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  • Partielle DifferentialgleichungenCarsten Timm

    Sommersemester 2003

    ? ? ? Version vom 4. Juli 2003 ? ? ?

    Dieses Skript wurde fur eine zweistundige Vorlesung uber partielle Differentialgleichungenfur Studierende der Physik im Hauptstudium erstellt. Die Vorlesung war von einstundigenUbungen begleitet. Die Ubungsaufgaben sind, z.T. mit Losungen, als App. B angefugt. Inzwei Semesterwochenstunden kann es nur darum gehen, einen Uberblick uber wichtige Typenvon Gleichungen zu geben und wichtige Losungsmethoden einzufuhren. Die Methoden werdeni.A. an Hand von Beispielen erlautert. Es ist zu hoffen, dass diese Vorlesung den Studierendenermoglicht, bei schwierigeren Problemen die Literatur schnell zu verstehen und anwendbarzu machen. Bei der Konzeption der Vorlesung wurde uberwiegend das unten zitierte BuchPartial Differential Equations von Carrier und Pearson benutzt.

    Inhaltsverzeichnis

    1 Einfuhrung und Definitionen 3

    1.1 Definition von partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Klassifikation von partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

    2 Die Diffusionsgleichung 6

    2.1 Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Vollstandige Funktionensysteme und Reihenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.3 Maximumprinzip und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5 Zusammenhang mit der Schrodinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    3 Die Wellengleichung 23

    3.1 Separationsansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3 Integral-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

    4 Die Poisson-Gleichung und die Laplace-Gleichung 34

    4.1 Harmonische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Poisson-Integralformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Holomorphe Funktionen und konforme Abbildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5 Klassifikation von linearen Gleichungen zweiter Ordnung 41

    5.1 Cauchy-Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2 Charakteristiken und kanonische Formen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

    6 Gleichungen erster Ordnung 49

    6.1 Charakteristiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Allgemeine Gleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536.3 Einhullende und vollstandiges Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566.4 Eikonal-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.5 Legendre-Transformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.6 Unstetigkeiten, schwache Losungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

    7 Storungstheorie 65

    7.1 Kleine Storungen der Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657.2 Storung des Randes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.3 Singulare Storungstheorie: Grenzschicht-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.4 WKB-Naherung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

    1

  • 8 Green-Funktionen 72

    8.1 Die Greenschen Satze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728.2 Green-Funktionen fur die Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738.3 Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 758.4 Green-Funktionen fur weitere Gleichungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

    9 Variationsrechnung 79

    9.1 Euler-Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 799.2 Variationsprinzip zu gegebener Differentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

    10 Naherungsmethoden 84

    10.1 Rayleigh-Ritzsches Variationsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8410.2 Galerkin-Methode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8510.3 Finite Elemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8610.4 Differenzengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8810.5 Monte-Carlo-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

    A Literatur 94

    B Aufgaben 95

    B.1 Klassifikation von Partiellen Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.2 Warmeleitungsgleichung mit Neumann-Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95B.3 Warmeleitungsgleichung mit Relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96B.4 Diffusions-Konvektions-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96B.5 Warmeleitungsgleichung und Separation in zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . 97B.6 Diffusionsgleichung und Separation in drei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98B.7 Laplace-Transformation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99B.8 Laplace-Transformation 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100B.9 Wellengleichung in der Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100B.10 Quadratische Membran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101B.11 Zusammenhang der Losungen von Poisson- und Laplace-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 101B.12 Zusammenhang zwischen holomorphen und harmonischen Funktionen . . . . . . . . . . . 102B.13 Charakteristiken in mehr als zwei Dimensionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103B.14 Quasilineare Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105B.15 Storungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106B.16 Green-Funktion fur die Poisson-Gleichung auf einem Quadrat . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    2

  • 1 Einfuhrung und Definitionen

    Warum interessieren wir uns fur partielle Differentialgleichungen (PDGs)? Viele physikalische Gesetzelassen sich in Form von PDGs formulieren. Beispiele:

    Euler-Lagrange-Gleichungen und Hamiltonsche Gleichungen in der Kontinuumsmechanik,1

    die Maxwell-Gleichungen, Wellengleichung usw. in der Elektrodynamik,

    die Schrodinger-, Klein-Gordon- und Dirac-Gleichungen in der Quantenmechanik,

    die Boltzmann-Gleichung und viele andere in der Statistischen Physik und

    die Navier-Stokes-Gleichung usw. in der Hydrodynamik.

    In der Geophysik und Astrophysik, aber auch in Okologie, Sozial- und Wirtschaftswissenschaften lassensich ebenfalls Gesetzmaigkeiten zumindest naherungsweise durch PDGs beschreiben. Es ist daher wich-tig, einen Uberblick uber typische Formen von PDGs und geeigneten Losungmethoden zu gewinnen. Indieser Vorlesung soll ein solcher Uberblick gegeben werden. Das Gewicht liegt dabei auf in der Praxisanwendbaren Losungsmethoden, nicht auf eher mathematisch interessanten Eigenschaften, wie Existenz-und Eindeutigkeitssatzen. Bei der Erstellung dieses Skripts wurde besonders das in der Literaturlistegenannte Buch von Carrier und Pearson verwendet.

    1.1 Definition von partiellen Differentialgleichungen

    Was sind PDGs? Zunachst eine Erinnerung an partielle Ableitungen: Sei u(x1, x2, . . . , xn) eine (reell-oder komplexwertige) Funktion von x1, . . . , xn, dann ist die partielle Ableitung von u nach xi an derStelle (x1, . . . , xn) definiert als

    u

    xi:= lim

    0

    u(x1, . . . , xi1, xi + , xi+1, . . . , xn) u(x1, . . . , xn)

    , (1.1)

    sofern der Grenzwert existiert. In diesem Fall heit die Funktion differenzierbar nach xi. Ist die partielleAbleitung stetig, nennt man u stetig differenzierbar nach xi. Oben haben wir genauer eine rechtsseitigeAbleitung definiert; ist u stetig differenzierbar, ist dies aber unerheblich.

    Praktisch bildet man partielle Ableitungen wie gewohnliche Ableitungen, wobei man alle ubrigenunabhangigen Variablen als Konstanten betrachtet. Beispiel:

    u(x, y) = xy2 + ay,u

    x= y2,

    u

    y= 2xy + a. (1.2)

    Mehrfache Ableitungen wie2u

    x2,

    2u

    xy, etc. (1.3)

    sind durch hintereinander ausfuhren der Ableitungen (von rechts nach links) definiert. Fur stetig diffe-renzierbare Funktionen kommt es nicht auf die Reihenfolge an. Wir nehmen in dieser Vorlesung immeran, dass die vorkommenden Funktionen hinreichend oft stetig differenzierbar sind, falls nichts anderesausdrucklich gesagt wird.

    Wir benutzen die folgende in der Theorie der PDGs gangige Kurzschreibweise:

    ux :=u

    x, uxx :=

    2u

    x2, uxy :=

    2u

    xy(1.4)

    und so weiter.

    Eine partielle Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine Funktion u von mehreren Variablenx1, . . . , xn und partielle Ableitungen dieser Funktion nach mindestens zwei Variablen enthalt.

    2 In denmeisten Fallen ergibt sich aus dem zugrunde liegenden physikalischen Problem noch der Definitionsbe-reich D von n-Tupeln (x1, . . . , xn), auf dem die Gleichung gelten soll, und geeignete Randbedingungenfur u auf dem Rand D von D (und evtl. an P