TECHNISCHE MECHANIK 5(1984)Heft1

Manuskripteingang: 21. 2. 1983

Uber die mathematische Modellierung eines Vibrorheometers für den

Fall nichtlinearen Materialverhaitens am Beispiel der theologischen

Zustandsgleichung 3. Ordnung

Christian Friedrich

l. Einleitung

Der Rheometrie kommt im Rahmen der theologischen

Forschung eine immer größere Bedeutung zu. Das ist

nicht nur eine Folge der Anwendung (Transport, Verar-

beitung) immer komplizierterer Stoffsysteme (Polymer-

lösungen, Schmelzen, Suspensionen), sondern ist auch

mit den ständig steigenden Forderungen bezüglich einer

stärker differenzierenden Charakterisierung der Fluid-

eigenschaften verbunden. Das führt dazu, dafi die zu be—

stimmenden Materialfunktionen, wie zum Beispiel die

dynamische Viskosität 71* (w, 7) für den sich ausdehnen-

den Frequenz— und Deformationsbereich (w, 7) und sol-

che Parameter, wie Druck und Temperatur, mit immer

höherer Genauigkeit bestimmt werden müssen.

Große Bedeutung kommt den rheologischen Eigenschaf-

ten bei kleinen Deformationsgeschwindigkeiten ’37 zu.

Diese spielen eine Rolle bei der Betrachtung von Prozes-

sen mit freier Oberfläche (Stabilitätsuntersuchungen)

sowie bei der Korrelation der rheologischen Eigenschaf-

ten mit molekularen Daten der Fluide.

Unter solchen kinematischen Bedingungen (kleine

7-Werte) lassen sich viele Fluide (Newtonsche Anfangs-

viskosität n0 ist bei 7 0 endlich) mit einer theologi—

schen Zustandsgleichung vorn rate-Typ ausreichend gut

beschreiben.

In dieser Arbeit soll gezeigt werden, wie für die theolo-

gische Zustandsgleichung 3. Ordnung die Koeffizienten

dieser Gleichung aus einem Experiment, bei dem eine

periodische Deformation mit überkritischer Amplitude

realisiert wird, bestimmt werden können.

2. Theorie

2.1. Die harmonische Scherströmung und die entsprev

chenden Materialfunktionen fiir ein Fluid 3. Ord-

nung

Von einer harmonischen Scherströmung spricht man in

dem Fall, wenn auf ein Fluid eine sich mit der Fre-

quenz w ändernde cosinus- oder sinusförmige Deforma-

tion 7 mit der Deformationsamplitude 70 einwirkt. In

Analogie zur stationären Scherströmung (vgl. z. B.

werden die Materialfunktionen der harmonischen Scher-

strömungen durch Einführung der komplexen Scherspan-

nungsamplitude Ti (hochgestellte Sterne weisen auf

komplexe Größen hin), der komplexen Deformationsge-

schwindigkeitsamplitude 7': und der komplexen Ampli-

tuden der ersten und zweiten Normalsnannungsdifferenz

N172 definiert.

36

4G

» „71 _ ‚ .

’7 (w) " ,—* - 77 (w) -— In (w) (1)

70

. NC N*

7* ' : „_ng. : ’1C ’ ‘ "’

WW“) „1,2 T „*2 l*110/20 l “’1/2d +"-1’1/2d

O "0

Dabei sind n'(o.)) und 71"(03) der Real— bzw. imaginär-

teil der (komplexen) dynamischen Viskosität, die die

Fähigkeit des Fluids zur Energiedissipation bzw. Energie—

akkumulation zum Ausdruck bringen. 1111* sind die

(komplexen) dynamischen Koeffizienten der ersten bzw.

zweiten N0rmalspannungsdifferenz, lil'l 2d bzw. d

der Real— bzw. Imaginärteil des rein dynamischen Anteils

von 1bis/2 und ll’15/20

steht, weil die Normalspannungen im dynamischen Fall

der konstante Anteil, der ent-

um einen stationären Mittelwert N]; 2 schwingen. Da

sich die erste und zweite Normalspannungsdifferenz bei

harmonischer Beanspruchung nur äußerst schwierig mes-

sen lassen. wird oft nur Gieichung (l) zur rheologischen

Charakterisierung von Fluiden herangezogen.

Es maß erwähnt werden, da5 die Gleichung nur für

eine Deformationsamplitude gilt, die kleiner als der kriu

tische Wert 7km ist, der den Übergang vom linearen zum

nichtlinearen viskoclastischen Materialverhalten kann

zeichnet. Für die sich anschließenden Deformatione-

amplitudenbereiche 7km < 70 < 7“ {Übergangsbe-

Mich) und 70 > 7n! (Bereich des ausgeprägten nicht-

linearen Materialverhaltens) ergeben sich für Gleichung

(l) die Beziehungen und (1")

72* (wg 70) = n’ (wrro) — in"(wn‘9) (1')

17* (9,70%12: (owe), n§(3wwo) (1")

Die Gleichung deutet auf die Deformationsabhängig-

keit der komplexen Viskosität im Übergangsbereich hin.

Für den nichtlinearen Deformationsbereich existiert

keine weitere Verallgemeinerung der Gleichungen (l)

oder Die Beziehung (1") deutet vielmehr auf die

Tatsache hin, daß bei monofrequenter Erregung des

Fluids mit einer Kreisfrequenz ca und einer Deforma—

tiorisamplitude 70 > 7,11 die Antwortschwingung ein

Frequenzspektrum Q aufweist und deformationsabhän-

gig ist. Im weiteren sollen nun die Folgerungen für eine

Flüssigkeit 3. Ordnung, wie sie sich für die Beziehungen

(l), (T) und(l ") ergehen, betrachtet werden.

Die Flüssigkeit n-ter Ordnung (im speziellen stellt

die Entwicklung des Funktionals der Deformationsge—

schichte als aiigemeinste Formulierung einer rheologi-

sehen Zustandsgleichung nach einer retardierten Defer»

mationsgeschichte (eigentiich die Deformationsgeu

schichte der Ruhe) mit dem Retardationsparameter r

dar‘ Jenachdem Grad der Entwicklung B. n) nimmt

der Reibengsspannungstensor die folgende Form an

[2]:

z E L + 00””); r——>0 (3)

i=1 - -

H

Für n = 3 erhält man die theologische Zustandsgleichung

3. Ordnung mit folgenden gikÄUSdrückcn:

:1 = 21202“) <4)

l2 : 20:11:)(2’ + 4a2[13__‘1)‘]2 (5)

£3 ‘ 2512(3)+852(5P2(2}}2(1)

+453 (2(2)2{1)+2(1)[:)(2)) (6)

Dabei sind 720, 011, (x2, Bl, 62, ß die rheologischen Kon-

stanten g“) bzw. 2‘2) und 23(3) der Deformationsge—

schwindigkeitstensor und sein—e höhere Ableitung, die

folgendermaßen zu bilden sind l1]:

1 _

D‘1>:gs+sT>;i= gy (7)

9mm : D(n) „L

I ist der Geschwindigkeitsvektor und Z der Nablaopera:

tor. Der Punkt über den Großbuchstaben deutet auf die

partielle Zeitahleitung hin und das hochgesteiite T zeigt.

den transponierten Vektor oder Tensor an. Die Bezeich-

nung Sp erklärt die Operation der Spurbildung eines

Tensors. Legt man eine eindimensionale Scherströrnung

in dem Koordinatensystem x, y, z (vgl. Bild l) zugrunde,

bei der als äußere Erregung Verschiebung K (es sei

nochmals vermerkt, daß die physikalisch inefibaren Grö-

ßen sie Realteil Re‘der entsprechend komplex eingeführ-

ten sind mit einem Stern versehenen Größen zu verste-

hen sind)

* * r ‘ C

KB : K30 e10“t bei y '—" O

angreift, so wird sich im Fluid ein im allgemeinen nicht-

lineares Verzerrungs- und damit Deformations- und Ge-

schwindigkeitsfeld aufbauen. Berücksichtigt man dabei

die 1. und 3. Harmonische (die geradzahligen Harmoni-

schen verschwinden auf Grund der lsotropiebedingung),

* * * ‘ ‘

n = K (w) = a1 (y) e“ + a3 (y) e3“ (9)

so ergibt sich für die Deformationsgeschwindigkeit über

die Beziehungen

V : _. : _ *at K ‚ 7 ay Vx (10)

die Gleichung (11).

7* 2 ejwt +73 efiiwt(11)

901) . V {LT . 2(11) + Ein) . L (8X/

Biid 1

Schematische Darstellung der Strömungsgeometrie mit ange-

deuteten Umrissen eines Schwingungsrheometers

Die Scherspannungsantwort ist entsprechend zu formu-

lieren.

Tao : ‚131‘6th + T: 533th (12)

Setzt man nun die Gleichungen (10) und (11‘) in die

rheologische Zustandsgleichung (Gleichungen bis

ein und vergleicht die dabei erhaltene Scherspam

nung mit Gleichung (l2), so ergeben sich für ein 3,. 0rd-

nungs-Modeli folgende Ausdrücke für die Materialfunk—

tion (1'):

saure) = no —ßl + 5(52 +83.) 7i <02 + 10:1 w (13)

Für die Beziehung lassen sich keine dem 3. 0rd—

nungs-Modeil entsprechenden Gleichungen angeben, da

kein einheitliches, überzeugendes Konzept existiert, wie

mit den höheren Harmonischen zu verfahren ist. Es gibt

einzelne Ansätze [3] bis [7], die zu unterschiedlichen

Formulierungen von materialspezifischen Funktionen

führen. Deshalb ist es sinnvoll, die Materialkonstanten

der betrachteten theologischen Zustandsgleichung durch

Anpassung der für eine bestimmte Gerätekonfiguration

theoretisch berechneten Schwingung an die experimen-

tell dafür aufgenommene Antwortschwingung vorzu-

nehmen. Dieses mathematische Modell soll im folgenden

dargestellt werdent

2.2. Mathematisches Modell eines Vibrorheometers

Bei der Entwicklung des mathematischen Modells eines

Vibrorheometers soll von einer Gerätekonfiguration aus-

gegangen werden, wie sie in Bild l schematisch darge—

stellt ist. Es befindet sich eine elastisch aufgehängte

Platte bei y = yP = h in einem mit dem zu untersuchen-

den Fluid gefüllten Behälter, von dem die eine Wand bei

y I yB = 0 harmonisch erregt wird. Diese Erregung wird

durch das Fluid auf die Platte übertragen, die dann ihrer—

37

seits entsprechend der Fluideigenschaften schwingt.

Demzufolge muß das mathematische Modell aus der Be-

wegungsgleichung für das Fluid und der Bewegungsglei-

chung für das Platte-Feder-System bestehen. Es soll da-

von ausgegangen werden, daß sich zwischen Platte und

Behälterwand eine Viskosimeterströmung ausbildet, wo-

bei folgende Annahmen zugrunde liegen:

1.

2.

3.

die Haftbedingung zwischen'Fluid und Wand

Randeffekte sind vernachlässigbar

die Bewegung ist von den Anfangsbedingungen un-

abhängig

vx (t) : Vx (t + 21rco“1)

Die Bewegung des Fluids wird durch die Impulsbilanz in

Bewegungsrichtung in der Form, wie sie schon von

Landau, Lifschitz [8] und Schlichting [9] als mathema—

tisches Modell einer oszillierenden Scherströmung ver-

wendet wurde, beschrieben.

öVx _ ö'rxy

p ö t F a y '

Die Größe p stellt die Dichte des Fluids dar.

Für die Bewegung der Platte xP wird die Gleichung des

linearen Oszillators angesetzt, der durch die spezifische

Scherkraft fSCH zur Schwingung angeregt wird.

(14)

kp+280ip4-wäxp: gCH am

Die Größen 80 und wo sind die Dämpfung bzw. die

Eigenfrequenz des Platte-Feder-Systems und die Punkte

über xp zeigen die Zeitableitungen an. Die spezifische

Scherkraft ergibt sich aus der an der gesamten Platten-

fläche PF angreifenden Scherspannung TX), und der

Masse m des Platte-Feder-Systems wie folgt:

PFf 2 _ 16SCH m Txy y 2 h ( )

Da die Scherspannung entsprechend Gleichung (12) aus

der Grundharmonischen und der 3. Harmonischen be-

steht, kann man als Lösung für die Bewegungsgleichung

(15) den Ansatz

* 4 *-

x eth + xN p3 83w

x (17)

verwenden. Die Amplitudenwerte der Harmonischen in

den Gleichungen (l7) und (9) lassen sich wie folgt dar-

stellen:

"3(- *

Xpl : Xplo +iXp11 Ä Xp3 3 Xp30 + ixp3l

81 : 310 + 1311 a3 : 330 + 1331

Setzt man die Gleichungen (16), (l7) und (18) in Glei-

chung (15) ein, so erhält man nach Koeffizientenver-

gleich 4 Gleichungen für Xplo, Xpll, Xp30 und Xp31.

Das die Bewegung des Fluids beschreibende Rechenmo-

dell ergibt sich, wenn die aus den Gleichungen (3) — (8)

erhaltene Scherspannungskomponente Txy in Gleichung

(l4) unter Berücksichtigung von (9) und (10) substitu»

iert wird. Da die Amplitudenwerte im Ansatz (9) ortsab-

hängig sind, erhält man ebenfalls nach Koeffizientenver-

38

K*<0>

K*<h)

gleich ein System von 4 gewöhnlichen nichtlinearen Dif—

ferentialgleichungen 2. Ordnung für die Größen a1 0, a1 1,

a30 und 331. Bei der Berechnung des nichtlinearen

Scherspannungsanteils (entspricht 7'3) wurde von der Be-

Ziehung

REZl- REZz- REZ3 : i RE(zlz2z3+le2z3

+ Z122 Z3 + Z12223)

Gebrauch gemacht, wobei Z1, Z2, Z3 beiiebige kom-

plexe Zahlen und Z1, Z2, Z3 die entsprechenden kom-

plex konjugierten Zahlen sind. Die Koeffizienten des so

erhaltenen Gleichungs- bzw. Differentialgleichungssy—

stems sind Funktionen der Frequenz, Dämpfung, Eigen-

frequenz sowie der zu bestimmenden theologischen Pa-

rameter (vgl. Anhang A 1).

In ähnlicher Weise wurde von Walters bei der Berech—

nung der oszillierenden PlattePlatte-Torsionsströmung

vorgegangen, jedoch führte dort der nichtlineare Ansatz

zu 4 einfachen linearen, homogenen Differentialglei-

chungen 2. Ordnung, für die eine analytische Lösung

angegeben werden kann [1].

Das hier erhaltene System von 4 Differentialgleichungen

2. Ordnung wird auf ein System von 8 Gleichungen

l. Ordnung zurückgeführt und läßt sich zusammen mit

den Bewegungsgleichungen für die Platte in allgemeiner

Form folgendermaßen darstellen (f1 — f8 sind nicht-

lineare Funktionen — vgl. Anhang A 2):

a 2W

"2' Z f1(u1‘u27“3a“4,“;)

ä =M

u' = f2 (ul, u2, u3, u4, (20)

“5' 2 “6

u"j I f3 (ul,u2,u3,u4‚u5,u7,ui)

“ä I “8

u"3 I f4 (u1,u2,u3,u4,u5,u7,ui)

Xpio : f5 (uzhau4h) i

Xpn Z f6(‘12lwu4h) (21}

xp30 : f7 (“2hvu4hv‘16hvu8h) >

Xp31 Z f3 (“2h’u4hvu6h’“8h) J

Dabei sind die uih die Werte der Funktionen ui an der

Stelle y I h. Die Randbedingungen für die 8 Differential-

gleichungen erhält man über die Haftbedingung aus den

Beziehungen

z a;(0)exP(aut)—+a3(0) exp(3kut): K; z “EO

= al(h)exp(k00 4-a;(h) exp(3kol): x: : XZI

4(-

X exp (Biwt), Spaltet man diese Beziehungen in Real-

und lmaginärteil auf, so ergeben sich

u1(0) = Re<af<0>> : K30

u2(0) : x1

%@=m@@po

“101): Xpm

U201) = “2h

“3 (h) 2 Xpil (22)

I exp(iwt) und

exp(iwt) +

“4(0) : Ä2 u4(11) = “4h

“5(0) Z Re(33(0)) = 0 u501) = xp30

“6(0) : >\3 “6(11) Z “6h

W) = 1ms; <0» = 0 we = upsl

“8(0) = M “8(11) 2 “8h

Den Äi-Werten entsprechen die unbekannten Deforma-

tionen. Die Funktionen ui an der Stelle y = h sind eben-

falls unbekannt. Damit macht es sich notwendig, diese

Bandwertaufgabe auf eine Anfangswertaufgabe zurück-

zuführen. Mittels der sogenaunten Schiefsmethode (vgl.

z. B. [10]) werden die Äi—Werte so bestimmt. daß die

Funktionen (pi

891(5) = uih— Xpio: 0

“93(5) Z “311* Xp11 Z 0

905(Ä) = ush— Xp30= 0

WQ) 3 “71.- Xp31 Z 0

im Laufe der Ä-Iteration gegen Null gehen.

Zur Lösung der Anfangswertaufgabe und damit zur Be-

stimmung der u1h<a u3h-, u5h— und u7h-Werte wird ein

Runge-Kutta-Fehlberg—Verfahren 5. Ordnung eingesetzt.

Die Bestimmung des Enflanektors, für die das Glei-

chungssystem (23)g = 0 (die Unterstreichung deutet

auf die entsprechenden Vektoren hin) mit einer vorge-

gebenen Fehlerschranke erfüllt wird, basiert auf dem von

Schmidt [11] vorgeschlagenen Regula-falsi—Verfahren

MR 2 (siehe Gleichung (24)).

mm) + ELF Mn”) — im) 2 0 <24)

E7 ist dabei eine Matrix, die nach der in [11] angegebe-

nen Vorgehensweise zu bilden ist. Als Startwerte sind

3 Vektoren 5(0), Ä”) und 5(2) vorzugehen. In diesem

Fall hat das Verfahren MR 2 den höchsten Wirkungs—

grad (vgl. [11]).

Die Lösung des linearen Gleichungssysteme (24) mit den

bekannten Standardmethoden liefert dann die gesuchte

n+1-te Näherung für den Ä-Vektor. Damit wird es mög-

lich, bei gegebenen rheologischen und apperativen Kon-

stanten _das Strömungsproblem (direkte Aufgabe) zu lö-

sen. Da die Aufgabe der Rheometrie in der Lösung der

inversen Aufgabe besteht, muß aus der Bewegung der

Platte auf die rheologischen Parameter geschlossen wer—

den. Dies geschieht wie folgt.

Geht man davon aus, daß die aufgezeichnete (experi-

mentell bestimmte) Bewegung der Platte xPE nach reel—

ler Fourieranalyse folgendermaßen

XPE = AE cos wt + BE sin wt + CE cos3wt + DE sin 3wt (25)

dargestellt werden kann, besteht eine Möglichkeit der

Bestimmung des Parametervektors der rheologischen

Konstanten g : (no, (11, a2, ßl, {32, 63) darin, daß man,

wie schon erwähnt, das modellmäßig erhaltene Aus-

gangssignal (Gleichungssystem (21)) an Gleichung (25)

durch Minimierung des Differenzsignals nach der MKQ-

Methode anpaßt. Das dabei entstehende Gütekriterium

(1)1 ist in Gleichung (26) dargestellt.

‘1’1 (E) = t2 (XP (1.") - XPE (t0)2 ”’* min (26)

l

Eine weitere Möglichkeit der Parameterbestimmung be—

ruht auf der Abwandlung von Gleichung (26) in eine an—

dere Form. Wenn man davon ausgeht, daß die Differenz

zwischen den gemessenen (siehe Gleichung (2 ) und den

modellmäßig gegebenen und vom gesuchten Parameter-

vektor g abhängigen Fourier-Koeffizienten A, B, C und

D Null werden soll, so kann man das Gleichungssystem

(27) formulieren.

©21<Q> = AE “A=O

222%) Z BE -B :0

‘1’23(Q) : CE — C : 0 (27)

(924(2) 2 DE "13:0

Mit anderen Worten, es wird der Parametervektor go!)

gesucht, für den 92 (g) Null ist. Auf diese Art und Weise

lassen sich nur 4 Elemente von g bestimmen. Dies ist

jedoch ausreichend, da thermodynamische Gesichts-

punkte (Forderung nach positiver Dissipationsfunktion)

die Beziehung

Cil + (12 : 0

fordern, die Parameter [32 und [33 immer als Summe auf-

tauchen und zu einem Parameter

I32 + I33 = 6m (29)

zusammengefaßt werden können. lm weiteren soll die

rechentechnische Realisierung der vorgestellten Algo-

rithmen und die Ergebnisse beschrieben werden.

3. Numerische Realisierung und Diskussion der

Ergebnisse

Die numerische Realisierung der vorher vorgestellten

Methoden basiert auf dem erwähnten Runge-Kutta-Fehl-

berg—Integrationsverfahren 5. Ordnung zur Lösung des

Differentialgleichungssystems (20). Für die hier gewählte

Variante des Schießverfahrens sind 3 Startvektoren

Am), A”) und E2) notwendig, die nach numerischen

Experimenten wie folgt formuliert werden können:

im) = («Bob-1; o; o; 0)

5(1) : 0,5(KB0 h—1;10—4;10-4;10—4)

)\(2) : 05 AU)

Bei dieser Wahl der Startvektoren wird im allgemeinen

im n=6ten oder n:7ten Schritt das Abbruchkriterium

man»

“ih

< 0,01 für i = l,3‚5‚7

erfüllt. Die zur Berechnung eines neuen Ä-Vektors not-

wendige Lösung des linearen Gleichungssysteme (24)

wird auf der Basis des im VOPP Numerikenthaltenen

Programmes GELG (Gaußalgorithmus mit vollständiger

39

Pivotisierung) berechnet. Hier sei noch erwähnt, daß das

Programm ab dem nISten Schritt mit der doppeltge-

nauen Version DGELG arbeitet. Damit ist die numeri-

sche Realisierung des Funküonsprogrammes gegeben,

das zur Berechnung des Parametervektors g gebraucht

wird.

Die Minimierung des Gütefunktionals der Gleichung

(26) wird mit Hilfe der Subroutine OPSN 12 durchge—

führt. Diese Suhroutine realisiert das Simplexverfahren

nach Nelder und Mead, wobei ein Startvektor sowie eine

untere und obere Schranke. für den Parametervektor g

vorzugehen sind.

Bei der Bestimmung von g mit Hilfe des Gleichungs—

systems (27) kann wie im Falle der Ä-iteration auf das

schon erwähnte Verfahren MR2 zurückgegriffen wers

den, es wird aber mit den minimal möglichen 2 Start-

Vektoren gestartet und dann zu der mit maximalem Wir-

kungsgrad arbeitenden Variante übergegangen [11]. Als

Abbruchkriterium wird die Erfüllung folgender Bezie-

hung

ai(n+1> _ „im i

‚Q 0,01 i=1,2,3,4oL(n+1)

1

angenommen.

Beide Varianten werden nun bei der Diskussion eines

Modellbeispiels verglichen. Die erforderlichen Geräte-

und Fluidparameter sind folgende:

w = 0,1 s‘l;

PF = 17,5 cm2; KBO =1mm; h = 2 mm.

In einer direkten Hinrechnung wurden für ein Modell-

fluid mit den durch die Beziehungen (28) und (29) redu-

zierten Parametervektor gMR I ('00; a1; ßnl; 51) =

(2; —— 15; -— 210; 25) die folgenden Fourierkoeffizienten

AE = _ 1.077 - 10—5, BE = — 7,628 - 10—6, CE :

8,486 ' 10—8 und DE = — 2,1407 ° 10‘6 bestimmt.

Diese Parameter dienen nun als Ausgangspunkt für die

Lösung der inversen Aufgabe zur Überprüfung der Lei-

stungsfähigkeit und für den Vergleich beider Verfahren.

Für das auf der Lösung von (27) basierende Verfahren

kann generell festgestellt werden, dal3 die Newtonsche

Lösung als einer der zwei Startvektoren ungeeignet ist,

da in diesem Falle das Verfahren divergiert. Da jedoch

auf der Basis der Viskositätsfunktion für das zu unter-

suchende Fluid relativ einfache Angaben über die Größe

von no und die Größenordnung von fin] gemacht werden

können und die Vorzeichen der Werte physikalisch dew

terminiert sind, sind folgende beide Startvektoren'relativ

einfach zu erstellen:

91;) = (1.9;_10;—200;20)

a‘1)=(21-—20-—2000-30)_R ‘ v 7 9

Das mit diesen Vektoren gestartete Verfahren bricht im

5ten Schritt ab und liefert als Lösung

ggf) = (2,69 ; _ 14,99 ; _ 212,4; 86,16).

40

wog: 35 s’1;öo = ls‘l’; p = 103 kg m"3;

Dazu sind 2‘3 Funktionsaufmfe (Lösungen des Differen-

tialgleichungssystems) notwendig. Eine Verbesserung des

Lösungsvektors kann durch wiederhoite Abarbeitunv des

Al orithmus erzielt werden, wenn mit 951;“ und gin :

{35%) gestartet wird.

Ein anderes Paar von Startx’ektoren ggf? 1' (1,5; —- 10;

176.: 30) und ER") (2.0; 4 15; if 200: nach

21 Berechnungen des Differentialgieich.zngssysteins zu

dem LösungsVektor ggf) {1:29; w 14,99; „was;

— 5,66). Diese zwei Beispiele und andere, nicht ange-

führte Rechnungen zeigen, daß die Bestimmung der er—

sten 3 Komponenten von 9g von der Wahl der Startvek—

toren relativ unabhängig ist. Die Größe ß} hängt dem-

gegenüber sehr stark von den Startvektoren ab und ist

auch für die starke Empfindlichkeit des. Fourierkoeffi-

zienten C gegenüber den Ausgangswerten verantwort-

lich. Während bei allen Rechnungen die Fourierkoef—

fizienten A, B und D mit einem relativen Fehler kleiner

1 Prozent Bestimmt werden konnten, schwankt dieser

Fehler für C in großen Grenzen 100 95 bis 300 9/0).

Anhang

Anhang A 1:

Parameter des Differentialgleichungssystems (20)

A1 z 0‘1‘” ‚ A2 3 770—31 0-92, A3 I 170—961qu2

ßnl 2 ßg+ßg‚ B] :ßn1w2‚ B2 : g

„_ 2 _ ‘ 2

W1 — wo~~w2, “72—50(2), W3: COO—9032

2 A A

A1+A2 A1+A2

2 - A1 2 A3

L30_ "gpw 2 2 ’ L31__3p°’ 2 29A1+A3 9Al+A3

K 2 _ 2 A1

10— —1a5ßnlw 2 a 2 2

1+A2 A1+A2

A3 A

K30‘ 0,5131 2 2 K31 1,5131 21 29A1+A3 9A1+A3

M _ 2B W2A2—W1A1 M 2B W2A1+A2W1

10 2 W2+w2 7 11- 2 2 2

1 2 W1+W2

w2A2—A1W3 9A W +A W

W3 +9W2 W3+9W2

Nlo— 2 2 ‚N11 =3B2w 21

W1+W2 w1+w2

A w —A w 9A w +A w‘

W3 +9W2 W§+9w§

d R (53)

x; I05

[m]

Xp (gems!) {é/Il 1h: Rahmen der

10ze/bhenungenauzgie/l rn/I xP (06,412)

zusammen .

5

0

217.)" Ms]

<5

40

1

Bild 2

Graphische Darstellung der Plattensehwingung x (t) in Ab-

hängigkeit von verschiedenen Parametervektoren. Dabei ent-

spricht der Parametervektor

(_XMR = (1 ; —15 ; ~210; 25) dem Modellfluid und die

Parametervektoren g(OR) = (1,5, — 100 ; — 100 ; — 100),

“(89) 2

(1(53) = (1,88 ; — 14,98 ; — 210,3 ; 2,63), der Startnähe-

rung, der Lösung nach einmaliger Anwendung des Simplexver-

fahrens und der Lösung nach wiederholter Anwendung des

Simplexverfahrens, wobei 9(89) als Startvektor diente.

Auch für das auf Gleichung (26) beruhende Verfahren

kann festgestellt werden, daß der Startvektor, der der

Newtonschen Näherung entspricht (ggf) = (2, 0, 0, 0))

zur Divergenz des Verfahrens führt. Es zeigt sich aber,

dafs eine sehr grobe Schätzung der Parameter, die für

das nicht-Newtonsche Materialverhalten verantwortlich

(1,58; —l4,91 ; —134; 5,76) und

zeichnen, zu einer vernünftigen Näherung führt. Mit

ggf) = (1,5; w 100; — 100; — 100) gelangt man nach

89 Funktionsaufrufen (Lösungen des Differentialglei-

)= (1,58; _ 14,91; e 134; 5,76).

Benutzt man diesen Vektor als Startvektor, so erhält

man QR“) z (1,88; _ 15, 8- -2108; 2,63). Die den9

Parametervektoren ggMR , gggs und 3) entsprechende

chungssystems) zu QR

A2:

Darstellung der Funktionen f1 — f8

f1:

2 2

Lil u3—Lä0 111 +u‘i(2K10u2 u4—K11(u2+3u4))

2 2

1+2K11u2U4—K10(3u2+u4)

2 2 2 2*Ln “1-L10 “3+u§(2 K10 u2 “4+K11(3“2+“4))

1—2K11u2u4—K10(u:+3ui)

L2 u —L2 u +u'(K (u2—u2)-2K u. u)—31 7 30 5 2 30 2 4 31 2 4

2 2

u; (K31 (112 —U4)+2K30 112 114)

2 2 2

_L§1 u5 _L30 u7+ué(K31(u2 —u4)+2K30 u2 114) +

‚ 2 2

114 (K30(u2 --ll4) —2K31 112 114)

2 2‘ M10 “2h -M1 1 “4h +012}, + 114b) (N10 11211 *N11 “4h)

41

_ 2f6 - M10 “4h + M11 “2h +01%}, + u“90‘110 “411 + N11 “21.)

= _ 2 2 2 2f7 M30 “61: M31 “8h +N30 “2h (“2h -3u4h) -N31 “411(“4h + 31121,)

= 2 2 2f3 M30 “81: + M31 “6h + N30 “4h (“4h + 3%,.) + N31 “2h (“2h - 3112;.)

Uih = U101); i=2‚4‚6‚8

Schwingung der Platte xp ist im Bild 2 graphisch darge-

stellt. Es ist zu erkennen, dali zwischen xp (gMR, t) und

xp (Elfen, t) kaum noch ein Unterschied besteht, wohin-

gegen sich die anderen Schwingungen deutlich von

xp (QMR,t) abheben. Auch hier (und an weiteren Test-

beispielen) zeigt es sich, dalä besonders der Parameter Bl

stark von der Wahl der Ausgangsnäherung abhängt und

zu starken Schwankungen des Fourierkoeffizienten C

führt.

Der Vergleich beider Vorgehensweisen zeigt, daß das mit

einem Vektor zu startende Verfahren zu besseren Lösun-

gen im Sinne kleinerer mittlerer relativer Fehler des Para-

metervektors führt, obwohl weniger Information über

die Anfangsnäherungen erbracht werden muß. Dieser

Vorteil wird durch eine 3 bis 4fach höhere Rechenzeit

erkauft. Für das auf der Lösung des Gleichungssystems

(27) beruhende Verfahren wurde je nach Wahl der Start-

vektoren 70 — 90 Sekunden CPU-Zeit auf der IBM-An-

lage 370 benötigt, wohingegen für das andere Verfahren

250 — 300 Sekunden benötigt werden. Da Rechenzeiten

in dieser Größenordnung akzeptabel sind, wird dem Ver-

fahren, das nur einen Startvektor benötigt, der Vorrang

gegeben.

Der Autor möchte hiermit Frau G. Palm vom ORZ der

Technischen Hochschule Leuna-Merseburg für die Unter-

stützung bei den umfangreichen Programmierarbeiten

Dank sagen.

LITERATUR ‘

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Anschrift des Verfassers:

Dr.-lng. Christian Friedrich

Akademie der Wissenschaften der DDR

Institut für Mechanik

9010 Karl-MarxStadt

PSF 408