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Quantenmechanik 2-Seminar Universität Göttingen Wintersemester 2005/2006 Ingo Wagner und Eduard Guerras Pfadintegrale Inhalt 1. Einleitung

2. Doppelspaltexperiment: 2.1 Ein altbekanntes Experiment 2.2 Konzept der Wahrscheinlichkeitsamplitude 2.3 Übergang zur Summe über Pfade am Beispiel des Doppelspaltes

3. Erinnerung an die klassische Mechanik 4. Definition des Kernes 5. Klassischer Grenzfall 6. Kern:

6.1 Summe über alle Pfade als Analogon zum Riemannintegral 6.2 Kerneigenschaften 6.3 Berechnung eines Pfadintegrals in 5 Schritten

7. Herleitung der eindimensionalen Schrödingergleichung 8. Literatur

1. Einleitung Die Pfadintegralformulierung der Quantenmechanik wurde 1948 von Robert Feynman eingeführt. Das Pfadintegral stellt einen eleganten Einstieg in die Quantenmechanik dar, da man mit ihm einen Bogen zwischen klassischer Mechanik und Quantenmechanik schlagen kann. Dies soll sogleich eine der zentralen Zielsetzungen des vorliegenden Vortrages bilden. Weiterhin sollen Rechenregeln zum Umgang mit Pfadintegralen abgeleitet und mit der Behandlung einiger Anwendungen im zweiten Teil gefestigt werden. 2. Doppelspaltexperiment 2.1Ein altbekanntes Experiment Beginnen wollen wir mit dem bereits ausführlich behandelten Experiment des Doppelspaltes. Man betrachte dazu die folgende Situation.

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In S sollen Elektronen aus einem Draht emittiert werden und durchfliegen einen Spalt bei A, sodass Spalt und Draht sich wie eine punktförmige Elektronenquelle verhalten. Die Elektronen sollen alle die gleiche Energie besitzen in allen Richtungen den Spalt verlassen. Im Schirm B befinden sich zwei Löcher, 1 und 2, durch welche die Elektronen treten können, um dann im Punkt x auf dem Schirm C aufzutreffen bzw. dort von einem Detektor der Breite dx nachgewiesen zu werden. Man misst dann für verschiedene Positionen x auf dem Schirm die Zählrate des Detektors. Diese ist ein relatives Maß für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Elektron am Ort x auf den Schirm auftrifft. Man führt nun die folgenden Messungen durch: 1. Man schließt den Spalt 2, und erhält als Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung auf dem

Schirm die in (b) dargestellte Kurve und analog bei geschlossenem Spalt 1 und geöffnetem Spalt 2 die in (c) dargestellte Kurve.

2. Man öffnet nun beide Spalte und würde die Summe der Kurven (b) und (c) multipliziert mit dem Normierungsfaktor 0,5 als Wahrscheinlichkeitsdichteverteilung annehmen, wie sie in (d) dargestellt ist. Tatsächlich betrachtet man jedoch die in (a) dargestellte Verteilung, die einem Interferenzmuster ähnelt. Diese Verteilung wird auch von einzelnen zeitlich hintereinender durch die Spalte tretenden Elektronen erzeugt und stellt somit keine Wechselwirkung der durch 1 tretenden mit den durch 2 tretenden Elektronen dar. Die Ergebnisse dieser Messungen sind in der linken obigen Graphik dargestellt. Die

fälschliche Annahme stützt sich auf die Anschauung aus der klassischen Mechanik, dass jedes Elektron entweder Spalt 1 oder Spalt 2 (gemeint ist das ausschließliche oder) passiert haben muss um auf dem Schirm auftreffen zu können. Als Konsequenz dessen ergäbe sich die Zählrate bei zwei geöffneten Spalten am Ort x als Summe der beiden Zählraten, (b) und (c), mit nur einem geöffneten Spalt. 2.2 Konzept der Wahrscheinlichkeitsamplitude Wie bereits erwähnt erinnert die in (a) dargestellte Verteilung P sehr an die Interferenzmuster, die bei der Beugung von Licht am Doppelspalt auftreten. Dabei ist die Intensität bestimmt durch ( )tEI 2r∝ . Man führt deshalb das folgende Konzept zur Berechnung der Zählrate am Ort x ein:

1. Es gibt komplexe Zahlen ( )x1φ und ( )x2φ , sodass bei geöffnetem Spalt i gilt: ( ) ( ) 2xxP ii φ=

2. Für die Verteilung bei zwei geöffneten Spalten gilt: ( ) ( ) 2xxP φ= und ( ) ( )( )xx 21 φφφ += Die auf diese Weise definierten komplexen Zahlen besitzen also die gewünschte Additivität. Man nennt ( )x1φ und ( )x2φ auch Wahrscheinlichkeitsamplituden, die wir im Weiteren nur als Amplituden bezeichnen wollen. (diese stellen praktisch die aus der Quantenmechanik bekannten Wellenfunktionen dar) 2.3 Übergang zur Summe über Pfade am Beispiel des Doppelspaltes Wie bereits gesehen ist die Amplitude eines Ereignisses (z.B. Elektron trifft zur Zeit t in x auf) die Summe der Amplituden der verschiedenen Wege, die das System nehmen kann damit das Ereignis eintritt (im Fall des Doppelspaltes also: Elektron passiert Spalt 1 und trifft in x auf oder Elektron passiert Spalt 2 und trifft in x auf ).

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Wir gestalten nun das Spaltexperiment etwas komplizierter wie es in der linken der beiden obigen Graphiken zu sehen ist. Wir fügen in das Experiment zwei zusätzliche Platten D und E ein und lassen in jede der beiden Platten einen kleinen Holzfäller mit seiner Axt verschiedene Spalte, die wir mit ..., 21 DD bzw. ..., 21 EE bezeichnen wollen, schlagen. Nun gibt es verschiedene alternative Wege, die das Elektron nehmen kann um von der Quelle zum Punkt cx auf dem Schirm C zu gelangen. So könnte es von der Quelle durch Spalt 2D dann durch Spalt 4E und schließlich durch Spalt 1B laufen und dann auf dem Schirm C im Punkt cx auftreffen. Es könnte jedoch auch durch Spalt 3D , dann durch Spalt 1E u.s.w. nach cx gelangen. Jede dieser Alternativen besitzt seine eigene Amplitude und die Gesamtamplitude ist die Summe der Amplituden der verschiedenen Wege. Nun lassen wir den kleinen Holzfäller mehr und mehr Spalte in die Schirme D und E schlagen, bis diese praktisch komplett durchlöchert sind und nichts mehr von ihnen übrig ist. Dies ist in der rechten obigen Graphik dargestellt. Die verschiedenen Pfade werden dann durch die Höhen dx und ex sowie die Abstände der Schirme dy und ey von der Quelle charakterisiert. Dies ist in der rechten obigen Graphik veranschaulicht. Die nächste Änderung des Experimentes ist nun natürlich immer mehr Platten zwischen Quelle A und Schirm D zu bringen und diese komplett mit Spalten zu durchsetzen. Man erhält dann die Gesamtamplitude als Summe über alle Amplituden der Pfade ( )yx von der Quelle zum Punkt cx auf dem Schirm C. Dies stellt auch schon das eigentliche Konzept des Pfadintegrales dar, wobei jedoch mit Pfad nicht wie hier die Funktion ( )yx bezeichnet werden wird sondern die zeitliche Abhängigkeit des Ortes des Teilchens ( ) ( ) ( )( )tytxtyxr ,:, a

r= .

3. Erinnerung an die klassische Mechanik Aus der Klassischen Mechanik ist das Hamiltonsche Prinzip bekannt. Dieses besagt, dass die Bahn eines klassisch beschriebenen Teilchens ( )txclv dadurch bestimmt ist, dass das Wirkungsfunktional S für sie extremal wird bzw. die erste Variation des Funktionals 0 wird. Da man nur stückweise zweimal stetig differenzierbare Bahnen betrachtet lässt sich daraus die Euler-Lagrange Gleichung herleiten. ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ] 0,, =−+=⇔== ∫ txStxtxStxSextremaldttxxLtxS clclcltt clclcl ba rrrr&rrr δδ (1)

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Die rechte Gleichung gilt dabei nur bis zur linearen Ordnung in ( )txclrδ . Dabei muss die Bedingung ( ) ( )ba txtx

rr δδ = erfüllt sein. Es sei also ( ) ( ) ( )txtxtx cl rrr δ+= . Da man nur stückweise zweimal stetig differenzierbare Bahnen betrachtet, lässt sich daraus die Euler-Lagrange Gleichung ableiten. iclicl x

LxL

dtd ,, ∂

∂=

∂∂&

(2) Ganz ähnlich werden wir später aus der Pfadintegralformulierung die Schrödingergleichung gewinnen können. 4. Definition des Kernes Es soll im Folgenden eine zum Hamiltonschen Prinzip analoge quantenmechanische Formulierung hergeleitet werden. Wie bereits im Abschnitt 2 angedeutet ergibt sich die Gesamtamplitude eines Systems, die wir mit ( )abK , bezeichnen wollen, für das Ereignis vom Punkt axr zur Zeit at nach bxr zur Zeit bt zu gelangen als Summe der Amplituden ( )[ ]tx

rφ aller einzelnen Pfade ( )tx

r die diese Bedingung erfüllen. Die Menge dieser Pfade sei Γ . ( ) ( )[ ]∑Γ= txabK rφ, (3) Für die entsprechende Wahrscheinlichkeit des Ereignisses gilt dann: ( ) ( ) 2,, abKabP = Noch offen bleibt dabei jedoch, wie die einzelnen Pfade zu der Summe beitragen. Nach einer Bemerkung Diracs hatte Feynman die geniale Idee, dass alle Pfade vom Betrag gleiche Amplituden besitzen sollen, die sich jedoch in ihrer Phase unterscheiden. Die Phase ist dabei bestimmt durch das Wirkungsintegral des Pfades. Mit einer Konstanten c gilt also: ( )[ ] ( )[ ]

⋅⋅= txSictx r

h

r expφ (4) 5. Klassischer Grenzwert Es soll nun die klassische Mechanik als Grenzwert der quantenmechanischen Formulierung abgeleitet werden. Anhand der Gleichung (3) ist, da ja alle Pfade vom Betrag gleich zum Kern beitragen noch nicht ersichtlich, dass für den klassischen Pfad und die Pfade in der nahen Umgebung die Beiträge zur Gesamtamplitude am wichtigsten sind. Dies muss aber erfüllt sein, um im klassischen Fall von einer Trajektorie sprechen zu können. Man betrachte dazu nun wieder den klassischen Pfad ( )txclr und fasse alle anderen Pfade als Summe des klassischen Pfades und einer Abweichung ( )tx

rδ auf, sodass also ( ) ( ) ( )txtxtx cl rrr δ+= gilt.

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1. Ist diese Abweichung nur klein im klassischen Sinn, so wird die Differenz der Wirkungen der Pfade trotzdem noch erheblich sein gegenüber der Größe von

Js3410−≈h . Nun ist jedoch nach der Eulerschen Formel ( ) ( ) ( )xixxi sincosexp ⋅+=⋅

und somit ist die Phase der Amplituden im klassischen Sinn sehr schnell oszillierend in ( )[ ]txS r . Liefert ein Pfad ( ) ( )txtx clrr

≠1 eine Phase von ( )[ ]( )txSi 11exp rh ⋅⋅− so hebt

ein im klassischen Sinn gering davon abweichender Pfad ( )tx2r diesen durch eine Phase ( )[ ]( ) ( )[ ]( )txSitxSi 1121 exp exp r

hr

h ⋅⋅−=⋅⋅−− weg.

Die letzte Argumentation ließe jedoch auch den Schluss zu, dass sich alle Pfade gegenseitig aufheben . Man hat jedoch noch nicht die Bedingung verarbeitet, dass S stationär wird für den klassischen Pfad. Dies bedeutet aber gerade, dass eine kleine Abweichung vom klassischen Pfad ( )txclr zumindest in linearer Ordnung keine Änderung in S liefert. Somit heben sich die Pfade um ( )txclr nicht gegenseitig auf. Es gilt: 2. Ist der Betrag der Abweichung vom klassischen Pfad stets klein im

quantenmechanischen Sinn, so weist natürlich auch der Wert ( )[ ]txS r nur eine geringe Abweichung von ( )[ ]txS clr auf. Dies bedeutet jedoch auch ähnliche Phasen

( )[ ]( )txSi rh ⋅⋅−1exp . Somit ist es plausibel, dass im quantenmechanischen Sinn geringe

Abweichungen von der klassischen Trajektorie auch noch wesentliche Beiträge zum Kern liefern, da sie sich nicht gegenseitig aufheben. Im Fall großer Massen, Abstände und Zeiten ist damit die Gültigkeit der klassischen

Mechanik gezeigt worden. Eine scharfe Trajektorie existiert zwar nicht, jedoch gibt es in der Quantenmechanik eine „verschmierte Bahn“ eines Systems, die in klassischen Größenordnungen als scharf angenommen werden darf. 6. Kern 6.1 Summe über alle Pfade als Analogon zum Riemannintegral

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Im Folgenden soll das Pfadintegral analog zum Riemannintegral hergeleitet werden. Man betrachte eine Funktion f mit dem obigen Verlauf. Man kann dann das Integral ( )fµ der Funktion f als Summe über alle Ordinaten begreifen. Dies wird anschaulich an der Approximation von f mit immer feiner werdenden Treppenfunktionen klar. Die Feinheit der Teilintervalle sei h . Dann gilt: ( ) ( )( )∑= ⋅≈

hNi ixfhf 1µ bzw. ( ) ( )( )

⋅= ∑=→ hNi ih xfhf 10limµ

Ganz analog lässt sich nun das Pfadintegral definieren. Im Gegensatz zu Abschnitt 2 unterteilt man nicht den Weg sondern die Zeit in immer feinere Intervalle. Man definiert: ( )

Ntt ab −≡ε att ≡0 ε⋅+≡ kttk 0 { }Nk ,....,1∈ ( )kk txx rr ≡

Innerhalb der Teilintervalle der Länge ε nimmt man die Bewegung des Systems z.B. als gradlinig gleichförmig an. Dies ist in der obigen Graphik veranschaulicht Nun integriert man wie schon im zweiten Abschnitt über alle kxr im zulässigen Bereich des Phasenraumes bis auf axr und bxr , die ja als fester Anfangs- bzw. Endpunkt des Systems vorgegeben sind. Daraus folgt die Beziehung: ( ) ( )[ ] 1211 2 1 ......, −−− −∫ ∫ ∫ ⋅∝ NNN N xdxdxdtxabK rrrrφ Da sich mit der Zahl der Zeitintervalle auch die Anzahl der zulässigen Pfade vergrößert erscheint es logisch, dass ein Normierungsfaktor ( )εA entsprechend dem h beim Riemannintegral eingeführt wird. Man könnte auch wie folgt argumentieren: Sind mehr Pfade für das Teilchen realisierbar so verändert sich natürlich auch der Beitrag eines Pfades zur Gesamtamplitude. Für sehr feine Unterteilungen ergibt sich also: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫− −

⋅≈ 1 12 21 1 ...,,exp..1, N Ntt A

xdAxd

AxddttxxLi

AabK

ba εεεε

rrr

&rr

h

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Dies wird im Limes 0→ε exakt und man erhält: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅≡ ∫ ∫ ∫ ∫− −→ 1 12 21 10 ...,,exp..1lim, N Ntt A

xdAxd

AxddttxxLi

AabK

ba εεεεε rrr

&rr

h (5) Man findet in der Literatur auch die folgenden Schreibweisen:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )abKtxDdttxxLitxDSitxtxKba baba xx ttxx abaabb ,,,expexp,;, =

⋅=

⋅= ∫ ∫∫ v&rr

h

v

h

6.2 Kerneigenschaften Es gelte nun ( )cc txx

rr

= und bca ttt pp . Dann hat der Kern die folgende Eigenschaft: ( ) ( ) ( ) cxdcbKacKabK r

⋅⋅= ∫ ,,, (6) Beweis: Nach Definition des Kernes gilt zunächst: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )∫

∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫

⋅=

⋅⋅

⋅=

++⋅= −+→−→ −→

c cNccbcac Nctt ttxdcbKacK

xdAxd

AxdSi

AAxd

AxdSi

A

Axd

Axd

AxddttxxLdttxxLi

AabK

ca bcr

rrr

h

rr

h

rrr

&rr&rr

h

,,

..exp..1lim..exp..1lim

....,,,,exp....1lim, 110110 110εεεεεε

εεεε εε ε

Man kann dies auch wie folgt interpretieren: Die Wahrscheinlichkeitsamplitude von axr zur Zeit at nach bxr zur Zeit bt zu gelangen entspricht dem Integral des Produktes der Wahrscheinlichkeitsamplituden, dass das System zwischendurch den Ort cxr zur Zeit ct erreicht integriert über alle Punkte cxr , die das System zur Zeit ct erreichen kann. Diese Eigenschaft kann man nun wiederum ausnutzen um den Kern zweier infinitesimal benachbarter Phasenraumpunkte zu bestimmen. Sei dazu Ntt ,....,0 eine sehr feine Unterteilung des Zeitintervalls mit ( )ii txx

rr

= . Dann lässt sich durch wiederholte Anwendung der obigen Eigenschaft der Kern schreiben als: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1211 2 1 ...0,1...2,11,...0,, −−− − ⋅⋅⋅⋅−−⋅−== ∫ ∫ ∫ NNN N xdxdxdKNNKNNKNKabK rrr Daraus ergibt sich durch Vergleich mit der Definition des Kernes, dass für zwei infinitesimal

benachbarte Zeitpunkte 1+it mit ( )11 ++ = ii txxrr und it mit ( )ii txx

rr

= sowie ii tt −≡ +1ε gilt: ( ) ( )

⋅

+−+⋅⋅=+ +++ ε

εε 2,,2exp1,1 111 iiiiii ttxxxxLiA

iiKrrrr

h (7)

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Dabei wurde der Intergrand im Exponenten als konstant angenommen. Die Amplitude eines bestimmten Pfades ergibt sich somit zu: ( )[ ] ( )

+= ∏−=→ 10 ,1lim

N oi iiKtx εφ r 6.3 Berechnung eines Pfadintegrals in fünf Schritten

1. Unterteilung des Zeitintervalls [ ]ba tt , in N äquidistante Teilintervalle der Länge ( ) ( ) 1−

⋅−≡ NttN abε . Für den Pfad sei ( )ii txx rr ≡ . 2. Man drücke den das Wirkungsintegral näherungsweise aus durch das Integral über eine Treppenfunktion. Dabei geht man davon aus, dass sich das Teilchen zwischen it und 1+it mit konstanter Geschwindigkeit bewegt und dass sein Potential V konstant bleibt. Der Pfad ist dann durch die 11 ,..., −Nxx

rr eindeutig bestimmt, da Anfangs und Endpunkt fest vorgegeben sind. Es gilt:

( ) ( )[ ] [ ]1110 111 ,....,2,,2,, −−= +++ →⇒⋅

+−+→∑∫ NNi iiiiiitt xxStxSttxxxxLdttxxLba rrr

rrrr

&rrε

ε

3. Man berechne nun das Integral [ ]{ } 111 1 111 ...,....,exp... −− −−∫ ∫ ⋅⋅ NN N xdxdxxSi rrrr

h . Dabei wird es bei den zu rechnenden Beispielen wahrscheinlich vorkommen, dass sich der Integrand als Produkt schreiben lässt und somit die Integration wesentlich vereinfacht wird. Beispiel: eindimensionales freies Teilchen:

[ ] ( )

[ ]{ } ( )∏∑ −= +−− −= +−

−⋅⋅=⋅⇒

−⋅⋅= 10 21111 10 2111exp,....,exp

,..., Ni iiNNi iiNxxixxSi

xxixxS

ε

ε

h

rrh

h

r

4. Der Normierungsfaktor ( )εA stellt nun eine sehr schwierig zu bestimmende Größe

dar. Für ihn gilt die „Regel“: Wähle ( )εA so, dass etwas Vernünftiges bei der Rechnung entsteht. Vernünftig bedeutet im Idealfall, dass ( ) 1, 2

=∫ bxdabK r gilt. Es sei hier nur angemerkt, dass für ein freies Teilchen ( ) ( )2112 −

⋅⋅⋅⋅⋅= miA επε h gilt. 5. Man bilde den folgenden Grenzwert und erfreue sich am Ergebnis. ( ) ( )( ) [ ]

⋅

⋅

= ∫ ∫ ∫− −−→ 1 2 1 121110 ...,....,exp..1lim, N NNNN xdxdxdxxSi

NAabK rrrrr

hε

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7. Herleitung der Schrödingergleichung Nachdem wir im 5. Abschnitt die Gültigkeit der klassischen Mechanik in der Pfadintegralformulierung gezeigt haben ist es nun noch notwendig die uns bekannte Quantenmechanik, welche sich durch die Schrödingergleichung ergibt, aus dem Pfadintegal für den Kern abzuleiten. Wir wollen uns hier auf den eindimensionalen Fall beschränken und nehmen an, dass gilt:

1. Das betrachtete Teilchen hat eine Lagrangefunktion mit ( ) ( )txVxmtxxL ,2,, 2−⋅= &&

2. Das Teilchen befinde sich zur Zeit 0=t am Ort 0=x 3. Man definiert eine Wellenfunktion ϕ mit ( ) ( )0,0;,, txKtx ≡ϕ

Es gilt für 210 tt pp somit ( ) ( ) ( )∫ ⋅= 111111222 ,,;,, dxtxtxtxKtx ϕϕ . Insbesondere ergibt sich für kleine Zeitenε mit yxxx ≡∧≡ 12 nach Definition des Kernes für infinitesimale Zeitintervalle: ( ) ( ) ( ) dytyttyxVyxmi

Atx ⋅⋅

⋅

++++

−⋅⋅⋅=+ ∫ ,2,22exp1,

2ϕεε

εεεϕ

h

Es taucht der Wert ε

yx − auf, welcher natürlich groß ist im Verhältnis zu h , wenn y und x

stark unterschiedliche Werte annehmen. Aufgrund dessen oszilliert der Kern für große Werte von yx − sehr stark und aufgrund der glatten Eigenschaft von ( )ty,ϕ liefern große Werte von yx − keinen Beitrag zum Integral. Dieses Argument gleicht dem aus Abschnitt 5. zur Ableitung der klassischen Mechanik. Es reicht also kleine Abweichungen zu betrachten. Sei deshalb ηη ddyxy =⇒+=

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) dytytxVimiA

dytyttxxVimiAtx

⋅⋅

⋅⋅−⋅

⋅

⋅⋅⋅≈

⋅⋅

⋅

++++⋅−⋅

⋅

⋅⋅⋅=+

∫∫

,,exp2exp1

,2,2exp2exp1, 2 2ϕεε

εη

ε

ϕεεηεεη

εεϕ

hh

hh Eine Entwicklung in ε und in η ergibt dann: ( ) ( ) ( ) ( ) ηηϕηϕϕ

εεη

εεϕϕ d

xxtxtxVimi

Attx ⋅

⋅∂

∂+⋅∂∂+⋅

⋅−⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=⋅∂

∂+ ∫∞∞− 2222,,12exp1, h

h (*)

Dabei ist der in der letzten Näherung ( ) εεεη ⋅≈

+++⋅ txVttxV ,2,22 gemachte Fehler

höher als von der linearen Ordnung inε . Die Schrödingergleichung wird jedoch schon aus der linearen Ordnung von ε folgen. Unter Benuzung des Gaußintegrals folgt: ( )

212 212exp1

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅ ∫∞∞− mA

dmiA

επηεη

εh

h

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Damit die Gleichung (*) in nullter Ordnung korrekt bleibt muss also gelten: ( ) 212

⋅⋅⋅=

mA επε

h (8) Weiterhin werden die folgenden Integrale benutzt ( ) 02exp1 2

=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅∫∞∞− ηεηη

εdmi

A h und ( ) m

idmiA

εηεηη

ε⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅∫∞∞− h

h2exp1 22 Insgesamt ergibt sich daraus durch Wegfallen der Terme mit höherer Ordnung alsε : ( ) ( )

∂∂⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−=⋅∂

∂+ 2222,,

xmitxVitx

tϕϕεϕεϕϕ h

h

Dies ist jedoch nur korrekt in erster Ordnung vonε , wenn die Wellenfunktion ϕ die eindimensionale Schrödingergleichung erfüllt. ( ) ( ) ( ) ( )txtxVtx

xmtx

ti ,,,2, 222

ϕϕϕ ⋅+∂∂⋅

⋅−=

∂∂⋅⋅ h

h (10) 8. Literatur [1] R. Feynman und C.Hibbs: „Path Integrals and Quantum Mechanics“ [2] Claude Garrod: „Hamiltonian Path Integral Methods”, Reviews of modern Physics, Volume 38, Nr.3 , 1966