Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik...
-
Upload
wilhelmine-dwenger -
Category
Documents
-
view
106 -
download
0
Transcript of Optimierungs- Algorithmen Petra Mutzel Technische Universität Wien Institut für Computergraphik...
Optimierungs-Algorithmen
Petra Mutzel Technische Universität Wien
Institut für Computergraphik und Algorithmen
AK5: Ausgewählte Algorithmen
Ak der Algorithmik 5
Kombinatorische Optimierungsprobleme
Gegeben sind:
• endliche Menge E (Grundmenge)
• Teilmenge I der Potenzmenge 2E von E (zul. Mengen)
• Kostenfunktion c: EK
Definition Kombinatorisches Optimierungsproblem
Beispiele Kombinatorische Optimierungsprobleme
Handlungsreisendenproblem (TSP)
Minimum der Funktion: f(x)=3x2+2, xR
Minimaler Spannender Baum (MST)
Lineare Optimierungsprobleme
Das Problem, einen Vektor zu finden, der unter allen
Vektoren, die die Bedingungen Ax<=b erfüllen, derjenige
ist, mit größtem (kleinstem) Zielfunktionswert.
Definition Lineares Optimierungsproblem
Beispiel Ölraffinerie
Ziele:
– mindestens 3S, 5M, 4L herstellen (Lieferbedingungen)
– möglichst billig herstellen
2 Crackverfahren für Rohöl mit folgender Ausbeute und Kosten:– Crackprozeß 1: 2S, 2M, 1L, Kosten 3 EUR
– Crackprozeß 2: 1S, 2M, 4L, Kosten 5 EUR
Beispiel Ölraffinerie
Zielfunktion
Restriktionen
subject to
definieren denLösungsraum
Matrixschreibweise: (Tafel)
Geometrische Interpretation LP
Beispiel: Ölraffinerie
Lineare Optimierungsprobleme
• max oder min cTx: Ax≤b
• min cTx: Ax≤b und x≥0
• min cTx: Ax=b und x≥0
Lineare Optimierungsprobleme tauchen in verschiedenen Formulierungen auf und können alle ineinander übergeführt werden:
Beispiele und Tricks!
Lineare Optimierungsprobleme
LP in seiner allgemeinsten Form:
Ganzzahlige Lineare Optimierungsprobleme
Lineare Optimierungsprobleme mit Ganzzahligkeits-forderungen: GLP (ILP, IP)
Lineare Optimierungsprobleme mit teilweise Ganzzahligkeitsforderungen: GGLP (MIP)
Lineare Optimierungsprobleme mit 0/1-Bedingungen: 0/1-Programm, Binäres LP, BLP
Zusammenhang zu Kombinatorischer Optimierung
Jedes kom. OP kann als BLP formuliert werden und umgekehrt:
Ist E eine endliche Menge und FE, dann ist der charakteris-tische Vektor FRE für F definiert als
Wir assoziieren zu jedem Element eE eine Komponente des Vektors F.
Umgekehrt, ist jeder 0/1-Vektor x{0,1}E charakteristischer Vektor einer Teilmenge Fx von E, und zwar gilt:
Fx={eE | xe=1}.
Beispiel: MST
Beispiel: LOP
Lineares Ordnungsproblem (LOP)
Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Kantengewichten cuv für alle Bögen (u,v) in A.
Gesucht: eine lineare Ordnung der Knoten, so dass die Summe der Gewichte aller Bögen, die dieser Ordnung entsprechen, maximiert wird.
1 2 3 4
Anwendungen: Triangulation von Input-Output Matrizen, Rangbestimmung in Turniersportarten
Graphen-Theoretische Formulierung
Gegeben: ein vollständiger gerichteter Graph G=(V,A) mit Bogengewichten cuv für alle Bögen (u,v) in A.
Gesucht: ein spannendes, azyklisches Turnier in G mit größtem Gewicht
1 2 3 4
Turnier: TA: entweder (i,j)T oder (j,i)T aber nicht beide
Spannendes Azyklisches TurnierVerbotene Strukturen in T:
u v
u w
v
u w
v
ILP für LOP
3-Kreis Ungleichungen
Triviale Ungleichungen
Gleichungen
Ausschluss der 3-er Kreise genügt
Spannendes Azyklisches TurnierVerbotene Strukturen in T:
u v
u w
v
u w
v
Projektion: xvu=1-xuv
3-Kreis Ungl.
Triviale Ungl.
ILP für LOP
Geometrische Interpretation LOP
Beispiel n=3: x12 x13 x23
Permutation<1,2,3><2,1,3><2,3,1><1,3,2><3,1,2><3,2,1>
charakt. Vektor(1,1,1)(0,1,1)(0,0,1)(1,1,0)(1,0,0)(0,0,0) x12
x13
<3,2,1> <3,1,2>
<2,3,1>
<2,1,3><1,2,3>
<1,3,2>
x23x12+x23-x13=0
x12+x23-x13=11 3
2
1 3
2
Geometrische Interpretation LOP
• n<6: Entfernung der Ganzzahligkeitsbedingungen macht keinen Unterschied
• n>=6: zusätzliche Ungleichungen notwendig
• Beispiel: Moebius-Leiter Ungleichungen:– k Kreise (k ungerade), hier: k=7:– Es ist notwendig, mindestens (k+1)/2 Bögen zu entfernen,
um G azyklisch zu machen.
Polyedrische Kombinatorik: LOPKonvexe Hülle aller charakteristischer Vektoren,
die Permutations, die l Elemente beschreiben.
l n
3
4
5
6
7
8
8
20
40
910
87,472
>488,602,996
For l=60 ist LOP exakt lösbar innerhalb 1 Sekundemittels Schnittebenenverfahren.
Vielen Dank