Permanent Magnet Lager

Berechnung und Optimierungvon

passiven permanentmagnetischen Lagernfur

rotierende Maschinen

vorgelegt vonDiplom-IngenieurMatthias Lang

aus Zittau

von der Fakultat V - Verkehrs- und Maschinensystemeder Technischen Universitat Berlin

zur Erlangung des akademischen Grades

Doktor der Ingenieurwissenschaften-Dr.-Ing.-

genehmigte Dissertation

Promotionsausschuss:

Vorsitzender: Prof. Dr.-Ing. J. ThorbeckGutachter: Prof. Dr.-Ing. G. BrunkGutachter: Prof. Dr.-Ing. R. GaschGutachter: Dr. J.K. Fremerey

Tag der wissenschaftlichen Aussprache: 28. Juli 2003

Berlin 2003D 83

II

Diese Arbeit ist auch erschienen unter:

Lang, M.: Berechnung und Optimierung von passiven permanentmagnetischenLagern fur rotierende Maschinen. Fortschritt-Berichte VDI Reihe 21 Nr.: 357Dusseldorf: VDI-Verlag 2004. ISBN 3-18-335721-6

III

Danksagung

Diese Arbeit entstand im Wesentlichen wahrend meiner Tatigkeit als wissenschaftlicherMitarbeiter der Arbeitsgruppe Magnetlager- und Antriebstechnik im ForschungszentrumJulich. Der

”Rest“ dieser Arbeit wurde wahrend oder besser gesagt neben meiner Tatig-

keit im Institut fur Prozeßtechnik, Prozeßautomatisierung und Meßtechnik (IPM) in Zittaufertig. Ich bin froh und dankbar, dass dieses Projekt

”Dissertation“ zum Abschluss kommt.

Zuerst mochte ich denen danken, die bereit sind die Gutachten fur diese Arbeit zu uberneh-men: Das ist an erster Stelle Prof. Dr.-Ing. Robert Gasch, der den Fortschritt der Arbeitaus dem fernen Berlin begleitete. Ich danke Herrn Dr. Johan K. Fremerey, der als Leiterder Magnetlagergruppe in Julich diese Arbeit betreute, fur viele gute, anregende teils auchkontroverse Diskussionen. Herrn Prof. Dr.-Ing. Gerd Brunk danke ich fur das Interesse, daser diesem Thema, speziell den unsymmetrischen Matrizen, entgegenbrachte.Herrn Prof. Dr.-Ing. Jurgen Thorbeck danke ich fur seine Bereitschaft, den Vorsitz desPromotionsverfahrens zu ubernehmen.

Weiterhin mochte ich mich bei den Mitarbeitern der Magnetlagergruppe fur Unterstutzungund die angenehme Zeit in ihren Reihen bedanken. Wahrend meiner Zeit von 1999 bis 2001gehorten zur Gruppe: Frank Dohmen, Johan K.Fremerey, Stefan Hintzen, Franz Janssen,Bernd E. Lindenau - ein Dankeschon fur das Foto der Multiringe, Stephan Polachowski -dem ich auch fur das Korrekturlesen danke, Jurgen Rabiger, Heinrich Reiff sowie WolfgangRubner.

Anerkennung den Mitarbeitern der Werkstatt der ZAT fur die Fertigung eigentlich nichtherstellbarer Magnetringe.

Dank an Dr. habil. Michael Wagenknecht vom IPM fur seinen mathematischen Scharfsinnbei der Berechung von Grenzwerten elliptischer Integrale.

Weiterhin danke ich ganz besonders meiner Frau Ilka und meinen Tochtern Antonia undRebekka fur ihre Geduld und ihr Verstandnis dafur, dass ich so wenig Zeit fur sie hatte.Meinen Eltern danke ich fur den ruhigen Fluchtpunkt in Welzow sowie fur die Jagd nachKommafehlern.

Und schließlich noch ein Dankeschon an die Julicher Spielerunde fur die vielen schonenSiedler- und Wizardabende, die immer mit viel Wein und kulinarischen Experimenten gar-niert waren.

Zittau, im April 2003 Matthias Lang

IV

One of the wizards most rudimentary skills is levitation or the ability to make objects fly.

Prof. Flitwick in: Harry Potter and the Philosopher’s StoneWarner Bros. Pictures, 2001

Inhaltsverzeichnis

Formel- und Abkurzungsverzeichnis VII

1 Einfuhrung 11.1 Passive Magnetlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Der Inhalt dieser Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Bauformen permanentmagnetischer Lager . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Die Grundlagen zur Berechnung des Feldes von Permanentmagneten 92.1 Die Einfuhrung der Feldgroßen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Die Berechnung des Magnetfeldes aus Wirbeln . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Die Berechnung des Magnetfeldes aus Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4 Die Gewinnung der Magnetisierung aus den Herstellerangaben . . . . . . . 16

3 Die analytische Berechnung des Magnetfeldes 213.1 Die Motivation zur Entwicklung analytischer Gleichungen . . . . . . . . . . 213.2 Das ebene Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Das rotationssymmetrische Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Die analytische Berechnung der Krafte und Momente 364.1 Modelle zur Kraftberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 Die Krafte im ebenen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.3 Die Krafte im rotationssymmetrischen Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Die analytische Berechnung der Momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5 Die analytische Berechnung der Steifigkeiten 495.1 Besetzung der Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.2 Das Earnshaw-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 525.3 Die Herleitung der translatorischen Steifigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . 535.4 Die Kippsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5 Die Koppelsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.6 Umrechnung der Lagersteifigkeiten auf einen anderen Bezugspunkt . . . . . 64

6 Normierte Darstellung der Krafte und Steifigkeiten 686.1 Die Berechnung der Krafte und Steifigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.2 Gegenstand der Untersuchung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.3 Skalierungsregeln von Permanentmagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.4 Entwicklung einer dimensionslosen Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 Normierung der Axialkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.6 Normierung der Radialsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.7 Normierung der Kippsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VI

7 Optimierung der Krafte und Steifigkeiten 867.1 Optimierung der spezifischen Axialkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.2 Optimierung der spezifischen Radialsteifigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . 917.3 Vergleich von Multiringen mit dem Halbach-Array . . . . . . . . . . . . . . 95

8 Entwurf optimierter Magnetlager 988.1 Optimiertes Lager der Turbomolekularpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . 988.2 Entwurf eines Traglagers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008.3 Entwurf eines Radiallagers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

9 Zusammenfassung und Ausblick 107

A Algorithmen zur Berechnung der elliptischen Integrale 110

B Das Skalarpotential des ebenen Flachenleiters 112

C Die Integration des Vektorpotentials Λ des ebenen Flachenleiters 114

D Das Skalarpotential Φ des Zylinders 116

E Die Integration des Vektorpotentials Λ eines Zylinders 119

F Die Berechnung der Krafte (Fy, Fz) zwischen ebenen Flachenleitern 123

G Die Kippsteifigkeit im ebenen Magnetfeld 124

H Die Kippsteifigkeit im rotationssymmetrischen Magnetfeld 127

I Die Koppelsteifigkeit im ebenen Magnetfeld 131

J Die Koppelsteifigkeit im rotationssymmetrischen Magnetfeld 133

K Der Zusammenhang von Axialkraft und Koppelsteifigkeit 136

Literaturverzeichnis 138

Formel- und Abkurzungsverzeichnis

Allgemeine Notation:

A, B, x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . skalare Großen

A, B, SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vektoren und Matrizen erscheinen im Fettdruck

0 . . . . . . Index 0 kennzeichnet den Arbeitspunkt, z.B.: Bz0 - Flussdichte am Arbeitspunkt

1 . . . . . . . .Index 1 bezieht sich auf den (Flachen-) Leiter 1, der als Quelle des Feldes dient

2 . . . . . . . . . . . . . . Index 2 bezieht sich auf (Flachen-) Leiter 2, dessen Kraft berechnet wird

o . . . . . . . . . . . . . Index o kennzeichnet die Oberkante eines Flachenleiters o. Ringmagneten

u . . . . . . . . . . . . . Index u kennzeichnet die Unterkante eines Flachenleiters o.Ringmagneten

x′ . . . . . . . . . . . . . . . . .der Anstrich beschreibt Angaben im korperfesten Koordinatensystem

F . . . . ein Punkt uber der Formel steht fur langenbezogene Großen: z.B. Kraft pro Lange

sϕϕ . zwei Punkte stehen fur flachenbezogene Großen: Kippsteifigkeit pro Flachenelement

Spezielle Notation

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Vektorpotential

Ax, Ay, Az Komponenten des Vektorpoten-

tials in kartesischen Koordinaten

Aρ, Aϕ, Az Komponenten des Vektorpoten-

tials in Zylinderkoordinaten

A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flache

Ap . . . . . . . . . . . . . . Polflache eines Magneten

a . . . . Hohe des Flachenleiters,Magnethohe

B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetflussdichte

Bx, By, Bz . . . . . Komponenten der Magnet-

flussdichte in kartesischen Koordinaten

Bρ, Bϕ, Bz . . . . . Komponenten der Magnet-

in Zylinderkoordinaten

Bρ, Bφ . . . . . . . . .Komponenten der Magnet-

flussdichte in Polarkoordinaten

Br . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Remanenz

b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Magnetbreite

E(k) . . . . .vollstandiges elliptisches Integral

zweiter Art

eI . . . . . . . . . . . . . Einheitsvektor des Stromes

F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraft

Fx, Fy, Fz . . . . . . . . . . .Kraftkomponenten in

kartesischen Koordinaten

Fρ, Fϕ, Fz . . . . . . . . . . . Kraftkomponenten in

Zylinderkoordinaten

FL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraft im Lager

FS . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraft im Schwerpunkt

FT . . . . . . . . . . . . . .Toleranzbereich der Kraft

Fz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axialkraft

F ∗

z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . normierte Axialkraft

F ∗

ax2D . . . . . . . . . .normierte ebene Axialkraft

F ∗

max .Maximum der normierten Axialkraft

f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Frequenz, Funktion

fkipp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Gutefaktor

H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Magnetfeldstarke

VIII Formel- und Abkurzungsverzeichnis

BHC . . .Koerzitivfeldstarke der Flussdichte

JHC . . Koerzitivfeldstarke der Polarisation

h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spaltweite

h1, h2 . . . . . . . halbe Hohe des Flachenleiters

I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strom

J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Polarisation

J . . . . . . . . . . . . . . . . . Betrag der Polarisation

K . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Flachenstrom

Kx, Ky, Kz . . . . Komponenten des Flachen-

stromes in kartesischen Koordinaten

Kρ, Kϕ, Kz . . . . Komponenten des Flachen-

stromes in Zylinderkoordinaten

K . . . . . . . . . . . . . Betrag des Flachenstromes

K(k) . . . . vollstandiges elliptisches Integral

erster Art

k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Modul

l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lange

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Moment

Mx,My,Mz . . . . . . . .Komponenten Moment

my . .Moment pro Flache (lokales Moment)

M . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Magnetisierung

Maussen . . . . Mag. außerhalb des Magneten

Minnen . . . . . .Mag. innerhalb des Magneten

M . . . . . . . . . . . . . Betrag der Magnetisierung

m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse

n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Normalenvektor

R . . . . . . Radius eines Ringleiters/Zylinders

Ra, Ri . . . . . . . . . . . . . . . .Außen-, Innenradius

RM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mittlerer Radius

r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Abstandsvektor

rx, ry, rz . . . . . . . . . . . . . . . . Komponenten des

Abstandsvektors

r . . . . . . . . . . . . . Betrag des Abstandsvektors

S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Stromdichte

SPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steifigkeitsmatrix

s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Steifigkeit

sax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Axialsteifigkeit

saxa, saxi . .Axialsteifigkeit des Außen- bzw.

des Innenrands eines Ringmagneten

sr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Radialsteifigkeit

s∗r . . . . . . . . . . . . . .normierte Radialsteifigkeit

s∗r2D . . . . . normierte ebene Radialsteifigkeit

s∗rmax . . . . . . . . . . . Maximum der normierten

Radialsteifigkeit

sT . . . . . . . . . Toleranzbereich der Steifigkeit

sϕr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koppelsteifigkeit

ssϕr . . . . . . . . Koppelsteifigkeit bezuglich des

symmetrischen Punktes

sϕϕ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kippsteifigkeit

s∗ϕϕ . . . . . . . . . . . . . . normierte Kippsteifigkeit

stϕϕ . . . . . . Kippsteifigkeit, transformiert auf

einen anderen axialen Bezugspunkt

sϕϕ . . . . . . . . . . . . . . Naherungskippsteifigkeit

sxx, syy, szz . . . . . . translatorische Diagonal-

glieder der Steifigkeitsmatrix

U . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Potential

V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verschiebungsmatrix

V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Volumen

v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Verschiebung

VQ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Quellenfeld

VW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Wirbelfeld

x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ortsvektor

x, y, z . . . . . . . Komponenten in kartesischen

Koordinaten

ρ, ϕ, z . . . . . . . . . .Komponenten in Zylinder-

koordinaten

xL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Position des Lagers

xp . . . . . . . . . . . . . Bezugspunkt des Moments

xS . . . . . . . . . . . . . . . Schwerpunkt des Rotors

∆fr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . relativer Fehler

Λ . . . . . . . Integral uber das Vektorpotential

λ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Parameter

µ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Permeabilitat

µ0 . . . . . . . . . . . . . . . .Permeabilitatskonstante

Formel- und Abkurzungsverzeichnis IX

µd . . . . . . . . . . . . . differentielle Permeabilitat

µp . . . . . . relative permanente Permeabilitat

µr . . . . . . . . . . . . . . . . . . relative Permeabilitat

µrev . . . . . . . . . . . . . . reversible Permeabilitat

µ∆ . . . . . . . . . . . .Uberlagerungspermeabilitat

Π(k, λ) . . vollstandiges elliptisches Integral

dritter Art

ρmag . . . . . magnetische Raumladungsdichte

σ . . . . . . . . . . . . . . . . . mechanische Spannung

σx, σy, σz . Komponenten der mechanischen

Spannung in kartesischen Koordinaten

σρ, σϕ, σz . Komponenten der mechanischen

in Zylinderkoordinaten

σmag . . . . . . . . . . magnetische Flachenladung

σref . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Referenzdruck

Φ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Skalarpotential

ΦB . . flussdichteabhangiges Skalarpotential

ΦM . . . . . . . . . . . .magnetisierungsabhangiges

Skalarpotential

ϕx, ϕy, ϕz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Winkel

Abkurzungen

BEM . . . . . . . . . . .boundary element method

FEM . . . . . . . . . . . . . . . finite element method

NdFeB . . . . . . . . . . . . . . . . Neodym-Eisen-Bor

SmCo . . . . . . . . . . . . . . . . . . Samarium-Kobalt

Kapitel 1

Einfuhrung

1.1 Passive Magnetlager

Magnetlager nutzen magnetische Feldkrafte, um einen Rotor beruhrungsfrei schweben zu

lassen. Man kann dabei zwischen aktiven und passiven Magnetlagern unterscheiden. Aktive

Magnetlager arbeiten mit Magnetkraften, die instabil sind und deshalb zur Stabilisierung

eine aktive Regelung benotigen. Unter passiven Magnetlagern versteht man solche Lager,

die ohne eine aktive Regelung auskommen. Es gibt folgende Arten von passiven Magnet-

lagern:

• permanentmagnetische Lager

• supraleitende Magnetlager

• diamagnetische Lager

• elektrodynamische Lager

In dieser Arbeit geht es um die permanentmagnetische Lagerung von Rotoren. Im Sinne

der oben getroffenen Unterscheidung lassen sich eigentlich keine passiven Lager mit Per-

manentmagneten realisieren, da eine statisch stabile Lagerung in allen Freiheitsgraden mit

Permanentmagneten nicht moglich ist. Es handelt sich hier um eine Eigenart des Magnet-

feldes, die spater noch ausfuhrlich betrachtet wird, dass mindestens ein translatorischer

Freiheitsgrad instabil ist.

Mit Permanentmagneten lassen sich nur teilpassive Lager aufbauen und man steht vor der

Aufgabe, instabile Freiheitsgrade anderweitig, z.B. durch aktive Magnetlager, zu stabilisie-

ren. Technisch interessant ist die Anwendung von Permanentmagneten aber trotzdem, da

sie unter den passiven Lagern die großten spezifischen Krafte entwickeln und mit aktiven

Magnetlagern vergleichbar sind. Fur aktive Magnetlager werden Lagerdrucke von 32N/cm2

bis 60N/cm2 angegeben [1]. Bei den in dieser Arbeit betrachteten Permanentmagnetlagern

werden Lagerdrucke von 6N/cm2 bis 12N/cm2 erreicht. Das ist zwar deutlich geringer

als im aktiven Fall, allerdings fallt der Vergleich gunstiger aus, wenn das jeweilige Bau-

volumen als Vergleichsgrundlage dient. Insbesondere bei Multiringlagern ergeben sich bei

2 Kapitel 1: Einfuhrung

axialer Stapelung lamellenartige Strukturen, wodurch die wirksame Flache großer wird als

bei vergleichbaren aktiven Lagern.

Gegenuber einer vollstandig aktiven Lagerung haben passive Lager den Vorteil, dass der

elektronische Aufwand wesentlich geringer ist und solche Lager prinzipiell mit wenig Ener-

gie auskommen.

Permanentmagnetische Lager werden heute hauptsachlich in Vakuumpumpen eingesetzt.

So wurden von Leybold seit 1990 unter Lizenz des Forschungszentrums Julich etwa 20.000

Pumpen mit radial passiver, permanentmagnetischer Lagerung verkauft [2]. Hinzu kommt

Seiko Seiki mit dem Verkauf von mehr als 50.000 Pumpen mit radial aktiver Stabilisie-

rung seit 1983. Weitere Anwendungen sind die mit permanentmagnetischer Teillagerung

ausgestatteten Gas-Ultrazentrifugen zur Urananreicherung sowie als jungere Entwicklung

permanentmagnetisch gelagerte Blutpumpen zur Herzunterstutzung [3, 4].

Es gibt auch Falle, in denen passive Losungen ungeeignet sind, ein Beispiel sind Spindeln

in Frasmaschinen. Da dort die Rotorposition eine entscheidende Rolle spielt, sind aktive

Lager mit der Moglichkeit einer genauen Positionsnachfuhrung naturlich unubertroffen.

Zunachst erfolgt ein kurzer Uberblick uber die anderen passiven Lagerarten.

1.1.1 Supraleitende Lager

Ein supraleitendes Lager besteht typischerweise aus einem statorseitigen Supraleiter und

einem Permanentmagneten auf der Rotorseite. Wenn der Supraleiter in Gegenwart des

Magnetfeldes auf seine Arbeitstemperatur gekuhlt wird, dann kommt es dazu, dass das

Magnetfeld quasi eingefroren wird und der Supraleiter bestrebt ist, den Permanentma-

gneten an dessen Position festzuhalten [6]. Der Vorteil dieser Lagerung liegt darin, dass

sie sich komplett passiv realisieren lasst. Nachteilig ist die standige Kuhlung mit flussigem

Stickstoff (-196◦C) und die im Vergleich zu reinen permanentmagnetischen Lagern geringen

Steifigkeiten [7].

1.1.2 Diamagnetische Lager

Diamagnetische Lager nutzen Materialien wie z.B. pyrolitisches Graphit, deren Permeabi-

litat kleiner als eins ist. Solche Materialien haben die Eigenschaft, externe Magnetfelder

von sich wegzudrangen. Bei geeigneter Anordnung ist ein vollstandig passives Schweben

moglich. Diamagnetische Lager haben gegenuber den Supraleitern den Vorteil, dass sie

bei Raumtemperatur arbeiten konnen, jedoch sind die erzielbaren Steifigkeiten noch sehr

gering [8, 9]. Wenn es gelingen wurde, die Steifigkeit durch bessere Materialien oder durch

konstruktive Maßnahmen zu erhohen, dann waren diamagnetische Lager eine sehr inter-

essante Technik.

Kapitel 1: Einfuhrung 3

1.1.3 Elektrodynamische Lager

Elektrodynamische Lager nutzen Induktionseffekte (Wirbelstrome) fur eine stabile Lage-

rung aus. Auf den ersten Blick erscheinen solche Lagerungen aufgrund der Verluste nachtei-

lig, jedoch gibt es neuere Entwicklungen [10], die mit sehr geringen Verlusten auskommen

sollen. Elektrodynamische Lager bestehen meistens aus einer Kombination von Permanent-

magneten und Spulen [11, 12, 13] bzw. massiven Kupfer [10]. Diese Lager besitzen keine

statische Stabilitat, sondern nur eine dynamische Stabilitat. Das heißt, es muss immer erst

eine bestimmte Mindestdrehzahl erreicht werden, damit die Funktion dieser Lager einsetzt.

Außerdem kann es sein, dass es auch eine obere Drehzahlgrenze gibt, ab der wieder eine In-

stabilitat auftritt. Die Arbeiten an verlustarmen elektrodynamischen Lagern sind jungeren

Datums. Es ist daher noch nicht abzuschatzen, ob sich solche Lagerprinzipien durchsetzen

konnen.

1.2 Der Inhalt dieser Arbeit

In dieser Arbeit werden analytische Gleichungen vorgestellt, mit denen eine schnelle und

zugleich genaue Berechnung aller relevanten Krafte und Steifigkeiten von Permanentma-

gnetlagern moglich ist. Mit diesen Gleichungen wurden die Zusammenhange zwischen den

Kraften und der Bauform bzw. den Steifigkeiten und der Bauform der Magnete betrachtet.

Das wichtigste Ergebnis der Untersuchung sind Aussagen uber optimale Magnetgeome-

trien.

Die Berechnungsprozedur lasst sich in zwei Schritte zerlegen: in eine Magnetfeldberechnung

und in eine darauf aufbauende Kraftberechnung.

Im Kapitel 2 werden die Grundlagen zur Berechnung des Magnetfeldes vorgestellt. Es gibt

zwei Wege zur Feldberechnung, die aus unterschiedlichen Modellvorstellungen resultieren.

Ausgehend von der Vorstellung, das Strome die Ursache des Magnetfeldes sind, erhalt

man eine Feldberechnung aus den Wirbeln, die in das Gesetz von Biot-Savart mundet.

Dieser Weg wird hier hauptsachlich angewandt. Der andere Weg beruht auf der Annahme

von Ladungen bzw. Quellen. Diese gleichwertige Feldberechnungsmethode wurde z.B von

Marinescu in [14] angewandt. Zur Gewinnung der Gleichungen des Skalarpotentials greifen

wir auch auf die Quellenmethode zuruck.

Im Kapitel 3 folgen dann im Detail die analytischen Gleichungen fur das Magnetfeld. Es

werden die Gleichungen fur folgende vier Modelle vorgestellt:

• Linienleiter

• Flachenleiter

• Ringleiter

• Zylinder

}

ebenes Magnetfeld (2D)

}

rotationssymmetrisches Magnetfeld (RS)


Das rotationssymmetrische Zylindermodell ist naturlich fur Magnetlager das genaueste

Modell. Allerdings genugen fur viele Betrachtungen ebene Magnetfelder, deshalb werden

sie hier aufgefuhrt. Die Unterscheidung zwischen Flachen- und Linienleiter war bei der

Entwicklung der Gleichungen hilfreich, in der Anwendung sind naturlich die flachenhaften

Stromverteilungen von Bedeutung. Vorgestellt bzw. hergeleitet werden in jedem Modell nur

die Feldgroßen, die spater zur Berechnung der Krafte und Steifigkeiten benotigt werden.

Im Kapitel 4 werden aus den Feldgleichungen die Kraftgleichungen fur alle vier erwahn-

ten Modelle gewonnen. Auch bei der Kraftberechnung gibt es verschiedene Methoden. Hier

werden die Krafte uber das Lorentzgesetz entwickelt, da dieser Weg fur eine analytische

Losung am Einfachsten erschien. Weiterhin werden Gleichungen fur die Momentenbeitrage

(lokales Moment) entwickelt. Das dient aber nur als Grundlage zur Entwicklung der Glei-

chungen der Kippsteifigkeit.

Im Kapitel 5 werden die Gleichungen fur die Steifigkeiten vorgestellt. Der Schwerpunkt

liegt auf dem rotationssymmetrischen Modell, in dem folgende Steifigkeitszahlen auftreten

konnen:

• Radialsteifigkeit

• Axialsteifigkeit

• Kippsteifigkeit

• Koppelsteifigkeit

Die Gleichungen werden aus der Ableitung der entsprechenden Krafte und Momente bzw.

Momentenbeitrage gewonnen. Ein”Nebeneffekt“ ist dabei der Nachweis der Gultigkeit des

Earnshaw-Theorems [15], außerdem werden einige Besonderheiten der Kipp- und Koppel-

steifigkeit diskutiert.

Mit diesen, teilweise sehr umfanglichen, Gleichungen steht ein schnelles und genaues Werk-

zeug zur Berechnung aller relevanten Großen eines permanentmagnetischen Lagers zur

Verfugung. Der Schwerpunkt der nachsten Kapitel liegt in der Untersuchung des Einflusses

der Bauform auf die Krafte und Steifigkeiten.

Dazu werden im Kapitel 6 die Skalierungsregeln von Permanentmagneten sowie verschie-

dene Normierungen zur Auswertung der Daten vorgestellt. Durch den Ubergang zu einer

dimensionslosen (d.h. normierten) Darstellung reduziert sich die Zahl der zu betrachtenden

Parameter. So genugt es zum Beispiel vollig, die Axialkraft und die Radialsteifigkeit nur

als Funktion von zwei Parametern zu betrachten.

Im Kapitel 7 folgt als interessantestes Ergebnis eine Normierung, mit deren Hilfe Aussagen

uber das optimale Verhaltnis der Axialkraft zum Bauvolumen bzw. der Radialsteifigkeit

zum Bauvolumen getroffen werden konnen.


Die daraus resultierenden Auslegungsregeln werden im Kapitel 8 beim Entwurf von drei

permanentmagnetischen Lagern angewandt. Diese optimierten Entwurfe zeigen, dass per-

manentmagnetische Lager deutlich kompakter gebaut werden konnen. Allerdings fuhren

die Auslegungsregeln auch zu wesentlich schlankeren Magnetgeometrien. Die damit ver-

bundenen technologischen Fragen sind noch nicht abschließend geklart, jedoch zeigen erste

Prototypen, dass es moglich ist solche Magnetgeometrien herzustellen.

Das Kapitel 9 bildet mit einer Zusammenfassung und einem Ausblick den Abschluss dieser

Arbeit.

1.3 Bauformen permanentmagnetischer Lager

Grundsatzlich werden in dieser Arbeit nur Magnetlager betrachtet, die ausschließlich aus

Permanentmagneten bestehen und kein permeables Material enthalten. Das heißt, Lager in

denen ein Permanentmagnet im Eisenkreis eingebettet ist oder Anordnungen bei denen sich

Magnet und Eisen gegenuberstehen (Reluktanzlager) sind nicht Gegenstand dieser Arbeit.

Ein Grund fur diese Einschrankung liegt darin, dass das hier vorgestellte Rechenmodell auf

diese Falle nicht anwendbar ist. Wichtiger ist jedoch die Tatsache, dass diese Lagertypen

nicht unbedingt besser sind. Eisen im Magnetkreis fuhrt zwar zu einer Verstarkung des

Magnetflusses, diese Verstarkung geht aber zu oft mit wachsender Instabilitat einher. Der

Vorteil einer passiven Lagerung - die passive Stabilitat - geht somit verloren.

Fur den Aufbau eines Magnetlagers mit Permanentmagneten gibt es verschiedene Moglich-

keiten, die sich aber nach folgenden Merkmalen klassifizieren lassen:

• axiale oder radiale Magnetisierung

• repulsive oder attraktive Magnetanordnung

• Axial- oder Radiallager

Naturlich sind auch Mischformen denkbar, beispielsweise ein Lager mit axial und radial

magnetisierten Ringen. Yonnet hat zu den verschiedenen Konstruktionsmoglichkeiten in

[16, 17] eine Ubersicht geschaffen. In dieser Arbeit beschranken wir uns auf axial magne-

tisierte Ringe in attraktiver Anordnung. Die axiale Magnetisierung hat gegenuber einer

radialen Magnetisierung den Vorzug, dass sie technisch einfacher zu realisieren ist. Attrak-

tive Magnetanordnungen werden deshalb bevorzugt, weil bei den repulsiven Anordnungen

die Moglichkeit besteht, dass sich die Magnete gegenseitig lokal entmagnetisieren [2].

Mit diesen Randbedingungen konnen wir nun entweder ein Axiallager oder ein Radialla-

ger bauen. Beide Varianten in ihrer einfachsten Form sind in Abbildung 1.1 dargestellt.

Jedes Lager besteht aus zwei axial magnetisierten Ringen, die attraktiv angeordnet sind.

Ein Ring sitzt dabei auf dem Stator, der andere Ring entsprechend auf dem Rotor. Das

Axiallager im linken Bildteil befindet sich in einer kraftefreien Gleichgewichtslage. Erst bei


Rotor Rotor

Stator

Abbildung 1.1: Ein permanentmagnetisches Axiallager (links) und ein Radiallager (rechts)bestehend aus zwei axial magnetisierten Ringen in attraktiver Anordnung

Verschiebungen des Rotorringes treten Krafte auf. Bei einer radialen Verschiebung treten

Krafte auf, die den Rotor weiter aus der Gleichgewichtslage treiben wollen. Die Anordnung

ist also radial instabil. Bei axialen Verschiebungen des Rotors treten dagegen Krafte auf,

die den Rotor zum Arbeitspunkt zurucktreiben. Das heißt, in axialer Richtung ist dieses

Lager stabil und wird deswegen als Axiallager bezeichnet. Anders ist die Situation beim

Radiallager im rechten Bildteil: Dort wirkt auf den Rotorring eine axiale Kraft, die den

Rotor gegen den Stator ziehen will und instabil ist. Dagegen treten bei radialen Verschie-

bungen des Rotors zentrierende Krafte auf. Das Stabilitatsverhalten der Lager wird durch

die Steifigkeiten beschrieben: das Radiallager besitzt eine positive (da stabile) Radialstei-

figkeit sr und eine negative (da instabile) Axialsteifigkeit sax. Die negativen Steifigkeiten

(Instabilitaten) dieser Lager sind unvermeidbar. Das folgt aus dem Earnshaw Theorem,

das hier in kartesischen Koordinaten dargestellt wird:

sxx + syy + szz ≤ 0 (1.1)

Da die Summe bestenfalls null ist, muss mindestens ein Term negativ sein. Im Kapitel 5

wird das Theorem noch ausfuhrlich behandelt. Der Konstrukteur permanentmagnetischer

Lager hat nur die Moglichkeit, die negative Steifigkeit anderweitig, beispielsweise durch

eine aktive Stabilisierung, zu kompensieren. In dieser Arbeit liegt der Schwerpunkt bei

den Radiallagern, obwohl sich viele Ergebnisse auch auf die Axiallager ubertragen lassen.

Radiallager haben gegenuber den Axiallagern den Vorzug, dass nur der axiale Freiheitsgrad

aktiv zu stabilisieren ist.

Man kann ein Radiallager auch als axialkraftfreies Lager bauen. Das erreicht man, wenn

eine ungerade Anzahl von Ringen koaxial aufgereiht wird. Eine solche Bauform wird als

Stapelanordnung bezeichnet. In Abbildung 1.2 ist ein Beispiel mit neun Magnetringen dar-

gestellt. Der Abstand zwischen den Magneten ist im Arbeitspunkt genau gleich groß, und

damit heben sich die axialen Anziehungskrafte gegenseitig auf. Die Steifigkeiten summieren

sich durch die Stapelung der Einzelringe. Wenn die Radialsteifigkeit hinreichend groß ist,

kann das Lager auch horizontal angeordnet werden. Die Radialsteifigkeit muss dann so groß

sein, dass innerhalb eines tolerierbaren Durchhangs des Rotors eine Radialkraft entsteht,


Rotor

Stator

Abbildung 1.2: Schematischer Aufbau des permanentmagnetischen Lagers einer Turbomo-lekularpumpe

die das Rotorgewicht tragen kann. Ein derartiges Lager entsprechend der Abbildung 1.2 ist

gemeinsam mit einer aktiven axialen Stabilisierung als Magnetlagerung einer Turbomole-

kularpumpe seit vielen Jahren erfolgreich im Einsatz [18, 19]. Dieses Lagerkonzept bildet

daher in dieser Arbeit die Grundlage fur weitere Lagerentwurfe.

Abbildung 1.3: Ein Radiallager bestehend aus zwei Doppelringmagneten

Neben der Erweiterung des Radiallagers in axialer Richtung ist es auch moglich, den”Lager-

Grundbaustein“ aus Abbildung 1.1 in radialer Richung zu erweitern. Wenn zwei gegensin-

nig gepolte Magnetringe ineinander gesteckt werden (Abbildung 1.3), erhalt man einen

so genannten Doppelringmagneten, bzw. ein Doppelringlager. Ein Doppelringlager hat die

gleichen qualitativen Eigenschaften wie ein Lager aus einfachen Ringen. Das Lager in Ab-

bildung 1.3 ist radial stabil und entwickelt eine Axialkraft, die instabil ist. Jedoch sind die

Krafte und Steifigkeiten bezogen auf das eingesetzte Magnetmaterial deutlich großer. Das

ist schon langer aus der Literatur bekannt [14, 20, 21] und wird in dieser Arbeit systema-

tisch untersucht. Das Prinzip der Doppelringlager lasst sich erweitern zu Multiring-Lagern.

In Abbildung 1.4 ist beispielhaft ein Funffachringlager dargestellt. Damit sind alle Baufor-

men umrissen, die in dieser Arbeit untersucht werden.

An dieser Stelle soll noch auf eine Bauform hingewiesen werden, die aus einer Kombination

von Magnetringen mit axialer und radialer Magnetisierung besteht. Yonnet stellt in [22]


Abbildung 1.4: Multiringlager bestehend aus funf Magnetringen

solche Bauformen mit”rotierender Magnetisierung“ vor, die im Vergleich mit rein axial ma-

gnetisierten Ringen fast doppelt so gut abschneiden. Dieses Konzept, das im Abschnitt 7.3

vorgestellt wird, kann als eine Erweiterung der hier untersuchten Multiringlager verstanden

werden. Es stellt einen interessanten Ansatzpunkt fur weitergehende Arbeiten dar.

Kapitel 2

Die Grundlagen zur Berechnung desFeldes von Permanentmagneten

In diesem Kapitel werden ausgehend von der Magnetisierung M die zwei Modellvorstel-

lungen eingefuhrt, die bei der Berechnung des Magnetfeldes von Permanentmagneten eine

Rolle spielen: die Berechnung aus den Wirbeln und aus den Quellen. Wie die Magneti-

sierung aus den Materialdaten gewonnen werden kann, bzw. welche Vereinfachungen dem

Modell dabei zugrunde liegen, wird im letzten Abschnitt dieses Kapitels diskutiert.

2.1 Die Einfuhrung der Feldgroßen

Das Magnetfeld wird im Allgemeinen mit Hilfe zweier Vektorfelder beschrieben:

• Magnetfeldstarke H in: [A/m]

• Magnetflussdichte B in: [V s/m2 o. Tesla]

Eine Unterteilung in zwei Felder ist notwendig, um das Zusammenspiel von Materie und

Magnetfeld beschreiben zu konnen. Im einfachsten Fall, bei Abwesenheit von magnetisier-

barer Materie (z.B. im Vakuum oder Luft) unterscheiden sich beide Felder nur durch einen

Faktor, der Permeabilitatskonstanten µ0 mit der Einheit V s/Am:

B = µ0H (2.1)

Erst bei Anwesenheit von Materie werden beide Felder unterscheidbar. Zur Permeabilitats-

konstanten kommt nun noch eine dimensionslose Zahl, die relative Permeabilitat µr hinzu:

B = µ0 µr · H (2.2)

Im Vakuum ist die relative Permeabilitat gleich eins (siehe Gleichung 2.1), bei ferromagne-

tischer Materie (Eisen, Stahl) ist sie stets großer als eins und eine Funktion der Feldstarke.

Hat man es mit anisotropen Material zu tun, dann erweitert sich die relative Permeabilitat

10 Kapitel 2: Grundlagen zur Berechnung des Feldes von Permanentmagneten

zu einer Matrix, dieser Fall wird hier aber nicht betrachtet. Die Permeabilitatskonstante

und die relative Permeabilitat werden auch kurz zur Permeabilitat zusammengefasst:

µ = µ0 · µr (2.3)

Neben der Permeabilitat gibt es noch einen anderen Ansatz, das Verhalten von Materie im

Magnetfeld zu beschreiben, er besteht in der Einfuhrung eines weiteren Vektorfeldes, der

Magnetisierung M. Die Gleichung 2.1 erweitert sich dann folgendermaßen:

B = µ0(H + M) (2.4)

Leider ist die Definition der Magnetisierung in der Literatur nicht einheitlich. Wir schlie-

ßen uns hier [23, 24, 25] an, wahrend andere [26, 27] das, was wir als die Polarisation J

bezeichnen wollen, als Magnetisierung definieren.

J = µ0M (2.5)

Die Magnetisierung ist im Allgemeinen eine Funktion der Feldstarke, die analog zur Per-

meabilitat auch sehr komplizierte Formen annehmen kann. Zur Beschreibung des Feldes

von Permanentmagneten ist die Magnetisierung aber sehr gut geeignet, da in diesem Fall

die Magnetisierung eine weitgehend feldstarkeunabhangige Konstante ist. Beim Aufma-

gnetisieren der Permanentmagnete ist die Magnetisierung zwar sehr wohl eine Funktion

der außeren Feldstarke, jedoch verbleibt danach ein so starkes”Restfeld“, dass in den

ublichen Arbeitsbereichen eines Permanentmagneten die Magnetisierung als konstant an-

gesehen werden kann. Aufgrund dieser Voraussetzung kann man von der Magnetisierung

ausgehend das permanente Magnetfeld berechnen.

In Abbildung 2.1 ist die Magnetisierung M als ein konstantes Vektorfeld im Inneren eines

quaderformigen Magneten dargestellt. Die Pfeile zeigen vom magnetischen Sudpol in Rich-

tung des magnetischen Nordpols. Außerhalb des Magneten ist dieses Feld jedoch null. Das

Magnetisierung

M

Nordpol

Südpol

Abbildung 2.1: Magnetisierungfeld M eines Permanentmagneten

heißt, wir haben einen Sprung des Magnetisierungsfeldes an der Oberflache des Korpers.

An den beiden Stirnflachen springt die Normalkomponente des Magnetisierungsfeldes um

den Betrag M , wahrend sich an den Seitenflachen die Tangentialkomponente um diesen Be-

trag andert. Sprunge der Normalkomponente eines Vektorfeldes finden dort statt, wo sich

Kapitel 2: Grundlagen zur Berechnung des Feldes von Permanentmagneten 11

flachenhaft verteilte Quellen des Feldes befinden [27]. Hier haben wir es mit magnetischen

Flachenladungen σmag zu tun:

σmag = −(Maussen − Minnen) · n (2.6)

Da der Normalenvektor n nach außen zeigt, befindet sich auf der oberen Flache (siehe

Abbildung 2.2) eine positive Flachenladung (magnetischer Nordpol), wahrend sich an der

Unterseite eine negative Flachenladung (magnetischer Sudpol) befindet.

Flächenladungenmagnetische

Flächenstrom K

Abbildung 2.2: Aus der Magnetisierung lassen sich Flachenladungen σmag an den Stirn-flachen und Flachenstrome K an den Seitenflachen der Magnete ableiten

Sprunge der Tangentialkomponente eines Vektorfeldes treten dagegen dort auf, wo sich

flachenhaft verteilte Wirbel befinden. Im Fall eines Magnetfeldes entspricht ein Flachen-

wirbel einem Flachenstrom K mit der Einheit: Strom/Lange.

K = n × (Maussen − Minnen) (2.7)

Die Gleichung 2.7 fuhrt zu dem im rechten Teil in Bild 2.2 skizzierten Modell, dass der

Flachenstrom K an den Seitenflachen des quaderformigen Magneten anzusetzen ist.

Wir haben jetzt auf anschaulichem Wege die Quellen und Wirbel der Magnetisierung M

bestimmt. Formal werden die Quellen eines Vektorfeldes durch die Anwendung der Diver-

genz

divM = ρmag (2.8)

und die Wirbel durch die Rotation

rotM = S (2.9)

bestimmt. In beiden Gleichungen setzen aber die Operationen stetige Feldverlaufe voraus

und liefern raumlich verteilte Quellen (hier: Raumladungsdichte ρmag) und Wirbel (hier:

Stromdichte S). Da sich die Magnetisierung aber sprungartig an der Grenzflache andert,


und sich dort demzufolge flachenhaft verteilte Quellen und Wirbel befinden, mussen wir

nach [28] noch die Flachendivergenz

DivM = σmag = −(Maussen − Minnen) · n (2.10)

und die Flachenrotation

RotM = K = n × (Maussen − Minnen) (2.11)

einfuhren. Von Bedeutung sind die Quellen und Wirbel des Magnetisierungsfeldes M des-

halb, weil sie gleichzeitig die Quellen der Feldstarke H und die Wirbel der Flussdichte B

darstellen, und somit die Grundlage zur Berechnung dieser Felder bilden. Nach dem Satz

von Helmholtz [26] lasst sich ein Vektorfeld eindeutig berechnen, wenn seine Quellen und

Wirbel bekannt sowie die Randbedingungen des betrachteten Gebietes gegeben sind. Als

Randbedingung genugt hier, dass das Feld im Unendlichen zu null wird [27]. Jedes beliebige

Vektorfeld ist entweder

• ein quellenfreies Wirbelfeld VW oder

• ein wirbelfreies Quellenfeld VQ

oder aber eine Superposition beider Feldarten. Die Magnetflussdichte B ist ein reines Wir-

belfeld und somit quellenfrei:

divB = 0 (2.12)

Diese Gleichung, die zu den Maxwellschen Gleichungen gehort [29], beschreibt den Um-

stand, dass es keine magnetischen Ladungen in Form von Monopolen gibt. Magnetische

Ladungen treten immer in Form von Dipolen (d.h. Nord- und Sudpol) auf. Dipolfelder

sind jedoch quellenfrei. In einer Feldliniendarstellung ist ein reines Wirbelfeld daran zu

erkennen, dass die Feldlinien stets geschlossen sind.

Dagegen ist die Magnetfeldstarke H bei Permanentmagneten als ein reines Quellenfeld

definiert und folglich wirbelfrei:

rotH = 0 (2.13)

Die Gleichung 2.13 verliert ihre Gultigkeit bei Anwesenheit stromfuhrender Leiter, denn

dann hat die Magnetfeldstarke einen Wirbelanteil. Ein reines Quellenfeld ist in einer Feld-

liniendarstellung daran zu erkennen, dass die Feldlinien einen Anfang und ein Ende haben.

Die Feldlinien starten an den Quellen (Ladungen) und gehen entweder ins Unendliche oder

wiederum zu Ladungen mit entgegengesetzter Polaritat zuruck.

Das Verfahren zur Berechnung der Magnetflussdichte B wird im folgenden Abschnitt 2.2

gezeigt, und im Abschnitt 2.3 wird die Berechnung eines Quellenfeldes am Beispiel der

Feldstarke H vorgestellt.


2.2 Die Berechnung des Magnetfeldes aus Wirbeln

Wenden wir auf Gleichung 2.4 die Rotation an, so wird deutlich, dass die flachenhaften

Wirbel der Magnetisierung M gleichzeitig auch die Wirbel der Magnetflussdichte B dar-

stellen:

RotB = µ0RotM (2.14)

Dabei ist aber die Wirbelfreiheit der Feldstarke (Gleichung 2.13) voraussetzt. Setzen wir

Gleichung 2.11 ein, so erhalten wir:

RotB = µ0K (2.15)

Der Wirbel der Magnetflussdichte B entspricht also dem Flachenstrom K. Mit diesem

bekannten Flachenstrom kann nun zunachst ein Vektorpotential A durch Integration uber

den gesamten Flachenleiter berechnet werden:

A =µ0

4π

∫

A

K

|r| dA (2.16)

Die Magnetflussdichte B gewinnt man aus der Rotation des Vektorpotentials:

B = rotA (2.17)

Die beiden Schritte, die Berechnung des Vektorpotentials und dessen Ableitung, konnen

zusammengefasst werden. Dann erhalt man das Gesetz von Biot-Savart, hier in der Fassung

fur die Flachenleiter:

B(x2) =µ0

4π

∮

K(x1) × r

|r|3 dA mit r = x2 − x1 (2.18)

x

x

B

1Quellpunkt

2Aufpunkt

rAbstandsvektor

Flächenstrom K

Flächenelement dA

am

am

Feldvektor d

Abbildung 2.3: Die Bedeutung der Vektoren beim Gesetz von Biot-Savart fur Flachenleiter


Das Integral ist durch die verschiedenen Vektoren etwas unubersichtlich. Betrachten wir

zur Veranschaulichung des Integrals 2.18 zunachst nur einen kleinen Ausschnitt dA des

Flachenleiters (Bild 2.3) an der Position x1, die auch als Quellpunkt bezeichnet wird.

Der darin fließende Flachenstrom K liefert an einem beliebigen Punkt x2 (Aufpunkt) den

Beitrag dB zum Feld:

dB(x2) =µ0

4π· K(x1) × r

|r|3dA (2.19)

Die Richtung des Flachenstromes spannt gemeinsam mit dem Abstandsvektor r, der vom

Leiterstuck x1 zum Aufpunkt x2 zeigt, eine Ebene auf. Der Vektor des Teilfeldes dB steht

senkrecht auf dieser Ebene. Der Betrag des Vektors ist umgekehrt proportional zum Qua-

drat des Abstandes r. Fuhrt man die Integration uber den gesamten Flachenleiter durch,

so ergibt sich das Feld B am Aufpunkt x2.

Mit den Gleichungen 2.16 und 2.18 ist ein Weg gezeigt, wie aus einer bekannten Flachen-

stromverteilung das Vektorpotential und die Magnetflussdichte berechnet werden konnen.

Neben den Flachenstromen betrachten wir noch ein reduziertes Modell: Wenn der Strom

eILeiterabschnitt dl

Abstandsvektor r

Einheitsvektor des Stromes

B )(x 2Feldvektor d

Abbildung 2.4: Die Bedeutung der Vektoren beim Gesetz von Biot-Savart fur Linienleiter

sich nicht auf einer Flache verteilt, sondern in einem dunnen Draht konzentriert, dann

haben wir es mit einem Linienleiter zu tun. Da die Leiterflache jetzt zu einer Leiterschleife

schrumpft, berechnet sich das Vektorpotential aus einem Linienintegral:

A =µ0I

4π

∫

L

eI

|r| dl (2.20)

Das Gesetz von Biot-Savart im Fall von Linienleitern lautet:

B(x2) =µ0I

4π

∮

eI × r

|r|3dl mit r = x2 − x1 (2.21)

Die Richtung des Stromes I im Leiterabschnitt dl wird durch den Einheitsvektor eI an-

gegeben. Dieser Vektor definiert gemeinsam mit dem Abstandsvektor r wieder eine Ebe-

ne. Senkrecht auf dieser Ebene steht der Vektor des Teilfeldes dB, siehe Abbildung 2.4.


Schließlich konnte der Strom auch in einem Volumen verteilt sein, man hat es dann mit

Stromdichten S zu tun. Dieser Fall einer volumenhaften Stromverteilung ist jedoch in die-

ser Arbeit nicht von Bedeutung. Die Berechnung der Integrale sowohl des Vektorpotentials

als auch der Flussdichte von Permanentmagneten wird im folgenden Kapitel 3 behandelt.

2.3 Die Berechnung des Magnetfeldes aus Quellen

Die Anwendung der Divergenz auf Gleichung 2.4 ergibt aufgrund der Quellfreiheit der

Flussdichte (Gleichung 2.12), dass die Quellen der Magnetisierung M gleichzeitig die Quel-

len der Feldstarke H sind:

DivH = −DivM (2.22)

Diese Quellen wurden schon in Gleichung 2.6 als magnetische Flachenladungen eingefuhrt:

DivH = −σmag (2.23)

Aus der bekannten Ladungsverteilung lasst sich zunachst ein Skalarpotential Φ durch In-

tegration uber die Flachenladungen berechnen:

Φ(x2) = − 1

4π

∫

A

σmag(x1)

|r| dA mit r = x2 − x1 (2.24)

Der Gradient des Potentials liefert dann die magnetische Feldstarke H:

H = −gradΦ (2.25)

Damit existieren nun zur Feldberechnung bei Permanentmagneten zwei gleichwertige Wege.

Entweder berechnet man das Feld aus den Wirbeln oder aus den Quellen. In dieser Arbeit

ist der Weg uber die Wirbelfelder gewahlt worden, andere haben den Weg uber die Quellen

benutzt (z.B. Marinescu in [14]).

Der Weg uber die Wirbel wurde hier gewahlt, da ursprunglich die Feldberechnung nicht

analytisch, sondern numerisch erfolgte. Das Gesetz von Biot-Savart besticht dabei durch die

Vermeidung einer Ableitung. Bei der Berechnung mit der Quellenmethode muss dagegen

die Feldstarke durch Ableitung des Potentials gewonnen werden, wodurch die Genauigkeit

des Ergebnisses bei einem numerischen Verfahren leidet. Bei einer analytischen Berechnung

sind beide Wege gleichwertig und wir greifen auch im Fall der Kippsteifigkeit in Kapitel

5 auf die Quellenmethode zuruck, da die analytische Gleichung der Kippsteifigkeit unter

anderem das Skalarpotential Φ enthalt.


2.4 Die Gewinnung der Magnetisierung aus den Her-

stellerangaben

Zur Berechnung des Feldes benotigen wir Angaben zur Magnetisierung M. Da wir im

Folgenden mit dem Flachenstrommodell arbeiten wollen, generieren wir uns aus diesem

Wert den Flachenstrom K. Von Magnetherstellern werden diese Werte ublicherweise nicht

angegeben. In Abbildung 2.5 ist die Materialkennlinie eines Permanentmagneten darge-

−3000 −2000 −1000 0 1000 2000 3000−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

5

Remanenz Br

NeukurveBH

C

B in Tesla

H in kA/m

Abbildung 2.5: Hystereseschleife eines NdFeB Magneten nach [30]

stellt. Es ist ublich, den Zusammenhang der Flussdichte mit der Feldstarke anzugeben.

Das Material ist eine Neodym-Eisen-Bor-Legierung (NdFeB), welches neben Samarium-

Kobalt-Legierungen heutzutage die besten magnetischen Eigenschaften besitzt. Neodym

und Samarium sind Materialien aus der Gruppe der Seltenen Erden. Die Kennlinie in

Abbildung 2.5 ist eine Hysteresekurve, wie sie in ahnlicher Form bei Stahl auftritt, nur

sind bei Magneten wesentlich großere Feldstarken notig, um das Material auf- und um-

magnetisieren zu konnen. Permanentmagnete ordnet man deshalb den hartmagnetischen

Materialien zu, wahrend Stahl als weichmagnetisch einzustufen ist. Die gestrichelte Li-

nie stellt die Neukurve beim ersten Aufmagnetisieren dar. Nach Abschalten des außeren

Feldes wandert der Arbeitspunkt auf der oberen Kennlinie in den zweiten Quadranten,

dort liegt auch der typische Arbeitsbereich eines Magneten. Im zweiten Quadranten ist

die B(H)-Kennlinie weitgehend linear, das ist typisch fur Magnetmaterial aus Seltenen

Erden. Von Bedeutung sind die Schnittpunkte der Geraden mit den Koordinatenachsen.


Die Flussdichte an der Stelle H = 0 wird als Remanenz Br und die Feldstarke an der

Stelle B = 0 wird als Koerzitivfeldstarke, oder genauer als Koerzitivfeldstarke der Fluss-

dichte BHC bezeichnet. Die Remanenz Br und die Koerzitivfeldstarke BHC sind typische

Angaben, die in Datenblattern zu finden sind. Die Kennlinie in Abbildung 2.5 ist tempe-

raturabhangig. Die magnetischen Kennwerte nehmen mit steigender Temperatur ab, das

ist innerhalb der zulassigen Temperaturen ein reversibler Prozess. Mit Hilfe der Gleichung

2.4 kann man aus dem B(H)-Verlauf die Polarisation und die Magnetisierung bestimmen.

Das ist fur den zweiten Quadranten im folgenden Bild 2.6 dargestellt. Dort sind die Fluss-

dichte B (ein Ausschnitt aus Abbildung 2.5) sowie die Polarisation J als Funktion der

Feldstarke H zu sehen. An der Stelle H=0 entspricht der Betrag der Polarisation genau der

−2000 −1500 −1000 −500 0 500−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

Br

JH

C BH

C

B(H)

J(H)B, J in Tesla

H in kA/m

Abbildung 2.6: Polarisation und Flussdichte im zweiten Quadranten der Kennlinie einesNdFeB Magneten

Remanenz Br, das kann auch Gleichung 2.4 entnommen werden. Mit wachsender negati-

ver Feldstarke verlauft die Polarisation fast parallel zur Abszissenachse. Erst jenseits der

Koerzitivfeldstarke der Flussdichte fallt die Kurve stark ab und geht ebenfalls durch null.

Die dort auftretende Feldstarke wird als Koerzitivfeldstarke der Polarisation JHC ebenfalls

in den Datenblattern aufgefuhrt.

Aus dem Anstieg der B(H)-Kennlinie kann man eine differentielle Permeabilitat gewinnen,

die man nicht mit der Permeabilitat in Gleichung 2.3 verwechseln darf [31].

µd =dB

dH(2.26)


Teilt man diese differentielle Permeabilitat noch durch µ0, so erhalt man einen dimensi-

onslosen Ausdruck ahnlich der relativen Permeabilitat.

µrev =1

µ0

dB

dH(2.27)

Dieser Ausdruck, der jetzt folgerichtig”relative differentielle Permeabilitat“ genannt wer-

den musste, soll hier in Anlehnung an [25, 31] als reversible Permeabilitat µrev bezeichnet

werden. In Tabelle 2.1 sind die Werte fur verschiedene Magnetmaterialien aufgefuhrt, die

naturlich nur innerhalb des Arbeitsbereiches der Magnete, d.h im zweiten Quadranten

gultig sind. Die reversible Permeabilitat liegt, insbesondere bei den Seltenen-Erd Materia-

Tabelle 2.1: reversible Permeabilitat verschiedener Magnetwerkstoffe nach [32]

Material Bariumferrit Neodym-Eisen-Bor Samarium-Kobalt

reversible Per-meabilitat µrev

1,35 1,07 1,04

lien (NdFeB, SmCo), fast bei eins, d.h. die Steigung der Magnetkennlinien entspricht fast

der Steigung fur Vakuum, das ist fur vereinfachende Modelle von Bedeutung.

Die reversible Permeabilitat ist ebenfalls in Datenblattern zu finden, nur herrscht hier

eine (vermutlich historisch bedingte) Sprachverwirrung, da die Hersteller unterschiedliche

Bezeichnungen dafur bereit halten:

• relative Permeabilitat [33]

• relative remanente Permeabilitat [32]

• reversible Permeabilitat [34]

• permanente Permeabilitat [35]

Das hangt vermutlich damit zusammen, dass fruher gebrauchliches Magnetmaterial eine

nichtlineare Kennlinie im zweiten Quadranten hatte und der Anstieg der Kennlinie (rel.

differentielle Permeabilitat) deutlich uber eins lag. Wird an ein solches Material ein Wech-

selfeld ∆H angelegt, so wandert der Arbeitspunkt nicht auf der angegebenem Kennlinie

(remanente Kennlinie, Abb. 2.7), sondern auf einer Kennlinie mit wesentlich flacherer Stei-

gung (permanente Kennlinie, Abb. 2.7), die jedoch noch steiler als die Vakuumkennlinie

ist. Dieses Phanomen tritt bei allen ferromagnetischen Stoffen auf [24, 31, 36]. Die rema-

nente Kennlinie ist genau genommen auch wieder eine kleine Hystereseschleife. Aus deren

beiden Endpunkten kann man eine Permeabilitat bestimmen, die nach [31] als Uberlage-

rungspermeabilitat µ∆ bezeichnet wird.

µ∆ =1

µ0

∆B

∆H(2.28)


permanente Kennlinie

remanente Kennlinie

∆ H

∆ B

B

H

Abbildung 2.7: Der Unterschied zwischen der remanenten und der permanenten Kennlinieeines Magnetwerkstoffes

Hat man es jetzt speziell mit Permanentmagneten zu tun, so ist es ublich, diese Große als

relative permanente Permeabilitat zu bezeichnen [31].

µp =1

µ0

∆B

∆H(2.29)

Der Grenzubergang ∆H →0 bekommt nach [31] den Namen reversible Permeabilitat.

µrev = lim∆H→0

µ∆ (2.30)

Bei modernen Permanentmagneten ist der Anstieg der (remanenten) B(H)-Kennlinie im

zweiten Quadranten beinahe so flach wie die Vakuum-Kennlinie. Die permanente Kennlinie,

die zwischen der remanenten und der Vakuum- Kennlinie liegen muss, fallt praktisch mit

diesen Kennlinien zusammen.

Das bedeutet, dass diese feinsinnigen Unterscheidungen zwar im Allgemeinen berechtigt,

hier aber nicht notig sind.

Das idealisierte Modell

In dieser Arbeit wird von einer konstanten Magnetisierung ausgegangen, d.h. sie ist un-

abhangig von der außeren Feldstarke. Nach Gleichung 2.5 ist die Polarisation dann ebenfalls

konstant. Der Anstieg der Kennlinie entspricht damit der Kennlinie im Vakuum, und die


reversible Permeabilitat wird zu eins. Diese Vereinfachung stellt nur eine geringe Abwei-

chung von den realen Verhaltnissen dar, wie in Abbildung 2.8 zu sehen ist, fuhrt aber in der

Berechnung zu wesentlich einfacheren Modellen. Genauer gesagt ermoglicht dieser Schritt

erst die in den Abschnitten 2.2 und 2.3 beschriebenen Berechnungswege. Aus der Abbil-

−2000 −1500 −1000 −500 0 500−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

B(H)

J(H)B, J in Tesla

H in kA/m

idealisierte Kennlinien

Abbildung 2.8: Die idealisierten Kennlinien der Polarisation J und der Flussdichte B

dung 2.8 ist zu erkennen, dass fur die betrachteten Werkstoffe der Betrag der Polarisierung

der Remanenz entspricht:

J = Br (2.31)

Damit ist auch der Betrag der Magnetisierung M bestimmt:

M =Br

µ0

(2.32)

Der Flachenstrom K hat definitionsgemaß (Gl. 2.7) den Betrag der Magnetisierung:

K =Br

µ0

(2.33)

Wenn die Feldstarkeabhangigkeit der Magnetisierung nicht zu vernachlassigen ist, dann

bleibt nur die Berechnung uber ein numerisches Verfahren (FEM, BEM). Dieser Umstand

ist auch bei der Anwesenheit leicht magnetisierbaren Materials (z.B. Eisen) gegeben. Eisen

hat in Anwesenheit eines Permanentmagneten eine veranderliche Magnetisierung, deshalb

konnen die Falle, bei denen Eisen im Magnetlager benutzt wird (z.B. Eisenruckschluss),

hier prinzipiell nicht betrachtet werden.

Kapitel 3

Die analytische Berechnung desMagnetfeldes

In den nachsten Kapiteln werden analytische Gleichungen fur die Krafte, Momente und

Steifigkeiten zwischen Permanentmagneten eingefuhrt. Dazu benotigen wir die analyti-

schen Gleichungen des Magnetfeldes. Diese Gleichungen werden hier vorgestellt, sie sind

zum großten Teil der Literatur entnommen, einige wurden selbst hergeleitet. Es werden hier

Gleichungen fur vier Modelle vorgestellt: Im ebenen Magnetfeld behandeln wir den Lini-

enleiter und den Flachenleiter sowie im rotationssymmetrischen Magnetfeld den Ringleiter

und den Zylinder. Die Gleichungen des rotationssymmetrischen Feldes enthalten ellipti-

sche Integrale. Diese speziellen Integrale und deren Losungsalgorithmen werden separat

vorgestellt.

3.1 Die Motivation zur Entwicklung analytischer Glei-

chungen

Warum ist es sinnvoll, analytische Gleichungen zu entwickeln, wo doch heutzutage nume-

rische Algorithmen und immer schnellere Rechner zur Verfugung stehen? Die Antwort lau-

tet: Analytische Berechnungen sind schnell und genau. Bei numerischer Software hat man

einen Zielkonflikt zwischen der Rechengeschwindigkeit und der Genauigkeit des Ergebnis-

ses. Außerdem lassen sich mit numerischen Softwarepaketen (FARADAY[37], FEMM[38],

ANSYS[39], MAFIA[40], QuickField[41]) zwar Krafte und Momente berechnen, Steifigkei-

ten jedoch nur auf indirektem Weg. Man berechnet zunachst die Kraft am Arbeitspunkt,

macht in einem zweiten Schritt eine kleine Verschiebung des Rotors und berechnet dort die

Kraft noch einmal. Aus dem Quotienten von Kraftdifferenz und Verschiebung erhalt man

dann die Steifigkeit.

s = −F1 − F0

x1 − x0

(3.1)

Das Problem bei diesem Verfahren ist, neben dem hoheren Rechenaufwand, die geringe

Genauigkeit des Ergebnisses, da die Fehler der Kraftberechnung sich stark auf die Fehler

22 Kapitel 3: Die analytische Berechnung des Magnetfeldes

der Steifigkeiten fortpflanzen. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Wir berechnen am Ort

x0 die Kraft F0 = 10N , machen dann eine kleine Verschiebung um ∆x = 1mm und

berechnen am Punkt x1 eine Kraft von F1 = 11N . Es ergibt sich nach der Definition 3.1 eine

Steifigkeit von s = 1N/mm. Wir nehmen weiter an, dass die Krafte einen relativen Fehler

von maximal ∆fr=0.01, d.h. ±1% haben (das ist fur numerische Berechnungen ein gutes

Ergebnis). Die tatsachlichen (aber unbekannten) Krafte liegen somit in Toleranzbereichen

von FT0 = 9.9N . . . 10.1N bzw. von FT1 = 10.89N . . . 11.11N .

FT0 = F0 ± ∆fr · F0 (3.2)

Der tatsachliche Wert der Steifigkeit liegt nun ebenfalls in einem Toleranzbereich, der durch

die Fehler der Krafte bestimmt wird:

sT = −F1 ± ∆fr · F1 − F0 ∓ ∆fr · F0

x1 − x0

(3.3)

In dieser Gleichung sind die beiden schlimmsten Falle, dass die obere Grenze der einen

Kraft mit der unteren Grenze der anderen Kraft zusammen kommt.

sT = −F1 − F0

x1 − x0

± ∆fr ·F1 + F0

x1 − x0

(3.4)

In dem Beispiel errechnet sich fur die Steifigkeit eine Spannweite von sT = −0.79N/mm . . .

−1.21N/mm. Das ist eine Toleranz von ±21%. Dieses Problem fuhrt dazu, dass man bei

x0 x1

F0

F1

F

x

Toleranzbereiche

berechneter Kraftverlauf

Kraftverläufe

maximal mögliche

Abbildung 3.1: geringe Toleranzen der Krafte konnen zu großen Toleranzen der Steifigkeitenfuhren

der indirekten Berechnung der Steifigkeiten uber die Krafte schon sehr hohe Genauigkeiten

erzielen muss, um brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Dieser Umstand war die Motivation,

eine direkte Berechnung der Steifigkeiten aus den Feldgleichungen zu entwickeln.

Kapitel 3: Die analytische Berechnung des Magnetfeldes 23

3.2 Das ebene Magnetfeld

Man spricht von einem ebenen Magnetfeld, wenn in einer Raumrichtung das Magnetfeld

keine Anderung erfahrt. Es muss dann nur eine Schnittflache betrachtet werden, die normal

zu dieser Richtung liegt. Dieser Fall wird auch als zweidimensionales Magnetfeld bezeichnet.

N

S

Linienleiter Flächenleiter

x

z

Abbildung 3.2: Modellierung eines Permanentmagneten im ebenen Feld

Die Abbildung 3.2 zeigt einen Permanentmagneten und wie er durch zwei Linienleiter oder

durch zwei Flachenleiter beschrieben werden kann. Dargestellt ist nur ein Ausschnitt eines

unendlich langen Magneten. Das Magnetfeld liegt im Folgenden immer in der x-z-Ebene.

Der Strom I und der Flachenstrom K sind immer normal zur Betrachtungsebene orientiert,

d.h. hier in y-Richtung. Gleiches gilt fur das Vektorpotential A:

K =

0Ky

0

A =

0Ay

0

Die Anwendung der Rotation auf das Vektorpotential B=rotA (Gleichung 2.17) ergibt

folgenden Zusammenhang zwischen Flussdichte und Potential:

Bx = −∂Ay

∂z

By = 0 (3.5)

Bz =∂Ay

∂x

Die Ableitungen der Flussdichte sind teilweise voneinander abhangig. Da die Flussdichte

uberall divergenzfrei (divB=0) ist, erhalten wir:

∂Bx

∂x+

∂Bz

∂z= 0 ⇒ ∂Bz

∂z= −∂Bx

∂x(3.6)


Die Flussdichte ist außerhalb ihrer Wirbel auch rotationsfrei: rotB=0 (Gleichung 2.15). In

diesen Bereichen, die hier aber ausschließlich relevant sind, gilt folgender Zusammenhang:

∂Bz

∂y− ∂By

∂z= 0

∂Bx

∂z− ∂Bz

∂x= 0 ⇒ ∂Bx

∂z=

∂Bz

∂x(3.7)

∂By

∂x− ∂Bx

∂y= 0

Diese Zusammenhange werden in den folgenden Kapiteln bei der Entwicklung der Kraft-

und Steifigkeitsgleichungen mehrfach genutzt.

3.2.1 Das Magnetfeld eines unendlich langen Linienleiters

Betrachten wir zuerst den einfachen Fall in Abbildung 3.3. Im Leiter 1, der parallel zur

y-Achse orientiert ist, fließt der Strom I1. Da sich kreisformige Feldlinien ausbilden, lasst

z1

x1

Strom I1

y

z

x

Abbildung 3.3: Das Magnetfeld eines Linienleiters

sich die Magnetflussdichte B in Polarkoordinaten am einfachsten beschreiben:

Bρ = 0

Bφ = µ0I1

2πr(3.8)

Das Feld hat nur eine Tangentialkomponente, die umgekehrt proportional mit der Ent-

fernung abnimmt. Da wir jedoch mit kartesischen Koordinaten arbeiten wollen, erhalt die

Gleichung 3.8 folgende Gestalt:

Bx(x, z) = µ0I1

2π· z − z1

(x − x1)2 + (z − z1)2(3.9)

Bz(x, z) = −µ0I1

2π· x − x1

(x − x1)2 + (z − z1)2(3.10)


Der Index 1 bezieht sich dabei auf die Position des Leiters 1. Von den beiden Feldkom-

ponenten kann man nun Ableitungen bilden. Es ergeben sich formal vier Ableitungen, die

aber nur aus zwei verschiedenen Werten bestehen. Ursache ist die erwahnte Verkopplung

der Ableitungen in der Divergenz (Gleichung 3.6) und der Rotation (Gleichung 3.7). Die

Ableitungen lauten:

∂Bz

∂x=

∂Bx

∂z= µ0

I1

2π· (x − x1)

2 − (z − z1)2

[(x − x1)2 + (z − z1)2]2(3.11)

∂Bz

∂z= −∂Bx

∂x= µ0

I1

2π· 2 · (z − z1)(x − x1)

[(x − x1)2 + (z − z1)2]2(3.12)

Die Flussdichte wird in Kapitel 4 zur Berechnung der Kraft benotigt, wahrend die Ablei-

tungen bei den Steifigkeiten in Kapitel 5 auftreten.

3.2.2 Das Magnetfeld eines Flachenleiters

Wesentlich besser werden Magnete mit Hilfe von Flachenleitern beschrieben. In Abbildung

3.4 ist eine Leiterflache dargestellt, die ebenfalls parallel zur y-Achse liegt. Auf der Flache

fließt der Flachenstrom K1. Dieser Vektor besitzt immer nur die Komponente K1y, die im

Folgenden immer kurz mit K1 bezeichnet wird. Wahrend beim Linienleiter die Flussdichte

und deren Ableitungen von Bedeutung sind, benotigen wir beim Flachenleiter die Inte-

grale dieser Großen, d.h. das Vektorpotential und die Flussdichte. Die Gleichung fur das

z1

x1

z1o

z1u

r zu

r x

h1

r zo

Flächenstrom K1

y

z

x

Aufpunkt x,z

Abbildung 3.4: Das Magnetfeld eines Flachenleiters

Vektorpotential ist [29] entnommen, die wir hier in eigener Schreibweise wiedergeben.

Ay(x, z) =µ0 · K1

2π

[

rx arctan

(

rzo

rx

)

− rx arctan

(

rzu

rx

)

+rzo

2ln

(

r2x + r2

zo

)

− rzu

2ln

(

r2x + r2

zu

)

+ 2h1

]

(3.13)


Die Flachenleitermitte befindet sich an der Stelle x1, z1, die Ober- und die Unterkante des

Flachenleiters liegen bei:

z1o = z1 + h1 z1u = z1 − h1 (3.14)

Die halbe Hohe des Magneten ist hier mit h1 bezeichnet, wahrend die Hohe mit a bezeichnet

wird, es gilt also: a = 2h1. Fur die x-Komponente des Abstandsvektors vom Flachenleiter

zum Aufpunkt x, z wird folgende Abkurzung verwendet:

rx = x − x1 (3.15)

Die z-Komponente des Abstandsvektors von der Magnetoberkante bzw. von der Unterkante

zum Aufpunkt erhalt folgende Abkurzung:

rzo = z − (z1 + h1) rzu = z − (z1 − h1) (3.16)

Die Gleichungen der Flussdichte sind ebenfalls [29] entnommen.

Bx(x, z) = −µ0K1

4π· ln r2

x + r2zo

r2x + r2

zu

(3.17)

Bz(x, z) = µ0K1

2π·(

arctanrzo

rx

− arctanrzu

rx

)

(3.18)

Weiterhin benotigen wir zur Berechnung der Kraft und der Kippsteifigkeit auch das Ska-

larpotential Φ. Es wurde durch Integration der Flussdichte gewonnen, das Verfahren ist

im Anhang B gezeigt. Das Skalarpotential eines Flachenleiters lasst sich zerlegen in einen

flussdichteabhangigen Anteil ΦB (Gleichung 3.20) und einen magnetisierungsabhangigen

Anteil ΦM (Gleichung 3.21):

Φ = ΦB + ΦM (3.19)

Der flussdichteabhangige Anteil lautet:

ΦB = −K1

2π·{

rzo · arctan

(

rzo

rx

)

− rzu · arctan

(

rzu

rx

)

(3.20)

−rx

2ln

(

r2x + r2

zo

)

+rx

2ln

(

r2x + r2

zu

)

}

Beim magnetisierungsabhangigen Anteil ist eine Fallunterscheidung notig (Abb. 3.5):

ΦM =

0 : x > x1

K1 · h1 : x < x1 ∧ rzo > 0 ∧ rzu > 0K1 · (z − z1) : x < x1 ∧ rzo ≤ 0 ∧ rzu ≥ 0

−K1 · h1 : x < x1 ∧ rzo < 0 ∧ rzu < 0

(3.21)


+ h 1z1

z1 − h 1z1

ΦM=0

ΦM= −K 1h1

ΦM=K1 h1

x1

Φ )11M= K (z−z

z

x

Abbildung 3.5: Fallunterscheidung beim magnetisierungsabhangigen Anteil des Skalarpo-tentials ΦM

Des Weiteren benotigen wir bei der Kippsteifigkeit in Kapitel 5 das Integral uber das

Vektorpotential Ay. Dieser Ausdruck wird mit Λ bezeichnet. Die Herleitung findet sich im

Anhang C, hier wird nur das Ergebnis prasentiert:

Λ(x, z) =µ0 · K1

2π·[

rxrzo arctan

(

rzo

rx

)

− r2x

2ln

(

r2x + r2

zo

)

−rxrzu arctan

(

rzu

rx

)

+r2x

2ln

(

r2x + r2

zu

)

(3.22)

+2h1z +1

4

[

r2x + r2

zo

]

·(

ln[

r2x + r2

zo

]

− 1)

−1

4

[

r2x + r2

zu

]

·(

ln[

r2x + r2

zu

]

− 1)

]

Die vier Großen Vektorpotential, Skalarpotential, Flussdichte und das Integral uber das

Vektorpotential sind die Grundbausteine zur Bestimmung von Kraften und Steifigkeiten.

3.3 Das rotationssymmetrische Magnetfeld

Bei Magnetlagern fur rotierende Maschinen ist es sinnvoll, die Feldgleichungen in Zylin-

derkoordinaten zu formulieren. Auch hier werden analog zum ebenen Magnetfeld zwei

Varianten betrachtet: der Ringleiter und die Zylindermantelflache (Abbildung 3.6). Beim

rotationssymmetrischen Magnetfeld hat man in Umfangsrichtung konstante Verhaltnisse,

so dass man ebenfalls mit der Betrachtung einer Schnittflache auskommt. In Umfangsrich-

tung kann keine Anderung des Potentials, der Flussdichte und ihrer Ableitungen auftreten.

Da die Wirbel (d.h. Strome) geschlossene Ringe bilden (divergenzfrei), mussen sie in Um-

fangsrichtung liegen. Damit haben die Strome nur eine Iϕ-Komponente, gleiches gilt fur

den Flachenstrom Kϕ und das Vektorpotential Aϕ. Fur die Magnetfeldkomponenten folgt


Ringleiter

N

SZylindermantelfläche

Abbildung 3.6: Modellierung eines Permanentmagneten im rotationssymmetrischen Feld

damit:

Bρ = −∂Aϕ

∂z

Bϕ = 0 (3.23)

Bz =1

ρ

∂ (ρAϕ)

∂ρ=

∂Aϕ

∂ρ+

Aϕ

ρ

Die Divergenzfreiheit des magnetischen Feldes (div B=0) fuhrt in Zylinderkoordinaten bei

rotationssymmetrischen Verhaltnissen (∂/∂ϕ = 0) zu:

Bρ

ρ+

∂Bρ

∂ρ+

∂Bz

∂z= 0 ⇒ ∂Bz

∂z= −

(

Bρ

ρ+

∂Bρ

∂ρ

)

(3.24)

Die Rotation des Feldes ist außerhalb der Wirbel gleich null (rotB=0), daraus folgt:

1

ρ

∂Bz

∂ϕ− ∂Bϕ

∂z= 0

∂Bρ

∂z− ∂Bz

∂ρ= 0 ⇒ ∂Bρ

∂z=

∂Bz

∂ρ(3.25)

1

ρ

∂ρBϕ

∂ρ− 1

ρ

∂Bρ

∂ϕ= 0

3.3.1 Elliptische Integrale zur Berechnung rotationssymmetri-scher Felder

Bedingt durch die Rotationssymmetrie taucht in den Feldgleichungen ein spezieller Typ

von Integralen auf, die in der Literatur als elliptische Integrale bezeichnet werden. Da die

elliptischen Integrale (bzw. deren Losung) nicht jedem vertraut sind, werden sie hier in

einem eigenen Abschnitt vorgestellt. Uns interessieren die drei vollstandigen elliptischen

Integrale.


• Vollstandiges elliptisches Integral erster Art:

K(k) =

π

2∫

0

dθ√1 − k2sin2θ

(3.26)

• Vollstandiges elliptisches Integral zweiter Art:

E(k) =

π

2∫

0

√1 − k2sin2θ dθ (3.27)

• Vollstandiges elliptisches Integral dritter Art:

Π(k, λ) =

π

2∫

0

dθ

(1 − λ2sinθ)√

1 − k2sin2θ(3.28)

Vollstandig heißen diese Integrale deshalb, weil das Integrationsintervall bis θ = π/2 reicht.

Die beiden ersten Integrale (Abbildung 3.7) sind nur abhangig vom Modul k, der einen

Wertebereich von k = 0 . . . 1 besitzt. Beide Funktionen starten bei K(0) = E(0) = π/2,

das erste Integral geht bei k = 1 gegen unendlich: K(1) = ∞, wahrend das zweite Integral

gegen eins geht: E(1) = 1.

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

1

2

3

4

5

6

E(k)

K(k)

k

E(k)

K(k)

Abbildung 3.7: Vollstandige elliptische Integrale erster Art K(k) und zweiter Art E(k)

Das vollstandige elliptische Integral dritter Art (Abbildung 3.8) ist eine Funktion des Mo-

duls k und des Parameters λ. Der Wertebereich des Moduls k reicht,wie bei den anderen


00.2

0.40.6

0.81

0

0.5

10

5

10

15

20

25

kλ

Abbildung 3.8: Vollstandiges elliptisches Integral dritter Art Π(k, λ)

beiden Integralen auch, von k = 0 . . . 1. Der Parameter λ hat den selben Wertebereich.

Am Rand λ = 0 entspricht das dritte elliptische Integral dem ersten elliptischen Integral:

Π(k, 0) = K(k). An den maximalen Grenzen des Wertebereiches λ = 1 sowie k = 1 geht

die Funktion gegen positiv Unendlich: Π(k, 1) = ∞ bzw. Π(1, λ) = ∞.

Berechnung der elliptischen Integrale

Interessant wird die Verwendung elliptischer Integrale dadurch, dass es fur den Computer

sehr schnelle und exakte Algorithmen gibt. Die Algorithmen zur Berechnung der beiden

ersten Integrale sind [42] entnommen. Fur das dritte Integral fand sich mit [43, 44] eine

interessante Quelle. Es ist anzumerken, dass die Reihenentwicklungen, die sich in Mathe-

matischen Handbuchern finden [45], sich fur eine numerische Berechnung nicht eignen, da

sie im Bereich k ≈ 1 schlecht konvergieren. Die verwendeten Algorithmen sind im An-

hang A als MATLAB-Code [46] aufgefuhrt. Die Ergebnisse der Algorithmen wurden mit

Tabellen aus [47] verglichen.

3.3.2 Das Magnetfeld eines Ringleiters

Das Magnetfeld eines stromfuhrenden Ringes (Ringleiters) haben wir bei [26, 29] entnom-

men. In diesen Gleichungen erscheinen zum ersten Mal die elliptischen Integrale erster und

zweiter Art. Die Flussdichte eines stromfuhrenden Ringes an der Stelle (R1, z1) lautet:


R1

z1

ρ

z

Abbildung 3.9: Das Magnetfeld eines Ringleiters

Bρ(ρ, z) =µ0I1

4π· k√

R1 · ρ· z − z1

ρ·[

R21 + ρ2 + (z − z1)

2

(R1 − ρ)2 + (z − z1)2· E(k) − K(k)

]

(3.29)

Bz(ρ, z) =µ0I1

4π· k√

R1 · ρ·[

K(k) +R2

1 − ρ2 − (z − z1)2

(R1 − ρ)2 + (z − z1)2· E(k)

]

Der Modul k ist wie folgt definiert:

k2 =4R1ρ

(R1 + ρ)2 + (z − z1)2(3.30)

3.3.3 Das Magnetfeld eines Zylinders

Die Gleichungen fur das Magnetfeld eines homogen magnetisierten Zylinders bzw. einer

stromfuhrenden Zylindermantelflache finden sich in [48, 49, 51], wovon die Publikation von

T. Kolbenheyer aus dem Jahr 1964 [48] als die Alteste hervorzuheben ist. Zu erwahnen

sind auch die Arbeiten von L. Urankar [50, 51, 52], darin werden sogar analytische Glei-

chungen fur Segmente von Ring-, Flachen- und Volumenleitern vorgestellt. Das Vektor-

potential und die Flussdichte sind dort entnommen, das Skalarpotential und das Integral

des Vektorpotentials wurden selbst hergeleitet. Analog zum Flachenleiter fuhren wir fol-

gende Abkurzungen ein:

rzo = z − (z1 + h1) und rzu = z − (z1 − h1)co = (R1 + ρ)2 + r2

zo cu = (R1 + ρ)2 + r2zu

(3.31)

Der Modul k ist wie folgt definiert:

k2o =

4R1ρ

(R1 + ρ)2 + r2zo

k2u =

4R1ρ

(R1 + ρ)2 + r2zu

(3.32)

Der Parameter λ:

λ2 =4R1ρ

(R1 + ρ)2(3.33)


R1

z1

+ h 1z1

z1 − h 1

ρ

z

Abbildung 3.10: Das Magnetfeld eines Zylinders

Die Bezeichnungsweise wird anhand von Abbildung 3.10 deutlich. Dort sind zusatzlich die

Feldlinien der Magnetflussdichte zu sehen, die mit Hilfe der Gleichungen 3.34 und 3.35

gewonnen wurden. Die Gleichungen der Flussdichte sind aus [51] entnommen worden:

Bρ =µ0K1

4π·[

4R1√co

·{

2K(ko) − E(ko)

k2o

− K(ko)

}

−4R1√cu

·{

2K(ku) − E(ku)

k2u

− K(ku)

}]

(3.34)

Bz = −µ0K1

4π·[

2rzo√co

·{

K(ko) +R1 − ρ

(R1 + ρ)· Π(ko, λ)

}

(3.35)

−2rzu√cu

·{

K(ku) +R1 − ρ

(R1 + ρ)· Π(ku, λ)

}]

Die Gleichung fur das Vektorpotential ist ebenfalls aus [51] entnommen.

Aϕ(ρ, z) = −µ0K1

4π

[

rzo

ρ

(

r2zo + 2R2

1 + 2ρ2

√co

K(ko) −√

coE(ko) −(R1 − ρ)2

√co

Π(ko, λ)

)

(3.36)

−rzu

ρ

(

r2zu + 2R2

1 + 2ρ2

√cu

K(ku) −√

cuE(ku) −(R1 − ρ)2

√cu

Π(ku, λ)

)]

In Abbildung 3.11 ist exemplarisch das Vektorpotential der Halbebene eines Zylinders

gezeigt. Der Zylinder hat einen Radius von R1 = 10m und eine Hohe von a1 = 5m.


0

10

20

−10

0

100

1

2

3x 10

−6

R1 =

z1 1h+

1hz1 −

ϕ in Vs/mA

ρz

Abbildung 3.11: Das Vektorpotential des Zylinders

Das Skalarpotential wurde analog zum Skalarpotential des ebenen Feldes aus der Flussdich-

te gewonnen. Die Details finden sich im Anhang D, hier ist nur das Ergebnis dargestellt.

Das Skalarpotential Φ setzt sich aus einem flussdichteabhangigen Anteil ΦB und einem

magnetisierungsabhangigen Anteil ΦM zusammen:

Φ = ΦB + ΦM (3.37)

Das flussdichteabhangige Skalarpotential lautet:

ΦB =K1

2π

[√c1oE(ko) − (R1 − ρ)

k2o − λ2

koλΠ(ko, λ) + (R1 − ρ)

ko

λK(ko)

]

−K1

2π

[√c1uE(ku) − (R1 − ρ)

k2u − λ2

kuλΠ(ku, λ) + (R1 − ρ)

ku

λK(ku)

]

(3.38)

Fur den magnetisierungsabhangigen Anteil muss man wieder Fallunterscheidungen machen,

da die Magnetisierung M nur innerhalb des Magneten existiert.

ΦM =

0 : ρ > R1

K1 · h1 : ρ < R1 ∧ rzo > 0 ∧ rzu > 0K1 · (z − z1) : ρ < R1 ∧ rzo ≤ 0 ∧ rzu ≥ 0

−K1 · h1 : ρ < R1 ∧ rzo < 0 ∧ rzu < 00.5K1 · h1 : ρ = R1 ∧ rzo > 0 ∧ rzu > 0

0.5K1 · (z − z1) : ρ = R1 ∧ rzo ≤ 0 ∧ rzu ≥ 0−0.5K1 · h1 : ρ = R1 ∧ rzo < 0 ∧ rzu < 0

(3.39)


0

10

20

−10

0

10−2

0

2

1hz1 −

z1 1h+

1R

Φ in Ampere

=z

ρ

Abbildung 3.12: Das Skalarpotential des Zylinders

= 0.5K (z−z

+ h 1z1

z1 − h 1

ΦM=K1 h1

Φ 1M= K (z−z1 )

M=−0.5K 1h1

M=0.5K1 h1

R1

1 1 )

ΦM= −K 1h1

ΦM=0

z Φ

Φ

ρ

ΦM

Abbildung 3.13: Fallunterscheidung beim magnetisierungsabhangigen Anteil des Skalarpo-tentials ΦM


Schließlich wird auch hier, speziell fur die Kippsteifigkeit in Kapitel 5, das Integral uber

das Vektorpotential Aϕ benotigt. Dieser Ausdruck wird wieder mit Λ bezeichnet. Die In-

tegration des Vektorpotentials ist im Anhang E durchgefuhrt, hier wird nur das Ergebnis

prasentiert:

Λ = −µ0K1

4π

{

R1

√

R1ρ8

3

[

2E(ko)

ko

− E(ko)

k3o

+K(ko)

k3o

− K(ko)

ko

]

+2(R1 − ρ)2

√

R1

ρ

[

E(ko)

ko

+k2

o − λ2

koλ2Π(ko, λ) − ko

λ2K(ko)

]

}

(3.40)

0

10

20

−10

0

10−2

0

2x 10

−5

R11hz1 −

z1 1h+

in Vs

z ρ=

Λ

Abbildung 3.14: Das Integral uber das Vektorpotential des Zylinders

Mit diesen funf Gleichungen (Vektorpotential,Skalarpotential, axiale und radiale Fluss-

dichte und Integral des Vektorpotentials) werden analytische Ausdrucke fur die Axialkraft

(Kapitel 4) und die vier Steifigkeitsterme (Kapitel 5) hergeleitet.

Kapitel 4

Die analytische Berechnung derKrafte und Momente

In diesem Kapitel werden die analytischen Gleichungen fur die Krafte entwickelt. Die Glei-

chungen basieren auf den Feldgleichungen aus dem vorigen Kapitel 3, wobei auch hier in

analoger Weise vier verschiedene Modelle betrachtet werden: Linienleiter, Flachenleiter,

Ringleiter und Zylinder. Fur diese Modelle lassen sich auch Momente herleiten, jedoch

geschieht das hier nur teilweise. Wir beschranken uns darauf, Gleichungen fur ein lokales

Moment zu entwickeln, das als Grundlage fur die Berechnung der Kippsteifigkeit gebraucht

wird.

4.1 Modelle zur Kraftberechnung

Bei der Berechnung von Kraften aus dem Magnetfeld muss zwischen zwei prinzipiell ver-

schiedenen Ansatzen unterschieden werden. Die Unterschiede wollen wir am Beispiel der

Kraft zwischen zwei repulsiv angeordneten Permanentmagneten (Abbildung 4.1) erlautern.

Im linken Bildteil sehen wir den realen Feldverlauf, der mit den Gleichungen aus dem vo-

Integrations−

gebiete

Abbildung 4.1: Die beiden Methoden der Kraftberechnung, (links) der Maxwellsche Span-nungstensor und (rechts) das Lorentzgesetz, besitzen unterschiedliche Integrationsflachen.

rigen Kapitel 3 berechnet wurde. Dass die Magnete sich gegenseitig abstoßen ist daran zu

erkennen, dass die Feldlinien des einen Magneten nicht den anderen schneiden. Da die Feld-

großen einem mechanischen Spannungszustand entsprechen, kann jedem Punkt im Raum

Kapitel 4: Die analytische Berechnung der Krafte und Momente 37

uber den Maxwellschen Spannungstensor eine mechanische Spannung zugeordnet werden.

Die Kraft kann durch die Integration der Spannungen auf einer geschlossenen Oberflache

gewonnen werden. Die gestrichelte Linie in Abbildung 4.1 (links) zeigt eine mogliche In-

tegrationsflache fur die Kraft auf den unteren Magneten. Entscheidend bei der Wahl der

Flache ist, dass nur der untere Magnet im Inneren der Flache liegt. Bei FEM-Programmen

wird diese Art der Berechnung verwendet (z.B. FEMM[38], QuickField [41]).

In dieser Arbeit wird ein anderer Ansatz benutzt. Die Grundidee ist das Lorentzgesetz,

welches die Krafte auf stromfuhrende Leiter im Magnetfeld beschreibt. Betrachten wir da-

zu den rechten Teil in Abbildung 4.1. Um die Kraft des unteren Magneten zu ermitteln,

berechnen wir nur das externe Feld, d.h. das Feld des oberen Magneten. Dieses Feld erzeugt

an den Seitenflachen (schwarz-weiß gestrichelt) des unteren Magneten zusammen mit den

dort befindlichen Flachenstromen mechanische Spannungen. Dieser Zusammenhang wird

durch das Lorentzgesetz beschrieben. Der Unterschied zum ersten Verfahren besteht darin,

dass hier nur das Feld eines Magneten (im Gegensatz zur real messbaren Uberlagerung

beider Felder) berechnet wird und die Integrationsflachen zur Kraftberechnung nur die

Gebiete sind, in denen Flachenstrome auftreten. Das Lorentzgesetz in seiner einfachsten

Flächenstrom K

Flächenelement dABFeldvektor

Spannungsvektor σ

Abbildung 4.2: Das Lorentzgesetz bei Flachenstromen

Form beschreibt Krafte pro Langeneinheit, die auf den Linienleiter 2 mit dem Strom I2 im

Magnetfeld wirken:

F2

l= I2 × B1 (4.1)

Bei einem Flachenleiter entstehen auf der Leiterflache 2 mit dem Flachenstrom K2 durch

das externe Magnetfeld mechanische Spannungen σ2 (Abbildung 4.2).

σ2 = K2 × B1 (4.2)

Die Kraft erhalt man durch Integration uber die gesamte Flache A2:

F2 =

∫

(K2 × B1)dA2 (4.3)

38 Kapitel 4: Die analytische Berechnung der Krafte und Momente

Genauso lassen sich Momente bestimmen, es muss aber noch ein Bezugspunkt xp gewahlt

werden.

M2 =

∫

[(x − xp) × (K2 × B1)] dA2 (4.4)

Als Bezugspunkt xp wird hier immer der Koordinatenursprung verwendet. Die Aufgabe

besteht nun in der Losung der Integrale der Gleichungen 4.3 und 4.4. Das soll hier fur

die schon im vorigen Kapitel 3 erwahnten ebenen und rotationssymmetrischen Modelle

erfolgen.

Es wird im Folgenden grundsatzlich immer so gehandhabt, dass die Krafte auf einen Leiter

oder Korper mit dem Index 2 betrachtet werden, wahrend als”Quelle“ des Magnetfel-

des ein Leiter bzw. Korper mit dem Index 1 dient. Aus Grunden einer ubersichtlicheren

Schreibweise lassen wir aber diese Indizes im Folgenden immer weg:

F2 ⇒ F

M2 ⇒ M

B1 ⇒ B

A1 ⇒ A

I2 ⇒ I

K2 ⇒ K

Das bedeutet, dass zu allen Kraft-und Momentenausdrucken eigentlich ein Index 2 gehort,

wahrend zu allen Feldausdrucken der Index 1 hinzuzudenken ist. Die Strome I und die

Flachenstrome K ohne Index beziehen sich immer auf den Leiter 2. Wenn sie sich ausnahms-

weise auf die”Feldquelle“ beziehen, dann erscheint der Index 1. Eine weitere Vereinfachung

der Schreibweise betrifft alle langenbezogenen Ausdrucke. Besonders im zweidimensiona-

len Modell erhalt man Krafte pro Lange sowie Momente pro Lange. Alle langenbezogenen

Großen werden hier mit einem Punkt uber dem Formelzeichen gekennzeichnet:

F

l⇒ F

M

l⇒ M

4.2 Die Krafte im ebenen Magnetfeld

4.2.1 Die Kraft auf einen Linienleiter

Bei einem Linienleiter (ebenes Problem oder 2D) konnen wir das Lorentzgesetz aus Glei-

chung 4.1 direkt hinschreiben:

F = I × B (4.5)

Verwenden wir das Koordinatensystem aus Abbildung 4.3, so hat die Kraft pro Lange eine

x- und eine z- Komponente:

F =

Fx

Fy

Fz

=

IyBz

0−IyBx

(4.6)


z1

Strom I1

x1

z2

x2

Strom I2

z

x

y

Abbildung 4.3: Die Kraft zwischen zwei Linienleitern

Hier sind fur die Magnetflussdichte B die Ausdrucke aus den Gleichungen 3.9 und 3.10

einzusetzen. Aus Grunden der Ubersichtlichkeit verzichten wir auf diese Darstellung und

wollen generell die Krafte und spater auch die Steifigkeiten als Funktion der verschiedenen

Magnetfeldgroßen darstellen.

4.2.2 Die Kraft auf einen Flachenleiter

Als nachsten Schritt werden die Flachenleiter betrachtet. Marinescu hat dafur in [14] ana-

lytische Gleichungen vorgestellt, die mit Hilfe des Ladungsmodells gewonnen wurden. Das

Gleiche wird hier mit dem Flachenstrommodell gezeigt. Wir machen hier jedoch wieder

eine Einschrankung: Alle Leiterflachen liegen immer parallel zur y-z-Ebene. Betrachten

wir zunachst die lokalen Verhaltnisse eines Flachenelements dA.

σ = K × B (4.7)

Die lokalen Verhaltnisse sind dem Linienleiter ahnlich: Wenn der Strom I gegen einen

Flachenstrom K ausgetauscht wird, dann andert sich die Kraft pro Lange F in eine Kraft

pro Flache, die ublicherweise als mechanische Spannung σ bezeichnet wird. Der Flachen-

strom fließt hier normal zur Betrachtungsebene, d.h in Richtung der positiven y-Achse. Es

treten somit nur Spannungen auf, die in der x-z Ebene liegen:

σ =

σx

σy

σz

=

0Ky

0

×

Bx

0Bz

=

KyBz

0−KyBx

(4.8)


x2 x1

z1

z2o

z2u

z2

z1o

z1u

h2

y

x

Flächenleiter 1 Feldquelle

Flächenleiter 2

z

Abbildung 4.4: Die Kraft zwischen zwei unendlich langen Flachenleitern

Um aus diesen lokalen Großen eine Kraft pro Lange zu erhalten, muss uber die gesamte

Leiterhohe integriert werden.

Fx = Ky ·z2o∫

z2u

Bzdz (4.9)

Fz = −Ky ·z2o∫

z2u

Bxdz (4.10)

Folgende Abkurzungen werden dabei verwendet:

z2o = z2 + h2 und z2u = z2 − h2 (4.11)

Die Losung dieser Integrale findet sich im Anhang F.

Fx = −Ky · µ0 [Φ(x2, z2o) − Φ(x2, z2u)] (4.12)

Fz = Ky · [Ay(x2, z2o) − Ay(x2, z2u)] (4.13)

Aus der Integration der Bz-Komponente erhalten wir das Skalarpotential Φ, wahrend die

Integration der Bx-Komponente das Vektorpotential A liefert. Es ist zu erkennen, dass die

Krafte im Flachenleitermodell von den Potentialausdrucken abhangig sind. Beim Linien-

leiter dagegen sind die Krafte proportional der Magnetflussdichte.


4.3 Die Krafte im rotationssymmetrischen Magnet-

feld

4.3.1 Die Kraft auf einen Ringleiter

R2

R1

z 1

z 2

Strom Iϕ

Ring 1 "Feldquelle"

Ring 2

z

ρ

Abbildung 4.5: Die Kraft zwischen zwei stromfuhrenden Ringen

Das Lorentzgesetz (Gleichung 4.1) fur den Ringleiter lautet in Zylinderkoordinaten:

F = I × B =

IϕBz − IzBϕ

IzBρ − IρBz

IρBϕ − IϕBρ

(4.14)

Da der Strom aber aufgrund der Rotationssymmetrie nur eine Umfangskomponente Iϕ

haben kann, reduziert sich Gleichung 4.14 sofort zu:

Fρ

Fϕ

Fz

=

IϕBz

0−IϕBρ

(4.15)

Es treten bei den langenbezogenen Kraften nur Axial- und Radialkomponenten auf. Fur

die Feldkomponenten der Magnetflussdichte Bρ und Bz mussen die Ausdrucke aus Glei-

chung 3.29 eingesetzt werden. Um Krafte zu gewinnen, muss noch uber den Umfang des

Ringes integriert werden. Die Integration ist aber aufgrund der Rotationssymmetrie leicht

durchzufuhren, der Strom und die Flussdichte sind in Umfangsrichtung schließlich kon-

stant. Die Radialkraft auf einen stromfuhrenden Ring mit dem Radius ρ = R2 lautet:

Fρ =

2π∫

0

Fρρdϕz =

2π∫

0

(Iϕ · Bz)ρdϕz = 2πR2IϕBz(R2, z2) (4.16)


Auf gleiche Weise erhalt man fur die Axialkraft:

Fz(R2, z2) = −2πR2Iϕ · Bρ(R2, z2) (4.17)

Es ist eigentlich nur die Axialkraft von praktischer Bedeutung. Die radialen Kraftkompo-

nenten spielen bei einem starren Ring keine Rolle, da sie sich gegenseitig aufheben. Von

Bedeutung ist die radiale Kraftkomponente aber zur Gewinnung der Radialsteifigkeit, die

wir im Kapitel 5 bestimmen wollen.

4.3.2 Die Kraft auf die Zylindermantelflache

z

ρ

Magnet 1Feldquelle

Magnet 2

z 2o

z 2u

z 2

R2

R1z 1

z 1u

z 1o

Abbildung 4.6: Die Kraft zwischen zwei Zylindermantelflachen

Bei der Kraft auf die Zylindermantelflache, d.h. beim Flachenleiter im rotationssymme-

trischen Modell, kann man analog zum Ubergang vom Linienleiter zum Flachenleiter im

ebenen Fall verfahren. Wir tauschen im Lorentzgesetz in Gleichung 4.14 den Strom I ge-

gen einen Flachenstrom K aus. Aus der Kraft pro Lange F wird dann eine mechanische

Spannung σ. Das Lorentzgesetz fur den Flachenleiter im rotationssymmetrischen Modell

lautet:

σ =

σρ

σϕ

σz

=

KϕBz − KzBϕ

KzBρ − KρBz

KρBϕ − KϕBρ

(4.18)

Aufgrund der Rotationssymmetrie hat der Flachenstrom nur eine Umfangskomponente Kϕ.

σρ

σϕ

σz

=

KϕBz

0−KϕBρ

(4.19)


Es ergeben sich folglich radiale Spannungen σρ und axiale Spannungen σz. Die radialen

Spannungen sind die Grundlage zur Berechnung der Radialsteifigkeit. Die Radialkraft ist

aber im rotationssymmetrischen Fall null, es kann lediglich in axialer Richtung eine Kraft

auftreten. Fur die Axialkraft ist ein Flachenintegral uber die gesamte Mantelflache 2 zu

berechnen. Die Integration in Umfangsrichtung ist wieder sehr einfach:

Fz =

z2o∫

z2u

2π∫

0

σz(R2, ϕz, z)R2dϕzdz =

z2o∫

z2u

σz(R2, z)2πR2dz (4.20)

Fur die Integralgrenzen gilt auch hier wieder:

z2o = z2 + h2 und z2u = z2 − h2 (4.21)

Setzen wir fur die Axialspannungen σz den Ausdruck aus Gleichung 4.19 ein, so muss jetzt

noch die Radialkomponente der Flussdichte uber die Magnethohe integriert werden:

Fz = −2πR2 · Kϕ

z2o∫

z2u

Bρ(R2, z)dz = 2πR2 · Kϕ

z2o∫

z2u

∂Aϕ

∂zdz = 2πR2 · KϕAϕ(R2, z)

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(4.22)

Die Axialkraft eines zylinderformigen Magneten im rotationssymmetrischen Fall lautet:

Fz(R2, z2) = 2πR2 · Kϕ [Aϕ(R2, z2o) − Aϕ(R2, z2u)] (4.23)

Fur die Axialkraft ergibt sich somit in Analogie zum ebenen Flachenleiter eine Abhangig-

keit vom Vektorpotential Aϕ, genauer gesagt ist die Differenz des Vektorpotentials zwischen

der Ober- und Unterkante des Magneten von Bedeutung.

4.4 Die analytische Berechnung der Momente

Neben den Kraften konnen fur das ebene Modell auch Momente berechnet werden. Dagegen

sind bei einer rotationssymmetrischen Anordnung alle Momente aufgrund der Symmetrie

immer null. Man kann aber in allen Modellen lokale Momente betrachten. Unter einem

lokalen Moment ist das Moment eines kleinen Flachen- bzw. Liniensegmentes zu verste-

hen. Das lokale Moment dient als Grundlage zur Herleitung der Kippsteifigkeiten. Deshalb

werden hier (mit Ausnahme des Linienleiters) nur Ausdrucke fur die jeweiligen lokalen

Momente hergeleitet.

4.4.1 Das Moment im ebenen Magnetfeld

Bei dem ebenen oder zweidimensionalen Modell ist das Moment, analog zur Kraft, eine

langenbezogene Große, d.h. wir haben ein Moment pro Lange: M.


z2

x2

ϕy

z

x

y

Leiter 1

Leiter 2

Abbildung 4.7: Berechnung des Kippmoments eines Linienleiters

Das Moment am Linienleiter

Das langenbezogene axiale Moment an einem Linienleiter, das in Abbildung 4.7 auf den

Leiter 2 wirkt, ist folgendermaßen definiert:

My(x2, z2) = z2Fx(x2, z2) − x2Fz(x2, z2) (4.24)

Als Bezugspunkt fur das Moment ist hier und auch in den folgenden Modellen der Koor-

dinatenursprung gewahlt worden. Die Krafte konnen nach Gleichung 4.6 auf den Strom

und das außere Feld zuruckgefuhrt werden. Es ergibt sich somit fur das Moment an einem

Linienleiter:

My(x2, z2) = Iy · [z2Bz(x2, z2) + x2Bx(x2, z2)] (4.25)

Das Moment am Flachenleiter

Betrachten wir ein kleines Flachenelement dA eines ebenen Flachenleiters. Der Mittelpunkt

des Flachenleiters liegt bei x2, z2, wahrend das Flachenelement sich an der Position x2, z

befindet. Das Kreuzprodukt aus dem Hebelarm (welcher der Position des Flachenelementes

entspricht) und den mechanischen Spannungen ergibt ein Moment pro Flachenelement.

Dieser Ausdruck wird als lokales Moment bezeichnet:

my(x2, z) = zσx − x2σz (4.26)

Ersetzt man die mechanischen Spannungen durch den Flachenstrom und die Flussdichte,

so ergibt sich lokal:

my(x2, z) = Ky · (zBz + x2Bx) (4.27)


x1

z1

z2

x2

x2 ,z)(

y

x

Flächenleiter 1

z

Hebelarm

mechanische Spannung

Flächenleiter 2

z

σ

Flächenelement dA

Abbildung 4.8: Kippmoment eines Flachenleiters

Um daraus ein Moment pro Lange zu erhalten, ist noch die Integration uber die Leiterhohe

notwendig.

My(x2, z2) = Ky

z2o∫

z2u

(zBz + x2Bx)dz (4.28)

Das soll hier aber nicht durchgefuhrt werden, da uns ausschließlich das lokale Moment

interessiert. Dieses benotigen wir in Kapitel 5 als Grundlage zur Herleitung der Kippstei-

figkeit. Ein Sonderfall ist jedoch, wenn das Magnetfeld keine Bz -Komponente an der Stelle

des betrachteten Flachenleiters hat. Dann lasst sich Gleichung 4.28 sehr leicht integrieren:

My(x2, z2) = Kyx2

z2o∫

z2u

Bxdz = −Kyx2 · [Ay(x2, z2u) − Ay(x2, z2o)] (4.29)

Dieser Fall tritt zum Beispiel bei zwei Flachenleitern ein, die genau ubereinander stehen,

d.h. x1 = x2.

4.4.2 Die lokalen Momente im rotationssymmetrischen Magnet-feld

Das Moment einer rotationssymmetrischen Anordnung ist aufgrund der Symmetrie immer

null. Jedoch interessieren uns mit Blick auf die Kippsteifigkeit nur die lokalen Verhaltnisse.

Deshalb werden hier Ausdrucke fur das Moment eines kleinen Ringsegmentes und fur das

Moment eines kleinen Flachenleiterabschnitts hergeleitet.


Das Kippmoment des Ringleiters

Wir verkippen im Bild 4.9 den unteren Ring um den Winkel ϕy. Als Drehpunkt ist da-

bei der Koordinatenursprung gewahlt worden. Durch die Verdrehung entsteht ein Mo-

ment My, wahrend in der Ausgangslage (ϕy = 0) das Moment null war. Die Gleichung fur

das Moment des gesamten Ringes bei beliebigem Kippwinkel durfte ein sehr komplizier-

ter Ausdruck werden. Deshalb wird hier nur das Kippmoment eines Ringsegmentes dr fur

beliebige Kippwinkel ϕy entwickelt. Das Moment eines Ringsegmentes (Moment/Lange)

z

ρϕy

y ρ

z

Ring 2

Ring 1

dr − Ringleitersegment

raumfestes System

körperfestes System

Abbildung 4.9: Koordinaten beim Verkippen des Ringleiters

lautet zunachst in kartesischen Koordinaten:

My(x, z) = zFx − xFz (4.30)

Die Krafte pro Lange lassen sich wieder durch Strom und Magnetflussdichte ausdrucken:

Fx = IyBz − IzBy (4.31)

Fz = IxBy − IyBx (4.32)

Fur das Moment/Lange kann man also in Abhangigkeit von den Feldgroßen schreiben:

My(x, z) = z [IyBz − IzBy] − x [IxBy − IyBx] (4.33)

Der Strom und das Feld liegen aber in Zylinderkoordinaten vor, deshalb mussen wir sie

transformieren. Das heißt, wir ersetzen in Gleichung 4.33 die kartesischen Ausdrucke durch

Ausdrucke in Zylinderkoordinaten. Die Magnetflussdichte ist leicht zu transformieren:

Bx = Bρ cos ϕz

By = Bρ sin ϕz (4.34)

Bz = Bz


Der Strom hat aber durch die Verdrehung Komponenten in allen drei Raumrichtungen. Wir

fuhren daher ein weiteres Koordinatensystem ein, das bei der Verdrehung um den Winkel ϕy

mitgedreht wird. Es handelt sich dann bezogen auf den verkippten Ring um ein korperfestes

System, wahrend wir das erstere Koordinatensystem als ein raumfestes System bezeichnen

wollen. Alle Angaben, die sich auf das korperfeste System beziehen, erhalten einen Anstrich.

Das heißt zum Beispiel, dass der Vektor x′ = (x′ y′ z′)T einen Punkt in korperfesten

Koordinaten beschreibt, wahrend der Vektor x = (x y z)T sich auf das schon benutzte

raumfeste System bezieht. In korperfesten Koordinaten liegt der Ring an der Stelle ρ′ =

R′

2 sowie z′ = z′2, und der Strom besitzt wieder nur eine Umfangskomponente: I ′

ϕ. Die

Transformation des Stromes zwischen Zylinderkoordinaten und kartesischen Koordinaten

lautet im korperfesten System:

I ′

x = −I ′

ϕ · sin ϕz

I ′

y = I ′

ϕ · cos ϕz (4.35)

Iz = 0

Wenn wir diesen Ausdruck nun in das raumfeste System transformieren (Drehung um den

Winkel ϕy), erhalten wir:

Ix = −I ′

ϕ · sin ϕz cos ϕy

Iy = I ′

ϕ · cos ϕz (4.36)

Iz = I ′

ϕ · sin ϕz · sin ϕy

In analoger Weise verlauft die Transformation der Position eines Ringsegmentes, die gleich-

zeitig dem Hebelarm entspricht:

x′ = R′

2 cos ϕz

y′ = R′

2 sin ϕz (4.37)

z′ = z′2

Die Transformation in das raumfeste System (Drehung um den Winkel ϕy) fuhrt zu:

x = x′ cos ϕy + z′ sin ϕy

y = y′

z = −x′ sin ϕy + z′ cos ϕy

= R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy

= R′

2 sin ϕz (4.38)

= −R′

2 cos ϕz sin ϕy + z′2 cos ϕy

Wenn wir Strom, Flussdichte und Position in Gleichung 4.33 einsetzen, dann ergibt sich:

My(x, z) = (−R′

2 cos ϕz sin ϕy + z′2 cos ϕy)[

I ′

ϕ cos ϕz · Bz

]

−(−R′

2 cos ϕz sin ϕy + z′2 cos ϕy)[

I ′

ϕ sin ϕz sin ϕy · Bρ sin ϕz

]

(4.39)

− (R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy)[

−I ′

ϕ sin ϕz cos ϕy · Bρ sin ϕz

]

+ (R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy)[

I ′

ϕ cos ϕz · Bρ cos ϕz

]


Dieser Ausdruck lasst sich vereinfachen, und wir erhalten das Moment bzw. den Momen-

tenbeitrag eines Ringleitersegments.

My(x, z) = −I ′

ϕBz

(

R′

2 cos2 ϕz sin ϕy − z′2 cos ϕz cos ϕy

)

+I ′

ϕBρ

(

R′

2 sin2 ϕz cos ϕz + R′

2 cos3 ϕz cos ϕy + z′2 cos2 ϕz sin ϕy

)

(4.40)

Das Kippmoment des Zylinders

z

ρϕy

körperfestes System

Magnet 1

(Feldquelle)

z

ρ

Flächenelement dA

mit lokalem Moment m y

raumfestes System

Magnet 2

R1

R2

Abbildung 4.10: Das lokale Kippmoment auf der Zylindermantelflache

Um aus der Gleichung fur den Ringleiter (4.40) eine Gleichung fur den Flachenleiter zu

gewinnen, verwenden wir den schon benutzten Kunstgriff, dass wir den Strom Iϕ durch

den Flachenstrom Kϕ ersetzen. So erhalten wir ohne lange Herleitung eine Gleichung fur

das lokale Moment (Moment/Flache) my an einer Zylindermantelflache:

my(x, z) = −K ′

ϕBz

(

R′


)

(4.41)

+K ′

ϕBρ

(

R′



)

Die Gleichungen fur den Ringleiter und den Zylinder sind jetzt so geformt, dass die

Abhangigkeit vom Kippwinkel ϕy ersichtlich wird. Diese Ausdrucke lassen sich nach dem

Kippwinkel ableiten, sodass man eine lokale Kippsteifigkeit erhalt. Die Integration der

lokalen Große uber die Mantelflache, bzw. uber den Ringumfang, liefert dann die Kipp-

steifigkeit. Fur beliebige Kippwinkel durfte ein hochst komplizierter Ausdruck entstehen,

deshalb beschranken wir uns auf den unverkippten Zustand (Kippwinkel ϕy = 0). Diese

Herleitung der Kippsteifigkeit aus dem lokalen Moment findet sich im Kapitel 5.

Kapitel 5

Die analytische Berechnung derSteifigkeiten

Aus den im vorhergehenden Kapitel gewonnenen Gleichungen zu den Kraften und Momen-

ten werden nun die Steifigkeiten abgeleitet. Dazu stellen wir zunachst Uberlegungen an,

welche Steifigkeitszahlen fur ein rotationssymmetrisches Modell uberhaupt von Bedeutung

sind. Dann werden die Steifigkeiten fur alle Modelle hergeleitet. Dabei wird die Gultigkeit

des Earnshaw-Theorems nachgewiesen und es werden einige Besonderheiten der Kipp- und

Koppelsteifigkeit diskutiert.

5.1 Besetzung der Steifigkeitsmatrix

zϕ yϕ

xϕ

y

x

z

Abbildung 5.1: Magnetlageranordnung

Betrachten wir den Rotor, der in einem Magnetlager schwebt, als einen starren Korper

mit sechs Freiheitsgraden (drei Translationen, drei Rotationen), so wirken durch das Ma-

gnetfeld im allgemeinen Fall drei Krafte und drei Momente, die jeweils eine Funktion der

Rotorposition x sind:

50 Kapitel 5: Die analytische Berechnung der Steifigkeiten

F (x) =

Fx

Fy

Fz

Mx

My

Mz

mit x =

xyzϕx

ϕy

ϕz

(5.1)

Die geschwindigkeitsabhangigen Krafte (Dampfung) sind zwischen Permanentmagneten

vernachlassigbar klein. Nimmt man kleine Verschiebungen ∆x an, so lassen sich die Krafte

F(x) in einer Taylorreihe darstellen, die um den Betriebspunkt x0 des Lagers entwickelt

wird:

F (x) = F0 +∂F0

∂x∆x + . . . (5.2)

F0 ist der Kraftvektor in der ungestorten Ruhelage x0. In dieser Ruhelage kann aufgrund

der Rotationssymmetrie maximal eine Kraft in axialer Richtung auftreten:

F0T =

(

0 0 Fz 0 0 0)

(5.3)

Das nachste Glied der Taylorreihe stellt die Steifigkeit dar.

SPM = −∂F0

∂x(5.4)

Diese Ableitung der 6 Krafte nach den 6 Verschiebungen ergibt eine 6 x 6 Matrix:

SPM =

s11 s12 s13 s14 s15 s16

s21 s22 s23 s24 s25 s26

s31 s32 s33 s34 s35 s36

s41 s42 s43 s44 s45 s46

s51 s52 s53 s54 s55 s56

s61 s62 s63 s64 s65 s66

(5.5)

Der Index”PM“ soll andeuten, dass mit dieser Matrix nur die Steifigkeiten von Perma-

nentmagneten betrachtet werden.

Uber die Besetzung der Steifigkeitsmatrix SPM lassen sich im Voraus einige Aussagen ma-

chen. Aufgrund geometrischer Symmetrien mussen einige Terme der Matrix zu null werden.

Die Anzahl der zu betrachtenden Steifigkeitszahlen wird damit erheblich eingeschrankt.

Zunachst muss die Matrix symmetrisch besetzt sein, da die Magnetkrafte konservativ sind:

sij = sji (5.6)

Weiterhin fuhren die geometrischen Symmetrien zu folgenden Vereinfachungen:

1. Eine Rotation ∆ϕz hat keinen Einfluss auf andere Freiheitsgrade. Das heißt, die 6.

Zeile und die 6. Spalte in Gl. 5.5 ist null.

Kapitel 5: Die analytische Berechnung der Steifigkeiten 51

2. Bei einer Verschiebung ∆z in axialer Richtung kann sich aufgrund der Rotationssym-

metrie nur die Axialkraft andern. Die Radialkrafte und die Kippmomente bleiben

unverandert null. Das heißt, die 3.Zeile/3.Spalte in Gl. 5.5 ist null, außer s33.

3. Bei einer Verschiebung in radialer Richtung (Abb. 5.2) entsteht keine Kraft quer zur

Bewegungsrichtung und kein Moment in Bewegungsrichtung. In Abb. 5.2 ist eine

y

x

∆ x

z

Abbildung 5.2: Verschiebung in Richtung der x-Achse

Verschiebung in Richtung der x-Achse dargestellt. Dabei sind die Kraft Fy sowie das

Moment Mx gleich null, d.h. s21 = s41 = 0. Analog gilt diese Uberlegung fur eine

Verschiebung aus der zentrischen Position in y-Richtung.

ϕx

z

x

y

Abbildung 5.3: Drehung um die x -Achse

4. Bei einer Drehung um eine Querachse entsteht kein Moment in Richtung der anderen

Querachse, außerdem bleibt die Kraft in Richtung der Drehachse unverandert null.

In Abb. 5.3 ist eine Drehung um die x-Achse dargestellt, davon werden My und Fx

nicht beeinflusst, d.h. s54 = s14 = 0.


Diese Uberlegungen zusammengenommen ergeben nur neun von null verschiedene Terme,

die aber aufgrund der Rotationssymmetrie und des symmetrischen Aufbaus der Matrix mit

nur vier eigenstandigen Komponenten besetzt sind.

SPM =

sr 0 0 0 sϕr 00 sr 0 −sϕr 0 00 0 sax 0 0 00 −sϕr 0 sϕϕ 0 0

sϕr 0 0 0 sϕϕ 00 0 0 0 0 0

(5.7)

Das sind im Einzelnen:

Axialsteifigkeit: sax = −∂Fz

∂z(5.8)

Radialsteifigkeit: sr = −∂Fx

∂x= −∂Fy

∂y(5.9)

Kippsteifigkeit: sϕϕ = −∂My

∂ϕy

= −∂Mx

∂ϕx

(5.10)

Koppelsteifigkeit: sϕr = −∂Fx

∂ϕy

= −∂My

∂x=

∂Fy

∂ϕx

=∂Mx

∂y(5.11)

Es ist anzumerken, dass die Steifigkeitsmatrix nur fur rotationssymmetrische Modelle gilt.

Bei ebenen Magnetfeldern erhalten wir eine (im Allgemeinen voll besetzte) 3 x 3 Matrix.

5.2 Das Earnshaw-Theorem

Bei den Steifigkeitszahlen 5.8 . . . 5.11 gibt es zwischen den beiden translatorischen Steifig-

keiten einen direkten Zusammenhang, es gilt:

2 · sr + sax = 0 (5.12)

Das ist das Earnshaw-Theorem fur ein rotationssymmetrisches System. Earnshaw hat sich

in seiner Arbeit [15] aus dem Jahr 1848 zwar nicht mit Permanentmagneten beschaftigt,

er stellte aber einige grundsatzliche Uberlegungen an, die unter anderem auch fur die

Magnetostatik gultig sind. Der Gegenstand der damaligen Diskussion war das Wesen der

Molekularkrafte, die fur die Eigenschaften des Athers verantwortlich sind. Dazu betrachte-

te Earnshaw Teilchen, deren Krafte mit dem Quadrat der Entfernung abnehmen und kam

zu dem Schluss, dass es auf Grundlage solcher Krafte keine statisch stabilen Anordnungen

geben kann. Die drei translatorischen Steifigkeiten der Teilchen sind derart miteinander

verkoppelt, dass die Summe immer null ergibt (hier noch einmal in kartesischen Koordi-

naten):

sxx + syy + szz = 0 (5.13)


Damit existiert neben mindestens einer positiven Steifigkeit auch immer mindestens eine

negative Steifigkeit und folglich immer eine instabile Raumrichtung. Diese Aussage lasst

sich zuruckfuhren auf die Laplacegleichung, wonach fur ein Potential U , das umgekehrt

proportional mit der Entfernung abnimmt

U ∼ 1/|r| (5.14)

gilt, dass die Summe der zweiten Ableitungen in ladungsfreien Gebieten null ergibt:

∆U = 0 (5.15)

Da die Magnetfelder aus einem Potential abgeleitet werden konnen (siehe Abschnitt 2.3),

gilt das Earnshaw Theorem auch fur die Permanentmagnete. Das heißt weiter, dass es nicht

moglich ist, allein mit Permanentmagneten eine statisch stabile Lagerung zu realisieren.

Braunbek [53] hat diese Aussagen spater noch einmal fur magnetisierbare Korper dahin-

gehend verscharft, dass die Summe in Gleichung 5.13 nur bei einer relativen Permeabilitat

von µr = 1 gleich null ist, wahrend bei einer relativen Permeabilitat von µr > 1 die Summe

sogar kleiner null wird:

sxx + syy + szz ≤ 0 (5.16)

Lediglich bei diamagnetischen Materialien (µr < 1) besteht die Moglichkeit, dass alle

Steifigkeiten positive Werte annehmen konnen [54]. Jedoch sind die erzielbaren Steifigkeiten

sehr klein und damit technisch uninteressant.

Earnshaw hat in seinen Uberlegungen Teilchen (Particle) mit nur 3 Freiheitsgraden be-

trachtet, wir wollen hier zeigen, dass dieses Theorem auch fur Korper (Ringmagnete) mit

sechs Freiheitsgraden seine Gultigkeit besitzt. Deshalb werden im nachsten Abschnitt bei

allen Modellen immer sowohl die radiale Steifigkeit als auch die axiale Steifigkeit separat

hergeleitet.

5.3 Die Herleitung der translatorischen Steifigkeiten

Wir leiten die translatorischen Steifigkeiten fur alle vier Modelle her, d.h. fur den Linien-

leiter und den Flachenleiter im ebenen Modell sowie im rotationssymmetrischen Modell

fur den Ringleiter und die Zylindermantelflache. Es werden jeweils die Axialsteifigkeit und

die Radialsteifigkeit herleitet, um die Gultigkeit des Earnshaw-Theorem’s nachzuweisen.

Im ebenen Fall konnen naturlich nur zwei translatorische Steifigkeiten auftreten.

Der Linienleiter

Die beiden translatorischen Steifigkeiten eines Linienleiters lassen sich leicht aus der Ab-

leitung der Krafte gewinnen:


sxx

l= sxx = −∂Fx

∂x= −Iy ·

∂Bz

∂x(5.17)

szz

l= szz = −∂Fz

∂z= Iy ·

∂Bx

∂z(5.18)

Der Punkt uber der Steifigkeit kennzeichnet, analog zu den Kraften, eine Steifigkeit pro

Langeneinheit. In Kapitel 2 hatten wir schon festgestellt, dass beide Feldableitungen gleich

sind, d.h. ∂Bx/∂z = ∂Bz/∂x. Das hat hier zur Folge, dass sich beide Steifigkeiten nur um

ein Vorzeichen unterscheiden. Damit haben wir also schon das Earnshaw-Theorem in der

Fassung fur die Linienleiter nachgewiesen.

Der Flachenleiter

Wenden wir uns jetzt den Flachenleitern zu, die beiden Krafte lauten:

Fx = −Ky · µ0 [Φ(x2, z2o) − Φ(x2, z2u)] (5.19)

Fz = Ky · [Ay(x2, z2o) − Ay(x2, z2u)] (5.20)

Die Ableitung in der x-Richtung liefert:

sxx = −∂Fx

∂x= Ky · µ0

∂Φ

∂x

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

= −Ky · Bx

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.21)

sxx(x2, z2) = −Ky · [Bx(x2, z2o) − Bx(x2, z2u)] (5.22)

Die Ableitung in der z-Richtung liefert das gleiche Ergebnis, nur mit entgegengesetztem

Vorzeichen:

szz = −∂Fz

∂z= −Ky ·

∂Ay

∂z

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

= Ky · Bx

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.23)

szz(x2, z2) = Ky · [Bx(x2, z2o) − Bx(x2, z2u)] (5.24)

Der Vergleich mit Gleichung 5.22 bestatigt das Earnshaw-Theorem fur den Flachenleiter.

Der Ringleiter

Etwas aufwendiger ist die Herleitung der Radialsteifigkeit im rotationssymmetrischen Sys-

tem. In der Gleichung 4.16 hatten wir einen Ausdruck fur die Radialkraft bestimmt:

Fρ = Iϕ · Bz → Fρ =

2π∫

0

(Iϕ · Bz)R2dϕz (5.25)


Aus dieser Radialkraft kann man zunachst Krafte in x- und y-Richtung gewinnen. Betrach-

ten wir beispielsweise die x-Richtung:

Fx = IϕBz · cos ϕz → Fx = Iϕ

2π∫

0

Bz cos ϕzR2dϕz (5.26)

Befindet sich der Ringleiter nun in einer rotationssymmetrischen Position, so ist die axiale

Magnetfeldkomponente entlang des Ringumfanges konstant Bz = Bz0 und keine Funktion

des Winkels ϕz. Das Integral in Gleichung 5.26 ergibt erwartungsgemaß null. Anders sieht es

bei einer kleinen Verschiebung ∆x des Ringes aus. Betrachten wir zuerst die Koordinaten

des verschobenen Ringes. In Zylinderkoordinaten ergibt sich bei kleinen Verschiebungen

ϕz

x∆

R2

x

y (ρϕ z

)

Abbildung 5.4: Verschiebung in Richtung der x-Achse

∆x eine Radialkomponente, die mit dem Kosinus des Winkels ϕz variiert:

ρ(ϕz) = R2 + ∆ρ(ϕz) = R2 + ∆x cos ϕz (5.27)

Der verschobene Ringleiter”sieht“ dann uber den Umfang ein veranderliches Feld. Dieses

Feld lasst sich zerlegen in den konstanten Anteil Bz0 und einen veranderlichen Anteil ∆Bz,

uber dessen Verlauf aber zunachst nichts bekannt ist.

Bz(ϕz) = Bz0 + ∆Bz(ϕz) (5.28)

Der veranderliche Feldanteil lasst sich leicht beschreiben, wenn wir nur Feldanderungen

erster Ordnung betrachten, was bei kleinen Verschiebungen ∆x hinreichend ist:

∆Bz(ϕz) =∂Bz

∂ρ· ∆ρ(ϕz) (5.29)

Der veranderliche Feldanteil ∆Bz ist abhangig von der Radialableitung des Feldes dBz/dρ

(Anstieg der Kurve in Abbildung 5.5) und der radialen Auslenkung ∆ρ. Die Radialablei-

tung ist konstant innerhalb kleiner Verschiebungen ∆x und die radiale Auslenkung ∆ρ(ϕz)

ersetzen wir durch Gleichung 5.27. Fur die Feldanderung entlang des Umfanges konnen wir

daher schreiben:

∆Bz(ϕz) =∂Bz

∂ρ∆x cos ϕz (5.30)


−∆x

Bz

∆ Bz

+∆x

R2

ρ

Abbildung 5.5: Approximation des Feldes am Radius R2 durch die Feldanderung 1. Ord-nung

Das Feld entlang des verschobenen Ringes hat mit diesen Annahmen einen Verlauf, der

proportional mit der Verschiebung (cosϕz) schwankt. Das setzen wir in Gleichung 5.26 ein:

B z

ϕz

∆ BzB z0

π/2 π 3π/2 2π

Abbildung 5.6: Feldverlauf entlang des Ringes bei kleiner Verschiebung ∆x

Fx = Iϕ

2π∫

0

(Bz0 + ∆Bz) cos ϕzR2dϕz (5.31)

Fx = Iϕ

2π∫

0

(

Bz0 +∂Bz

∂ρ∆x cos ϕz

)

cos ϕzR2dϕz (5.32)

Das Integral uber das Grundfeld Bz0 konnen wir weglassen, da es null ergibt. Somit erhalten

wir fur die Kraftanderung bei kleinen Verschiebungen den folgenden Ausdruck:

∆Fx = Iϕ

2π∫

0

∂Bz

∂ρ∆x cos2 ϕzR2dϕz (5.33)

∆Fx = Iϕ

∂Bz

∂ρ∆xπR2 (5.34)


Wenn wir jetzt noch den Grenzubergang ∆F → ∂F und ∆x → ∂x durchfuhren, so ergibt

sich fur die Radialsteifigkeit :

sr = −∂Fx

∂x= −IϕπR2

∂Bz

∂ρ(5.35)

In Gleichung 3.25 wurde gezeigt, dass der Ausdruck ∂Bz/∂ρ durch ∂Bρ/∂z ersetzt werden

kann, die Radialsteifigkeit lautet dann folgendermaßen:

sr = −IϕπR2∂Bρ

∂z(5.36)

Die Axialsteifigkeit lasst sich relativ einfach aus der Axialkraft ableiten. Die Axialkraft

lautet:

Fz(R2, z2) = −2πR2Iϕ · Bρ(R2, z2) (5.37)

Die Ableitung nach der z-Richtung liefert die Axialsteifigkeit:

sax = −∂Fz

∂z= 2πR2Iϕ · ∂Bρ

∂z(5.38)

Vergleichen wir jetzt die Radialsteifigkeit mit der Axialsteifigkeit, so sehen wir eine Bestati-

gung des Earnshaw-Theorems:

sax = −2 · sr (5.39)

2πR2Iϕ · ∂Bρ

∂z= −2 ·

{

−IϕπR2∂Bρ

∂z

}

(5.40)

Die Zylindermantelflache

Die Steifigkeiten fur den Zylinder werden in analoger Weise bestimmt. Wir konnen die

Uberlegungen vom Ringleiter bezuglich des Feldverlaufes hier ubernehmen. Nur gilt das

jetzt nicht fur ein Ringsegment, sondern fur ein Flachensegment und es muss deshalb ein

Flachenintegral ausgewertet werden. Fur die Kraftanderung ∆Fx gilt hier:

∆Fx = Kϕ

z2o∫

z2u

2π∫

0

∂Bz

∂ρ∆x cos2 ϕzR2dϕzdz = Kϕ∆xπR2

z2o∫

z2u

∂Bz

∂ρdz (5.41)

= Kϕ∆xπR2

z2o∫

z2u

∂Bρ

∂zdz = Kϕ∆xπR2 Bρ

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.42)

∆Fx

∆x= KϕπR2 Bρ

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.43)

Mit den Grenzubergangen ∆F → ∂F sowie ∆x → ∂x und unter Beachtung der Defini-

tionsgleichung der Steifigkeit (sr = −∂Fx/∂x), erhalten wir fur die Radialsteifigkeit eines

Zylinders:

sr(R2, z2) = −πR2Kϕ [Bρ (R2, z2o) − Bρ (R2, z2u)] (5.44)


Die Axialsteifigkeit lasst sich dagegen wieder leicht aus der Axialkraft ableiten:

Fz = 2πR2 · Kϕ [Aϕ(R2, z2o) − Aϕ(R2, z2u)] (5.45)

sax(R2, z2) = −∂Fz

∂z= −2πR2Kϕ

∂Aϕ(R2, z)

∂z

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

= 2πR2KϕBρ(R2, z)

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.46)

sax(R2, z2) = 2πR2Kϕ [Bρ (R2, z2o) − Bρ (R2, z2u)] (5.47)

Der Vergleich der Axialsteifigkeit mit der Radialsteifigkeit (5.44 und 5.47) liefert auch fur

die Zylindermantelflachen eine Bestatigung des Earnshaw-Theorems.

5.4 Die Kippsteifigkeit

Wird der Rotor um eine Querachse verdreht, so treten dabei Momente auf, die je nach

Vorzeichen eine stabilisierende oder eine destabilisierende Wirkung haben. Die Stabilitat

dieser Verdrehung wird durch die Kippsteifigkeit beschrieben.

sϕϕ = −∂My

∂ϕy

(5.48)

Bei der Kippsteifigkeit ist immer - wie auch bei einem Drehmoment - der Drehpunkt

mit anzugeben. Die hier vorzustellenden Gleichungen benutzen als Bezugspunkt bzw. als

Drehpunkt immer den Ursprung des Koordinatensystems. Ublicherweise werden hier, wie

Schwerpunkt

Magnet 1

Magnet 2

Abbildung 5.7: Bezugspunkt der Kippsteifigkeit ist der Schwerpunkt des Magneten 2

im folgenden Kapitel 6, die Steifigkeiten zwischen zwei Magneten betrachtet. Der Koordi-

natenursprung wird dann, wenn nicht anders angegeben, in den Schwerpunkt des unteren

Magneten (Magnet 2) gelegt. Die Abhangigkeit von Bezugspunkt (Hebelarm) deutet an,

dass die Kippinstabilitat kein grundsatzliches Problem ist, wie es die Instabilitat der trans-

latorischen Steifigkeiten darstellt. Es ist sogar bei entsprechendem Abstand moglich, dass

sich zwei kippinstabile Lager gegenseitig stabilisieren. Die Umrechnung der Kippsteifigkeit

auf andere Bezugspunkte wird im Abschnitt 5.6 vorgestellt. Hier folgt fur alle vier Modelle

die Herleitung der Kippsteifigkeitsgleichungen.


Der Linienleiter

Der Ausgangspunkt ist das Moment pro Lange:

My(x2, z2) = Iy · [z2Bz(x2, z2) + x2Bx(x2, z2)] (5.49)

Die Ableitung dieses Ausdrucks nach dem Kippwinkel ϕy ist im Anhang G durchgefuhrt.

Dazu ist mit zwei Koordinatensystemen zu operieren: ein raumfestes System und ein

korperfestes System. Bei der weiteren Betrachtung der Ableitung beschranken wir uns

aber auf den Fall, dass beide Koordinatensysteme zusammenfallen, d.h. ϕy = 0. Dadurch

reduzieren sich die ohnehin schon umfangreichen Ausdrucke. Wir erhalten fur die Kipp-

steifigkeit eines Linienleiters:

sϕϕ(x2, z2) = Iy

{

−z2Bx + x2Bz + 2x2z2∂Bz

∂z+ (x2

2 − z22)

∂Bx

∂z

}

(5.50)

Flachenleiter

Fur die lokale Kippsteifigkeit, d.h. fur die Kippsteifigkeit eines Flachenelementes kann man

die Kippsteifigkeit des Linienleiters ubernehmen, die lokale Kippsteifigkeit lautet also:

sϕϕ(x2, z2) = Ky

{

−zBx + x2Bz + 2x2z∂Bz

∂z+ (x2

2 − z2)∂Bx

∂z

}

(5.51)

Diese lokale Kippsteifigkeit muss uber die Leiterhohe integriert werden, um die Kippstei-

figkeit des gesamten Flachenleiters zu erhalten. Das ist ebenfalls im Anhang G zu finden.

Man erhalt die Kippsteifigkeit eines Flachenleiters (Kippsteifigkeit pro Lange):

sϕϕ(x2, z2) = Ky

[

−zAy + Λ + x2µ0Φ + 2x2zBz + (x22 − z2)Bx

]

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.52)

Der Ringleiter

Die Kippsteifigkeit eines Ringleiters wird aus der Ableitung des Momentes eines Ringseg-

mentes (Gl. 4.40) gewonnen. Das ist im Anhang H gezeigt. Wir erhalten die Kippsteifigkeit

eines Ringsegmentes. Durch die Beschrankung auf den unverkippten Zustand, d.h. ϕy = 0,

ist auch die Integration uber den Ringumfang moglich. Die Kippsteifigkeit des gesamten

Ringleiters lautet dann:

sϕϕ(R2, z2) = IϕπR2

{

R2Bz + 2R2z2∂Bz

∂z+ (R2

2 − z22)

∂Bρ

∂z

}

(5.53)

Zylindermantelflache

Fur die Kippsteifigkeit eines Zylinders wird als Ausgangspunkt die Kippsteifigkeit des

Ringleiters benutzt. Sie entspricht hier der Kippsteifigkeit eines sehr schmalen Zylinders

mit der Hohe dz.

sϕϕ(R2, z) = KϕπR2

{

R2Bz + 2R2z∂Bz

∂z+ (R2

2 − z2)∂Bρ

∂z

}

(5.54)


Wenn dieser Ausdruck uber die gesamte Hohe des Zylinders integriert wird, ergibt sich die

Kippsteifigkeit des Zylinders:

sϕϕ(R2, z2) = KϕπR2

{

−2zAϕ + 2Λ + R2µ0Φ + 2R2zBz + (R22 − z2)Bρ

}

∣

∣

∣

∣

z=z2o

z=z2u

(5.55)

Die Integration ist im Anhang H durchgefuhrt.

5.4.1 Diskussion der Kippsteifigkeit

Bei der Kippsteifigkeit ist in allen vier Modellen zu erkennen, dass in den Gleichungen Feld-

großen enthalten sind, die auch in den Kraft- und Axialsteifigkeitsgleichungen vorkommen.

Betrachten wir zum Beispiel die Kippsteifigkeit des Linienleiters:

sϕϕ(x2, z2) = Iy

{


∂z+ (x2

2 − z22)

∂Bx

∂z

}

(5.56)

Diese Gleichung lasst sich in folgende schon bekannte Ausdrucke zerlegen:

sϕϕ(x2, z2) = −z2Fz + x2Fx + Iy2x2z2∂Bz

∂z+ (x2

2 − z22)szz (5.57)

Es ist also moglich, die Kippsteifigkeit zumindest partiell auf schon bekannte Großen

zuruckzufuhren. Wenn man noch eine weitere Steifigkeit einfuhrt, wird die Kippsteifigkeit

sogar komplett durch andere Steifigkeiten und Krafte ersetzt:

sxz(x2, z2) = −∂Fx

∂z= −Iy

∂Bz

∂z(5.58)

Gleiche Uberlegungen lassen sich auch fur die Koppelsteifigkeit anstellen. Es erscheint

sinnvoll, nach einem geeigneten Basissystem zu suchen, auf das sich alle Steifigkeitster-

me zuruckfuhren lassen. Das Ergebnis konnte man als Erweitertes Earnshaw Theorem

bezeichnen, das die vorhandenen Abhangigkeiten deutlicher herausstellt. Jedoch ist die

Ruckfuhrung der Kippsteifigkeit auf schon bekannte Ausdrucke beim ebenen Flachenleiter

und beim Zylindermodell deutlich schwieriger, sodass wir uns hier auf diese Ideenskizze

beschranken mussen.

Es war in der Berechnungspraxis schon immer ublich, die Kippsteifigkeit mangels direkter

Bestimmungsmoglichkeiten aus der Axialsteifigkeit zu gewinnen (siehe [2, 55]). In allen hier

vorgestellten Kippsteifigkeitsgleichungen ist ersichtlich, dass der jeweils letzte Term mit der

Axialsteifigkeit verwandt ist (z.B. Gleichungen 5.56 und 5.57). Es ist zwar nicht abzusehen,

wie stark dieser letzte Term das Ergebnis bestimmt, jedoch erscheint eine Beschreibung

durch die Axialsteifigkeit unter gewissen Umstanden als gerechtfertigt. In [55] wird folgende

Naherung angegeben:

sϕϕ = R22 ·

sax

2(5.59)

Es wird behauptet, dass die Abweichungen nur 4%-5% betragen. Wir untersuchen diese

These im Kapitel 6. Die Gleichung besagt, dass Axialsteifigkeit und Kippsteifigkeit im-

mer gleiches Vorzeichen haben. Daraus folgt weiter, dass ein radialstabiles Lager immer


kippinstabil ist. Die Tatsache, dass durch einen genugend langen Hebelarm ein solches

Lager stabilisiert werden kann, ist in dieser Gleichung nicht enthalten. Ein erweiterter An-

satz, der den Einfluss der Hebelarme enthalt,wird von Fremerey in [2] vorgeschlagen. Seine

Gleichung in eigener, hier angepasster Schreibweise lautet:

sϕϕ =1

2sax(R

22 − z2

2) (5.60)

Ein Vergleich mit den Kippsteifigkeitsgleichungen 5.50. . . 5.55 lasst dieses Modell geeigne-

ter erscheinen. Es bleibt die Frage, innerhalb welcher Grenzen mit diesen vereinfachten

Gleichungen gearbeitet werden kann.

5.5 Die Koppelsteifigkeit

Beim Verkippen eines Magneten tritt neben einem Drehmoment auch eine Radialkraft auf.

Dieser Effekt wird durch die Koppelsteifigkeit beschrieben:

sϕr = −∂Fx

∂ϕy

(5.61)

Als Bezugspunkt der Drehung dient hier wieder der Koordinatenursprung.

Der Linienleiter

Die Koppelsteifigkeit wird aus der langenbezogenen Kraft gewonnen:

Fx = Iy · Bz (5.62)

Die Berechnung der Ableitung findet sich im Anhang I, als Ergebnis fur die Koppelsteifig-

keit eines ebenen Linienleiters erhalten wir:

sϕr = −Iy

{

z2∂Bz

∂x− x2

∂Bz

∂z

}

(5.63)

Diese Gleichung ist nur fur den unverkippten Zustand (ϕy = 0) gultig. Bei einem Lini-

enleiter ist es zutreffender von einem unverdrehten Zustand zu reden. Zur Beschreibung

der Drehung werden zwei Koordinatensysteme benutzt, ein raumfestes und ein korperfes-

tes System, welche gegeneinander um den Winkel ϕy verdreht sind, wobei der Drehpunkt

durch den gemeinsamen Koordinatenursprung gebildet wird. Fallen beide Systeme zusam-

men, dann sprechen wir bei einem Linienleiter von einem unverkippten Zustand.

Der Flachenleiter

Die lokale Koppelsteifigkeit, d.h die Koppelsteifigkeit eines Flachenelementes kann von

der Koppelsteifigkeit des Linienleiters ubernommen werden. Diese lokale Koppelsteifigkeit

muss noch uber die Leiterhohe integriert werden, und es ergibt sich die Koppelsteifigkeit

eines ebenen Flachenleiters:

sϕr(x2, z2) = −Ky {Ay + Bxz − x2Bz}∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.64)

Die Herleitung ist ebenfalls im Anhang I zu finden.


Der Ringleiter

Die Koppelsteifigkeit eines Ringleiters wird aus der Ableitung der Kraftkomponente eines

Ringsegmentes gewonnen. Auch hier beschranken wir uns auf den unverkippten Zustand,

d.h. ϕy = 0. Es ergibt sich zunachst die Koppelsteifigkeit eines Ringsegmentes und aus der

Integration uber den Ringumfang erhalten wir die Koppelsteifigkeit des Ringleiters:

sϕr(R2, z2) = −IϕπR2

{

∂Bρ

∂zz2 −

∂Bz

∂zR2 − Bρ

}

(5.65)

Die Herleitung der Koppelsteifigkeit ist im Anhang J zu finden.

Die Zylindermantelflache

Fur die Koppelsteifigkeit der Zylindermantelflache benutzen wir als Ausgangspunkt wieder

das Ergebnis des Ringleiters und erhalten nach der Integration uber die Hohe des Zylinders:

sϕr(R2, z2) = − KϕπR2 {2Aϕ + Bρz − R2Bz}∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(5.66)

Die Details sind im Anhang J zu finden.

5.5.1 Diskussion der Koppelsteifigkeit

Es ist nicht offensichtlich, welche Rolle die Koppelsteifigkeit fur die Stabilitat eines Rotor-

systems spielt. Im Fall des Levitron ist die Koppelsteifigkeit entscheidend fur die Stabilitat

[56, 57]. Der Levitron ist ein Kreisel, der aus einem Permanentmagneten besteht. Dieser

Kreisel dreht sich frei schwebend uber einer permanentmagnetischen Grundplatte. Sta-

tisch ist diese Anordnung aufgrund des Earnshaw-Theorems instabil, jedoch ermoglichen

die Koppelterme in Verbindung mit dem Kreiseleffekt ein stabiles Schweben innerhalb eines

bestimmten Drehzahlbereiches.

Es gibt auch Falle, in denen keine Koppelsteifigkeit auftritt. Das betrifft Lager ohne Axi-

alkraft bzw. Lager, bei denen sich die Krafte aufgrund der geometrischen Symmetrien

gegenseitig aufheben. Das ist z.B. bei dem in Kapitel 1 vorgestellten Lager der Turbomo-

lekularpumpe der Fall. Entscheidend ist dabei eine ungerade Anzahl Magnete. Betrachten

wir zur Erlauterung das Beispiel in Bild 5.8. Dort ist eine Anordnung aus drei Magneten

abgebildet. Im linken Bildteil sind die Krafte zwischen dem mittleren und dem oberen Ma-

gneten bei einer Verdrehung dargestellt, im rechten Bildteil dagegen die Krafte zwischen

dem mittleren und dem unteren Magneten. Die Krafte haben eine genau entgegengesetzte

Richtung. Das muss aus Symmetriegrunden so sein, da man die rechte Anordnung aus einer

Drehung der linken gewinnen kann. Die resultierenden Krafte auf den mittleren Magneten

sind also null. Das bedeutet, dass bei solchen symmetrischen Anordnungen nicht nur keine

Axialkraft auftritt, sondern prinzipiell auch keine Koppelsteifigkeit, da die resultierende

Querkraft Fx immer null ist.


Fz

Fz

FxFx

Magnet 1 Magnet 1

Magnet 3Magnet 3

Abbildung 5.8: Die Koppelsteifigkeit ist aufgrund der geometrischen Symmetrien null

Genauso wie die Kippsteifigkeit lasst sich die Koppelsteifigkeit auf andere Steifigkeitsterme

zuruckfuhren. Betrachten wir beispielsweise die Koppelsteifigkeit des Ringleiters:

sϕr(R2, z2) = −IϕπR2

{

∂Bρ

∂zz2 −

∂Bz

∂zR2 − Bρ

}

(5.67)

Der Ausdruck lasst sich folgendermaßen zerlegen:

sϕr(R2, z2) = srz2 + IϕπR22

∂Bz

∂z− 1

2Fz (5.68)

Der verbliebene Feldausdruck konnte auch hier wieder durch Einfuhrung einer weiteren

Steifigkeit ersetzt werden. Leider ist diese Ersetzung der Koppelsteifigkeit bei den wesent-

lich interessanteren Flachenleitern bisher noch nicht gelungen.

Ein in diesem Zusammenhang wichtiger Aspekt ist die Wahl des Bezugspunktes. Der Be-

zugspunkt (Koordinatenursprung) wurde willkurlich in den Schwerpunkt des unteren Ma-

gneten gelegt. Ein anderer und sehr interessanter Bezugspunkt ist die Mitte zwischen den

beiden Magneten (siehe Bild 5.9), der im Folgenden als symmetrischer Bezugspunkt be-

zeichnet wird. Die Rechenergebnisse zeigen bei baugleichen Magneten, dass die Koppelstei-

Bezugspunkt"symmetrischer"

Magnet 1

Magnet 2

Abbildung 5.9: Ein alternativer Bezugspunkt fur die Koppelsteifigkeit ist die Mitte zwischenden Magneten: der

”symmetrische“ Bezugspunkt


figkeit bezuglich dieses symmetrischen Bezugspunktes immer gleich der halben Axialkraft

ist:

ssϕr = −0.5 · Fz (5.69)

Fur das einfache Linienleitermodell ist dieser Zusammenhang im Anhang K bewiesen.

Der Beweis fur die anderen Modelle ist schwieriger, durfte aber zum gleichen Ergebnis

fuhren, da dieser Zusammenhang erst bei Berechnungen mit dem Zylindermodell auffiel.

Das Ergebnis korrespondiert mit dem Verschwinden der Koppelsteifigkeit bei fehlender

Axialkraft. Eine wichtige Voraussetzung fur die Gleichung 5.69 sind baugleiche Magnete.

Fur Anordnungen aus Magneten unterschiedlicher Abmessungen ist nicht geklart, ob es

solche ausgezeichneten Bezugpunkte gibt.

Der Vorteil dieser Relation (Gleichung 5.69) liegt offenkundig in der einfachen Berechnung

dieser Koppelsteifigkeit direkt aus der Axialkraft. Allerdings muss man die Koppelsteifig-

keit dann noch in eine Koppelsteifigkeit bezuglich des Schwerpunktes umrechnen.

5.6 Umrechnung der Lagersteifigkeiten auf einen an-

deren Bezugspunkt

Bei den Uberlegungen im vorigen Abschnitt wurde schon die Notwendigkeit deutlich, die

Lagersteifigkeiten auf andere Bezugspunkte umzurechnen. Es kann aber auch im Nachhin-

ein notwendig werden, die Lagersteifigkeiten auf andere Lagerstellen oder auf den Schwer-

punkt des Rotors umzurechnen. Die dazu notwendigen Transformationen werden hier her-

geleitet. Die Steifigkeitsgleichungen sind so aufgebaut, dass der Koordinatenursprung der

Bezugspunkt fur die angreifenden Momente und damit auch fur die Koppel- und Kippstei-

figkeiten ist. Dieser Koordinatenursprung liegt stets im Mittelpunkt des unteren Magne-

ten. Die Steifigkeiten dieses Magneten sollen jetzt in den Rotorschwerpunkt transformiert

werden. Das Lager L befindet sich um den Betrag v unterhalb des Schwerpunktes. Die Ver-

schiebung v zahlt dabei positiv in Richtung der positiven z-Achse des Lager-Bezugsystems.

Die Kraftanderungen ∆F bei kleinen Verschiebungen ∆x des Lagers gewinnt man mit Hilfe

der Steifigkeitsmatrix (∆FL = −SPM · ∆xL):

∆

FxL

FyL

FzL

MxL

MyL

MzL

= −

sr 0 0 0 sϕr 00 sr 0 −sϕr 0 00 0 sax 0 0 00 −sϕr 0 sϕϕ 0 0

sϕr 0 0 0 sϕϕ 00 0 0 0 0 0

· ∆

xL

yL

zL

ϕxL

ϕyL

ϕzL

(5.70)

Diese Krafte und Momente, die im Lager auftreten, mussen in Krafte und Momente

bezuglich des Schwerpunktes umgerechnet werden:

∆FS = V · ∆FL (5.71)


xL

yLzL

yS

Schwerpunktdes Rotors

Rotor

Lager L

v

zϕ

yϕ

xϕ

xS

zS

Abbildung 5.10: Umrechnung der Lagersteifigkeiten auf den Schwerpunkt des Rotors

Man kann mit Hilfe von Abb. 5.10 erkennen, dass die dazu notwendige Matrix V in Glei-

chung 5.71 folgendermaßen besetzt sein muss:

V =

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 v 0 1 0 0−v 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

(5.72)

Diese Matrix taucht in transponierter Form noch einmal auf, wenn die Lagerkoordinaten

xL durch die Schwerpunktkoordinaten xS ersetzt werden:

∆

xxL

yyL

zzL

ϕxL

ϕyL

ϕzL

=

1 0 0 0 −v 00 1 0 v 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

· ∆

xxS

yyS

zzS

ϕxS

ϕyS

ϕzS

(5.73)

Setzen wir beide Gleichungen (5.71 und 5.73) in Gl. 5.70 ein, so erhalten wir den gesuch-

ten Zusammenhang zwischen den Verschiebungen des Schwerpunktes und den Kraften im

Schwerpunkt, die durch das Lager L hervorgerufen werden:

∆FS = −V · SPM · VT · ∆xS (5.74)


Die resultierende transformierte Steifigkeitsmatrix V · SPM · VT lautet:

sr 0 0 0 −v · sr + sϕr 00 sr 0 v · sr − sϕr 0 00 0 sax 0 0 00 v · sr − sϕr 0 v2sr − 2vsϕr + sϕϕ 0 0

−v · sr + sϕr 0 0 0 v2sr − 2vsϕr + sϕϕ 00 0 0 0 0 0

(5.75)

An dieser Matrix ist zu erkennen, dass die rein translatorischen Steifigkeiten durch die Wahl

eines anderen Bezugspunktes nicht verandert werden, wahrend Koppel- und Kippsteifigkeit

vom Bezugspunkt abhangig sind.

Schwerpunktdes Rotors

( )M y

FzAxialkraft

Lager L

∆

}

zS

xSyϕ

~x~ v∆ ∆ϕy

Abbildung 5.11: Momentenbeitrag ∆My der Axialkraft Fz bei einer Verdrehung des Rotorsim Schwerpunkt um den Betrag ∆ϕy

Diese Steifigkeitsmatrix ist aber noch nicht vollstandig, denn auch die Axialkraft ubt einen

Einfluss auf die Kippsteifigkeitsterme aus. So entsteht zum Beispiel bei einer Verdrehung

∆ϕy um den Schwerpunkt des Rotors durch die Axialkraft Fz folgender Momentenbeitrag:

∆My = v sin ∆ϕy · Fz ≈ v∆ϕyFz (5.76)

Um den Einfluss der Axialkraft zu berucksichtigen, wird die Kippsteifigkeit erweitert:

stϕϕ = v2sr − v(2sϕr + Fz) + sϕϕ


Wir erhalten schließlich die folgende transformierte Steifigkeitsmatrix:

sr 0 0 0 −v · sr + sϕr 00 sr 0 v · sr − sϕr 0 00 0 sax 0 0 00 vsr − sϕr 0 v

2sr − v(2sϕr + Fz) + sϕϕ 0 0

−vsr + sϕr 0 0 0 v2sr − v(2sϕr + Fz) + sϕϕ 0

0 0 0 0 0 0

(5.77)

Fvert

f0

Abbildung 5.12: Die Veranderung der Einspannfrequenz bei vertikaler Kraft

Vergleichbar ist dieser Effekt mit dem Verhalten eines senkrecht stehenden elastischen

Balkens, der unten fest eingespannt ist (Abbildung 5.12). Die Einspannfrequenz f0 des

Balkens ist nicht nur von der Elastizitat des Balkens abhangig, sondern auch davon, ob

zusatzlich eine vertikale Kraft auf den Balken wirkt oder nicht. Wenn eine Kraft, wie im

Bild 5.12 eingezeichnet, nach unten wirkt, dann sinkt die Einspannfrequenz des Balkens.

Dieser Effekt tritt auch bei Permanentmagneten aufgrund der Axialkraft auf und ist durch

die modifizierten Kippsteifigkeitsterme ausgedruckt.

Kapitel 6

Normierte Darstellung der Krafteund Steifigkeiten

In diesem Kapitel wird ein Ansatz zu einer systematischen Darstellung der Krafte und Stei-

figkeiten vorgestellt. Die Grundidee ist der Ubergang zu einer dimensionslosen Betrachtung

sowohl der Magnetgeometrie als auch der Krafte und Steifigkeiten. Man gewinnt damit eine

kompakte Darstellung.

6.1 Die Berechnung der Krafte und Steifigkeiten

Von den in den Kapiteln 2 bis 5 behandelten Modellen ist fur ein Magnetlager das Zy-

lindermodell am interessantesten. Es ist zugleich das Aufwendigste, die anderen Modelle

haben aufgrund ihrer Einschrankungen etwas einfachere Gleichungen. Die im Folgenden

vorgestellten und diskutierten Berechnungen basieren, wenn nicht anders angegeben, auf

1

1

Magnet 1

Unterkante z 2u

Oberkante z 2o

Magnet 2

z

ρ

z1o =

z1u =

2h2= a

2

z 1 + h

− hz 1

2z

R1

R2

Abbildung 6.1: Die Bezeichnungsweise der Magnetringe

Kapitel 6: Normierte Darstellung der Krafte und Steifigkeiten 69

dem Zylindermodell. Deshalb werden an dieser Stelle die Gleichungen dieses Modells noch

einmal aufgefuhrt. Sie gelten fur einen zylinderformigen Magneten mit dem Radius R2,

dessen Schwerpunkt sich an der Stelle z2 befindet und der eine Bauhohe von 2h2 besitzt.

1. Die Axialkraft:

Fz(R2, z2) = 2πR2 · Kϕ [Aϕ(R2, z2o) − Aϕ(R2, z2u)] (6.1)

2. Die Axialsteifigkeit:

sax(R2, z2) = 2πR2Kϕ [Bρ (R2, z2o) − Bρ (R2, z2u)] (6.2)

3. Die Radialsteifigkeit:

sr(R2, z2) = −πR2Kϕ [Bρ (R2, z2o) − Bρ (R2, z2u)] (6.3)

4. Die Kippsteifigkeit:

sϕϕ(R2, z2) = KϕπR2 [−2z2oAϕ(R2, z2o) + 2Λ(R2, z2o) + R2µ0Φ(R2, z2o)

+2R2z2oBz(R2, z2o) + (R22 − z2

2o)Bρ(R2, z2o)

+2z2uAϕ(R2, z2u) − 2Λ(R2, z2u) − R2µ0Φ(R2, z2u)

−2R2z2uBz(R2, z2u) − (R22 − z2

2u)Bρ(R2, z2u)]

(6.4)

5. Die Koppelsteifigkeit:

sϕr(R2, z2) = −KϕπR2 [2Aϕ(R2, z2o) + z2oBρ(R2, z2o) − R2Bz(R2, z2o)

−2Aϕ(R2, z2u) − z2uBρ(R2, z2u) + R2Bz(R2, z2u)] (6.5)

In den Gleichungen werden fur die Magnetoberkante bzw. -unterkante folgende Abkurzun-

gen verwendet:

z2o = z2 + h2 und z2u = z2 − h2 (6.6)

Die Gleichungen beschreiben die Abhangigkeit der Kraft und der Steifigkeiten von den Ma-

gnetfeldgroßen. Man konnte in die Feldausdrucke die Gleichungen aus Kapitel 3 einsetzen,

dann hatte man Gleichungen, die neben der Magnetisierung auch den Einfluss der Magnet-

bauform widerspiegeln. Jedoch sind solche Zusammenhange aufgrund des Umfangs dieser

Gleichungen nicht mehr offensichtlich, auch sind solche Gleichungen”von Hand“ nicht

mehr zu bewaltigen. Mit Hilfe eines Rechners jedoch hat man durch diese Gleichungen ein

sehr schnelles und zugleich genaues Werkzeug zur Berechnung von Permanentmagnetla-

gern. Fur viele hier vorgestellte Berechnungen wurde MATLAB [46] benutzt. Außerdem

70 Kapitel 6: Normierte Darstellung der Krafte und Steifigkeiten

wurden die Gleichungen in die Programmiersprache Java [58] ubertragen, um eine gewisse

Programm- und Plattformunabhangigkeit zu erreichen. Selbst mit der relativ langsamen

Interpretersprache MATLAB erhalt man sehr schnell Ergebnisse. Ein Beispiel: Fur eine Op-

timierungsrechnung wurden 26000 verschiedene Bauformen von Magneten berechnet. Das

dauerte ungefahr 15min auf einem Personalcomputer mit einer Taktfrequenz von 1GHz.

Wurde man mit dem kommerziell verfugbaren (und eigentlich recht schnellen) 3D-BEM-

Programm FARADAY[37] arbeiten, so konnte man in der gleichen Zeit lediglich drei bis vier

Berechnungen durchfuhren. An diesem Beispiel wird deutlich, dass Rechenzeiten mit den

analytischen Gleichungen kein Thema sind. Vielmehr rucken die Fragen einer geeigneten

Darstellung der Ergebnisse in den Vordergrund. Deshalb werden in diesem Kapitel Ansatze

zu einer systematischen Darstellung der Krafte und Steifigkeiten vorgestellt und diskutiert.

Das Programm FARADAY [37] wurde auch als Referenz benutzt, um die Rechenergebnisse

zu uberprufen. Es ist ein dreidimensionales Programm fur magnetostatische und zeithar-

monische Probleme, das auf der Randelementmethode (BEM - boundary element method)

basiert. Bei der Programmentwicklung und der unvermeidlichen Fehlerbeseitigung ist das

sehr hilfreich, jedoch stoßt man an dieser Stelle auf ein interessantes Problem: Da es sich

hier um analytische Gleichungen handelt, hat man ein prinzipiell genaueres Werkzeug als

es die numerisch arbeitende Referenz sein kann. Als Testfall wurden die Kraft und die Stei-

figkeiten von zwei Magnetzylindern berechnet, die einen Radius von 2m, eine Hohe von

1m und einen Abstand von 1m haben. Bei der Axialkraft ergab sich innerhalb der Ausga-

begenauigkeit (5 Ziffern) von FARADAY kein Unterschied, d.h. der Fehler ist kleiner als

0.01%. Die großte Abweichung trat mit 0.7% bei der Koppelsteifigkeit auf. Das erklart sich

dadurch, dass die Koppelsteifigkeit aus der Differenz zweier sich nur geringfugig andernder

Krafte gewonnen wird.

6.2 Gegenstand der Untersuchung

Auf die verschiedenen Moglichkeiten, mit Permanentmagneten ein Magnetlager aufzubau-

en, wurde schon in Kapitel 1 hingewiesen. Wir betrachten hier nur Radiallager, bestehend

aus axial magnetisierten Ringen in attraktiver Magnetanordnung. Aus diesem Grund sind

auch die hier vorgestellten Gleichungen nur fur axiale Magnetisierungen ausgelegt. Prinzi-

piell ist es aber moglich, die Gleichungen auch auf radiale Magnetisierungen zu erweitern.

So sind in [49] auch Gleichungen fur das radiale Magnetfeld eines Zylinders zu finden.

In diesem Kapitel wird hauptsachlich das Einfachring-Lager bestehend aus zwei Magnet-

ringen (Abbildung 6.2) betrachtet. Ein Magnetring sitzt dabei auf dem Stator, der andere

Ring entsprechend auf dem Rotor. Dieses Lagerkonzept kann man als Grundbaustein ver-

stehen, mit dem verschiedene Varianten konstruiert werden konnen. Deshalb wird diese

einfache Anordnung zunachst eingehend untersucht. Weiterhin werden Multiring-Magnete

betrachtet, deren einfachste Fassung die Doppelringmagnete sind. Doppelringmagnete be-


Rotor

Magnetringe

Stator

Abbildung 6.2: Grundeinheit eines permanentmagnetischen Radiallagers, bestehend auszwei axial magnetisierten Ringen in attraktiver Anordnung

stehen aus zwei gegensinnig gepolten Magnetringen, die ineinander gesteckt werden (Ab-

bildung 6.3). Es ist aus der Literatur bekannt, dass diese Anordnung verglichen mit den

Einfach-Ringen eine bessere Ausnutzung des Magnetmaterials mit sich bringt [14, 20, 21].

Diese These wurde hier systematisch untersucht. Die Doppelringmagnete lassen sich durch

Abbildung 6.3: Ein Radiallager bestehend aus zwei axial magnetisierten Doppelringmagne-ten in attraktiver Anordnung

das Hinzufugen weiterer Magnetringe zu Dreifachringen, Vierfachringen usf. erweitern. Wir

nennen diese Typen kurz Multiringmagnete bzw. Multiring-Lager. In Abbildung 6.4 ist ex-

emplarisch ein Funffachring-Lager dargestellt.

Abbildung 6.4: Ein Radiallager bestehend aus zwei attraktiv angeordneten Funffachring-magneten (Multiringlager)


6.3 Skalierungsregeln von Permanentmagneten

Die Krafte und Steifigkeiten der Permanentmagnete sind vom Flachenstrom (bzw. der

Magnetisierung) und der Geometrie abhangig. Der Einfluss des Flachenstromes ist dabei

recht einfach. Zwischen dem Flachenstrom K und der Kraft sowie den Steifigkeiten besteht

ein quadratischer Zusammenhang:

F ∼ K2 s∗∗ ∼ K2 (6.7)

Das wird aus den Gleichungen 6.1 bis 6.5 ersichtlich, wenn dort fur die Flussdichte und das

Vektorpotential die jeweiligen Gleichungen aus Kapitel 3 eingesetzt werden. Die Rolle der

geometrischen Parameter ist dagegen aus den Gleichungen nicht so leicht erkennbar. Selbst

wenn wir uns nur auf zwei Einfachringe (entsprechend Bild 6.5) beschranken, so haben wir

es schon mit vier geometrischen Parametern zu tun:

• a -Magnethohe

• b -Magnetbreite

• h -Spaltweite

• RM -mittlerer Ringradius

RM

b

ah

Abbildung 6.5: Die Bezeichnungsweise bei Einfachringen

Der Einfluss dieser Großen auf die Krafte und Steifigkeiten wird im Folgenden naher unter-

sucht. Einfache Zusammenhange ergeben sich zwischen geometrisch ahnlichen Bauformen,

das sind Anordnungen, die sich nur durch einen Maßstabsfaktor unterscheiden.

Betrachten wir dazu als Beispiel die in Bild 6.6 dargestellten drei Anordnungen von je

zwei Einfachringen. Ganz oben ist die Ausgangsanordnung, bestehend aus zwei axial ma-

gnetisierten Ringen, zu sehen. Darunter befindet sich eine Anordnung, bei der alle Maße

verdoppelt wurden, und schließlich eine Anordnung in der dreifachen Große. Die Abmes-

sungen sowie die berechneten Krafte und Steifigkeiten finden sich in Tabelle 6.1.


Original (einfache Größe)

Doppelte Größe

Dreifache Größe

Abbildung 6.6: Drei geometrisch ahnliche Bauformen axial magnetisierter Einfachringe

Tabelle 6.1: Krafte und Steifigkeiten der Magnetringe aus Abbildung 6.6 bei einfachen, dop-pelten und dreifachen Abmessungen, jeweils mit einem Flachenstrom von K = 950kA/mgerechnet

Original Doppelte Große Dreifache Große

mittlerer Radius RM 15mm 30mm 45mm

Magnethohe a 4mm 8mm 12mm

Polbreite b 4mm 8mm 12mm

Spaltweite h 0.6mm 1.2mm 1.8mm

Volumen V 3.24cm3 25.9cm3 87.5cm3

Kraft Fz 77, 8N 311N 700N

Radialsteifigkeit sr 24.5N/mm 49N/mm 73.5N/mm

Koppelsteifigkeit sϕr 17.4N/rad 69.8N/rad 157N/rad

Kippsteifigkeit sϕϕ −5.6Nm/rad −44.9Nm/rad −151Nm/rad


Betrachtet man die Zunahme der Krafte und Steifigkeiten in Abhangigkeit von der Lange

l, so werden anhand des Beispiels folgende Skalierungsregeln erkennbar:

• Kraft F ∼ l2

• Radialsteifigkeit sr∼ l

• Koppelsteifigkeit sϕr∼ l2

• Kippsteifigkeit sϕϕ∼ l3

Die Kraft wachst zum Beispiel nur quadratisch mit der Lange. Das hat zur Folge, dass

bei großeren Abmesssungen die Kraftdichte, also das Verhaltnis von Kraft zu Volumen,

schlechter wird, da das Volumen kubisch mit der Lange wachst.

F

V∼ 1

l(6.8)

Die Radialsteifigkeit (und die Axialsteifigkeit) wachst sogar nur linear mit der Lange. Fur

das Verhaltnis der Radialsteifigkeit zum Volumen kann man daher folgenden Zusammen-

hang ableiten:

sr

V∼ 1

l2(6.9)

Diese Zusammenhange werden in Kapitel 7 bei der Suche nach der optimalen Bauform

benotigt.

6.4 Entwicklung einer dimensionslosen Darstellung

Durch die Skalierungsregeln ist es nun umgekehrt moglich, mit einer bekannten Magnet-

anordnung alle anderen formgleichen Anordnungen zu berechnen. So sind aus den Daten

des Originallagers in Bild 6.6 uber die Skalierungsregeln die beiden anderen Beispiele leicht

berechenbar.

Das bedeutet weiterhin, dass fur eine Untersuchung der Rolle der Geometrie ein Parameter

festgehalten werden kann. Die Krafte und Steifigkeiten sind lediglich als Funktion von drei

der vier geometrischen Parameter zu betrachten. Der”Rest“ ist durch die Skalierungsregeln

bestimmt. Es hat sich als sinnvoll herausgestellt, die Spaltweite h festzuhalten, d.h. als

Referenzlange zu wahlen. Wenn die anderen Parameter noch auf die Spaltweite bezogen

werden, dann erhalten wir folgende drei dimensionslose geometrische Parameter:

• normierte Magnethohe a/h

• normierte Polbreite b/h

• normierter Radius RM/h


Genau wie die Langen lassen sich auch die Krafte und Steifigkeiten auf Referenzgroßen

beziehen. Die Kraft ist aufgrund ihrer Dimension beispielsweise in ein Produkt aus Druck

und Flache zerlegbar. Diese Art der Zerlegung ist hier auch zweckmaßig, da sich einerseits

leicht ein Referenzdruck formulieren lasst, zum anderen sowohl die Kraft als auch die Flache

quadratisch mit der Lange wachsen. Als Referenzdruck verwenden wir einen Ausdruck, der

im wesentlichen das Quadrat des Flachenstromes (Magnetisierung) enthalt:

σref = µ0K2

2=

B2r

2 · µ0

[N/m2] (6.10)

Der Referenzdruck ist in dieser Form eine materialabhangige Große. Der schon erwahnte

quadratische Zusammenhang zwischen der Kraft und dem Flachenstrom (bzw. der Magne-

tisierung) ist in dieser Gleichung enthalten (F ∼ K2).

Tabelle 6.2: Dimension der Kraft und der Steifigkeiten

Große Einheiten

Kraft Druck·Flache

Radialsteifigkeit Druck·Lange

Koppelsteifigkeit Druck·Flache

Kippsteifigkeit Druck·Volumen

Weiterhin muss die Kraft um eine dimensionslose Große zu erhalten durch eine geeignete

Referenzflache geteilt werden. Formal genugt es, die Kraft durch das Quadrat der Spalt-

weite zu teilen:

F ∗

z = Fz ·1

σref

· 1

h2(6.11)

Damit ware eine dimensionslose Kraft definiert. Es ist jedoch sinnvoll, andere Referenz-

flachen zu wahlen, da schwache Parameter auftreten, die vernachlassigt werden konnen und

sich somit die Zahl der relevanten Parameter weiter reduziert. Die Wahl einer geeigneten

Referenzflache fur die normierte Axialkraft wird im nachsten Abschnitt 6.5 behandelt.

Die Steifigkeiten werden in analoger Weise normiert. Sie werden durch den gleichen Refe-

renzdruck und entsprechend ihrer Dimension noch durch eine Referenzlange, -flache oder

ein Referenzvolumen geteilt. Uber die unterschiedlichen Dimensionen der Steifigkeiten gibt

die Tabelle 6.2 gibt einen Uberblick.

6.5 Normierung der Axialkraft

Um eine normierte Axialkraft zu erhalten, muss die Kraft durch den Referenzdruck 6.10

und durch ein Produkt zweier Langen (Dimension einer Flache) geteilt werden. Eine sehr


anschauliche Referenzflache ist die Polflache Ap der Magnete.

Ap = 2πRMb (6.12)

Wenn die Axialkraft auf die Polflache bezogen wird, dann erhalten wir folgende normierte

Axialkraft:

F ∗

z = Fz ·1

σref

· 1

2πRMb(6.13)

Wird diese normierte Axialkraft als Funktion der drei normierten Langen betrachtet, so

ist festzustellen, dass der normierte Radius RM/h kaum einen Einfluss auf die normierte

Kraft hat.

F ∗

z = f

(

a

h,b

h,RM

h

)

(6.14)

Unabhangig davon welchen Wert der normierte Radius annimmt, ergeben sich immer die

(fast) gleichen Funktionswerte. Lediglich bei kleinen Werten des normierten Radius exis-

tiert ein Einfluss auf die normierte Kraft, der aber schnell mit wachsenden Werten ver-

schwindet. Wir vernachlassigen daher den normierten Radius als schwachen Parameter und

betrachten die normierte Kraft nur als eine Funktion der Querschnittsform der Magnete.

F ∗

z = f

(

a

h,b

h,

/

RM

h

)

⇒ F ∗

z = f

(

a

h,b

h

)

(6.15)

Eine derartig normierte Kraft wird identisch mit der normierten Axialkraft des ebenen

Modells. In der Abbildung 6.7 ist daher die normierte Axialkraft des ebenen Modells als

Funktion der normierten Magnethohe a/h und der normierten Polbreite b/h dargestellt.

Diese Darstellung ist auch reprasentativ fur die normierte Axialkraft des rotationssym-

metrischen Modells. Geringe Unterschiede treten nur durch den Einfluss des normierten

Radius RM/h auf. Wahlen wir zum Beispiel einen normierten Radius von RM/h = 5,

so liegen die Abweichungen im Bereich von −8% bis +13% fur beliebige Werte von a/h

und b/h, d.h. fur alle moglichen Querschnittsformen. Die großten Abweichungen treten

bei Vollzylindern auf (b/RM = 2). Da Vollzylinder fur hier betrachtete Magnetlager tech-

nisch irrelevant sind, konnen wir uns auf Ringe beschranken deren Polbreite kleiner ist als

der halbe Radius, d.h. b/RM < 0.5. Dann bewegen sich die Abweichungen zwischen dem

ebenen und dem rotationssymmetrischen Modell innerhalb von ±5%. Diese Regel gilt fur

normierte Radien von RM/h ≥ 5, wobei mit wachsendem normierten Radius die Abwei-

chung noch geringer wird. Da die Ringradien in der Praxis meist wesentlich großer als nur

das 5-fache des Spalts sind, ist somit eine Beschrankung auf das ebene Modell sehr gut

gerechtfertigt.

In der folgenden Abbildung 6.8 sind die Hohenlinien des Gebirges aus Abbildung 6.7 dar-

gestellt. Zusatzlich stellen die gestrichelten Linien Magnete mit gleichen Querschnittsfor-

men (a/b = const.) dar. So sind an der mittleren Linie alle quadratischen Querschnitte


01

23

45

01

23

45

60

0.1

0.2

0.3

0.4

b/ha/h

F*ax2D

Abbildung 6.7: Die Axialkraft des ebenen Modells, normiert auf den Referenzdruck σref

und die Polflache Ap

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6Querschnittsform: 2:1

1:1

1:2

a/h

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

b/h

steigender M

agnetabstand

Abbildung 6.8: Draufsicht auf die normierte Axialkraft Fax2D, Normierung auf den Refe-renzdruck σref und die Polflache Ap.


a/h = b/h aufgereiht. In der daruber liegenden Linie (2:1) befinden sich alle Querschnitte

mit einer gegenuber der Breite verdoppelten Hohe: a/b = 2. Eine Bewegung in Pfeilrich-

tung entlang der 1:1 - Geraden, d.h. in Richtung des Ursprungs, entspricht einer Ausein-

anderbewegung zweier Magnete mit quadratischem Querschnitt. Da der Abstand, d.h die

Spaltweite h im Nenner steht, nehmen die normierten Hohen (a/h) und Breiten (b/h) klei-

ne Werte an, wenn die Magnete sehr weit voneinander entfernt sind. Nahern sich dagegen

die Magnete, so sinkt der Abstand h, wahrend die normierten Großen (a/h, b/h) anstei-

gen. Mit wachsenden normierten Langen steigt auch die normierte Axialkraft, was einer

steigenden Axialkraft bei sinkendem Abstand h entspricht.

Durch die Reduktion auf ein ebenes Modell gelingt es, die normierte Axialkraft aller mogli-

chen Querschnittsformen von zwei Einfachring-Magneten in einem einzigen Diagramm dar-

zustellen.

6.6 Normierung der Radialsteifigkeit

Die normierte Radialsteifigkeit gewinnen wir in ahnlicher Weise wie die normierte Axial-

kraft. Entsprechend der Tabelle 6.2 ist die Radialsteifigkeit in ein Produkt aus Druck und

Lange zerlegbar. Daher teilen wir die Steifigkeit durch den Referenzdruck (Gleichung 6.10)

und wahlen als Referenzlange den mittleren Magnetumfang: 2πRM . Es ergibt sich folgende

normierte Radialsteifigkeit:

s∗r = sr ·1

σref

· 1

2πRM

(6.16)

Bei dieser Normierung kann auch wieder der normierte Radius als schwacher Parameter

vernachlassigt werden. Wir wechseln deshalb auch hier zum ebenen Modell und betrachten

die normierte Radialsteifigkeit nur als Funktion der Querschnittsform der Magnete.

s∗r = f

(

a

h,b

h,

/

RM

h

)

⇒ s∗r = f

(

a

h,b

h

)

⇒ s∗r2D = f

(

a

h,b

h

)

(6.17)

In der Abbildung 6.9 sind die Hohenlinien der normierten Radialsteifigkeit des ebenen Mo-

dells dargestellt. Es ergibt sich eine Darstellung, die der Axialkraft sehr ahnlich sieht. Die

gestrichelten Linien stellen wieder Magnete mit gleichen Querschnittsformen (a/b = const.)

dar. Im Unterschied zur Axialkraft ist hier eine andere Interpretation dieser Linien illus-

triert: Wenn der Abstand h konstant bleibt, so sind entlang der 1:1-Geraden vom Ursprung

in Pfeilrichtung gesehen immer großere Magnete aufgereiht.

Durch die Normierung sind also zwei Interpretationen der Diagramme moglich: entweder

halten wir die Magnetmaße fest (a = const., b = const.), dann verandert sich der Abstand

h bei einer Bewegung entlang der gestrichelten Linien (siehe Axialkraft Abb. 6.8), oder wir

halten, wie hier dargestellt, den Abstand h fest und die Magnetmaße variieren.


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6Querschnittsform: 2:1

1:1

1:2

a/h0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

b/h

stei

gend

e M

agne

tabm

essu

ngen

Abbildung 6.9: Normierte Radialsteifigkeit s∗r2D des ebenen Modells, Normierung auf denReferenzdruck σref und den mittleren Umfang 2πRM nach Gleichung 6.16

Es ist wichtig anzumerken, dass die Radialsteifigkeit des rotationssymmetrischen Modells

um den Faktor 2 kleiner ist als die Radialsteifigkeit des hier dargestellten ebenen Modells.

Die Radialsteifigkeit nimmt im Gegensatz zu Axialkraft und Axialsteifigkeit nicht gleiche

Werte an. Das folgt aus dem Earnshaw-Theorem (siehe Kapitel 5). Deshalb sind die hier

dargestellten Werte zur Umrechnung auf das rotationssymmetrische Modell noch durch

den Faktor 2 zu teilen:

s∗r =1

2s∗r2D (6.18)

Abgesehen von diesem Faktor liegen die Abweichungen zwischen dem ebenen und dem

rotationssymmetrischen Modell fur normierte Radien von RM/h ≥ 5 im Bereich von -10%

bis 5%. Diese Aussage gilt fur beliebige Werte von a/h und b/h, d.h. fur alle moglichen

Querschnittsformen. Auch hier gibt es die Tendenz, dass mit steigendem normierten Radius

diese Abweichungen noch geringer werden.

Durch die Reduktion auf ein ebenes Modell gelingt es auch hier, die normierte Radial-

steifigkeit aller moglichen Querschnittsformen von zwei Einfachring-Magneten in einem

einzigen Diagramm darzustellen. In Kapitel 7 wird noch eine weitere Normierung der Ra-

dialsteifigkeit vorgestellt, mit der Aussagen uber das Verhaltnis der Radialsteifigkeit zum

Bauvolumen moglich sind.


6.7 Normierung der Kippsteifigkeit

Trotz verschiedener Normierungansatze ließ sich bei der Kippsteifigkeit kein vernachlassig-

barer schwacher Parameter wie im Fall der Axialkraft und der Radialsteifigkeit finden. Es

gibt im Gegenteil sogar noch einen weiteren Parameter: den Bezugspunkt xp der Drehung.

Als Normierung fur die folgenden Betrachtungen wird daher die Kippsteifigkeit einfach auf

die Spaltweite h bezogen:

s∗ϕϕ = sϕϕ · 1

σref

· 1

h3(6.19)

In der Literatur (z.B. in [2, 55]) finden sich Naherungsgleichungen, mit denen die Kipp-

steifigkeit aus der Axialsteifigkeit gewonnen werden kann. Es wird in diesem Abschnitt

untersucht, in welchem Rahmen diese Gleichungen anwendbar sind. Die Lage des Bezugs-

punktes wird, obwohl sie einen entscheidenden Einfluss auf die Kippsteifigkeit hat, in der

Literatur selten erwahnt. Liegt der Bezugspunkt hinreichend weit weg vom betrachteten

Magneten, dann erhalten wir bei positiver Radialsteifigkeit immer eine positive Kippstei-

figkeit. Das ist aus Gleichung 5.75 in Kapitel 5 ersichtlich. Liegt der Bezugspunkt aber im

Bezugspunkt

Schwerpunkt

"symmetrischer"

Abbildung 6.10: Die verschiedenen Bezugspunkte der Kippsteifigkeit

Schwerpunkt des Magneten, so kann die Kippsteifigkeit auch negativ sein. Das Vorzeichen

der Kippsteifigkeit hangt dann von der Magnetgeometrie ab. Wir wahlen als Bezugspunkt

der Kippsteifigkeit standardmaßig den Schwerpunkt des Magneten. Als Alternative wird

der”symmetrische“ Bezugspunkt betrachtet (siehe Abb. 6.10). Die einfachste Naherungs-

gleichung [2, 55] gewinnt die Kippsteifigkeit aus der Axialsteifigkeit und dem Radius:

sϕϕ =1

2saxR

2a (6.20)

Die Naherungskippsteifigkeit wird hier, im Unterschied zur originalen Große, mit einer

Tilde ˜ gekennzeichnet. Um die Naherung zu beurteilen, fuhren wir den Gutefaktor fkipp

ein, der aus dem Quotienten von realer Kippsteifigkeit und Naherungsgroße gebildet wird:

fkipp =sϕϕ

sϕϕ

(6.21)


Dieser Gutefaktor fkipp musste idealerweise gleich eins sein. Zuerst betrachten wir als ein-

fachsten Fall die Kippsteifigkeit zwischen zwei Vollzylindern. Da nur ein Außenradius auf-

tritt, kann die Gleichung 6.20 direkt angewendet werden. Aber schon der Vergleich der

0 5 10 15 20 250

10

20

30−9

−6

−3

0x 10

−5

b/h

a/h

Sax*

0 5 10 15 20 250

10

20

30−18

−12

−6

0

6x 10

−3

b/ha/h

Sφφ*

Abbildung 6.11: Normierte Axialsteifigkeit (links) und normierte Kippsteifigkeit (rechts)eines Zylinders (b/RM = 2)

realen Kippsteifigkeit des Zylinders (Bild 6.11 rechts) mit der dazugehorigen Axialsteifig-

keit (Bild 6.11 links) macht ein prinzipielles Problem deutlich: Die Kippsteifigkeit ist je

nach Geometrie sowohl positiv als auch negativ, wahrend die Axialsteifigkeit im gesamten

Bereich immer negativ ist. Der Vorzeichenwechsel der Kippsteifigkeit findet ungefahr bei

quadratischen Querschnitten statt. Schlankere Querschnitte (a > b) besitzen eine positive

Kippsteifigkeit, wahrend flachere Querschnitte (a < b) eine negative Kippsteifigkeit auf-

weisen. Entsprechend ungunstig fallt der Vergleich in Abbildung 6.12 zwischen der realen

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6−5 −1 0 0.4

0.6

0.8

0.9

a/h

b/h

Abbildung 6.12: Der Gutefaktor fkipp - Quotient aus Kippsteifigkeit und Naherungsglei-chung 6.20 in einer Hohenliniendarstellung fur den Vollzylinder, Idealwert: fkipp=1


Kippsteifigkeit und der Naherungsgleichung aus: Die Naherungsgleichung ist fur Vollzylin-

der uberhaupt nicht zu gebrauchen. Nur bei sehr flachen Magnetquerschnitten (a ≪ b)

ist eine akzeptable Abweichung von weniger als 10% zwischen der Kippsteifigkeit und der

Naherung zu erkennen.

Besser sieht die Situation bei den technisch relevanteren Ringen (Hohlzylinder) aus. Da

bei Ringen noch ein Innenradius hinzukommt, muss die Gleichung 6.20 erweitert werden:

sϕϕ =1

2sax a · R2

a +1

2sax i · R2

i (6.22)

Oft steht nur eine Axialsteifigkeit des Gesamtsystems zur Verfugung, deshalb ist bei dieser

Gleichung die Frage zu klaren, wie die Axialsteifigkeit auf den Außenradius sax a und den

Innenradius sax i aufgeteilt werden kann. Wir teilen die Axialsteifigkeit entsprechend des

jeweiligen Umfangs auf:

sax a = sax ·Ra

Ra + Ri

und sax i = sax ·Ri

Ra + Ri

(6.23)

Das in Gleichung 6.22 eingesetzt ergibt:

sϕϕ =1

2sax ·

R3a + R3

i

Ra + Ri

(6.24)

Wenn jetzt anstelle der Außen- und Innenradien der mittlere Radius RM und die Polbreite

b verwendet werden, ergibt sich als Naherungsgleichung folgender Ausdruck:

sϕϕ =1

2sax ·

(

R2M +

3

4b2

)

(6.25)

Mit dieser modifizierten Gleichung lassen sich auch Ringe betrachten. Es ist festzustel-

len, dass mit sinkender bezogener Polbreite der Magnete diese Naherungsgleichung immer

besser wird. Unter der bezogenen Polbreite ist das Verhaltnis der Polbreite zum mittleren

Radius zu verstehen: b/RM (im Gegensatz zur normierten Polbreite: b/h). Beim Vollzylin-

der betragt die bezogene Polbreite b/RM = 2 und geht fur schmale Ringe gegen null. Bei

Ringen mit einer bezogenen Polbreite von b/RM = 0.5 liefert die Naherung fur alle Baufor-

men mit quadratischem Querschnitt oder flacher (a ≤ b) schon auf 10% genaue Ergebnisse.

Bei schlankeren Querschnitten (a > b) werden die Abweichungen allerdings großer und der

Vorzeichenwechsel der Kippsteifigkeit liegt ungefahr bei (a = 4b).

Noch besser wird die Naherung bei einer normierten Polbreite von b/RM = 0.2 (Abb. 6.13).

Fur einen großen Querschnittsbereich (a < 3b) sind die Abweichungen kleiner als 10%, d.h.

Gutefaktor fkipp > 0.9. Aber auch hier wachsen die Abweichungen, je schlanker die Quer-

schnitte sind, und es gibt nach wie vor einen Vorzeichenwechsel der Kippsteifigkeit, der

ungefahr bei (a > 10b) liegt. Obwohl die Naherungsgleichung mit weiter sinkender bezoge-

ner Polbreite b/RM noch besser wird, bleibt dieser Vorzeichenwechsel immer vorhanden.


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

0 0.8 0.9 0.95 0.97

a/h

b/h

Abbildung 6.13: Hohenliniendarstellung des Gutefaktors fkipp fur einen Ring mit bezogenerPolbreite von b/RM = 0.2, Idealwert:fkipp = 1

Der Vorzeichenwechsel kann vermieden werden, wenn die Kippsteifigkeit auf einen anderen

Punkt bezogen wird. Bei der Wahl des symmetrischen Bezugspunktes anstelle des Schwer-

punktes wird immer eine negative Kippsteifigkeit berechnet. Der Vergleich der Kippsteifig-

keit des symmetrischen Punktes mit der Naherungsgleichung 6.25 ergibt durchweg bessere

Gutefaktoren. Betrachten wir als Beispiel wieder Ringe mit einer bezogenen Polbreite von

b/RM=0.2 (Abbildung 6.14), so ist zu erkennen, dass der Gutefaktor sich dicht um die Eins

bewegt, d.h. die Abweichungen bewegen sich in weiten Bereichen nur im Prozentbereich.

Lediglich bei sehr schlanken Querschnitten (a > 8b) wird die 10% Marke d.h. fkipp > 1.1

uberschritten. Sogar beim Vollzylinder (b/RM = 2) werden brauchbare Ergebnisse erzielt

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

61

1.05

1.1

1.2

a/h

b/h

Abbildung 6.14: Gutefaktor fkipp - Quotient aus Kippsteifigkeit des symmetrischen Punktesund Naherungsgleichung 6.25 fur einen Ring mit bezogener Polbreite von b/RM=0.2


(Abbildung 6.15). Im Bereich von sehr flachen bis zu sehr schlanken Querschnitten (a < 8b)

liegen die Abweichungen innerhalb von ±20%. Oberhalb des Bereiches (d.h. fur a > 8b)

werden die Abweichungen jedoch wieder großer.

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

62.0 1.2

1.0

0.9

0.8

0.8

0.9

a/h

b/h

Abbildung 6.15: Gutefaktor fkipp - Quotient aus Kippsteifigkeit des symmetrischen Punktesund Naherungsgleichung 6.25 fur einen Vollzylinder (b/RM=2)

Zusammenfassend kann man sagen, dass die Ersatzgleichung der Kippsteifigkeit 6.25 sich

dann als brauchbar erweist, wenn damit die Kippsteifigkeit des symmetrischen Bezugs-

punktes ermittelt werden soll. Jedoch ist dieses Konzept beschrankt, da nur fur rotor- und

statorseitig baugleiche Magnete ein symmetrischer Bezugspunkt definiert ist. Die Kipp-

steifigkeit des Magnetschwerpunktes kann mit der Ersatzgleichung 6.25 sinnvoller Weise

nur fur Ringe mit einer bezogene Polbreite von b/RM < 0.5 gewonnen werden, wobei die

Magnetquerschnitte wiederum nicht zu schlank (a < 4b) sein durfen.

Betrachten wir abschließend noch als Beispiel die Kippsteifigkeit der in Tabelle 6.1 im

Abschnitt 6.3 vorgestellten Magnetringe. Die Magnetringe haben folgende normierte Pa-

rameter:

• Querschnittsform: a/b = 1

• bezogene Polbreite: b/RM=0.2667

Die Kippsteifigkeit bezuglich des Schwerpunktes betragt:

sϕϕ = −5.61Nm/rad (6.26)

Fur die Kippsteifigkeit bezogen auf den symmetrischen Punkt errechnet sich:

sϕϕ = −5.74Nm/rad (6.27)


Mit der Naherungsgleichung erhalt man eine Kippsteifigkeit von:

sϕϕ = −5.81Nm/rad (6.28)

Damit liefert die Naherungsgleichung mit einer Genauigkeit von 96.6% bzw. 98.7% in

diesem Beispiel sehr gute Werte.

Kapitel 7

Optimierung der Krafte undSteifigkeiten

In diesem Kapitel wird eine Normierung vorgestellt, die es erlaubt, Aussagen uber das

optimale Verhaltnis der Axialkraft zum Bauvolumen bzw. der Radialsteifigkeit zum Bau-

volumen zu erhalten. Als Ergebnis lassen sich einfache Regeln fur optimale Bauformen von

Magneten formulieren.

7.1 Optimierung der spezifischen Axialkraft

In ahnlicher Weise wie im Kapitel 6 wird jetzt eine Normierung vorgestellt, die Aussa-

gen uber die spezifische Axialkraft ermoglicht. Unter der spezifischen Axialkraft ist das

Verhaltnis von Axialkraft zu Volumen zu verstehen. Dazu teilen wir die Axialkraft durch

das Gesamtvolumen der Anordnung, d.h. das Volumen aller Magnete und das dazwischen-

liegende Spaltvolumen. Bei zwei Ringmagneten lautet das gesamte Bauvolumen:

V = 2πRmb(2a + h) (7.1)

Weiterhin teilen wir die Kraft wieder durch den Referenzdruck σref (Gleichung 6.10). Um

schließlich eine dimensionslose Große zu erhalten, multiplizieren wir den Ausdruck mit der

Spaltweite h:

F ∗

z = Fz ·1

σref

· h

V(7.2)

Diese Normierung hat mit der Normierung aus Kapitel 6 gemeinsam, dass der normier-

te Magnetradius RM/h wieder als ein schwacher Parameter enthalten ist. Die normierte

Kraft ist somit wieder nur von der Querschnittsform abhangig und wir konnen deshalb zum

ebenen Modell ubergehen. Die nach Gleichung 7.2 normierte Axialkraft von Einfachring-

Lagern wurde nun als Funktion der normierten Magnethohe a/h und der normierten Pol-

breite b/h mit einer Schrittweite von 0.1 in den Bereichen von 0.1 bis 5 bestimmt. In

Abbildung 7.1 ist die normierte Axialkraft als Funktion der normierten Breite b/h und der

Kapitel 7: Optimierung der Krafte und Steifigkeiten 87

0 1 2 3 4 501

23

450

0.01

0.02

0.03

0.04

b/ha/h

F*ax2D

Abbildung 7.1: Normierte Axialkraft von Einfach-Ringen

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

10E−3 20E−3 30E−3

35E−3

2:1 1:1

1:2 Maximum

b/h

a/h

Abbildung 7.2: Draufsicht auf die normierte Axialkraft F ∗

max=35.53E-3, a/h = 2.2,b/h = 2.5, Schrittweite 0.1

88 Kapitel 7: Optimierung der Krafte und Steifigkeiten

normierten Hohe a/h dargestellt. In der nachsten Abbildung 7.2 ist wieder die Hohenlini-

endarstellung zu sehen. In beiden Darstellungen ist ein (wenn auch flaches) Maximum zu

erkennen. Es liegt bei a/h = 2.2, b/h = 2.5 mit dem dimensionslosen Wert F ∗

z = 35.53E−3.

Die Bedeutung dieser normierten Darstellung darin, dass sie eine wichtige Information uber

die spezifische Axialkraft (Axialkraft/Bauvolumen) enthalt. Wenn wir Gleichung 7.2 nach

der spezifischen Axialkraft umstellen, dann erhalten wir:

Fz

V= F ∗

z

(

a

h,b

h

)

· σref

h(7.3)

Die spezifische Axialkraft ist nach dieser Gleichung eine Funktion von drei Parametern:

• normierte Axialkraft F ∗

z

• Spalt h

• Referenzdruck σref

Der Referenzdruck ist ausschließlich eine materialabhangige Große und wird hier nicht

weiter betrachtet. Die anderen beiden Großen sind rein geometrischer Natur. Um eine ma-

ximale spezifische Kraft zu erhalten, muss der Spalt h so klein wie moglich und gleichzeitig

die normierte Kraft maximal sein. Wenn beim Entwurf zuerst die Spaltweite h festgelegt

wird, dann kann man aus den Abbildungen 7.1 bzw. 7.2 direkt die optimalen Abmessungen

der Magnetringe fur eine maximale spezifische Axialkraft entnehmen. Wird beispielsweise

ein Spalt von 1mm gewahlt, so wird bei einer Polhohe von 2.2mm und einer Magnetbreite

von 2.5mm eine maximale Materialausnutzung d.h. die maximale Kraft pro Bauvolumen

erreicht.

7.1.1 Multiringmagnete

Als nachstes werden Doppelringmagnete betrachtet. Um die Zahl der Parameter nicht zu

Abbildung 7.3: Doppelringmagnete

erhohen, haben die jeweiligen Teilringe immer gleiche Querschnitte, d.h. gleiche Breite

und gleiche Hohe. Die normierte Kraft der Doppelringe wurde ebenfalls als Funktion der

normierten Magnethohe und der normierten Polbreite mit einer Schrittweite von 0.1 in


0 1 2 3 4 501

23

450

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

b/ha/h

F*ax2D

Abbildung 7.4: Normierte Axialkraft von Doppelringen

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

10E−3 20E−3 30E−3

40E−3

2:1 1:1

1:2 Maximum

b/h

a/h

Abbildung 7.5: Normierte Axialkraft von Doppelringen - Draufsicht: F ∗

max=43.97E-3,a/h=2.1, b/h=3.3, Schrittweite 0.1


den Bereichen von 0.1 bis 5 bestimmt. Die Darstellung findet sich in Abbildung 7.4. Die

angegebene normierte Polbreite bezieht sich auf die Breite eines Einzelrings, nicht auf die

Gesamtpolbreite. In der Abbildung 7.5 ist wieder die Draufsicht zu sehen. Bei Doppelrin-

gen verschiebt sich das Maximum zu etwas flacheren Magnetformen. Die normierte Hohe

bleibt fast unverandert, die normierte Breite wachst auf b/h = 3.3. Das Maximum betragt

F ∗

z = 43.97E − 3, das ist eine Steigerung um 24% gegenuber den Einfachringen. Nach den

Doppelringen konnen nun Dreifachringe, Vierfachringe usw. untersucht werden. Sie ergeben

ahnliche Darstellungen. In der folgenden Tabelle 7.1 ist nur die Lage und der Betrag der

jeweiligen Maxima dargestellt. Mit wachsender Ringzahl konvergiert sowohl die Position

als auch der Betrag des Maximums.

Tabelle 7.1: Lage und Betrag der Maxima der normierten Axialkraft bei Ein- und Mehrfach-Ringen

RingzahlnormierteHohe a/h

normierteBreite b/h

Maximum

1 2.2 2.5 35.5E-3

2 2.1 3.3 44.0E-3

3 2.1 3.7 44.4E-3

4 2.1 3.9 45.4E-3

5 2.1 4.0 45.9E-3

6 2.1 4.0 46.3E-3

7 2.1 4.1 46.5E-3

8 2.1 4.1 46.7E-3

9 2.1 4.1 46.9E-3

10 2.1 4.1 47.0E-3

7.1.2 Entwurfsregeln fur eine optimale Axialkraft

Man kann anhand der Diagramme und der Tabelle 7.1 feststellen, dass das Optimum der

Axialkraft ungefahr dann erreicht wird, wenn die Hohe etwa das Doppelte der Spaltweite

und die Polbreite etwa das Vierfache der Spaltweite betragt. Diese Regel liefert selbst bei

Einfach-Ringen aufgrund des flachen Maximums ein noch gutes Ergebnis von 85% des

Maximalwertes. Es ergeben sich folgende Entwurfsregeln:

1. Die Spaltweite h ist so klein wie technisch moglich zu wahlen

2. Die Magnethohe a ist etwa doppelt so groß wie die Spaltweite zu setzen.

3. Die Magnetbreite b ist etwa viermal so groß wie die Spaltweite zu setzen.


7.2 Optimierung der spezifischen Radialsteifigkeit

Analog zur Axialkraft entwickeln wir jetzt eine Normierung der Radialsteifigkeit mit dem

Ziel, Aussagen uber die spezifische Radialsteifigkeit, d.h. das Verhaltnis von Radialstei-

figkeit zu Bauvolumen, zu erhalten. Die spezifische Radialsteifigkeit hat die Dimension

Druck/Flache. Wir teilen den Ausdruck durch den Referenzdruck (Gleichung 6.10). Als

,,Referenzflache” wahlen wir das Quadrat der Spaltweite h. Es ergibt sich ein dimensions-

loser Ausdruck, den wir als normierte Radialsteifigkeit bezeichnen wollen:

s∗r =sr

V· h2

σref

(7.4)

Das Volumen V enthalt, wie schon in Abschnitt 7.1, neben dem Volumen beider Magnete

auch das Spaltvolumen. Auch hier konnen wir uns wieder auf die Betrachtung der Quer-

schnittsform beschranken, da der Einfluss des Radius vernachlassigbar ist. In Abbildung 7.6

ist die normierte Radialsteifigkeit der Einfach-Ringe als Funktion der normierten Polbreite

b/h und der normierten Magnethohe a/h im Bereich von 0.1 bis 5 bei einer Schrittweite

von 0.1 dargestellt.

Die Abbildung 7.7 enthalt die Draufsicht als Hohenliniendarstellung. An der Stelle a/h =

1.2 und b/h = 1.2 ist ein Maximum von s∗r = 19.06E − 3 zu erkennen. Das heißt, wenn

die Hohe und die Breite des Magneten etwa 20% großer als die Spaltweite sind, dann

ist die normierte Radialsteifigkeit maximal. Aus der normierten Radialsteifigkeit kann die

spezifische Radialsteifigkeit, d.h. das Verhaltnis von Radialsteifigkeit zu Volumen, nach

folgender Gleichung bestimmt werden:

sr

V= s∗r ·

σref

h2(7.5)

Danach ist die spezifische Radialsteifigkeit eine Funktion des Referenzdrucks, der Spaltweite

und der Bauform.

Wenn man (z.B aus konstruktiven Grunden) die Spaltweite festlegt, dann kann man aus

Abbildung 7.6 bzw. 7.7 unmittelbar die spezifische Radialsteifigkeit ablesen. Betragt die

Spaltweite zum Beispiel 1mm, dann muss der Magnetring eine Hohe und eine Polbreite von

1.2mm besitzen, um eine fur diese Spaltweite maximale spezifische Steifigkeit zu entwickeln.

Fur das im Kapitel 1 angefuhrte Beispiel des Lagers der Turbomolekularpumpe liegt die

normierte Radialsteifigkeit mit einen Wert von s∗r = 4.8E − 3 an der Stelle a/h = 6.6 und

b/h = 6.6 um nahezu den Faktor 4 unterhalb des theoretischen Optimums.


0 1 2 3 4 501

23

450

0.005

0.01

0.015

0.02

b/ha/h

Sr2D*

Abbildung 7.6: Normierte Radialsteifigkeit von Einfachringen

0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

58E−3

10E−3

12E−3

14E−3

16E−3

18E−3

2:1 1:1

1:2

Maximum

b/h

a/h

Abbildung 7.7: Normierte Radialsteifigkeit von Einfachringen: s∗rmax=19.06E-3, a/h=1.2,b/h=1.2, Schrittweite 0.1


7.2.1 Multiringmagnete

Die Normierung verlauft genau wie bei den Einfach-Magnetringen. Auch hier wird festge-

legt, dass alle Teilringe immer die gleichen Hohen und Polbreiten besitzen. Das Maximum

0 1 2 3 4 501

23

450

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

b/ha/h

Sr2D*

Abbildung 7.8: Normierte Radialsteifigkeit von Doppelringen

der Doppelringe liegt mit a/h = 1.1 und b/h = 1.5 in der Nahe des Maximums der Ein-

fachringe, der Betrag liegt jedoch mit s∗r=24.9E-3 um 30% uber dem Wert der Einfachringe.

Damit ist deutlich, dass zumindest in der Nahe der optimalen Bauform Doppelringe den

Einfachringen uberlegen sind. Diese Untersuchung lasst sich jetzt auf Mehrfachringe erwei-

tern. Die Ergebnisse ahneln den schon untersuchten Anordnungen. In der folgenden Tabelle

sind nur die Maxima mit den dazugehorigen Abmessungen dargestellt. Man erkennt, dass

sich mit wachsender Ringzahl die Lage des Maximums kaum noch verschiebt.

Tabelle 7.2: Lage und Betrag der Maxima der normierten Radialsteifigkeit bei Ein- undMehrfach- Ringen

RingzahlnormierteHohe a/h

normierteBreite b/h

Maximum

1 1.2 1.2 19.1E-3

2 1.1 1.5 24.9E-3

3 1.1 1.7 25.7E-3

4 1.1 1.8 26.4E-3

5 1.1 1.8 26.8E-3

6 1.1 1.8 27.1E-3


0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

5E−3 10E−3

15E−3

20E−3

2:1 1:1

1:2

Maximum

b/h

a/h

Abbildung 7.9: Normierte Radialsteifigkeit von Doppelringen: s∗rmax=24.90E-3, a/h = 1.1,b/h = 1.5, Schrittweite 0.1

7.2.2 Entwurfsregeln fur eine optimale Radialsteifigkeit

Fur den Entwurf optimaler Multiring-Magnetgeometrien lassen sich aus den Gleichungen

und den dargestellten Diagrammen folgende einfache Regeln ableiten:

1. Die Spaltweite ist so klein wie technisch moglich zu wahlen

2. Die Magnethohe ist etwa gleich der Spaltweite zu setzen.

3. Die Magnetbreite ist etwa doppelt so groß wie die Spaltweite zu setzen.

Diese Regeln sind als grobe Faustregeln zu verstehen. Betrachtet man die Umgebung der

Maxima, so erkennt man einen gewissen Spielraum. Die Polbreite kann beispielsweise auch

schmaler gewahlt werden, ohne dass eine deutliche Reduzierung der normierten Radialstei-

figkeit auftritt. Auf jeden Fall fuhren diese Regeln zu wesentlich schlankeren Magnetgeo-

metrien. Bei einer Spaltweite von 0.6mm waren beispielsweise Magnethohen von 0.6mm

und Polbreiten von 1.2mm optimal.

Weiterhin sei auf einen moglichen Fehlschluss hingewiesen: Wenn man zwei Magnetringe

mit den Abmessungen aus Tabelle 6.1 zur Verfugung hat (Originalring mit einer Bauhohe

von 4mm und gleicher Polbreite), dann ist bei einer Spaltweite von 4.8mm die normierte

Radialsteifigkeit maximal. Es ist jedoch falsch, dies als Spaltweite zu benutzen, da die


spezifische Radialsteifigkeit dann viel kleiner ist, als bei einer Spaltweite von 0.6mm. Das

verdeutlicht folgende Gleichung:

sr

V= s∗r ·

σref

h2(7.6)

Der Formfaktor s∗r steigt zwar auf das 3.9fache des Ausgangswertes, jedoch schrumpft der

zweite Term durch den quadratischen Einfluss der vergroßerten Spaltweite auf rund 2%

seines Ursprungswertes. Die hier vorgestellten Optimierungsregeln sind nur dann sinnvoll,

wenn man die Abmessungen der Magnete frei wahlen kann. Sind die Abmessungen schon

festgelegt, dann gilt als einzige Optimierungsregel der fast triviale Satz: Die Spaltweite ist

so klein wie technisch moglich zu halten.

7.3 Vergleich von Multiringen mit dem Halbach-Array

Betrachtet man die Aneinanderreihung von abwechselnd polarisierten Magnetringen, so

kann man eine Ahnlichkeit mit einem Halbach-Array erkennen. Ein Halbach-Array ist eine

B

Abbildung 7.10: Halbach Array aus 16 Magneten

auf K. Halbach [59] zuruckgehende Anordnung von Magneten zu einem Hohlzylinder. Die

einzelnen Magnetsegmente haben gegenuber dem Nachbarsegment eine um einen bestimm-

ten Winkel verdrehte Magnetisierungsrichtung. Die Abbildung 7.10 zeigt ein Array aus 16

Magneten. Durch diese Anordnung ist es moglich, innerhalb des Hohlzylinders sehr starke

Magnetfelder zu erzeugen. Die Starke des Feldes ist vom Verhaltnis des Außenradius zum

Innenradius abhangig und sie kann auch großer als die Remanenz der Magnete sein. Die

Homogenitat des Feldes hangt von der Anzahl der Segmente am Umfang ab. Wenn man ein

Array abrollt (Abbildung 7.11) und mit den Multiring-Lagern vergleicht, kann man in den

Multiringen ein sehr grobes Halbach-Array erkennen. Der Unterschied liegt im Anderungs-

winkel der Magnetisierungrichtung zwischen zwei Nachbarmagneten. In der abgerollten

Darstellung in Abbildung 7.11 betragt dieser Winkel 45◦. Steigt dieser Anderungswinkel

auf 90◦, so erhalten wir die Anordnung im linken Teil von Abbildung 7.12, und schließlich


Abbildung 7.11: Ein abgerolltes Halbach-Array

Abbildung 7.12: Halbach-Array bei einer Anderung der Magnetisierungsrichtung von 90◦

(linkes Bild) und 180◦ (rechtes Bild - Multiringe)

mit einem Winkel von 180◦ ergeben sich die Multiringmagnete. Nun ist ein Halbach-Array

fur starke Magnetfelder ausgelegt, nicht fur große Krafte, es liegt jedoch der Gedanke nahe,

zu prufen ob solche Magnetisierungen noch eine Steigerung der Krafte und Steifigkeiten

ermoglichen. Solche Untersuchungen wurden schon von Yonnet u.a. in [22] durchgefuhrt.

In dieser Arbeit wird ein repulsives Radiallager mit (wie es dort heißt)”rotierender“ Ma-

gnetisierung (siehe Abbildung 7.12 links) mit einem Lager verglichen, dass mit den hier

vorgestellten Multiringen vergleichbar ist. Durch die rotierende Magnetisierung wird bei

gleichem Bauvolumen eine um den Faktor 1.8 großere Steifigkeit erzielt. Um diese These

zu uberprufen, wurde ein steifigkeitsoptimiertes Dreifach-Ringlager mit einem entsprechen-

den Lager mit rotierender Magnetisierung verglichen. Das Dreifachringlager hat folgende

Daten:

• Magnethohe: 1mm

• Polbreite: 2mm

• Spaltweite: 1mm

• Ringdurchmesser: 40mm/44mm/48mm/52mm

• Flachenstrom: 950kA/m

Die Berechnung mit FEMM [38] ergab fur das Dreifach-Ringlager:

sax = −78.55N/mm (7.7)

Fur die entsprechende rotierende Magnetisierung errechnet sich:

sax = −149.25N/mm (7.8)

Das entspricht einer Steigerung um den Faktor 1.9, was die Aussagen von Yonnet [22]

somit bestatigt und deutlich macht, in welche Richtung weitere Untersuchungen gehen

mussen. In dieser Arbeit liegt der Schwerpunkt auf der Suche einer optimalen Bauform

von ausschließlich axial magnetisierten Ringen. Durch die Arbeit von Yonnet wird offen-

sichtlich, dass es auch erfolgversprechend ist, uber verschiedene Magnetisierungsrichtungen


Abbildung 7.13: Feldlinienbilder der FEMM Rechnung, links: steifigkeitsoptimalesDreifach-Ringlager, rechts: rotierende Magnetisierung

nachzudenken. Allerdings ist bei dieser Form der rotierenden Magnetisierung keine axiale

Stapelung wie bei den Multiringen moglich. Die Kombination beider Ansatze, die Suche

nach einer optimalen Bauform und die Suche nach optimalen Magnetsierungsrichtungen,

ist ein interessanter Ansatzpunkt fur weitergehende Arbeiten.

Kapitel 8

Entwurf optimierter Magnetlager

In diesem Kapitel werden drei Magnetlager vorgestellt, die anhand der Optimierungsre-

geln aus dem Kapitel 7 entworfen wurden. Zuerst stellen wir einen optimierten Entwurf des

Lagers der Turbomolekularpumpe vor. Danach wird ein reines Traglager (optimale Axi-

alkraft) vorgestellt und schließlich ein Radiallager (optimale Radialsteifigkeit) fur einen

Rotor mit einer Masse von 100kg.

8.1 Optimiertes Lager der Turbomolekularpumpe

Das (Original-) Lager der in Kapitel 1 erwahnten Turbomolekularpumpe besitzt eine Radi-

alsteifigkeit von rund 200N/mm und besteht aus neun koaxial aufgereihten Magnetringen

mit quadratischem Querschnitt von a = b = 4mm. Funf Ringe sitzen auf dem Stator und

vier Ringe auf dem Rotor. Der Außenradius betragt 17mm, der Innenradius 13mm. Die

Spaltweite betragt 0.6mm. Bild 8.1 zeigt in der linken Halfte den Lagerquerschnitt. Wenn

Tabelle 8.1: Steifigkeiten und Volumina des Originallagers der Turbomolekularpumpe sowiedes optimierten Entwurfes, bei einem Flachenstrom von K = 950kA/m.

Original-Lager optimiertes Lager

Volumen V 15.4cm3 4cm3

Radialsteifigkeit sr 198N/mm 218N/mm

Kippsteifigkeit sϕϕ -24.6Nm/rad -47.9Nm/rad

vorausgesetzt wird, dass als Randbedingung die Außen- und Innenradien der Originalringe

die Grenzen des Bauraums darstellen und der Spalt von 0.6mm erhalten bleibt, so kann

man beispielsweise in den Bauraum Vierfachringe einsetzen. Nach Tabelle 7.2 waren Ma-

gnetringe mit einer Hohe von a = 0.66mm und einer Polbreite von b = 1.08mm optimal.

Werden sieben solcher Vierfachring-Scheiben (3 rotorseitig, 4 statorseitig) ubereinander

gestapelt, so erhalten wir eine Radialsteifigkeit von 197N/mm. Das Lager hatte dann eine

axiale Bauhohe von 8.22mm. Das Querschnittsmaß der Magnete ist aber recht klein und es

Kapitel 8: Entwurf optimierter Magnetlager 99

ist fraglich, ob derartig dunne Magnetringe eine genugende mechanische Stabilitat besit-

zen. Wir unternehmen daher noch einen zweiten Entwurf mit etwas großeren Magneten. In

dem radialen Bauraum von 13 bis 17mm ist auch Platz fur ein Dreifachring-Lager mit einer

Magnethohe von 1mm und einer Polbreite des Einzelringes von 1.3mm. Mit jeweils drei

rotorseitigen und vier statorseitigen Ringscheiben erhalten wir die Steifigkeiten aus Tabel-

le 8.1, die Gesamtbauhohe des Lagers betragt 10.6mm. Das Ergebnis ist ein Lager, das bei

gleicher Radialsteifigkeit nur 26% der ursprunglichen Bauhohe benotigt. Das optimierte

Lager ist in der rechten Halfte von Bild 8.1 dargestellt.

originale

Bauhöhe:

40.8mm

optimierte

Bauhöhe:

10.6mm

RotorStator

Stator

Abbildung 8.1: Querschnitt des vorhandenen Lagers(links) und ein optimierter Entwurf(rechts)

Eine technische Herausforderung stellt die Fertigung derartig dunner Ringe dar. Außerdem

fallt auf, dass die negative Kippsteifigkeit deutlich großer geworden ist (Tabelle 8.1). Zur

Kippstabilisierung ware es angebracht, die Lagerung aus zwei Teillagern aufzubauen, die

sich mit hinreichendem axialen Abstand gegenseitig stabilisieren. Weiterhin ist anzumer-

ken, dass bei diesem Entwurf das optimale Ergebnis von zwei Multiring-Scheiben einfach

auf die Stapel ubertragen worden ist. Das Beispiel liefert ein sehr gutes Ergebnis vergli-

chen mit dem Originallager, aber es muss nicht zwingend ein optimales Ergebnis fur solche

Stapel sein. Streng genommen mussten Stapelanordnungen separat untersucht werden.

100 Kapitel 8: Entwurf optimierter Magnetlager

8.2 Entwurf eines Traglagers

Als Traglager verstehen wir ein Lager, das nur die Aufgabe hat, eine Axialkraft zu entwi-

ckeln, um beispielsweise das Rotorgewicht zu tragen. Die Stabilitat ist dabei zweitrangig.

Sinnvoll ist beispielsweise ein Einsatz zur magnetischen Entlastung von Kugellagern. Sol-

che Konzepte wurden unter anderen von [60] vorgeschlagen bzw. realisiert.

Bei diesem Entwurf ist das Kriterium eine maximale Axialkraft bei minimalem Magnet-

volumen. Fur eine Rotormasse von 100kg benotigen wir eine Axialkraft von rund 1000N .

Nehmen wir weiterhin eine Spaltweite von 1mm an, so ergeben sich entsprechend der Regeln

fur eine kraftoptimale Auslegung folgende optimale Querschnittsmaße fur einen Einzelring:

• Magnethohe a : 2mm

• Polbreite b : 4mm

Im Bild 8.2 sind zwei Magnetscheiben mit jeweils 8 Ringen zu einem Lager zusammen-

gefugt. Die obere Magnetscheibe konnte am Stator befestigt sein und die untere am Rotor.

50mm

1mm

4mm

2mm

18mm

Abbildung 8.2: Achtfachring-Traglager mit einer Axialkraft von 1000N

Bei einer Spaltweite von 1mm entwickelt dieses Lager eine Axialkraft von rund 1000N .

Die Tabelle 8.2 enthalt die Kraft und die Steifigkeiten. Die Kipp- und Koppelsteifigkeit

Tabelle 8.2: Traglagerdaten bei einer Koerzitivfeldstarke von HC = 1000kA/m

Original

Axialkraft Fz 1003N

Radialsteifigkeit sr 413N/mm

Koppelsteifigkeit sϕr 117.7N/rad

Kippsteifigkeit sϕϕ −571.2Nm/rad

beziehen sich auf den Schwerpunkt des unteren Magneten. Die Radialsteifigkeit ist mit

rund 400N/mm nur doppelt so groß wie im Beispiel der Turbomolekularpumpe und damit

fur diese Rotormasse sehr gering.

Eine interessante Traglagervariante wird in [61] vorgeschlagen. Wenn in Abbildung 8.2

noch eine dritte Scheibe hinzugefugt wird, die aber repulsiv angeordnet ist, so erhalt man


neben einer Verstarkung der Axialkraft auch ein Lager, das in Summe keine Steifigkeit

besitzt. Die repulsive Anordnung hat ein der attraktiven Anordnung genau entgegengesetz-

tes Stabilitatsverhalten: negative Radialsteifigkeit und positive Axialsteifigkeit. Da sich die

Steifigkeiten aller Magnetscheiben uberlagern, besitzt diese Anordnung im Arbeitspunkt

keine Steifigkeit.

repulsiv

attraktiv

Abbildung 8.3: Traglager mit Nullsteifigkeit

8.3 Entwurf eines Radiallagers

Das Traglager aus dem letzten Abschnitt ermoglicht nur eine vertikale Anordnung der

Welle. Fur eine horizontale Anordnung benotigen wir das Radiallagerkonzept, das in der

Turbomolekularpumpe in Abschnitt 8.1 zum Einsatz kommt. Entscheidend bei diesem

Konzept ist das Verhaltnis der Radialsteifigkeit zur Rotormasse. Die positive Radialsteifig-

keit fuhrt schon bei geringer radialer Auslenkung zu einer Ruckstellkraft in der Große der

Gewichtskraft des Rotors. Bei einer Radialsteifigkeit von 200N/mm hat das Radiallager

bei horizontaler Wellenlage bedingt durch die Rotormasse rund 2kg einen Durchhang von

ungefahr 0.1mm. Wenn wir diesen Wert als zulassigen Durchhang setzen, so erhalten wir

als Regel fur das Verhaltnis von Masse zu Steifigkeit:

• 1kg Masse braucht eine radiale Steifigkeit von 100N/mm

Damit benotigen wir fur 100kg Rotormasse eine Radialsteifigkeit von 10000N/mm. Die

Relation von Steifigkeit und Masse entspricht gleichzeitig auch einer Eigenfrequenz des

Rotors:

f =1

2π

√

s

m(8.1)

Fur die obigen Richtwerte ergibt sich eine Frequenz von:

f =1

2π

√

100kN/m

1kg= 50.33Hz ≈ 50Hz (8.2)

Da diese Frequenz allerdings der elektrischen Netzfrequenz entspricht, konnte das fur netz-

gekoppelte Anwendungen ein Problem darstellen. Bei der Turbomolekularpumpe mit einer

Drehzahl von 51600min−1(860Hz) liegt diese Resonanz weit unterhalb des Arbeitsberei-

ches. Es ist also je nach Anwendungsfall zu prufen, ob nicht eine andere Frequenz geeigneter


ist. Wenn eine niedrigere Frequenz gewahlt wird, so genugt eine geringere Radialsteifigkeit

und das Lager kann kleiner gebaut werden. Jedoch steigt mit einer geringeren Steifigkeit

der Rotordurchhang bei horizontaler Wellenlage. Die Tabelle 8.3 gibt dazu einen Uberblick.

Der Rotordurchhang darf nicht in die Großenordnung der Polbreite wachsen, da sich dann

die Stabilitatsverhaltnisse grundlegend andern. Fur den folgenden Entwurf gehen wir von

Tabelle 8.3: Lagerdurchhang und Eigenfrequenzen bei verschiedenen Radialsteifigkeitenund einer Rotormasse von 1kg

Radialsteifigkeit [kN/m] Durchhang [mm] Eigenfrequenz [Hz]

100 0.1 50

50 0.2 36

33 0.3 29

25 0.4 25

20 0.5 23

einem Durchhang von 0.1mm aus. Da fur die Lagerabmessungen keine Randbedingungen

vorliegen, wahlen wir einen Außendurchmesser von 100mm, da dies den zur Zeit großten

verfugbaren Magnetringen entspricht. Den Innendurchmesser der Magnetringe setzen wir

auf 80mm. Dieser Wert erscheint sinnvoll, wenn man die Innendurchmesser von Walzla-

gern fur diese Großenordnung zum Vergleich heranzieht [62]. Wir wahlen weiterhin eine

Spaltweite von h = 1mm. Aufgrund der Optimierungsregeln fur die steifigkeitsoptimale

Auslegung sind die Querschnittsmaße der Einzelringe damit sofort gegeben: Die einzelnen

Ringe mussen eine Polbreite von b = 2mm und eine Magnethohe von a = 1mm besitzen.

Durch die festgelegten Radien ist dann Platz fur ein Funffach-Ringlager. In der Abbil-

1mm

50mm

40mm 3mm

Abbildung 8.4: Grundbaustein fur ein 100kg Lager

dung 8.4 ist ein Grundbaustein fur ein solches Lager dargestellt und die Abbildung 8.5

zeigt einen vergroßerten Ausschnitt. Die Daten dieser zwei Magnetscheiben finden sich

in der Tabelle 8.4. Mit einer Radialsteifigkeit von rund 140kN/m und einem zulassigen

Durchhang von 0.1mm ist dieses Lager fur eine Rotormasse von 1.4kg geeignet. Um auf

die geforderte Rotormasse von 100kg zu gelangen, muss die Radialsteifigkeit um den Fak-

tor 72 erhoht werden. Das kann durch Hinzufugen weiterer baugleicher Magnetscheiben

erreicht werden, die axial ubereinander gestapelt werden. Es sind insgesamt 73 Magnet-

scheiben notwendig: 36 Rotorscheiben und 37 Statorscheiben. Das Lager hat dann eine


Stator

Rotor

1mm

2mm

Abbildung 8.5: Vergroßerte Darstellung des Funffachring-Lagers aus Abbildung 8.4

Tabelle 8.4: Funffachring-Lager nach Abb. 8.4 mit einem Flachenstrom von K = 1000kA/m

Außenradius Ra 50 mm

Innenradius Ri 40 mm

Spaltweite h 1 mm

Magnethohe a 1 mm

magn. Polbreite b 2 mm

Axialkraft Fz 189.6 N

Radialsteifigkeit sr 139 kN/m

Kippsteifigkeit sϕϕ -285 Nm/rad

Koppelsteifigkeit sϕr 44.6 N/rad

axiale Bauhohe von 145mm. In der Abbildung 8.6 ist ein Ausschnitt aus diesem Entwurf

zu sehen. Anhand der Darstellung wird ein konstruktives Problem deutlich: Die dichte

4mm

Stator

Rotor

Abbildung 8.6: Ausschnitt aus dem 100kg Lager

Packung der Magnete in Bild 8.6 ist nur moglich, wenn die Multiringscheiben hinreichend

stabil sind. Das Magnetmaterial ist aber ein sprodes Material und damit leicht zerbrechlich.

Das Problem wird durch die Unterteilung der Scheiben in dunne Ringe noch verstarkt. Es

ist zwar moglich, solche dunnen Ringe herzustellen, ob sie aber in der Lage sind, freitragend

die Krafte auszuhalten, kann als fraglich angesehen werden. Deshalb gehen wir in einem

zweiten Entwurf von der Annahme aus, dass die Magnete auf ein stabiles Tragermaterial


aufgebracht werden. In der Abbildung 8.7 ist das Prinzip dieser Anordnung zu sehen. Wir

setzen die Scheiben auf ein 1mm starkes unmagnetisches Tragermaterial, beispielsweise aus

Aluminium oder einem unmagnetischen Stahl. Diese stabilere Anordnung benotigt jetzt fur

Stator

1mm

1mm

Rotor

8mm

Abbildung 8.7: Multiringe auf einem stabilen Tragermaterial

die gleiche Radialsteifigkeit den doppelten Bauraum, da neben dem Tragermaterial auch

die doppelte Anzahl Magnetringe eingesetzt werden muss. Das gesamte Radiallager besitzt

bei gleichbleibenden Radien eine axiale Baulange von 289mm. Es ist jedoch sinnvoll, zur

Vermeidung der Kippinstabilitat, das Lager in zwei Einheiten zu teilen, die sich gegenseitig

stabilisieren konnen. In Abbildung 8.8 ist ein solches Teillager mit einer Radialsteifigkeit

von sr = 5000N/mm und einer axialen Lange von 145mm skizziert.

Von Fremerey [63] stammt der Vorschlag, als Tragermaterial der Magnetringe ein permea-

bles Material wie Stahl zu verwenden. Der Vorteil liegt in der Einsparung von Magnetma-

terial, da ein Permanentmagnet auf einer hoch permeablen Flache praktisch sein Volumen

verdoppelt. Dieser Effekt lasst sich gut durch das Modell der Spiegelladungen [14] erklaren:

Da die Grenzflache des permeablen Materials wie ein Spiegel fur den Magneten wirkt,

genugt die Halfte der Magnetbauhohe, um eine bestimmte Kraft zu erzeugen. Allerdings

ist beim Einsatz von permeablen Material Vorsicht geboten, da insbesondere die negativen

Steifigkeiten (Axialsteifigkeit und Kippsteifigkeit) uberproportional stark anwachsen. Dar-

auf wurde schon in [2] bei der Bewertung von Reluktanzlagern hingewiesen. Jedoch ist das

Reluktanzlager ein besonders ungunstiger Fall, da sich direkt am Spalt Eisenpolschuhe ge-

genuberstehen, wahrend hier nur ein Eisenruckschluss zum Einsatz kommt, der sich relativ

weit weg vom Spalt befindet. Man kann daher davon ausgehen, dass der Anstieg der nega-

tiven Steifigkeiten nicht so stark ausfallt. Die Berechnung solcher Magnetanordnungen ist


60m

m

110m

m

145mm

Welle

Magnetmaterial

Abbildung 8.8: Die Abmessungen eines 50kg-Radiallagers mit einer Radialsteifigkeit vonsr = 5000N/mm

nicht mehr mit den hier vorgestellten Rechenmodellen, sondern nur mit numerischen Pro-

grammen (FEM) moglich. Bei der Bewertung solcher Lager ist das Augenmerk besonders

auf das Verhalten der negativen Steifigkeiten zu legen.

8.3.1 Fertigung der Ringe

Die nach den Optimierungskriterien notwendigen dunnen Ringe sind von Magnetherstellern

nicht standardmaßig lieferbar. Daher wurden im Forschungszentrum Julich solche Ringe

selbst hergestellt. Aus dem Rohmaterial wurden mittels Drahterodieren Ringe mit 2×1mm

Querschnitt gefertigt und anschließend auf die in der Tabelle 8.5 angegebenen Maße ge-

schliffen. Fur ein Funffachring-Lager sind entsprechend funf verschiedene Ringtypen not-

Tabelle 8.5: Abmessungen der aus NdFeB-Rohmaterial gefertigten Magnetringe

Magnettyp Außendurchmesser Innendurchmesser Hohe

Nr. 01 99.5mm 95.5mm 1mm

Nr. 02 95.5mm 91.5mm 1mm

Nr. 03 91.5mm 87.5mm 1mm

Nr. 04 87.5mm 83.5mm 1mm

Nr. 05 83.5mm 79.5mm 1mm

wendig. Die Fertigung der Ringe aus dem Rohmaterial, deren Magnetisierung sowie die

anschließende Montage verlief erfolgreich. Zur Montage mussten geeignete Fugevorrichtun-

gen entwickelt werden, da es aufgrund der Krafte nicht moglich ist, die Ringe von Hand

ineinander zustecken. Das Ergebnis, eine Magnetscheibe aus funf ineinander gesteckten


Abbildung 8.9: Prototyp eines Funffach-Ringlagers

Ringen, ist in Bild 8.9 dargestellt. Messungen der tatsachlichen Krafte und Steifigkeiten

stehen zum gegenwartigen Zeitpunkt noch aus.

Auch wenn in diesem Stadium noch nicht alle technologischen Fragen geklart sind, so

ist doch abzusehen, dass die Bauformreduktion einen erhohten Fertigungsaufwand nach

sich zieht. Wie sich das auf die Kosten auswirkt, kann noch nicht abgeschatzt werden. Da

die Kosten fur das Magnetmaterial vernachlassigbar sind, erwachst aus der Materialeinspa-

rung nur ein sehr geringer Kostenvorteil. Mehr von Bedeutung ist der Aspekt, dass durch

kleinere, kompaktere Magnetlager konstruktive Freiheitsgrade geschaffen werden, die es

ermoglichen neue Anwendungsfelder zu erschließen.

Kapitel 9

Zusammenfassung und Ausblick

Im Rahmen dieser Arbeit wurden analytische Gleichungen entwickelt, mit denen alle rele-

vanten Krafte und Steifigkeiten berechnet werden konnen. Das sind fur rotationssymme-

trische Systeme:

• Axialkraft

• Axialsteifigkeit

• Radialsteifigkeit

• Kippsteifigkeit

• Koppelsteifigkeit

Die Kraft- und Steifigkeitsgleichungen wurden aus Feldgleichungen gewonnen, die großten-

teils der Literatur entnommen, teilweise auch selbst hergeleitet worden sind. Die Gleichun-

gen sind fur Magnetringe mit axialen Magnetisierungen ausgelegt, prinzipiell ist es aber

moglich, die Gleichungen auch fur radiale Magnetisierungen aufzustellen. Fur weitergehen-

de Untersuchungen, wie die im Abschnitt 7.3 vorgestellten rotierenden Magnetisierungen,

wird das auch notwendig sein.

Unabhangig von moglichen Erweiterungen steht mit den analytischen Gleichungen schon

jetzt ein schnelles und genaues Werkzeug zur Berechnung permanentmagnetischer Lager

zur Verfugung. Mit Hilfe dieser Gleichungen wurde der Einfluss der Bauform der Magnete

auf die Krafte und Steifigkeiten systematisch untersucht. Wichtig ist in diesem Zusammen-

hang eine geeignete Auswertung der Daten. Dazu wurden verschiedene Ansatze zu einer

Normierung der Krafte und Steifigkeiten vorgestellt und diskutiert.

Da die Bauform der Magnetringe durch mehrere Parameter beschrieben wird, sind keine

einfachen Zusammenhange zu erwarten. Interessanterweise lassen sich jedoch die Axial-

kraft und die translatorischen Steifigkeiten im Wesentlichen als Funktion von nur zwei

Parametern (normierte Polbreite b/h und normierte Magnethohe a/h) darstellen. Unuber-

sichtlicher ist die Situation bei der Kippsteifigkeit, da es dort mit dem Bezugspunkt der

108 Kapitel 9: Zusammenfassung und Ausblick

Drehung noch einen weiteren Parameter gibt. Wenn man sich allerdings auf dunne Ringe

beschrankt, dann lasst sich die Kippsteifigkeit mit einer Naherungsgleichung leicht aus der

Axialsteifigkeit gewinnen.

Ein interessanter Fall ergibt sich bei der Koppelsteifigkeit: Unter der Voraussetzung, dass

die rotor- und statorseitigen Magnetringe baugleich sind, kann die Koppelsteifigkeit direkt

aus der Axialkraft gewonnen werden. Fur die Koppelsteifigkeit ware es in einem zukunftigen

Schritt interessant, eine allgemeinere Gleichung fur beliebige Bauformen zu entwickeln.

Es wird an diesen Fallen deutlich, dass neben dem bekannten Zusammenhang zwischen

der Axial- und der Radialsteifigkeit (Earnshaw Theorem), noch weitere Zusammenhange

zwischen den einzelnen Steifigkeiten existieren. Das ist schon in den jeweiligen Gleichun-

gen anhand der identischen Feldgroßen erkennbar. Vielleicht ist es moglich, diese Zusam-

menhange einmal in einem Erweiterten Earnshaw Theorem zusammenzufassen.

Durch geeignete Normierungen sind auch Aussagen uber optimale Magnetgeometrien mog-

lich. Untersucht wurde, bei welchen Abmessungen die Magnetringe eine maximale Axi-

alkraft bzw. eine maximale Radialsteifigkeit bei minimalen Bauvolumen erzeugen. Das

interessanteste Ergebnis ist, dass sich einfache Regeln fur die optimale Auslegung for-

mulieren lassen. So ergibt sich bei Multiringlagern ein optimales Axialkraft/Volumen-

Verhaltnis, wenn die Ringhohen der Magnete a dem Doppelten der Spaltweite h entspre-

chen und die Polbreite b etwa das Vierfache der Spaltweite besitzt. Das Optimum des

Radialsteifigkeit/Volumen- Verhaltnisses liegt bei Ringhohen in der Große der Spaltweite

a = h sowie bei Polbreiten mit dem Doppelten der Spaltweite b = 2h.

Mit diesen Regeln ist fur den Konstrukteur eine Entwurfshilfe zur Auslegung von Ma-

gnetlagern geschaffen worden. Die Anwendung dieser Entwurfsregeln fuhrt zu passiven

Magnetlagern mit deutlich reduzierten Abmessungen. So zeigt das Beispiel der Turbo-

molekularpumpe in Kapitel 8 eine Reduktion auf 26% des ursprunglichen Bauvolumens.

Allerdings fuhren die Regeln auch zu deutlich schlankeren Magnetgeometrien. Man steht

damit vor der technischen Herausforderung, sehr filigrane Strukturen zuverlassig herzustel-

len. Wenn es moglich ist, trotz des hoheren Fertigungsaufwands dies auch kostengunstig

zu realisieren, dann stehen den passiven Lagern noch viele Einsatzgebiete offen.

Als Ausblick fur weitere Entwicklungen sollen drei Gedanken erwahnt werden.

Da die rotierende Magnetisierung nach Yonnet (Kapitel 7.3) eine Steigerung der Steifigkeit

um fast das Doppelte bringt, liegt es nahe, auch solche Bauformen (d.h. die Kombina-

tion von axial und radial magnetisierten Ringen) systematisch zu untersuchen. Es ist zu

erwarten, dass zu optimalen Abmessungen auch optimale Magnetisierungsrichtungen hin-

zukommen.

Kapitel 9: Zusammenfassung und Ausblick 109

Reine permanentmagnetische Lager besitzen praktisch keine Dampfung, deshalb ist die

Dampfung in dieser Arbeit auch nicht betrachtet worden. Es gibt Anwendungsfalle, die

ohne Dampfung auskommen, jedoch ist es fur eine breitere Anwendung solcher Lager un-

erlasslich, auch eine hinreichende Dampfung zu realisieren. Gegenwartig werden Gummi-

ringe oder Wirbelstromdampfer eingesetzt. Wirbelstromdampfer bestehen aus einer An-

ordnung von rotorseitigen Permanentmagneten und statorseitigen Kupferringen. Es ware

interessant solche Wirbelstromdampfer, ahnlich wie die Multiringlager aus Kapitel 7, zu

optimieren. Allerdings verlasst man an dieser Stelle, aufgrund der zeitabhangigen Indukti-

onseffekte, den Bereich der Magnetostatik.

Ein abschließender Gedanke betrifft die Standardisierung von permanentmagnetischen La-

gern. Es ist der gegenwartige Zustand, dass fur jede Anwendung das passende Lager entwi-

ckelt wird. Das ist in einem gewissen Entwicklungsstadium auch gar nicht anders moglich.

Fur eine breitere Anwendung passiver Lager ist es sinnvoll, Standardlager zu entwickeln,

und dem Anwender eine kleine Baureihe zur Verfugung zu stellen. Der zukunftige Konstruk-

teur eines Rotorsystems muss sich das geeignete passive Lager aus dem Katalog aussuchen

konnen, genau so, wie es heutzutage bei Walzlagern moglich ist [62].

Anhang A

Algorithmen zur Berechnung derelliptischen Integrale

Complete Elliptic Integral 1.Kind

function y=compelli1(x)%Complete Elliptic Integral 1.Kind: K(k)%Input Range: 0<= x<=1y=1;

if(x<1)ari=1;geo=sqrt(1-xˆ2);while(abs(ari-geo)>1e-15*ari)

ari neu=(ari+geo)/2;geo neu=sqrt(ari*geo);ari=ari neu;geo=geo neu;

end %whiley=pi/2/ari;

elsey=inf;

end %if


function y=compelli2(x)%Complete Elliptic Integral 2.Kind: E(k)%Input Range: 0<=x<=1y=0.5*pi;Apara=1;Bpara=1-xˆ2;ari=1;geo=sqrt(Bpara);if(x<1)diff=1;while(diff>1e-14)

diff=abs(1-geo/ari);ari neu=(ari+geo);geo neu=2*sqrt(ari*geo);Apara neu=Apara+Bpara/ari;Bpara neu=2*(Bpara+geo*Apara);ari=ari neu;geo=geo neu;Apara=Apara neu;Bpara=Bpara neu;

endApara neu=Apara+Bpara/ari;y=pi*Apara neu/(4*ari);

end%if

Anhang A 111


function y=compelli3(k2,n)% Complete Elliptic Integral 3.Kind P(kˆ2,n)% Input Range: 0<=k2<=1% 0<=n<=1 n=lambdaˆ2% special cases: P(kˆ2,0)=K(k)% P(kˆ2,1)=inf% P(1,n)=infca=10e-16; %accuracyp=1-n;kc=sqrt(1-k2);if(p∗kc∼=0) %n=1 or k=1

m0=1;e0=kc;if(p>0) %n<1

p0=sqrt(p);c0=1;d0=1/p0;

else %n>1g=1-p;f=kc*kc;p0=sqrt(f/g);c0=0;d0=-k2/(g*p0);

end;while (abs(1-e0/m0)>ca)

m1=e0+m0;e1=2*sqrt(e0*m0);p1=e0*m0/p0+p0;c1=d0/p0+c0;d1=2*(e0*m0/p0*c0+d0);

m0=m1;e0=e1;p0=p1;c0=c1;d0=d1;

end;y=0.5*pi*(c0*m0+d0)/(m0*(m0+p0));

elsey=inf;

end;

Anhang B

Das Skalarpotential Φ des ebenenFlachenleiters

Aus den Gleichungen 2.4 und 2.25 erhalten wir:

Bz = −µ0∂Φ

∂z+ µ0 · M (B.1)

Das heißt im Umkehrschluss:

Φ = − 1

µ0

∫

Bzdz +

∫

Mdz (B.2)

Das Skalarpotential lasst sich also zerlegen in einen flussdichteabhangigen Anteil ΦB undeinen magnetisierungsabhangigen Anteil ΦM . Betrachten wir zunachst nur das erste Inte-gral und setzen fur die Flussdichte Bz die Gleichung 3.17 ein:

ΦB = − 1

µ0

∫

Bzdz = − 1

µ0

· µ0K1

2π

∫ (

arctanrzo

rx

− arctanrzu

rx

)

dz (B.3)

Dabei werden wieder folgende Abkurzungen verwendet:

rzo = z − (z1 + h1) rzu = z − (z1 − h1) rx = x − x1 (B.4)

Zu Losen ist ein Integral der Art:

∫ (

arctanrzo

rx

)

dz (B.5)

Im Bronstein [45] Nr.:488 findet sich:∫

arctan(z/y)dz = z · arctan(z/y) − y/2 ln(y2 + z2)Wenden wir zusatzlich noch folgende Regel an:

∫

f(z) = F (z) + C ⇒∫

f(αz + b) =1

αF (αz + b) + C (B.6)

d.h. wir ersetzen z durch rzo = z − (z1 + h1), so erhalten wir:

∫

arctan

(

rzo

rx

)

dz = rzo · arctan

(

rzo

rx

)

− rx

2ln

(

r2x + r2

zo

)

(B.7)

Anhang B 113

Aus der Integration der Flussdichte ergibt sich also der Ausdruck:

ΦB = −K1

2π·{

rzo · arctan

(

rzo

rx

)

− rx

2ln

(

r2x + r2

zo

)

−rzu · arctan

(

rzu

rx

)

+rx

2ln

(

r2x + r2

zu

)

}

(B.8)

Dieser Ausdruck ist an der Stelle x = x1 unstetig. Stetig wird erst der gesamte Ausdruck.durch das zweite Integral uber die Magnetisierung:

ΦM =

∫

Mdz (B.9)

Da die Magnetisierung M nur innerhalb des Magneten existiert, ist bei der Losung dieserGleichung eine Fallunterscheidung notwendig. Es ergibt sich fur die einzelnen Bereiche:

ΦM =

0 : x > x1

K1 · h1 : x < x1 ∧ rzo > 0 ∧ rzu > 0K1 · (z − z1) : x < x1 ∧ rzo ≤ 0 ∧ rzu ≥ 0

−K1 · h1 : x < x1 ∧ rzo < 0 ∧ rzu < 0

(B.10)

In B.10 wurde fur die Magnetisierung gleich der Flachenstrom K1 eingesetzt, außerdemwurden die Ausdrucke so gewahlt, dass das Skalarpotential Φ (d.h. die Summe der Glei-chungen B.8 und B.10) eine stetige Funktion ergibt:

Φ = ΦB + ΦM (B.11)

+ h 1z1

z1 − h 1z1

ΦM=0

ΦM= −K 1h1

ΦM=K1 h1

x1

Φ )11M= K (z−z

z

x

Abbildung B.1: Fallunterscheidung beim magnetisierungsabhangigen Anteil des Skalarpo-tentials ΦM

Anhang C

Die Integration des VektorpotentialsΛ des ebenen Flachenleiters

Das Vektorpotential lautet:

Ay(x, z) =µ0 · K1

2π

[

rx arctan

(

rzo

rx

)

− rx arctan

(

rzu

rx

)

+rzo

2ln

[

r2x + r2

zo

]

− rzu

2ln

[

r2x + r2

zu

]

+ 2h1

]

(C.1)

Es gelten folgende Abkurzungen:

rzo = z − (z1 + h1) rzu = z − (z1 − h1) rx = x − x1 (C.2)

Wir definieren:

Λ(x, z) =

∫

A(x, z)dz (C.3)

1 2 3

Λ(x, z) =µ0 · K1

2π·[∫

rx arctan

(

rzo

rx

)

dz −∫

rx arctan

(

rzu

rx

)

dz +

∫

2h1dz (C.4)

+

∫

rzo

2ln

[

r2x + r2

zo

]

dz −∫

rzu

2ln

[

r2x + r2

zu

]

dz

]

(C.5)

4 51 Losung nach Bronstein [45] Nr.: 488:∫

rx · arctan

(

rzo

rx

)

dz = rx · rzo arctan

(

rzo

rx

)

− r2x

2ln

(

r2x + r2

zo

)

(C.6)

2

−∫

rx · arctan

(

rzu

rx

)

dz = −rx · rzu arctan

(

rzu

rx

)

+r2x

2ln

(

r2x + r2

zu

)

(C.7)

3∫

2h1dz = 2h1z (C.8)

4∫

rzo

2ln

[

r2x + r2

zo

]

dz =1

4

[

r2x + r2

zo

]

·(

ln[

r2x + r2

zo

]

− 1)

(C.9)

Anhang C 115

5

−∫

rzu

2ln

[

r2x + r2

zu

]

dz = −1

4

[

r2x + r2

zu

]

·(

ln[

r2x + r2

zu

]

− 1)

(C.10)

Fur das Integral 4 zeigen wir im Umkehrschluss, dass die Ableitung der Losung die Aus-gangsgleichung ergibt.

∂

∂z

[

1

4

([

r2x + r2

zo

]

· ln[

r2x + r2

zo

]

−[

r2x + r2

zo

])

]

=1

4

(

2rzo ln[

r2x + r2

zo

]

+[r2

x + r2zo]

[r2x + r2

zo]· 2rzo − 2rzo

)

=1

2rzo · ln

[

r2x + r2

zo

]

(C.11)

Fur die Ableitungen gilt:

rzo = z − (z1 + h1) → d

dzrzo = 1 bzw.

d

dzr2zo = 2rzo (C.12)

Das Integral 5 unterscheidet sich gegenuber dem Integral 4 nur in den Indizes, deshalbverzichten wir hier auf die Ableitung. Fassen wir die Losungen 1 bis 5 zusammen, soerhalten wir:

Λ(x, z) =µ0 · K1

2π·[

rxrzo arctan

(

rzo

rx

)

− r2x

2ln

(

r2x + r2

zo

)

−rxrzu arctan

(

rzu

rx

)

+r2x

2ln

(

r2x + r2

zu

)

(C.13)

+2h1z +1

4

[

r2x + r2

zo

]

·(

ln[

r2x + r2

zo

]

− 1)

−1

4

[

r2x + r2

zu

]

·(

ln[

r2x + r2

zu

]

− 1)

]

Anhang D

Das Skalarpotential Φ des Zylinders

Aus den Gleichungen 2.4 und 2.25 erhalten wir:

Bz = −µ0∂Φ

∂z+ µ0 · M (D.1)

Das heißt im Umkehrschluss:

Φ = − 1

µ0

∫

Bzdz +

∫

Mdz (D.2)

Das Skalarpotential lasst sich zerlegen in einen flussdichteabhangigen Anteil ΦB und einenmagnetisierungsabhangigen Anteil ΦM . Die Integration der z-Komponente der Flussdichteliefert den flussdichteabhangigen Anteil ΦB.

Bz = −µ0K1

4π·[

2rzo√co

·{

K(ko) +R1 − ρ

(R1 + ρ)· Π(ko, λ)

}

(D.3)

−2rzu√cu

·{

K(ku) +R1 − ρ

(R1 + ρ)· Π(ku, λ)

}]

ΦB =K1

2π·∫ [

rzo√co

·{

K(ko) +R1 − ρ

(R1 + ρ)· Π(ko, λ)

}

(D.4)

− rzu√cu

·{

K(ku) +R1 − ρ

(R1 + ρ)· Π(ku, λ)

}]

dz

Es sind zwei Integrale zu losen:

1

∫

rzo√c1o

K(ko)dz =

∫

(z − (z1 + h1))√

(R1 + ρ)2 + r2zo

K(ko)dz (D.5)

2

∫

rzo√c1o

Π(ko, λ)dz =

∫

(z − (z1 + h1))√

(R1 + ρ)2 + r2zo

Π(ko, λ)dz (D.6)

Es gelten dabei folgende Abkurzungen:


zo cu = (R1 + ρ)2 + r2zu

(D.7)

Anhang D 117

Der Modul ko hat folgende Ableitung, gleiches gilt fur den Modul ku:

ko =

√

4R1ρ

r2zo + (R1 + ρ)2

→ ∂ko

∂z= − rzo

4R1ρk3

o (D.8)

Parameter λ

λ =2√

R1ρ

R1 + ρ(D.9)

Das erste Integral nach ko umformen:∫

rzo√

(R1 + ρ)2 + r2zo

K(ko)dz · k2o

k2o

4R1ρ

4R1ρ

√4R1ρ√4R1ρ

=

∫

rzok3o

4R1ρ

4R1ρ√4R1ρ

K(ko)

k2o

dz (D.10)

= − 4R1ρ√4R1ρ

∫

∂ko

∂z

K(ko)

k2o

(D.11)

= −2√

R1ρ

∫

K(ko)

k2o

dko (D.12)

Losung des Integrals 1 nach [64]:

− 2√

R1ρ

∫

K(ko)

k2o

dko = 2√

R1ρE(ko)

ko

(D.13)

Das Integral 2 formen wir mit der gleichen Strategie um:∫

rzo√

r2zo + (R1 + ρ)2

Π(ko, λ)dz · k2o

k2o

4R1ρ

4R1ρ

√4R1ρ√4R1ρ

=4R1ρ√4R1ρ

∫

rzok3o

4R1ρ

Π(ko, λ)

k2o

dz (D.14)

= −√

4R1ρ

∫

∂ko

∂z

Π(ki, λ)

k2o

dz = −2√

4R1ρ

∫

Π(ko, λ)

k2o

dko (D.15)

− 2√

4R1ρ

∫

Π(ko, λ)

k2o

dko = − (R1 + ρ) λ

∫

Π(ko, λ)

k2o

dko (D.16)

Dieses Integral hat folgende Losung:

− (R1 + ρ) λ

∫

Π(ko, λ)

k2o

dko = − (R1 + ρ)

[

k2o − λ2

koλΠ(ko, λ) − ko

λK(ko)

]

(D.17)

Den Beweis treten wir durch die Ableitung der Losung an:

∂

∂k

[

k2 − λ2

kλΠ(k, λ) − k

λK(k)

]

(D.18)

Zuerst wird die Produktregel angewendet:

∂

∂k

(

k2 − λ2

kλ

)

Π(k, λ) +k2 − λ2

kλ

∂Π(k, λ)

∂k− ∂

∂k

(

k

λ

)

K(k) − k

λ

∂K(k)

∂k(D.19)

∂

∂k

(

k

λ− λ

k

)

Π(k, λ) +k2 − λ2

kλ

k

k′2(k2 − λ2)

[

E(k) − k′2Π(k, λ)]

−K(k)

λ− k

λ

E(k) − k′2K(k)

kk′2(D.20)

118 Anhang D

(

1

λ+

λ

k2

)

Π(k, λ) +1

λk′2

[

E(k) − k′2Π(k, λ)]

− K(k)

λ− E(k)

λk′2+

K(k)

λ(D.21)

(

1

λ+

λ

k2

)

Π(k, λ) +1

λk′2E(k) − 1

λk′2k′2Π(k, λ) − E(k)

λk′2(D.22)

λ

k2Π(k, λ) (D.23)

q.e.d.Zusammenfassen Integral 2:

R1 − ρ

R1 + ρ

∫

rzo√

r2zo + (R1 + ρ)2

Π(ko, λ)dz =

(R1 − ρ)

[

k2o − λ2

koλΠ(ko, λ) − ko

λK(ko)

]

(D.24)

Das flussdichteabhangige Skalarpotential lautet:

ΦB =K1

2π

[

2√

R1ρE(ko)

ko

− (R1 − ρ)k2

o − λ2

koλΠ(ko, λ) + (R1 − ρ)

ko

λK(ko)

]

−K1

2π

[

2√

R1ρE(ku)

ku

− (R1 − ρ)k2

u − λ2

kuλΠ(ku, λ) + (R1 − ρ)

ku

λK(ku)

]

(D.25)

Der zweite Teil der Losung ist der magnetisierungsabhangige Anteil des Skalarpotentials:

ΦM =

∫

Mdz (D.26)

Da die Magnetisierung M nur innerhalb des Magneten existiert, sind bei der Losung wiederFallunterscheidungen notwendig:

ΦM =

0 : ρ > R1

K1 · h1 : ρ < R1 ∧ rzo > 0 ∧ rzu > 0K1 · (z − z1) : ρ < R1 ∧ rzo ≤ 0 ∧ rzu ≥ 0

−K1 · h1 : ρ < R1 ∧ rzo < 0 ∧ rzu < 00.5K1 · h1 : ρ = R1 ∧ rzo > 0 ∧ rzu > 0

0.5K1 · (z − z1) : ρ = R1 ∧ rzo ≤ 0 ∧ rzu ≥ 0−0.5K1 · h1 : ρ = R1 ∧ rzo < 0 ∧ rzu < 0

(D.27)

In D.27 wurde wieder gleich der Flachenstrom K1 fur die Magnetisierung eingesetzt, zurBedeutung der einzelnen Bereiche siehe Abbildung 3.13. Die Summe aus flussdichte- undmagnetisierungsabhangigen Anteil (Gl. D.25 und D.27) ergibt das Skalarpotential Φ desZylinders:

Φ = ΦB + ΦM (D.28)

Anhang E

Die Integration des VektorpotentialsΛ eines Zylinders

Aϕ(ρ, z) = −µ0K1

4π

[

rzo

ρ

(

r2zo + 2R2

1 + 2ρ2

√co

K(ko) −√

coE(ko) −(R1 − ρ)2

√co

Π(ko, λ)

)

(E.1)

−rzu

ρ

(

r2zu + 2R2

1 + 2ρ2

√cu

K(ku) −√

cuE(ku) −(R1 − ρ)2

√cu

Π(ku, λ)

)]

Es gelten wieder folgende Abkurzungen:


zo cu = (R1 + ρ)2 + r2zu

(E.2)

Der Modul ko hat folgende Ableitung, gleiches gilt fur den Modul ku:

ko =

√

4R1ρ

z2o + (R1 + ρ)2

→ ∂ko

∂z= − zo

4R1ρk3

i (E.3)

Der Parameter λ

λ =2√

R1ρ

R1 + ρ(E.4)

Gesucht ist:

Λ =

∫

Aϕdz (E.5)

Es sind dazu im Wesentlichen drei Integrale zu losen:

1

∫

rzo

ρ· r2

zo + 2R21 + 2ρ2

√

(R1 + ρ)2 + r2zo

K(ko)dz (E.6)

2 −∫

rzo

ρ·√

(R1 + ρ)2 + r2zoE(ko)dz (E.7)

3 −∫

rzo

ρ· (R1 − ρ)2

√

(R1 + ρ)2 + r2zo

Π(ko, λ)dz (E.8)

120 Anhang E

Bei allen Integralen kommt die folgende Substitutionsregel zur Anwendung:

zo∫

zu

f (k(z))∂k

∂zdz =

k(zo)∫

k(zu)

f (k) dk (E.9)

Das Integral 1 wird folgendermaßen umgeformt:∫

rzo

ρ

r2zo + 2R2

1 + 2ρ2

√

(R1 + ρ)2 + r2zo

· K(ko)dz · k3o

k3o

√4R1ρ√4R1ρ

4R1ρ

4R1ρ= (E.10)

=

∫

rzok3o

4R1ρ· r2

zo + 2R21 + 2ρ2

ρ

√4R1ρ

k2o

K(ko)dz

= −√

4R1ρ

ρ

∫

∂ko

∂z

(

4R1ρ

k2o

− (R1 + ρ)2 + 2R21 + 2ρ2

)

k2o

K(ko)dz

= −√

4R1ρ

ρ

∫

∂ko

∂z

(

4R1ρ

k4o

− (R1 + ρ)2 − 2R21 − 2ρ2

k2o

)

K(ko)dz

= −√

4R1ρ

ρ

∫ (

4R1ρ

k4o

+(R1 − ρ)2

k2o

)

K(ko)dko

= −√

4R1ρ

ρ

∫

4R1ρ

k4o

K(ko)dk −√

4R1ρ

ρ

∫

(R1 − ρ)2

k2o

K(ko)dko

In der dritten Zeile in Gleichung E.10 kommt folgender Zusammenhang zur Anwendung:

k2 =4R1ρ

z2 + (R1 + ρ)2→ z2 =

4R1ρ

k2− (R1 + ρ)2 (E.11)

Das erste Integral hat folgende Losung (Der Beweis erfolgt auf der nachsten Seite.):∫

K(ko)

k4o

dk = −2

9

[

2E(ko)

ko

+E(ko)

2k3o

+K(ko)

k3o

− K(ko)

ko

]

(E.12)

Das zweite Integral in 1 ergibt:

−√

4R1ρ

ρ

∫

(R1 − ρ)2

k2o

K(ko)dk =√

4R1ρ(R1 − ρ)2

ρ

E(ko)

ko

(E.13)

Fassen wir das zusammen, so erhalten wir als Losung fur das Integral 1:∫

rzo

ρ

r2zo + 2R2

1 + 2ρ2

√

(R1 + ρ)2 + r2zo

K(ko)dz = 4R1

√

4R1ρ2

9

[

2E(ko)

ko

+E(ko)

2k3o

+K(ko)

k3o

− K(ko)

ko

]

+√

4R1ρ(R1 − ρ)2

ρ

E(ko)

ko

(E.14)

bzw.:∫

rzo

ρ

r2zo + 2R2

1 + 2ρ2

√

(R1 + ρ)2 + r2zo

K(ko)dz = R1

√

R1ρ8

9

[

4E(ko)

ko

+E(ko)

k3o

+2K(ko)

k3o

− 2K(ko)

ko

]

+2

√

R1

ρ(R1 − ρ)2E(ko)

ko

(E.15)

Anhang E 121

Hier erfolgt der Beweis fur Gleichung E.12, der Index o ist weggelassen.

d

dk

2

9

[

2E(k)

k+

E(k)

2k3+

K(k)

k3− K(k)

k

]

(E.16)

I II III IVEinzeln ableiten:

Id

dk

2

9

[

2E(k)

k

]

=4

9

dE(k)

dk

1

k+

4

9

d

dk

1

kE(k) =

4

9

E(k) − K(k)

k

1

k− 4

9

E(k)

k2

= −4

9

K(k)

k2(E.17)

IId

dk

2

9

[

E(k)

2k3

]

=1

9

dE(k)

dk

1

k3+

1

9

d

dk

1

k3E(k) =

1

9

E(k) − K(k)

k4− 1

9

3

k4E(k)

= −1

9

2E(k) + K(k)

k4(E.18)

IIId

dk

2

9

[

K(k)

k3

]

=2

9

dK(k)

dk

1

k3+

2

9

d

dk

1

k3K(k) =

2

9

E(k) − k′2K(k)

kk′2

1

k3− 2

9

3

k4K(k)

=2

9

E(k)

k4k′2− 2

9

K(k)

k4− 2

9

3

k4K(k) =

2

9

E(k)

k4k′2− 8

9

K(k)

k4(E.19)

IVd

dk

2

9

[

−K(k)

k

]

= −2

9

dK(k)

dk

1

k− 2

9

d

dk

1

kK(k) = −2

9

E(k) − k′2K(k)

kk′2

1

k+

2

9

1

k2K(k)

= −2

9

E(k)

k2k′2+

2

9

K(k)

k2+

2

9

1

k2K(k) = −2

9

E(k)

k2k′2+

4

9

K(k)

k2(E.20)

Fassen wir I bis IV zusammen, so erhalten wir:

−4

9

K(k)

k2− 1

9

2E(k) + K(k)

k4+

2

9

E(k)

k4k′2− 8

9

K(k)

k4− 2

9

E(k)

k2k′2+

4

9

K(k)

k2(E.21)

= −2

9

E(k)

k4− 1

9

K(k)

k4+

2

9

E(k)

k4k′2− 8

9

K(k)

k4− 2

9

E(k)

k2k′2(E.22)

= −2

9

(

1

k4− 1

k4k′2+

1

k2k′2

)

E(k) − K(k)

k4(E.23)

= −2

9

(

k′2

k4k′2− 1

k4k′2+

k2

k4k′2

)

E(k) − K(k)

k4(E.24)

= −2

9

(

1 − k2

k4k′2− 1

k4k′2+

k2

k4k′2

)

E(k) − K(k)

k4(E.25)

= −K(k)

k4(E.26)

q.e.d.

Zur Losung des Integrals 2 formen wir es zuerst um:

−∫

rzo

ρ·√

(R1 + ρ)2 + r2zoE(ko)dz · k3

o

k3o

4R1

4R1

√4R1ρ√4R1ρ

=

= −∫

rzok3o

4R1ρ·√

4R1ρ

ko

E(ko)4R1

k3o

dz = 4R1

√

4R1ρ

∫

∂ko

∂z

E(ko)

k4o

dz = 4R1

√

4R1ρ

∫

E(ko)

k4o

dko

= 4R1

√

4R1ρ

[

1

9k3o

(

2k2oE(ko) − 4E(ko) + k′2

o K(ko))

]

= R1

√

R1ρ8

9

[

2E(ko)

ko

− 4E(ko)

k3o

+K(ko)

k3o

− K(ko)

ko

]

(E.27)

122 Anhang E

Und schließlich losen wir das Integral 3:

−∫

rzo

ρ

(R1 − ρ)2

√

(R1 + ρ)2 + r2zo

Π(ko, λ)dz · k2o

k2o

4R1

4R1

√4R1ρ√4R1ρ

= − 4R1√4R1ρ

∫

rzok3o

4Rρ

(R1 − ρ)2

k2o

Π(ko, λ)dz

=4R1 (R1 − ρ)2

√4R1ρ

∫

∂ko

∂z

Π(ko, λ)

k2o

dz

= 2 (R1 − ρ)2

√

R1

ρ

∫

Π(ko, λ)

k2o

dko (E.28)

Die Losung ubernehmen wir aus der Gleichung D.17 des vorigen Abschnittes:

= 2 (R1 − ρ)2

√

R1

ρ

[

k2o − λ2

koλ2Π(k2

o , λ2) − ko

λ2K(ko)

]

(E.29)

Jetzt fassen wir die drei Teile zusammen:

Λ = −µ0K1

4π

{

R1

√

R1ρ8

9

[

4E(ko)

ko

+E(ko)

k3o

+2K(ko)

k3o

− 2K(ko)

ko

]

+2

√

R1

ρ(R1 − ρ)2E(ko)

ko

+R1

√

R1ρ8

9

[

2E(ko)

ko

− 4E(ko)

k3o

+K(ko)

k3o

− K(ko)

ko

]

+2 (R1 − ρ)2

√

R1

ρ

[

k2o − λ2


λ2K(ko)

]

}

(E.30)

Das lasst sich reduzieren:

Λ = −µ0K1

4π

{

R1

√

R1ρ8

9

[

6E(ko)

ko

− 3E(ko)

k3o

+3K(ko)

k3o

− 3K(ko)

ko

]

+ 2(R1 − ρ)2

√

R1

ρ

[

E(ko)

ko

+k2

o − λ2


λ2K(ko)

]

}

(E.31)

Schließlich erhalten wir fur das Integral uber das Vektorpotential:

Λ = −µ0K1

4π

{

R1

√

R1ρ8

3

[

2E(ko)

ko

− E(ko)

k3o

+K(ko)

k3o

− K(ko)

ko

]

+2(R1 − ρ)2

√

R1

ρ

[

E(ko)

ko

+k2

o − λ2


λ2K(ko)

]

}

(E.32)

Anhang F

Die Berechnung der Krafte (Fy, Fz)zwischen ebenen Flachenleitern

Fx = Ky ·z2o∫

z2u

Bzdz (F.1)

Fz = −Ky ·z2o∫

z2u

Bxdz (F.2)

Betrachten wir zuerst Gleichung F.1. Das Magnetfeld B lasst sich außerhalb des felderzeu-genden Magneten aus einem Skalarpotential Φ ableiten:

Bz = µ0 · Hz = −µ0∂Φ

∂z(F.3)

Das setzen wir in Gleichung F.1 ein:

Fx = −Ky · µ0

z2o∫

z2u

∂Φ(x2, z)

∂zdz (F.4)

Damit ist das Integral schon gelost:

Fx = −Ky · µ0Φ(x2, z)

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

= −Ky · µ0 [Φ(x2, z2o) − Φ(x2, z2u)] (F.5)

Das zweite Integral F.2 enthalt die x-Komponente der Flussdichte B, die sich auf dasVektorpotential A zuruckfuhren lasst.

Bx = −∂Ay

∂z(F.6)

Das wird in Gleichung F.2 eingesetzt:

Fz = Ky ·z2o∫

z2u

∂Ay

∂zdz = Ky · Ay

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

= Ky · [Ay(x2, z2o) − Ay(x2, z2u)] (F.7)

Anhang G

Die Kippsteifigkeit im ebenenMagnetfeld

Zur Gewinnung der Kippsteifigkeit ist das Moment nach dem Kippwinkel ϕy abzuleiten:

sϕϕ = −∂My

∂ϕy

= −{

∂My

∂x

∂x

∂ϕy

+∂My

∂z

∂z

∂ϕy

}

(G.1)

Das Moment/Lange lautet:

My(x2, z2) = Iy · [z2Bz(x2, z2) + x2Bx(x2, z2)] (G.2)

Dieses Moment setzen wir in die Gleichung G.1 ein:

sϕϕ = −Iy

{

∂(z2Bz + x2Bx)

∂x

∂x

∂ϕy

+∂(z2Bz + x2Bx)

∂z

∂z

∂ϕy

}

(G.3)

Es ergibt sich nach weiterer Zerlegung:

sϕϕ = −Iy

{[

∂z2

∂xBz + z2

∂Bz

∂x+

∂x2

∂xBx + x2

∂Bx

∂x

]

∂x

∂ϕy

+

[

∂z2

∂zBz + z2

∂Bz

∂z+

∂x2

∂zBx + x2

∂Bx

∂z

]

∂z

∂ϕx

}

(G.4)

Es gilt: ∂z2/∂x = 0 und ∂x2/∂z = 0 sowie ∂x2/∂x = 1 und ∂z2/∂z = 1

sϕϕ = −Iy

{[

0 · Bz + z2∂Bz

∂x+ 1 · Bx + x2

∂Bx

∂x

]

∂x

∂ϕy

+

[

1 · Bz + z2∂Bz

∂z+ 0 · Bx + x2

∂Bx

∂z

]

∂z

∂ϕy

}

(G.5)

Wir erhalten fur die Kippsteifigkeit:

sϕϕ = −Iy

{[

z2∂Bz

∂x+ Bx + x2

∂Bx

∂x

]

∂x

∂ϕy

+

[

Bz + z2∂Bz

∂z+ x2

∂Bx

∂z

]

∂z

∂ϕy

}

(G.6)

Jetzt interessiert uns die Ableitung nach dem Kippwinkel ϕy. Dieser Kippwinkel beschreibtgleichzeitig die Verdrehung zwischen dem raumfesten und einem korperfesten Koordina-tensystem (siehe Abschnitt 4.4.2). Die Transformation der Leiterposition (=Hebelarm)lautet:

x2 = x′

2 cos ϕy + z′2 sin ϕx z2 = −x′

2 sin ϕy + z′2 cos ϕy (G.7)

Anhang G 125

Die Ableitungen des Hebelarmes nach dem Kippwinkel ergeben:

∂x

∂ϕy

= −x′

2 sin ϕy + z′2 cos ϕy

∂z

∂ϕy

= −x′

2 cos ϕy − z′2 sin ϕy (G.8)

Uns interessiert aber nur die Ableitung an der Stelle ϕy = 0, beide Koordinatensystemefallen dort zusammen, es gilt: x′

2 = x2, z′

2 = z2, sin ϕy = 0 bzw. cos ϕy = 1 und wir erhalten:

sϕϕ = −Iy

{[

z2∂Bz

∂x+ Bx + x2

∂Bx

∂x

]

(z2) +

[

Bz + z2∂Bz

∂z+ x2

∂Bx

∂z

]

(−x2)

}

(G.9)

Wir losen die Klammern auf:

sϕϕ = Iy

{

−z22

∂Bz

∂x− z2Bx − z2x2

∂Bx

∂x+ x2Bz + x2z2

∂Bz

∂z+ x2

2

∂Bx

∂z

}

(G.10)

Das Umformen einiger Ableitungen (∂B∗/∂x → ∂B∗/∂z) ergibt:

sϕϕ = Iy

{

−z22

∂Bx

∂z− z2Bx + z2x2

∂Bz

∂z+ x2Bz + x2z2

∂Bz

∂z+ x2

2

∂Bx

∂z

}

(G.11)

Die Kippsteifigkeit pro Lange eines Linienleiters an der Stelle x2, z2 lautet:

sϕϕ = Iy

{


∂z+ (x2

2 − z22)

∂Bx

∂z

}

(G.12)

Der ebene FlachenleiterWir nehmen wieder das Ergebnis des Linienleiters als Grundbaustein fur den Flachenleiter(d.h. Iy → Kx und z2 → z sowie sϕϕ → sϕϕ) und erhalten fur die lokale Kippsteifigkeit:

sϕϕ = Ky

{

−zBx + x2Bz + 2x2z∂Bz

∂z+ (x2

2 − z2)∂Bx

∂z

}

(G.13)

Die Integration uber die Hohe z liefert aus der lokalen Kippsteifigkeit die gesuchte Kipp-steifigkeit pro Lange:

1 2 3

sϕϕ =

z2o∫

z2u

sϕϕdz = Ky

−z2o∫

z2u

zBxdz + x2

z2o∫

z2u

Bzdz + 2x2

z2o∫

z2u

z∂Bz

∂zdz (G.14)

+x22

z2o∫

z2u

∂Bx

∂zdz −

z2o∫

z2u

z2∂Bx

∂zdz

(G.15)

4 5Die einzelnen Losungen der Integrale:

1 −z2o∫

z2u

zBxdz = zAy −z2o∫

z2u

Aydz = zAy − Λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.16)

2 x2

z2o∫

z2u

Bzdz = − x2 · µ0Φ

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.17)

126 Anhang G

3 2x2

z2o∫

z2u

z∂Bz

∂zdz = 2x2zBz − 2x2

z2o∫

z2u

Bzdz = 2x2zBz + 2x2 · µ0Φ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.18)

4 x22

z2o∫

z2u

∂Bx

∂zdz = x2

2Bx

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.19)

5 −z2o∫

z2u

z2∂Bx

∂zdz = −z2Bx + 2

z2o∫

z2u

zBxdz = −z2Bx − 2zAy + 2Λ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.20)

Wir erhalten also:

sϕϕ = Ky

[

zAy − Λ − x2µ0Φ + 2x2zBz + 2x2µ0Φ + x22Bx − z2Bx − 2zAy + 2Λ

]

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.21)

Das reduziert sich zu der Kippsteifigkeit pro Lange eines Flachenleiters:

sϕϕ = Ky

[

−zAy + Λ + x2µ0Φ + 2x2zBz + (x22 − z2)Bx

]

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(G.22)

Anhang H

Die Kippsteifigkeit imrotationssymmetrischen Magnetfeld

Die Kippsteifigkeit eines Ringleiters

Die Kippsteifigkeit eines Ringsegmentes ist die Ableitung des Moments des Segmentes nachdem Kippwinkel ϕy:

sϕϕ = −∂My

∂ϕy

= −∂My

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

− ∂My

∂z

∂z

∂ϕy

(H.1)

Das Moment eines Ringleitersegments lautete:

My(x, z) = −I ′

ϕBz

(

R′


)

+I ′

ϕBρ

(

R′



)

(H.2)

Das setzen wir in die Gleichung H.1 ein:

sϕϕ = I ′

ϕ

{

∂

∂ϕy

[

Bz

(

R′


)]

− ∂

∂ϕy

[

Bρ

(

R′



)]

}

(H.3)

Die Anwendung der Produktregel liefert:

sϕϕ = I ′

ϕ

{

∂Bz

∂ϕy

·(

R′


)

+Bz

∂ (R′

2 cos2 ϕz sin ϕy − z′2 cos ϕz cos ϕy)

∂ϕy

−∂Bρ

∂ϕy

·(

R′

2 cos ϕz sin2 ϕz + R′


)

−Bρ

∂(

R′



)

∂ϕy

}

(H.4)

128 Anhang H

Die Ableitungen ∂/∂ϕy der Winkelfunktionen lassen sich leicht hinschreiben:

sϕϕ = I ′

ϕ

{

∂Bz

∂ϕy

·(

R′


)

+Bz ·(

R′

2 cos2 ϕz cos ϕy + z′2 cos ϕz sin ϕy

)

−∂Bρ

∂ϕy

·(

R′



)

−Bρ ·(

−R′

2 cos3 ϕz sin ϕy + z′2 cos2 ϕz cos ϕy

)}

(H.5)

Fur die Ableitungen ∂Bρ/∂ϕy und ∂Bz/∂ϕy wenden wir folgende Kettenregeln an:

∂Bρ

∂ϕy

=∂Bρ

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bρ

∂z

∂z

∂ϕy

∂Bz

∂ϕy

=∂Bz

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bz

∂z

∂z

∂ϕy

(H.6)

Das setzen wir jetzt ein:

sϕϕ = I ′

ϕ

{[

∂Bz

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bz

∂z

∂z

∂ϕy

]

·(

R′


)

+Bz ·(

R′

2 cos2 ϕz cos ϕy + z′2 cos ϕz sin ϕy

)

−[

∂Bρ

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bρ

∂z

∂z

∂ϕy

]

·(

R′


2 cos3 ϕz cos ϕy

)

(H.7)

−[

∂Bρ

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bρ

∂z

∂z

∂ϕy

]

·(

z′2 cos2 ϕz sin ϕy

)

−Bρ ·(

−R′

2 cos3 ϕz sin ϕy + z′2 cos2 ϕz cos ϕy

)}

Betrachten wir jetzt die partiellen Ableitungen in den eckigen Klammern, die Radialkom-ponente der Position lautet in Zylinderkoordinaten:

ρ =√

x2 + y2 =

√

(R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy)2 + R

′22 sin2 ϕz (H.8)

Die Richtungsableitung ∂ρ/∂ϕy lautet im Allgemeinen:

∂ρ

∂ϕy

=(R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy) (−R′

2 cos ϕz sin ϕy + z′2 cos ϕy)√

(R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy)2 + R

′22 sin2 ϕz

(H.9)

Die Axialkomponente der Position der Leiterflache lautet in Zylinderkoordinaten:

z = −R′

2 cos ϕz sin ϕy + z′2 cos ϕy

∂z

∂ϕy

= −R′

2 cos ϕz cos ϕy − z′2 sin ϕy (H.10)

Das muss jetzt in Gleichung H.7 eingesetzt werden. Wir interessieren uns aber nur fur dieWerte an der Stelle ϕy = 0, d.h. die Kippsteifigkeit im unverkippten Zustand. Es gilt dann:

x′

y′

z′

=

xyz

bzw.

ρ′

ϕ′

z′

=

ρϕz

Die Ableitung der Radialkomponente ρ vereinfacht sich stark:

∂ρ

∂ϕy

∣

∣

∣

∣

ϕy=0

=R2 cos ϕzz2

√

(R2 cos ϕz)2 + R2

2 sin2 ϕz

= z2 cos ϕz (H.11)

Anhang H 129

Die Axialkomponente vereinfacht sich zu:

∂z

∂ϕy

∣

∣

∣

∣

ϕy=0

= −R2 cos ϕz (H.12)

Das setzen wir jetzt in unsere Gleichung H.7 ein:

sϕϕ = Iϕ

{[

∂Bz

∂ρz2 cos ϕz −

∂Bz

∂zR2 cos ϕz

]

·(

R2 cos2 ϕz · 0 − z2 cos ϕz · 1)

+Bz ·(

R2 cos2 ϕz · 1 + z2 cos ϕz · 0)

(H.13)

−[

∂Bρ

∂ρz2 cos ϕz −

∂Bρ

∂zR2 cos ϕz

]

·(

R2 cos ϕz sin2 ϕz + R2 cos3 ϕz · 1)

−[

∂Bρ

∂ρz2 cos ϕz −

∂Bρ

∂zR2 cos ϕz

]

·(

z2 cos2 ϕz · 0)

−Bρ ·(

−R2 cos3 ϕz · 0 + z2 cos2 ϕz · 1)}

Das fassen wir zusammen:

sϕϕ = Iϕ

{[

∂Bz

∂ρz2 cos ϕz −

∂Bz

∂zR2 cos ϕz

]

· (−z2 cos ϕz)

+Bz ·(

R2 cos2 ϕz

)

(H.14)

−[

∂Bρ

∂ρz2 cos ϕz −

∂Bρ

∂zR2 cos ϕz

]

· R2 cos ϕz

(

sin2 ϕz + cos2 ϕz

)

−Bρ ·(

z2 cos2 ϕz

)}

Jetzt werden die Klammern aufgelost:

sϕϕ = Iϕ

{

−∂Bz

∂ρz22 cos2 ϕz +

∂Bz

∂zR2z

2 cos2 ϕz

+BzR2 cos2 ϕz (H.15)[

−∂Bρ

∂ρz2 cos ϕz +

∂Bρ

∂zR2 cos ϕz

]

· R2 cos ϕz

−Bρ · z2 cos2 ϕz

}

Weiter zusammenfassen:

sϕϕ = Iϕ

{

−∂Bz

∂ρz22 cos2 ϕz +

∂Bz

∂zR2z2 cos2 ϕz + BzR2 cos2 ϕz

−∂Bρ

∂ρR2z2 cos2 ϕz +

∂Bρ

∂zR2

2 cos2 ϕz − Bρz2 cos2 ϕz

}

sϕϕ = Iϕ cos2 ϕz

{

−∂Bz

∂ρz22 +

∂Bz

∂zR2z2 + BzR2 −

∂Bρ

∂ρR2z2 +

∂Bρ

∂zR2

2 − Bρz2

}

(H.16)

Jetzt wird die Divergenz ausgenutzt: ∂Bρ/∂ρ = −Bρ/ρ − ∂Bz/∂z mit ρ = R2 sowie∂Bz/∂ρ = ∂Bρ/∂z.


{

−∂Bρ

∂zz22 +

∂Bz

∂zR2z2 + BzR2 +

(

Bρ

R2

+∂Bz

∂z

)

R2z2 +∂Bρ

∂zR2

2 − Bρz2

}

130 Anhang H


{

−∂Bρ

∂zz22 + 2

∂Bz

∂zR2z2 + BzR2 +

∂Bρ

∂zR2

2

}

(H.17)

Dieser Ausdruck beschreibt die Kippsteifigkeit sϕϕ eines Ringleitersegments bei unverkipp-ten Ring ϕy = 0. Um daraus die Kippsteifigkeit zu erhalten muss nun uber den Umfangintegriert werden. Da die Verhaltnisse in Umfangsrichtung ϕz homogen sind, lasst sich dieseIntegration leicht ausfuhren:

sϕϕ =

2π∫

0

sϕϕR2dϕz = IϕπR2

{

−∂Bρ

∂zz22 + 2

∂Bz

∂zR2z2 + BzR2 +

∂Bρ

∂zR2

2

}

(H.18)

Wir erhalten die Kippsteifigkeit eines Ringleiters:

sϕϕ = IϕπR2

{

R2Bz + 2R2z2∂Bz

∂z+ (R2

2 − z22)

∂Bρ

∂z

}

(H.19)

Das Ergebnis entspricht der Kippsteifigkeit eines Teilringes der Zylindermantelflache mitder Hohe dz, wenn folgende Umformungen gemacht werden: Iϕ → Kϕ, z2 → z, sϕϕ → sϕϕ

sϕϕ = KϕπR2

{

R2Bz + 2R2z∂Bz

∂z+ (R2

2 − z2)∂Bρ

∂z

}

(H.20)

Jetzt mussen wir noch uber die Zylinderhohe z = 2h2 integrieren:

sϕϕ =

z2o∫

z2u

sϕϕdz = KϕπR2

z2o∫

z2u

{

R2Bz + 2R2z∂Bz

∂z+ R2

2

∂Bρ

∂z− z2∂Bρ

∂z

}

dz (H.21)

1 2 3 4Es sind also vier Integrale zu losen:

1

z2o∫

z2u

Bzdz = −µ0Φ (H.22)

2

z2o∫

z2u

∂Bz

∂zzdz = Bzz −

z2o∫

z2u

Bzdz = Bzz +

z2o∫

z2u

µ0∂Φ

∂zdz = Bzz + µ0Φ (H.23)

3

z2o∫

z2u

∂Bρ

∂zdz = Bρ (H.24)

4

z2o∫

z2u

∂Bρ

∂zz2dz = Bρz

2 − 2

z2o∫

z2u

Bρzdz = Bρz2 + 2

z2o∫

z2u

∂Aϕ

∂zzdz =

Bρz2 + 2Aϕz − 2

z2o∫

z2u

Aϕdz = Bρz2 + 2Aϕz − 2Λ (H.25)

Wir erhalten

sϕϕ = KϕπR2

{

−R2µ0Φ + 2R2Bzz + 2R2µ0Φ + R22Bρ − Bρz

2 − 2Aϕz + 2Λ}

∣

∣

∣

∣

z=z2o

z=z2u

(H.26)

Die Kippsteifigkeit eines Zylinders im rotationssymmetrischen Feld:

sϕϕ(R2, z2) = KϕπR2

{

−2zAϕ + 2Λ + R2µ0Φ + 2R2zBz + (R22 − z2)Bρ

}

∣

∣

∣

∣

z=z2o

z=z2u

(H.27)

Anhang I

Die Koppelsteifigkeit im ebenenMagnetfeld

Die Koppelsteifigkeit des Linienleiters sϕr

Ausgangspunkt ist die Kraft pro Lange: Fx = Iy · Bz

Wir suchen die Ableitung nach dem Kippwinkel ϕx:

sϕr = −∂Fx

∂ϕx

= −Iy

∂Bz

∂ϕy

= −Iy

{

∂Bz

∂x

∂x

∂ϕy

+∂Bz

∂z

∂z

∂ϕy

}

(I.1)

Die Transformation des Hebelarmes zwischen korperfesten und raumfesten Koordinatenerfolgt mit Hilfe des Kippwinkels ϕy:

x2 = x′

2 cos ϕy + z′2 sin ϕy z2 = −x′

2 sin ϕy + z′2 cos ϕy (I.2)

Die Ableitungen des Hebelarmes nach dem Kippwinkel ergeben:

∂x

∂ϕy

= −x′

2 sin ϕy + z′2 cos ϕy

∂z

∂ϕy

= −x′

2 cos ϕy − z′2 sin ϕy (I.3)

Einsetzen liefert:

sϕr = −Iy

{

∂Bz

∂x(−x′

2 sin ϕy + z′2 cos ϕy) +∂Bz

∂z(−x′

2 cos ϕy − z′2 sin ϕy)

}

(I.4)

Da wir wieder nur den unverkippten Zustand betrachten d.h.ϕy = 0, gilt: sin ϕy = 0 undcos ϕy = 1 und x′

2 = x2, z′

2 = z2:

sϕr = −Iy

{

∂Bz

∂x(−x2 · 0 + z2 · 1) +

∂Bz

∂z(−x2 · 1 − z2 · 0)

}

(I.5)

Das liefert direkt die Koppelsteifigkeit pro Lange eines ebenen Linienleiters:

sϕr = −Iy

{

z2∂Bz

∂x− x2

∂Bz

∂z

}

(I.6)

132 Anhang I

Die Koppelsteifigkeit des ebenen Flachenleiters

Das Ergebnis wird auf den Flachenleiter ubertragen:Iy → Ky und z2 → z sowie sϕr → sϕr.Die lokale Koppelsteifigkeit sϕr lautet also:

sϕr = −Ky

{

z∂Bz

∂x− x2

∂Bz

∂z

}

(I.7)

Fur die Koppelsteifigkeit muss noch uber die Leiterhohe integriert werden:

sϕr =

z2o∫

z2u

sϕr = −Ky

z2o∫

z2u

∂Bx

∂zzdz − x2

z2o∫

z2u

∂Bz

∂zdz

(I.8)

Die Losung des ersten Integrals:

z2o∫

z2u

∂Bx

∂zzdz = Bxz −

z2o∫

z2u

∂Ay

∂zdz = Bxz + Ay

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(I.9)

Die Losung des zweiten Integrals:

−x2

z2o∫

z2u

∂Bz

∂zdz = −x2Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(I.10)

Das fuhrt zur Koppelsteifigkeit des ebenen Flachenleiters:

sϕr = −Ky {Bxz + Ay − x2Bz}∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(I.11)

Die wir etwas umsortiert folgendermaßen darstellen wollen:

sϕr = −Ky {Ay + Bxz − x2Bz}∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(I.12)

Anhang J

Die Koppelsteifigkeit imrotationssymmetrischen Magnetfeld

Die Koppelsteifigkeit des Ringleiters

Die Kraft eines Ringsegmentes in radialer Richtung (x-Achse) lautet in raumfesten Koor-dinaten:

Fx = Iy · Bz − Iz · By (J.1)

Die Hebelarme in Zylinderkoordinaten:

x = R′

2 cos ϕz cos ϕy + z′2 sin ϕy (J.2)

z = −R′

2 cos ϕz sin ϕy + z′2 cos ϕy (J.3)

Der Strom:

Ix = −I ′

ϕ · sin ϕz · cos ϕy

Iy = I ′

ϕ · cos ϕz

Iz = I ′

ϕ · sin ϕz · sin ϕy

Das Feld:Bx = Bρ cos ϕz

By = Bρ sin ϕz

Bz = Bz

Das setzen wir alles in den Ausdruck fur die Kraft eines Ringsegmentes ein:

Fx = I ′

ϕ cos ϕz · Bz − I ′

ϕ sin ϕz sin ϕy · Bρ sin ϕz (J.4)

und erhalten:

Fx = I ′

ϕ ·{

Bz cos ϕz − Bρ · sin2 ϕz · sin ϕy

}

(J.5)

Das leiten wir jetzt nach dem Kippwinkel ϕy ab:

sϕr = −∂Fx

∂ϕy

= −I ′

ϕ

{

∂Bz

∂ϕy

cos ϕz −∂Bρ

∂ϕy

sin2 ϕz sin ϕy − Bρ sin2 ϕz · cos ϕy

}

(J.6)

Von Bedeutung an dieser Gleichung sind wieder die Ausdrucke ∂Bz/∂ϕy und ∂Bρ/∂ϕy.Diese Ableitungen werden wie folgt gebildet:

∂Bz

∂ϕy

=∂Bz

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bz

∂z

∂z

∂ϕy

∂Bρ

∂ϕy

=∂Bρ

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bρ

∂z

∂z

∂ϕy

(J.7)

134 Anhang J

Das setzen wir jetzt ein:

sϕr = −I ′

ϕ

{[

∂Bz

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bz

∂z

∂z

∂ϕy

]

cos ϕz −[

∂Bρ

∂ρ

∂ρ

∂ϕy

+∂Bρ

∂z

∂z

∂ϕy

]

sin2 ϕz sin ϕy

− Bρ · sin2 ϕz cos ϕy

}

(J.8)

Die Ableitungen ∂ρ/∂ϕy und ∂z/∂ϕy wurden schon im Anhang H hergeleitet, wir uber-nehmen hier die Ergebnisse, die uns wieder nur an der Stelle ϕy = 0 (d.h. im unverkipptenZustand) interessieren. Dort gilt fur den Strom: I ′

ϕ = Iϕ. Die Ableitung der Radialkompo-nente lautet:

∂ρ

∂ϕy

∣

∣

∣

∣

ϕy=0

=∂ρ

∂ϕy

= z2 cos ϕz (J.9)

Die Axialkomponente lautet:

∂z

∂ϕy

∣

∣

∣

∣

ϕy=0

=∂z

∂ϕy

= −R2 cos ϕz (J.10)

Das setzen wir jetzt in unsere Gleichung ein:

sϕr = −Iϕ

{[

∂Bz

∂ρ(z2 cos ϕz) +

∂Bz

∂z(−R2 cos ϕz)

]

cos ϕz

−[

∂Bρ

∂ρ(z2 cos ϕz) +

∂Bρ

∂z(−R2 cos ϕz)

]

sin2 ϕz · 0 − Bρ sin2 ϕz · 1}

(J.11)

sϕr = −Iϕ

{[

∂Bz

∂ρz2 cos2 ϕz −

∂Bz

∂zR2 cos2 ϕz

]

− Bρ sin2 ϕz

}

(J.12)

Zusammenfassen, es gilt: ∂Bz/∂ρ = ∂Bρ/∂z

sϕr = −Iϕ

{

∂Bρ

∂zz2 cos2 ϕz −

∂Bz

∂zR2 cos2 ϕz − Bρ sin2 ϕz

}

(J.13)

Das Integral uber den Umfang ϕz ergibt die Koppelsteifigkeit eines Ringleiters

sϕr =

2π∫

0

sϕrR2dϕz = −IϕR2

{

∂Bρ

∂zz2π − ∂Bz

∂zR2π − Bρπ

}

(J.14)

Die Koppelsteifigkeit eines Ringleiters:

sϕr = −IϕπR2

{

∂Bρ

∂zz2 −

∂Bz

∂zR2 − Bρ

}

(J.15)

Anhang J 135

Die Koppelsteifigkeit eines Zylinders

Das Ergebnis ubertragen wir wieder in die flachenhaften Verhaltnisse der Zylindermantel-flache, d.h. Iϕ → Kϕ und z2 → z sowie sϕr → sϕr. Es ergibt sich die Koppelsteifigkeit einesschmalen Ringes mit der Hohe dz:

sϕr = −KϕπR2

{

∂Bρ

∂zz − ∂Bz

∂zR2 − Bρ

}

(J.16)

Das Integral uber die Hohe z = 2h2 ergibt die Koppelsteifigkeit des gesamten Zylinders:

sϕr =

z2o∫

z2u

sϕrdz = −KϕπR2

z2o∫

z2u

∂Bρ

∂zzdz − R2

z2o∫

z2u

∂Bz

∂zdz −

z2o∫

z2u

Bρdz

(J.17)

1 2 3

1

z2o∫

z2u

∂Bρ

∂zzdz = Bρz −

z2o∫

z2u

Bρdz = Bρz + Aϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(J.18)

2 −R2

z2o∫

z2u

∂Bz

∂zdz = −R2Bz

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(J.19)

3 −z2o∫

z2u

Bρdz =

z2o∫

z2u

∂Aϕ

∂zdz = Aϕ

∣

∣

∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(J.20)

Wir erhalten:

sϕr = − KϕπR2 {Bρz + Aϕ − R2Bz + Aϕ}∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(J.21)

Die Koppelsteifigkeit des Zylinders:

sϕr = −KϕπR2 {2Aϕ + Bρz − R2Bz}∣

∣

∣

∣

z2o

z2u

(J.22)

Anhang K

Der Zusammenhang von Axialkraftund Koppelsteifigkeit

Bei der Berechnung ist aufgefallen, dass die Koppelsteifigkeit zwischen baugleichen Ma-gneten bei geeigneter Wahl des Bezugspunktes durch die Axialkraft ausgedruckt werdenkann. Die These lautet:

Fz = −2sϕr (K.1)

Als Bezugspunkt fur die Koppelsteifigkeit dient dabei der Mittelpunkt zwischen den Ma-gneten, der hier als symmetrischer Bezugspunkt bezeichnet wird. Hier soll fur das Lini-enleitermodell die These K.1 bewiesen werden. Die Koppelsteifigkeit eines Linienleiterslautet:

sϕr(x2, z2) = −Iy

{

z2∂Bz

∂x− x2

∂Bz

∂z

}

(K.2)

Wir betrachten die Koppelsteifigkeit des unteren Leiters 2 bezuglich des symmetrischenPunktes, der hier mit dem Koordinatenursprung zusammenfallt.

z 1

z 2

x 1

x 2

Linienleiter 2

Linienleiter 1

z

x

Bezugspunkt"symmetrischer"

Abbildung K.1: Der symmetrische Bezugspunkt beim Linienleitermodell

Fur die Axialkraft gilt:

Fz(x2, z2) = −IyBx (K.3)

Anhang K 137

Das setzen wir in K.1 ein

− IyBx = −2

[

−Iy

{

z2∂Bz

∂x− x2

∂Bz

∂z

}]

(K.4)

Das vereinfacht sich zu:

Bx = −2

{

z2∂Bz

∂x− x2

∂Bz

∂z

}

(K.5)

Da wir gleiche Ringradien (im 2D gleiche x-Position: x1 = x2) voraussetzen, gilt dortBz = 0 außerdem muss fur die Ableitung gelten: ∂Bz/∂z = 0

Bx = −2z2∂Bz

∂x(K.6)

Fur die Feldausdrucke setzen wir jetzt die Gleichungen 3.9 und 3.11 aus Kapitel 3 ein.

µ0I1

2π· z − z1

(x − x1)2 + (z − z1)2= −2z2 · µ0

I1

2π· (x − x1)

2 − (z − z1)2

[(x − x1)2 + (z − z1)2]2(K.7)

Das vereinfacht sich:

z2 − z1

(x2 − x1)2 + (z2 − z1)2= −2z2 ·

(x2 − x1)2 − (z2 − z1)

2

[(x2 − x1)2 + (z2 − z1)2]2(K.8)

Wenn wir noch die Voraussetzungen x1 = x2 sowie z1 = −z2 einsetzen, kommen wir direktzum Ergebnis:

z2 + z2

(0)2 + (z2 + z2)2= −2z2 ·

(0)2 − (z2 + z2)2

[(0)2 + (z2 + z2)2]2(K.9)

1

2z2

= 2z2 ·(2z2)

2

[(2z2)2]2(K.10)

1

2z2

=1

2z2

(K.11)

q.e.d.

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