Perlin Noise und Lindenmayer Systeme CG-Seminar Vortrag WS 04/05 von Sebastian Limbach.

Perlin Noise und

Lindenmayer Systeme

CG-Seminar Vortrag WS 04/05

von Sebastian Limbach

Perlin Noise & Lindenmayer Perlin Noise & Lindenmayer SystemeSysteme

Übersicht

ÜbersichtÜbersicht

Teil 1 – Die Perlin Noise FunktionTeil 2 – Lindenmayer Systeme


Teil 1 – Die Perlin Noise Funktion

Die Perlin Noise FunktionDie Perlin Noise Funktion

Übersicht:

Ken Perlin, Hintergründe, MotivationAufbau der Perlin Noise FunktionVerwendungszwecke


Ken Perlin, Hintergründe


Ken Perlin ist Professor an der New York University (Department of Computer Science).Er arbeitete unter anderem an dem Film „Tron“ (1981).1983 erstellte er die erste Version einer dreidimensionalen Noise Funktion für prozedurale Texturen.1984 entwickelte er die erste Shader-Sprache.1997 erhielt er einen Academy Award (von der „Academy of Motion Picture Arts and Science“) für die Entwicklung der Perlin Noise Funktion.


Motivation für die Perlin Noise Funktion


Eine Vielzahl natürlicher Phänomene weisen eine fraktale Struktur auf.

Der Begriff „fraktal“ kommt von lat. fractus: gebrochen; frangere: brechen, in Stücke zerbrechen.

Silhouette einer BergketteWellen auf einer WasseroberflächeMuster im MarmorWind…

Perlin Noise & Lindenmayer SystemePerlin Noise & Lindenmayer Systeme

Motivation für die Perlin Noise Funktion


Um diese Phänomene in der Computergrafik nachzubilden ist eine Funktion mit fraktalen Eigenschaften hilfreich.

-> Perlin Noise Funktion

Einige Eigenschaften:

basiert auf pseudozufälligen Noise-Funktionenfraktale Struktur durch ähnliche, jedoch unterschiedlich gewichtete und skalierte Grundmusterähnliche Funktionsparameter führen zu ähnlichem Funktionswert


Aufbau der Perlin Noise Funktion


Die Grundlage bildet eine Noise-Funktion.

noise: Jeder ganzen Zahl wird ein Zufallswert zwischen 0 und 1 zugeordnet.Der gleiche Funktionsparameter muss zu einem immer gleichen Funktionswert führen.Mögliche Realisierung: Potenzfunktion mod p (wobei p = große Primzahl)


BeispielDie Perlin Noise FunktionDie Perlin Noise Funktion

Dies ist die Funktion noise(i) = ( |( i + 685 )5| mod 7919 ) / 7918 .


Interpolation


Als nächstes benötigt man eine erweiterte Noise-Funktion noiser, die beliebige reelle Werte annehmen kann. Um diese Funktion zu realisieren, muss zwischen den Werten der Funktion „noise“ interpoliert werden.

Einige Interpolationsverfahren:

lineare InterpolationKosinus-Interpolationkubische Interpolation


Lineare Interpolation


Der Funktionswert an der Stelle a \ zwischen den ganzen Zahlen l = x und r =xmit x = a – l ergibt sich aus der Formel:

( 1 – x ) * noise( l ) + x * noise( r )


Beispiel für lineare InterpolationDie Perlin Noise FunktionDie Perlin Noise Funktion

( 1 – x ) * noise( l ) + x * noise( r )


Kosinus-Interpolation


Der Funktionswert an der Stelle a \ zwischen den ganzen Zahlen l = a und r =amit x = a – l ergibt sich aus der Formel:

( 1 – xc ) * noise( l ) + xc * noise( r )

Dabei ist xc = (1 – cos( x * π )) / 2


Beispiel für Kosinus-InterpolationDie Perlin Noise FunktionDie Perlin Noise Funktion


Kubische Interpolation


Der Funktionswert an der Stelle a \ zwischen den ganzen Zahlen l = a und r =amit x = a – l ergibt sich aus der Formel:

p * x3 + q * x2 + r * x + s

Wobei:p = (noise(r + 1) – noise(r)) – (noise(l – 1) – noise(l))

q = (noise(l – 1) – noise(l)) – pr = noise(r + 1) – noise(l – 1)s = noise(l)


Beispiel für kubische InterpolationDie Perlin Noise FunktionDie Perlin Noise Funktion


Wellenlänge, Frequenz und Amplitude


Definitionen

Die Wellenlänge der noiser Funktion ist der Abstand zwischen zwei Werten der zugrunde liegenden „noise“ Funktion.

Die Frequenz der noiser Funktion ist 1 / Wellenlänge.

Die Amplitude der noiser Funktion ist die Differenz zwischen dem maximalen und minimalen Funktionswert.


Zusammensetzen der Perlin Noise Funktion


Grundlage bildet eine noiser Funktion mit Frequenz und Amplitude von 1.Als nächstes addiert man zur ersten Funktion weitere noiser Funktionen („Oktaven“), deren Frequenz sich jeweils erhöht (i.d.R. verdoppelt) und deren Amplitude sich verringert (i.d.R. halbiert).Jede Oktav benötigt eine eigene Noise Funktion als Grundlage (-> Primzahl variieren).

Die Summe der noiser Funktionen ist die Perlin Noise Funktion.



Oktave 0, Frequenz = 1, Amplitude = 1



Oktave 1, Frequenz = 2, Amplitude = 1/2



Perlin Noise Funktion, zusammengesetzt aus 7 Oktaven


Persistence


Üblicherweise wird in jeder Oktave die Frequenz verdoppelt und die Amplitude halbiert.Andere Faktoren führen zu unterschiedlichen Perlin Noise Funktionen.Den Faktor, um den sich die Amplitude bei doppelter Frequenz verändert, bezeichnet man als Persistence. (Im Normalfall beträgt die Persistence also ½).


Höhere Dimensionen


Die Perlin Noise Funktion lässt sich problemlos auch in zwei, drei oder mehr Dimensionen berechnen.Dazu benötigt man eine zwei-, drei- oder mehr-dimensionale Noise Funktion.


Beispiele


2D-Perlin Noise, zusammengesetzt aus 6 Oktaven

+ + + + +

=

Oktave 0 Oktave 1 Oktave 2 Oktave 3 Oktave 4 Oktave 5


Beispiele


3D-Perlin Noise, zusammengesetzt aus 6 OktavenLoop: z-Koordinate („Zeit“) wird in jeder Oktave modulo der jeweiligen Frequenz gerechnet


Einsatzmöglichkeiten


Prozedurale Texturen / ShaderWolkenWasseroberflächenFeuerRauch

Modelling Landschaftsgenerierung (Displacement Mapping)Pflanzen (L-Systeme)

Animation natürliche BewegungenPartikelsystemeunterschiedliche Animation vieler einzelner Akteure (Menschenmengen, Fischschwärme etc.)


Prozedurale Texturen / Shader


Perlin Noise Funktionen mit unterschiedlicher Persistence, mehrere kombinierte Perlin Noise Funktionen und Funktionen, die mit den Perlin Noise Werten weiterrechnen, können eingesetzt werden um unterschiedliche Texturen zu erzeugen.Prozedurale Texturen besitzen unendliche Ausdehnung bei geringem Speicherbedarf.3D-Texturen beseitigen Probleme beim Mapping.Die Ableitung der Perlin Noise Funktion kann für bestimmte Textureffekte genutzt werden (z.B. für Reflexion von Wasseroberflächen oder Beleuchtung von Wolken).


Beispiel: Wolken


ursprüngliche 2D Perlin Noise FunktionWolkendichte = Perlin Noise

Perlin Noise als Teil der Texturfunktion für realistische WolkenWolkendichte = 1.0 – 0.01(Perlin Noise)


Beispiel: Fischschwarm



Teil 2 – Lindenmayer Systeme

Lindenmayer SystemeLindenmayer Systeme

Übersicht:

GrundlagenVerschiedene Lindenmayer SystemeLindenmayer Systeme und die Perlin Noise Funktion


Grundlagen


Lindenmayer Systeme (kurz L-Systeme) wurden erstmals 1968 von Aristid Lindenmayer (ungarischer(?) Biologe, 1925 - 1989) vorgestellt.L-Systeme sind eine mathematische Theorie der Entwicklung von Pflanzen.Sie ähneln formalen Sprachen und Grammatiken ( -> GdI ).Ursprünglich wurden sie zur Beschreibung von einfachen mehrzelligen Organismen genutzt, sie wurden jedoch weiterentwickelt um auch komplexe Pflanzen zu beschreiben.Außer für Computergrafiker sind L-Systeme auch für Biologen und Mathematiker interessant.


Einfache L-Systeme


Die einfachsten L-Systeme sind die D0L-Systeme (deterministische, kontextfreie L-Systeme).

L-System ist ein Tripel (V, ω, P), wobeiV das Alphabet des L-Systems,ω V+ das nicht leere Axiom (Anfangswort) undP eine Menge von Produktionsregeln (a, Χ) bezeichnet.

Für die Produktionsregeln gilt:a V bezeichnet man als Vorgänger.Χ V* bezeichnet man als Nachfolger.Das System ist deterministisch, falls keine zwei Produktionsregeln den gleichen Vorgänger besitzen, sonst nennt man es 0L-System.


Einfache L-Systeme


Ausgehend vom Anfangswort (Axiom) können, den Produktionsregeln entsprechend, neue Wörter abgeleitet werden.In jedem Ableitungschritt werden dabei alle Symbole des aktuellen Wortes gleichzeitig durch die in den Produktionsregeln festgelegten Nachfolger ersetzt.Falls für ein Symbol keine Produktionsregel mit entsprechendem Vorgänger existiert, so wird die Identitätsproduktion a → a (a V) angewandt.


Grafische Interpretation


Zur grafischen Darstellung der Wörter wird die so genannte „Schildkröten (Turtle) - Interpretation“ angewandt.Die Turtle beginnt bei einer Startposition mit einer bestimmten Ausrichtung.Einzelne Symbole des Wortes werden benutzt, um die Turtle zu steuern (alle anderen Symbole werden ignoriert):

„F“ Die Turtle geht einen Schritt vorwärts und hinterlässt auf dem Weg eine Linie.„f“ Die Turtle geht einen Schritt vorwärts, ohne dass eine Linie gezeichnet wird.„+“ Die Turtle dreht sich nach links.„-“ Die Turtle dreht sich nach rechts.

Die Schrittweite d und der Drehwinkel δ der Schildkröte müssen für jedes System festgelegt werden.


Beispiel: D0L-System mit Turtle-Interpretation


D0L-System „quadratische Kochinsel“:

ω: F – F – F – Fp: F → F – F + F + FF – F – F + F

δ = 90°

Axiom 1. Ableitung 2. Ableitung 3. Ableitung


Geklammerte L-Systeme


Um verästelte Strukturen zu erzeugen benötigt man spezielle Baum-0L-Systeme, bei denen einzelne, um eine Mittellinie (axis) angeordnete Kanten („Äste“) durch „Unterbäume“ ersetzt werden, die ihrerseits wieder aus einzelnen Ästen bestehen.Um solche Strukturen modellieren zu können verwendet man geklammerte L-Systeme.Diese entsprechen den (D)0L-Systemen, jedoch kommen zwei neue Symbole für die Turtle-Interpretation hinzu:

„[“ Die aktuelle Position und Ausrichtung der Turtle wird auf einen Stack gepusht.

„]“ Die oberste Position und Ausrichtung der Turtle wird vom Stack gepopt.


Beispiel: Geklammertes L-System


L-System:

ω: Xp: X → F – [[X] + X] + F[+FX] – XF → FF

δ = 22,5°

1. Ableitung 3. Ableitung 5. Ableitung 7. Ableitung


Dreidimensionale Interpretation


Um Pflanzen in drei Dimensionen zu modellieren benötigt man weitere Turtle-Steuerzeichen:

„+“, „-“ Die Turtle dreht sich nach links / rechts (wie gehabt).„&“, „^“ Die Turtle kippt nach unten / oben.„\“, „/“ Die Turtle „rollt“ nach links / rechts.„|“ Die Turtle dreht sich um 180°.„{“, „}“ Das Zeichnen eines ausgefüllten Polygons wird

begonnen / beendet. „!“ Der Liniendurchmesser wird verkleinert. „ ‘ “ Der Farbindex wird erhöht.

Alle Drehungen beziehen sich hierbei auf den Drehwinkel δ.


Beispiel


L-System: δ = 22,5°

ω: Ap: A → [&FL!A]/////‘[&FL!A]///////‘[&FL!A]F → S ///// FS → F LL → [‘‘‘^^{-f+f+f-|-f+f+f}]

7. AbleitungBild: „Three-dimensional bush“ P. Prusinkiewicz (1986)


Stochastische L-Systeme


Möchte man mehrere Pflanzen der gleichen Art visualisieren (Wald, Blumenwiese), dann müssen sich die einzelnen Pflanzen voneinander unterscheiden. Verschiedene Pflanzen desselben Typs lassen sich über stochastische L-Systeme realisieren.

Jeder Produktionsregel wird eine bestimmte Wahrscheinlichkeit p zugeordnet.Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten von Produktionen mit gleichem Vorgänger muss 1 betragen.Per Zufall wird bei der Ableitung zwischen den möglichen Produktionen gewählt.Mit Hilfe einer Perlin Noise Funktion ließe sich beispielsweise erreichen, dass auf einer Wiese ähnliche Pflanzen auch nahe zusammen stehen.


Kontextsensitive L-Systeme


Um eine Signalweitergabe zwischen einzelnen Pflanzenteilen simulieren zu können benötigt man kontextsensitive L-Systeme.

Neue Produktionsregeln:al < a > ar → Χ al V ist der linke Kontext, ar V ist der rechte

Kontext. (2L-System)(k, l)-System: linker Kontext ist Wort der Länge k, rechter Kontext ist Wort der Länge l.al < a → Χ bzw. a > ar → Χ sind Produktionsregeln eines 1L-Systems.

Zur Vereinfachung kann man zulassen, dass in 1L-Systemen a l und ar Wörter beliebiger Länge seien dürfen.


Parametrische L-Systeme


Die bisherigen L-Systeme haben einige Nachteile. Beispielsweise ist die Länge einzelner Segmente auf Vielfache ganzer Zahlen begrenzt. Um wirklich realistische Pflanzen modellieren zu können benötigt man parametrische L-Systeme.

Jedem Buchstaben aus dem Alphabet können endlich viele Parameter zugeordnet werden.In jedem gültigen Wort sind alle Parameter mit reellen Zahlen belegt.Die Produktionsregeln können um logische Ausdrücke ergänzt werden und werden nur angewandt, wenn der logische Ausdruck wahr wird.Der Nachfolger kann mit Hilfe von arithmetischen Ausdrücken neue Parameter berechnen.


Beispiel eines parametrischen L-Systems


ω: B(2)A(4,4)p: A(x,y) : y <= 3 → A(x*2, x+y)

A(x,y) : y > 3 → B(x)A(x/y, 0)B(x) : x < 1 → CB(x) : x >= 1 → B(x-1)

Ableitung:B(2)A(4,4) B(1)B(4)A(1,0) B(0)B(3)A(2,1) CB(2)A(4,3)

CB(1)A(8,7) ...




ω: !(1)F(200)/(45)Ap: A : * → !(vr)F(50)[&(a)F(50)A]/(d1)[&(a)F(50)A] /(d2)[&(a)F(50)A]F(l) : * → F(l*lr)

!(w) : * → !(w*vr)

Parameter für Bild: d1=180,00; d2=252,00; a=36.00; lr=1,070

T = (-0,61;0,77;-0,19)

Die Ausrichtung der Turtle wird nach dem Zeichnen jedes Segmentes etwas in Richtung T geneigt („Tropismus“).

Bild: P. Prusinkiewicz




Bild: „Medicine lake“ F. K. Musgrave, C. E. Kolb, P. Prusinkiewicz, B. B. Mandelbrot (1988)


Lindenmayer Systeme & Perlin Noise


Die Perlin Noise Funktion kann dazu verwendet werden, um

in stochastischen L-Systemen Produktionsregeln auszuwählen,die aktuelle Farbe oder Liniendicke in einem L-System zu variieren,einzelne Parameter in parametrischen L-Systemen zu variieren,den „Biegevektor“ zu variieren,aus mehreren L-Systemen bei der „Bepflanzung“ einer Landschaft auszuwählen,Wind, der beispielsweise über eine Wiese weht, zu simulieren,…


Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit!

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