert davon genommen.

nαp = 12 ·(√−√R⊥,55◦+1√R⊥,55◦−1

+

√−√R⊥,60◦+1√R⊥,60◦−1

)= 1

2 ·(√−√0,125+1√0,125−1 +

√−√0,16+1√0,16−1

)= 1, 487

Um den Brechungsindex fur den Einfallswinkel 0◦ berechnen zu konnen, haben wir dieGraphen bis zur y-Achse verlangert. Eine direkte Messung ist nicht moglich, da die Diodebei einer bestimmten Stellung schlicht den Strahlengang versperrt. Die Reflexionskoef-fizienten sind in dieser Stellung gleich groß und wurden von uns mit dieser graphischenMethode ermittelt. Nun konnen wir mit Gleichung 32 den Brechungsindex berechnen.

37

n0◦ = −√R‖,0◦ + 1√R‖,0◦ − 1

= −√

0, 0375 + 1√0, 0375− 1

= 1, 480

Nach den von uns gesammelten Informationen und einer genauen Begutachtung derProbeplatte sind wir zu dem Schluß gekommen, daß es sich um Plexiglas handelt. In dernachfolgenden Tabelle sind die von uns berechneten Werte und der Vergleich mit demLiteraturwert angegeben.

Bestimmungsmethode Berechnete Brechzahl Literaturwert Abweichung

Brewsterwinkel 1,562 1,491 4,8%Reflexionsgrad im Brewsterwinkel 1,487 1,491 0,3%Reflexionsgrad bei 0◦ 1,480 1,491 0,7%

Tabelle 7: Brechzahlen der verschiedenen Bestimmungsmethoden

7.3 Fehlerquellen

Die Berechnung durch bloße Messung des Brewsterwinkels hat sich als die ungenauesteherausgestellt. Das kommt daher, daß man einerseits etwas vage die Einstellung zu fin-den hat, bei der der reflektierte Strahl nicht mehr sichtbar ist und dann einen schwerenDeckel mit der benotigten Winkelskala auf die Aparatur legen muß, um den Einfalls-winkel ablesen zu konnen. Dabei konnen leichte Verdrehungen das Ergebnis nachhaltigverfalschen.Die Ergebnisse, die mit Hilfe der Lichtintensitat berechnet wurden sind wesentlich ge-nauer, da die Vorrichtung hier wahrend des gesamten Experiments geschlossen war undhochstens Ableseungenauigkeiten an der Winkelskala oder dem Amperemeter zu denkleinen Abweichungen fuhren.

7.4 Bewertung der Methode

Das Experiment ist sehr gut geeignet um den Brechungsindex transparenter Isolatorenzu bestimmen. Mit Flussigkeiten oder Gasen wurde die Methode sicher schnell an ihreGrenzen stoßen, da diese sich in einem Behalter befinden mußten, der seinerseits ebenfalls

38

Licht reflektieren und absorbieren wurde. Daher ist das Experiment ausschließlich furreflektierende Festkorper geeignet.

39

8 Fazit

Als genauste Methode zur Bestimmung des Brechungsindex eines Materials stellte sichdie Michelson-Inteferometrie heraus. Sie gab uns die Moglichkeit ihn bis auf mehrereNachkommastellen genau zu berechnen. Anfangs verlangt der Versuch eine prazise Jus-tierung, welche etwas Zeit in Anspruch nimmt, was zum Beispiel schnelles Messen einesfluchtiges Materials ausschließt. Besonders geeignet ist diese Methode fur Gase, aberauch Analyse von Flussigkeiten und Glaser ist mit etwas mehr Aufwand moglich. Deram schnellsten durchzufuhrende Versuch ist das Abbe-Refraktometer, jedoch bestanddieser nahezu auschliesslich aus dem Ablesen der benotigten Werte. Dies ist aber auchder entscheide Vorteil des Refraktometers. Mit ihm kann man die Brechungsindizes vonFlussigkeiten leicht bestimmen, fur Festkorper stellt sich dies etwas schwieriger dar istaber moglich. Der nachstpraktikabelste Versuch ist die Methode der Phasenverschiebung,welcher ebenfalls schnell aufgebaut und justiert ist. Geeignet ist diese Methode jedochnur fur jene Flussigkeiten und Festkorper, die in ausreichendem Maße vorhanden sind.Die Bestimmung des Winkels der Minimalablenkung zeigt uns eine intressante alternati-ve Anwendung der Spektrometrie. Nachdem die Spektrallinien gefunden und zugeordnetsind, verlangt die Methode nur einen geringen Aufwand. Die Vermessung des Brewster-Winkels ist, so wie sie sich uns darstellte, eine ungenauere Methode. Dennoch konntenwir die bekannte Kurve der Reflexionskoeffizienten des polarisierten Lichts reproduzie-ren. Newtonsche Ringe sind ein oft genutzes Beispiel in der geometrischen Optik. Auchdie hier theoretisch vorhergesagten Phanome konnten expermintell bestatigt werden. Furgering viskose Flussigkeiten ist dies eine gute Alternative zum Abbe-Refraktometer undder Methode der Phasenverschiebung.

Zum Abschluss probierten wir auch den historischen Versuch nach Foucault mit mo-dernen Mitteln nachzustellen. Der Aufbau des Experiment gestaltete sich als außerstkomplex, da wir mit einen Laserstrahl, der einen Laufweg von mehreren Metern besitzt,zielgenau auf einen wenigen Millimeter kleinen Spiegel treffen mussten. Leider konntenwir keine Messwerte aufnehmen, sodass es auch keine Auswertung zu diesem Versuchgibt. Er ist auch nur zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in einem gasformigenMedium geeignet.

Im Vergleich zum”regularen“Praktikumsbetrieb bot uns das Optikpraktikum die Moglichkeit

in einer entspannten Arbeitsatmosphare genauere Messungen durchzufuhren. Außerdemkonnten wir uns mit einer Thematik naher befassen um mehrere Zusammenhange ex-permintell nachzuvollziehen und zu bestatigen.

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9 Quellen

Literaturwerte:(Phasenverschiebung) Stocker, ”Taschenbuch der Physik”(Abbe-Refrak.) Stocker, ”Taschenbuch der Physik”(Abbe-Refrak.) refractiveindex.info(Michelson) Stocker, ”Taschenbuch der Physik”(Minimalablenkung) Geschke, ”Physikalisches Praktikum¨ Wellenlangen der beobachte-ten Spektrallinien(Minimalablenkung) Kohlrausch, ”Praktische Physik 3¨ Zuordnung der Glassorten(Newtonsche Ringe & Lichtreflexion) Kohlrausch, ”Praktische Physik 2”

Bildnachweis:[1] Vorbereitungsmaterial

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