Physik A VL4 (16.10.2012) - uni-muenster.de · Die beschleunigte Bewegung Ändert ein Massenpunkt...
Transcript of Physik A VL4 (16.10.2012) - uni-muenster.de · Die beschleunigte Bewegung Ändert ein Massenpunkt...
Physik A – VL4 (16.10.2012)
Beschreibung von Bewegungen
- Kinematik in einer Raumrichtung II
• Die beschleunigte Bewegung
• Der Freie Fall
• Der senkrechte Wurf
• Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung mittels Integralrechnung
Die beschleunigte Bewegung
Ändert ein Massenpunkt seine Geschwindigkeit, spricht man von Beschleunigung.
Die Beschleunigung zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.
www.achterbahn-freizeitpark.dewww.motorradonline.de
www.kunst-für-alle.de
www.motor-talk.de
Durchschnittsbeschleunigung
Die Durchschnittsbeschleunigung ist definiert als
Quotient aus der Geschwindigkeits-Änderung und der dafür benötigten Zeit:
allZeitinterv
runggkeitsändeGeschwindi unigungttsbeschleDurchschni
bzw.
mit dem Zeitintervall t2 – t1 = t, in dem sich die Geschwindigkeit um v = v2 – v1
ändert.
t
v
tt
vva
12
12
Wie auch bei Weg und Geschwindigkeit handelt es sich bei der Beschleunigung
um eine vektorielle Größe (Betrag und Richtung).
Bei einer 1-dimensionalen Bewegung reicht auch hier das Vorzeichen um die
Richtung anzugeben
Durchschnittsbeschleunigung
Beispiel:Ein Auto beschleunigt gleichmäßig aus dem Stand auf eine Geschwindigkeit von 50 km/h, fährt
einige Zeit mit dieser Geschwindigkeit, bremst dann auf 30 km/h herunter und fährt mit dieser
Geschwindigkeit weiter:
4 Zeitintervalle:
1. Innerhalb 1 min ändert sich die Geschwindigkeit von 0 auf 50 km/h
2. 5 min lang ändert sich die Geschwindigkeit nicht
3. Innerhalb 20 s ändert sich die Geschwindigkeit von 50 auf 30 km/h
4. danach ändert sich die Geschwindigkeit (bis zum Ende der Messung) nicht mehr.
Durchschnittsbeschleunigung
Berechnung der Durchschnittsbeschleunigungen für die jeweiligen Zeitintervalle
gemäß :t
v
tt
vva
12
12
22
1 m/s 23,0km/h 3000h
601
km/h 50
min1
km/h 50
min0min1
km/h 0km/h 50
a
Anzahl signifikanter Stellen!!
Wichtig hier bei der Umrechnung km/h2 → m/s2:
Einheiten vergleichen! Exponenten beachten!:
2
5
222 s
m1072,7
s/h) 3600(
m/km 1000
h
km1
h
km1
Durchschnittsbeschleunigung
22
1 m/s 23,0km/h 3000h
601
km/h 50
min1
km/h 50
min0min1
km/h 0km/h 50
a
22
2 m/s 0km/h 0h
121
km/h 0
min1min6
km/h 50km/h 50
a
22
3 m/s 28,0km/h 3600
s/h 3600
s 20
km/h 20
20
km/h 50km/h 30
sa
22
4 m/s 0km/h 0h
km/h 0
min
km/h 30km/h 30
xxa
Berechnung der Durchschnittsbeschleunigungen für die jeweiligen Zeitintervalle
gemäß :t
v
tt
vva
12
12
Durchschnittsbeschleunigung
2
1 m/s 23,0a
2
2 m/s 0a
2
3 m/s 28,0a
2
4 m/s 0a
Berechnung der Durchschnittsbeschleunigungen für die jeweiligen Zeitintervalle
gemäß :t
v
tt
vva
12
12
1a3a Unterschiedliche Vorzeichen für und !
In diesem (!) Fall:
positive Beschleunigung = Erhöhung der Geschwindigkeit
(Umgangssprachlich „Beschleunigen“)
negative Beschleunigung = Erniedrigung der Geschwindigkeit
(Umgangssprachlich „Bremsen“ )
Das ist aber nicht allgemeingültig!!!!
Durchschnittsbeschleunigung
Gegenbeispiel:
Ein Auto bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 15 m/s in –x –Richtung
des Bezugssystems und bremst dann innerhalb von 10 s auf 5 m/s ab:
Auto bewegt sich nach links !
zurückgelegter Weg negativ! (vgl. letzte Vorlesung)
Geschwindigkeiten negativ!
In diesem Fall berechnet sich die Beschleunigung zu
2m/s ,01
s 10
m/s 10
s 10
m/s) 15(m/s 5
a
In diesem Fall reduziert sich die Geschwindigkeit – das Auto bremst – aber
trotzdem ist die Beschleunigung positiv.
Grund dafür ist das Bezugssystem!!
Momentanbeschleunigung
Analog zur Momentangeschwindigkeit gibt es auch eine Momentanbeschleunigung,
die in gleicher Art und Weise über die Durchschnittsbeschleunigung definiert ist:
Die Momentanbeschleunigung ist definiert als der Grenzwert der Durchschnitts-
beschleunigung , wenn t gegen Null geht:
Damit ist die Momentanbeschleunigung die Ableitung von v (genauer: v(t) !) nach t!
t
v
tt
vva
12
12
dt
dv
t
va
t
0lim
Geschwindigkeits-Zeit-Digramm
Analog zum Weg-Zeit-Diagramm zur Verdeutlichung der Definition der Momentan-
geschwindigkeit (bzw. zur graphischen Bestimmung dieser):
Betrachtung eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms für die Beschleunigung:
Die Geschwindigkeits-Zeit-Kurve liefert zu jedem Zeitpunkt die Momentanbeschleunigung.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= lineare Geschwindigkeitszunahme
v = (4,2 m/s2 ∙ t) m/s
v = a ∙ t
Weg-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= quadratische Entwicklung des
zurückgelegten Weges
x = (2,1 m/s2 ∙ t2) m + 2,8 m
x = ½ ∙ a ∙ t2
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= konstante Beschleunigung
a = 4,2 m/s2 = Konstant
a = Konst.
Beschleunigungs-Zeit- (neu!), Geschwindigkeits-Zeit-, und Weg-Zeit-Diagramme
für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
Ort (Weg), Geschwindigkeit und Beschleunigung hängen voneinander ab!
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= lineare Geschwindigkeitszunahme
v = (4,2 m/s2 ∙ t) m/s
v = a ∙ t
Weg-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= quadratische Entwicklung des
zurückgelegten Weges
x = (2,1 m/s2 ∙ t2) m + 2,8 m
x = ½ ∙ a ∙ t2
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= konstante Beschleunigung
a = 4,2 m/s2 = Konstant
a = Konst.
Mit den bekannten Beziehungen und gilt:dt
dva
dt
ds
dt
dxv
2
2
2
2
dt
xd
dt
sd
dt
ds
dt
d
dt
dva
Die erste Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Geschwindigkeit
Die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit ist die Beschleunigung
hAbsprung = 39 km
vmax = 1341,9 km/h
tfreier Fall = 4 min 20 sek.
Der freie Fall
• das wichtigste Beispiel für eine
gleichmäßig beschleunigte Bewegung
• die Fallbeschleunigung in der der Nähe der Erdoberfläche beträgt
~ 9,81 m/s2
Bild:Xof711/Wikipedia
• Ursache der Fallbeschleunigung ist
die Anziehungskraft der Erde.
• Alle Körper fallen mit der gleichen
Beschleunigung zum Mittelpunkt
der Erde (ohne Luftwiderstand !), (Galileo Galilei)
Der freie Fall
Quelle: CIRES – Cooperative Institute for Research in Environmental Sciences (http://www.cires.colorado.edu)
• Das Gravitationsfeld der Erde und damit die Fallbeschleunigung variieren über die
Erdoberfläche
Ursache: Unterschiedliche Oberflächen-Topographien und Massenverteilungen
innerhalb der Erde.
• Messung aus dem Weltall:
Gravity Recovery and Climate
Experiment (GRACE) Satelliten
(seit 2002)
http://www.csr.utexas.edu/grace/
Der freie Fall
Experiment: Fallbeschleunigung
Der freie Fall
Beschleunigungs-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit-, und Weg-Zeit-Diagramme
für den freien Fall (eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung):
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm: Weg-Zeit-Diagramm:Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:
Vergleich mit dem vorherigen Beispiel für eine gleichförmig beschleunigte Bewegung:
Der freie Fall
Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= lineare Geschwindigkeitszunahme
v = (-9,81 m/s2 ∙ t) m/s
v = g ∙ t
Weg-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= quadratische Entwicklung des
zurückgelegten Weges
x = (-4,91 m/s2 ∙ t2) m + 78,48 m
x = ½ ∙ g ∙ t2
Beschleunigungs-Zeit-Diagramm:
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
= konstante Beschleunigung
a = g = -9,81 m/s2 = Konstant
g = Konst.
Beschleunigungs-Zeit-, Geschwindigkeits-Zeit-, und Weg-Zeit-Diagramme
für den freien Fall (eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung):
x
Der freie Fall
...in Formeln
Umformung der Gleichung für a, v und x zur Beantwortung spezifischer Fragestellungen:
1. Aus welcher Höhe ist ein Objekt gefallen, wenn es dafür die Zeit t benötigt hat?
2. Welche Zeit braucht ein Objekt um aus einer Höhe h zum Boden zu fallen?
3. Welche Geschwindigkeit hat ein Objekt im freien Fall…
…nach einer Zeit t? …nach einer Fallstrecke h?
2
2
gh tFallhöhe
Fallzeit2h
tg
Fallgeschwindigkeit v gt Fallgeschwindigkeit 2v gh
g = 9,81 m/s2g = 9,81 m/s2
Der freie Fall
...in der Forschung
Fallturm der Universität Bremen
ZARM – Zentrum für Angewandte Raumfahrttechnologie und Mikrogravitation
h = 145 m Freier Fall aus 110 m im Vakuum.
Bestimmung der Mikrogravitation,
Simulation von Schwerelosigkeit, …
24,7
ht s
g
Frage: Wie lang ist die Fallzeit?
Der senkrechte Wurf
aus Stroppe: Physik“
Wurf eines Objektes (Punktmasse) mit einer bestimmten (Abwurf-)Geschwindigkeit v0
senkrecht nach oben:
Überlagerung zweier Bewegungen:
1. gleichförmige Bewegung nach oben (v0)
2. gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten (→ freier Fall!)
die resultierende Bewegung ist ebenfalls eine gleichmäßig beschl. Bewegung!
Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!
Beschleunigungs-Zeit, Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Diagramme:
Der senkrechte Wurf
aus Stroppe: Physik“
Beschleunigungs-Zeit, Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Diagramme:
Vergleich mit freiem Fall:
konstante Beschleunigung (-g) Startgeschwindigkeit ≠ 0 (= v0) Parabelförmig
konstante Geschwindigkeits- s-t-Kurve nach Umkehrpunkt
änderung gemäß Beschl. a = -g t1 entspricht freiem Fall
Umkehrpunkt
Umkehrpunkt
Der senkrechte Wurf
aus Stroppe: Physik“
Beschleunigungs-Zeit, Geschwindigkeits-Zeit- und Weg-Zeit-Diagramme:
Berechnung des senkrechten Wurfes:
1. Geschwindigkeit nach Zeit t:
2. Höhe nach Zeit t:
3. Geschwindigkeit in Höhe h:
4. Maximale Wurfhöhe (v = 0!):
tgvv 0
Wurf mit v0 Fallbeschleunigung
20
2t
gtvh
hgvv 220
max20
20
202 hgvhgvvg
vh
2
20
max
Umkehrpunkt
Umkehrpunkt
Frage:
Wie groß ist t1? (Zeit bis Umkehrpunkt)
g
vttgv
tgvvv
0110
0
!00
Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung
mittels Integralrechnung
Zunächst: Herleitung der Gleichungen für konstante Beschleunigung über Integralrechnung.
Definition der Momentanbeschleunigung: dtadvdt
dva
Integration beider Seiten der Gleichung: tavvtavvdtadvconstat
t
v
vv
00
.
00
Definition der Momentangeschwindigkeit: dtvdsdt
dsv dttavds 0
Integration:
200
200
00 00
.
0 0
2
1 bzw.
2
1
0
tatvxxtatvxxs
adtdtvxxsdttavdst
t
t
t
constat
t
x
xx
Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung
mittels Integralrechnung
Integrieren mit zeitabhängiger Beschleunigung, d.h. a = f (t) (Beispiel: a (t) = (5,0 m/s3)·t):
Definition der Momentanbeschleunigung: dtadvdt
dva
Integration beider Seiten der Gleichung:
t
t
v
vvdtadv
00
23-2
3-
0
23-
0
3- ms ,5202
ms 0,52
ms 0,5ms 0,5)( ttt
dtttv
tt
Damit kann v (t) zu jedem beliebigen Zeitpunkt berechnet werden, z.B. t = 2,0 s: (2,5 ms-3)(2,0 s)2 = 10 ms-1
Berechnung des Weges (mit x0 = 0): vdtdxds
Integration: tx
dtvds00
)(67,63
ms ,52ms ,52)(
0,2
0
33-0,2
0
23- tsmt
dtttx
ss
Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung
mittels Integralrechnung
Allgemeine Ausdrücke / Integrale für ungleichförmig beschleunigte Bewegungen:
Geschwindigkeit:
zurückgelegter Weg: t
t
t
tdtttadttvsts
00
)()( 00
t
tdttavtv
0
)()( 0
tta -3ms 1 Formder in z.B. )(mit
Zusammenfassung
• Die beschleunigte Bewegung
Ändert ein Massenpunkt seine Geschwindigkeit, spricht man von Beschleunigung.
Die Beschleunigung zeigt an, wie schnell sich die Geschwindigkeit ändert.
Die Durchschnittsbeschleunigung ist definiert als Quotient aus der Geschwindigkeits-
Änderung und der dafür benötigten Zeit
Vorzeichen der Beschleunigung beachten (Bezugssystem!) !
Die Momentanbeschleunigung ist definiert als der Grenzwert der Durchschnittsbeschleu-
nigung, wenn t gegen Null geht.bzw.
Die Momentanbeschleunigung die Ableitung von v (genauer: v(t) !) nach t!
• Der freie Fall
Wichtigstes Beispiel für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung
Ursache der Fallbeschleunigung ist die Anziehungskraft der Erde
Alle Körper fallen mit der gleichen Beschleunigung zum Mittelpunkt der Erde
(Bei Vernachlässigung des Luftwiderstandes !)
Die Fallbeschleunigung in der der Nähe der Erdoberfläche beträgt ~ 9,81 m/s2
2
2
gh tFallhöhe Fallzeit
2ht
g Fallgeschwindigkeit bzw. v gt 2v gh
Zusammenfassung
• Der senkrechte Wurf
Überlagerung zweier Bewegungen:
1. gleichförmige Bewegung nach oben (mit Geschwindigkeit v0)
2. gleichförmig beschleunigte Bewegung nach unten (vgl. freier Fall)
Die resultierende Bewegung ist ebenfalls eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung !
Die beiden Bewegungsvorgänge überlagern sich, aber beeinflussen sich nicht gegenseitig!
• Betrachtung ungleichförmiger Beschleunigung mittels Integralrechnung
Herleitung der Gleichungen für konstante Beschleunigung über Integralrechnung.
Berechnung von ungleichmässig beschleunigter Bewegung.
tgvv 02
02
tg
tvh hgvv 220g
vh
2
20
maxWurfhöheHöhe Geschw. bzw.
Geschwindigkeit:
zurückgelegter Weg: t
t
t
tdtttadttvsts
00
)()( 00
t
tdttavtv
0
)()( 0
tta -3ms 1 Formder in z.B. )(mit