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Physik der sozio-ökonomischen Systeme

mit dem Computer

PC-POOL RAUM 01.120 JOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT 10 .11 .2017

MATTHIAS HANAUSKE

FRANKFURT INSTITUTE FOR ADVANCED STUDIESJOHANN WOLFGANG GOETHE UNIVERSITÄT

INSTITUT FÜR THEORETISCHE PHYSIKARBEITSGRUPPE RELATIVISTISCHE ASTROPHYSIK

D-60438 FRANKFURT AM MAINGERMANY

4. Vorlesung

Plan für die heutige Vorlesung

• Kurze Wiederholung der Inhalte der letzten Vorlesung: Klassifizierung von symmetrischen (2x2)-Spielen, weitere Spieltypen, Grundlagen der evolutionären Spieltheorie, evolutionär stabile Strategien

• Evolutionären Spieltheorie (EST) symmetrischen (2x2)-Spielen

• Dominante Spiele (z.B. Gefangenendilemma, Dilemma des Wettrüstens)

• Koordinationsspiele (z.B. Hirschjagt Spiel)

• Anti-Koordinationsspiele (z.B. Angsthasenspiel, Falke-Taube Spiel, Löwe-Lamm Spiel)

• Bi-Matrix Spiele (EST unsymmetrischer (2x2)-Spiele)

• Das Räuber-Beute Spiel

Allgemeines(2x2)-Spiel

Symmetrisches(2x2)-Spiel

Weitere

Kampf der Geschlechter(Unsymmetrisches (2x2)-Koordinationspiel)

30

01$̂1 12 $̂

30

01

10

03$̂

T

Auszahlungsmatrix des ersten Spielers:

Auszahlungsmatrix des zweiten Spielers:

Symmetriebedingung stimmt nicht:

unsymmetrisches Spiel

10

03$̂2

Kino Disko

Kino (1 , 3) (0 , 0)Disko (0 , 0) (3 , 1)

Kino Disko

Kino (1 , 3) (0 , 0)

Disko (0 , 0) (3 , 1)

Es gibt keine dominante Strategie bei diesem Spiel.

Es gibt zwei reine Nash-Gleichgewichte: (Kino,Kino) (Disko, Disko)

Kampf der Geschlechter(Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien)

Kampf der Geschlechter(Grafische Veranschaulichung des gemischten Nash-Gleichgewichts)

Das Nash-Gleichgewicht in gemischten Strategien befindet sich bei

4

3,

4

1, ** yx

Kein Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien!

Es gibt keine dominante Strategie und auch keine Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien. Es ist ein symmetrisches (2x3)-Spiel.

Stein Schere Papier

Stein (0,0) (1,-1) (-1,1)

Schere (-1,1) (0,0) (1,-1)

Papier (1,-1) (-1,1) (0,0)

Evolutionäre Spieltheorie (I)

Die evolutionäre Spieltheorie betrachtet die zeitliche Entwicklung des strategischen Verhaltens einer gesamten Spielerpopulation.

zeitlicheEntwicklung derPopulation

Mögliche Strategien: (grün , schwarz), Parameter t stellt die „Zeit“ dar.x(t) : Anteil der Spieler, die im Zeitpunkt t die Strategie „grün“ spielen.

x(0)=0.15 x(10)=0.5

Evolutionäre Spieltheorie (II)Die einzelnen Akteure innerhalb der betrachteten Population spielen ein andauernd sich wiederholendes Spiel miteinander, wobei sich jeweils zwei Spieler zufällig treffen, das Spiel spielen und danach zu dem nächsten Spielpartner wechseln .

Das evolutionäre Spiel schreitet voran und die grüne Strategie wird für die Spieler zunehmend attraktiver. Zum Zeitpunkt t=10 spielen schon 50% grün.

x(0)=0.15 x(10)=0.5

Die Anfangspopulation von Spielern spielt zum Zeitpunkt t=0 das erste Mal das Spiel. Die Spieler wählen im Mittel zu 15% die grüne Strategie.

Weitere

Klassifizierung von evolutionären, symmetrischen (2x2)-Spielen

o Dominante Spiele (2. Strategie dominiert 1.Strategie)

Es existiert ein Nash - Gleichgewicht, welches die anderen Strategien dominiert. ESS bei x=0.

o KoordinationsspieleEs existieren drei Nash – Gleichgewichte und

zwei reine ESS, die abhängig von der Anfangsbedingung realisiert werden.

o Anti – KoordinationsspieleEs existieren drei Nash – Gleichgewichte aber

nur eine gemischte ESS, die unabhängig von der Anfangsbedingung realisiert wird.

o Dominante Spiele(1. Strategie dominiert 2.Strategie)

Es existiert ein Nash - Gleichgewicht, welches die anderen Strategien dominiert. ESS bei x=1.

Weitere

Evolutionär Stabile Strategien Betrachten Sie die folgenden Beispiele:

1. Geben Sie mögliche dominante Strategien und Nash-Gleichgewichte der Spiele an.

2. Bestimmen und zeichnen Sie die Funktion g(x) für alle drei Spiele?

3. Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion g(x) (g(x)=0).4. Geben Sie die evolutionär stabilen Strategien der Spiele an?

Kugel Keine Kugel

Kugel (0 , 0) (2 , -1)

KeineKugel

(-1 , 2) (1 , 1)

Kugel Keine Kugel

Kugel (-1 , -1) (3 , 0)

KeineKugel

(0 , 3) (1 , 1)

Kugel Keine Kugel

Kugel (0 , 0) (2 , -2)

KeineKugel

(-2 , 2) (3 , 3)

Beispiel 1: Beispiel 2: Beispiel 3:

Kugel Keine Kugel

Kugel (0 , 0) (2 , -1)

Keine Kugel (-1 , 2) (1 , 1)

Kugel Keine Kugel

Kugel (-1 , -1) (3 , 0)

Keine Kugel (0 , 3) (1 , 1)

Kugel Keine Kugel

Kugel (0 , 0) (2 , -2)

Keine Kugel (-2 , 2) (3 , 3)

Beispiel 1

Beispiel 2

Beispiel 3

Das erste Spiel besitzt nur ein Nash-Gleichgewicht das gleichzeitig die dominante Strategie des Spiels ist (Kugel, Kugel). Das Spiel gehört zur Klasse der dominanten Spiele.

Das zweite Spiel besitzt keine dominante Strategie, aber zwei unsymmetrische Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ((K,KK) und (KK,K)) und ein gemischtes Nash-Gleichgewicht (0.67 K , 0.33 KK). Das Spiel gehört zur Klasse der Anti-Koordinationsspiele.

Das dritte Spiel besitzt ebenfalls keine dominante Strategie, aber zwei symmetrische Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ((K,K) und (KK,KK)) und ein gemischtes Nash-Gleichgewicht (0.33 K , 0.67 KK). Das Spiel gehört zur Klasse der Koordinationsspiele.

Dominante Strategien und Nash-Gleichgewichte

Beispiel 1:

Die Funktion hat zwei Nullstellen:

Nullstellen der Funktion g(x)

1 01

0 01

0

)(

2

1

2

2

xx

xxx

xx

xxxg

1 und 0 21 xx

Beispiel 2:

Die Funktion hat drei Nullstellen:

3

2 , 1

6

1

6

5

36

2425

6

5

3

2

6

5

6

5

Formel q-p 03

2

3

5

/3 0253

0 0253

253)(

323/2

3/2

2

3/2

2

2

1

2

23

xxx

x

x

xx

xx

xxxx

xxxxg

3

2 und 1 , 0 321 xxx

Beispiel 3:Die Funktion hat drei Nullstellen:

3

1 und 1 , 0 321 xxx

Evolutionäre Strategien (Beispiel 1)

Die Differentialgleichung der Replikatordynamikfür das erste Beispiel lautet:

Beispiel 1:g(x)=g(x(t)) im Bereich [0,1] dargestellt

x(t) für unterschiedliche Anfangspopulationen x(0)

2)( xxxg

Kugel KeineKugel

Kugel (0 , 0) (2 , -1)

KeineKugel

(-1 , 2) (1 , 1)

2)()())(()(

txtxtxgdt

tdx

Da es sich bei diesem Beispiel um ein dominantes, symmetrisches (2x2)-Spiel handelt und die Funktion g(x) im relevanten Bereich (x=[0,1]) immer größer-gleich Null ist, strebt der Populationsanteil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswert immer gegen 1.

Eine ESS bei x=1

Die Differentialgleichung der Replikatordynamikfür das zweite Beispiel lautet:



Kugel KeineKugel

Kugel (-1 , -1) (3 , 0)

KeineKugel

(0, 3) (1 , 1)

Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmetrisches Anti-Koordinationsspiel handelt, strebt der Populationsanteil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswert immer zu dem gemischten Nash-Gleichgewicht, was identisch mit der mittleren Nullstelle der Funktion g(x) ist (x=0.67).

Eine ESS bei x=0.67

)(2)(5)(3))(()( 23

txtxtxtxgdt

tdx

xxxxg 253)( 23


Die Differentialgleichung der Replikatordynamikfür das zweite Beispiel lautet:



Kugel KeineKugel

Kugel (0, 0) (2 , -2)

KeineKugel

(-2, 2) (3 , 3)

Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmetrisches Koordinationsspiel handelt, strebt der Populationsanteil der Kugel-Spieler abhängig vom Anfangswert zu einem der beiden reinen Nash-Gleichgewichte (x=1 oder x=0).

Zwei ESSs : (x=1 und x=0)

)()(4)(3))(()( 23

txtxtxtxgdt

tdx

xxxxg 23 43)(


Theorie ExperimentExperimentelle Ergebnisse des in Lyon gespielten Beispiels 1

Das erste Spiel besitzt nur ein Nash-Gleichgewicht das gleichzeitig die dominante Strategie des Spiels ist (Kugel, Kugel). Da es sich bei diesem Beispiel um ein dominantes, symmetrisches (2x2)-Spiel handelt und die Funktion g(x) im relevanten Bereich (x=[0,1]) immer größer-gleich Null ist, strebt der Populationsanteil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswert immer gegen die evolutionär stabile Strategie x=1. Die klassische evolutionäre Spieltheorie sagt demnach voraus, dass die Spieler innerhalb der betrachteten Population nach einer gewissen Zeit maßgeblich die Strategie Kugel wählen (x=1). Die rote Kurve in der obigen Abbildung zeigt die experimentellen Ergebnisse des im Vorlesungsteil 4 gespielten Beispiels 1.


Das zweite Spiel besitzt keine dominante Strategie, aber zwei unsymmetrische Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ((K,KK) und (KK,K)) und ein gemischtes Nash-Gleichgewicht (0.67 K , 0.33 KK). Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmetrisches Anti-Koordinationsspiel handelt, strebt der Populationsanteil der Kugel-Spieler unabhängig vom Anfangswert immer zu dem gemischten Nash-Gleichgewicht (der einzigen evolutionär stabilen Strategie des Spiels), was identisch mit der mittleren Nullstelle der Funktion g(x) ist (x=0.67). Die rote Kurve in der obigen Abbildung zeigt die experimentellen Ergebnisse des im Vorlesungsteil 4 gespielten Beispiels 2.


Das dritte Spiel besitzt ebenfalls keine dominante Strategie, aber zwei symmetrische Nash-Gleichgewicht in reinen Strategien ((K,K) und (KK,KK)) und ein gemischtes Nash-Gleichgewicht (0.33 K , 0.67 KK). Da es sich bei diesem Beispiel um ein symmetrisches Koordinationsspiel handelt, strebt der Populationsanteil der Kugel-Spieler abhängig vom Anfangswert zu einem der beiden reinen Nash-Gleichgewichte (x=1 oder x=0). Die klassische evolutionäre Spieltheorie sagt demnach voraus, dass es zwei evolutionär stabile Strategien gibt (x=1 oder x=0). Die rote Kurve in der obigen Abbildung zeigt die experimentellen Ergebnisse des im Vorlesungsteil 4 gespielten Beispiels 3.

Analytische Lösung von Differentialgleichungen

Die Differentialgleichung der Replikatordynamik für das erste Beispiel lautete:



2)( xxxg

2)()())(()(

txtxtxgdt

tdx

Frage: Wie kann man die Funktion x(t) für einen bestimmten Anfangswert x(t=0)berechnen?

?

Analytische Lösung:

Analytische Lösung von DifferentialgleichungenEin „einfaches“Beispiel

Ein einfaches Beispiel einer Differentialgleichung lautete:

)()(

txdt

tdx

Frage: Wie kann man die Funktion x(t) für einen bestimmten Anfangswert x(0)berechnen?

... 1

/

)()(

dtdxx

xdtxdx

dtxdt

dx

xdt

dxtx

dt

tdx

)0( )0(

)(

)0(

)(ln

))0(ln())(ln(

1

)0(

)(ln

(...)

0

)(

)0(

xex

tx

ee

etx

tx

txtx

dtdxx

t

tx

tx

ttx

x

textx )0()(

x(t), wobei x(0)=0.3

tetx 3.0)(


Analytische Lösung von DifferentialgleichungenBeispiel 1


2)()()(

txtxdt

tdx


ttx

x

dtdxxx

dtdxxx

xxdtxxdx

dtxxdt

dx

0

)(

)0(

2

2

22

2

1

... 1

/

)0()0(1

)0()(

)0(1)0(

)0()(

)0(1)0(/ )0()0(1)0()(

)()0( )0()()0(1)0()(

1)()0( 1)()0(

1)0()(

1)()0(

1)0()(ln

1)()0(

1)0()(ln

(...)

t

t

t

t

ttt

ttt

t

ttxx

xtx

exx

extx

exx

extx

exxexexxtx

etxxexetxxxtx

txxetxx

xtx

ee

ettxx

xtx

txxtxtx )1)0(ln( ))0(ln()1)(ln( ))(ln(


Analytische Lösung von DifferentialgleichungenBeispiel 1


2)()()(

txtxdt

tdx


t

t

exx

extx

)0()0(1

)0()(

t

t

e

etx

3.07.0

3.0)(

x(t), wobei x(0)=0.3

Das Dilemma des Wettrüstens

• Zwei Länder stehen vor der Entscheidung die Streitkräfte ihres Landes militärisch, atomar aufzurüsten oder atomar abzurüsten.

1. Definieren Sie das Spiel.

2. Beschreiben Sie eine mögliche Situation der Länder und definieren Sie die dem Spiel zugrundeliegende Auszahlungsmatrix.

3. Berechnen Sie die Nash-Gleichgewichte des Spiels. Gibt es eine dominante Strategie?

4. Um welche Spielklasse handelt es sich?

5. Handelt es sich um ein symmetrisches oder unsymmetrisches Spiel?

Nord KoreaUSA

Aufrüsten Abrüsten

Aufrüsten (?? , ??) (?? , ??)

Abrüsten (?? , ??) (?? , ??)

Dilemma des Wettrüstens(1. Mögliche Definition des Spiels)

Aufrüsten

Abrüsten

Aufrüsten

Abrüsten

Aufrüsten

Abrüsten

)Ab Ab,($ , )Ab Ab,($

)Auf Ab,($ , )Auf Ab,($

)Ab Auf,($ , )Ab Auf,($

)Auf Auf,($ , )Auf Auf,($

S S :$ und S S :$

: Spielers 2. und 1. dessfunktion Auszahlung

}Abrüsten ,Aufrüsten { }s ,{sS

:2) (Land Spielersten -2 des mengeStrategien

}Abrüsten ,Aufrüsten { }s ,{sS

:1) (Land Spielersten -1 des mengeStrategien

2} Land 1, {Land{1,2}A

: (Länder)Spieler der

))$,($ ),S ,(S (A,:

: S )2()2(

21

21

21

21

212211

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

2121

dd

bc

cb

aa

Menge

pielStrategienLänder

(a , a) (b , c)

(c , b) (d , d)

Aufs ̂1

1

Abs ̂1

2

Aufs ̂2

1 Abs ̂2

1

Das zunächst allgemein definierte symmetrische (2x2)-Spiel des Wettrüstens zweier Länder wird nun durch Festlegung der freien Parameter (a,b,c und d) an eine spezifische Ausgangssituation angepasst: Betrachtet man den Nutzen für die Länder bei

gemeinsamen Aufrüsten (Auf,Auf) und gemeinsamen Abrüsten (Ab,Ab), so nehmen wir im Folgenden an, dass es sowohl finanziell, als auch für das „Wohlbefinden“ der einzelnen Länder von Vorteil ist Strategie (Ab,Ab) zu

wählen. a<d

Dilemma des Wettrüstens(2. Eigenschaften der Auszahlungsmatrix (I))

(a , a) (b , c)

(c , b) (d , d)

Aufs ̂1

1

Abs ̂1

2

Aufs ̂2

1 Abs ̂2

1

Betrachtet man den Nutzen für die Länder wenn Land 1aufrüstet und Land 2 abrüstet (Auf,Ab), und setzt voraus, dass beide Länder sich ernsthaft voneinander bedroht fühlen, so würde Land 1 diese Strategienkombination sehr positiv bewerten, Land 2 dagegen äußerst negativ.

b>>c und b>d und c<a

Dilemma des Wettrüstens(2. Eigenschaften der Auszahlungsmatrix (II))

(a , a) (b , c)

(c , b) (d , d)

Aufs ̂1

1

Abs ̂1

2

Aufs ̂2

1 Abs ̂2

1

Wir legen die Parameter des Spiels wie folgt fest:

Dilemma des Wettrüstens(2. Eigenschaften der Auszahlungsmatrix (III))

(a , a) (b , c)

(c , b) (d , d)

Aufs ̂1

1

Abs ̂1

2

Aufs ̂2

1 Abs ̂2

1


Aufrüsten (1 , 1) (4 , 0)

Abrüsten (0 , 4) (2 , 2)

Siehe: Schlee, Walter Einführung in die Spieltheorie, Vieweg, 2004Seite 15

2. Es gibt nur ein Nash-Gleichgewicht, das gleichzeitig die dominante Strategie des Spiels ist:


Aufrüsten (1 , 1) (4 , 0)

Abrüsten (0 , 4) (2 , 2)

Dilemma des Wettrüstens(3. Dominante Strategien und Nash-Gleichgewichte)

(Aufrüsten , Aufrüsten) ist die dominante Strategie des Spiels.

(1 , 1) (4 , 0)

(0 , 4) (2 , 2)

Das konstruierte Spiel gehört der Klasse der dominanten Spiele an; es ist dem Gefangenendilemma ähnlich.

Das Dilemma des Wettrüstens wurde als ein symmetrisches (2x2)-Spiel konstruiert. Mögliche Ungleichheiten zwischen den Länder (ungleiche Ausgangssituationen und Machtverhältnisse, einseitige Abhängigkeiten, durchsetzbare Druckmittel wie z.B. Sanktionen, …) wurden vernachlässigt.

Es wurden desweiteren mögliche dritte Strategien (z.B. eine Unterscheidung zwischen konventioneller und atomarer Aufrüstung) nicht mit einbezogen.

Dilemma des Wettrüstens(4. Spielklasse und 5. Symmetrieeigenschaft)

Aufs ̂1

1

Abs ̂1

2

Aufs ̂2

1 Abs ̂2

1

Analytische Lösung bei festgelegtem Anfangswert des Populationsvektors (x(0)=0.2):

Analytische Lösung: Dilemma des Wettrüstens

Die Differentialgleichung der Replikator-dynamik lautete (eine ganze Population von Ländern spielt das Spiel des Wettrüstens):

)(2)(3)()( 2

txtxtxdt

tdx

Wir setzen den Anfangswert der Population auf x(t=0)=0.2

tetx

2916

41)(

Weitere

Das Falke Taube Spiel

Lösen des evolutionären Spiels mit Maple (Vorlage2.mw)

Lösen des evolutionären Spiels mit Python

Bi-Matrix Spieleunsymmetrische (2x2)-Spiele,

zwei unterscheidbare Populationsgruppen

Eckspiele Sattelspiele Zentrumsspiele

Bi-Matrix Spieleunsymmetrische (2x2)-Spiele,

zwei unterscheidbare Populationsgruppen

Symmetrische (2xM)-Spiele

• M

k

M

l

M

k

kkklkjkj

j

j txtxtxtxdt

tdxtx

1 1 1

)()($)($)()(

:)(

Wir beschränken uns zunächst auf symmetrische (2xM)-Spiele , d.h. zwei Personen -M Strategien Spiele. Da es sich um symmetrische Spiele handelt, sind alle Spieler gleichberechtigt und man kann von einer homogenen Population ausgehen.Die Differentialgleichung der Replikatordynamik beschreibt wie sich die einzelnen Populationsanteil der zur Zeit t gewählten Strategien , j=1,2,…M im Laufe der Zeit entwickeln.

)(tx j

Wobei die Parameter die einzelnen Einträge in der Auszahlungsmatrix des 1.Spielers darstellen

kl$

MMM3M2M1

3M333231

2M232221

1M131211

1

$...$$$

...............

$...$$$

$...$$$

$...$$$

$̂$̂

DurschnittlicheFitness

(Auszahlung) der gesamten

Population

Fitness der Strategie j

Durchschnitt-licher Erfolg der j-ten Strategie

Replikatordynamik(für symmetrische (2x2)-Spiele)

Wir beschränken uns nun auf symmetrische (2x2)-Spiele , d.h. zwei Personen - 2 Strategien Spiele (M=2). Die Differentialgleichung der Replikatordynamikvereinfacht sich unter dieser Annahme wie folgt:

22221221211211112211

2

1

2

1

2

1

$$$$$$

)()($)($)()(

xxxxxxxxxxxdt

dx

txtxtxtxdt

tdx

jjj

j

k l k

kkklkjkj

j

Da es lediglich zwei Strategien und somit zwei Populationsanteile ( ) gibt, können wir den zweiten Populationsanteil durch den ersten ausdrücken: Wir setzen im Folgenden der Einfachheit halberund betrachten nur j=1.

21, xx

12 1 xx

21 1 und xxxx

)1()1($)1($)1($$)1($$ 222112111211 xxxxxxxxxxxdt

dx

3,2,1

$$$

$$$

$$$

$$$

)()($)($)()(

333323321331

322322221221

311321121111

332211

3

1

3

1

3

1

j

xxxxxx

xxxxxx

xxxxxx

xxx

xdt

dx

txtxtxtxdt

tdx

jjj

j

j

k l k

kkklkjkj

j


Wir beschränken uns nun auf symmetrische (2x3)-Spiele , d.h. zwei Personen - 3 Strategien Spiele (M=3). Die Differentialgleichung der Replikatordynamikvereinfacht sich unter dieser Annahme wie folgt:

$

$$$$

$$$$

$$$$

33323213133

33322212122

31321211111

xxxxdt

dx

xxxxdt

dx

xxxxdt

dx


Man erhält ein System von drei gekoppelten Differentialgleichungen:

Das System von Differentialgleichungen lässt sich bei gegebener Auszahlungsmatrix und Anfangsbedingung meist nur nummerisch (auf dem Computer) lösen. Die Lösungen bestehen dann aus den drei (zeitlich abhängigen) Populationsanteilen .

)0( , )0( , )0( 321 xxx$̂

)( , )( , )( 321 txtxtx

323121

2133

3122

3211

$ :mit

$2

$2

$2

xxxxxx

xxxdt

dx

xxxdt

dx

xxxdt

dx

Wir betrachten im Folgenden ein Beispiel eines (2x3)-Spiels mit der rechts angegebenen Auszahlungsstruktur:

Die System der Replikatordynamik besitzt das folgende Aussehen:

Strategie 1 Strategie 2 Strategie 3

Strategie 1 (0, 0) (2, -1) (-1 , 2)

Strategie 2 (-1 , 2) (0 , 0) (2 , -1)

Strategie 3 (2 , -1) (-1 , 2) (0 , 0)

Replikatordynamik(für symmetrische (2x3)-Spiele, Beispiel 1)


Bei gewählter Anfangsbedingung besitzt die Lösung der Replikatordynamik das folgende Aussehen:


0.6 , 0.1 , 0.3 )0( , )0( , )0( 321 xxx

Schwarz:

Rot :

Blau :

)(3 tx

)(1 tx

)(2 tx


Strategie 1 (0, 0) (2, -1) (-1 , 2)

Strategie 2 (-1 , 2) (0 , 0) (2 , -1)

Strategie 3 (2 , -1) (-1 , 2) (0 , 0)


Aufgrund der Eigenschaft kann man ein Populationsanteil durch die beiden Anderen ausdrücken. Zur Visualisierung projiziert man gewöhnlich die zeitliche Veränderung der Populationsanteile auf ein Dreieck, wobei man Baryzentrische Koordinaten benutzt.


1321 xxx


Strategie 1 (0, 0) (2, -1) (-1 , 2)

Strategie 2 (-1 , 2) (0 , 0) (2 , -1)

Strategie 3 (2 , -1) (-1 , 2) (0 , 0)

Baryzentrische Koordinaten:

3

32

:

2:

xz

xxy

Reine Strategie 3

Reine Strategie 2Reine Strategie 1


Die rechte Abbildung zeigt die zeitliche Entwicklung der relativen Populationsanteile der gewählten Strategien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Die einzige evolutionär stabile Strategie dieses Beispiels befindet sich beim gemischten Nash-Gleichgewicht Die einzelnen Pfeile im Dreieck veranschaulichen den durch die Spielmatrix bestimmten Strategien-„Richtungswind“, dem die Population zeitlich folgen wird.



Strategie 1 (0, 0) (2, -1) (-1 , 2)

Strategie 2 (-1 , 2) (0 , 0) (2 , -1)

Strategie 3 (2 , -1) (-1 , 2) (0 , 0)

Reine Strategie 3


3

1,

3

1,

3

1

Gemischtes Nash-Gleichgewicht und ESS


Die rechte Abbildung zeigt die zeitliche Entwicklung der relativen Populationsanteile der gewählten Strategien für drei mögliche Anfangsbedingungen. Das Spiel besitzt drei Nash-Gleichgewichte in reinen Strategien, die ebenfalls evolutionär stabile Strategien darstellen. Welche der drei ESS die Population realisiert hängt von dem Anfangswert der Populationsanteile ab. Die zeitliche Entwicklung folgt wieder dem Strategien-„Richtungswind“ der zugrundeliegenden Auszahlungsmatrix.



Strategie 1 (0, 0) (-3, -3) (-1 , -1)

Strategie 2 (-3 , -3) (0 , 0) (-1 , -1)

Strategie 3 (-1 , -1) (-1 , -1) (0 , 0)

Reine Strategie 3


Replikatordynamik(Klassifizierung symmetrische (2x3)-Spiele)

E. C. Zeeman, POPULATION DYNAMICS FROM GAME THEORY, In: Global Theory of Dynamical Systems, Springer 1980

E. C. Zeeman zeigt in seinem im Jahre 1980 veröffentlichten Artikel, dass man evolutionäre, symmetrische (2x3)-Spiele in 19 Klassen einteilen kann. Die Abbildung rechts zeigt das evolutionäre Verhalten dieser 19 Spieltypen. Die ausgefüllten schwarzen Punkte markieren die evolutionär stabilen Strategien der jeweiligen Spiele. Es gibt Spielklassen, die besitzen lediglich eine ESS und Klassen die sogar drei ESS besitzen.

Das Räuber-Beute Spiel

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