J�org WassenbergDie Feldst�arkenkorrelationinni htabels hen Ei htheorienJanuar 2003

Die Feldst�arkenkorrelationinni htabels hen Ei htheorienals Diplomarbeit vorgelegtvonJ�org Wassenberg

Institut f�ur Theoretis he PhysikderWestf�alis hen Wilhelms-Universit�atM�unster (Westfalen)Januar 2003

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3Inhaltsverzei hnisEinleitung 51 Grundlagen der Quanten hromodynamik 91.1 Wirkung und Korrelationsfunktionen der QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Dyson-S hwinger-Glei hungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Die spontane Massenskala � . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.4 Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 Die systematis he Erweiterung der St�orungstheorie 172.1 Systematik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Ni htperturbativ erweiterte Ans�atze f�ur Vertexfunktionen . . . . . . . . . . . . . 182.2.1 Zwei-Gluonen-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.2.2 Drei-Gluonen-Vertex . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation 213.1 Abels her Teil der Feldst�arkenkorrelation im Euklidis hen . . . . . . . . . . . . . 223.2 Fortsetzung ins Minkowskis he . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Asymptotis hes Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.4 Verhalten f�ur kleine Abst�ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Graphis he Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelation 374.1 Struktur des "halb-ni htabels hen\ Teils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.2 Das innere Impulsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Umwandlung der Feynmanparameter- in Spektralintegrale . . . . . . . . . . . . . 464.4 Renormierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5 Das �au�ere Impulsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Zusammenfassung und Ausbli k 55A Feynmanregeln und Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCD 57A.1 SU(NC)-Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57A.2 Erzeugende Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58A.3 Korrelationsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.4 Vertexfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59A.5 Beziehungen zwis hen Vertexfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61A.6 St�orungstheoretis he Verti es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62A.7 Dyson-S hwinger-Glei hungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4 Inhaltsverzei hnisB S hleifenintegrale 67B.1 Feynman-Parametrisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67B.2 Impulsintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67B.3 Parameterintegration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68B.3.1 Hilfsintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68B.3.2 Parameterintegrale mit zwei Integrationsvariablen . . . . . . . . . . . . . 71B.3.3 Parameterintegrale mit drei Integrationsvariablen . . . . . . . . . . . . . . 73C Besselfunktionen 77C.1 Formelsammlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77C.1.1 Reihendarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77C.1.2 Asymptotis hes Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77C.1.3 Beziehungen zwis hen Besselfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C.1.4 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C.1.5 Integraldarstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78C.2 Verhalten einiger Besselfunktionen f�ur kleine Argumente . . . . . . . . . . . . . . 79C.3 Ableitungen von K1(mjxj)=jxj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79D Hilfsre hnungen 83D.1 Skalarer Propagator in Ortsraumdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83D.1.1 Euklidis he Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83D.1.2 Minkowskis he Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84D.2 Spektraldi hten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85D.3 Das Fourierintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91E Tabellen 95E.1 Polynome Pkjm(z; p2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95E.2 Ausintegrierte KoeÆzienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100E.3 Inneres Impulsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102Literaturverzei hnis 109Hilfsmittel 113Danksagung 115

5EinleitungDie fundamentalen in der Natur vorkommenden We hselwirkungen (elektromagnetis he, starke,s hwa he, gravitative) lassen si h dur h Ei hfeldtheorien bes hreiben. W�ahrend eine einheitli heBes hreibung der s hwa hen und der elektromagnetis hen We hselwirkung im Rahmen der elek-tros hwa hen Theorie von Glashow, Salam und Weinberg [WEI 67℄ m�ogli h ist, stellt EinsteinsAllgemeine Relativit�atstheorie1 auf klassis hem Niveau die angemessene Theorie der Gravitati-on dar. Als Feldtheorie der starken We hselwirkung hat si h in den Siebziger Jahren des letztenJahrhunderts die Quanten hromodynamik etabliert.Historis her Ausgangspunkt der Entwi klung der Theorie der starken We hselwirkung wardas Quark-Modell von Gell-Mann [GEL 64℄ und Zweig (1964), mit dem der Versu h unternom-men wurde, Ordnung in die Vielfalt der Elementarteil hen zu bringen. 1969 entde kte Bj�rken[BJO 69℄ das na h ihm benannte Skalenverhalten der Strukturfunktionen W1 und W2 bei dertiefinelastis hen Elektron-Nukleon-Streuung, wel he bei gro�en Impulsen nur von der dimen-sionslosen Skalenvariablen abh�angen. Zur Erkl�arung dieses "Bj�rken-S aling\ wurde von Feyn-man [FEY 69℄ ein ph�anomenologis hes Partonmodell vorges hlagen, na h dem die Nukleonenaus kleineren Bestandteilen ("Partonen\) bestehen, die mit Gell-Manns Quarks identi�ziert wer-den konnten. Zur Bewahrung des Spin-Statistik-Theorems war es notwendig, ihnen eine neueQuantenzahl, die Farbe ("Colour\) zu spendieren. Na h dem gro�en Erfolg der Quantenelektro-dynamik als abels her Ei htheorie lag der Versu h nahe, eine Ei htheorie der starken We hsel-wirkung zu formulieren. Das Analogon der elektris hen Ladung ist dabei die Farbladung. IhreEigens haften ma hten die Verwendung der ni htabels hen SU(3) als Ei hgruppe notwendig2.Die so entstandene Theorie ist unter dem Namen Quanten hromodynamik (QCD) bekannt. IhreVorhersagen wurden dur h zahlrei he Experimente best�atigt.Die QCD erkl�art die starke We hselwirkung dur h Austaus h von Ei hbosonen, den Gluonen,zwis hen den Konstituenten der Hadronen, den Quarks. In der Natur sind NF = 6 Quarksor-ten ("Flavours\) bekannt, die jeweils in NC = 3 vers hiedenen Farben auftreten, und die Zahlunters hiedli her Gluonen betr�agt NC2 � 1 = 8. Charakteristis h f�ur die QCD ist die 1973 ent-de kte bei kleinen Abst�anden (bzw. gro�en Impulsen) asymptotis h vers hwindende Kopplung("asymptotis he Freiheit\, [GW 73℄, [POL 73℄), was eine Erkl�arung experimenteller Resultate[BLO 69℄ dur h die QCD erm�ogli hte und ihr somit zum Dur hbru h verhalf. Der asymptoti-s hen Freiheit ist die M�ogli hkeit einer st�orungstheoretis hen Behandlung (siehe z.B. [MUT 87℄)vieler Probleme bei hinrei hend gro�en Energien zu verdanken. Au h erlaubt die QCD eineBes hreibung des "Con�nement\, der Tatsa he, dass Quarks niemals frei, sondern nur in farb-neutralen, gebundenen Zust�anden (Mesonen und Baryonen) beoba htet werden. Es ist jedo hni ht bewiesen, dass Con�nement aus der QCD folgt.Die Quantisierung ni htabels her Ei htheorien gelang [FP 67℄ dur h Einf�uhrung von "Geis-1siehe z.B. [EIN 56℄2Au h zur Erkl�arung der no h zu bespre henden asymptotis hen Freiheit wird eine Theorie mit ni htabels herEi hsymmetrie ben�otigt.

6 Einleitungtern\. 1971 erfolgte der Beweis der Renormierbarkeit dur h 't Hooft [HOO 71℄. Der Vollst�andig-keit halber erw�ahnen wir die Entde kung der BRS-Symmetrie [BRS 76℄ dur h Be hi, Rouet,Stora (1976), die ents heidende Einbli ke in die mathematis he Struktur der QCD (allgemeinvon Ei htheorien) erbra hte und einen Zugang zu ihrer kanonis hen Quantisierung erm�ogli hte.Gegenstand der vorliegenden Arbeit ist die Untersu hung der Feldst�arkenkorrelation, wel heden Vakuumerwartungswert zweier Feldst�arken an i.a. vers hiedenen Raumzeitpunkten darstelltund das raumzeitli he Ausbreitungsverhalten der Feldst�arke bes hreibt. Sind beide Punkte iden-tis h, so liegt der Spezialfall des Vakuumkondensats vor, der in dieser Arbeit aber ni ht behandeltwerden soll. Das Vakuumkondensat gibt Auskunft �uber die Bre hung der klassis hen Skalenin-varianz in der quantisierten Theorie. Wir bes hr�anken unsere �Uberlegungen auf die quarkfreieTheorie, die sogenannte Yang-Mills-Theorie3, und lassen als Ei hgruppe allgemein die SU(NC)zu. Da si h realistis he Feldtheorien ni ht ges hlossen l�osen lassen, ist man auf N�aherungsver-fahren angewiesen. Die einfa hste M�ogli hkeit stellt die bereits erw�ahnte St�orungstheorie dar,eine Entwi klung der relevanten Korrelationsfunktionen na h Potenzen der Kopplung. Sie liefertnur f�ur kleine Kopplungen brau hbare N�aherungen und besitzt �uberdies einen ents heidendenNa hteil. Dur h den notwendigen Renormierungsprozess wird in die QCD eine in der Wirkungni ht auftretende Gr�o�e eingef�uhrt, die sogenannte spontane Massenskala �. Sie ist ni htanaly-tis h in der Kopplung und tritt in einer St�orungsreihe ni ht auf. Die St�orungstheorie ignoriertdeshalb s�amtli he Abh�angigkeiten der Korrelationsfunktionen von der �-Skala. Zur Erfassungdieser Abh�angigkeiten ist man deshalb auf andere N�aherungsmethoden angewiesen. H�au�g er-setzt man die kontinuierli he Raumzeit dur h ein diskretes und endli hes Gitter, auf dem si hnumeris he Bere hnungen, z.B. Monte-Carlo-Simulationen, dur hf�uhren lassen (siehe [MM 94℄).Dieser Ansatz soll in der vorliegenden Arbeit aber ni ht verfolgt werden. Stattdessen wird eineher analytis hes Verfahren angewandt, das auf [STI 96℄ zur�u kgeht. Dazu werden die Kor-relationsfunktionen systematis h dur h rationale Approximanten in Form von Doppelsummengen�ahert, die sowohl eine perturbative als au h eine ni htperturbative Ri htung besitzen, wo-bei letztere die �-Abh�angigkeit erfasst. Innerhalb dieser N�aherung wird zun�a hst in niedrigsterquasiperturbativer Ordnung gere hnet. Die h�oheren Ordnungen stellen Quantenkorrekturen darund k�onnen mit Hilfe von Dyson-S hwinger-Glei hungen, exakten Beziehungen zwis hen Ver-texfunktionen, aus der niedrigsten Ordnung generiert werden.Aus dem Vorangehenden ergibt si h die Gliederung dieser Arbeit. In Kapitel 1 werden dieGrundlagen der QCD vorgestellt. Dies umfasst ihreWirkung, Korrelationsfunktionen, die Dyson-S hwinger-Glei hungen, die �-Skala sowie Grundz�uge der Renormierung. Kapitel 2 behandeltdie Grundlagen des systematis hen ni htperturbativen N�aherungsverfahrens, soweit sie von Be-deutung f�ur diese Arbeit sind. Das Verfahren sieht die N�aherung der Vertexfunktionen dur hrationale Approximanten vor, die an dieser Stelle vorgestellt werden. Den Hauptteil der Arbeitbilden die Kapitel 3 und 4, in denen die beiden in nullter perturbativer Ordnung vorhandenenAnteile der Feldst�arkenkorrelation, die in dieser Arbeit "abels her\ bzw. "halb-ni htabels her\Teil genannt werden, untersu ht werden. Dabei bes hr�anken wir uns auf die niedrigste quasi-perturbative Ordnung; die Erzeugung der h�oheren Ordnungen mittels Iteration dur h Dyson-S hwinger-Glei hungen ist ni ht Gegenstand dieser Arbeit. Der abels he Teil der Feldst�arken-korrelation wird im dritten Kapitel vollst�andig in niedrigster quasiperturbativer Ordnung be-re hnet; es fehlen ledigli h die dur h Dyson-S hwinger-Glei hungen selbstkonsistent erzeugtenKorrekturen, auf die im Rahmen dieser Arbeit ni ht gesondert eingegangen werden kann. Dieaufwendigere Behandlung des "halb-ni htabels hen\ Teils im vierten Kapitel erfordert u.a. die3benannt na h [YM 54℄

Einleitung 7Bere hnung divergenter S hleifenintegrale. F�ur diesen Teil der Feldst�arkenkorrelation geben wirauf Eins hleifenniveau eine Spektraldarstellung an.Anhang A beinhaltet grundlegende Relationen der SU(NC)-Algebra, die ben�otigtenFeynmanregeln der QCD sowie einen Abs hnitt �uber die Herleitung der Dyson-S hwinger-Glei hungen. In Anhang B sind die zur Bere hnung von S hleifenintegralen notwendigen Formelnzusammengestellt. Dies umfasst Formeln der euklidis hen Impulsintegration sowie zwei- unddreiparametrige Feynmanparameter-Integrale. Da bei der Bere hnung der Feldst�arkenkorrelati-on immer wieder modi�zierte K1-Besselfunktionen auftreten werden, ist den Besselfunktionenein eigener Anhang C gewidmet. L�angere Nebenre hnungen sind in Anhang D untergebra ht;und Anhang E s hlie�li h enth�alt in tabellaris her Form einige zu bere hnende KoeÆzienten.

8 Einleitung

9Kapitel 1Grundlagen derQuanten hromodynamik1.1 Wirkung und Korrelationsfunktionen der QCDDas einzige mir bekannte Verfahren zur Erzeugung einer Quantentheorie ist die Quantisierungeiner klassis hen Theorie dur h einen genau de�nierten Quantisierungsprozess. Da eine klas-sis he Feldtheorie dur h ihre Wirkung harakterisiert wird, liegt es nahe, unsere Diskussionder QCD mit dieser Gr�o�e zu beginnen. Die Axiome von Osterwalder und S hrader ([OS 73℄,[OS 75℄) gestatten eine Formulierung der Theorie im Euklidis hen. In vierdimensionaler eukli-dis her Ortsraumdarstellung im Kontinuum lautet die Wirkung1 der QCDS[A; � ; ; � ; ℄ = Z d4x [LV (x) + LGF (x) + LFP (x) + LF (x)℄ ; (1.1)wobei LV (x) = 14F ��a (x)F ��a (x); (1.2)LGF (x) = 12�0 (��A�a(x))2 ; (1.3)LFP (x) = (��� a(x)) (Æab�� + �g0fab A� (x)) b(x); (1.4)LF (x) = NFXf=1 � j(f)�(x) h ��� ��iÆjk�� + �g0 (Ta)jkA�a(x)�+m(f)ÆjkÆ��i k(f)�(x) (1.5)die Lagrangedi hten der Yang-Mills-Ei hfelder, der kovarianten Ei h�xierung, der Fadde'ev-Popov's hen Geistfelder und der Fermionfelder darstellen. Letztere transformieren si h in derde�nierenden Fundamentaldarstellung der zugrundeliegenden Ei hgruppe SU(NC). Die Spinor-indi es �, � werden wir zumeist weglassen. � sind die Dira -Matrizen, wel he die euklidis heVariante der Cli�ord-Algebra f �; �g = �2Æ��1 (1.6)befolgen. Die Ei hfeldst�arken, um deren Korrelation es in der vorliegenden Arbeit geht, sinddur h F ��a (x) = ��A�a(x)� ��A�a(x) + �g0fab A�b (x)A� (x) (1.7)1Wie �ubli h arbeiten wir in "nat�urli hen\ Einheiten mit �h = = 1.

10 Kapitel 1. Grundlagen der Quanten hromodynamikgegeben. �g0 stellt die in D 6= 4 Raumzeitdimensionen dimensionsbehaftete ni htrenormierteKopplung dar. fab sind die vollst�andig antisymmetris hen Strukturkonstanten der Ei hgruppeSU(NC), Ta deren Generatormatrizen in Fundamentaldarstellung (vgl. Anhang A.1). F�ur dieQCD ist NC = 3, und die Zahl der Quark avours betr�agt NF = 6. F�ur NF = 0 liegt dieYang-Mills-Theorie vor, und der Fermionsektor (1.5) entf�allt.Um von der dur h die Wirkung de�nierten klassis hen Feldtheorie zu einer Quantentheo-rie zu gelangen, muss sie einem Quantisierungsprozess unterzogen werden. Gegen den aus derQuantenme hanik bekannten Operatorformalismus, in dem die relevanten Gr�o�en Eigen- undErwartungswerte von Operatoren sind, hat si h der auf Feynman2 zur�u kgehende Pfadinte-gralformalismus dur hgesetzt. In dieser Formulierung der Feldtheorie ergeben si h die relevan-ten Gr�o�en gem�a� dem Superpositionsprinzip dur h gewi htete Funktionalintegration �uber alleFeldkon�gurationen. "Relevante Gr�o�en\ bedeutet hier �Ubergangsamplituden und Korrelati-onsfunktionen. Es stellt si h heraus, dass einige dieser Korrelationsfunktionen divergent sind.Sie m�ussen renormiert werden, um ihnen einen Sinn geben zu k�onnen. Die Festlegung einesRenormierungsverfahrens ist ebenso Bestandteil der De�nition der Quantenfeldtheorie wie dieFestlegung der Wirkung. Auf die Renormierung wird in Abs hnitt 1.4 eingegangen.Die Korrelationsfunktionen ("Green's he Funktionen\) Gn(x1; : : : ; xn) sind von grundlegen-der Bedeutung f�ur eine Feldtheorie. Es handelt si h um Vakuumerwartungswerte von n Feldope-ratoren an Raumzeitpunkten x1; : : : ; xn. Kennt man den vollst�andigen Satz von Korrelations-funktionen, so kennt man die Dynamik der Theorie. Die Green's hen Funktionen lassen si h auseinem erzeugenden Funktional Z gewinnen. Dazu ordnet man jedem Feld eine Quellfunktion Jzu und de�niert Z [fJg℄ als funktionale Potenzreihe in fJg mit KoeÆzienten Gn, so dass si h dieKorrelationsfunktion Gn dur h n-fa he funktionale Ableitung von Z na h den entspre hendenQuellen und ans hlie�endes Nullsetzen aller Quellen ergibt. Wir demonstrieren dies am Beispieleiner skalaren Feldtheorie,Z[J ℄ = 1Xn=0 1n! Z d4x1 � � � d4xn J(x1) � � � J(xn)Gn(x1; : : : ; xn) (1.8)mit3 Gn(x1; : : : ; xn) = h0j�(x1) � � ��(xn) j0i : (1.9)(1.8) ist ledigli h eine formale Entwi klung; f�ur die konkrete Bere hnung von Korrelations-funktionen muss man auf explizitere Varianten zur�u kgreifen. So lautet das erzeugende Funk-tional der QCD im PfadintegralformalismusZ [J; !; �!; �; ��℄ = R DAD� D D � D e�S[A;� ; ; � ; ℄+j[A;� ; ; � ; ;J;!;�!;�;��℄R DAD� D D � D e�S[A;� ; ; � ; ℄= N Z DAD� D D � D e�S[A;� ; ; � ; ℄+j[A;� ; ; � ; ;J;!;�!;�;��℄ (1.10)mit dem Quelltermj �A; � ; ; � ; ;J; !; �!; �; ��� = Z d4x�A�a(x)J�a (x) + � a(x)!a(x) + �!a(x) a(x)+ NFXf=1� � k(f)(x)�k(f)(x) + ��k(f)(x) k(f)(x)� �: (1.11)2[FEY 48℄, inspiriert dur h eine Arbeit [DIR 33℄ von Dira 3Der Term n = 0 in (1.8) ist glei h 1.

1.2. Dyson-S hwinger-Glei hungen 11Exemplaris h geben wir die Vors hrift zur Bere hnung des Gluonpropagators im Ortsraum an:D��ab (x; y) = h0jA�a(x)A�b (y) j0i= ÆÆJ�b (y) ÆÆJ�a (x)Z [J; !; �!; �; ��℄�����J=:::=0= N Z DAD� D D � D A�a(x)A�b (y)e�S[A;� ; ; � ; ℄ (1.12)F�ur den weiteren Ausbau der Theorie ist von Bedeutung, dass si h die "vollen\ Korrelati-onsfunktionen Gn aus zusammenh�angenden Green's hen Funktionen G( )n und diese wiederumaus Ein-Teil hen-irreduziblen (1PI) "eigentli hen\ Vertexfunktionen �n zusammensetzen lassen.Letztere sind die eigentli hen Bausteine der Quantenfeldtheorie. In der Spra he der Feynman-Diagramme bestehen sie aus zusammenh�angenden, amputierten Diagrammen, die obendreinni ht dur h Dur htrennung einer einzelnen inneren Propagatorlinie in zwei unzusammenh�angen-de Teile zerlegt werden k�onnen4. Die Feynman-Diagramme der sieben ober �a hli h divergentenVerti es (mehr dazu in Abs hnitt 1.4) der QCD sind in Anhang A.4 angegeben. Wie die vollenlassen si h au h die zusammenh�angenden und eigentli hen Green's hen Funktionen aus erzeu-genden Funktionalen gewinnen. Man �ndet sie (meist nur f�ur die minkowskis he Theorie) ing�angigen Lehrb�u hern der Quantenfeldtheorie, z.B. [BL 93℄, [PS 95℄ (siehe au h Anhang A.2).Wegen der gr�o�eren N�ahe zu experimentell zug�angli hen Gr�o�en (S-Matrixelementen, Streu-quers hnitten) ist es oft zwe km�a�ig, ni ht im Orts-, sondern im Impulsraum zu arbeiten. Die Be-re hnung der Korrelationsfunktionen im Impulsraum ges hieht �uber eine Fourier-Transformationna h dem S hema (A.15)Gn�1:::�na1:::an (x1; : : : ; xn) = Z d4k1 � � � d4kn(2�)4n ei(k1�x1+:::+kn�xn)(2�)4Æ(4)(k1 + : : :+ kn)� ~Gn�1����na1���an (k1; : : : ; kn)���k1+:::+kn=0 : (1.13)Die Delta-Distribution konnte abgespalten werden, weil Translationsinvarianz im Ortsraum Im-pulserhaltung im Impulsraum bewirkt. Auf �ahnli he Weise lassen si h verbundene (G( )n) und1PI-Funktionen (�n) in den Impulsraum transformieren.An der symmetrisierten Wirkung im Impulsraum (A.34) lassen si h die Feynman-Regelnder Theorie ablesen. In einer st�orungstheoretis hen Entwi klung na h Potenzen von �g0 (bzw.der renormierten Kopplung g) setzen si h die Korrelationsfunktionen aus wenigen Elementen,den "na kten\ Propagatoren und Verti es5 �(0)pertn sowie evtl. S hleifenintegrationen zusammen.Ihnen sind graphis he Symbole zugeordnet, mit deren Hilfe si h Beitr�age zu Korrelationsfunktio-nen als Feynman-Diagramme visualisieren lassen. Die na kten Propagatoren und Verti es sindin analytis her und graphis her Form in Anhang A.6 zusammengestellt.1.2 Dyson-S hwinger-Glei hungenEin wi htiges Hilfsmittel in der ni htst�orungstheoretis hen Quantenfeldtheorie stellen die Dyson-S hwinger-Glei hungen6 dar. Sie beinhalten die dur h die Wirkung (1.1) festgelegte Dynamikund stellen damit das quantentheoretis he Gegenst�u k zu den klassis hen Feldglei hungen dar.4Beide unverbundenenTeile m�ussen mit einem externen Bein verbunden sein, um 1P-Reduzibilit�at zu bewirken.Hinzuf�ugen eines "Tadpoles\ ma ht ein 1PI-Diagramm ni ht reduzibel.5Wenn keine Verwe hslungen zu bef�ur hten sind, wird der Zusatz "pert\ meist fortgelassen.6siehe [DYS 49℄, [SCHW 51℄

12 Kapitel 1. Grundlagen der Quanten hromodynamikTrotz ihrer fundamentalen Bedeutung als exakte Beziehungen zwis hen Vertexfunktionen �ndendie Dyson-S hwinger-Glei hungen in den meisten Lehrb�u hern keine Erw�ahnung (Ausnahmensind [PS 95℄ und [RIV 87℄). Es handelt si h um einen unendli hen Satz hierar his her, gekoppelterIntegralglei hungen f�ur die Vertexfunktionen. Allgemein haben sie die Form�N = �(0)pertN + � �g04��2 �N [�2;�3; : : : ;�N+2℄ : (1.14)In dieser vereinfa hten Notation sind s�amtli he Impulsabh�angigkeiten sowie Lorentz-, Farb- undSpinorindi es unterdr�u kt. Die Funktionale �N sind S hleifenintegrale �uber die �2;:::;N+2 undwerden jeweils von mindestens einem �g20 begleitet. Man bea hte, dass trotz des Auftretens desna kten st�orungstheoretis hen Vertex �(0)pertN die Dyson-S hwinger-Glei hungen unabh�angig vonder St�orungstheorie gelten.Die Grundz�uge der Herleitung der Dyson-S hwinger-Glei hungen sind in Anhang A.7 unter-gebra ht. An dieser Stelle geben wir ledigli h die Dyson-S hwinger-Glei hung f�ur die Gluonen-selbstenergie, die f�ur die Bere hnung von Korrekturen zur Feldst�arkenkorrelation wi htig ist, inder S hreibweise der Feynman-Diagramme an:�����1 = �����1+12 �g20�j �3V j

+12 �g20�j j+16 �g40�j T4 j

��g20�j �V �GG j

��g20 NFXf=1�(f)(f)j �V �FF (f) j ; (1.15)In dieser s hematis hen Darstellung sind s�amtli he Indi es und Impulse unterdr�u kt. Der Vertex

1.3. Die spontane Massenskala � 13T4 stellt die amputierte, verbundene Vier-Gluonen-Funktion (A.32) dar, f�ur die eine endli heEntwi klung na h den Basisverti es der QCD existiert.Eine ausf�uhrli he Zusammenstellung der Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCD �ndet si hin [DRI 97℄. Im Rahmen der systematis h erweiterten Theorie (Kapitel 2) dienen die Dyson-S hwinger-Glei hungen dazu, zun�a hst die Approximanten nullter quasiperturbativer Ordnung(p = 0) selbstkonsistent zu etablieren und sodann aus ihnen die Quantenkorrekturen (p > 0) zubere hnen. Hierauf kommen wir kurz in Kapitel 3 zur�u k.1.3 Die spontane Massenskala �Au h in einer Theorie mit vers hwindenden Fermionmassen und dimensionsloser Kopplung, inder es auf der Ebene der Wirkung keine Massenskala gibt, werden denno h massenbehafteteObservable beoba htet. Es muss deshalb eine von der Theorie "spontan\ dur h Quantene�ek-te erzeugte Massenskala � geben7, die von der Renormierungsmasse � und der renormiertenKopplung g(�) (siehe Abs hnitt 1.4) in einer Weise abh�angt, dass sie eine "Renormierungsgrup-pen\-(RG-)Invariante ist, also die RG-Glei hung0 = � dd��(�; g(�)) = �� ��� + �(g(�)) ��g��(�; g(�)) (1.16)erf�ullt, mit der Betafunktion �(g(�)) = �dg(�)d� ; (1.17)wel he die Abh�angigkeit der renormierten Kopplung g(�) von der willk�urli hen Renormierungs-masse � bes hreibt und s�amtli he Information �uber die no h einzuf�uhrende Kopplungsrenormie-rungskonstante Z� (1.22) enth�alt. Aufintegration f�uhrt unter Bea htung der Massendimensionvon � auf �(�; g(�)) = � exp0B�� g(�)Zg1 dg0�(g0)1CA : (1.18)Der dimensionslose Parameter g(�) wird dur h einen dimensionsbehafteten Parameter � ersetzt,was als dimensionale Transmutation bezei hnet wird. � ist RG-invariant, h�angt aber �uber dieIntegrationskonstante g1 und die h�oheren KoeÆzienten �n>1 der Betafunktion vom Renormie-rungss hema ab. Einsetzen der Entwi klung�(g; " = 0) = �g "�0 � g4��2 + �1 � g4��4 +O �g6�# (1.19)f�uhrt in erster Ordnung St�orungstheorie auf�2 = �2 exp "� (4�)2�0g2(�) �1 +O(g2)�# ; (1.20)wobei der s hemaunabh�angige erste KoeÆzient der Betafunktion dur h�0 = 113 NC � 23NF (1.21)7Das Auftreten einer spontanen Massenskala wurde erstmals in [GN 74℄ beoba htet.

14 Kapitel 1. Grundlagen der Quanten hromodynamikgegeben ist. Ist �0 > 0, so nennt man die Theorie asymptotis h frei. Eine asymptotis h freieTheorie ist dur h eine f�ur gro�e Impulse vers hwindende Kopplung g(�) gekennzei hnet. DieQCD (NC = 3) ist asymptotis h frei, solange die Anzahl NF der Fermionen-Flavours kleinerals 17 ist. Mit den bekannten NF = 6 Quark-Flavours ist �0 = 7, die QCD somit asymptotis hfrei. Der Form (1.20) sieht man die f�ur �0 > 0 ni htanalytis he Abh�angigkeit der spontanenMassenskala � von der Kopplung g(�) an. In einer st�orungstheoretis hen Entwi klung der Kor-relationsfunktionen na h der Kopplung g(�) werden Abh�angigkeiten von � in keiner Ordnungerfasst.1.4 RenormierungBei der Bere hnung von Korrelationsfunktionen st�o�t man auf das Problem, dass einige der auf-tretenden Integrale divergieren. Na h der Zahl der divergenten Diagramme unters heidet mansuperrenormierbare Theorien, in denen nur eine endli he Zahl von Diagrammen divergiert, striktrenormierbare Theorien, in denen nur endli h viele Vertexfunktionen divergieren, allerdings injeder Ordnung der St�orungstheorie, und ni ht renormierbare Theorien, in denen alle Vertex-funktionen in ausrei hend hoher Ordnung St�orungstheorie divergieren. Diese Klassi�zierung isteng verbunden mit der Massendimension der Kopplung �g0: Bei superrenormierbaren Theorienist [�g0℄ > 0, bei strikt renormierbaren Theorien [�g0℄ = 0 und bei ni ht renormierbaren Theorien[�g0℄ < 0. Die QCD ist eine strikt renormierbare Theorie, d.h. ihre Kopplung �g0 ist in D = 4Raumzeitdimensionen dimensionslos. Wie bereits in Abs hnitt 1.1 erw�ahnt, gibt es sieben ober- �a hli h divergente Verti es, n�amli h �2V , � �GG, � �FF , �3V , �V �GG, �V �FF (f) und �4V , siehe dazuau h Anhang A.4.Um den divergenten Korrelationsfunktionen einen Sinn geben zu k�onnen, ist es notwendig,sie auf eine konsistente Weise endli h zu ma hen. Dazu werden die divergenten Integrale zuerst"regularisiert\, d.h. so modi�ziert, dass sie konvergieren. Bei an der oberen Grenze divergenten("UV-divergenten\) Integralen kann dies z.B. dur h Ersetzung der oberen Grenze dur h einenendli hen "Cut-o�\ ges hehen. Diese Methode hat jedo h den Na hteil, dass die Einf�uhrungdes Regulators die Lorentzinvarianz der Theorie bri ht. Eine andere Methode, die Pauli-Villars-Regularisierung, bewahrt zwar die Lorentz-, bri ht aber die ni htabels he Ei hinvarianz.Ein konsistentes und elegantes Verfahren ist die in [HV 72℄ vorges hlagene dimensionaleRegularisierung, in der die Raumzeit von 4 auf D = 4 � 2" Dimensionen erweitert wird. DieDivergenzen ste ken nun in Termen mit Polstellen bei " = 0. Diese werden im folgenden Re-normierungsprozess entfernt, wobei die genaue Vorgehensweise dur h ein Renormierungss hemafestgelegt ist. Ans hlie�end kann der Limes " ! 0 dur hgef�uhrt werden, und die bere hnetenKorrelationsfunktionen sind konvergent.Im Rahmen des Renormierungsprozesses werden die in der Wirkung auftretenden "na k-ten\ dur h renormierte Gr�o�en ersetzt; so f�uhrt man eine renormierte Kopplung g(�) �uber dieBeziehung �g20(") = Z 0�(�g2; ")�g2 = Z�(g2(�); ")g2(�)�2" (1.22)ein. Da �g0 und �g in dimensionaler Regularisierung Massendimension " besitzen, wurde einewillk�urli he Masse ("Renormierungmasse\) � abgespalten, um eine dimensionslose Kopplungg(�) = ��"�g zu gew�ahrleisten, die nun von � abh�angt ("laufende Kopplung\). Die Kopplungs-renormierungskonstante Z� ist in strikt renormierbaren Theorien wie der QCD UV-divergentf�ur "! 0 in jeder Ordnung St�orungstheorie, was von fundamentaler Bedeutung f�ur die Theorieist. Umso erstaunli her ist die Tatsa he, dass die "vollst�andige\ Renormierungskonstante Z� f�ur"! 0 vers hwindet. Neben der Kopplungsrenormierung werden die Gluon-, Geist- und Fermion-

1.4. Renormierung 15felder sowie die Ei h�xierung und die Fermionmassen renormiert, was f�ur diese Arbeit aber vonuntergeordneter Bedeutung ist.Die genaue Renormierungsprozedur ist ni ht eindeutig festgelegt; es k�onnen vers hiedeneRenormierungss hemata verwendet werden. Wir erw�ahnen zwei von ihnen.1. MS-S hemaBei einer Laurent-Entwi klung der divergenten Ausdr�u ke na h dem Regulator " tretenTerme der Form 1" � E + ln (4�) (1.23)auf, wobei die Divergenzen im 1" ste ken. W�ahrend das urspr�ungli he "minimal subtra -tion\-S hema ledigli h Kompensation von 1" vorsieht, wird im MS-S hema der gesamteAusdru k (1.23) dur h Gegenterme in der Lagrangedi hte kompensiert. Dieses Verfahrengarantiert in einer ni htperturbativen N�aherung die Bewahrung des perturbativen Limes.2. Das zweite zu bespre hende Verfahren verzi htet auf Entwi klung na h " und sieht statt-dessen die Verwendung der exakten Identit�at8� �g04��2 ��2��" 1" ! 1�0 [1 +O (" ln "; ")℄ (1.24)vor, bei wel her die re hte Seite f�ur " ! 0 endli h ist. Wegen des Auftretens der �-Skala(1.18) kann diese Kombination in der reinen St�orungstheorie ni ht vorkommen, sondernnur im Rahmen einer ni htperturbativen Methode. Bemerkenswert ist das Vers hwindeneines Faktors �g20 dur h die Renormierung, d.h. Terme der Ordnung �g20 ergeben Korrekturenzur Ordnung �g00 . Dieses Verfahren erh�alt i.a. ni ht den perturbativen Limes und f�uhrt zueiner anderen, umgeordneten Form der quasiperturbativen Reihe. Es wird im Rahmen dervorliegenden Arbeit keine Anwendung �nden.

8siehe [STI 02℄

16 Kapitel 1. Grundlagen der Quanten hromodynamik

17Kapitel 2Die systematis he Erweiterung derSt�orungstheorie2.1 SystematikZur Erfassung der ni htst�orungstheoretis hen Aspekte der Vertexfunktionen wurde von M. Stinglin [STI 96℄ ein systematis hes ni htst�orungstheoretis hes N�aherungsverfahren entworfen. Diesesgeht davon aus, dass die Vertexfunktionen eine asymptotis he Entwi klung in Form einer Dop-pelreihe � � 1Xn;p=0�(n;p) ��2�n �g2�p : (2.1)besitzen. Obwohl � gem�a� (1.18) Funktion von g2 ist, werden beide hier als unabh�angige Pa-rameter aufgefasst. � hei�t in diesem Zusammenhang resurgente Funktion und die Entwi klung(2.1) resurgentes Symbol1. Die Doppelreihe besitzt eine "perturbative\ (p) und eine "ni htpertur-bative\ (n) Ri htung, letztere erfasst die ni htanalytis hen �-Abh�angigkeiten. Zur Bestimmungder KoeÆzienten �(n;p) l�asst man si h von folgenden �Uberlegungen leiten:Die st�orungstheoretis he N�aherung �pertN von �N hat bekanntli h die Form�pertN = limp!1�[p℄pertN mit �[p℄pertN = �(0)pertN + pXp0=1 g2(4�)2!p0 �(p0)pertN (2.2)einer Potenzreihe in g2. Eine derartige Entwi klung soll au h in der erweiterten Theorie m�ogli hsein, was eine kleine Kopplung g(�) f�ur alle � voraussetzt. Dies s heint aber der Fall zu sein, wieExperimente [JSL 87℄ und Gitterre hnungen [LSW 94℄ best�atigen. Anstelle der perturbativentreten ni htperturbativ modi�zierte Verti es auf,�N �fkg; g2(�); �� = limr!1p!1 �[r;p℄N �fkg; g2(�); �� (2.3)mit �[r;p℄N = �[r;0℄N (fkg;�) + pXp0=1�g(�)4� �2p0 �[r;p0)N (fkg;�; �) ; (2.4)wobei im Verglei h zum perturbativen Fall eine Abh�angigkeit der Approximanten von der spon-tanen Massenskala � zus�atzli h zur analytis hen g2-Abh�angigkeit hinzugekommen ist.1zu den mathematis hen Grundlagen siehe [STI 02℄ und Referenzen darin

18 Kapitel 2. Die systematis he Erweiterung der St�orungstheorieAn die Approximanten �[r;p)N werden zwei Randbedingungen gestellt, die si h als wi htig f�urdie Bestimmung der Struktur dieser Approximanten erweisen:� Aufre hterhaltung des perturbativen Limes,lim�!0�[r;p) = �(p)pert f�ur alle p (2.5)Diese Forderung wird dur h die Tatsa he begr�undet, dass � f�ur g2 ! 0 s hneller als jedePotenz von g2 vers hwindet.� Bewahrung der perturbativen Renormierbarkeit :Die ni htperturbativ modi�zierten Vertexfunktionen sollen keinen h�oheren Divergenzgradbesitzen als die entspre henden st�orungstheoretis hen. Dies umfasst die Forderung na h"naiver\ asymptotis her Freiheit, d.h. die Vertexfunktionen nullter Ordnung sollen beiglei hf�ormigem Ho hskalieren aller Impulse in ihre perturbativen Gegenst�u ke �ubergehen,lim�!1�[r;0)N (f�kg) = �(p)pertN (f�kg): (2.6)Diese beiden Randbedingungen s hr�anken die M�ogli hkeiten bei der Auswahl der Approximantenstark ein. Die Forderung der M�ogli hkeit des perturbativen "power- ounting\ legt zusammen mitder Bedingung einer bzgl. der Impulse globalen Approximation eine rationale Abh�angigkeit derApproximanten von �2 nahe.Im folgenden werden die Approximanten f�ur die in dieser Arbeit ben�otigten Vertexfunktio-nen, den 2- und den 3-Gluonen-Vertex angef�uhrt.2.2 Ni htperturbativ erweiterte Ans�atze f�ur Vertexfunktionen2.2.1 Zwei-Gluonen-VertexDa wir in Landau-Ei hung (�0 ! 0) arbeiten werden, k�onnen wir uns auf den transversal proji-zierten 2-Gluonen-Vertex bes hr�anken. Den vorangehenden allgemeinen �Uberlegungen entspre- hend, hat unser Ansatz die Struktur�2V T (k2) = 1Xn;p=0�(n;p)2V T �2k2 !n (g2)p: (2.7)Die �-abh�angige n-Summe kann ni ht einfa h bei endli hem n abgebro hen und in die Dyson-S hwinger-Glei hungen eingesetzt werden, da deren S hleifenintegrale si h �uber den gesamtenImpulsraum bis hinunter zu k = 0 erstre ken und beim Einsetzen einer Entwi klung um k =1wie (2.7) beliebig starke Infrarotdivergenzen erzeugen w�urden. Die n-Summe wird daher innullter Ordnung St�orungstheorie mit rationalen Approximanten vom Nennergrad r vorsummiert,D[r;0)T (k2) = � h�[r;0)2V T (k2)i�1 = �[r℄2V T (k2)N [r℄2V T (k2) (2.8)mit �[r℄2V T (k2) = rXn=0 �[r℄n (k2)r�n(�2)n = rYl=1�k2 + u[r℄2l �2� ; (2.9)N [r℄2V T (k2) = r+1Xm=0 � [r℄m (k2)r+1�m(�2)m = r+1Yl=1 �k2 + �[r℄l �2� ; (2.10)

2.2. Ni htperturbativ erweiterte Ans�atze f�ur Vertexfunktionen 19Die KoeÆzienten �[r℄n und � [r℄m sind reell. Weiter sind �0 = �0 = 1 vorgegeben, um den perturba-tiven Limes ��[r;0)2V T (k2) k2!1�! = ��(0)2V T (k2) = k2 (2.11)zu gew�ahrleisten. Die Approximantenfolge (2.8) besteht aus zwei Teilfolgen mit geradem bzw.ungeradem r.Ist r gerade, so besitzt der Nenner N [r;0)2V mindestens eine reelle Nullstelle, D[r;0)T somit einenPol bei reellem k2. Be�ndet dieser si h auf der negativ-reellen A hse, bedeutet dies die Existenzeines stabilen Gluons mit Masse m, die im einfa hsten Fall r = 0 wegen��[0;0)2V T (k2) = k2 + � [0℄1 �2 (2.12)m2 = � [0℄1 �2 betr�agt. Die weiteren r Pole und Nullstellen werden si h ebenfalls auf der negativenreellen A hse be�nden, jedo h bei kleineren Werten von k2 als der erste Pol, und bei wa hsendemr einen Verzweigungss hnitt approximieren.Bei der Teilfolge mit ungeradem r ist die Zahl der Polstellen gerade. Man nimmt an, dasssie paarweise komplex konjugiert zueinander sind,��[r℄l+1�� = �[r℄l f�ur l ungerade, (2.13)und bei k2 mit negativem Realteil liegen. Die Pole approximieren au h hier S hnitte und re-pr�asentieren kurzlebige Quasiteil hen mit einer Lebensdauer in der Gr�o�enordnung 1=�. Das istin �Ubereinstimmung mit der Tatsa he, dass keine freien Gluonen beoba htet werden (Con�ne-ment).Da D[r;0)T (k2) als Propagator nur einfa he Nullstellen in k2 besitzt, l�asst si h eine Partial-bru hzerlegung der Form D[r;0)T (k2) = r+1Xm=1 %[r℄mk2 + �[r℄m �2 (2.14)mit %[r℄m = rQl=1�u[r℄2l � �[r℄m �r+1Qj=1j 6=m ��[r℄j � �[r℄m � (2.15)vornehmen.2.2.2 Drei-Gluonen-VertexDer 3-Gluonen-Vertex besitzt bez�ugli h seiner Farbindi es die Struktur (A.33),�3V ���ab (k; p; q) = fab �(f)3V ���(k; p; q) + dab �(d)3V ���(k; p; q): (2.16)Der vollst�andig transversal projizierte Anteil der farbantisymmetris hen Komponente l�asst si hgem�a� [BC 80℄ als�(f)3V T ���(k; p; q) = t�0�(k)t�0�(p)t�0�(q)�(f)3V ���(k; p; q) (2.17)= t�0�(k)t�0�(p)t�0�(q)��Æ��(k � p)�F0(k2; p2; q2) + Æ��(p� q)�F0(p2; q2; k2)+Æ��(q � k)�F0(q2; k2; p2) + (k � p)�(p� q)�(q � k)�F1(p2; q2; k2)�

20 Kapitel 2. Die systematis he Erweiterung der St�orungstheories hreiben, wobei die invarianten Funktionen F0 symmetris h in den ersten beiden Argumentenund F1 total symmetris h in allen drei Argumenten sind. Bei Ber�u ksi htigung der Lorentzstruk-tur wird der Vertex �(f)3V T (ab jetzt unter Weglassung des Index "(f)\) in nullter quasiperturba-tiver Ordnung dur h rationale Approximanten gen�ahert,t�0�(k)t�0�(p)t�0�(q)�[r;0)�0�0�03V T (k; p; q) = t�0�(k)t�0�(p)t�0�(q)N [r℄�0�0�03V T (k; p; q)�[r℄3V T (k2)�[r℄3V T (p2)�[r℄3V T (q2) ; (2.18)mit N [r℄���3V T (k; p; q) = Æ��(k � p)�F [r℄0 (k2; p2; q2) + Æ��(p� q)�F [r℄0 (p2; q2; k2)+Æ��(q � k)�F [r℄0 (q2; k2; p2): (2.19)Die faktorisierende Nennerstruktur der re hten Seite von (2.18) kann im �ubrigen dur h Postu-lierung einer Cau hy-Integral-Darstellung begr�undet werden, siehe [STI 02℄, Seite 98. Die Ap-proximanten F [r℄0 (k2; p2; q2) = rXl;m;n=0C [r℄lmn(k2)l(p2)m(q2)n(�2)3r�(l+m+n) (2.20)besitzen dieselben Symmetrieeigens haften wie die invarianten Funktionen F0, folgli h sind dieKoeÆzienten C [r℄lmn symmetris h in den ersten beiden Indi es. Es zeigt si h, dass infolge derForderung na h Erhaltung der perturbativen Renormierbarkeit der in (2.17) auftretende F1-Term zu den Funktionen nullter quasiperturbativer Ordnung no h ni ht beitr�agt.Der am Ende von Abs hnitt 1.2 erw�ahnte Selbstkonsistenzme hanismus bewirkt2�[r℄2V T (k2) = �[r℄3V T (k2): (2.21)

2siehe [STI 96℄

21Kapitel 3Der abels he Teil derFeldst�arkenkorrelationDie Feldst�arkenkorrelation ist de�niert als der Vakuumerwartungswert zweier Feldst�arkenF ��a (x) und F ��b (y) aus (1.7),h0jF ��a (x)F ��b (y) j0i = h0j ���xA�a(x)� ��xA�a(x) + �g0fa dA� (x)A�d(x)�����yA�b (y)� ��yA�b (y) + �g0fb dA� (y)A�d(y)� j0i= 3Xn=1FSK����n;ab (x; y) (3.1)mit FSK����1;ab (x; y) = h0j (��xA�a(x)� ��xA�a(x))(��yA�b (y)� ��yA�b (y)) j0i ; (3.2)FSK����2;ab (x; y) = �g0fb d h0j (��xA�a(x)� ��xA�a(x))A� (y)A�d(y) j0i+�g0fa d h0jA� (x)A�d(x)(��yA�b (y)� ��yA�b (y)) j0i ; (3.3)FSK����3;ab (x; y) = �g20fa dfbhj h0jA� (x)A�d(x)A�h(y)A�j (y) j0i : (3.4)Der erste Summand tritt au h in abels hen Ei htheorien auf und wird deshalb im folgendenabels her Teil der Feldst�arkenkorrelation genannt. Der zweite Summand besteht aus den Pro-dukten aus je einem abels hen und einem ni htabels hen Teil einer Feldst�arke und hei�t indieser Arbeit "halb-ni htabels her\ Term. Der letzte Summand s hlie�li h wird als "ni htabel-s her\ Teil der Feldst�arkenkorrelation bezei hnet. In Eins hleifenordnung sind nur die erstenbeiden Teile relevant, der "ni htabels he\ Teil (n = 3) ist proportional zu �g20 und erzeugt bereitsZweis hleifenbeitr�age.Der abels he Teil erh�alt genau genommen selbst no h quasiperturbative Eins hleifenkor-rekturen, die aus den drei Eins hleifentermen der Dyson-S hwinger-Glei hung (1.15) f�ur dieZweipunktfunktion,�����1 = ����1

+12 �g20j �3V j

22 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation+12 �g20�j j��g20�j �V �GG j+O ��g40� (3.5)herr�uhren; sie werden in dieser Arbeit ni ht bere hnet.3.1 Abels her Teil der Feldst�arkenkorrelation im Euklidis henZu bere hnen ist der Vakuumerwartungswert des abels hen Teils zweier Feldst�arken an vers hie-denen Raumzeitpunkten x und y, alsoFSK����1;ab (x; y) = h0j (��xA�a(x)� ��xA�a(x))(��yA�b (y)� ��yA�b (y)) j0i= ��x��y h0jA�a(x)A�b (y) j0i � ��x��y h0jA�a(x)A�b (y) j0i���x��y h0jA�a(x)A�b (y) j0i+ ��x��y h0jA�a(x)A�b (y) j0i : (3.6)Da keine divergenten S hleifenintegrale zu bere hnen sein werden, kann in D = 4 Raumzeit-dimensionen gearbeitet werden. Zur Ausf�uhrung der Ableitungen emp�ehlt si h eine Transfor-mation in den Impulsraum gem�a� (A.15) und (A.16),h0jA�a(x)A�b (y) j0i = Z d4k d4k0(2�)8 ei(k�x+k0�y)(2�)4Æ(4)(k + k0) ~G2V ��ab (k; k0)= Æab Z d4k(2�)4 eik�(x�y)D��(�k); (3.7)mit D�� aus (A.25). Es folgtFSK����1;ab (x; y) = Æab Z d4k(2�)4 eik�(x�y)hÆ�%Æ��(ik�)(�ik�)� Æ�%Æ��(ik�)(�ik�)�Æ�%Æ��(ik�)(�ik�) + Æ�%Æ��(ik�)(�ik�)iD%�(�k)= Æab Z d4k(2�)4 eik�(x�y)�Æ�%Æ��k�k� � Æ�%Æ��k�k��Æ�%Æ��k�k� + Æ�%Æ��k�k���t%�(�k)DT (k2) + l%�DL(k2)� (3.8)mit der Zerlegung (A.28) des Gluonpropagators in Transversal- und Longitudinalteil. Man er-kennt, dass FSK����1;ab (x; y) in Wirkli hkeit nur von der Koordinatendi�erenz x�y abh�angt, waszu erwarten war. Wir k�onnen deshalb die vereinfa hte S hreibweiseFSK����1;ab (x� y) := FSK����1;ab (x; y) (3.9)

3.1. Abels her Teil der Feldst�arkenkorrelation im Euklidis hen 23benutzen.Beim Einsetzen der Projektoren t%� und l%� f�allt der Longitudinalpropagator DL interessan-terweise heraus,FSK����1;ab (x� y) = Æab Z d4k(2�)4 eik�(x�y)� hÆ��k�k� � Æ��k�k� � Æ��k�k� + Æ��k�k�iDT (k2); (3.10)au h au�erhalb der Landau-Ei hung (�0 ! 0). Na h dieser Feststellung emp�ehlt es si h, dieImpulse k� wieder wie urspr�ungli h ges hehen als Ableitungen na h x darzustellen, um dask-Integral ausf�uhren zu k�onnen. Auf Grund der Translationsinvarianz des Vakuums h�angt dieFeldst�arkenkorrelation nur von der Koordinatendi�erenz x � y ab, weshalb wir im folgendeno.B.d.A. y = 0 setzen k�onnen.Ein Ansatz mit rationalen Approximanten f�ur den Transversalpropagator in nullter OrdnungSt�orungstheorie f�uhrt, wie in (2.14) dargestellt, aufDT (k2)! D[r;0)T (k2) = r+1Xm=1 %[r℄mk2 + �[r℄m�2 ; (3.11)mit den Residuen %[r℄m aus (2.15). Man erh�altFSK����1;ab (x) = Æab �Æ������ + Æ������ � Æ������ � Æ�������� r+1Xm=1 %[r℄m Z d4k(2�)4 eik�xk2 + �[r℄m�2 : (3.12)Dieses Integral ist ni hts anderes als der Propagator eines freien skalaren Feldes mit i.a. komple-xem Massenquadrat �[r℄m �2 in euklidis her Ortsraumdarstellung, der gem�a� Anhang D.1, (D.11)zu Z d4k(2�)4 eik�xk2 + �[r℄m�2 = q�[r℄m �4�2jxj K1�q�[r℄m�jxj� (3.13)bere hnet wird und auf folgendes Zwis henergebnis f�ur den abels hen Teil der Feldst�arkenkor-relation f�uhrt: FSK����1;ab (x) = Æab �Æ������ + Æ������ � Æ������ � Æ�������� r+1Xm=1 %[r℄m q�[r℄m�4�2jxj K1�q�[r℄m �jxj�: (3.14)Zur Ausf�uhrung der partiellen Ableitungen werden einige Re henregeln f�ur die modi�ziertenBesselfunktionen K� ben�otigt, die in Anhang C.1 zusammengestellt sind. Die erste partielleAbleitung wird mit Hilfe von (C.15) ausgef�uhrt,�� 1jxj K1�q�[r℄m�jxj� = � x�jxj3 K1�q�[r℄m�jxj�+q�[r℄m�x�jxj2 24�K0�q�[r℄m�jxj�� 1q�[r℄m �jxj K1�q�[r℄m �jxj�35= �q�[r℄m�x�jxj2 K0�q�[r℄m�jxj�� 2x�jxj3 K1�q�[r℄m�jxj�; (3.15)

24 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelationdie verbleibende mittels (C.15) und (C.16),���� 1jxj K1�q�[r℄m �jxj� = �q�[r℄m � Æ��jxj2 � 2x�x�jxj4 !K0�q�[r℄m�jxj�+ �[r℄m �2x�x�jxj3 � 2 Æ��jxj3 + 6x�x�jxj5 !K1�q�[r℄m �jxj�+2q�[r℄m�x�x�jxj4 24K0�q�[r℄m �jxj�+ 1q�[r℄m�jxj K1�q�[r℄m�jxj�35= q�[r℄m�jxj2 4x�x�jxj2 � Æ��!K0�q�[r℄m�jxj�+ 1jxj3 ���[r℄m �2 + 8jxj2�x�x� � 2Æ���K1�q�[r℄m �jxj�; (3.16)vgl. au h Anhang C.3.Die Bere hnung der restli hen Summanden in (3.14) verl�auft v�ollig analog. Na h Zusammen-fassung der Terme mit Æ��Æ�� sowie mit Æ��Æ�� erh�alt man als Endergebnis f�ur den abels henTeil der Feldst�arkenkorrelation im Euklidis hen in nullter quasiperturbativer OrdnungFSK����1;ab (x) = Æab r+1Xm=1 %[r℄m q�[r℄m�4�2jxj2(2q�[r℄m �h(Æ��Æ�� � Æ��Æ��)+ 2jxj2 (Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)iK0�q�[r℄m�jxj�+ 1jxj"��[r℄m�2 + 8jxj2� (Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)+4(Æ��Æ�� � Æ��Æ��)#K1�q�[r℄m�jxj�): (3.17)3.2 Fortsetzung ins Minkowskis heBisher haben wir mit einer euklidis hen Theorie gearbeitet, in der die Metrik dur h Æ�� gege-ben ist und kein Unters hied zwis hen r�aumli hen und zeitli hen Koordinaten existiert. UnserUniversum besitzt aber eine (n�aherungsweise) minkowskis he Metrik mit einer ausgezei hnetenZeita hse. Die Ergebnisse des vorangehenden Abs hnitts sollen deshalb jetzt in die minkowski-s he Welt �ubertragen werden.In diesem Abs hnitt bezei hnet x� einen kontravarianten Vektor, �� die partielle Ablei-tung na h dem kovarianten x� = g��x� , x � x = g��x�x� das minkowkis he Skalarprodukt. DieMinkowski-Metrik ist dur h g�� = diag(1;�1;�1;�1) gegeben.Im Minkowskis hen ist der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation als Vakuumerwartungs-wert des zeitgeordneten Produkts der Feldoperatoren aus (3.2) de�niert; wir bezei hnen ihnmit FSK����M1;ab(x; y) = h0jT h(��xA�a(x)� ��xA�a(x))(��yA�b (y)� ��yA�b (y))i j0i : (3.18)Wieder nutzen wir die Translationsinvarianz aus und substituieren x � y ! x. Den �Ubergangins Minkowskis he vollziehen wir an (3.12), indem wir die Metrik�Æ�� ! g�� (3.19)

3.2. Fortsetzung ins Minkowskis he 25ersetzen und au�erdem die in Anhang D.1.2 hergeleitete minkowskis he Version (D.20)i Z d4k(2�)4 e�ik�xk2 �m2 + i" = 14�iÆ(x2) + �(x2) im8�px2H(2)1 (mpx2)+�(�x2) m4�2p�x2K1(mp�x2) (3.20)des skalaren Propagators einsetzen. Die Rolle des Massenquadrats m2 �ubernimmt dabei diePolstelle �[r℄m �2, die wir hier als reell annehmen (r gerade, Teil hen-Untersequenz, vgl. Seite 19).FSK����M1;ab(x) = Æab �g������ + g������ � g������ � g�������� r+1Xm=1 %[r℄m i Z d4k(2�)4 e�ik�xk2 � �[r℄m�2 + i"= Æab �g������ + g������ � g������ � g�������� r+1Xm=1 %[r℄m " 14�iÆ(x2) + �(x2) iq�[r℄m�8�px2 H(2)1 �q�[r℄m�px2�+�(�x2) q�[r℄m�4�2p�x2 K1�q�[r℄m�p�x2�# (3.21)Anwendung der Ableitungsregeln (C.13) bis (C.16) f�uhrt auf����" 14�i Æ(x2) + �(x2) iq�[r℄m�8�px2 H(2)1 �q�[r℄m �px2�+�(�x2) q�[r℄m�4�2p�x2 K1�q�[r℄m�p�x2�#= 14�i ����Æ(x2) + q�[r℄m�4��"2iq�[r℄m�x�x�x2 H(2)0 �q�[r℄m�px2� ipx2 H(2)1 �q�[r℄m�px2��x��� + g�� � 4x�x�x2 ��2q�[r℄m �x�x��(�x2) K0�q�[r℄m�p�x2�� 2x��p�x2 K1�q�[r℄m�p�x2���� + x��x2�#Æ(x2)+ iq�[r℄m�8�x2 �(x2)"q�[r℄m��g�� � 4x�x�x2 �H(2)0 �q�[r℄m�px2�+ 1px2 �8x�x�x2 � �[r℄m�2x�x� � 2g���H(2)1 �q�[r℄m�px2�#+ q�[r℄m�4�2(�x)2 �(�x2)"q�[r℄m��g�� + 4x�x��x2 �K0�q�[r℄m�p�x2�+ 1p�x2 �8x�x��x2 + �[r℄m�2x�x� + 2g���K1�q�[r℄m �p�x2�#: (3.22)

26 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelationDen abels hen Teil der Feldst�arkenkorrelation im Minkowskis hen erh�alt man s hlie�li hdur h Einsetzen der soeben bere hneten Ableitungen in (3.21),FSK����M1;ab(x)= Æab r+1Xm=1 %[r℄m q�[r℄m�4� (" 1q�[r℄m�i(g������ + g������ � g������ � g������)+2iq�[r℄m �x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)H(2)0 �q�[r℄m�px2�+ ipx2H(2)1 �q�[r℄m�px2�h(g��x��� + g��x��� � g��x��� � g��x���)+2(g��g�� � g��g��)� 4x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)i+2q�[r℄m��x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)K0�q�[r℄m �p�x2�+ 2�p�x2K1�q�[r℄m�p�x2��g��x��x�x2 � ���+ g��x��x�x2 � ����g��x��x�x2 � ���� g��x��x�x2 � ����#Æ(x2)+ i2x2�(x2)"2q�[r℄m�h� 2x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)+g��g�� � g��g��iH(2)0 �q�[r℄m�px2�+ 1px2 �� 8x2 � �[r℄m �2�(g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)�4(g��g�� � g��g��)�H(2)1 �q�[r℄m �px2�#+ 1�(�x2)�(�x2)"2q�[r℄m�h 2�x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)+g��g�� � g��g��iK0�q�[r℄m �p�x2�+ 1p�x2 �� 8�x2 + �[r℄m�2�(g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)+4(g��g�� � g��g��)�K1�q�[r℄m�p�x2�#): (3.23)Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation im Minkowskis hen enth�alt zu einer Delta-Dis-tribution bzw. deren erster oder zweiter Ableitung proportionale Terme, die die Feldst�arken-korrelation bei x2 = 0 singul�ar werden lassen. F�ur x2 < 0 entspri ht die Feldst�arkenkorrelationgenau der euklidis hen (3.17), wenn man dort Æ�� ! �g�� und x2 ! �x2 ersetzt. Das sindgenau die Ersetzungen, die f�ur x2 < 0 den euklidis hen (D.11) in den minkowskis hen (D.20)Propagator �uberf�uhren. F�ur x2 > 0 wird dar�uberhinaus Kn dur h H(2)n ersetzt. Die Struktur derminkowskis hen und euklidis hen Feldst�arkenkorrelation ist weiterhin dieselbe, jedo h stimmenin diesem Fall ni ht mehr alle Vorzei hen �uberein. Der Grund daf�ur ist in den unters hiedli henAbleitungsregeln f�ur Kn und H(2)n zu su hen.

3.3. Asymptotis hes Verhalten 27Im folgenden wird das Verhalten des abels hen Teils der Feldst�arkenkorrelation im Un-endli hen und f�ur kleine Abst�ande sowohl im Minkowskis hen (3.23) f�ur zeit- und raumartigeAbst�ande als au h im Euklidis hen (3.17) untersu ht. Der li htartige, singul�are Fall wird ni htweiter bea htet.3.3 Asymptotis hes VerhaltenDas asymptotis he Verhalten des abels hen Teils der euklidis hen Feldst�arkenkorrelation (3.17)ergibt si h aus demjenigen der modi�zierten Besselfunktionen K� . (C.8) entnimmt manK0(z) = r �2z e�z [1 +O(1=z)℄ ; (3.24)K1(z) = r �2z e�z �1 + 38z +O(1=z2)� : (3.25)mit z = q�[r℄m �jxj. Dies eingesetzt in die Korrelationsfunktion (3.17) ergibt f�ur jxj ! 1FSK����1;ab (x) = Æab r+1Xm=1 %[r℄m4p2jxj 52 0�q�[r℄m�� 1A 32 exp��q�[r℄m�jxj� (3.26)�( 1jxj2 (Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)��q�[r℄m �jxj+ 358 �+ 2(Æ��Æ�� � Æ��Æ��) +O(1=jxj)):Bis auf Korrekturen der Ordnung 1=jxj 32 f�allt der abels he Teil der euklidis hen Feldst�arkenkor-relation im Unendli hen exponentiell ab.Im Minkowskis hen setzt man f�ur raumartige Abst�ande (x2 < 0) die Entwi klungen (3.24)und (3.25) mit z = q�[r℄m�p�x2 in (3.23) ein und erh�alt entspre hendFSK����M1;ab(x) x2<0= Æab r+1Xm=1 %[r℄m4p2 �p�x2� 52 0�q�[r℄m�� 1A 32 exp��q�[r℄m �p�x2��( 1�x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)��q�[r℄m �p�x2 + 358 �+ 2(g��g�� � g��g��)+O(1=p�x2)): (3.27)Das f�ur zeitartiges x2 > 0 im Minkowskis hen ben�otigte asymptotis he Verhalten von H(2)0und H(2)1 entnimmt man (C.5),H(2)0 (z) = r 2�z e�i(z��4 ) [1 +O(1=z)℄ ; (3.28)H(2)1 (z) = r 2�z e�i(z� 34�) �1� 3i8z +O(1=z2)� : (3.29)

28 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelationEinsetzen in (3.23) f�uhrt mit z = q�[r℄m�px2 aufFSK����M1;ab(x) x2>0= Æab r+1Xm=1 %[r℄m p28 �px2� 52 0�iq�[r℄m�� 1A 32 exp��iq�[r℄m�px2��( 1x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)��� iq�[r℄m �px2 � 358 �+ 2(g��g�� � g��g��)+O(1=px2)): (3.30)Im Gegensatz zum Fall x2 < 0 und zum Euklidis hen oszilliert die Feldst�arkenkorrelation, anstattexponentiell abzufallen. Diese Formel gilt jedo h nur f�ur den Fall reeller Polpositionen �[r℄m �2, diedann gem�a� der bekannten Feynman's hen Vors hrift wie in (3.20) als �[r℄m�2�i" zu interpretierensind. Hat man, wie in einer Theorie mit Con�nement vom Typ der QCD, stattdessen komplexePolpaare �[r℄m�2 mit �[r℄m+1 = ��[r℄m �� f�ur ungerade m (Quasiteil hen-Untersequenz auf Seite 19),so kann besagte Formel nur f�ur Im �[r℄m < 0 direkt fortgesetzt werden, da die Gr�o�e auf derlinken Seite von (3.20) eine Diskontinuit�at (Verzweigungss hnitt) bei reellem m2 > 0 besitzt.F�ur den jeweils konjugierten Pol mit Im �[r℄m > 0 ist die entspre hende Formel mit �i" statt i"fortzusetzen, die re hter Hand eine Besselfunktion H(1)1 (mpx2) mit der Asymptotik (C.4),H(1)1 (z) = r 2�z ei(z� 3�4 ) �1 + 3i8z +O(1=z2)� (3.31)enth�alt. Gegen�uber (3.29) hat ein Vorzei henwe hsel im Exponenten stattgefunden. Eine analogeEntwi klung gilt f�ur die dann dur h Ableitung auftretende Funktion H(1)0 (mpx2). Dies f�uhrtdazu, dass in der Endformel (3.30) statt des Faktors exp��iq�[r℄m �px2� Kombinationen derForm exp�i�Re q�[r℄m��px2� exp���Im q�[r℄m��px2�+ � exp��i�Re q�[r℄m+1��px2� exp��Imq�[r℄m+1��px2�= 2Re � exp�i�Re q�[r℄m��px2�� exp���Im q�[r℄m��px2�= 2j j os ��Re q�[r℄m��px2 + arg � exp���Im q�[r℄m ��px2� (3.32)auftreten, wenn wir die paarweise komplexen �[r℄m in der Reihenfolge Im �[r℄m = �Im �[r℄m+1 > 0f�ur ungerade m anordnen. Im Falle der Theorie mit Con�nement ist demna h das Verhaltendes abels hen Teils der Feldst�arkenkorrelation bei gro�en zeitartigen Abst�anden ni ht mehr reinoszillierend, sondern von einem exponentiellen Abfall �uberlagert.3.4 Verhalten f�ur kleine Abst�andeDas Verhalten des abels hen Teils der Feldst�arkenkorrelation im Euklidis hen (3.17) f�ur kleinejxj ergibt si h aus demjenigen der modi�zierten Besselfunktionen K0 und K1. Einsetzen der

3.4. Verhalten f�ur kleine Abst�ande 29in Anhang C.2 hergeleiteten Reihendarstellungen (C.27) und (C.28) in (3.17) f�uhrt mit z =q�[r℄m�jxj aufFSK����1;ab (x) = Æab r+1Xm=1 %[r℄m q�[r℄m�4�2 (2q�[r℄m �h(Æ��Æ�� � Æ��Æ��) (3.33)+ 2jxj2 (Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)i� "� 1jxj2 ln�q�[r℄m �jxj�+ ln2� Ejxj2 � �[r℄m�24 ln�q�[r℄m�jxj�#+�[r℄m�2(Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)�24 1q�[r℄m �jxj4 + q�[r℄m�2jxj2 ln�q�[r℄m�jxj�35+h 8jxj2 (Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)+4(Æ��Æ�� � Æ��Æ��)i" 1q�[r℄m �jxj4 + q�[r℄m�2jxj2 lnq�[r℄m �jxj2+� E � 12�q�[r℄m �2jxj2 + �q�[r℄m��316 ln�q�[r℄m �jxj�#)+O(jxj0; jxj ln jxj);und na h Zusammenfassung der Terme mit glei her Tensorstruktur aufFSK����1;ab (x) = Æab r+1Xm=1 %[r℄m �[r℄m�24�2 ((Æ��Æ�� � Æ��Æ��)� " 4�[r℄m�2jxj4 � 1jxj2 � �[r℄m�24 ln�q�[r℄m�jxj�#+ 1jxj2 (Æ��x�x� + Æ��x�x� � Æ��x�x� � Æ��x�x�)� 8�[r℄m �2jxj4 � 1jxj2!)+O(jxj0; jxj ln jxj): (3.34)Der abels he Teil der euklidis hen Feldst�arkenkorrelation besitzt also bei jxj = 0 Divergenzenvom Typ 1=jxj4, 1=jxj2 und ln(q�[r℄m �jxj).Im Minkowskis hen setzt man f�ur x2 > 0 die Entwi klungen (C.24) und (C.25) in (3.23) einund erh�alt mit z = q�[r℄m�px2FSK����M1;ab(x) x2>0= Æab r+1Xm=1 %[r℄m �[r℄m�24�2 ((g��g�� � g��g��)� " 4�[r℄m�2(x2)2 + �i+ 1x2 � �[r℄m �24 ln�q�[r℄m�px2�#� 1x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)

30 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation� 8�[r℄m �2(x2)2 + 2�i+ 1x2 !)+O��px2�0 ;px2 ln�px2�� : (3.35)F�ur x2 < 0 f�uhrt Einsetzen von (C.27) und (C.28) in (3.23) mit z = q�[r℄m �p�x2 aufFSK����M1;ab(x) x2<0= Æab r+1Xm=1 %[r℄m �[r℄m�24�2 ((g��g�� � g��g��)� " 4�[r℄m�2(�x2)2 � 1�x2 � �[r℄m �24 ln�q�[r℄m �p�x2�#+ 1�x2 (g��x�x� + g��x�x� � g��x�x� � g��x�x�)� 8�[r℄m �2(�x2)2 � 1�x2!)+O��(p�x2�0 ;p�x2 ln�p�x2�� : (3.36)3.5 Graphis he DarstellungIn diesem Abs hnitt werden einige ausgew�ahlte Elemente der Feldst�arkenkorrelation geplottet.Wir bes hr�anken uns auf die erste Stufe rationaler Approximation (r = 1). Die ben�otigtenKonstanten entnimmt man [DRI 97℄ f�ur die rein gluonis he Theorie (NF = 0):�[1℄1 �0; 4486 + i1; 1673�[1℄2 �0; 4486 � i1; 1673u[1℄2 0,8456Daraus bere hnen si h die %[1℄m gem�a� (2.15):%[1℄1 = u[1℄2 � �[1℄1�[1℄2 � �[1℄1 = 0; 5 + i0; 5544 (3.37)%[1℄2 = u[1℄2 � �[1℄2�[1℄1 � �[1℄2 = 0; 5 � i0; 5544 (3.38)F�ur die spontane Massenskala liefert [SCH 96℄ im MS-S hema den Wert�MS � 287 MeV; (3.39)was in "nat�urli hen Einheiten\ ( = 1) �MS � 5; 12 � 10�28 kg entspri ht.Der genaue Wert von � wird f�ur die graphis he Darstellung jedo h ni ht ben�otigt, weilder abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation derart mit Potenzen von � erweitert werden kann,dass er proportional zu �4 ist und die euklidis hen Abst�ande in der dimensionslosen Variablen(x� y)� angegeben werden k�onnen.Vor dem Plotten ma hen wir uns Gedanken dar�uber, wel he Elemente der Feldst�arkenkorre-lation dargestellt werden sollen. Ausgangspunkt ist die euklidis he Version (3.17). Wir erinnern

3.5. Graphis he Darstellung 31daran, dass FSK����1;ab (x; y) eine Abk�urzung f�ur h0j (��xA�a(x)���xA�a(x))(��yA�b (y)���yA�b (y)) j0iist. Zun�a hst ist klar, dass FSK����1;ab (x; y) diagonal in den Farbindi es ist; wir setzen o.B.d.A.a = b = 1.Das Argument x � y ist ein vierkomponentiger Vektor. Da wir in einer zweidimensionalenGraphik ni ht die Abh�angigkeit der Korrelation von allen Komponenten glei hzeitig darstellenk�onnen, beginnen wir mit dem einfa hsten Fall und plotten FSK����1;11 (x; y) entlang einer Ko-ordinatena hse. Da im Euklidis hen alle vier A hsen glei hbere htigt sind, gen�ugt es, si h aufdie x1-A hse zu bes hr�anken. Es ist lei ht zu sehen, dass es je na h Wahl der Indexpaare (�; �),(�; �) drei vers hiedene Arten der Korrelation gibt, die in den Abbildungen 3.1 bis 3.2 dargestelltsind: Abbildung 3.1 zeigt die Komponente FSK12121;11 (x; y) des abels hen Teils der Feldst�arken-korrelation im Euklidis hen in Abh�angigkeit von x1 � y1 f�ur x2 � y2 = x3 � y3 = x4 � y4 = 0.Man erkennt die Divergenz f�ur jxj ! 0 und den ras hen Abfall bei gro�en jxj. In Abbildung3.2 ist anhand von FSK12121;11 (x; y) zu sehen, dass es au h negative Korrelationen gibt. Abbil-dung 3.3 s hlie�li h demonstriert als dritte Variante das dur h die Symmetrie der Indexstrukturder Feldst�arkenkorrelation bedingte Vers hwinden des abels hen Teils der Korrelation zweierFeldst�arkenelemente FSK11111;11 (x; y) mit glei hen Indi es.Die n�a hste Abbildung 3.4 stellt das glei he Element der Feldst�arkenkorrelation dar wie Abb.3.1, nun aber mit einem endli hen O�set x2 � y2, so dass die Singularit�at bei x = y vermiedenwird. In den folgenden Konturdiagrammen sind Linien glei her Korrelation FSK����1;11 (x; y) = onst eingezei hnet. Die kleinsten Werte sind dabei s hwarz, die gr�o�ten wei� odiert. Abbildung3.5 l�asst Variation von x1 � y1 und x2 � y2 zu und entspri ht damit in gewissem Sinne einerzweidimensionalen Version der in Abb. 3.1 dargestellten Gr�o�e. Die n�a hste Abbildung 3.6 dehntden Werteberei h der Variablen x1 � y1, x2 � y2 �uber die Singularit�at bei x = 0 aus. Es stelltsi h die Frage, ob die erkennbaren Strukturen in der Feldst�arkenkorrelation oder der begrenztenRe hengenauigkeit von MATHEMATICA begr�undet liegen. Interessant ist au h Abbildung 3.7, inder im Verglei h zur vorhergehenden ein endli her O�set x3 � y3 = 0; 175� gew�ahlt wurde. InAbbildung 3.8 s hlie�li h ist das Konturdiagramm von FSK13311;11 (x; y) dargestellt.

32 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

100000

200000

300000

400000

Abbildung 3.1: Abels her Teil der euklidis hen Feldst�arkenkorrelation FSK12211;11 (x; y) gemessenin �4 f�ur x2 � y2 = x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1��

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-400000

-300000

-200000

-100000

0

Abbildung 3.2: Abels her Teil der euklidis hen Feldst�arkenkorrelation FSK12121;11 (x; y) gemessenin �4 f�ur x2 � y2 = x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1��

3.5. Graphis he Darstellung 33

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.5

0

0.5

1

Abbildung 3.3: Abels her Teil der euklidis hen Feldst�arkenkorrelation FSK11111;11 (x; y) gemessenin �4 f�ur x2 � y2 = x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1��

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

Abbildung 3.4: Abels her Teil der euklidis hen Feldst�arkenkorrelation FSK12211;11 (x; y) gemessenin �4 f�ur x2 � y2 = 0; 075=�, x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1��

34 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Abbildung 3.5: Isolinien des abels hen Teils der euklidis hen Feldst�arkenkorrelationFSK12211;11 (x; y) f�ur x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1�� und �x2 � y2��

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Abbildung 3.6: Isolinien des abels hen Teils der euklidis hen Feldst�arkenkorrelationFSK12211;11 (x; y) f�ur x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1�� und �x2 � y2��

3.5. Graphis he Darstellung 35

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Abbildung 3.7: Isolinien des abels hen Teils der euklidis hen Feldst�arkenkorrelationFSK12211;11 (x; y) f�ur x3 � y3 = 0; 175�, x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1�� (Abszis-se) und �x2 � y2�� (Ordinate)

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

Abbildung 3.8: Isolinien des abels hen Teils der euklidis hen Feldst�arkenkorrelationFSK13311;11 (x; y) f�ur x3 � y3 = x4 � y4 = 0 in Abh�angigkeit von �x1 � y1�� (Abszisse) und�x2 � y2�� (Ordinate)

36 Kapitel 3. Der abels he Teil der Feldst�arkenkorrelation

37Kapitel 4Der "halb-ni htabels he\ Teil derFeldst�arkenkorrelation4.1 Struktur des "halb-ni htabels hen\ TeilsDer "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelation besteht aus den beiden Summanden(3.3), FSK����2;ab (x; y) = �g0fb d h0j (��xA�a(x)� ��xA�a(x))A� (y)A�d(y) j0i+�g0fa d h0jA� (x)A�d(x)(��yA�b (y)� ��yA�b (y)) j0i= �g0fb d (Æ�%��x � Æ�%��x)G3V %��a d (x; y; y)+�g0fa d �Æ�%��y � Æ�%��y �G3V ��% db (x; x; y): (4.1)Es handelt si h um Vakuumerwartungswerte zusammengesetzter Operatoren, weil zwei Feld-operatoren am selben Raumzeitpunkt auftreten. Dies wird sp�ater bei der Renormierung zuber�u ksi htigen sein.Fourier-Transformation der ersten Green's hen Funktion (vorerst an drei vers hiedenenRaumzeitpunkten) in den Impulsraum gem�a� Anhang A.3 ergibt zun�a hstG3V %��a d (x; y; z) = Z dDk dDk0(2�)2D ei[(�k�k0)�x+k�y+k0�z℄ ~G3V %��a d (�k � k0; k; k0)= i�g0 Z dDk dDk0(2�)2D ei[(�k�k0)�x+k�y+k0�z℄�D%%0(k + k0)D��0(�k)D��0(�k0)�3V %0�0�0a d (�k � k0; k; k0): (4.2)Symmetrisierung der S hleifenimpulse gem�a�p = �k � k0 k = �p2 + q, mit dDp dDq = dDk dDk0q = k�k02 k0 = �p2 � q (4.3)und Glei hsetzen von z = y f�uhrt aufG3V %��a d (x; y; y) = Æ��Æ�! Z dDp dDq(2�)2D eip�(x�y) ~G3V %�!a d �p;�p2 + q;�p2 � q� ; (4.4)

38 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationund entspre hend f�ur die zweite Green's he Funktion aus (4.1),G3V ��% db (x; x; y) = Æ��Æ�! Z dDp dDq(2�)2D eip�(y�x) ~G3V %�!b d �p;�p2 + q;�p2 � q� : (4.5)Die Korrelationsfunktion wird in ihre irreduziblen Bestandteile (A.29) zerlegt,~G3V %�!a d �p;�p2 + q;�p2 � q� = D%%0(�p)D��0 �p2 � q�D!!0 ��p2 + q�� i�g0 �3V %0�0!0a d �p;�p2 + q;�p2 � q� ; (4.6)die dabei auftretende Vertexfunktion �3V in einen farbantisymmetris hen und einen farbsym-metris hen Teil, fb d�3V %0�0!0a d (A:33)= fb dfa d| {z }=NCÆab �(f)3V %0�0!0 + fb dda d| {z }=0 �(d)3V %0�0!0= NCÆab�(f)3V %0�0!0 : (4.7)Hier wurden die Identit�aten (A.8) und (A.9) der SU(NC)-Farbalgebra benutzt. Man erkennt,dass beide Green's he Funktionen ~G3V denselben Beitrag liefern,fb d ~G3V %�!a d �p;�p2 + q;�p2 � q� = fa d ~G3V %�!b d �p;�p2 + q;�p2 � q�= NCÆabi�g0D%%0(�p)D��0 �p2 � q�D!!0 ��p2 + q�� �(f)3V %0�0!0 �p;�p2 + q;�p2 � q� : (4.8)Eingesetzt in (4.1) ergibt si hFSK����2;ab (x; y) = NCÆabi�g20 Z dDp(2�)D hÆ��Æ�! (Æ�%�� � Æ�%��) eip�(x�y)+ Æ��Æ�! �Æ�%�� � Æ�%��� eip�(y�x)iD%%0(�p)� Z dDq(2�)D D��0 �p2 � q�D!!0 ��p2 + q�� �(f)3V %0�0!0 �p;�p2 + q;�p2 � q� ; (4.9)wobei si h alle partiellen Ableitungen ab jetzt bez�ugli h x verstehen. Dieser Ausdru k besteht auseinem inneren und einem �au�eren Impulsintegral. Das innere q-Integral l�asst si h diagrammatis hals �p

���p2 � q ���p2 + q �pj �3V j (4.10)

4.2. Das innere Impulsintegral 39darstellen, wobei der Vertex "Æ\ f�ur einen Faktor 1 steht und die �au�eren Propagatoren amputiertsind. Das Diagramm entspri ht der Wahrs heinli hkeitsamplitude der Aufspaltung eines Gluonsin zwei Gluonen. Mit diesem inneren Integral werden wir uns zuerst bes h�aftigen; dabei werdenwir D und �3V wieder dur h rationale Approximanten n�ahern.In Landau-Ei hung (�0 ! 0) sind die Propagatoren transversal,D�� (k) = t�� (k)DT (k2): (4.11)Wie beim abels hen Teil der Feldst�arkenkorrelation setzt man f�ur DT (k2) gem�a� (2.14) an.F�ur den in allen drei Beinen transversal projizierten antisymmetris hen Teil des 3-Gluonen-Vertex ma ht man Ans�atze gem�a� (2.18) und (2.19). Wie in Kapitel 2 erl�autert, k�urzen si hdie �[r℄2V T (k2) gegen die �[r℄3V T (k2) auf Grund der Selbstkonsistenz in den Dyson-S hwinger-Glei hungen heraus, was mit der Abk�urzungQ�!%0(p) := Z dDq(2�)D t��0 �p2 � q� t!!0 �p2 + q�N [r℄2V T ��p2 � q�2�N [r℄2V T ��p2 + q�2���Æ%0�0 �p� �� p2 + q��!0 F [r℄0 �p2;�p2 � q�2;�p2 + q�2�+Æ�0!0 ��� p2 + q�� �� p2 � q��%0 F [r℄0 ��p2 � q�2;�p2 + q�2; p2�+Æ!0%0 ��� p2 � q�� p��0 F [r℄0 ��p2 + q�2; p2;�p2 � q�2�� (4.12)f�ur das q-Integral aufFSK����2;ab (x; y) = NCÆabi�g20 Z dDp(2�)D hÆ��Æ�! (Æ�%�� � Æ�%��) eip�(x�y)+ Æ��Æ�! �Æ�%�� � Æ�%��� eip�(y�x)i t%%0(�p)Q�!%0(p)N [r℄2V T (p2) (4.13)f�uhrt.4.2 Das innere ImpulsintegralWir wenden uns nun der Bere hnung des inneren q-Integrals zu. Da F [r℄0 vom Grade r, N [r℄2T vomGrade r + 1 in jeder Variablen ist, l�asst si h eine Partialbru hzerlegungF [r℄0 �p2;�p2 � q�2;�p2 + q�2�N [r℄2V T ��p2 � q�2�N [r℄2V T ��p2 + q�2� = r+1Xl1;l2=1 R[r℄1;l1l2(p2)��p2 � q�2 + �[r℄l1 �2� ��p2 + q�2 + �[r℄l2 �2� (4.14)dur hf�uhren, wobei die von q unabh�angigen Residuen R[r℄1;l1l2(p2) dur hR[r℄1;l1l2(p2) = F [r℄0 �p2;��[r℄l1 �2;��[r℄l2 �2�264 r+1Qk1=1k1 6=l1 ��[r℄k1 � �[r℄l1 ��2375264 r+1Qk2=1k2 6=l2 ��[r℄k2 � �[r℄l2 ��2375 (4.15)

40 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationgegeben sind. F�ur die beiden �ubrigen Permutationen lauten die Residuen entspre hendR[r℄2;l1l2(p2) = F [r℄0 ���[r℄l1 �2;��[r℄l2 �2; p2�264 r+1Qk1=1k1 6=l1 ��[r℄k1 � �[r℄l1 ��2375264 r+1Qk2=1k2 6=l2 ��[r℄k2 � �[r℄l2 ��2375 (4.16)f�ur F [r℄0 ��p2 � q�2;�p2 + q�2; p2� undR[r℄3;l1l2(p2) = F [r℄0 ���[r℄l2 �2; p2;��[r℄l1 �2�264 r+1Qk1=1k1 6=l1 ��[r℄k1 � �[r℄l1 ��2375264 r+1Qk2=1k2 6=l2 ��[r℄k2 � �[r℄l2 ��2375 (4.17)f�ur F [r℄0 ��p2 + q�2; p2;�p2 � q�2�.Um die Re hnungen einfa h zu halten, bes hr�anken wir uns von jetzt an wieder auf den Fallreeller Polstellen (entspre hend stabilen Teil hen),�[r℄l1;2 > 0: (4.18)An dieser Stelle sei auf eine Symmetrie zwis hen den ResiduenR[r℄1;l1l2 und R[r℄3;l1l2 hingewiesen:Die Symmetrie der invarianten Funktionen F [r℄0 in ihren ersten beiden Argumenten �ubertr�agtsi h auf die Residuen, woraus R[r℄3;l1l2(p2) = R[r℄1;l2l1(p2) (4.19)folgt. Diese Symmetrie werden wir wegen des erforderli hen Austaus hs von �[r℄l1 und �[r℄l2 imfolgenden aber ni ht ausnutzen.Das q-Integral ist nun von der FormQ�!%0(p) = 3Xn=1 r+1Xl1;l2=1 Z dDq(2�)D R[r℄n;l1l2(p2)T �!%0n (p; q)S(p; q) ; (4.20)mit dem NennerS(p; q) := �p2 � q�2 ��p2 � q�2 + �[r℄l1 �2� �p2 + q�2 ��p2 + q�2 + �[r℄l2 �2� (4.21)und den TensorstrukturenT �!%01 (p; q) := ��p2 � q�2Æ��0 � �p2 � q���p2 � q��0� ��p2 + q�2Æ!!0 � �p2 + q�!�p2 + q�!0��Æ%0�0�3p2 � q�!0 ; (4.22)T �!%02 (p; q) := ��p2 � q�2Æ��0 � �p2 � q���p2 � q��0� ��p2 + q�2Æ!!0 � �p2 + q�!�p2 + q�!0��Æ�0!02q%0 ; (4.23)T �!%03 (p; q) := ��p2 � q�2Æ��0 � �p2 � q���p2 � q��0� ��p2 + q�2Æ!!0 � �p2 + q�!�p2 + q�!0��Æ!0%0�� 3p2 � q��0 : (4.24)

4.2. Das innere Impulsintegral 41Der Nenner wird mittels Feynman-Parametrisierung (siehe Anhang B.1) auf eine f�ur die q-Integration g�unstige Form gebra ht. Dazu gibt es mehrere M�ogli hkeiten. Am sinnvollsten istes, zuerst die p2 � q bzw. p2 + q enthaltenden Faktoren gem�a� der Formel1AB = 1Z0 dz 1((1� z)A+ zB)2 (4.25)mit jeweils einem Feynmanparameter z1 bzw. z2 zusammenzufassen; die entstehenden Ausdr�u kewerden dann �uber einen weiteren Parameter z3 kombiniert. Andere Vorgehensweisen f�uhren aufdivergente Ausdr�u ke, die si h kompensieren, was man ihnen aber ni ht ohne weiteres ansieht.Sie eignen si h deshalb s hle ht f�ur die weitere Re hnung.1S(p; q) = 1Z0 dz1 1h(1� z1) � p2 � q�2 + z1 ��p2 � q�2 + �[r℄l1 �2�i2� 1Z0 dz2 1h(1� z2) � p2 + q�2 + z2 ��p2 + q�2 + �[r℄l2 �2�i2= 3! 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3)h(1� z3)��p2 � q�2 + z1�[r℄l1 �2�+ z3 ��p2 + q�2 + z2�[r℄l2 �2�i4= 6 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3)(q02 +M2)4 (4.26)mit q0 := q + �z3 � 12� p; (4.27)M2 := z3(1� z3)p2 + z1(1� z3)�[r℄l1 �2 + z2z3�[r℄l2 �2: (4.28)Das Integral (4.20) nimmt nun die FormQ�!%0(p) = 6 3Xn=1 r+1Xl1;l2=1R[r℄n;l1l2(p2) 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3) Z dDq0(2�)D ~T �!%0n (p; q0)(q02 +M2)4 (4.29)an, wobei ~T �!%0n (p; q0) := T �!%0n �p; q0 + �12 � z3�p� (4.30)die auf q0 umges hriebenen Tensorstrukturen (4.22) darstellen. Sie lauten im einzelnen~T �!%01 (p; q0) = Æ�%0�2z32p2p!q02 � 4z3(1� z3)p!(p � q0)2 + 2z3(2� 3z3)p2p � q0q0!+2p!q04 � 2p � q0q02q0!�+ 2z32p�p%0 �p � q0q0! � p!q02�+2z3(1� z3)�p!p%0p � q0q0� + p�p!p � q0q0%0 � p2p%0q0�q0! � p2p�q0%0q0!�+2�p � q0q0! � p!q02� q0�q0%0 + ungerade Potenzen von q0; (4.31)~T �!%02 (p; q0) = Æ�!�z32(1� z3)2(1� 2z3)p4p%0 + (1� 2z3)(2z32 � 2z3 + 1)p2p%0q02

42 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelation�4z3(1� z3)(1� 2z3)p%0(p � q0)2 � 4z3(1� z3)(1 � 2z3)p2p � q0q0%0+(1� 2z3)p%0q04 + 4(1 � 2z3)p � q0q02q0%0�� z32(1� z3)2(1� 2z3)p2p�p!p%0�(1� 2z3)(z32 � z3 + 1)p�p!p%0q02 + 2z3(1� z3)(1� 2z3)p�p!p � q0q0%0+(1� z3)(1 � 2z3)(2z3 + 1)p!p%0p � q0q0� + z3(1� 2z3)(3 � 2z3)p�p%0p � q0q0!�2z32(1� z3)p2p!q0�q0%0 + 2z3(1� z3)2p2p�q0!q0%0�(1� 2z3)(z32 � z3 + 1)p2p%0q0�q0! + 2z3p!q02q0�q0%0 � 2(1� z3)p�q02q0!q0%0�(1� 2z3)p%0q02q0�q0! � 2(1 � 2z3)p � q0q0�q0!q0%0+ ungerade Potenzen von q0; (4.32)~T �!%03 (p; q0) = Æ!%0�� 2(1� z3)2p2p�q02 + 4z3(1� z3)p�(p � q0)2 + 2(1 � z3)(1 � 3z3)p2p � q0q0��2p�q04 + 2p � q0q02q0��+ 2(1 � z3)2p!p%0 �p�q02 � p � q0q0��+2z3(1� z3)�p2p!q0�q0%0 + p2p%0q0�q0! � p�p!p � q0q0%0 � p�p%0p � q0q0!�+2�p�q02 � p � q0q0�� q0!q0%0 + ungerade Potenzen von q0: (4.33)Man sieht, dass ~T3 si h aus ~T1 dur h die Ersetzungen z3 ! 1 � z3, (!; �; %0) ! (�; %0; !) undMultiplikation mit �1 ergibt.Die q0-Integrale lassen si h nun dur h symmetris he Integration (Anhang B.2) auf Standard-form bringen. Terme mit einer ungeraden Zahl von q0 fallen dabei heraus und sind deshalb in denvorstehenden Glei hungen ni ht mehr explizit aufgef�uhrt. Die verbleibenden Integrale werdendann mit Hilfe der Glei hungen (B.8) bis (B.13),Z dDq0(2�)D 1(q02 +M2)4 = �(2 + ")6(4�)2�" (M2)�2�"; (4.34)Z dDq0(2�)D q0�q0�(q02 +M2)4 = Æ�� �(1 + ")12(4�)2�" (M2)�1�"; (4.35)Z dDq0(2�)D q02(q02 +M2)4 = (4� 2")�(1 + ")12(4�)2�" (M2)�1�"; (4.36)Z dDq0(2�)D q0�q0�q0�q0�(q02 +M2)4 = �Æ��Æ�� + Æ��Æ�� + Æ��Æ��� �(")24(4�)2�" (M2)�"; (4.37)Z dDq0(2�)D q0�q0�q02(q02 +M2)4 = Æ�� (3� ")�(")12(4�)2�" (M2)�"; (4.38)Z dDq0(2�)D �q02�2(q02 +M2)4 = (4� 2")(3 � ")�(")12(4�)2�" (M2)�"; (4.39)gel�ost, wobei die �ubli he Abk�urzung " = 2� D2 , D = 4� 2" eingef�uhrt wurde. Es ergibt si hZ dDq0(2�)D ~T �!%01 (p; q0)(q02 +M2)4 = �z3�(1� z3) h(p2Æ�! � p�p!)p%0 + (p2Æ!%0 � p!p%0)p�i (4.40)+(2"� 3)z3(p2Æ�%0 � p�p%0)p!� �(1 + ")6(4�)2�" (M2)�(1+")+n[4(3 � ")(1� ") + 1℄ Æ�%0p! + Æ�!p%0 + Æ!%0p�o �(")12(4�)2�" (M2)�";Z dDq0(2�)D ~T �!%02 (p; q0)(q02 +M2)4 = z32(1� z3)2(1� 2z3)p2p%0(p2Æ�! � p�p!) �(2 + ")6(4�)2�" (M2)�(2+")

4.2. Das innere Impulsintegral 43+�(1� 2z3) [3� 2"� 2(5 � ")z3(1� z3)℄ (Æ�!p2 � p�p!)p%0�z3(1� z3)� h2�z3Æ�%0p! � (1� z3)Æ!%0p��� (5� 2")(2z3 � 1)Æ�!p%0i p2�� �(1 + ")12(4�)2�" (M2)�(1+")+n(1� 2z3) [(3� ")(7� 2") � 1℄ Æ�!p%0� [2("� 4)z3 + 7� 2"℄ Æ!%0p� � [2(" � 4)z3 + 1℄ Æ�%0p!o� �(")12(4�)2�" (M2)�"; (4.41)Z dDq0(2�)D ~T �!%03 (p; q0)(q02 +M2)4 = (1� z3)�z3 h(p2Æ�%0 � p�p%0)p! + (p2Æ�! � p�p!)p%0i (4.42)+(2"� 3)(1 � z3)(p2Æ!%0 � p!p%0)p�� �(1 + ")6(4�)2�" (M2)�(1+")�n[4(3 � ")(1� ") + 1℄ Æ!%0p� + Æ�%0p! + Æ�!p%0o �(")12(4�)2�" (M2)�":An dieser Stelle sind Divergenzen in den Ausdr�u ken�(") M24� !�" (4.43)erkennbar, was eine Renormierung notwendig ma ht.Die weitere Vorgehensweise h�angt von derWahl des Renormierungsverfahrens (vgl. Abs hnitt1.4) ab. Um (1.24) aus Verfahren 2 anwenden zu k�onnen, ist eine Umformung des Ausdru ks(4.43) erforderli h, da M2 ni ht proportional zu �2 ist (vgl. Def. (4.28) von M2). Zu diesemZwe k fassen wir M2 als Funktion der �au�eren Impulsvariablen p auf und subtrahieren M2(p2)an der Stelle p2 = �2,�M2(p2)��" = �M2( �2)��" + ��M2(p2)��" � �M2( �2)��"� : (4.44)Entwi klung der ges hweiften Klammer na h " f�uhrt na h Division dur h " auf1" �M2(p2)��" = 1" �M2( �2)��" + lnM2( �2)M2(p2) +O("): (4.45)M2( �2) weist die gew�uns hte Proportionalit�at zu �2 auf, und an� �g04��2 1" M2(p2)4� !�" = 0�z3(1� z3) + z1(1� z3)�[r℄l1 + z2z3�[r℄l24� 1A�"| {z }!1 f�ur "!0 � �g04��2 ��2��" 1" (4.46)kann die Ersetzung (1.24), � �g04��2 ��2��" 1" ! 1�0 [1 +O (" ln "; ")℄ ; (4.47)

44 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationvorgenommen werden. Wie in Abs hnitt 1.4 angek�undigt, wollen wir dieses Verfahren hier aberni ht weiter verfolgen.Stattdessen wird das MS-S hema benutzt, demzufolge eine Entwi klung na h dem Regulator" vorzunehmen ist, M24��2!�" = exp24ln M24��2!�"35 = exp "�" ln M24��2!# = 1� " ln M24��2!+O �"2� ; (4.48)wobei ein Faktor �2" von der na kten Kopplung �g20 = g2�2"Z� abgespalten wurde. Zusammenmit der Entwi klung der Gammafunktion,�(") = 1" � E +O(");�(1 + ") = 1 +O(");�(2 + ") = 1 +O("); (4.49)wobei E die Euler-Mas heroni-Konstante E = limn!10� nXj=1 1j � lnn1A (4.50)darstellt, f�uhrt dies auf �(") M24��2!�" = 1" � E � ln M24��2 +O("); (4.51)�(n+ ") M24��2!�" = 1 +O("); n 2 f1; 2g: (4.52)Einsetzen ergibt�2"Q�!%0(p)= 1(4�)2 r+1Xl1;l2=1 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3)�(R[r℄1;l1l2(p2)�12 �13Æ�%0p! + Æ�!p%0 + Æ!%0p���1" � E � ln M24��2�� 8Æ�%0p!� z3M2 h(1� z3)�(p2Æ�! � p�p!)p%0 + (p2Æ!%0 � p!p%0)p��� 3z3(p2Æ�%0 � p�p%0)p!i �+R[r℄2;l1l2(p2)�132 (2z3 � 1)Æ�!p%0 + (1� z3)Æ!%0p� � z3Æ�%0p!�12 �20(2z3 � 1)Æ�!p%0 + (7� 8z3)Æ!%0p� + (1� 8z3)Æ�%0p!��1" � E � ln M24��2�� 12M2 h2z3(1� z3)�z3Æ�%0p! + (z3 � 1)Æ!%0p�� p2+(1� 2z3)�3(5z3(1� z3)� 1)Æ�!p%0p2 + (3� 10z3(1� z3))p�p!p%0� i� 1(M2)2 z32(z32 � 2z3 + 1)(2z3 � 1)p2p%0(Æ�!p2 � p�p!)�

4.2. Das innere Impulsintegral 45+R[r℄3;l1l2(p2)�8Æ!%0p� � 12 �13Æ!%0p� + Æ�%0p! + Æ�!p%0��1" � E � ln M24��2�+z3 � 1M2 h3(1� z3)(p2Æ!%0 � p!p%0)p� � z3 �(p2Æ�%0 � p�p%0)p! + (p2Æ�! � p�p!)p%0�i �)+O("): (4.53)Man erkennt Divergenzen vom Typ 1" , die sp�ater im Rahmen des Renormierungsprozessesdur h perturbative Gegenterme kompensiert werden m�ussen. Die Parameterintegrale k�onnenmit Hilfe der in Anhang B.3.3 angegebenen Integrationsregeln gel�ost werden. Das in Anhang E.3dokumentierte Resultat eignet si h jedo h s hle ht zur Ausf�uhrung der �au�eren p-Integration,da zu diesem Zwe k unter anderem Integrale des TypsZ d4p(2�)4 pneip�(x�y)r��[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 � p2�2 + 4�[r℄l1 �2p2� ln �[r℄l1 �2+�[r℄l2 �2+p2�r��[r℄l1 �2��[r℄l2 �2�p2�2+4�[r℄l1 �2p2�[r℄l1 �2+�[r℄l2 �2+p2+r��[r℄l1 �2��[r℄l2 �2�p2�2+4�[r℄l1 �2p2 (4.54)bere hnet werden m�ussten, was aussi htslos ers heint.Wir s hlagen deshalb einen anderen Weg ein: Zun�a hst werden nur die Feynmanparameterz1 und z2 ausintegriert. Anwendung der Integrationsformeln f�ur zweiparametrige Integrale ausAnhang B.3.2 (mit a := �[r℄l1 �2, b := �[r℄l2 �2, := p2) auf (4.53) ergibt (na h Umbenennungz3 ! z)�2"Q�!%0(p) = 1(4�)2 3Xk=1 r+1Xl1;l2=1R[r℄k;l1l2(p2) 1Z0 dz(b�!%0k (z; p)�1" � E + ln(4�)�+ 4Xj=1d�!%0j (p)�Pkj1(z; p2) + Pkj2(z; p2) ln z + Pkj3(z; p2) ln(1� z)+Pkj4(z; p2) ln p2z(1� z) + �[r℄l1 �2(1� z) + �[r℄l2 �2z�2+Pkj5(z; p2) ln p2z + �[r℄l1 �2�2 + Pkj6(z; p2) ln p2(1� z) + �[r℄l2 �2�2+Pkj7(z; p2) ln p2�2 �)+O("); (4.55)wobei im Hinbli k auf kommende Umformungen die Argumente der Logarithmen mit konstantenFaktoren �2 erg�anzt und na h dem S hema ln(A=B) = ln(A=�2)� ln(B=�2) "auseinandergezo-gen\ worden sind. Die Tensorstrukturen wurden mitd�!%01 (p) = Æ�!p%0 ;d�!%02 (p) = Æ�%0p!;d�!%03 (p) = Æ!%0p�;d�!%04 (p) = p�p!p%0 (4.56)

46 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationabgek�urzt. Die divergenten Anteile 1" � E + ln(4�), die im MS-S hema vor Ausf�uhrung der�au�eren Impulsintegration dur h Gegenterme kompensiert werden, sind bereits isoliert worden.Ihre KoeÆzienten lautenb�!%01 (z; p) = z(1� z)�Æ�!p%0 + 13Æ�%0p! + Æ!%0p��2 ;b�!%02 (z; p) = 20 �2z3 � 3z2 + z� Æ�!p%0 � �8z3 � 9z2 + z� Æ�%0p! � �8z3 � 15z2 + 7z� Æ!%0p�2 ;b�!%03 (z; p) = z(z � 1)�Æ�!p%0 + Æ�%0p! + 13Æ!%0p��2 : (4.57)Die KoeÆzienten Pkjm der konvergenten Anteile, wel he Polynome in z und p2 sind, ent-nehme man Anhang E.1. Terme der Ordnung " vers hwinden im Limes " ! 0, vorausgesetztdie �au�ere p-Integration liefert keine neuen 1" -Divergenzen, was wegen der konvergenzerzeu-genden Fourier-Faktoren eip�(x�y) und eip�(y�x) in (4.13) aber ni ht zu erwarten ist. Au h fal-len auf Grund des Transversalprojektors t%%0(�p) in derselben Glei hung die p%0 enthaltendenSummanden (d.h. j = 1 und j = 4) heraus. Erstaunli h ist das Auftreten von zu ln p2 pro-portionalen Termen. Diese sind ein Hinweis auf die Existenz masseloser Teil hen (ln p2 besitzteinen Verzweigungspunkt bei p2 = 0.); die einzigen in unserer Theorie vorkommenden Teil hen,die Gluonen, sollten aber dur h den S hwinger-Me hanismus1 Masse erhalten haben. Dieserunphysikalis he Zug kann na h allen Erfahrungen mit QCD-S hleifenre hnungen nur dur h Hin-zunahme der Geister-Eins hleifenkorrektur (letztes Diagramm von (3.5)) zum abels hen Teil derFeldst�arkenkorrelation beseitigt werden: Die Geisterverti es bleiben in Landau-Ei hung pertur-bativ [DRI 97℄; und dieses Diagramm kann deshalb kompensierende ln p2-Terme erzeugen.4.3 Umwandlung der Feynmanparameter- in SpektralintegraleAnstatt den letzten Feynmanparameter z direkt auszuintegrieren, werden wir in diesem Ab-s hnitt den Versu h unternehmen, das letzte Parameterintegral in ein Spektralintegral1Z0 ds %(s)p2 + s (4.58)umwandeln, wie man es von der K�all�en-Lehmann-Spektraldarstellung2 eines Propagators kennt.Diese gestattet bekanntli h die S hreibweise eines Propagators in der Formh0j�(�p)�(p) j0i = 1Z0 dm2 %(m2)p2 +m2 (4.59)eines gewi hteten Integrals �uber freie Propagatoren von (in diesem Fall skalaren) Feldern derMasse m. Die Spektraldi hte %(m2) verleiht dem Propagator Pole bei der physikalis hen Teil- henmasse p2 = �M2 und bei evtl. gebundenen Zust�anden sowie einen Verzweigungss hnittentlang der negativen reellen A hse, beginnend bei p2 = �(2M)2.In (4.58) erkennt man nun den freien Propagator eines Skalarfeldes der Masse ps, gewi htetmit einer Spektraldi hte %(s). Wir erwarten, dass sie unterhalb einer positiven S hwelle s < s01siehe [SCHW 61℄2mehr dazu in [KUG 97℄, [PS 95℄

4.3. Umwandlung der Feynmanparameter- in Spektralintegrale 47identis h vers hwindet, in �Ubereinstimmung mit einer endli hen Gluonenmasse. Unser Ziel ist,das �au�ere p-Integral aus (4.13) auf die vom abels hen Teil wohlbekannte FormZ d4p(2�)4 eip�(x�y)p2 + s (4.60)zu bringen, die auf die modi�zierte Besselfunktion K1 f�uhrt. Das Verfahren zur Umwandlungder Feynmanparameter- in Spektralintegrale ist aus [BRO 92℄ und [MEY 94℄ bekannt.Wir bes hr�anken uns auf die letzten vier Summanden in (4.55), die ein p2 im Argument desLogarithmus aufweisen. Bei den anderen drei Summanden und den divergenten Anteilen wirdder Feynmanparameter z direkt ausintegriert. Die betra hteten Summanden haben die Struktur1Z0 Pkjm(z; p2) ln p2 [Az +B(1� z) + Cz(1� z)℄ +Dz +E(1 � z)�2 (4.61)mit Konstanten A;B;C 2 f0; 1g, D;E 2 f�[r℄l1 �2; �[r℄l2 �2; 0g. Pkjm(z; p2) besitzt als Polynom inz eine Stammfunktion Qkjm(z; p2),ddzQkjm(z; p2) = Pkjm(z; p2); (4.62)die so gew�ahlt werden kann, dass Qkjm(0; p2) = 0: (4.63)Der erste S hritt zur Umwandlung in ein Spektralintegral besteht in einer partiellen Integrationvon (4.61), 1Z0 dz Pkjm(z; p2)| {z }= ddzQkjm(z;p2) ln p2 [Az +B(1� z) + Cz(1� z)℄ +Dz +E(1� z)�2= Qkjm(z; p2) ln p2 [Az +B(1� z) + Cz(1� z)℄ +Dz +E(1� z)�2 �����z=1z=0� 1Z0 dz Qkjm(z; p2) p2 [A�B + C(1� 2z)℄ +D �Ep2 [Az +B(1� z) +Cz(1� z)℄ +Dz +E(1 � z)= Qkjm(1; p2) ln Ap2 +D�2 �Qkjm(0; p2) ln Bp2 +E�2| {z }=0� 1Z0 dz Qkjm(z; p2) �p2 (A�B + C(1� 2z)) +D �E�(Az +B(1� z) + Cz(1� z))| {z }>0 hp2 + Dz+E(1�z)Az+B(1�z)+Cz(1�z)i : (4.64)Jetzt f�ugen wir die Identit�at1 = 1Z�1 ds Æ�s� Dz +E(1� z)Az +B(1� z) + Cz(1� z)�; (4.65)

48 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationein, wobei eine Eins hr�ankung des Integrationsberei hs auf diejenigen o�enen Teilmengen derreellen A hse erlaubt ist, in denen das Argument der Delta-Distribution vers hwinden kann,1Z0 dz Pkjm(z; p2) ln p2 (Az +B(1� z) + Cz(1� z)) +Dz +E(1� z)�2= Qkjm(1; p2) ln Ap2 +D�2� 1Z�1 ds 1Z0 dz Qkjm(z; p2) �p2 (A�B + C(1� 2z)) +D �E� Æ �s� Dz+E(1�z)Az+B(1�z)+Cz(1�z)�(Az +B(1� z) + Cz(1� z))| {z }>0 (p2 + s)= Qkjm(1; p2) ln Ap2 +D�2 � 1Z�1 ds 1Z0 dz Qkjm(z; p2) �p2 (A�B + C(1� 2z)) +D �E�p2 + s�Æ ([Az +B(1� z) + Cz(1� z)℄ s�Dz �E(1� z))= Qkjm(1; p2) ln Ap2 +D�2 + 1Z�1 ds %kjm(s; p2)p2 + s ; (4.66)und erhalten das gew�uns hte Spektralintegral mit der Spektraldi hte%kjm(s; p2) = � 1Z0 dz Qkjm(z; p2) hp2 (A�B + C(1� 2z)) +D �Ei� Æ ([Az +B(1� z) +Cz(1� z)℄ s�Dz �E(1� z)) : (4.67)Die Bezei hnung Spektraldi hte entspri ht wegen der vorhandenen p2-Abh�angigkeit ni ht dem�ubli hen Spra hgebrau h; diese ist jedo h rein polynomial, %(s; p2) = Pn(p2)n~%n(s), und dasSpektralintegral l�asst si h auf die Form R ds%(s;p2)p2+s = Pn(p2)n R ds ~%n(s)p2+s mit der Spektraldi hte~%n(s) bringen, was die Bezei hnung Spektraldi hte im weiteren Sinne f�ur %(s; p2) zul�asst.Die detaillierte Auswertung des z-Integrals wird in Anhang D.2 vorgenommen; hier notierenwir nur die Ergebnisse.� divergente Anteile: �!%0k (p) := 1Z0 dz b�!%0k (z; p) (4.68)mit den b�!%0k (z; p) aus (4.57) ergibt �!%01 (p) = Æ�!p%0 + 13Æ�%0p! + Æ!%0p�12 �!%02 (p) = Æ�%0p! � Æ!%0p�4 �!%03 (p) = �Æ�!p%0 + Æ�%0p! + 13Æ!%0p�12 : (4.69)� m = 1: 1Z0 dz Pkj1(z; p2) = Qkj1(1; p2) (4.70)

4.3. Umwandlung der Feynmanparameter- in Spektralintegrale 49� m = 2: 1Z0 dz Pkj2(z; p2) ln z = � 1Z0 dzQkj2(z; p2)z (4.71)� m = 3: 1Z0 dz Pkj3(z; p2) ln(1� z) = � 1Z0 dz ~Qkj3(z; p2)z ; (4.72)wobei ~Qkjm(z; p2) als Stammfunktion von Pkjm(1� z; p2) de�niert ist,ddz ~Qkjm(z; p2) = Pkjm(1� z; p2) mit ~Qkjm(0; p2) = 0: (4.73)� m = 4 : 1Z0 dz Pkj4(z; p2) ln p2z(1� z) + �[r℄l1 �2(1� z) + �[r℄l2 �2z�2= Qkj4(1; p2) ln �[r℄l2 �2�2 + 1Z0 ds %kj4(s; p2)p2 + s (4.74)mit %kj4(s; p2) = �(s� s+)r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s��Qkj4(z+(s); p2)�p2(2z+(s)� 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�+Qkj4(z�(s); p2)�p2(2z�(s)� 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2��; (4.75)wobei s+ = �[r℄l1 �2 + �[r℄l2 �2 + 2r�[r℄l1 �2�[r℄l2 �2 = r�[r℄l1 �+r�[r℄l2 �!2 ; (4.76)z�(s) = s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 �r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s2s (4.77)� m = 5 :1Z0 dz Pkj5(z; p2) ln p2z + �[r℄l1 �2�2 = Qkj5(1; p2) ln p2 + �[r℄l1 �2�2 + 1Z0 ds %kj5(s; p2)p2 + s (4.78)mit %kj5(s; p2) = �� �s� �[r℄l1 �2� p2s Qkj50��[r℄l1 �2s ; p21A (4.79)

50 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelation� m = 6 :1Z0 dz Pkj6(z; p2) ln p2(1� z) + �[r℄l2 �2�2 = Qkj6(1; p2) ln �[r℄l2 �2�2 + 1Z0 ds %kj6(s; p2)p2 + s (4.80)mit %kj6(s; p2) = ��s� �[r℄l2 �2� p2s Qkj60�s� �[r℄l2 �2s ; p21A (4.81)� m = 7 : 1Z0 dz Pkj7(z; p2) ln p2�2 = Qkj7(1; p2) ln p2�2 (4.82)Wir sehen, dass si h unsere Vermutung best�atigt hat und %(s) tats�a hli h unterhalb einer po-sitiven S hwelle vers hwindet. Aus diesem Grund ist die Vers hiebung der unteren Grenze dess-Integrals auf 0 erlaubt.Einsetzen der Integrale in (4.55) ergibt f�ur Q�!%0(p)�2"Q�!%0(p) = 1(4�)2 3Xk=1 r+1Xl1;l2=1R[r℄k;l1l2(p2)( �!%0k (p)�1" � E + ln(4�)�+ 4Xj=1 d�!%0j (p)�Akj(p2) +Qkj5(1; p2) ln p2 + �[r℄l1 �2�2 +Qkj7(1; p2) ln p2�2+ 6Xm=4 1Z0 ds %kjm(s; p2)p2 + s �)+O(") (4.83)mit der Abk�urzungAkj(p2) := Qkj1(1; p2)� 1Z0 dz Qkj2(z; p2) + ~Qkj3(z; p2)z+�Qkj4(1; p2) +Qkj6(1; p2)� ln �[r℄l2 �2�2 : (4.84)Die KoeÆzienten Akj(p2), Qkj5(1; p2) und Qkj7(1; p2) �ndet man in Anhang E.2. Es handeltsi h um Polynome vom Grade � 2 in p2.4.4 RenormierungNa h vollst�andiger Ausf�uhrung der inneren q-Integration bleiben 1" -Divergenzen, die vor derBere hnung des �au�eren p-Integrals dur h ein geeignetes Renormierungverfahren kompensiertwerden m�ussen. Das ist im vorliegenden Fall ni ht ganz unproblematis h, da die zu renormierendeGr�o�e einen zusammengesetzten Operator enth�alt, also ein Produkt elementarer Feldoperatorenam selben Raumzeitpunkt y. Wir gehen deshalb kurz auf die Renormierung zusammengesetzterOperatoren ein.

4.4. Renormierung 51Na h [WIL 69℄ existiert f�ur das Produkt zweier elementarer Feldoperatoren �1(y + z=2),�2(y � z=2) in der N�ahe von y (d.h. f�ur z ! 0) eine Entwi klung�1 �y + z2��2 �y � z2� =Xn Wn(z)On(y) (4.85)na h allen Operatoren On am Punkt y, wel he in Massendimension und allen streng erhaltenenQuantenzahlen mit �1�2 �ubereinstimmen. Die -zahlwertigen KoeÆzienten Wn h�angen nur vomAbstand z der Operatoren ab. Betra htet man also zwei Feldoperatoren am selben Raumzeit-punkt, treten im allgemeinen weitere Operatoren an diesem Punkt auf, die es bei der Renor-mierung zu ber�u ksi htigen gilt. Einzelheiten zur Renormierung zusammengesetzter Operatoren�ndet man in [KUG 97℄.In unserem Fall lautet das Operatorprodukt fb dA� (y)A!d (y). Die Massendimensionen derelementaren Felder der QCD liest man an der dimensionslosen Wirkung (1.1) ab. In D = 4� 2"Raumzeitdimensionen gilt: Feld MassendimensionA�a 1� "� a, a 1� "� j(f)�, j(f)� 32 � "Der in (4.1) auftretende Operator fb dA� (y)A!d (y) hat also Massendimension 2 in D = 4 Raum-zeitdimensionen. Aus den Feldoperatoren der QCD kann nur ein weiterer Operator derselbenMassendimension und Indexstruktur konstruiert werden, n�amli h Æ�!fb d� (y) d(y); dieser ist je-do h symmetris h in (�; !), w�ahrend der gluonis he Operator in diesen Indi es antisymmetris hist. Die Operatorproduktentwi klung nimmt also eine triviale Form an, und es ist ni ht n�otig,besondere Ma�nahmen f�ur die Mis hung des zusammengesetzten Operators zu tre�en.Es wurde bereits gesagt, dass die Renormierungsprozedur ni ht eindeutig ist und wir unsf�ur diese Arbeit auf das den perturbativen Limes erhaltende MS-S hema festlegen, wel hes ei-ne Kompensation der 1" -Divergenzen dur h perturbative Gegenterme vorsieht. Die Gegentermewerden formal zum q-Integral in (4.13) hinzugef�ugt,Q�!%0(p)! Q�!%0(p) + COCT�!%0(p); (4.86)wobei COCT f�ur " omposite operator ounter terms\ steht. S hematis h l�asst si h dies dur hErg�anzung des divergenten Diagramms (4.10) dur h einen von den Gegentermen erzeugten neuenVertex darstellen,(4:10) �!Æ �p

���p2 � q ���p2 + q �pj �3V j +� �p �pj � j : (4.87)

Die Gegenterme sind im MS-Renormierungss hema gerade so bes ha�en, dass die zu1" � E + ln(4�) (4.88)

52 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationproportionalen Anteile in (4.83) subtrahiert werden. Na h Dur hf�uhrung der Renormierung kanndie Regularisierung fallengelassen werden, d.h. "! 0, weil das p-Integral in D = 4 Dimensionenkonvergiert. Die Kopplung �g20 = g2�2"Z� geht wegen Z� = 1 + O(g2) in g2 �uber, da wir nur inEins hleifenordnung re hnen. Einsetzen in (4.13) ergibtFSK����2;ab (x; y) = NCÆabig2(4�)2 Z d4p(2�)4 hÆ��Æ�! (Æ�%�� � Æ�%��) eip�(x�y)+ Æ��Æ�! �Æ�%�� � Æ�%��� eip�(y�x)i t%%0(�p)N [r℄2V T (p2) 3Xk=1 r+1Xl1;l2=1R[r℄k;l1l2(p2)� 3Xj=2d�!%0j (p)"Akj(p2) +Qkj5(1; p2) ln p2 + �[r℄l1 �2�2 +Qkj7(1; p2) ln p2�2+ 6Xm=4 1Z0 ds %kjm(s; p2)p2 + s #: (4.89)Die zu p%0 proportionalen Terme (j = 1 und j = 4) werden dur h den Transversalprojektort%%0(�p) aufgehoben.4.5 Das �au�ere ImpulsintegralDie in Abs hnitt 4.2 vorgenommene Partialbru hzerlegung wird dur h Einbeziehung des verblei-benden Nenners N [r℄2V T (p2) fortgef�uhrt. R[r℄k;l1l2(p2) ist vom Grade r, N [r℄2V T (p2) vom Grade r + 1in p2, somit ist R[r℄k;l1l2(p2)N [r℄2V T (p2) = r+1Xl3=1 � [r℄k;l1l2l3p2 + �[r℄l3 �2 (4.90)mit den Residuen � [r℄k;l1l2l3 = R[r℄k;l1l2 ���[r℄l3 �2�r+1Qk3=1k3 6=l3 ��[r℄k3 � �[r℄l3 ��2 : (4.91)Einsetzen der R[r℄k;l1l2 aus (4.15) bis (4.17) f�uhrt auf die symmetris hen Ergebnisse� [r℄1;l1l2l3 = F [r℄0 ���[r℄l3 �2;��[r℄l1 �2;��[r℄l2 �2�3Qn=124 r+1Qkn=1kn 6=ln ��[r℄kn � �[r℄ln ��235 ; (4.92)� [r℄2;l1l2l3 = F [r℄0 ���[r℄l1 �2;��[r℄l2 �2;��[r℄l3 �2�3Qn=124 r+1Qkn=1kn 6=ln ��[r℄kn � �[r℄ln ��235 ; (4.93)� [r℄3;l1l2l3 = F [r℄0 ���[r℄l2 �2;��[r℄l3 �2;��[r℄l1 �2�3Qn=124 r+1Qkn=1kn 6=ln ��[r℄kn � �[r℄ln ��235 (4.94)

4.5. Das �au�ere Impulsintegral 53f�ur die Residuen.F�ur die Ausf�uhrung des p-Integrals nutzen wir aus, dass si h die positiven Potenzen von pdur h Ableitung na h x aus dem Fourier-Faktor erzeugen und vor das Integral ziehen lassen,p�eip�(x�y) = �i��eip�(x�y): (4.95)Es folgtFSK����2;ab (x; y) = NCÆabg2(4�)2 3Xk=1 r+1Xl1;l2;l3=1 � [r℄k;l1l2l3�hÆ��Æ�! (Æ�%�� � Æ�%��)� Æ��Æ�! �Æ�%�� � Æ�%��� i�(�Æ�%0�!Ak2(��2) + Æ!%0��Ak3(��2)� Z d4p(2�)4+Æ�%0�! Z d4p(2�)4 0�Qk25(1;��2) ln p2 + �[r℄l1 �2�2 +Qk27(1;��2) ln p2�21A+Æ!%0�� Z d4p(2�)4 0�Qk35(1;��2) ln p2 + �[r℄l1 �2�2 +Qk37(1;��2) ln p2�21A+ 6Xm=4 2Xn=0 ���2�n 1Z0 ds�Æ�%0�! ~%k2mn(s) + Æ!%0�� ~%k3mn(s)�� Z d4p(2�)4 1p2 + s)Æ%%0 + �%�%0p2p2 + �[r℄l3 �2 eip�(x�y); (4.96)wobei die "wahren\ Spektraldi hten ~%kjmn(s) �uber%kjm(s; p2) = 2Xn=0 ~%kjmn(s)p2n (4.97)de�niert sind. Die beiden Fourier-Faktoren in (4.89) wurden hier dur h Substitution der Inte-grationsvariablen p ! �p im zweiten Integral zusammengefasst, wobei t%%0(p) = t%%0(�p) undd�!%0j (�p) = �d�!%0j (p) benutzt wurde. Au�erdem wurdet%%0(p)eip�(x�y) = Æ%%0 + �%�%0p2 ! eip�(x�y) (4.98)verwendet.Die Impulsintegrale nehmen jetzt die FormZ d4p(2�)4 f(p2)eip�(x�y) (4.99)der vierdimensionalen Fourier-Transformierten einer Funktion an, die nur von der Norm jpj deszu transformierenden Impulsvektors p abh�angt. In Anhang D.3 wird die allgemeine FormelZ d4p(2�)4 f(p2)eip�(x�y) = 14�2jx� yj 1Z0 djpj p2f(p2) J1 (jpjjx� yj) (4.100)

54 Kapitel 4. Der "halb-ni htabels he\ Teil der Feldst�arkenkorrelationzur Dur hf�uhrung dieser Fourier-Transformation hergeleitet. Die Winkelintegration l�asst si hdemgem�a� vollst�andig ausf�uhren und f�uhrt unabh�angig von der Funktion f(p2) auf eine J1-Besselfunktion. Ausgehend von dieser Formel wird ebenfalls in Anhang D.3 au h das letztejpj-Integral f�ur die meisten der vorkommenden Funktionen f gel�ost. Ledigli h die ln p2 undln�p2 + �[r℄l1 �2� enthaltenden Randterme in (4.96) widersetzen si h einer derartigen Behandlung.Es ergeben si h die FormelnZ d4p(2�)4 1p2 + a eip�(x�y) = pa4�2jx� yj K1 �pa jx� yj� ; (4.101)Z d4p(2�)4 1p2(p2 + a) eip�(x�y) = 14�2pa jx� yj�� 1pa jx� yj �K1(pa jx� yj)� ; (4.102)Z d4p(2�)4 1(p2 + a)(p2 + b) eip�(x�y) = paK1(pa jx� yj)�pbK1(pb jx� yj)4�2(b� a)jx� yj ; (4.103)Z d4p(2�)4 1p2(p2 + a)(p2 + b) eip�(x�y) = 14�2ab(x� y)2 + 14�2(b� a)jx� yj (4.104)�� 1pb K1(pb jx� yj)� 1pa K1(pa jx� yj)�:Die Integrale f�uhren wie beim abels hen Teil auf K1-Besselfunktionen. Man bea hte, dass (4.101)selbstverst�andli h mit (D.11) �ubereinstimmt.In (4.96) treten partielle Ableitungen von K1(mjx�yj)=jx�yj na h Komponenten von x�ybis zur a hten Ordnung auf. Da jeder Term den Faktor 1=�p2 + �[r℄l3 �2� enth�alt, kann dur hPolynomdivision p2p2 + �[r℄l3 �2 = 1� �[r℄l3 �2p2 + �[r℄l3 �2 (4.105)der Z�ahlergrad und damit die Zahl der Ableitungen auf se hs reduziert werden. Wie diese Ablei-tungen bere hnet werden, ist Anhang C.3 zu entnehmen. Wie beim abels hen Teil treten Termemit K0- bzw. K1-Besselfunktionen auf.Da vom Einsetzen der Ableitungen in (4.96) und Ausmultiplizieren keine Vereinfa hung desAusdru ks zu erwarten ist, f�uhre i h diese Operationen ni ht mehr dur h und beende an dieserStelle die Diskussion des "halb-ni htabels hen\ Teils der Feldst�arkenkorrelation.

55Zusammenfassung und Ausbli kIn der vorliegenden Arbeit wurde die Feldst�arkenkorrelation in einer ni htabels hen Ei htheoriein Eins hleifenordnung im Rahmen eines systematis hen ni htperturbativen N�aherungsverfah-rens bere hnet. Der vom abels hen Teil stammende Beitrag konnte bis auf Korrekturen dur hdie Dyson-S hwinger-Glei hung (3.5) vollst�andig bere hnet werden, und zwar sowohl im Eu-klidis hen (3.17) als au h im Minkowskis hen (3.23). Er zeigt Divergenzen f�ur vers hwindendeAbst�ande sowie eine exponentiell abfallende Asymptotik, was man von einer Feldst�arkenkorre-lation au h erwarten w�urde. Au h steht dieses Resultat in Einklang mit dem Ph�anomen desCon�nement. Ein ges hlossener Ausdru k f�ur den zweiten Beitrag auf Eins hleifenniveau, den"halb-ni htabels hen\ Teil der Feldst�arkenkorrelation, konnte im Rahmen der vorliegenden Ar-beit zwar ni ht ermittelt werden; denno h lassen si h einige qualitative Aussagen tre�en. Zumeinen konnte eine Spektraldarstellung f�ur den "halb-ni htabels hen\ Teil (4.96) angegeben wer-den, die auf die Existenz massiver Gluonen hinweist. Zum anderen treten bei der S hleifen-integration dieselben Funktionen auf wie beim abels hen Teil, n�amli h modi�zierte K0- undK1-Besselfunktionen, was qualitativ �ahnli hes asymptotis hes Verhalten beider Teile nahelegt.Da bei der Bere hnung des "halb-ni htabels hen\ Teils mit reellen Propagatorpolen gere hnetwurde, was stabilen Teil hen entspri ht, ist die �Ubertragung der Re hnung auf den physikalis hrelevanten Fall konjugiert komplexer Polpaare eine naheliegende Aufgabe. Insbesondere die Be-stimmung der Spektraldi hten wird dur h Einf�uhrung komplexer Wegintegrale zu modi�zierensein.Ein ungel�ostes Problem im zweifa hen Sinne stellen die ln p2 enthaltenden Terme im "halb-ni htabels hen\ Teil dar. Zum einen k�onnen die entspre henden Impulsintegrale meines Wissensni ht ges hlossen gel�ost werden; man ist m�ogli herweise auf N�aherungen angewiesen. Dar�uber-hinaus deuten Ausdr�u ke der Form ln p2 auf masselose Gluonen hin, die in unserer Theorie ni htauftreten sollten. M�ogli herweise wird si h herausstellen, dass diese Terme dur h den Geister-beitrag der Korrekturen zum abels hen Teil kompensiert werden. Falls dies ni ht der Fall ist,muss eine andere Erkl�arung gefunden werden.

56 Zusammenfassung und Ausbli k

57Anhang AFeynmanregeln undDyson-S hwinger-Glei hungen derQCDA.1 SU(NC)-AlgebraDie relevanten Relationen der SU(NC)-Algebra �nden si h beispielsweise in [PT 84℄, [SIB 01℄.� Strukturkonstanten der SU(NC): [Ta; Tb℄ = ifab T (A.1)mit (NC = 3) f123 = 1f147 = �f156 = f246 = f257 = f345 = �f367 = 12f458 = f678 = p32 (A.2)Als Strukturkonstanten einer halb-einfa hen Lie-Algebra sind die fab total antisymme-tris h.� Darstellungen:Die Gluonfelder transformieren si h in der adjungierten Darstellung, de�niert dur h(Ta)b = �ifab ; (A.3)w�ahrend si h die Fermionfelder in der Fundamentaldarstellung transformieren. In diesemFall ist Ta = �a2 (A.4)mit hermites hen, spurfreienNC�NC -dimensionalen Verallgemeinerungen der Gell-Mann-

58 Anhang A. Feynmanregeln und Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCDMatrizen (NC = 3)�1 = 0B� 0 1 01 0 00 0 0 1CA �2 = 0B� 0 �i 0i 0 00 0 0 1CA �3 = 0B� 1 0 00 �1 00 0 0 1CA�4 = 0B� 0 0 10 0 01 0 0 1CA �5 = 0B� 0 0 �i0 0 0i 0 0 1CA �6 = 0B� 0 0 00 0 10 1 0 1CA�7 = 0B� 0 0 00 0 �i0 i 0 1CA �8 = 1p3 0B� 1 0 00 1 00 0 �2 1CA(A.5)

� Identit�aten f�ur Strukturkonstanten:fTa; Tbg = 1NC Æab1+ dab T (A.6)mit den total symmetris hen Gr�o�en dab , die f�ur NC = 3d118 = d228 = d338 = �2d448 = �2d558 = �2d668 = �2d778 = �d888 = 1p3 ;d146 = d157 = �d247 = d256 = d344 = d355 = �d366 = �d377 = 12 (A.7)lauten. Alle anderen ni ht dur h Indexpermutation erzeugbaren dab vers hwinden.fa ddb d = 0 (A.8)fa dfb d = NCÆab (A.9)A.2 Erzeugende FunktionaleWir formulieren die erzeugenden Funktionale f�ur die vers hiedenen Green's hen Funktionen ineuklidis her Impulsraumdarstellung.� Erzeugendes Funktional Z f�ur Korrelationsfunktionen GnZ [J; !; �!; �; ��℄ = R DAD� D D � D e�S[A;� ; ; � ; ℄+j[A;� ; ; � ; ;J;!;�!;�;��℄R DAD� D D � D e�S[A;� ; ; � ; ℄ (A.10)mit dem Quellterm im Impulsraumj �A; � ; ; � ; ;J; !; �!; �; ��� = Z d4p(2�)4 �A�a(�p)J�a (p) + � a(�p)!a(p) + �!a(�p) a(p)+ NFXf=1� � k(f)(�p)�k(f)(p) + ��k(f)(�p) k(f)(p)� � (A.11)� Erzeugendes Funktional W f�ur verbundene Green's he Funktionen G( )nW [J; !; �!; �; ��℄ = lnZ [J; !; �!; �; ��℄ (A.12)

A.3. Korrelationsfunktionen 59� Erzeugendes Funktional ("e�ektive Wirkung\) � f�ur Vertexfunktionen �nDieses erh�alt man dur h eine funktionale Legendre-Transformation aus W ,� hA; � ; ; � ; i =W [J; !; �!; �; ��℄� j hA; � ; ; � ; ;J; !; �!; �; ��i ; (A.13)wobei die Quellen dur h die "klassis hen Felder\A�a(p) = ÆW [J; !; �!; �; ��℄ÆJ�a (p) ; analog f�ur die anderen Felder, (A.14)ersetzt werden.Die Green's hen Funktionen Gn, G( )n, �n erh�alt man dur h n-fa he Funktionalableitung derFunktionale Z, W , � na h ihren Argumenten (Quellen bzw. klassis hen Feldern) und ans hlie-�endes Setzen aller Argumente auf Null. Einzelheiten entnehme man [DRI 97℄.A.3 KorrelationsfunktionenDie Beziehung zwis hen den vollen Green's hen Funktionen im Orts- und Impulsraum formulie-ren wir f�ur beliebige Skalar-, Vektor- oder Spinorfelder �j , wobei j den Feldtyp repr�asentiert:Gj1���jn(x1; : : : ; xn) = h0j�j1(x1) � � � �jn(xn) j0i (A.15)= Z dDk1 � � � dDkn(2�)nD ei(k1�x1+:::+kn�xn) h0j ~�j1(k1) � � � ~�jn(kn) j0imith0j ~�j1(k1) � � � ~�jn(kn) j0i = (2�)DÆ(D)(k1 + : : :+ kn) ~Gj1���jn(k1; : : : ; kn)���k1+:::+kn=0 (A.16)In diesen allgemeinen Relationen sind s�amtli he Lorentz-, Farb- und Spinorindi es unterdr�u kt.Die Kennzei hnung "~\ von Gr�o�en im Impulsraum wird in dieser Arbeit weggelassen, wennVerwe hslungen ni ht zu bef�ur hten sind. Die vollen Green's hen Funktionen werden dur h Dia-gramme wie G3V =�G3V (A.17)dargestellt. Die eingezei hneten "Beine\ geben Zahl und Typ der �au�eren Felder an und sollenni ht andeuten, dass an den �au�eren Linien na kte Propagatoren sitzen.A.4 VertexfunktionenWir geben nur die sieben ober �a hli h divergenten Verti es der QCD an. Die vollen Propagatorensind jeweils das negative Inverse des entspre henden Zweipunkt-Vertex, der Selbstenergie. DieDrei- und Vierpunkt-Verti es verstehen si h als in den �au�eren Beinen amputiert. Alle Impulsesind einlaufend.

60 Anhang A. Feynmanregeln und Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCD� Gluon-Propagator: D��ab (p) = ÆabD��(p)= � �p�a �b (A.18)� Geist-Propagator: DGab(p) = ÆabD(p2)= � �pa b (A.19)� Fermion-Propagator: Sjk(f)(p) = ÆjkS(f)(p)= � �pj k (A.20)� Drei-Gluonen-Vertex:i�g0 �3V ���ab (k; p; q)= �k pq�a � b

� �3V (A.21)� Vier-Gluonen-Vertex:

(i�g0)2 �4V ����ab d (k; p; q; r)= �kp qr� a� b

� � d�4V (A.22)

� Fermion-Gluon-Vertex:i�g0 �V �FF (f)�jka (p; q; r)= �r pq

kj �a�V �FF (f) (A.23)� Geist-Gluon-Vertex:

i�g0 �V �GG�ab (k; p; q)= �qk p

� a b�V �GG (A.24)

A.5. Beziehungen zwis hen Vertexfunktionen 61A.5 Beziehungen zwis hen Vertexfunktionen� Gluonpropagator: G2V ��ab (�k; k) = D��ab (k) = ÆabD��(k) (A.25)Transversal- und Longitudinalprojektor:t��(k) = Æ�� � k�k�k2 (A.26)l��(k) = k�k�k2 (A.27)Zerlegung des Gluonpropagators bez�ugli h seiner Tensorstruktur:D��(k) = t��(k)DT (k2) + l��(k)DL(k2) (A.28)� Zerlegung von G3V :G3V ���ab (k; p; q) = i�g0D�0�(k)D�0�(p)D�0�(q)�3V �0�0�0ab (k; p; q) (A.29)�G3V = ��3V (A.30)

� Zerlegung von G( )4V :G( )4V ����ab d (k; p; q; r) = D�0�(k)D�0�(p)D�0�(q)D�0�(r)T4�0�0�0�0ab d (k; p; q; r) (A.31)mit dem verbundenen, amputierten Teil der Vier-Gluonen-KorrelationsfunktionT4����ab d (k; p; q; r) = �3V ��%abe (k; p;�k � p)D!%(k + p)�3V ��! de (q; r; k + p)+�3V ��%a e (k; q;�k � q)D!%(k + q)�3V ��!bde (p; r; k + q)+�3V ��%ade (k; r;�k � r)D!%(k + r)�3V ��!b e (p; q; k + r)+�4V ����ab d (k; p; q; r) (A.32)� Farbstruktur von �3V :�3V ���ab (k; p; q) = fab �(f)3V ���(k; p; q) + dab �(d)3V ���(k; p; q) (A.33)mit dab : vollst�andig symmetris her Tensor aus (A.6)

62 Anhang A. Feynmanregeln und Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCDA.6 St�orungstheoretis he Verti esDur h Fourier-Transformation der Felder gelangt man von (1.1) zur Wirkung der QCD imImpulsraum,S[A; � ; ; � ; ℄ = �12 Z d4p(2�)4 A�a(�p) ��Æab �Æ��p2 � �1� 1�0� p�p���A�b (p)�16 �g0 Z d4p d4q(2�)8 A�a(p)A�b (q)A� (�p� q)�(�ifab ) [Æ��(q � p)� + Æ��(�p� 2q)� + Æ��(2p+ q)� ℄� 124 �g20 Z d4p d4q d4k(2�)12 A�a(p)A�b (q)A� (k)A�d(�p� q � k)�hfabef de(Æ��Æ�� � Æ��Æ��) + fa efbde(Æ��Æ�� � Æ��Æ��)+fadefb e(Æ��Æ�� � Æ��Æ��)i� Z d4p(2�)4 � a(�p) h�Æabp2i b(p)��g0 Z d4p d4q(2�)8 � a(p) b(�p� q)A� (q) (�ifab p�)� NFXf=1 Z d4p(2�)4 � j(f)(�p) h�Æjk �p=+m(f)�i k(f)(p)� NFXf=1 �g0 Z d4p d4q(2�)8 � j(f)(p)��(Ta)jk �� k(f)(�p� q)A�a(q); (A.34)an der si h die st�orungstheoretis hen ("na kten\) Verti es ablesen lassen, die den ober �a hli hdivergenten Verti es in niedrigster perturbativer Ordnung entspre hen. Die na kten Propagato-ren stellen dabei das negative Inverse der entspre henden na kten Zweipunkt-Verti es dar,D(0)(p) = � h�(0)2V (�p; p)i�1 : (A.35)Diese Notation unterdr�u kt alle Indi es. �Ahnli he Beziehungen gelten f�ur Geist- und Fermion-propagator. Wie bei den "angezogenen\ Verti es verstehen si h in der folgenden Aufstellungs�amtli he Impulse als einlaufend.� na kter Gluon-Propagator:D(0)��ab (p) = Æab 1p2 �Æ�� � (1� �0)p�p�p2 � (A.36)= � �p�a �b� na kter Geist-Propagator: D(0)G ab(p) = Æab 1p2 (A.37)= � �pa b

A.6. St�orungstheoretis he Verti es 63� na kter Fermion-Propagator:S(0)(f)jk(p) = Æjk 1p=+m(f) (1:6)= �Æjk p=�m(f)p2 +m(f)2 (A.38)= � �pj k� na kter Drei-Gluonen-Vertex:�(0)3V ���ab (k; p; q) = ifab [Æ��(k � p)� + Æ��(p� q)� + Æ��(q � k)� ℄ (A.39)= �k pq�a � b

� � na kter Vier-Gluonen-Vertex:�(0)4V ����ab d = feabfe d(���� � ����) (A.40)+fea fedb(���� � ����)+feadfeb (���� � ����)= �� a

� b� � d

� na kter Fermion-Gluon-Vertex:�(0)V �FF (f)�jka = �(Ta)jk � (A.41)= �k

j �a� na kter Geist-Gluon-Vertex:�(0)V �GG�ab (k) = �ifab k� (A.42)

64 Anhang A. Feynmanregeln und Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCD= �k

� a bA.7 Dyson-S hwinger-Glei hungenDie Herleitung der Dyson-S hwinger-Glei hungen erfolgt �uber die Forderung, dass das Pfadin-tegral �uber eine Funktionalableitung na h einem der Felder vers hwindet1. Beispielsweise gilt inder QCD bei Ableitung na h dem Ei hfeld A�a(x)0 = N Z DAD� D D � D ÆÆA�a (x)e�S[A;� ; ; � ; ℄+j[A;:::;J;:::℄= N Z DAD� D D � D ��ÆS [A; : : :℄ÆA�a(x) + J�a (x)� e�S[A;:::℄+j[A;:::;J;:::℄; (A.43)was auf die funktionale Dyson-S hwinger-Glei hung im Gluonkanal f�uhrt,8><>:�ÆS �A; � ; ; � ; �ÆA�a (x) �����A�a(x)�! ÆÆJ�a (x) ;::: + J�a (x)9>=>;Z [J; !; �!; �; ��℄ = 0: (A.44)Die Felder in ÆSÆA sind in diesem Ausdru k dur h Funktionalableitungen na h ihren Quellenzu ersetzen, wobei � und � auf Grund ihrer Gra�mannwertigkeit ein Minuszei hen erhalten.Ausf�uhrung der Ableitungen ergibt die ausf�uhrli here Version dieser Glei hung,(� 1�0 � 1� ���� ÆÆJ�a (x) + �2 ÆÆJ�a (x)+�g0fab �� ÆÆJ�b (x) ÆÆJ� (x) + ÆÆJ�b (x)�� ÆÆJ� (x) + ÆÆJ� (x)�� ÆÆJ�b (x)!+�g20fab fbde ÆÆJ�d (x) ÆÆJ� (x) ÆÆJ�e (x) + �g0fab ��� ÆÆ!b(x)� ÆÆ�! (x)+�g0 NFXf=1 ÆÆ�j(f);�(x) (Ta)jk ��� ÆÆ ��k(f);�(x) + J�a (x))Z[J; !; �!; �; ��℄ = 0: (A.45)Die funktionalen Dyson-S hwinger-Glei hungen bilden den Ausgangspunkt f�ur die Dyson-S hwinger-Glei hungen der Vertexfunktionen �N . Man erh�alt sie dur h (N�1)-fa he funktionaleAbleitung von (A.45) na h den den Feldern zugeordneten Quellen und ans hlie�endes Nullsetzenderselben. Die Dyson-S hwinger-Glei hungen lassen si h sowohl im Orts- als au h im Impulsraum1Voraussetzung ist hinrei hend s hnelles Abfallen des Gewi htsfaktors exp(�S) im Unendli hen. Dies ist beiden meisten realistis hen Theorien der Fall, so au h bei der QCD.

A.7. Dyson-S hwinger-Glei hungen 65formulieren; die letztgenannte Variante ergibt si h wie �ubli h dur h eine Fourier-Transformation.Beispielsweise lautet die Dyson-S hwinger-Glei hung f�ur den 2-Gluonen-Vertex im Impulsraum�2V ��ab (k;�k) = �(0)2V ��ab (k;�k)+12�g20 Z dDp(2�)D�(0)3V ���a d (k;�p; p� k)D��e (p)D��hd (k � p)�3V ���beh (�k; p; k � p)+16�g40�(0)4V ����a de Z dDpdDq(2�)2D D��hd (p)D��le (k � p� q)D��m (q)��4V ����hlmb(p; k � p� q; q;�k)+12�g40�(0)4V ����a de Z dDpdDq(2�)2D D��hd (p)D��le (k � p� q)D��m (q)��3V ��Æhmn(p; q;�p� q)D!Æon(p+ q)�3V ��!lbo (k � p� q;�k; p+ q)+12�g20�(0)4V ����ab d Z dDp(2�)DD�� d (p)��g20 Z dDp(2�)D �(0)V �GG�a d(p)DG e(p)DGhd(p+ k)�V �GG�beh(�p; p+ k;�k)��g20 NFXf=1�(0)V �FF (f)�ija��� Z dDp(2�)D Sp hSjj0(f)(�p)�V �FF (f)�j0i0b (p; k � p;�k)Si0i(f)(k � p)i : (A.46)Die graphis he Version dieser Glei hung ist in (1.15) dargestellt.

66 Anhang A. Feynmanregeln und Dyson-S hwinger-Glei hungen der QCD

67Anhang BS hleifenintegraleB.1 Feynman-ParametrisierungFeynman-Parametrisierung1:Die Zusammenfassung der Nenner in S hleifenintegralen ges hieht mittels Feynman-Parame-trisierung in der Form1a1�1 � � � an�n = �(�1 + : : : + �n)�(�1) � � ��(�n) 1Z0 dz1z1n�2 1Z0 dz2z2n�3 � � � 1Z0 dzn�1� x1�1�1x2�2�1 � � � xn�n�1(a1x1 + a2x2 + : : : + anxn)�1+:::+�n (B.1)mit x1 = 1� z1;x2 = z1(1� z2);x3 = z1z2(1� z3);...xn�1 = z1 � � � zn�2(1� zn�1);xn = z1 � � � zn�1: (B.2)F�ur �1 = : : : = �n = 1 reduziert si h (B.1) auf1a1 � � � an = �(n) 1Z0 dz1z1n�2 1Z0 dz2z2n�3 � � � 1Z0 dzn�1 (a1x1 + a2x2 + : : : + anxn)�n :(B.3)B.2 ImpulsintegrationMit Hilfe symmetris her Integration2,Z dDk(2�)D k�k�f(k2) = Æ��D Z dDk(2�)D k2f(k2); (B.4)1siehe [BL 93℄2siehe [YND 83℄

68 Anhang B. S hleifenintegraleZ dDk(2�)D k�k�k�k�f(k2) = Æ��Æ�� + Æ��Æ�� + Æ��Æ��D(D + 2) Z dDk(2�)D (k2)2f(k2); (B.5)Z dDk(2�)D k�1 � � � k�2n�1f(k2) = 0 8 n 2 N; (B.6)lassen si h die Impulsintegrale auf Standardform bringen und mit der Standardformel der D-dimensionalen euklidis hen IntegrationZ dDk(2�)D (k2)�(k2 +M2)� = � �D2 + ����� � �� D2 �(4�)D2 ��D2 �� (�) (M2)D2 +��� (B.7)l�osen. In dieser Arbeit werden insbesondereZ dDk(2�)D 1(k2 +M2)4 = �(2 + ")6(4�)2�" (M2)�2�"; (B.8)Z dDk(2�)D k�k�(k2 +M2)4 = Æ�� �(1 + ")12(4�)2�" (M2)�1�"; (B.9)Z dDk(2�)D k2(k2 +M2)4 = (4� 2")�(1 + ")12(4�)2�" (M2)�1�"; (B.10)Z dDk(2�)D k�k�k�k�(k2 +M2)4 = �Æ��Æ�� + Æ��Æ�� + Æ��Æ��� �(")24(4�)2�" (M2)�"; (B.11)Z dDk(2�)D k�k�k2(k2 +M2)4 = Æ�� (3� ")�(")12(4�)2�" (M2)�"; (B.12)Z dDk(2�)D �k2�2(k2 +M2)4 = (4� 2")(3 � ")�(")12(4�)2�" (M2)�" (B.13)mit D = 4� 2" ben�otigt.B.3 ParameterintegrationB.3.1 HilfsintegraleMittels elementarer Integrationsregeln (siehe [BRN 00℄) erh�alt man die folgenden Integrale3.Au�erdem wurden die Integrale mit Hilfe des Computeralgebrasystems Mathemati a numeris h�uberpr�uft.� Rationale Funktionen: 1Z0 dx 1Ax+B = 1A ln A+BB (B.14)Mit iterierter partieller Integration folgt allgemein f�ur n 2 N1Z0 dx xnAx+B = nXj=1 ��BA�n�jjA + ��BA�nA ln A+BB (B.15)3Weitere �ndet man in [DD 84℄.

B.3. Parameterintegration 69und speziell 1Z0 dx xAx+B = 1A � BA2 ln A+BB ; (B.16)1Z0 dx x2Ax+B = 12A � BA2 + B2A3 ln A+BB ; (B.17)1Z0 dx x3Ax+B = 13A � B2A2 + B2A3 � B3A4 ln A+BB ; (B.18)1Z0 dx x4Ax+B = 14A � B3A2 + B22A3 � B3A4 + B4A5 ln A+BB ; (B.19)1Z0 dx x5Ax+B = 15A � B4A2 + B23A3 � B32A4 + B4A5 � B5A6 ln A+BB : (B.20)� Logarithmen: 1Z0 dx ln(Ax+B) = �1 + ln(A+B) + BA ln A+BB (B.21)Wiederum dur h iterierte partielle Integration folgt allgemein f�ur n 2 N01Z0 dx xn ln(Ax+B) = 1n+ 1" ln(A+B)� nXj=0 ��BA�n�jj + 1���BA�n+1 ln A+BB # (B.22)und speziell1Z0 dx x ln(Ax+B) = �14 + B2A + ln(A+B)2 � B22A2 ln A+BB ; (B.23)1Z0 dx x2 ln(Ax+B) = �19 + B6A � B23A2 + ln(A+B)3 + B33A3 ln A+BB ; (B.24)1Z0 dx x3 ln(Ax+B) = � 116 + B12A � B28A2 + B34A3+ln(A+B)4 � B44A4 ln A+BB ; (B.25)1Z0 dx x4 ln(Ax+B) = � 125 + B20A � B215A2 + B310A3 � B45A4+ln(A+B)5 + B55A5 ln A+BB ; (B.26)

70 Anhang B. S hleifenintegrale1Z0 dx x5 ln(Ax+B) = � 136 + B30A � B224A2 + B318A3 � B412A4 + B56A5+ln(A+B)6 � B66A6 ln A+BB : (B.27)� Die folgenden Integrale werden dur h Zerlegung des Arguments des Logarithmus in Li-nearfaktoren auf die soeben bere hneten zur�u kgef�uhrt. In diesem Zusammenhang sei auffolgendes Problem hingewiesen: Die zu verwendende Formelln(AB) = lnA+ lnB (B.28)setzt �� < argA + argB � � voraus, wenn "ln\ wie �ubli h den Hauptzweig des Loga-rithmus bezei hnet. Ansonsten l�auft man in einen Nebenzweig. Die G�ultigkeit dieser Be-dingung wurde bei der Herleitung der folgenden Formeln ni ht explizit �uberpr�uft. H�au�gist es aber m�ogli h, die hergeleiteten Formeln �uber den G�ultigkeitsberei h von (B.28) hin-aus analytis h fortzusetzen. Dies s heint hier der Fall zu sein, was dur h die numeris he�Uberpr�ufung mit Mathemati a nahegelegt wird.1Z0 dx ln(Ax2 +Bx+ C) = �2 + ln(A+B + C) + B2A ln A+B + CC+pB2 � 4AC2A ln B + 2C �pB2 � 4ACB + 2C +pB2 � 4AC (B.29)1Z0 dx x ln(Ax2 +Bx+ C) = �12 + B2A + ln(A+B + C)2+ C2A � B24A2! ln A+B + CC+ B4A2pB2 � 4AC ln B + 2C +pB2 � 4ACB + 2C �pB2 � 4AC (B.30)1Z0 dx x2 ln(Ax2 +Bx+ C) = �29 + B + 4C6A � B23A2 + ln(A+B + C)3+ B36A3 � BC2A2! ln A+B + CC (B.31)+ B26A3 � C6A2!pB2 � 4AC ln B + 2C �pB2 � 4ACB + 2C +pB2 � 4AC1Z0 dx x3 ln(Ax2 +Bx+ C) = �18 + B + 3C12A � B2 + 6BC8A2 + B34A3 + ln(A+B + C)4� B48A4 � B2C2A3 + C24A2! ln A+B + CC (B.32)+ B38A4 � BC4A3!pB2 � 4AC ln B + 2C +pB2 � 4ACB + 2C �pB2 � 4AC

B.3. Parameterintegration 711Z0 dx x4 ln(Ax2 +Bx+ C) = � 225 + 3B + 8C60A � 2B2 + 9BC + 12C230A2 + B3 + 8B2C10A3� B45A4 + ln(A+B + C)5+ B510A5 � B3C2A4 + BC22A3 ! ln A+B + CC+ B410A5 � 3B2C10A4 + C210A3!pB2 � 4AC� ln B + 2C �pB2 � 4ACB + 2C +pB2 � 4AC (B.33)1Z0 dx x5 ln(Ax2 +Bx+ C) = � 118 + 2B + 5C60A � B2 + 4BC + 4C224A2+B3 + 6B2C + 15BC218A3 � B4 + 10B3C12A4 + B56A5+ln(A+B + C)6� B612A6 � B4C2A5 + 3B2C24A4 � C36A3! ln A+B + CC+ B512A6 � B3C3A5 + BC24A4 !pB2 � 4AC� ln B + 2C +pB2 � 4ACB + 2C �pB2 � 4AC (B.34)B.3.2 Parameterintegrale mit zwei Integrationsvariablen1Z0 dz1 1Z0 dz2 z3(1� z3) = z3(1� z3) (B.35)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z32(1� z3) = z32(1� z3) (B.36)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z3(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3)= z32 � (b+ )z3ab ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a+z3 � 1b ln z3 + a� z32 � (a� b� )z3 + a + (z32 � z3)ab ln z3 + a +z3 � 1b ln(1� z3)� z3a ln z3 (B.37)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z32(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3)

72 Anhang B. S hleifenintegrale= z33 � (b+ )z32ab ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a+z32 � z3b ln z3 + a� z32 � (a� b� )z3 + a + (z33 � z32)ab ln z3 + a +z32 � z3b ln(1� z3)� z32a ln z3 (B.38)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z33(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3)= z34 � (b+ )z33ab ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a+z33 � z32b ln z3 + a� z32 � (a� b� )z3 + a + (z34 � z33)ab ln z3 + a +z33 � z32b ln(1� z3)� z33a ln z3 (B.39)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z34(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3)= z35 � (b+ )z34ab ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a+z34 � z33b ln z3 + a� z32 � (a� b� )z3 + a + (z35 � z34)ab ln z3 + a +z34 � z33b ln(1� z3)� z34a ln z3 (B.40)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z33(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1 � z3))2= z32ab �ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a + ln z3 + a � (B.41)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z34(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1 � z3))2= z33ab �ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a + ln z3 + a � (B.42)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z35(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1 � z3))2= z34ab �ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a + ln z3 + a � (B.43)

B.3. Parameterintegration 731Z0 dz1 1Z0 dz2 z36(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1 � z3))2= z35ab �ln � z3 + b+ � z32 � (a� b� )z3 + a + ln z3 + a � (B.44)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z3(1� z3) ln az1(1� z3) + bz1z3 + z3(1� z3)�2= 3z322 � 3z32 � (z32 � z3) ln � z32 � (a� b� )z3 + a�2+ 2z34 � 2(b+ ) z33 + (b+ )2z322ab ln � z32 � (a� b� )z3 + a� z3 + b+ +2 z33 + (a� 4 )z32 � 2(a� )z3 + a2b ln � z32 � (a� b� )z3 + a z3 + a+ 2(z34 � 2z33 + z32)2ab ln z3 + a + 2 z33 � (b+ 2 )z322a ln z3�2 z33 + (a� 4 )z32 � 2(a� )z3 + a2b ln(1� z3) (B.45)1Z0 dz1 1Z0 dz2 z32(1� z3) ln az1(1� z3) + bz1z3 + z3(1� z3)�2= 3z332 � 3z322 � (z33 � z32) ln � z32 � (a� b� )z3 + a�2+ 2z35 � 2(b+ ) z34 + (b+ )2z332ab ln � z32 � (a� b� )z3 + a� z3 + b+ +2 z34 + (a� 4 )z33 � 2(a� )z32 + az32b ln � z32 � (a� b� )z3 + a z3 + a+ 2(z35 � 2z34 + z33)2ab ln z3 + a + 2 z34 � (b+ 2 )z332a ln z3�2 z34 + (a� 4 )z33 � 2(a� )z32 + az32b ln(1� z3) (B.46)B.3.3 Parameterintegrale mit drei Integrationsvariablen1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3) = 16 (B.47)1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z32(1� z3) = 112 (B.48)1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3) (B.49)

74 Anhang B. S hleifenintegrale= 13 + 12b ln ba+ + (b+ )36ab 2 ln bb+ + 6ab ln a+ + a26b 2 + a2b ! ln aa+ + (a� b� )312ab 2 + a� b� 2b ! ln ba+ (a� b� )212ab 2 + 13b !q(a� b� )2 + 4a ln a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z32(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3) (B.50)= 16 � a� b4 2 + 16b ln ba+ + 12ab ln a+ + (b+ )412ab 3 ln bb+ + a312b 3 + a26b 2! ln a+ a + (a� b� )424ab 3 + (a� b� )24b 2 + a4b ! ln ab+ (a� b� )324ab 3 + a� b� 6b 2 !q(a� b� )2 + 4a ln a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z33(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3) (B.51)= 110 � 13a� 47b120 2 + 2a2 � 3ab+ 2b210 3 + a420b 4 + a312b 3! ln aa+ + 112b ln ba+ + 20ab ln a+ + (b+ )520ab 4 ln bb+ + (a� b� )540ab 4 + (a� b� )36b 3 + a(a� b� )4b 2 ! ln ba+ (a� b� )440ab 4 + 7(a� b� )260b 3 + a15b 2!q(a� b� )2 + 4a � ln a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z34(1� z3)az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3) (B.52)= 115 � 8a� 59b120 2 + 5a2 � 27ab+ 31b260 3 � a3 � 2a2b+ 2ab2 � b36 4+ a530b 5 + a420b 4! ln a+ a + 120b ln ba+ + 30ab ln a+ + (b+ )630ab 5 ln bb+ + (a� b� )660ab 5 + (a� b� )48b 4 + a(a� b� )24b 3 + a212b 2! ln ab+ (a� b� )560ab 5 + 11(a � b� )3120b 4 + a(a� b� )10b 3 !q(a� b� )2 + 4a � ln a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a

B.3. Parameterintegration 751Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z33(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3))2 (B.53)= � 23 2 + a23b 3 ln a+ a + 13ab ln a+ + (b+ )33ab 3 ln b+ b+ (a� b� )36ab 3 + a� b� 2b 2 ! ln ab+ (a� b� )26ab 3 + 16b 2!q(a� b� )2 + 4a ln a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z34(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3))2 (B.54)= � 1 2 + 3(a� b)4 3 + a34b 4 ln aa+ + 14ab ln a+ + (b+ )44ab 4 ln b+ b+ (a� b� )48ab 4 + (a� b� )22b 3 + a4b 2! ln ba+ (a� b� )38ab 4 + a� b� 4b 3 !q(a� b� )2 + 4a ln a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z35(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3))2 (B.55)= � 3730 2 + 11a � 19b10 3 � 4a2 � 6ab+ 4b25 4 + a45b 5 ln a+ a + 15ab ln a+ +(b+ )55ab 5 ln b+ b + (a� b� )510ab 5 + (a� b� )32b 4 + a(a� b� )2b 3 ! ln ab+ (a� b� )410ab 5 + 3(a� b� )210b 4 + a10b 3!q(a� b� )2 + 4a � ln a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z36(1� z3)(az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3))2 (B.56)= � 1712 2 + 4a� 10b3 3 � 7a2 � 18ab + 17b26 4 + 5a3 � 10a2b+ 10ab2 � 5b36 5+ a56b 6 ln aa+ + 16ab ln a+ + (b+ )66ab 6 ln b+ b+ (a� b� )612ab 6 + (a� b� )42b 5 + 3a(a� b� )24b 4 + a26b 3! ln ba+ (a� b� )512ab 6 + (a� b� )33b 5 + a(a� b� )4b 4 !q(a� b� )2 + 4a

76 Anhang B. S hleifenintegrale� ln a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z3(1� z3) ln az1(1 � z3) + bz2z3 + z3(1� z3)�2 (B.57)= �3790 + 3(a+ b)40 + 2a2 � 3ab+ 2b230 2 + 16 ln b�2+ a460b 3 + a312b 2 + a26b ! ln aa+ + 2a+ 12b ln ba+ + 260ab ln a+ +(b+ )560ab 3 ln bb+ + (a� b� )5120ab 3 + (a� b� )312b 2 + a(a� b� )4b ! ln ba+ (a� b� )4120ab 3 + (a� b� )215b 2 + 2a15b !q(a� b� )2 + 4a � ln a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a 1Z0 dz1 1Z0 dz2 1Z0 dz3 z32(1� z3) ln az1(1� z3) + bz2z3 + z3(1� z3)�2 (B.58)= � 37180 + a+ 2b40 � 5a2 + 6ab� 13b2120 2 � a3 � 2a2b+ 2ab2 � b324 3 + 112 ln b�2+ a5120b 4 + a430b 3 + a324b 2! ln a+ a + 5a+ 4 120b ln ba+ + 2120ab ln a+ +(b+ )6120ab 4 ln bb+ + (a� b� )6240ab 4 + (a� b� )424b 3 + a(a� b� )28b 2 + a212b ! ln ab+ (a� b� )5240ab 4 + (a� b� )330b 3 + a(a� b� )15b 2 !q(a� b� )2 + 4a � ln a+ b+ �p(a� b� )2 + 4a a+ b+ +p(a� b� )2 + 4a

77Anhang CBesselfunktionenC.1 FormelsammlungDie ben�otigten Re henregeln1 f�ur Besselfunktionen und modi�zierte Besselfunktionen sind indiesem Abs hnitt zusammengestellt. Soweit ni ht anders angegeben, ist z; � 2 C, n 2 N0.C.1.1 Reihendarstellungen� Besselfunktionen erster Art:J�(z) = �z2�� 1Xk=0 �� z24 �kk!�(� + k + 1) (C.1)� Besselfunktionen zweiter Art (Neumannfunktionen):Nn(z) = �� z2��n� n�1Xk=0 (n� k � 1)!k! z24 !k + 2� ln�z2� Jn(z)�� z2�n� 1Xk=0 [(k + 1) + (n+ k + 1)℄ �� z24 �kk!(n+ k)! (C.2)mit (1) = � E; (n) = � E + n�1Xk=1 1k f�ur n � 2 (C.3)F�ur n = 0 entf�allt die erste Summe in (C.2).C.1.2 Asymptotis hes Verhalten� Besselfunktionen dritter Art (Hankelfunktionen):H(1)� (z) = r 2�z [P(�; z) + iQ(�; z)℄ ei[z�( �2+ 14)�℄ f�ur � � < arg z < 2� (C.4)H(2)� (z) = r 2�z [P(�; z)� iQ(�; z)℄ e�i[z�(�2+ 14)�℄ f�ur � 2� < arg z < � (C.5)1Die Formeln in diesem Abs hnitt sind [AS 65℄ und [MOS 66℄ entnommen.

78 Anhang C. Besselfunktionenmit P(�; z) jzj!1� 1� (4�2 � 1)(4�2 � 9)128z2 +O(1=z4) (C.6)Q(�; z) jzj!1� 4�2 � 18z +O(1=z3) (C.7)� Modi�zierte Besselfunktionen:K�(z) = r �2z e�z "1 + 4�2 � 18z +O(1=z2)# f�ur j arg zj < 32� (C.8)C.1.3 Beziehungen zwis hen BesselfunktionenH(1)� (z) = J�(z) + iN�(z) (C.9)H(2)� (z) = J�(z)� iN�(z) (C.10)K�(z) = �i2 e 12 ��iH(1)� �ze 12�i� (C.11)K�(z) = �2ie� 12��iH(2)� �ze� 12�i� (C.12)C.1.4 Ableitungsregeln� Hankelfunktionen: ddzH(k)� (z) = H(k)��1(z)� �zH(k)� (z) mit k 2 f1; 2g (C.13)ddzH(k)� (z) = �H(k)�+1(z) + �zH(k)� (z) mit k 2 f1; 2g (C.14)� Modi�zierte Besselfunktionen:ddzK�(z) = �K��1(z)� �zK�(z) (C.15)ddzK�(z) = �K�+1(z) + �zK�(z) (C.16)C.1.5 IntegraldarstellungenJ�(z) = 2 � z2��p� � �� + 12� 1Z0 dt (1� t2)�� 12 os(zt) f�ur Re � > �12 (C.17)Die folgenden Integraldarstellungen der modi�zierten Besselfunktion K� �ndet man in [MOS 66℄S. 85 bzw. S. 105:K� �2paz� = 12 �az� �2 1Z0 dt t�(�+1) exp��zt� at� f�ur Re z, Re a > 0 (C.18)K���(az) = �2a�� z����(1 + �) 1Z0 dt t�+1(t2 + z2)�(�+1)J�(at) f�ur Re z > 0; (C.19)�1 < Re � < 2 Re �+ 32

C.2. Verhalten einiger Besselfunktionen f�ur kleine Argumente 79C.2 Verhalten einiger Besselfunktionen f�ur kleine ArgumenteGesu ht sind N�aherungsformeln f�ur die Hankelfunktionen H(2)0 und H(2)1 sowie f�ur die modi-�zierten Besselfunktionen K0 und K1 f�ur kleine Argumente. Diese erh�alt man lei ht aus denReihendarstellungen (C.1) von Jn und (C.2) von Nn,J0(z) = 1 +O(z2); (C.20)J1(z) = z2 +O(z3); (C.21)N0(z) = 2� ln z2 + 2 E� � z22� ln z +O(z2; z4 ln z); (C.22)N1(z) = � 2�z + z� ln z2 + E � 12� z � z38� ln z +O(z3; z5 ln z): (C.23)Die Reihendarstellungen werden in die De�nition (C.10) der Hankelfunktionen eingesetzt undf�uhren auf H(2)0 (z) = 2�i ln z2 + 1� 2 Ei� + iz22� ln z +O(z2; z4 ln z); (C.24)H(2)1 (z) = 2i�z � iz� ln z2 + z2 � i E � 12� z + iz38� ln z +O(z3; z5 ln z): (C.25)Einsetzen in die aus (C.11) und (C.9) folgende BeziehungKn(z) = �2 in+1 [Jn(iz) + iNn(iz)℄ (C.26)ergibt K0(z) = � ln z2 � E � z24 ln z +O(z2; z4 ln z); (C.27)K1(z) = 1z + z2 ln z2 + � E � 12� z2 + z316 ln z +O(z3; z5 ln z): (C.28)C.3 Ableitungen von K1(mjxj)=jxjIm Hauptteil der Arbeit werden bis zu se hsfa he partielle Ableitungen von K1(mjxj)=jxj na hvers hiedenen Komponenten des euklidis hen Vierervektors x� ben�otigt, die wir hier zusammen-stellen wollen. Man erh�alt sie dur h wiederholte Anwendung der Ableitungsregeln (C.15) und(C.16) in der Form ��K0(mjxj) = �mx�jxj K1(mjxj); (C.29)��K1(mjxj) = �mx�jxj K0(mjxj)� x�jxj2 K1(mjxj): (C.30)Da Ableitung von K0 auf K1, Ableitung von K1 auf K0 und K1 f�uhrt, ist das Auftreten h�ohererK� vermeidbar.1. ��1 1jxjK1(mjxj) = �x�1jxj2 �mK0(mjxj) + 2jxjK1(mjxj)� (C.31)

80 Anhang C. Besselfunktionen2. ��1��2 1jxjK1(mjxj) = mjxj2 �4x�1x�2jxj2 � �1�2�K0(mjxj)+ 1jxj3 �8x�1x�2jxj2 +m2x�1x�2 � 2�1�2�K1(mjxj) (C.32)3. ��1��2��3 1jxjK1(mjxj) = mjxj4 �4 (�2�3x�1 + �1�3x�2 + �1�2x�3)�� 24jxj2 +m2�x�1x�2x�3�K0(mjxj)+ 1jxj3 �� 8jxj2 +m2� (�2�3x�1 + �1�3x�2 + �1�2x�3)� 8jxj2 � 6jxj2 +m2�x�1x�2x�3�K1(mjxj) (C.33)4. ��1 � � � ��4 1jxjK1(mjxj) = 4mjxj4 ��1�2�3�4 + �1�3�2�4 + �1�4�2�3� 6jxj2 + m24 !��3�4x�1x�2 + �2�4x�1x�3 + �2�3x�1x�4+�1�4x�2x�3 + �1�3x�2x�4 + �1�2x�3x�4�+3 16jxj4 + m2jxj2!x�1x�2x�3x�4�K0(mjxj)+ 1jxj3 �� 8jxj2 +m2� (�1�2�3�4 + �1�3�2�4 + �1�4�2�3)�8 6jxj4 + m2jxj2!��3�4x�1x�2 + �2�4x�1x�3 + �2�3x�1x�4+�1�4x�2x�3 + �1�3x�2x�4 + �1�2x�3x�4�+ 1jxj2 384jxj4 + 72m2jxj2 +m4!x�1x�2x�3x�4�K1(mjxj) (C.34)5. ��1 � � � ��5 1jxjK1(mjxj) = "� 24mjxj6 + m3jxj4! (�2�3�4�5x�1 + Perm:(�1; : : : ; �5))+ 192mjxj8 + 12m3jxj6 ! (�4�5x�1x�2x�3 + Perm:(�1; : : : ; �5))� 1920mjxj10 + 144m2jxj8 + m4jxj6!x�1x�2x�3x�4x�5#K0(mjxj)+"� 48jxj7 + 8m2jxj5 ! (�2�3�4�5x�1 + Perm:(�1; : : : ; �5))

C.3. Ableitungen von K1(mjxj)=jxj 81+ 384jxj9 + 72m2jxj7 + m4jxj5!� (�4�5x�1x�2x�3 + Perm:(�1; : : : ; �5)) (C.35)� 3840jxj11 + 768m2jxj9 + 18m4jxj7 !x�1x�2x�3x�4x�5#K1(mjxj)6. ��1 � � � ��6 1jxjK1(mjxj) = "� 24mjxj6 + m3jxj4! (�1�2�3�4�5�6 + Perm:(�1; : : : ; �6))+12 16mjxj8 + m3jxj6! (�3�4�5�6x�1x�2 + Perm:(�1; : : : ; �6))� 1920mjxj10 + 144m3jxj8 + m5jxj6!� (�5�6x�1x�2x�3x�4 +Perm:(�1; : : : ; �6))+24 960mjxj12 + 80m3jxj10 + m5jxj8!x�1 � � � x�6#K0(mjxj)"� 8 6jxj7 + m2jxj5! (�1�2�3�4�5�6 + Perm:(�1; : : : ; �6))+ 384jxj9 + 72m2jxj7 + m4jxj5!� (�3�4�5�6x�1x�2 + Perm:(�1; : : : ; �6))�6 640jxj11 + 128m2jxj9 + 3m4jxj7 !� (�5�6x�1x�2x�3x�4 +Perm:(�1; : : : ; �6)) (C.36)+ 46080jxj13 + 9600m2jxj11 + 288m4jxj9 + m6jxj7!x�1 � � � x�6#K1(mjxj)Mit "Perm.(�1 : : : �n)\ sind alle Terme gemeint, die si h aus dem vorangehenden Summandendur h Permutation der Indi es �1 bis �n ergeben.

82 Anhang C. Besselfunktionen

83Anhang DHilfsre hnungenD.1 Skalarer Propagator in OrtsraumdarstellungD.1.1 Euklidis he FassungDer Propagator eines freien Skalarfeldes der Massem im euklidis hen Impulsraum ist bekanntli h~D(k) = 1k2 +m2 : (D.1)Gesu ht ist ein Ausdru k f�ur diesen Propagator im D-dimensionalen Ortsraum,D(x) = Z dDk(2�)D ~D(k)eik�x; (D.2)der gem�a� [STI 01℄ folgenderma�en ermittelt werden kann: Zun�a hst wird der Nenner k2 +m2mittels S hwinger-Parametrisierung exponenziert,1k2 +m2 m2>0= 1Z0 ds e�s(k2+m2); (D.3)was auf D(x) = 1Z0 ds e�sm2 Z dDk(2�)D exp��12k�A��k� + k�ix�� (D.4)mit der hermites hen Matrix A�� := 2sÆ�� (D.5)f�uhrt. Die Bere hnung des D-dimensionalen Gau�'s hen Integrals in (D.4),Z dDk exp��12k�A��k� + k�ix�� = s(2�)DdetA exp �12 ix� �A�1��� ix�� ; (D.6)ergibt mit �A�1��� = Æ��2s ; detA = (2s)D (D.7)

84 Anhang D. Hilfsre hnungenden Propagator D(x) = 1(4�)D2 1Z0 ds e�sm2sD2 exp �x24s!t:=sm2= mD�2(4�)D2 1Z0 dt t�D2 exp �t� m2x24t ! : (D.8)Dieses Integral ist Bestandteil einer Integraldarstellung (C.18) der modi�zierten BesselfunktionKD2 �1 mit z = 1, a = m2x24 ,KD2 �1(mjxj) = 12 �mjxj2 �D2 �1 1Z0 dt t�D2 exp �t� m2x24t ! : (D.9)Der gesu hte Propagator lautet somitD(x) = Z dDk(2�)D eik�xk2 +m2 = (2�)�D2 �mjxj�D2 �1KD2 �1(mjxj): (D.10)Die Re hnung gilt zun�a hst nur f�ur m2 > 0; das Ergebnis kann jedo h zu komplexen m2 analy-tis h fortgesetzt werden.In dieser Arbeit wird nur der Spezialfall D = 4 ben�otigt,Z d4k(2�)4 eik�xk2 +m2 = m4�2jxj K1(mjxj): (D.11)D.1.2 Minkowskis he FassungDer minkowskis he Propagator in 4 Dimensionen ergibt si h aus der euklidis hen Variante dur hdie Ersetzung Z d4k(2�)4 eik�xk2 +m2 ! i Z d4kM(2�)4 e�i(k�x)Mk2M �m2 + i" : (D.12)Bei der Transformation von (D.11) ist neben x2 ! �x2M zu bea hten, dass x2M = 0 au h f�urxM 6= 0 sein kann. Da si h K1(z) f�ur z ! 0 gem�a� (C.28) wie z�1 verh�alt, ist der Propagatorf�ur jxM j � qx2M � 0m4�2px2K1(mpx2)! m4�2q�x2MK1(mq�x2M) x2M�0= �14�2x2M (D.13)F�ur die Singularit�at bei x2M = 0 ist die Umgehungsvors hrift1x2M ! lim"!0 1x2M � i" (D.14)zu verwenden, woraus si h mit der Dira -Identit�atlim"!0 1x2M � i" = P 1x2M !+ i�Æ(x2M ) (D.15)

D.2. Spektraldi hten 85(P : Cau hys her Hauptwert) f�ur x2M � 0 ergibt:i Z d4kM(2�)4 e�i(k�x)Mk2M �m2 + i" x2M!0= P �14�2x2M !� i4�Æ(x2M ) (D.16)Der Hauptwert gibt nur Beitr�age f�ur x2M 6= 0 und kann verna hl�assigt werden, weil wir uns andieser Stelle nur f�ur den Beitrag f�ur x2M = 0 interessieren.F�ur x2M > 0 gilt px2 ! q�x2M = iqx2M und gem�a� (C.12)K1(iz) = ��2H(2)1 (z): (D.17)F�ur den Propagator erh�alt mani Z d4kM(2�)4 e�i(k�x)Mk2M �m2 + i" x2M>0= mi4�2qx2MK1(imqx2M ) = im8�qx2M H(2)1 (mqx2M ): (D.18)Entspre hend ist f�ur x2M < 0 px2 ! q�x2M , und der Propagator isti Z d4kM(2�)4 e�i(k�x)Mk2M �m2 + i" x2M<0= m4�2q�x2MK1(mq�x2M ): (D.19)Zusammenfassung aller drei Ausdr�u ke:i Z d4kM(2�)4 e�i(k�x)Mk2M �m2 + i" = 14�iÆ(x2M ) + �(x2M ) im8�qx2M H(2)1 (mqx2M )+�(�x2M ) m4�2q�x2MK1(mq�x2M ) (D.20)D.2 Spektraldi htenIn diesem Anhang erfolgt die Bere hnung der in Abs hnitt 4.3 ben�otigten Spektraldi hten. DenAusgangspunkt bildet Integral (4.66),1Z0 Pkjm(z; p2) ln p2 [Az +B(1� z) + Cz(1� z)℄ +Dz +E(1� z)�2= Qkjm(1; p2) ln Ap2 +D�2 + 1Z�1 ds %kjm(s; p2)p2 + s ; (D.21)mit der Spektraldi hte (4.67),%kjm(s; p2) = � 1Z0 dz Qkjm(z; p2) hp2 [A�B + C(1� 2z)℄ +D �Ei�Æ ([Az +B(1� z) + Cz(1� z)℄ s�Dz �E(1� z)) : (D.22)

86 Anhang D. Hilfsre hnungenDie Auswertung des z-Integrals gestaltet si h besonders einfa h f�ur die Summanden, bei denenz h�o hstens linear in das Argument des Logarithmus eingeht (m � 5). Dann ist C = 0 und%kjm(s; p2) = �(A�B+D�E)p2 1Z0 dz Qkjm(z; p2)Æ [((A�B)s�D +E) z +Bs�E℄ : (D.23)Sofern das Argument der Delta-Distribution eine Nullstelle bez�ugli h z besitzt, liegt diese beiz0(s) = E �Bs(A�B)s�D +E : (D.24)O�enbar kann %kjm(s; p2) nur f�ur die s von Null vers hieden sein, f�ur die 0 � z0(s) � 1 ist.Die weitere Auswertung wird separat f�ur alle drei Summanden vorgenommen. Es sei daranerinnert, dass �[r℄l1;2 > 0 angenommen wurde.� m = 5 : A = 1; B = C = 0; D = E = �[r℄l1 �2z0(s) = �[r℄l1 �2s (D.25)Es ist 0 � z0(s) � 1 nur f�ur s � �[r℄l1 �2 > 0. Dann ist1Z0 dz Pkj5(z; p2) ln p2z + �[r℄l1 �2�2 = Qkj5(1; p2) ln p2 + �[r℄l1 �2�2 + 1Z�1 ds %kj5(s; p2)p2 + s (D.26)mit der Spektraldi hte (D.23),%kj5(s; p2) = �p2 1Z0 dz Qkj5(z; p2)Æ �sz � �[r℄l1 �2�= �p2s 1Z0 dz Qkj5(z; p2)Æ (z � z0(s))= ���s� �[r℄l1 �2� p2s Qkj50��[r℄l1 �2s ; p21A (D.27)� m = 6 : A = C = 0; B = 1; D = E = �[r℄l2 �2z0(s) = s� �[r℄l2 �2s (D.28)0 � z0(s) < 1 , s � �[r℄l2 �2 > 0 (D.29)Es folgt1Z0 dz Pkj6(z; p2) ln p2(1� z) + �[r℄l2 �2�2 = Qkj6(1; p2) ln �[r℄l2 �2�2 + 1Z�1 ds %kj6(s; p2)p2 + s (D.30)

D.2. Spektraldi hten 87mit der Spektraldi hte%kj6(s; p2) = p2 1Z0 dz Qkj6(z; p2)Æ ��sz + s� �[r℄l2 �2�= p2s 1Z0 dz Qkj6(z; p2)Æ (z � z0(s))= ��s� �[r℄l2 �2� p2s Qkj60�s� �[r℄l2 �2s ; p21A (D.31)� m = 7 : A = B = 1; C = D = E = 0Das Argument der Delta-Distribution Æ(s) h�angt ni ht von z ab, folgli h gibt es au h keineNullstelle. Das Ergebnis ist mit dem dur h direkte Integration erhaltenen identis h:1Z0 dz Pkj7(z; p2) ln p2�2 = Qkj7(1; p2) ln p2�2 + 1Z�1 ds %kj7(s; p2)p2 + s (D.32)mit %kj7(s; p2) = 0: (D.33)Es bleibt no h der Summand (m = 4) mit A = B = 0; C = 1; D = �[r℄l2 �2; E = �[r℄l1 �2,der si h von den soeben betra hteten dur h einen in z quadratis hen Term in Argument derDelta-Distribution unters heidet. Hier ist zun�a hst1Z0 dz Pkj4(z; p2) ln p2z(1� z) + �[r℄l1 �2(1� z) + �[r℄l2 �2z�2= Qkj4(1; p2) ln �[r℄l2 �2�2 + 1Z�1 ds %kj4(s; p2)p2 + s : (D.34)Die Spektraldi hte ergibt si h aus (D.22) zu%kj4(s; p2) = � 1Z0 dz Qkj4(z; p2)�p2(1� 2z)� �[r℄l1 �2 + �[r℄l2 �2��Æ �z(1� z)s� �[r℄l1 �2(1� z)� �[r℄l2 �2z�= 1Z0 dz Qkj4(z; p2)�p2(2z � 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2��Æ ��sz2 + �s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2� z � �[r℄l1 �2� : (D.35)Au h in diesem Fall vers hwindet die Spektraldi hte f�ur s < 0, was man wie folgt einsieht:Das Argument der Delta-Distribution in (D.35) ist ��[r℄l1 �2 < 0 f�ur z = 0, ��[r℄l2 �2 < 0 f�urz = 1. Dazwis hen verl�auft es quadratis h in z, und zwar dur h den Faktor �s > 0 na h obengekr�ummt; somit ist das Argument der Delta-Distribution negativ f�ur alle 0 � z � 1 im Falle

88 Anhang D. Hilfsre hnungens < 0, und die Spektraldi hte vers hwindet. Weiter bemerken wir, dass f�ur s = 0 die Nullstelledes Arguments der Delta-Distribution beiz0 = �[r℄l1 �2�[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 =2 [0; 1℄ (D.36)liegt, was ebenfalls %kj4(0; p2) = 0 bewirkt. Wir k�onnen uns also auf s > 0 bes hr�anken.%kj4(s; p2) = 1Z0 dz Qkj4(z; p2)p2(2z � 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2s�Æ� z2 � s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2s z + �[r℄l1 �2s| {z }=:f(z) �= 1Z0 dz Qkj4(z; p2)p2(2z � 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2s Æ ((z � z+)(z � z�)) ; (D.37)wobei die Nullstellen von f(z) dur hz�(s) = s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 �r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s2s (D.38)gegeben sind. Sie fallen zusammen, wenn der Radikand vers hwindet. Das ist der Fall bei s = s+und s = s� mits� = �[r℄l1 �2 + �[r℄l2 �2 � 2r�[r℄l1 �2�[r℄l2 �2 = r�[r℄l1 ��r�[r℄l2 �!2 ; 0 � s� < s+: (D.39)Im Fall einfa her Nullstellen z+ 6= z�, d.h. s+ 6= s 6= s�, f�uhrt Anwendung der Identit�atÆ(f(z)) = Æ(z � z+)jf 0(z+)j + Æ(z � z�)jf 0(z�)j (D.40)mit den Ableitungen von f(z) na h z an den Stellen z�,f 0(z�) = �1sr�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s; (D.41)auf%kj4(s; p2) = 1Z0 dz Qkj4(z; p2)�p2(2z � 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s (Æ(z � z+) + Æ(z � z�)) : (D.42)Zur Auswertung dieses Integrals muss herausgearbeitet werden, wann die Nullstellen z�(s)im Intervall [0; 1℄ liegen. Zuerst stellen wir fest, dass z�(s) 6= 0 und z�(s) 6= 1 f�ur alle s > 0:z� = 0, s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 = �r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s) �s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 = �s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s, �[r℄l1 �2s = 0 (D.43)

D.2. Spektraldi hten 89Die Bedingung z�(s) = 0 ist demna h f�ur kein s > 0 erf�ullbar.z� = 1, 2s = s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 �r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s) �s� �[r℄l1 �2 + �[r℄l2 �2�2 = �s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s, �2��[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2� s = 2��[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2� s� 4�[r℄l1 �2s, �[r℄l2 �2s = 0 (D.44)Au h die Bedingung z�(s) = 1 wird von keinem s > 0 erf�ullt.Na h dieser Vorbemerkung untersu hen wir z�(s) separat f�ur die drei Berei he s � s�,s� < s < s+ und s � s+.� s� < s < s+:Wegen (D.38) ist s� < s < s+ , z� =2 R; (D.45)was %kj4(s; p2) = 0 f�ur s� < s < s+ (D.46)na h si h zieht.� s � s�:Zun�a hst untersu hen wir das Verhalten von z� f�ur s ! 0. Wie man lei ht (ggf. unterZuhilfenahme der Regeln von de l'Hospital) sieht, istlims!0 z+ = 1; �[r℄l1 �2 > �[r℄l2 �2;lims!0 z+ = �[r℄l1 �2�[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 < 0; �[r℄l1 �2 < �[r℄l2 �2;lims!0 z� = �1; �[r℄l1 �2 < �[r℄l2 �2;lims!0 z� = �[r℄l1 �2�[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2 > 1; �[r℄l1 �2 > �[r℄l2 �2: (D.47)Den Spezialfall �[r℄l1 �2 = �[r℄l2 �2 brau hen wir ni ht zu betra hten, weil dann s� = 0 ist.Mit der Stetigkeit und Reellit�at von z�(s) und (D.47) folgtz�(s) =2 [0; 1℄) %kj4(s; p2) = 0 f�ur 0 < s � s�: (D.48)� s � s+:Im Grenzfall s!1 gilt lims!1 z+(s) = 1�;lims!1 z�(s) = 0+; (D.49)und mit (D.43), (D.44) sowie der Stetigkeit und Reellit�at von z�(s) folgt0 < z�(s) < 1 f�ur s � s+: (D.50)F�ur s > s+ ergibt si h die Spektraldi hte %kj4 dann aus (D.42).

90 Anhang D. Hilfsre hnungenZusammengefasst lautet die Spektraldi hte%kj4(s; p2) = �(s� s+)r�s+ �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�2 � 4�[r℄l1 �2s��Qkj4(z+(s); p2)�p2(2z+(s)� 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2�+Qkj4(z�(s); p2)�p2(2z�(s)� 1) + �[r℄l1 �2 � �[r℄l2 �2� �: (D.51)mit z� aus (D.38) und s� aus (D.39).Es sei no h angemerkt, dass si h au h die restli hen beiden Integrale in (4.55) (d.h. m = 2und m = 3 in (4.61)) als Spektralintegrale s hreiben lassen; hier ist es jedo h g�unstiger, denFeynmanparameter z direkt auszuintegrieren.� m = 2 : A = B = C = E = 0; D = �21Z0 dz Pkj2(z; p2) ln z = Qkj2(z; p2) ln z���z=1z=0| {z }=0 � 1Z0 dz Qkj2(z; p2)z= �p2 1Z0 dz Qkj2(z; p2)zp2 1Z�1 ds Æ(s)| {z }=1= �p2 1Z�1 ds Æ(s) 1Z0 dz Qkj2(z; p2)z(p2 + s)= 1Z�1 ds %kj2(s; p2)p2 + s (D.52)mit %kj2(s; p2) = �p2Æ(s) 1Z0 dz Qkj2(z; p2)z (D.53)� m = 3 : A = B = C = D = 0; E = �2Au h Pkjm(1 � z; p2) ist ein Polynom in z und besitzt eine Stammfunktion bez�ugli h z,die als ~Qkjm(z; p2) bezei hnet werden soll. Wir w�ahlen sie so, dass ~Qkjm(0; p2) = 0 ist.1Z0 dz Pkj3(z; p2) ln(1� z| {z }=:y ) = 1Z0 dy Pkj3(1� y; p2)| {z }= ddy ~Qkj3(y;p2) ln y= ~Qkj3(z; p2) ln z���z=1z=0| {z }=0 �p2 1Z0 dz ~Qkj3(z; p2)zp2 1Z�1 ds Æ(s)| {z }=1= �p2 1Z�1 ds Æ(s) 1Z0 dz ~Qkj3(z; p2)z (p2 + s)

D.3. Das Fourierintegral 91= 1Z�1 ds %kj3(s; p2)p2 + s (D.54)mit %kj3(s; p2) = �p2Æ(s) 1Z0 dz ~Qkj3(z; p2)z (D.55)D.3 Das FourierintegralIn diesem Abs hnitt soll das auf Seite 53 ben�otigte FourierintegralZ d4p(2�)4 f(p2)eip�(x�y) (D.56)bere hnet werden. Der erste S hritt ist der �Ubergang zu vierdimensionalen Polarkoordinatenp1 = jpj sin# sin' sin ;p2 = jpj sin# sin' os ;p3 = jpj sin# os';p4 = jpj os# (D.57)mit 0 � #; ' < � und 0 � < 2� (siehe [BEL 91℄). Das vierdimensionale Volumenelement lautetd4p = jpj3 sin2 # sin'djpj d# d'd : (D.58)Das Koordinatensystem wird so gew�ahlt, dass p � (x� y) = jpjjx� yj os# gilt. Da der Integrandweder von ' no h von abh�angt, k�onnen diese beiden Winkel direkt ausintegriert werden,�Z0 d' sin' 2�Z0 d = 4�: (D.59)Im #-Integral wird u := os#, d# = �du= sin# substituiert,�Z0 d# sin2 # eijpjjx�yj os # = 1Z�1 du sin (ar os u)| {z }p1�u2 eijpjjx�yju= 2 1Z0 dup1� u2 os (jpjjx� yju) : (D.60)In diesem letzten Integral erkennt man eine Integraldarstellung (C.17) der Besselfunktion J1,1Z0 dup1� u2 os (jpjjx� yju) = �2jpjjx� yj J1 (jpjjx� yj) : (D.61)Zusammenfassen aller Integrale ergibtZ d4p(2�)4 f(p2)eip�(x�y) = 14�2jx� yj 1Z0 djpj p2f(p2) J1 (jpjjx� yj) : (D.62)Die weitere Vorgehensweise h�angt von der Funktion f(p2) ab.

92 Anhang D. Hilfsre hnungen1. f(p2) = 1p2+aMit der Integraldarstellung (C.19) der modi�zierten Besselfunktion K1 ergibt si h1Z0 djpj p2p2 + a J1 (jpjjx� yj) = paK1 �pa jx� yj� : (D.63)2. f(p2) = 1(p2+a)(p2+b)Dieser Fall kann dur h die Partialbru hzerlegung1(p2 + a)(p2 + b) = 1b� a � 1p2 + a � 1p2 + b� (D.64)auf den vorhergehenden zur�u kgef�uhrt werden.1Z0 djpj p2(p2 + a)(p2 + b) J1 (jpjjx� yj) = 1b� a �paK1(pa jx� yj)�pbK1(pb jx� yj)�(D.65)Im Spezialfall b! a geht dieser Ausru k in den Di�erentialquotienten1Z0 djpj p2(p2 + a)2 J1 (jpjjx� yj) = � ddt ptK1(pt jx� yj)����t=a(C:15)= � 12pa K1(pa jx� yj) + jx� yj2��K0(pa jx� yj) + 1pa jx� yj K1(pa jx� yj)�= jx� yj2 K0(pa jx� yj) (D.66)�uber.3. f(p2) = 1p2(p2+a)Das ist Fall 2 f�ur b = 0. Mit der Darstellung (C.28) f�ur kleine Argumente, K1(pb jx�yj)!1=pb jx� yj, folgt1Z0 djpj 1(p2 + a) J1 (jpjjx� yj) = 1ajx� yj � 1paK1(pa jx� yj): (D.67)4. f(p2) = 1p2(p2+a)(p2+b)Dieselbe Partialbru hzerlegung wie in Fall 2 f�uhrt auf1p2(p2 + a)(p2 + b) = 1(b� a)p2 � 1p2 + a � 1p2 + b� ; (D.68)was wiederum eine R�u kf�uhrung auf Fall 3 bedeutet.1Z0 djpj 1(p2 + a)(p2 + b) J1 (jpjjx� yj) = 1abjx� yj + 1b� a (D.69)= �� 1pb K1(pb jx� yj)� 1pa K1(pa jx� yj)�

D.3. Das Fourierintegral 93Au h dieses Ergebnis l�asst si h f�ur b! a als Di�erentialquotient darstellen,1Z0 djpj 1(p2 + a)2 J1 (jpjjx� yj) = 1a2jx� yj + ddt 1pt K1(pt jx� yj)����t=a(C:15)= 1a2jx� yj � 12pa3 K1(pa jx� yj)� jx� yj2a��K0(pa jx� yj) + 1pa jx� yj K1(pa jx� yj)�= 1a2jx� yj � jx� yj2a K0(pa jx� yj)� 1pa3 K1(pa jx� yj): (D.70)F�ur die restli hen beiden Funktionen mit logarithmis hen Anteilen,f(p2) = 1p2 + ln p2 + ab und f(p2) = 1p2(p2 + ) ln p2 + ab ; (D.71)sind mir keine Formeln bekannt.

94 Anhang D. Hilfsre hnungen

95Anhang ETabellenDieser Anhang beinhaltet eine Auflistung der im Hauptteil der Arbeit verwendeten KoeÆzi-enten Pkjm �z; p2� der konvergenten Anteile der inneren S hleifenintegration, sortiert na h denResiduen R[r℄1;l1l2(p2). Deren Stammfunktionen Qkjm �1; p2� bez�ugli h z sowie die auf Seite 50de�nierten Gr�o�en Akj(p2) sind angegeben, sofern sie ben�otigt werden. Als Abk�urzung wirda = �[r℄l1 �2 und b = �[r℄l2 �2 verwendet.E.1 Polynome Pkjm(z; p2)� zu R[r℄1;l1l2(p2):P111 = �3 �z2 � z�4P112 = �3p22a �z3 � z2�+ bz24aP113 = 3p22b z(z � 1)2 + a4b (z � 1)2P114 = �5p44ab �z4 � 2z3 + z2�� 3p22b �z3 � 2z2 + z�+ 3p22a �z3 � z2�+z2 � z2 � a �z2 � 2z + 1�4b � bz24aP115 = 5p44ab �z4 � 2z3 + z2�+ 3p22b �z3 � 2z2 + z�+ a4b �z2 � 2z + 1�P116 = 5p44ab �z4 � 2z3 + z2�� 3p22a �z3 � z2�+ bz24aP117 = �5p44ab �z4 � 2z3 + z2� (E.1)

P121 = �7(z2 � z)4P122 = � p22a �19z3 � 13z2�+ 13bz24a

96 Anhang E. TabellenP123 = p22b �19z3 � 32z2 + 13z�+ 13a4b �z2 � 2z + 1�P124 = � p44ab �25z4 � 38z3 + 13z2�� p22b �19z3 � 32z2 + 13z�+ p22a �19z3 � 13z2�+13 �z2 � z�2 � 13a �z2 � 2z + 1�4b � 13bz24aP125 = p44ab �25z4 � 38z3 + 13z2�+ p22b �19z3 � 32z2 + 13z�+ 13a �z2 � 2z + 1�4bP126 = p44ab �25z4 � 38z3 + 13z2�� p22a �19z3 � 13z2�+ 13bz24aP127 = � p44ab �25z4 � 38z3 + 13z2� (E.2)P131 = �3(z2 � z)4P132 = �3p22a �z3 � z2�+ bz24aP133 = 3p22b �z3 � 2z2 + z�+ a4b �z2 � 2z + 1�P134 = �5p44ab �z4 � 2z3 + z2�� 3p22b �z3 � 2z2 + z�+ 3p22a �z3 � z2�+z2 � z2 � a �z2 � 2z + 1�4b � bz24aP135 = 5p44ab �z4 � 2z3 + z2�+ 3p22b �z3 � 2z2 + z�+ a �z2 � 2z + 1�4bP136 = 5p44ab �z4 � 2z3 + z2�� 3p22a �z3 � z2�+ bz24aP137 = �5p44ab �z4 � 2z3 + z2� (E.3)P141 = 0P142 = 1a �5z3 � 2z2�P143 = �1b �5z3 � 7z2 + 2z�P144 = p2ab �5z4 � 7z3 + 2z2�� 1a �5z3 � 2z2�+ 1b �5z3 � 5z2 � 2z + 1�P145 = �p2ab �5z4 � 7z3 + 2z2�� 1b �5z3 � 7z2 + 2z�P146 = �p2ab �5z4 � 7z3 + 2z2�+ 1a �5z3 � 2z2�P147 = p2ab �5z4 � 7z3 + 2z2� (E.4)� zu R[r℄2;l1l2(p2):

E.1. Polynome Pkjm(z; p2) 97P211 = �26z3 � 39z2 + 13z2P212 = p22a �70z4 � 105z3 + 41z2 � 3z�� ba �10z3 � 5z2�P213 = �p22b �70z4 � 175z3 + 146z2 � 44z + 3�� 5ab �2z3 � 5z2 + 4z � 1�P214 = p42ab �54z5 � 135z4 + 114z3 � 36z2 + 3z�� p22a �70z4 � 105z3 + 41z2 � 3z�+ p22b �70z4 � 175z3 + 146z2 � 44z + 3��10 �2z3 � 3z2 + z�+ 5ab �2z3 � 5z2 + 4z � 1�+ 5ba �2z3 � z2�P215 = � p42ab �54z5 � 135z4 + 114z3 � 36z2 + 3z��p22b �70z4 � 175z3 + 146z2 � 44z + 3�� 5ab �2z3 � 5z2 + 4z � 1�P216 = � p42ab �54z5 � 135z4 + 114z3 � 36z2 + 3z�+ p22a �70z4 � 105z3 + 41z2 � 3z�� 5ba �2z3 � z2�P217 = p42ab �54z5 � 135z4 + 114z3 � 36z2 + 3z� (E.5)

P221 = z3 � z2P222 = � p22a �10z4 � 9z3 + z2 � 2z�+ b4a �8z3 � z2�P223 = p22b �10z4 � 21z3 + 12z2 � z�+ a4b �8z3 � 17z2 + 10z � 1�P224 = � p44ab �12z5 � 25z4 + 14z3 � z2�+ p22a �10z4 � 11z3 + z2�� p22b �10z4 � 21z3 + 12z2 � z�+8z3 � 9z2 + z2 � a4b �8z3 � 17z2 + 10z � 1�� b4a �8z3 � z2�P225 = p44ab �12z5 � 25z4 + 14z3 � z2�+ p22b �10z4 � 21z3 + 12z2 � z�+ a4b �8z3 � 17z2 + 10z � 1�P226 = p44ab �12z5 � 25z4 + 14z3 � z2�� p22a �10z4 � 11z3 + z2�+ b4a �8z3 � z2�P227 = � p44ab �12z5 � 25z4 + 14z3 � z2� (E.6)

98 Anhang E. TabellenP231 = z3 � 2z2 + zP232 = � p22a �10z4 � 19z3 + 9z2�+ b4a �8z3 � 7z2�P233 = p22b �10z4 � 29z3 + 28z2 � 9z�+ a4b �8z3 � 23z2 + 22z � 7�P234 = � p44ab �12z5 � 35z4 + 34z3 � 11z2�+ p22a �10z4 � 19z3 + 9z2�� p22b �10z4 � 29z3 + 28z2 � 9z�+8z3 � 15z2 + 7z2 � a4b �8z3 � 23z2 + 22z � 7�� b4a �8z3 � 7z2�P235 = p44ab �12z5 � 35z4 + 34z3 � 11z2�+ p22b �10z4 � 29z3 + 28z2 � 9z�+ a4b �8z3 � 23z2 + 22z � 7�P236 = p44ab �12z5 � 35z4 + 34z3 � 11z2�� p22a �10z4 � 19z3 + 9z2�+ b4a �8z3 � 7z2�P237 = � p44ab �12z5 � 35z4 + 34z3 � 11z2� (E.7)P241 = 0P242 = � 12a �20z4 � 30z3 + 16z2 � 3z�P243 = 12b �20z4 � 50z3 + 46z2 � 19z + 3�P244 = �3p22ab �8z5 � 20z4 + 18z3 � 7z2 + z�+ 12a �20z4 � 30z3 + 16z2 � 3z�� 12b �20z4 � 50z3 + 46z2 � 19z + 3�P245 = p22ab �24z5 � 60z4 + 54z3 � 21z2 + 3z�+ 12b �20z4 � 50z3 + 46z2 � 19z + 3�P246 = p22ab �24z5 � 60z4 + 54z3 � 21z2 + 3z�� 12a �20z4 � 30z3 + 16z2 � 3z�P247 = � p22ab �24z5 � 60z4 + 54z3 � 21z2 + 3z� (E.8)� zu R[r℄3;l1l2(p2):P311 = 3(z2 � z)4

E.1. Polynome Pkjm(z; p2) 99P312 = p22a �z3 � 3z2�� bz24aP313 = �p22b �z3 � 4z2 + 3z�� a4b �z2 � 2z + 1�P314 = p44ab �z4 � 6z3 + 5z2�� p22a �z3 � 3z2�+ p22b �z3 � 4z2 + 3z��z2 � z2 + a �z2 � 2z + 1�4b + bz24aP315 = � p44ab �z4 � 6z3 + 5z2�� p22b �z3 � 4z2 + 3z�� a �z2 � 2z + 1�4bP316 = � p44ab �z4 � 6z3 + 5z2�+ p22a �z3 � 3z2�� bz24aP317 = p44ab �z4 � 6z3 + 5z2� (E.9)P321 = 3 �z2 � z�4P322 = p22a �z3 � 3z2�� bz24aP323 = �p22b �z3 � 4z2 + 3z�� a4b �z2 � 2z + 1�P324 = p44ab �z4 � 6z3 + 5z2�� p22a �z3 � 3z2�+ p22b �z3 � 4z2 + 3z��z2 � z2 + a �z2 � 2z + 1�4b + bz24aP325 = � p44ab �z4 � 6z3 + 5z2�� p22b �z3 � 4z2 + 3z�� a �z2 � 2z + 1�4bP326 = � p44ab �z4 � 6z3 + 5z2�+ p22a �z3 � 3z2�� bz24aP327 = p44ab �z4 � 6z3 + 5z2� (E.10)P331 = 7 �z2 � z�4P332 = p22a �19z3 � 25z2 + 6z�� 13bz24aP333 = �p22b �19z3 � 44z2 + 31z � 6�� 13a4b �z2 � 2z + 1�P334 = p44ab �25z4 � 62z3 + 49z2 � 12z�� p22a �19z3 � 25z2 + 6z�+ p22b �19z3 � 44z2 + 31z � 6��13 �z2 � z�2 + 13a �z2 � 2z + 1�4b + 13bz24aP335 = � p44ab �25z4 � 62z3 + 49z2 � 12z�� p22b �19z3 � 44z2 + 31z � 6�

100 Anhang E. Tabellen�13a �z2 � 2z + 1�4bP336 = � p44ab �25z4 � 62z3 + 49z2 � 12z�+ p22a �19z3 � 25z2 + 6z�� 13bz24aP337 = p44ab �25z4 � 62z3 + 49z2 � 12z� (E.11)P341 = 0P342 = �1a �3z3 � 8z2 + 3z�P343 = 1b �3z3 � 11z2 + 11z � 3�P344 = �p2ab �3z4 � 11z3 + 11z2 � 3z�+ 1a �3z3 � 8z2 + 3z��1b �3z3 � 11z2 + 11z � 3�P345 = p2ab �3z4 � 11z3 + 11z2 � 3z�+ 1b �3z3 � 11z2 + 11z � 3�P346 = p2ab �3z4 � 11z3 + 11z2 � 3z�� 1a �3z3 � 8z2 + 3z�P347 = �p2ab �3z4 � 11z3 + 11z2 � 3z� (E.12)E.2 Ausintegrierte KoeÆzienten� Akj(p2): A11 = 18 � 7(a+ b)p296ab � a2 + b236ab � p28b + a12b + 112! ln b�2 (E.13)A12 = 724 � (13a+ 37b)p2288ab � 13(a2 + b2)36ab � 7p224b + 13a12b + 1312! ln b�2 (E.14)A13 = 18 � 7(a+ b)p296ab � a2 + b236ab � p28b + a+ b12b ! ln b�2 (E.15)A14 = �25a+ 13b144ab � 512b ln b�2 (E.16)A21 = 31(a � b)p21440ab � 5(a2 � b2)12ab � p224b + 5a6b! ln b�2 (E.17)A22 = � 112 � (153a + 397b)p21440ab � 5a2 + 7b272ab � p28b + a12b � 14! ln b�2 (E.18)A23 = 112 + (127a + 153b)p21440ab + 7a2 + 5b272ab + 5p224b + 5a12b + 14! ln b�2 (E.19)A24 = 121(a � b)360ab � 16b ln b�2 (E.20)

E.2. Ausintegrierte KoeÆzienten 101A31 = �18 + (47a+ 39b)p2288ab + 3a2 + b236ab + 5p224b + a12b + 112! ln b�2 (E.21)A32 = �18 + (47a+ 39b)p2288ab + 3a2 + b236ab + 5p224b + a12b + 112! ln b�2 (E.22)A33 = � 724 + (37a + 13b)p2288ab + 13(a2 + b2)36ab � 5p224b � 13a12b � 1312! ln b�2 (E.23)A34 = �13a� 7b144ab + 512b ln b�2 (E.24)� Qkj5(1; p2): Q115 = p424ab + p28b + a12b (E.25)Q125 = � p424ab + 7p224b + 13a12b (E.26)Q135 = p424ab + p28b + a12b (E.27)Q145 = p212ab + 112b (E.28)

Q215 = p224b + 5a6b (E.29)Q225 = p424ab + p28b + a12b (E.30)Q235 = � p424ab � 5p224b � 5a12b (E.31)Q245 = 16b (E.32)Q315 = � 11p4120ab � 5p224b � a12b (E.33)Q325 = � 11p4120ab � 5p224b � a12b (E.34)Q335 = p424ab + 5p224b � 13a12b (E.35)Q345 = p260ab � 512b (E.36)� Qkj7(1; p2):

102 Anhang E. TabellenQ117 = � p424ab (E.37)Q127 = p424ab (E.38)Q137 = � p424ab (E.39)Q147 = � p212ab (E.40)Q217 = 0 (E.41)Q227 = � p424ab (E.42)Q237 = p424ab (E.43)Q247 = 0 (E.44)Q317 = 11p4120ab (E.45)Q327 = 11p4120ab (E.46)Q337 = � p424ab (E.47)Q347 = � p260ab (E.48)E.3 Inneres ImpulsintegralHier �ndet man das auf Seite 45 erw�ahnte Ergebnis der Bere hnung aller drei zum innerenImpulsintegral geh�orenden Parameterintegrale. F�ur die vorzunehmende p-Integration stellen sieeinen s hle hten Ausgangspunkt dar. Gegen�uber dem Hauptteil der Arbeit ist z3 ! z substituiertworden. Wie s hon in den ersten beiden Teilen dieses Anhangs werden die Abk�urzungen a =�[r℄l1 �2 und b = �[r℄l2 �2 verwendet.�2"Q�!%0(p) = 1(4�)2 r+1Xl1;l2=1(R[r℄1;l1l2(p2)"Æ�!p%0 + 13Æ�%0p! + Æ!%0p�12 �1" � E + ln(4�)�+Æ�!p%0" 49180 � 43(a+ b)240p2 � 14a2 � 21ab+ 14b260p4 � 112 ln b�2+2a� p224b ln a+ p2b + 7a4120bp6 + 5a324bp4 + a24bp2! ln a+ p2a + p440ab ln p2a+ p2+ 7(b + p2)5120abp6 � (b+ p2)412abp4 ! ln b+ p2b

E.3. Inneres Impulsintegral 103+ 7(a� b� p2)5240abp6 + (a� b� p2)424abp4 + 5(a� b� p2)324bp4 + (a� b� p2)4bp2+3a(a� b� p2)8bp2 + a4b! ln ab+ 7(a � b� p2)4240abp6 + (a� b� p2)324abp4 + 3(a� b� p2)220bp4 + (a� b� p2)6bp2 + 2a15bp2!�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2#+Æ�%0p!"187180 � 13a+ 133b80p2 � 62a2 � 93ab+ 62b260p4 � 1312 ln b�2+ 31a4120bp6 + 19a312bp4 + 13a212bp2! ln a+ p2a + 13a12b + 19p224b ! ln a+ p2b+ 31p4120ab ln a+ p2p2 + 31(b+ p2)5120abp6 ln b+ p2b+ 31(a � b� p2)5240abp6 + 25(a � b� p2)324bp4 + 19a(a� b� p2)8bp2 ! ln ab+ 31(a � b� p2)4240abp6 + 47(a � b� p2)260bp4 + 16a15bp2!q(a� b� p2)2 + 4ap2� ln a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2 #+Æ!%0p�" 49180 � 43(a+ b)240p2 � 14a2 � 21ab+ 14b260p4 � 112 ln b�2+ 7a4120bp6 + 5a324bp4 + a24bp2! ln a+ p2a + 2a� p224b ln a+ p2b + p440ab ln p2a+ p2+ 7(b + p2)5120abp6 � (b+ p2)412abp4 ! ln b+ p2b+ 7(a� b� p2)5240abp6 + (a� b� p2)424abp4 + 5(a� b� p2)324bp4 + (a� b� p2)24bp2+3a(a� b� p2)8bp2 + a4b! ln ab+ 7(a � b� p2)4240abp6 + (a� b� p2)324abp4 + 3(a� b� p2)220bp4 + a� b� p26bp2 + 2a15bp2!�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2#+p�p!p%0" 16p2 � a� 35b24p4 + 2a2 � 3ab+ 2b22p6 + 112b ln ba+ p2 + p212ab ln p2a+ p2+ a44bp8 + 7a312bp6 + a23bp4! ln aa+ p2 + (b+ p2)54abp8 � (b+ p2)46abp6 ! ln bb+ p2

104 Anhang E. Tabellen+ (a� b� p2)58abp8 + (a� b� p2)412abp6 + 5(a� b� p2)36bp6 + (a� b� p2)22bp4+5a(a� b� p2)4bp4 + a2bp2! ln ba+ (a� b� p2)48abp8 + (a� b� p2)312abp6 + 7(a� b� p2)12bp6 + a� b� p23bp4 + a3bp4!�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2##+R[r℄2;l1l2(p2)"Æ!%0p� � Æ�%0p!4 �1" � E + ln(4�)�+Æ�!p%0"� 41a � 65b48p2 � 11(a2 � b2)12p4 � 5(a3 � 2a2b+ 2ab2 � 5b3)6p6+ 13a424bp6 + 7a312bp4 + a26bp2 + a56bp8 + 3a4b! ln a+ p2a + 5a6b + p224b! ln ba+ p2+ 11(b + p2)524abp6 � (b+ p2)66abp8 � 3(b+ p2)48abp4 + (b+ p2)312abp2 ! ln b+ p2b+ (a� b� p2)612abp8 + 11(a � b� p2)548abp6 + 13(a� b� p2)424bp6 + 3(a� b� p2)416abp4+5(a� b� p2)33bp4 + (a� b� p2)324abp2 + a(a� b� p2)22bp4 + 13(a � b� p2)28bp2+15a(a� b� p2)8bp2 + a� b� p22b � 7a212bp2 + 17a8b ! ln ab+ (a� b� p2)512abp8 + 11(a � b� p2)448abp6 + 3(a� b� p2)38bp6 + 3(a� b� p2)316abp4+29(a� b� p2)224bp4 + (a� b� p2)224abp2 � a(a� b� p2)12bp4 + 5(a� b� p2)4bp2� a12bp2 + 512b!q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2 #+Æ�%0p!"� 12 + 5a� 9b240p2 � a2 � b212p4 + a424bp6 + a3bp4 + a212bp2! ln a+ p2a+14 ln b�2 + a12b + p28b! ln ba+ p2 + p424ab ln p2a+ p2 + (b+ p2)524abp6 ln bb+ p2+ (a� b� p2)548abp6 � (a� b� p2)424bp6 + (a� b� p2)38bp4 � a(a� b� p2)24bp4+a(a� b� p2)8bp2 � a24bp2! ln ba+ (a� b� p2)448abp6 � (a� b� p2)324bp6 + (a� b� p2)212bp4 � a(a� b� p2)6bp4 !

E.3. Inneres Impulsintegral 105�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2#+Æ!%0p�"12 � 15a+ 29b240p2 � a2 � b212p4 + a424bp6 + 5a324bp4 + 5a212bp2! ln a+ p2a�14 ln b�2 + 5a12b + 5p224b! ln a+ p2b + p424ab ln a+ p2p2+ (b+ p2)524abp6 � (b+ p2)412abp4 ! ln bb+ p2+ (a� b� p2)548abp6 � (a� b� p2)424bp6 + (a� b� p2)424abp4 + (a� b� p2)324bp4�a(a� b� p2)24bp4 + (a� b� p2)24bp2 � 3a(a� b� p2)8bp2 � a24bp2 + a4b! ln ba+ (a� b� p2)448abp6 � (a� b� p2)324bp6 + (a� b� p2)324abp4 � a(a� b� p2)6bp4+a� b� p26bp2 � a3bp2!�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2#+p�p!p%0"23(a � b)24p4 + 4(a2 � b2)3p6 + 5a3 � 10a2b+ 10ab2 � 5b36p8+ a56bp10 + 3a44bp8 + 17a312bp6 + 17a212bp4 + 3a4bp2! ln aa+ p2 + 16b ln ba+ p2+ (b+ p2)66abp10 � (b+ p2)54abp8 + (b+ p2)46abp6 � (b+ p2)312abp4 ! ln b+ p2b+ (a� b� p2)612abp10 + (a� b� p2)58abp8 + (a� b� p2)412abp6 + 3(a� b� p2)44bp8+(a� b� p2)324abp4 + 5(a� b� p2)34bp6 + (a� b� p2)2bp4 + 7a(a� b� p2)24bp6+5a(a� b� p2)2bp4 + a� b� p22bp2 + 3a2bp2 + 2a23bp4! ln ba+ (a� b� p2)512abp10 + (a� b� p2)48abp8 + (a� b� p2)312abp6 + 7(a� b� p2)312bp8+(a� b� p2)2bp6 + (a� b� p2)224abp4 + 3a(a� b� p2)4bp6 + 5(a� b� p2)6bp4 + 3a4bp4+ 512bp2!q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2 ##+R[r℄3;l1l2(p2)"Æ�!p%0 + Æ�%0p! + 13Æ!%0p�12 �1" � E + ln(4�)�

106 Anhang E. Tabellen+Æ�!p%0" 536 + 5(a+ b)48p2 + 2a2 � 3ab+ 2b212p4 � 112 ln b�2 + 2a+ 3p224b ln a+ p2b+ a424bp6 + a38bp4 + a212bp2! ln aa+ p2 + p424ab ln a+ p2p2+ (b+ p2)524abp6 � (b+ p2)412abp4 ! ln bb+ p2+ (a� b� p2)548abp6 + (a� b� p2)424abp4 + (a� b� p2)38bp4 + (a� b� p2)24bp2+a(a� b� p2)8bp2 + a4b! ln ba+ (a� b� p2)448abp6 + (a� b� p2)324abp4 + (a� b� p2)212bp4 + a� b� p26bp2 !�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2#+Æ�%0p!" 536 + 5(a+ b)48p2 + 2a2 � 3ab+ 2b212p4 � 112 ln b�2 + 2a+ 3p224b ln a+ p2b+ a424bp6 + a38bp4 + a212bp2! ln aa+ p2 + p424ab ln a+ p2p2+ (b+ p2)524abp6 � (b+ p2)412abp4 ! ln bb+ p2+ (a� b� p2)548abp6 + (a� b� p2)424abp4 + (a� b� p2)38bp4 + (a� b� p2)24bp2+a(a� b� p2)8bp2 + a4b! ln ba+ (a� b� p2)448abp6 + (a� b� p2)324abp4 + (a� b� p2)212bp4 + a� b� p26bp2 !�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2#+Æ!%0p�"5936 + 11a� 13b16p2 + 2a2 � 3ab+ 2b212p4 � 1312 ln b�2 + 26a� 5p224b ln a+ p2b+ a424bp6 + 5a324bp4 + 5a212bp2 + 3a2b! ln aa+ p2 + p424ab ln p2a+ p2+ (b+ p2)524abp6 � (b+ p2)42abp4 + (b+ p2)32abp2 ! ln bb+ p2+ (a� b� p2)548abp6 + (a� b� p2)44abp4 � (a� b� p2)324bp4 + (a� b� p2)34abp2+3(a� b� p2)22bp2 � 7a(a� b� p2)8bp2 + 3(a� b� p2)2b + 3a2b! ln ba

E.3. Inneres Impulsintegral 107+ (a� b� p2)448abp6 + (a� b� p2)34abp4 � (a� b� p2)212bp4 + (a� b� p2)24abp2+a� b� p2bp2 � 2a3bp2 + 1b!�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2#+p�p!p%0"� 16 � 35a� b24p4 � 2a2 � 3ab+ 2b22p6 + 712b ln a+ p2b+ a44bp8 + 13a212bp6 + 11a26bp4 + 3a2bp2! ln a+ p2a+ p212ab ln a+ p2p2 + (b+ p2)54abp8 � 2(b+ p2)43abp6 + (b+ p2)32abp4 ! ln b+ p2b+ (a� b� p2)58abp8 + (a� b� p2)43abp6 + 5(a� b� p2)36bp6 + (a� b� p2)34abp4+2(a� b� p2)2bp4 + 5a(a� b� p2)4bp4 + 3(a� b� p2)2bp2 + 2abp2! ln ab+ (a� b� p2)48abp8 + (a� b� p2)33abp6 + 7(a� b� p2)212bp6 + (a� b� p2)24abp4+4(a� b� p2)3bp4 + a3bp4 + 1bp2!�q(a� b� p2)2 + 4ap2 ln a+ b+ p2 �p(a� b� p2)2 + 4ap2a+ b+ p2 +p(a� b� p2)2 + 4ap2##)+O(") (E.49)

108 Anhang E. Tabellen

109Literaturverzei hnis[AS 65℄ M. Abramowitz, I. Stegun, Handbook of Mathemati al Fun tions, Dover Publi ations,New York (1965)[BC 80℄ J. Ball, T. Chiu, "Analyti properties of the vertex fun tion in gauge theories. II\,Phys. Rev. D22, 2550 (1980)[BEL 91℄ M. Le Bella , Quantum and Statisti al Field Theory, Oxford S ien e Publi ations,Oxford (1991)[BJO 69℄ J. Bj�rken, "Asymptoti Sum Rules at In�nite Momentum\, Phys. Rev. 179, 1547(1969)[BL 93℄ D. Bailin, A. Love, Introdu tion to Gauge Field Theory, Revised Edition, Instituteof Physi s Publishing, Bristol (1993)[BLO 69℄ E. Bloom et al., "High-Energy Inelasti e-p S attering at 6Æ and 10Æ\, Phys. Rev.Lett. 23, 930 (1969)[BRN 00℄ I. Bronstein et. al., Tas henbu h der Mathematik, 5. Auflage, Verlag Harry Deuts h,Frankfurt am Main (2000)[BRO 92℄ L. Brown, Quantum Field Theory, Cambridge University Press, Cambridge (1992)[BRS 76℄ C. Be hi, A. Rouet, R. Stora, "Renormalization of gauge theories\, Ann. Phys. 98,287 (1976)[DD 84℄ A. Devoto, D. Duke, "Table of Integrals and Formulae for Feynman Diagram Cal u-lations\, Riv. Nuovo Cim. 7, 1 (1984)[DIR 33℄ P. Dira , "The Lagrangian in Quantum Me hani s\, Physikalis he Zeits hrift derSowjetunion 3, 64 (1933)[DRI 97℄ L. Driesen, Die Basisvertizes der Quanten hromodynamik und ihr Dyson-S hwinger-Selbstkonsistenzproblem im Rahmen einer systematis h erweiterten St�orungsreihe,Dissertation, M�unster (1997)[DYS 49℄ F. Dyson, "The S Matrix in Quantum Ele trodynami s\, Phys. Rev. 75, 1736 (1949)[EIN 56℄ A. Einstein, Grundz�uge der Relativit�atstheorie, Vieweg, Brauns hweig (1956)[FEY 48℄ R. Feynman, "Spa e-Time Approa h to Non-Relativisti Quantum Me hani s\, Rev.Mod. Phys. 20, 367 (1948)

110 Literaturverzei hnis[FEY 69℄ R. Feynman, "Very High-Energy Collisions of Hadrons\, Phys. Rev. Lett. 23, 1415(1969)[FP 67℄ L. Fadde'ev, V. Popov, "Feynman Diagrams for the Young-Mills Field\, Phys. Lett.25B, 29 (1967)[GEL 64℄ M. Gell-Mann, "A s hemati Model of Baryons and Mesons\, Phys. Lett. 8, 214(1964)[GN 74℄ D. Gross, A. Neveu, "Dynami al symmetry breaking in asymptoti ally free �eldtheories\, Phys. Rev. D10, 3235 (1974)[GW 73℄ D. Gross, F. Wil zek, "Ultraviolet Behavior of Non-Abelian Gauge Theories\, Phys.Rev. Lett. 30, 1343 (1973)[HOO 71℄ G. 't Hooft, "Renormalization of massless Yang-Mills �elds\, Nu l. Phys. B33, 173(1971)[HV 72℄ G. 't Hooft, M. Veltman, "Regularization and Renormalization of Gauge Fields\,Nu l. Phys. B44, 189 (1972)[JSL 87℄ C.-R. Ji, A. Sill, R. Lombard-Nelsen, "Leading-order perturbative QCD al ulationof nu leon Dira form fa tors\, Phys. Rev. D36, 165 (1987)[KUG 97℄ T. Kugo, Ei htheorie, Springer-Verlag, Berlin (1997)[LSW 94℄ M. L�us her, R. Sommer, P. Weisz, U. Wol�, "A pre ise determination of the running oupling in the SU(3) Yang-Mills Theory\, Nu l. Phys. B413, 481 (1994)[MOS 66℄ W. Magnus, F. Oberhettinger, R. Soni, Formulas and Theorems for the Spe ial Fun -tions of Mathemati al Physi s, Springer-Verlag, Berlin (1966)[MEY 94℄ A. Meyer, Hadronis he Zwis henzust�ande in der e�-e+-Annihilation, Diplomarbeit,M�unster (1994)[MM 94℄ I. Montvay, G. M�unster, Quantum Fields on a Latti e, Cambridge University Press,Cambridge (1994)[MUT 87℄ T. Muta, Foundations of Quantum Chromodynami s, World S ienti� , Singapur(1987)[OS 73℄ K. Osterwalder, R. S hrader, "Axioms for Eu lidean Green's Fun tions\, Commun.math. Phys. 31, 83 (1973)[OS 75℄ K. Osterwalder, R. S hrader, "Axioms for Eu lidean Green's Fun tions II\, Commun.math. Phys. 42, 281 (1975)[PT 84℄ P. Pas ual, R. Tarra h, QCD: Renormalization for the Pra titioner, Springer-Verlag,Berlin (1984)[PS 95℄ M. Peskin, D. S hroeder, An Introdu tion to Quantum Field Theory, Perseus Books,Cambridge, USA (1995)[POL 73℄ H. Politzer, "Reliable Perturbative Results for Strong Intera tions?\, Phys. Rev.Lett. 30, 1346 (1973)

Literaturverzei hnis 111[RIV 87℄ R. Rivers, Path Integral Methods in Quantum Field Theory, Cambridge UniversityPress, Cambridge (1987)[SCH 96℄ M. S hmelling , Status of the Strong Coupling Constant, Plenary Talk given at theXXVIII International Conferen e on High Energy Physi s, Wars hau (1996), e-Printar hive hep-ph/9701002[SCHW 51℄ J. S hwinger, "On the Green's Fun tions of Quantized Fields, I and II\, Pro . Nat.A ad. S i. 37, 452 (1951)[SCHW 61℄ J. S hwinger, "Gauge Invarian e and Mass\, Phys. Rev. 125, 397 (1962)[SIB 01℄ K. Sibold, Theorie der Elementarteil hen, Teubner, Leipzig (2001)[STI 96℄ M. Stingl, "A Systemati Extended Iterative Solution for Quantum Chromodyna-mi s\, Z. Physik A353, 423 (1996), e-Print ar hive hep-th/9502157[STI 01℄ M. Stingl, Pers�onli he Mitteilungen (2001{2003), unver�o�entli ht[STI 02℄ M. Stingl, Field-Theory Amplitudes as Resurgent Fun tions, preprint MS-TP-01-4,M�unster (2002), e-Print ar hive hep-ph/0207349[WEI 67℄ S. Weinberg, "A Model of Leptons\, Phys. Rev. Lett. 19, 1264 (1967)[WIL 69℄ K. Wilson, "Non-Lagrangian Models of Current Algebra\, Phys. Rev. 179, 1499(1969)[YM 54℄ C. Yang, R. Mills, "Conservation of Isotopi Spin and Isotopi Gauge Invarian e\,Phys. Rev. 96, 191 (1954)[YND 83℄ F. J. Yndur�ain, The Theory of Quark and Gluon Intera tions, Third Revised andEnlarged Edition, Springer-Verlag, Berlin (1983)

112 Literaturverzei hnis

113HilfsmittelDie Diagramme wurden mit Hilfe des Computeralgebrasystems MATHEMATICA von WolframResear h bere hnet und gezei hnet.F�ur die Erstellung der Feynman-Graphen wurde das LATEX-Erg�anzungspaket FEYNMF vonThorsten Ohl verwendet.

114 Hilfsmittel

115DanksagungHerrn Professor Dr. Manfred Stingl danke i h f�ur die interessante Aufgabenstellung und dieumfangrei he Betreuung. Seine Rats hl�age waren bei der Erstellung der vorliegenden Arbeitsehr hilfrei h.Dem Institut f�ur Theoretis he Physik der Westf�alis hen Wilhelms-Universit�at M�unster dankei h f�ur die gro�z�ugige Bereitstellung eines Arbeitsplatzes, Re hners, der Institutsbibliothek unddes Institutsdru kers sowie des in Raum 407 in gro�en Mengen vorhandenen S hreibpapiers.Den Mitgliedern des Instituts, insbesondere der Arbeitsgruppen M�unster und Stingl, danke i hf�ur die angenehme Arbeitsatmosph�are und stets vorhandene Diskussionsbereits haft.Herrn Thomas V�o king danke i h f�ur die unkomplizierte gemeinsame Nutzung von Raum 407und des dort stehenden Re hners Kepler.Meinen Eltern danke i h f�ur ihre Unterst�utzung.

116 Danksagung

117

Hiermit versi here i h, die vorliegende Arbeit selbst�andig verfasst und keine anderen als dieangegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt zu haben.M�unster, den 18. Januar 2003

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