Ordinary Differential Equations¹€อกสาร อ.... · 2010-09-09 · 1...

of 26 /26
1 สมการเชิงอนุพันธสามัญ Ordinary Differential Equations ทบทวน ให () f x เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรอิสระ (ตัวแปรตน) ให x () y f x = แลวเราเรียก วา ตัวแปรตาม y บทนิยาม เราเรียกสมการทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางตัวแปร ตาม ตัวแปรอิสระ(หนึ่งตัวแปร) และอนุพันธของตัวแปรตามเมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระ (derivative )หรือ ดิฟเฟอเรนเชียล (differential) วา สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential equation) ตัวอยาง ตัวอยางของสมการเชิงอนุพันธ 1. 3 dy x dx = 2. 2 xdy ydx x = 3. 2"5 ' 3 y xy = 4. 2 2 2 2 dy dy x y dx dx 2 + = บทนิยาม เราเรียกอันดับของอนุพันธที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธ และเราเรียกเลขชี้กําลังของอนุพันธอันดับทีสูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธ เมื่อจัดรูปแบบของสมการใหเลขชี้กําลังเปน จํานวนเต็มบวกวา ระดับขั้น (degree) ตัวอยาง ตัวอยางของอันดับและระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธ 1. 3 dy y dx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 1 2. 2 2 dy y dx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 2 3. 4 2 2 2 5 dy dy x dx dx 3 = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 1 4. 2 2 2 2 dy x y dx = 2 เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 2

Embed Size (px)

Transcript of Ordinary Differential Equations¹€อกสาร อ.... · 2010-09-09 · 1...

  • สมการเชิงอนุพันธสามัญ

    Ordinary Differential Equations

    ทบทวน ให ( )f x เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรอิสระ (ตัวแปรตน) ให x ( )y f x= แลวเราเรียก วา ตัวแปรตาม y

    บทนิยาม เราเรียกสมการทางคณิตศาสตรที่แสดงถึงความสัมพันธระหวางตัวแปรตาม ตัวแปรอิสระ(หนึ่งตัวแปร) และอนุพันธของตัวแปรตามเมื่อเทียบกับตัวแปรอิสระ (derivative )หรือ ดิฟเฟอเรนเชียล (differential) วา สมการเชิงอนุพันธสามัญ (ordinary differential equation)

    ตัวอยาง ตัวอยางของสมการเชิงอนุพันธ

    1. 3dy xdx = 2. 2xdy ydx x− =

    3. 2 " 5 ' 3y xy− = 4. 22

    22

    d y dy x ydxdx⎛ ⎞ 2+ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

    บทนิยาม เราเรียกอันดับของอนุพันธที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธวา อันดับ (order) ของสมการเชิงอนุพันธ และเราเรียกเลขชี้กําลังของอนุพันธอันดับที่สูงสุดซึ่งปรากฏอยูในสมการเชิงอนุพันธ เมื่อจัดรูปแบบของสมการใหเลขช้ีกําลังเปนจํานวนเต็มบวกวา ระดับขั้น (degree)

    ตัวอยาง ตัวอยางของอันดับและระดับขั้นของสมการเชิงอนุพันธ

    1. 3dy ydx = เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 1

    2. 2

    2dy ydx⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠

    เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 1 ระดับขั้น 2

    3. 42

    22 5d y dyx dxdx

    ⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠

    3= เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 1

    4. 22

    22

    d y x ydx

    ⎛ ⎞= −⎜ ⎟

    ⎝ ⎠2 เปนสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ 2 ระดับขั้น 2

  • หมายเหตุ สัญลักษณของอนุพันธของตัวแปรตามที่ใชกันทั่วไปในสมการเชิงอนุพันธมีหลายแบบ ถาให เปนตัวแปรตามและ แทนตัวแปรอิสระ เราใช y x ( )ny แทน

    n

    nd ydx

    ในกรณีที่ 1, 2n = หรือ เรานิยมใชสัญลักษณ และ แทน 3 ', ''y y '''y2

    2,dy d ydx dx

    และ 3

    3d ydx

    ตามลําดับ  

    บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับ วา สมการเชิงอนุพันธสามัญเชิงเสนอันดับ (linear ordinary differential equation of order n ) ถาสามารถจัดสมการใหอยูในรูป

    nn

    (5.3.1) ( ) ( 1)1 1 0( ) ( ) ... ( ) ' ( ) (n n

    n na x y a x y a x y a x y g x−

    −+ + + + )=

    , ,..., ,n na a a a− gเมื่อ , และ เปนฟงกชันที่ขึ้นอยูกับตัวแปรอิสระ เพียงตัวเดียวและนิยามบนโดเมนของ โดยที่

    1 1 0 y xy 0na ≠ และเรียกสมการเชิงอนุพันธสามัญ

    อันดับ ที่ไมอยูในรูปดังกลาววา สมการเชิงอนุพันธสามัญไมเชิงเสนอันดับ (nonlinear ordinary differential equation of order )

    n nn

    ตัวอยาง จงพิจารณาสมการเชิงอนุพันธตอไปนี้วาเปนสมการเชิงเสนหรือไม 

    1. 2 '  ' 5 ' 2y y y+ − = x

    =

    2. 2 '  ' 5 ' 2xy y xy y+ − =

    3. 22 '' 5( ') 2xy y y+ −  

    24. 2 '' 5(sin ) 'xy x y y+ − =  

    5. . '' ' 2xy yy y x+ − =  

    บทนิยาม เราเรียกฟงกชัน ที่สอดคลองกับสมการเชิงอนุพันธสามัญวา ผลเฉลย (solution) ของสมการเชิงอนุพันธ ถาสามารถเขียนผลเฉลยไดในรูป

    y

    ( )y f x= เราเรียกผลเฉลยนั้นวา ผลเฉลยชัดแจง (explicit solution) แตถาเราไมสามารถเขียนในรูปชัดแจงได เราจะเรียกผลเฉลยนั้นวา ผลเฉลยโดยปริยาย (implicit solution)

  • ตัวอยาง จงแสดงวาฟงกชันที่กําหนดโดย 2xy e= สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง เปน

    ผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ

    x

    2dy xydx =

    วิธีทํา ให 2xy e= จะเห็นวา

    2 2 22 2 2x x xdy d de e x xe xydx dx dx= = = =

    ทําใหไดวา 2xy e= เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2dy xydx =

    ตัวอยาง จงแสดงวาฟงกชันที่กําหนดโดย 12y x= − สําหรับทุก ๆ จํานวนจริง 2x ≠

    เปนผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2dy ydx =

    วิธีทํา

    ขอสังเกต เราสามารถตรวจสอบวาฟงกชันที่กําหนดโดย 212y = x เปนผล

    เฉลยของสมการ dy xdx = นอกจากนี้สําหรับฟงกชัน 21

    2y x C= + เมื่อ เปนคา

    คงตัวใดๆ จะไดเชนกันวา

    C

    ( )212dy d x Cdx dx= + x= ซึ่งแสดงวา 212y x= +C ก็เปนคําตอบของ dy xdx = ดวยเชนกัน

  • เราสามารถแบงประเภทของผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธไดเปน 2 ประเภทคือ ผลเฉลยทั่วไป (general solution) และ ผลเฉลยเฉพาะ (particular solution) ซึ่งผลเฉลย

    ทั่วไป คือ ผลเฉลยที่มีคาคงตัวปรากฏอยู ตัวอยางเชน 212y x C= + เปนผลเฉลย

    ทั่วไปของ dy xdx = สวนผลเฉลยเฉพาะ คือ ผลเฉลยที่เราแทนคาคงตัวดวยจํานวนจริง

    ใด ๆ ตัวอยางเชน 212y x= , 21 12y x= + และ

    21 32y x= + เปนผลเฉลย

    เฉพาะของ dy xdx =  

    ตัวอยางเชน lny x C= + โดยที่ และ เปนคาคงตัว เปนผลเฉลย

    ทั่วไปของสมการ

    0 Cx >1x=

    dydx 3 แตถาเรากําหนดให ( )y e = จะได

    3 ( ) ln 1y e e C= = + = +C ซึ่งจะไดวา 2C = และทําให ln 2y x= + เปนผล

    เฉลยเฉพาะของสมการ 1dydx x=  

    บทนิยาม ปญหาคาเริ่มตน (initial value problem) ของสมการเชิงอนุพันธสามัญ คือการหาผลเฉลยของสมการบนชวง I โดยที่ผลเฉลยจะสอดคลองกับเงื่อนไข

    0 0( )y x y=

    เมื่อ และ เปนคาคงตัว เราจะเรียก 0x ∈ I 00y 0( )y x y= วา คาเริ่มตน(initial value)  

    สมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได

    บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธ วา สมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได (separable differential equations) หรือเรียกสั้นๆวา สมการแบบแยกตัวแปรได (separable equations) ถาสมการสามารถเขียนไดในรูป

    ( ) ( )dy p x g ydx = หรือ ( ) ( ) 0M x dx N y dy+ =

    โดยที่ และ p M เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซึ่งมี เปนตัวแปรอิสระ และ และ เปนฟงกชันตัวแปรเดียวซึ่งมี

    x g Ny  

     

  • ตัวอยาง จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธ 3dy xydx = เปนสมการแบบแยกตัวแปรได

    วิธีทํา    

     

     

    ตัวอยาง จงแสดงวาสมการเชิงอนุพันธ 23

    2dy xdx y= โดยที่ 0y ≠ เปนสมการแบบ

    แยกตัวแปรได 

    วิธีทํา

     

     

    สังเกตวา สมการเชิงอนุพันธ 3dy xydx = + ไมเปนสมการแบบแยกตัวแปรได

    ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได

    1. จัดรูปสมการ ( ) ( )dy p x g ydx = ใหมใหอยูในรูป

    ( ) ( )q y dy p x dx= โดยที่ 1( ) ( )q y g y=

    2. อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ จะได

    ( ) ( )q y dy p x dx=∫ ∫

    3. เราจะได ( ) ( )Q y P x C= + เปนผลเฉลยของสมการ ( ) ( )dy p x g ydx =

    โดยที่ Q และ P เปนปฏิยานุพันธของ และ ตามลําดับ q p

    และ C คือคาคงตัว  

  • ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 22dy xydx =

    วิธีทํา เนื่องจากสมการเชิงอนุพันธที่กําหนดใหเปนสมการเชิงอนุพันธแบบแยกตัวแปรได จึงเริ่มตนขั้นที่ 1 ดวยการเขียนสมการใหมในรูป

    21 2dy xdxy

    =

    ขั้นตอนที่ 2 เราอินทิเกรตทั้งสองขาง จะได

    21 2dy xdxy

    =∫ ∫

    ซึ่งจะได 21 x Cy− = + เมื่อ C เปนคาคงตัว ซึ่งสมมูลกับ 21y

    x C= −

    +

    เพราะฉะนั้นเราไดผลเฉลยของสมการ 22dy xydx = คือ 2

    1yx C

    = −+

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ dy xdx y=

    วิธีทํา

  • ตัวอยาง จงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาเริ่มตน ' 2ye y x= เมื่อ (0) 2y =

    วิธีทํา

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ sincos xdy xedx =

    วิธีทํา

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยเฉพาะของปญหาคาเริ่มตน ' 2yy xe x= − , ( ) 0y =π

    วิธีทํา

  • สมการเอกพันธุ 

    บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธอันดับหนึ่ง ' ( , )y f x y= วา สมการเชิงอนุพันธแบบเอกพันธุ (homogeneous differential equation) หรือเรียกสั้นๆวา สมการ

    เอกพันธุ ถา ' yy Fx

    ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

    เมื่อ เปนฟงกชันตัวแปรเดียว F

    ตัวอยาง สมการ dy ydx x= เปนสมการเอกพันธุ เพราะวา ฟงกชัน ( )F u u=

    สอดคลองกับเงื่อนไขของบทนิยาม นั่นคือ ' y yy Fx x

    ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

    ตัวอยาง สมการเชิงอนุพันธตอไปนี้เปนสมการเอกพันธุ

    1. 2 2' 2x y y xy= +

    2. ' ln ln x yy x yx y+

    = − +−

    3. ( ) 2 23 2x y dx xydy− + 0=

  • ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการแบบเอกพันธุ

    1. จัดรูปสมการ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = (หรือ ' ( , )y f x y= )

    ใหมใหอยูในรูป

    ydy Fdx x

    ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

    ( )∗

    2. ให yvx

    = ( เปนตัวแปร dummy ) ทําใหได v

    2

    ' ( )xy y F v vdvdx xx

    − −= =

    หรือ ( )F v vdvdx x−=

    3. จัดรูปสมการใหมเปน

    1( ) dv dxF v v x=−

    1

    4. อินทิเกรตทั้งสองขางของสมการ จะได

    1 ln( ) dv x CF v v = +−∫

    5. ให เปนปฏิยานุพันธของ ( )Q v 1( )F v v− แลวจะไดวา

    lnyQ xx

    ⎛ ⎞ C= +⎜ ⎟⎝ ⎠

    เปนผลเฉลยของสมการ เมื่อ C เปนคาคงตัว ( )∗

  • 10 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ dy x ydx x+=

    วิธีทํา

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ ( )2 2 2y x yx dx x dy+ + = วิธีทํา

  • 11 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธ 2 2

    '2

    y xyxy+

    = เมื่อ (1) 2y = −

    วิธีทํา

  • 12 

    สมการแมนตรง

    สัญลักษณ ถา ( , )u x y เปนฟงกชันสองตัวแปร กลาวคือมี และ เปนตัวแปรอิสระ และถา

    x y( , )u x y สามารถหาอนุพันธเทีบยกับตัวแปร ได เราจะใชสัญลักษณ x

    ( , )u x yx∂∂

    แทน ( , )d u x ydx

    (โดยพิจารณาวา เปนเพียงคาคงตัว) ทํานองเดียวกัน

    ถา

    y

    ( , )u x y สามารถหาอนุพันธเทีบยกับตัวแปร ได เราใชสัญลักษณ y ( , )u x yy∂∂

    แทน ( , )d u x ydy

    (โดยพิจารณาวา เปนเพียงคาคงตัว) x

    ตัวอยางเชน 2( , ) 2 1u x y x y x y= + + + จะได ( , ) 2 2u x y xyx∂ = +∂

    และ 2( , ) 1u x y xy

    ∂ = +∂

    เปนตน

    บทนิยาม เราเรียกสมการเชิงอนุพันธในรูปแบบ

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

    วา สมการเชิงอนุพันธแมนตรง (exact differential equation) หรือเรียกสั้นๆวา สมการแมนตรง (exact equation) ถามีฟงกชันสองตัวแปร ( , )u x y ที่ทําให

    ( , ) ( , )uM x y x yx∂=∂

    และ ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂

    สําหรับทุกๆ ( , )x y บนโดเมนที่เราสนใจ

    ทฤษฎีบท ถา My∂∂

    และ Nx∂∂

    เปนฟงกชันตอเนื่องบนอาณาบริเวณ ในระบบ

    พิกัดฉาก แลว สมการเชิงอนุพันธ

    R2 ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = เปนสมการ

    แมนตรง ก็ตอเมื่อ

    M Ny x

    ∂ ∂=∂ ∂

    สําหรับทุก ( , )x y ใน R

  • 13 

    ตัวอยาง จงแสดงวา เปนสมการแมนตรง 2 2 0xy dx x ydy+ =

    วิธีทํา จาก 2 2 0xy dx x ydy+ = จะได 2( , )M x y xy= และ 2( , )N x y x y= ซึ่ง

    มีอนุพันธยอยเปน ( , ) 2M x y xyy∂ =∂

    และ ( , ) 2N x y xyx∂ =∂

    สําหรับทุก ๆ จํานวน

    จริง และ จะเห็นวา x y My∂∂

    และ Nx∂∂

    เปนฟงกชันตอเนื่องบน และ 2

    M Ny x

    ∂ ∂=∂ ∂

    ที่ทุกจุดบน ดังนั้น 2 2 2 0xy dx x ydy+ = เปนสมการแบบแมนตรง

    โดยทฤษฎีบทขางตน

    ตัวอยาง จงแสดงวา เปนสมการแมนตรง 3 23y dx xy dy+ 0=

    ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธแมนตรง

    ให u เปนฟงกชันซึ่งสอดคลองกับบทนิยาม

    1. อินทิเกรต ( , ) ( , )uM x y x yx∂=∂ เทียบกับ เราได x

    ( , ) ( , ) ( )u x y M x y dx g y= +∫ (1) โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธได y

    2. หาอนุพันธของ u ใน (1) เทียบกับ จะได y

    ( , ) ( , ) ( , ) '( )uN x y x y M x y dx g yy y∂ ∂= = +∂ ∂ ∫

    นั่นคือ '( ) ( , ) ( , )g y N x y M x y dxy∂= −∂ ∫ (2)

    3. อินทิเกรต (2) ทั้งสองขาง จะได

    ( ) ( , ) ( , )g y N x y M x y dx dyy⎡ ⎤∂= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ∫

    4. นํา ( )g y ที่ไดแทนใน (1) ทําใหได ( , )u x y และ สมการ ( , )u x y C= เปนผลเฉลยของ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = โดยที่ C เปนคาคงตัว

  • 14 

    หมายเหตุ ในขั้นตอนที่ 1 เราอาจหา u จากการอินทิเกรตทั้งสองขาง

    ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂

    เทียบกับ ทําใหได y

    ( , ) ( , ) ( )u x y N x y dy g x= +∫ โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได จากนั้นดําเนินการขั้นที่ 2 โดยการหาอนุพันธของ u เทียบกับ จะได

    xx

    ( , ) ( , ) ( , ) '( )uM x y x y N x y dy g xx x∂ ∂= = +∂ ∂ ∫

    และโดยการจัดรูปสมการใหมแลวอินทิเกรตทั้งสองขางในทํานองเดียวกับขั้นตอนการหาผลเฉลยขั้นที่ 3 และ 4 จะได

    ( ) ( , ) ( , )g x M x y N x y dy dxx∂⎡ ⎤= −⎢ ⎥∂⎣ ⎦∫ ∫

    ทําใหได ( , )u x y ตามที่ตองการ

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 3 3 2x y dx x dy 0+ + + =

    วิธีทํา จาก ( ) จะได ( )2 3 3 2x y dx x dy+ + + 0= ( , ) 2 3M x y x y= + และ ( , ) 3 2N x y x= + ซึ่งจะได

    ( , ) 3 ( , )M Nx y x yy x∂ ∂= =∂ ∂

    สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ จะเห็นวา x y My∂∂

    และ Nx∂∂

    เปนฟงกชันตอเนื่องบน

    ดังนั้น เปนสมการแมนตรง 2 ( ) ( )2 3 3 2x y dx x dy+ + + 0=

    ให ( , ) 0u x y = เปนผลเฉลยหนึ่งของสมการ โดยการอินทิเกรต

    ( , ) ( , ) 2 3u x y M x y x yx∂ = = +∂

    เทียบกับ จะได x

    ( )( , ) 2 3 ( )u x y x y dx g y= + +∫

  • 15 

    โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียวที่สามารถหาอนุพันธอันดับหนึ่งได ทําใหได

    y

    2( , ) 3 ( )u x y x yx g y= + +

    จากนั้น เราหาอนุพันธ(ยอย)ของ u เทียบกับ จะได y

    ( , ) 3 '( )u x y x g yy∂ = +∂

    และจาก ( , ) ( , )uN x y x yy∂=∂

    จะได

    3 2 ( , ) ( , ) 3 '(ux N x )y x y x g yy∂+ = = = +∂

    ซึ่งสมมูลกับ '( ) 2g y = และเมื่ออินทิเกรตทั้งสองขาง เราได

    1( ) 2g y y C= +

    โดยที่ คือคาคงตัว ซึ่งทําให 1C2

    1( , ) 3 2u x y x yx y C= + + +

    ดังนั้น 2

    13 2x yx y C+ + + = 2C หรือ 2 3 2x yx y C+ + =

    โดยที่ คือคาคงตัว และ เปนผลเฉลยของสมการที่กําหนดให 2C 2C C C= − 1

  • 16 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 2 0x yy e dx e yx dy+ + + =

  • 17 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( )cos sin ' 0x xy e y x e y y− + + =  

  • 18 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2cos sin 3 5 0x y x dx x y dy+ + − + =

  • 19 

    ตัวประกอบการอินทิเกรต  (Integrating factor)

    พิจารณาสมการ

    2 0ydx xdy+ = (1)

    จะเห็นวา ( , ) 2M x y y= และ ( , )N x y x= ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องและมีอนุพันธ

    ยอยเปน ( , ) 2M x yy∂ =∂

    และ ( , ) 1N x yx∂ =∂

    สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ

    ทําให

    x y

    ( , ) ( , )M Nx y x yy x∂ ∂≠∂ ∂

    ดังนั้น (1) ไมเปนสมการแมนตรง แตถาเราคูณ (1)

    ตลอดดวย จะได x22 0yxdx x dy+ =

    ซึ่งเปนสมการแมนตรง เราสังเกตวา

    ( )2 22d yx yxdx x dy= + ทําให 2yx =C เปนผลเฉลยของสมการแมนตรง 22 0yxdx x dy+ =

    โดยที่ C เปนคาคงตัว และเราสามารถตรวจสอบไดวา 2yx C= เมื่อ เปนผลเฉลยของสมการ (1) ดวยเชนกัน

    0x ≠

    ในหัวขอนี้เราจะศึกษาสมการที่ไมเปนสมการแมนตรง แตถาเราสามารถหาฟงกชันสองตัวแปรมาคูณตลอดทั้งสองขางของสมการ เพื่อใหสมการใหมที่ไดเปนสมการแมนตรง เราจะสามารถหาผลเฉลยของสมการนั้นไดดวยวิธีการของสมการแมนตรง และเราเรียกฟงก ชันดังกลาวที่จะนําสาคูณวา ตัวประกอบการอินทิเกรต (Integrating factor)

    บทนิยาม เราเรียกฟงกชันสองตัวแปร ( , )I x y โดยที่ ( , ) 0I x y ≠ วา ตัวประกอบการอินทิเกรต (integrating factor) ของ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ถา

    ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0I x y M x y dx I x y N x y dy+ =

    เปนสมการแมนตรง

  • 20 

    ตัวอยาง สมการ 3 2 0ydx xdy+ = ไมเปนสมการแมนตรง แตมี 1( , )I x y xy=

    เปนตัวประกอบการอินทิเกรตของสมการ

    ขอสังเกต สมการเชิงอนุพันธ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = บางสมการอาจมีตัวประกอบการอินทิเกรตมากกวาหนึ่งตัว เชน สมการ 0ydx xdy− = ถานํา

    21( , )I x yx

    = คูณทั้งสองขางของสมการ จะได

    2 0ydx xdy

    x− =

    หรือ ถา 2 1( , )I x y x y=

    + 2 จะได 2 2 0

    ydx xdyx y

    − =+

    ซึ่งทั้ง 2 สมการเปนสมการ

    แมนตรง

    ในที่นี้เราจะศึกษาเฉพาะกรณีที่ integrating factor เปนฟงกชันที่มีตัวแปรอิสระเพียงตัวแปรเดียวเทานั้น

    ข้ันตอนการหา integrating factor

    1. จัดรูปสมการเชิงอนุพันธใหอยูในรูป

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ =

    2. พิจารณา  

    11 M NK N y x⎡ ⎤∂ ∂= −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

     และ 2 1 M NK M y x⎡ ⎤∂ ∂= − −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦

    3. ถา 1K เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว เราให x

    1K dxI e∫= ถา 2K เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว เราให y

    2K dyI e∫=

  • 21 

    ขั้นตอนการหาผลเฉลยของสมการเชิงอนุพันธไมแมนตรงโดยใช integrating factor

    ให I เปน integrating factor ของ

    ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = (1)

    1. คูณสมการ ( , ) ( , ) 0M x y dx N x y dy+ = ตลอดดวย I เราได

    ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) 0x y M x y dx x y N x y dyµ µ+ = (2)

    ซึ่งเปนสมการแมนตรง

    2. ใชกระบวนการหาผลเฉลยของสมการแมนตรง ทําใหได

    ( , )u x y C=

    เปนผลเฉลยของ (2) เมื่อ เปนคาคงตัว C

    และ สมการ ( , )u x y C= เมื่อ ( , ) 0I x y ≠ เปนผลเฉลยของ (1)

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( )2 22 3 0 ∗ xydx x y dy− − = ( )วิธีทํา จาก ( )2 22 3xydx x y dy 0− − = จะได ( , ) 2M x y xy= และ

    2( , ) 3N x 2y y x= − ซึ่งเปนฟงกชันตอเนื่องและมี

    ( , ) 2M x y xy∂ =∂

    และ ( , ) 6N x y xx∂ = −∂

    สําหรับทุกๆจํานวนจริง และ จะเห็นวา x y ( , ) ( , )M Nx y x yy x∂ ∂≠∂ ∂

    ทําใหไดวา

    ไมเปนสมการแบบแมนตรง ( )∗

    เนื่องจาก

    1 4M NK M y x⎡ ⎤∂ ∂= − − = −⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦ y

    เปนฟงกชันของ เพียงตัวเดียว ทําใหได y4

    4ln 4dyKdy yyI e e e y− − −∫∫= = = =

  • 22 

    เมื่อคูณสมการ ดวย ( )∗ I จะได

    2 2

    3 432 0x yx dx dy

    y y−− = ( )∗∗

    ซึ่งเปนสมการแบบแมนตรง และสามารถหาผลเฉลยได

    ให ( , ) 0u x y = เปนผลเฉลยของ ( )∗∗ จะไดวา 32( , )u xx yx y∂ =∂

    และ 2 2

    43( , ) x yu x yy y

    −∂ = −∂

    จาก 32( , )u xx yx y∂ =∂ จะได

    2

    3 32( , ) ( ) ( )xxu x y dx g y g yy y

    = + = +∫

    โดยที่ g เปนฟงกชันที่มี เปนตัวแปรเพียงตัวเดียว และอนุพันธยอยของ เทียบกับ คือ

    y uy

    2

    43( , ) '( )u xx y g yy y

    ∂ = − +∂

    จึงไดวา 2 2 2

    4 43 3 '( )x y x g y

    y y−− = − +

    ซึ่งจะได 21'( )g y y= เราอินทิเกรตทั้งสองขาง จะได

    11( )g y Cy= − +

    โดยที่ คือคาคงตัว ซึ่งทําให 1C2

    131( , ) xu x y Cyy

    = − +

    เพราะฉะนั้น เราได 2

    31x Cyy

    − = โดยที่ C คือคาคงตัว เปนผลเฉลยของ

    และทําให

    ( )∗∗

    2

    31x Cyy

    − = เมื่อ เปนผลเฉลยของ (0y ≠ )∗

  • 23 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ ( ) ( )2 22 0x y dx x y x dy+ + − =

  • 24 

    ตัวอยาง จงหาผลเฉลยของ 22 'x y xyy+ + = 0

  • 25 

    การประยุกตของสมการเชิงอนุพันธสามัญอันดับหนึ่ง

    ตัวอยาง สารกัมมันตภาพรังสีชนิดหนึ่งสลายตัวดวยอัตราที่เปนสัดสวนกับปริมาณในขณะนั้น ถาเริ่มตนมีสารอยู 50 มิลลิกรัม และหลังจากผานไป 2 ช่ัวโมง สังเกตเห็นวาสารสลายไป ครึ่งหนึ่งของมวลเริ่มตน จงหาสูตรสําหรับมวลของสารที่ยังเหลืออยูที่เวลา t ใดๆ

    วิธีทํา ให แทนปริมาณของสารที่เวลา t ช่ัวโมง )(tx

    เราจะไดสมการเชิงอนุพันธคือ kxdtdx

    −=

    จัดรูปสมการใหมไดเปน kdtxdx

    −=

    อินทิเกรตทั้งสองขางจะได 0ln lnx kt x= − +

    เมื่อ 0ln x คือตัวคงคา

    นั่นคือ ktexx −= 0

    จากโจทยจะไดวา 50=x มิลลิกรัม เมื่อ 0=t ช่ัวโมงนั่นคือ

    0)0(050 xex k == −

    ดังนั้นผลเฉลยคือ ktex −= 50

    จากครึ่งหนึ่งของมวลเริ่มตนไดสลายไป หมายความวา 10% ของ 50 มิลลิกรัม ซึ่งเทากับ 5 มิลลิกรัม นั่นคือยังเหลือสารกัมมันตภาพรังสีชนิดนี้อยู 50 – 25 = 25 มิลลิกรัม เมื่อ ช่ัวโมง ดังนั้นจากผลเฉลยจะไดวา 2=t

    (2)25 50 ke−=

    2 0.5ke− =

    2 ln 0.k 5− = นั่นคือ 0.5ln 0.5 0.347k = − ≈

    ดังนั้นจะไดสมการสําหรับมวลของสารกัมมันตภาพรังสีชนิดนี้ ณ เวลา ใดๆ คือ t

    0.34750 tx e−=

  • 26 

    ตัวอยาง ในปฏิกิริยาเคมีของการสรางสาร เราจะไดสาร หนัก กรัม จากการรวมตัวกันของสาร

    C C 3

    A ที่หนัก กรัม และสาร 2 B ที่หนัก 1 กรัม ถาเราเริ่มตนปฏิกิริยาเคมีนี้ดวยสาร A หนัก กรัม และสาร 10 B หนัก กรัม และเมื่อเวลาผานไป นาที ปรากฏวามีสาร เกิดขึ้น กรัม จงเขียนสมการแสดงปริมาณของสาร ณ เวลา t นาที ใดๆ ภายใตกฎทางเคมีซึ่งกลาวไววา

    15 20

    C 6 C

    “อัตราการเกิดสาร ณ เวลา นาที เปนสัดสวนกับผลคูณของปริมาณของสาร C tA และสาร B ที่มีอยู ณ เวลานั้น”

    วิธีทํา สมมติใหเมื่อเวลา นาที เรามีสาร อยู กรัม ซึ่งแสดงวาในเวลา นาที ไดมีการรวมตัวกันของสาร

    t C x

    t A หนัก 23x กรัม และสาร B หนัก

    3x กรัม

    เพราะฉะนั้นเมื่อเวลา t นาที จะมีสาร A เหลืออยู 2103x

    − กรัม และสาร B

    เหลืออยู 153x

    − กรัม

    ดังนั้นภายใตกฎทางเคมีขางตนเราสามารถสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตรในรูปสมการ

    210 153 3

    dx x xkdt

    ⎛ ⎞⎛= − −⎜ ⎟⎜⎝ ⎠⎝

    ⎞⎟⎠

    เราสามารถเขียนสมการเชิงอนุพันธนี้ในรูปสมการแบบแยกตัวแปรได ดังนี้

    23

    2(15 )(45 )dx kdt

    x x=

    − −

    เมื่ออินทิเกรตสมการจะไดผลเฉลยทั่วไปคือ

    45 20ln15 3

    x kt cx

    −⎛ ⎞ = +⎜ ⎟−⎝ ⎠

    และภายใตเงื่อนไขวา เมื่อ 0x = 0t = และ 6x = เมื่อ 20t = จะได

    และ ln(3)c = 3(0.01846)20

    k =

    ทําใหไดสมการแสดงปริมาณของสาร ณ เวลา t นาทีคือ C0.01846

    0.01846

    1451 3

    t

    t

    exe

    −=