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  • Partielle Differentialgleichungen

    Wolf Hofmann

    3. Februar 2005

  • Inhaltsverzeichnis

    I Einführung 3

    § 1 Einleitung 3

    Was ist eine PDG? Einfachste Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    § 2 Woher kommen PDGn (einfachste Beispiele)? 6

    Kleine Transversalschwingungen einer Saite . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

    Herleitung der Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

    Longitudinalschwingungen eines Stabes (Saite) . . . . . . . . . . . . . . . 9

    Rand- und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    Die Wärmeleitungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

    Rand- und Anfangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

    § 3 grad, div, rot, Gauß, Green, Stokes 16

    Arbeit und Potential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

    Die Rotation und der Satz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

    Die Divergenz und der Satz von Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    Die Kontinuitätsgleichung und die Potentialgleichung . . . . . . . . . . . 25

    räumliche Wärmeleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    II Elementares zu den Partiellen Differentialgleichungen 30

    § 4 Sachgemäßheit und Superposition 30

    Das Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

    § 5 Elementares zur Wellengleichung 32

    Die Lösung der RWAn (ansatzweise) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    Problem der Halbgeraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    i

  • ii INHALTSVERZEICHNIS

    Energieintegralmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    § 6 Elementares zur Potentialgleichung (ohne Gauß) 42

    Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    Die Lösung des Dirichlet-Problems für den Kreis . . . . . . . . . . . . . . 44

    Anleihen aus der Funktionentheorie für n = 2 . . . . . . . . . . . . . . . 46

    Eine rotationssymmetrische Lösung der Potentialgleichung . . . . . . . . 48

    § 7 Elementares zur Wärmeleitungsgleichung 49

    Das Maximumprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    § 8 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 52

    III Klassifizierung partieller Differentialgleichungen, Charakteristische Mannigfaltigkeiten 56

    § 9 Kriterien der Klassifizierung 56

    § 10 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 61

    Skizzenhafte Auszüge aus der Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen. 63

    Abhängigkeit von Funktionen mehrerer Variabler . . . . . . . . . . . . . 64

    Quasilineare Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . 66

    Lösungsmethode von Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

    § 11 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung 71

    Invarianz der Klassifizierung gegenüber Koordinatentransformationen . . 76

    Fortpflanzung von Unstetigkeiten längs Charakteristiken, Wellenfronten . 79

    Anwendung auf Wellenfronten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

    IV Distributionen, distributionelle Lösungen, Fourier-Transformationen 81

    § 12 Motivation (im R1 ) 81

    § 13 Distributionen 83

    Lineare Substitution, Multiplikation und Differentiation bei Distributionen 87

    Sobolev Räume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

  • INHALTSVERZEICHNIS iii

    § 14 Greensche Formeln, Konormale 93

    § 15 Distributionelle Lösungen 96

    § 16 Unstetigkeiten verallgemeinerter Lösungen 100

    Differentialoperatoren 1. Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

    Selbstadjungierte Differentialoperatoren 2. Ordnung . . . . . . . . . . . . 103

    § 17 Direktes Produkt und Faltung 106

    Direktes Produkt von Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    Faltung von Funktionen und Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . 108

    Faltung mit Testfunktionen, Regularisierung . . . . . . . . . . . . . . . . 114

    § 18 Die Fourier-Transformation 117

    Die Fouriertransformation für Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

    Temperierte Distributionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

    Die Fouriertransformation für temperierte Distributionen . . . . . . . . . 127

    Anwendung der Fouriertransformation auf partielle Differentialgleichun- gen mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

    Die Fourier-Transformation von Faltungen und Produkten . . . . . . . . 131

    V Anwendungen Distributioneller Lösungen 134

    § 19 Fundamentallösungen und Regularität 134

    Fundamentallösung für den Laplace-Operator und Fundamentaltheorem . 135

    Die Fundamentallösung der Wärmeleitungs- (Diffusions-) Gleichung . . . 140

    Regularitätsaussagen, Lemma von Weyl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

    Die Fundamentallösung für den Wellenoperator . . . . . . . . . . . . . . 146

    Abstiegsmethode (Hadamard) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

    § 20 (Ein bißchen) Potentialtheorie 154

    Mittelwertsatz von Gauß, starkes Minimaxprinzip . . . . . . . . . . . . . 154

    Greenfunktion und Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

    Poissonsche Integralformel und Dirichletproblem . . . . . . . . . . . . . . 163

    Hilbertraum-Methoden zur Lösung partieller Differentialgleichungen: Lax- Milgram Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

  • iv INHALTSVERZEICHNIS

    § 21 Wellen im Raum 172

    Die Anfangswertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

    Zusammenhang zwischen distributionellen und klassischen Differentialgleichungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

    Wellen im R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

    Wellen im R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

    Die Hadamard’sche Abstiegsmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

    § 22 Die Wärmeleitungsgleichung 189

    Die Anfangswertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

  • INHALTSVERZEICHNIS 1

    Vorbemerkung: Der Inhalt der Vorlesung verfolgt drei Ziele.Zunächst wird an Bei- spielen erklärt,daß partielle Differentialgleichungen mathematische Modelle physikali- scher Vorgänge sind. Dies vermittelt ein anschauliches Verständnis für die Eigenschaf- ten der Gleichungen. In einem zweiten Teil werden die Differentialgleichungen mit klassischen Methoden un- tersucht, d.h. gestützt auf die aus den Anfängervorlesungen bekannten Begriffe von Funktionen und ihren Ableitungen. Gleichzeitig wird an Beispielen aufgezeigt, warum diese Begriffe zur Beschreibung der auftretenden Phänomene nicht ausreichend sind. Deshalb wird im dritten Teil der Funktionsbegriff zum Distributionsbegriff verallgemei- nert, mit dessen Hilfe sich die Differentialgleichungen, ihre Lösungen und ihre Beziehun- gen zu realen Problemen beschreiben lassen. Dies gilt sowohl für Differentialgleichungen mit konstanten als auch nichtkonstanten Koeffizienten (Lax-Milgram-Theorie). Dieses Skript enthält a) eine sehr beschränkte und subjektive Stoffauswahl aus dem Gebiet der Partiellen Differentialgleichungen (PDG) und b) – mit einiger Wahrschein- lichkeit – auch eine Reihe von Fehlern. Aus beiden Gründen ist es ungeeignet, ein Lehrbuch zu ersetzen. Sein Zweck ist es, den Hörer vom Zwang des Mitschreibens zu befreien und sich nicht schon zu Beginn der Vorlesung für ein Buch entscheiden zu müssen. Es entbindet ihn nicht von der Notwendigkeit, den Stoff in Lehrbüchern nachzulesen und zu vertiefen und sich mit der notwendigen Referenzliteratur vertraut zu machen, die es ihm gestattet, Stoffgebiete nachzulesen, die nicht in der Vorlesung behandelt wurden. Auf die im folgenden angeführte Literatur wird im Skript an geeig- neten Stellen verwiesen.

    Literaturhinweise

    Ahlfors L.V.: Complex Analysis, Mc Graw Hill, 1966

    Cooper J.M.: Introduction to Partial Differential Equations with MATLAB, Birkhäuser, 1998

    Courant R./Hilbert D.: Meth. d. math. Phys., Heidelberger Taschenb., 1967

    Evans L.C.: Partial Differential Equations, Am. Math. Soc., 1998

    Folland G.B.: Introd. to PDE’s., Princeton Univ.-Press, 1976

    Friedmann A.: PDE’s of Parab. Type, Prentice-Hall, 1969

    Hörmander L.: The Analysis of Lin. Part. Diff. Op. I, Springer, 1990

    Jacob N.: Lin. PDGln., Akademie-Verl., 1995

    Jantscher L.: Distributionen, De Gruyter Lehrbuch

    John F.: PDE’s. Springer, 1982

  • 2 INHALTSVERZEICHNIS

    Kamke E.: Part. Dgln., Lösungen u. Lösungsmethoden, Akad. Verlagsgesellsch., 1962

    Renardy M./Rogers R.C.: An Introd. to PDE’s., Springer., 1993

    Stackgold I.: Boundary Val. Probl. of Math. Phys. II, Macmillan Company New York

    Strauss W.A.: PDGln., Vieweg, 1992

    Szmydt Z.: Fouriertr. and PDE’s., D. Reidel Publ. Comp.

    Treves F.: Basic Lin. PDE’s., Acad. Press, 1975

    Triebel H.: Höhere Analysis, Harri Deutsch-Verl., 1972

    Tychonoff A.N./Samarski A.A.: Dgln. d. Math. Phys., VEB Dt. Verl. d. Wiss., 1959

    Walter W.: Einführung in die Theorie der Distributionen, BI

    Walter W.: Einfüh