Ordnung im Chaos: Der Satz von Ramsey im Uberabz...
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren
Stefan Geschke
2. Dezember 2009
Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren
Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
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Der Satz von Ramsey
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
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Frank Plumpton Ramsey (1903–1930), britischer Mathematiker,Okonom und Philosoph.
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Frage
Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sichmindestens drei der Gaste untereinander kennen oder sichmindestens drei paarweise nicht kennen?
Losung
Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Partymit funf Gasten, so dass sich unter je drei Gasten zwei kennen undzwei nicht kennen.
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
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Frage
Wieviele Personen muss man zu einer Party einladen, damit sichmindestens drei der Gaste untereinander kennen oder sichmindestens drei paarweise nicht kennen?
Losung
Man muss mindestens sechs Personen einladen. Es gibt eine Partymit funf Gasten, so dass sich unter je drei Gasten zwei kennen undzwei nicht kennen.
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Party mit funf Gasten, so dass unter je drei Gasten sich zweikennen und sich zwei nicht kennen.
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Party mit funf Gasten, so dass unter je drei Gasten sich zweikennen und sich zwei nicht kennen.
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DefinitionFur eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigenTeilmengen von X .
Eine Farbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zweiFarben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → 0, 1, also eine Abbildung,die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und1 zuordnet.
Eine Menge H ⊆ X ist homogen fur c (c-homogen), falls c auf[H]2 konstant ist.
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Metrische Raume
DefinitionFur eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigenTeilmengen von X .
Eine Farbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zweiFarben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → 0, 1, also eine Abbildung,die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und1 zuordnet.
Eine Menge H ⊆ X ist homogen fur c (c-homogen), falls c auf[H]2 konstant ist.
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DefinitionFur eine Menge X sei [X ]2 die Menge der zweielementigenTeilmengen von X .
Eine Farbung der zweielementigen Teilmengen von X (mit zweiFarben) ist eine Abbildung c : [X ]2 → 0, 1, also eine Abbildung,die jeder zweielementigen Teilmenge von X eine der Farben 0 und1 zuordnet.
Eine Menge H ⊆ X ist homogen fur c (c-homogen), falls c auf[H]2 konstant ist.
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Satz (Ramsey, endliche Version)
Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einern-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X derMachtigkeit Ω(log n).
Insbesondere gibt es fur jede naturliche Zahl m eine naturlicheZahl n, so dass es fur jede Farbung der zweielementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene MengeH ⊆ X der Machtigkeit m gibt.
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Satz (Ramsey, endliche Version)
Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einern-elementigen Menge X gibt es eine homogene Menge H ⊆ X derMachtigkeit Ω(log n).
Insbesondere gibt es fur jede naturliche Zahl m eine naturlicheZahl n, so dass es fur jede Farbung der zweielementigenTeilmengen einer n-elementigen Menge X eine homogene MengeH ⊆ X der Machtigkeit m gibt.
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?
Losung
m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?
Losung
m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?
Losung
m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?
Losung
m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Frage
Wie groß ist das minimale n, das bei gegebenem m den Satz vonRamsey bezeugt?
Losung
m = 3 ⇒ n = 6m = 4 ⇒ n = 18m = 5 ⇒ 43 ≤ n ≤ 49m = 6 ⇒ 102 ≤ n ≤ 165
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Satz (Ramsey, unendliche Version)
Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einerunendlichen Menge X existiert eine unendliche homogene MengeH ⊆ X.
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Frage
Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?
AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.
Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).
Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).
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Metrische Raume
Frage
Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?
AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.
Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).
Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).
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Frage
Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?
AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.
Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).
Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).
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Frage
Gilt der Satz von Ramsey auch fur uberabzahlbare Mengen?
AntwortDie naheliegende Verallgemeinerung des unendlichen Satzes vonRamsey auf uberabzahlbare Mengen ist falsch.
Es gibt eine Farbung c : [R]2 → 0, 1, so dass jede c-homogeneMenge abzahlbar ist (Sierpinski).
Es gibt jedoch Versionen des Ramseyschen Satzes furuberabzahlbare Mengen (Erdos-Rado, Galvin).
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Sierpinskis Beispiel
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Wac law Sierpinski (1882–1969)
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Metrische Raume
Wac law Sierpinski (1882–1969) Sierpinski-Dreieck
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.
Satz (Zermelo)
Jede Menge lasst sich wohlordnen.
Beispiel (Sierpinski)
Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.
Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.
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Metrische Raume
DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.
Satz (Zermelo)
Jede Menge lasst sich wohlordnen.
Beispiel (Sierpinski)
Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.
Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.
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Metrische Raume
DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.
Satz (Zermelo)
Jede Menge lasst sich wohlordnen.
Beispiel (Sierpinski)
Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.
Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.
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Metrische Raume
DefinitionEine lineare Ordnung 4 auf einer Menge X ist eine Wohlordnung,wenn jede nicht-leere Teilmenge von X ein 4-kleinstes Elementhat.
Satz (Zermelo)
Jede Menge lasst sich wohlordnen.
Beispiel (Sierpinski)
Wahle eine Wohlordnung 4 auf der Menge R aller reeller Zahlen.Fur x , y ∈ [R]2 sei c(x , y) = 1 falls 4 und ≤ auf x , yubereinstimmen. Sonst sei c(x , y) = 0.
Alle c-homogenen Teilmengen von R sind abzahlbar.
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Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Eine wohlgeordnete Menge
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Eine wohlgeordnete Menge
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Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
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Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Eine wohlgeordnete Menge
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Metrische Raume
Eine durch die ubliche Ordnungsrelation auf R wohlgeordneteMenge von reellen Zahlen
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Eine durch die ubliche Ordnungsrelation auf R wohlgeordneteMenge von reellen Zahlen
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Metrische Raume
Der Satz von Erdos und Rado
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Metrische Raume
Paul Erdos (1913-1996) Richard Rado (1906-1989)
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Metrische Raume
Satz (Erdos, Rado)
Sei X eine Menge mit |X | > |R|. Fur jede Farbungc : [X ]2 → 0, 1 existiert eine uberabzahlbare c-homogene MengeH ⊆ X.
Fur jede Kardinalzahl κ existiert eine Kardinalzahl λ, so dass furjede Farbung der zweielementigen Teilmengen einer λ-elementigenMenge eine homogene Menge der Machtigkeit κ existiert.
Frage
Gibt es eine uberabzahlbare Kardinalzahl κ, so dass es fur jedeFarbung der zweielementigen Teilmengen einer κ-machtigen Mengeeine κ-machtige homogene Menge gibt?
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Metrische Raume
Satz (Erdos, Rado)
Sei X eine Menge mit |X | > |R|. Fur jede Farbungc : [X ]2 → 0, 1 existiert eine uberabzahlbare c-homogene MengeH ⊆ X.
Fur jede Kardinalzahl κ existiert eine Kardinalzahl λ, so dass furjede Farbung der zweielementigen Teilmengen einer λ-elementigenMenge eine homogene Menge der Machtigkeit κ existiert.
Frage
Gibt es eine uberabzahlbare Kardinalzahl κ, so dass es fur jedeFarbung der zweielementigen Teilmengen einer κ-machtigen Mengeeine κ-machtige homogene Menge gibt?
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Satz (Erdos, Rado)
Sei X eine Menge mit |X | > |R|. Fur jede Farbungc : [X ]2 → 0, 1 existiert eine uberabzahlbare c-homogene MengeH ⊆ X.
Fur jede Kardinalzahl κ existiert eine Kardinalzahl λ, so dass furjede Farbung der zweielementigen Teilmengen einer λ-elementigenMenge eine homogene Menge der Machtigkeit κ existiert.
Frage
Gibt es eine uberabzahlbare Kardinalzahl κ, so dass es fur jedeFarbung der zweielementigen Teilmengen einer κ-machtigen Mengeeine κ-machtige homogene Menge gibt?
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Metrische Raume
Stetige Ramseytheorie
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Metrische Raume
DefinitionSei (X , d) ein metrischer Raum.Eine Farbung c der zweielementigen Teilmengen von X mit zweiFarben ist stetig, wenn fur alle x , y ∈ [X ]2 ein ε > 0 existiert, sodass fur alle a, b ∈ X mit d(a, x), d(b, y) < ε gilt:
c(a, b) = c(x , y)
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Metrische Raume
DefinitionSei (X , d) ein metrischer Raum.Eine Farbung c der zweielementigen Teilmengen von X mit zweiFarben ist stetig, wenn fur alle x , y ∈ [X ]2 ein ε > 0 existiert, sodass fur alle a, b ∈ X mit d(a, x), d(b, y) < ε gilt:
c(a, b) = c(x , y)
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Metrische Raume
Zwei Punkte x und y in einem metrischen Raum X
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Metrische Raume
Zwei Punkte x und y mit offenen ε-Umgebungen
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Metrische Raume
DefinitionEine nichtleere Teilmenge P eines metrischen Raums X ist perfekt,falls sie abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte hat.
Satz (Cantor)
Eine perfekte Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumeshat mindestens die Machtigkeit |R|.
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Metrische Raume
DefinitionEine nichtleere Teilmenge P eines metrischen Raums X ist perfekt,falls sie abgeschlossen ist und keine isolierten Punkte hat.
Satz (Cantor)
Eine perfekte Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumeshat mindestens die Machtigkeit |R|.
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Metrische Raume
Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.
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Metrische Raume
Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.
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Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Das Cantorsche Diskontinuum ist das typische Beispiel einerperfekten Teilmenge eines vollstandigen metrischen Raumes.
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Satz (Galvin)
Sei X ein uberabzahlbarer vollstandiger metrischer Raum und ceine stetige Farbung der zweielementigen Teilmengen von X .
Dann hat X eine perfekte, c-homogene Teilmenge. Insbesonderegibt es eine c-homogene Menge der Machtigkeit |R|.
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Satz (Galvin)
Sei X ein uberabzahlbarer vollstandiger metrischer Raum und ceine stetige Farbung der zweielementigen Teilmengen von X .
Dann hat X eine perfekte, c-homogene Teilmenge. Insbesonderegibt es eine c-homogene Menge der Machtigkeit |R|.
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unvollstandigkeit
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?
Unvollstandigkeit
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Metrische Raume
Paul Cohen (1934-2007) Kurt Godel (1906-1978)
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
So gut wie alle in der Mathematik betrachteten Objekte sindMengen oder lassen sich in naheliegender Weise als Mengenauffassen.
Praktisch jede mathematische Aussage lasst sich in der Spracheder Mengenlehre formulieren.
Ein mathematischer Satz wird allgemein als korrekt anerkannt,wenn ein Beweis vorliegt, der nur die ublichen Axiome derMengenlehre benutzt, also ZFC, die Zermelo-FraenkelschenAxiome zusammen mit dem Auswahlaxiom.
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So gut wie alle in der Mathematik betrachteten Objekte sindMengen oder lassen sich in naheliegender Weise als Mengenauffassen.
Praktisch jede mathematische Aussage lasst sich in der Spracheder Mengenlehre formulieren.
Ein mathematischer Satz wird allgemein als korrekt anerkannt,wenn ein Beweis vorliegt, der nur die ublichen Axiome derMengenlehre benutzt, also ZFC, die Zermelo-FraenkelschenAxiome zusammen mit dem Auswahlaxiom.
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Metrische Raume
So gut wie alle in der Mathematik betrachteten Objekte sindMengen oder lassen sich in naheliegender Weise als Mengenauffassen.
Praktisch jede mathematische Aussage lasst sich in der Spracheder Mengenlehre formulieren.
Ein mathematischer Satz wird allgemein als korrekt anerkannt,wenn ein Beweis vorliegt, der nur die ublichen Axiome derMengenlehre benutzt, also ZFC, die Zermelo-FraenkelschenAxiome zusammen mit dem Auswahlaxiom.
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Wir sind davon uberzeugt, dass ZFC widerspruchsfrei ist.
Nach dem zweiten Godelschen Unvollstandigkeitssatz lasst sichletzteres jedoch nicht im Rahmen von ZFC beweisen.
Nach dem ersten Godelschen Unvollstandigkeitssatz gibt esAussagen in der Sprache der Mengenlehre, die sich im Rahmen vonZFC weder beweisen noch widerlegen lassen.
Stefan Geschke Ordnung im Chaos:Der Satz von Ramsey im Uberabzahlbaren
Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Wir sind davon uberzeugt, dass ZFC widerspruchsfrei ist.
Nach dem zweiten Godelschen Unvollstandigkeitssatz lasst sichletzteres jedoch nicht im Rahmen von ZFC beweisen.
Nach dem ersten Godelschen Unvollstandigkeitssatz gibt esAussagen in der Sprache der Mengenlehre, die sich im Rahmen vonZFC weder beweisen noch widerlegen lassen.
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Wir sind davon uberzeugt, dass ZFC widerspruchsfrei ist.
Nach dem zweiten Godelschen Unvollstandigkeitssatz lasst sichletzteres jedoch nicht im Rahmen von ZFC beweisen.
Nach dem ersten Godelschen Unvollstandigkeitssatz gibt esAussagen in der Sprache der Mengenlehre, die sich im Rahmen vonZFC weder beweisen noch widerlegen lassen.
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.
Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:
1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz
2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)
3. Forcing (Cohen)
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.
Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:
1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz
2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)
3. Forcing (Cohen)
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
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Metrische Raume
Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.
Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:
1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz
2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)
3. Forcing (Cohen)
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Metrische Raume
Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.
Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:
1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz
2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)
3. Forcing (Cohen)
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Metrische Raume
Die bekannteste Aussage, die sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen lasst, ist die Kontinuumshypothese (CH), also dieAussage, dass jede uberabzahlbare Teilmenge von R bereits dieMachtigkeit |R| hat.
Es gibt genau drei bekannte Methoden, um zu zeigen, dass sicheine Aussage in ZFC nicht beweisen lasst:
1. Der zweite Godelsche Unvollstandigkeitssatz
2. Die Methode der inneren Modelle (Godel)
3. Forcing (Cohen)
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Mit dem zweiten Unvollstandigkeitssatz lasst sich zum Beispielzeigen, dass man in ZFC die Existenz einer uberabzahlbarenKardinalzahl κ mit der folgenden Eigenschaft nicht beweisen kann:
Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einerκ-machtigen Menge X mit zwei Farben gibt es eine homogeneMenge der Machtigkeit κ.
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
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Metrische Raume
Mit dem zweiten Unvollstandigkeitssatz lasst sich zum Beispielzeigen, dass man in ZFC die Existenz einer uberabzahlbarenKardinalzahl κ mit der folgenden Eigenschaft nicht beweisen kann:
Fur jede Farbung der zweielementigen Teilmengen einerκ-machtigen Menge X mit zwei Farben gibt es eine homogeneMenge der Machtigkeit κ.
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Das mengentheoretische Universum
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Das mengentheoretische Universum und ein inneres Modell
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Das mengentheoretische Universum und eine Forcing-Erweiterung
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Unabhangigkeitsresultate
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Satz (G., Schipperus)
Es sei (∗) die folgende Aussage:
“Fur jeden vollstandigen metrischen Raum X mit einerabzahlbaren dichten Teilmenge und jede stetige Farbung c derzweielementigen Teilmengen von X mit zwei Farben ist X dieVereinigung von weniger als |R| c-homogenen Mengen.”
Dann gibt es eine Forcing-Erweiterung des mengentheoretischenUniversums in der (∗) gilt. Insbesondere lasst sich (∗) in ZFCweder beweisen noch widerlegen.
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Satz (G., Schipperus)
Es sei (∗) die folgende Aussage:
“Fur jeden vollstandigen metrischen Raum X mit einerabzahlbaren dichten Teilmenge und jede stetige Farbung c derzweielementigen Teilmengen von X mit zwei Farben ist X dieVereinigung von weniger als |R| c-homogenen Mengen.”
Dann gibt es eine Forcing-Erweiterung des mengentheoretischenUniversums in der (∗) gilt. Insbesondere lasst sich (∗) in ZFCweder beweisen noch widerlegen.
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Satz (G., Schipperus)
Es sei (∗) die folgende Aussage:
“Fur jeden vollstandigen metrischen Raum X mit einerabzahlbaren dichten Teilmenge und jede stetige Farbung c derzweielementigen Teilmengen von X mit zwei Farben ist X dieVereinigung von weniger als |R| c-homogenen Mengen.”
Dann gibt es eine Forcing-Erweiterung des mengentheoretischenUniversums in der (∗) gilt. Insbesondere lasst sich (∗) in ZFCweder beweisen noch widerlegen.
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Metrische Raume
Metrische Raume
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Metrische Raume
DefinitionSeien (X , dX ) und (Y , dY ) metrische Raume und K ≥ 1.
Eine injektive Abbildung e : X → Y ist eine K-Einbettung, falls furalle x1, x2 ∈ X Folgendes gilt:
1
K· dX (x1, x2) ≤ dY (e(x1), e(x2)) ≤ K · dX (x1, x2)
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DefinitionSeien (X , dX ) und (Y , dY ) metrische Raume und K ≥ 1.
Eine injektive Abbildung e : X → Y ist eine K-Einbettung, falls furalle x1, x2 ∈ X Folgendes gilt:
1
K· dX (x1, x2) ≤ dY (e(x1), e(x2)) ≤ K · dX (x1, x2)
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Metrische Raume
DefinitionSeien (X , dX ) und (Y , dY ) metrische Raume und K ≥ 1.
Eine injektive Abbildung e : X → Y ist eine K-Einbettung, falls furalle x1, x2 ∈ X Folgendes gilt:
1
K· dX (x1, x2) ≤ dY (e(x1), e(x2)) ≤ K · dX (x1, x2)
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Metrische Raume
DefinitionEin metrischer Raum X ist K-linear, falls es eine K -Einbettung vonX in die reelle Gerade R gibt.
X ist K-hilbertsch, falls es eine K -Einbettung in einen Hilbertraumgibt. (Fur endliche X ist das aquivalent zur K -Einbettbarkeit in Rn
fur ein n.)
X ist K-uniform, falls es eine K -Einbettung von X in einenmetrischen Raum gibt, in dem je zwei verschiedene Punktedenselben Abstand haben.
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Metrische Raume
DefinitionEin metrischer Raum X ist K-linear, falls es eine K -Einbettung vonX in die reelle Gerade R gibt.
X ist K-hilbertsch, falls es eine K -Einbettung in einen Hilbertraumgibt. (Fur endliche X ist das aquivalent zur K -Einbettbarkeit in Rn
fur ein n.)
X ist K-uniform, falls es eine K -Einbettung von X in einenmetrischen Raum gibt, in dem je zwei verschiedene Punktedenselben Abstand haben.
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Metrische Raume
DefinitionEin metrischer Raum X ist K-linear, falls es eine K -Einbettung vonX in die reelle Gerade R gibt.
X ist K-hilbertsch, falls es eine K -Einbettung in einen Hilbertraumgibt. (Fur endliche X ist das aquivalent zur K -Einbettbarkeit in Rn
fur ein n.)
X ist K-uniform, falls es eine K -Einbettung von X in einenmetrischen Raum gibt, in dem je zwei verschiedene Punktedenselben Abstand haben.
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
2-Einbettung eines 1-uniformen Raumes in die reelle Gerade
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
K -lineare Teilmenge der Ebene
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
Der Satz von Erdos und RadoStetige Ramseytheorie
Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
K -lineare Teilmenge der Ebene
Zusammenhangende K -lineare Teilmenge der Ebene
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Satz (Bourgain, Figiel, Milman)
Sei K > 1. Dann besitzt jeder metrische Raum X der Machtigkeitn eine K-hilbertsche Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n).
Satz (Karloff, Rabani, Ravid)
Sei K > 1. Dann besitzt jeder n-elementige metrische Raum Xeine Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n), die K-uniform oderK-linear ist.
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Satz (Bourgain, Figiel, Milman)
Sei K > 1. Dann besitzt jeder metrische Raum X der Machtigkeitn eine K-hilbertsche Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n).
Satz (Karloff, Rabani, Ravid)
Sei K > 1. Dann besitzt jeder n-elementige metrische Raum Xeine Teilmenge der Machtigkeit Ω(log n), die K-uniform oderK-linear ist.
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Metrische Raume
Satz (Matousek)
Sei K > 1. Dann hat jeder unendliche metrische Raum eineunendliche Teilmenge, die K-linear oder K-uniform ist.
SatzSei K > 1 und X ein uberabzahlbarer, separabler, vollstandigermetrischer Raum. Dann hat X eine perfekte Teilmenge, dieK-linear ist.
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Satz (Matousek)
Sei K > 1. Dann hat jeder unendliche metrische Raum eineunendliche Teilmenge, die K-linear oder K-uniform ist.
SatzSei K > 1 und X ein uberabzahlbarer, separabler, vollstandigermetrischer Raum. Dann hat X eine perfekte Teilmenge, dieK-linear ist.
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Metrische Raume
SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”
SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”
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SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”
SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”
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SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”
SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
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Metrische Raume
SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und X ein separabler vollstandiger metrischer Raum.Dann ist X die Vereinigung von weniger als |R|-vielen K-linearenTeilmengen.”
SatzDie folgende Aussage lasst sich in ZFC weder beweisen nochwiderlegen:
“Sei K > 1 und n > 1. Dann ist Rn die Vereinigung von wenigerals |R|-vielen zusammenhangenden, K-linearen Teilmengen.”
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Der Satz von RamseySierpinskis Beispiel
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Was ist eine wahre mathematische Aussage?Unabhangigkeitsresultate
Metrische Raume
Vielen Dank!
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