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© H.Neuendorf

PHYSIK 1 1. Semester ET

Prof. Dr. Herbert Neuendorf herbert.neuendorf@mosbach.dhbw.de Tel : 470

Klausur : Gesamtmodul über beide Semester

Skript : Folien als pdf

Übungen : Handouts

www.dhbw-mosbach.de/studienangebote/wirtschaftsinformatik/kontakt/

prof-dr-neuendorf/aktuelle-lehrveranstaltungen.html

→ Physik_1A.pdf und folgende …

Anliegen → Pointer für Vorlesungen :

Elektrotechnik, Signale & Systeme …

Literatur :

Tipler , Pysik, Oldenbourg

Hering, Martin, Stohrer , Physik für Ingenieure, Springer

Kuypers , Physik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Wiley-VCH, Bd 1 + 2

Harten , Physik, Springer

von Oppen, Melchert , Physik für Ingenieure, Pearson

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PHYSIK 1

Grundlagen Physikalische Größen, Skalare, Vektoren, Koordinatensysteme Skalarprodukt, Vektorprodukt, Differentiation, Integration

Kinematik des Massenpunktes Lineare Bewegung + Kreisbewegung Differentiation des Ortsvektors, Integration des Beschleunigungsvektors Inertialsystem

Dynamik Newton'sche Axiome, Schwere vs Träge Masse, Gravitation, Impuls Integration der Bewegungsgleichung, Phasenraumdarstellung Differentialgleichungen Numerische Integrationsverfahren (Euler, RK4)

Erhaltungsgrößen Arbeit, Energie, Leistung Energieerhaltungssatz der Mechanik Skalares Feld, Vektorfeld - Kraftfeld als Gradient der Potentiellen Energie Exkurs : Rotation, Divergenz Massepunktsysteme, innere Kräfte, äußere Kräfte, Impulssatz Drehimpuls und Drehmoment (Kreisel)

Prof. Dr. Herbert Neuendorf

Klassische Mechanik

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Bewegungen starrer Körper

Trägheitsmomente, Berechnung für einfache Fälle

Drehimpuls + Rotationsenergie

Mechanische Schwingungen

Ungedämpfte + gedämpfte freie Schwingungen (Lösung DGL)

Erzwungende Schwingungen, Resonanz, Leistungsaufnahme

Einschwingvorgänge

Analogie mechanische + elektrodynamische Schwingungen

Superposition von Schwingungen, Fourierreihe

Wellen

Beschreibung von laufenden + stehenden Wellen

Harmonische Wellen, Wellengleichung, Phasengeschwindigkeit, Intensität

Energietransport durch Wellen

Wellengruppen (Signale), Gruppengeschwindigkeit

Exkurs: Fourieranalyse + Synthese, Unschärferelation

Kohärenz + Interferenz im Fernfeld

Vielstrahl-Interferenz + Beugung + Gitter + Auflösungsvermögen

Inhalte Mechanik …

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Anliegen und Verortung der Physik als Wissenschaft

Physik : Grundlegendste Naturwissenschaft

Eigenschaften + Wechselwirkungen der Materie ← Experiment + Theorie

Verständnis aller Phänomene der unbelebten (z.T. auch belebten) Natur

Ziel : Reduktion + Vereinheitlichung in Theorien, Modellen → Naturgesetze →

Zusammenfassung in möglichst wenigen und grundlegenden Gesetzen - aus denen möglichst viele empirische Einzeltatsachen ableitbar sind !

Einstein :

Mein eigentliches Forschungsziel war stets die Vereinfachung und Vereinheitlichung des physikalischen theoretischen Systems.

Das große Ziel aller Wissenschaft ist es, die größte Anzahl empirischer Tatsachen durch logische Herleitung aus der kleinsten Anzahl von Hypothesen oder Axiomen zu erfassen

Physik

Chemie :Untersuchung der Bildung

und Umwandlung von Molekülen

Biologie / Medizin :Untersuchung der Vorgänge in

lebenden Organismen, Untersuchung von Selbst-organisationsvorgängen

Ingenieurwissenschaften :Direkte Umsetzung physikalischer Erkenntnisse:

Elektronik, Systemtheorie, Mechatronik …

Mathematik :

Das Buch der Natur ist in der Sprache der Mathematik geschrieben (Galilei)

Physiker sind Mathematiker

mit Sinn für die Realität …..

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Einige Teilgebiete der Physik

Hochenergiephysik → Elementarteilchen und ihre Wechselwirkungen

Kernphysik → Aufbau und Eigenschaften der Kernmaterie

Atom- und Molekülphysik → Eigenschaften der Atome und ihrer Verbindungen

Festkörperphysik → Eigenschaften der kondensierten Materie

Astrophysik & Kosmologie → Eigenschaften und Entstehung des Universums

Einige aktuelle Forschungsfelder

Erweiterung des Standardmodells der Materie

Kosmologie, Quantentheorie der Gravitation

Bedeutung nichtlinearer Prozesse - z.B. in Optik

Verständnis ungeordneter Materie (Polymere, Gläser ...)

Mikromechanik, Nanophysik

Halbleiterpysik, Optische Rechner, Quantum Computing …

PhysikAllgemein

Gibt tiefe Einblicke in die Natur und korrigiert unsere Vorstellungen von Raum,

Zeit und Kausalität

Konkret

Grundlage der modernen Technik und Zivilisation

Man studiert Mathematik, um entscheiden zu können, welche der wichtigen Aussagen richtig sind …

Man studiert Physik, um entscheiden zu können, welche der richtigen Aussagen wichtig sind …

Klassifikationen der Physik

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Klassifikationen

10-15 10-7 1011 1026 L [m]Atomkerne Universum

Klassifikationen der Physik

Relativistische

Quantenphysik

Relativistische

klassische

Physik

Kosmologie

ART

Quantenphysik

Klassische Physik

"gewöhnliche

Objekte"

Astrophysik

v

c

0

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Ziel der Physik als Wissenschaft

Über bloße unverbundene Erfahrungstatsachen hinaus gehen ⇒

Verallgemeinerte Theorien zur Deutung + Vorhersage vieler Einzelerscheinungen

Richtigkeit Theorie = Anwendbarkeit + Einfachheit

Theorie-Klassifikation :

1. Punkttheorien Bsp Punktmechanik der Massepunkte, ausdehnungsloses Elektron

Phys. Größen nur in diskreten Punkten des 3d-Raumes definiert

Koordinaten sind Funktionen der Zeit ⇒ Zeit als einzige unabhängige Variable

2. Feldtheorien / Kontinuumstheorien Bsp Wellen, Elektrodynamik

Phys. Größen in jedem Punkt des 3d-Raumes definiert

Sind lokale Funktionen von Zeit + Ort ⇒ Auch Koordinaten als unabhängige Variablen

3. Systemtheorien Bsp Thermodynamik

Makroskopische Zustandsgrößen beschreiben räumlich ausgedehnte Systeme

Zustandsgleichungen verknüpfen die Zustandsgrößen (p, V, T, N)

Statistische Fundierung der Zustandsgrößen

Abgeschlossene Theorie Bsp: Klassische Mechanik versus RT + QM

1. Kann durch kleine Änderungen nicht mehr signifikant verbessert werden –

nur durch Einführung ganz neuer Begriffe - was jedoch Übergang zu neuer Theorie bedeutet

2. Kennt die Grenzen ihrer Gültigkeit und Anwendbarkeit

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Physikalische Erkenntnis

ExperimentZusammenhänge

physikalischer Größen

Verifikation / Test

Induktionn → n+1

Verallgemeinerung

Physikalisches GesetzNaturgesetze

Messvorschriften

DeduktionNeue Voraussagen

Vermutungen

Regelkreis physikalischer Erkenntnis

Makrophysik > 10-6 m

Unmittelbar wahrnehmbar

Anschauliche Bilder

Streng deterministisch

Kontinuierliche stetige Abläufe (Teilbarkeit)

Genaue Messbarkeit

Klassische Physik

Mikrophysik <≈ 10-10 m

Mittelbar wahrnehmbar

Unanschaulich, abstrakt

Statistisch deterministisch

Diskontinuierliche unstetige Abläufe (Quanten)

Unschärferelation

Quantenphysik

Grundanliegen der Pysik ist Theorie-Vereinheitlichung = Reduktion :

Die verschiedenen historisch

entstandenen Theorien sollen auf

wenige fundamentalere Theorien

zurückgeführt werden.

Einstein :

Die Theorie bestimmt,

was beobachtbar ist …

Klassifikationen der Physik

Physical laws should have mathematical beauty

Dirac, 1956

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Mechanische Systeme

Einfache Mechanische Systeme

Bsp: Pendel, Billardkugeln, Planeten

Wenige Teilchen bzw. Zusammenfassung der gemeinsamen Bewegung im Schwerpunkt

Abbildung des Gesamtsystems durch einenWert für Masse, Trägheitsmoment, Geschwindigkeit …

⇒ Zeitliche Entwicklung - Bahnkurve :

Durch wenige Bewegungsgleichungen und Erhaltungssätze beschrieben + berechenbar

Vielteilchen-Systeme (Thermodynamik)

Bsp: Teilchen eines Gases

Extrem große Teilchenzahlen N ≈ 10²³ in ungeordneter Bewegung

Alle Teilchen bewegen sich individuell , können in ihrem Gesamtverhalten nicht durch eine gemeinsame Bahnkurve dargestellt werden

⇒ Zeitliche Entwicklung :

Berechnung aller 10²³ Teilchenbahnen nichtmöglich – extremer Rechenaufwand

m1

m2r (t)

Keine mikroskopischen Detail-Angaben in Vielteilchen-Systemen möglich !!

⇒ Definition makroskopischer Zustandsgrößen + Übergang zur Statistischen Physik

Klassifikationen der Physik

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Messung und Maßeinheit : Physikalische Größen + M aßsysteme

Ausdruck physikalischer Zusammenhänge in normierten Größen :

1. Skalare Größen = ungerichtete Größen (Länge, Masse, Zeit, Energie ....)

2. Vektorielle Größen = räumlich gerichtete Größen (Geschwindigkeit, Kraft, Impuls ....)

Unabhängige SI-Basisgrößen :

Mechanik: Masse [kg] Länge [m] Zeit [s]

Elektriztätslehre: Stromstärke [A]

Thermodynamik: Temperatur [K] Stoffmenge [m ol]

Optik: Lichtstärke [cd]

Maßsystem durch Grundgrößen + ihre Einheiten bestimmt :

cgs = [cm] [g] [s]

mks = [m] [kg] [s]

Seit 1978 : SI-System

Festlegung physikalischer Größen durch :

a) Zahlenwert G = "Menge " b) Einheit [G] = "Norm "

Skalare Größe g = G • [G]

Vektorielle Größe g = G • [G] • e

e = Einheitsvektor = g / g in Richtung von g | e | = 1

Alle anderen Größen sind aus Grundgrößen abgeleitet :

Geschw. = Länge / Zeit

Beschl. = Geschw. / Zeit

Kraft = Masse ·Beschl.

...

(12)

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Größenordnungen Abgeleitete Größen

Zehnerpotenzen als Faktoren für SI-Einheiten :

10 12 Tera T

10 9 Giga G

10 6 Mega M

10 3 Kilo k

10 0 - -

10 -3 milli m

10 -6 mikro µ

10 -9 nano n

10 -12 piko p

10 -15 femto f

Wichtige abgeleitete Größen :

Frequenz → Periodische Vorgänge - Anzahl n in Zeit t

f = n / t [ Hz = s-1 ] ( ≠ Kreisfrequenz ω ! )

Ebener Winkel :

Gradmaß → Vollkreis = 360° 1° = 60' 1' = 60''

Bogenmaß → ϕ = s / r [ rad ]

360° ≡ 2π ⇒ 1 rad ≡ 360°/2π = 57.295°

Raumwinkel : Ω = A / R2 [ sr ] Steradiant

Gebräuchliche Nicht-SI-Einheiten :

Länge : 1 LJ = 9.46·10 15 m Lichtjahr

1 Å = 10 -10 m Ångström

1 fm = 10 -15 m Fermi

Masse: 1 t = 10 3 kg Tonne

1 u = 1.6604· 10 -27 kg atomare Masseneinh.

Zeit: 1 min = 60 s 1 h = 3600 s

1 d = 86400 s 1 a = 365.24 d = ..... s

r sϕ

R AΩ

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Vektorielle Größen Ein Vektor ist durch Betrag und Richtung definiert

Vektoraddition :

Vektorsubtraktion :

Komponentenzerlegung :

Koordinatendarstellung :

→→→⋅= aeaa ||

Betrag des Vektors

Einheitsvektor in Richtung von a

+++

==+=+→→→→→

zz

yy

xx

ba

ba

ba

cabba

)(→→→→

−+=− baba

→→→+= bac

=⋅+⋅+⋅=

=++=

→→→

→→→→

z

y

x

zzyyxx

zyx

a

a

a

eaeaea

aaaa

Projektion eines Vektors auf Wirkungslinie eines anderen Vektors :

)cos(|||| α⋅=→→aab

ab

a b

α

Vektor-Betrag in cartesischen Koordinaten :

222|| zyx aaaa ++=→

Cartesische Einheitsvektoren liegen parallel zu Koordinatenachsen x, y, z : →→→

zyx eee

→a

→a →

b

→b

→a

→b

→− b

→c

1,, =

==

→→

→

azyx

a ea

a

a

a

aa

aa

e

Einheitsvektor in Richtung von a :

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Vektorielle Größen Skalarprodukt zweier Vektoren (Inneres Produkt) : Liefert Skalar

→→→→→→→

→→→→

→→

⋅+⋅=+⋅

⋅=⋅

⋅⋅=⋅

cabacbaDG

abbaKG

baba

)(:

:

)cos(α

a

bα

Skalarprodukt in Komponentendarstellung

Durch Ausmultiplizieren in cartesischer Darstellung unter Beachtung der Sonderfälle :

Spezialfälle :

1

0

0

||

2

=⋅=⋅=⋅

=⋅=⋅=⋅

=⋅⇒⊥

=⋅⇒

⋅=⋅⇒

→→→→→→

→→→→→→

→→→→

→→

→→→→

zzyyxx

zxzyyx

eeeeee

eeeeee

baba

aaa

bababa

zzyyxx

zzzzyyyyxxxx

zzyyxxzzyyxx

bababa

eebaeebaeeba

ebebebeaeaea

ba

⋅+⋅+⋅=

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=

⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅=

=⋅

→→→→→→

→→→→→→

→→

)()(

Speziell : Betrag eines Vektors

222

2

|| zyx

zzyyxx

aaaa

aaaaaaaaa

++=⇒

++==⋅

→

→→

Physikalische Motivation :Berechnung der Arbeit bei beliebiger Orientierung von Kraft und Weg

(15)

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0

||

0

0||

=×=×=×

−=×−=×−=×

=×=×=×

⋅=×⇒⊥

=×⇒

=×⇒

→→→→→→

→→→→→→→→→

→→→→→→→→→

→→→→

→→→

→→→→→

zzyyxx

yzxxyzzxy

yxzxzyzyx

eeeeee

eeeeeeeee

eeeeeeeee

bababa

aa

baba

Vektorielle Größen Vektorprodukt zweier Vektoren (Äußeres Produkt) : Liefert Vektor !

Vektoren bilden mit resultierendem Vektor ein Rechtssystem Rechtsschraube, RechteHand-Regel : a → b

)!(

)(:

)(

,

)sin(

KGkeinbaab

cabacbaDG

baba

bcac

baccba

→→→→

→→→→→→→

→→→→

→→→→

→→→

×−=×

×+×=+×

×⋅=×

⊥⊥

⋅⋅==×

λλ

α

b

aα

c

Spezialfälle :

c

b

aα Gemäß Rechtsschrauben-regel

Physikalische Motivation :Berechnung der Drehmoments

bei beliebiger Orientierung von

Kraft und Hebelarm

Geometrische Deutung :

Der Betrag des Vektorprodukts ist gleich der Fläche des von den Vektoren aufgespannten Parallelogramms

(16)

© H.Neuendorf

−−−

=−+−+−=

−+++

+−+−+=

×+×+×+

+×+×+×+

+×+×+×=

=++×++=×

→→→

→→→

→→→

→→→→→→

→→→→→→

→→→→→→

→→→→→→→→

xyyx

zxxz

yzzy

zxyyxyzxxzxyzzy

xyzyxzxzy

zxyyzxzyx

zzzzyzyzxzxz

zyzyyyyyxyxy

zxzxyxyxxxxx

zzyyxxzzyyxx

baba

baba

baba

ebabaebabaebaba

ebaebaeba

ebaebaeba

eebaeebaeeba

eebaeebaeeba

eebaeebaeeba

ebebebeaeaeaba

)()()(

)(

)()(

)()( Vektorielle Größen

Vektorprodukt in Komponentenschreibweise : Komponentendarstellung der Vektoren und Bildung der Vektorprodukte unter Beachtung der Spezialfälle parallel / senkrecht

Determinanten-Schreibweise :

zyx

zyx

zyx

bbb

aaa

eee

ba

→→→

→→=×

Übung : Was erhält man speziell für zwei Vektoren a un d b die in der (x,y)-Ebene liegen ?

Definition eines rechtshändigen Koordinatensystems :

1+=⋅

×→→→

zyx eee

y

x

z

(17)

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Koordinatensysteme - Zusammenhang mit cartesischen Koordinaten

Beschreibung physikalischer Zusammenhänge in verschiedenen frei wählbarenKoordinatensystemen → Länge + Richtung von Vektoren bleibt erhalten

Naturgesetze dürfen weder vom Maßsystem noch vom Ko ordinatensystem abhängen !Voraussetzung : Inertialsystem = nicht-beschleunigtes System !

xy

yxr

ryrx

rP

=+=

⋅=⋅=

)tan(

)sin()cos(

,:

22 ϕ

ϕϕ

ϕ

1. Ebene Polarkoordinaten :

r = Abstand vom Ursprung ϕ = Winkel(Verbindungsvektor, x-Achse)

2. Zylinderkoordinaten :

r = Länge (x,y)-Ortsvektorprojektion

ϕ = Winkel( Proj.Vektor, x-Achse )

z = Abstand von (x,y)-Ebene

zrP ,,: ϕ

Auch in nicht-cartesischen Systemen sind spezielle Einheits-vektoren e definiert :

radiale + tangentialeEinheitsvektoren

xϕ

yP

re r

e T

zTr eee ⊥⊥

(18)

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Koordinatensysteme

( )xy

zyx

z

zyxr

rz

ry

rx

rP

=

++=

++=

⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

ϕ

ϑ

ϑ

ϕϑ

ϕϑ

ϑϕ

tan

)cos(

)cos(

)sin()sin(

)cos()sin(

,,:

222

222

3. Kugelkoordinaten = räumliche Polarkoordinaten :

r = Abstand vom Ursprung = Länge Ortsvektor

ϕ = Meridianwinkel(xy-Projektion Ortsvektor, x-Achse)

ϑ = Polwinkel(Ortsvektor, z-Achse)

Radialer (Einheits-) Vektor mittels Kugelkoordinaten :

[ ][ ]πϑ

πϕ

,0

2,0

=

=

⋅⋅

=⇒

⋅=

⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅

=

)cos(

)sin()sin(

)cos()sin(

)cos(

)sin()sin(

)cos()sin(

)cos(

)sin()sin(

)cos()sin(

ϑϕϑϕϑ

ϑϕϑϕϑ

ϑϕϑϕϑ

r

r

e

err

r

r

r

r

1)(cos)(sin 22 =+ ααSehr nützlich :

y

x

ϕ

Pr

z

ϑ

ϑ r

P

zr·sin( ϑ)

Draufsicht

r·co

s(ϑ)

(19)

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Koordinatensysteme

Translation

Übergang zu verschobenem Koordinatensystem

Verschiebevektor R bewirkt parallele Translation mit Koordinaten-Transformation :

−−−

=−=

=⇒=+→→→→→→

z

y

x

Rz

Ry

Rx

Rr

z

y

x

rrrR

'

'

'

''

Translation : Richtung + Länge aller Vektoren erhalten

⇒ Symmetrieoperation / keine Beschleunigung

Rotation :

⇒ Keine Symmetrieoperation / zusätzliche Beschleunigung

Inertialsysteme :

Naturgesetzliche Beschreibung ist in allen gleichförmig bewegten , unbeschleunigt translatierenden, nicht rotierenden Koordinatensystemen identisch ⇒

Alle Inertialsysteme sind physikalisch gleichwertig !

Es gibt kein ausgezeichnetes Inertialsystem !

Symmetrie = Invarianz unter Transformation

"Etwas ist symmetrisch, wenn man es einer bestimmten Operation unterziehen kann und es ist nach der Operation noch genau dasselbe" H.Weyl

P

R

x

y

z

r '

x'

y'

z'

r

(20)

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Kinematik der Massenpunkte

Lehre von Bewegungen der Körper :

Berechnung von Bahnkurven

Rein mathematischer Ansatz → Ursache der Bewegung = Kräfte werden nicht formuliert !

Modell = Idealisierung → Absehen von Ausdehnung → Körper = Punktmasse

Konsequenz der Näherung : Elimination von Störeffekten

Vernachlässigung von Eigenrotation + Drehmomenten

Vernachlässigung von Verformungen + Eigenschwingungen

Alle auf Körper wirkenden Kräfte greifen in einem Punkt an

Zeitabhängige Position des Körpers durch nur einen Ortsvektor r(t) beschrieben

Geschwindigkeit :a) Gleichförmige 1d-Bewegung Gleiche Strecken In gleichen Zeitintervallen

)(tr→

Beginn der empirischen Physik mit Galilei :Experimente + Messungen, Definition neuer Begriffe, mathematische Formulierung

tvxtxt

xtxst

sxtxvconst

tx

v ⋅+=⇒−=

−−=== 0

0 )()(

)0()0()(

:∆∆

x

t

x0

x(t)Weg-Zeit-Diagramm = Gerade

Konstante Steigung ∝ konstante Geschwindigkeit v

geradlinig ⇒eindimensional

Wichtig : Relativ zu welchem Bezugssystem = Inertialsystem ?

(21)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte : Geschwindigkeit

b) Ungleichförmige geradlinige Bewegung :

In gleichen Zeitintervallen ungleiche Strecken zurückgelegt

Weg-Zeit-Diagramm ist gekrümmte Kurve

Für endliche Zeitintervalle erhält man als Mittelwert die mittlere Geschwindigkeit

)(

)()(

)(

)()(:

34

34

12

12

tttxtx

tttxtx

consttx

vm −−≠

−−≠=

∆∆

Mittlere Geschwindigkeit = grobes, unzureichendes Maß

Sekante zwischen zwei Zeitpunkten (zeitabhängig!)

Momentane Geschwindgkeit =

Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt =

Steigung der Tangenten im Weg-Zeit-Diagramm

Anstieg der x(t) -Kurve = 1. Ableitung x(t) nach Zeit

)()()()(

limlim:)( 11

00tx

dttdx

ttxttx

tx

tvtt

•

→∆→∆==

∆−∆+=

∆∆=

Mit immer kleiner werdendem Zeitintervall ∆t geht Sekante = mittlere Geschwindigkeit in Tangente = momentaneGeschwindigkeit über

x

t

Tangente

x(t)

Sekante

t1 t2∆t

Voraussetzung :

Stetiger Verlauf, Differenzierbarkeit

Differentialschreibweise !

(22)

© H.Neuendorf

xtdxdttvtdxdttvdt

tdxtv

dttvttv

ttvttvtxtxx

et

atii

t

ae

∆

∆

∆∆∆

∆

==⋅⇒=⋅⇒=

==

=+⋅+⋅=−=

∫∫

∫∑→

)()()()()(

)(

)()(lim

)()()()(

0

21 K

Bei konstanter Geschwindigkeit v = ∆ x / ∆ t = const ist Wegstrecke einfach multiplikativ :

Nicht-konstante Geschwindigkeit v(t) = dx(t) / dt

Nur über kleine Zeitintervalle ∆t ist v ≈ konstant

→ Unterteilung in kleine Zeitintervalle ∆ t

→ Aufsummation aller Teilstrecken v(t) ·∆ t

Näherung umso besser, je feiner Unterteilung

Ziel ∆ t → 0 : Liefert Integral -Begriff

Kinematik der Massenpunkte : Wegberechnung

Integration als Umkehrung der Differentiation

Mit Differentialen kann man "rechnen"

tvx ∆⋅=∆

Bsp: a) v = const ⇒ ∆x = ∫ v dt = v ∫ dt = v·∆t

b) v = g·t ⇒ ∆x = ∫ v dt = ∫ g·t dt = 1/2g t2

Weg ist die Fläche unter der / das Zeit-Integralüber die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve.

Geschwindigkeit ist der Anstieg / die zeitliche Ableitung der Weg-Zeit-Kurve

v(t)

ta te

t∆t

v(t 3

) =

v(t

i )

∆x3

t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7

(23)

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Differentialrechnung einer Veränderlichen

Differenzenquotient = Sekantenanstieg

Verhältnis ∆ y / ∆ x ist der Differenzenquotient

xxfxxf

xxxfxf

xy

∆−∆+=

−−=

∆∆ )()()()( 11

12

12

Differentialquotient = Tangentenanstieg

Grenzübergang ∆x → 0 "Anstieg am Punkt x0"

0

)()('lim 0

0x

x dxxdf

xfdxdy

xy ===

∆∆

→∆

Definition dient zur Berechnung von Differentialquotienten mittels Grenzwertbetrachtung :

Bsp :

( ) xxxx

xxxx

xxxxx

xxxx

xxfxxf

xf

xxf

xxx

xx

⋅=+=+⋅=−+⋅+=

=−+=−+=⇒

=

→→→

→→

636lim36

lim3363

lim

3)(3lim

)()(lim)('

3)(

0

2

0

222

0

22

00

2

∆∆

∆∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆∆

∆∆

Aus solchen Grenzwertbetrachtungen erhält man alle bekannten symbolischen Ableitungsregeln !

f(x2)

f(x1)

x

f(x) = y

x1 x2

∆ x

∆ y

x

f(x) = y

x0

(24)

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Ableitungs-regeln

( )( )

dtd

tdtd

ddy

dtdy

ty

xyxyxyxy

eacyecyeyey

dxdf

dxdu

dudf

yxufy

v

vuvuy

xvxu

y

uvvuyxvxuy

vuyxvxuy

x

nxny

xxyxnyxy

xyxycxycxy

constbybxyyay

xaxaxx

nn

nnnn

ϕϕϕϕ

ϕ ⋅=⋅=⇒=

−=⇒==⇒=

⋅⋅=⇒⋅==⇒=

=⋅=⇒=

⋅−⋅=⇒=

⋅+⋅=⇒⋅=

+=⇒+=

−=⋅−=⇒==⋅=⇒=

=⇒==⇒=

==⇒==⇒=

⋅⋅

+−−−−

))(cos())(sin(

)sin(')cos()cos(')sin(.11

''.10

'.9

'''

)()(

.8

''')()(.7

''')()(.6

'1

'.5

3'.42'.3

'.20'.1

2

111

232

el)(Kettenreg

nregel)(Quotiente

gel)(Produktre

el)(Summenreg

"Kürzen" der Differentiale

(25)

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( )

( )( ) ( )∫∫

∫∫∫

∫

∫∫∫∫

∫∫

∫∫∫

⋅=

+=+

=

−=−=

=⋅=⋅

≤≤+=

)(

)(

00

..6

)()()()(.5

0)(.4

)()()()(.3

)()(.2

)()()(.1

bg

ag

b

a

b

a

b

a

b

a

a

a

a

b

abb

a

b

a

b

a

b

m

m

a

b

a

Substdgdgdx

gfdxxgf

dxxgdxxfdxxgxf

dxxf

dxxfdxxfdxxfdxxf

constkdxxfkdxxfk

bmadxxfdxxfdxxfIntegrale

∫

∑

=

∆⋅=

−=∆

=→∆∞→

b

a

n

ii

xn

dxxf

xxfF

nab

x

)(

)(lim1

0,

Fläche unter Kurve

Definition des Integrals :

f(x)

a b

x∆x

f ( x

i )

x i

(26)

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Integration : Stammfunktionen

cxdxxfxxf

cxdxxfxxf

ceab

dxxfebxf

cxn

dxxfxxf

cxn

dxxfxxf

cbxdxxfbxxf

cbxdxxfbxxf

cdxxfxf

xaxa

nn

nn

+=⇒=

+−=⇒=

+⋅=⇒⋅=

++−

=⇒=

+⋅+

=⇒=

+=⇒=

+=⇒=

+=⇒=

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

∫

⋅⋅

+−−

+

)sin()()cos()(.9

)cos()()sin()(.8

)()(.7

11

)()(.6

11

)()(.5

31

)()(.3

21

)()(.2

0)(0)(.1

1

1

32

2

Hauptsatz der Integralrechnung

Differentiation kehrt Integration um ⇒

Test der Regeln durch Ableiten

)()(')( xfxFdxxfF =⇒= ∫

−=

=

−=

−=

∫

∫∫∫

33

32

00

31

31

31

:

)()(

)()()(

ab

xdxxBsp

aFbF

dxxfdxxfdxxf

b

a

b

a

abb

a

Berechnung des bestimmten Integrals : Einsetzen der Integrationsgrenzen ⇒

Integrationskonstante fällt weg

Bei physikalischen Problemen wird Wert der Integrationskonstantendurch die physikalischen Randbedingungen festgelegt !!

(27)

© H.Neuendorf

Anwendung Integration auf physikalische Begriffe

∫∑

∑

=⋅

==−=

−=

=→∞→

=∞→

b

a

n

ii

xn

n

ii

n

dxxfxxf

FaFbFF

nab

x

)()(lim

lim)()(

10,

1

∆

∆∆

∆

∆

Fläche unter Kurve

∫∑

∑

=⋅

==−=

−=

=→∞→

=∞→

b

a

n

ii

tn

n

ii

n

dttvttv

xaxbxx

nab

t

)()(lim

lim)()(

10,

1

∆

∆∆

∆

∆

Strecke = Fläche unter Geschwindigkeits-Zeit-Kurve

dttvdx

dtdx

tv

⋅=

=

)(

)(

Geschwindigkeit variiert ständig

Nur über kleine(infinitessimale) Zeit-intervalle ∆t durch festen Wert näherbar !

Grenzübergang

⇒ lim ∆t → 0

y = f(x)

a b

x∆x

f(x

3) =

f(x

i)

∆F3

v = v(t)

a b

t∆t

v(t 3

) =

v(t i)

∆x3

Analog: ∫=b

a

dttav )(∆

(28)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte : Krummlinige Bahnen

Lage des Massenpunktes durch drei cartesische Koordinaten bestimmt : x(t) y(t) z(t)

Zusammengefasst im Ortsvektor r vom Koordinatenursprung zum Ort des Teilchens

=

++=→→→→

)(

)(

)(

)()()()(

tz

ty

tx

etzetyetxtr zyxTrajektorie

=→

)(

)(

)(

)(

tv

tv

tv

tv

z

y

x

Bewegung eines Teilchens determiniert durch :

1. Anfangsbedingungen

aktueller Ort r +

aktuelle Geschwinigkeit v

2. Wirkende Beschleunigungen

(Kräfte)

Phasenraum ( r, v ) :

Komplette Koordinaten beschreiben die 6 Freiheitsgrade der Bewegung pro Teilchen :

3 Komponenten des Ortsvektors +

3 Komponenten des Geschwindigkeitsvektors

N Teilchen ⇒ 6N Freiheitsgrade

(29)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte Krummlinige Bahnen

Geschwindigkeit v durch zeitliche Ableitung aller drei Komponenten von r

⇒ v ist dreikomponentiger Vektor im Raum

−+−+−+

=

=

=

=⇒

=

→

•

•

•

→

→

)()(

)()(

)()(1

lim

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

0tzttz

tytty

txttx

t

tzdtd

tydtd

txdtd

tz

ty

tx

tv

tv

tv

tv

tz

ty

tx

tr

t

z

y

x

∆∆∆

∆∆

y(t)

x(t)

x

y

Pr(t)

z

z(t)

exey

ez

222

222||

+

+

=

=++=→

dtdz

dtdy

dtdx

vvvv zyx

Vektor wird differenziert, indem man komponentenweise differenziert …

(30)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte Krummlinige Bahnen

Bewegung des Massenpunktes entlang Bahnkurve durch zeitabhängigen Ortsvektor r(t) beschrieben, der der Bahnkurve folgt

Zwischen zwei Zeitpunkten hat sich Massepunkt um Verschiebungsvektor ∆ r weiterbewegt.

Auf Bahnkurve wurde Weg ∆ s durchlaufen

)()( trttrr→→→

−+= ∆∆

Für ∆t → 0 geht ∆ r → ∆ s

T

r

evv

err

rv

→→

→→

→→

⋅=

⋅=

⊥

x

y

r(t)

z

∆ r

r (t + ∆t)

Bahnkurve r(t)

∆ s

x

y

z

r(t)

r (t + ∆t)

∆ r∆ s

Te→

→v

re→

→r

Kreisbewegung : Momentaner Geschwindigkeits-vektor steht stets senkrecht zum Ortsvektor !

Richtungen durch radiale und tangentialeEinheitsvektoren beschrieben

in (x,y)-Ebene …

(31)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte : Beschleunigung [ m / s 2 ]

Beschleunigung a (acceleratio ) = Geschwindigkeits-Änderung durch :

a) Zunahme / Abnahme Geschwindigkeitsbetrag |v| ohne Richtungsänderung

→ geradlinige beschleunigte Bewegung

b) Richtungsänderung des Vektors v trotz konstantem Geschwindigkeitsbetrag

→ z.B. Kreisbewegung !

→ a) Analog Geschwindigkeit :

Mittlere Beschleunigung = Sekantensteigung

Momentane Beschleunigung = Tangentensteigung

Zeitintervalle ∆t → 0

)()(

)(

)()()(

lim:)(

:

2

2

0

212

12

txdt

txdtx

dtd

dtd

tvdtd

ttvttv

ta

sm

tv

ttvv

a

t

m

••

→∆

===

=∆

−∆+=

∆∆=

−−=

v

t

Tangente

v(t)

Sekante

t1 t2

Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

Erste Ableitung der Geschwindigkeit nach Zeit

Zweite Ableitung der Ortsfunktion nach der Zeit

3d-Vektor !

Newton : Jede Beschleunigung resultiert aus Kraftein-wirkung. Kräfte sind Ursache aller Beschleunigungen und somit aller Bewegungszustands-Änderungen !

(32)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte Spezialfall : a(t) = const

Anfangs- / Rand-Bedingungen :

Zur Zeit t = 0s hat v(t) Wert v(t=0) = v0

Zur Zeit t = 0s hat x(t) Wert x(t=0) = x0

( )

002

00

0

21

)()(

)()(

xtvta

dtvdttadtvta

dttvtx

vtadtadttatv

+⋅+⋅=

=+=+⋅=

==

+⋅=⋅==

∫ ∫∫

∫

∫ ∫

Festlegung Integrationskonstanten durchAnfangsbedingungen für Startzeitpunkt

t = t0 = 0s

v

t

v(t) = v 0 + a·t

v(t)

t1 t2

v 0 =

v (

t =

0 )

Manchmal ist die Integration trivial (wie hier), manchmal analytisch nicht mehr möglich und nur noch als Computersimulation numerisch machbar

Bsp: Drei-Körper-Problem i.A. nicht mehr analytisch lösbar

Geschwindigkeit v verändert sich linear im Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm

Änderung der Geschwindigkeit v(t) ist Beschleunigung a(t)

(33)

© H.Neuendorf

Beschleunigung, Geschwindigkeit, Ort

Entwicklung von Geschwindigkeit und Ort bei konstanter Beschleunigung :

Beschl.-Zeit-Diagramm ⇒ Geschw.-Zeit-Diagramm ⇒ Orts-Zeit-Diagramm

v

t

v(t) = v 0 + a·t

a > 0

v0

a < 0

a

t

a = const

a > 0

a < 0

x

t

x(t) = x 0 + v0 ·t + ½ a·t2

a > 0

x0 a < 0

Spezialfall x0 = 0 m v0 = 0 m/s :

xavta

xtav ⋅⋅=⇒⋅=⋅= 22

22 Freier Fall Richtung Erdmittelpunkt mit breitenabhängiger Beschleunigung g = 9.81 m/s2 liefert Fallgesetze :

s = ½ g t 2 v = g·t ⇒ v 2 = 2·g·s

Durch Galilei empirisch gefunden.

Eigentlich "triviale" mathematische Anwendung des Newton'schen Differentialkalküls !

(34)

© H.Neuendorf

Bsp : Einfache Kinematik-Aufgabenstellung → Bremsvorgang

Konstante Beschleunigung a < 0 m/s 2 bei Abbremsvorgang

Randbedingungen :

t = 0s → v(t=0s) = v0 t = T → v( t=T ) = 0 m/s Objekt steht !

x(t=0s) = 0m x( t=T ) = s Bremsweg !

0

20

20

20

20

20

200

02

0

00

200

222

2222)(

0)(

2)()(

vs

Ts

va

av

s

av

av

av

ava

av

vTa

TvsTx

av

TTavsm

Tv

ta

tvtxtavtv

=⇒−=⇔−=⇒

−=+−=

−⋅+

−⋅=+⋅==⇒

−=⇒⋅+==⇒

+⋅=⋅+=

0 t = T

0 x = s

Bremsweg wächst quadratisch mit Geschwindigkeit !

1. Aufstellen bekannter Beziehungen

2. Einbau der Randbedingungen

3. Auflösen nach gesuchter Größe

(35)

© H.Neuendorf

Kinematik der Massenpunkte

Anfangsbedingungen :

Zur Zeit t = 0s hat v(t) Wert v(t=0) = v0

Zur Zeit t = 0s hat x(t) Wert x(t=0) = x0

∫

∫

=

=

dttvtx

dttatv

)()(

)()(

Ziel der Kinematik :

Integration der Bewegungsgleichungen

Bestimmen der expliziten Bahnkurve r (t)

r(t) v(t) a(t)

∫ dt....∫ dt....

dtd

dtd

Festlegung Integrationskonstanten durchAnfangsbedingungen für Startzeitpunkt

t = t0 = 0s

Der Weg von r(t) zu a(t) ist leichter und gelingt immer.

Der Weg von a(t) zu r(t) ist schwieriger und nicht immer analytisch möglich.

(39)

© H.Neuendorf

Beschleunigung durch Richtungsänderung : Kreisbew egung

Massenpunkt läuft auf Kreisbahn mit Radius r = const um Ursprung

Winkel ϕ(t) zwischen Achse und Ortsvektor r variiert

1. Gleichförmige Kreisbewegung

In gleichen Zeitintervallen ∆t werden gleiche Winkel ∆ ϕ überstrichen

Vom Fahrstrahl überstrichener Winkel ϕ(t) wächst linear in der Zeit

⇒ Analog zu Bahngeschwindigkeit v = ∆x / ∆t wird Winkelgeschwindigkeit definiert :

tt

radsst

ttttconst

srad

tttt

t

⋅=⇒

==

+∆⋅=∆+⇒=

∆

−∆+=∆∆=

ωϕ

ϕ

ϕωϕω

ϕϕϕω

)(

0)0(:0

)()(

"")()(:

Völlig analog zur Geschwindigkeit v

xϕ

yP

r

(40)

© H.Neuendorf

Beschleunigung durch Richtungsänderung : Kreisbew egung

2. Ungleichförmige Kreisbewegung ∆ϕ / ∆t ≠ const

Momentane Winkelgeschwindigkeit ω(t) (∆t → 0s)

⇒ Erste zeitliche Ableitung der Winkelfunktion ϕ(t)

dttd

tttt

tt

)()()(lim)(

0

ϕϕϕω =∆

−∆+=→∆

Winkel müssen im Bogenmaßangegeben werden !

Bahngeschwindigkeit v folgt aus ω gemäß Winkeldefinition im Bogenmaß :

)(limlim)(00

trt

rts

tvtt

ωϕ ⋅=⋅==→→ ∆

∆∆∆

∆∆

ϕ

ϕ

∆∆

∆∆

⋅=

⇒=

rs

rs

xϕ

yP

r

∆s∆

)()( trtv ω⋅=Allgemeiner Zusammenhang

Gilt für gleichförmige undungleichförmige Kreisbewegung

Drehwinkel ϕ( t ) durch Integration von ω( t )

∫=⇒ dttt )()( ωϕ Anfangsbedingung :

ϕ( t=0s )

(41)

© H.Neuendorf

Kreisbewegung Geschwindigkeiten sind Vektoren ⇒ Richtungsdefinitionen nötig

a) v(t) verläuft tangential zur Bahnkurve

b) Richtung von ω(t)

Senkrecht auf Bahnebene

Parallel zur Drehachse

Rechtsschraubenrichtung – RechteHandRegel

Beträge :

Orientierungen :

=→

)(

0

0

)(

t

t

ωω

→→→⊥

⊥ ωrv

x

y

ω(t)

z

r(t)ϕ

v(t)

)()( trtv ω⋅=

Können wir dies auch analytisch darstellen ? …

Kreisfrequenz ω = "2π / Zeit"

Rotationsfrequenz f = "Zahl Umläufe / Zeit"

Periode T = Umlaufzeit = 1 / f = 2 π/ ω ff

fTdt

d

≠⇒⋅=

⋅===

ωπω

ππϕω

2

22

(42)

© H.Neuendorf

Gleichförmige Kreisbewegung (in x,y-Ebene)

Speziell : ω(t) = const = ω

Ortsvektor r(t) der Kreisbewegung in (x,y)-Ebene :

⋅⋅−

⋅⋅=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

==⇒

⋅⋅

⋅=

⋅⋅⋅⋅

=

=

→→

→

0

)cos(

)sin(

/0

)cos(

)sin()(

)(

0

)sin(

)cos(

0

)sin(

)cos(

)(

)(

)(

)(

t

t

r

sm

tr

tr

dttrd

tv

t

t

r

m

tr

tr

tz

ty

tx

tr

ωω

ωωωωω

ωω

ωω

Kettenregel !Betrag von r ist konstant !

Winkelgeschwindigkeit ω ist konstant !

Betrag Bahngeschwindigkeit vist konstant !

( ) ( ) ( ) ( )( )→→

→→

⊥⇒

=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅=⋅

rv

ttttrrv 0cossinsincos2 ωωωωω

Te→

ttdt

tdt ⋅=⇒== ωϕωϕω )(

)()(

x

ϕ

y

r·cos( ϕ)

r·sin( ϕ)

Ortsvektor r(t) und Bahngeschwindigkeit v(t)stehen stets senkrecht zueinander !

ω⋅=→

rtv )(

(43)

© H.Neuendorf

Gleichförmige Kreisbewegung

Berechnung Beschleunigungsvektor a( t ) :

⋅−⋅−

⋅⋅=

⋅⋅−⋅⋅−

⋅⋅==⇒

⋅⋅−

⋅⋅==

−

→→

→→

0

)sin(

)cos(

0

)sin(

)cos()(

)(

0

)cos(

)sin()(

)(

2

1

t

t

r

s

t

t

rdt

tvdta

t

t

rdt

trdtv

ωω

ωωωωω

ω

ωω

ω

Anwendung Kettenregel !

( ) ( ) ( ) ( )( )→→

→→

⊥⇒

=⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅⋅=⋅

av

ttttrav 0sincoscossin32 ωωωωω

re→

−

x

ϕ

y

r·cos( ϕ)

r·sin( ϕ)

Beschleunigungsvektor a(t) stets senkrecht zur Bahngeschwindigkeit v(t)

a(t) stets antiparallel zum Ortsvektor r(t)

a(t) zeigt stets zum Zentrum der Kreisbewegung

⇒ Zentri petal beschleunigung

2)( ω⋅=→

rta

Betrag von rkonstant !

Winkelgeschwindig-keit ω konstant !

Betrag Zentripetal-beschleunigung a(t) konstant

(44)

© H.Neuendorf

Gleichförmige Kreisbewegung

Vektorielle Zusammenhänge mit Vektorprodukt

−−−

=×→→

xyyx

zxxz

yzzy

baba

baba

baba

ba

( )( )

( )( )

rvta

tvtata

tvdt

trdtr

dtd

dttvd

ta

sm

tr

tr

m

tr

tr

trtv

⋅=⋅=⇒

⊥⊥⇒

×=×=

×==⇒

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

=

⋅⋅⋅⋅

×

=×=

→

→→→→

→→→

→→→→

→

→→→

2)(

)()()(

)()(

)()(

)(

/0

cos

sin

0

sin

cos

0

0

)()(

ωω

ω

ωωω

ωωωω

ωω

ωω

Für ω(t) = ω = const

Vektor a(t) zeigt immer zum Rotations-Zentrum = Zentripetalbeschleunigung

x

y

ω(t)

z

r(t)ϕ

v(t)Bem :

Gilt allgemein - auch für ungleichförmigeKreisbewegung mit ω(t) ≠ const!

)()()( trttv→→→

×= ω

Berechnung Beschleunigungsvektor :

(45)

© H.Neuendorf

−⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅−

==⇒

⋅=

⋅⋅

=

=

−

→→

→

0

)(cos

)(sin

)(

/0

)(cos)(

)(sin)(

)()(

0

)(sin

)(cos

0

)(sin

)(cos

)(

)(

)(

)(

1

t

t

tr

sm

tdt

tdr

tdt

tdr

dttrd

tv

t

t

r

m

tr

tr

tz

ty

tx

tr

ϕϕ

ωϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

Ungleichförmige Kreisbewegung

Winkelgeschwindigkeit ω( t ) ist nicht konstant !

Drehwinkel ϕ( t ) ist beliebige Funktion der Zeit !

Ortsvektor r(t) der Kreisbewegung in (x,y)-Ebene :

Anwendung Kettenregel !

Betrag von rist konstant !

( ) ( ) ( ) ( )( )→→→→

⊥⇒=⋅+⋅−⋅⋅=⋅ rvtttttrrv 0cossinsincos)(2 ϕϕϕϕω

Te→

ttconstdt

tdt ⋅≠⇒≠= ωϕϕω )(

)()(

x

ϕ

y

r·cos( ϕ)

r·sin( ϕ)

Ortsvektor r(t) und Bahngeschwindig-keit v(t) stehen stets senkrecht zueinander !

(46)

© H.Neuendorf

Radiale und Tangentiale 2d-Einheitsvektoren Ortsvektor mit radialem Einheitsvektor e r dargestellt :

xϕ

y

r·cos( ϕ)

r r·sin( ϕ)

−==

−==

==

==

→→

→→

1

0:

23

0

1:

1

0:

20

1:0

rr

rr

ee

ee

πϕπϕ

πϕϕ

Zu e r senkrechter Einheitsvektor = Tangentialer Einheitsvektor e TTe

→

re→

1))((sin))((cos||

)(sin

)(cos

)(sin

)(cos

)(

)()(

22 =+=

⋅=

⋅=

⋅⋅

=

=

→

→→

tte

ert

tr

tr

tr

ty

txtr

r

r

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

( ) 0)(sin)(cos)(cos)(sin

0)(cos

)(sin

=⋅+⋅−=⋅

⊥⇒=⋅

−=

→→

→→→→→

ttttee

eeeet

te

rT

rTrTT

ϕϕϕϕ

ϕϕ

=→

)(sin

)(cos

t

te r ϕ

ϕ

(47)

© H.Neuendorf

Kreisbewegung : Allgemeine Beschleunigungen

Nur noch Betrag von r sei konstant

Zeitliche Ableitung des Geschwindigkeitsvektors v(t) liefert Beschleunigung a(t)

Komponentenweise Vektordifferentiation von v(t) :

)()()(

0

)(sin

)(cos

)(

0

)(cos

)(sin

)(

0

)(cos

)(sin

)()()(

2

2

rT etretr

t

t

trt

t

tr

t

t

trdtd

tvdtd

ta

→→•

•

→→

−⋅⋅+⋅⋅=

=

−−

⋅⋅+

−⋅⋅=

=

−⋅⋅==

ωω

ϕϕ

ωϕϕ

ω

ϕϕ

ω

1.Term : Tangentiale Beschleunigung bei Änderung von ω ⇒ Verschwindet bei gleichförmiger Kreisbewegung !

2. Term : Zentripetalbeschleunigung - zeigt zum Mittelpunkt ! Stets ≠ 0, auch wenn ω = const ! Ursache der Kreisbewegung !

Gleichf. Rotation: |a| = ω2·r = v2 / r = ω·v

Parallel zu v (tang.) Parallel zu -r (radial)

)()()( 2 trtta→→

⋅−= ωÜbung : Wenn ω konstant ist, aber r nicht ? …

(51)

© H.Neuendorf

Grundgrößen der Kinematik " Galilei "

2

2

,dt

rddt

vda

dtrd

vrx

→→→

→→→→

===Grundgrößen und ihre momentanen Änderungen

2

2

dtd

dtd

dtd

→→→→

=== ϕωαϕωϕ

2000

2000

2)()(

2)()(

tttttconst

ta

tvxtxtavtvconsta

αωϕϕαωωα +⋅+=⇒⋅+=⇒=

+⋅+=⇒⋅+=⇒= Entwicklung der Grundgrößen bei konstanterBeschleunigung

Spezialfall Kreisbewegung :

a) Vektorielle Abhängigkeiten

b) Betrags-Abhängigkeiten rr

va

rv

rv

rvt

t

r

tz

ty

tx

tr

p ⋅===⇔⋅=

×=

⋅=

=→→→→

22

0

)(sin

)(cos

)(

)(

)(

)(

ωωω

ωϕϕ

Grundsätzliche

Analogie zwischen

geradliniger und

kreisförmiger

Bewegung

Bislang nur mathematisch-geometrische Zusammenhänge analysiert. Noch nichts über Ursachen der Bewegungsänderungen ausgesagt. Es fehlt noch ein analytischer Kraft-Begriff - von Massen, Kräften, Energien war noch nicht die Rede ! …

(52)

© H.Neuendorf

Superpositionsprinzip - Unabhängige Überlagerung von Bewegungen

=⇒

+=⇒

⋅=⇒

⋅

⋅=⇒

⋅=⇒⋅=⋅=

→

→→

ga

tgvvtg

vv

tg

tvr

xvg

ytg

ytvx

0

2

22

2220

02

0

220

20

Körper kann mehrere Teil-Bewegungen gleichzeitig ausführen

Überlagern sich störungsfrei : Jede Teilbewegung läuft ab, als wäre sie allein vorhanden

⇒ Vektorielle Addition der Vektoren r(t) v(t) a(t) aller Teilbewegungen

Waagerechter Wurf Horizontaler Wasserstrahl zeigt Parabelform !

Gleichförmige Bewegung in x-Richtung + freier beschleunigter Fall in y-Richtung

⇒ Wurfparabel :

Die frei fallende und die horizontal abgeschosseneKugel sind stets auf gleicher Höhe - und schlagen gleichzeitig auf

(53)

© H.Neuendorf

Galilei-Transformation Beschreibung in verschiedenen Inertialsystemen :

Geradlinig gleichförmige Translation der beiden Bezugssysteme mit konstanter Geschwindigkeit V

Keine Rotation Keine Beschleunigung

tt

tVrr

tVtRRrrrrR

=

⋅−=

⋅=−=⇒=+

→→→

→→→→→→→→

'

'

)(''

Grundannahme klassische Physik

In beiden Inertialsystemen werden gleiche Zeitintervalle gemessen - das Resultat von Zeitmessungen ist unabhängig vom Bewegungszustand des Beoabchters

Durch spezielle Relativitätstheorie widerlegt !

Galilei-Transformation nur Näherung !

Gültigkeitsbereich : V << c

Wegen V = const ist Beschleunigung ainvariant gegenüber geradlinig gleichförmiger Bewegung des Bezugssystems :

→→

→→→→

→→→→→

==−==

−=⋅−=

adt

vdVv

dtd

vdtd

a

VvtVrdtd

v

)(''

)('

P

R

x

y

z

r '

x'

y'

z'

r

S( x,y,z )

S( x',y',z' )

Transformation

Galileisches Relativitätsprinzip

In beiden Inertialsystemen werden gleiche Kräfte registriert

In beiden Inertialsystemen herrscht die gleiche Physik

Gleiche

Naturphänomene,

gleiche

Naturgesetze ,

identische

Gleichungen

(54)

© H.Neuendorf

Trägheitskräfte in beschleunigten Bezugssystemen Bewegungsgleichung F = m·a gilt in allen Inertialsystemen : Invarianz der Newtonschen Gleichung bei Galilei-Transformation

Beschleunigtes Bezugssystem : Scheinkräfte = Trägheitskräfte

Beobachter in S beschreibt 2 :

Wagen 1 unter 2 beschleunigt mit A

Wagen 2 bleibt in Ruhe

a2 = 0 m/s2 ⇒ F2 = 0 N

m

1→A

2

S

m

1

→'a 2

S'

Beobachter in S' beschreibt 2 :

Wagen 2 gegen Beobachter in S'

mit a2' beschleunigt

⇒ F2' = m·a2' ≠ 0 N

Vergleich S mit S' : a' = - A

Trägheitskraft m·a' im beschleunigten Bezugssystem S' !

Physikalische Situationin S und S' ist nichtäquivalent ! Objekt in S' fällt nicht senkrecht sondern

wird zusätzlich rückwärts beschleunigt

durch Trägheitskraft = Scheinkraft

Wahre Kräfte → Sind die Ursache von Beschleunigungen / Bewegungsänderungen

Schein- / Trägheitskräfte → Werden erst durch Beschleunigungen verursacht !

Beschleunigung + Rotationsind keine Symmetrie-operationen für Naturgesetze !

Die beiden Beobachter messen nicht gleiche Beschleunigungen und Kräfte – sie erhalten nicht dieselbenNaturgesetze !

(55)

© H.Neuendorf

Inertialsystem – weitere Definitionen

Solche Bezugssysteme, in denen ein Körper in Ruhe oder gleichförmiger Bewegungverharrt, solange keine physikalischen Kräfte auf ihn einwirken, heißen Inertialsysteme.

Es ist unmöglich , in der Mechanik ein Experiment anzugeben, durch das ein Inertialsystem vor einem anderen ausgezeichnet würde.

Wird eine physikalische Kraft in zwei Inertialsystemen gemessen, dann stimmen die beiden Messwerte überein .

In Bezug auf alle Inertialsysteme werden dieselben Kräfte gemessen.

Die Newtonschen Grundgesetze der Mechanik nehmen in der klassischen Raum-Zeit einheitlich für alle Inertialsysteme dieselbe Form an.

Jede Bewegung, die in einem Inertialsystem möglich ist, gibt es auch in jedem anderenInertialsystem.

(56)

© H.Neuendorf

Struktur von Raum und Zeit Voraussetzungen jeder universellen Physik

1. Homogenität der Zeit

Naturgesetze gelten zu allen Zeiten in gleicher Weise

Speziell Newton: Zeit verläuft kontinuierlich und für alle Beobachter unabhängig von

ihrem Bewegungszustand in gleicher Weise

2. Homogenität des Raumes

Eigenschaften eines abgeschlossenen Systems hängen nicht von dessen Ort im Raum ab

Naturgesetze sind invariant unter räumlicher Translation im unendlich ausgedehnten Raum

An allen Orten im Universum gelten dieselben universellen Naturgesetze

Speziell Newton: Absoluter 3d-Raum ist euklidisch - unabhängig von Masseverteilung

3. Isotropie des Raumes

Keine Richtung im Raum ist naturgesetzlich ausgezeichnet

4. Voraussetzung jeder empirischen Naturwissenschaft

Induktionsgesetz → Empirischer Schluss vom Einzelfall auf alle möglichen Fälle

Logisch problematisch - aber einzige Möglichkeit, sich in der Welt zu orientieren !

Korrektur von Newton erst durch Einstein :

1. An Stelle der absoluten Zeit tritt die in

allen Inertialsystemen konstante Lichtgeschwindigkeit.

2. Massen krümmen die Raumzeit lokal.

Sind die Naturkonstanten

wirklich zeitlich konstant ??

"Die absolute, wahre und mathematische Zeit verfließt an sich und vermöge ihrer Natur gleichförmig, und ohne Beziehung auf irgend einen äußeren Gegenstand ... Der absolute Raum bleibt vermöge seiner Natur und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand, stets gleich und unbeweglich."