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Procesamiento Digital deSeñales

Ing. Víctor Hugo Rivera Chávez

PRIMERA FASEEPIE - UCSM

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Temario

I. Muestreo de señales y conversión A/D

II. Análisis de señales y sistemas discretos en

el dominio del tiempo

III. La Transformada Z

IV. Análisis de señales y sistemas discretos en

el dominio de la frecuenciaV. Introducción al diseño de filtros digitales

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BibliografíaLibro de texto• Digital Signal Processing: Principles,

algorithms and applicationsJ. G. Proakis & D. G. Manolakis.Pearson Education Inc. 3a Ed. 1996.

Libros de consulta• Introduction to Signals and Systems

D. K. Lindner

McGraw Hill, 1999.• Signals and Systems: Continuous and Discrete.

R. E. Ziemer, W. H. Tranter & D. R. FanninPrentice Hall, 4a Ed. 1998

• Principles of Signals and SystemsF. J. TaylorMcGraw Hill, 1a Ed. 1994

• Signals and SystemsA. V. OppenheimPrentice Hall, 1a Ed. 1993.

• Analog and Digital Communication SystemsM. S. RodenPrentice Hall, 4a Ed. 1996.

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I. Muestreo de Señales y Conversión

 A/D

0. Introducción

1. Conversión A/D

2. Teorema del muestreo

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0. Introducción

Señales, sistemas y procesamiento de señales

Una señal está definida como una cantidad física que varía

en el tiempo, espacio, o con otra(s) variable(s)

 s1(t) = 5t

 s2(t) = 20 t 2 

 s(x,y) = 3x + 2xy + 10y2

 s =∑1≤i≤N  Ai(t) sen[2π  F i(t)t + θ i(t)]

Módulo 1

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¿Cómo se generan las señales?• La generación de la señal está asociada con un

sistema que responde al estímulo.

• El estímulo en combinación con el sistema es

llamado fuente de la señal .

• Un sistema se puede definir como un dispositivo

físico que efectúa una operación a una señal.

• La realización de esas operaciones sonreferidas como procesamiento de la señal .

Módulo 1

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Módulo 1

Elementos básicos de un sistema PDS.

• La mayoría de las señales son analógicas por

naturaleza.• Estas señales son funciones de una variable

continua (tiempo, espacio).

•Pueden procesarse con sistemas analógicos(filtros o analizadores de frecuencia).

• En estos casos la señal se ha procesado

directamente en su forma analógica.

Procesador

de la señal

analógica

Señal

Analógica

de entrada

Señal

Analógica

de salida

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Módulo 1

• El procesamiento de la señal digital nos da un método

alternativo para procesar la señal analógica

• Se requiere de una interfaz: Convertidor A/D

• En ciertas aplicaciones requerimos de otra interfaz:

Un convertidor D/A

Procesador

de la señal

digital

Señal

Analógica

de entrada

Señal

Analógica

de salida

A/D D/A

Señal

digital de

entrada

Señal

digital de

salida

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Clasificación de las señales

Los métodos a emplear en el procesamiento ó análisisde una señal depende en gran medida de sus

características.

• Señales multicanal y multidimensionales.

• Señales continuas y discretas en el tiempo.

• Señales con valores continuos y con valores discretos.

• Señales determinísticas y aleatorias.

Módulo 1

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Módulo 1

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Concepto de frecuencia en señales continuas y

discretas en el tiempo.

 xa(t) = A cos( Ωt + θ  ), -∞ < t < ∞ Ω = 2π  F : Frecuencia angular

1. Para cada F  determinada, xa(t) es periódica.

T  p = 1/F  es el período fundamental.

2. Diferentes frecuencias, señales diferentes3. Mayor frecuencia, mayor oscilación

 xd (n) = A cos( ωn + θ  ), -∞ < n < ∞ 

ω = 2π  f : Frecuencia angular

1. La señal es periódica si f  es un racional. f = k/N ; cos[2π  f(N+n) + θ  ] = cos[2π  fn + θ  ] El menor N  es el periodo fundamental. 

2. Dos o más señales son iguales si sus f  las separa un múltiplo de 2π  

3. La mayor oscilación solo se logra si ω= ± π  ó f = ± ½

Nota: Identidad de Euler Acos( ωn + θ  ) = ½Ae j( ωn + θ  )

 + ½Ae-j( ωn + θ  )

 

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1. Conversión A/D

• Muchas señales de interés práctico son analógicas:

voz, sísmicas, biológicas, radar, sónar, audio, video,

etc.

•Para procesarlas por medios digitales es necesarioconvertirlas en una señal digital:

Conversión Analógica a Digital .

• Esta conversión consta de tres pasos:

 – Muestreo

 – Cuantización

 – Codificación 

Módulo 1

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Conversión A/D 

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Muestreo

Conversión de una señal continua a discreta en el tiempo a travésde muestras de la señal tomadas en instantes discretos de tiempo.

 xa(t) es la entrada al “muestreador”  x(nT) ≡ x(n) es la salida

T  es el intervalo de muestreo

Cuantización

Conversión de una señal discreta de valores continuos a valoresdiscretos (digital).

El valor de cada muestra se representa con un elementoseleccionado de un conjunto finito de posibles valores.

La diferencia x(n) –  xq(n) se llama error de cuantización.

Codificación

Cada valor discreto cuantizado xq(n) se representa mediante unasecuencia binaria b-bit .

Módulo 1

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Muestreador CodificadorCuantizadorx a (t)x(n) x 

q 

(n)0100… 

Señal

analógica

Señal

discretaSeñal

cuantizada

Señal

dig i ta l

Convert ido r A/DMódulo 1

• En ocasiones es deseable convertir la señal digitalprocesada en analógica: Convertidor D/A

• Se conectan puntos a través de interpolación• Para señales con contenido de frecuencia limitado

(ancho de banda finito), el teorema de muestreo especifíca la forma óptima de interpolar

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• El muestreo no produce pérdida de información ni

distorsión si la señal tiene un ancho de banda finito• Una señal análoga se puede reconstruir de muestras

si la tasa de muestreo es lo suficientemente alta para

no producir aliasing

• La cuantización es irreversible y produce distorsión,

la cual depende de la resolución (número de bits).

• La resolución implica costo, lo mismo que la tasa de

muestreo

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Al iasing  

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Muestreo de señales analógicas

Muestreo periódico o uniforme.

 x(n) = xa(nT), -∞ < n < +∞ T  es el período de muestreo

 F  s = 1/T  es la tasa o frecuencia de muestreo(# de muestras por segundo ó Hertz ) 

t = nT = n/F  s 

Relación entre al  F de

la señal analógica y

la  f de la señal digital: f = F/F  s

 x(n) = xa(nT)

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Muestreo 

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Relaciones entre variables de frecuencia

Señal continua Señal discreta

Ω = 2 π Frad/s Hz

ω = 2 π frad/muestra cic los/muestra

ω = ΩT

f = F/F s- π  ≤ ω ≤ π  

- ½ ≤ f ≤ ½ Ω = ω /T

F = f·F s- π/T ≤ Ω ≤ π  /T

- F s  /2 ≤ F ≤ F s  /2

- ∞ ≤ Ω ≤ ∞ 

- ∞ ≤ F ≤ ∞ 

El muestro introduce ambigüedad, la frecuencia más alta

en una señal continua que puede distinguirse cuando la

señal se muestrea a F  s = 1/T  es F max = ½ F  s = 1/(2T)  y

Ωmax

 = π  F  s = π  /T 

 

x a (t) =

Acos(2 π Ft + θ  )

Acos ( Ωt + θ  )

x(n) =

Acos(2 π fn + θ  )

Acos( ωn + θ  )

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Sean x1(t) = cos20π t  y x2(t) = cos100π t  con F  s  = 40 Hz

¿Cuáles son x1

(n) y x2

(n)?

Mód l 1

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 xa(t) = 3 cos 100π  t

a) ¿Cuál sería la F  s

 mínima para evitar aliasing ?

b) Si F  s = 200 Hz  ¿Cuál sería x(n)?

c) Si F  s = 75 Hz  ¿Cuál sería x(n)?

d) ¿Cuál sería la frecuencia 0 < F < F  s /2 de una señal

senoidal con muestras idénticas a x(n) en c)?

Módulo 1

Respuestas

a) Fs ≥ 100 Hz 

b) x(n) = 3 cos(π n/2)

c) x(n) = 3 cos(2 π n/3)

d) F = 25 Hz

ya(t) = 3 cos 50 π t

Mód l 1

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Módulo 1

2. Teorema del muestreo

Dada una señal analógica, ¿cómo podemos seleccionar elperíodo de muestreo T , o su tasa de muestreo F s?

Información acerca de la señal: contenido de frecuencia.

Señal de voz: Menor a 3000 Hz

Señal de TV: Menor a 5 MHz

La información se encuentra en las amplitudes,

frecuencias y fases de los componentes de la señal.

Mód lo 1

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Módulo 1

Conociendo la máxima frecuencia contenida en una

señal, se puede determinar la tasa de muestreo.

Podemos suponer que las componentes de una señal

no exceden a una frecuencia conocida F max.

Con  F max  podemos determinar la tasa de muestreoadecuada a nuestra señal.

Para evitar ambigüedades como el aliasing, la tasa de

muestreo se selecciona de modo que:

 F  s > 2F max 

Módulo 1

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Módulo 1

Teorema del muestreo.

La frecuencia más alta contenida en una señal analógica

 xa(t) es F max = B y si la señal se muestrea a una tasa F  s >2F max ≡ 2B, entonces xa(t) puede recuperarse

exactamente a partir de los valores de sus muestras

empleando la función de interpolación

 g(t) = sen2π  Bt / 2π  Bt

Así xa(t) puede expresarse como

donde xa(n/F  s ) = xa(nT  ) ≡ x(n) son las muestras de xa(t).

Módulo 1

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Módulo 1

Cuando el muestreo se efectúa con la tasa mínima  F  s =

2B, la fórmula de reconstrucción es:

La tasa de muestreo  F  N  = 2B = 2F max  se conoce como

tasa de Nyquist .

Módulo 1

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Ejercicios.

1. ¿Cuál es la tasa de Nyquist para xa(t)?

2. ¿Cuál es la tasa de Nyquist para xa(t)?

Si  F  s = 5000 muestras/s ¿Qué señal se obtiene después

del muestreo?

¿Cuál es la señal reconstruida ya(t) si usamos

interpolación ideal? 

Módulo 1

Módulo 1

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Módulo 1

Cuantización de señales de amplitud continua.

Una señal digital es una secuencia de muestras donde

cada una se representa con un número finito dedígitos.

El proceso de convertir una señal discreta de amplitud

continua en una señal digital expresando cada valor de

una muestra con un número finito de dígitos es

llamado cuantización.

El error introducido en la representación de una señal

de valores continuos con un conjunto finito de nivelesdiscretos de valores se llama error o ruido de

cuantización. 

Módulo 1

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Módulo 1

La operación de cuantización de las muestras x(n) se

representa como:

 xq(n) = Q[x(n)]El error de cuantización se representa como:

eq(n) = xq(n) –  x(n)

Módulo 1

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Operaciones involucradas en la cuantización.

1. Truncamiento

2. Redondeo

val = 0.59049 t(val) = 0.5 r(val) = 0.6

Los valores permitidos en una señal digital se llamanniveles de cuantización.

La distancia entre dos niveles sucesivos de

cuantización se llama paso de cuantización o resolución

(  Δ ).

El error de cuantización eq(n) en el redondeo es:

- Δ /2 ≤  eq(n) ≤   Δ /2

Módulo 1

Módulo 1

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Si xmin y xmax representan los valores mínimo y máximo

de  x(n)  y  L  es el número de niveles de cuantización,

entonces: Δ = (xmax - xmin ) / (L - 1) 

 xmax - xmin es el rango dinámico de la señal.

Módulo 1

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Módulo 1

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Codificación de muestras cuantizadas.

La codificación en los convertidores A/D asigna un

número binario único a cada nivel de cuantización.Una palabra de b  bits crea 2b  números binarios

diferentes.

Entonces tenemos 2b ≥  L ó b ≥  sup[log 2 L]

Conversión D/A.

La tarea del CDA es interpolar las muestras.

El teorema del muestreo especifica la interpolación

óptima para señales de banda limitada.

Suele emplearse un  post filtrado a la señal obtenida de

esta conversión. Ej, Filtro de aplanamiento.

Módulo 1

Módulo 1

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Módulo 1

Muestreo, cuantización e interpolación

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La señal discreta x(n) = 6.35 cos (πn/ 10) es cuantizada con una resolución a) Δ 

= 0.1 

b) Δ = 0.02 

¿Cuántos bits se requieren en cada caso y con cuántos niveles de cuantización L?

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II. Anális is de señales y de

s istemas d isc retos en eldom in io del tiempo

0. Introducción1. Sistemas lineales discretos e invariantes

con el tiempo.

2. Descripción de un sistema por medio desu ecuación de diferencias

Módulo 2

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Módulo 2

0. Introducción

Señales discretas en el tiempo.

•  x(n) es una función de una variable independiente que

es un entero

• Estas señales no están definidas en los instantes entre

dos muestras sucesivas

•  x(n) = 0 si n no es entero

• Suele asumirse que - ∞ < n < ∞ 

Módulo 2

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ódu o

Además de la representación gráfica existen otras

alternativas:

• Representación funcional

• Representación tabular

• Representación secuencial

 x(n) = {… 0, 0, 1, 4, 1, 0, 0, …} 

 para n = 1,3 para n = 2

de otra manera

n … -2 -1 0 1 2 3 4 5 … 

 x(n) … 0 0 0 1 4 1 0 0 … 

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Módulo 2Clasificación de las señales discretas

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Clasificación de las señales discretas.

• Señales de energía y de potencia

Si la energía es finita se llama energía de la señal y si la potencia

es finita ésta es la potencia de la señal

• Señales periódicas y aperiódicas

 x(n) es periódica con periodo N  sí y solo sí

 x(n + N) = x(n) para toda n  (1)

El menor valor de  N  que satisfaga (1) es el periodo fundamental

Si no existe N  que satisfaga (1) la señal es aperiódica.• Señales simétricas (par) y antisimétricas (impar)

 x(n) = x(-n)  Señal simétrica

-x(n) = x(-n)  Señal antisimétrica

Módulo 2

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Manipulaciones de señales discretas.

• Transformación de la variable independiente t .Se sustituye n  por n ±  k   y tenemos un desplazamiento según el

signo de k  (+ retraso, - adelanto)

• Adición, multiplicación y escalamiento de secuencias  y(n) = x1(n) + x2(n)

 y(n) = x1(n)*x2(n)

 y(n) = Ax(n)  para toda n 

Aquí la amplitud es la que se modifica 

Módulo 2

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Sistemas discretos en el tiempo.

Es un dispositivo o algoritmo que opera sobre una señal

discreta en el tiempo, llamada entrada  o excitación,

acorde a reglas bien definidas, para producir otra señal

discreta en el tiempo llamada salida  o respuesta  del

sistema.

La señal de entrada x(n) es transformada por el sistema

en la señal y(n). Esta relación se expresa:

 y(n) ≡Τ [x(n)]  donde el operador T   denota la

transformación o procesamiento efectuado a x(n)

Módulo 2

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Clasificación de sistemas digitales.

• Sistemas sin memoria ó estáticos. Cuando la salida de

cualquier valor n depende solo de la entrada en el mismo valor n. y(n) = x(n)2  y(n) = ax(n) y(n) = nx(n) + bx3(n)

• Sistemas con memoria ó dinámicos.  Cuando la salida en un

valor n depende de las entradas en el intervalo [n-N, n], N ≥  0, sedice que el sistema tiene memoria de duración  N .

Si  N = 0  el sistema es estático; si 0  ≤   N < ∞, el sistema tiene

memoria finita; si  N < ∞, tiene memoria infinita.

 y(n) = x(n) + 3x(n-1)  y(n) = ∑x(n-k) ; k=0…n 

 y(n) = ∑x(n-k) ; k=0…∞ 

Módulo 2

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• Sistemas invariantes con el tiempo. Son aquellos sistemaspara los que un desplazamiento temporal de la secuencia de

entrada provoca el mismo desplazamiento en la secuencia de

salida.

Si para  x1(n) = x(n –  k) se produce  y1(n) = y(n - k) 

• Sistemas variantes con el tiempo. Aquellos donde la salida

cumple con y1(n) ≠ y(n - k), incluso para un solo valor de k . 

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Determinar si los siguentes sistemas son invariantes:

 y(n) = x(n) –  x(n - 1) y(n) = nx(n) y(n) = x(-n) y(n) = x(n) cos ωn 

Módulo 2

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• Sistemas lineales.  Definidos por el principio de superposición.Sean  y1(n)  e  y2(n)  las respuestas a las entradas  x1(n)  y  x2(n),

el sistema es lineal solo sí:

T[a1 x1(n) + a2 x2(n)] = a1T[x1(n)] + a2T[x2(n)] =a1  y1(n) + a2 y2(n) 

donde a1 y  a2 son constantes arbitrarias.

• Sistemas no lineales. Aquellos que no satisfacen el principiode superposición.

Un sistema lineal en reposo, es aquel que a una entrada cero,produce una salida cero.

Un sistema que produce una salida diferente de cero cuando la

entrada es cero no está en reposo, o no es lineal .

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Determinar si los siguientes sistemas son lineales:

 y(n) = n x(n) y(n) = x(n2 ) y(n) = x2(n)

 y(n) = Ax(n) + B y(n) = e x(n)

Módulo 2

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• Sistemas causales. Cuando para cualquier valor n0, el valor dela secuencia de salida en n = n0 depende solo de los valores de

entrada para n ≤  n0. Es decir, la salida depende de las entradaspasadas y presentes.

• Sistemas no causales. Aquellos que no cumplen lascondiciones de causalidad.

 y(n) = x(n) –  x(n - 1) y(n) = ax(n) y(n) = ∑ x(k); k= -∞ …n 

 y(n) = x(n) + 3x(n + 4) y(n) = x(n2 ) y(n) = x(2n) y(n) = x(-n) 

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Módulo 2

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1. Sistemas lineales discretos e

invariantes con el tiempo (LTI).

• Los sistemas LTI son caracterizados en el dominio del tiempo

por su respuesta al impulso unitario.

• Cualquier señal arbitraria se puede descomponer y representarcomo una suma ponderada de impulsos unitarios.

• Las propiedades de linealidad e invarianza en el tiempo hacen

que la respuesta del sistema a cualquier señal de entrada se

pueda expresar en términos de su respuesta al impulsounitario.

Módulo 2

é i l áli i d i li l

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Técnicas para el análisis de sist. lineales.

• Método basado en la solución directa de la ecuación de

entrada-salida para el sistema.

• Descomponiendo la señal de entrada en una suma de

señales elementales.

Las señales elementales se eligen de modo que la respuesta del

sistema a cada componente de la señal se pueda determinar

con facilidad. Debido a la linealidad del sistema, las respuestas

se suman para tener la respuesta total.

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Módulo 2

Representación de una señal discreta en impulsos

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Sea x(n) una señal arbitrariay xk (n) = δ(n - k) 

k  es el retardo del impulso unitario

Multiplicando x(n) y δ (n - k) tenemos

 x(n)δ (n - k) = x(k)δ (n - k) 

una secuencia de ceros excepto

cuando n = k

Repitiendo para -∞ < k < ∞ tenemos

Representación de una señal discreta en impulsos

unitarios

Módulo 2

L t d l i t LTI t d

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La respuesta de los sistemas LTI a entradas

arbitrarias: La suma de convolución.

Sea h(n, k) la respuesta del sistema a un impulso unitario enel instante n = k , para -∞ < k < ∞. Esto es:

 y(n, k) ≡ h(n, k) = T[δ(n - k)]

Si escalamos el impulso a la entrada por ck ≡ x(k), esto es

ck h(n, k) = x(k) h(n, k)

Y si x(n) se expresa como

Tenemos finalmente que la respuesta del sistema a x(n) es

Módulo 2

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Si la respuesta del sistema LTI a δ(n) se denota como h(n) 

Esto es:

h(n) ≡ T[δ(n)]Por la propiedad de invarianza, la respuesta a δ(n - k) es

h(n - k) = T[ δ(n - k)]

Entonces tenemos que:

La función de respuesta del sistema LTI se conoce como suma deconvolución.

La entrada x(n) es “convolucionada” por la respuesta al impulso

h(n) para producir la salida y(n).

Módulo 2

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Análisis de la suma de convolución.

Deseamos calcular la salida del sistema para n = n0, entonces:

Observaciones:

•  x(k) y h(n0-k) son funciones del índice k .

•  x(k) y h(n0-k) se multiplican entre si para producir una secuencia

de productos.

•  y(n0 ) es la suma de los productos

• h(n0

-k) se obtiene de h(k), reflejándola alrededor de k = 0,

produciendo h(-k), y luego desplazando en n0.

Módulo 2

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La suma de convolución involucra cuatro pasos:

1. Reflejo. Se refleja h(k) alrededor de k = 0 para tener h(-k).

2. Desplazamiento. Se desplaza h(-k) en n0 a la derecha (izquierda)si n0 es positivo (negativo) para obtener h(n0 - k).

3. Multiplicación. Se multiplica x(k) por h(n0-k) para tener la

secuencia de productos vn0(k) ≡ x(k)h(n0-k).

4. Suma. Se suman todos los valores de la secuencia de productosvn0(k) para obtener el valor de la salida en n = n0.

Si nos interesa evaluar la respuesta del sistema para todos los

instantes de tiempo -∞ < n < ∞, repetimos los pasos del 2 al 4para todos los posibles desplazamientos n. 

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Determina la salida y(n) de un sistema LTI con respuesta al impulso h(n) = anu(n),

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y( ( ) ( )

|a| < 1. Cuando la entrada es la secuencia escalón unitario x(n) = u(n)

Módulo 2

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Propiedades de la convolución.

Conmutativa.

 x(n)*h(n) = h(n)* x(n)

Asociativa.

[x(n)*h1(n)]*h2(n) = x(n)*[h1(n)*h2(n)]

h(n) x(n)  y(n)

 x(n)h(n)  y(n)

h2(n)

 x(n)  y(n)h(n)=

h1(n)*h2(n)

 x(n)  y(n)

h1(n)

h2(n) x(n)  y(n)

h1(n) h1(n) x(n)  y(n)

h2(n)

Determina la respuesta al impulso de la cascada de dos sistemas LTI con

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respuestas al impulso h1(n) = ½nu(n) y h2(n) = ¼

nu(n)

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Sistemas LTI causalesMódulo 2

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Sistemas LTI causales

Sistema causal es aquel que cuya salida en n depende solo de las

entradas pasadas y presentes.

Causal es una condición sobre la respuesta al impulso.

Consideremos

Si subdividimos la suma tenemos:

Si el sistema es causal y n = n0 entonces h(n) = 0, n < 0.

Concluimos que : Un sistema LTI es causal si y solo si su respuesta

al impulso es cero para valores negativos de n. 

Módulo 2

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Si la entrada al sistema LTI causal es una secuencia causal (i.e. x(n)

= 0 para n < 0) se restringen los límites de la suma de

convolución.

Por lo tanto, la respuesta de un sistema causal a una secuencia de

entrada causal es causal, es decir

 y(n) = 0 para n < 0.

Sistemas LTI establesMódulo 2

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Sistemas LTI estables

Definimos un sistema arbitrario relajado como estable BIBO si y

solo si la secuencia de salida y(n) está acotada para toda entrada

acotada x(n).

Si x(n) está acotada, existe una constante M  x tal que

De modo similar, si la salida está acotada, existe una constante M  y 

tal que

Tenemos la fórmula de convolución

Tomamos el valor absoluto de ambos lados de la fórmula

El valor absoluto de la suma de los términos es siempre menor oMódulo 2

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El valor absoluto de la suma de los términos es siempre menor o

igual a la suma de sus valores absolutos

Si la entrada está acotada, existe un número finito M  x tal que |x(n)|

≤ M  x. Sustituyendo la cota superior para x(n) tenemos

Vemos que la salida está acotada si la respuesta al impulso del

sistema satisface

Un sistema LTI es estable si su respuesta al impulso es

absolutamente sumable. 

Esta condición no es suficiente pero si necesaria para asegurar la

estabilidad del sistema 

Sistemas con respuesta al impulso de duraciónMódulo 2

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Sistemas con respuesta al impulso de duración

finita e infinita

Los sistemas LTI se clasifican en dos:

1. Con respuesta finita al impulso (FIR)

2. Con respuesta infinita al impulso (IIR)

Un sistema FIR tiene una respuesta al impulso de cero fuera de un

intervalo de tiempo finito. En ellos

h(n) = 0 , n < 0 y n ≥ M  

Y la fórmula de convolución se reduce a:

El sistema actúa como una ventana que solo ve las M  muestras

más recientes de entrada al formar la salida.

Módulo 2

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Los sistemas LTI IIR tienen una respuesta al impulso de duración

infinita. Su salida basada en la convolución seria:

Podemos decir que un sistema FIR tiene memoria finita de tamaño

 M , mientras un sistema IIR tiene memoria infinita. 

Módulo 2

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2. Descripción de un sistema por

medio de su ecuación diferencial.

Los sistemas LTI se caracterizan por su respuesta al impulso h(n) 

que les permite determinar su salida  y(n) dada una secuencia de

entrada x(n) a través de la convolución.

Los FIR involucran sumas, productos y memoria finita para realizar

la convolución, mientras los IIR hacen imposible su desarrollo.Para realizar sistemas IIR se emplean ecuaciones diferenciales, y

son útiles para el desarrollo de filtros, modelado de fenómenos

físicos y sistemas físicos. 

Sistemas discretos recursivos y no recursivosMódulo 2

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Sistemas discretos recursivos y no recursivos

En ocasiones es deseable expresar la salida en términos de los

valores pasados de la salida misma.

Ejemplo, calcular el promedio acumulado de x(n) en el intervalo 0

≤ k ≤ n.

Se requiere almacenar todas las muestra de entrada x(k) para 0 ≤

k ≤ n. Donde si n crece, requerimos más memoria.

y y(n)

 se calcula recursivamente. 

Rearreglando algebraicamente tenemos:

Módulo 2

+ ×x(n) y(n)

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Este es un ejemplo de un sistema recursivo. En general, un sistema

cuya salida y(n) depende de valores de salida pasados y(n-1), y(n-

2), … es llamado sistema recursivo.

Si n = n0, el tenemos

Y el témino y(n0 -1) es llamado condición inicial . 

+

×

× 

Z -1

x(n) y(n)

n

1/(n+1)

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Módulo 2

Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones

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Sistemas LTI caracterizados por ecuaciones

diferenciales con coeficientes constantes

Estos sistemas son una subclase de los sistemas recursivos y no

recursivos.

Supongamos el sistema recursivo

donde a es una constante.

Si deseamos calcular la salida y(n) y asumimos la existencia de una

condición inicial y(-1), tenemos para n ≥ 0 

+

Z-1

x(n) y(n)

a

Si el sistema está relajado en n = 0 entonces y( 1) = 0 y el sistema

Módulo 2

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Si el sistema está relajado en n = 0, entonces y(-1) = 0 y el sistema

recursivo inicia sin condiciones iniciales.

Se dice entonces que el sistema se halla en estado cero y su salida

es una respuesta forzada o de estado cero  y sz (n).

La cual es una suma de convolución donde  x(n)  se convoluciona

con la respuesta al impulso

Si el sistema inicialmente no está relajado [ y(-1 )≠0] y x(n) = 0 para

toda n. La salida del sistema con entrada cero es llamada respuesta

natural, libre o de entrada cero  y zi(n). 

Para x(n) = 0 y -∞ < n < ∞ tenemos para n ≥  0. 

Entonces:

Módulo 2

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Entonces:

Un sistema con respuesta forzada o de estado cero depende de la

naturaleza del sistema y de la señal de entrada.

Un sistema con respuesta natural o de entrada cero depende de la

naturaleza del sistema y de la condición inicial.

En general, la respuesta total del sistema se expresa como:

La forma general de un sistema recursivo descrito por ecuaciones

diferenciales lineales con coeficientes constantes es: 

)()()(   n yn yn y  zs zi  

 M 

k 

k 

 N 

k 

k    k n xbk n yan y01

)()()(

1)()( 000

 

ak n xbk n ya M 

k 

k 

 N 

k 

k 

Un sistema es lineal si satisface:

Módulo 2

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  Un sistema es lineal si satisface:

1. La respuesta total es igual a la suma de las respuestas de

entrada cero y estado cero.

2. El principio de superposición es aplicable a la respuesta de

estado cero: Estado cero lineal .

3. El principio de superposición es aplicable a la respuesta de

entrada cero: Entrada cero lineal .

Un sistema recursivo descrito por ecuaciones diferenciales

lineales con coeficientes constantes es lineal e invariante en el

tiempo.

Estos sistemas son estables si y solo si para toda entrada y

condición inicial acotadas, la respuesta total del sistema está

acotada.

Módulo 2

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Solución a ecuaciones diferenciales con

coeficientes constantes (edcc)

Dada una edcc como la relación de entrada-salida de un sistema

LTI, el objetivo es determinar una expresión explícita para la salida

 y(n).

- Método directo- Método indirecto (Transformada Z)

El método directo asume:

 y(n) = yh

(n) + y p

(n)

 yh(n) es la solución complementaria u homogénea

 y p(n) es la solución particular.

Módulo 2

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La solución homogénea.

Asumimos  x(n) = 0  para obtener la solución a la ecuación

diferencial homogénea:

Suponemos que la solución es exponencial

 yh(n) = λn

Tenemos ahora la ecuación exponencial

Polinomio característico

El polinomio característico tiene N  raíces λ1, λ2,…, λ N .Módulo 2

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N

Las raíces pueden ser reales o complejas.

En la práctica los coeficientes a1, a2,…, a N  son reales.

Las raíces complejas se presentan como pares conjugadoscomplejos.

Algunas de las N  raíces pueden ser idénticas, teniendo raíces de

orden múltiple.

Suponiendo raíces distintas tenemos la solución general

Donde C 1, C 2,…, C  N  son coeficientes ponderados, determinados a

partir de las condiciones iniciales del sistema.Dado que la entrada  x(n) = 0, la solución homogenea se puede

usar para obtener la respuesta de entrada cero del sistema.

Determinar la respuesta a la entrada cero de los siguientes sistemas:

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Módulo 2

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La solución particular.

 y p(n) es cualquier solución que satisfaga:

Para resolverla, se asume una forma que dependa de la forma de

la entrada x(n).

Señal de entrada x(n) Solución particular y p (n)

A (constante) K

AM n KM n

An M K 0 n M + K 1 n 

M-1 +…+ K M  

An n M An (K 0 n M + K 1 n 

M-1 +…+ K M  )

Acos ω0 n

Asen ω0 nK 1 cos ω0 n + K 2 sen ω0 n

Determinar la solución particular de los sistemas:

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La solución total.

La propiedad de linealidad permite tener la solución total:

 y(n) = yh(n) + y p(n)

La suma resultante y(n) contiene los parámetros constantes {C i} 

dentro de yh(n). 

Estas constantes pueden determinarse para satisfacer las

condiciones iniciales.

Una solución particular se puede obtener a partir de la respuesta

del sistema al estado cero.

Si|a1|

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Si esta componente de la respuesta del sistema no tiende a cero

conforme n  se acerca al infinito, se denomina la respuesta de

estado estacionario por parte del sistema.

Esta respuesta persiste mientras la entrada persista.

La componente que tiende a cero conforme n se acerca al infinito

es la respuesta transitoria del sistema.

Determinar la respuesta de los sistemas:

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La respuesta al impulso de un sistema recursivoMódulo 2

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p p

LTI

Cuando x(n) = δ(n) y el sistema está inicialmente relajado, h(n) es

igual a la respuesta al estado cero y zs(n).

Ejemplo, dado el sistema

su respuesta al estado cero es:

Sustituyendo x(n) = δ(n) tenemos:

Por lo tanto, la respuesta del sistema al impulso es:

h(n) = anu(n)

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Determinar la respuesta al impulso del sistema:Módulo 2

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Ob ió

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Observación:

Cualquier sistema recursivo descrito por edcc es un sistema IIR,

pues tienen respuesta al impulso de duración infinita.Pero no todo sistema LTI IIR puede describirse con edcc.

Cuando un sistema es descrito por una ec. diferencial lineal de

orden  N , la solución a la ecuación homogénea es:

Donde las raíces { λk } son distintas.

La respuesta al impulso es idéntica: h(n) = yh(n). 

Donde los parámetros {C k }  se determinan poniendo las

condiciones iniciales y(-1) = … = y(-N) = 0. 

Estabilidad:

S i l l i l bl

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Se requiere que la respuesta al impulso sea sumable, entonces,

para un sistema causal tenemos:

Ahora, si | λk | < 1 para toda k , entonces

y por lo tanto

Por otro lado, si algún | λk | ≥ 1, h(n) no es sumable en lo absoluto,

y en consecuencia, inestable.

Una condición necesaria y suficiente para que un sistema IIR

causal descrito por edcc sea estable es que todas las raíces del